Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del del instrumento instrumento de medición. Por ejemplo la constante constante de los gases gases ideales. También pueden provenir de cálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto tanto del métod métodoo como como del instru instrumen mento to de cálc cálculo ulo que que se utilic utilicen. en. Por Por ejemplo ejemplo .
Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente. Por ejemplo una ecuación de quinto grado.
Errores de truncamiento. Errores de redondeo.
Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.
Los errores anteriores también suelen denominarse como las fuentes de error. La magnitud del error generada por alguna o todas las fuentes de error mencionadas anteriormente, se puede cuantificar con ayuda de los siguientes parámetros:
Error relativo. Error porcentual.
e = Vr - Va
También es usual emplear el valor absoluto en los parámetros anteriores, en cuyo caso se denominan respectivamente error absoluto, error relativo absoluto y error porcentual absoluto.
Es continuo. Cada numero puede tener una cantidad ilimitada de cifras. Los números pueden ser tan pequeños como se desee.
No es continuo. Cada numero tiene una cierta cantidad máxima de cifras. Los números no pueden ser tan pequeños como se desee.
Al enviar un numero numero a algún dispositivo, dispositivo, es decir, al imprimirlo. El resultado es muy pequeño y sobrepasa la capacidad de representarlo. Se redondea comúnmente a 0. El resultado es muy grande y puede ocasionar un error al aproximarse al mayor valor que se pueda representar.
Por lo general, general, la aritmética de dígitos dígitos finitos lleva a resultados resultados aceptables, aceptables, hay casos en los cuales no es así. Prácticamente cualquier operación numérica tiene sus casos problemáticos. Nos limitaremos por simplicidad solo a las 4 operaciones aritméticas básicas. Los casos problemáticos más comunes son:
Multiplicación por números grandes. Suma de cantidades de distinto orden de magnitud. Resta de números casi iguales.
Redondeo simétrico.
Por ejemplo: . En la practica puede no ser así. Sí Realizamos la suma empleando únicamente 4 cifras significativas y usamos ambos tipos de redondeo. Se obtiene: 0.3333+0.6666=0.9999 (Redondeo truncado) 0.3333+0.6667=1.000 (Redondeo simétrico) Puede demostrarse demostrarse que por lo general general el redondeo simétrico simétrico lleva a resultados resultados más precisos.
Uso de la aritmética de intervalo. Consiste en retener en cada paso el valor más pequeño y más grande que puede tomar el valor buscado, para que al final se obtenga un intervalo que contenga el valor real. Los inconvenientes son que no sabemos a ciencia cierta en que parte del intervalo estará la solución, aunque comúnmente se supone que a la mitad y además se consume el doble de tiempo y memoria al almacenar los límites superior e inferior en los que puede estar la solución. Uso de aritmética aritmética de dígitos significativos. significativos. Consiste en retener retener en cada etapa solo las cifras que se piensa que son significativas. La desventaja es que se pierde información y no se tiene certeza de que tan significativa es una cifra. Enfoque estadístico. Consiste en suponer un comportamiento aleatorio con una distribución de probabilidad conocida. La teoría involucrada es extensa. De los enfoques mencionados es el que ha dado más éxito. 2
Por otro lado sí en es un error en alguna etapa de un proceso y k es una constante independiente de n el número de etapa, entonces sí el error después de n operaciones operaciones se puede representar representar por f(n)=kn , se dice que que el crecimiento crecimiento del error error es linea lineal. l. Sí Sí en camb cambio io el el erro errorr se repres represent entaa por por f(n f(n)= )= para para k>1, k>1, el el crecimiento del error se dice que es exponencial. El crecimiento del error lineal es por lo general inevitable, y cuando k y n son pequeños, los resultados son aceptables. El crecimiento del error exponencial debe ser evitado, ya que el término k n será grande, aun para valores relativamente pequeños de n. Por lo tanto sí el crecimiento del error es lineal el método es estable y sí es exponencial es inestable. La convergencia se refiere al hecho de que los métodos numéricos obtienen n términos de una sucesión de valores. Comenzamos con un valor inicial que sea una aproximación de la solución de un problema x 0. Aplicando un método numérico se obtiene otra aproximación x 1. Se repite el procedimiento para obtener x2 y así sucesivamente, es decir, se generar la sucesión x 0 , x1 ,...,xn (todos los términos son aproximaciones a la solución del problema). Sí la sucesión obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un límite se dice que el método es convergente o divergente en caso contrario.
