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Partes importanes del sistemaFull description
Descripción: Torre de enfriamiento
2014 MODELOS MATEMÁTICOS.
INTEGRANTES: IGNACIO VILCAPOMA JAVIER, VELASQUEZ LOPEZ JEREME Y LAVADO QUISPE ERIKA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA 31-8-2014
1 MODELAMIENTO MATEMÁTICO
MODELO MATEMÁTICO DE ENFRIAMIENTO Y CALENTAMIENTO DE NEWTON. Dos recipientes grandes A y B del mismo tamaño se llenan con diferentes líquidos. Los líquidos de los recipientes A y B se mantienen a una temperatura fija de 0ºC y 100ºC, respectivamente. Una barra metálica, cuya temperatura inicial es de 100ºC, se sumerge en el recipiente A. Después de un minuto la temperatura de la barra es de 90ºC. Transcurridos dos minutos se retira la barra aumenta 10ºC. ¿Cuánto tiempo, desde el inicio desde el proceso, tarda la barra en llegar a 99,9ºC?
Solución: Variables:
: Es el primer recipiente y lala temperatura del medio se mantiene a : Es el segundo recipiente y la temperatura del medio se mantiene a . Es la variable dependiente del tiempo expresado en min y además la
temperatura variable del cuerpo.
Es el tiempo expresado en min. En el primer proceso: Es un problema de valor inicial (PVI), se tiene:
Resolviendo la ecuación diferencial por el método de separación de variables.
2 MODELAMIENTO MATEMÁTICO
Evaluando en la condición inicial en min la es de y hallemos la constante de integración C.
Con el dato de igual a , hallamos el parámetro . Entonces la temperatura del cuerpo en función del tiempo está dado mediante:
Luego de 2 minutos la temperatura del cuerpo es:
Esta es la temperatura inicial para el recipiente B. En el segundo proceso:
Resolviendo la ecuación diferencial por el método de separación de variables.
Se calcula la constante de integración con la condición inicial.
Se procederá a calcular el parámetro
Entonces la temperatura del cuerpo en función del tiempo para el recipiente B es:
¿Después de que tiempo la temperatura del cuerpo será 99,9°C?
4 MODELAMIENTO MATEMÁTICO
Por lo tanto el tiempo empleado desde el proceso1 hasta el proceso2 (AB) para que el cuerpo llegue a tener una temperatura de 99,9ºC es de 9,022 minutos.
Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue de 20ºC, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente. ¿Cuánto tarda la barra en alcanzar 90ºC, si se sabe que su temperatura aumenta 2º en un segundo? ¿Cuánto le toma a la barra llegar a 98ºC?
Solución: Variables:
: Es una variable dependiente del tiempo
y es la temperatura del cuerpo expresado
en ºC.
: Es el tiempo expresado en segundos. : Es la temperatura del medio (agua hirviente) que es un valor constante.
Al ser un problema de valor inicial (PVI), se tiene:
Calculo de la constante de integración C.
La ecuación de la temperatura en función del tiempo está dado por:
Cuando la barra tenga una temperatura de .
. Rpta: Habrá transcurrido 35 segundos. Cuando la barra tenga una temperatura de 98°C.
6 MODELAMIENTO MATEMÁTICO
Rpta: Habrá transcurrido 39 segundos.
MODELAMIENTO EXPONENCIAL. Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3% .S i la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo , determine la cantidad restante después de 24 horas.
Solución: Variables:
Cantidad de la sustancia radiactiva en el instante medido en miligramos. : Tiempo medido en horas. . . Resolvemos la ecuación diferencial mediante separación de variables.
Con el dato del problema de valor inicial (PVI) hallemos, la constante y el parámetro.
7 MODELAMIENTO MATEMÁTICO
La cantidad de la sustancia radiactiva en función del tiempo está dado por:
⌈⌉ ⌈ ¿Determine la cantidad de la sustancia después de 24 horas?
⌈⌉ ⌈
. Respuesta: La cantidad restante después de 24 horas es 88,529 mgr de la sustancia radiactiva. Cuando un haz vertical de luz pasa por un medio transparente, la rapidez a la que decrece su intensidad es proporcional a donde t representa el espesor del medio en pies. E n agua de mar clara, la intensidad tres pies por debajo de la superficie es 25% de la intensidad inicial del haz incidente. ¿Cuál es la intensidad de luz 15 pies debajo de la superficie?
Solución: Variables:
: Intensidad de luz después de pasar por un medio transparente. : Espesor del medio en pies.
8 MODELAMIENTO MATEMÁTICO
: Intensidad inicial del haz incidente. Resolvemos la ecuación diferencial mediante separación de variables.
Usando la condición inicial inicial hallemos la constante de integración y el parámetro.
La intensidad del haz de luz en función del espesor del medio transparente está dado por:
⌋ ⌊ ⌊ ¿Intensidad del haz de luz 15 pies debajo de la superficie?
⌋ ⌊ ⌊
Respuesta: La intensidad de luz 15 pies debajo de la superficie es .
