Métodos Numéricos, Matlab - Carlos Enrique Mejía Salazar.pdf

EDICIONES ACADÉMICAS

VíCTOR HERNÁNDEZ EDUARDO RAMos ILDEFONSO YÁÑEZ

PROBABILIDAD ysus APLICACIONES EN INGENIERíA INFORMÁTICA Segunda edición

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EDICIONES ACADÉMICAS

Primera edición: noviembre de 2005 Segunda edición: octubre de 2007

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética, o cualquier almacenamiento de información y sistema de recuperación, sin permiso escrito de Ediciones Académicas, S. A.

© Víctor Hemández, Eduardo Ramos e Ildefonso Yáñez © EDICIONES ACADÉMICAS, S. A.

Bascuñuelos, 13 - P - 28021 Madrid ISBN: 978-84-96062-99·3 Depósito legal: M. 42.174-2007 Impreso por Femández Ciudad, S. L. Coto de Doñana, 10 - 28320 Pinto (Madrid) Impreso en España / Printed in Spain

/

I nd ice genera I

Prólogo

xi

1. Experimentos aleatorios 1.1: ¿Qué significa "aleatorio"? . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Cálculo de probabilidades y ciencia de los computadores 1.3 Nuestra experiencia del azar 1 . Evidencia empírica del azar . 1.5. Modelo matemático. . . . 1.5.1. Espacio muestral . 1.5.2. Álgebra de sucesos 1.5.3. Probabilidad . . . 1.6. Propiedades de la probabilidad 1.7. Asignación de probabilidades . 1.8. Tres técnicas combinatorias. 1.8.1. Contar con los dedos . 1.8.2. Contar palabras . . . . 1.8.3. Contar subconjuntos con k elementos 1.9. Los instrumentos del probabilista. 1.9.1. Monedas .. 1.9.2. Dados . . . . 1.9.3. Bolas y urnas 1.9.4. Ruletas . . . 1.10. Plantear y resolver problemas. 1.11. Método de cálculo por el complementario Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pequeño curso de combinatoria en forma de ejercicios . Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3 4 5 6 7 10 12 15 17 17 18 21 24 25 26 26 27 27 30 35 36 39

2. Modelos aleatorios dinámicos 2.1. Modelos estáticos y modelos dinámicos . . . . . . . 2.2. Probabilidades condicionadas. . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Propiedades de la probabilidad condicionada 2.3. Cálculo "dinámico" de la probabilidad de la intersección

49 51 54 54

49

VIII

íNDICE GENERAL 2.4. Diagramas de árbol .. 2.5. Fónnula de la probabilidad total .. 2.6. Fórmula de Bayes . . . 2.6.1. Análisis de imágenes . 2.7 . Independencia de dos sucesos 2.8. Independencia de varios sucesos 2.8.1. Propiedades . . . 2.8.2. Cálculo con sucesos independientes 2.9. Experimentos independientes. . . . 2.10. Pruebas independientes e ilimitadas 2.11. Métodos recursivos para calcular probabilidades . .. 2.11.1. Fonnalismo del método recursivo 2.12. Diagramas de estados . . . . . 2.13. Método para resolver ecuaciones en diferencias Ejercicios del capitulo 2 . Soluciones. . .. ..

56 57 59 60 63 64 66 66 70 73 76 80 83 85 87 91

3. Variables aleatorias discretas 3.1. Concepto de variable aleatoria .. . ... 3.2. Distribución de una variable aleatoria discreta .... . 3.2.1. Distribución de Y = g(X) 3.3. Distribución de una variable condicionada por un suceso 3.4. Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta. 3.5 . Esperanza de una función de una variable aleatoria 3.5.1. Esperanza de la función lineal 3.6. Entropía de una variable aleatoria . . . . 3.7 . Momentos y varianza de una variable aleatoria . 3.8. Funciones generatrices . . 3.9. Modelos de distribuciones discretas 3.9.1. Distribución de Bemoulli . 3.9.2. Distribución binomial 3.9.3. Cálculo de las probabilidades binomiales 3.9.4. Distribución geométrica . . . . . 3.9.5. Distribución de Poisson . . . . . 3.9.6. Cálculo de las probabilidades de Poisson 3.9.7 . La distribución de Poisson es límite de pruebas independientes Ejercicios del capitulo 3 . Soluciones. . . ..

129 133 137

4. Vectores aleatorios discretos 4.1. Paradigmas . . . . . .. . . . . . . . . 4.2. Distribución conjunta de un par de variables aleatorias 4.3. Cálculo con la función de probabilidad conjunta .

155 155 156 157

105 105 108 111 112 113 115 116 116 118 118 121 121 123 125 125 127 128

íNDICE GENERAL

-+.4. Distribuciones marginales . . . . . . . -+.5. Valor esperado de una función f(X ,Y) -+.6. Esperanza de la suma de dos variables -+.7. Covarianza de dos variables. . . . . . -+.8. Propiedades de la esperanza matemática -+.9. Distribuciones condicionadas . . . . . . -+.10. Variables independientes . . . . . . . . -+.11. Conjuntos y sucesiones de variables independientes -+.12. Esperanza del producto de variables independientes -+.13. Varianza de la suma de variables independientes. -+.14. Desigualdad de Chebyshev . . . . . . . . . . -+.15 . Ley de los grandes números 4.16. Cálculo de esperanzas por condicionamiento . 4.17. Cálculo de probabilidades por condicionamiento. Ejercicios del capitulo 4 . Soluciones . . . . . . . . . . . .

5. Variables aleatorias continuas 5.1 . Modelos continuos . . . . 5.2. Puntos al aza' n el continuo 5.3 . Probabilidades eométricas. 5.4. Variables aleator as continuas . 5.5. Interpretación g áfica del cálculo con funciones de densidad 5.6. Esperanza mat mática de una variable continua 5.7. Esperanza atemática de una función 5.8. Distribución uniforme en un intervalo 5.9. Distribución exponencial . . . . . . . 5.10. Distribución normal . . . . . . . . . . 5.10.1. Cálculo con distribuciones normales 5.11 . La distribución "natural" de los números . 5.12. Variables mixtas . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Funciones de distribución . . . . . . . . . 5.14. Tres modelos de funciones de distribución 5.14.1. Variables discretas 5.14.2. Variables continuas . . . . . 5.14.3. Variables mixtas . . . . . . 5.15. Función de distribución de Y = g(X) 5.16. Distribución de una variable condicionada por un suceso Ejercicios del capitulo 5 . Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IX

157 159 160 161 161 162 163 166 167 168 168 170 171 174 177 181

197 197 198 200 202 206 208 209 210 211 212 213 215 217 218 221 221 222 223 225 229 233 237

x

íNDICE GENERAL 6. Vectores aleatorios continuos 6.1. Vectores aleatorios continuos y densidades conjuntas 6.2. Función de distribución conjunta 6.3 . Distribuciones marginales. . . . . . . 6.4. Variables independientes . . . . . . . 6.5. Funciones de densidad condicionadas 6.6. Modelos dinámicos . . . . . . . . . . 6.7. Densidad de la suma de variables independientes 6.8. Densidaddeunafuncióng(X ,Y) . . . . . . . 6.9. Esperanza matemática de una función g(X,Y) . . 6.10. Covarianza entre X e Y . . . . . . . . . . . . . . 6.11. Cálculo de la densidad de un vector función de otro Ejercicios del capitulo 6 . Soluciones. . . . . . .

263 263 265 268 272 273 275 278 280 284 287 290 295 301

7. Simulación estocástica 7.1 . Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Generadores de números aleatorios y pseudoaleatorios 7.3 . Generadores de congruencias lineales (GCL) 7.4. Transformaciones generales . . . 7.5. Simulación de variables normales . 7.6. Simulación de variables discretas. . 7.7. Simulación de permutaciones al azar

327 327 329 330 333 337 339 342

Índice alfabético

345

Prólogo Este libro está pensado para servir de texto en un curso de introducción a la Probabilidad de un cuatrimestre de duración, para estudiantes de Ingeniería informática. Contiene los conceptos más elementales que un ingeniero debe poseer acerca de los modelos discreto y continuo de la Probabilidad, con un nivel suficiente para comprender sus aplicaciones. Una de nuestras pretensiones es mostrar al lector que la Probabilidad no sólo interesa al ingeniero informático como herramienta necesaria para la Estadística, sino que los métodos probabilísticos tienen otras aplicaciones a la Ciencia de la computación que son propias y no requieren ideas estadísticas. Por ello, hemos incluido ejemplos que introducen el análisis de imágenes o el de algoritmos, y hemos dedicado el capítulo 7 a introducir la simulación estocástica, cuyos métodos teóricos son una consecuencia de los aprendidos en el capítulo 6. Desde el punto de vista metodológico, en ocasiones, hemos alterado la presentación de algunos conceptos y herramientas respecto de la que es más habitual en los libros de texto elementales, con el fin de adaptamos a nuestros lectores y aprovechar ideas bien conocidas por los programadores e informáticos. Así, hemos hecho especial hincapié en los métodos recursivos para calcular probabilidades, frente a los de enumeración directa, y en el uso de diagramas de estado. El manuscrito original y todos sus gráficos ha sido preparado con IbTpc.

1 Experimentos aleatorios

1.1.

¿Qué significa "aleatorio"?

Casi todos creemos saber lo que significa "aleatorio". Si alguien nos preguntara ¿qué es "aleatorio"?, seguramente responderíamos que aleatorio significa "imprevisible" o "sin regularidad", como el resultado de lanzar un dado o la duración de la vida de un circuito electrónico. Opuestos a lo aleatorio son los fenómenos cuyo resultado puede ser previsto con exactitud, como el movimiento de un planeta o la letra de control de nuestro número de identificación fiscal. Pero si reflexionamos un poco, terminaremos por reconocer que "aleatorio" no es un concepto tan simple como nos parecía y que nuestra explicación sólo traslada la definición a términos tan difíciles de precisar como "imprevisible" o "sin regularidad". Ciertamente, no es sencillo dar una pauta o modelo de los fenómenos en que interviene el Azar, como tampoco lo es definir el concepto de "aleatorio" y, para colmo, empleamos este término con distintos sentidos. Pensemos en el paradigma de lo que entendemos como fenómeno aleatorio: el lanzamiento de un dado. Si lanzamos un dado seis veces, pueden resultar 66 = 46656 secuencias de resultados distintos. Una de ellas es 666666 otra es 263254. Ambas secuencias han sido generadas por un procedimiento aleatorio y tienen ¡la misma probabilidad de ocurrir! Pocas personas aceptarán la secuencia 666666 como aleatoria ya que les parece "predecible". Sin embargo, denominamos "aleatorias" a ciertas secuencias de números que calcula el computador mediante algoritmos determinados, lo que supone que podemos calcular de antemano qué número aparecerá en cualquier posición de la secuencia. En este libro se presenta el modelo matemático de los experimentos o fenómenos aleatorios, y las reglas para calcular probabilidades a partir del modelo. El modelo matemático, como toda abstracción matemática, no es la realidad sino un reflejo de ella, que recoge los aspectos que juzga más interesantes. Nuestra indagación sobre lo aleatorio parte de la observación de las propiedades de los fenómenos físicos cuyo resultado aceptamos como imposible de predecir, el resultado de lanzar un dado, el tiempo que

2

Experimentos aleatorios tarda en desintegrarse un átomo de un isótopo radioactivo o la duración de un circuito electrónico. No nos preguntaremos sobre si cabe calificar una secuencia de números determinada de aleatoria o no. Para nuestra investigación el término aleatorio solo puede aplicarse a la fuente que genera la secuencia.

1.2.

Cálculo de probabilidades y ciencia de los computadores

El cálculo de probabilidades y la ciencia de los computadores colaboran en diversos campos con beneficio mutuo. Por ejemplo, en ocasiones, las razones para preferir un algoritmo a otro no son computacionales sino probabilísticas. Por otra parte, la mayor capacidad de realizar cálculos nos permite desarrollar métodos que, sin el computador, serían inútiles. A continuación comentamos algunos ejemplos de aplicaciones del cálculo de probabilidades a la Ciencia de la computación. Análisis de algoritmos. Para contrastar la eficacia de un algoritmo es determinante conocer el tiempo que tarda en ejecutar la tarea. Para evaluar ese tiempo, lo introducimos datos aleatorios y promediamos los tiempos de ejecución. Otras veces, la intervención de lo "aleatorio" es parte del mismo algoritmo. Muchos algoritmos que se denominan "aleatorizados" superan a los correspondientes deterministas. Generación de números aleatorios. La generación de números aleatorios es una de las tareas más importantes que hace el computador. Hay que considerarla como la quinta operación, ya que abre una nueva perspectiva al cálculo. Disponer de un buen generador de números aleatorios es primordial. La teoría de la probabilidad y la estadística aportan los métodos para contrastar si un algoritmo generador de secuencias de números aleatorios es aceptable o no. Simulación. En muchos modelos, no conocemos fórmulas generales que permitan calcular las variables que interesan, en función de los inputs. Gracias al computador, es posible hacer los cálculos del modelo para cada conjunto de valores concretos. Si introducimos inputs aleatorios repetidas veces, podemos obtener estimaciones de los resultados exactos, con tanta precisión como queramos. Transmisión de la información. Desde hace mucho tiempo, los científicos e ingenieros han asumido que cada medida, en particular cada transmisión de información, está contaminada por cierto ruido que hace imposible recibir la señal con exactitud. Ese ruido se modela como una magnitud aleatoria. La Teoría de la transmisión de la información y de la codificación iniciada por SHANON es una aplicación de los métodos probabilísticos. Su objetivo no es reducir el ruido, sino diseñar sistemas que permitan descodificar las señales con exactitud, a pesar del ruido. Análisis de patrones. El análisis de patrones supone que una imagen

3

1.3 Nuestra experiencia del azar observada puede provenir de diferentes patrones, conforme a unas leyes aleatorias dadas. Los métodos de análisis de imágenes son probabilísticos.

1. 3.

Nuestra experiencia del azar

Nuestra primera experiencia del azar proviene de los juegos. Desde la antigüedad, el hombre ha conocido los juegos de azar, se ha apasionado por ellos y ha deseado dominarlos. Lo característico de los juegos de azar es la incertidumbre del resultado. Aunque el juego se repita en idénticas condiciones, el resultado varía y es impredecible. Para explicar este hecho se ha creado un mito, denominado Azar, al que hacemos responsable de cada resultado. Podemos imaginar el Azar como una voluntad caprichosa que determina el resultado de cada jugada y decimos que los resultados son aleatorios, lo que significa que están determinados por el Azar. Los primeros intentos de abordar los fenómenos aleatorios desde un punto de vista matemático se remontan a CARDANO y a GALILEO. A ellos debemos idea de probabilidad como característica numérica asociada a cada uno los posibles resultados del juego que, de una manera no explicada, mide la facilidad con que el Azar escoge ese resultado como resultado del juego. En los últimos cien años, hemos descubierto que los fenómenos cuyos resultados son aleatorios no se reducen a los juegos. El tiempo que tarda un átomo de uranio en emitir una partícula ex, el tiempo que tarda en fallar un componente electrónico de un computador o el tiempo que tardará un algoritmo en ordenar la próxima serie de inputs, pueden considerarse aleatorios. La única manera racional de establecer un modelo de estos fenómenos pasa por considerar que es el Azar quien escoge el instante en que ocurre la emisión de la partícula, el fallo de la componente o la ordenación inicial de los inputs. Tales modelos se denominan aleatorios o estocásticos, y la teoría matemática que los sostiene se denomina Cálculo de probabilidades. También hemos descubierto que el Azar es una herramienta útil. Así, VON "i EUMANN demostró que las mejores estrategias en algunos ambientes de decisión son las que incorporan al Azar, de manera que el óptimo se obtiene sorteando la decisión a tomar entre una serie de decisiones posibles. También sabemos que para obtener información de un colectivo no es necesario analizar exhaustivamente todos sus componentes, basta con estudiar una pequeña parte, denominada muestra, siempre que sus miembros no hayan sido elegidos por nosotros, sino por el Azar. Lo maravilloso del Cálculo de probabilidades es que, aunque el resultado de un fenómeno aleatorio sea impredecible, es capaz de hacer afirmaciones significativas sobre él. Gracias a ello, podemos controlar la energía que libera la desintegración radioactiva, podemos diseñar un circuito de manera que, salvo un caso entre miles , su duración supere un tiempo dado o podemos asegurar que un algoritmo para ordenar inputs será mejor que

Girolamo CardaDO, nació en Pavía en 150 I Y murió en Roma en 1576.

Galileo Galilei. nació en Pisa en 1564 }' murió en Arcetri . cerca de A orencia, en 1642

Experimentos aleatorios

4 otro.

1.4.

Evidencia empírica del azar

Repetir muchas veces un experimento aleatorio y reflexionar sobre los resultados obtenidos no proporciona un modelo matemático pero permite concluir cuáles son los aspectos principales que el modelo debe reflejar. Hemos lanzado doscientas veces un moneda y anotado, cuidadosamente su resultado. En la figura 1.1 hemos representado la proporción o frecuencia relativa de "cara" tras cada lanzamiento. La gráfica que hemos obtenido

Figura 1.1: Gráfica de las frecuencias relativas de cara. En el eje de abscisas representamos el número de orden del lanzamiento. En el eje de ordenadas representamos la frecuencia relativa del número de caras obtenidas hasta ese momento. Esa frecuenci a es igual a nk(C) / k, donde nk (C) representa el número de caras obtenidas en los k primeros lanzamientos. La gráfica es el resultado de representar 200 puntos de coordenadas (k, nk(C)/k)

0.75

0.50

---- -- -- - ---- -- -

-- -- ------- -- --

0.25

50

100

150

200

parece aproximarse a un "valor límite", y nos sugiere definir ese hipotético valor límite como el valor de la probabilidad de cara. Evidencias similares se obtienen al observar otros experimentos aleatorios, como lanzar un dado o medir la duración de un circuito y representar la frecuencia relativa de algún suceso relacionado. En todos los casos la gráfica produce la misma impresión. Tras unas oscilaciones iniciales, la frecuencia relativa se aproxima a un límite. Esta evidencia experimental es la base de una ley empírica que denominaremos ley de regularidad de las frecuencias, y que podemos enunciar así:

/"

Si A es un acontecimiento que puede ocurrir o no al realizar un experimento aleatorio y observamos n repeticiones del experimento, el cociente n(A) n entre el número de veces que A ha ocurrido, n(A ), y el número de repeticiones del experimento, n, se aproxima a un valor tija cuando n es grande. Ese valor se denomina probabilidad empírica de A y se represen ta por P (A) .

La probabilidad empírica tiene tres propiedades características derivadas de las propiedades de las frecuencias. Propiedad 1. Cualesquiera que sean A y n, se tiene O :::; n(A) :::; n, como P (A), se sigue que P(A) es un número entre O y 1.

limn-;~ n(A)/n ---+

5

1.5 Modelo matemático Propiedad 2. Si A es un acontecimiento que ocurre siempre que realizamos el experimento, se tiene n(A) = n y P(A ) = 1. Propiedad 3. Si A Y B son dos acontecimientos que no pueden ocurrir simultáneamente, cualquiera que sea número de veces que repitamos el experimento, se tendrá n(A UB) = n(A) + n(B), lo que implica

P(A U B)

f-

n(A U B) = n(A) n n

+ n(B)

-7

P(A) + P(B)

n

Así, la probabilidad empírica debe cumplir P(A UB) = P(A)

+ P(B).

Por desgracia, la noción de probabilidad empírica no permite construir un modelo, ya que no podemos definir la idea de probabilidad como un límite que "parece" existir. Sin embargo, nos sugiere las propiedades que debería tener el concepto de probabilidad asociada a los experimentos aleatorios,

1.5.

Modelo matemático

El modelo teórico de la probabilidad que vamos a plantear fue establecido por primera vez por A . N. KOLMOGOROV en 1933. Además de comprender el formalismo matemático, es importante conocer la intuición que lo inspira. Imaginamos que la ley de probabilidad gobierna cada experimento. Dicho en términos mitológicos, el Azar elige el resultado de cada experimento, conforme a una "ley de probabilidad" determinada. No corresponde al matemático explicar cómo puede hacer tal cosa, su misión es precisar los objetos que intervienen, las relaciones entre los objetos y las propiedades de objetos y relaciones. Es posible determinar la ley de probabilidad si el experimento se repite numerosas veces. Si sólo realizamos un sorteo, o unos pocos, es imposible, verificar empíricamente cualquier hipótesis sobre el comportamiento del Azar. Para poder verificar nuestras hipótesis precisamos realizar muchos experimentos. Aquí es dónde la evidencia empírica de la regularidad de las frecuencias sirve de comprobación de la teoría. Para abstraer un modelo teórico hay que descubrir las propiedades y relaciones de los conceptos intuitivos esenciales. Una vez reconocidos, se interpretan en términos matemáticos. Esa interpretación tiene ida y vuelta, ya que las propiedades deducidas mediante razonamientos matemáticos pueden ser interpretadas en términos de hechos reales y sus predicciones pueden contrastarse con la realidad, lo que hace que el modelo sea, en términos de POPPER, falsable. Para entendemos, comenzaremos por precisar los términos que vamos a emplear. Hablaremos de experimentos aleatorios y de pruebas de un experimento. Una prueba es una ejecución de un experimento aleatorio. Por el momento y con el fin de elaborar un modelo, nos referiremos a experimentos aleatorios que cumplan las condiciones:


6

l. No conocemos de antemano su resultado. 2. Sus resultados posibles están bien determinados de antemano. 3. Puede repetirse en idénticas condiciones tantas veces como queramos. Lanzar un dado o una moneda son dos ejemplos de experimento aleatorio. Cada lanzamiento concreto es un ejemplo de prueba. El resultado de cada prueba pertenece a un conjunto bien definido de resultados posibles que designaremos por O. Por ejemplo, aceptamos que el el conjunto de posibles resultados de lanzar un dado es {c::J, [],[z], ¡;::;],~,[]} Sin embargo, no debe confundirse el modelo con realidad. Sí aceptamos que al lanzar una moneda sólo hay dos resultados posibles: @ ó @, estamos despreciando otras posibilidades, por ejemplo que la moneda quede de canto. Que esta decisión sea acertada es algo que no depende de las Matemáticas sino del grado de aproximación a la realidad que tenga el modelo fruto de esa simplificación. Además de los resultados del experimento, apreciamos lo que denominaremos sucesos. Un suceso es un hecho o un acontecimiento que ocurre o no según cuál sea el resultado de una prueba. Por ejemplo, un suceso asociado a lanzar el dado es "sale par". La tercera componente que apreciamos es la probabilidad, que valora la "facilidad" con que ocurre el suceso. Las abstracciones matemáticas de las tres componentes anteriores se denominan: espacio muestral, álgebra de sucesos y probabilidad, y son las tres partes del modelo matemático. El modelo matemático de un experimento aleatorio se resume en una terna (O,J?!,P), que los matemáticos denominan espacio de probabilidad. A continuación, describiremos con detalle cada una de las componentes de la terna. 1.5.1.

Espacio muestral

El modelo matemático de los experimentos aleatorios comienza cuando establecemos el espacio muestral, que es el conjunto de resultados distintos que, según nuestro criterio, podemos observar en cada prueba. El espacio muestral se suele designar por la letra O. Un espacio muestral adecuado para el experimento que consiste en lanzar una moneda es 0 = {@,@} Emplear estos u otros símbolos es irrelevante, lo determinante es que sólo reconocemos dos posibles resultados en cada prueba del experimento. Un espacio muestral adecuado para describir el experimento que consiste en lanzar un dado es 0 =

{c::J, GJ, [Z], ¡;::;],~, []}

1.5 Modelo matemático

donde la correspondencia entre los elementos de [) y los posibles resultados del lanzamiento resulta evidente. EJEMPLO 1.1 En otras ocasiones no es tan evidente la elección del espacio muestral, ya que podemos escoger entre varios espacios muestrales [1 que nos parecen razonables. Por ejemplo, si el experimento consiste en colocar dos bolas al azar en dos urnas, un posible espacio muestral es

pero, si imaginamos que la primera bola que colocamos está marcada con el número 1 y la segunda con el 2, otro posible espacio muestral es

~ Cuál

de los dos espacios debemos escoger? No hay una respuesta general, la decisión depende de las probabilidades que queramos calcular y de lo fácil o difícil que sea definir una probabilidad sobre el espacio. •

1.5 .2.

Álgebra de sucesos

La segunda componente del modelo matemático son los sucesos. Un suceso es un acontecimiento que ocurre o no, según sea el resultado del experimento. Todo suceso está definido por una proposición lógica que afirma o niega algo acerca del resultado de la prueba. Si la proposición es cierta, el suceso ocurre; si es falsa, no ocurre. Por ejemplo, si lanzamos un dado y A es el suceso "sale par", diremos que A ocurre cuando sale 2, 4 ó 6, y que A no ocurre cuando sale 1, 3 ó 5. Los sucesos se pueden combinar mediante las operaciones lógicas de conjunción, disyunción y negación. Por ejemplo, si lanzamos un dado y A es "sale par" y B "sale múltiplo de 3", A Y B se pueden combinar para obtener tres nuevos sucesos C 1 = "A YB ocurren"

C2 = "A o B ocurren" C3 = "A no ocurre" Desde luego, el modelo matemático debe reflejar esta estructura de los sucesos. La idea clave para formular un modelo matemático de los sucesos es caracterizar cada suceso por el subconjunto de resultados posibles de [) que hacen que ocurra. Esta correspondencia es biyectiva: a cada suceso le corresponde un único subconjunto y cada subconjunto representa un único suceso, y conserva la estructura matemática de los sucesos. Por ejemplo, en

7

8

Experimentos aleatorios el experimento que consiste en lanzar un dado, se tiene A B

= "sale par" f-----+

{

~, ~

, [] }

= "sale múltiplo de 3" f-----+ { lZl ' [] }

el = e2 =

"A YB ocurren"

f-----+ { [ ] }

"A o B ocurren"

f-----+ {

e3 =

"A no ocurre"

f-----+ {

1Zl , ~, [] } c:J ' lZl ' ~ } ~,

La costumbre es identificar cada suceso con el subconjunto que lo representa. Por ello, en lugar de la flecha +-+, escribiremos el signo "igual": A = "sale par" = { ~ , ~ , [ ] }

y hablaremos y operaremos con los sucesos como si fueran conjuntos. El modelo que acabamos de describir sigue una intuición: en cada prueba, el Azar escoge un elemento (resultado posible) del conjunto

Si escoge w, que pertenece a un suceso A , diremos que A ha ocurrido. Si escoge w, que no pertenece a un suceso A, diremos que A no ha ocurrido. Por ejemplo, si lanzamos el dado y sale ~ , diremos que A = "sale par" ha ocurrido, mientras que B = "sale múltiplo de 3" no ha ocurrido. Entre los sucesos hay dos casos extremos; el suceso que no ocurre nunca, que denominamos suceso imposible y representamos por 0, y el suceso que ocurre siempre, que denominamos suceso seguro, y representamos por

o.

Al identificar los sucesos con los subconjuntos conservamos las propiedades de las operaciones lógicas que podemos hacer con los sucesos. Así, el suceso "A o B ocurren" se corresponde con el subconjunto unión de A y B.

"A o B ocurren"

= { ~ , lZl ' ~ , [] } = A U B

De manera semejante, el suceso "A y B ocurren" se identifica con A n B y el suceso "A no ocurre" se identifica con el complementario A C • A C se denomina suceso contrario de A, es el suceso que ocurre cuando A no OCUlTe y que no ocurre cuando A ocurre. Si dos sucesos, A y B, cumplen A n B =

0, no pueden ocurrir simultáneamente y se denominan incompatibles o disjuntos. La clase de todos los sucesos se designa por S2I y posee estructura matemática denominada álgebra de BOOLE. Definición 1.1 Una clase d formada por subconjuntos de un conjunto (1 tiene estructura de álgebra de BOOLE si cumple las tres condiciones siguientes:

1.5 Modelo matemático

9

Figura 1.2: George Boole, nació en Lincoln (Inglaterra) en 1815 , murió en Ballintemple (Irlanda) en 1864. En el año 1854, publicó un trabajo titulado Investigación sobre las leyes del pensarnieno, en que se fundan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades, en el que reconocía que las proposiciones lógicas con sus operaciones de disjunción, conjunción y negación y los sucesos tienen una estructura idéntica que denominamos álgebra de Boole en su honor. Hoy, los trabajos de BOOLE son imprescindibles en la ciencia de los computadores. Fue un completo autodidacta.

1. El conjunto [) está en la clase, [) E .!?l. 2. La clase es cerrada por complementarios; si A E .!?I, entonces A e E .!?l. 3. La clase es cerrada por uniones; si A E .!?I Y B E .!?I, entonces A UB E .!?l.

En los modelos matemáticos más sencillos que estudiaremos, el conjunto [) es finito y todos los subconjuntos de [) son considerados sucesos, por lo que el álgebra .!?I es el conjunto de las partes de [). Por ejemplo, en el experimento que consiste en lanzar una moneda, se tiene [) = { @ , @} y hay 22 = 4 sucesos distintos que son

0,

{@ },

{@ },

{@ ,@ }

En el experimento que consiste en lanzar un dado, hay 6 resultados posibles y 26 = 64 sucesos distintos. Observamos que el número de sucesos crece rápidamente al crecer el número de resultados posibles. Más adelante, aparecerán otros modelos más complicados en los que no todos los subconjuntos de [) pueden ser considerados sucesos y .!?I es una subclase del conjunto de las partes. Los sucesos se pueden clasificar en simples y compuestos. Los sucesos simples son aquéllos que contienen un único resultado posible, y son de la forma {w}. En el ejemplo del lanzamiento del dado, los sucesos: A

= "sale par" = { G.:.:l ' ¡::::] , [] }

y

B

= "sale múltiplo de 3" = { 1Zl, [] }

son compuestos, mientras que A n B = { [] } es un suceso simple. EJEMPLO 1.2 Puesto que identificamos los sucesos con conjuntos, podemos emplear diagramas de VENN como auxiliares en ciertos razonamientos con sucesos, de la misma forma en que se utilizan en los razonamientos con conjuntos. Por ejemplo, si consideremos dos sucesos A y B , el suceso " A ocurre y B no" se identifica con el subconjunto A n Be y se representa en la figura 1.3 a. El suceso A n B c se

10


Figura 1.3: El cuadrado simboliza al espacio muestral n. Los círculos representan cada uno de los sucesos. Gracias a los diagramas, las relaciones entre sucesos se hacen casi evidentes. Por ejemplo, en el diagrama (a), resulta evidente que A ocurre y B no es igual a A - B.

B

A a

B

A b

e

suele representar como A - B, "A ocurre y B no" = A n Bc = A - B. El suceso "sólo uno de los dos conjuntos ocurre" es igual a (A - B) U (B - A) (ver figura 1.3 b). También lo podemos expresar como (A UB) - (A nB) . Por último, el suceso "ninguno ocurre" es igual a AC n Be, ya que no tiene que ocurrir ni A ni B (ver figura 1.3 e». Gracias al diagrama, encontramos evidente que también se cumple (A U B)C = AC n BC , observación que podemos razonar ya que la negación de "ocurre alguno" es "ninguno ocurre". •

1.5.3.

Probabilida d

La tercera componente del modelo matemático de los experimentos aleatorios es la probabilidad, que interpretamos como la medida de la "facilidad" con que ocurrirá el suceso cuando realicemos el experimento. Puesto que cada suceso tiene una probabilidad de ocurrir, interpretamos la probabiIídad como una función definida sobre el álgebra de los sucesos, que asocia un número a cada uno de ellos. Las propiedades o axiomas que debe cumplir una función de conjunto para ser una probabilidad fueron formulados por KOLMOGOROV. Figura 1.4: Andrei Nikolaevich Kolmogorov, nació en Tambov (Rusia) en 1903, murió en Moscú en 1987. Se graduó en matemáticas en 1925 en la Universidad de Moscú, pero antes de graduarse ya había escrito ocho trabajos. Su primer trabajo sobre Probabilidad se publico en 1925. Está escrito en colaboración con KHINCHIN y demuestra el teorema denominado "de las tres series" y varias desigualdades sobre sumas de variables aleatorias que son la base del estudio de las leyes de los grandes números, de las martingalas y del cálculo estocástico. Se doctoró en 1928 . Fundamentó el cálculo de probabilidades en una monografía publicada en 1933. Ha investigado en todos los campos de la matemática, Análisis, Geometría, Topología, Probabilidad, y muchos de la Física.

Definición 1.2 Una probabilidad P, definida sobre sobre un álgebra de su-

cesos, id, de un espacio muestral finito O, es una [unción P: id r---; [0, 1], que a cada suceso A E id le hace corresponder un número real P (A) Y que cumple las condiciones siguientes:

= 1.

1.

P(O)

2.

SiA yB son disjuntos, se cumpleP(AUB) = P (A) + P (B).

