MM 411 Teoria Semana 1

Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales on Teo eorr´ıa Pr Prel elim imin ina ar David Z´ uniga uniga Universidad Nacional Aut´ onoma onoma de Honduras [email protected]

2 de febrero de 2018

Contenido 1

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Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales on Teo eorr´ıa Prel Pr elim imin inar ar y Termi ermino nolo logg´ıa Problema de Valor Problema Valor Inicial Inicial Problema de Valor Inicial de Orden n Problema de Valor Inicial de Primer y Segundo Orden Teorema de Existencia y Unicidad

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Solución on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables Ecuaciones Diferenciales Exactas

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Sugerencias Observaciones Finales

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Referencias Libros de Texto Recomendados

Introducci´ on on

Los términos ermino s diferencial difer encial y ecuaci´ ecuaci on oń indican, sin lugar a dudas, la resolución on de cierto tipo de ecuaciones que contienen derivadas; sin embargo, antes de iniciar la resolución on de cualquier ecuación, on, primero debemos aprender las definiciones elementales y la terminolog´ terminolog´ıa del tema.

Objetivos

Definir toda la teor´ teor´ıa preliminar de las ecuaciones diferenciales. Describir el proceso para resolver ecuaciones diferenciales con variables separables. Identificar las ecuaciones diferenciales exactas y describir el proceso para resolverlas.

Introducci´ on a las Ecuaciones Diferenciales on

Teor´ Teor ´ıa Prel Pr elimi iminar nar y Termin Term inolo olog g´ıa

Introducci´ on a las ED y la Teor on eor´ ´ıa Preliminar Definición: on: Se dice que una ecuaci´ on diferencial (ED) es cualquier ecuaci´ on que contiene las derivadas de una o m´ as as variables dependientes dependientes con respecto a una o m´ as variables independientes. Con el objetivo de referirnos a ellas, debemos clasificar las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y linealidad. on on diferencial contiene Clasificaci´ on o n por tipo: Si una ecuaci´ unicamente u ´ nicamente derivadas ordinarias de una o más as variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, se dice que es una ecuación on diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación on en la que se presentan las derivadas parciales de una o m´ as variables dependientes de dos o más as as variables independientes se denomina ecuación on diferencial parcial (EDP).



Introducci´ on a las ED y la Teor on eor´ ´ıa Preliminar

Clasificaci´ on on por orden : El orden de una ecuaci´ on on diferencial

(EDO o EDP) representa el orden de la derivada más as alta presente en la ecuación. on. Clasificaci´ on on por linealidad: Se dice que una ecuaci´ on on diferencial difer encial ordinaria ordin aria de n-ésimo esimo orden F x, y  , y  , . . . , y (n) = 0 es lineal si F es lineal en y, y  , . . . , y (n) . Esto significa que una EDO

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de n-ésimo esimo orden es lineal cuando es de la forma an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y  + a0 (x)y = g (x)




En la ecuación on diferencial anterior observamos que las dos propiedades caracter caract er´´ısticas de una EDO lineal son: La variable dependiente ”y ” as´ as´ı como todas tod as sus derivadas y , y , . . . , y (n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada uno de los t´ erminos erminos que involucran involucran a ”y ” es 1. 



Los coeficientes an (x), an 1 (x), . . . , a2 (x), a1 (x), a0 (x) de y (n) , y (n 1) , . . . , y , y , y dependen a lo sumo de la variable independiente x. −

−

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Definición: on: Toda funci´ on φ, definida sobre un intervalo I y que posea al menos n derivadas continuas sobre I , y que al ser sustituida en una ecuaci´ on diferencial ordinaria de n-ésimo esimo orden reduzca eduzca la ecuaci´ cuacion ´ a una identidad, se dice que es una soluci´ on de la ecuaci´ on sobre el intervalo. Intervalo de definici´ on on: No es posible considerar una soluci´ on on de una

ecuación on diferencial ordinaria sin pensar al mismo tiempo en un intervalo. El intervalo I de la definición on anterior se denomina de diversas maneras: intervalo de definición, on, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solución on y puede ser un intervalo abierto, un intervalo cerrado, un intervalo infinito, etc.



