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El modelo de Drude para metales
INTRODUCCIÓN
En este trabajo se desarrollarán diversos temas relacionados con los electrones.
DESARROLLO DE CONTENIDOS
El modelo de Drude para metales
El modelo de Drude o de Lorentz-Drude para conducción eléctrica fue desarrollado hacia el 1900 por Paul Drude para explicar las propiedades de transporte de electrones en materiales (especialmente en metales).
Paul Karl Ludwig Drude (* 12 de julio de 1863 en Braunschweig, Alemania; 5 de julio de 1906 en Berlín, Alemania) fue un físico alemán especializado en óptica. Es el autor de un libro de texto fudamental donde integra la óptica con las teorías de Maxwell sobre electromagnetismo. Fue el hermano menor del botánico Carl Georg Oscar Drude.
Drude se graduó el año en que Heinrich Hertz inició las publicaciones de sus descubrimientos de sus experimentos de las teorías electromagnéticas de James Clerk Maxwell. Entonces inició su carrera en el tiempo que las teorías de Maxwell fueron introducidas en Alemania. Sus primeros experimentos fueron las determinaciones de las constantes ópticas de varios sólidos medidas con niveles de exactitud sin precedencia.
Drude trabajó después para derivar las relaciones entre la óptica y las constantes eléctricas y la estructura física de las substancias. En 1894 introdujo el símbolo "c" para la velocidad de la luz en un vacío perfecto.
Según este modelo, un material conductor está formado microscópicamente, por una red cristalina en la que existen tanto electrones ligados como electrones libres de moverse por la red.
Supone que el material contiene iones positivos inmóviles y que un "gas de electrones" clásicos, que no interactúan entre sí de densidad n, donde el movimiento de cada uno se encuentra amortiguado por una fuerza de fricción producto de las colisiones de los electrones con los iones, caracterizada por un tiempo de relajamiento τ.
Los electrones ligados están sometidos a una fuerza elástica que los hace oscilar alrededor de los iones de carga positiva, mientras que los electrones libres son los responsables de la conductividad.
Las colisiones, en el modelo de Drude, son eventos instantáneos que alteran la velocidad del electrón de forma abrupta. La probabilidad de que un electrón sufra una colisión por unidad de tiempo es 1/τ donde τ se conoce como tiempo de relajación, tiempo de colisión o tiempo libre medio.
En el modelo de Drude el tiempo de colisión se supone independiente de la velocidad o posición del electrón. Durante el tiempo τ los electrones recorren una distancia l = voτ,
llamada recorrido libre medio. vo es la velocidad electrónica promedio.
Los electrones adquieren el equilibrio térmico solamente por medio de colisiones.
El mayor éxito del modelo de Drude fue la explicación de la ley empírica de Wiedemann y Franz (1853), que establece que la razón entre la conductividad térmica y eléctrica de un metal es directamente proporcional a la temperatura con una constante de proporcionalidad universal.
A partir del modelo de Drude se obtiene:
13v0CvT
siendo cv el calor específico electrónico.
Tab1. Conductividad de los Materiales
La corriente que fluye por un alambre metálico es, de acuerdo con la ley de Ohm: I=V/R, donde R es independiente de V y de I. La manera de independizarlo de la geometría es con r. E= r j La relación entre R y r es R= r L/A.
Si n electrones se mueven con velocidad v darán lugar a una corriente en la dirección de la velocidad.
A partir de esta ecuación es posible estimar el tiempo de relajación t= m/rne2
Tab2. Resistividad Eléctrica
En tiempos de Drude es totalmente natural estimar la velocidad a partir del principio clásico de equipartición de la energía, lo que nos lleva a una velocidad v o de 10 7 cm/sg y a un camino
Explicación: Según este modelo, un material conductor está formado microscópicamente, por una red cristalina en la que existen tanto electrones ligados como electrones libres de moverse por la red.
libre medio de 1-10 Å (del orden de la distancia interatómica).
Sin embargo, medidas experimentales realizadas sobre materiales cuidadosamente preparados se pueden conseguir caminos libres medios del orden de centímetros, lo que significa que los electrones no "rebotan" en los iones como supone Drude.
Aspectos Básicos de la Teoría del Modelo de Drude
Se trata de partículas (electrones) que se mueven sobre un background de iones.
Calculo de la densidad de electrones n=N/V:
A: Masa atómica del elemento (gr/átomo)
rem: Densidad en gr/cm3.
N= 0.6022x1024 Zpm/A
Otro parámetro interesante es rs, radio de la esfera cuyo volumen es igual al volumen por electrón de conducción.
VN=1Π=4πr33
rs puede expresarse en términos del radio de Bohr.
Detalles del modelo
A pesar de la elevada densidad del gas de los electrones, el modelo los trata con la teoría de un gas diluido, con algunas modificaciones:
Se desprecian las interacciones del electrón con los otros electrones y con los iones entre dos colisiones sucesivas.
Implica que en ausencia de un campo externo entre colisiones se mueve en línea recta.
Con un campo externo el electrón se moverá de acuerdo con la ley de Newton. Siempre ignorando la presencia de los otros electrones. Se conoce como Aproximación de electrones independientes.
