Marco teórico. Método matricial.
La importancia de este método radica en que es la mas usada para realizar los aplicativos y programas de cálculo estructural, ya que trabaja de forma matricial lo cual es más manejable para el sistema, este método lo desarrollamos con la finalidad de comprender como funcionan interiormente los programas; este este metodo consta de de los siguientes siguientes pasos:
CALCULO DE MATRICES DE RIGIDEZ DE CADA MIEMBRO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL APLICACIÓN DE LA TEORIA DEL METODO DE LA RIGIDEZ o Calculo de Desplazamientos en los nudos o Calculo de Reacciones o calculo de las reacciones en las barras
metodo de los nudos.
Para analizar o diseñar una armadura, debemos obtener la fuerza en cada uno de sus miembros. Si fuésemos a considerar un diagrama de cuerpo libre de toda la armadura, entonces las fuerzas en los miembros serán fuerzas internas, y no podrían obtenerse a partir de un análisis de equilibrio. Si en vez de esto consideramos consideramos el equilibrio de un nudo, entonces una fuerza de miembro se vuelve una fuerza externa y las ecuaciones de equilibrio pueden ser aplicados. Esta es la base del método de los mudos. Como los miembros de la armadura son todos miembros rectos de dos fuerzas que se tienden en el mismo plano, el sistema de fuerzas que actúa en cada nudo es coplanar y concurrente. En consecuencia, el equilibrio rotatorio o por momento es automáticamente satisfecho en el nudo, nudo, y solo es es necesario satisfacer y para garantizar el equilibrio. En todos los casos, el análisis debe de comenzar en un nudo que tenga por lo menos una una fuerza conocida conocida y cuando cuando a lo mucho hay dos fuerzas desconocidas.
∑ = 0 ∑ = 0
Método de cramona.
Cremona fue quien dio origen a la estática gráfica, o el estudio de las fuerzas en equilibrio utilizando procedimientos gráficos. Escribió además artículos relacionados con las transformaciones gráficas y la geometría proyectiva. Sin haber realizado descubrimientos fundamentales, utilizó una forma clara y sencilla de aproximación a los temas tratados. tratados. La idea del método de cremona es la misma que la idea del método de los nodos, pero de forma gráfica. gráfica.
1. Armaduras resueltas. Por el metodo matricial.
Dado el siguiente reticulado calcularemos sus reacciones y sus fuerzas internas
Referencia:Problema Referencia:Problema extarido del blog de E. Ruiz, J. Chávez ¨INGENIERO LOCO´ http://www.alejandrocoello.com.mx/ y del canal Alejandro Coello https://www.youtube.com/watch?v=5Y1d2Nm3wFI Para el desarrollo por el método matricial tenemos que llevar el grafico a plano cartesiano; por comodidad designamos al nudo (2) como origen de coordenadas. coordenadas. Posterío a ello designamos nombres a las barras y colocamos sus ejes locales de cada barra, el cual en sentido del x positivo positivo indica la dirección dirección en la que se genera la barra
Es recomendable enumerar los nodos en forma espiral, además que la mayor cantidad de barras diverjan de un punto para tener mayor facilidad a la hora de usar las matrices Luego se colocan los desplazamientos de los nodos, que por lo general será en las direcciones de x e y
Luego para una mayor orden en el desarrollo sintetizamos la información de las barras en la siguiente tabla; en la cual se colocarán las medidas de las barras y las l as coordenadas de los ejes cercanos y los ejes lejanos; el eje lejano será en la dirección que se genera la barra la cual está está en dirección del del eje x positivo del eje eje local; este procedimiento procedimiento se realiza para todas las barras
Luego se tiene que formar la matriz de rigidez local de cada una de las barras; la cual se calcula con la siguiente formula:
N(X N , Y N) es la coordenada cercana y F(X F , YF) es la coordenada lejana Luego de realizar estos cálculos, se tendrá la matriz de rigidez local para cada barra, en cada desarrollo se mantendrá al margen el producto ; entonces tenemos:
()
posterior a ello formamos la matriz aumentada de orden 8 esto es debido a que poseemos 4 nudos
esto realizamos para todas las barras:
Posterior a ellos se realiza la matriz de rigidez global, la cual es la suma de todas la matrices de rigides local; entonces tenemos:
Al obtener la matriz aplicamos la TEORIA DEL METODO DE LA RIGUIDEZ De acuerdo a la cual tenemos que obtener:
[] = [ ][ ] Entones: Precedemos con el cálculo de los desplazamientos de los nudos:
= − De acuerdo a ello tenemos:
Luego calculamos el desplazamiento de cada nudo:
= −
Una vez que tenemos los desplazamientos procedemos a calcular las reacciones:
=
Y por último calculamos las reacciones en las barras
Y PARA CADA BARRA TENEMOS:
Comprimiendo la información tenemos:
Por el método de los nudos.
Para resolver el problema por este método es necesario asignar a cada nudo un número o una letra, para nuestro problema se asignó una letra a cada nudo (ver figura 1).
