MGEO_U3_A2_V1_ JUME

Geometría Unidad 3. Trigonometría y circunferencia

Actividad 2: Aplicaciones de la trigonometría

I.

1.

Resuelve los siguientes ejercicios, justifica tu respuesta.

Si se tiene la longitud del cateto mayor, de un triángulo de 30°, 60° y 90°, ¿cómo se obtiene la longitud del cateto menor?

Se habla de un triángulo rectángulo por lo cual sabemos que del cateto que se habla es la hipotenusa y que esta se opone al ángulo mayor, si el caso lo aplicamos en una circunferencia unitaria obtenemos el valor de la hipotenusa como uno, de acuerdo a tabla de valores conocidos cualquiera que se considere el cateto menor por seno o coseno medirán por su amplitud de grado Sen 30º= 0.5, Sen 60º= 0.866 o Cos 30º= 0.866, Cos 60º= 0.5

2.

Sea {



∈ ℝ: ≠  + ; ;  ∈ ℤ}, demostrar que: ( (2) 2) =

  2tan( 2tan() . 1 −  ()

Desarrollo:

tan(2) = tan( +  ) =

  ( +  ) cos( cos( + ) )

Aplicando teoremas

( ( + )  )  cos(  cos () ( () + (  () cos( cos() 1  =   cos( + ) cos() cos() − ()() cos() cos()

Título Subtítulo

cos() ()  () cos()   2tan() cos() cos()  + cos() cos() tan() + tan() =  = cos() cos()  ()() 1 − tan() tan() 1 −  () cos() cos() − cos() cos() 3.

Sean dos ángulos , 

∈ [0, 2) cualesquiera, tales que  <  , demostrar que:  

a.

()() =  [( + ) + ( − )];

b.

()( ) =  [( + ) +  ( −  )]

 

Si utilizamos teoremas de sumas podemos demostrar la igualdad.  

a.

() () =  [( + ) + ( − )];

b.

()( ) =  [( + ) +  ( −  )]

c.

()() =  [( +  ) + ( −  )];

d.

()() =  [( +  ) + ( −  )]

 

 

 

Demostración

1  1 [( + ) + ( − )] = [() cos() − cos() ()] + (() cos() − cos() () 2 2

 1 = {2  cos } 2 =     Analógicamente se demuestran las identidades a y b.

̅ , 4. Sea ABC un triángulo rectángulo siendo: D un punto del lado  ̅ =a, Determinar el valor de ̅ en función de a y c 30° y 

̅ = c, ∢ =  

Título Subtítulo Desarrollo:

Calcularemos Tan30º

 30º =

5.

1   =   ,    =  √ 3 −  √ 3  + 

Un pino mide 30 m de altura más que otro. Un observador que está a 100 m de distancia del pino más bajo, observa las puntas de ellas en una misma dirección con un ángulo de elevación de 30°. Determinar las alturas de los pinos y la distancia entre ellos. La altura de la primera chimenea x

30 =

  = 100

 = 30 ∗ 100 = 57.735 m La altura de la segunda chimenea x + 30 57.735 + 30= 87.735 m

Distancia

 30 = =

6.

 30 

30  = 51.961 30

Colocas una escalera de 13m de longitud apoyada en un muro, la cual forma un ángulo de 64° entre ellos. Determina la altura del muro para formar este ángulo con la escalera y la distancia entre el pie de la escalera y el muro.

x= Altura de muro

y= distancia entre la escalera y el muro

Por construcción del triángulo

Título Subtítulo Altura del muro

 13  = 64º ∗ 13 64º =

 = 5.698  Distancia entre la escalera y el muro

 13  = 64º ∗ 13 64º =

 = 11.684  7.

Un avión que pasa 60 m sobre la azotea de un edificio de 40 m de altura, desciende diagonalmente 200m hasta tocar la tierra. ¿Qué ángulo formó el avión al descender

con respeto al edificio? ¿Qué distancia hay entre la base del edificio y el punto donde está el avión? Aplicamos formula de coseno para obtener el ángulo que formo el avión al descender

   ℎ  100  = 200  = cos −1 (. 5)

cos  =

 = 60º Aplicamos seno para encontrar distancia (y) entre la base del edificio y el punto donde está el avión.

 200  = 60º ∗ 200 60º =

 = 173.205 