Se define una colisión como un evento instantáneo que altera la velocidad del electrón.
Drude propone que estas colisiones ocurren con los iones y no con los otros electrones
Se supone que el electrón tiene una colisión con una probabilidad por unidad de tiempo 1/t.
Con esto la probabilidad que en un diferencial de tiempo dt el electrón sufra una colisión es dt/t.
Nombres para t: Tiempo de relajación, Tiempo de colisión o entre colisión, o Tiempo medio libre.
Problemas del modelo
Este modelo ofrece una buena explicación para la conductividad de CC y CA en metales, el efecto Hall, y la conductividad térmica (debida a electrones) en metales, pero falla al no proveer una explicación para la disparidad entre las capacidades caloríficas de los metales en comparación con la de los materiales aislantes.
En un aislador eléctrico, se esperaría que la capacidad calórica sea cero dado que no existen electrones libres.
En la realidad, los metales y los aisladores eléctricos poseen aproximadamente la misma capacidad calorífica a temperatura ambiente.
El modelo de Drude también falla en explicar la existencia de portadores de carga aparentemente positivos como demuestra el efecto Hall.
Supone que el material contiene iones positivos inmóviles y que un "gas de electrones" clásicos, que no interactúan entre sí de densidad n, donde el movimiento de cada uno se encuentra amortiguado por una fuerza de fricción producto de las colisiones de los electrones con los iones, caracterizada por un tiempo de relajamiento τ.
Los electrones ligados están sometidos a una fuerza elástica que los hace oscilar alrededor de los iones de carga positiva, mientras que los electrones libres son los responsables de la conductividad
Distribución de Maxwell-Boltzmann
James Clerk Maxwell FRS FRSE (13 de junio de 1831 - 5 de noviembre de 1879) fue un científico escocés especializado en el campo de la física matemática. Su mayor logro fue la formulación de la teoría clásica de la radiación electromagnética, que unificó por primera vez la electricidad, el magnetismo y la luz como manifestaciones distintas de un mismo fenómeno.
Maxwell ayudó en el desarrollo de la distribución Maxwell-Boltzmann, un medio para describir de forma estadística ciertos aspectos de la teoría cinética de los gases. También es conocido por haber presentado, en 1861, la primera fotografía en color duradera, y por su trabajo en el análisis de la rigidez de las celosías que hoy en día están presentes en muchos puentes.
Ludwig Eduard Boltzmann (Viena, Imperio austríaco; 20 de febrero de 1844 – Duino, Italia; 5 de septiembre de 1906) fue un físico austriaco pionero de la mecánica estadística, autor de la llamada constante de Boltzmann, concepto fundamental de la termodinámica, y de la expresión matemática de la entropía desde el punto de vista de la probabilidad (la relación entre estados macroscópicos y microscópicos).
Boltzman defendió la hipótesis de la existencia real del átomo, propuesta que — aunque era compartida por el investigador escocés James Clerk Maxwell, por el estadounidense Josiah Willard Gibbs y por la mayoría de los químicos — no llegó a ser demostrada y aceptada por toda la comunidad científica.
Entre sus opositores se encontró Ernst Mach.1
Se quitó la vida en 1906, por ahorcamiento, durante unas vacaciones en Duino, cerca de Trieste. El motivo del suicidio no está muy claro, pero sus biógrafos han planteado una posible relación con su resentimiento por el rechazo de esta idea por la comunidad científica.
Desde luego, la dura oposición a su trabajo y al planteamiento atómico, con Wilhelm Ostwald como cabeza más visible, pudo haberle causado trastornos emocionales profundos que acaso con otros factores le llevasen a su autodestrucción.
Dos años después de su suicidio, diversos descubrimientos abrieron el camino para la aceptación de su teoría.
Los trabajos de Jean Perrin sobre las suspensiones coloidales (1908-1909) confirmaron los valores del número de Avogadro y la constante de Boltzmann, convenciendo a la comunidad científica de la existencia de los átomos.2 3
En la tumba de Boltzmann, en el Zentralfriedhof, el cementerio central de Viena se encuentra grabada la ecuación que describe la entropía, que para él se incrementa casi siempre:
La distribución de Boltzmann o distribución de Maxwell-Boltzmann, formulada originalmente por los físicos J.C. Maxwell y L. Boltzmann, es una distribución de probabilidad de las velocidades de un gas asociada a la estadística de Maxwell-Boltzmann para dicho sistema.
Este tipo de distribución se aplica teniendo en cuenta los siguientes aspectos:
Las partículas del sistema son distinguibles.
Se hace caso omiso del principio de exclusión de Pauli.
Se conserva el número de partículas del sistema.
La energía del sistema se conserva y puede distribuirse en n niveles.
La distribución de Maxwell-Boltzmann se representa a menudo con la siguiente gráfica.
