Metodos Original

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA CURSO DE METODOS NUMÉRICOS CON EXCEL MÉTODO DE BISECCIÓN: TOLERANCIA= PASO 1: DETECTAR CAMBIO DE SIGNO x f(x) -10 -5564 -9 -4108 -8 -2932 -7 -2006 -6 -1300 -5 -784 -4 -428 -3 -202 -2 -76 -1 -20 0 -4 1 2 2 28 3 104 4 260 5 526 6 932 7 1508 8 2284 9 3290 10 4556

0.00001

PASO 2: ITERACIONES PARA ENCONTRAR L LIMI LIMITE TE INFE INFERI RIOR OR

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 0.5 0.75 0.75 0.75 0.75 0.765625 0.7734375 0.77734375 0.77734375 0.77832031 0.77832031 0.77832031 0.77844238 0.77850342 0.77850342 0.77851868 0.77852631 0.77852631 0.77852821 0.77852917

LIMI LIMITE TE SUPE SUPERI RIOR OR PUNT PUNTO O MEDI MEDIO O

1 1 1 0.875 0.8125 0.78125 0.78125 0.78125 0.78125 0.77929688 0.77929688 0.77880859 0.77856445 0.77856445 0.77856445 0.77853394 0.77853394 0.77853394 0.77853012 0.77853012 0.77853012

0.5 0.75 0.875 0.8125 0.78125 0.765625 0.7734375 0.77734375 0.77929688 0.77832031 0.77880859 0.77856445 0.77844238 0.77850342 0.77853394 0.77851868 0.77852631 0.77853012 0.77852821 0.77852917 0.77852964

Ingrese la fòrmula para la ecuaciòn empezando en la celda B11, usando como valor de luego copie la fòrmula en toda la columna la soluciòn se calcula automàticamente

SOLUCIÓN F(PUNT F(PUNTO O MEDI MEDIO) O) MENOR MENOR A TOL TOL

-1.625 -1.625 SOLUCI SOLUCION ON -0.2031 -0.203125 25 TODAVI TODAVIA A NO 0.77148 0.77148438 438 TODAVI TODAVIA A NO 0.25610 0.25610352 352 TODAVI TODAVIA A NO 0.01992 0.01992798 798 TODAVI TODAVIA A NO -0.0931 -0.09318161 8161 TODAVI TODAVIA A NO -0.0370 -0.03702974 2974 TODAVI TODAVIA A NO -0.0086 -0.00865251 5251 TODAVI TODAVIA A NO 0.00561 0.00561222 222 TODAVI TODAVIA A NO -0.0015 -0.00152651 2651 TODAVI TODAVIA A NO 0.00204 0.00204126 126 TODAVI TODAVIA A NO 0.00025 0.00025698 698 TODAVI TODAVIA A NO -0.0006 -0.00063487 3487 TODAVI TODAVIA A NO -0.0001 -0.00018897 8897 TODAVI TODAVIA A NO 3.3997E3.3997E-05 05 TODAVI TODAVIA A NO -7.7488 -7.7488E-0 E-05 5 TODAVI TODAVIA A NO -2.1746 -2.1746E-0 E-05 5 TODAVI TODAVIA A NO 6.1251E6.1251E-06 06 TODAVI TODAVIA A NO -7.8106 -7.8106E-0 E-06 6 TODAVI TODAVIA A NO -8.4274 -8.4274E-0 E-07 7 SOLUCI SOLUCION ON 2.6412E-06

x A11

Ingrese la fòrmula para la ecuaciòn empezando en la celda H11, usando luego copie la fòrmula en toda la columna la soluciòn se calcula automàticamente

como valor de x G11

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MÉTODO DE LA SECANTE TOLERANCIA= ITERACION

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3 1 -0.02321428 -5.43961217 -2.90718388 -5.03496892 -4.78746872 -6.38853766 -5.06348624 -5.06633599 -5.06382992 -5.06383027 -5.06383027 #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

(FX) MENOR A TOL -1.69795152 TODAVIA NO -0.57467585 TODAVIA NO -0.48336344 TODAVIA NO 0.42444388 TODAVIA NO -2.23190511 TODAVIA NO 0.29378366 TODAVIA NO 0.34750203 TODAVIA NO -1.66822043 TODAVIA NO 0.00359553 TODAVIA NO -0.0262185 TODAVIA NO 3.6428E-06 SOLUCION

