Unidad 1 Análisis del error Mapa de la unidad
Análisis del error
1.
Error de truncamiento
Error de redondeo
Representación de ente ros en computadora
Representación de frac ciones en computadora
Representación de núme ros reales en computad ora
Análisis del error
En esta unidad, unidad, se define define el concepto concepto de error en términos de métodos numéricos. Debido a que estos consisten en estrategias de aproximación que se emplean cuando no es posible la aplicación aplicación de técnicas analíticas analíticas o exactas en la resolución resolución de problemas problemas prácticos y de aplicación, se obtiene un resultado que difiere del verdadero valor que se busca. Esta diferencia se denomina error . Este concepto es de vital importancia en los méto método doss numé numéric ricos os,, ya que que éste éste se empl emplea ea como como refer referen enci ciaa para para la selec selecci ción ón y evaluación de los métodos numéricos así como de criterio de paro de los mismos. A continuación se presentan algunos conceptos fundamentales para la cabal comprensión del concepto de error . Dígitos significativos Es el concepto que se a desarrollado formalmente para designar la confiabilidad de un valor numérico. !os dígitos significativos de un n"mero, son aquellos que pueden ser empleados en forma confiable para describir una cantidad. #or e$emplo, suponga que se tiene un instrumento cuyo medidor marca%
#ara este caso, por los límites del instrumento, solo pueden mane$arse con certe&a dos dígitos. El tercero se estima. #or lo que en general solo se tienen tres dígitos significativos para este instrumento. Es importante establecer que los ceros, no son siempre dígitos significativos, ya que pueden emplearse para ubicar el punto decimal, por e$emplo% a' b' c' d'
(.(((()*+ (.((()*+ (.(()*+ (.(((()*(
!os incisos a, b y c, tienen cuatro dígitos significativos, donde el n"mero ) es el primer dígito significativo -dígito significativo principal o dígito más significativo', el * es el segundo dígito significativo, el + es el tercer dígito significativo y el es el cuarto. especto al inciso d, este tiene tres dígitos significativos, a saber ), * y (. #or otro lado el n"mero +/(( puede tener /, + ó dígitos significativos, dependiendo los ceros que se conocen con exactitud. #ara evitar la incertidumbre se usa la notación científica. a' +./ x )(+, tres dígitos significativos. b' +./( x )(+, cuatro dígitos significativos. c' +./(( x )(+, cinco dígitos significativos. !a importancia del concepto de dígitos significativos en el estudio de los métodos numéricos incide específicamente en dos aspectos ). Criterio para decidir la precisión de un método numérico . Es aceptable un método cuando garanti&a un determinado n"mero de dígitos significativos en su resultado 0. Criterio de paro. Dado que los métodos numéricos son técnicas iterativas, puede establecerse que cuando se alcance un determinado n"mero de dígitos significativos es condición suficiente para detener el método Exactitud y precisión Exactitud .1 2ndica qué tan cercano es un valor calculado respecto al valor verdadero. Precisión.1 3onsiderando que los métodos numéricos son técnicas iterativas, expresa qué tan cercana es una aproximación o una estimación a un valor, respecto a las aproximaciones o iteraciones anteriores del mismo. Inexactitud .1 4ambién se le conoce como sesgo. Es un ale$amiento sistemático del valor verdadero a calcular. Imprecisión.1 4ambién se le conoce como incertidumbre. 5e refiere al grado de ale$amiento entre sí, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero. Al observar las definiciones anteriores, puede determinarse que el error asociado a los métodos numéricos permite medir el grado de exactitud y precisión de los mismos.
Definición de error En términos generales, el error de un método numérico es la diferencia que existe entre el verdadero valor que se busca y la aproximación obtenida a través de una técnica numérica. El error se clasifica en dos categorías, error de redondeo y error de truncamiento. Ambos conceptos se explican a continuación%
1.1.
