No Kode: 1.3/PROFESIONAL/001/2/2018 1.3/PROFESIONAL/001/2/2018
BIDANG KAJIAN LOGIKA MATEMATIKA DAN MATEMATIKA DISKRIT
MODUL PENDALAMAN MATERI TEORI GRAF
Penulis: Dr. Mulyono, M.Si. Dr. Isnaini Rosyida, M.Si.
PPG DALAM JABATAN Kementerian Riset, Teknologi dan Pendidikan Ti nggi 2018
Hak cipta © Direktorat Pembelajaran, Dit Belmawa, Kemenristekdikti RI, 2018
i
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ....................................................................................................................
ii
A.
Pendahuluan ............................................................................................................... 1
B.
Capaian Pembelajaran ................................................................................................ 3
C.
Sub-Capaian Pembelajaran .......................... ............................ ............................ ....... 3
D.
Uraian Materi ............................................................................................................. 4
1.
Konsep-konsep Dasar Teori Graf
2.
3.
………………………………………………………………………..4
a.
Pengertian Graf .................................................................................................. .................................................................................................. 4
b.
Graf Bagian (Subgraf) ......................... ............................ ............................ ....... 5
c.
Jalan, Jejak, Lintasan, Sirkuit, dan Sikel ............... ............................ ................. 6
d.
Graf Terhubung dan Tidak Terhubung ......................................... ...................... 8
e.
Isomorfisme Graf ............................................................................................... ............................................................................................... 8
f.
....................................................................................................... 9 Derajat Titik .......................................................................................................
g.
Matriks Ketetanggaan dan Matriks Keterkaitan ............. ............................ ...... 11
Jenis-jenis Graf Tertentu……………………………………………………............. Tertentu……………………………………………………............. 13 a.
Graf Lengkap (Graf Komplit) ........................................................................... 13
b.
Graf Bipartisi ......................... ............................ ............................ ................... 13
c.
Graf Teratur (Graf Reguler) ......................... ............................ ........................ 14
d.
Graf Sikel ......................... ............................ ........................... ......................... 14
e.
Graf Planar dan Graf Bidang ............................................... ............................ .14
f.
Graf Euler dan Graf semi-Euler ......................... ......................... ........................... .................... 15
g.
Graf Hamilton dan Semi-Hamilton ................... ........................... .................... 16
h.
Pohon ............................................................................................................... 17
……………………………………………………………………………………………………. ……………………………. 22 Pewarnaan Graf ……………………………………………………………………… a.
Pewarnaan Titik (Vertex (Vertex Colouring ) ................. ............................ ................... 22
b.
Pewarnaan Sisi ( Edge Colouring ) ..................... ............................ ................... 25
c.
Pewarnaan Peta ( Map Colouring ) ..................... ............................ ................... 27
d.
Aplikasi Pewarnaan Graf .......................... .......................... ............................ ........................... .30
E.
Rangkuman ............................................ ........................... ............................ ........... 32
F.
Tugas ........................... ........................... ............................ ............................ .......... 33
G.
Tes Formatif ......................... ........................... ............................ ............................ .34
ii
H.
Daftar Pustaka .......................................................................................................... 38
I.
Kunci Jawaban Tes Formatif ............................ ............................ ........................... .39
J.
Tes Sumatif ............................................ ............................................ ........................... ............................ ........... 40
K.
Kunci Jawaban Tes Sumatif .......................................... .......................................... ........................... ................ 50
iii
A.
Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk menggambarkan berbagai macam struktur yang yang ada dengan tujuannya tujuannya adalah visualisasi objek-objek objek-objek agar mudah dimengerti. Beberapa contoh graf dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya: struktur organisasi, rangkaian listrik, peta, dan bagan alir pengambilan mata kuliah. Teori graf merupakan cabang matematika yang sudah ada sejak lebih dari dua ratus tahun lalu. Diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Swis Leonhard Euler pada tahun 1736. Konigsberg adalah sebuah kota di sebelah timur negara bagian Prussia di di Jerman,
sekarang bernama kota Kaliningrat. Di kota
tersebut terdapat sungai Pregal yang mengitari pulau Kneiphof lalu bercabang menjadi dua buah anak sungai. Ada tujuh buah jembatan yang menghubungkan daratan yang dibelah oleh sungai tersebut. Permasalahan jembatan Konigsberg ini adalah sebagai berikut: apakah mungkin seseorang tepat sekali melewati masingmasing jembatan itu dan kembali ke tempat asal keberangkatannya. Euler merupakan orang pertama yang berhasil menemukan jawaban masalah ini dengan pembuktian yang sederhana. Dia menggunakan graf untuk menyelesaikan menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg ini. Teori graf mengalami perkembangan yang sangat pesat yaitu terjadi pada beberapa dasa warsa terakhir ini. i ni. Salah satu alasan ala san perkembangan teori t eori graf yang sangat pesat adalah aplikasinya pada ilmu komputer, teknik, sains, bahkan bisnis dan ilmu sosial. Graf menunjuk pada diagram yang terdiri atas titik-tit ik yang saling terhubung dengan sisi bukan sebagai gambar grafik fungsi. Dalam hal ini, graf digunakan untuk menyatakan hubungan-hubungan hubungan-hubungan yang terjadi antara objek-objek. Keterhubungan antara titik-titik ini dapat menunjukkan ikatan kimia antar atom di dalam molekul, kabel antar terminal dalam jaringan listrik, jalan raya antar kota dalam peta, dan sebagainya. Dengan graf ini dapat dilihat bagaimana matematika yang sebenarnya beraksi menyelesaikan masalah-masalah penting dan berharga. Graf bisa digunakan dalam bidang kimia, genetika, musik, transportasi, linguistik, teori kontrol, dan ilmu-ilmu sosial. Graf juga banyak dipakai untuk membantu masalah-masalah yang berkaitan dengan kecerdasan buatan (artificial ( artificial intelligence). intelligence).
1
Materi yang dipelajari dalam modul Teori Graf ini meliputi meli puti konsep-konsep dasar teori graf, jenis-jenis graf tertentu, dan pewarnaan graf. Konsep-konsep dasar graf meliputi pengertian graf, keterhubungan graf, graf bagian, isomorfisme graf, derajat titik, dan penyajian graf dengan matriks. Jenis-jenis graf tertentu yang dibahas dalam modul ini, diantaranya adalah graf bipartisi, graf l engkap, graf planar dan graf bidang, graf Euler dan semi-Euler, graf Hamilton dan semi-Hamilton, dan pohon. Sedangkan pada bagian pewarnaan graf, dibahas pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan peta serta contoh aplikasi pewarnaan dalam kehidupan sehari-hari. Modul ini ditulis dengan harapan dapat menjadi salah satu referensi dalam mempelajari Teori Graf. Agar modul ini memiliki manfaat secara optimal bagi para mahasiswa PPG Hybrid Learning Dalam Dalam Jabatan, maka petunjuk petunjuk belajar untuk mempelajari modul ini adalah adalah sebagai berikut. 1.
Modul ini tidak boleh dijadikan satu-satunya sumber belajar dalam mempelajari Teori Graf. Graf. Para peserta PPG Hybrid Hybrid Learning Dalam Jabatan wajib menambah buku-buku tentang Teori Graf yang relevan, sebagai sumber belajar lain untuk dibaca dan dipelajari.
2.
Pelajari modul ini halaman demi halaman secara urut.
3.
Di bagian akhir modul ini terdapat tugas dan tes formatif serta tes sumatif. Kerjakan setiap soal yang ada dan nilai yang diperoleh agar dijadikan sebagai umpan balik untuk menilai lagi apakah materi dalam kegiatan belajar sudah dikuasai dengan baik atau belum
4.
Keberhasilan pembelajaran dalam mempelajari modul ini sangat tergantung kepada kesungguhan dalam belajar, mengerjakan tugas dan menyelesaikan tes.
5.
Diskusikan dengan teman kalian dalam sebuah grup/kelompok belajar, jika menemui kesulitan, khususnya dalam memahami konsep dalam Teori Graf atau jika ada kesulitan saat mengerjakan soal-soalnya.
