PROGRAMACION LINEAL Método simplex La Dakota Furniture Company !a"ri#a es#ritorios mesas y sillas$ La manu!a#tura de #ada tipo de mue"le re%uiere madera y dos tipos de tra"a&o espe#iali'ado( A#a"ado y #arpinteria$ La #antidad %ue se ne#esita de #ada re#urso para !a"ri#ar #ada tipo de mue"le se da en la ta"la si)uiente$ Recurso Madera -rs$ De a#a"ado -rs$ De #arpinteria
Escritorio * pies de ta"la . /rs$ 0 /rs$
Mesa + pies de ta"la 0 /rs$ ,$1 /rs$
Silla , pie de ta"la ,$1 /rs$ 2$1 /rs$
Por a/ora se dispone de .* pies de ta"la de madera 02 /oras de a#a"ado y * /oras de #arpinteria$ 3e 4ende un es#ritorio a +2 dolares una mesa en 52 dolares y una silla en 02 dolares$ La empresa #ree %ue la demanda de es#ritorios y sillas es ilimitada pero se puede 4ender a los mas 1 mesas$ Dakota %uiere maximi'ar el in)reso total por%ue se /a n#omprado ya los re#ursos$
De!iniendo las variables de decisión #omo( x,6 Numero de es#ritorios produ#idos x06 N7mero de mesas produ#idas$ x56 N7mero de sillas produ#idas$
Dakota tiene %ue resolver el PL si)uiente( Max$ 86 +2x,9 52x09 02x5 s$a$ *x,9 +x0 9 x5 : .* .x,9 0x09 ,$1x5 : 02
;restri##i
;,=
;restri##i
;0=
0x,9 ,$1x09 2$1x5 : * ;restri##i
a= x0 : 1 xi ? 2 ;i6 , 0 5=
;rest$ demanda limitada de mesas=
;5= ;.=
Empe'amos el algoritmo simplex trans!ormando las restricciones del PL en la forma estandar $ Max$ 86 +2x,9 52x09 02x5 s$a$ *x,9 +x0 9 x59 s, .x,9 0x09 ,$1x5 9 s0
6 .*
;,=
6 02
;0=
0x,9 ,$1x09 2$1x5 9 s5 6 * x0
9
;5= s. 6 1
;.=
xi si ? 2 ;i6 , 0 5 .=
@rans!ormando la !un#i
8 +2x,52x0 02x5 6 2
Es#ri"imos todo en “forma canónica 0”.
!
R2
8 +2x,52x0 02x5
62
"# 0
R,
*x,9 +x0 9 x59 s,
6 .*
s$# %&
R0
.x,9 0x09 ,$1x5 9 s0
6 02
s'# '0
R5
0x,9 ,$1x09 2$1x5 9 s5
6*
s(# &
61
s%# )
B0
9
s.
,$ us#amos una solución b*sica factible +sbf, ini#ial( 3i x,6 x06 x56 2 enton#es enton#es s ,6 .* s06 02 s56 * y s.61 6 s, s0 s5 s.
N6 x, x0 x5
Nota( 3e puede aso#iar #ada #on el ren)l
N6 x, x0 x5
Nota( 3e puede usar una 4aria"le de /ol)ura #omo para una e#ua#i
La s"! a#tual es
x,6 , x06 x56 2 86 +2 x06 , x,6 x56 2
86 52
x56 , x,6 x06 2
86 02
Al in#rementar #ual%uiera de las N aumenta 8$ Como el in#remento de una unidad en x, pro4o#a el mayor aumento en 8 se es#o)e aumentar x, Enton#es x, entra a la "ase y se #on4ierte en una $ ;x, es la 4aria"le %ue entra=$ O"ser4e %ue x, tiene el coeficiente m*s negativo en el R2$ Nota( 3ele##ionamos la 4aria"le %ue entra ;en un pro"lema de maximi'a#i
¿Qué tan grande se puede tomar x1? Cuando aumenta x, #am"ian los 4alores de las a#tuales ;s, s0 s5 s.=$ Esto si)ni!i#a %ue al in#rementar x, se podr>a pro4o#ar %ue una se 4uel4a ne)ati4a enton#es( si x 06 x56 2 y x, 6,
R, R0 R5 R.
