INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DEL ORIENTE DEL ESTADO DE HIDALGO INGENIERÍA MECATRÓNICA MECATRÓNICA
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN UNIDADES 5 Y 6
CONTRERAS CRUZ FERNANDO ISMAEL DELGADILLO JUÁREZ CESAR URIEL ESPINOZA ESPINO ZA ALV ALVARADO ALDO ALEXIS MADRID LÓPEZ ANDRÉS PINEDA LÓPEZ MARCO ANTONIO ROJAS CARBAJAL OSCAR
ING. VÍCTOR RODRÍGUEZ MARROUÍN
A!"#$ H%&"'() D%*%+,-+ &+' /016 Contenido
Introducción.................................. Introducción.............. ........................................ ........................................ ................................................ .............................. .. 3 5 Derivación e integración numérica..................................................................4 5.1 Derivación numérica...................... numérica.......................................... ........................................ ..................................... ................. 4 5.2 Integración numérica: Método del trapecio, Métodos de Simpson 13 ! 3".................................... 3"........................................................ ....................................... ............................................... ..................................... ......... # 5.3 Integración con intervalos desiguales............................. desiguales................................................. ...................... ..11 11 # $cuaciones di%erenciales ordinarias...............................................................12 #.1 &undamentos de ecuaciones di%erenciales...........................................12 #.2 Métodos de un paso: Método de $uler, Método de $uler me'orado ! Método de (unge)*utta..............................................................................13 #.3 Métodos de pasos m+ltiples.................................................................15 onclusiones.....................................................................................................1(e%erencias................... (e%erencias...................................... ....................................... ............................................................ ............................................. ..... 1"
Introducción
2
En el siguiente trabajo se darán a conocer los temas correspondientes a las unidades 5 y 6 de la materia métodos numéricos, así mismo se dará una explicación de cada uno de ellos, se describirán sus fórmulas, algunas de sus aplicaciones y también se mostraran gráficas !e explicaran algunos métodos como" reglas de !impson #$% y %$&, métodos de 'unge( )utta, integración con inter*alos desiguales, etc +os temas ue se *erán en este trabajo son importantes a lo largo de la carrera de ingeniería en mecatrónica, ya ue tienen *arias aplicaciones como en las siguientes materias" control digital, *ibraciones mecánicas, programación, robótica, etc
5 -eri*ación e integración numérica 3
5# -eri*ación numérica -eri*ación numérica es la técnica de aproximar a la deri*ada de una función +a deri*ada es una operación matemática sobre funciones o *ariables de estado, y ue tiene una di*ersidad de aplicaciones en ingeniería +a deri*ada de una función representa la ra.ón de cambio con respecto al tiempo/ se utili.an en esuemas de control y procesos de automati.ación +a notación de la deri*ada de una función f0t1 con respecto al tiempo es definida como f0t1, la cual es igual a la serie de cambio de f con respecto al tiempo t 2atemáticamente la deri*ada de una función se define como" f ( t ) =
d
f ( t ) = lim
f ( t + ∆t ) − f ( t )
∆t →3
dt
∆t #3#4 2E'E78'29:
01 -onde ∆ t es un infinitésimo inter*alo de tiempo En mecatrónica ;ay *arios procesos donde se reuiere medir la ra.ón de cambio de las *ariables del robot
t
3
3
∫ f 0t 1dt = ∫
t = f t − 3 dt = ∫ df ( t ) = f ( t ) ( ) ( ) 3 3 dt
df ( t )
t
=3=4
2E'E78'29: 01 'etorna la función original
f ( t ) mas una constante ue depende de las condiciones
iniciales +a deri*ada de una integral" d dt
t
∫ f ( t ) dt = f ( t ) 3
%3%4 2E'E78'29: 01 'etorna a la función original
4
eométricamente, la deri*ada tangente de la función por la pendiente
´f
puede ser descrita como la pendiente de la línea
f ( t ) del punto especifico
t
+a línea tangente esta especificada
f ( t + ∆ t ) −f ( t ) ∆ t
+os puntos donde la deri*ada de la función