6.
Jika tetap mengalami kesulitan yang tidak teratasi dalam kelompok belajar, diskusikan di kelas dengan difasilitasi oleh dosen pengampu.
2
Kepada mahasiswa PPG Hybrid Learning Dalam Jabatan, selamat belajar, semoga sukses memahami pengetahuan yang diuraikan dalam modul ini sebagai bekal membelajarkan matematika di sekolah.
B.
Capaian Pembelajaran
1.
Mahasiswa menguasai majemuk,
tautologi,
pernyataan, kalimat terbuka, pernyataan kontradiksi,
hukum
aljabar
proposisi,
membuktikan keabsahan/kesahihan/kevalidan dari sebuah argumen, aturan bukti bersyarat dan reductio ad absurdum untuk pemecahan masalah. 2.
Mahasiswa menguasai tentang teorema binomial, barisan dan multi set, fungsi pembangkit, relasi rekursif, dan dapat menerapkan konsepkonsep tersebut untuk pemecahan masalah.
3.
C.
Mahasiswa menguasai graf dan aplikasinya.
Sub-Capaian Pembelajaran
1.
Menguasai konsep-konsep dasar teori graf
2.
Menguasai jenis-jenis graf tertentu
3.
Menguasai pewarnaan graf dan aplikasinya
3
D.
Uraian Materi 1. Konsep-konsep Dasar Teori Graf a.
Pengertian Graf
(,) (,) ,
Graf G adalah pasangan himpunan
,
disingkat
, ditulis dengan notasi
yang dalam hal ini nodes) dan
atau cukup
atau
,
adalah himpunan tidak-kosong dari titik (vertices atau
adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan satu atau
dua titik, dengan
mungkin merupakan himpunan kosong. Definisi ini
menyatakan bahwa
tidak boleh kosong, sedangkan
boleh kosong. Jadi
sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi, tetapi titiknya harus ada, minimal satu. Graf yang tidak memiliki sisi dinamakan graf kosong ( null
graph). Graf kosong dengan titik, dinotasikan dengan
.
, , , … , 1, 2 , 3 , … , , ,…., , ,
Titik pada graf dapat dilabel dengan huruf, seperti
, , ⋯ ,
atau dengan bilangan asli
menghubungkan titik
z atau
, sedangkan sisi yang
dengan titik dinyatakan dengan pasangan
atau dinyatakan dengan lambang
. Dengan kata lain, jika
adalah sisi yang menghubungkan titik dengan titik , maka dapat ditulis sebagai
,.
Sisi e tersebut dapat juga ditulis sebagai
Misalkan u dan v adalah dua titik di G dan
atau
.
adalah sebuah
sisi G, maka titik u dan v dikatakan berhubungan langsung atau bertetangga (adjacent ). Sedangkan sisi e dikatakan terkait (incident ) dengan titik v dan juga titik u. Perhatikan graf G dan H berikut.
v3 v1
G
v2 v1
v2
Gambar 1. Graf kosong
e1 v4
v3
e3 e 2 e4 e6 v5
e5 e7
v6
H
Gambar 2. Graf tak sederhana
4
Gambar 1 merupakan graf kosong dengan 3 titik. Pada Gambar 2 terdapat
suatu sisi yang dikaitkan dengan sepasang titik ujungnya sama disebut loop (gelang). Sisi
dan
. Sisi yang dua titik
pada Gambar 2 merupakan
sebuah loop. Dalam sebuah graf dimungkinkan adanya lebih dari satu sisi
yang dikaitkan dengan sepasang titik. Sebagai contoh, Gambar 2 di atas dikaitkan dengan sepasang titik
dan
dan
pada
. Pasangan sisi
semacam ini disebut sisi rangkap atau sisi paralel. Kemudian titik
merupakan titik terasing atau titik terisolir karena tidak ada sisi yang terkait dengan
.
Graf yang tidak memuat sisi rangkap dan loop disebut graf
sederhana ( simple graph), sedangkan graf yang memuat sisi rangkap atau loop disebut graf tak sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu ( pseudograph). Graf ganda adalah graf yang memuat sisi rangkap dan tidak memuat loop. Graf semu adalah graf yang memuat loop, termasuk juga jika memuat sisi rangkap. Jika sisi-sisi graf G diberi orientasi arah, maka G disebut graf
, ,
berarah (directed graph atau digraph). Sisi berarah (busur)
merupakan pasangan berurutan, dengan u adalah titik awal sisi berarah a dan v adalah titik akhir sisi berarah a. Jika sisi-sisi graf G tidak diberi orientasi arah, maka G disebut graf tak berarah (undirected graph ) . Sisi
,
pada graf tak berarah bukanlah merupakan pasangan berurutan,
sehingga sisi e tersebut juga bisa ditulis sebagai
. Untuk
selanjutnya dalam pembahasan ini yang dibahas hanya graf ta k berarah dan
penulisan kata “graf tak berarah” cukup ditulis dengan kata “graf” saja. Teorema-teorema yang ada tidak dibuktikan di sini, bukti le ngkapnya dapat dibaca pada referensi-referensi dalam Daftar Pustaka. b.
Graf Bagian (Subgraf)
Misalkan
sisi
⊆
adalah graf dengan himpunan titik
. Sebuah graf
dengan himpunan titik
, disebut graf bagian (subgraf) dari graf
5
dan himpunan
dan himpunan sisi
, dinotasikan
, jika
⊆ ⊆ ⊆ dan
. Jika
dan
,
maka H disebut graf bagian rentang ( spanning subgraph). Karena konsep graf bagian dapat dianalogikan dengan konsep himpunan bagian dalam teori himpunan, maka sebuah graf bagian dapat dipandang sebagai bagian dari graf yang lain. Sifat-sifat dari graf bagian adalah sebagai berikut. 1)
Setiap graf merupakan graf bagian dari dirinya sendiri.
2)
Graf bagian dari suatu graf bagian
3)
Sebuah titik dalam graf
4)
Sebuah sisi dari
merupakan graf bagian dari
merupakan graf bagian dari
.
.
bersamaan dengan kedua titik ujungnya juga
merupakan graf bagian dari
.
Berikut ini adalah contoh graf bagian dari sebuah graf.
v1
v4
v1
v4
v1
v2
v3
v2
v3
v2
G
H
K
v3
Gambar 3. Graf bagian dari graf G
Pada Gambar 3, H adalah graf bagian rentang dari G dan K adalah graf bagian dari G tetapi bukan graf bagian rentang.
c.
Jalan, Jejak, Lintasan, Sirkuit, dan Sikel
Misalkan
… … − − 1≤≤ adalah graf, maka jalan (walk ) di
adalah sebuah
barisan berhingga
yang suku-
sukunya bergantian titik dan sisi, sedemikian sehingga titik-titik akhir (titik ujung) sisi
untuk
dan
di mana
adalah
dan
berturut-turut disebut titik awal dan titik akhir jalan W. Titik-titik
, , ⋯ , −
disebut titik-titik internal jalan W. Panjang jalan W adalah
6
banyaknya sisi dalam W. Jadi panjang jalan W di atas adalah k . Jalan
tertutup di
di
adalah jalan yang titik awal dan akhirnya sama. Jejak (trail)
,, ,…, , , ,…,
adalah jalan dengan semua sisinya
( path) di
berbeda. Lintasan
adalah jejak dengan semua titiknya
Jejak tertutup (sirkuit) di
berbeda.
adalah jejak yang titik awal dan akhirnya sama
dan sikel ( cycle) adalah sirkuit yang titik awal dan semua titik internalnya berbeda. Perhatikan Gambar 4 berikut. v2 e1 v1
e6
e5
e11
v6
e10
v5
v3
e7 e8
e9
v7
e2
e3 v4
e4 G
Gambar 4 Sebuah graf G Pada Gambar 4 dapat dibuat:
: : : : : : : : : : :
(a) jalan
atau cukup ditulis dengan
;
(b) jalan tertutup
cukup ditulis dengan
atau
;
(c) jejak
atau cukup ditulis dengan
;
(d) lintasan
atau
cukup
ditulis
dengan
;
(e) jejak tertutup (sirkuit)
atau cukup
ditulis dengan
;
(f) sikel C:
atau cukup ditulis dengan
.
