BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Latar Belakang Belakang Masalah
Peng Penggu guna naan an mate matema mati tika ka dala dalam m kehi kehidu dupa pann sang sangat at berg bergun unaa untu untuk k mening meningkat katkan kan pemah pemahama amann dan penal penalara aran, n, serta serta untuk untuk memeca memecahka hkann suatu suatu masalah dan menafsirkan solusi dari permasalahan yang ada. Tanpa disadari ketika kita mempelajari matematika, kita memiliki ketelitian dan kecermatan yang sangat baik karena nilai-nilai pada matematika yang menggunakan nilai yang kompleks sehingga faktor ketelitian sangat diperlukan untuk menghitung suatu rumusan masalah. Integral merupakan suatu bagian dari matematika yang juga banyak berperan dalam perkembangan ilmu matematika dan penerapan diberbagai bidang (Kemendikbud, 2!"#. Ini berarti integral banyak diterapkan di kehidupan sehari-hari. Keterlibatan integral dalam terapan ilmu lain seperti geometri, teknologi, biologi, ekonomi sangat membantu untuk pengembangan ilmu pengetahuan. pengetahuan. $i Indonesia, konsep integral diberikan kepada mahasis%a &akultas 'IP semester II yang meliputi) (!# pengertian integral* (2# integral tak tentu* (+# integral tertentu* ("# menentukan luas daerah* dan (# menentukan olume benda putar. 'eskipun materi tentang integral telah disampaikan oleh dosen, namun pada kenyataannya banyak mahasis%a yang masih belum memahami perbedaan antara teknik-teknik integrasi dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan integral. al ini dikarenakan integral menjadi salah satu materi yang diangg dia nggap ap sul sulit it ole olehh keb kebany anyaka akann mah mahas asis% is%a. a. al ini se serin ringg ter terjad jadii kar karena ena mahasis%a maha sis%a kuran kurangg mema memahami hami lang langkah-l kah-langk angkah ah peny penyeles elesaian aian pada integ integral. ral. /ntuk dapat menyelesaikan persoalan integral mahasis%a dituntut memahami lang la ngka kahh-l -laangk gkaah pe peny nyeele lesa saia iann in inte tegr gral al sete tela lahh it ituu ma maha hasi siss%a bi bissa mengaplikasikanyaa pada soal latihan. mengaplikasikany 0anyaknya persoalan yang ada pada integral, namun ada dua aturan dasar yangg dit yan dita%a a%arka rkann ag agar ar mah mahasi asis%a s%a dap dapat at mud mudah ah men menye yeles lesaik aikan an pe perso rsoala alann tersebut. turan pertama kita menggunakan aturan integral parsial dan yang satu lagi kita bisa menggunakan aturan integral substitusi. 1amun, hal ini sering kali jadi permasalahan karena mahasis%a masih sulit membedakan mana persoalan yang bisa diselesaikan dengan integral parsial dan mana yang bisa diselesaikan dengan integral substitusi. Penulis menduga bah%a masalah tersebut karena mahasis%a belum memahami dengan baik mengenai konsep teknik integrasi parsial dan substitusi, adapun beberapa mahasis%a masih bingung darimana memulai pengintegralan. leh leh karena karena itu, itu, penul penulis is berke berkeing ingina inann untuk untuk membua membuatt makala makalahh yang yang membahas tentang permasalahan yang timbul dalam menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan teknik integrasi substitusi dan parsial, serta contoh soal dan alternatif pemecahannya. pemecahannya. 1
1.2 Rumusan Masalah
dapun rumusan masalah dalam penelitian ini, yaitu) !# 0agaimana pemahaman tentang teknik integral subsitusi dan integral parsial pada mahasis%a &mipa /nimed3 2# pa sajakah permasalahan pemahaman teknik integrasi pada integral subsitusi dan integral parsial3 +# 0agaimana penyelesaian permasalahan pemahaman teknik integrasi pada integral subsitusi dan integral parsial3