Fig1.Distribución de Maxwell-Boltzman
Matemáticamente la distribución de Maxwell-Boltzmann es la distribución de una variable aleatoria escalar
x=x12+x22+X32
combinación de otras tres variables aleatoria cada una de las cuales se distribuye según una distribución normal
Físicamente el módulo de la velocidad de una molécula y es igual a la raíz de la suma cuadrados de las velocidades coordenadas de la partícula
v=Vx2+Vy2+Vz2
y como cada una de ellas siguen distribuciones gaussianas entonces v debe seguir una distribución de Maxwell-Boltzmann explícitamente:
Donde m es la masa de la partícula y kT viene dada por el producto de la constante de Boltzmann y la temperatura absoluta.
Puedes pensar que la velocidad que se localiza directamente bajo el pico de la gráfica de Maxwell-Boltzmann es la velocidad promedio de una molécula en el gas, pero esto no es verdad.
La velocidad situada directamente bajo el pico es la velocidad más probable Vp, ya que la probabilidad de que una molécula en el gas tenga esa velocidad es máxima.
Fig2.velocidad suministrada
La velocidad promedio Vprom de una molécula en el gas se localiza un poco a la derecha del pico.
La razón de que la velocidad promedio se encuentre allí es la larga "cola" en ese lado de la gráfica de la distribución de Maxwell-Boltzmann. Esta larga cola jala la velocidad promedio un poco a la derecha del pico de la gráfica.
Otra cantidad útil es conocida como la velocidad cuadrática media o media cuadrática de la velocidad Vrms.
Esta cantidad es interesante su definición está escondida en el nombre. La media cuadrática es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las velocidades.
En este contexto, media es otra palabra para decir promedio. Matemáticamente, podemos escribir la velocidad cuadrática media como:
Pudiera parecer que esta técnica para encontrar un valor promedio es innecesariamente complicada, pues hemos elevado al cuadrado todas las velocidades solo para después sacar la raíz cuadrada.
Te puedes estar preguntando "¿Por qué no simplemente tomamos el promedio de las velocidades?". Pero recuerda que la velocidad es un vector y tiene dirección.
La velocidad promedio de una molécula en un gas es cero, pues hay casi las mismas moléculas yendo hacia la derecha (velocidad positiva) como hacia la izquierda (velocidad negativa).
La razón por la cual primero elevamos al cuadrado las velocidades es para obtener solo cantidades positivas y así asegurarnos de que la media (es decir, el valor promedio) sea distinta de cero.
Los físicos a menudo usan este truco para promediar cantidades que pueden ser tanto positivas como negativas (por ejemplo, el voltaje y la corriente en un circuito de corriente alterna).
Debemos observar que las tres cantidades (Vp, Vprom, Vrms) son bastante grandes, aún para un gas a temperatura ambiente.
Por ejemplo, un gas de neón a temperatura ambiente (293K), tiene velocidad más probable, velocidad promedio y velocidad cuadrática media de alrededor de:
El eje vertical de la gráfica de distribución de Maxwell-Boltzmann nos da el número de moléculas por unidad de velocidad.
Fig3.Distribución de Maxwell-Boltzman numero de moléculas.
Si calentamos el gas a una mayor temperatura, el pico de la gráfica se moverá hacia la derecha (dado que la velocidad molecular promedio aumentará).
Conforme la gráfica se mueva hacia la derecha su altura disminuirá, de manera que el área total bajo la curva se mantenga igual.
Similarmente, conforme se enfríe un gas y su temperatura baje, el pico de la gráfica se moverá hacia la izquierda y su altura aumentará, de manera que se preserve el área debajo de esta.
En las curvas mostradas abajo, que representan un gas (con una cantidad constante de moléculas) a diferentes temperaturas, podemos observar este fenómeno.
Fig4.Representacion de un gas.
Conforme el gas se enfríe, la gráfica se volverá más alta y angosta. De manera similar, conforme se caliente, la gráfica se volverá más pequeña y ancha.
Esto es una condición necesaria para que el área bajo la curva (es decir, el número total de moléculas) se mantenga constante.
Si se agregan moléculas a la muestra de gas, el área total bajo la curva aumentará.
Análogamente, si hay moléculas abandonando la muestra, el área total bajo la curva disminuirá.
Drude utilizó la estadística de Maxwell-Boltzmann (la única conocida en la época) para determinar las propiedades eléctricas y térmicas del gas de electrones.
Esta estadística predice una contribución de 3/2 kB por electrón al calor especifico que está en total desacuerdo con los resultados experimentales (100 veces menos).
Este hecho fue inexplicable durante un cuarto de siglo, hasta que Pauli propuso el principio de exclusión para electrones en átomos.
Sommerfeld intuyó que este principio debería aplicarse a los electrones del gas, es decir, que la estadística que debía usarse era la de Fermi-Dirac
La Distribución de Fermi-Dirac
Fermi y Dirac derivaron la estadística objeto de nuestro estudio, la Estadística de Fermi-Dirac. Lleva el nombre de ambos debido a que fue descubierta por cada uno de ellos de forma independiente. Según Dirac, fue estudiada por primera vez por Fermi (de ahí que sea definida en numerosas publicaciones como Estadística de Fermi, solamente), y a las partículas correspondientes se las denominó fermiones, definiéndose como uno de los dos tipos básicos de partículas que existen en la naturaleza (el otro tipo son los bosones). Los fermiones se caracterizan por tener spin semi entero (1/2,3/2...).