11

1.5 Modelo matemático Con palabras, la definición anterior se resume en tres condiciones. Primera, b probabilidad de cualquier suceso es un número entre cero y uno; esta es !IDa condición de normalización. Segunda, la probabilidad del espacio total ~ uno. Tercera, la probabilidad de la unión de sucesos disjuntos (suma -e sucesos) es la suma de las probabilidades; esta propiedad se denomina l~itividad. Aunque la aditividad se impone a cada par de sucesos disjuntos, resulta claro que también se cumple para a tres o más sucesos. La prueba es simple, si A¡, 1 :s: i :s: 3 son tres sucesos disjuntos dos a dos, es decir, si i =1= j, ;"monces A¡ nAj = 0, y consideramos que Al UA2 UA3 = (Al UA2) UA3, oor la aditividad de dos sucesos se tiene

si aplicamos de nuevo la propiedad de aditividad al suceso Al UA2, resulta

Tras la definición de KOLMOGOROV late la intuición siguiente: cada vez que hacemos una prueba, el Azar interviene y escoge uno de los resultados posibles conforme a la "ley de probabilidad" P del experimento. Observemos que la definición de KOLMOGOROV no nos ayuda a definir P. tan sólo establece las condiciones que debe cumplir. Para las Matemáticas. el trabajo comienza cuando la función P ya está definida. La tarea de definir P de modo que sea concordante con el modelo, tarea que denominaremos asignar probabilidades a los sucesos, no corresponde a la matemática formal, aunque es crucial para plantear correctamente el modelo. Sin embargo, las Matemáticas nos enseñan la manera más simple de definir P. En principio, puede parecer que asignar una probabilidad implica declarar el \ alor de P(A) para cada A E .91, pero, por la propiedad de aditividad, basta conocer la probabilidad de los sucesos simples para tener definida P, ya que la probabilidad de los sucesos compuestos es la suma de las probabilidades de los simples en que se descomponen . .\1étodo 1.1 Para definir una probabilidad sobre un espacio muestral finito O Y un álgebra de sucesos .91 basta con asignar una probabilidad P ( ro )

a cada suceso elemental {ro}, para cada ro E O, de manera que se cumpla O :s: P ( ro) :s: 1 y LOJ EO P ( ro) = 1. La probabilidad de cualquier suceso com puesto A E O se calcula como suma de las probabilidades de los sucesos simples en que se descompone.

P(A)

=

L. P(ro) OJ EA

Sin duda, la notación que hemos empleado en el enunciado anterior no es completamente correcta, ya que la probabilidad es una función sobre los sucesos y su argumento debe ser un conjunto, no un elemento. Deberíamos

12


haber puesto P( {w}) en lugar de P( w). Sin embargo, emplearemos la notación anterior por requerir menos símbolos. EJEMPLO 1.3

Lanzamos una vez un dado. El espacio muestral es: O = {[:::J , ~,[Z],~,~,[]}

y cualquier subconjunto de O es un suceso. lo que implica que hay 26 = 64 sucesos distintos. Sin embargo, para definir una probabilidad no es necesario enumerar la probabilidad de cada uno de esos sucesos, basta con dar las probabilidades de los seis sucesos simples. Esas probabilidades deben ser números entre O y 1, cuya suma sea 1. Por ejemplo, el conjunto de valores:

define una probabilidad sobre O ya que cada valor está entre cero y uno. y su suma es igual a uno. P(O) =P([:::J)+P(~) + P([Z]) + P(~)+P(~)+P([]) = 1

En este modelo, el dado está cargado de modo que cada número impar es dos veces más probable que cualquier número par. Para hallar la probabilidad del suceso A = "el número obtenido es mayor que tres", basta calcular la suma

P(A)

=L

P(w) = P(~) + P(~)+P([])

WEA

4

= "9

.

De manera semejante se calcularía la probabilidad de cualquier otro suceso com~~.

1,

"

Debemos advertir que nuestra versión del espacio de probabilidad esta simplificada. Realmente, los axiomas que formuló KOLMOGOROV tienen dos condiciones que, por el momento, hemos pasado por alto. Exigen que la probabilidad sea continua respecto de sucesiones monótonas de sucesos; es decir, que cumpla limP(An) = P(limA n), cuando {An} es una sucesión creciente. También exigen que sz1 no sólo sea cerrada por uniones finitas sino también por uniones infinitas numerables. Sobre estas bases se asienta la teoría de la probabilidad matemática. Sin embargo, para formular una teoría elemental, prácticamente no necesitamos esas precisiones, y nos basta con la formulación elemental que hemos hecho. Las escasas ocasiones que necesitemos de los axiomas en su versión más fuerte lo haremos notar.

"

" 1"11

¡l1¡ 1111

1.6.

Propiedades de la probabilidad

De las condiciones que caracterizan a la probabilidad se pueden deducir muchas otras propiedades que son útiles para calcular con probabilidades.

13

1.6 Propiedades de la probabilidad

En este apartado enunciaremos las más importantes, demostrándolas con detalle para que sirvan de modelo y ejercicio. En los que sigue consideraremos un espacio probabilístico (O,d,P). Sea A E d un suceso. Puesto que los sucesos A y N' son disjuntos y su unión es el espacio muestra!, A U A e = O, de la propiedad de aditividad, se sigue P(A) +P(N') = P(O) = 1

lo que implica P(A C ) = 1 - P(A). Como caso particular cuando A tenemos P(0) = 1- P(O) = O.

= O,

Propiedad 1.1 Si A es un suceso, se cumple P (A e) = ! - P (A). Como caso particular de 10 anterior, si hacemos A = O , obtenemos P(0) = O

A

A

B

(a)

B

(b)

Figura 1.5: Los diagramas de VENN hacen evidentes las relaciones entre conjuntos. En el diagrama (a) de la figura 1.5, resulta evidente que el suceso A es igual a la unión de los sucesos disjuntos A - B Y A nB. Esta observación es crucial para probar P(A - B) = P(A ) -p(AnB). De manera semejante, en el diagrama (b) resulta evidente que la unión A UB es igual a la unión de los tres sucesos disjuntos A - B, A n B y B-A.A UB = (A-B) U (B-A) U (A n B ).

Consideremos ahora dos sucesos A y B. Los elementos de A o pertenecen a B o no pertenecen a B, este criterio clasifica los elementos de A en dos conjuntos disjuntos,AnB y A - B, lo que implica A = (AnB) U (A -B). De la propiedad de aditividad se sigue P(A) = P(A nB) + P(A - B), de donde se deduce P(A - B) = P(A) - P(A nB) En particular, si B P(B).

e

A, entonces A nB = B Y se tiene P(A - B) = P(A) -

Propiedad 1.2 Si A Y B son dos sucesos de d, se cumple P(A - B) = P(A) - P(A nB)

En particular si B P(B).

e

A, entonces A n B

= B Y se tiene P(A -

B)

= P(A) -

Por su parte, los elementos de A UB se clasifican en tres clases disjuntas, los que pertenecen a A y no pertenecen a B, los que pertenecen a B y no pertenecen a A, y los que pertenecen simultáneamente a A y a B. Se sigue A UB = (A - B) U (B - A) U (A n B). Por la aditividad obtenemos P(A UB) = P(A -B) +P(B -A) +P(A nB)

14


y, por la propiedad 1.2, resulta

P(A UB) = P(A) - P(A nB)

+ P(B) -

P(A nB) + P(A nB)

= P(A) + P(B) - P(A nB) Propiedad 1.3 Si A Y B son dos sucesos de d, se cumple

P(A UB)

=

P(A) +P(B) - P(A nB)

(1.1)

La fórmula 1.1 para calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos se puede generalizar a tres o más sucesos. Para hacer la expresión más homogénea, designaremos por Al, A2 YA3 los tres sucesos. Si interpretamos la unión de los tres sucesos, Al UA2 UA3, como unión del suceso Al UA2 y del suceso A 3 , podemos aplicar la fórmula 1.1 y obtener

Ahora, (Al UA2) n A3

=

(Al nA2) U (Al nA3), luego podemos calcular

P( (Al UA 2) nA3) aplicando la fórmula de la unión de dos sucesos

Otro tanto podemos hacer con P(AI UA 2 ). Si reemplazamos lo anterior en 1.2, resulta

P(AI UA2 UA3)

= ¿P(Ai) - ¿P(Ai nAj) +P(AI nA2 nA3)

(1.3)

i
Observemos que podemos interpretar la estructura de la fórmula anterior de la manera siguiente: primero se suman las probabilidades de las intersecciones de los sucesos uno a uno, luego se restan las probabilidades de las intersecciones dos a dos y luego se suman las probabilidades de las intersecciones tres a tres. Es decir, alternativamente se suman y restan todas las probabilidades de las intersecciones de un número fijo, k, de sucesos, desde que k = 1, hasta que k es igual al número de sucesos. Esta estructura se mantiene cuando se trata de la unión de n sucesos.

Propiedad 1.4 Si A Y B son sucesos tales que B e A, se tiene P(B) :::; P(A). Figura 1.6: Si B es un subconjunto de A, B e A, el diagrama de VENN muestra que A se puede poner como unión de dos conjuntos disjuntos, A = B U (A - B). Por la propiedad de aditividad, se tiene P(A) = P(B) + P(A - B) y, puesto que P(A - B) ::::: 0, resulta P(A) ,;:>P(B). Esta es una propiedad que nos resulta familiar porque la poseen todas las magnitudes que denominamos medidas, la longitud, área, volumen, peso ... de una parte es menor o igual que la del todo que la contiene.

A

15

1.7 Asignación de probabilidades

Por último, cualquiera que sean A y B, se tiene p eA n B) 2: O. De la fó¡mula 1.1, se sigue p eA U B) s:; p eA) + P(B). Esta desigualdad que se denomina de BOOLE. Por inducción, podemos probar que la desigualdad de BOOLE se verifica para cualquier número de sucesos. Propiedad 1.5 Dados n sucesos A¡, 1 s:; i n

s:; n de un álgebra d, se cumple:

n

P(UA;) s:; LP(A;) ;=1

1.7.

;= 1

Asignación de probabilidades

De lo expuesto en el apartado 1.5.3 se sigue que una probabilidad P en un modelo finito queda definida si conocemos su valor en cada suceso simple. La igualdad:

peA) = L pero ) WEA

expresa que peA) se calcula como suma de las probabilidades de los sucesos simples {ro}, tales que ro E A. También sabemos los valores P( ro) no pueden ser arbitrarios, sino que deben verificar las condiciones: 1.

2.

OS:; P(ro):::;l

L P(ro)=l WEO

Sin embargo, lo anterior no responde a la gran pregunta: cuando establecemos un modelo, ¿cómo asignar una probabilidad a cada suceso simple? No podemos dar una respuesta que automáticamente resuelva todos los problemas que se nos pueden plantear. El Cálculo de probabilidades es un arte, en el sentido que da a este término DONALD KNUTH . Aprender a asignar probabilidades se logra con la práctica y la experiencia. Sin embargo, hay una clase muy importante de modelos finitos, para la que somos capaces de formular una solución general. Se trata de los modelos que denominaremos uniformes. Se caracterizan por su simetría, más exactamente, porque los resultados porsibles son intercambiables. Denominamos intercambiables a los resultados que pueden ser cambiados uno por otro, sin que el modelo se modifique. Por ejemplo, si una moneda está equilibrada, cara y cruz son intercambiables. Si llamásemos cara a la cruz y cruz a la cara, el experimento sería idéntico. Otro tanto ocurre con los seis resultados de lanzar un dado perfectamente equilibrado, si volvemos a numerar las caras del dado, por ejemplo marcamos con 6 la cara que tenía escrito 1, con 5 la que tenía escrito 2, etc., el dado que resulta es, probabilísticamente, idéntico al primero. Si los resultados posibles son intercambiables, debemos asignar igual probabilidad a cada suceso simple (son equiprobables). En otro caso,

16

Experimentos aleatorios estaríamos diferenciando unos de otros, lo que contradice la intercambiabilidad que hemos supuesto. Puesto que la suma de todos los sucesos simples es 1, su probabilidad común debe ser 1/ #(0), donde #(0) es el número de elementos de O o cardinal de O. En los modelos uniformes, la probabilidad de un suceso A se obtiene mediante la suma: 1 #(A)

P(A) =

]~A #(0) =

(l.4)

#(0)

Esta fórmula se conoce como regla de LAPLACE. La regla de LAPLACE tiene sus términos peculiares. Dado un suceso A, denominaremos casos favorables a los resultados que pertenecen a A (son favorables a que A ocurra) y casos posibles a todos los resultados posibles. En estos términos, se enuncia: Método 1.2 (Regla de Laplace) Si todos los casos posibles son equiprobables, la probabilidad de un suceso es igual al cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

De acuerdo con la fórmula de LAPLACE, calcular probabilidades cuando el modelo es uniforme es equivalente a contar casos posibles y favorables. Por ello, nuestro próximo paso será mostrar una serie de técnicas combinatorias imprescindibles. EJEMPLO l.4 Si lanzamos dos veces un dado equilibrado, podemos obtener 6 x 6 = 36 resultados distintos intercambiables. Un espacio muestral adecuado para definir un modelo es :

0 =

{

88,8~,8[2] , 8[;),8[8],8[] , ~8 , ~~ , ~[2] , ~[;), ~[8], ~[] ,

[2]8, [2]~, [2][2], [2][;), [2][8], [2][], [;)8, [;)~, [;)[2], [;)[;), [;)[8], [;)[], [8]8, [8]~, [8][2], [8][;), [8][8], [8][], []8, []~, [][2], [][;), [][8], [][]

}

Puesto que son intercambiables, cada suceso simple tiene probabilidad igual a 1 / 36; por ejemplo, p(8[8]) = 1/36. El suceso A = "la suma de los resultados es 7" es igual a: A

=

{'-ll!!! 101M '-"lfO"Ol fO"Ol'-"l MfOl I!!!'-l }

L.:Jl!..!J,

l!....J~ , ~l.!....!J' l.!....!J~, ~l!....J'

l!...!Ju

Hay 36 casos posibles (#( O) = 36) Y 6 casos favorables al suceso A (#(A) acuerdo con la regla de LAPLACE, la probabilidad de A es igual a: #(A)

= 6), de

6

P(A) = #(0) = 36 Otro ejemplo, si B = "el primer resultado es el doble del segundo", se tiene P (B ) = 3/36, ya que hay 36 casos posibles y sólo tres casos favorables a que el primer resultado sea el doble del segundo, B = {~8, [;)~ , [][2] }. •

17

1.8 Tres técnicas combinatorias En el Cálculo de probabilidades, es costumbre reservar la expresión "al azar" para referirse a un experimento aleatorio uniforme. Si decimos "se escoge al azar un elemento entre los elementos de O", debe entenderse que cada elemento puede ser escogido con igual probabilidad. Nosotros emplearemos el adjetivo "equilibrado" para designar a un dado, una moneda o cualquier otro ingenio cuyos resultados posibles sean intercambiables. Así, la expresión "lanzamos un dado equilibrado" nos informa que cada uno de los seis resultados posibles tiene la misma probabilidad de ocurrir. Naturalmente, también consideraremos modelos no uniformes; por ejemplo, el dado del ejemplo 1.5.3 está desequilibrado.

1.8.

Tres técnicas combinatorias

Contar es hallar el número de elementos de un conjunto. La Combinatoria es el arte de contar. Es un arte en cuanto que resolver problemas combinatorios no es automático, sino que depende de nuestra experiencia y entrenamiento. En este apartado presentamos tres técnicas combinatorias elementales que bastan para resolver casi cualquier problema de nivel elemental y medio que se nos pueda plantear. Los problemas de combinatoria elemental, con ser sencillos, no son banales. Creemos que una de las principales dificultades que los estudiantes encuentran al intentar resolverlos es la pretensión de reducirlos a los conocidos modelos: combinaciones, permutaciones y variaciones, idem con repetición. Estos seis modelos son demasiado rígidos y sólo cubren una pequeña parte de los problemas que necesitamos resolver. Por el contrario, los tres métodos que mostraremos se adaptan con facilidad y son suficientes para los problemas que se nos plantean en este nivel. 1.8.1.

Contar con los dedos

Las primeras veces que contamos lo hacemos con los dedos. De esa forma establecemos una correspondencia biyectiva entre el conjunto problema y un subconjunto de los primeros números naturales. Nuestros dedos sirven de patrón para contar cualquier conjunto pequeño. La Matemática nos proporciona otros dedos y el primer método general para contar es establecer una correspondencia biyectiva entre un conjunto problema A y otro conjunto patrón de la forma {1, 2, . .. , n}. EJEMPLO l.5 Para contar cuántos números enteros hay entre 3 y 25, ambos incluidos, establecemos la correspondencia biyectiva: 345

24

111

1 1

123

22

25 23

18


y concluimos que hay 23 números. Esta observación se puede hacer general sin mucho esfuerzo. Si m :::; n, la correspondencia biyectiva:

n=m + n-m

m

m+l

m +2

1

1

1

1

1

2

3

n - m+l

nos demuestra que entre m y n, ambos incluidos, hay n-m + 1 números. Otro ejemplo, si queremos contar cuántos números pares son mayores que 1 y menores que 123, y establecemos la correspondencia biyectiva 2 = 2·1

4=2·2

6=2·3

1

1

1

1

2

3

61

122 = 2·61

•

concluiremos que hay 61 números.

1.8.2.

Contar palabras

Frecuentemente, los elementos del conjunto cuyo cardinal queremos hallar pueden ser interpretados como secuencias o palabras formadas por símbolos que pertenecen a un alfabeto dado y que cumplen ciertas restricciones. Cuando esto ocurre, podemos contar el número de palabras mediante un proceso que parece reproducir mentalmente, los pasos que daríamos si tuviéramos que escribir todas las palabras. Se entenderá mejor con un ejemplo. Supongamos que queremos saber cuántas palabras clave distintas hay, si la clave debe contener cuatro símbolos pertenecientes al alfabeto:

L. = {A, B, e, 0, 1, 2} de manera que, de izquierda a derecha, el primer símbolo sea numérico y que no haya símbolos repetidos. Cada clave posible se puede interpretar como una palabra, formada por símbolos de L., que cumple las restricciones que se han impuesto. La sencilla representación gráfica de la figura 1.7 nos ayuda en el razonamiento. El análisis comienza por la celda que tiene más Figura 1.7: Escribimos cuatro celdas vacías, que simbolizan cada uno de los símbolos que componen la palabra y, debajo de las celdas, anotamos las restricciones que debe cumplir el símbolo que ocupe la celda. En la primera celda, el símbolo debe ser alfabético y distinto de los restantes, en la segunda y la tercera distinto de los restantes.

D D DD

alfabético oF resto oF resto

oF resto

oF resto

restricciones, en este caso la primera por la izquierda. Hay tres símbolos del alfabeto, A, B 'ó e, que que cumplen las restricciones y pueden ocupar la celda. ASÍ, hay tres posibles maneras de asignar un símbolo a esta celda y la marcamos con 3. Continuamos el análisis por la celda que tenga más restricciones entre las restantes. Si hay varias, vale una cualquiera. Por

19

1.8 Tres técnicas combinatorias ejemplo, escogemos la segunda por la izquierda. Imaginemos que la primera celda ya está ocupada por uno de los tres símbolos A, B o e, ¿cuántos símbolos que cumplan todas las restricciones pueden ocupar la segunda celda? La respuesta es cinco. La observación crucial es que cualquiera que sea el símbolo que ocupe la primera celda, siempre hay cinco maneras de escoger el símbolo de la segunda. Marcamos la segunda celda con 5. Vamos a la tercera celda. Imaginemos que la primera y segunda ya están ocupadas, ¿cuántos símbolos que cumplan todas las restricciones pueden ocupar esta posición? Cualesquiera que sean los símbolos que ocupen las celdas primera y segunda, hay 4 maneras de colocar un símbolo en la tercera. Marcamos la tercera celda con 4. Por último repetimos el análisis con la cuarta celda. Concluimos que cualesquiera que sean los símbolos que se coloquen en las tres primeras celdas, siempre hay 3 maneras de escoger uno para la cuarta. Marcamos la cuarta celda con 3. Después de nuestro análisis, las celdas aparecen marcadas como se muestra en la figura 1.8, y el número de palabras distintas es 3 x 5 x 4 x 3 = 180.

LTI

alfabético

of resto

0

=/= resto

Figura 1.8: De nuestro análisis se sigue que hay 3 maneras de elegir el primer símbolo; por cada elección del primero, hay 5 elecciones del segundo; por cada elección del primero y del segundo, hay 4 elecciones del tercero; por cada -1-

resto

=/= resto

elección del primero, segundo y tercero, hay 3 elecciones del cuarto. En total, hay 3 x 5 x 4 x 3 = 180 palabras distintas.

EJEMPLO 1.6 Una de las ventajas de los tres métodos combinatorios que estudiamos en este apartado es que pueden emplearse, simultánea o sucesivamente en un mismo problema, como nos muestra este ejemplo. La cuestión que se plantea es hallar el número de subconjuntos que tiene un conjunto de n elementos. Esta cuestión, además, tiene interés teórico y su resultado será requerido repetidas veces. Supongamos que el conjunto es O = {WI,aJ:¿, ... ,Wn-I,Wn }. Si consideramos que un subconjunto es una "palabra" compuesta por símbolos distintos de O, encontraremos dos inconvenientes, esa palabra no tiene orden y el número de posiciones es variable. ASÍ, aplicar el segundo método, directamente al enunciado, presenta dificultades. Intentaremos aplicar primero el primer método para encontrar un conjunto en correspondencia biyectiva con el de todos los subconjuntos al que sea más fácil aplicar el segundo método. Imaginemos un procedimiento para generar todos los subconjuntos. Supongamos que los elementos de O están ordenados en fila y que, sucesivamente, tomamos n decisiones, la k-ésima decisión consiste en escoger o rechazar el elemento wk para que forme parte del subconjunto. Representemos por 1 la acción de escoger un elemento dado y por O la de rechazarlo. Con esta convención, cada subconjunto se corresponde con una palabra de n caracteres binarios. Con símbolos, A e O, se tiene para k

= 1, 2, ... , n

Por ejemplo, si A = { WI ,W3}, entonces A f-> 1, O, 1, O, ... ,O. Otro ejemplo, la palabra formada por n unos, 11 ... 11, se corresponde con O y la palabra formada por n ceros, OO ... 00, con 0. Esta correspondencia es, evidentemente, biyectiva. El problema

20


original se ha transformado en otro equivalente que se puede resolver mediante el segundo método: hallar cuántas las palabras distintas de n caracteres que se pueden formar con los símbolos del alfabeto binario L: = {O, I}. Aunque el análisis es muy simple, seguimos estrictamente los pasos del segundo método; dibujamos las celdas que como se muestra en la figura l.9 y estudiamos el número de maneras de asignar un símbolo a cada celda. escribirse O ó 1. El número de palabras de longitud n forFigura 1.9: Representamos n celdas. Las celdas no tienen restricciones ya que podemos escribir cualquiera de los dos símbolos del alfabeto en cada una, con independencia de lo que escribamos en las restantes. El análisis es muy sencillo; podemos elegir el símbolo de la primera celda de dos maneras; por cada elección del símbolo de la primera celda, hay dos maneras de elegir el de la segunda; así, sucesivamente. En total hay 2 x 2 x . .. x 2 = 2" palabras distintas.

DD ~

DD

~ ...... ~

~

madas con los símbolos del alfabeto binario es 2n y, en consecuencia, un conjunto • con n elementos tiene 211 subconjuntos distintos.

EJEMPLO 1.7 Este ejemplo nos mostrará que el modelo de las permutaciones no es más que un caso particular de aplicación de nuestro segundo método. Tenemos n tarjetas numeradas de 1 a n, ¿de cuántas maneras distintas las podemos ordenar en fil a? Interpretemos que una fila de tarjetas es una palabra de n caracteres distintos y pertenecientes al alfabeto L: = {l, 2, .. . ,n}. Contar el número de ordenaciones en fil a distintas equivale a contar el número de palabras distintas que se pueden formar bajo tales condiciones. El problema se analiza de m anera gráfica, de acuerdo con Figura 1.10: Escribimos n celdas vacías que representan la palabra de longitud n. El símbolo que elijamos para cada celda tiene la restricción de ser distinto que los elegidos para las restantes cedas. El símbolo de la primera celda puede ser uno cualquiera de los n símbolos del alfabeto. Por cada elección que hagamos del primero, podemos elegir el segundo de n - I maneras. Por cada elección que hagamos del primero y del segundo, podemos elegir el tercero de n - 2 maneras. Así sucesivamente con los restantes símbolos. Se sigue que el número de palabras es n· (n - 1) .. ·2·1

DD

DD

88

0~

f

re~t o

i- resto

f

resto

f; resto

t- resto

=1= r~sto

=1=

resto

#- resto

el segundo método, en la figura 1.10. El análisis no tiene dificultad y se sigue que el número de ordenaciones posibles es n(n - 1) · .. 2· 1. •

En los cálculos combinatorios aparecen con frecuencia productos de la forma n(n - 1) ···2· 1, producto de todos los enteros menores o iguales que uno dado. Por ello, se ha inventado una notación para expresarlos de manera simplificada. Esa notación es ni, que se lee "n factorial". n! = n (n-l) (n- 2 ) ···2 · 1

Las ordenaciones en fila de n objetos, en particular de los números 1, 2, .. . , n, se denominan permutaciones. En el ejemplo anterior hemos deducido que hay n! permutaciones de los números 1, 2, . . . , n.

21

1.8 Tres técnicas combinatorias Definición 1.3 (Permutaciones) Se denomina pennutación de los n objetos, 0 1,02, . .. , On, a cualquier ordenación en fila de ellos. El número de pennutaciones distintas de n objetos es n!.

También conviene una notación especial para los productos de m factores menores o iguales que n, con O < m :s; n, ya que aparecen a menudo en los cálc ulos combinatorios. Emplearemos el símbolo n"'-.

n"'- = n(n - 1) (n - 2) ... (n - m + 1) " ~ m factores

Por ejemplo, iJ. = 7 . 6·5. 1.8.3.

Contar subconjuntos con k elementos

El tercero de los métodos fundamentales de la Combinatoria que esrudiaremos nos enseña a contar el número de maneras en que podemos seleccionar un grupo de k elementos entre los elementos de un conjunto, n = {WI, W2 , ... , Wn }, que tiene n :::: k elementos. Con un lenguaje más técnico, nuestro problema es calcular cuántos subconjuntos de k elementos tiene un conjunto de n elementos. Por el momento desconocemos cuál es la respuesta pero, es seguro que depende de n y de k. Por ello, designaremos por a(n,k), al número desconocido. De la definición de a(n,k) se siguen algunos de sus valores de fonna inmediata. Por ejemplo, a(n,O) = 1, puesto que el único subconjunto con cero elementos de un conjunto con n elemenros es 0. También se sigue que a(n,n) = 1, ya que el único subconjunto con 11 elementos que tiene un conjunto de n elementos es el total. La propiedad fundamental de a(n,k) es una relación recursiva que nos pennite calcularla para cualquier n y k. Para establecer esa relación, consideremos n fijo y k tal que 1 :s; k :s; n (el caso k = O ya lo hemos resuelto; ahora, fijemos un elemento de O , por ejemplo WI. Los subconjuntos de A e O con k elementos se pueden clasificar en los que contienen a WI Y los que no contienen a WI. Los subconjuntos de [) con k elementos que contienen a WI son tantos como los subconjuntos con k - 1 elementos de [) - {WI}; luego, por definición, hay a(n - l,k - 1) . Los subconjuntos de [) con k elementos que no contienen a WI son tantos como los subconjuntos con k elementos de [) - { WI }; luego, por definición, haya (n - 1, k). Este razonamiento nos lleva a poner:

a(n,k)=a(n-l,k-l)+a(n - l,k),

siO < k
(1.5)

mientras que

a(n,k) =1,

sik=O,ók=n

(1.6)

Esta relación recursiva se programa fácilmente y pennite calcular cualquier número a(n,k), en este sentido la relación 1.5 con las condiciones iniciales 1.6 es la solución de nuestro problema. En Combinatoria cuando una


22 Figura 1.11: Los valores de a(n,k) organizan en un esquema triangular denominado triángulo de PASCAL. Cada fila del triángulo corresponde a un valor fijo de n y contiene los n + 1 números, desde a(n,O), hasta a(n,n ), por este orden. Desde el vértice, la primera fila corresponde a n = O Y sólo tiene un número, a(O,O) = l. Luego vienen a ( 1,O) = 1 Ya ( 1, 1) = 1. La tercera fila, que corresponde a n = 2, es más interesante. Los valores extremos son a(2,O) = 1, a(2, 2) = 1. El valor central es a(2, 1) que, por la fórmula de recursión , verifica:

1 1 1

a(2, 1) = a( I,O) +a(l , 1) = 2 luego es igual a la suma de los números inmedi atos de la fila anterior. En general, para poder calcular un valor a( n, k), necesitamos haber calculado ya los dos que aparecen enc ima de él en el triángulo de PAS CAL, esto exige un número de operaciones de orden 1 + 2 + . + n - 1, es decir de orden O ( ~ n2 ).

3

3 4

6

6

4

10 10

5

1 1

1

2

15 20 15

5 6

1

sucesión de números aparece con frec uencia, se convierte en un madeja y recibe una notación específica. Esta es una manera de actuar semejante a la del Cálculo infinitesimal cuando se definen las funciones senx o log x. Por tradición, el número a( n, k) se acostumbra a representar por (;). El símbolo (z) se lee "n sobre k" y se denomina coeficiente binomial porque aparece en el desarrollo de la potencia de un binomio. El número G) es un ejemplo de número combinatorio; otros ejemplos de números combinatorios son los de BERNOULLI, CATALAN o STIRLlNG. También puede darse una expresión explícita de G); esto es, una expresión en función de n y k. Desde un punto de vista matemático, hallar esa expresión equivale a resolver la relación recursiva 1.5. Sin embargo, en este caso, el camino más fácil es el más directo. Así, resolveremos de manera directa el problema que originó la definición de (Z): contar cuántos subconjuntos con k elementos tiene un conjunto O con n elementos. A primera vista, no parece un problema complicado, supongamos que permutamos en fila los elementos de O . Si de una permutación particular

elegimos los k primeros de la fila, obtendremos un subconjunto de k elementos del conjunto O. úJi] úJi2 '" úJik_ ] úJik úJik+1 . . . úJi n _ ] úJi n \.

.#

elementos elegidos

El inconveniente de este método es que distintas permutaciones producen el mismo subconjunto de k elementos. Por ejemplo, dada una ordenac ión, si permutamos los n - k últimos elementos , manteniendo los k primeros en sus posiciones, obtendremos el mismo subconjunto y, también, si permutamos los k primeros elementos, manteniendo fijos los n - k últimos, obtenemos permutaciones distintas que dan lugar al mismo subconjunto, ya que los subconjuntos se caracterizan por los elementos que los componen, no por

23

1.8 Tres técnicas combinatorias el orden en que se presentan. Para que dos subconjuntos sean distintos, debe haber algún elemento que pertenezca a uno pero no al otro. A partir de un subconjunto de k elementos podemos obtener distintas permutaciones, mediante las operaciones que hemos descrito: permutar los k elementos del subconjunto en los primeros lugares y, a continuación, permutar los restantes n-k elementos. Así, de cada subconjunto de k elementos se obtienen k!(n - k)! permutaciones que contienen en sus primeros k lugares los elementos que forman el subconjunto. Por otra parte, es evidente que las permutaciones obtenidas de subconjuntos distintos, son distintas, ya que se diferencian, al menos, en un elemento entre los k primeros lugares. Como consecuencia, el número de subconjuntos multiplicado por k! (n - k)! es igual al número de permutaciones.

G)k!(n-k)! = n! lo que implica:

G) - k!(nn~k)!

(1.7)

Puede parecer que este resultado es preferible a la relación recurrente cuando se trate de calcular C), pero no es asÍ. El cálculo de G) mediante la fórmula 1.7 obliga a calcular números muy grandes y produce overflow o errores numéricos. La relación recursiva es fácilmente programable y carece de errores de aproximación, ya que siempre se calcula con números enteros. En resumen, el número de subconjuntos con k elementos que tiene un conjunto de n elementos, es un número combinatorio que se representa por G). Este número cumple la relación recursiva 1.5, y verifica la fórmula 1.7. EJ EM PLO 1.8 El juego del Póker se juega con una baraja francesa, que consta de cuatro palos: • (picas),'" (tréboles), O (diamantes) y \/ (corazones). Cada palo tiene trece cartas que se denominan: As, 2, 3, ... , 10, J, Q, K. En el juego de Póker 2 010

3 4 5 6 7 010 010 010 010 010

8

9 10 J

010 010

010 010

Q K

A 010 010 010

2

3

4

6

7

S

<>

1)

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<."

9 10 J Q K A <> ") <) <> 1<> <)

'" .,

<> <> v

v

2

3

4

5

6

7

H

9

10 ,1

Q

Iv v le;; v Iv v v Iv') 1'::0 v

el)

K

,?

A

2

3

4

5

6

7

8

9

10 J

Q

K

A

• • • • • • • • • • • • .~

v Cl

.,

v

v

hay = 2598960 manos distintas. Algunas de esas manos presentan configuraciones que dominan más o menos. Cuánto más infrecuente sea una configuración, más domina. Por ejemplo, una configuración es el póker. Una mano del juego es un póker si está contiene cuatro cartas con el mismo valor, cuatro ases, cuatro doses,

Figura 1.12: Una mano del juego del Póker son cinco cartas. Para nosotros no es más que un subconjunto de 5 cartas escogidas entre las 52 de la baraja. De acuerdo al tercer método combinatomario, en el póker hay nos distintas

e,2)

24


etc.; para contar el número de manos que son póker razonamos así: primero, escogemos el valor común de las cuatro cartas; segundo, escogemos las cuatro cartas de con valor; tercero, escogemos una de las cartas que restan para completar una mano de cinco cartas. Primero, hay tantas maneras de elegir un valor como subconjuntos de un elemento tiene el conjunto de los 13 valores que pueden tener las cartas (2, 3, . . . , K, A). Así hay maneras de elegir el valor. Segundo, hay tantas maneras de elegir cuatro cartas con ese valor como subconjuntos de cuatro elementos tiene el conjunto de cuatro cartas con el valor elegido, luego hay (!) elecciones posibles. Tercero, hay 52 - 4 = 48 cartas restantes, entre las que podemos elegir una de (41 8) maneras. En total, el número de manos distintas que son póker es

C?)

La probabilidad de que una mano elegida al azar sea póker es 624/2598960 2.4.10- 4 .