Error de truncamiento
5e originan al emplear al n"mero finito de términos para calcular un valor que requiere un n"mero infinito de términos. #or e$emplo, una expresión que permite determinar de forma exacta el valor del número de Euler -base de los logaritmos naturales' a través de una serie de 6ac!aurin es% x
e
∞
x i
i =(
i7
=∑
5in embargo, una aproximación a dico valor, puede obtenerse a través de su expresión finita% k
x
e
≈∑ i =(
x i i7
,
k < ∞ ,
Es claro que esta expresión finita es mane$able computacionalmente ablando, al contrario que la fórmula expresada en su forma infinita.
1.2.
Error de redondeo
5e origina por el eco de que una computadora sólo puede representar un n"mero finito de términos. #ara expresar una cantidad con un desarrollo decimal infinito, se tiene que prescindir de la mayoría de ellos. #or e$emplo, el n"mero 8 9 /.)+):0;...., tiene un desarrollo decimal infinito no periódico. #or lo tanto, para fines de cálculo, sólo se toman algunos de sus dígitos. Esto se reali&a a través de dos estrategias% ). Redondeo. #rescinde de cierto n"mero de cifras significativas y reali&a un a$uste, sobre la "ltima cifra no descartada % 8 < /.)+); 0. Corte o poda% #rescinde de cierto n"mero de cifras significativas sin reali&ar un a$uste sobre la "ltima cifra no descartada 8 < /.)+) En aplicaciones actuariales, ciencias e ingeniería, se recomienda el redondeo, ya que el corte o poda implica la pérdida de información. Ejemplo. 3onsidere la aproximación de 8 < /.)+):0;. ealice el corte y redondeo a% a' Dos dígitos significativos. b' 4res dígitos significativos. c' 3uatro dígitos significativos.
d' e' f' g'
3inco dígitos significativos. 5eis dígitos significativos. 5iete dígitos significativos. =co dígitos significativos.
Solución El respectivo corte y redondeo para el respectivo n"mero de dígitos significativos, se resume en la siguiente tabla% No. de dígitos Dos 4res 3uatro 3inco 5eis 5iete =co
Corte /.) /.)+ /.)+) /.)+) /.)+): /.)+):0 /.)+):0;
Redondeo /.) /.)+ /.)+0 /.)+); /.)+): /.)+):/ /.)+):0>
?na ve& que se a establecido la clasificación del error -es decir, las dos fuentes de error en los métodos numéricos', se procede a definir los conceptos de error absoluto !erdadero, error absoluto relati!o, error absoluto aproximado y error relati!o aproximado, todos ellos como una suma o consecuencia de los errores de redondeo y truncamiento. !os siguientes conceptos de error pueden emplearse como criterios de paro y medidas de precisión de los métodos numéricos. Error absoluto verdadero @ 5upóngase que p es una aproximación a p. El error absoluto !erdadero se define con la siguiente expresión%
E!
= p − p@
Esta definición de error, lo cuantifica en términos brutos. o obstante, una medida que puede describir con mayor detalle o proporción el error, es aquella que lo expresa en términos porcentuales. #ara ello se emplea el error verdadero relativo. Error relativo verdadero @ 5upóngase que p es una aproximación a p. El error relativo verdadero se calcula con la siguiente expresión% e! =
p − p@ p
,
p≠(
El resultado suele expresarse en términos porcentuales. Ejemplo ". 5ea x 9 /.)+)):0 y x@ 9 /.)+. 3alcule%
a' El error absoluto verdadero. b' El error relativo verdadero. Solución. a' E!
b'
= x − x@ /.)+):0 − /.)+ 9 9 0.001592
e! =
=
x − x@ x (.(():0
/.)+):0 = (.(((> = .(>B
Ejemplo #. @ 5ea $ 9 ) ((( (((, $ 9 ::: ::;. 3alcule%
a' El error absoluto verdadero. b' El error relativo verdadero. Solución. a' E!
b'
= $ − $@ 9 ) ((( (((1::: ::;
=+
$ − $@
e! =
=
$ + ) ((( (((
9 (.(((((+ Ejemplo %. 5upóngase que se tiene que medir la longitud de un puente - x' y la de un remace - $', obteniéndose : ::: y : cm respectivamente. 5i los valores verdaderos son )( ((( y )(, calcular% a' El error absoluto verdadero b' El error relativo verdadero Solución. a' E!