La Estadística de Fermi-Dirac. Lleva el nombre de ambos debido a que fue descubierta por cada uno de ellos de forma independiente.
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Enrico Fermi (Roma, 29 de septiembre de 1901 – Chicago, 28 de noviembre de 1954) fue un físico italiano conocido por el desarrollo del primer reactor nuclear y sus contribuciones al desarrollo de la teoría cuántica, la física nuclear y de partículas, y la mecánica estadística.
En 1926, Fermi descubrió las leyes estadísticas, conocidas hoy en día como la "estadística de Fermi", por la cual las partículas son gobernadas conforme al principio de exclusión de Pauli. Tales partículas se llaman ahora fermiones en su honor.
Sus grandes contribuciones científicas fueron: Estadística de Fermi-Dirac.
Teoría de la desintegración β.
Producción de nuevos elementos radiactivos usando fuentes de neutrones.
Primera reacción nuclear controlada.
Construcción de la primera bomba atómica.
Se lo reconoce como un físico con grandes capacidades tanto en el plano teórico como experimental, se dice de él que es el último físico completo. El elemento Fermio, que fuera producido en forma sintética en 1952, fue nombrado en su honor.
La Energía de Fermi es la energía del nivel más alto ocupado por un sistema cuántico a temperatura cero. Se denota por EF. La energía de Fermi es importante a la hora de entender el comportamiento de partículas fermionicas, como por ejemplo los electrones.
Los fermiones son partículas de spin semientero que verifican el Principio de exclusión de Pauli que dicta que dos fermiones no pueden ocupar simultáneamente el mismo estado cuántico. De esta manera, cuando un sistema posee varios electrones, estos ocuparan niveles de energía mayores a medida que los niveles inferiores se van llenando.
La energía de Fermi es un concepto que tiene muchas aplicaciones en el comportamiento de los semiconductores y en la física del estado sólido en general.
Paul Adrien Maurice Dirac, (Bristol, 8 de agosto de 1902 Florida, 20 de octubre de 1984) fue un físico teórico británico que contribuyó de forma fundamental al desarrollo de la mecánica cuántica y la electrodinámica cuántica.
Dirac es ampliamente considerado como uno de los físicos más importantes de todos los tiempos. Fue uno de los fundadores de la mecánica cuántica y la electrodinámica cuántica, siendo considerado por algunos físicos como el físico más relevante del siglo XX.
Génesis histórica de la Estadística de Fermi- Dirac Sus primeras aportaciones incluyen el cálculo moderno de operadores para la mecánica cuántica, que él llamó Teoría de Transformaciones, así como una versión temprana de la formulación de integrales de camino. Su ecuación de ondas relativista para el electrón fue el primer planteamiento exitoso de una mecánica cuántica relativista.
Dirac fundó la teoría cuántica de campos con su interpretación de la ecuación de Dirac como una ecuación de muchos cuerpos, con la cual predijo la existencia de la antimateria, así como los procesos de aniquilación de materia y antimateria.
Entre 1923 y 1925 se hace patente el interés de Fermi por problemas en Mecánica Estadística Cuántica, con numerosas publicaciones:
"Sobre la teoría de Stern de la constante absoluta de la entropía en un gas perfecto monoatómico" (1923).
"La probabilidad del estado cuántico" (1923).
"Consideración de la cuantización del sistema que contenga elementos idénticos" (1924).
"Equilibrio térmico de ionización" (1924).
"Sobre la teoría del cuerpo sólido" (1925).
Con estas publicaciones, Fermi:
Utiliza un potencial armónico (en vez de un pozo cuadrado infinito) para confinar el gas.
Asume que solo puede haber un "átomo" en cada nivel cuántico.
Calcula correctamente los niveles de energía del oscilador armónico (mecánica cuántica antigua).
A altas temperaturas recupera la formulación clásica.
S (T = 0) = 0.
Fermi asume que todos los átomos obedecen el principio de exclusión de Pauli: ahora se sabe que no es cierto.
Con todos los estudios y publicaciones realizados, tanto Fermi como Dirac llegaron a establecer, de forma independiente, la estadística de Fermi-Dirac, que es la forma de contar estados de ocupación de forma estadística en un sistema de partículas (fermiones).
Define la estadística de un sistema de partículas idénticas con la restricción de que dos de ellas no pueden ocupar el mismo estado cuántico, cumpliendo fielmente el Principio de Exclusión de Pauli.
A todas las partículas a las que puede aplicarse la Estadística de Fermi-Dirac se le conoce con el nombre de fermiones (definidos como uno de los dos tipos básicos de partículas que existen en la naturaleza, que se caracterizan por tener spin semi enteros (1/2, 3/2,..)), en oposición a los bosones (el segundo tipo básico de partículas en la naturaleza), que son aquellas partículas que transmiten las cuatro interacciones fundamentales y no están sujetas al Principio de Exclusión de Pauli.
La energía de un sistema mecano cuántico está discretizada. Esto quiere decir que las partículas no pueden tener cualquier energía, sino que ha de ser elegida de entre un conjunto de valores discreto.