~

•

EJEMPLO 1.9 La tercera técnica combinatoria también se puede emplear para contar el número de ordenaciones en fila de n bolas blancas y m bolas negras. Si interpretamos una ordenación como una palabra de longitud n + m, formada con n símbolos O y m símbolos . ' para obtener una ordenación debemos elegir n posiciones entre las n + m, para colocar las bolas blancas. Las bolas negras ocuparan las restantes. Esta observación nos permite afirmar: hay tantas ordenaciones, como maneras de escoger un subconjunto de n elementos de un subconjunto de n + m elementos. Luego hay (,,~m) ordenaciones Si reflexionamos sobre el razonamiento anterior, encontraremos que hemos aplicado la primera técnica al establecer una correspondencia biyectiva entre ordenaciones y palabras y, luego, hemos contado las palabras gracias a la tercera técnica. • EJEMPLO 1.10 Coeficientes binomiales. Los coeficientes (Z) se denominan binomiales porque aparecen en el desarrollo de la potencia n-ésima del binomio x + l. Probaremos que se cumple:

(x + l )n =

f

k=O

(n)J< k

La potencia (x + 1)" = (x + 1) (x + 1) . .. (x + 1) es un polinomio de grado n. Imaginemos que hacemos este producto. Para obtener un término en J< hay que multiplicar k veces el sumando x por n- k veces el sumando l. El coeficiente de J< será igual al número de maneras de escoger k factores, entre los n, para multiplicar la x de esos factores y elide los restantes. Por ello, el coeficiente de J< es igual a

m·

1.9.

•

Los instrumentos del probabilista

El cálculo de probabilidades no puede ser reducido a una serie finita de técnicas infalibles, no podemos programar un computador para que sustituya al probabilista. Calcular probabilidades es un arte y, como arte, supone

1.9 los instrumentos del probabilista un estilo de pensamiento, una manera peculiar de abordar los problemas que se adquiere con la experiencia y la práctica. Poseer esa manera de pensar no nos garantiza que seamos capaces de resolver todos los problemas, sólo que conocemos métodos seguros para resolver muchos y que, ante lo desconocido, tenemos un porcentaje razonable de éxitos Como todo artesano, el probabilista tiene sus propios instrumentos, dados, monedas, bolas y urnas , ruletas, cartas, tarjetas numeradas, etc. Los instrumentos del probabilista sirven, fundamentalmente, para desbastar los problemas. Para hacer un primer modelado. Crear un modelo matemático a partir del enunciado de un problema es un proceso de extracción y depuración. Hay que poner en evidencia su estructura sin perder información, conservando íntegra su esencia. Para hacer esta extracción, el contexto particular estorba. El modo de dejar a un lado el contexto particular es re-formular el problema en términos de los instrumentos del probabilista. Cualquier problema elemental de probabilidades admite esa reformulación. De este modo, la estructura del problema es más clara y estamos más cerca de su solución. En este apartado pasaremos revista a las herramientas del probabilista, mostrando cómo pueden emplearse para modelar un problema.

1.9.1.

Monedas

Es el más sencillo de nuestros aparatos. Sirve para modelar las pruebas que se repiten en idénticas condiciones (precisaremos esto al estudiar el concepto de independencia). EJEMPLO 1.11 Ruido en un canal de comunicación. Los sistemas de comunicación se suelen modelar como compuesto por una fuente y un receptor, comunicados por un canal. La fuente emite mensajes codificados en cierto alfabeto que son descodificados en el receptor. Los mensajes pueden ser deformados en el canal por perturbaciones aleatorias. Si consideramos que el alfabeto es binario, podemos interpretar el sistema como una caja negra en la que entran unas secuencias binarias y salen otras. El comportamiento de las perturbaciones aleatorias se modela suponiendo que cada vez que entra un dígito, sin importar lo que se haya transmitido antes, hay una probabilidad p de que ocurra un error en la transmisión (ruido) y que el dígito salga cambiado, si entró 1, sale O y si entró O, sale l. Para premodelar este problema, imaginemos que un duende que vive en la caja negra tiene una moneda con probabilidad de cara igual a p. Cada vez que entra un dígito, el duende tira la moneda. Si sale cara, se produce un error en la transmisión. Si sale cruz, la transmisión es correcta. Analizar los errores que ocurren, equivale a estudiar el número de caras que aparecen al lanzar la moneda repetidas veces. Por ejemplo, preguntarse por la probabilidad de que haya algún error al transmitir un mensaje de 106 dígitos, equivale a preguntarse la probabilidad de que el duende obtenga alguna cara si lanza la moneda 106 veces. •

25

26


1.9.2.

Dados

Son más generales que las monedas, ya que el experimento admite más de dos resultados posibles. No debemos limitamos a pensar en dados con 6 caras. Nuestros dados son utensilios virtuales y, sin ninguna dificultad, podemos imaginar uno que tenga n caras. EJEMPLO l.12 Generar dígitos al azar equivale a lanzar, repetidas veces, un dado con diez caras numeradas de O a 9. Los algoritmos que emplea el computador • para generar los dígitos pretenden imitar al dado. EJEMPLO l.13 Tenemos tres listas, cada una con n registros. Elegir un registro al azar y mirar a qué lista pertenece equivale a lanzar un dado. Si sale 1 ó 2, el registro pertenece a la primera lista, si sale 3 ó 4, a la segunda y, si sale 5 ó 6, a la tercera. •

1.9.3.

Bolas y urnas

Con estos dos aparatos podemos crear una infinidad de modelos. Hay dos modos principales de usarlos: • Extraer bolas de una urna que las contiene. • Repartir las bolas entre varias urnas vaCÍas. Por lo que respecta a las extracciones, distinguiremos dos procedimientos: • Con reemplazamiento: la bola extraída se devuelve a la urna a antes de la siguiente extracción, lo que equivale a un modelo con dados. • Sin reemplazamiento: la bola extraída se deja fuera. EJEMPLO l.14 Este ejemplo trata de una técnica para lograr algoritmos más eficientes denominada divide y vencerás. Imaginemos que los registros de una base de datos se clasifican en sublistas. Por ejemplo, si el registro lleva los apellidos de la persona, hacemos tres sublistas, una con los registros cuyo primer apellido comience por una letra de la A a la H, otra con las letras de la 1 a la M y la tercera con los restantes. Si los registros de la base de datos los elige el azar, las sublistas se forman aleatoriamente. Cada registro tiene probabilidades PI, P2 Y P3 (con PI + P2 + P3 = 1) de pertenecer a cada sublista. Estos métodos son óptimos cuando las tres probabilidades son aproximadamente iguales: PI = P2 = P3 = 1/3. La asignación de cada registro a una sublista equivale a un modelo de colocar bolas al azar en tres urnas. Cada urna es una sublista. Cada bola representa un registro dado y, con igual probabilidad, puede ir a parar a • cada urna. EJEMPLO l.15 Uno de los contrastes que sirven para verificar los generadores de números al azar se basa en un criterio introducido por MARSAGLIA en 1984. , que consiste en colocar n bolas al azar en m urnas. El criterio de MARSAGLlA prueba que los los algoritmos denominados de FIBONACCI no son aceptables. •

27

1.10 Plantear y resolver problemas

1.9.4.

Ruletas

Aunque, hasta aquí, sólo hemos considerado el modelo discreto de la probabilidad, parece apropiado mencionar entre los instrumentos a la ruleta, que es un aparato para escoger números al azar en un intervalo. Modelo continuo que consideraremos más tarde. Si PI, P2, ... , Pn son n probabi-

(A)

(8)

Figura 1.13: En una ruleta, como la representada en el diagrama (A) de la figura 1.13, la aguja puede detenerse en cualquier punto de la circunferencia. Si la circunferencia tiene longitud 1, el espacio muestral adecuado para describir el experimento es el intervalo "continuo" (0,11. Si la ruleta está bien equilibrada, es una máquina capaz de elegir al azar un número del intervalo (0,1]. En el capítulo 5 formularemos un modelo matemático de este sorteo. Gracias a la ruleta podemos simular sorteos discretos con probabilidades desiguales. Por ejemplo, la ruleta del diagrama (B) de la figura 1.13 tiene la circunferencia dividida en tres partes. Como la longitud de PIERDE es el doble de GANA y SIGUE, parece justo poner: P(PIERDE) = ~, P(GANA) = y P(SIGUE) =

i.

lidades tales que Lk= 1 Pk = 1, con una ruleta se puede simular un sorteo con n casos posibles, donde el caso k-ésimo tiene probabilidad Pk, sin mas que elegir convenientemente los arcos de circunferencia correspondientes a cada caso.

1.10.

Plantear y resolver problemas

En un problema probabilístico, el planteamiento y el método de resolución están relacionados. Un mismo experimento aleatorio puede ser modelado mediante distintos espacios muestrales y la elección del planteamiento favorece o dificulta hallar un método para resolverlo. Por el momento, sólo conocemos un procedimiento general para resolver problemas: la regla de LAPLACE. Esta escasez de herramientas restringe nuestra elección del espacio muestral: por el momento, debemos escoger un espacio al que podamos aplicar la regla de LAPLACE. Mientras no dispongamos de otros métodos, debemos plantear un espacio completamente simétrico, cuyos resultados posibles sean intercambiables y utilizar las técnicas combinatorias para evaluar la probabilidad. Por fortuna, pronto se incrementarán las herramientas a nuestra disposición y tendremos más libertad en el planteamiento del modelo. Los ejemplos de este apartado muestran, con bastante detalle, el proceso completo hasta la solución del problema: plantear y resolver. Incluso, en algún caso, empleamos más espacio en discutir el planteamiento que la resolución, con lo que damos a entender que consideramos que este paso es crucial para una correcta resolución de los problemas. En general, preferimos los enunciados tradicionales, podemos decir "pintorescos", para mostrar cómo se reducen a otros equivalentes expresados en términos de

i

28

Experimentos aleatorios los instrumentos antes comentados.

1 •• I

lQQQJ

EJEMPLO 1.16 Un experimento consiste en escoger una bola al azar de una urna que contiene tres bolas blancas y dos negras. Queremos plantear un modelo y calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca. Como primer intento plantearemos un espacio muestral con dos elementos, ya que parece que sólo hay dos resultados posibles: la bola extraída es blanca o es negra. Oprimer intento = {

Figura 1.14

Este espacio muestral no es simétrico. Por las condiciones del problema, que la bola sea blanca o que sea negra no son sucesos intercambiables. En estas, este espacio no nos permite calcular la probabilidad. En un segundo intento, imaginemos que numeramos las bolas blancas y las negras. No parece que eso vaya a cambiar la probabilidad de extraer cada bola. Tras esta operación, la urna tiene la composición que se ve en la figura 1. 15. Ahora, resulta natural plantear un espacio muestral con cinco elementos O segundo intento =

Figura 1.15

O'• }

{CD ' (2) , G) , O ' f) }

La condición "se escoge una bola al azar" garantiza que cada uno de los resultados posibles de Osegundo intento son intercambiables y se tiene:

p (CD) = P((2)) = P(G)) = P(O) = P(f)) = Por último, "extraer una bola blanca" =

l

'5

{CD,(2), G)} y resulta

P ("extraer una bola blanca") =

~

• EJEMPLO 1.17 Una lista contiene n registros. Si elegimos dos registros al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean consecutivos? El modelo que planteemos depende de la interpretación que demos a "elegir dos registros al azar". Hay, esencialmente dos maneras de entenderlo.

• Secuencial: los registros se eligen sucesivamente. Primero elegimos uno al azar, entre n registros, y luego elegimos otro, al azar, entre los que quedan tras elegir el primero .

• Simultánea: los registros se eligen al mismo tiempo, lo que implica elegir un subconjunto de 2 elementos del conjunto de registros. Ambas interpretaciones con correctas y equivalentes, ya que en ambos casos todas las parejas posibles de registros tienen la misma probabilidad de ser elegidas. La interpretación secuencial se modela con una urna que contenga n bolas numeradas de 1 a n, de la que se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Si escogemos la interpretación secuencial, el espacio muestral está formado por todas las parejas ordenadas (i, j), donde 1 ::; i,j ::; n, con i 1= j . En este modelo (i,j) y (j,i) son parejas distintas. El número de parejas distintas es n· (n - 1), ya que hay n maneras de elegir el primer número y, por cada manera de elegir el primero, hay (n - 1)

29

1.10 Plantear y resolver problemas

maneras de elegir el segundo. Con la interpretación secuencial hay n(n - 1) casos posibles. Secuencias de registros consecutivos son, por ejemplo, (3,4) ó (6,5). Los casos favorables son todas las secuencias de la forma (i,i + l) ó (i + l,i), donde i puede variar entre 1 y n - l. Si A es el suceso "los registros son consecutivos", se tiene A = {(i, i + 1) ; 1 ::; i ::; n - l} U {(i + l,i) ; 1 ::; i ::; n - l} Hay (n - l) + (n -1) = 2(n - 1) secuencias favorables al suceso A. La probabilidad de que dos registros elegidos al azar sean consecutivos es

P(A)

=

2(n-l) = ~ n(n-l) n

La interpretación simultánea se modela así con una urna que contenga n bolas numeradas de 1 a n, de la que se elige un subconjunto de dos bolas. El espacio muestral está formado por todos los subconjuntos de dos elementos posibles, {i, j}. En este modelo, se tiene {i, j} = {j, i}. Hay tantos casos posibles como subconjuntos distintos de dos elementos; el número de casos posibles es G). Las parejas favorables a A son los subconjuntos de la forma {i, i + I }, donde i puede variar entre 1 y n-l. El número de casos favorables es n - l Y la probabilidad de A es

n-l

2

P(A)=-=-

G)

n

Desde luego P(A) es la misma con ambas interpretaciones.

•

EJEMPLO 1.18 Los números 1,2, ... , n, se ordenan al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ell aparezca en primer lugar?, ¿cuál es la probabilidad de que l y 2 aparezcan consecutivos y por este orden? El espacio muestral contiene n! elementos, tantos como permutaciones de los números 1,2, ... , n. El suceso A = "el l aparece en primer lugar", es el conjunto de ordenaciones que comienzan por 1:

[illJ···D Hay tantas ordenaciones que comienzan por 1 como permutaciones de los números 2,3, .. . , n. Así, hay (n - I)! ordenaciones favorables y se tiene

P(A) = (n-l)! = ~ n!

n

Para contar las ordenaciones favorables a que los números l y 2 aparezcan consecutivos y por ese orden, imaginemos que hemos pegados las tarjetas que llevan los números 1 y 2. Después de pegarlas tenemos n - 1 tarjetas

que podemos ordenar de (n - l)! maneras distintas. Éstas son las ordenaciones favorables a que l y 2 aparezcan consecutivos y por ese orden. La probabilidad pedida • es (n - I)!/n! = l/no

30


EJEMPLO 1.19 Una urna contiene n bolas numeradas de 1 a n. Extraemos al azar un subconjunto de k bolas, 1 ::; k ::; n. ¿Cuál es la probabilidad de que esté entre las elegidas? Como sabemos, el conjunto de las n bolas tiene subconjuntos distintos de k bolas. Éstos son los casos posibles. Podemos imaginar los subconjuntos que contienen a CD compuestos de esa bola y de un subconjunto formado de k - l bolas del conjunto { @, ®, ... 0} que tiene n - 1 bolas. Por eso hay G:: casos favorables . La probabilidad pedida es

CD

G)

D

Si repetimos los cálculos suponiendo que las bolas se eligen una a una sin reemplazamiento, encontraremos, otra vez, que la probabilidad pedida es k/ n. Ambos modelos son equivalentes. •

1.11.

Método de cá Icu lo por el com plementario

El recuento directo de los casos favorables de un suceso es el método de cálculo más simple cuando el suceso está definido por una condición que es una conjunción de condiciones o, equivalentemente, es una intersección de sucesos. Por ejemplo, si A es el sucesos definido por "se cumple p y se cumple q", podemos expresar A como la intersección, A = Al nA2, de los sucesos Al = {"se cumple p"} y Al = {"se cumple q"}. Sin embargo, el recuento directo resulta complicado cuando el suceso está definido por una disyunción de condiciones o, equivalentemente, es una unión de sucesos. Por ejemplo, si A es el sucesos definido por "se cumple p o se cumple q", podemos expresar A como la unión, A = Al UA2, de los sucesos Al = {"se cumple p"} y Al = {"se cumple q"}. La dificultad de recontar los casos que cumplen po q, radica en que hay que contar por separado los elementos que cumplen p y -'q, los que cumplen -,p y q, y los que cumplen p y q. En estas circunstancias, para calcular la probabilidad de A es más efectivo el método que denominamos cálculo por el complementario. Los sucesos definidos por una condición "al menos" son un buen ejemplo para la aplicación del cálculo por el complementario. Si lanzamos un dado dos veces, el suceso A = "al menos uno de los resultados es mayor que 3"

está definido por una condición que es una disjunción de condiciones "el primero es mayor que 3 ó el segundo es mayor que 3", y puede ser expresado como una unión, A = Al UA2, de los sucesos Al = {"el primer resultado es mayor que 3"} y

A2

= {"el segundo resultado es mayor que 3"}

31

1.11 Método de cálculo por el complementario

Para calcular la probabilidad deA, calcularemos la probabilidad de su, complementario: AC

= {"ambos resultados son menores o iguales que 3"} = A~

nA 2

ya que se trata de una conjunción de condiciones. Hay 62 casos posibles y 32 favorables a N, ya que el primer y segundo resultados pueden ser 1, 2 ó 3. Resulta P(N) = (3/6)2 = 1/4, Y se sigue P(A) = 3/4.

Método 1.3 (Cálculo por el complementario) Si el suceso cuya probabilidad queremos hallar está definido por una disyunción de condiciones, es preferible calcular la probabilidad de su complementario y hallar la probabilidad del suceso por diferencia a l. EJEMPLO 1.20 En una reunión hay k personas; ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día? Éste es un buen ejemplo de problema enunciado con el lenguaje "pintoresco" del cálculo de probabilidades. A pesar de su aspecto de adivinanza o de juego, el lector no debe tomar a broma estos enunciados. No siempre lo liviano es superfluo. El problema de los cumpleaños esconde un modelo que tiene importancia práctica. Por otra parte, el enunciado deja algunos datos sin precisar, ¿cuántas fechas distintas de cumpleaños debemos considerar? ¿365?, ¿366? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona nazca en una fecha determinada? Para establecer un modelo, es necesario hacer simplificaciones, nosotros haremos dos: primera, despreciaremos los años bisiestos y consideraremos que hay 365 fechas posible y segunda, consideraremos que cada persona puede nacer en cualquier fecha con igual probabilidad P = 1/365. Esta hipótesis segunda hipótesis es muy discutible. Sería lógico imponer que la probabilidad, Pi, 1 :S i :S 365, de nacer en la fecha i sea igual a la proporción de nacidos en ese día, ya que la experiencia indica que los nacimientos son más frecuentes en unos meses que en otros. ¿Hasta qué punto el modelo simplificado es válido en la realidad? La respuesta depende de lo sensible que sea la solución cuando haya desviaciones de las Pi respecto de la hipótesis P = 1/365. En estadística, una solución que sigue siendo aceptable aunque los parámetros del problema se desvíen de las hipótesis se denomina una solución robusta. Una formulación equivalente en términos de bolas y urnas es la siguiente: tenemos 365 urnas y k bolas. Colocamos las bolas al azar en las urnas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos bolas estén en la misma urna? Sea Ak es el suceso "al menos dos bolas entre las k que colocamos están en la misma urna", se trata de calcular P (Ak)' Como Ak está definido por la condición "al menos", resulta más fácil calcular la probabilidad de su complementario, Ak'

Al;

=

"las k bolas estén en urnas diferentes"

Los casos posibles son 365 k , ya que hemos hay 365 maneras de escoger una urna para colocar la primera bola y, una vez colocada, hay 365 maneras de escoger otra urna para la segunda bola, etc., y así sucesivamente. Casos favorables a Aj: hay: 365 . 364 . 363 ... (365 - (k - 1)),

casos

32

Experimentos aleatorios ya que hay 365 maneras de escoger una urna para la primera bola y, una vez colocada, nos quedan 364 urnas para colocar la segunda bola; una vez colocadas la primera y la segunda, hay 363 urnas donde podemos colocar la tercera; así sucesi vamente, hasta la k-ésima urna, para la que tenemos 365 - (k - 1) urnas disponibles (todas menos las k - l urnas ocupadas por las bolas anteriores). En total, hay La probabilidad de Ak es: P AC _ 365 .364.363 ... (365-(k - I )) ( k) 365 k

365 - (k- 1) 364 363 - - . - . .. 365 365 365 =

(1 -

3~5) (1 - 3~5 )

... ( 1 -

k3~5l )

Vamos a calcular esta probabilidad para varios valores de k. Los valores de p eAk) se calculan con facilidad, ya que cumplen la recursión:

lo que permite programar el cálculo con un mínimo de errores. A partir de P(Ak) , calculamos peAk) = I - P(AíJ La tabla de la figura 1.16 muestra los valores de

1 P(Ak )

P(Ak ) 0.027 14

35

10

0. 11 695

40

15

0.25290

45

20

0.4 1144

25

0.56870 0.70632

50 55

JO

6ü

0.8 1438 0.89 123 0.94098 0.97037 0.98626 0.99412

- -- ----- - ----- --"-~-__--------~

P(Ak ) 0.75 65

0.99768

70

O.99<}16

75

0.99972

80

0.9999 1

85

0.99998

90

0.99999

0.50

0.25

10

23

30

50

70

90

k

Figura 1.16: Gráfica de la función k >--> P(Ak )

P(Ak) para los valores de k comprendidos entre 5 y 90, de cinco en cinco. Observemos que con k = 70 es prácticamente seguro que habrá dos personas que cumplan años el mismo día. Si representamos gráficamente los valores anteriores, como si fuese una función continua de k, obtenemos la curva de la figura 1.16. Esta curva tiene una forma característica de muchos problemas probabilísticos. Tras un crecimiento lento, la curva crece rápidamente hasta volverse plana al final. Estas gráfi cas muestran un fenómeno de saturación, en determinado punto, se pasa rápidamente de 10 poco probable a 10 muy probable. Es interesante hallar el primer valor de k que cumple p eAk) ;::- 0.5. A la vista de los valores de la tabla, debe estar comprendido entre 20 y 25. Si calculamos las

33

1.11 Método de cálculo por el complementario probabilidades de los valores intermedios, obtenemos:

P(A2! l

=

0.44369,

P(A22l

=

0.47570

P(A23l

=

0.50730,

P(A24l

=

0.53834

Así, el primer valor de k tal que P(Akl ~ 1/2 es k = 23. Resulta bastante sorprendente que sólo con 23 personas podamos asegurar que la probabilidad de que al • menos dos tengan su cumpleaños el mismo día es mayor que 0.5.

Ejercicios

Ejercicios Ejercicio 1.1 Una urna contiene dos bolas blancas y una negra. Plantear un espacio muestral para el experimento que consiste en extraer una primera bola, devolverla a la urna, y extraer una segunda bola. ¿Podemos simular este sorteo con un dado? Ejercicio 1.2 Formular un espacio muestral adecuado para el experimento que consiste en extraer todas las bolas, una a una sin reemplazamiento, de una urna que contiene n bolas blancas y m bolas negras. Ejercicio 1.3 Sean A, B yC tres sucesos . Hallar las expresiones en términos de A, B yC de los siguientes sucesos: 1. Ninguno de los tres ocurre. 2. Sólo A ocurre.

3. Al menos uno de los tres sucesos ocurre. 4. Al menos uno de los tres sucesos no ocurre.

s.

Exactamente dos de ellos ocurren.

Ejercicio 1.4 Barajamos bien una baraja francesa y levantamos cartas, sucesivamente, sin devolver las levantadas al mazo. Calcular: 1. La probabilidad de que la tercera carta que levantemos sea un as. 2. La probabilidad de que el primer as aparezca al levantar la tercera carta. 3. La probabilidad de que, tras levantar tres cartas, haya aparecido algún as. Ejercicio 1.S Un algoritmo genera dígitos O, 1, ... , 9, al azar. Si generamos k dígitos, ¿cuál es la probabilidad, P(k), de que haya al menos dos iguales? Representar gráficamente P(k) para 2 ::; k ::; 10. Ejercicio 1.6 Una urna contiene 1000 bolas, 10 negras y 990 blancas. Extraemos 100 bolas sin reemplazamiento. Hallar: 1. La probabilidad de que no haya ninguna bola negra entre las cien elegidas. 2. La probabilidad de que haya una bola negra entre las cien elegidas. 3. La probabilidad de que haya k, O ::; k ::; 10, bolas negras entre las cien elegidas.

35

36

Experimentos aleatorios Ejercicio 1.7 A Y B lanzan una moneda equilibrada tres veces cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que A obtenga tantas caras como B? Ejercicio 1.8 Plantear un modelo para el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado hasta que la suma de los resultados obtenidos sea mayor que seis y observar el número de veces que lo hemos lanzado. Ejercicio 1.9 Plantear un modelo para el experimento que consiste en lanzar seis veces un dado. 1. ¿Cuál es la probabilidad que aparezca algún 1? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos resultados iguales? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezca ningún 1 y ningún 2? 4. ¿Cuál es la probabilidad de que cada resultado sea distinto que el anterior? Ejercicio 1.10 Plantear un modelo para el experimento aleatorio que consiste en escoger al azar un camino sin retroceso, que lleve desde A hasta B , en el retículo de la figura. "Sin retroceso" significa que cada paso es hacia la derecha o hacia arriba. Dar ejemplos de otros experimentos aleatorios que admitan el mismo modelo que el anterior. A continuación repasaremos los tres métodos fundamentales de la Combinatoria que hemos estudiado, mediante doce cuestiones que cubren la mayor parte de las aplicaciones de este curso.

Pequeño curso de combinatoria en forma de ejercicios 1. ¿Cuántos números binarios distintos de n bits hay? 2. ¿Cuántas palabras de distintas de longitud n se pueden formar con un alfabeto de r símbolos? 3. ¿Cuántos números binarios de n bits tienen k unos? 4. Si formamos palabras con las letras del conjunto O = {a, b, e, d, e}, ¿cuántas palabras distintas de cuatro letras es posible formar, que no tengan letras repetidas? 5. Si formamos palabras con las letras del conjunto O = {a, h, e, d , e}, ¿cuántas palabras distintas de cuatro letras es posible formar, cuya primera letra sea una vocal y que la tercera sea distinta de la primera?

37

Ejercicios

{a , b, e, d, e}, ¿cuántas palabras distintas de longitud 4 que no tengan dos letras consecutivas iguales es posible formar?

6. Si formamos palabras con las letras del conjunto [1 =

7. Si formamos palabras con las letras del conjunto [1 = {a, b, e, d, e}, ¿cuántas palabras distintas de longitud 4 tienen la letra a en un lugar determ inado? 8. Si formamos palabras con las letras del conjunto [1 = {a, b, e, d, e}, ¿cuántas palabras distintas de longitud 4 contienen alguna letra a? 9. ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene la ecuación

X¡+X2 + ···+ Xk = n? Encontrar un método recursivo de calcular la solución. 10. ¿Cuántas soluciones enteras positivas tiene la ecuación

Xl +X2+···+Xk = n? Encontrar un método recursivo de calcular la solución. 11. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar n bolas numeradas de 1 a n en m urnas? 12. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar n bolas numeradas de 1 a n en m ::; n urnas, de manera que ninguna urna esté vacía? Encontrar un método recursivo de calcular la solución.

39

Soluciones de los ejercicios

Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 1.1 Con frec uencia, el primer modelo en que se piensa es el que tiene como espacio muestral el conjunto:

{oo,o e,eo,ee} Este modelo tiene el inconveniente de que sus casos posibles no tienen la misma probabilidad pues, conforme al enunciado, es razonable pensar que Para el caso O O tiene que tener más probabilidad que el caso plantear un modelo en el que tengamos asegurar que todos los casos tienen la misma probabilidad, recurrimos a imaginar que las bolas blancas están marcadas con 1 y 2, el espacio

e e.

{(D(D, (D@,@(D,@@,(De,@e,e(D,e@, e e} tiene, evidentemente, todos sus casos intercambiables. Con un dado podemos simular las extracciones de las dos bolas, basta lanzar el dado dos veces y, puesto que hay el doble número de bolas blancas que negras, interpretar que ha salido bola blanca cuando aparece 1, 2, 3, ó 4 y que ha salido bola negra cuando aparece 5 ó 6. Solución del ejercicio 1.2 Escribamos O por cada bola blanca y 1 por cada bola blanca, una ordenación de n bolas blancas y m bolas negras es una secuencia de longitud n + m, formada por n ceros y m unos . Hay tantas ordenaciones de las bolas como números binarios de n + m bits, que contengan n ceros y m unos. Un espacio muestral puede ser el conjunto de estos números. Para queremos contar cuántos elementos tiene este espacio muestral , razonaremos así: para formar uno de estos números debemos decidir en qué n posiciones, elegidas entre las n + mn posiciones, aparecen los ceros; es decir, hay tantos números binarios de esta clase como subconjuntos de n posiciones tiene un subconjunto de n + m posiciones. Se sigue que hay

números u ordenaciones. Solución del ejercicio 1.3 1. Ninguno de los tres ocurre equivale a decir que A no ocurre, B no ocurre y que e no ocurre; por ello, se tiene {ninguno de los tres ocurre} = AC nB c nC c 2. Que sólo A ocurra equivale a que decir que A ocurre y B yC no. {sólo A ocurre} = A nB c nc c

40

Experimentos aleatorios 3. Que ocurra al menos uno de los sucesos es equivalente a decir que alguno de ellos ocurre. {al menos uno de ellos ocurre}

= A U B Ue

4. Se razona igual que el anterior, pero con los complementarios: para que al menos uno de los sucesos no ocurra, tiene que ocurrir alguno de los complementarios. {al menos uno de ellos no ocurre} = Ae U Be U Ce 5. Que exactamente dos ocurren equivale a decir que o bien A y B ocurren y e no, o bien A y e ocurren y B no, o bien B ye ocurren y A no.

{exactamente dos ocurren} = (A n B ne e ) U (A n Bc ne) U (N n B ne) Solución del ejercicio 1.4 1. Basta razonar sobre las tres primeras cartas. El número de casos posibles es 52 x 51 x 50. Casos favorables a que la tercera carta sea un as hay 4 x 51 x 50, ya que la tercera carta puede ser una de cuatro; una vez elegida la tercera, la primera puede ser una cualquiera de las 51 restantes y, elegidas la tercera y la primera, la segunda puede ser una cualquiera de las 50 restantes. La probabilidad pedida es

4 x 51 x 50 52 x 51 x 50

4 52

Observemos que la probabilidad de que la tercera carta sea un as es igual a la probabilidad de que la primera lo sea. 2. Otra vez basta razonar acerca de las tres primeras cartas. El número de casos favorables, como antes, es 52 x 51 x 50. El número de casos posibles es 48 x 47 x 4, ya que la primera carta no puede ser as y hay 48 maneras de elegirla; una vez elegida la primera, hay 47 maneras de elegir la segunda, que tampoco puede ser as; por último, la tercera carta debe ser uno de los cuatro ases. La probabilidad pedida es (48 · 47 ·4)/(52·51 · 50) ~ 0.068 .

3. Aplicaremos método de cálculo por el complementario. La probabilidad de que no haya aparecido ningún as tras levantar tres cartas es (48·47· 46 ) / (52·51· 50) ~ 0.7826. La probabilidad de que haya aparecido alguno es ~ 1 - 0.7826 = 0.2174. Solución del ejercicio 1.5 Un modelo consiste en lOk casos posibles, tantos como posibles secuencias de longitud k, formadas por los dígitos 0, 1, ... , 9, sin ninguna restricción. Para calcular la probabilidad del suceso Ak

= {que haya al menos dos dígitos iguales al generar k dígitos}

41

Soluciones de los ejercicios aplicaremos el método de cálculo por el complementario. Los casos favorables a Akson aquellas secuencias de longitud k, que tienen todos los dígitos diferentes. Hay 10 maneras del elegir el primer dígito, 9 de elegir el segundo (debe ser distinto del primero), 8 el tercero, etc., hasta 10 - k + 1 maneras de elegir el k-ésimo dígito. Luego hay 10·9·8· ·· (lO - k + 1) La probabilidad pedida es:

P(k) = P(Ad = 1 =

=

1O ·9·8 · · ·( 1O - k + l ) lOk

1 _ 10 . _10_-_1 . _10_- _2 ... _10_-----'-(k_-_l-,--) 10 10 10 10

1-rr (1-~) 10

i=O

En la figura 1.17 se muestra la tabla de los valores de P(k) y su gráfica.

10 0.9 0.8

k

P(k)

k

P(k)

2 3 4 5

0.00000 0.10000 0.28000 0.49600 0.69760

6 7 8 9 10

0.84880 0.93952 0.98186 0.99637 0.99964

0.7

0.6 0.5 0.4

0.3 0.2

0. 1

2

3

4

8

9

ID

Figura 1.17:

Solución del ejercicio 1.6 1. El número de casos posibles es (,?oog), tantos como subconjuntos de 100 bolas tiene un conjunto de 1000 bolas. El número de casos favorables es (~6~), tantos como subconjuntos de 100 bolas tiene el conjunto de bolas blancas. La probabilidad pedida es 990) ( 100

('000) 100 2. El número de casos favorables a que haya una bola negra es (\0) (9i90), ya que podemos elegir la bola negra de (\0) maneras y las 99 bolas blancas

42


de

0 (9;9 )

maneras. La probabilidad pedida es

('2)

3. El número de casos favorables a que haya k bolas negras es C66~J, ya que podemos elegir la bola negra de ('2) maneras y las 100 - k bolas blancas de (166~k) maneras . La probabilidad pedida es

(100-k 990 ) (10) k (1000) 100 Solución del ejercicio 1.7 Pongamos que P(A = k,B = r) es la probabilidad de que A obtenga k caras y que B obtenga r. Imaginemos que primero lanza A tres veces y, después, B hace sus lanzamientos. El resultado es una secuencia de caras ó cruces de longitud 6. Hay 26 casos posibles y todos tienen la misma probabilidad de ocurrir, ya que la moneda está equilibrada. Para que A = k y B = r, tiene que haber k caras entre los tres primeros lucasos gares y r caras entre los tres últimos lugares. Se sigue que hay favorables. En particular, tenemos

(D e)

2

m

P(A = k , B = k) = 26

La probabilidad de que A y B obtengan el mismo número de caras es igual a P(A = B) =P(A +P(A

= O,B = O) + P(A = = 3,B = 3)

1,B

= 1) + P(A = 2,B = 2)+

to G)2

=r 6 k

Solución del ejercicio 1.8 El número de veces que tenemos que lanzar los dados para que la suma de los resultados obtenidos sea mayor que seis varía entre 2, cuando alguno de los dos primeros resultados es [!J, por ejemplo iol r:¡l

L.!J l!...!J

8.