7
d.
Graf Terhubung dan Tidak Terhubung
Graf disebut terhubung (connected ) jika setiap dua titik berbeda pada graf tersebut terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Komponen graf G adalah sebuah graf bagian terhubung maksimal (titik dan sisi) dari G. Graf H dikatakan graf bagian terhubung maksimal dari graf G, jika tidak ada graf bagian lain dari G yang terhubung dan memuat H . Graf terhubung terdiri satu komponen. Apabila suatu graf tidak terhubung, maka graf tersebut terdiri dari beberapa komponen yang masingmasing komponennya adalah suatu graf terhubung atau suatu titik terisolir.
G2
G1
Gambar 5.
Graf terhubung
dan graf tak terhubung
Graf terhubung terdiri satu komponen, sedang graf tak terhubung terdiri paling sedikit dua komponen. Graf terdiri empat komponen.
e.
terdiri satu komponen dan graf
Isomorfisme Graf
Graf bisa digambar dengan beragam bentuknya. Walaupun dua buah graf tampak berbeda bentuknya, dengan penamaan titik-titik yang berbeda pula, tetapi sebenarnya keduanya merupakan graf yang sama. Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling isomorfik. Dua buah graf G dan H dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi
dan
dan
di G yang memiliki titik akhir
maka berkorespondensi dengan sisi , demikian sebaliknya.
8
di H yang memiliki titik akhir
Contoh
G
H
Graf G dan H isomorfik karena ada korespondesi satu-satu sebagai berikut:
f.
↔, ↔,, ↔, ↔, ↔, ↔ ∆
Derajat Titik
Misalkan adalah titik dalam suatu graf disimbolkan
, adalah jumlah sisi yang terkait dengan titik
suatu loop dihitung dua kali. Derajat total titik dalam
. Derajat (degree) titik ,
. Derajat minimum dari graf
derajat maksimumnya dinotasikan dengan
dan sisi
adalah jumlah derajat semua
dinotasikan dengan
dan
.
Contoh v2
v1 v4
v3 v6 G
v5
0 4 3 0 2 4 3 ∆ 4
Pada graf G di atas, derajat masing-masing titik adalah ,
adalah
,
,
,
. Derajat minimumnya
dan derajat maksimumnya adalah
9
,
.
Teorema 1
Jumlah derajat semua titik pada suatu graf G adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf G tersebut. Dengan kata lain, jika maka
||
(,)
,
| | 2 . ∈ menyatakan jumlah sisi pada graf G.
Teorema 2
Banyaknya titik yang berderajat ganjil pada sebuah graf adalah genap. Barisan monoton turun dari derajat titik-titik graf G disebut barisan derajat graf G. Jika G graf sederhana, maka barisan derajat G disebut
graphik . Teorema 3
, , , ⋯ , ∑
Barisan bilangan bulat non negatif sebuah graf jika dan hanya jika
=
adalah barisan derajat
genap.
Teorema 4
, , ,⋯, 1, 1, 1, ⋯ , + 1, +, ⋯ , 5,5,4,4,4,3,2,1 5, 5 , 4 , 4 , 4 , 3 , 2 , 1 ⇔ 4,3,3,3,2,2,1 ⇔ 2, 2,22,,22,,21,,12,,11 ⇔ 1, 1 , 2 , 1 , 1 2,1,1,1,1 Misalkan
monoton turun. Barisan
barisan bilangan bulat non negatif
adalah graphik jika dan hanya jika barisan graphik.
Contoh
Apakah barisan
merupakan graphik?
Penyelesaian:
10
⇔ 0, 0 , 1 , 1 1, 1 , 0 , 0 ⇔ 0,0,0
Karena ada graf sederhana G dengan barisan
0,0,0
berikut ini
G
maka
5,5,4,4,4,3,2,1
adalah graphik. Jadi adalah graphik.
Dari
barisan
derajat
di
atas
dapat
dikonstruksi sebuah graf sederhana sebagai berikut.
g.
Matriks Ketetanggaan dan Matriks Keterkaitan
Selain dengan gambar, sebuah graf G dapat disajikan dengan sebuah matriks. Matriks yang digunakan untuk menyajikan graf G tersebut diberi nama Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) dan Matriks Keterkaitan (incidence matrix). Misalkan G sebuah graf dengan
{, ,,⋯,× }
ketetanggaan graf G adalah matriks persegi
. Matriks
, berordo
yang
baris-baris dan kolom-kolomya dilabel dengan label titik-titik graf G
sedemikian hingga elemen
menyatakan banyaknya sisi G yang
menghubungkan titik
. Matriks A adalah matriks simetris dan
dan
unsur-unsurnya bilangan bulat non negatif. Jika G tidak memiliki loop, maka semua elemen diagonal utama A adalah 0. Jika G graf sederhana, maka elemen-elemen matriks A adalah 0 atau 1. Derajat titik graf G diperoleh dengan menjumlahkan semua elemen A yang terletak di baris yang bersesuaian dengan titik tersebut, setelah eleme n pada diagonal utama pada baris tersebut dikalikan 2.
11
Sebuah graf G juga dapat disajikan dengan matriks keterkaitan , berordo
×
dengan n adalah banyaknya titik dan t adalah
banyaknya sisi G, yang baris-barisnya dilabel dengan label titik-titik G dan kolom-kolomya dilabel dengan label sisi-sisi G sedemikian hingga
0, j i k a si s i t i d ak t e rkai t dengan t i t i k t i t i k d an b ukan l o op 2,1, jjiikkaa sisissii tteerkairkaitt dengan dengan titik dan loop Perhatikan gambar graf G berikut. e2 v1
e1 v2
e3
e4 e5
v4
v3 e6 G
Matriks ketetanggaan dari graf G ini adalah
0 1 1 0 [ 110 101 012 200 ] 1 0 1 0 0 0 [ 100 020 100 110 101 101 ]
Matriks keterkaitan dari graf G ini adalah sebagai berikut.
12
2. Jenis-jenis Graf Tertentu
Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a.
Graf Lengkap (Graf Komplit)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya mempunyai sisi ke semua titik lainnya atau semua titiknya bertetangga dengan semua
titik lainnya. Graf lengkap dengan titik dilambangkan dengan
Gambar 6. Graf lengkap b.
Graf Bipartisi
Graf bipartisi
,
, , dan
, sedemikian
sehingga setiap sisi di dalam menghubungkan sebuah titik di
titik
, dan dinyatakan sebagai
) tidak bertetangga. Apabila
bertetangga dengan semua titik di
disebut sebagai graf bipartisi lengkap. Jika
ke sebuah
. Dengan kata lain, setiap pasang
(demikian pula dengan titik-titik di
setiap titik di
.
adalah graf yang himpunan titiknya dapat
dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian
titik di
, maka
terdiri dari
titik dan
terdiri dari titik, maka graf bipartisi lengkap dilambangkan dengan
Gambar 7. (a) graf bipartisi, (b) graf bipartisi lengkap
13
,
.
c.
Graf Teratur (Graf Reguler)
Graf yang setiap titiknya mempunyai derajat yang sama disebut graf
teratur atau graf reguler. Apabila derajat setiap titik adalah , maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur atau graf reguler derajat
atau dapat
ditulis graf teratur- (graf reguler- ). Jumlah sisi pada graf teratur adalah Contoh graf teratur ditunjukkan di bawah ini.
.
Gambar 8. Graf teratur-3 d.
Graf Sikel
Graf sikel adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf sikel dengan n titik dilambangkan dengan Contoh graf sikel ditunjukkan di bawah ini.
C 3 e.
C 4
.
C 5
Graf Planar dan Graf Bidang
Graf G disebut graf planar ( planar graph) jika G dapat digambar pada bidang datar sedemikan hingga sisi-sisinya tidak ada yang berpotongan kecuali mungkin pada titik-titik ujung dari sisi-sisi te rsebut. Sedangkan graf bidang ( plane graph) adalah graf yang digambar pada bidang datar sedemikan hingga sisi-sisinya tidak ada yang berpotongan kecuali mungkin pada titik-titik ujung dari sisi-sisi tersebut. Dengan demikian, graf planar adalah graf yang dapat digambar sebagai graf bidang. Graf bidang pasti graf planar tetapi sebaliknya tidak berlaku.