Figura N°1
Calculo de las fuerzas internas de la torre mediante el método de los nudos.
Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑ = 0 ∑ = 0
sin19° = 150 = 460.73 Ñ = cos19° = 435063
Aplicando las condiciones de equilibrio
∑ = 0 ∑ = 0
Ñ sin81° = sin19° Ñ = 151.87 = cos19° +Ñ cos81° = 459.39
Se puede observar que:
Ñ = Ñ = 151.87 Ñ = Ñ = 435.63
Aplicando las condiciones de equilibrio
∑ = 0
= = 459.39
Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑ = 0 ∑ = 0
= 459.39 =
Debido a la simetría:
= = 459.39 = Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑ = 0
2 sin25° = 200
= = 237.6
Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑ = 0 ∑ = 0
sin25° = sin65° = 110.34 + cos25° = Ñ + cos65° = 266.73
Cambiamos de ejes: X EN LA DIRECCION DE
Ñ
Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑ = 0 ∑ = 0 412.86
sin20° = sin34° = 180.40 Ñ + cos34° = cos20° =
Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑ = 0 ∑ = 0
sin81° = sin80° = cos81° + cos80°
= 414.06 = 136.48
Debido a la simetría que tiene l armadura se tiene:
= Luego al descomponer las barras se tiene:
sin37° + sin37° = 0
= 0
CAMBIANDO EJES: X EN LA DIRECCION DE R Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑ = 0
= 253.86
CAMBIAMOS DE EJES: Aplicando las condiciones de equilibrio:
∑ = 0 ∑ = 0
sin80° = sin40° + cos80° = + cos40°
Resolviendo el sistema se tiene:
= 160.21
;
= 245.46
Grafica de la torre con sus respectivas fuerzas axiales.
método de cramona.
En la figura se muestra un reticulado plano, del que se pide calcular las fuerzas internas de todas las barras por el método de cremona.
Fig. N°1: Reticulado #3.
Referencia: Problema extraído del sitio web de la Universidad Politécnica de Valencia. Curso: “ Introducción a los encofrados y las cimbras en obra civil y edificación”. https://upvx.es/courses/course-v1:IngenieriaDeLaConstruccion+encofrados+201801/about y del video del canal Universitat Politècnica de València - UPV
https://www.youtube.com/watch?v=APNIvOYwPZk 1. Como calculo previo se hallarán el valor de las reacciones, e identificaremos las barras que no trabajan.
2. Ahora debemos numerar las partes externas e internas (en ese orden) del reticulado, las partes externas estarán separadas por las cargas y las reacciones; por otro lado, las partes internas se ubicarán en las regiones internas que forman
las barras.
Fig. N°2: Reticulado #3 simplificado.
3. Se procederá ahora a graficar el polígono de fuerzas externas, para lo cual es importante tener una escala, la cual depende de la magnitud de las fuerzas que actúen sobre nuestro reticulado. Para nuestro caso, Escala: 1N = 1m. La elaboración del polígono va de la siguiente manera: Del 1 al 2 tenemos una fuerza de 6N hacia la derecha, por lo tanto, del punto 1 dibujamos 6 cm hacia la derecha. Del 2 al 3 tenemos una fuerza de 5N hacia arriba, entonces del punto 2 dibujamos 5 cm hacia arriba. Este Procedimiento se sigue hasta cerrar el polígono obteniendo la figura N°3.
Es importante que al final del recorrido el polígono se cierre en el punto de inicio, si esto no sucede significa que las reacciones calculadas al inicio eran incorrectas.
Fig. N°3: Polígono de fuerzas externas.
4. Una vez construido el polígono de fuerzas externas, se procederá a resolver el reticulado nudo por nudo. Empezaremos por el nudo A: El método de cremona indica que se debe recorrer en sentido horario. La barra AD va del número 2 al número 7, entonces graficamos una paralela a la barra AD en 2. La barra AL va del 7 al 1, entonces graficamos una paralela a AL en 1.
El punto donde se corten ambas paralelas determinara el lugar geométrico del punto que era común a ambas barras, en este caso numero 7. Para obtener el valor de la fuerza interna en cada barra solo se debe medir la distancia entre números.
FAD = dist. (1;7)
Para determinar si las barras están en Tracción o Compresión, se identifican los números. La barra AD va del 2 al 7; entonces en el diagrama de cremona dirigimos la paralela del 2 al 7, esta dirección resulta ser la dirección de la fuerza axial en la barra.
5. El procedimiento realizado en el paso 4 debe repetirse para cada nodo del reticulado, durante este proceso se ira construyendo el diagrama de cremona y se irán hallando los valores de todas las fuerzas axiales del reticulado. Diagrama final de cremona
Fig. N°4: Reticulado #3 resuelto.
