Institut International de Management
Modèle de Wilson Théorie, Pratique & Prévisions BACHA Saïd
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I- Méthode du lot économique ou formule de Wilson : 1- Introduction : Par méthode de gestion économique des stocks, on entend une méthode essentiellement basée sur la réduction des coûts liés à la gestion des stocks. Dans la 1ère Séance nous avons consacré à ce thème, nous avons distingué et regroupé les éléments de coût des stocks en trois groupes : o
Le coût de passation des commandes;
o
Le coût de possession des stocks
o
Le coût de pénurie
Passer une commande génère en effet un coût. Le coût de passation des commandes s’accroît au multiple du nombre de commandes émises durant une période. De même, posséder du stock a un coût. Et ce dernier s’accroît lui aussi en fonction des quantités stockées dans les magasins. L'étude de ces deux types de coûts et du coût total qui en résulte, permet de déterminer le nombre de commandes à partir duquel le coût global de Gestion des stocks est le plus bas. La méthode de Wilson est inspirée d’une logique simple : o
En réduisant le nombre de commandes passées sur une période (généralement annuelle), on diminue le coût de passation global des commandes ;
o
Il est d’autre part possible de limiter et de maintenir à un niveau acceptable les quantités du stock géré, simplement en le renouvelant de façon plus régulière.
On est là face à deux objectifs contradictoires. D'un coté on souhaite réduire le nombre de commandes, de l'autre coté le maintien et le renouvellement régulier du stock provoque une augmentation du nombre de commandes. Wilson propose une formule mathématique et une méthode graphique qui permettent d’obtenir pour un nombre de commande et un stock moyen donnés, un cout de gestion des stocks est le plus bas : le cout optimale Grâce à la même formule, on peut déterminer le nombre de commandes optimal ainsi que la taille du lot de marchandise pour chaque commande. Il s’agit du lot économique (Q).
NB : La formule de Wilson s’applique à une seule référence ou un seul article et non pas à un lot, un groupe, une catégorie ou une famille d’articles à la fois. Pour plus de détail sur sont application, je vous recommande la lecture du titre ‘III’ relatif au Modèles d’approvisionnement, du présent document.
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2- la logique de la méthode Wilson : Nous allons dans le tableau qui suit étayer votre compréhension de cette méthode par un exemple assez simple : On part sur des bases simple :
o o o o o o o
Au début de la période, nous avons un stock initial nul. (SI = 0) ; A la fin de la période, les consommations ét étant ant régulières, le stock présent est l’équivalent de la dernière commande entrée. (SF = Qté Commande) ; Le stock moyen est la moyenne du stock initial et du stock final. (SM = (SI + SF)/ 2) 2 L’écoulement du stock est proportionnel à la période de consommation consommati Valeur du stock moyen = Coût unitaire de l’article x Stock Moyen Coût des commandes = Nombre de commande de la période x Coût de passation d'une commande ; Lot économique par commande = Consommation totale de la période divisée par le Nombre de commandes ; Coût total = Coût des commandes + Coût de possession des stocks
Le service comptable de l’entreprise fournie par ailleurs les informations suivantes pour l’article A : o Consommation annuelle : 500 pièces p o Coût unitaire de passation de commande : 200 DZD o Prix d'achat de l’article A : 250 DZD / unité o Coût de possession du stock : 10% du stock moyen
D’après la méthode de Wilson, la solution la plus économique consisterait à passer pour cet article 6 commandes annuelles de 83 unités chacune et pour un coût coût total optimisé de 2241,7 DZD.. On s’aperçoit bien que pour une quantité Q différente, le coût total varie à la hausse.