s,6 .**x, si s,?2 306 02.x, 3i s0?2 356 *0x, 3i s5?2 3.61
Es de#ir solamente puede aumentar x, mientras s,?2 o .**x,?2 o "ien x,:.**6 + Es de#ir solamente puede aumentar x0 mientras s0?2 o 02.x,?2 o "ien x0:02.6 1 3olamente puede aumentar x, si *0x,?2 o "ien x,: *06 . 3. serH no ne)ati4o #uales%uiera %ue sean los 4alores de x,
En resumen( 3,?2 30?2 35?2 3.?2
Para x,6 + Para x,61 Para x,6. Para todos los 4alores de x,$
Es de#ir para mantener las no ne)ati4as el mayor 4alor %ue puede tomar x,6. 3i /a#emos x,J. s5 ser>a ne)ati4o y no se tendr>a una s"!$
Nota( Cada ren)la tomar la 4aria"le %ue entra$ De i)ual !orma para #ual%uier ren)la un #oe!i#iente positi4o la " del ren)l
3i la 4aria"le %ue entra tiene un #oe!i#iente no positi4o en un ren)l
Para /a#er de x , una en R5 usamos opera#iones elementales de ren)l
“forma canónica 0”.
!
R2 8 +2x,52x0 02x5
62
"# 0
R,
*x,9 +x0 9 x59 s,
6 .*
s$# %&
R0
.x,9 0x09 ,$1x5 9 s0
6 02
s'# '0
R5
0x,9 ,$1x09 2$1x5 9 s5
6*
s(# &
61
s%# )
B0
9 s.
OER ,( Para o"tener #oe!i#iente , de x , en R5 R5,0R5 ,0R5 x,9 2$1x092$01x592$11s56 . Reescribiendo
R2
!
8 +2x,52x0 02x5
62
R,
*x,9 +x0 9 x59 s,
6 .*
R0
.x,9 0x09 ,$1x5 9 s0
6 02
R5
x,9 2$1x09 2$01x5 9 2$1s5
6.
B0
9
s.
61
OER 0( para o"tener #oe!i#iente 2 de x, en R2( R2+2R59R2$ +2R5 +2x,9.1x09,1x5952s5 6 0.2 9R28+2x,52x002x5 N4o R28
62
9,1x01x5952s5 6 0.2
Reescribiendo
R2 8
9,1x 0 1x59
!
52s5
6 0.2
R,
*x,9 +x0 9 x59 s,
6 .*
R0
.x,9 0x09 ,$1x5 9 s0
6 02
R5
x,9 2$1x09 2$01x5 9 2$1s5
6.
B0
9s.
61
OER 5( Para o"tener #oe!i#iente 2 de x, en R,( R, *R59R,$ *R5 *x,+x00x5 9 R, *x,9+x09 x59s,
.s5 6 50 6 .*
N4o R,
x59s,
.s5 6,+
Reescribiendo
R2 8
!
9,1x 0 1x59
R,
52s5
x59 s,
6 0.2
.s5
6 ,+
R0
.x,9 0x09 ,$1x5 9 s0
6 02
R5
x,9 2$1x09 2$01x5 9 2$1s5
6.
B0
9s.
61
OER .( para o"tener #oe!i#iente 2 de x, en R0( R0 .R59R0 .R5 .x,5x0x5 9 R0 .x,90x09,$1x59s0 N4o R0
0s5 6,+ 602
x092$1x59s0 0s5 6.
Reescribiendo
R2 " R, R0 R5
!