f es cero se llaman puntos críticos y pueden
representar regiones ;ori.ontales de la función
f
o puntos extremos
7igura #" +ínea tangente de la función f en el punto +a segunda deri*ada de la función
t k
´f ( t ) determina cuándo el punto crítico es mínimo o
máximo !i la segunda deri*ada en un punto extremo es positi*a, entonces el *alor de la función en el punto extremo es un mínimo local
7igura ="
5
+as técnicas de diferenciación numérica estiman la deri*ada de una función punto
t k
aproxima la pendiente de la línea tangente en
en los puntos cercanos a
t k
t k
∆ t =t k −t k −1=h
en un
usando *alores de la función
!i denotamos al inter*alo de tiempo
diferencia entre dos puntos consecuti*os,
f
donde
h
∆ t
como la
es la longitud de
∆ t
7igura %" +ínea tangente de la función f en el punto h
En control digital y sistemas discretos la longitud del inter*alo y se toman datos cada determinado tiempo
h
se mantiene constante
, esto significa ue el tiempo discreto
transcurre como m>ltiplos del periodo de muestreo ue el tiempo discreto se puede expresar como
t k
t k =kh
t k =t + h
/ para n muestras se tiene
, donde
k =1,2,3, … , n
?na forma ampliamente usada es el método de Euler 0diferenciación numérica1 f.( t k ) /
f ( tk ) − f ( t k −# ) tk − tk −#
=
f ( t k ) − f ( t k −# )
h
@3@4
2E'E78'29: 01
f ( t k )
y
f ( t k −1 )
conocida como diferenciación ;acia adelante 0forBard difference1"
#
f.( t k ) /
f ( t k +# ) − f ( t k ) tk +# − tk
=
f ( t k +# ) − f 0t k 1
h
5354
2E'E78'29: 01 E*identemente la calidad de la deri*ada depende de la distancia entre esos puntos o del periodo del muestreo
h =t k −t k −1 =t k +1−t k
-e esta forma se puede obtener la aceleración
por diferenciación numérica de la *elocidad 0Cortés, =3#=1" C
f ( t k ) =
f.( tk ) − f.( tk −# ) h
=
f ( tk ) − = f ( tk −# ) + f ( t k − = ) h
=
6364
2E'E78'29: 01
7igura @" -iferenciación numérica" DacABard y forBard
5= Integración numérica" 2étodo del trapecio, 2étodos de !impson #$% y %$& Integración numérica es la técnica de aproximar integrales de funciones +a integración de funciones es un tópico especial y de interés en aplicaciones prácticas para ingeniería mecatrónica y robótica +a aplicación inmediata de integración numérica se encuentra en el diseo de simuladores, la calidad de los resultados depende en gran medida de la exactitud para aproximar a una integral de función 2étodo del trapecio Cuando el área bajo la cur*a de la función f(x) es representada por trape.oides y el inter*alo Fa, bG es di*idido en n secciones del mismo tamao, entonces el área de f(x) puede ser aproximada por la siguiente expresión"
-
I T =
b−a
f ( x3 ) + = f ( x# ) + = f ( x = ) +…+ = f ( xn −# ) + f ( x n ) =n
H3H4
2E'E78'29: 01 -onde los *alores
i=1,2, … , n−1 ; x0 =a
y
x i
representan los *alores finales de los trapecios, para
x n=b .
8:9" 2atlab tiene la función trap. para aproximar la integral de una función por el método trape.oidal, cuya sintaxis es la siguiente" •
yJtrap. 0f1"
Esta función calcula la aproximación numérica de la integral de la función f por el método trape.oidal !i f es un *ector/ entonces yJtrap. 0f1 es la integral de f Cuando f representa a una matri. yJtrap. 0f1 retorna un *ector renglón con la integral sobre cada columna •
yJtrap. 0x, f1
Cuando la función trap. tiene la sintaxis yJtrap. 0x, f1 reali.a la integral de f con respecto a x •
yJtrap. 0x, f, dim1
2étodos de !impson !impson #$% Esta regla resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la siguiente ecuación" b
b
∫
∫
a
a
I = f ( x ) dx ≅ f = ( x ) dx
&3&4 2E'E78'29: 01 !i se designan a y b como
X 0
y
X 2
,y
f 2 ( x )
se representa por un polinomio de
+agrange de segundo grado, la integral se transforma en"
"
x=
0x − x# 10x − x = 1
∫ 0x − x 10x − x 1
I = F xo
3
#
3
=
f 0x 3 1 +
0x − x3 10x − x= 1 0x# − x 3 10x# − x = 1
f 0x# 1 +
0x − x3 10x − x# 1 0x = − x 3 10x = − x# 1
f 0x = 1Gdx
K3K4
2E'E78'29: 01
-espués de la integración y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente formula" I ≅
h %
F f 0x 3 1 + @ f 0x # 1 + f 0x = 1G
#33#34 2E'E78'29: 01 -onde, en este caso
h =(a −b )/ 2 Esta ecuación se conoce como la regla de !impson
#$%, y es la segunda fórmula de integración cerrada de eBton(Cotes +a especificación L#$%M se origina del ;ec;o de ue ; está di*idida entre % en la ecuación anterior ?na alternati*a para obtenerla se muestra en la siguiente figura, donde se integra el polinomio de eBton(regory para llegar a la misma fórmula