3- Les limites la méthode de Wilson : La méthode de Wilson est dans la réalité difficilement applicable avec une telle exactitude, car elle tient uniquement compte d’un avenir certain. Les consommations sont considérées comme régulières et connues, les délais d’approvisionnement stables, les prix unitaires indépendants des quantités commandées, les remises de prix, les pénuries et les ruptures de stocks ne sont pas prises en compte… C’est une formule qui réside uniquement sur deux paramètres : le coût de possession des stocks et le coût de passation des commandes. Or à ce niveau aussi, la réalité est bien différente. Hors mis le coût du transport qui effectivement varie en fonction du nombre de commandes, les autres éléments de coûts (loyers, salaires, électricité…) pris en compte dans l’évaluation des coûts de possession et de passation ne sont pas forcément variables en fonction des quantités ou du nombre de commandes. Pour avoir un résultat mieux adapté au contexte, cette formule est associée et complétée par d’autres méthodes d’évaluation ; notamment, les méthodes de prévisions afin de réguler les quantités à passer effectivement à chaque commande. 3-1. Les Méthodes de Prévisions : Il existe des les logiciels utilisés pour la gestion des stocks qui intègrent de nombreuses fonctions de calcul. L’une des plus importantes est l’exécution des prévisions des consommations futures d’un article donné. Ces prévisions sont estimées à partir d’une étude sur les consommations antérieures. Les diverses méthodes basées sur l’observation d’historiques sont connues sous le nom de méthodes empiriques. L’évaluation des consommations futures se fait par extrapolation des données sur une échelle de temps. En marge des démonstrations mathématiques, voici dans la suite quelques-unes de ces méthodes accompagnées d’un exemple d’application. Il est cependant important de noter que : • les prévisions des consommations prennent leur genèse dans les magasins situés en aval de l’entreprise et progressent vers l’amont; • elles sont faites à une période précise afin de permettre aux gestionnaires de planifier les approvisionnements des magasins situés en amont sur les périodes à venir; • dans la pratique, elles sont rarement exécutées pour tous les articles, on préfère les appliquer sur des catégories bien sélectionnées (les articles les plus rentables, les plus coûteux, les plus sensibles, en bref les stocks désignés comme critiques) ; • elles débouchent dans la plus part des cas à la révision des modèles d’approvisionnement, des stocks minimum et maximum des articles.
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A- Le traitement informatique des prévisions de consommation Traditionnellement, les consommations de chaque article sont enregistrées toute fois qu’une sortie est saisie dans le progiciel de gestion des stocks. Ces enregistrements forment les historiques de consommation ou encore une série chronologique. Afin de mettre en évidence ses variations dans le temps, la série chronologique est représentée sous forme de graphique courbe. Grâce à l’application de formules mathématiques, une courbe appelée courbe de tendance est calculée. Elle épouse l’évolution des consommations en ramenant à la moyenne l’ensemble des fluctuations existantes. La courbe de tendance peut être linéaire, exponentielle, logarithmique ou polynomiale. A partir des simulations, sur le programme de traitement, il est possible de retrouver celle qui s’adapte le mieux à l’évolution des consommations dont dispose le gestionnaire des stocks. Par extrapolation de cette courbe sur un graphique, l’on prévoit aisément la consommation pour les périodes futures. Les nouvelles générations de progiciels intègrent cette fonction. Cependant, les logiciels tels que Microsoft Excel sont bien adaptés au traitement automatique des prévisions de consommation des articles. B- Les typologies de séries chronologiques : L’observation de la représentation graphique des historiques de consommation peut montrer l’existence de divers types de séries chronologiques : • Lorsque les consommations varient de façon peu irrégulière en maintenant une allure horizontale, on parle de série constante ; • Lorsque les consommations varient périodiquement de façon très significative, on parle de série cyclique. Mais si la période du cycle est annuelle, on parle alors de série saisonnière ; • Lorsque les consommations varient en prenant une allure générale croissante ou décroissante, on parle de série à tendance.
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Parmi les méthodes de prévisions on retrouve des méthodes adaptées au court terme et aux séries constantes : la méthode des moyennes mobiles ; la méthode de lissage exponentiel ; une méthode adaptées au long terme et aux séries cycliques et à tendance : la méthode de décomposition ou des moindres carrés ; et enfin une méthode adapté aux systèmes de magasins en réseau : la méthode de consolidation des besoins prévisionnels.
C- Les Méthodes de Prévisions : C.1- Prévisions par la Méthode des Moyennes Mobiles ou Moyennes Glissantes : C’est une méthode basée sur l’usage de la moyenne des consommations antérieures pour un nombre de périodes données. Son avantage est qu’elle atténue suffisamment les fluctuations des consommations tout en préservant leur allure générale. Ci-dessous dessous vous pouvez observer les prévisions de consommation de farine dans une boulangerie.
C-2. Prévisions par la Méthode du Lissage Exponentiel : C’est une méthode qui prend en compte la prévision de la période antérieure. À cette prévision, l’on augmente l’écart subit, pondéré d’un coefficient α compris entre 0 et 1. Pn = Pn-1 + α (Dn-1 – Pn-1) Avec : Pn : (prévision de la période n) Pn-1 : (prévision de la période antérieure n-1) n α : (coefficient de lissage) Dn-1 : (demande réelle de la période antérieure n-1) n Le choix de la valeur de α se fait par essaies et erreurs. La valeur retenue est ce celle qui minimise l’erreur de prévision. Dans la pratique, le coefficient α est proche de 1 lorsque la demande est tr très fluctuante. Cependant, pour une demande stable et qui ne présente pas de variation cyclique significative, ce coefficient est plus proche de 0.