= x − x@
E!
= $ − $@
9 )( ((( 1 : :::
9 )( ((( 1 : :::
9)
9)
b' e! =
=
x − x@ x ) )((((
e! =
=
$ − $@ $ ) )(
= (.((()
= (.)
= (.()B
9 )(B
Aunque tienen el mismo error absoluto real -)', el error relativo de la medición del remace es muco mayor -)(B' contra el (.)B del error en la medición del puente. #ara evitar esta sub$etividad en la medición del error, en métodos numéricos se acostumbra el uso del error relativo. En los e$emplos anteriores, se conocía el verdadero valor buscado. Entonces cabría acerse la pregunta% 5i se conoce el valor buscado C#ara qué estimarlo con una aproximación numérica 3on fines didácticos, en los e$emplos anteriores se asumió que se conocía el valor verdadero buscado. En la práctica, se desconoce dico valor, por lo que el error deberá expresarse en términos aproximados, originando el concepto de error relativo aproximado. Error relativo aproximado El error relativo aproximado, mide el error de un método numérico, determinando el error de la iteración actual respecto el error surgido en la iteración anterior% ea =
Donde
x@i
9 aproximación actual a x.
x@i −)
9 aproximación anterior a x.
x@i − x@i −) xi
En métodos numéricos suele establecerse una tolerancia porcentual como criterio de paro, tal que el error relativo aproximado de un método, no exceda dica tolerancia.
ea
< t
donde t , es tolerancia fi$ada de antemano. A menor tolerancia se tiene mayor precisión en la aproximación al valor verdadero, sin embargo esto implica un aumento en el n"mero de iteraciones requeridas para detener el método. =bservaciones sobre la tolerancia t de un método numérico #uede demostrarse que si el siguiente criterio se cumple, se tiene la seguridad que un resultado es correcto en al menos n dígitos significativos%
) t = )(0− n÷ B 0 Ejemplo. x 3onsidere la serie de 6ac!aurin para la determinación de e %
x
e
= )+ x +
x 0 07
+
x/ /7
+ ... +
xn n7
n
,
lim
n →∞
xi
∑ i7 i =)
x Empe&ando con el primer término e = ) y agregando un término a la ve&, estimar el (. valor de e . Después de agregar cada término, calcular el error relativo real y
aproximado. El cálculo termina asta que el valor absoluto del error aproximado sea menor al criterio preestablecido t para garanti&ar tres dígitos significativos correctos. Solución. (. 3onsidere al n"mero ).;+*>0)0>) como el valor verdadero de e . 5i se desean tres dígitos significativos correctos, se tiene que n 9 /. En consecuencia%
) t = )( 0−/÷ B 0
= (.(B
De aquí, se tiene que para garanti&ar al menos tres dígitos significativos correctos, se tiene que cumplir% ea < t es decir x@i
− x@i −) x@i
<
)
<
)
0
)(0− nB
En este caso, como ya emos visto x@i
− x@i −) x@i
0
)(0−/B
Esto es ea < (.(B !a siguiente tabla muestra el desarrollo del e$ercicio% i
Expresión
Resultado
E v(!
ea
-).;+*>0)0>) − )'
) e x ≈ )
)
).;+*>0)0>)
= (./:/+ → //B x
0 e ≈ ) + x
x
/ e ≈ ) + x +
)F(.9).
x
0
07
) + (. +
(. 0
0
= ).;0
-).;+*>0)0>) − ).'
( ). − ) )
).;+*>0)0>)
).