7igura 5" +a diferencia entre las fórmulas de integración a1 cerradas y b1 abiertas
+a regla de !impson #$% también se puede expresar con la siguiente ecuación"
0
I ≅ 0b − a1 1 Ancho
f 0x 3 1 + @ f 0x# 1 + f 0x = 1 64 4 4 4 1 4 4 44 2 3 Altura promedio
##3##4
2E'E78'29: 01 -onde
a = x 0 , b = x 2 y x 1=¿
el punto a la mitad entre a y b, ue está dado por 0b + a1$=
8bser*e ue de acuerdo con la ecuación anterior, el punto medio está ponderado por dos tercios/ y los dos puntos extremos por un sexto !e puede demostrar ue la aplicación a un solo segmento de la regla de !impson #$% tiene un error de truncamiento de" Et = −
# K3
h5 f 0@1 0ξ 1 #=3#=4 2E'E78'29: 01
8, como h = (b-a)/2, Et = −
0b − a1 5 =&&3
f 0@ 1 0ξ 1
#%3#%4 2E'E78'29: 01
ξ -onde está en alg>n lugar en el inter*alo de a a b 9sí la regla de !impson #$% es más exacta ue la regla del trapecio o obstante, una comparación con la ecuación anterior indica ue es más exacta de lo esperado En consecuencia, la regla de !impson #$% alcan.a una precisión de tercer grado aun cuando se basa en sólo tres puntos 0!te*en C;apra, =3##1
7igura 6" 'epresentación gráfica de la regla de !impson #$% de aplicación m>ltiple 8bser*e ue el método se puede emplear sólo si el n>mero de segmentos es par
1
!impson %$& -e manera similar a la obtención de la regla del trapecio y !impson #$%, es posible ajustar un polinomio de +agrange de tercer grado a cuatro puntos e integrarlo"
I =
∫
b
a
f 0 x1dx ≅
b
∫ f 0 x1dx a
%
#@3#@4 2E'E78'29: 01
%h &
F f 0x3 1 + % f 0 x# 1 + % f 0 x = 1 + % f 0 x% 1G
#53#54
2E'E78'29: 01 -onde
h =(b −a )/ 3 Esta ecuación se llama regla de !impson %$& debido a ue h
se
multiplica por %$& Esta es la tercera fórmula de integración cerrada de eBton(Cotes +a regla %$& se expresa también en la forma"
I ≅ 0b − a1
123 Ancho
f 0 x3 1 + % f 0 x# 1 + % f 0 x= 1 + f 0 x% 1
1 4 4 4 4 44 2& 4 4 4 4 4 43 Altura promedio
#63#64
2E'E78'29: 01 9sí los dos puntos interiores tienen pesos de tres octa*os, mientras ue los puntos extremos tienen un peso de un octa*o +a regla de !impson %$& tiene un error de" Et = −
% &3
h 5 f 0@1 0ξ 1
#H3#H4 2E'E78'29: 01
h = 0b − a 1 $ % 8, como
, Et = −
0b − a 1 5 6@&3
f 0@ 1 0ξ 1
#&3#&4 2E'E78'29: 01 n, se prefiere la regla de !impson #$%, ya ue alcan.a una exactitud de tercer una orden con tres puntos en lugar de los cuatro puntos
11
reueridos en la *ersión %$& o obstante, la regla de %$& es >til cuando el n>mero de segmentos es impar 0!te*en C;apra, =3##1
7igura H" Ilustración de cómo se utili.an en conjunto las reglas de !impson #$% y %$& para manejar aplicaciones m>ltiples con n>meros impares de inter*alos
5% Integración con inter*alos desiguales En la práctica existen muc;as situaciones en donde existen segmentos de tamaos desiguales
f ( x3 ) + f ( x# ) =
+ h=
f ( x# ) + f ( x = ) =
+…+ hn
f ( x n −# ) + f ( x n ) =
#K3#K4
2E'E78'29: 01 -onde
hi
J el anc;o del segmento i 8bser*e ue éste fue el mismo procedimiento
ue se utili.ó en la regla del trapecio de aplicación m>ltiple 0!te*en C;ap ra, =3##1
12
7igura &" ?so de la regla del trapecio para determinar la integral de datos irregularmente espaciados 8bser*e cómo los segmentos sombreados podrían e*aluarse con la regla de !impson para obtener mayor precisión
6 Ecuaciones diferenciales ordinarias 6# 7undamentos de ecuaciones diferenciales +as ecuaciones diferenciales son ecuaciones en la ue inter*ienen deri*adas de una o más funciones desconocidas -ependiendo del n>mero de *ariables independientes respecto de las ue se deri*a, las ecuaciones diferenciales se di*iden en Ecuaciones diferenciales ordinarias" auellas ue contienen deri*adas respecto a una sola *ariable independiente •
Ecuaciones en deri*adas parciales" auellas ue contienen deri*adas respecto a dos o más *ariables ?na ecuación diferencial es una ecuación ue incluye expresiones o términos ue in*olucran a una función matemática incógnita y sus deri*adas 9lgunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son"
13
!N= = x! + #
=33=34 2E'E78'29: 01 Es una ecuación diferencial ordinaria, donde
!N=
! = f 0 x 1
*ariable independiente , es decir,
representa una función no especificada de la d! dx
,
es la deri*ada de ! con respecto de x
+a siguiente expresión" ∂u ∂ x
+
∂u ∂!