1.3 Tujuan Peneltan
dapun tujuan dalam penelitian ini, yaitu) !# 'emberikan informasi atau pemahaman yang komprehensif tentang teknik integral substitusi dan integral parsial. 2# 'engetahui permasalahan pemahaman teknik integrasi pada integral substitusi dan integral parsial +# 'engetahui penyelesaian permasalahan pemahaman teknik integrasi pada integral substitusi dan integral parsial
1.! Man"aat Peneltan
!# 'enginformasikan kemampuan pemahaman teknik integrasi pada integral subsitusi dan integral parsial pada mahasis%a &mipa /nimed. 2# 4ebagai tugas 'ini 5iset untuk materi kuliah Kalkulus Integral
BAB II
2
#A$IAN PU%TA#A
'atematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan) penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, dan pemangkatan dan penarikan akar. $alam setiap kasus, operasi kedua melepaskan operasi pertama, dan sebaliknya. 4alah satu ketertarikan kita dalam operasi balikan adalah adalah kegunaannya dalam penyelesaian persamaan. 6ontohnya, penyelesaiannya x3 7 8 melibatkan pengambilan akar-akar. Kita telah mengkaji differensial* balikannya disebut antiderifferensiasi atau integrasi. rti yang lebih dalam dan lebih fundamental hamper sama dengan defenisi nol teknis) 9menunjukkan harga keseluruhan dari, menentukan jumlah dari9(:ebster#. rti matematis dari kata tersebut hanyalah dipakai dalam menentukan luas daerah yang dibatasi kura, olume bermacam-macam padatan, panjang kura dan titik berat, dan dalam aplikasi lain. rti lain mengintegrasi adalah mencari harga suatu fungsi jika deriatifnya diketahui. spek integral inilah yang disebut integral tentu dan integral tak tentu, dan hubungannya dinyatakan dalam sebuah teorema yang disebut dasar kalkulus integral. dapun differensiasi suatu fungsi elementer yang dapat dilakukan langsung dengan aturan-aturan yang kita kenal. asilnya selalu berupa fungsi elementer. Integrasi (antidifferensiasi# adalah persoalan yang berbeda sama sekali. Integrasi melibatkan sedikit teknik dan lebih banyak akal* lebih celaka lagi, hasilnya tidak selalu berupa fungsi elementer. 'isalnya, kita telah ketahui bah%a anti turunan
− x
e
2
dan (sin x#; x bukan fungsi elementer.
$ua teknik dasar untuk integrasi adalah substitusi dan integral parsial. 2.1 Integras &engan %u'sttus
0entuk baku penggunaan secara efektif metode substitusi bergantung pada kesiapsediaan daftar integral-integral yang sudah dikenal. Teorema ndaikan g adalah fungsi yang terdiferensiasikan dan anggaplah & anti turunan dari f. Kemudian, jika u= g ( x ) ,
∫ f ( g ( x ) ) g ( x ) dx =∫ f ( u ) du = F ( U ) +C = F ( g ( x ) ) +C '
2.2 Integras %u'sttus (ang Meras)nalkan
3
0entuk akar dalam integral selalu menimbulkan kesulitan dan biasanya kita berusaha menghindarinya. 4eringkali substitusi yang tepat akan menghasilkan untegral tersebut. Integral melibatkan √ ax + b . n
√ ax + b n
muncul dalam suatu integral,substitusi
u= √ ax + b n
akan
menghilangkan akar. Integral yang melibatkan √ a − x , √ a + x dan √ x − a . 2
2
2
2
2
2
/ntuk merasionalkan ketiga persamaan ini, kita membuat substitusi trigonometri berikut, !
kar √ a − x 2
2
2
√ a + x
2
+
√ x − a
2
2
4ubtitusi x =a sin t
Pembatasan pada t −π / 2 ≤t ≤π / 2
x =a tan t
−π / 2
x =a sect
2
0≤t ≤π ,t≠
π 2
4ekarang perhatikan penyederhanaan yang dicapai oleh substitusi ini. !.
√ a − x 7 √ a − a
2.
√ a + x 7 √ a + a
+.