0.00001

Ingrese el valo

DEBE INGRESAR DOS APROXI

SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION SOLUCION

Ingrese la fòrmula para la ecuaciòn empezando en la celd luego copie la fòrmula en toda la columna la soluciòn se calcula automàticamente

r de la tolerancia deseada

IMACIONES INICIALES

C10, usando como valor de x B10

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA CURSO DE METODOS NUMÉRICOS CON EXCEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON TOLERANCIA= ITERACION

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

(FX) 1 0.875 1.64760083 1.57128515 1.52780802 1.5043669 1.49218211 1.48598378 1.48286779 1.48131098 1.48053561 1.48015005 1.47995847 1.47986332 1.47981608 1.47979262 1.47978097 1.47977518 1.47977231

2 1.08496094 -0.5602703 -0.29397773 -0.15074257 -0.0761799 -0.03817628 -0.0190445 -0.009478 -0.0047113 -0.00234047 -0.00116234 -0.00057716 -0.00028657 -0.00014228 -7.064E-05 -3.5072E-05 -1.7412E-05 -8.6449E-06

F'(X)

0.00001

MENOR A TOL

16 TODAVIA NO -1.40429688 TODAVIA NO -7.34148311 TODAVIA NO -6.76166408 TODAVIA NO -6.43068952 TODAVIA NO -6.25204525 TODAVIA NO -6.15913092 TODAVIA NO -6.11185179 TODAVIA NO -6.0880802 TODAVIA NO -6.07620253 TODAVIA NO -6.07028664 TODAVIA NO -6.06734484 TODAVIA NO -6.06588314 TODAVIA NO -6.06515716 TODAVIA NO -6.06479665 TODAVIA NO -6.06461765 TODAVIA NO -6.06452877 TODAVIA NO -6.06448465 TODAVIA NO -6.06446274 SOLUCION

xn

SOLUCION SOLUCION

Ingrese aquí la fórmula de la derivada de f( y luego copiela en toda la columna Ingrese aquí la fórmula de f(x) en la celda C10,, usando como x B10

Ingrese el valor de la tolerancia deseada

1

 xn 

f ( xn ) f ´( xn )

x), en la celda D10 usando como x B10

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA CURSO DE METODOS NUMÉRICOS CON EXCEL SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES POR ELIMINACION GAUSSIANA 1

-2 1 0

1 3 0

0 ! 0 ! 0 !

2 -3 0

0

1 0 0

-0.5 3.5 0

0 ! 0 ! 0 !

-1 -2 0

0

1 0 0

-0.5 1 0

0 ! 0 ! 0 !

-1 -0.57142857 0

0

1 0 0

-0.5 1 0

0 ! 0 ! 0 !

-1 -0.57142857 0

1 0 0

0 1 0

0 ! 0 ! #DIV/0! !

#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

Ingrese los coeficientes del s

POR EL METODO MATRICIAL

istema X^(-1)=

Y=

(X^-1)*Y=

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA CURSO DE METODOS NUMÉRICOS CON EXCEL solucion de sistemas lineales por el método Gauss-Seidel 5x-2y+z=3 -x-7y+3z=-2 2x-y+8z=1

3x-0.1y-0.2z o.1x+7y-0.3z 0.3x-0.2y+10

Paso 1: Despejar una variable de cada ecuación x=(3+2y-z)/5 y=(x-3z-2)/-7 z=(1-2x+y)/8

x=(7.85+0.1y y=(-19.3-0.1 z=(71.4-0.3x

Paso 2: definir valores iniciales para cada incógnita x1=0 y1=0 lo m{as usado es cero pero puede ser cualquier valor z1=0 reemplazar en cada ecuación los valores hallados x=(3+2*0-0)/5=0,6 y=(0,6-3*0-2)/-7=0,2 z=(1-2*0,6+0,2)/8=0

x=(7.85+0.1* y=(-19.3-0.1* z=(71.4-0.3*(

repetir los cálculos usando los nuevos valores de x,y,z hasta que se logre la tolerancia desead

xn

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ym

2.6166667 -2.7945238 2.9905565 -2.4996247 3.0000319 -2.499988 3.0000004 -2.5 3 -2.5 3 -2.5 3 -2.5 3 -2.5 3 -2.5

zn 7.005609524 7.000290811 6.999999283 6.999999989 7 7 7 7 7

7.85 =-19.3 z=71.4 +0.2z)/3 +0.3z)/7 0.2y)/10

0+0.2*0)/3 (j22)+0.3(0))/7 j22)+0.2*(j23))/10

2.6166667 -2.7945238 7.0056095

por matrices 3 0.1 0.3 x y z

3 -2.5 7

-0.1 7 -0.2

-0.2 -0.3 10

7.85 -19.3 71.4

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS Y FARMACIA CURSO DE METODOS NUMÉRICOS CON EXCEL INVERSA DE UNA MATRIZ POR ELIMINACION -6 -2 -2

-6 -6 -3

0 ! 4 ! 7 !