9,1x0 1x59
x59 s$
52s5 .s5
x09 2$1x5 9 s' 0s5 x$9 2$1x09 2$01x5 9 2$1s5
B0
9s%
6 0.2
"#'%0
6 ,+
s$#$-
6.
s' #%
6.
x$ # %
61
s% #)
6 ' s, s0 x, s.Q N6 x0 x5 s5Q 3"!( '6 0.2 s,6 ,+ s06 . x,6 . s.6 1
s56x06x562
@rataremos de en#ontrar una sbf %ue ten)a un mayor 4alor de 8 %ue la sbf anterior$
Primero examinamos la !orma #an
B56, x06s562 860.1 ;in#rementa en 1 unidades= si Enton#es x5 entra a la "ase$
Otra !orma de determinar la 4aria"le %ue entra a la "ase es( Es#o)er la 4aria"le #on el #oe!i#iente mHs ne)ati4o en el R2 a#tual R289,1x0 )x(952s5 6 0.2$ Como x5 es la 7ni#a 4aria"le #on el #oe!i#iente mHs ne)ati4o en R2 tiene %ue entrar a la "ase$
Prue"a de la Ra'
R2 " R,
R0 R5
9,1x0
x0
!
1x5
952s5
6 0.2 "#'%0
x59 s$
.s5 6 ,+
s$#$-
92$1x5 9 s'
0s5 6 .
s' #%
9 2$1s5 6 .
x$ # %
x$9 2$1x09 2$01x5
B0
9s% 6 1
s% #)
OER 1( Para o"tener #oe!i#iente , de x 5 en R0( R00R0 0R06 0x09x590s0.s56 * Reescribiendo
R2 "
9,1x0
R, R0 R5
!
1x5 x59 s$
0x0
9x5
x$9 2$1x09 2$01x5
B0
9 52s5 6 0.2 .s5 90s0 .s5 9 2$1s5
6 ,+ 6* 6.
9s% 6 1
OER +( Para o"tener #oe!i#iente 2 de x 5 en R2( R21R09R2 1R0
,2x 091x5 9,2s002s5 6.2
9R2 89,1x01x5 N4o R2( 891x 0
952s5 60.2 9,2s09,2s5 60*2
Reescribiendo
R2 " R,
91x0
9,2s0 9 ,2s5 6 0*2
R0 R5
!
x59 s$ 0x0
9x5
.s5
6 ,+
90s0 .s5
6*
9 2$1s5
6.
x$9 2$1x09 2$01x5
B0
9s% 6 1
OER ( Para o"tener #oe!i#iente 2 de x5 en R,( R,0R09R, 0R0 0x09x5 9R,
90s0 .s5 6 *
x59s,
.s5 6 ,+
N4o R,( 0x0 9s,90s0*s5 60.
OER *( Para o"tener #oe!i#iente 2 de x5 en R5( R5 ,.R09R5 ,.R0
2$1x02$01x5 2$1s0
9 s5
6 0
92$1s5
6.
2$1s09,$1s5
60
9R5 x,92$1x092$01x5 N4o R5x,9,$01x0
Reescribiendo forma canónica '
R2 " R, R0 R5
91x0
9,2s0 9 ,2s5
0x0 0x0
!
6 0*2 "#'&0
9 s,90s0 *s5 9x5
x$9 ,$01x0
B0 6 8 s, x5 x, s.Q
6 0.
s$#'%
90s0 .s5
6*
x(# &
92$1s09 ,$1s5
60
x$ # '
9s% N6 x0 s0 s5Q
6 1 s%# )
3"!( 86 0*2 s,6 0. x56 * x,6 0 s.6 1
x06 s06 s56 2
3e examina la !orma #an
Regla( Kna !orma #an
Anali'ando( Despe&ando 8 del R2( 8 6 0*21x 0,2s0,2s5$ 3i x06 , s06 s56 2 8 disminuye en 1 unidades$ 306 , x06s56 2 8 disminuye en ,2 unidades$ 356 , x06 s56 2 8 disminuye en ,2 unidades$ As> al aumentar #ual%uier N disminuirH el 4alor de 8 por lo %ue la s"! a#tual es la
@raslado al Cuadro 3implex$ “forma canónica 0”.
