Pensamiento matemático Actividades: Unidad 3
Introducción al pensamiento matemático
Unidad 3: Teoría de Conjuntos
Actividad 3. Demostraciones por medio de conjuntos.
Juan Pablo Elihu Meza
Matricula: 172013826 172013826
Ángel Raya Vargas
Marzo, 2018
Título Subtítulo
Actividad 3. Demostraciones por medio de conjuntos.
I.
Realiza las siguientes demostraciones
1.
Para cualesquiera dos conjuntos A y B, demuestra que
⊆ ↔ − ∅ Se cumple si y solo si porque los dos factores son verdaderos y existe relación entre ellos. Desarrollo: Cada elemento del conjunto A también es elemento de B lo que significa que A es un subconjunto de B recordando que también el mismo conjunto es subconjunto de sí mismo.
⊆ {1,2,3} {1,2,3} Al hacer el proceso de diferencia utilizando lo mismo conjuntos se comprueba la segunda parte
{1,2,3} {1,2,3} − ∅ 2.
Para cualesquiera dos conjuntos A y B, demuestra que
(∪) ∩ (∩) ∪ Desarrollo: Son leyes de Morgan
1.(∪) ∩ ∈ (A∪B) ↔ ∉ A∪B ↔ ∉ ∉ ↔ ∈ ∈ ↔ ∈ ∩ 2.(∩) ∪ ∈ (A∩B) ↔ ∉ A∩B ↔ ∉ ∉ ↔ ∈ ∈ ↔ ∈ ∪
Título Subtítulo 3.
Para cualesquiera tres conjuntos A, B y C, demuestra que
∪ ( ∩ ) ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) Son leyes distributivas
∪ ( ∩ ) ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) ⊆] ∈ ∪ ( ∩ ). Se tienen dos casos. Primero, ∈ entonces ∈ ∪ y además ∈ ∪ . Luego ∈ ( ∪ ) ∩ ( ∪ ). Si ∉ entonces ∈ ∩ entonces ∈ ∪ ∈ ∪ y por lo tanto ∈( ∪)∩(∪). 2.∩(∪)(∩)∪(∩) ⊆] ∈ ∩ ( ∪ ). Entonces ∈ ∈ ∪ , es decir, ∈ y además ∈ ∈ . Ahora separamos en dos casos. Primero ∈ ∈ , de donce ∈∩. El otro es ∈ ∈ , donde ∈∩. No se dan más casos por lo tanto ∈(∩ )∪(∩) 1.
4. Para cualesquiera dos conjuntos A y B,
⊆ → () ⊆ () donde p(A) es el conjunto potencia de A y p (B) es el conjunto potencia de B Los dos casos de si y entonces son verdaderos y existe relación entre ellos. Se comprueba en el desarrollo de los dos factores. En los dos casos se habla de que los elementos de un grupo son los mismos del otro grupo. Desarrollo: Cada elemento del conjunto A también es elemento de B lo que significa que A es un subconjunto de B recordando que también el mismo conjunto es subconjunto de sí mismo.
⊆ {1,2,3} {1,2,3}
Título Subtítulo Para la segunda parte se necesita sacar los conjuntos potencias de los dos grupos pero como se utiliza los mismos elementos por grupo los valores serán los mismos para cada conjunto potencia.
⊆
{1,2,3} {1,2,3} ( ) [{1,2,3}{}{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}] () [{1,2,3}{}{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}] La función es correcta cuando se observa el desarrollo los conjuntos potencia contienen los mismos elementos:
()⊆()
Al usar los mismos elementos se comprueba:
⊆ → () ⊆ () 5. Demuestra que a) la suma de los primeros n números naturales es igua l a
(+)
1 2 3 ...( − 2) ( − 1) ( − 1) ( − 2) .. . 3 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1)...( 1) ( 1) ( 1) 2(1) ( 1) 2 ∑ = ∑ (2 1) = b)
√ 2 es un número irracional Directamente se sabe que no existe fracción que represente el valor de le considera irracional.
√ 2 por lo que se
Título Subtítulo En desarrollo de la demostración se supone que raíz de 2 no es irracional y acabara en algo contradictorio. Por lo que se considera racional:
√ 2 Podemos suponer que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tiene factores en comunes y por lo tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:
√ 2 → 2 Por tanto debe ser múltiplo de dos lo que implica que p=2k. Sustituimos el valor de p en la expresión y simplificamos un 2 de esa igualdad:
p
2 (2) → 2 Esa expresión asegura que q es múltiplo de 2 y por lo tanto también lo es q. habiendo dicho que p y q no tienen factores en comunes y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir tienen al 2 como factor común se da lo absurdo existiendo la contradicción que buscábamos. Conclusión:
√ 2 es un número irracional