= (.(:(0( → :.(0B
= (./// → //./B
-).;+*>0)0>) − ).;0'
-).;0 − ).'
).;+*>0)0>)
).;0
= (.()+/*> → ).++B
= (.(>;:0 → >.;:B
x
e ≈ ) + x + +
+
x
07
+
/7
x
/
+
x
/7
/
/7
07
0
0
+
x
+
+7
+
;
(.
-).;+*>0)0>) − ;+*//'
-).;+*// − ).;0'
).;+*>0)0>)
).;+*//
0+
7
+
+
0
+
0
(.
= ).0>B
-).;+*>0)0>)− ).;+*+/>'
-).;+*+/> − ).;+*//'
).;+*>0)0>)
).;+*+/>
/
;
(.
0+
= (.((()>0) → ()>0B
= ).;+*+/>
) + (. +
(.
= (.(()>)* → (.)>B
+
0
07 x
= ).;+*///
) + (. +
+ x
(.
0
+7
e ≈ ) + x + x
x
+
x
;
) + (. +
(.
/
e ≈ ) + x +
+
0
/
x
+
x
(.
0
/
+
0
(.
-).;+*>0)0>) − ).;>+*;:>:)>
;
).;+*>0)0>)
+
(.
)0(
= ).;+*;:>:) = (.(((()+); → (.(()+0B
= (.)*B -).;+*;:>:)> − ).;+*//' ).;+*;:>:)>
= (.()* < t
5e observa que en la sexta iteración se satisface el criterio para la tolerancia, ea G t , dado que en la sexta iteración, ea9(.()*, que es menor que la tolerancia preestablecida% t 9 (. (.(B. 3on esto se tiene que la estimación de e es de ).;+*;:>:)>, con al menos tres dígitos significativos correctos% 1."#$;:>:)>.
1.2.1 Representación de enteros en computadora epresentación de enteros sin signo El n"mero de bits empleado para la representación de n"meros en computadora, se denomina longitud de palabra, y generalmente es un m"ltiplo de oco. 3on una longitud de palabra de n bits, pueden representarse un total de 0 n n"meros diferentes, siendo el mayor de ellos el n"mero 0 n1). #or e$emplo, con una longitud de palabra de * bits, pueden representarse 0* 9 0; n"meros diferentes. El mayor n"mero es 0 * H ) 9 0. 3onversión de sistema binario a sistema decimal #ara convertir un n"mero de sistema binario a decimal con una longitud de palabra de n bits se emplea la siguiente expresión% n −)
m)(
= ∑ 0i xi ,
xi
= (,)
i =(
Donde &)(, corresponde al n"mero en base die&, y xi corresponde al i'ésimo dígito binario. Ejemplo. 3on una longitud de palabra de * bits, convertir el n"mero ))())(() 0 a sistema decimal.
Solución. !a siguiente gráfica muestra la cantidad en sistema binario y las respectivas posiciones de sus dígitos% 1
1
0
1
1
0
0
1
7
6
5
4
3
2
1
0
x> x; x x+ x/ x0 x) x( 5ustituyendo estos valores en la respectiva fórmula, se tiene el siguiente desarrollo% >
∑ 0 x i
i
= 0( -)' + 0)-(' + 0 0 -(' + 0 / -)' + 0 +-)' + 0 -(' + 0 ; -)' + 0 >-)' = 0)>
i=(
3onversión de sistema decimal a sistema binario 5e emplea una serie de divisiones entre dos, tomando el residuo de cada cociente como el respectivo valor de los dígitos binarios xi. El "ltimo de ellos, toma su valor de la parte entera de la "ltima división. Ejemplo. 3onvertir a sistema binario el n"mero 0)> )(. Solución. 5e procede a reali&ar un con$unto de divisiones entre dos y recuperar sus residuos para conformar los respectivos dígitos binarios xi.