√ x − a 7 √ a sec t −a = √ a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
tan 2
2
2
t =√ a
2
2
cos
= a cos t ⃓ t = ⃓ a cos t
=a sect ⃓ t =√ a sec t = ⃓ asec t 2
2
2
2
tan
2
⃓ = ±a tan t t = ⃓ a tan t
2.3 Integral Parsal
4
tau u ( x ) v ( x ) = D X [ u ( x ) v ( x ) ] − v ( x ) u ' ( x ) '
$engan mengintegrasi kedua ruas persamaan tersebut kita memperoleh
∫ u ( x ) v ( x ) dx =u ( x ) v ( x )−∫ u ( x ) u ( x ) dx '
'
Integral Parsial) Integral Tak Tentu
∫ u dv=u v−∫ v du 5umus yang berpaduan untuk integral tentu adalah b
b
∫ u ( x ) v ( x ) dx =[ u ( x ) v ( x ) ] =∫ v ( x ) u ( x ) dx b
'
'
a
a
a
Integral Parsial) Integral Tentu b
b
∫ u dv = [ uv ] =∫ v du b a
a
a
5umus-rumus ini membedakan kita memindahkan masalah menintegrasikan u dv menjadi mengintegrasikan v du. Keberhasilannya bergantung pada pilihan u dan d yang tepat, yang diperoleh melalui latihan =latihan.
5
BAB III MET*DE PENELITIAN 3.1 %um'er Data
$ata yang digunakan dalam mini riset ini adalah data dari angket yang disebarkan kepada mahasis%a Pendidikan &isika kelas regular 0 angkatan 2!+. $ata angket ini diberikan secara acak kepada ! orang dari mahasis%a Pendidikan &isika kelas regular 0 angkatan 2!+. 3.2 Met)&e Peneltan
Penelitian yang digunakan adalah penelitian kualitatif karena bertujuan untuk mendeskripsikan atau memberikan gambaran apa adanya atas suatu fenomena kehidupan nyata seperti yang dikemukakan oleh 'oleong (2!2# bah%a penelitian kualitatif adalah penelitian yang bermaksud untuk memahami fenomena tentang apa yang dialami oleh subjek penelitian (misalnya perilaku, persepsi, motiasi, tindakan, dan lain-lain# secara holistik (utuh# dan dengan cara deskripsi (dalam bentuk kata-kata dan bahasa#. $alam penelitian ini, peneliti melakukan penelitian untuk mengidentifikasi problematika apa saja yang sering muncul dalam penyelesaian soal matematika pada materi integral menggunakan teknik integrasi substitusi dan parsial, serta alternatif ja%aban yang mungkin dari problematika tersebut. Penelitian ini menggunakan penelitian kuantitatif yang berjenis studi kasus. Penelitian ini dilakukan di &akultas 'IP, /niersitas 1egeri 'edan. 4ubjek penelitian ini adalah mahasis%a Pendidikan &isika angkatan 2!+ yang telah mempelajari materi integral pada matakuliah pada semester II tahun akademik 2!+;2!". Pengambilan subjek dilakukan dengan teknik random. Teknik ini dilakukan karena peneliti menganggap semua mahasis%a memiliki kemampuan matematis yang sama dan penelitian ini hanya mendeskripsikan tentang problematika apa saja yang dialami mahasis%a ketika mengerjakan soal integral dengan teknik integrasi parsial dan substitusi terlepas dari kemampuan matematisnya. Pengambilan subjek penelitian ini dilakukan secara acak hingga terambil ! mahasis%a dari " mahasis%a yang ada. Penelitian dilakukan dengan pemberian tes berkaitan dengan materi integral. $alam menja%ab soal, subjek penelitian tersebut diberikan %aktu maksimal > menit. Tes berisi soal induksi matematika yang berbentuk uraian sebanyak 8 soal. 4elain itu, pedoman %a%ancara berisi butir-butir pertanyaan atau pernyataan yang bersifat mengeksplor informasi yang dibutuhkan oleh peneliti. $alam penelitian ini, %a%ancara bertujuan untuk mengetahui dengan jelas alur pikiran sis%a dalam menja%ab tes soal integral yang diberikan.
6
BAB I+ HA%IL DAN PEMBAHA%AN !.1 Hasl Peneltan
4etelah subjek menyelesaikan tes tertulis, diperoleh data uraian tentang cara subjek menja%ab soal-soal integral. 4elanjutnya, data tersebut dianalisis sehingga terlihat problematika yang dialami subjek tersebut. !.1.1 Pr)'lematka Teknk Integras &engan %u'sttus
6ontoh 4oal !