14
Gambar
,
, dan
adalah graf planar, tetapi
bukan graf bidang.
Perhatikan graf bidang G berikut. a e
b
d c
f
Graf bidang G di atas membagi bidang menjadi 6 daerah yang masingmasing disebut “muka” ( face), yaitu: muka a, muka b, muka c, muka d , muka e, dan muka f . Himpunan muka dari graf bidang G dinotasikan dengan
{,,,,,}.
. Untuk graf G di atas himpunan mukanya adalah
Banyaknya sisi di G yang membatasi suatu muka f adalah
dari G disebut derajat muka f tersebut dan dinotasikan
. Jembatan (sisi
pemutus) graf G dihitung dua kali dalam menghitung derajat muka. Sebuah sisi e di graf G disebut jembatan (sisi pemutus) jika penghapusan sisi e tersebut mengakibatkan subgraf G-e mempunyai komponen lebih banyak daripada graf G. Untuk graf G di atas derajat masing-masing muka adalah
7, 4, 3, 3, 3,dan 4 f.
.
Graf Euler dan Graf semi-Euler
Sebuah sirkuit di graf G yang memuat semua sisi G disebut sirkuit
Euler. Jika graf G memuat sirkuit Euler, maka graf G disebut graf E uler .
15
Sebuah jejak-buka yang memuat semua sisi graf disebut jejak E uler . Graf G disebut graf semi-E uler jika G memuat jejak Euler.
Teorema 5
Misalkan G graf terhubung. Graf G Euler jika dan hanya jika setiap titik G berderajat genap.
Teorema 6
Misalkan G graf terhubung. Graf G semi-Euler jika dan hanya jika G memuat tepat dua titik berderajat ganjil.
Untuk mencari sirkuit Euler pada graf Euler G, dimulai dari sembarang titik v di G dan akan berakhir di titik v tersebut juga. Jejak Euler pada graf semi-Euler, berawal di sebuah titik berderajat ganjil dan berakhir di sebuah titik berderajat ganjil lainnya. Berikut contoh graf Euler dan graf semi-Euler. G2
G1
Gambar 9.
g.
graf Euler dan
graf semi-Euler
Graf Hamilton dan Semi-Hamilton
Misalkan G adalah sebuah graf. Sebuah sikel yang memuat semua titik di G disebut sikel Hamilton. Jika G memuat sikel Hamilton, maka G disebut graf Hamilton. Sebuah lintasan yang memuat semua titik di G disebut lintasan Hamilton. Sebuah graf G disebut graf semi-Hamilton jika graf G bukan graf Hamilton dan graf tersebut memuat lintasan Hamilton. Perhatikan tiga graf di bawah ini.
16
Graf
tetapi tidak memuat sikel Hamilton dan demikian,
h.
tidak memuat lintasan Hamilton,
memuat lintasan Hamilton
memuat sikel Hamilton. Dengan
adalah graf semi-Hamilton dan
adalah graf Hamilton.
Pohon
Pohon (tree) adalah graf terhubung yang tidak memiliki sikel. Berikut adalah contoh-contoh pohon.
Sifat-sifat Pohon
Misalkan G = (V , E ) adalah graf sederhana dan banyak titiknya n buah. Pernyataan-pernyataan di bawah ini adalah ekivalen. 1)
G adalah pohon.
2)
Setiap pasang titik di G terdapat tepat satu lintasan.
3)
G terhubung dan memiliki n – 1 buah sisi.
4)
G tidak mengandung sikel dan memiliki n – 1 buah sisi.
5)
G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.
Graf bobot (weighted graph) G adalah sebuah graf yang setiap sisinya dikaitkan dengan sebuah bilangan real. Bobot sisi e ditulis sebagai w(e). Bobot graf G, ditulis w(G), adalah jumlah bobot semua sisi di G. Graf bobot G pada Gambar 10 mempunyai bobot
17
23218
.
3
2
1 2 G
Gambar 10. Graf bobot Dari sebuah graf terhubung dapat diperoleh sebuah graf ba gian yang memuat semua titik di G yang berupa pohon. Sebuah graf bagian yang memuat semua titik di G yang berupa pohon disebut pohon rentang ( spanning tree). Graf pada Gambar 10 di atas kemungkinan pohon
rentangnya adalah sebagai berikut.
3
2
1
3
2
1 2
T1
1 2
T2
T3
Masing-masing pohon rentang tersebut mempunyai bobot
6 5 6 ,
, dan
. Perhatikan bahwa pohon rentang
memiliki bobot minimal di antara pohon rentang-pohon rentang yang
diperoleh dari G. Pohon rentang yang memiliki bobot minimal tersebut disebut pohon rentang minimal (minimum spanning tree). Untuk mendapatkan pohon rentang minimal dari sebuah graf bobot G di atas dengan cara: dicari semua pohon rentangnya, baru kemudian dihitung bobot masing-masing pohon rentang tersebut, dan yang punya bobot minimal itulah yang merupakan pohon rentang minimal. Cara mendapatkan pohon rentang minimal dengan cara seperti itu tentu tidak efektif dan efisen sebab membutuhkan pekerjaan dan waktu yang banyak. Untuk mencari sebuah pohon rentang minimal dari graf bobot G, pada bahasan ini akan digunakan dua algoritma, yaitu algoritma Kruskal dan algoritma Prim. Dengan menerapkan algoritma Kruskal atau algoritma Prim tersebut akan diperoleh sebuah pohon rentang minimal. Berikut penjelasan kedua algoritma itu. 18
Algoritma Kruskal
Dalam algoritma ini, pertama pilih sisi di G yang memiliki bobot terkecil di antara sisi-sisi G yang bukan loop. Untuk menghindari sikel, dipilih dari sisi yang tersisa yang memiliki bobot terkecil yang tidak membentuk sikel dengan sisi yang telah terpilih. Ulangi lagi proses pengambilan sisi dengan bobot terkecil di antara sisi-sisi yang belum dipilih, asalkan tidak membentuk sikel dengan sisi yang telah terpilih. Jika graf
tersebut memiliki titik, proses tersebut dihentikan setelah memilih
1
sisi. Sisi-sisi tersebut membentuk graf bagian T yang tidak memiliki sikel
dari G dan T adalah pohon rentang minimal dari G. Langkah-langkah tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Algoritma Kruskal
, , … , ,, … , + + 1
Langkah 1. Pilih
, sebuah sisi di G sehingga
bukan loop.
Langkah 2. Jika sisi-sisi
sekecil mungkin dan
telah dipilih, lalu pilih sebuah sisi
yang belum terpilih sedemikian sehingga (i) graf bagian
+
,
dari G yang dikonstruksi oleh sisi-sisi
tidak memiliki sikel dan
(ii)
adalah terkecil.
Langkah 3. Jika G memiliki memilih
titik, hentikan langkah tersebut setelah
sisi. Jika belum terpilih
1,
ulangi langkah 2.
Algoritma Prim
Pada algoritma ini untuk menemukan pohon rentang minimal, pertama dipilih sebarang titik
1
pada graf bobot G. Kemudian pilih satu sisi
∈{1,2} ≠
dengan bobot terkecil dari G yang bukan loop dan yang terkait dengan
misalnya
1
1
terkait dengan titik
1
atau
2
1
2
1
,
. Kemudian pilih sisi dengan bobot terkecil di G yang
atau
2
tetapi titik ujung lain dari sisi tersebut adalah selain
. Misalkan pilih sisi
19
2
3
dengan
tetapi
3
, 1
2
. Ulangi proses pengambilan sisi dengan bobot terkecil yang berujung
di titik yang telah terpilih sebelumnya dan ujung lainnya dari sisi tersebut adalah titik dari G yang bukan ujung dari sisi yang sudah terpilih. Jika graf
G memiliki n titik, dipilih sampai
1 sisi.