3on esto se obtiene% x(9 ), x)9 (, x09 (, x/9 ), x+9 ), x9 (, x;9 ), x>9 ) donde se aprecia que el "ltimo dígito binario, toma su valor de la parte entera de la "ltima división. !os valores anteriores se expresan finalmente de la siguiente manera% 0)>)(9 ))())(() 0 Ienerali&ando, para convertir una cantidad m)( a sistema binario, con una longitud de palabra de n bits se procede de la siguiente forma% 5ea m( la cantidad original en base )(. A través de las siguientes operaciones, se irán obteniendo lo valores de cada dígito binario xi
x( 9 m( mod 0,
m( m) 9 0
mi mi 0 donde representa la parte entera de la fracción 0 x) 9 m) mod 0,
m) m0 9 0
x0 9 m0 mod 0,
m0 m/ 9 0
En general,
xi 9 mi mod 0,
mi miF) 9 0 ,
para i 9 (... n10
J para xn1) se tiene%
mn−) xn1) 9 0 5iendo xn1), el "ltimo dígito binario a obtener. Ejemplo. ?tili&ando una longitud de palabra de * bits, convertir 0)* )( a sistema binario sin signo. Solución. m( 9 0)*
)' x( 9 0)* mod 0, m) 9 x( 9 (,
0)* 0
m)9 )(:
)(: 0' x) 9 )(: mod 0, m0 9 0 x) 9 ),
m0 9 +
/' x0 9 + mod 0, m/ 9 x0 9 (,
m/ 9 0>
+' x/ 9 0> mod 0, m+ 9 x/ 9 ),
+ 0
0> 0
m+ 9 )/
)/ ' x+ 9 )/ mod 0, m 9 0 x+ 9 ),
m 9 ;
;' x 9 ; mod 0, m; 9 x 9 (,
m; 9 /
>' x; 9 / mod 0, m> 9 x; 9 ),
*' x> 9 m> 9)
; 0
m> 9 )
/ 0
3on lo que se obtiene la secuencia% 0)*)( 9 ))())()( 0 3omprobando% >
∑ 0 x i
i
= 0( -(' + 0) -)' + 0 0 -(' + 0 / -)' + 0 + -)' + 0 -(' + 0 ; -)' + 0 >-)' = 0)*
i=(
1.2.2 Representación de %racciones en computadora Kracciones binarias !as fracciones binarias pueden expresarse como sumas en las que aparecen potencias negativas de 0. 5i R es un n"mero real tal que ( G R G ), entonces existe una sucesión de cifras d ),d 0,....,d n, todas ellas en L(, )M, tales que% R 9 -d ) x 01)' F -d 0 x 010' F ...F -d n x 0'n'
...-"."'
Nue suele expresarse en notación fraccionaria binaria como% R 9 -(. d ),d 0,...,d n '0 #uede desarrollarse un algoritmo para representar fracciones en sistema binario% 6ultiplicando por 0 ambos miembros de la expresión -"."'%
0 R 9 d ) F --d 0 x 01)' F -d / x 010' F ...F -d n x 01n()''
...-".#'
[ 0 R ] , donde el símbolo [ x] denota la parte entera de x. De aquí se observa que d )9 3ontinuando con el proceso, se toma la parte fraccionaria de la igualdad - ".#' y se escribe% ) ) 9 frac-0 R' 9 -d 0 x 01)' F -d / x 010' F ...F -d n x 01nF)'
...- ".%'
donde frac- x' denota la parte fraccionaria del n"mero x. 6ultiplicando por 0 ambos miembros de -".%' se tiene% 0 ) )9 d 0 F --d / x 01)' F -d + x 010' F ...F -d n x 01nF0''
...- ".*'
4omando la parte entera de esta igualdad% d 0 9
[ 0 ) ) ]
El proceso contin"a posiblemente sin fin -si R tiene una representación en base 0 que no es finita ni periódica' y genera de forma recurrente dos sucesiones Ld O M y L ) O M, donde%
dk
= [ 0 ) k −) ]
)k = frac-0 ) k −) '
Ejemplo. >
5ea la fracción )( . epreséntala como una fracción binaria. Solución. R 9 (.>, entonces 0 R 9 ).+,
d) = [ ).+]
= ), )) =
frac-).+' = (.+
0 ) ) 9 (.*,
d0
= [ (.*] = (, )0 =
frac-(.*' = (.*
0 ) 0 9 ).;,
d/
= [ ).;] = ), )0 =
frac-).;' = (.;
0 ) / 9 ).0,
d+
= [ ).0] = ), )+ =
frac-).0' = (.0
0 ) + 9 (.+,
d
= [ (.+] = (, ) =
frac-(.+' = (.+
0 ) 9 (.*,
d;
= [ (.*] = (, ); =
frac-(.*' = (.*
0 ) ; 9 ).;,
d>
= [ ).;] = ), )> =
frac-).;' = (.;
ótese que 0 ) 0 9 ).; 9 0 ) ;. 5e tiene entonces que d O 9 dOF+ y ) O 9 ) OF+, para k 9 0, /, +. Es decir, la fracción tiene una representación binaria periódica% > )( >
#eriodicidad que se denota por )(
= )())(())(())(...