Para muchas aplicaciones de la física es importante saber cuántas partículas están a un nivel dado de energía.
La distribución de Fermi-Dirac nos dice cuánto vale esta cantidad en función de la temperatura y el potencial químico.
En la estadística cuántica se describen sistemas compuestos de un gran número de partículas que se rigen por las leyes de la mecánica cuántica. Cada sistema tendrá un gran número de estados discretos, cada uno descrito por un conjunto completo de números cuánticos, con cada partícula ocupando uno de estos estados en el sistema.
La constante de Boltzmann (k o kB) es la constante física que relaciona temperatura absoluta y energía., Su experimento determino que el valor es (en SI):
k 1.3806504x10-23 J/k
Enrico Fermi y Paul Dirac, llegaron a la estadística de Fermi-Dirac. Esta estadística permite predecir el comportamiento de sistemas formados por un gran número de electrones, especialmente en cuerpos sólidos. La estadística de Fermi-Dirac es la forma de contar estados de ocupación deforma estadística en un sistema de fermiones.
Formulación matemática.
La Energía de Fermi es la energía del nivel más alto ocupado por un sistema cuántico a temperatura cero. Se denota por EF.
La energía de Fermi es importante a la hora de entender el comportamiento de partículas fermionicas, como por ejemplo los electrones.
La distribución de Fermi-Dirac se aplica a los fermiones, partículas con espín semi entero, que obedece el principio de exclusión de Pauli. Cada tipo de función de distribución tiene un término de normalización multiplicando el denominador del exponente, que puede ser dependiente de la temperatura. Para el caso de Fermi-Dirac, ese término se suele escribir.
e-EfkT Ef=energía de Fermi
La importancia de la energía de Fermi se ve más claramente estableciendo T=0. En el cero absoluto, la probabilidad es =1 para energías menores que la energía de Fermi y cero para energías mayores que la energía de Fermi.
Se puede imaginar todos los niveles hasta la energía de Fermi llenos, pero ninguna partícula tiene una energía mayor.
Esto es totalmente coherente con el principio de exclusión de Pauli, donde cada estado cuántico no puede tener más que una sola partícula.
fE=1e(E-Ef)/kT+1
Energía de fermi.
Ef: la del nivel más alto que se alcanza de este modo suponiendo que el gas es ideal.
Todos los niveles por debajo de éste constituyen el mar de Fermi.
En esta situación, el número medio de ocupación de los niveles es:
Para:
β T 0 K
Puesto que para β :
1eβEp-μ+1=1 si EpEf y β
De modo que:
Ep-μ es <0 si Ep0 si Ep>Ef
Se sigue que la función μT, es decir, la densidad de energía libre de Gibbs o potencial químico tiene la propiedad:
μT=0 K=Ef
Función de distribución Fermi-Dirac.
fE=1e(E-Ef)/kT+1
Si T es pequeña, pero finita, algunos fermiones pueden absorber excitaciones térmicas para 'abandonar el mar de Fermi', es decir, tener energías por encima de Ef.
Fig5.Distribución de Fermi-Dirac que expresa la probabilidad de encontrar un electrón en un cierto nivel de energía.
Interpretación física
Para bajas temperaturas, la distribución de fermi es una función escalón que vale 1 si ε < μ y 0 si ε > μ. Esto quiere decir que las partículas van colocando desde el nivel más bajo de energía hacia arriba debido al Principio de exclusión de Pauli hasta que se hayan puesto todas las partículas.
La energía del último nivel ocupado se denomina energía de Fermi y la temperatura a la que corresponde esta energía mediante εf = kBTf temperatura de Fermi.
Se da la circunstancia de que la temperatura de Fermi de la mayoría de metales reales es enorme (del orden de 10000 Kelvin), por tanto, la aproximación de decir que la distribución de Fermi-Dirac sigue siendo un escalón hasta temperatura ambiente es válida con bastante precisión.
La distribución de Fermi-Dirac tiene importancia capital en el estudio de gases de fermiones y en particular en el estudio de los electrones libres en un metal
Modelo de bandas
Un cristal está formado por un conjunto de átomos muy próximos entre sí dispuestos espacialmente de forma ordenada de acuerdo con un determinado patrón geométrico. La gran proximidad entre los átomos del cristal hace que los electrones de su última capa sufran la interacción de los átomos vecinos.
El nivel energético de cada uno de estos electrones puede estar situado en la "banda de valencia" o en la "banda de conducción" del cristal.
Un electrón que ocupe un nivel dentro de la banda de valencia está ligado a un átomo del cristal y no puede moverse libremente por él mientras que, si el nivel ocupado pertenece a la banda de conducción, el electrón puede moverse libremente por todo el cristal.
Banda de conducción – Es la banda más baja con sus estados energéticos no ocupados por electrones.
Banda de valencia – Es la banda más alta con sus estados energéticos completa o parcialmente ocupados por electrones.
Banda prohibida – Ningún electrón puede tener valores energéticos correspondientes a estas zonas.
El modelo de bandas aplicadas a aislantes consiste en una banda de valencia de energía inferior llena y una banda de conducción de mayor energía vacía.