Y 7, cuando los seis primeros resultados son Esta observación nos puede llevar a plantear un modelo con seis casos posibles, cuyo espacio muestral sea [) = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

43

Soluciones de los ejercicios Pero este espacio no es muy útil, porque no es razonable aceptar que estos casos sean intercambiables. Podemos plantear un espacio cuyos casos sean intercambiables si lanzamos el dado siete veces, con lo que es seguro que alguna suma parcial de resultados será mayor que seis, y consideramos como caso posible cada una de las secuencias de siete resultados que podemos obtener.

rh = {todas las secuencias

(XI,X2, .. . ,X7),

con l :s:; Xi :S 6}

Este espacio muestral contiene

6 x 6 x· ·· x 6 = 67

~

7 veces

casos posibles que son intercambiables. Ahora, sí es razonable aceptar que todos los casos posibles tienen la misma probabilidad. Naturalmente, el

{N=7 } = { ~ ~

liI~

m

m~ ~ [lID ~ ~iJ

Imi

~~

[IJ

~~Illm~~~ ~~llH~~~~

WlI

1m iill

g }

Figura 1.18: En el modelo con 67 casos igualmente probables, el suceso (N = 7) es compuesto y está fonnado por los se is casos posibles que aparecen en la figura. Evidentemente, en cada uno se esos casos se tiene N = 7. No es difícil razonar que no puede haber otros casos en los que también se cumpla, ya que si alguno de los seis primeros resultados es mayor que l , en el sexto lanzamiento, con seguridad, la suma será mayor que 6 y N S 6.

modelo de casos intercambiables tiene el inconveniente de que contiene muchos puntos y es difícil contar cuántos casos posibles contiene un suceso. El mejor modelo en este caso es el que inicialmente hemos planteado, con pocos casos aunque de distinta probabilidad. El método para evaluar esas probabilidades es el recursivo, que estudiaremos posteriormente. Solución del ejercicio 1.9 Consideremos como caso posible cualquier secuencia formada por 6 resultados de lanzar el dado. El espacio muestral es

o=

{todas las secuencias (Xl ,X2, ... , X6), con Xi = 1, 2, . .. , 6}.

Hay 66 secuencias distintas y, por simetría, asignamos la misma probabilidad a cada una.

1. Designemos por A al suceso "aparece algún 1". Este es un suceso compuesto, que está definido por una disyunción de condiciones, ya que es igual al suceso "aparece un 1 en el primer lanzamiento, o en el segundo, etc."; por eso, es razonable aplicar el método de cálculo por el complementario. El suceso AC es "ningún resultado es 1". El número de secuencias


44

favorables a este suceso es 56, ya que el primer resultado puede ser elegido de cinco maneras, el segundo de cinco, etc.; la probabilidad de N' es P(N) = 56 /6 6 y se tiene P(A) = 1 - (5 / 6)6 ~ 0.6651. 2. Designemos por B al suceso "no hay dos resultados iguales". Este suceso está compuesto de todas las secuencias de seis resultados que contienen a 1, 2, 3, 4, 5 Y 6; así, cada una de esas secuencias debe ser una permutación de estos números. Hay 6! casos favorables a B y la probabilidad de Bes P(B) = 6! /6 6 ~ 0.0154. 3. Sea e el suceso definido por "no aparece ningún 1 y ningún 2". Hay 46 secuencias favorables a e, ya que el primer resultado se puede escoger de 4 maneras y, una vez escogido el primero, hay 4 maneras de elegir el segundo, y así sucesivamente. La probabilidad de e es p(eC ) = 46 / 66 ~ 0.0878. 4. Sea D es suceso "cada resultado sea distinto que el anterior". Para formar una secuencia favorable a D, podemos elegir el primer resultado de 6 maneras, ya que no tiene ninguna restricción. El segundo resultado debe ser distinto del primero y, una vez elegido este, hay 5 elecciones posibles para el segundo. Lo mismo sucede con el tercero, cuarto, quinto y sexto. Hay 6.5 5 secuencias favorables y la probabilidad de Des P( ce) = 55 / 65 ~ 0.4019. Solución del ejercicio 1.10 El paradigma de este experimento es un modelo de urnas. Consideremos una urna contiene cinco bolas blancas y cuatro bolas negras. Extraemos una a una todas las bolas y las colocamos sobre la mesa, en el mismo orden en que salieron. Cuando la urna quede vacía, sobre la mesa tendremos una de las secuencias posibles de nueve bolas, cinco blancas y cuatro negras. Por ejemplo, la secuencia:

00.0.00 • • Si interpretamos cada bola blanca como un salto a la derecha y cada bola negra como un salto hacia arriba, esa secuencia se corresponde con el camino sin retroceso que une A con B , a través de los vértices (O, O), (1, O), (2, 0), (2, 1), (3, 1) , (3,2), (4,2), (5, 2) , (5,3) Y (5,4). Esta interpretación establece una correspondencia biyectiva entre caminos sin retroceso y secuencias de bolas: hay tantos caminos como secuencias. Podemos plantear como espacio muestral el conjunto O de todas las elementos. Puesto que escosecuencias distintas, espacio que contiene gemos al azar uno de estos elementos, asignaremos la misma probabilidad, 1 / (~) a cada uno de ellos. Otros ejemplos de experimentos aleatorios que tienen el mismo modelo son:

G)

45

Soluciones de los ejercicios 1. Elegir al azar una secuencia de ceros y unos entre todas las secuencias de longitud n que contienen r unos. (Elegir al azar un número de n bits con r unos y n - r ceros.) 2. En el recuento final de una votación con dos candidatos, A ha obtenido r votos y B n - r votos. El número de desarrollos distintos del recuento es C). Elegir al azar uno de los recuentos posibles tiene el mismo modelo. La anterior observación tiene importantes consecuencias prácticas. Si tenemos que simular el desarrollo de la votación, la primera idea (que no suele ser la mejor) sería colocar en una urna una bola por cada recuento posible. Incluso cuando n y r no son muy grandes, este procedimiento es imposible de aplicar, ya que C) es un número enormemente grande. Por ejemplo, el número (i~) es mayor que 4.10 10 . En lugar de introducir en la urna ese ingente número de bolas y extraer una, basta introducir 40 bolas, 15 blancas y 25 negras, y extraerlas todas.

Pequeño curso de combinatoria en forma de ejercicios 1. Hay 2 n números, tantos como subconjuntos distintos tiene un conjunto de n elementos, ya que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre el conjunto de números binarios de n bits y el de subconjuntos de un conjunto de n elementos. También es igual al número de palabras de longitud n que tiene un lenguaje cuyo alfabeto tiene dos símbolos L, =

{O, 1}. 2. La primera de las n letras que forman la palabra puede ser elegida de ,. maneras distintas, ya que el alfabeto contiene r letras. La segunda letras de la palabra también puede ser elegida de n maneras, independientemente de la letra que hayamos elegido en primer lugar. De manera similar hay r elecciones posibles de la tercera, cuarta, hasta la última letra. En total tenemos r·r···r=r n "'-.,...--'

n veces

palabras distintas. 3. Para formar un número de n bits que tenga k unos tenemos que escoger k posiciones para escribir en ellas 1, en las restantes posiciones escribiremos O. Resulta así que hay tantos números como subconjuntos distintos de k posiciones entre n. En resumen, hay G) números distintos. 4. La primera letra puede ser elegida de 5 maneras, una vez hecha esta elección, la segunda letra puede ser elegida de 4 maneras para que la

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segunda letra sea distinta de la primera. Así sucesivamente. En total hay 5·4·3·2= 120 palabras de cuatro letras distintas. 5. La primera letra puede ser elegida de 2 maneras, puesto que tiene que ser vocal. La tercera letra puede ser elegida de 4 maneras, ya que tiene que ser distinta de la primera. Una vez escogidas estas letras, hay 5 maneras de elegir la segunda y 5 de elegir la cuarta. En total hay 2 . 5 ·4 . 5 = 200 palabras distintas. 6. La primera letra puede ser elegida de 5 maneras distintas. Una vez hecha esta elección, hay 4 maneras de elegir la segunda letra, que no puede ser igual a la primera. Una vez elegidas la primera y la segunda, hay 4 maneras de elegir la tercera, que no puede ser igual a la segunda. Por último, una vez elegidas las tres primeras, hay 4 maneras de elegir la cuarta para que no sea igual a la tercera. En total hay 5 ·4·4·4 = 320 palabras. 7. En la posición determinada es preciso escribir a y sólo hay una elección posible. En cada una de las otras tres posiciones, podemos escoger un símbolo entre cinco. En total hay 5 x 5 x 5 x 1 = 125 palabras. 8. Contemos el número de palabras que no cumplen esta propiedad, es decir, que no contienen ninguna letra a. En cada posición, podemos elegir un símbolo entre cuatro, luego hay 44 palabras sin a. El número de palabras con alguna a es 54 - 44 = 369. 9. Pongamos un ejemplo concreto; supongamos k = 3 y n = 5. Una de las posibles soluciones es (2,2, 1), otra es (2, O, 3). Podemos definir un algoritmo que genere soluciones si imaginamos el problema de la manera siguiente. Cada solución, por ejemplo (2,2,1) equivale a una secuencia formada por 5 unos y 2 ceros. Por ejemplo, la secuencia 1101101 se corresponde con la solución (2,2,1). La clave de la correspondencia es asignar a XI el número de unos que hay hasta el primer cero; asignar a X2 el número de unos que hay entre el primer y el segundo cero, y asignar a X3 el número de unos que haya la derecha del segundo cero. Dos ejemplos más, la solución (2,0,3) se corresponde con la secuencia 1100111, y la secuencia 1111100 con la solución (5,0,0). Resulta evidente que esta correspondencia es biyectiva y podemos afirmar que hay tantas soluciones del problema con k = 3 y n = 5 como secuencias distintas que contienen cinco unos y dos ceros o números binarios de siete bits con cinco unos. En total hay números, secuencias o soluciones. Resolver el caso general es, ahora, fácil. De la observación anterior se sigue que hay tantas soluciones enteras no negativas de la ecuación

G)

Xl

+ X2 + ... + Xk = n

(1.8)

como números binarios formados por n unos y k - 1 ceros; en total hay (n+~-l) soluciones.

47


Ensayemos una solución recursiva. Este método es más simple y produce soluciones inmediatamente programables. Designemos por N(n,k) el número de soluciones de la ecuación 1.8, donde n :2: O Y k :2: 1. Las condiciones iniciales son simples; por una parte, N(O,k) = 1, ya que la única solución posible es Xl = X2 = ... = Xk = O y, por otra parte, N (n, 1) = 1, ya que la única solución es Xl = n. Para hallar la relación recursiva razonaremos en función del valor de la primera variable Xl, que puede tomar cualquier valor entre O y n. Hay tantas soluciones con XI = r, O ::; r ::; n, como soluciones distintas del problema X2

+ X3 + ... + Xk =

(1.9)

n - r,

es decir N(n - r,k-l). Esta sencilla observación nos permite poner n

N(n,k) = LN(n - r,k - l), r=O

que es la relación recursiva buscada. 10. Puesto que buscamos soluciones positivas, debe cumplirse, Xi :2: 1. Si ponemos Yi = Xi - 1, resulta que la secuencia (YI,Y2, ... ,Yk) es una solución no negativa de la ecuación Yl + Y2 + .. . + Yk = n-k. De acuerdo con el ejercicio anterior, el número de soluciones es

C=!).

11. Cada disposición de las bolas en las urnas equivale a una palabra de longitud n, formada con las letras de un alfabeto de m símbolos. La traducción de cada palabra en una disposición es clara: si la letra j-ésima aparece en el lugar i-ésimo significa que la bola i se coloca en la urna j. Así, hay tantas maneras de colocar n bolas en m urnas como palabras de longitud n tiene un lenguaje cuyo alfabeto tiene m símbolos; en total hay m n maneras. 12. Desde luego, para que ninguna urna esté vacía todas tienen que estar ocupadas. ASÍ, hay que calcular el cardinal de la intersección de conjuntos Al nA2 n ··· n A m , donde AJ representa el conjunto formado por las disposiciones de las bolas tales que la urna j-ésima contiene alguna bola. Comenzaremos con un problema más fácil, ¿cuál es el cardinal de Aj?; no me parece sencillo, Aj puede contener cualquier subconjunto no vacío de bolas. Es más fácil responder a la pregunta complementaria, ¿cuál es el cardinal de Aj?, porque Aj es el conjunto de maneras de colocar las bolas de modo que la urna j esté vacía, lo que equivale a colocar n bolas en m - 1 urnas, y este número es (m _1)n. De igual manera es fácil calcular el número de disposiciones tales que dos urnas determinadas están vacías, es (m - 2)n. Esta observación prueba que calcular el cardinal de su complementario Aí UAí U··· UA~ es mejor que calcular el cardinal de Al n A2 n··· nA m . Denotemos por IA I el cardinal del conjunto A, resulta

IA~ UA 2U··· UA~I = L IAjl- L IAj nA%1 + L J

J#

J#ii

lA; nA knAil-···

Experimentos aleatorios De la observación anterior, se sigue

Por último, el número de maneras de colocar las bolas de modo que ninguna urna quede vacía se calcula como la diferencia entre el número total de disposiciones y el cardinal del complementario. IA I n A 2 n··· nAml

= m n -IA~ U A2U ··· UA~I n

= m -

(7)

(m - 1) n +

(~) (m - 2Y - ...

Fónnula que podemos expresar de una manera abreviada. (LlO)

Tratemos de encontrar una relación recursiva. Designemos por N(n,m) el número de maneras de colocar n bolas en m urnas de modo que ninguna urna quede vacía. Las condiciones iniciales son bastante evidentes; si n < m, entonces N (n, m) = O, ya que si hay menos bolas que urnas, alguna urna debe quedar vacía; si n = m, entonces N(n ,n) = n! , ya que debe haber una bola en cada urna y podemos pennutar las bolas de n! maneras. Analicemos en función del número de bolas que hay en la primera urna. Si en la primera urna hay k bolas, 1 :::; k :::; n-m + 1, el grupo de k bolas que hay en la primera urna puede ser elegido de G) maneras entre las n bolas, y las restantes n-k bolas se pueden colocar en las m - 1 urnas, de manera que ninguna quede vacía, de N (n - k, m - 1) maneras. Este razonamiento nos lleva a escribir N(n,m)

n-m+ l

= L,

k=l

(n) k

N(n-k,m - l )

2 Modelos aleatorios dinámicos

2.1.

Modelos estáticos y modelos dinámicos

Los modelos probabilísticos que estudiamos en el capítulo anterior son estáticos. Suponen que el resultado del experimento se resuelve en un único sorteo. Estos modelos son adecuados para describir experimentos como el lanzamiento de uno o varios dados, en los que parece que el Azar, de una sola vez, decide el resultado que aparecerá en cada dado. Otros experimentos se componen de varios subexperimentos que se suceden en el tiempo, de manera que el resultado de un subexperimento influye en las condiciones de los posteriores. Tales experimentos son dinámicos. Por ejemplo, si lanzamos un dado y extraemos tantas bolas de una urna como indique el resultado del dado, es complicado plantear un espacio muestral simétrico, cuyos elementos representen los posibles resultados de tirar el dado y de escoger las bolas. La razón de la complejidad reside en que el subexperimento "extraer las bolas" depende del resultado del subexperimento "tirar el dado". Los experimentos dinámicos transcurren en el tiempo, el Azar toma varias decisiones sucesivas y las primeras decisiones tomadas influyen en las posibles decisiones posteriores. Aplicar un modelo estático a un experimento dinámico tiene, al menos, dos inconvenientes: 1.

No es intuitivo, pues al interpretar que el Azar actúa una sola vez y determina en un único sorteo los resultados de todos los subexperimentos, no nos ajustamos al desarrollo temporal del experimento.

2.

Dificulta conseguir un modelo simétrico y, por lo tanto, complica la evaluación de la probabilidad de los sucesos.

El ejemplo siguiente muestra las dificultades que encontramos para ajustar el modelo estático a un experimento dinámico. EJEMPLO 2.1 Tenemos una moneda equilibrada y dos urnas. La urna 1 contiene una bola blanca y una negra. La urna II contiene tres bolas blancas y una negra.La

50

Modelos aleatorios dinámicos

moneda

©JI

\@

lo. rl~g r Figura 2.1

figura 2.1 nos sugiere las reglas del sorteo: lanzamos la moneda; si sale cara, elegimos una bola de la urna 1; si sale cruz, elegimos una bola de la urna n. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola elegida sea negra? De manera natural, este experimento se descompone en dos subexperimentos que se suceden en el tiempo. El resultado del primer experimento (lanzar la moneda) determina las condiciones del segundo experimento (extraer la bola). A pesar de ello, intentaremos aj ustar un modelo estático. Si consideramos el espacio muestral: Oprimer intento =

moneda

{O'.}

no es posible evaluar directamente las probabilidades ya que los casos O y • no son intercambiables. Además, perderemos parte de la información, ya que no podríamos responder a una pregunta sobre la probabilidad de que haya salido cara en la moneda y bola negra de la urna. En un segundo intento, consideramos como resultados posibles los cuatro resultados de lanzar la moneda y observar el color de la bola extraída:

Tampoco es inmediata la evaluación sus probabilidades, ya que debe ser más proO}, dado que @ es tan probable como @, pero es más bable {@O } que probable extraer una bola blanca de la urna II que de la 1. Este espacio muestral no ayuda a valorar las diferentes proporciones. Tampoco parece que numerar las bolas dé resultado. Si numeramos las bolas de cada color en cada urna, como aparece en la figura 2.2, se puede plantear un espacio muestral con seis puntos:

{©J

Figura 2.2: Segundo intento de resolver el problema

0tercerintento =

moneda

Figura 2.3: Tercer intento de resolver el problema

{@CD,@O,@CD, @@, @G),@O}

Pero, no podemos aceptar que estos seis casos sean igualmente probables, ya que es más fácil que ocurra ©l CD a que ocurra @CD, puesto que cara es tan probable como cruz pero para extraer la bola CD de la urna 1 hay un caso entre dos, mientras que, para extraer la bola CD de la urna II hay un caso entre cuatro. Hagamos un último intento: busquemos la simetría. Completemos la urna 1 con una bola blanca y otra negra. Así, duplicamos el número de bolas que contiene, pero mantenemos la proporción de cada color y la probabilidad de elegir una bola blanca de la urna 1 no se altera. Después, recurrimos a numerar las bolas, como se muestra en la figura 2.3. El nuevo espacio muestral tiene 8 elementos: Ocuarto intento =

{@CD , ©l @, @O' @e, @CD, @@, @G), @O}

y, por simetría, aceptamos que todos los casos tienen probabilidad 1/8. En este modelo, se tiene: A = "la bola extraída es negra" =

{©lO, ©le , @O }

luego la probabilidad pedida es P(A) = 3/ 8. La dificultad de este ejemplo radicaba en que el segundo subexperimento dependía del resultado del primero. Esta condición dinámica no encaja bien en el modelo probabilístico estático. Para superarla, • hemos introducido un truco que hace intercambiables los casos posibles. El ejemplo anterior nos enseña que debemos buscar conceptos y métodos generales que ayuden a resolver esta clase de problemas de manera

51

2.2 Probabilidades condicionadas general, sin tener que recurrir a estos métodos ad hoc. Un concepto, denominado probabilidad condicionada, permite definir la probabilidad en los experimentos dinámicos, de manera simple e intuitiva. Los próximos apartados están dedicados a explorar ese concepto.

2.2.

Probabilidades condicionadas

Hasta ahora, hemos distinguido entre experimentos estáticos y experimentos dinámicos. Ejemplos de experimento estático son lanzar dos dados o escoger una ordenación de los números 1, 2, ... , n; experimento dinámicos es el definido en el ejemplo 2.1. Pero, ahora, razonaremos que todo experimento aleatorio puede ser considerado dinámico. Esta nueva forma de pensar es un ejemplo de lo que denominado "pensar a lo grande", y que podemos definir así: para resolver un problema nos inventamos y resolvemos otro más general, del que el primero es un caso particular. Hasta este momento, hemos mirado cada experimento aleatorio como un proceso todo-nada, en el que pasábamos de la incertidumbre inicial acerca de cuál sería el resultado, a la certidumbre final una vez observado. Ahora, interpretemos el experimento como un proceso que puede tener más etapas. Podemos conocer una información parcial, por ejemplo: ha ocurrido cierto suceso A, pero seguimos sin saber cuál ha sido el resultado del experimento. Visto así, hemos pasado del estado de incertidumbre inicial a otro estado de mayor información pero también incierto: sabemos que el resultado es alguno de los casos posibles que pertenecen a A. Cualquier experimento aleatorio admite esta interpretación dinámica como paso de lo incierto a lo seguro, en un proceso que puede tener muchas etapas. Este enfoque evidencia que la probabilidad de un suceso es función de la información que tengamos en el instante de valorarla. Tras cada incremento de información, la probabilidad debe volverse a calcular o reasignarse. Examinemos lo anterior con un ejemplo. Consideremos el experimento que consiste en lanzar dos dados equilibrados. El primer modelo probabilístico, basado en la información que tenemos, consiste en un espacio de 6 x 6 resultados posibles, cada uno con probabilidad 1/36. [1

= {G]G] , G]~, ... , [][Z], [][]}

Antes de lanzar los dados, la probabilidad de obtener [Z]Gj, es: l

P( [Z]Gj) = 36

(2.1 )

Ahora, los dados se han lanzado y no conocemos el par de puntos que ha salido, pero sabemos que la suma de los puntos obtenidos ha sido 5. La situación sigue siendo incierta, pero el modelo ha cambiado. El conjunto

52

Modelos aleatorios dinámicos de resultados posibles se reduce al conjunto:

A = "la suma es cinco" = {[J¡;j, ~[Z], [Z]~, ¡;j[J}

y, por simetría, la probabilidad de cualquiera de ellos es 1/4. Esta probabilidad es una función distinta de la que aparece en la igualdad 2.1 . Es una probabilidad definida sobre el espacio muestra! A, corresponde a un modelo distinto. Para diferenciarla, ponemos P(- I A), expresión que se lee "probabilidad condicionada porque A ha ocurrido" o, simplemente "probabilidad condicionada por A". Las igualdades:

P ([Z]~ lA) =

1

¡

(2.2)

expresan nuestro juicio sobre las posibilidades de que el resultado sea [Z]~ en dos estados de información diferentes: cuando sólo conocemos las reglas del experimento y cuando, además, conocemos que la suma de los puntos obtenidos ha sido 5. Dado que estas dos probabilidades están definidas sobre espacios probabilísticos distintos, conviene una fórmula que las relacione. Observemos, que en el ejemplo anterior, se verifica:

P( J,OlI"Ol I A) = P( [Z]~) = :i6 l!:J~ P (A) ~

(2.3)

Esta observación, que relaciona la probabilidad en el modelo inicial, con la probabilidad "condicionada por A", nos lleva a definir: Definición 2.1 Si A Y B son sucesos de un espacio de probabilidad y se

cumple P(A ) > O, la probabilidad de B condicionada por A es igual a:

P(B lA) = P(A nB) P(A)

(2.4)

Desde el punto de vista frecuentista, la probabilidad condicionada se interpreta diciendo: entre las repeticiones del experimento en las que ocurre A, la frecuencia con que esperamos que se presente Bes P(B I A) Y coincide con la frecuencia con la que ocurren ambos sucesos simultáneamente, dividida por la frecuencia con la que se presenta A. EJEMPLO 2.2 Consideremos un experimento aleatorio que consiste en ordenar al azar las tarjetas [O,@J, ... ,[2] en una fila. Este experimento se puede interpretar como "escoger al azar una permutación de [O,@J, .. . , G], entre las n! posibles"; si hacemos esta interpretación, estamos planteando un modelo estático. La idea que subyace es que el Azar, en una única elección, escoge la posición de todas las tarjetas simultáneamente. Cuando se conoce la decisión del Azar, se pasa de no saber nada acerca de la permutación elegida, a tenerla completamente definida.

2.2 Probabilidades condicionadas Imaginemos, ahora, que ponemos las tarjetas dentro de una urna y las extraemos una a una, al azar y sin reemplazamiento, estamos ante un modelo dinámico. La primera tarjeta se elige entre todas al azar. La segunda tarjeta, se elige al azar entre las que son distintas de la primera elegida. Así, sucesivamente, hasta completar las n posiciones. La ordenación final es el resultado de n elecciones o sorteos y el resultado de un sorteo condiciona los casos que son posibles en los sorteos posteriores. Tras sortear la tarjeta que irá en una posición "sabemos" más de la ordenación tinal. El paso de la incertidumbre a la certeza se hace mediante n incrementos de la información. Desde el punto de vista matemático, ambos modelos son equivalentes: son, probabilísticamente, indistinguibles. Según cuál sea la pregunta que hay que contestar, puede ser preferible un modelo u otro. Desde el punto de vista más práctico, hay notables diferencias entre ambos modelos. Supongamos que queremos sortear, bien materialmente, mediante algún aparato, bien virtualmente, en el computador. Primero, consideremos el sorteo material. Para llevar a cabo el primer modelo, precisamos una urna que contenga n! bolas que lleven anotada, cada una, un a permutación dife rente. El sorteo consiste en escoger una bola, al azar, entre las que hay en la urna. Incluso para valores pequeños de n, el número n! es muy grande. Por ejemplo, si 11 = 10, n! = 3628800, resulta difícil encontrar una urna con capacidad suficiente para tantas bolas, por pequeñas que sean l. Además, tendremos dificultades para mezclar bien las bolas, lo que implica dudas acerca de que la elección pueda ser al :lzar. Incluso para valores de n pequeños, este sorteo es prácticamente irrealizable. Para hacer el sorteo material según el modelo dinámico, basta con disponer de una urna que contenga n bolas numeradas de 1 a n. Extraemos una bola elegida al azar y su número es el primero de la lista u ordenación aleatoria que queremos conseguir. Dejamos la bola fuera de la urna y volvemos a escoger una bola al azar; as í, sucesivamente, hasta agotar las bolas de la urna. El mecanismo es simple y aceptable, salvo que n sea enormemente grande. Si preferimos el sorteo virtual, mediante el computador, la situación es semejante. Cualquier algoritmo que pretenda simular el primer sorteo requiere ocupar muchas más posiciones de memoria que el segundo. • EJEMPLO 2.3 Los números 1,2, ... ,9 se ordenan al azar. Si el primer número es impar, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo sea par? Designemos por A¡ el suceso : A¡ = "el i-ésimo resultado es impar"

La pregunta que debemos responder es un condicional: si Al ha ocurrido, ¿cuál es la probabilidad de Aí? Primero, lo resolveremos planteando el modelo estático. El espacio muestral está formado por 9! ordenaciones posibles. Hay 5· 8! ordenaciones favorables a que el primer número sea impar, es decir a A I Y se tiene:

Por otra parte, hay 5 ·4· 7! ordenaciones favorables a que el primer número sea impar y el segundo par, es decir, al suceso Al n Aí , (hay 5 maneras de escoger el primer 1Si las bolas tuvieran un radio de lcm., la urna debería tener una capacidad mayor que 15000 litros. Si se tratara de un bombo esférico, debería tener un radio mayor de 1.5 metros.

53

54

Modelos aleatorios dinámicos número, 4 maneras de escoger el segundo y los restantes pueden ser ordenados de 7! maneras). Se tiene e 5·4·7! 5 peAl nA 2 ) = -9-!- = 18 lo que implica:

el

) _ P(A I n Al ) _

P(A2 A] -

peA l)

5/18 _

/

- 5/9 - 1 2

Ahora lo resolveremos planteando el modelo dinámico. El primer número se elige al azar de una urna que contiene los números 1 a 9. Hay 9 casos posibles y 5 favorables a que sea impar. Se tiene P(A ]) = 5 / 9. Si el primer número ha sido impar, cuando vamos a extraer el segundo, la urna contiene cuatro pares y cuatro impares; se sigue

P(Al l A]) 2.2.1.

= 1/2.

•

Propiedades de la probabilidad condicionada

Las propiedades más importantes de la probabilidad condicionada se deducen de la definición 2.1. Por ejemplo, se cumple: p eA lA) = 1, ya que

peA l A) = p eA nA) = peA ) p eA) p eA) Otra propiedad casi evidente: P (Be lA ) = 1 - P (B l A). Para justificarla, se requiere un poco de cálculo: e

P(B e lA) = P(B nA) = peA) - P(B nA) = 1 - P(B lA) peA) p eA) La tercera propiedad es la aditividad. Si B l Y B2 son dos sucesos disjuntos, se cumple:

P(B UB l A) = P((B I UB2) nA) ] 2 p eA) P(B] n A) = peA )

P(B2 nA) + peA)

= P(B] lA) + P(B21 A)

pe

Estas tres propiedades suponen que I A) es una probabilidad sobre el álgebra de BOOL E de los subconjuntos de A.

2.3.

Cálculo "dinámico" de la probabilidad de la intersección

La fórmula 2.4 que define la probabilidad condicionada se puede expresar de la forma: peA nB) = P(A )P(B lA) (2.5)

55

2.3 Cálculo "dinámico" de la probabilidad de la intersección Escrita de esta manera, nos sugiere una interpretación dinámica. La aparición de los sucesos A y B, que en el modelo estático es simultánea, ahora nos parece fruto de dos decisiones del Azar: primero debe ocunir A y, después, supuesto que A ha ocurrido, debe ocunir B. Esta interpretación nos proporciona un método que facilita el cálculo de la probabilidad de las intersecciones. Método 2.1 La probabilidad de que ocurran A y B simultáneamente es igual a la probabilidad de que ocurra A, por la probabilidad de que ocuna B si A ha ocurrido.

La fórmula 2.5 tiene una versión general que da más fuerza al método dinámico: si A ¡, A 2, ... , An son sucesos, se cumple: P(A¡ n A2 n ··· n A n) = P(A I )P(A21 A¡)P(A3 1Al n A2)" ·P(An I Al n A2 n ··· n An- l)

(2.6)

Otra vez, resulta sugerente la interpretación dinámica: para que acunan simultáneamente los sucesos Al , A2, . . . , An, primero, tiene que ocurrir A I y, supuesto que ha ocurrido, tiene que ocunir A2 y, supuesto que han ocunido Al y A2, tiene que ocunir A3; así, sucesivamente, hasta que ocurre An, supuesto que han oc unido todos los anteriores. EJEMPLO 2.4. Problema de los cumpleaños Consideremos de nuevo este problema: en una reunión hay k personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ell as celebren su cumpleaños el mismo día? Ahora, lo resolveremos gracias al método dinámico. Como en el ejemplo 1.11, sea: Ak

= "al menos dos bolas entre las k están en la misma urna"

Como antes, calcularemos la probabilidad de Aj;. Para saber si hay dos personas que tienen el mismo cumpleaños, las ordenaremos en fila, PI , P2 , ... , Pb preguntaremos a cada una la fecha de su cumpleaños. Para que ocurra Aj:, todas las fechas deben ser distintas. Primero, preguntaremos a PI . Diga lo que diga, no puede coincidir con ninguna de las fechas ya anotadas. Luego, preguntaremos a P2. Para que A% ocurra, Pe debe decir una fecha distinta de la que dijo PI. Después, preguntaremos a P3, para que Aj: ocurra, P3 debe decir una fecha distinta de las que dijeron PI y P2. Así, sucesivamente, hasta preguntar a Pb que debe decir una fecha distinta de las que dijeron las k - I anteriores. Este transcurrir en el tiempo del suceso Akc se traduce en la ex presión : P(A C ) = 365. 364 . . . 365 - (k-l ) k

365 365

365

Donde cada fracción es la probabilidad de que una persona diga una fecha distinta que las anteriores, condicionada porque las anteriores dijeron fechas distintas entre sí.

56


Para los amantes de los razonamientos más fonuales, lo haremos aSÍ: Sea Bi el suceso "la fecha del cumpleaños de Pi es distinta de las fechas de PI, . . . , Pi-l", entonces

y se tiene: P(A%)

=

P(B¡ )P(B2 I B¡) ... P(Bk l B In·· · n Bk _ ¡) 365364 ... 365-(k - l) 365 365 365

_. -

Resulta interesante comparar esta solución con el método estático del ejemplo 1.11 .

•

2.4.