= )())( .
#ara comprobar el resultado anterior, se emplea la expresión de conversión a sistema decimal%
R =
∞
∑ d -0' , d ∈ { (,)} j =)
j
j
j
5ustituyendo los valores del e$ercicio anterior en la expresión% ) x 01)F( x 010 F ) x 01/ F) x 01+ F ( x 01 Es decir ) 0
)
)
*
);
+ +
=
* );
+
0 );
+
) );
=
)) );
= (.;*> ≈ (.>
).0./ Representación de n&meros reales en computadora ( punto flotante o coma flotante! ecuérdese que la notación científica expresa de manera compacta, cantidades de gran magnitud o de muy pe+ue,a magnitud, a través del producto de una cantidad denominada mantisa multiplicada por la base die&, la cual se eleva a una cierta potencia denominada caracter-stica. Este tipo de representación es el que se emplea tanto en computadoras como en calculadoras. 3onsidere los siguientes e$emplos% N&mero real
Notación cientí%ica
Representación en computadora
(.((((>+>
>.+> x )( 1
>.+> E H
/).+):0;
/.)+):0; x )(
/.)+):0; E F)
:>((((((((
:.> x )( :
:.> E F:
epresentación de punto flotante normali&ada -mantisa normali&ada' 4odo n"mero real x no nulo tiene una representación de punto flotante decimal normali&ada% x = ± . ×)( E
donde es la mantisa normali/ada, que se encuentra en el rango ) )(
≤ . ≤ )
y E es el exponente o caracter-stica. !a normali&ación consiste en allar el exponente E para el cual
x E
)(
) ∈ ,) ÷ )(
tomando . =
x )( E
Esta corresponde a flotar -despla&ar' el punto decimal acia la i&quierda del dígito significativo principal de la representación en base )( de x y luego a$ustar E seg"n sea necesario. Ejemplo.
N&mero
Representación normali'ada
M
E
1)0.>
1(.)0>P)( 0
(.)0>
0
(.)
F(.)P)( (
(.)
(
(.(;;;;...