Tentukan hasil dari 'asalah !
Penyelesaian
∫ x
2
√ x +1 ? 3
0erdasarkan ja%aban mahasis%a di atas, terlihat bah%a mahasis%a telah menguasai tentang sifat bilangan akar dan bisa menggunakan teknik integrasi substitusi. 1amun ada mahasis%a yang masih bingung dalam menentukan permisalan. al ini dapat disebabkan karena mahasis%a belum memahami taknik substitusi dengan benar. 4oal diatas dapat diselesaikan dengan teknik integrasi substitusi karena fungsi ( # dan ( # mempunyai pangkat yang berbeda derajatnya serta fungsi ( # mengandung turunan dari fungsi ( # sehingga dilakukan permisalan terhadap fungsi ( #. 4etelah dilakukan permisalan, mahasis%a dapat mensubstitusikan hasil permisalan ke dalam bentuk @ (( ##A( #7@ (#
Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah 2 9
( x + 1 ) √ x + 1 3
∫ x
2
√ x + 1 3
=
3
+ C
7
'isal) 7
x
3
+1 ⟹ 7+
∫ x
sehingga
∫u
7
1 2
1 2 3 3
⟺
3
7
x
2
3
du
∫u 3
7
√ x + 1
du
2
3
1
7
2
x
1 2
du
3
u 2 + C
4elanjutnya, permisalan dikembalikan ke bentuk semula sehingga diperoleh
∫ x
2
√ x + 1
2
3
=
9
( x + 1 ) √ x + 1 3
3
+ C
6ontoh 4oal 2
Tentukan hasil dari
∫ xx−+ 11
?
'asalah 2
0erdasarkan ja%aban mahasis%a tersebut, dapat diketahui bah%a sudah dimengerti bah%a penggunaan integral pada soal ini menggunakan pengintegralan sederhana, dan tidak menggunakan permisalan.
Penyelesaian
4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan pengintegralan sederhana, karena salah satu fungsi bukan merupakan turunan dari fungsi yang lain. namun bisa dikerjakan dengan hasil pembagian ( #;( #.
8
Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah
∫ xx−+ 11 dx = x −¿| x −1|+C
2
( x + 1 ) ) ( x −1 ) 7 ! x − 1
∫ xx−+ 11 dx =∫ (1− x −2 1 ) dx=∫ dx−∫ x −2 1 dx =∫ dx −2 ∫ x −1 1 dx
0erarti
4ehingga diperoleh
∫ xx−+ 11 dx= x −¿| x −1|+C
6ontoh 4oal +
Tentukan hasil dari
∫ cos x ( 1 +cos x ) sin x 5
6
x ?
'asalah +
0erdasarkan ja%aban mahasis%a diatas terlihat bah%a dalam menyelesaikan soal tersebut mahasis%a menggunakan teknik integrasi substitusi. 1amun belum tepat dalam permisalan. al ini terjadi karena mahasis%a belum memahami dalam permisalan yang digunakan dalam turunan dari fungsi f(B#7 gC(B# pada fungsi trigonometri.
Penyelesaian
4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan pengintegralan dengan substitusi, karena salah satu fungsi merupakan turunan dari fungsi yang lain atau dapat dikatakan f( # 7C( #. 4ehingga fungsi yang memiliki pangkat lebih tinggi yang akan dimisalkan.
Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah
∫ cos x ( 1 +cos x ) sin x 5
6
1
x= - 6
(
6
cos
x +
1 2
cos
12
x
)
+C
9
'isal) u7 cos B, du 7 -sinB dB -du 7 sin B dB 'aka)
∫ cos x ( 1 +cos x ) sin x 5
6
x
=
∫ cos x sin x dx +∫ cos
=
∫ u (−du ) +∫ u
5
5
1
=-
6
1
=-
6
(
11
6
u
− 6
cos
1 12
u
x +
12
1 2
x sin x dx
(−du ) 1
+ C
cos
11
= -
12
x
)
6
6
cos x −
1 12
12
cos x + C
+C
6ontoh 4oal " Tentukan hasil dari
2
x − x x + 1
∫
x ?