C-3. Prévisions par la Méthode des Moindres Carrées C : Cette méthode utilise généralement trois valeurs pour estimer la prévision des consommations d’une période à venir : Pn= Tn. × Cn. × Rn, Rn Avec Pn = prévision des consommations, Tn = tendance de la période ; Cn = coefficient cyclique ; Rn = valeur résiduelle de la période. Calcul de la tendance La méthode des moindres carrés est celle qui permet déterminer, grâce à des formules mathématiques, l’équation linéaire de la droite de tendance tenda ou droite des moindres carrés : Tn=an+b. Pour la représenter sur un repère orthonormé, on place sur l’axe des abscisses X les périodes dans le temps (années, trimestres, mois…) et sur l’axe des ordonnée Y les consommations en nombre d’unités. Le calcul des valeurs de a et b se fait par l’application des formules suivantes :
Calcul du coefficient cyclique Lorsque l’observation d’une série chronologique révèle des variations cycliques, il est judicieux de prendre en considération ces dernières dans dans le calcul des prévisions. Ces variations peuvent êtres justifiées par : • La saison : (climat, rentrée scolaire, vacances scolaires…). Un vendeur de glace observera une augmentation de ses ventes durant les saisons sèches. De même, le vendeur de fournitures itures scolaires observera un pic de ses ventes durant les périodes de rentrée scolaire. • Un planning de maintenance : (fréquences de révision…) durant la période de révision d’un équipement, la consommation des pièces de rechanges gérés dans les magasins magasin subira une augmentation Un évènement du calendrier : (fête religieuse, fête nationale, fête des mères, journée internationale de la femme…) les besoins en textile augmentent durant ces périodes de l’année. Le coefficient cyclique est une valeur numérique et estimée en pourcentage. Il correspond à une variation cyclique croissante ou décroissante d’une série chronologique. Lorsqu’il représente une variation observée une fois tous les ans, il porte le nom de coefficient saisonnier.. Lorsqu’une saison couvre plusieurs périodes de la série chronologique, un
coefficient unique peut être calculé pour la saison. Il porte alors le nom de coefficient de saisonnalité et s’applique uniquement sur les périodes correspondantes de cette saison. Traditionnellement, les calculs des coefficients saisonniers Cs1 et de saisonnalité Cs2 se font par l’application des formules suivantes :
Dans le tableau ci-dessus, dessus, les saisons ont été découpées en trimestres. L’indice de saisonnalité du trimestre s’appliquera uniquement aux mois dudit trimestre. Calculons ici les prévisions des mois de février et avril de l’an n+1. L’indice du mois de février est 12+2=14. Celui du mois d’avril est 12+4=16
Pn=Tn+ Cs2n= (0,402 n + 70,303)× Cs2n
Prévision du mois de février n+1= P14 = (0,402x14 + 70,303) x 96% Prévision du mois d’avril n+1 = P16 = (0,402x16 + 70,303) x 110%
Utilisation du facteur résiduel :
Comme son non l’indique, le facteur résiduel représente l’influence que pourrait avoir sur les consommations à venir l’ensemble des évènements inhabituels voire totalement imprévisibles. Il pourrait s’agir d’une catastrophe humanitaire, d’une grève, de l’arrivée de nouveaux concurrents qui d’une ’une manière générale provoquerait un hausse ou une baisse de la demande par rapport aux prévisions.
Le facteur résiduel est lui aussi exprimé en pourcentage. Son estimation et sa publication sont faites par des organismes spécialisés à l’approche de l’évènement perturbateur. Par conséquent, il ne peut être utilisé au moment du calcul des prévisions. Il est pris en compte plus tard lors de l’ajustement des prévisions, afin de les ramener à des proportions raisonnables par rapport à la situation vécue.