Entre la banda de valencia y la de conducción existe una "banda prohibida", cuyos niveles no pueden ser ocupados por ningún electrón del cristal. Según la magnitud de esta banda, los cristales pueden clasificarse en aislantes, conductores y semiconductores.
- Aislantes.
La magnitud de la banda prohibida es muy grande (6 eV), de forma que todos los electrones del cristal se encuentran en la banda de valencia incluso a altas temperaturas por lo que, al no existir portadores de carga libres, la conductividad eléctrica del cristal es nula.
Conductores.
No existe banda prohibida, estando solapadas las bandas de valencia y conducción. Esto hace que siempre haya electrones en la banda de conducción, por lo que su conductividad es muy elevada. Esta conductividad disminuye lentamente al aumentar la temperatura, por efecto de las vibraciones de los átomos de la red cristalina.
Un ejemplo son todos los metales.
Semiconductores.
La magnitud de la banda prohibida es pequeña (1 eV), de forma que a bajas temperaturas son aislantes, pero conforme aumenta la temperatura algunos electrones van alcanzando niveles de energía dentro de la banda de conducción, aumentando la conductividad.
Otra forma de aumentar la conductividad es añadiendo impurezas que habiliten niveles de energía dentro de la banda prohibida.
Semiconductores extrínsecos
. Germanio tipos N y P. Cuando se agregan átomos pentavalentes (donador), como el As, al germanio, se forman enlaces covalentes con los átomos de Ge. En la Fig. 7 se ve el esquema de una red cristalina de Ge, en el que un átomo de Ge ha sido reemplazado por uno de As. Como se sabe, la estructura electrónica del As ([Ar]3d104s2 3p 3) es similar a la del Ge ([Ar]3d104s2 4p 2), solo que el As posee un electrón adicional en su capa externa.
No obstante, el As puede aún formar enlaces covalentes con el Ge, como se observa en la figura. Fig. 7 Cristal de germanio en el que un átomo de Ge ha sido reemplazado por uno de As. Cristal de germanio en el que un átomo de Ge ha sido substituido por uno de Ga.
Consecuentemente, en este caso, el átomo de As adquiere una carga positiva, dejando un electrón disponible para la posible conducción en la red. Este proceso da por resultado un semiconductor de Ge.
La teoría de las bandas está basada en la mecánica cuántica y procede de la teoría de los orbitales moleculares (TOM).
En esta teoría, se considera el enlace metálico como un caso extremo del enlace covalente, en el que los electrones de valencia son compartidos de forma conjunta y simultanea por todos los cationes.
Desaparecen los orbitales atómicos y se forman orbitales moleculares con energía muy parecidas, tan próximas entre ellas que todas en conjunto ocupan lo que se franja se denomina una "banda de energía".
Aunque los electrones van llenando los orbitales moleculares en orden creciente de energía, estas son tan próximas que pueden ocupar cualquier posición dentro de la banda.
La banda ocupada por los orbitales moleculares con los electrones de valencia se llama banda de valencia, mientras que la banda formada por los orbitales moleculares vacíos se llama banda de conducción.
Este modelo explica bastante bien el comportamiento eléctrico no solo de las sustancias conductoras sino también de las semiconductoras y las aislantes.
En los metales, sustancias conductoras, la banda de valencia se solapa energéticamente con la banda de conducción que está vacía, disponiendo de orbitales moleculares vacíos que pueden ocupar con un mínimo aporte de energía, es decir, que los electrones están casi libres pudiendo conducir la corriente eléctrica.
En los semiconductores y en los aislantes, la banda de valencia no se solapa con la de conducción. Hay una zona intermedia llamada banda prohibida.
El solapamiento de un gran número de orbitales atómicos conduce a un conjunto de orbitales moleculares que se encuentran muy próximos en energías y que forman virtualmente lo que se conoce como una banda.
Las bandas se encuentran separadas entre sí mediante espacios energéticos a los que no les corresponde ningún orbital molecular.
Fig6.La estructura electrónica de un sólido se caracteriza por la existencia de bandas de orbitales.
considérese una distribución lineal de átomos (sólido unidimensional), separados todos a la misma distancia (a), en los que cada átomo posee un orbital de tipo S. Cada orbital de tipo s de un átomo solapará con el orbital s del átomo vecino.
Así, si sólo hubiera dos átomos en el conjunto el solapamiento conduciría a la formación de 2 orbitales moleculares, uno de enlace y otro de anti enlace.
A medida que se van añadiendo átomos al conjunto cada uno contribuye con su orbital molecular al solapamiento y en consecuencia se obtiene un nuevo orbital molecular.
Así, cuando el conjunto está formado por N átomos se obtienen N orbitales moleculares.
Propiedades de los metales
Propiedades mecánicas: los metales tienen la capacidad de deformarse de manera sencilla gracias a la acción de alguna fuerza.
Los metales cristalizan en empaquetamientos compactos, y sus enlaces entre átomos no están dirigidos, cosa que permite que los planos de los átomos de puedan desplazar entre sí pasando a ocupar ciertas posiciones equivalentes.