2. Uso de programa y aplicativos moviles. Uso del SAP2000.
Se volvera resolver el problema de la torre, pero ahora utilizando el SAP2000, para ello seguiremos una serie de pasos. Paso1:
Dibujar la armadura en el SAP2000 si es el caso de que la armadura tiene una forma no muy complicada o en el AUTOCAD si es el caso en que la armadura tiene una forma muy complicad para luego exportarlo a el SAP2000 como se ilustra en la figura.
Paso 2:
Una vez dibujada vamos a escoger los puntos en donde hay apoyos y asignarle su respectivo apoyo como se muestra en la imagen.
Paso 3:
Definir los materiales y carga patrones como se muestra en la figura:
Paso 4:
Seleccionamos cada punto en donde hay cargas (puntuales o distribuidas) y las asignamos como corresponda tal como se muestra en la siguiente figura:
Paso 5:
Es importante saber que el SAP2000 por defecto tiene como configuración considerar una estructura en un pórtico, así que se tiene que transformar a una armadura y definir que solo se analice en el plano, esto se realiza de como se ve en las imágenes.
Paso 6:
Guardamos y ejecutamos el SAP2000, de la siguiente manera:
Obteniendo así los resultados que se muestran en las siguientes imágenes.
Interpretación de los resultados.
La parte azul indica que dicha barra está bajo tracción La parte roja indica que dicha barra está bajo comprensión Las barras que no tengan un color asignado (que no tengan ningún numero al costado) quiere decir que las fuerzas axiales son cero.
Uso del aplicativo “SW TRUSS”. •
•
Es una aplicación de análisis de elementos finitos, que tiene como finalidad el análisis de armazones, perchas o reticulados estáticamente determinadas (isostáticos) e indeterminadas (hiperestáticos). Esta aplicación es útil para los ingenieros civiles, arquitectos, ingenieros mecánicos y para estudiantes de ingeniería. La adquisición de esta app es gratuita y ocupa poco espacio de almacenamiento.
Se volverá a resolver el mismo problema utilizado en el método de Cremona Paso 1:
Para construir una estructura reticulada se procede primero a fijar los nodos usando la primera herramienta que encontramos en la parte superior.
•
Una vez colocado un nodo, es posible modificar su configuración, simplemente seleccionando al nodo y eligiendo la herramienta en forma de “lápiz”, el cual nos llevara a un menú de configuración.
Paso 2:
Una vez ubicados los nodos, debemos unirlos con la ayuda de la segunda herramienta, para ello seleccionamos el primer nodo a unir y luego seleccionamos el segundo
Paso 3:
Luego de armar la estructura debemos colocar los apoyos; para ello seleccionamos la tercera herramienta, elegimos el tipo de apoyo y seleccionamos el nodo donde se encontrará.
Paso 4:
Como paso final, procederemos a colocar las cargas que actuaran sobre nuestro reticulado; para ello seleccionamos la cuarta herramienta, el nodo donde actuará y configuramos la carga. El aplicativo irá resolviendo nuestro reticulado conforme vayamos insertando cargas a la estructura.
•
Una vez colocadas todas las cargas, se podrá visualizar el reticulado ya resuelto, indicándose las fuerzas axiales y su estado (compresión o tracción).
Uso de la aplicación “FRAME DESIGN”
El Frame Design 2D es una aplicación gratuita que ofrece la posibilidad de analizar reacciones, esfuerzos y deformaciones de estructuras en 2D. Se trata de una herramienta especialmente indicada para ingenieros industriales y arquitectos. Obviamente, no reemplaza al software de PC, pero es muy útil para resolver rápidamente casos sencillos. Está disponible hasta en diez idiomas distintos.
Se resolverá el problema anterior. Paso 1:
Abrimos la aplicación, nos dirigimos hacia la herramienta de “análisis”, donde se abrirá un pequeño menú, seleccionaremos la opción “visibility” y desactivaremos todas
las casillas.
Paso 2:
Ahora empezaremos con la construcción de nuestro reticulado, para ello seleccionamos la primera herramienta de la barra superior. Elegimos la opción “member”
del menú, y procedemos a grafica directamente las barras.
Paso 3:
Una vez construida nuestra estructura, continuaremos con la ubicación de los apoyos. Para ello elegimos la segunda herramienta, seleccionamos el tipo de apoyo que colocaremos, y lo ubicamos en el nodo que actuará. Podemos rotar el apoyo para el propósito del problema.
Paso 4:
El siguiente paso consiste en colocar las cargas sobre nuestro reticulado. Seleccionamos la tercera herramienta, elegimos la opción fuerza y la ubicamos en el nodo en el cual actuará. Al igual que los apoyos también podemos configurar las propiedades de la fuerza.
Paso 5:
Para poder visualizar el valor de las reacciones y de las fuerzas internas debemos activar dos de los casilleros que desactivamos en el paso 1.
Resultado final del análisis del reticulado, por medio del aplicativo “FRAME DESIGN 2D”
NOTA:
Para lograr una mejor visualización de los resultados es posible seleccionar una barra y visualizarla sola. Comparación entre ambas aplicaciones móviles.