'asalah "
0erdasarkan ja%aban mahasis%a diatas terlihat bah%a dalam menyelesaikan soal tersebut sis%a menggunakan teknik integrasi substitusi. kibatnya, hasil pengerjaan sis%a tersebut menjadi belum tepat. al ini terjadi karena sis%a belum memahami perbedaan antara teknik integrasi sederhana dan substitusi.
Penyelesaian
4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan pengintegralan dengan substitusi, karena salah satu fungsi merupakan turunan dari fungsi yang lain atau dapat dikatakan ( # 7C( #. 4ehingga fungsi yang memiliki pangkat lebih tinggi yang akan dimisalkan.
Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah ∫ x x +−1 x x = 12 x −2 x +2 ln| x + 1|+C 2
2
dengan
( x − x ) : ( x + 1 )= x −2+ 2
2
x + 1 10
Maka
∫
∫ ( x −2 + x 2+1 ) dx=∫ xdx−∫ 2 dx +2∫ xdx+1
2
x − x x + 1
x=
1
=
2
x
2
−2 x +2 ln| x + 1|+ C
6ontoh 4oal Tentukan hasil dari
∫ x2 −dx4 2
?
'asalah
0erdasarkan ja%aban mahasis%a diatas terlihat bah%a dalam menyelesaikan soal tersebut mahasis%a menggunakan teknik integrasi substitusi. kibatnya, hasil pengerjaan mahasis%a tersebut menjadi belum tepat. al ini terjadi karena mahasis%a belum memahami perbedaan antara teknik integrasi substitusi biasa dengan teknik integrasi fungsi rasional.
Penyelesaian
4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan pengintegralan dengan fungsi rasional, karena fungsi f dan g merupakan fungsi rasonal sejati dengan cara menguraikan penyebutnya terlebih dahulu. Dalu menentukan pembilangnya sehingga didapat suatu fungsi linear yang bisa diitegrasi secara sederhana. 2 dx
Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah
∫ x −4 2
| −+ | E6
¿ 1 ∈ x 2
x
2
2
Karena penyebut diuraikan sebagai (x+2)(x-2), didapat A ( x −2 ) + B ( x + 2 ) ( A + B ) x +( 2 B −2 A ) A B 2 = + = ( x + 2)( x − 2) x + 2 x −2 7 ( x + 2 )( x −2) ( x +2)( x −2)
11
$idapat persamaan E0 7 , dan 20-272, dengan cara substitusi atau eliminasi 1
didapat nilai 7 -
2
2
1
dan 0 7 −1
1
2
2
2
1
7 = + ( x + 2 ) ( x −2 ) x + 2 x −2
2 dx
∫ x −4 2
1
7
2
(
1 −1 + x + 2 x −2
)
dx =¿
( −+ + − ) 1
2 x
2
(
1
1
∫ 2
x −2
1
x
−
2
1
x + 2
)
dx
∫¿ 1
1
2
2
| | E6
¿ ( ln| x −2|ln| x +2|) + C = ∈
x −2 x + 2
!.1.2 Pr)'lematka Teknk Integras &engan Integral Parsal
6ontoh 4oal F Tentukan hasil dari @ B 2e2B x ?
'asalah F Penyelesaian
0erdasarkan ja%aban mahasis%a di atas, terlihat bah%a mahasis%a menyelesaikannya dengan menggunakan teknik integral parsial. 1amun hanya megerjakannya separuh jalan. 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan pengintegralan parsial, karena tidak adanya hubungan deriatif dan anti turunan antara kedua fungsi. 4ehingga soal di atas akan dimisalkan dalam bentuk @ dimana fungsi yang dimisalkan sebagai akan diturunkan, sedangkan fungsi yang dimisalkan sebagai akan diintegralkan. 4elanjutnya, setelah dilakukan permisalan, hasil permisalan tersebut disubstitusikan ke dalam bentuk @ 7 G@ . namun pengintegralan ini dilakukan dua kali.