Langkah-langkah algoritma
Prim tersebut adalah sebagai berikut. Algoritma Prim
≠ , ,…, , , … , + + ∈{ , ,…,+ } ∉ { , … , + } + { ,…,+ }
Langkah 1. Pilih sebarang titik Langkah 2. Pilih sebuah sisi
1
di G.
1
1
2
di G sehingga
2
1
dan
1
memiliki bobot terkecil di antara sisi-sisi G yang terkait dengan
1
.
Langkah 3. Jika sisi
1
telah dipilih dengan titik-titik ujung dari
2
sisi-sisi tersebut adalah titik-titik pilih sisi 1
dengan
1
1
1
sedemikian sehingga
2
1
1
2
1
, selanjutnya 1
dan
memiliki bobot
terkecil di antara sisi-sisi G yang salah satu ujung sisi tersebut di
1
1
.
Langkah 4. Hentikan langkah tersebut setelah
1 sisi
telah dipilih. Jika
tidak, ulangi langkah 3.
Contoh. Carilah sebuah pohon rentang minimal pada graf bobot G di bawah ini.
Penyelesian: Dengan menerapkan algoritma Kruskal atau Prim diperoleh sebuah pohon
20
rentang minimal T sebagai berikut.
Pohon rentang minimal T
2113310 Bobot pohon rentang minimal T di atas adalah 3
4
1
2
. Pada graf bobot G
5
tersebut memuat bentuk pohon rentang minimal yang tidak tunggal. Untuk melancarkan penggunaan algoritma Kruskal atau Prim, coba Anda cari bentuk lainnya tersebut.
21
3. Pewarnaan Graf a.
Pewarnaan Titik ( Vertex Colouring )
Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan-k (k-colouring ) untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua titik di G sehingga setiap pasang titik yang bertetangga (adjacent ) diberi warna yang berbeda. Jika G mempunyai pewarnaan-k , maka dikatakan titik-titik di G dapat diwarnai dengan k warna (kcolourable). Bilangan khromatik (chromatic number ) dari graf G, dinotasikan χ(G ), adalah bilangan k terkecil sehingga G dapat diwarnai dengan k warna. Jadi,
min{
}
/ ada pewarnaan- pada
. Biasanya
warna-warna yang digunakan untuk mewarnai titik-titik suatu graf dinyatakan dengan 1, 2, 3, …, k. Jelas bahwa χ(G) ≤ |V (G)|. Sedangkan cara yang mudah untuk menentukan batas bawah dari χ(G) adalah dengan mencari graf bagian komplit yang terbesar di G. Misalkan dipunyai graf G, H , dan K berikut. 1
1
2
1 2
3
3
2 G
H
2
3 J
, maka χ(G) ≥ 3. Akibatnya χ(G) = 3.
Untuk graf H , karena |V ( H )| = 4, maka χ( H ) ≤ 4. Pada graf H memuat graf komplit
3
Untuk graf G, karena |V (G)| = 3, maka χ(G) ≤ 3. Pada graf G memuat graf komplit
4
, maka χ( H ) ≥ 4. Akibatnya χ( H ) = 4.
Untuk graf J , karena |V ( J )| = 5, maka χ( J ) ≤ 5. Tetapi, J dapat diwarnai dengan 3 warna, maka χ( J ) ≤ 3. Karena graf J memuat graf komplit maka χ( J) ≥ 3. Akibatnya χ( J ) = 3.
22
,
Teorema 7
Jika G graf sederhana dengan derajat titik maksimum χ(G) ≤
∆
+ 1.
∆
, maka
Teorema 8 (Teorema Brooks).
Misalkan G graf sederhana, terhubung, dan derajat titik maksimum adalah
∆
. Jika G bukan graf komplit dan bukan graf sikel dengan banyak titik
ganjil, maka χ(G) ≤
∆
.
Pada pewarnaan titik, ada beberapa algoritma untuk melakukan pewarnaan dengan banyak warna yang minimum pada sebuah graf. Salah satu algoritma untuk pewarnaan titik tersebut adalah algoritma Welch Powell . Berikut langkah-langkah pewarnaan titik pada graf menggunakan algoritma Welch-Powell . 1)
dengan
Urutkan titik-titik dari graf dalam derajat yang menurun (urutan seperti ini mungkin tidak unik karena beberapa titik mungkin berderajat sama).
2)
Gunakan warna 1 untuk mewarnai titik pertama (yang mempunyai derajat tertinggi) dan titik-titik lain (dalam urutan yang berurut) yang tidak bertetangga dengan titik pertama ini.
3)
Mulai lagi dengan titik derajat tertinggi berikutnya di dalam daftar te rurut yang belum diwarnai dan ulangi proses pewarnaan.
4)
Ulangi penambahan warna-warna sampai semua titik telah diwarnai.
Contoh Diketahui graf khromatiknya.
dengan 7 titik sebagai berikut. Tentukan bilangan
a c
b d
f
23
e g
Penyelesaian:
Derajat titik di disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Derajat titik
Titik Derajat titik
5
4
4
Langkah-langkah pewarnaan graf
4
3
3
3
dengan menggunakan algoritma Welch-
Powell adalah sebagai berikut. 1)
Jumlah titik graf
adalah 7 buah dan urutan titik dari derajat yang
tertinggi hingga yang terendah seperti Tabel 1. 2)
Karena a berderajat tertinggi, sehingga titik a dapat diwarnai dengan warna pertama, yaitu warna 1, dan titik g yang tidak bertetangga dengan titik a dapat diwarnai dengan warna 1.
3)
Titik berderajat tertinggi berikutnya yang belum diwarnai yaitu titik d . Warnai titik d dengan warna kedua, yaitu warna 2. Titik yang belum diwarnai dan tidak bertetangga dengan titik d , yaitu titik b, sehingga titik b mendapatkan warna 2.
4)
Titik berderajat tertinggi berikutnya yang belum diwarnai yaitu titik e. Warnai titik e dengan warna ketiga, yaitu warna 3. Titik yang belum diwarnai dan tidak bertetangga dengan titik e, yaitu titik c dan f . Karena titik c dan f bertetangga maka kedua titik tersebut mendapat warna yang berbeda. Berdasarkan urutan derajat tertinggi setelah titik e yaitu titik f ,
sehingga titik f mendapat warna yang sama dengan titik yaitu warna 3. 5)
Titik terakhir yang belum diwarnai yaitu titik c, sehingga titik c mendapatkan warna keempat, yaitu warna 4. Jadi dengan menggunakan algoritma Welch-Powell ada 4 warna yang
diperlukan untuk mewarnai graf graf
4
, sehingga
diberikan pada gambar berikut.
24
. Hasil pewarnaan titik
a 1 c
b d
e 3
2
4 f 3
b.
2
1
g
Pewarnaan Sisi (E dge Colouri ng)
Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan sisi-k (k-edge colouring ) untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua sisi di G sehingga setiap pasang sisi yang mempunyai titik persekutuan diberi warna yang berbeda. Jika G mempunyai pewarnaan sisi-k , maka dikatakan sisi-sisi di G dapat diwarnai dengan k warna (k-edge colourable). Indeks khromatik (chromatic index) dari graf
G, dinotasikan χ’(G ), adalah bilangan k terkecil sehingga sisi-sisi di G dapat diwarnai dengan k warna. Biasanya warna-warna yang digunakan untuk mewarnai sisi-sisi suatu graf dinyatakan dengan 1, 2, 3, …, k.
∆
Jelas χ’(G) ≤ |V (G)|, dan jika derajat titik maksimum di G adalah χ’(G) ≥ .
∆
Contoh Tentukan indeks khromatik untuk graf G, H , dan J di bawah ini.
G
H
J
Penyelesaian: Perhatikan pewarnaan sisi untuk graf G, H , dan J berikut.
25
, maka
3 2 2
1
1
1
2
1 3
3
3
G
4
2 3 2
1
4 H
J
Untuk graf G, jelas bahwa χ’(G) = 3.
Untuk graf H , χ’( H ) ≥ 3 karena
∆ ∆
= 3 dan χ’( H ) ≤ 3 karena sisi-sisi
di H dapat diwarnai dengan 3 warna seperti pada gambar. Jadi χ’( H ) = 3.