Introducci´ on a las ED y la Teor on eor´ ´ıa Preliminar Curva de soluci´ on on: La gr´ afica afica de una solución on φ de una EDO se denomina curva de soluci´ on. on. Ya que φ es una funci´ on on diferenciable, será continua sobre su intervalo I de definici´ on. on. De esta forma puede presentarse una diferencia entre la gr´ afica afica de la funci´ on on φ y la gráfica afica de la solución on φ. En otras palabras, el dominio de la función on φ no necesita ser el mismo que el intervalo I de definición on (o dominio) de la solución on φ. Solu Soluci cion ones es ex expl pl´ ´ıcit ıcitas as: Una soluci´ on on en que la variable

dependiente se expresa sólo olo en términos ermino s de la variable ariabl e independiente y constantes se denomina solución on expl xpl´ıcit ıc ita; a; consideremos una solución on expl expl´ıcita ıcita com comoo una fórmul ormulaa expl expl´´ıcit ıcitaa y = φ(x) que podemos manipular, evaluar y diferenciar utilizando las reglas estándar. andar.




on on del tipo Solu Soluci cion ones es impl impl´ ´ıcit ıc itas as: Se dice que una relaci´ G(x, y ) = 0 es una soluci´ on on impl´ impl´ıcita de una ecuaci´ ecuac i´ on on diferencial ordinaria F x, y  , y  , . . . , y (n) = 0 sobre un intervalo I siempre que exista al menos una función on φ que satisfaga la relación as´ı

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como a la ecuación on diferencial sobre I.




Familias de soluciones: El estudio de las ecuaciones

diferenciales es similar al del cálculo alculo integral. En algunos libros, a una solución on φ se le denomina en ocasiones como la integral de la ecuación, on, y su gráfica afica se conoce como una curva integral. Al evaluar una antiderivada o integral indefinida en c´ alculo, alculo, utilizamos una sola constante c de integración. on. En forma análoga, aloga, al resolver una ecuación on diferencial de primer orden F (x,y,y ) = 0, por lo general obtenemos una solución on que contiene una sola constante arbitraria o parámetro ametro c. 




Una solución on que contiene una constante arbitraria representa un con junto G(x,y,c) = 0 de solu soluci cion ones es deno denomi mina nada dass fami famili liaa de solu soluci cion ones es de un par´ ametro. Al resolver una ecuación ametro. on diferencial difere ncial de n-ésimo esimo orden F (x,y,y , . . . , y (n) ) = 0, buscamos obtener una familia de soluciones de n par´ ametros ametros G(x,y,c1 , c2 , . . . , cn ) = 0. Lo cual significa que una ecuación on diferencial simple puede poseer un n´ umero infinito de soluciones que umero corresponden al n´ umero ilimitado de opciones para el o los parámetros. umero ametros. 

Una solución on de una ecuaci´ on diferencial que se encuentra libre de par´ on ameametros arbitrarios se denomina solución on particular.



Introducci´ on a las ED y la Teor on eor´ ´ıa Preliminar Soluci´ on on singular: En ocasiones una ecuaci´ on on diferencial posee

una solución on que no es miembro de una familia de soluciones de la ecuaci´ on, on, es decir, una solución on que no puede obtenerse mediante la especialización on de ninguno de los parámetros ametros de la familia de soluciones. Una solución on adicional de este tipo se denomina solución on singular. Sistemas de ecuaciones diferenciales : Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias está formado por dos o más as ecuaciones que involucran las derivadas de dos o más as funciones desconocidas de una sola variable independiente. Una solución on para un sistema de ecuaciones diferenciales con n funciones desconocidas que dependen de una sola variable independie indep endiente nte ser´ ser´ıa un conjunto conju nto de n de funciones diferenciables, definidas sobre un intervalo com´ un I, que satisfagan a cada un ecuación on del sistema localizada en este inte interrvalo.

Problema de Valor Inicial

Problema Probl ema de de Valor Valor Inicial Inicial de de Orden Orden

Problema de Valor Inicial de Orden

n

n

En cierto intervalo I que contiene a x0 , el problema de dn y (n f x,y,y , y , . . . , y = dxn

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 1)

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sujeto a y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , y (x0 ) = y2 ,. . . , y (n 1) (x0 ) = yn 1 donde y0 , y1 , . . . , yn 1 son constantes reales especificadas de forma arbitraria, se denomina problema de valor inicial (PVI). Los valores de y (x) y de sus primeras n − 1 derivadas en un solo punto ”x0 ”; y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . , y (n–1) (x0 ) = yn–1 , se denominan condiciones iniciales. 

−

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

−

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Problema Probl ema de Valor Valor Inicial Inicial de Primer Primer y Segundo Segundo Orden Orden

Problema de Valor Inicial de Primer y Segundo Orden

dy d2 y Por ejemplo: = f ( ( x, y ) sujeto a y (x0 ) = y0 ; y = f ( ( x,y,y ) dx dx2 sujeto a y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , son problemas de valores iniciales de primero y segundo orden, respectivamente. 