Los metales característicamente son dúctiles y maleables, algo que permite, entre otras cosas, la fabricación de hilos de cobre usados para circuitos eléctricos o láminas de acero usadas en la industria del automóvil.
Conductividad eléctrica y conductividad térmica:
Los metales son conocidos como buenos conductores de la electricidad, ya se encuentren en estado sólido como si se encuentran fundidos.
La conductividad que poseen los metales baja cuando aumenta la temperatura. Cuando dicha variante aumenta, la amplitud de la vibración de los núcleos aumenta, interfiriendo en gran medida con el movimiento que realizan los electrones, bajando su capacidad de movimiento, y por lo tanto también su conductividad.
Algunos metales son particularmente buenos conductores cuando se encuentran a bajas temperaturas, sin ejercer ninguna oposición al paso de la electricidad, pasando a llamarse superconductores.
Dicho comportamiento conductor en los metales puede ser justificado gracias a la teoría de bandas.
El comportamiento, ya sea conductor, semiconductor, o aislante, se define a través de la diferente de energía que existe entre las bandas de valencia y las bandas de conducción.
En el caso de los aislantes, como puede ser el diamante, la diferencia de energía existente entre ambas bandas es bastante grande, cosa que impide que los electrones pasen a la banda de conducción a través de la excitación térmica.
Por el contrario, en el caso de los semiconductores, como pueden ser, por ejemplo, el silicio o el germanio, dicha diferencia de energía es considerablemente más pequeña, hecho que facilita el paso de los electrones a la banda de conducción.
En este tipo (semiconductores), el alzamiento de la temperatura supone que gran parte de los electrones tengan energía cinética suficiente como para alcanzar la banda de conducción, y a diferencia de los que ocurre en los metales, la conductividad crezca con la temperatura.
Los metales son buenos también en la conducción del calor.
La colocación compacta en la que se disponen los átomos en las redes metálicas facilita que las vibraciones provocadas por la agitación térmica, cuando aumenta la temperatura, se propaguen de unos átomos a otros, lo que da sentido a sus altas conductividades térmicas.
Dicha conducción se ve también facilitada por la considerada movilidad que poseen los electrones.
Punto de fusión: Para que un metal se funda se necesita proporcionar la cantidad de energía necesaria para poder llegar a separar los átomos que forman una red metálica.
Por lo general, a mayor fuerza dentro de un enlace entre átomos, mayor será también el punto de fusión de dicho metal, pero también influye en esto otros tipos de factores, como puede ser la estructura que tiene la red
Es por ello, que no se ve gran regularidad en los puntos de fusión de los metales, aunque sí se sabe que la gran parte de ellos presentan puntos de fusión más bien altos, siendo los valores más bajos aquellos que corresponden al mercurio y al cesio, con -38.9 ºC y 29ºC respectivamente.
Conductividad en Metales
Las propiedades físicas presentes en el grupo de los metales los hacen buenos conductores de electricidad
La conductividad eléctrica es el movimiento de las partículas cargadas eléctricamente, desde un medio de transmisión a otro.
De la forma más simple y clara: es la capacidad presente en un elemento, medio o espacio físico para conducir la electricidad, es decir para transferir la energía eléctrica.
Un buen conductor eléctrico es un material que permite el paso a través de él con facilidad, sin ofrecer mucha resistencia.
En cambio, llamamos mal conductor al material que ofrece resistencia al paso del flujo eléctrico a través del mismo.
Los átomos de los metales se unen formando enlaces metálicos que le dan un estructura más estrecha y estable al metal en sí.
Esos átomos liberados forman una suerte de nube de electrones, la cual conduce la electricidad con suma facilidad.
Cuando se aplica un campo eléctrico al material, los electrones de la misma comienzan a fluir desde un extremo del metal a otro libremente.
Lo mismo ocurre con el calor en la conductividad térmica.
Así es que podemos decir que los metales son buenos conductores de electricidad y por estas razones, en lo cotidiano se los utiliza con frecuencia.
Por ejemplo, el cobre, metal que se utiliza para los cableados eléctricos.
Propiedades ópticas: Cuando se hace incidir a un haz de luz en una superficie de metal, una parte de dicha energía es absorbida por esta, transformándose en energía de tipo térmica. Otra parte de la energía que se hace incidir sobre la superficie metálica es reflejada, causando el característico brillo metálico.
Debido a que existen diferentes niveles de energía los cuales se encuentran muy próximos, los electrones tienen la posibilidad de poder absorber radiaciones de todo tipo de frecuencias dentro del espectro visible, por lo cual los metales son opacos.
De la misma manera, los electrones emiten también radiaciones de frecuencia igual a la que ha sido incidida, por lo que la superficie del metal consigue reflejar la luz, cosa que explica también el brillo de los metales.
Semiconductores
Los semiconductores han ganado una gran importancia en los últimos tiempos, más aún con el desarrollo de la energía solar. Los paneles solares están basados en silicio, un material semiconductor.
Debemos recordar que un semiconductor conduce la corriente por aplicación de energía, que bien puede ser la energía que recibimos del sol. Pero también, podemos mejorar la conductividad del semiconductor por un proceso denominado dopaje.