Untuk graf J , χ’( J ) ≥ 4 karena
= 4 dan χ’( J ) ≤ 4 karena sisi-sisi di J
dapat diwarnai dengan 4 warna seperti pada gambar. Jadi χ’( J ) = 4.
Teorema 9 (Teorema Vizing)
Jika G adalah graf sederhana dengan derajat titik maksimum
∆
≤ χ’(G) ≤
∆
+ 1.
Teorema 10 (Perluasan Teorema Vizing)
Jika G adalah graf dengan derajat titik maksimum
∆
∆
, maka
, dan h adalah
banyak maksimum sisi-sisi yang menghubungkan sepasang titik, maka
∆
≤ χ’(G) ≤
∆
+ h
Teorema 11 (Teorema Konig)
∆
Jika G adalah graf bipartisi dengan derajat titik maksimum χ’(G) = .
Untuk graf sikel dan graf komplit berlaku: (i) graf sikel dengan n titik Cn
2, untuk n genap χ' (C n ) 3, untuk n ganjil
26
∆
, maka
(ii) graf komplit K n
n - 1, untuk n genap χ' (K n ) n, untuk n ganjil
Pewarnaan Peta ( Map Colouring)
c.
Sebelum membahas pewarnaan peta, terlebih dahulu akan dibahas pengertian graf dual. Pandang sebuah graf bidang G. Konstruksi suatu graf G* sedemikian hingga 1)
setiap titik G* berkorespondensi dengan sebuah “muka” dari G;
2)
jika sebuah sisi e membatasi muka f 1 dan f 2 di G maka titik-titik G* yang berkorespondensi dengan f 1 dan f 2 dihubungkan dengan sebuah sisi.
Graf G* yang dikonstruksi seperti di atas disebut graf dual dari G.
Antara “unsur -unsur” graf G dan G* terdapat korespondensi satu-satu sebagai berikut: 1) Sebuah “muka” G berkorespondensi dengan sebuah titik G*. Ini berakibat
F | (G)| =|V (G*)|.
2) Sebuah sisi G berkorespondensi dengan sebuah sisi G*. Jadi |E (G)| =| E (G*)|. 3) Sebuah muka berderajat k di G berkorespondensi dengan sebuah titik berderajat k di G* sehingga
d(f) d( v) f F(G)
vV(G*)
4) Sebuah sisi yang terkait dengan sebuah titik yang berderajat satu di G, berkorespondensi dengan sebuah loop di G*.
27
5) Sebuah titik berderajat dua di G, berkorespondensi dengan sepasang sisi rangkap di G*.
Contoh Diketahui graf G dengan titik-titiknya A, B, C, D, E, F, G, dan H serta mempunyai 5 muka, yaitu: muka a, muka b, muka c, muka d , dan muka e. Buatlah dual dari graf G tersebut.
Penyelesaian: Berikut proses pengkonstruksian graf dual dari graf G.
Graf G dan dualnya Untuk memperjelas graf dual
∗
yang dikonstruksi di atas, graf dual
atas digambar ulang seperti gambar di bawah ini.
28
∗
di
a
b d
e
c
Setelah pembahasan graf dual, pembahasan tentang pewarnaan peta dilanjutkan kembali sebagai berikut. Peta adalah graf bidang yang tidak memuat jembatan. Dalam pewarnaan peta, muncul pertanyaan: Paling sedikit berapa warna yang diperlukan untuk mewarnai sebarang peta sehingga daerah yang bertetangga diwarnai berbeda? Jika pada peta masing-masing daerah dipandang sebagai titik dan titik-titik yang mewakili dua daerah yang bertetangga dihubungkan oleh satu sisi, maka yang terjadi adalah graf dual dari peta tersebut. Pertanyaan di atas ekivalen dengan: Untuk peta, berapakah nilai k terkecil sehingga G dapat diwarnai dengan k warna? Contoh Buatlah pewarnaan pada peta di bawah ini dengan menggunakan banyak warna yang minimum.
A
C
B
D
E
G
F
Penyelesaian: Graf dual dari peta di atas adalah sebagai berikut.
29
A
D C
B E
G
F
Pada graf dual ini dilakukan pewarnaan titik. Dengan algoritma pewarnaan Welch-Powell diperoleh sebuah pewarnaan, yaitu: titik A dan E diwarnai dengan warna 1, titik B dan E diwarnai dengan warna 2, titik C dan F diwarnai dengan warna 3, dan titik G diwarnai dengan warna 4 seperti terlihat pada gambar di bawah ini. A
1
2 3 2
D
C
B
4
1 E
G F
3
Setelah pewarnaan titik pada graf dual selesai dilakukan, selanjutnya dikembalikan lagi ke permasalahan pewarnaan peta semula. Jadi untuk peta tadi dapat dilakukan pewarnaan sebagai berikut: daerah A dan E diwarnai dengan warna 1, daerah B dan E diwarnai dengan warna 2, daerah C dan F diwarnai dengan warna 3, dan daerah G diwarnai dengan warna 4.
d. 1)
Aplikasi Pewarnaan Graf Penempatan Bahan-bahan Kimia
Sebuah laboratorium kimia akan menyimpan beberapa jenis bahan kimia yang berbeda. Ada beberapa pasangan bahan kimia yang tidak dapat disimpan pada wadah yang sama, karena dapat meledak jika saling kontak satu sama lain. Untuk menghindari hal tersebut maka laboratorium tersebut memisahkan
bahan-bahan
kimia
menjadi
beberapa
bagian
untuk
ditempatkan di beberapa wadah. Permasalahannya adalah bera pa minimum
30
banyaknya wadah yang diperlukan untuk menyimpan bahan kimia agar tidak terjadi ledakan? Permasalahan ini dapat dimodelkan dalam graf. Dalam hal ini dibentuk sebuah graf dengan cara himpunan bahan kimia berkorespondensi satu-satu dengan himpunan titik pada graf. Dua titik pada graf dihubungkan dengan sebuah sisi (bertetangga) jika dan hanya jika dua bahan kimia yang berkorespondensi dengan dua titik tersebut dapat mengakibatkan ledakan. Dikaitkan dengan pewarnaan titik pada graf maka kedua titik yang bertetangga ini harus mendapat warna yang berbeda. Meminimumkan banyak wadah yang digunakan, berarti mencari bilangan khromatik dari graf.
2)
Penjadwalan Ujian
Jurusan Matematika pada suatu universitas akan membuat jadwal ujian dari mata kuliah, ketentuannya adalah jika ada seorang mahasiswa yang mengambil dua mata kuliah yang berbeda maka dua mata kuliah tersebut harus dijadwal pada
tahap yang berbeda, tujuannya agar
‘
’
mahasiswa tersebut dapat mengikuti ujian kedua mata kuliah tersebut. Permasalahannya adalah bagaimana membuat jadwal ujian agar banyaknya tahap yang digunakan minimum.
31
E.
Rangkuman
Hal-hal penting yang telah Anda pelajari dalam modul ini adalah sebagai berikut. 1. Graf adalah pasangan dua himpunan, yaitu himpunan titik dan himpunan sisi. Himpunan titiknya tidak kosong, sedangkan himpunan sisinya mungkin kosong. 2. Derajat titik adalah banyaknya sisi yang terkait dengan titik tersebut. Loop dihitung dua kali. 3. Graf dapat disajikan dalam matriks ketetanggaan dan matriks keterkaitan. 4. Beberapa jenis graf tertentu: graf bipartisi, graf lengkap, graf planar dan graf bidang, graf Euler dan semi-Euler, graf Hamilton dan semiHamilton, dan pohon. 5. Ada 3 pewarnaan dalam graf, yaitu pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan peta. Pada pewarnaan titik, bilangan terkecil k sedemikian hingga ada pewarnaan-k pada graf G disebut bilangan khromatik. Pada pewarnaan sisi, bilangan terkecil k sedemikian hingga ada pewarnaan sisi-k pada graf G disebut indeks khromatik. Mewarnai peta identik mewarnai titik graf dual dari peta tersebut.