En la practica esto no es posible de conseguir. Por esta razón tenemos que definir algún criterio que nos permita decidir sí existe o no la convergencia. Este criterio se denomina criterio de convergencia . El criterio de convergencia podemos implementarlo usando los parámetros de cuantificación del error. Esto es: 3
Error relativo: Error porcentual: epn=100ern
Error relativo:
Error porcentual:
No se conoce el valor real x. No es posible lograr el 0.
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Error relativo: Error porcentual: epn=100|ern|<=Tol
Para dejar completamente determinado el criterio de convergencia para un problema dado, demos de fijar la tolerancia. Para poder especificarla debemos de tomar en cuenta que:
La tolerancia más pequeña posible se obtiene tomando en cuenta él numero de cifras significativas, que maneje el instrumento de calculo que se utilice. Por ejemplo, sí usamos una calculadora, no es posible lograr mas de 8 cifras significativas. En la practica, por lo regular la solución de un problema puede determinarse experimentalmente en un laboratorio. Estas mediciones tienen una precisión limitada debido a la naturaleza tanto del fenómeno en sí, como de las técnicas de medición. medición. No es practico fijar una tolerancia tolerancia que sobrepase la precisión precisión que pueda alcanzarse en un laboratorio, ya que el valor calculado no podría verificarse con la precisión obtenida. Dependiendo de para que se quieran los resultados, se puede fijar la tolerancia. Sí solo requerimos requerimos una estimación estimación burda de la solución solución la tolerancia puede puede ser baja, digamos 1 o 2 cifras significativas. Pero sí vamos calcular la trayectoria de un vuelo a la Luna, la tolerancia debe de ser la mayor que se pueda alcanzar. Recuerda que esta de por medio vidas humanas. Un valor típico de las cifras que se pretenden alcanzar es 4. 6
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Queda por contestar una pregunta. ¿ Cuál de los criterios anteriores es mejor ?
Criterio de convergencia basado en el error relativo. En este criterio, sí podemos conocer él numero de cifras significativas alcanzado. Existe un teorema que dice lo siguiente: . Sí el error relativo en valor absoluto es menor o igual a , entonces el valor xa coincide con x en al menos NCS cifras significativas. significativas. Este criterio es mas útil que el el anterior. anterior. Dado que el teorema teorema es valido solo con el error relativo real, al aplicarlo al criterio de convergencia obtenemos. . Pedimos una cifra significativa adicional por seguridad. La tolerancia por lo tanto podemos tomarla como . Además este criterio es independiente del tamaño de los valores que se manejen. Solo tiene un problema. problema. No es aplicable sí la solución del problema problema es 0. El error porcentual. Esencialmente es equivalente al caso anterior.
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Un concepto que ayuda a visualizar esto es el de define con ayuda de la siguiente ecuación:
orden de convergencia .
Se
donde: en+1=x-xn+1: Error en la iteración n+1. en=x-xn: Error en la iteración n. : Constante Constante de error asintótico. asintótico. : Orden de convergencia. La es una una cons consta tante nte que que depe depende nde del méto método do numé numéric ricoo y de la soluc solución ión del del proble problema ma.. Se supo supone ne que que es es disti distinta nta de 0. 0. El expon exponen ente te es una una con consta stant ntee dependiente normalmente solo del método numérico. Esta ecuación puede escribirse de otra manera, sí no tomamos él limite:
Esta ecuación dice que el error de una iteración es aproximadamente proporcional a una potencia del error de la iteración anterior. Sí suponemos que existe convergencia entonces los errores deben de tender a 0. En esta ecuación es mas mas impor important tantee el exponent exponentee . Dado Dado que que los los erro errores res tienden tienden a 0, mientras mientras mayor mayor sea sea el el valor valor de , menor menor será será el numero numero de de itera iteracion ciones es que que se se requieren. En pocas palabras a mayor orden de convergencia mayor velocidad de convergencia y viceversa. El orden de convergencia normalmente es un valor constante. constante. Un valor valor típico es 1, en en cuyo caso caso se dice que el método método numérico tiene convergencia lineal. Otro valor frecuente es 2, en este caso se dice que el método tiene convergencia cuadrática. Existen métodos de convergencia cubica, cuartica, etc., pero a medida que aumente el orden de convergencia también el método es mas complicado. El orden de convergencia no es necesariamente un entero. Por ejemplo existe un método numérico cuyo 14
orden de convergencia es
.