El dopaje consiste en introducir impurezas dentro del semiconductor para modificar su comportamiento. Las impurezas en mención son pequeñas cantidades de otros elementos químicos. Estas cantidades son tan pequeñas, que puede existir un átomo de la impureza por cada cien millones de átomos del semiconductor.
Analicemos al silicio, elemento del grupo 4 de la tabla. ¿Qué pasaría si reemplazamos un átomo de silicio por un átomo de fósforo? Dado que el fósforo es un elemento del siguiente grupo, tiene un electrón de valencia extra. Esto quiere decir que en la red metálica del silicio tendremos un electrón extra, que puede moverse por toda la red y, por tanto, conducir la corriente eléctrica. El proceso de añadir al silicio un elemento con un electrón de valencia extra se denomina dopaje negativo, ya que existe un exceso de electrones dentro de la red metálica.
Fig8. Silicio dopado con fósforo.
Por otro lado, la inserción de un átomo del grupo 3 dentro de la red del silicio producirá un "hueco" dentro de la estructura, justo donde estaba el electrón del átomo de silicio extraído. Este "hueco" mejorará también la conductividad, ya que los electrones adyacentes pueden desplazarse hacia el hueco, originándose movimiento de electrones, lo cual es imprescindible para la conductividad. El proceso de añadir al silicio un elemento con un electrón de valencia menos se denomina dopaje positivo, ya que en este caso hay un déficit de electrones con respecto al semiconductor de partida. Un ejemplo lo constituye el dopaje de silicio con boro.
Fig. 7. Silicio dopado con boro.
Estructura electrónica de bandas en los semiconductores
El modelo clásico fracasa cuando intenta justificar la diferencia de comportamiento eléctrico de un metal y un semiconductor, puesto que establecía para los dos materiales una pérdida de la capacidad conductora con la temperatura, lo cual solo es cierto en los metales, mientras que el modelo cuántico permite diferenciar la estructura electrónica entre metales y semiconductores.
Experimentalmente, encontramos que los metales son muy buenos conductores. Los semiconductores también permiten el flujo electrónico aceptablemente, aunque la resistividad es 106 veces mayor que los metales, en el mejor de los casos.
En los metales se observan dos situaciones: que la banda no está completamente llena, quedan niveles vacíos, o bien, existen dos bandas solapadas, con lo que el electrón puede pasar de una a otra.
La parte ocupada hace referencia a la banda de valencia, mientras que la vacía se denomina de conducción. Los electrones que acceden a la banda de conducción son los agentes activos de la conducción ante la presencia del campo eléctrico exterior.
El fenómeno de la conducción tiene lugar cuando la fracción de electrones situada en lo alto de la banda de valencia accede a los niveles vacíos de la banda de conducción, primero por agitación térmica, y luego acelerados por el campo eléctrico exterior.
Estos electrones deben de cumplir la condición E - EF > KT en la que E es la energía del nivel ocupado por el electrón conductor en la banda; EF la energía del nivel de Fermi; K, constante de Boltzman y T es la temperatura a la que se encuentra el material.
Por tanto, un metal dispone de un colectivo cuantioso de electrones con capacidad conductora, y suficiente cantidad de estados libres en la banda de conducción donde situarse. En cambio, un semiconductor no dispone de tantos electrones, ya que las bandas de valencia y conducción están separadas por una barrera de energía o intervalo prohibido, la cual solo la pueden superar por agitación térmica una pequeña fracción de electrones.
En efecto, los electrones se distribuyen en metales y semiconductores de acuerdo con la distribución de Fermi, de forma que dicha función nos da la probabilidad de que un electrón ocupe un nivel de energía E a cierta temperatura T, según la siguiente ecuación:
en la que EF es la energía del nivel de Fermi, nivel cuya probabilidad de ocupación es del 50%
Si aumentamos la temperatura, los niveles de energía superiores al de Fermi empiezan a tener cierta probabilidad de ser ocupados por electrones, agitados térmicamente, de la banda por debajo del nivel de Fermi.
Como consecuencia de ello, los niveles inferiores al de Fermi tampoco estarán completamente llenos, mostrando una cierta probabilidad 1-F(E) de ocupación.
La densidad de estados energéticos libres para ser ocupados por electrones conductores depende de una función en la que aparece como término proporcional la función de Fermi. Cuanto menor sea la cantidad de éstos, más resistivo se mostrará el metal.
El aumento de temperatura incrementa el número de electrones que intercambian de estado, pero disminuye la densidad de estados libres de energía disponibles para la conducción.
Al aplicar un campo eléctrico, la conducción disminuirá en los metales porque:
" Disminuye la densidad de estados donde se pueden situar los electrones que han ganado energía al ser movilizados por el campo eléctrico.
"Se incrementan el número de "perturbaciones" entre estos electrones que ganan y pierden continuamente energía, pasando de un estado energético "alto y próximo" a los de conducción a otro "bajo y lejano" de los de conducción.
CONCLUSIONES
En este trabajo me di cuenta de los grandes descubrimientos realizados por diversos científicos, así como también que cada uno de ellos se basaron en el modelo de Drude.
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