!
R2 8 +2x,52x0 02x5
62
"# 0
R,
*x,9 +x0 9 x59 s,
6 .*
s$# %&
R0
.x,9 0x09 ,$1x5 9 s0
6 02
s'# '0
R5
0x,9 ,$1x09 2$1x5 9 s5
6*
s(# &
61
s%# )
R.
B0
9 s.
1uadro simplex. "
2$
2'
2(
S$
S'
S(
S%
34
!
ra5ó n
R2 R,
, 2
+2 *
52 +
02 ,
2 ,
2 2
2 2
2 2
2 .*
R0
2
.
0
,$1
2
,
2
2
02
R5 R.
2 2
0 2
,$1 ,
2$1 2
2 2
2 2
, 2
2 ,
* 1
"#0 S$#% & S'#' 0 S(#& S%#)
,$ 3"!( N6 B,6 B06 B56 2Q 6 86 2 3,6 .* 306 02 356 * 3.6 1Q
us#ando una me&or s"! utili'amos la prueba de la ra5ón para determinar la 4aria"le %ue entra a la base$ R2 R,
" , 2
2$ +2 *
2' 52 +
2( 02 ,
S$ 2 ,
S' 2 2
S( 2 2
S% 2 2
34 2 .*
R0
2
.
0
,$1
2
,
2
2
02
R5 R.
2 2
' 2
,$1 ,
2$1 2
2 2
2 2
, 2
2 ,
* 1
! "#0 S$#% & S'#' 0 S(#& S%#)
ra5ón .**6 + 02.6 1 *06 . S nin)una
OER ,( R5,0R5 ;para o"tener #oe!i#iente , de B , en R5= $ R2 R, R0 R5
" , 2 2 2
2$ +2 * . $
R.
2
2
2' 52 + 0 2$ 1 ,
2( 02 , ,$1 2$0 1 2
S$ 2 , 2 2
S' 2 2 , 2
S( 2 2 2 2$1
S% 2 2 2 2
34 2 .* 02 .
2
2
2
,
1
!
ra5ón
OER 0( R2+2R59R2 ;para o"tener #oe!i#iente 2 de B, en R2=
R2 R, R0 R5
" , 2 2 2
2$ 2 * . $
R.
2
2
2' ,1 + 0 2$ 1 ,
2( 1 , ,$1 2$0 1 2
S$ 2 , 2 2
S' 2 2 , 2
S( 52 2 2 2$1
S% 2 2 2 2
34 0.2 .* 02 .
2
2
2
,
1
!
ra5ón
OER 5( R,*R59R, ;para o"tener #oe!i#iente 2 de B , en R,=
"
2$
2'
2(
S$
S'
S(
S%
34
!
ra5ón
R2 R, R0 R5
, 2 2 2
2 2 . $
R.
2
2
,1 2 0 2$ 1 ,
1 , ,$1 2$0 1 2
2 , 2 2
2 2 , 2
52 2 2 2$1
2 . 2 2
0.2 ,+ 02 .
2
2
2
,
1
OER .( R0.R59R0 ;para o"tener #oe!i#iente 2 de B, en R0=$ R2 R,
" , 2
2$ 2 2
2' ,1 2
2( 1 ,
S$ 2 ,
S' 2 2
S( 52 2
S% 2 .
34 0.2 ,+
R0 R5
2 2
2 $
, 2
0 2$1
2 2
. .
2
2
2$1 2$0 1 2
2 2
R.
, 2$ 1 ,
! "#'%0 S$#$ S'#% 2$#%
2
2
2
,
1
S%#)
ra5ón
6 8 3, 30 B, 3.Q N6 B0 B5 35Q$ 3"!( 86 0.2 3,6 ,+ 306 . B,6 . 3.61
356 B06 B56 2
@rataremos de en#ontrar una s"! %ue ten)a un mayor 4alor de 8 %ue la s"! anterior$