32
F.
Tugas
Kerjakan dengan memberikan langkah-langkah yang tepat dan jelas. 1. Tentukan apakah barisan derajat berikut ini adalah graphik. Jika graphik, konstruksilah graf sederhana yang sesuai barisan derajatnya. a)
(3, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 0)
b)
(7, 4, 3, 3, 2,2, 2, 1, 1, 1, 0)
2. Carilah sebuah pohon rentang minimal pada graf bobot di bawah ini! a
b
2
3
e
3
1 4
c 2
3
f 2
4
3
3
i
j
d
5 3
g
4
1
h 3
1
k
l
3. Suatu Program Studi ingin membuat jadwal ujian dari 9 mata kuliah (A, B, C, D, E, F, G, H, dan I). Jika ada se orang mahasiswa menempuh ujian dua mata kuliah, maka harus dibuat jadwal ujian dengan tahapan ujian yang berbeda. Tanda “x” pada Tabel 1 menunjukkan pasangan mata kuliah yang memiliki paling sedikit satu mahasiswa yang sama. Berapa minimum tahapan ujian yang diperlukan dan dan buatlah jadwal ujiannya. Tabel 1. Mahasiswa yang mengambil mata kuliah yang sama
33
G.
Tes Formatif
Pilihlah jawaban yang tepat dari setiap soal berikut. 1. Banyaknya sisi pada graf komplit dengan n titik adalah…. a. 2n b. c.
d.
1
e.
!
! −!
21
2. Sebuah sikel pada sebuah graf adalah …. a. sebuah jalan pada graf b. sebuah jejak pada graf c. bukan sebuah lintasan pada graf d. sebuah sirkuit pada graf e. bukan a, b, c, dan d
3. Perhatikan gambar graf di bawah ini. Graf tersebut adalah….
a. graf bipartisi
d. graf lengkap
b.
e. graf sederhana
graf bipartisi lengkap
c. bukan graf bipartisi
4. Pernyataan yang tidak berlaku pada pohon adalah…. a. Semua sisi merupakan jembatan b. Untuk setiap dua titik berbeda di pohon terdapat tepat satu lintasan c. Pada lintasan terpanjang di graf pohon berlaku bahwa derajat titik awal dan derajat titik akhir dari lintasan tersebut tidak sama. d. Graf pohon merupakan graf terhubung dengan banyak sisi minimum
34
e. Jika sebuah sisi pada graf pohon dihapus, maka diperoleh graf tak terhubung yang memiliki tepat dua komponen dan masing-masing komponen tersebut merupakan pohon.
5. Pernyataan yang benar pada graf G dan H yang isomorfik adalah…. a. Banyaknya titik graf G dan H berbeda. b. Banyaknya sisi graf G dan H berbeda. c. Banyaknya titik, sisi graf, dan jumlah derajat semua titik G dan H sama. d. Jumlah derajat semua titik graf G dan H berbeda e. Banyaknya titik dan sisi graf G dan H sama, tetapi jumlah derajat semua titik G dan H belum tentu sama.
6. Barisan derajat berikut yang dapat digambar graf sederhananya adalah….
4, 4 , 4 , 2 , 1 , 0 4, 4 , 3 , 2 , 1 5, 4 , 3 , 2 , 2 5, 5 , 4 , 4 , 3 , 3 , 2 , 2 5,4,3,2,2 4,3,2,1 a.
d.
b.
e.
c.
7. Banyaknya sisi dari graf yang mempunyai barisan derajat adalah….
a.
10
d. 6
b.
5
e. 12
c. 8
8. Indeks khromatik graf lengkap a. 10 b.
5
c. 7
9 12
adalah …. d. e.
35
9. Pernyataan yang tidak benar untuk graf Euler adalah…. a. Semua titiknya berderajat genap. b. Graf tersebut memiliki sirkuit yang memuat semua sisinya c. Graf tersebut terhubung. d. Graf tersebut tidak memiliki jejak buka yang memuat sisi graf tersebut. e. Graf tersebut memiliki sikel yang memuat semua titiknya.
10. Manakah pernyatan berikut yang benar? a. Jika graf G memiliki pewarnaan-k, maka G pasti memiliki pewarnaan-(k-1). b. Jika H subgraf G, maka bilangan khromatik H kurang dari bilangan khromatik G. c. Bilangan khromatik graf bipatisi adalah 2. d. Jika graf G terdiri atas n titik, maka bilangan khromatik G kurang dari n. e. Jika graf G memuat graf lengkap bilangan G adalah n.
sebagai subgraf, maka
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap ma teri modul ini. Tingkat Penguasaan (TP) = Arti tingkat penguasaan:
90% ≤TP ≤100% 80% ≤TP <90% 70% ≤TP <80% TP <70%
yy w yy x 100% : sangat baik : baik : cukup : kurang
36
.
Apabila tingkat penguasaan Anda 80 % atau lebih, Anda dapat melanjutkan ke modul berikutnya. Bagus! Anda telah berhasil mempelajari modul ini. Apabila tingkat pengusaan Anda kurang dari 80%, Anda harus mempelajari kembali modul ini.
37
H.
Daftar Pustaka
Anderson, J.A. 2001. Discrete Mathematics with Combinatorics. New Jersey: Prentice Hall. Budayasa, I Ketut. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa University Press. Chartrand, G & Lesniak, L. 1996. Graphs & Digraphs. New York: Chapman & Hall/CRC. Clark, J & Holton, D.A. 1991. A First Look at Graph Theory. Singapore: Word Scientific Publishing Co. Munir, R. 2012. Matematika Diskrit . Bandung: Penerbit Informatika. Robin J. Wilson & John J. Watkins. 1990. Graphs: An Introductiory Approach. New York: John Wiley & Sons, Inc. Siang, Jok Jek. 2004. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer . Yogyakarta: Andi. Townsend, M. 1987. Discrete Mathematics: Applied Combinatorics and Graph Theory. California: The Benjamin/Cummings Publishing Co.
38
I.
Kunci Jawaban Tes Formatif
1. b 2. c 3. a 4. c 5. c 6. e 7. b 8. c 9. e 10. c
39
J.
Tes Sumatif
Pilihlah jawaban yang tepat dari setiap soal berikut.
1.
2.
Di antara kalimat berikut merupakan pernyataan, kecuali ........... a.
Dimana Ani membeli baju ?
b.
2 merupakan bilangan genap
c.
Terdapat bilangan genap yang merupakan bilangan prima
d.
Kubus memiliki 8 titik sudut
e.
Jakarta adalah ibukota dari Indonesia
Pernyataan yang bernilai salah di bawah ini adalah . . . . a.
d.
312 3≤107
e.
Hasil kuadrat bilangan real bukan bilangan real negatif
b. c.
3.
Kuadrat bilangan prima merupakan bilangan prima
Jumlah besar sudut suatu segitiga adalah
180°
Supaya kalimat terbuka 2x + 3y =1, bernilai benar, maka nilai (x,y)yang memenuhi adalah….
4.
a.
(1,-1)
b.
(5,-3)
c.
(2,1)
d.
(-1,-1)
e.
(5,0)
Ingkaran dari pernyataan ” Apabila guru tidak hadir maka semua siswa bersuka ria ” adalah... a.
Guru hadir dan semua siswa bersuka ria
b.
Guru hadir dan ada beberapa siswa tidak bersuka ria
c.
Guru tidak hadir dan semua siswa bersuka ria
d.
Guru tidak hadir dan ada siswa tidak bersuka ria
e.
Guru tidak hadir dan semua siswa tidak bersuka ria
40
5.
6.
Pada tabel di bawah ini, nilai kebenaran untuk kolom ~p ~ q adalah... p
q
B
B
B
S
S
B
S
S
a.
S B S S
b.
S S B B
c.
S S S B
d.
S B S B
e.
S B B B
Bentuk p ( p
~p ~ q
q ) senilai dengan
a. p b.
q
c. p ~ q d. p q e. p 7.
q
Pernyataan di bawah ini yang merupakan tautologi adalah . . . . a. b. c. d. e.
8.