C-4. Prévisions par la Méthode de Consolidation des Besoins Prévisionnels : Pour un système en réseau dans lequel il y a un magasin principal qui ravitaille un nombre habituel de magasin secondaires, les prévisions des consommations se font au niveau de chaque magasin secondaire suivant les méthodes courantes. Une fois les besoins prévisionnels exprimés, ils sont tous envoyés au magasin principal. La somme des besoins prévisionnels des magasins secondaires représente alors les prévisions de consommation pour le magasin principal. Le tableau ci dessous montre un exemple de consolidation des besoins prévisionnels
Article A Article B Article C Magasin secondaire 1 10 2 8 Magasin secondaire 2 11 9 12 Magasin secondaire 3 5 3 7 Magasin secondaire 4 6 4 0 Prévisions du magasin principal 32 18 27 Tableau 1 : Exemple de consolidation des besoins prévisionnels
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III- La méthode en pratique : Minimiser les Cout Optimiser les Commandes Comment minimiser les stocks, optimiser les commandes, ou les lancements de séries sans en contrepartie générer des couts induits importants ? Sachant que : - le sur-stockage est source de couts importants pour l’entreprise (cout de stockage physique, locaux et surfaces utilisés, couts annexes (assurances, gardiennage,…), cout des capitaux immobilisés dans le stock et ne générant pas d’intérêts. - à l’inverse, le sous-stockage risque de provoquer des ruptures de stocks préjudiciables à l’activité de production ou à l’activité commerciale de l’entreprise (arrêt de la production, perte de ventes, perte de clientèle,…). Le principe de la série économique, appelé formule de Wilson tente d’y répondre. Le but étant de commander ou fabriquer suffisamment de pièces pour que le total annuel des couts d’acquisitions et de possession soit minimal pour l’entreprise. 1- Notion de couts : 1-1. Le cout de lancement : Chaque commande d’achat ou ordre de fabrication coute à l’entreprise. Le cout de lancement ou cout de passation d’une commande représente tous les frais liés au fait de passer une commande et est supposé être proportionnel au nombre de commande passés dans l’année. Ces couts sont déterminés à l’aide de la comptabilité analytique. a- Approvisionnement : Le cout d’une commande est obtenu en divisant le cout total de fonctionnement du service achat par une grandeur significative et pertinente, par exemple le nombre de commandes passées annuellement. Il est possible d’affiner le calcule en divisant par le nombre de lignes de commandes, correspondant dans une commande à un article. b- Lancement en fabrication : le cout d’un lancement en fabrication est obtenu en divisant le cout total de fonctionnement du service ordonnancement, auquel il faut, ajouter les couts de réglage des machines et des préséries, par le nombre de lancements en fabrication. c- Ordre de grandeur : la valeur dépend essentiellement de l’entreprise, de ses choix en matière de comptabilité analytique (clés de répartition, unités d’œuvres…). Il est difficile de définir une fourchette de valeur standard. Bon nombre d’entreprises ne savent pas à combien leur revient une commande ou un lancement en fabrication. 1.2- Le cout de Possession :
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Le cout possession du stock est constitué des charges liées au stockage physique mais également de la non rémunération des capitaux immobilisés dans le stock (voir du cout des capitaux empruntés pour financer le stock). Pour cette dernière raison, ce cout est considéré comme étant proportionnel à la valeur du stock moyen et à la durée de détention de ce stock. Le taux de possession annuel t % est le cout de possession ramené à une unité monétaire d matériel stocké. Il est obtenu en divisant le cout total des frais de possession par le stock moyen. Ces frais couvrent : - l’intérêt du capital immobilisé - les couts de magasinage (loyer et entretien des locaux, assurances, frais de personnel et de manutention, gardiennage,…), les détériorations du matériel, les risques d’obsolescence. Nous pouvons situer entre 15% et 35% le taux utilisé dans les entreprises, suivant les types d’articles et la qualité de leur gestion des stocks. Démonstration : Cette formule est basée sur un modèle mathématique simplificateur dans lequel on considère que la demande est stable sans tenir compte des évolutions de prix, des risques de rupture et des variations dans le temps des couts de commande et de lancement (on dit aussi ‘en avenir certain’). Les hypothèses du modèle : La demande annuelle est connue et certaine ; La consommation est régulière (linéaire) Les quantités commandées sont constantes La pénurie, les ruptures de stock, sont exclues. NB : nous supposons pour la suite de la démonstration que la gestion du stock s’effectue sur une période annuelle. Calcule de la quantité économique : Posons : N : le nombre de pièces consommées (fabriquées ou achetées) Q : le nombre de pièces approvisionnées ou lancées en fabrication en une seule fois Pu : le prix unitaire de la pièce Ss : le stock de sécurité envisagé pour cette pièce
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T : le taux de possession de l’entreprise exprimée en % CL le cout d’approvisionnement ou de lancement en fabrication Calcul des couts :
Trouver la quantité économique Qe, c’est trouver la valeur Q pour laquelle le cout total est minimal, c'est-à-dire dire la valeur Qe pour laquelle la dérivée du cout total total par rapport à la quantité est nulle, (le stock de sécurité n’est pas commandé à chaque fois).