-3 -3 1

0 2 6

3 -1 -1

1 0 0

1 -4 -1

0 ! 4 ! 7 !

0.5 -2 2

0 2 6

0 -2 -1

1 0 0

1 1 -1

0 ! -1 ! 7 !

0.5 0.5 2

0 -0.5 6

0 0.5 -1

1 0 0

1 1 0

0 ! -1 ! 6 !

0.5 0.5 2.5

0 -0.5 5.5

0 0.5 -0.5

1 0 0

0 1 0

1 ! -1 ! 6 !

0 0.5 2.5

0.5 -0.5 5.5

-0.5 0.5 -0.5

1 0 0

0 1 0

1 ! -1 ! 1 !

0 0.5 -0.5 0.5 -0.5 0.5 0.41666667 0.91666667 -0.08333333

1 0 0

0 1 0

0 ! 0 ! 1 !

-0.41666667 -0.41666667 -0.41666667 0.91666667 0.41666667 0.41666667 0.41666667 0.91666667 -0.08333333

POR EL METODO MATRICIAL

Ingrese matriz

X^(-1)=

-0.20833333 0.29166667 -0.16666667 0.04166667 -0.29166667 0.16666667 -0.04166667 -0.04166667 0.16666667

INTEGRACION POR EL MÉTODO DEL TRAPECIO

b a n= h= i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 0 0.08 0.16 0.24 0.32 0.4 0.48 0.56 0.64 0.72 0.8 suma= integral=

b

 a

0.8 0 10 0.08 f(x) 0.200000 1.230047 1.296919 1.343721 1.743393 2.456000 3.186015 3.539607 3.181929 1.994401 0.232000 20.404032 1.63232256

error 0.0310613 0.0310613 0.0310613 0.0310613 0.0310613 0.0310613 0.0310613 0.0310613 0.0310613 0.0310613 0.0310613

1 dx  h ( f ( x 0 ) / 2  f ( x1 )  ..  f ( x n 1 ) X

Ingrese los limites de integracion y el número de puntos

f´(x) 25 4.19872 -0.59488 2.50912 7.36672 9.8 7.59712 0.51232 -9.73408 -19.45568 -23 0.38176

f´´(x) -400 -141.024 4.288 60.512 52.224 4 -59.584 -113.952 -134.528 -96.736 24 -72.8

 f ( x n ) / 2 )

1.62304256

INTEGRACION POR EL MÉTODO DE SIMPSON

b a n= h= i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c 1 4 2 4 2 4 2 4 2 4 1

#DIV/0! x 0 #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

integral=

c*f(x) #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

Ingrese los límites y el número de puntos

b a aproximar el problema de valor inicial:

y´=x+y, en 0
wn+1=wn+h(xn+yn)

X 0 #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

Wn 1 #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

n= h=

#DIV/0!

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS

Encuentre y(3)

1. ingresar condicion inicial y tamano de paso h= 0.5 x= 0 y= 1

(-2x3+12x2-20 x=0 x=4 h=0.5

2. Calculos t

y 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

d1

d2 d3 d4 1 8.5 -27.3263167 -160.119396 -25318.8708 -4279.87703 -18317347.3 -8.396E+13 -1.7623E+27 -3.1057E+54 -5.1762E+53 -2.679E+107 -1.795E+214 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!

10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15

#NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!





d1=h*f(tk,yk) d2=h*f(tk+1/2h,yk+1/2d1) d3=h*f(tk+1/2h,yk+1/2d2) d4=h*f(tk+h,yk+d3) yk+1=yk+d1/6+d2/3+d3/3+d4/6

x+8.5) inicial x=0 y=1

X

Y

-1.5 0.75 0 0.75 1.5

-14.1014 -0.931596 0 0.931596 14.1014

MÉTODO MATRICIAL PASO 1: MATRIZ X

VECTOR Y

PASO 2: TRANSPUESTA DE X

Paso 3: Producto x´x

Paso 4 Inversa de (x´x)

Paso 5: producto xý

Paso 6: producto final (x´x)-1 (xý)

X

Y X=

------#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! ------#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! ------#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! ------PRODUCTO #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! Y 1 1 2 5 TERMINO #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

#DIV/0!

Este es el valor interpolado

Metodos Original

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