Benemérita Universidad Autonoma de Puebla. Facultad de ingeniería química. Ingeniería en materiales. María del Rosario Méndez Martínez.
Modelo de Drude Introducción.
Thomson descubrió el electrón en 1897 • Tres años más tarde Drude propuso su modelo teórico para la conducion térmica y eléctrica en metales. • Un metal se aproxima por un gas de electrones encerrados en el interior del volumen macroscópico del metal. • Debe existir otro tipo de partículas cargadas positivamente y que Drude supuso inmóviles. • Se puede aplicar a este "gas" la teoría de los gases. Entre dos choques consecutivos los electrones se mueven sin influencia de los otros electrones y las partículas positivas inmóviles. La aproximación de suponer que los electrones se mueven sin influencias de los otros electrones se conoce como la aproximaci´on de electrones independientes, la suposición de la no influencia de los "iones" se conoce como la aproximación de electrones libres • Las colisiones, en el modelo de Drude, son eventos instantáneos que alteran la velocidad del electrón de forma abrupta. La probabilidad de que un electrón sufra una colisión por unidad de tiempo es 1 /τ donde τ se conoce como tiempo de relajación, tiempo de colisión o tiempo libre medio. • En el modelo de Drude el tiempo de colisión se supone independiente de la la velocidad o posición del electrón. • Durante el tiempo τ los electrones recorren una distancia l = vo τ , llamada recorrido libre medio. vo es la velocidad electrónica promedio. • Los electrones adquieren el equilibrio térmico solamente por medio de colisiones.
DEFINICIÓN. El modelo consiste en considerar a un conjunto de portadores de carga (electrones, de carga q = -e y masa m ), con densidad n por unidad de volúmen. Por ejemplo, en un conductor metálico, existe un conjunto de iones, que se encuentran dispuestos formando un enrejado periódico, y tienen una movilidad mucho menor que los electrones. En presencia de un campo eléctrico, sólo los electrones se pueden mover, y lo hacen de acuerdo a las leyes de Newton, es decir, si es la velocidad de un electrón, entonces
Por lo tanto, la velocidad de los electrones es de la forma
Al modelo no le interesa el comportamiento de los electrones individuales, sino sólo el promedio sobre un número muy grande de electrones, por este motivo, la cantidad de interés es el promedio de la velocidad. Se hace entonces las siguientes hipótesis sobre el movimiento del conjunto de electrones:
Los electrones se mueven libremente entre colisiones, las que son principalmente con los iones. Luego de cada colisón, los electrones ceden toda su energía a los iones. El tiempo promedio entre colisiones es La velocidad media de un conjunto de electrones es aleatoria.
De esta manera, la velocidad media de los electrones es
en que el promedo
, por la hipótesis de movimiento aleatorio de los
electrones, y eléctrica,
. De esta manera, se puede determinar la corriente ,
Vemos entonces que el modelo de Drude proporciona una manera sencilla de entender la ley de Ohm. Al mismo tiempo, permite entender el mecanismo de intercambio de energía que explica la ley de Joule. De acuerdo al modelo de Drude, la conductividad eléctrica es
Corresponde a una interpretación clásica del fenómeno de conducción de carga en un sólido.
Hipótesis básicas. • Los electrones se pueden mover casi libremente entre los
átomos de la red. No
sienten el campo generado por los iones. • la interacción e -e es despreciable (gas ideal de electrones).
• Los electrones colisionan con los iones y defectos de la red • La población de electrones está descrita por la estadística de
Boltzmann.
Maxwell-
• Los electrones están confinados en el metal.
Velocidad de los electrones en el contexto de Drude La velocidad de los electrones está determinada por la teoría de gases ideales, entonces su valor medio está determinado por la equipartición de la energía. 1 3 2mv= 2 kbT
Movimiento en ausencia de campo eléctrico
El movimiento es al azar lo que determina que no hay un desplazamiento efectivo en alguna dirección. La velocidad media de los electrones es nula, = 0.
Movimiento en presencia de campo eléctrico.
En este caso hay un desplazamiento efectivo en la dirección opuesta al campo eléctrico, experimentado por cada electrón. La velocidad media de los electrones en este caso es la velocidad de arrastre generando un trasporte efectivo de carga El efecto global por las colisiones con la red es similar al roce viscoso
La ley de Ohm (un éxito del modelo de Drude)
Una consecuencia inmediata es que la velocidad de arrastre es proporcional con el campo eléctrico
Conductividad eléctrica de un metal
El modelo de Drude permite explicar la ley de Ohm y se puede estimar, dentro del modelo, la resistividad de un conductor, 1/ ρ= σ =ne2τ / m siendo n la densidad de electrones. A partir de esta relación se puede obtener el tiempo de relajación τ , puesto que la resistividad es una magnitud medible experimentalmente. A temperatura ambiente resulta ser del orden de 10−15 − 10−14 s.
CONCLUSIÓN.
El modelo de Drude es la aproximación clásica para describir el gas de electrones libres. A pesar de su sencillez, da predicciones cualitativamente correctas de muchas de sus propiedades tales como la conductividad óptica. Por otro lado, propiedades de transporte como el poder termoeléctrico es dos órdenes de magnitud más grande que el observado y el signo del coeficiente Hall es siempre negativo a diferencia de lo que se observa en algunos metales. Predice, incorrectamente, caminos libres medios comparables al parámetro de la red del cristal (consistente con la idea de Drude de que los iones son los responsables de las colisiones de los electrones). A pesar de sus deficiencias y debido a su simplicidad sigue siendo el modelo de referencia para analizar las propiedades de materiales con propiedades no-convencionales.