D’où la formule de la quantité économique Qe :
Sur le graphique suivant sont portées les courbes : - cout de lancement ; dégressif en fonction des quantités quantit - cout de possession ; théoriquement proportionnel aux quantités - la courbe des couts cumulés
La quantité économique se trouve à l’intersection des deux courbes, lancement et possession, ou au point de la courbe cumulée. Dans la pratique toutefois, il sera impossible de commander exactement la quantité économique, on choisira une taille de lot répondant aux diverses contraintes et comprise dans la zone économique.
VI- Méthode de Wilson avec plusieurs lots : Le modèle d’approvisionnement est la politique ou alors la formule choisie par le gestionnaire pour contrôler les niveaux des stocks et procéder au réapprovisionnement des articles dans les magasins. A chaque type de modèle correspond une formule précise. Dans la pratique, trois modèles sont ont couramment utilisés : Le modèle du lot économique ; le modèle de recomplètement du stock maximum et enfin le modèle périodique à commandes variables.
A- LE MODÈLE DU LOT ÉCONOMIQUE Le lot économique est une quantité fixe et invariable d’un article que le gestionnaire des stocks demande à chaque émission du besoin de cet article. Cette quantité résulte d’une étude d’optimisation du coût de stockage. Elle permet à la fois de faire le minimum de commandes pour un article donné et d’obtenir le coût de stockage stockage optimal pour ce même article. L’utilisation de ce modèle est donc purement économique.
Les données de planification: • Stock minimum • Lot économique (Q) = quantité commandée.
La formule: Lorsque le stock de l’article atteint son niveau minimum, une commande est émise en quantité « Q ». La formule de calcul du lot économique est connue sous le nom de « formule de WILSON »
Avec : N = nombre total d’unités consommées par an L = coût de lancement ncement d’une commande t = taux de possession du stock c = coût unitaire de l’article Il est important de noter ici que cette formule s’applique à un seul article et non pas à un groupe ou une classe d’articles. Dans la pratique, certains autres phénomè phénomènes peuvent influencer la commande par lot d’un article. Voici deux exemples pour lesquels la formule de WILSON n’est pas utilisée.
Exemple1 : le fournisseur impose le lot. Un commerçant détaille ses biscuits en paquets. Son fournisseur quant à lui ne vend ces biscuits que dans des cartons contenant 12 paquets. Dans ce contexte, les commandes du commerçant ne pourront se faire que par lot équivalent à un multiple de 12, suivant ses propres estimations de vente. Exemple 2 : la taille du lot est définie selon le besoin Une entreprise possède un moteur qui utilise 2 filtres à huile. Selon les recommandations du fabricant, ces filtres doivent être changés tous les quatre mois. Le délai d’approvisionnement est quant à lui estimé à trois mois. Si l’on gère ces filtres dans le magasin, on en aura toujours que 2 unités en stock. Après chaque sortie, une commande sera relancée pour deux autres filtres.
B- LE MODÈLE DE RECOMPLÈTEMENT DU STOCK MAXIMUM Ce modèle offre deux options. Dans la première, l’objectif visé est d’avoir en permanence un stock fixe pour un article donné. Ce stock serait alors le stock maximum autorisé. Aussitôt qu’une unité est sortie, elle est remplacée par l’achat d’une autre unité. La seconde option est celle pour laquelle un stock minimum est fixé pour l’article. Une fois que ce dernier est atteint, la quantité commandée correspond à la valeur maximum du stock diminuée du stock disponible.
Les données de planification: • Stock minimum • Stock maximum En option 1: stock minimum = stock maximum En option 2: Stock minimum < stock maximum La formule: Lorsque les quantités disponibles de l’article atteignent son point de commande, une commande est aussitôt émise pour ramener le stock à son niveau maximum. • Quantité commandée = stock maximum – stock disponible. C- LE MODÈLE PÉRIODIQUE À COMMANDES VARIABLES L’utilisation de ce modèle peut résulter soit d’un calcul découlant d’une consommation future mesurée et constante ; soit de l’influence d’une consommation future saisonnière. C’est un modèle adapté aux stocks de projet.
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Les données de planification: • Capacité de stockage accordé (stock maximum) • Période de commande • La quantité commandée est variable et fonction des besoins de l’émetteur La formule: Les commandes sont faites à des périodes déterminées. La quantité à commander varie alors suivant les prévisions de consommation futures à cour terme. Tous ses renseignements sont introduits dans la fiche informatique des articles concernés grâce à l’affectation du code de gestion approprié et sont ne sont modifiables que par les personnes autorisées.
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