⇒∧ ~∨ ∧ ∨ (∧⇒)⇒~ ⇒ ∧⇒ ∧~ ∧
Diketahui premis-premis
Premis 1: Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian. Premis 2: Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTN. Penarikan kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah . . . . a.
Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN
b.
Adi tidak rajin belajar dan Adi dapat diterima di PTN
41
9.
c.
Adi tidak rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN
d.
Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian
e.
Jika Adi tidak lulus ujian maka dapat diterima di PTN
Jika ibu tidak pergi maka adik senang. Jika adik tidak tersenyum maka dia tidak senang. Kesimpulan yang sah adalah...
10.
a.
Ibu pergi atau adik tersenyum.
b.
Ibu tidak pergi atau adik terenyum.
c.
Ibu pergi dan adik tidak tersenyum.
d.
Ibu pergi atau adik tidak tersenyum.
e.
Ibu tidak pergi dan adik tersenyum.
Perhatikan premis berikut: Premis 1: Jika Aldi giat belajar, maka ia bisa menjadi juara. Premis 2: Jika bisa menjadi juara, maka ia boleh ikut liburan. Kesimpulan yang sah dari premis tersebut adalah . . . .
11.
a.
Aldi giat belajar dan ia tidak boleh ikut liburan
b.
Aldi giat belajar atau ia tidak boleh ikut liburan
c.
Aldi giat belajar maka ia boleh ikut liburan
d.
Aldi giat belajar dan ia boleh ikut liburan
e.
Aldi ikut liburan maka ia giat belajar
Implikasi p q r pasti bernilai benar jika... a. p benar , q benar dan r salah b. p salah , q salah dan r salah c. p salah , q benar dan r salah d. p benar , q salah dan r salah e. p benar , q benar dan r salah
42
12.
Diketahui beberapa premis sebagai berikut:
~⇒ ⇒ ∴ . . ~ ~ ~⇒ ⇒ ∴ . ∧ . ∼∨ ∧∼ ∼∧ ∨ ) (
a.
b. c.
d. e. 13.
Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut:
a.
b. c.
d. e. 14.
Perhatikan premis-premis dan konklusi berikut.
Apabila pembuktian menggunakan Aturan Bukti Bersyarat, langkah pertama yang harus dikerjakan adalah dengan... a.
Membuat ingkaran dari konklusi mencari premis tambahan.
b.
Menggunakan hukum dan aturan argumen.
c.
Menarik anteseden pada konklusi menjadi premis tamabahan dan menjadikan konsekuen pada konklusi menjadi konklusi baru.
d.
Menghilangkan premis 2.
43
e.
Menambah premis dengan mengubah premis 2 menggunakan hukum dan aturan argumen.
15.
Perhatikan premis-premis dan konklusi berikut.
Apabila pembuktian menggunakan Reductio Ad Absordum langkah pertama yang harus dikerjakan adalah dengan... a.
Membuat ingkaran dari konklusi mencari premis tambahan.
b.
Menggunakan hukum dan aturan argumen.
c.
Menarik anteseden pada konklusi menjadi premis tamabahan dan menjadikan konsekuen pada konklusi menjadi konklusi baru.
d.
Menghilangkan premis 2.
e.
Menambah premis dengan mengubah premis 2 menggunakan hukum dan aturan argumen.
16.
Banyaknya sisi dari graf yang mempunyai barisan derajat adalah….
17.
a.
10
d. 6
b.
5
e. 12
c.
8
Jumlah pohon rentang dari graf di bawah ini adalah….
a. 5
d.
b. 8
4
e. 6
c. 10
44
4,3,2,1
18.
Derajat titik untuk setiap titik pada graf komplit dengan n titik adalah…. a. N
d.
b.
e.
c.
19.
1 21
1 !
Diketahui G adalah graf Hamilton. Pernyataan yang tidak berlaku pada graf G tersebut adalah …. a. Graf G memiliki subgraf terhubung. b. Graf G memiliki subgraf yang memuat semua titik. c. Graf G memiliki subgraf yang memiliki banyak titik dan sisi sama. d. Graf G memiliki subgraf yang setiap titiknya berderajat 2. e. Semua subgraf G merupakan graf tak terhubung.
20.
Pernyataan-pernyataan berikut terkait subgraf. Pernyataan berikut yang ti dak benar adalah …. a.
Sebuah sisi di G bersama-sama titik-titik ujung sisi tersebut merupakan subgraf G.
b.
Sebuah titik di G merupakan subgraf G.
c.
Jika H subgraf K dan K adalah subgraf G, maka H adalah subgraf G.
d.
Setiap subgraf adalah subgraf dari dirinya sendiri.
e.
Semua subgraf dari graf terhubung berupa graf terhubung.
45
21.
Bilangan khromatik dari graf di bawah ini adalah ….
a. 6
d.
b. 5
3
e. 4
c. 7 22.
23.
Perhatikan graf di bawah ini. Pernyataan manakah yang benar?
a.
Graf tersebut adalah graf planar
b.
Graf tersebut adalah graf bipartisi
c.
Graf tersebut adalah graf lengkap yang non planar
d.
Graf tersebut tidak memuat sirkuit Euler
e.
Graf tersebut memuat jejak Euler
Pernyataan yang benar untuk graf lengkap a. b.
adalah ….
memiliki sikel Hamilton dan sirkuit Euler. memiliki sikel Hamilton tetapi tidak memiliki sirkuit
Euler. c.
tidak memiliki sikel Hamilton tetapi memiliki sirkuit
Euler. d. e.
memiliki sikel Hamilton dan jejak Euler. tidak memiliki lintasan Hamilton tetapi memiliki jejak
Euler.
46
24.
Bobot pohon rentang minimal dari graf bobot di bawah ini adalah …. 4
c 2 10
4
a 3
b
25.
2 7
k 8
i
6
6
3 8
d 4
g
3
6
1
3
h
j 2 5
5
2
f
24
a.
22
d.
b.
25
e. 27
c.
23
Pada graf teratur berderajat r dengan n buah titik, jumlah sisinya adalah…. a. b. c.
26.
1
e
1!
Koefisien
d. e.
dalam bentuk binomial
1
adalah ....
a. 185 b. 170 c. 180 d. 810 e. 190
27.
Koefisien a. b. c. d. e.
22 22+− 2−
dalam fungsi pembangkit
47
28−
adalah ....
28.
Fungsi pembangkit dari barisan a. b. c. d. e.
29.
− − + + −
0,2,0,2,0,2,0,2,0,⋯
adalah......
Diketahui multiset
{0,0,0,1,1,1,1,001,001,001} {0,0,1,1,1,1,1,001,001} {0,{0,00,,01,,01,,11,,10,01,1,10,101},1,1,1,001,001,001,001} {0,{0,00,,01,,01,,01,,11,,10,01,1,10,101},1,1,1,1,001,001,001,001,001} {0,{0,00,,01,,01,,01,,10,01,1,10,101,,1,0101},1,001,001,001,001,001,001} {0,{0,00,1,0,1,1,1,1,1,1,0,101,,1,10,01}1,001,001,001,001,001,001} {0,{0,01,,01,,11,,11,,10,01,1,10,101},1,1,001,001,001,001,001,001} 4− 4− 0,≥2, 2, 0. {22} 12+{2} 21 {22} {22} 2 {22} dan
.
Jumlahan dan irisan dari multiset A dan B sebagai berikut: a.
dan
b.
dan
c.
dan
d.
dan
e.
30.
dan
Berikut ini solusi relasi rekursif
a.
b. c.
d. e.
48
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Sumatif yang terdapat di modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi modul ini. Tingkat Penguasaan (TP) = Arti tingkat penguasaan:
90% ≤TP ≤100% 80% ≤TP <90% 70% ≤TP <80% TP <70%
yy w yy x 100%
.
: sangat baik : baik : cukup : kurang
Apabila tingkat penguasaan Anda 80 % atau lebih, Anda dapat melanjutkan ke modul berikutnya. Bagus! Anda telah berhasil mempelajari modul ini. Apabila tingkat pengusaan Anda kurang dari 80%, Anda harus me mpelajari kembali modul ini.
49