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Teore eorema ma de Existen Existencia cia y Unicida Unicidad d

Teorema de Existencia y Unicidad Teorema Establecemos R como una regi´ on rectangular en el plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, la cual contiene al punto (x0 , y0 ). Si f (x, y ) y f y (x, y ) son continuas en R, entonces existe cierto intervalo I 0 : x0 –h < x < x0 + h, h > 0, contenido en a ≤ x ≤ b, y una funci´ on unica ´ on del problema de y (x) definida en I 0 que representa una soluci´ d y valor inicial = f ( ( x, y ) sujeto a y (x0 ) = y0 . d x

Soluci´ on de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden on

Ecuaciones Diferenciales de Variables Variables Separables Separables

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

Definición: on: Se dice que una ecuaci´ on diferencial de primer orden de la forma d y = f (x) g (y ) d x es separable o que tiene variables separables.


Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales Exactas Si z = f (x, y ) es una función on de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en una región on R del plano xy , entonces su diferencial (también en llamado llamad o diferencial difer encial total) es ∂ f ∂ f dz = dx + dy ∂x ∂y

Ahora, si f (x, y ) = c, a partir de la ecuación on anterior se deduce que ∂ f ∂ f dx + dy = 0 ∂x ∂y

En otras palabras, dada una familia de curvas de un parámetro ametro on diferencial de primer orden on f (x, y ) = c, podemos generar una ecuaci´ al calcular el diferencial.




Definición: on: Una expresi´ on diferencial M (x, y )d x + N (x, y )d y es una diferencial exacta en una regi´ on R del plano xy si corresponde al diferencial de alguna funci´ on f (x, y ). Se dice que una ecuaci´ on diferencial de primer orden de la forma M (x, y )d x + N (x, y )d y = 0 es una ecuaci´ on exacta si la expresi´ on del lado izquierdo es una diferencial exacta.




Teorema Digamos que M (x, y ) y N (x, y ) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una regi´ on rectangular R definida por on necesaria y suficiente a < x < b, c < y < d. Entonces, una condici´ para que M (x, y )d x + N (x, y )d y sea una diferencial exacta es ∂ M ∂ N = ∂y ∂x

Sugerencias

Observaciones Observ aciones Finales

Sugerencias Introducción on a las ED y Teor eor´´ıa Prelim Preliminar inar Lea cuidadosamente todos los aspectos teóricos oricos de esta parte, ya que de ahora en adelante es el lenguaje que utilizaremos del curso. Problema de Valor Inicial(P.V.I.) Comprenda que significa el problema de valor inicial de orden n, de primer y segundo orden, luego estos se usaran en la solución on de ejercicios. Teorema de Existencia y Unicidad Comprenda la importancia de este en la b´ usqueda usqueda de la solución on de ejercicios y en la aplicación on del mismo en problemas de la vida real.

Sugerencias

Observaciones Observ aciones Finales

Sugerencias

Ecuaciones diferenciales de variables separables Profundice la temática atica y familiar´ familiar´ıcese con el proceso de solución on buscando mas ejemplos en los libros de Ecuaciones Diferenciales y resolviendo mas ejercicios. Ecuaciones diferenciales exactas Profundice la temática atica y familiar´ familiar´ıcese con el proceso de solución on buscando mas ejemplos en los libros de Ecuaciones Diferenciales y resolviendo mas ejercicios, a parte aprenda a diferenciar una ED exacta de una ED Inexacta.

Referencias

Libros de Texto Recomendad Recomendados os

Referencias Zill, D. G., & Wright, W. S. (2015) Octava Edición on Ecuaciones Diferenciales con Problemas con Valores en la Frontera, CENGAGE. Zill, D., & Cullen, M. (2008) Tercera Edici´ on on Ecuaciones Ecuaciones Diferencial Diferenciales,Mac es,Mac Graw Graw Hill. Rainville, E., Bedient, P., & Bedient, R. (1998) Octava Edici´ on on Ecuaciones Diferenciales,Prentice Hall. Boyce, W., & Diprima, R. (1984) Tercera Edici´ on on Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa. Campbell, S., & Haberman, R. (1998) Segunda Edici´ on on Introducci´ on a las Ecuaciones diferenciales con problemas de valor de frontera, on Mc Graw Hill. Penney, D., & Edwars, H. (2001). Cuarta Edición on Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, PEARSON.

“Hay una fuerza motriz más as poderosa que el vapor, la electricidad electricidad y la energ´ energ´ıa at´ omica: omica: la voluntad.” Albert Einstein

“El triunfo no está en vencer siempre, sino en nunca desanimarse” Nap Nap ole´ ole´ on on Bona Bonapa part rtee

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