12
(
x
Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah @ B e x = 2 2B
2
− x +
)
1 1 2 2
e
2 x
+ C
'isal) 7 x
2
dv 7 1
7 2 x
7
v
2
e
2 x
e dx
2 x
sehingga @Be
x
2 2B
x =
Adapun u= x ,
dv 7
∫e
∫e
maka 2 x
e dx 2 x
2
( ) 1 2
2 x
e
2 x
2
2
x e
2 x
−∫ e x x dx 2
du = dx
, v 7
2
e
( ) 1 2
e
2 x
1
2
x dx dengan
1
x dx = x
1
−∫ 1 e x 2 x dx = 2
2
2 x
1
x
−∫ e x = e x − 2
2
2
x e
2 x
2
2
−∫ e x x dx 2
11 22
x 2 x 1 2 x 2 x e = e − e 2
4
(
)
¿ 1 x e x − x e x − 1 e x + C 2
2
2
1
=
2
=
(
2
x e
x
2
2 x
2
2
)
1 1 2 2
4
x
−¿
− x +
2
2
e
2 x
e
2 x
1
2
+ e x +C 4
+ C
6ontoh 4oal H Tentukan hasil dari @ ln 3x+8! x ?
13
'asalah H
0erdasarkan ja%aban sis%a di atas, terihat bah%a sis%a menyelesaikannya dengan menggunakan teknik integrasi parsial dan dalam melakukan permisalan juga sudah tepat. 1amun, karena soal tersebut perlu dilakukan teknik integrasi parsial secara berulang sehingga ja%aban yang diperoleh belum tepat. al ini dapat terjadi karena sis%a belum memahami teknik integrasi parsial secara berulang.
Penyelesaian
4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan pengintegralan parsial secara berulang, sehingga setelah memperoleh bentuk @ 7 G@ selanjutnya @ diintegralkan kembali dengan teknik integrasi parsial, begitu selanjutnya hingga diperoleh ja%aban akhir yang sudah tidak mengandung pengintegralan.
Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah @ ln 3x+8! x = x ln |3 x + 8| - x −8 ln|3 x + 8| +C 'isal) u = ln 3x+8! 1
du =
3 x + 8
( 3 ) dx =
d" = dx 3 3 x + 8
sehingga dengan persamaan
dx
" = x
# = $#
@ ln 3x+8! x = x ln |3 x + 8| -
∫ x 3 x3+ 8 dx 14
3 x
7 x ln |3 x + 8|∫ 3 x + 8 dx = x ln |3 x + 8| !-
−8 − dx ∫ ∫ ( 3 x+ 8 dx )
= x ln |3 x + 8| !-
8 + dx ∫ ∫ ( 3 x +8 dx )
= x ln
|3 x + 8| - x −8 ln|3 x + 8| +C
6ontoh 4oal 8 Tentukan hasil dari @ e aB sin bB x ?
'asalah 8
0erdasarkan ja%aban mahasis%a di atas, terlihat bah%a sebagian besar mahasis%a tidak dapat menyelesaikan soal menggunakan teknik integral parsial jika kostanta pada soal tersebut berupa huruf. Penyelesaian 4oal seperti ini dapat dikerjakan dengan menggunakan pengintegralan parsial, karena tidak adanya hubungan deriatif dan anti turunan antara kedua fungsi. 4ehingga soal di atas akan dimisalkan dalam bentuk @ dimana fungsi yang dimisalkan sebagai akan diturunkan, sedangkan fungsi yang dimisalkan sebagai akan diintegralkan. 4elanjutnya, setelah dilakukan permisalan, hasil permisalan tersebut disubstitusikan ke dalam bentuk @ 7 G@ 1amun, pada persoalan ini dilakukan pengintegralan dua kali. Penyelesaian yang tepat untuk soal diatas adalah ax e ( a sin bx −b cos bx ) @ eaB sin bB x = a +b 2
2
M%&alkan u=
e
ax
d" = &%n 'x dx 15
1
ax
a e dx
du=
" =-
b
cos bx
dengan pe(m%&alan 'en)uk # = $# , d%dapa) e
@ e sin bB x = aB
ax
(
−1 b
−1 =
∫e
ax
b
e
ax
cos bx
)
−∫ a b
cos bx +
−1
cos bx
b
∫e
ax
( a e ax ) dx
cos bxdx
cos bxdx =? ?