F(.;;;;...P)( 1)
(.;
1)
Es importante mencionar, que una computadora o calculadora dispone de un número finito de cantidades reales que pueden ser representadas en forma exacta en sistema binario. Esto significa que un gran con$unto de n"meros reales, no tienen una representación exacta en computadora, por lo que los cálculos reali&ados con dicas cantidades, presentan un determinado error, el cual, por ser generado por las limitaciones físicas de una computadora para representar de forma exacta a diversos n"meros, entra dentro de la categoría de error de redondeo. "mero de máquina ?n número de m0+uina es un n"mero real que puede almacenarse de manera exacta en forma normali&ada de punto flotante en una computadora. 4oda computadora tiene un con$unto limitado de n"meros de máquina. 3onsideraciones% )' Qay un rango limitado para representar cantidades en computadora. "meros muy grandes -positivos o negativos' provocan desbordamiento -o!erflo1' y n"meros muy pequeRos -positivos o negativos' provocan underfloS -2ueco' entre el cero y el primer n"mero positivo 0' Qay un n"mero finito de cantidades que pueden ser representados en un rango -con$unto finito de n"meros de máquina'. !os n"meros irracionales no pueden ser expresados completamente. Adicionalmente, los n"meros racionales que no concuerdan exactamente con ninguno de los valores del con$unto de n"meros de máquina, tampoco puede ser representado de forma precisa en un sistema de cómputo. #ara su representación en computadora se utili&a una de las siguientes técnicas% redondeo o corte. /' El intervalo T x, entre n"meros que pueden ser representados de forma exacta en computadora -n"meros de máquina', aumenta conforme los n"meros crecen en magnitud. Este implica que los errores en la representación de n"meros en computadora son proporcionales a la magnitud del n"mero a representar. Esta proporcionalidad puede expresarse como%
∆ x x
∆ x x
≤
≤ ε cuando se emplea corte ε
0
cuando se emplea redondeo
donde ε se le denomina épsilon de la m0+uina -o unidad de m0+uina'. 5i una computadora almacena mantisas normali&adas de k bits, el épsilon de la máquina viene dada por%
U9
0) 1O < si la máquina emplea corte para almacenar
01O < si la computadora emplea redondeo para almacenar
Estrategias para minimi&ar el error de redondeo #ara finali&ar esta unidad, a continuación se presentan algunas estrategias para minimi&ar el error de redondeo al emplear métodos numéricos en la resolución de problemas matemáticos.
•
Estrategia de la mantisa completa. 2ntroducir valores de entrada con tantos dígitos significativos como sea posible. #or e$emplo% /.)+):0; en lugar de /.)+);
•
Estrategia de la respuesta final . edondear la respuesta final a una exactitud conocida. 5i un resultado es 0/./*>; y el dato de entrada menos exacto se conoce con / dígitos significativos, la respuesta debe considerarse como 0/.+
•
Estrategia de operaciones m-nimas. educir en lo posible el n"mero de operaciones a reali&ar, evitando siempre que se pueda la cancelación sustractiva -resta de dos n"meros prácticamente iguales, ya que la computadora arro$aría cero como resultado'.
•
Estrategia de multiplicación anidada. Evaluar los polinomios en forma anidada, por e$emplo% p- x' 9 0 x+ H ): x/ F ;.:* x0 H ;.*/+ x F .)/0+, tiene la forma anidada p - x' 9 ---0 x1);' xF;.:*' x1;.*/+' xF.)/0+
•
Estrategia de la precisión extendida parcial . 3uando se aga mediante un lengua$e de programación la suma acumulada
n x ∑ i÷ i =) mediante un ciclo, se debe emplear la precisión extendida o doble precisión -por e$emplo en lengua$e C , declarando las variables como double en lugar de float ' siempre y cuando sea posible.
i)liogra%ía
•
Vurden icard !. W Kaires X. Douglas, &n0lisis numérico. 0Y. ed., 6éxico, Irupo Editorial 2beroamérica, )::/.
•
3apra 5teven 3. W 3anale aymond #., étodos numéricos para ingenieros. +Y. ed., 6éxico, 6cIraS1Qill, 0((/.
•
Ierald 3urtis K. W Zeatly #atricO =., &n0lisis numérico con aplicaciones. ;Y. ed., 6éxico, #rentice Qall, 0(((.
•
6aron 6elvin X. W !ópe& obert X., &n0lisis numérico3 con enfo+ue pr0ctico. 6éxico, Editorial 3E35A, )::.
•
6ateSs Xon Q. W KinO [urtis D., étodos numéricos con &45&6. /Y. ed., EspaRa, #earson1#rentice Qall, 0((+.