Diagramas de árbol

Los cálculos basados en el método dinámico se hacen automáticamente si nos ayudamos de ciertos diagramas que representan el desarrollo del experimento. Para comprenderlo, volvamos a considerar el experimento del ejemplo 2.1. Designemos por A al suceso "sale cara" y por B al suceso "la

Figura 2.4: Diagrama del ejemplo 2.1. Los datos "naturales" de este experimento son la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda y las probabilidades de obtener bola negra de cada una de las urnas . Estas segundas probabilidades son condicionadas ya que se trata de la probabilidad de extraer una bola negra supuesto que se extrae de la urna 1 o de la TI, que es tanto como decir la probabilidad de que sea negra condicionada porque salió cara o cruz.

bola extraída es negra". Los datos mínimos para poder establecer el modelo son:

P(A)

= ~,

P(B I A

C )

=

~

De estos datos se deducen: C

P(B lA)

= ~,

El grafo de la figura 2.4 resume todos los datos del experimento. Estos grafos se denominan árboles y penniten representar cualquier experimento dinámico. Cada vértice representa un estado de infonnación acerca del desarrollo del experimento. El primer nivel, el más alto, tiene un único vértice que representa el instante de comienzo del experimento. En ese instante, nuestra información se reduce a las "reglas del experimento". Del vértice más alto parten dos ramas que representan los dos resultados posibles del primer subexperimento (lanzar la moneda). Junto a cada rama hemos

57

2.5 Fórmula de la probabilidad total señalado la probabilidad de que ocurra ese resultado, que se debe interpretar como la probabilidad condicionada de llegar al vértice final, si estamos en el vértice origen de la rama. Los vértices marcados con ~ y @ suponen un estado de información en el que conocemos el resultado de lanzar la moneda. De cada uno, parten dos ramas que terminan en un vértice marcado con O ó . , que representa los posibles resultados de extraer una bola de la urna, y llevan marcadas las respectivas probabilidades de ocurrir. Cada trayecto por el árbol representa la "historia" de un suceso: la secuencia de resultados parciales que conduce a su realización. Por ejemplo, el trayecto que lleva del vértice inicial al vértice • pasando por ~, implica que A nB ha ocurrido: sale cara y luego se extrae una bola negra. La probabilidad de esta intersección es el producto de las probabilidades de cada una de las transiciones que hemos tenido que realizar. p(AnB)

2.5.

1 1

= -.-

2 2

Fórmula de la probabilidad total

Consideremos, otra vez, el experimento aleatorio del ejemplo 2.1. Hay dos trayectorias favorables a que el suceso B = "sale negra" ocurra: que el resultado de lanzar la moneda sea cara y la bola extraída negra, o que sea cruz y la bola negra. Con símbolos, esta observación se expresa: B=(AnB)U(ACnB)

Puesto que los sucesos A n B y N ' n B son disjuntos, se cumple: P(B)

= P(A nB) + P(A

C

nB)

y, de la fórmula 2.5 para la probabilidad de la intersección de sucesos, se tiene: P(B) =P(A)P(B I A)+P(N)P(B IA

1 1

1 1

=2'2+2'4

C )

(2.7)

Si observamos el árbol de la figura 2.4, comprenderemos que la fórmula anterior no es más que la suma de las probabilidades de todas las trayectorias que llevan desde el origen a • . La fórmula 2.7 admite una versión más general para los casos cuyo árbol tiene más de dos ramificaciones. La justificación es similar. Consideremos una serie de sucesos Al, A2, ... ,A n que constituyen una partición de O; esto es, son disjuntos: A¡ nA j = 0, si i i- j, y su unión es el total: U7=lA¡ = O. Sea B un suceso cuya probabilidad queremos calcular. Se verifica:

58

Modelos aleatorios dinámicos y, dado que los sucesos B nA¡ son disjuntos, se tiene: n

P(B) = ¿p(B n A;) ¡= I

Puesto que P(B nA¡)

= P(A¡ )P(B I A¡) , se tiene: n

P(B) = ¿P(A¡) P(B l A; )

(2.8)

;=1

Expresión que se conoce con el nombre de fónnula de la probabilidad total. La fónnula de la probabilidad total es un método del estilo divide y vencerás para calcular probabilidades: el espacio muestral se fracciona en los sucesos A¡, 1 ::;: i ::;: n, y dentro de cada suceso, examinamos la probabilidad de que ocurra B. EJEMPLO 2.5 Sistema de seguridad . Un sistema está provisto de una alarma. Supongamos que funcion a con las condiciones siguientes: cada día, sin importar lo que haya ocurrido los días anteriores, la probabilidad de que haya peligro es 0.002; si hay peligro, la alarma funciona con una probabilidad 0.999, y si no hay peligro, la alarma funciona con probabilidad 0.01; ¿cuál es la probabilidad de que suene la alarma?

•

/~

rIA-l-= --"-H-a-y-pe~l~ig-rO-"' 1

rIA-2-= ~"~N-O-h-ay -pe-l-ig-ro-"' 1

Be = "No suena la alarma"

Be = "No suena la alarma"

Figura 2.S: Seguridad de un sistema En la figura 2.5 aparece el árbol de este ex perimento. Evidentemente, A l YAz = "Suena la alarma" es una aplicación inmediata de la fórmula de la probabilidad total:

Al son una partición de o. El cálculo de la probabilidad de B = P ("Suena la alarma") = p eA l )P(B I Al) =

+ P(Az)P(B I A2 )

0.002 ·0.999 + 0.998 ·0.01

De 10 que resulta P ("Suena la alarma") ;::::; 0.012. La interpretación frecuentista del cálculo anterior es: la alarma suena el 1.2 % de los días. •

2.6 Fórmula de Bayes

2.6.

59

Fórmula de Bayes

Los diagramas de árbol están orientados. Su orientación representa el transcurrir del tiempo, de modo que un subexperimento que se encuentra en un nivel ocurre antes que los que están en niveles inferiores y después de los que están en los superiores. Del mismo modo, los datos del problema están ligados al paso del tiempo, de manera que las probabilidades que aparecen son probabilidades de un suceso, condicionadas por otro suceso anterior. Puede ocurrir que conozcamos el resultado de un subexperimento y no sepamos cuál ha sido el resultado de otro subexperimento anterior en el tiempo. Así, en el ejemplo 2.5 , si suena la alarma ¿cuál será la probabilidad de que haya lle1igro? De antemano, cuando sólo conocemos las condiciones del sistema, la probabilidad de que haya peligro es: .

P("Hay pehgro")

=

1

500

= 0.002

Cuando sabemos que ha ocurrido el suceso B, nuestro juicio debe recoger la nueva evidencia. Ahora, la probabilidad de que haya peligro es una probabilidad condicionada: P(A¡ B) . Pero, esta probabilidad no es uno de los datos del problema, ya que se condiciona un suceso anterior por otro posterior, hay que calcularla. La fórmula de BAY ES sirve para calcular P(A B) a partir de los datos del problema. 1

1

Para distinguir las probabilidades P(A) y P(A B) , emplearemos unos ¡¿rminos peculiares. La probabilidad P(A) se denomina "probabilidad an[crior", mientras que P(A B) se dice "probabilidad posterior". El plantea1

1

Figura 2.6: Thomas Bayes, nació en Londres en 1702, murió en Turnbridge WeJls, Kent (Inglaterra), en 1761. Sacerdote presbiteriano, cultivó las matemáticas . A su muerte, sus amigos encontraron su trabajo titulado Essay towards solving a probJem in the doctrine of chances. que fue publicado por la Royal Society of London en 1764. Las ideas de BAY E S fueron aceptadas por LA PLACE . El primero en criticarlas fue BOOLE. Desde entonces, han sido motivo de controversia permanente.

miento es el mismo que en la fórmula de la probabilidad total. Consideramos una serie de sucesos, Al, A2, ... , An que forman una partición de O, y. para 1 ::; i ::; n, conocemos las probabilidades P(A¡) y P(B A¡), Y queremos calcular P(A j B). De la definición de probabilidad condicionada, se , igue: 1

1

P(A

_1

J

B) = P(A j nB) P(B)

(2.9)

60

Modelos aleatorios dinámicos y, por la fórmula de la probabilidad total, P(B) es igual a: n

P(B) = ¿,P(Ai )P(B I A¡) i= l

De la fórmula de la probabilidad de la intersección, resulta: p (A¡n B) = P(Aj) P(B IAj)

Si reemplazamos las expresión anteriores en 2.9, resulta: P(Aj)P(B IAj)

P Aj B) = -,, ----"--"-----'---(

1

(2.10)

¿, P(A¡) P (B IA¡) i= l

Expresión que se conoce como fórmula de BAYES. Como podemos observar, todas las probabilidades que aparecen en el término de la derecha de 2.10 son datos y, basta sustituirlos, para tener el valor de P(Aj l B). EJEMPLO 2.6 Sistema de seguridad . Volvamos a considerar el sistema de seguridad del ejemplo 2.5 . Calcularemos las dos probabilidades que permiten evaluar el funcion amiento del sistema: ¿cuál es la probabilidad de que un día haya peligro y no suene la alarma? y, si un día suena la alanna, ¿cuál es la probabilidad de que haya peligro? Con símbolos, la probabilidad de que un día haya peligro y no suene la alarma se pone: P(A¡ nB C ). Es la probabilidad de una intersección y se calcula mediante la fórmula 2.5:

Realmente estamos seguros. De acuerdo con la interpretación frecuentista, sólo estaremos si n protección una vez cada medio millón de días. Por otra parte, la probabilidad de que haya peligro, supuesto que ha sonado la alarma es P(A¡ lB ). Es una probabilidad posterior. Para calcularla, empleamos la fórmul a de BAYES:

P(A¡)P(B I Ad P(A ¡ l B) = P(A¡ )P(B I A¡) + P(A2 )P(B I A2 ) 0.002 ·0.999 0.002·0.999 + 0.998·0.01

I

Lo que implica P(A ¡ B) ~ 0.17. La interpretación es clara: casi todas las alarmas son falsas alarmas, sólo el 17 % de las alarmas se deben a un peligro real, el resto • proceden de errores del sistema.

2.6.1.

Análisis de imágenes

La fórmula de BA YES es clave en las modernas técnicas de análisis de imágenes y clasificación de patrones. El ejemplo que sigue, aunque es muy

61

2.6 Fórmula de Bayes

Figura 2.7: Dígitos de un reloj digital o de una calculadora

simple, ilustra tales aplicaciones. En muchos relojes digitales y calculadoras de bolsillo, los dígitos se representan mediante una combinación de siete luces horizontales o verticales (ver figura 2.8), que denominaremos L í , 1 ::; i ::; 7. Supongamos que cada dígito se pulsa con igual probabilidad

L¡

Ls

Figura 2.8: Luces que fonnan los dígitos de la calculadora

y que cada luz, con independencia de las demás , se avería con probabilidad p , O < p < l. La avería consiste en que la luz está apagada, cuando debería estar encendida, y se enciende, cuando debería estar apagada: es una avería del contacto. Desde luego, el modelo de averías que planteamos no es el único posible. Cabe interpretar que las luces "se funden" y permanecen siempre apagadas. Este modelo lo trataremos en los ejercicios que figuran al final del capítulo. También cabe un modelo más general en el que la probabilidad de avería no sea constante. Puesto que cada luz puede estar averiada o no, en la pantalla pueden aparecer 27 = 128 imágenes distintas. Para calcular la probabilidad de ver en la pantalla el número : , empleamos la fórmula de la probabilidad total. La tabla 2.1 muestra las probabilidades de que : aparezca en pantalla, condicionadas porque se pulsó el dígito i, O ::; i ::; 9. Por ejemplo, si pulsamos

P (ver P (ver P (ver P (ver P (ver

I pulsar D = (1 - p f I pulsar 3)= p3(1 _ p)4 I pulsarS) = p5 ( I _p)2

Ipulsar 1) = p (l- p )6 Ipulsarg) = p4(1- p?

P (ver

P(ver P (ver P (ver P (ver

I pulsar 2 )= pS (1 - p) 2 I pulsar~) = p2(1 _ p)5 I pulsar 6 )= p6(1_ p)

Ipulsar 8 )= p5(1 - p)2 IpulsarO ) = p4 ( 1 _ p )3

Tabla 2.1: Probabilidades a priori

2,para que se vea

: en la pantalla, tienen que haberse averiado las luces

62


L1 , L2 , L3, L6 Y L7, lo que tiene probabilidad p5 de ocurrir, y deben funcionar correctamente las luces L4 y L 5, lo que tiene probabilidad ( 1 - p )2 de ocurrir, luego P(ver : pulsar = p5(1 _ p)2

2)

1

De igual modo se calculan las restantes probabilidades condicionadas. La probabilidad de que la pantalla muestre : es 9

P(ver

D= ¿P(pulsar i)P(ver 11pulsar i) ;=0

Si reemplazamos las correspondientes probabilidades, obtenemos P(ver

D=

1- P [p 6 + 3p5(1- p) + 2p4(1 - p)2 + p3(1- p) 3+ 10

+ p2(1_ p )4 + p(l - p )5 + (1- p )6] Sin duda, son más interesantes las probabilidades posteriores. Por ejemplo, si en la pantalla aparece :' ¿cuál es la probabilidad de que se haya pulsado el dígito i? Esta misma pregunta se puede formular con cualquiera de las 27 imágenes que pueden formarse. Es la pregunta característica del método estadístico del reconocimiento de patrones. El reconocimiento de patrones considera una serie predefinida de patrones posibles (en este caso, los diez dígitos) y unas leyes probabilísticas que gobiernan la producción de una imagen a partir de un patrón. El problema es asignar, razonablemente, una imagen observada a uno de los patrones. Un criterio aceptable es asignar la imagen al patrón que haga la probabilidad posterior lo mayor que sea posible. En nuestro caso, se trataría de asignar la imagen observada: :, al dígito i que haga máxima la probabilidad: P(pulsar i 1 ver

1)

Ahora, de la fórmula de

BAYES

se sigue: 1

P(pulsar i ver :) 1

=

16 P (ver

:

P(ver

1

pulsar i)

D

Como el denominador de esta fracción no depende del dígito i, la probabilidad: P(pulsar i 1ver D será máxima para el mismo valor de i que haga máxima la probabilidad anterior. Así, basta hallar la mayor de las probabilidades de la tabla 2.1. Puesto que dependen de p , el valor máximo también será función de p. No es difícil razonar que, si O < p < 1/2, el valor máximo es ( 1 - p) 7 , mientras

63

2.7 Independencia de dos sucesos que, si 1/2 < p < 1, el valor máximo es p6( 1 - p). Cuando p = 1/2, todos los valores son iguales. Por ello, nuestro criterio de asignación es: si O < P < 1/2, la imagen : la atribuiremos a :, mientras que si 1/2 < p < 1, la atribuiremos a Por último, si p = 1/2, la imagen se puede atribuir a cualquier patrón.

6.

2.7.

Independencia de dos sucesos

Un suceso A se denomina favorable a B si se cumple P(B lA) > P(B). Que A sea favorable a B no implica que A sea causa de B, sino que B es más frecuente cuando A ocurre que cuando no ocurre. Diremos A es desfavorable a B si se cumple P(B lA) < P(B). Por ejemplo, si extraemos una carta al azar de una baraja francesa de 52 naipes, el suceso A = "no es un as" favorece a B = "es una figura", ya que se tiene: P(B lA)

3 12

3 13

= - > - = P(B)

Que A sea favorable a B no supone, en modo alguno, que sea causa de B, simplemente es una cuestión de frecuencias: cuando sabemos que A ha ocurrido, B es más frecuente que cuando no sabemos nada. El caso en que A no es favorable ni desfavorable a B es particularmente importante. Si P(B l A) = P(B), diremos que B es independiente de A. Si P(B l A) i- P(B), diremos que B es dependiente de A. Por ejemplo, el suceso B = "es una figura" es independiente del suceso e = "es un diamante" ya que se tiene P(B

le) =

213 =P(B)

Interpretamos este hecho diciendo que conocer el palo de la carta que resulta elegida no altera la probabilidad de que sea una figura, o bien que ser una figura es independiente del palo obtenido. Cuando el suceso A no tiene probabilidad cero, podemos despejar el denominador de P (B l A) y la condición de independencia P (B lA) = P (B) resulta equivale a: P(A nB) = P(A)P(B)

(2.11)

Esta segunda condición es preferible por varias razones. La primera razón es que no requiere la condición P(A) > Opara tener sentido, y se toma como definición formal de la independencia de sucesos. La segunda razón es que evidencia la simetría del concepto de independencia: si B es independiente de A, también A es independiente de B, por ello, hablaremos de sucesos independientes y definimos: Definición 2.2 Los sucesos A y B son independientes si cumplen: p(AnB)

= P(A)P(B)

64


EJEMPLO 2.7 sucesos:

Lanzamos tres veces una moneda equilibrada. Consideremos los

A = "No aparece el mismo resultado en todos los lanzamientos" B

=

"A lo sumo aparece una cara"

C

=

"A lo sumo aparecen dos caras"

Los sucesos A y B son independientes, mientras que A y C no lo son. Para comprobar estas afirmaciones anteriores, calcularemos las probabilidades.

P(A) =

l-p({©l©l©l,@@@}) = 1- ~ = ~

P(B)

8= 2

4

=

1

P(C) = l-p({©l©l©l}) = I -

~8 =

28

mientras que P(A n B) = 3/8 Y P(A n c) = 3/4. Se sigue que A y B son independientes, ya que se cuemple P(A n B) = P(A)P(B), mientras que A y C no lo son, ya que se tiene P(A n C) f P(A)P(C). •

No deben confundirse los sucesos disjuntos con los independientes. En cierto modo, ser disjuntos y ser independientes son hechos opuestos. Pensemos que si A y B son disjuntos, saber que A no ha ocurrido aporta información sobre B. El razonamiento formal es sencillo: si A nB = 0, para que se cumpla P(A nB) = P(A)P(B), debe ser P(A) = O ó P(B) = O. Con palabras, para que dos sucesos disjuntos sean independientes, alguno de ellos tiene que tener probabilidad cero.

2.8.

Independencia de varios sucesos

En este apartado extenderemos la noción de independencia a tres o más sucesos. Consideremos tres sucesos Al, A 2 Y A3. Para que A 1 Y A2 sean independientes, debe cumplirse: (2.12)

y, debemos imponer condiciones semejantes, para que las restantes parejas también sean independientes: (2.13)

¿Bastará con imponer estas tres condiciones para lograr que A¡, 1 :; i :; 3, sean independientes? La idea intuitiva de independencia de varios sucesos sugiere que saber que han ocurrido algunos de ellos, no modifica la probabilidad de que hayan ocurrido los restantes. Si sólo imponemos las tres condiciones anteriores, no se satisface la exigencia intuitiva, como muestra el ejemplo siguiente.

65

2.8 Independencia de varios sucesos EJ EMPLO 2.8. Independencia dos a dos no implica independencia Escogemos al azar una de las siguientes secuencias de tres letras: [) =

{aaa, bbb, cce, abe, aeb, hae, bca, cab, cha}

\ sean los sucesos A¡ = "en el lugar i hay una a", I :s; i :s; 3. Un simple recuento de los casos favorables nos permite poner:

P (A ¡ n A2 )

l

= P(A ¡ n A3) = P(A2 n A3) = 9

Si n embargo, hay un caso favorable a A ¡ n A2 n A3, lo que implica:

Para interpretar mejor el fenómeno , calcularemos P(A ¡ I A2 ) Y P(A¡ Tenemos: P(A lA )= P(A ¡ n A2) = 1/ 9 =P (A ) ¡ 2 P(A2) 1/ 3 ¡

I Az nA3)·

Esta igualdad no nos sorprende, indica que A I Y Az son independientes: conocer que A2 ha ocurrido, no altera la probabi lidad de que A I ocurra. Del igual manera, encontramos que A I Y A3 son independientes, y que A 2 y A3 son independientes. Esta propiedad se denomina independencia dos a dos y se caracteriza por que se cumplen las tres condiciones 2.12 y 2.13 . Sin embargo, se tiene:

ex presión que se interpreta: si sabemos que Az YA3 han ocurrido, es seguro que A 1 ha ocurrido. Esta interpretación no satisface nuestro concepto intuitivo de independencia. El ejemplo nos enseña que la condición 2.13 no garantiza que se cumpla todas las propiedades que intuitivamente exigimos a tres sucesos independientes .

•

Como consecuencia del ejemplo 2.8, debemos imponer más condiciones para que la definición de independencia de varios sucesos se ajuste a la intuición. Esas condiciones nuevas son que la probabilidad de cualquier intersección sea igual al producto de las probabilidades.

Definición 2.3 Los sucesos A¡, 1 ::; i ::; n, son independientes si cualesquiera que sean k, 2 ::; k ::; n, y los k sucesos de la familia , Ai] , . . . , A ik , se cumple:

66


Por ejemplo, si se trata de tres sucesos, A¡, 1 :S i :S 3. Podemos formar tres parejas de sucesos (k = 2) Y una terna (k = 3). Hay cuatro condiciones para la independencia de los tres sucesos: 1.

2.

3. 4.

2.8.l.

peAl nA2) = peAl )P(A2) p eAl nA3) = P(A, )P(A3) P(A2 n A3 ) = P(Az )P(A3) peAl n A2 nA3) = P(A, )P(Az)P(A3)

Propiedades

Las propiedades de los sucesos independientes las probaremos con dos sucesos. Las demostraciones para más de dos, no son mucho más complicadas, pero sí más largas. Si A¡, 1 :S i :S n son sucesos independientes, también lo son sus complementarios y cualquier colección que obtengamos sustituyendo algunos de los A¡ por sus complementarios. En el caso n = 2, la afirmación anterior asegura que tanto A1 y A 2, como A, y A 2 y Ai YAz son independientes. Como ejercicio, probaremos la primera. De la identidad A1 n A ~ = (Al UA 2 Y, se tiene: p (Afn A ~)

=P([A, UAz n

= ¡-peA l UAz)

= 1 - (P(AI ) + P(A2) -peAl n A2)) =

1 - (P(AJ) +P(A2) -P(A¡)P(A2))

independencia

= (I-P(Al)) (I-P(A2)) = P(A\) P(A 2) EJEMPLO 2.9 Si tres sucesos son independientes, es razonable esperar que el suceso que resulta de operar dos de ellos sea independiente del tercero. Por ejemplo, 3, son independientes, se cumple que A , UA2 y AJ son independientes. si A¡ , 1 Probaremos que se verifica P( [AI UA2l nA3 ) = P(A, U A2)P(A3) ·

:s: ¡:s:

P([A, UA2l n A3 ) = P([Al n A3l U [A2 n A3]) = peAl n A3 ) + P(A2 n A3) - p eA l n Az nA3) = peAl nA3) =

[P(A,)

+ P(A2 nA3) -

+ P(Az ) -

P(A , )P(Az)P(A3)

p eA l n A2)]P(A3)

= p eAl U A2) P(A3)

Luego se cumple la condición de independencia de los sucesos A, U A 2 y A3·

2.8.2.

•

Cálculo con sucesos independientes

La independencia de sucesos es una condición muy favorable para emplear el método de cálculo por el complementario. Sean A¡ , 1 :s: i :S n, sucesos independientes, la manera más sencilla de calcular la probabilidad

2.8 Independencia de varios sucesos

67

de su unión es la siguiente: dado que el complementario de la unión es la intersección de los complementarios, se tiene:

.-\hora bien, los sucesos Aj' son independientes, lo que implica: p (n:~ IAD =

P (AI)··· P (A~) = (1 - P(A I))'" (1 - P(An))

De lo que sigue la importante fórmula: n

P (Ui= IA¡) = 1- I1(1 - P (A; ))

(2.14)

;= 1

EJ EMPLO 2. 10. Circuitos en serie y en paralelo

La figura 2.9 muestra un circuito formado por tres conmutadores en seri e. Cada tiene dos estados on y off. El conmutador i-ésimo está en on con proab ilidad Pi y los conmutadores están en un estado u otro independientemente de los demás. ~o nm utador

Figura 2.9: Circuito con tres conmutadores en serie

Sea Ai = "el conmutador i está en on", 1 ::; i ::; 3. El circuito en serie está en on si y solamente si todos los conmutadores están en on. Por esta razón se tiene: "el circuito en serie está en on"

= Al n A2 nA3

Puesto que los sucesos A¡ son independientes, se cumple:

P(el circuito en serie está en on ) = P(A ¡) P(A2) P(A3) La figura 2.10 muestra un circuito con tres conmutadores en paralelo. Aceptaremos que los conmutadores se comportan igual que en el circuito anterior. El circuito en paralelo está en on si y solamente si alguno de los conmutadores está en on, lo que implica: "el circuito en paralelo está en on" = Al UA2 UA3

A

B

De la fórmula 2. 14, se sigue: P (el circuito en paralelo está en on ) = 1 - (1 - PI )( 1 - P2 )( I - P3) Pongamos un ejemplo numérico; si Pi = 0.6, 1 ::; i

:s: 3, tenemos:

P(el circuito en serie está en on) = 0.63 = 0.216

Figura 2.10: Circuito con tres conmutadores en paralelo

68


y P( el circuito en paralelo está en on ) = l - 0.4 3 = 0.936.

•

EJEMPLO 2.11. Teoría de la fiabilidad Es una aplicación de la probabilidad que trata de la duración de la vida útil de un sistema compuesto de varias componentes. Se aplica a los sistemas de transporte. de energía. radio, televisión etc. Los datos de partida son la disposición de las componentes en el sistema y las leyes de probabilidad que rigen la vida de las componentes. Como hipótesis general, se suele aceptar que las componentes funcionan o no, con independencia del estado de las demás. Por ejemplo, el circuito en paralelo de la figura 2.10 se puede interpretar como un sistema con tres componentes en paralelo, de modo que el sistema funciona si alguna de las componentes lo hace, y que Pi es la probabilidad de que la componente i funcione. Supongamos que PI = 0.7, P2 = 0.6 Y P3 = 0.8, la probabilidad de que el sistema funcione se calcula gracias a la fórmula 2.14, y se tiene:

P( el sistema funciona) = 1 - (1 - 0.7) (1 - 0.6) (1 - 0.8) = 0.976 Observamos que la probabilidad de que este sistema funcione es mayor que la mejor de sus componentes, lo que sugiere una manera de diseñar sistemas de fiabilidad tan • próxima a 1 como queramos, aunque sus componentes tengan poca fiabilidad. EJEMPLO 2.12 . Computadores en red

e O.f!

0.9

Una red conecta tres nodos a, b y e, como muestra la figura 2.11. Cada conexión permite enviar mensajes en ambos sentidos. Entre cada par de nodos conectados hay una probabilidad de que la conexión entre ellos esté en on. La figura muestra esas probabilidades para los nodos adyacentes. Por ejemplo, la probabilidad de que la conexión entre e y b esté en on es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que los nodos a y b estén conectados? Podemos conectar entre a y b siempre que alguna de las conexiones a ...... b Ó a ...... e ...... b están en on. Con símbolos, lo expresamos: la conexión entre a y b está en on = {a ...... h} U {a ...... e ...... b}

Figura 2.11: Red con

tres nodos

Como se trata de una unión de sucesos independientes, aplicaremos la fórmula 2.14. De los datos se sigue P (a ...... h) = 0.7. Para calcular P(a ...... e ...... b), tenemos en cuenta que se cumple:

{a ...... e ...... b} luego P( a ...... e ...... b)

=

{a ...... e} n {e ...... b}

= 0.8 ·0.9 = 0.72. Así, se tiene:

P (la conexión entre a y b está en on ) = 1 - ( 1 - 0.7 ) ( 1 - 0.72) lo que implica P(la conexión entre a y b está en on ) = 0.916.

•

EJEMPLO 2.13. Estimación del número de páginas en la Web Conocer el número total de páginas que hay en la Web y su evolución tiene gran interés y es el primer paso paso para modelar el crecimiento de Internet. Pero Internet crece de manera "natural ", y no es posible saber con exactitud el número

69

2.8 Independencia de varios sucesos

de páginas accesibles en cada instante. Se plantea así el problema de estimar ese número. Los servicios que están más cerca de dominar toda la parte pública de la red son los buscadores como Google, AIITheWeb, Altavista o Lycos, gracias a los que podemos encontrar millones de páginas sin más que escribir unas pocas palabras clave. Sin embargo, ningún buscador es capaz de cubre toda la Web: sus índices sólo contienen una fracción del total de páginas. Una buena discusión de este hecho aparece en BRAKE 2 Además, los índices que crean los buscadores no contienen las mismas páginas, sino que se solapan parcialmente, de modo que algunas páginas están presentes en varios índices, mientras que otras sólo lo están en uno. Este hecho fue aprovechado por LAWREN CE y GILES ([?], [?]) Y por BHARAT y BRODER ([?]), para estimar el número de páginas totales y el tamaño relativo de los buscadores, a partir de unas sencillas ideas sobre probabilidad que se remontan a PÓLYA 3 [?]. LAWRENCE y GILES realizaron su estudio con los seis buscadores más conocidos en su momento. Su método se basa en las coincidencias que tiene las listas de un par de buscadores, por lo que, para explicarlo, basta considerar dos buscadores ge l y ge2 . Pongamos que W es el número total de páginas en la Web y que W¡ es el número total de páginas en al lista del buscador ge¡ y que W I ,2 es el número de páginas presentes en ambas listas. Designemos por B¡ el suceso " una página pertenece al buscador ge¡". Entonces, se tiene: (2.15) Pero, si aceptamos que los buscadores elaboran sus listan de manera independiente, se tiene (2.16) De 2.15 Y 2.16, se sigue:

W= WI W2 WI ,2

En la realidad el valor W¡,2 es desconocido, para estimarlo, LAWRENCE y GILES 4 realizaron una serie controlada de 575 consultas a ambos buscadores. Si NI es el número de páginas que reporta ge l y N I ,2 es el número de coincidencias entre ambos reportes, el cociente C¡ ,2 = N¡ ,2 / NI permite estimar WI ,2/WI , por lo una estimación del número total de páginas es W2 / C¡ ,2 . Según su primera estimación, en noviembre de 1997, la Web contenía 320 millones de páginas; entre los seis buscadores que analizaron, sólo cubrían un 60 % del número total de páginas; el buscador con mayor cobertura tenía sólo cubría un tercio de la Web. En febrero de 1999 repitieron la estimación, con once buscadores, modificando el método empleado. Obtuvieron que la Web contenía 800 millones de páginas. En septiembre de 2003, la compañía que informaba de un mayor número de páginas indexadas era Google, con 3300 millones de páginas. • 2D . BRAK E, 3G . PÓLYA,

Lost in Cyberspace, New Scientist, 28, june 1997 Probabilities in Proofreading, American Mathematical Monthly, 83, 1, 42,

1976 4 S . LAWRE NCE & C. LEE GIL ES ,

107-109, 1999

Accessibility of Information on the Web, Nature, 400,

70

Modelos aleatorios dinámicos 2.9.