La serie de Taylor es:
Como no es posible realizar la suma debemos de truncarla, sí hacemos esto se obtiene la sucesión:
Sí la denotamos como:
Obtenemos la sucesión: S0 , S1 , S2 , ...,Sn, ... En él limite se tendrá:
Lo anterior nos define un método numérico para calcular la función seno. Para saber cuando pararnos requerimos de un criterio de convergencia. Se realizó un programa que hiciera los cálculos. Se emplearon los criterios de convergencia basados en el error y en el error relativo. Se fijó él numero de cifras significativas y de decimales a calcular en 4. Como máximo de iteraciones se uso 50. Para ilustrar el efecto del error de redondeo, se implementaron los cálculos en precisión simple y en Precisión doble. Se obtuvieron los siguientes resultados: sen(0.5) Criterio de Convergencia Basado en el Error
Al analizar los resultados podemos observar que para el sen (0.5), en todos los casos los resultados son consistentes, es decir, se logró llegar a las cifras significativas o dígitos exigidos. Los valores de la precisión doble coinciden bien con los de la precisión simple. Por esto, concluimos que no afecto significativamente el error de redondeo. Para el sen (3.1416), los resultados del criterio del error respecto al del error relativo difieren. De hecho el del error relativo coincide mejor que el del error con el valor real. De los cálculos de la precisión simple a la doble ya hay discrepancia. De hecho, inclusive en los valores reales de las funciones de biblioteca hay diferencias. Podemos concluir que es mejor emplear el error relativo, además de realizar los cálculos con precisión doble. Finalmente para el sen (25.65634), se observan problemas serios. De acuerdo a lo que viste en calculo, esta serie del seno converge para todo x, y el seno esta acotado al intervalo [0,1 . Entonces, ¿ por que los resultados tan absurdos ?. Estos se deben a la gran cantidad de cálculos realizados, razón por la cual el error de redondeo redondeo crece tanto que los valores valores obtenidos obtenidos no tienen sentido. sentido. En este caso el error creció en forma exponencial y por lo tanto el método no fue estable en este caso. La serie del seno converge para todo x suponiendo que no existe redondeo, pero como en la realidad no es caso, puedes ver los resultados. 15
x2+62.10x+1=0 Tiene las raíces aproximadas x 1=-0.01610723, x2=-62.08390. Las soluciones se calculan con , Supongamos que usamos una regla de calculo. Solo podemos usar 4 cifras en los cálculos. Calculemos primeramente el determinante
ahora calculemos x1 y x2 ,
Podemos observar que x 2 coincide muy bien con el valor real a 4 cifras significativas. Sin embargo, con x 1 no ocurre así. ¿ Cuál es el problema ? La dificultad se tiene tiene al restar -62.10+62.06. -62.10+62.06. Estos números son casi casi iguales en 4 cifras significativas. En x2 tenemos una suma de números casi iguales y no nos ocasiona problemas. Para arreglar esta dificultad podemos manipular la ecuación del chicharronero. Sí racionalizamos el numerador tenemos
Sí recalculamos x1
Que es el valor real. Sí por curiosidad usamos esta formula para x 2 obtenemos
Aquí además de restar 2 números casi iguales, dividimos entre un numero cercano a 0, lo cual ocasiona mayor error de redondeo, que en el caso anterior para x1.
Al resolver un problema siempre tendremos presente errores: El error de redondeo, el error inherente y el error de truncamiento. Al aplicar un método numérico, debemos de emplear un criterio de convergencia. Él más recomendable es el que esta basado en el error relativo. El orden de convergencia es un valor que nos indica que tan rápido un método numérico puede llegar a la solución. Mientras mayor sea, es mejor, pero hay que pagar un precio. El método numérico es más complicado. El error de redondeo es prácticamente inevitable y puede invalidar por completo la solución de un problema. Puede minimizarse su efecto, ya sea reduciendo reduciendo de alguna manera él numero numero de cálculos a realizar, realizar, ó reformulando la solución de un problema de tal forma que se evite las operaciones aritméticas que ocasionan mas error. La suposición común de que trabajamos con números reales al realizar cálculos, no es cierta. Puede acarrearnos acarrearnos serias serias discrepancias discrepancias entre valores valores teóricos teóricos y valores calculados. Esto se debe a la forma en que se representan y como se manejan los números en la computadora. La precisión y la exactitud no son sinónimos. Una nos indica que tan confiable es un valor, y la otra que tan cerca estamos de el. Existen métodos numéricos que son estables y otros que no. Se prefiere los primeros.