=3
=#3=#4 2E'E78'29: 01 Es una ecuación en deri*adas parciales 9 la *ariable dependiente también se le llama función incógnita 0desconocida1 +a resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático ue consiste en buscar una función ue cumpla una determinada ecuación diferencial !e puede lle*ar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada 0como, por ejemplo, la transformada de +aplace1 8rden de la ecuación" El orden de la deri*ada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación rado de la ecuación" Es la potencia de la deri*ada de mayor orden ue aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera ue no tiene grado 0arcía, =3#61 Ecuación diferencial lineal" !e dice ue una ecuación es lineal si tiene la forma" an 0 x 1 !
0n1
+ an −# 0 x 1 ! 0 n−#1 + + a# 0 x 1 !N+a3 0x 1 ! = " 0x 1
==3==4
2E'E78'29: 01 Es decir" •
i la función ni sus deri*adas están ele*adas a ninguna potencia distinta de uno o cero
•
En cada coeficiente ue aparece multiplicándolas sólo inter*iene la *ariable independiente
•
?na combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación
Ejemplos"
14
!N= ! •
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como ! = f 0 x1 = k ×e x soluciones
, con k un n>mero real cualuiera
! n + ! = 3 •
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene ! = f 0 x 1 = a cos0 x 1 + b sin0 x 1 como soluciones , con a y b reales ! n − ! = 3
•
es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene
× $ 0e x 1 a ×e x +b # como solucione
, con a y b reales
6= 2étodos de un paso" 2étodo de Euler, 2étodo de Euler mejorado y 2étodo de 'unge()utta 2étodo de Euler ?n método ampliamente utili.ado en robótica y sistemas mecatrónicos es la integración numérica discreta, la cual se puede establecer directamente del método de Euler
I ( t ) =
∫ f ( t ) dt → I.( t ) = f ( t ) ∀t ∈ [ t , t ] #
=
t #
=%3=%4
2E'E78'29: 01
∆t → 3
I ( t + ∆t ) − I ( t )
∆t =@3=@4 2E'E78'29: 01
-onde
∆ t =t 2−t 1
, representa un infinitésimo inter*alo de tiempo
15
´( ) ´ ´ !i aproximamos a la deri*ada I ( t ) en su forma discreta I t ≅ I ( t k ) entonces el tiempo discreto está dado por
t k =kh,k =1,2, … ,n
t k −1=( k −1 ) h
forma se cumple
´ ( t k ) I
y
y
h
es el periodo de muestreo -e esta
∆ t k =t k −t k −1= kh−( k −1 ) h= h.