Experimentos independientes

Volvamos de nuevo sobre el ejemplo 2.7, los sucesos B yC tienen definiciones semejantes, sin embargo, uno es independiente de A y el otro no. Todavía más, si lanzamos cuatro monedas, en lugar de tres, y definimos los sucesos del mismo modo, A y B no serían independientes. Esta observación nos produce la impresión de que la independencia de sucesos no tiene explicación, que no es más que una casualidad numérica. La independencia cobra toda su fuerza cuando se deriva de las condiciones del experimento. En especial, cuando realizamos varios subexperimentos que son físicamente independientes. Por ejemplo, si lanzamos una moneda y, luego, un dado, cualquier suceso definido en términos del resultado de la moneda debe ser independiente de cualquier otro suceso definido en términos del resultado del dado. Lo contrario sería creer que existe alguna conexión entre moneda y dado. Así, los sucesos A

= "sale cara en la moneda",

y

B

= "sale 2 en el dado",

son independientes por definición del modelo. La independencia de los subexperimentos proporciona un método general para construir espacios probabilísticos como producto de los asociados a cada subexperimento. Volvamos a considerar los lanzamientos de una moneda y de un dado. Los dos subexperimentos tienen los espacios muestrales 0 1 y O 2 , definidos por: y

respectivamente. Los resultados posibles del experimento completo son de la forma (@ ,IZI). El espacio muestral del experimento completo es igual al producto cartesiano 0 1 x O 2 . Cualquier suceso que depende sólo del resultado de la moneda, como A = "sale cara en la moneda", es independiente de cualquier suceso como B = "sale 2 en el dado", que depende sólo del resultado del dado. La probabilidad de la intersección:

A n B = "sale cara en la moneda y 2 en el dado" se calcula a partir de P(A) YP(B):

P(A nB)

=

P(A )P(B)

(2.17)

Para comprender el alcance de la igualdad anterior, debemos entender que las tres probabilidades que aparecen en ella son distintas, ya que pertenecen a modelos diferentes. La primera, P(A nB ) es la probabilidad de un suceso del experimento completo ya que

71

2.9 Experimentos independientes

Es una probabilidad definida sobre los subconjuntos de Oi x O 2 . La segunda, P(A), es la probabilidad del subexperimento que consiste en lanzar la moneda. Esta probabilidad está definida sobre los subconjuntos de 0 1• Por último, la tercera, P(B), es la probabilidad del subexperimento que consiste en lanzar el dado, y está definida sobre los subconjuntos de O 2 . La gran importancia de la fórmula 2.17 es que nos permite hallar la probabilidad de un suceso del espacio completo, más complicado, a partir de las probabilidades de los subespacios más simples. EJEMPLO 2.14 A lanza tres veces una moneda equilibrada, luego B lanza otras tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de que A obtenga dos caras y B una? ¿Cuál es la probabilidad de que ambos obtengan el mismo número de caras? ¿Cuál es la probabilidad de que A obtenga más caras que B? Podemos interpretar el enunciado como dos subexperimentos físicamente independientes. Uno consiste en los tres lanzamientos que hace A y el otro en los tres lanzamientos de B. Designemos por XA y XB el número de caras que obtiene cada jugador, respectivamente. Con esta notación, que haremos formal en el próximo capítulo, los sucesos que consideramos tienen un a notación gráfi ca y sencilla:

"A obtiene dos caras y B una" = {XA = 2, XB = l} "A Y B obtienen el mismo número de caras" = {XA

=

XB}

"A obtiene más caras que B" = {XA > XB}

Como ambos subexperimentos son independientes, de acuerdo con la fórmula 2.17 , se tiene:

P(XA = 2, XB = 1) = P(XA = 2)P(XB = 1) =

3 3

8' . 8'

Lo que implica P(XA = 2,XB = 1) = 9/64. Por otra parte, el suceso {XA = XB} se descompone en cuatro sucesos simples de la forma {XA = i , XB = i}, O -s: i -s: 3, y la probabilidad de cada uno de los sucesos simples se calcula como la anterior, por la fórmula 2.17. Así se tiene: 3

P(XA = XB ) =

L P(XA = i,XB = i) i= O

1 9 9 1 5 = 64+64 + 64 + 64 =]6

(2.18)

Por último, la probabilidad del suceso {XA > XB} podemos calcularla mediante recuentos semejantes a los anteriores:

P(XA > XB ) =

LL

P(XA = i,XB = j )

i,j OSc j
Sin embargo preferimos un razonamiento más sintético basado en la intercambiabilidad del modelo. Si intercambiásemos los nombres de modo que A fuera B y B fuera A , nada cambiaría en el modelo. Por lo tanto, se debe cumplir:

72

Modelos aleatorios dinámicos pero es seguro que ocurre una de las tres alternativas XA luego tenemos 2P(XA

> Xs) +

> Xs, XA < Xs

Ó XA = Xs,

P (XA =Xs) = 1,

•

> Xs) = 22/64. No hay ninguna dificultad adicional en extender el espacio producto de dos factores a cualquier número finito de factores. Así podemos modelar cualquier experimento compuesto de un número finito de subexperimentos. En particular, si repetimos el mismo subexperimento varias veces y las pruebas son independientes entre sí, estamos dando un sentido preciso al concepto intuitivo "repetir un experimento bajo idénticas condiciones". igualdad que, junto con 2.18 , implica P(XA

EJEMPLO 2.15. Lanzamientos repetidos de una moneda El modelo del ex perimento que consiste en lan zar n veces una moneda, en idénticas condiciones, es el producto de n espacios, uno por cada lanzamiento.

donde O¡ =

{@,@ }. Cada resultado posible es una secuencia de n caracteres

donde o bien Wi = @, o bien W = @. Supongamos que la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es p. La fórmula 2. 17 permite calcular la probabilidad de los sucesos elementales de l espacio producto y, en consecuencia, de cualquier suceso. Por ejemplo, la probabilidad de obtener la secuencia:

@,@ , ... ,@ ~

n caras

es igual a: 11

caras

n veces

y la probabilidad de obtener la secuenci a

@ .. .@@ ... @

(2. 19)

~~

k caras

n - k cruces

es igual a pk ( 1 - p )n- k. Se comprende que cualquier otra secuencia compuesta de k caras y n - k cruces, por ejemplo, la secuencia:

@ ... @@ ... @

(2.20)

~~

n- k cruces

k caras

tiene también probabilidad pk ( 1 - p )n- k, ya que el producto que la calcula contiene los mi smos factores, aunque en orden di stinto. En general, la probabilidad de una secuencia concreta depende sólo del número de caras y de cruces que contiene y es igual a

P(una secuencia concreta)

= pnúmero de caras ( 1 _ p )"úmero de cruces

73

2.10 Pruebas independientes e ilimitadas

La probabilidad de los restantes sucesos se calcula como suma de las probabilidades de las secuencias que los componen. Por ejemplo, el suceso: Ak = "obtener k caras al lanzar n veces la moneda"

está compuesto de G) secuencias; en particular, las secuencias 2.19 y 2.20 pertenecen a este suceso. Además, todas las secuencias que pertenecen a Ak tienen la misma probabilidad pk (1 ~ P )n- k, ya que todas contienen k caras y n ~ k cruces. Se sigue que la probabilidad de Ak es igual al número de secuencias por la probabilidad de cada secuencia favorable: (2.21) Fórmula válida para k = O, 1, ... , n.

2.10.

•

Pruebas independientes e ilimitadas

Una vez establecido el modelo de una serie de pruebas repetidas independientes, nos planteamos considerar las series ilimitadas de pruebas independientes. En muchas ocasiones, los espacios de experimentos ilimitados son más fl exi bles y simples que los finitos. Si consideramos sucesiones ilimitadas de experimentos, la teoría se hace más potente y general que si fijamos un límite en el número de repeticiones. Desgraciadamente, para formalizar el modelo de las pruebas ilimitadas, se precisan métodos de la matemática superior, en concreto de la denominada teoría de la medida. En apariencia, ", 1nuevo concepto no parece presentar dificultades. Por analogía con el caso ñnito, consideramos el espacio muestra!:

cada sucesión (rol , ill2, . .. ) es un caso posible. Las dificultades comienzan ' uando queremos determinar qué subconjuntos de O~ son sucesos y cómo ennir una probabilidad sobre el espacio producto infinito, que sea con,i stente con las probabilidades definidas sobre cualquier número finito de pruebas. Como el plan de este libro es presentar una introducción al cálculo j e probabilidades sin más requisito que el cálculo infinitesimal, debemos renunciar a definir formalmente estos espacios. Esta decisión puede no ser satisfactoria, desde el punto de vista del escrúpulo matemático, pero tiene :>oca repercusión en la práctica, ya que estos modelos tienen un trasfonjo intuitivo tan claro, que podemos tener la confianza de no errar nuestros :álc ulos , aunque desconozcamos los detalles técnicos del formali smo. Para manejar estos modelos se hace necesaria la versión fuerte de los n iomas de KOLMOGOROV. Hasta aquí, nos ha bastado con la propiedad de :a probabilidad que hemos denominado aditividad. Ahora, necesitaremos

74

Modelos aleatorios dinámicos que una propiedad semejante se cumpla para sucesiones de sucesos disjuntos. La probabilidad debe verificar una propiedad denominada a-aditividad

Propiedad 2.1 (a-aditividad) La probabilidad matemática, definida por KOLMOGOROV cumple la propiedad siguiente: si {An};;"= 1 es una sucesión de sucesos disjuntos (si i =1 j, A¡ n A) = 0), se cumple:

L P(AI1)

P( U An ) = n=1

EJEMPLO 2.16

(2.22)

n= 1

Lanzamos repetidas veces una moneda que tiene probabilidad

p de cara. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca alguna cara? ¿Cuál es la proba-

bilidad de que la primera cara aparezca después del quinto lanzamiento? En este modelo, de manera natural, no podemos limitamos a ningún número finito de lanzamientos. Dado cualquier número entero k, siempre cabe la posibilidad de que necesitemos más de k lanzamientos para obtener la primera cara. Se trata de un modelo de pruebas repetidas, independientes e ilimitadas. Sin embargo, para calcular la probabilidad pedida, no es necesario plantear formalmente el modelo infinito. Observemos que si A¡ es el suceso: A¡ = " la primera cara aparece en el lanzamiento i-ésimo" y A = "el experimento termina en un número finito de lanzamientos" , para que ocurra A, debe aparecer cara por primera vez en el lanzamiento i-ésimo, para algún i finito; por lo que se tiene: A= UA¡ ¡= I

Puesto que los sucesos A¡ son disjuntos, de la u-aditividad, se sigue:

peA) = ¿P(A¡) ;= 1

Pero A¡ depende sólo de los i primeros lanzamientos, luego P(A¡ ) se puede calcular dentro de un modelo de pruebas repetidas un número finito de veces. Si lanzamos i veces la moneda, sólo hay una secuencia favorable a que aparezca cara, por primera vez, en el i-ésimo lanzamiento, es la secuencia:

@@ ... @@)

~

i - 1 cruces

Por ello, se cumple:

P(A¡) = P(@) .. P(@) P(@) ) = (1 - p / - I p '------v-----' i - 1 veces

y

P(A)= f,(1_p)¡- lp = I_(~_ 1= 1

)=1

P

(2.23)

2.10 Pruebas independientes e ilimitadas

El resultado P(A) = 1 lo interpretamos así: con seguridad, tarde o temprano aparece una cara o con seguridad, aparece cara tras un número finito de lanzamientos. Observemos que la suma 2.23 vale 1, con independencia del valor de p, O < p ::; l. Esta observación la expresamos: todo suceso que tiene una probabilidad positiva de ocurrir, tarde o temprano ocurre si repetimos una y otra vez el experimento en idénticas condiciones. Para responder a la segunda pregunta, designemos por B al suceso:

B = " la primera cara aparece después del quinto lanzamiento" Basta tener en cuenta que se cumple B = Ui:6Ai, para obtener: =

P(B)= ¿,(i _ p)i- l p = i=6

(1 )5 -p P =( I_p )5 1 - (1 - p)

Un procedimiento alternativo de cálculo nos recuerda que, innumerables veces, los cálculos en estos modelos ilimitados, se reducen a cálculos en modelos finitos. Observemos que se verifica:

B = "en los cinco primeros lanzamientos sale cruz" resulta P(B) = P(@@@@@) = (1- p)5 y, para calcularla, no hemos precisa• do más que el modelo finito de las cinco primeras tiradas. Hemos hablado de la flexibilidad que proporciona considerar un número de pruebas ilimitadas, frente al número de pruebas limitadas . Justificaremos este juicio con el ejemplo siguiente. EJEM PLO 2.17 Dos jugadores, A y B, participan en unjuego que tiene las reglas siguientes: primero, A lanza una moneda que tiene probabilidad p de salir cara. Si consigue cara, A gana y el juego termina; si consigue cruz, pasa la moneda a B que tirará con las mismas condiciones que A tenía antes. ¿Cuál es la probabilidad de que B gane el juego? Podemos calcularla mediante recuentos. Primero, observamos que el juego puede requerir 1,2,3, ... , lanzamientos de la moneda. Segundo, por el razonamiento del ejemplo anterior, con seguridad, el juego termina tras un número finito de lanzamientos. Tercero, para que B gane, el juego tiene que terminar en un lanzamiento par. Así, son favorables a B las secuencias:

Puesto que la probabilidad de que el juego termine tras lanzar 2k veces la moneda es (1 - p )2k- 1p, la probabilidad de que B gane es:

P(B)=(I - p)p+(I-p)3 p +(I - p)5 p +'"

(1 - p)p 1-( I-p )2 l - p

2- p

75

76


Éste es el método rutinario, tiene la ventaja de valer tanto para el caso finito como para el infinito, pero nos obliga a calcular la suma de una serie que, en esta ocasión ha sido posible, pero en otra puede ser dificultosa. El infinito guarda sorpresas porque es inagotable. Razonemos así: la esencia del problema es que si sale cruz en el primer lanzamiento, B pasa a estar en las mismas condiciones que tenía A al comenzar el juego. Tal maravilla es posible porque queda otro horizonte ilimitado por delante. Una vez reconocida la esencia, veamos los detalles técnicos. Sean P(A ) YP(B) las probabilidades respectivas de ganar. Como el juego termina tarde o temprano, se tiene P(A) + P(B ) = 1. Pero, para que B gane, debe salir una cruz (lo que tiene probabilidad 1 - p de ocurrir) y, desde ese momento, B tiene una probabilidad de ganar igual a P(A). Lo que justifica la ecuación:

P(B) = (1- p)P(A) Puesto que P(A ) = ] - P(B ), resulta

P(B)

=

(1 - p)(1 - P(B))

lo que implica P(B) = (1- p)/(2 - p).

2.11 .

•

Métodos recursIvos para calcular probabilidades

Una vieja historia sobre físicos y matemáticos reza así: Para escoger al más sabio, entre un fís ico y un matemático, les pusieron un problema: aq uí tienen un cazo vacío, un grifo y un infernillo encendido, ¿cómo calentar agua para hacer té? Después de pensar un buen rato, el físico contestó "se llena el cazo con agua del grifo y se pone sobre el infernillo". El matemático tardó algo más, pero también dio la misma solución. A continuación, les propusieron otro problema, todavía más difícil: aquí tienen un cazo lleno de agua, un grifo y un infernillo encendido, ¿cómo calentar agua para hacer té? Tras meditar otro buen rato, el físico contestó: "se pone el cazo sobre el infernillo". El matemático, por su parte, estuvo pensando mucho, mucho más tiempo y, al fin, concluyó: "se vacía el cazo; así, lo hemos reducido al problema anterior que ya sabemos resolver".

En este apartado mostraremos un método de cálculo que consiste en razonar, exactamente, como el matemático de nuestra historia. Este método, que denominamos recursivo, es uno de los más poderosos de las matemáticas. Además, es un método de inmediata computación, ya que sus soluciones se programan inmediatamente. El método recursivo es el paradigma de los métodos basados en pensar a 10 grande, que exige considerar nuestro problema particular como uno más de una clase de problemas que dependen de uno o varios parámetros enteros, y resolverlos todos al mismo tiempo. No hay mejor forma de explicar el método recursivo que verlo en acción.

77

2.11 Métodos recursivos para calcular probabilidades

Consideremos este problema: lanzamos n veces una moneda que tiene probabilidad P de cara, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par de caras? Aquí, pensar a 10 grande significa entender que n no es fijo sino variable. Con esta interpretación, para cada n tenemos un problema y la solución es función de n. Designemos por Pn dicha solución. Pn = P ( obtener un número par de caras si lanzamos n monedas ) Trataremos de reducir el problema al caso anterior, para establecer una relación entre PI! y las anteriores soluciones: Pn- ], Pn-2, ... Buscar esa relación recursiva es un arte que se aprende con la experiencia. En el caso que nos ocupa, supongamos que se lanza la moneda una vez, si sale cruz (lo que sucede con probabilidad 1 - p), para que en total haya un número par de caras, debe ocurrir que en los restantes n - 1 lanzamientos aparezca un número par de caras (lo que tiene probabilidad Pn-! de ocurrir); mientras que, si sale cara en el primer lanzamiento (lo que ocurre con probabilidad p), para que en total haya un número par de caras, debe aparecer un número impar de caras en los restantes n - 1 lanzamientos (lo que tiene probabilidad l - Pn- I de ocurrir). La ecuación: Pn

= (1- P)Pn-l + p(l- Pn- I) = (1- 2P)Pn-! + P

(2.24)

traduce al lenguaje del álgebra, el razonamiento anterior. La ecuación que hemos obtenido es recursiva. Junto con la condición inicial evidente Po = 1 permite calcular Pn, para cualquier n, fijo, mediante el algoritmo cuyo diagrama aparece en la figura 2.12.

P2 ¿Es

I ?:. n?

P3 Recursión X = ( 1 - 2p )X + p

P4 Incremento 1 = 1+ 1

fPSl

~ Figura 2.12: Diagrama del algoritmo A

Algoritmo A Dados n, número de lanzamientos, y p, probabilidad de cara, calcula la probabilidad de obtener un número par de caras al lanzar n veces la moneda. PI (Inicializar) Asignar O a 1 y 1 a X P2 (Comparar) Si 1 es mayor que n, ir a PS

78


P3 (Recursión) Asignar el valor (1 - 2p)X + p a X P4 (Cambio de 1) Asignar el valor 1 + 1 al P5 (Final) El algoritmo ha terminado; el valor buscado es X

Aunque la ecuación recursiva supone una solución del problema, disponer de una fórmula explícita para Pn tiene sus ventajas; por ejemplo, para estudiar sus propiedades, como su orden de magnitud o su comportamiento asintótico, propiedades que tienen importancia para conocer la eficiencia de los algoritmos. Las matemáticas proporcionan métodos generales para resolver muchas ecuaciones recurrentes. En el apartado 2.13 se resume una de las más importantes. Sin embargo, para resolver muchas otras, como ocurren en este caso, se pueden resolver sin más que aplicar reiteradas veces la ecuación de recursión a partir de Po = l.

Ahora, por la fórmula de la suma de una progresión geométrica limitada, se tiene: (l-2pt- 1 +(1-2p)n-2+ . .. + 1 = (1 - 2p)n-1 (1 - 2p)-1

luego Pn

=

(1

+ (1- 2p)n)/2.

EJEMPLO 2.18. Canal de transmisión de información

En la teoría de la transmisión de la información se denomina canal de transmisión a cualquier sistema que envíe los símbolos que codifican un mensaje desde una fuente a un receptor. Los símbolos que se emplean para codificar pertenecen a un alfabeto dado que, supondremos, es el alfabeto binario {O,l}. Aceptamos que el canal tiene ruido y que se pueden producir errores en la transmisión, de manera que el dígito que se recibe no siempre coincide con el que se ha emitido. Los modelos matemáticos más importantes de un canal con ruido son probabilísticos, entre ellos destaca el denominado canal sin memoria. Un canal no tiene memoria si cada vez que se envía un 0, se produce un fallo con probabilidad PI y el receptor recibe un 1, y cada vez que se envía un I se recibe con probabilidad P2, todo ello con independencia de los símbolos que se hayan enviado antes y de los fallos que se hayan cometido. Si, además, se cumple PI = P2, el canal se dice simétrico. El esquema de la figura 2.14 define el comportamiento del canal sin memoria. El c1ificativo sin memoria está justificado, ya que el canal siempre tiene el mismo comportamiento aleatorio, sin "acordarse" ni de las secuencias transmitidas ni de los errores cometidos. En este ejemplo, vamos a considerar un canal de transmisión formado por una fuente inicial, n repetidores (receptores-fuentes) y un receptor final (ver figura 2.13), que reciben y envían señales binarias. En estas condiciones, si el transmisor inicial envía un 0, ¿cuál es la probabilidad de que el receptor final reciba la misma señal? Tal como se ha planteado el modelo, el Azar interviene n + 1 veces, tantas como transmisiones-recepciones hay; por ello, designemos por Pn+1 la probabilidad de

°

79


Fuente ••_---"0__1

_--¡'.. Receptor

_ _ _ _.¡,IR-Fnlf---?-'

~

inicial

final

Figura 2.13: Canal de comunicación con n repetidores

recibir un O al final del canal, si se emitió un O al inicio; entonces, la probabilidad de recibir un 1, si al inicio se emitió un O es 1 - Pn+ l. Para que el receptor final reciba un O pueden ocurrir dos cosas: o bien R-Fn recibe un O y esta señal no se modifica en la última transmisión, o bien R-Fn recibe un 1 y esta señal se cambia por un O en la última transmisión. l-PI

o • .,-----------. O

1. L -_ _ _ _ _ _ _ _

•

Figura 2.14: Modelo probabilístico del efecto del ruido en el canal. La figura representa las consecuencias de las perturbaciones que contaminan el canal. Cada vez que un transmisor envía un O, el receptor siguiente recibe un 1 con probabilidad PI y, cada vez que envía un 1, el receptor siguiente recibe un O con probabilidad P2. Aceptamos que este comportamiento se repite en todas las transmisiones, con independencia de las perturbaciones pasadas (canal sin memoria) , y que la probabilidades no varían con el tiempo (canal estacionario).

1

1 - P2

La probabilidad de que R-Fn reciba un O es Pn Y la de que no cambie el O en la última transmisión-recepción es 1 - PI. De igual manera, la probabilidad de que R-Fn reciba un 1 es 1 - Pn Y la de que el ruido cambie el 1 en O en la última transmisión-recepción es P2. El razonamiento anterior, se resume en la ecuación: Pn+1

= Pn(l - PI) + (1- Pn)P2 = (1 - PI - P2)Pn + P2

(2.25)

Con la condición inicial Po = 1, ya que se emite un cero al inicio. Esta ecuación recursiva se resuelve fácilmente. Para simplificar la notación, hagamos A = (1 PI - P2). Se tiene: PI = A +P2 P2 = A2 + P2 (A

+ 1)

Basta sumar la progresión:

An + An- I

+ ... + 1 =

l-A n + 1

----,-_;:--

I-A

para obtener: Pn+ 1 = A

n+1

+ P2

l - An+ 1 1_ A

Ahora, puesto que A = 1 - PI - P2, resulta: Pn+1

PI ( l - PI-p2 )n+1 PI +P2

= ---

P2 +--PI +P2

80


que contesta a la cuestión planteada.

•

Otras veces, para caracterizar el estado de nuestro problema necesitamos varios parámetros. Entonces , la solución buscada depende de dos o más variables, pero en lo esencial, nada cambia. EJEMPLO 2.19. Problema de los cumpleaños

Esta es la versión general del problema de los cumpleaños, planteada con los instrumentos del probabilista. Colocamos n bolas al azar en m urnas, ¿cuál es la probabilidad de que no haya dos bolas en la misma urna? La correspondencia con el problema de los cumpleaños se establece así: las bolas representan a las personas y las urnas a las fechas de cumpleaños. Este enunciado destaca que la probabilidad pedida es función de n y de m, pongamos que es p(n,m) . Las condiciones iniciales son simples: si n > m, es forzoso que al menos dos bolas ocupen la misma urna y p(n,m) = O; si n = O, es imposible que haya dos bolas en la misma urna y p(O,m) = 1, para todo m. El razonamiento anterior nos muestra que p(n,m) es una función discreta cuyo dominio natural es el conjunto de los pares (n, m) tales que m > n::> O. Para que las n bolas estén colocadas en urnas diferentes, es preciso que las n - l primeras bolas estén en urnas distintas (lo que tiene probabilidad p(n - l ,m) de ocurrir) y que la última bola que coloquemos esté en una urna no ocupada por las bolas anteriores. Puesto que las n - 1 primeras bolas están en urnas distintas, hay m - n + l casos favorables a que la última bola no coincida con alguna de las anteriores, luego tiene probabilidad (m - n + 1) / m de lograrse. El razonamiento anterior se resume en la ecuación:

p(n,m)

=

m-n+l p(n - I,m)· - - -

m Si aplicamos reiteradas veces la relación anterior, resulta:

(2.26)

n - l) p(n - I,m) p(n, m) = ( 1 - -;;;=

=

( n-l) ( n-2) p(n - 2,m) ( n-l) ( n-2) ( n-3) p(n - 3,m) 1 - -;;;-

1 - -;;;-

1 - --;;;-

1 - --;;;-

1 - --;;;-

Así, sucesivamente, hasta llegar a:

ya que p(O,m) = 1, por las condiciones iniciales. 2.11.1.

•

Formalismo del método recursivo

Hasta aquí hemos planteado las ecuaciones recursivas basándonos en razonamientos un poco informales. Dado que los problemas que nos plan-

81


teamos son intuitivamente claros, esa manera de hacer no tiene, prácticamente, riesgo alguno, y podemos estar seguros de que nuestro razonar es correcto sin necesidad de herramientas más complicadas. A pesar de ello, conviene mostrar el trasfondo matemático de los razonamientos recursivos , para que el lector aprecie cómo podrían hacerse formales, si fuera necesario. EJEMPLO 2.20. Problema de los cumpleaños Volvamos sobre el problema de los cumpleaños, con el enunciado del ejemplo 2.11 . Consideremos los sucesos AIl.m Y Bn.m definidos por:

An,m = "no hay dos bolas en la misma urna, al colocar n bolas en m urnas" B".m

=

"la bola n-ésima está en una urna distinta de las bolas anteriores"

El razonamiento verbal: "para que las n bolas estén colocadas en urnas diferentes, preciso que las n - 1 primeras bolas estén en urnas distintas y que la última bola que coloquemos esté en una urna no ocupada por las bolas anteriores" se traduce ~s

~n :

AIl.m = A Il - I.mnBn,m 1u ~go, se tiene:

I

P(An ,m) = P(A I1 - I,m)P(BIl ,m An-I ,m) = p(n,m) y P(An -l,m)

Pero, por definición, tenemos P(An,m) :r35 que

= p(n -1,m ), mien-

m - (n - l ) m-n+l P(Bn,m A I1 - 1,m) = = - -- m m :,.l que si ha ocurrido AIl-I ,m quedan m - n + l urnas vacías para colocar en ellas la _lr ima bola. Luego se cumple:

I

P(An,ml ~ _c

=

m- n+ l m P(AI/ - I,m)

es la misma relación que obtuvimos en 2.26.

•

=... EMP LO 2.21 ~é e,

La urna A contiene a bolas blancas y b negras; la urna B cone b bolas blancas y a negras. Extraemos bolas, sucesivamente, de acuerdo con re glas siguientes:

La primera bola se extrae de la urna A. ., Cada bola extraída se devuelve a su urna, antes de extraer la siguiente bola. __ Si la bola extraída es blanca, la siguiente bola se toma de la urna A y si es negra, de la umaB. >.r.: re mos calcular la probabilidad de que la n-ésima bola extraída sea blanca. ?: g:unos que p" es la probabilidad pedida. La condición inicial es clara: PI = ,; .J - b ), ya que la primera bola se extrae de la urna A. Primero, razonemos con :::-' " ras . La n-ésima bola o se extrae de la urna A, o se extrae de la B. El color de la :2 '1 - I )-ésima determina de qué urna es extraída. Así, tenemos las alternativas: " ' : l qu ~ la bola n-ésima sea blanca, o la (n- l)-ésima fue blanca y tomamos una ':-~3 de la urna A, o la (n - 1)-ésima fue negra y tomamos una blanca de la urna

82


B. Para form alizar este razonamiento, sea A el suceso "extraer una bola blanca de la

urna A", B el suceso "extraer una bola blanca de la urna B" y sea

An

=

"la n-ésima bola es bl anca"

El razonamiento formal se basa en la fórmul a de la probabil idad total: (2.27) Pero, por definición, P(An) = Pn, P(An- 1) = Pn - I Y P (A~ _ I ) parte, de las reglas del proceso, se sigue:

I

P(An An- ¡}

=

P(A)

=

= I - Pn- l . Por otra

_ a_ a+b

y

P(An

I

A~_l) = P(B) =

_ b_ a+b

Si reemplazamos en 2.27, resulta:

a b Pn = Pn-la + b +( l - Pn - I) a + b a-b b = a+b Pn- 1 + a + b

(2.28)

Para simplificar, hagamos A = (a - b) / (a + b). Si aplicamos la ec uación recursiva, de abajo hac ia arri ba reiteradas veces, obtenemos: a a+ b a b P2 =A - - + -a+b a + b 2 a b b P3=A - - + A - - + - a+b a+b a+b

(2 .29)

Pl=--

(2.30) (2.3 1)

y, en general, resulta: ¡? = An- I _ a_

n

a+b

+ (A n- 3 +A n- 2 + .. .+ 1) _ b_

a+b

Basta sumar la progresión geométrica y simplificar el resultado, para obtener:

Pn

1 (a - b)n

=

2" a+b

l

+ 2"

De la fórmula general se sigue inmediatamente una propiedad de PIl . Si a b > O, se tiene:

I :~: I < 1 luego [(a - b)/ (a + b) Jn --> O Y limn->~ Pn = 1/2.

> OY

•

2.12 Diagramas de estados

2.12 .

Diagramas de estados

Plantear las ecuaciones recursivas asociadas a un problema se vuelve rutinario si logramos reducir el problema a un diagrama de estado. La cla\'e de estos diagramas, que tienen mucha utilidad en ingeniería eléctrica y teoría de autómatas, es simplificar el problema, reduciéndolo a un número finito de estados, aunque el modelo contenga un número infinito de casos posibles. Se entenderá mejor con un ejemplo. Supongamos que lanzamos repetidas veces una moneda que tiene probabilidad de cara igual a p hasta que aparecen dos caras consecutivas y que queremos calcular la probabilidad de que hagamos n lanzamientos. Aparentemente, al realizar este proceso pueden aparecer muchas secuencias distintas pero, realmente, lo que determina el comportamiento probabilístico de la siguiente transición son los últimos estados. Si meditamos unos instantes, comprenderemos que se pueden reducir a cinco clases o estados. l.

Un estado inicial, E¡, en el que estamos antes de lanzar la moneda.

2.

Que el último resultado sea @. A este estado lo designamos por Ea.

3.

Que el último resultado sea @ y el penúltimo no sea @. Lo designamos por El.

4.

Que los dos últimos lanzamientos sean cara y el anterior no . Lo designaremos por E 2 • Nos interesa calcular la probabilidad de alcanzar este estado en la etapa n.

5.

Un estado final, Ej', que se alcanza con probabilidad l después de llegar a E2. Cuando se alcanza Ej', se permanece en él indefinidamente.

Cuando aparecen dos caras consecutivas, se alcanza E2. Parecería razonable considerar que el proceso se detiene, pero es conveniente y más general considerar que las transiciones del proceso se repiten indefinidamente, por eso hemos inventado el estado final que se alcanza inmediatamente después de llegar a E2. Desde E2, con probabilidad l se llega a Ej'. Si estamos en el estado Ea en la siguiente transición podemos permanecer en Ea con probabilidad 1 - P o pasar a E I con probabilidad p, ya que al lanzar de nuevo la moneda sale cruz con probabilidad 1 - P y cara con probabilidad p. Si estamos en el estado El, en la siguiente transición pasamos a E2 con probabilidad p y a Ea con probabilidad 1 - p ya que, al lanzar de nuevo la moneda, sale cara con probabilidad p y cruz con probabilidad 1 - p. Por último, también hemos inventado el estado E¡, en el suponemos se encuentra el sistema al comienzo. En la primera transición, con probabilidad p pasamos de E¡ a El, si sale cara en el primer lanzamiento,o pasamos a Ea, con probabilidad 1 - p , cuando sale cruz. Lo esencial para que este método funcione es que una vez alcanzando un estado, las transiciones futuras no

83

84

Modelos aleatorios dinámicos l- p

Estado inicial

Estado

linal

Figura 2.15: Diagrama de estados

dependan de cuál haya sido la secuencia concreta que nos condujo al estado actual, sino sólo del estado en que nos encontremos. El diagrama 2.15 representa el autómata de este proceso. Las flechas indican el origen y destino de cada posible transición, y se señalan las respectivas probabilidades. Ahora, designemos por p¡(n) la probabilidad de estar en el estado E¡ , i = 0, 1, 2, después de n transiciones (tras realizar el n-ésimo lanzamiento). Para no hacer intervenir las probabilidades de los estados ficticios, aumentando el número de variables, impondremos como condición inicial que tras la primera transición, con probabilidad p el sistema se encuentra en El y con probabilidad 1 - P en Eo. Se tienen:

po (l) = l - p,

Pl(I )=p,

P2( 1)

=

°

Consideremos n ;:: 1. Para estar en E2 tras n + 1 lanzamientos hay que estar en El en la etapa n y que salga cara en el último lanzamiento. Esta observación se expresa: (2.32) P2(n + 1) = PPI (n) Para estar en El tras n + 1 lanzamientos hay que estar en Eo en la etapa n y que salga cara en el último lanzamiento, lo que implica: PI (n + 1)

= PPo (n )

(2.33)

Por último, para estar en Eo tras n + 1 lanzamientos hay que estar en Eo en la etapa n y que salga cruz en el último lanzamiento, o estar en El en la etapa n y que salga cruz en el último lanzamiento. Esta observación se expresa: (2.34) Po (n + 1) = (1 - p) Po (n) + (1 - p) P1 (n ) De 2.33 se sigue po(n ) = ~ Pl(n+ 1) y po (n + 1) plazamos estas igualdades en 2.34, se obtiene:

= ~PI ( n+2 ) . Si reem-

PI (n + 2) - (1- P )PI (n + 1) - p( 1 - P)PI (n) =

°

que es la ecuación recursiva de las probabilidades {p l (n) }.

(2.35)

85

2.13 Método para resolver ecuaciones en diferencias

De la relación 2.32 se sigue Pl(n) = ~P2(n + 1). Si aplicamos otra \ez la relación 2.32 poniendo n + 1 en lugar de n, obtenemos Pl (n + 1) = ~ P2 (n + 2). Otra aplicación más, con n + 2 en lugar de n, produce Pl (n + ~)

= ~ P2 (n + 3). Basta reemplazar estas expresiones en 2.35, para obtener: P2 (n + 3) - (1 - P )P2 (n + 2) - P (1 - P )P2 (n + 1) = O

(2.36)

Esta ecuación recursiva, junto con las condiciones iniciales P2 (1) = O, l':: (2) = p 2, nos permite programar el cálculo de P2(n) para cualquier n.

2. 13 .

Método para resolver ecuaciones en diferencias

Aunque la solución del problema es computable desde el momento en que conocemos la ecuación recursiva y las condiciones iniciales, también eS útil conocer soluciones explícitas. Las matemáticas aportan métodos generales para resolver las ecuaciones semejantes a 2.36, que se denominan ecuaciones en diferencias, lineales, con coeficientes constantes y homogéneas. En el caso que nos ocupa, la ecuación se clasifica como lineal, de segundo orden y homogénea. Una solución de la ecuación es una sucesión numérica {Pn}. El método de resolverla se basa en una importante ~ ropiedad de su conjunto de soluciones, similar a la que tienen las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes: el espacio de soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión igual al orden de la =c uación. Como consecuencia de lo anterior, si conocemos una base de ese es. acio, cualquier otra solución se puede expresar como combinación lineal de las soluciones de la base. La siguiente observación crucial es que poemos obtener una base del espacio gracias a las raíces de una ecuación enominada característica. Si la ecuación recursiva es:

P2 (n + 3) - (1 - p) P2 (n + 2) - P (1 - P )P2 (n + 1) = O su ecuación característica es:

A2 - (1 - p)A - p(l - p) = O

(2.37)

Si esta ecuación tiene dos raÍCes reales distintas Al y A2, las sucesiones P2(n) = A~ Ypi* (n) = A!J. son soluciones de la ecuación recursiva y forman una base del espacio de soluciones, por lo que cualquier otra solución se puede expresar de la forma:

denominada solución general de la ecuación. La solución general es una re presentación de todo el conjunto de soluciones.

