eometr!a Actividades "nidad 2
Actividad 3: Congruencia de Triángulos I Determina cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas, justifica tu respuesta:
1. Dos triángulos triángulos son son congruente congruentes s si dos lados lados y un ángulo ángulo de uno son congruentes a dos lados y un ángulo del otro. Cierto Cierto,, si dos triáng triángulo ulos s tienen tienen ángulo ángulos s homólo homólogos gos congru congruent entes es y adem además ás que que los los lado lados s de cada cada ángu ángulo lo son son cong congru ruen ente tes s con con los los homó homólo logo gos s del del otro otro ángu ángulo lo,, ento entonc nces es los los dos dos son son triá triáng ngul ulos os son son congruentes. 2. Si un triángulo isósceles tiene dos de sus lados congruentes a los lados de otro triángulo isósceles, entonces ambos triángulos isósceles son congruentes.
Cierto, podemos decir que las bases de los triángulos son congruentes y se puede aplicar teorema de congruencia de ángulo – lado- ángulo. Si dos ángulos y el segmento comprendido entre ellos de un triángulo son congruentes a dos ángulos y el segmento entre ellos de un triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes 3. Si dos triángulos triángulos tienen tienen sus ángulos eter eternos nos congruente congruentes, s, entonces entonces ambos triángulos son congruentes. Cierto, dado que los lados eternos son congruentes los lados internos son congruentes tambi!n, se habla de triángulos equiláteros, por lo cual podemos aplicar congruencia por """ o ###.
I.
Demu Demues estr tra a los los sigu siguie ient ntes es enu enunc ncia iado dos: s: 4. Demostrar que el triángulo
D ABC en
la $igura es isósceles.
T!tulo #u$t!tulo
I
J
"$irmación% todo triangulo isósceles tiene los ángulos de los &!rtices de la base congruentes. 'ipótesis% Segmento "C ( segmento C) *esis% +C") ( +C)D Desarrollo% *raamos un segmento ' paral!lelo al segmento ") que corte a los segmentos "C y C) en los puntos y / de tal manera que el segmento " ( )/. Se traan los segmentos "/ y ) tales que se corten en un punto 0. $iemos nuestra atención en el triángulo "/C y el triángulo )C, de ambos triángulos podemos decir que +"C/ ( +)C por construcción. Se tiene que por hipótesis que el segmento "C ( C), tal que los segmentos " 2 C ( )/ 2 /C como por construcción los segmentos " ( )/ entonces C ( /C. 4sto quiere decir que eiste congruencia entre el triángulo "C/ y el triangulo )C. 5or lo anterior podemos decir que el segmento "/ ( ). 5or construcción tenemos que el segmento " ( )/ y por ultimo tenemos que el triángulo "/ y el triángulo )/ comparten el segmento / por lo que de acuerdo al teorema de congruencia ###, los triángulos "/ y )/ son iguales, entonces de acuerdo con la congruencia de triángulos y de lo anterior se puede deducir que +C"/ ( +C). 6. Sea un conunto de rectas paralelas en un plano tales que cortan a una recta que de $orma trans&ersal en segmentos congruentes, entonces cualquier recta que corten de $orma trans&ersal será en segmentos congruentes De acuerdo al teorema de *hales tal enunciado se puede desarrollar de la siguiente manera% Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.
T!tulo #u$t!tulo #egmento A% & A'%' #egmento %C & %'C' #egmento AC & A'C' #e puede confirmar paralelas por teorema de igualdad de ángulos internos o e(ternos.
II. )esuelve los siguientes ejercicios * justifica. =. 4n la $igura, los triángulos ")D y >)C son congruentes, encuentra la medida del ángulo )"C% #a $igura ")CD sus ángulos internos miden 3=;? el +D por construcción es ángulo recto mide @;? se aprecia una bisectri por lo que +)DC (A6?, por teorema de igualdad si los triángulos ")D y >)C son congruentes, los segmentos )D y )C son iguales por lo que triangulo DC) es isósceles por lo tanto +)DC ( +)CD, por lo cual +)CD( A6? +)DC 2 +)CD 2 C)D(1B;? por lo cual A6 2 A6 2C)D (1B;?, C)D( 1B;@;?(@;? 5ara conocer el ángulo a di&idimos el &alor del +)CD entre 3( 16 y luego lo multiplicamos por < para conocer el &alor de
<∞= 180º - 120º - 45º
+β( 136
<∞= 15º
+Ω ( 1B; -
+Ω ( 1B; - 3; - @;
r
+Ω ( 1B; - =;
p - < Ω + ( 3=;
B
A
A´
C
B´ C´
T!tulo #u$t!tulo <
+Ω ( 1<; + ( =;
+") ( +4- + +") ( 1;6 +)"C (1B; - + - +") +)"C ( 1B; - =;- 1;6 +)"C( 16
E ∞
Ω
Ω F
β
E. 4n la $igura se tiene que )F(*F(*4 y que "C(*4
∢ C =∢ CBX
, probar que
X
5or construcción el +"FC ( +*F4 por ser opuesto por el &!rtice, de igual $orma los segmentos "C (*4 son congruentes y paralelos se puede comprobar por teorema de rectas paralelas y por teorema de *hales. Si traamos una recta que una los puntos " y * y otra que una C y 4 podemos aplicar teorema.
T!tulo #u$t!tulo Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra. #egmento A% & T+ #egmento %C & + #egmento AC & T #e puede confirmar paralelas por teorema de igualdad de ángulos internos o e(ternos.