*engan pe(m%&alan ang &ama, e
u=
ax
d" = & 'x dx 1
ax
a e dx
du=
∫e
maka
ax
" =
(
ax
cos bxdx = e
1
=
b
e
ax
sin bx
b
sin bx
1
b
sin bx
a b
-
)−∫
∫e
ax
1
b
( a e ax ) dx
sin bx
sin bx dx
&e.%ngga aB
@ e sin bB x =
−1 b
e
−1 =
b
−1 =
( ) + ( )∫ b
2
∫e
2
ax
sin bxdx
cos bx +
ax
ax
ax
b
e
ax
sin bx dx
( b + a )∫ eax sin bx dx
a b
∫e
b
b
e
2
−b =
2
=
2
b
e
e
ax
sin bx −
−1 =
ax
∫e
ax
sin bx dx
)
2
a
sin bx dx
=
cos bx dx
(
cos bx +
−1
ax
a 1 ax a e sin bx − b b b
cos bx +
2
a
2
2
e
∫ e b
@ e sin bB x 2
e
+ a2
aB
a 1+ 2 b
b
ax
b
cos bx +
ax
e
a b
cos bx +
2
b
∫e b
ax
2
ax
e
a
a
sin bx dx
cos bx +
ax
e 2
a b
e 2
ax
sin bx
sin bx
ax
sin bx
−b eax cos bx + a e ax sin bx
16
−b e ax cos bx + a eax sin bx ∫ e sin bxdx = = b +a ax
2
2
ax
e
( a sin bx −b cos bx ) 2
a
+b
2
!.2 Pem'ahasan
$ari beberapa soal yang tertera sebelumnya, secara umum terlihat ada beberapa masalah yang sering terjadi dalam melakukan pengintegralan baik pengintegralan dengan substitusi maupun parsial. 'asalah-masalah tersebut akan diuraikan lebih jelas pada paragraf berikut. Ketika mahasis%a dihadapkan dengan soal integral, mereka cenderung masih merasa bingung harus menyelesaikan dengan teknik apa* apakah dengan pengintegralan sederhana, pengintegralan substitusi atau pengintegralan parsial. 4elain itu, mahasis%a juga merasa bingung dengan bagaimana cara melakukan permisalan dan apa yang harus dimisalkan agar soal tersebut dapat diselesaikan. Pada masalah ! dan +, terlihat bah%a mahasis%a sudah menggunakan teknik integrasi substitusi. 4ebagian besar sudah memahami konsep substitusi tersebut, namun ada beberapa mahasis%a yang masih bingung dalam membuat permisalan dan bingung fungsi mana yang sebaiknya jadi permisalan. Ini membuktikan bah%a mahasis%a tersebut masih bingung dalam menggunakan permisalan pada teknik integrasi substitusi. Pada masalah 2 dan ", terlihat bah%a mahasis%a sudah memahami teknik integrasi substitusi rasional biasa dengan menggunakan pembagian fungsi lalu pengintegralan sederhana.
17
BAB + PENUTUP ,.1 #esm-ulan
0erdasarkan paparan materi dan pembahasan contoh soal pada bab sebelumnya, dapat ditarik beberapa kesimpulan, yakni problematika yang terjadi secara umum dalam penyelesaian soal integral antara lain) !. 'ahasis%a merasa bingung harus menggunakan teknik pengintegralan yang mana* dengan teknik integrasi sederhana, parsial maupun substitusi. 2. 'ahasis%a merasa bingung tentang fungsi mana yang harus dimisalkan dan mana yang tidak atau bagaimana cara memisalkannya. +. 'ahasis%a belum memahami teknik integrasi parsial secara berulang. ,.2 %aran
al ini diharapkan dapat membantu mahasis%a dalam menentukan teknik integrasi mana yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal integral yang dihadapi, fungsi mana yang seharusnya dilakukan permisalan dan fungsi mana yang tidak serta pemikiran-pemikiran a%al yang diperlukan sehingga mahasis%a tidak mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal yang berhubungan dengan integral.
18
$&T5 P/4TK Purcell, d%in <., Jarbergd, $ale., 5igdon, 4teen ., (2+#. Kalkulus
19