´ ( t k ) I
se puede reali.ar por diferenciación numérica de la
de la siguiente forma" I.0tk 1 =
I ( t k ) − I ( t k −# ) tk − tk −#
=
I ( t k ) − I ( t k −# ) h
f ( t k ) =
=53=54
2E'E78'29: 01 +a expresión anterior se conoce como método de Euler y sir*e para estimar la *elocidad por diferenciación numérica de la posición -espejando I (
t k
) de la formula anterior, la integral discreta aduiere la siguiente forma" I ( tk ) = I ( tk −# ) + hf ( t k )
=63=64 2E'E78'29: 01 +a expresión anterior es muy simple, se con*ierte es una sumatoria y es adecuada para poderse implementar como algoritmo recursi*o 0Cortés, =3#=1 2étodo de Euler mejorado El método de Euler mejorado es una modificación del método de Euler para resol*er E-8 Ns con condiciones iniciales +a solución ue ofrece este método, es una tabla de la función solución, con *alores de L2M correspondientes a *alores específicos de L3M :abla #" 7unción solución
Es por esto ue uno de los reuisitos para este método es especificar el inter*alo de x :ambién se reuiere de"
1#
• ?na ecuación diferencial de primer orden •
'
y = f ( x , y )
+a condición inicial, es decir, el *alor de 2 en un punto conocido
x 0
y ( x0 ) = y 0 El método consiste en usar la ecuación de Euler como una ecuación predicti*a y usar este resultado en la ecuación correcti*a de Euler(auss +as ecuaciones del método de Euler 2ejorado son las siguientes"
!i +# p = !i + hf 0xi , yi 1 =H3=H4 2E'E78'29: 01
!i +#c = !i +
h =
0 f 0 xi , !i 1 + f 0 xi +#, ! i +#p 11
=&3=&4
2E'E78'29: 01
2étodo de 'unge()utta ?no de los métodos más importante para integración numérica de ecuaciones diferenciales
´ de primer orden x = f ( x ) son los métodos de 'unge()utta -ic;os métodos se basan en aproximar la solución a tra*és de series de :aylor El método más simple, el denominado método de primer orden, usa una serie de expansión de :aylor de primer orden, el método de segundo orden usa la serie de expansión de :aylor de segundo orden, y así sucesi*amente 0el método de Euler es eui*alente al de primer orden de 'unge()utta1 8:9" 2atlab tiene funciones del método de 'unge()utta para los órdenes segundo, tercero, cuarto y uinto 0Cortés, =3#=1 +a serie de :aylor para e*aluar en el
t k
(ésimo tiempo a la función
x ( t k )
está dada
por la siguiente expresión"
1-
nderi#ada$
g
x0t k 1 = x0t k −# 1 + 0t k − t k −# 1 x0t k −# 1 +
0t k − t k # 1 = −
0t k − t k # 1 n
gg
x0t #1 + × × × + k−
=O
−
nO
4 3
x0t k −#1
=K3=K4 2E'E78'29: 01 El término
t k −t k −1
representa un peueo inter*alo el cual será representado por
h =t k −t k −1 =kh −( k −1 ) h
, entonces la serie de :aylor ueda de la siguiente forma"
g
x0t k 1 = x 0t k −# 1 + h x 0t k −# 1 +
h=
gg
hn
nderi#ada$
x 0tk −# 1 + ××× + x 0tk −# 1 + nO =O %33%34 2E'E78'29: 01
6% 2étodos de pasos m>ltiples +os métodos de un paso ue se describieron en las secciones anteriores utili.an información en un solo punto xi para predecir un *alor de la *ariable dependiente yiP# en un *alor futuro, de la *ariable xiP# +os procedimientos alternati*os, llamados métodos de pasos m>ltiples o multipaso, se basan en ue, una *e. empe.ado el cálculo, se tiene a disposición información de los puntos anteriores +a cur*atura de las líneas ue unen esos *alores pre*ios proporciona información con respecto a la trayectoria de la solución +os métodos multipaso ue exploraremos apro*ec;an esta información para resol*er las E-8 9ntes de describir las *ersiones de orden superior, presentaremos un método simple de segundo orden ue sir*e para demostrar las características generales de los procedimientos multipaso 0!te*en C;apra, =3##1
1"
+
7igura K" 'epresentación gráfica de la diferencia fundamental entre los métodos a1 de un paso y b1 de pasos m>ltiples para la solución de E-8
Conclusiones 7ernando Ismael Contreras Cru." Con este trabajo podemos concluir ue los conocimientos y temas *istos como deri*ación numérica, integración numérica, integración con inter*alos desiguales ecuaciones diferenciales ordinarias entre otros de métodos numéricos obtenidos los podemos utili.ar en diferentes aplicaciones futuras y problemáticas de ingeniería mecatrónica ya ue es complemento de nuestra formación educati*a
10
Cesar ?riel -elgadillo Quáre." tiles a lo largo de la carrera, ya ue estos conocimientos serán aplicados en diferentes materias como lo son" robótica, control, etc +a reali.ación de este trabajo fue importante ya ue se aduirieron conocimientos fundamentales para la ingeniería mecatrónica
'eferencias
ortés, &. (. 2126. MATLAB Aplicado a robótica y mecatrónica. Mé7ico D.&.: 8l%aomega 9rupo $ditor, S.8. de .., Mé7ico.
2
9arc;a, <. =. 2- de Ma!o de 21#6. Fundamentos matemáticos. >?tenido de @ttps:campusvirtual.ull.esocApluginBle.p@p"0"3modCresourceconte nt1-"E2$D>.pd% Steven @apra, (. F. 2116. Métodos numéricos para ingenieros. Me7ico, D.&.: Mc9(8$)GI.
21