86

Modelos aleatorios dinámicos Una solución concreta se denomina solución particular. Para hallar una solución particular determinamos las constantes C l y C2 imponiendo las condiciones iniciales adecuadas. Por ejemplo, si en la ecuación caracterÍstica 2.37 ponemos q = 1 - p, sus raíces son:

(2.38)

donde f..2 = q2 + 4pq es el discriminante de la ecuación. La solución general de la ecuación es Para hallar la solución que nos interesa, imponemos las condiciones

P2(1) = O = C¡A¡ +C2A2 P2( 2) = p 2 = c¡Af +C2A1 Si resolvemos este sistema de ecuaciones, resulta

Tras sustituir C¡ y C2 en la solución general , obtenemos

_

Pl (n ) -

2 ~ (1 n- l _ f..

/\'1

1n- ¡) /\'2

(2.39)

De la expresión explícita anterior, se deriva una expresión aproximada para Pl (n) que permite estudiar sus comportamiento límite. Si sacamos factor común A~-¡ y tenemos en cuenta que f.. = Al - Al , resulta:

Pl(n) = : Como IA2/ A11

1

[(AA~ )n-l]

A~- l 1 -

(2.40)

< 1, un valor aproximado de P2(n) es

Esta aproximación es buena siempre que Al y Al sean significativamente distintas, lo que equivale a que la probabilidad P no esté próxima a 1.

Ejercicios del capítulo 2

Ejercicios del capítulo 2 Ejercicio 2.1 Razonar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas: l. Dos sucesos disjuntos son independientes. 2. Si el suceso A es independiente de B y A es independiente de C, entonces A es independiente de B U C. 3. Si el suceso A es independiente de B y A es independiente de C, y B nC = 0, entonces A es independiente de B UC. 4. Si A es independiente de B y B es independiente de C y A es independiente de B n C, entonces C es independiente de A n B. Ejercicio 2.2 Una urna contiene n tarjetas numeradas de 1 a n. Extraemos dos tarjetas sin reemplazamiento. Si el menor de los números obtenidos es k, 1 ::; k < n, ¿cuál es la probabilidad de que el mayor de los números sea menor o igual que i, k < i ::; n? Ejercicio 2.3 Lanzamos un dado. Si el resultado es menor o igual que 3, lanzamos otra vez el dado. Si el resultado es mayor o igual que 4 no volvemos a lanzar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en total más de 4 puntos? Ejercicio 2.4 Lanzamos dos dados, uno rojo y otro azul, ambos equilibrados. 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un resultado par en ambos dados? 2. Si el resultado del dado rojo es par, ¿cuál es la probabilidad de que el otro resultado también lo sea? 3. Si alguno de los resultados es par, ¿cuál es la probabilidad de que el otro resultado también lo sea? Ejercicio 2.5 Una red de computadores conecta los nodos a y b a través de los nodos e, d Y e, como muestra la figura 2.16. Para cada par de nodos

Figura 2.16: Red de computadores

conectados hay una probabilidad de que la conexión entre ellos esté en on. En la figura se muestran esas probabilidades para los nodos adyacentes. Por ejemplo, la probabilidad de que la conexión entre d y b esté en on es 0.8. Las conexiones adyacentes están en on o en off independientemente de las demás . Hallar la probabilidad de que los nodos a y b estén conectados en on.

87

88

Modelos aleatorios dinámicos Ejercicio 2.6 Una bola se introduce en una de las urnas A, B, C, elegida al azar. Después, una segunda bola se introduce en una de las urnas A, B, C, D, elegida al azar. Si las urnas se ordenan en orden alfabético, ¿cuál es la probabilidad de que las dos bolas queden en urnas contiguas? Ejercicio 2.7 Lanzamos dos dados equilibrados. Consideremos los sucesos: A = "la suma de los resultados es 7",

B = "el resultado del primer dado es 4" y

e = "el resultado del segundo dado es 3" ¿Son A y B independientes? ¿Son A independientes?

y e independientes?

¿Son A, B Y e

Ejercicio 2.8 Sobre la mesa .$tI tenemos dos urnas, una roja, RI, Y otra azul, Al. La urna R I contiene 5 bolas blancas y 6 negras; la urna A I contiene 3 bolas blancas y 4 negras. ¿De qué urna es más probable extraer una bola blanca? Sobre la mesa .$t2 tenemos dos urnas, una roja, R2, otra azul, A2,. La urna R2 contiene 6 bolas blancas y 3 negras; la urna A2 contiene 9 bolas blancas y 5 negras. ¿De qué urna es más probable extraer una bola blanca? Sobre la mesa.$t3 tenemos dos urnas, una roja, R, y otra azul, A. Introducimos en R las bolas contenidas en RI y R2, Y en A las bolas contenidas en Al y A2. ¿De qué urna es más probable extraer una bola blanca? (Repasa el resultado). Ejercicio 2.9 Tres jugadores A , B Y e lanzan, por este orden, un dado. Gana el primero que consigue un seis. ¿Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar? Ejercicio 2.10 Dos monedas MI y M2 tienen probabilidades PI y P2 de "cara", respectivamente. Hacemos repetidos lanzamientos con las reglas siguientes: l. La primera vez se elige una moneda al azar y se lanza. 2. Si en un lanzamiento sale "cara", el siguiente se realiza con la moneda MI; si sale "cruz", se hace con la moneda M2 . Hallar la probabilidad de que el resultado del n-ésimo lanzamiento sea "cara". Indicación . Plantear una ecuación recursiva para la probabilidad pedida.

Ejercicios del capítulo 2 Ejercicio 2.11 Plantear una ecuación recursiva para la probabilidad de obtener al menos r veces seguidas cara, al tirar n veces una moneda. Indicación. Razonar así: para que aparezcan r caras consecutivas en ¡¡ + 1 lanzamientos, deben haber aparecido r caras consecutivas en los n primeros, o no haber aparecido en los n primeros y que los r últimos hayan sido cara. Ejercicio 2.12 Tres urnas, que llamaremos %'., %'2 Y%'3, contienen 2 bolas blancas y 4 negras, 8 bolas blancas y 4 negras y, 3 bolas blanca y 3 negras, respectivamente. Tomamos una bola de cada urna. Si en total hay dos bolas blancas, hallar la probabilidad de que la bola elegida de la urna %'2 sea lanca. Ejercicio 2.13 Un experimento aleatorio tiene n sucesos Al, A2, ... , A n , disjuntos cuya unión es el espacio muestra!. Supongamos que la probabilidad de que ocurra Ai es Pi. 1. Si se sabe que An no ha ocurrido, ¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido A¡, 1 ::; i::; (n - 1)? 2. Si se sabe que ha ocurrido alguno de los resultados Al, A2, ... , A m , ¿cuál es la probabilidad de que haya ocurrido A¡, 1 ::; i ::; m? Ejercicio 2.14 Tenemos k + 1 monedas en una caja. La moneda i-ésima ¡ene una probabilidad de cara igual a (i - 1) / k, i = 1, 2, ... , k + l . 1. Elegimos una moneda al azar de la caja y la lanzamos repetidas veces. Si los primeros n lanzamientos han resultado ser cara, ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente lanzamiento también lo sea?

2. Elegimos una moneda al azar de la caja y la larJZamos n veces. Si m h nzamientos han resultado cara, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de la moneda i-ésima? Ejercicio 2.15 Formular un modelo probabilístico razonable, para responder a la siguiente cuestión: Los candidatos A, B Y e compiten por dos empleos y tienen igual probabilidad de lograrlos. Después de la prueba y antes de aparecer los resultados, A le pregunta al examinador: ¿he sido admitido? y el examinador responde: " B ha sido admitido". ¿Qué probabilidad tiene A de haber logrado un empleo?

89

91


Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 2.1 1. Si A YB son disjuntos, se tiene P(A n B) = O luego, para que sean independientes es necesario y suficiente que al menos uno de los dos sucesos tenga probabilidad cero. Intuitivamente: si dos sucesos son disjuntos (incompatibles), parece raro que sean independientes, ya que si sabemos que uno ha ocurrido es imposible que el otro ocurra. Para que la infOlmación de que un suceso ha ocurrido no modifique la probabilidad del otro, el primero o el segundo deben tener probabilidad cero de ocurrir. 2. Puesto que

p (A n (B UC))

=

p (A n B) +p(A n C) - p (A n B nC)

parece claro que, salvo que los tres sucesos sean independientes, en general no se cumplirá:

p (A n (B UC)) = P(A)P(B UC) Para probar esta observación basta con mostrar un ejemplo. Consideremos que elegimos al azar una de las secuencias del conjunto siguiente

n

{aaa, bbb, cee, abe, aeb, bea, eah, eha , hae}

=

Consideremos los sucesos

A¡ = "en el lugar i hay una a", i = 1,2, 3 Un simple recuento de casos nos muestra que P(A¡) = 1/3 y P(A¡ n Aj) = 1/ 9, i =1=- j , luego Al es independiente de A2 y de A 3. Por otra parte P(A I n A2 nA3) = 1/ 9, luego no se cumple.

3. Se cumple. p (A n (B UC)) = = = =

p ((An B) U (A n C)) p (A n B)+ p (A n C) P(A) {P(B) +P(C)} P(A)P(B UC)

4. Se cumple. Puesto que A es independiente de B n C, se tiene: p (C n(A n B)) =p(A n (Bn C)) =P(A)p (B n C) y, puesto que B es independiente de C, resulta:

P(C n (A n B)) = P(A)P(B)P(C)

92

Modelos aleatorios dinámicos Ahora, puesto que A es independiente de B, se tiene:

P(A)P(B)P(C) = peA n B)p(C) Así, resulta:

p(Cn(A n B)) = p(A n B)p(C) luego C es independiente de A nB. Solución del ejercicio 2.2 Si extraemos dos tarjetas sin reemplazamiento hay n(n - 1) casos posibles, el primer número puede ser elegido de n maneras y el segundo de n - 1 maneras. Pares de tarjetas tales que el menor de los números sea k hay 2(n - k), ya que el número mayor puede ser cualquiera entre k + 1 Y n, y puede ser el primero o el segundo. Si A es el suceso A

= "el menor número es k",

la probabilidad de A es igual a

peA) = 2(n - k) n(n - l) Ahora, si B es el suceso B = "el mayor número es menor o igual que i",

la probabilidad de A n B es 2(í - k)

peA n B) = -'-----'n(n-l) ya que hay 2(í - k) casos favorables a A nB. Se sigue que la probabilidad condicionada P (B l A) es igual a

P(

I )=

B A

p(A n B) = í-k peA) n- k

Solución del ejercicio 2.3 Tracemos el árbol del experimento. El primer nivel tiene seis vértices o nodos, una por cada uno de los resultados posibles de lanzar el dado por primera vez. Cada rama que une el origen con uno de estos nodos está marcada con 1/6, que es la probabilidad de obtener llegar al nodo a partir del origen. Ahora, sea A = "el número de puntos obtenidos mayor que 4". De cada uno de los nodos del prime,r nivel parten dos ramas. Una lleva a A , indica que A ha ocurrido, y la otra lleva a N ' e indica que A no ha ocurrido, Si el

93


•

n ~

n~ I.'l

rool

~

l!:J

~

ri"!l l!..!J

l.!:!J

•

~~. "

¡;j

8

y~Al'

V~Al'

"

A

¡¡

"

[;::;]

y~

A

A

"

[Z]

AC

..

[Z]

[]

1\ 1\ 1\

A

AC

A

Al'

A

primer resultado es 8, para que A ocurra hay que obtener [;::;], [Z] ó [] en la nueva tirada y se tiene P(A 18) = 3/6. De igual manera obtenemos:

I

P(A ¡;j) =

4

6'

Por otra parte, si el segundo resultado es 4, 5 ó 6, no se vuelve a lanzar el dado y se tienen: P(A

1[;::;]) = 0,

P(A I [Z]) = 1,

P(A I []) = 1

Por la fórmula de la probabilidad total, resulta: P(A)

luego P(A)

°

1314151 1 1 ·1 + -·1 666666666

= -. - + - . - + -. - + - . + -

= 2/3.

Solución del ejercicio 2.4 1. Cuando lanzamos el dado rojo, R, y el azul, -l. hay cuatro casos igualmente probables que podemos representar por

R = par,A = par), (R = par,A = impar), (R = impar,A = par), (R = tmpar,A = impar). De estos cuatro casos, sólo uno es favorable a que am005 resultados sean par. Luego la probabilidad de que ambos sean par es 1/ 4. 2. Si en el dado rojo ha salido par, sólo hay dos casos posibles y la probabilidad de que el resultado del dado azul sea par es 1/2. 3. Si alguno de los resultados es par, hay tres casos posibles y sólo uno favorable a que ambos resultados sean par; la probabilidad es 1/3.

AC

94


Solución del ejercicio 2.5 Designemos por {i ---7 j} al suceso "la conexión entre i y j está en on" Para que la conexión entre a y b esté en on, tiene que estar en on la conexión entre c y b, Y también la conexión entre a y c. Esto se expresa:

{a Como {a

---7

d} Y {d

---7

---7

b} = {a

---7

d} n {d

---7

b}

b} son independientes, se tiene:

P(a

---7

b)

= P(a

---7

d)P(d

---7

b)

De los datos del diagrama se sigue P(d ---7 b) = 0.8. Por otra parte, hay tres vías que permiten la conexión entre a y d, son aed , ad y aedo Para que ocurra {a ---7 d} alguna de esas vías debe estar en on.

{a

---7

d} = {acd en on} U {ad en on} U {aed en on}

y los tres sucesos son independientes. De los datos , se sigue P(ad en on) tienen:

P(acd en on) = 0.8·0.9 = 0.72,

= 0.7

y, por la independencia, se

P(aed en on) = 0.9 · 0.9 = 0.81

lo que implica:

P(a

---7

d) = 1 - (1 - 0.72) (1 - 0.81 )( 1 - 0.7 ) = 0.98404

En resumen, tenemos P(a ---7 b) = 0.8 ·0.98404;::::: 0.787. Solución del ejercicio 2.6 El destino de la primera bola puede describirse mediante el espacio muestral OJ = {A, B, e} y la probabilidad uniforme

P, (A) =P,(B) = P,(C)

1 3

= -

,

El destino de la segunda bola se describe con O 2 bilidad uniforme

= {A,B,C,D} y la proba-

La experiencia conjunta se describe mediante el espacio O = OJ formado por los pares :

X

O 2,

0 = {(A,A), (A ,B), (A,C), (A, D), (B,A), (B,B), (B,C), (B,D), (C,A), (C,B), (C,C), (C, D)}

95


en el que cada suceso simple tiene probabilidad P( i, j) = PI (i) . P2(j) = ~, parai =A, B,C,y j=A , B,C,D. Designemos por 'ti al suceso "las bolas están en urnas contiguas". Con un simple examen, obtenemos

'ti = {(A,B ), (B,A), (B,C), (C,B), (C,D)} Observemos que este suceso no es producto cartesiano de un suceso del primer espacio y otro del segundo. Para calcular su probabilidad, basta hacer:

P('ti) = P(A,B) +P(B,A) +P(B,C) + P(C,B) +P (C, D) =

5 T2

Esta solución es estática, ensayemos una solución dinámica. Imaginemos, como sugiere el enunciado, que el Azar decide los destinos de las bolas en dos elecciones diferentes , que denominaremos DI y D2 . Por ejemplo, DI = B significa que la primera bola se coloca en la urna B y D2 = C significa que la segunda bola se coloca en la urnaC. Sabemos que la primera urna se elige al azar, y se tiene 1 3

P(DI =A) = P(DI = B) = P(DI = C) = de manera similar, se tiene

1

P(D2 = A) = P(D2 = B) = P(D2 = C) = P(D2 = D) = -

4

Ahora, si ocurre DI = A, para que ocurra el suceso 'ti, la segunda bola tiene que estar en la urna B. Esta observación se formula poniendo

P('ti I DI = A) = P(D2 = B) =

1

4

Igualmente obtenemos P('ti I DI = B) = 2/4 y P('ti I DI = C) = 2/4. De la fórmula de la probabilidad total, se sigue 1112125 + - .- + - .- = 3 4 3 4 3 4 12

P('ti) = - . -

Solución del ejercicio 2.7 Hay 36 casos posibles y seis casos favorables a

A, seis a B y seis a C; así, resulta p eA) = P(B) = P(C) = 1/6. Para que ocurra A n B el resultado del primer dado debe ser 4 y el del segundo 3; se sigue p eA n B) = 1/ 36. Puesto que se cumple: p (An B) = P(A) P(B) los sucesos son independientes.

96

Modelos aleatorios dinámicos De manera semejante se razona que A y C también son independientes. Sin embargo, A, B Y C no son independientes. Para convencemos, basta observar que si B y C han ocurrido, es seguro que A ha ocurrido. La comprobación numérica también es simple. Recordemos que tres sucesos son independientes si se cumplen las cuatro condiciones:

P(A n B) = P(A)P(B), P(A n C) = P(A)P(C) , P(B n C) = P(B)P(C) P(A nB nC)

= P(A)P(B)P(C)

Sin dificultad se comprueba que la cuarta condición no se satisface. Solución del ejercicio 2.8 No nos preocupemos de los cálculos ya que son muy sencillos. Interesa más el resultado. En las mesas Al¡ y Al2 , es más probable extraer una bola blanca de la urna roja que de la azul. Sin embargo, cuando ponemos juntas las bolas de las urnas rojas, en la urna roja de la mesa Al3 y las de las urnas azules en la urna azul de la mesa Al3, el resultado es que es más probable extraer una bola blanca de la urna azul que de la urna roja. Este ejercicio es un ejemplo más de la denominada "paradoja de SIMP SON". Para más detalles, ver HERNÁNDEZ, V. y VÉLEZ , R.: Dados, monedas y urnas, editorial UNED , colección Educación permanente, pág. 89. Solución del ejercicio 2.9 Un método consiste en evaluar la probabilidad que tiene cada jugador de ganar tras el lanzamiento n-ésimo y sumar las probabilidades. Observamos que A sólo puede ganar cuando n es de la forma n = 3k + 1, B cuando n = 3k + 2 y C cuando n = 3k. Nosotros preferimos un razonamiento recursivo. Designemos por PA, PB YPe las probabilidades de ganar de cada jugador. Lancemos el dado, si el primer resultado es IU], el jugador A gana. En otro caso, para que A tenga otra oportunidad de ganar, los jugadores B y C tienen que desaprovechar sus oportunidades, lo que tiene probabilidad (5/6) 2 de ocurrir; cuando esto ocurre, el dado retoma a A que, desde ese momento, tiene una probabilidad de ganar igual a la que tenia inicialmente. Este razonamiento se formula en la ecuación:

1+ (5)3 (5

PA = (5

PA

lo que implica: 1

PA

=

_--,,6_~ 1-

(~r

36 91

(2.41 )

De igual manera se razona con PB y Pe . Por ejemplo, para que B gane, el primer resultado tiene que ser distinto de IU]. Si el segundo es IU], B gana;

97

Soluciones de los ejercicios si el segundo es distinto de [I], e debe perder su ocasión. Cuando el dado retoma a A, la probabilidad que tiene B de ganar es la misma que tenía cuando comenzó el juego. (2.42) Basta comparar 2.42 con 2.41 , para tener PB = ~PA miento similar nos permite plantear la ecuación: Pe =

= 30/91. Un razona-

6 Pe (65)216 + (5)3

de donde se sigue Pe = ~PB = 25/91. Sin dificultad, comprobamos que PA + PB + Pe = 1, propiedad que era de esperar ya que tarde o temprano aparece algún [] y el juego termina. Solución del ejercicio 2.10 La probabilidad de que aparezca "cara" en el Il -ésimo lanzamiento es igual a la probabilidad de que aparezca cara en el 11 - 1)-ésimo y cara en la moneda All más la probabilidad de que aparezca ,TUZ en el (n - 1) -ésimo y cara en la moneda J1h Este razonamiento se re sume en la ecuación Pn =Pn- lP¡ + (I - Pn - I )P2 = (p¡-P2)Pn - 1 +P2 :on la condición inicial p¡ re lación anterior resulta: p _( n -

P¡

_

P2

=

iPl + ip2 . Si se aplica reiteradas veces la

)n- lP¡+P2+ 1 -( pl - P2Y- l 2 P2 1 + -Pi P2

Solución del ejercicio 2.11 Resolvamos primero un caso más fácil: supon~ID1 0 S que r = 2. Sea A el suceso "aparecen al menos 2 caras consecutivas", :. sea Pn la probabilidad de que A ocurra al lanzar la moneda n veces. Intui:1 amente, parece que Pn debe crecer con n: cuantas más veces lancemos la ::loneda, más probable debe ser obtener al menos dos veces seguidas cara. Los primeros valores de Pn se calculan fácilmente por recuento, Po = O, 2 2 - = O, P2 = p , P3 = p 3 + 2p (1 - p) Y P4 = p 4 +4p 3 (1- p) + 3p 2(1 - p) 2 :. partir de aquí, la cosa se complica bastante. Ahora, la indicación del :-:1Unciado nos sugiere que empleemos un razonamiento denominado back" JId (hacia atrás) . Suponemos que se ha lanzado la moneda n veces y que 1. ha ocurrido. Trataremos de descubrir las maneras en que esto puede haber -.:urrido y de buscar una relación entre la aparición de A en n lanzamientos -' '-u aparición en n - 1 lanzamientos. Hay sólo dos razones por las que A :_ede ocurrir en n lanzamientos:

98


1. A ya ha ocurrido en los n - 1 primeros lanzamientos. Este caso tiene probabilidad Pn -

I.

2. A no ha ocurrido en los n - 1 primeros, pero sí en los n lanzamientos. Para que esto suceda, los 2 últimos resultados deben ser @@, el resultado (n - 3)-ésimo debe ser @, ya que si fuera @, A ya habría ocurrido en los n - 1 primeros lanzamientos, y A no debe haber ocurrido en los primeros n - 3 lanzamientos. Todo esto tiene una probabilidad de ocurrir igual a:

(probabilidad de cara en el último por probabilidad de cara en el penúltimo, por probabilidad de cruz en el antepenúltimo, por probabilidad de que A no ocurra en los n - 3 primeros lanzamientos). Puesto que las razones anteriores no se pueden dar simultáneamente, se tiene: (2.43) Comprobemos nuestra relación con P3. Se tiene:

Basta comprobar que se verifica

De manera semejante podemos comprobar que también se cumple con P4. Otro razonamiento que nos lleva a una ecuación recursiva en un razonamiento forward (hacia adelante). Descompongamos los casos favorables en función de los primeros lanzamientos. Hay tres casos incompatibles:

1. El primer resultado es @. En este caso, A debe ocurrir en los n - 1 últimos lanzamientos (lo que tiene una probabilidad Pn - l de ocurrir con independencia del primer resultado). En t?tal, la probabilidad de este caso es (l-P)Pn-l. 2. Que los dos primeros lanzamientos sean @@. En este caso, A tiene que ocurrir en los n - 2. La probabilidad de este caso es P (1 P)Pn- 2. 3. Que los dos primeros lanzamientos sean @@. En este caso, A ya ha ocurrido. Esto tiene probabilidad p 2 de suceder. El razonamiento forward nos lleva a la ecuación recursiva: Pn = (1- P)Pn- l + p(l - P)Pn-2 + p

2

(2.44)


99

El caso general, cuando r toma cualquier valor se deduce del particular que hemos resuelto, La ecuación backward es:

Pn

= Pn-l + pI' (1 ~ p) (1

~ Pn-I'-I )

(2.45)

Mientras que la forward resulta: 1'-1

Pn = pI' +

L l(1 ~ P)Pn- k-1

(2.46)

k= ü

Las condiciones iniciales para ambas ecuaciones son Pk y PI' = pI',

= O, cuando k < r,

Solución del ejercicio 2.12 Pongamos que S es el número de bolas blancas que aparecen y B¡, donde 1 ::::; i ::::; 3, el suceso "la bola elegida de la urna i es blanca", Se tiene: peS =

2)

= P(B¡ nB2 nB

3)+ P(Bl n B2n B3) + P(B\ n B2 n B3)

283243483 = (5 ']2 , (5 + (5 , 12 ' (5 + (5 , 12 ' (5 7 18 Se tiene:

6

-

7

Solución del ejercicio 2.13 La probabilidad de que An no ocurra es 1 ~ Pn y, puesto que A¡ y An son disjuntos, A¡ nA ~ = A¡; luego la probabilidad de que ocurra A¡ condicionado por A~ es:

p(A- 1N ') = P(A¡ ) I

n

P(AC) n

= ~1 ~

Pn

La probabilidad de que ocurra alguno de los sucesos Al, A2, , , , , Am es: p eAl U A 2 U .. , U Am )

= PI + P2 + .. , + Pm

luego

Solución del ejercicio 2.14 1. Designemos por B¡ el suceso "la i-ésima moneda es elegida" , por An d suceso "los primeros n lanzamientos de la moneda elegida resultan cara"

100

Modelos aleatorios dinámicos y por An+1 el suceso "los primeros n + 1 lanzamientos de la moneda elegida resultan cara". Puesto que la moneda se elige al azar entre k + 1 monedas, resulta P(B¡) = 1/ (k + 1). Por otra parte, se tienen:

P(An I B¡) = (

. 1

~

l)n ,

P(An+1 I B¡) =

(. 1

~

l)n+1

Se trata de calcular P(An+1 I A n). De la definición de probabilidad condicionada, tenemos:

y, de la fórmula de la probabilidad total, se sigue:

k+1 ¿,P(An+1 I B¡)P(B;) ;=1

k+1

L P(An I B;)P(B;)

;= 1

kf (i-l )n+1 kf (~)n k

¡= I

k

;= 1

(Sólo para amantes del cálculo). La expresión anterior se puede estimar si n es grande, basta aproximar una integral por las sus sumas de RIEMANN, para tener 1

k+l(i_l)n lol

k+l¡~

--

y

~ ~

-k

o

1

t n dt - - -n+l

1 k+l(i_l)n+l lol 1 -L -- ~ tn+1dt=-k + 1 ;= 1

n +2

o

k

Si n es grande, se tiene: n+l ..P(An+1 I An) = - n+2 lo que muestra que P(An+1 I An)

-t

1 cuando n - t oo.

2. Designemos por Mj al suceso "la moneda elegida es la j-ésima" y por A al suceso observado: "aparecen m caras al lanzar la moneda n veces". Se tiene

peA I MJ·)

= (mn)

(j -k l)m (k - k· + 1 )"-m, J

para j = 1, 2, ... , k + 1

101


De la probabilidad total se concluye

y, del teorema de BAYES, se tiene

P(M¡ lA)

= P(M¡ )P(A IM¡)/P(A) (i-1)m(k - i+ 1y- m k+ 1

L (j -

I)m(k - j + l )n-m

j= l

Solución del ejercicio 2.15 La cuestión fundamental es qué información nos aporta la respuesta del examinador sobre el suceso que interesa: "A ha sido admitido". De acuerdo con el enunciado, antes de recibir esa información, la probabilidad de que A sea admitido es 2/3. El enunciado exige calcular la probabilidad posterior de la respuesta. Un razonamiento frecuente reza así: puesto que B ha sido admitido, A tiene una posibilidad entre dos de ser admitido y su probabilidad es 1/2. Sin embargo, este razonamiento no es preciso ya que considera que la información contenida en la respuesta del examinador equivale a la que proporciona saber que el suceso aleatorio: "B ha sido admitido" ha ocurrido. Pero no es así, el suceso que ha ocurrido debemos definirlo como "el examinador dice que B ha sido admitido" y la pregunta clave es: en la mente del examinador, ¿qué clase de sorteo le conduce a dar esta respuesta? Supongamos que el examinador se comporta del modo siguiente: elige al azar uno de los tres candidatos e informa acerca del resultado que ha obtenido el candidato elegido. Con este modelo, la probabilidad de que el examinador diga "B ha sido admitido" es igual a ~ ~ (es igual a la probabilidad de que el examinador elija a B por la probabilidad de que B haya sido admitido); mientras que la probabilidad de que A sea admitido y que el examinador diga "B ha sido admitido" es igual a ~ ~ (es igual a la probabilidad de que el examinador elija a B por la probabilidad de que A y B hayan sido admitidos). La probabilidad de que A haya sido admitido condicionada a que el examinador ha dicho "B ha sido admitido" es:

3 3

1

12

2

3 3 Este modelo justifica el razonamiento expuesto en primer lugar y nos introduce a otros posibles modelos (comportamientos) del examinador. En esencia, el modelo anterior implica que el modo de elegir la respuesta no

102

Modelos aleatorios dinámicos tiene en cuenta quién es el que pregunta ni qué se pregunta. Pero no es preciso que el examinador sea "sordo" y "ciego" para que la probabilidad a posteriori sea 1/2; imaginemos que el examinador conoce a A, no quiere darle información sobre su resultado y obra del siguiente modo: elige al azar entre B y C y responde con el resultado del candidato elegido. Bajo este supuesto, la probabilidad de que diga "B ha sido admitido" es igual a ~ (es la probabilidad de que B sea elegido por la probabilidad de que haya sido admitido); mientras, la probabilidad de que A haya sido admitido y que el examinador diga "B ha sido admitido" es igual a Un esquema más general de modelos que permite que la respuesta del examinador dependa del resultado de la elección, proviene de considerar que hay tres resultados posibles e igualmente probables: A y B son admitidos , A y C son admitidos, y B YC son admitidos. Estos casos se representan por AB, AC y BC, respectivamente. El espacio muestral del resultado de la elección es: [2 = {AB, AC, BC}

1.

1'1'

Supongamos que queremos formular el siguiente comportamiento: el examinador conoce a A pero no quiere informarle acerca de su suerte. Por ello, obra del modo siguiente: si ha ocurrido AB, puesto que no puede decirle a A cuál ha sido su suerte, no tiene más remedio que decir que B ha sido admitido (o, equivalentemente, que e no ha sido admitido); ídem, si ha ocurrido

~~ , b.lt'd tilt~
e ha sido admitido. Los distintos modelos que

podemos considerar se diferencian en el sorteo que origina esta elección. Supongamos que con probabilidad p dice B ha sido admitido y, con probabilidad 1 - p, dice C ha sido admitido. Para cada valor de p , O::::: p ::::: 1, se tiene un modelo de comportamiento. Ahora, la probabilidad del suceso que condiciona (que diga que B ha sido admitido) es igual a:

1

1

1+ p 3-

3+3' P = -

(es la probabilidad de AB más la probabilidad de BC multiplicada por p), mientras que la probabilidad de la intersección (que A sea admitido y que el examinador diga que B ha sido admitido) es igual a la probabilidad de que ocurra AB , esto es 1/ 3. La probabilidad de que A sea admitido, condicionada por la respuesta del examinador es igual a: -

3 l +p l+p 3 Como observamos , este planteamiento conduce a modelos diferentes del anterior. Cuando p = 1, la probabilidad a posteriori es 1/2, coincide con los primeros modelos.

103


Es interesante destacar que cuando p = 1/2, la probabilidad a posteriori coincide con la probabilidad a priori; la respuesta del examinador no aporta información acerca del suceso A ha sido admitido. Comentario bibliográfico. Esta cuestión tiene cierto aspecto paradójico y ha dado lugar a debates sobre su solución. La formulación que suele originar mayor interés se denomina de "las tres puertas"; el presentador de un concurso de televisión muestra al concursante tres puertas cerradas; le dice que detrás de una hay un coche; las otras dos no contienen nada. El concursante escoge una de las puertas. Antes de abrirla, el presentador aumenta el interés mandando abrir una puerta, que resulta estar vacía, y preguntando al concursante si desea cambiar su elección anterior o no. ¿Es ventajoso cambiar? ¿Es indiferente? Esta formulación procede de un famoso concurso de la televisión americana. En esta forma está discutido en el artículo de PRESNELL y PROSCHAN 5

5pRESNELL, B. & PROSCHAN, M.,

Monthly, 52, 3, 248- 252.

1992. The Car and the Goats, American Mathematical

3 Variables aleatorias discretas

3.1.

Concepto de variable aleatoria

En general, los resultados de los experimentos aleatorios no son numéricos sino simbólicos. Si lanzamos una moneda varias veces, los resultados posibles son secuencias de símbolos @ ó @ . Si ordenamos al azar un conJunto de palabras, los resultados posibles son permutaciones sin carácter numérico. Sin embargo, con mucha frecuencia, nuestro interés por los fenómenos aleatorios está motivado por las consecuencias numéricas de esos resullados simbólicos. Ese interés nos lleva al concepto de variable aleatoria. Consideremos un canal de transmisión con ruido, sin memoria y simétrico formado por una fuente y un receptor. La fuente transmite un mensaje con ,; dígitos. Nos interesa conocer el número de errores que hay en la trans:nisión. Desde el punto de vista probabilístico, transmitir un mensaje con dígitos equivale a lanzar n veces una moneda que tiene probabilidad de -,: ara" igual a p. Cada vez que sale cara, ocurre un error. Cada vez que -...lle cruz, la transmisión es correcta. La probabilidad de que haya k erro~~, es igual a la de obtener k caras al lanzar la moneda. En esta ocasión, - ,) nos importa la secuencia de símbolos que se recibe, sino el número de :~o res que hay en ella. Cada secuencia posible tiene un número de errores lSociado. El número de errores en el mensaje es una magnitud, cuyo valor está determinado por el azar. Cuando el Azar escoge la secuencia que aparece, elige también el número de errores. Las magnit~des de esta clase se denominan variables aleatorias. Por ejemplo, si el mensaje contiene n = 3 dígitos, en cada posición puede ocurrir un error E o una transmisión correcta C. En total, se pueden recibir 2 x 2 x 2 = 8 secuencias distintas. Cada secuencia tiene asociado un número de errores, como se muestra en la figura 3.1. Aplicación o función es el concepto matemático adecuado para describir algo que asocia un número a cada elemento de un conjunto. La figura 3.1 refleja la abstracción matemática de la variable aleatoria número de errores: es una función que a cada resultado posible del experimento le asocia un r

106

Variables aleatorias discretas

.CCE

r·

CCC

EEE.

o

2

3

4

Figura 3.1: Número de errores en la transmisión de un mensaje de 3 dígitos

número. Definición 3.1 Una variable aleatoria definida sobre un espacio de probabilidad (O,?) es una función X: O f---7 R.

Ejemplos de variables aleatorias son: l.

Si lanzamos un dado dos veces, el mayor de los resultados obtenidos.

2.

El número de veces que hay que lanzar una moneda para que aparezca cara.

3.

El tiempo que tarda en sufrir una avería un circuito electrónico.

El conjunto de valores que puede tomar la variable X es la imagen de O por la función X, lo designaremos por X (O). Si X es la variable "mayor de los números obtenidos al lanzar dos dados", tenemos:

X(O)

=

{1,2,3,4,5,6}

Si X (O) es finito o infinito numerable, la variable se denomina discreta. U{la variable cuyo conjunto de valores es infinito no numerable no es discreta. De las tres variables de los ejemplos anteriores, las dos primeras son discretas; la primera tiene un número finito de valores posibles, mientras que la segunda tiene un número infinito numerable de valores posibles. La tercera variable no es discreta, puede tomar valores en el intervalo (0,00), que no es numerable. En este capítulo estudiaremos, exclusivamente, las variables discretas. Hay dos métodos para definir una variable aleatoria. El primero es hacer una lista exhaustiva que muestre el valor X (ro) que toma sobre cada elemento de ro E O. Por ejemplo, la figura 3.1 define X por este método ya que la información que contiene equivale a declarar: X(CCC)

= O,

X(ECC)=l, X(EEC) = 2,

X(CCE ) = 1, X(CEE ) = 2, X(EEE) = 3

X ( CEC ) = 1 X (ECE) = 2

(3.1 )

107

3.1 Concepto de variable aleatoria Naturalmente, este método no es muy conveniente cuando [) contiene muchos puntos. El segundo modo de definir una variable aleatoria es describir con precisión la relación que se establece entre los elementos de [) y los números reales, bien mediante un fórmula, bien mediante palabras. Por ejemplo, para definir la variable anterior basta poner:

x=

"número de errores al transmitir tres dígitos"

(3.2)

Esta descripción no deja lugar a dudas y permite asignar, en todo caso, un único valor numérico a cada ro E [). Las variables aleatorias se suelen representar por letras mayúsculas, la costumbre es emplear las últimas letras del alfabeto. Los valores numéricos de las variables se representan por letras minúsculas. Si X es una variable aleatoria, el símbolo {X = x} representa al suceso formado por los elementos ro tales que X (ro) = x. Esta notación es una abreviatura de las habituales en matemáticas:

{X =x}

=

{ro I X(ro) =x} = X- I(x)

Por ejemplo, si X es la variable número de errores definida en 3.1, se tiene: {X = 1} = {CCE, CEC, ECC} Y{X = 3} = {EEE}. De manera semejante, {X < 2} define al suceso formado por los ro tales que X (ro) < 2. Por ejemplo, si X es la variable número de errores de 3.1, se tiene:

{X < 2} = {CCC, CCE, CEC, ECC} Hay una excepción a la costumbre de designar las variables aleatorias por las últimas letras del alfabeto, son las variables denominadas indicadoras de un suceso. Si A es un suceso, su variable indicadora se representa por lA y toma el valor 1, si A ocurre, y O, si A no ocurre: si

W

EA

si w ít' A

(3.3)

Descomponer una variable aleatoria como combinación lineal de variables indicadoras es una técnica que tiene importancia en el cálculo de probabilidades , como tendremos ocasión de comprobar más adelante. El ejemplo siguiente muestra algunas descomposiciones. EJEMPLO 3.1

Lanzamos una moneda n veces. Consideremos el suceso: A¡ = "el lanzamiento i-ésimo resulta cara"

La variable indicadora lA, vale 1, si el i-ésimo lanzamiento resulta cara y O, en otro caso.

108


La variable X = "número total de caras" es igual a la suma:

El sentido de la descomposición es claro, cada vez que aparece una cara, se añade 1 al número total de caras. • EJEMPLO 3.2 Una racha es una serie maximal de resultados iguales consecutivos, maximal significa que la serie no está contenida en otra serie mayor de resultados iguales consecutivos. La definición de racha se entiende mejor con un ejemplo. Si lanzamos la moneda ocho veces y resulta:

han ocurrido cuatro rachas: racha 2

racha 4

~

~

@ @@@ @@@ @

'=v=' racha I

~

racha 3

Observemos que toda secuencia comienza con una racha y que aparece una racha nueva cada vez que un resultado es distinto del anterior. En el ejemplo anterior, comienza una racha en los lanzamientos 1 (siempre es así), 3 (porque x3 f= X2), 5 (porque x5 f= X4) y 8 (porque Xg f= X7). Esta observación nos dará la clave para descomponer la variable: X = "número de rachas que aparecen al lanzar n veces la moneda" Para cada i, 2 ::; i ::; n, consideremos el suceso Si = "el resultado i-ésimo es distinto del i - l-ésimo"

La observación anterior muestra que en el lanzamiento i-ésimo, 2 ::; i ::; n, comienza una nueva racha si y sólo si Si ocurre. Puesto que el número de rachas es igual al de lanzamientos en que comienza una racha, resulta:

La variable número de rachas tiene interés para contrastar los algoritmos que generan números aleatorios. •

3.2.

Distribución de una variable aleatoria discreta

Dada una variable aleatoria, podemos transferir la probabilidad definida sobre los sucesos a los números reales. Por ejemplo, si lanzamos tres veces una moneda equilibrada y X es la variable:

x = "número de caras menos número de cruces"

109

3.2 Distribución de una variable aleatoria discreta

Los valores posibles de X son X ([1) respectivas son:

= {- 3, -

1, 1,3} Y las probabilidades

l

P(X

=

3) = P({@@)@ }) = 8

P(X

=

1) =P({@@@), @@)@, @)@@})

8 8

P(X

=

-1) =P({@@)@), @)@@), @)@@) })=

P(X

=

- 3) =P({@@@ })

=

3

=

3

1

8

Podemos interpretar que el Azar, directamente, escoge uno de los números del conjunto de números: X([1) = {-3, -1 , 1,3} con probabilidades respectivas (1/8,3/8,3/8,1/8). Esta interpretación nos hace olvidar el sorteo inicial. Ya no recordaremos que el valor de X es el resultado de la diferencia entre el número de caras y el de cruces al lanzar una moneda tres \'eces. Gracias a ese olvido del fenómeno concreto que produce lo aleatori o, todas las variables aleatorias se pueden describir de manera homogénea como un sorteo sobre los números reales. La clave de esa descripción es el concepto denonúnado distribución de probabilidad, que es el modo de repartirse la probabilidad los valores posibles de la variable. Si la variable es discreta, describir la distribución de probabilidad equi\ ale a dar una tabla con dos filas, en la primera ponemos los valores posiQles y, en la segunda, la probabilidad de cada valor posible. En el caso de :J variable anterior X, basta con dar la tabla:

x

-3

~- 1

p(x)

1/8

3/8

3

3/8

1/8

:"'ü 5 valores de la tabla definen una función sobre X ([1) cuyos valores son :-:-obabilidades, x f---; p(x), esa función se denomina función de probabili-

:2J.

La función de probabilidad también se puede definir mediante una fórmu, '-l ue resuma los valores de la tabla, de la forma:

P(X

= x) = p(x),

para cada x E X ([1)

-:, de los valores p(x) deben cumplir p(x) 2: Oy

(3.4)

L p(x) = 1. PorejemXEX (O )

_ ':. la variable X

= "número de caras menos número de cruces", se define P(X = -3)=~

P(X=-l)=~

P(X=I)=~

P(X=3)=~

110

Variables aleatorias discretas 3/8

-3

-2

3/ 8

o

-1

3

2

Figura 3.2:

Por último, la distribución de una variable discreta también se puede definir mediante gráficos. Los más utilizados son los diagramas de barras. Por ejemplo, la función de probabilidad de X se define de manera gráfica con el diagrama de barras de la figura 3.2. Si conocemos la función de probabilidad de una variable discreta, podemos calcular cualquier probabilidad de la forma P(X E B), donde B e R, mediante la suma:

P(X EB)

=

(3.5)

LP(X =x), xEB

Dos bolas se colocan al azar en dos urnas, consideremos la va-

EJEMPLO 3.3 riable aleatoria:

y

=

"número de bolas que hay en la primera urna"

Para facilitar los recuentos, supongamos que las bolas están, numeradas con 1 y 2. La figura 3.3 muestra los 4 casos posibles y el valor de Y en cada uno de ellos. Y Figura 3.3: Hay cuatro maneras de colocar las dos bolas en las dos urnas. En un sólo caso, cuando las dos bolas están en la primera urna, la variable Y toma el valor 2, luego P(Y = 2) = 1/4. Hay dos casos en los que Y = 1, cuando la bola] está en la primera urna y la bola 2 en la segunda ó cuando la bola 2 está en la primera y la bola I en la segunda; se sigue P(Y = 2) = 2 / 4. En el clfarto caso no hay ninguna bola en la primera urna y Y = O.

kD@1 1CD 1@1 1@1CD 1 ICD@I

~/ y =o

Y=]

Y=2

puede tomar tres valores distintos, 0, l Y 2. La función de probabilidad de Y es:

P(Y = 0) =

1

1

4'

P(Y=I ) ='2 '

P(Y

=

2)

l

=-

4

El cálculo de P(Y ::::: 1) es un caso particular de la fórmula 3.5:

P(Y ::::: 1) = ¿P(Y =y) = P(Y = l) + P(Y =2) y2: 1

•

LuegoP(Y ::::: 1) =3/4. Dado que la distribución es el único dato relevante acerca de una variable aleatoria, la costumbre es dar su función de probabilidad, sin mencionar el espacio de probabilidad sobre el que están definidas. Por ejemplo,

3.2 Distribución de una variable aleatoria discreta

si participamos en un juego que consiste en lanzar una moneda tres veces y nuestra ganancia, X, es igual a la diferencia entre el número de caras y el de cruces, el dato relevante para analizar el juego es saber que X tiene distribución: 1 3 P (X = - 3) = P(X = 3) = P(X = -1) = P(X = 1) = 8' 8 esto es, qué cantidades ganamos o perdemos y con qué probabilidad las ganamos o perdemos. 3.2.1.

Distribución de Y = g (X )

Consideremos una variable aleatoria X, Yuna función cualquier función numérica de X, Y = g(X), es una variable aleatoria, porque asigna un valor a cada resultado posible. En efecto, cada resultado tiene un valor x asociado por X y otro valor g(x) asociado por Y. El diagrama que sigue muestra la sucesiva acción de las funciones. El conjunto de valores posibles de Y es O w

X

g

R

R

-~X(w) --~ g(X( w))

w----~ Y(w )

=g(X(w ))

y (O) = g(X(O)). Si X es discreta, entonces Y = g(X) también es discreta. Podemos calcular la función de probabilidad de Y a partir de la función de probabilidad de X. Para hallar P (Y = y) , basta sumar:

L

P(X =x)

{xlg(x )=y}

Por ejemplo, si X tiene la función de probabilidad definida por: 1 P (X = -3) = (8 3 P(X = 1) = 8

3 P (X=-l )= 8 1 P(X = 3) = 8

y consideramos Y = X 2 , los valores posibles de Y son Y (O) = {1, 9}, y las

probabilidades de cada uno de los valores son: 6 P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1) = 8 v

2 P(Y =9) = P (X = - 3)+P(X =3) =8 La figura 3.4 ofrece una interpretación del cálculo de la función de probabilidad de Y = X2.

111

112

Variables aleatorias discretas 6/8

Distribución deX

3/8

Distribución deY =X 2

3/8

2/8

Figura 3.4:

3.3.

Distribución de una variable condicionada por un suceso

Conocer que ha ocurrido un suceso A altera, en principio, la probabilidad de que una variable tome cualquier valor, x del conjunto de valores posibles. Ya conocemos la manera de cuantificar esa alteración, sólo hay que aplicar la definición de probabilidad condicionada. La nueva evaluación de la probabilidad del suceso {X = x} se representa por P(X = x I A) Y se lee "probabilidad de que X sea igual a x, condicionada por A" Y vale:

P(X = x

lA) = P({X = x} n A) P(A)'

X E X(O)

Este conjunto de probabilidades y valores posibles definen la distribución de una variable que denominamos "X condicionada por A", con símbolos, se escribe X I A. EJEMPLO 3.4 Tenemos una moneda que tiene probabilidad de cara igual a p = 0.25. A Y B la lanzan tres veces cada uno. Si sabemos que A obtiene tantas caras como B, ¿cuál es la distribución del número de caras que A obtiene? Sea E el suceso que sabemos ha ocurrido E = "A YB obtienen el mismo número de caras"

y sea X el número de caras que obtiene A. Para que E ocurra, o bien A y B obtienen Ocaras cada uno, lo que tiene probabilidad:

o bien A y B obtienen una cara cada uno, lo que tiene probabilidad

113

3.4 Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta

o bien A y B obtienen 2 caras cada uno, lo que tiene probabilidad

o bien A y B obtienen 3 caras cada uno, lo que tiene probabilidad

En total, se tiene:

P(E) = 0.1780 + 0.1780 + 0.0198 + 0.0002 = 0.376 Ahora, los valores posibles de X son X (O ) = {O, 1,2, 3} . Para cada k E X(O) , calculamos P(X = k l E). P(X = O I E) =

~.1377860 ~ 0.4734,

P(X = 2 1E) =

0~~3~: ~ 0.0527,

0.1780 ~ 0.4734 0.376 0.0002 P(X = 3 1E) = -6 ~ 0.0005 0.37 P(X

= 1 lE) =

La tabla anterior detennina la distribución de X lE.

3.4.

•

Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta

La distribución de una variable aleatoria discreta es un concepto vectorial: vector de valores y vector de probabilidades. Comparar varias distribuciones es tan difícil como comparar matrices. Para hacer esas comparaciones, conviene reducir la complejidad mediante un promedio que represente a la distribución. Significa reducir los valores posibles a uno sólo. Naturalmente, a cambio de una mayor sencillez tenemos una pérdida de información. Que sea conveniente o no esta simplificación dependerá de lo bien o mal que el promedio represente a todos los valores. EJEMPLO 3.5 Para escoger entre diferentes algoritmos que realizan la misma tarea, se compara su velocidad, la economía en eLaLmacenamiento de Los datos y su fácil programación. La velocidad de la ejecución o el tiempo de ejecución de un algoritmo depende de los inputs. Por ejemplo, si es un algoritmo que ordena valores numéricos, depende del orden inicial que tengan los valores. Para analizar el tiempo de ejecución, se supone que los items han sido ordenados aleatoriamente. Fijado el orden inicial, el tiempo de ejecución está detenninado. Esto significa que si los inputs son aleatorios, el tiempo de ejecución es una variable aleatoria. Para resumir la distribución de probabilidad del tiempo de ejecución, se calcula un valor promedio: el tiempo esperado. Así, al comparar un algoritmo con otro, se comparan los promedios. Desde luego, puede ocurrir que para ciertos inputs, un algoritmo sea peor que otros, pero si en promedio es mejor, lo preferiremos. •

El promedio más empleado es la media aritmética de la variable. En el cálculo de probabilidades, la media tiene nombre peculiar: esperanza

114


matemática o valor esperado. Si X es una variable aleatoria, su esperanza matemática se representa por E {X}, este símbolo se lee "esperanza de X". La esperanza de X es el promedio aritmético de los valores posibles y las probabilidades de cada valor. Se define:

E{X} =

L

x P(X = x)

(3.6)

XEX (O )

Si el conjunto de valores posibles es infinito numerable, la suma anterior se convierte en una serie y puede ocurrir que sea divergente. En este caso diremos que la variable X no tiene esperanza matemática. Por ejemplo, consideremos la variable aleatoria X con función de probabilidad : 2 8 2 P(X = 3) = 8

l

P(X = - 3) = -

=

-2) =

123

2

P(X

8

3 P(X = 1) = 8

-

La esperanza matemática de X es igual a:

E{X} = (- 3)· - + (-2)· - + 1 · - + 3· 8 8 8 8 luego E{X} = 1/ 4 = 0.25. Observemos que, para aplicar la fórmula 3.6, Figura 3.5: La figura muestra una interpretación gráfica ~ '. de la propiedad fundamental de la esperanza matemática. Si imaginamos que las barras del histograma son maI .".'~.':.' ~ sas, el sistema estaría en equilibrio si el punto de apo.: ,', yo está situado en la esperanza matemática. El punto lFl "" .' E {X} ,,;: 0.25 es el centro de gravedad de un sistema de "TLfl" - - --"i''''''-- - - . - ,-- - -O",t------'T -.'------.¡---'T ¿ masas que tiene masa igual a 1/8, colocada en _ 3, masa - 3 - 2 - I 2 3 igual a 2/8. colocada en - 2, masa igual a 3/8, colocada E{X} en I y masa igual a 2/8 colocada en 3. !,.:".':

es preciso conocer la función de probabilidad de la variable. Aplicar directamente la definición de esperanza matemática, como acabamos de hace es el primer método para calcular E{X}. EJEM PLO 3.6 Una cinta tiene grabados N registros. En la figura 3.6, se describe el movimiento de la cabeza lectora, que busca los registros de modo secuencial. Supongamos que hay que el registro que tiene que leer se escoge al azar y sea X la variable aleatoria

x=

"número de desplazamientos precisos para llegar al registro elegido"

Para calcular E{X} hallaremos la distribución de X y luego calcularemos el promedio. Si hay que leer el primer registro, la cabeza no tiene que moverse y X = O. Si hay que leer el segundo, X = l. Si hay que leer el registro k-ésimo, la cabeza

115

3.5 Esperanza de una función de una variable aleatoria

Cabeza lectora

Figura 3.6: En su posición inicial, la cabeza está sobre el registro 1. Para leer el registro que está en la posición k, debe desplazarse a la derecha k - 1 regi stros , hasta situarse sobre el k-ésimo. Tras leer el registro, vuelve a su posición original.

Cabeza lectora

hará k - 1 desplazamientos y X = k-l. Los valores posibles de X son X (O ) = {O, 1, ... ,N - I}. Por otra parte, P(X = k) es igual a la probabilidad de que el Azar escoja el registro k + 1, luego 1

si O::; k ::; N- l

P(X=k ) = /Ii' La esperanza matemática de X es: N- I

E{X} = k~ kP (X =k) =

1 N-

I

/Ii k~O k

\

De la expresión de la suma de una progresión aritmética, se sigue:

(N- 1)N ~> = -'---~

N-]

2

k=O

•

luegoE{X} = (N -1)/2.

3. 5.

Esperanza de una función de una variable aleatoria

Si X es una variable aleatoria e Y = g(X) es una función de X, el primer método para calcular E{Y} es hallar la función de probabilidad de Y y, luego, promediar. Otro método; en general mejor, es promediar respecto de los valores de X. Este método se expresa con la fórmula:

L

E{Y}=E{g(X)}=

g(x) P(X=x )

(3.7)

XEX(O )

La ecuación 3.7 supone que para calcular E{Y} no necesitamos conocer la istribución de Y. =JEMPLO 3.7

Consideremos la variable X con distribución dada por:

P(X = - 3) =

k

P(X = -2) = ~

P(X = 1) = ~

\ sea Y = X 2 , el valor esperado de Y es igual a:

E{Y} = E{X 2} =

L XEX (O )

x2 P(X

= x)

P(X = 3) = ~

116


luego

E{X 2} = (- 3fp(x = -3) + (-2)2p(X = - 2) + 12P(X = 1) + 32P(X = 3) =

19/4

Observemos que hemos calculado E {Y} no como promedio de las valores de Y respecto de la distribución de Y, sino como promedio de los valores de X2 respecto de la distribución de X. 3 P(Y = l)=-

3

2

P(Y = 9) = 8

P(Y = 4) = -

8

8

y,luego,hacemosE{Y}= 1(3/8)+4(2/8)+9(3/8) = 19/4. 3.5.1.

•

Esperanza de la función lineal

Si y es una función lineal de X, se pueden deducir importantes propiedades para la esperanza de Y. Sea Y = aX + b, la esperanza de Y se calcula:

L

E{Y} =E{aX +b} =

(ax + b)P(X =x)

XEX(O )

\

luego

L

E{aX+b}=a

L

Basta tener en cuenta que

L

xP(X=x) + b

XEX (O)

P(X=x)

XEX (O)

P(X

= x) = 1, para obtener:

xEX(O )

E{aX + b} = aE{X} + b

3.6.

Entropía de una variable aleatoria

En 1940 SHANNON definió el concepto de entropía que tiene un papel central en la Teoría de la comunicación, como la esperanza matemática del logaritmo del inverso de la función de probabilidad. Definición 3.2 La entropía asociada a una variable aleatoria X es el valor esperado de la esperanza de -logp(X), donde p(x) es la función de probabilidad de X. La entropía de X se representa por H (X).

1

H(X)

= E{log2 p(X)} =

L

1

p(x)log - (- ) XEX (O) p x

= -

L XEX(O )

p(x) logp(x)

117

3.6 Entropía de una variable aleatoria La base del logaritmo determina las unidades en que se mide la en Lo habitual es tomar logaritmos en base 2. Entonces, la entropía se mide en bits. La entropía de una variable aleatoria X es una medida de la incertidumbre asociada a ella. Para ilustrar qué entendemos por incertidumbre asociada, consideremos este ejemplo: X¡ y X2 son dos variables aleatorias que toman los valores O y 1 con probabilidades respectivas

P(X¡

= O) = 0.01,

P(X¡ = 1) = 0.99

y

P(X2 = O) = 0.5 ,

P(X2 = 1) = 0.5

Si tuviéramos que adivinar el valor que ha tomado cada una de las variables, parece intuitivamente claro que es más fácil adivinar el valor que toma X¡ que el valor que toma X2. Dicho de otra manera, parece que la incertidumbre asociada al resultado de una variable es mayor en el caso de X2 que en el caso de XI. Puede demostrarse que el mínimo número esperado de preguntas de respuesta binaria necesarias para determinar el valor de X está comprendido entre H (X) Y H (X) + 1. Así, la entropía H (X) es una cota inferior de la longitud media de la menor descripción de una variable aleatoria. EJEMPLO 3.8

Si X¡ es la variable con función de probabilidad

P(X¡

=

O) = 0.01,

P(X¡

= 1) = 0.99

a la que nos referíamos más arriba, su entropía es igual a

H(X¡ ) = -0.01Iog 2 0.01 - O.991og 2 0.99::::; 0.081 bit Sea X2 es la variable con función de probabilidad

P(X2 = O) = 0.5 , '

P(X2 = 1) = 0.5,

a la que también nos referíamos antes. La entropía de X2 vale

H (X2) = -O.5Iog 2 0.5 - O.51og 2 0.5 = 1 bit Como señalaba nuestra intuición, hay más incertidumbre en los valores de la variable X2 que en los de Xl. • EJEMPLO 3.9 lidad

Consideremos una variable aleatoria X con función de probabi-

P(X = 0)=1 /2,

P(X = I )= 1/ 4,

P(X =3)= 1/ 8,

P(X = 4) = 1/8

La entropía de X es igual a 111111117

H (X ) = - Z"log2 Z" - ¡log2 ¡ - glog2 g - glog2 g = ¡ bit

•

118


3.7.

Momentos y varianza de una bar.iÍe aleatoria

Dada una variable x, los valores espera os de las funciones de la forma g(X) = x m se denominan momentos d IX . Así, la media E{X} es el momento de primer orden. La esperanza E{X 2 } es el momento de segundo orden, etc. Otro importante caso particular del valor esperado de una función de X se tiene cuando consideramos:

g(x)

=

(x - E{X}f

Observemos que g(x) mide la desviación cuadrática respecto de la media. En este sentido, mide el error que cometemos al sustituir un valor posible, x, por E{X}. El valor esperado de esta desviación se denomina varianza de X y se representa por O"}.

La varianza de X es una medida de la dispersión promedio de los valores de X respecto de E{X}. Si desarrollamos la expresión de la varianza, obtendremos una fórmula muy útil para el cálculo. Se tiene:

O"} =

L

(i - E{X})2 p (X = i)

iEX(O)

=

L

[¡2- 2iE{X}+(E{X})2]p(X = i)

i EX (O )

=

L

L

¡2 P(X = i) - 2E{X}

iEX (O )

Ahora, puesto que E {X} = LiEX (O ) iP(X tener O"} = E{X 2 } - (E{X} )2.

3.8.

iP(X = i) + (E{X})2 ~

i EX (O )

= i) , basta simplificar, para ob-

Funciones generatrices

Uno de los métodos más fructíferos de la matemática consiste en reemplazar ciertas funciones por sus transformadas integrales. Las más conocidas son la transformada de LAPLAC E y la de FOURIER. Estos métodos han tenido especial éxito en el cálculo de probabilidades, porque permiten caracterizar la función de distribución mediante una función de variable real, a la que podemos aplicar las técnicas del cálculo para extraer información. Una función de probabilidad es un concepto matricial , una tabla con dos columnas y con tantas filas como valores distintos toma la variable. La función generatriz resume toda la información que contiene la función de l'j!\)'\),;\'\)\\\~,;\~ ~1\ U1\,;\ \ln\l:'d lU1\ó()1\.

119

3.8 Funciones generatrices

Figura 3.7: Pierre-Simon Laplace, nació en Beaumont-en-Auge, Nonnandía (Fran cia) en 1749, murió en París en 1827. A causa de sus investigaciones en Astronomía, se interesó en la Teoría de errores y por la Probabilidad. En 1812, publicó Théorie analytique des probabiJités en dos volúmenes. En el primero estudia las funciones generatrices, por lo que se las denomina transfonnadas de LAPLACE. El segundo volumen contiene la regla de LAPLACE, la fónnula de la probabilidad total y la de BAYES. Posterionnente, añadió diversas aplicaciones del Cálculo de probabilidades a la Teoría de errores, a la detenninación de las masas de Júpiter, Saturno y Urano, y a la Geodesia.

Consideremos una variable aleatoria X, tal que X (O) de probabilidad de X será de la forma:

P(X = k) = Pb

e

N. La función

para k = O, 1,2, ...

donde Pk 2 O Y 2.k Pk = 1. Definición 3.3 Se denomina [unción generatriz de la sucesión

{pd, a la

[unción: (3.8)

G(s) = E{?} = L i pk k=O

Por ejemplo, la distribución denominada geométrica, que estudiaremos a continuación, tiene como función de probabilidad:

P(X = k) = (l - p)k- lp, parak = 1,2,3, ... donde O < P

< 1. La función generatriz de esta distribución es igual a: G(s) =

i: i (1 - p/- 1p =

k= l

sp

1 - s( 1 - p)

(3.9)

ya que se trata de una serie geométrica 1 de razón s (1 - p) y primer término sp. Toda sucesión de probabilidades sobre los números naturales tiene una única función generatriz y toda función generatriz lo es de una única sucesión. La función generatriz caracteriza a la distribución y contiene toda su información. En efecto, puesto que si Isl :::; 1, se tiene IG(s) I :::; 2.1:=0 Pk < 00, dada una distribución de probabilidades {Pk}, su función generatriz está definida, al menos, en el intervalo cerrado [ - 1, 1] donde, por las propiedades I Recordemos

que la suma de la serie geométrica de razón r y primer ténnino a:

a+ar + ar2 + ar3 + ...

=

_ a_

I-r

es igual al primer ténnino dividido por uno menos la razón.

120


Figura 3.8: Joseph Fourier nació en Auxerre, Borgoña (Francia), en 1768, murió en París en 1830. Tuvo una vida novelesca. A los 19 años, ingresó en la abadía de san Benito del Loira. En 1793 formó parte de un comité revolucionario. Durante el Terror estuvo a punto de ser guillotinado. En 1798 acompañó a Napoleón en la campaña de Egipto como asesor científico. Fue profesor de la Escuela Politécnica y prefecto del departamento de lsére. Durante su estancia en Grenoble escribió la memoria Sobre la propagación del calor en los sólidos que le ha hecho famoso y ha marcado la investiga· ción matemática durante un siglo. Su gran idea fue aprox imar las funciones mediante sumas de senos y cosenos.

de las series de potencias, es uniformemente convergente. Se sigue también que, al menos en el intervalo (-1, 1), posee derivada de cualquier orden. En particular, puesto que

= Po + PI . O+ P2 . 02 + .. . = po

G(O)

+ 2P2 . O+ 3P3 .02 ... = PI

G' (O) = PI

G"(O) =2P2 + 3·2p3·0+4·3p4·02 .. . = 2!p2 y, en general, G(n(o) = n!Pn, donde G(n representa la derivada n-ésima. Resulta evidente que conocida G(s), podemos recuperar la distribución. La función generatriz es una buena herramienta para calcular la media y la varianza. Si conocemos una expresión de G(s) como función de s, podemos calcular los momentos E {X k } sin más que hallar derivadas sucesivas. Si derivamos 3.8 respecto de s, resulta:

G'(s) =

L ki- I Pk = PI +2S P2 + 3s2P3 + ...

(3.10)

k= 1

luego G' (O) = PI Y

G'(l)

=

L kPk =

E{X}

k= 1

Otra vez, derivamos 3.10, y resulta: =

G"(s) =

L k(k -

l )i- 2 Pk

k= 2

luego

G"(s)

=

L ~i-2 Pk - L ki- 2Pk k= 2

k= O

lo que implica G" (1) = E{X 2} - E{X}. Puesto que G' ( 1) = E{X}, resulta E{X 2} = G"(I) +G'( I ) Y se tiene

a; = E{X 2} - (E{X})2 = G"(I) +G'(I) - [G'(1)]2

(3.11)

121

3.9 Modelos de distribuciones discretas EJEMPLO 3.10 Más arriba hemos encontrado que la función generatriz de una variable con distribución geométrica es

G(s) =

sp l - s(l - p)

Si derivamos una vez

G/ (s)

p(1 -s(l - p )) + sp (l- p) (1 - s( l - p )) 2

=

p

(l -s(1-p))2

y ponemos s = 1, resulta E{X} = G' (1) = 1/ p. Para calcular la varianza, derivamos otra vez:

G" (s)

y hacemos s

=

p( l - s( 1 - p))2 +2sp(1 - p)(1-s(1 - p )) (1-s(l- p))4 2p(1 - p) [1- s(l - p) ] (1 - s( l - p))4 2p(1-p) ( l- s( l - p))3

= 1, con lo que resulta G" (1) = 2( 1 - p) / p2. De lo anterior, se sigue: a; = G" (l ) +G / (1 ) - [G/ (1 )] 2

Basta reemplazar y simplificar, para obtener

3.9.

a; = ( 1 _ p) / p2.

•

Modelos de distribuciones discretas

En este apartado haremos un catálogo de las distribuciones discretas más importantes, razonaremos sus propiedades más notables y calcularemos sus momentos, bien directamente, bien gracias al método de la función generatriz. 3.9.1.

Distribución de Bernoulli

Su paradigma es lanzar una moneda y observar si ha salido cara o no. La variable X que indica si ha salido cara tiene distribución de BERNOULLI. Esta distribución sirve de modelo para cualquier circunstancia en la que, tras realizar un experimento aleatorio, sólo nos interesa saber si cierto suceso ha ocurrido o no. La función de probabilidad de la distribución de BERNOULLl depende de un-parámetro: la probabilidad p de que salga cara al lanzar la moneda. X tiene dos valores posibles, O y 1, Y está definida por las igualdades

P(X = O) = 1 - p ,

P(X

= 1) = P

(3.12)

122


Figura 3.9: Jacobo Bernoulli, nació en Basel (Suiza) en 1654, murió en Basel en 1705. Fue el primero de la gran familia BERNOULLl que se dedicó a las matemáticas. Enseñó mecánica en la univers idad de Base!. En 1713, ocho años después de su muerte, se publicó su trabajo más importante el Ars Conjectandi o Arte de la conjetura. En él, descubre los números que hoy llevan su nombre y da la primera justificac ión de la ley de regularidad de las frecuencias, a la que llamó ley de los grandes números, como hoy la conocemos.

-U'.

p

J.;

!1

~

En la figura 3.10 aparece representado el histograma de la función de probabilidad de BERNOULLl. El valor esperado de una variable con distribución de BERNO ULLI es igual a

E{X} = O·( I - p)+I·p=p

O

y su momento de segundo orden es

Figura 3.10

Se sigue que la varianza de una variable con distribución de parámetro p es igual a

(Ji = E{X 2} -

BERNOULLI

y

(E{X})2 = p(l- p)

Si consideramos la varianza como función de p , podemos calcular el valor que la hace máxima. Si f(p) = (J~ = p( 1 - p), se tiene:

!' (p)

= (1 -

p) - p = 1 - 2p

pero!, (p) = O implica p = 1/2. Puesto que!" (1/2) < O, resulta que el valor máximo de la varianza de una variable con distribución de BERNOULLI es f(I/2) = 1/4 y se alcanza cuando cuando los dos valores posibles de la variable tienen la misma probabilidad. La entropía de la distribución de BERNOULLI se calcula fácilmente, y es igual a

H (p) = - P log2 P - (1 - p) log2 (1 - p) Observemos que H (O) = H (1) = O. Esto es razonable, pues si p = OÓ P = 1, hay un caso que tiene probabilidad 1 de ocurrir: no hay incertidumbre y la entropía es cero. Por otra parte, H (p) es máxima cuando p = 1/2; este hecho también es razonable, aunque lo justificaremos numéricamente. Si calculamos H'(p) , resulta

123

3.9 Modelos de distribuciones discretas 1.25 1.00

H' (p) = - log2 P - 1 + g2 (1 - p) + 1

0.75

= - log2 P + log (1 - p)

0.5 0

l - p

0.25

=log2-P

Para que H' (p ) = O, tiene que ser (1 - p)/p = 1, es decir p = 1/2. Se comprueba que H" (1/2) > O, lo que implica que es un máximo.

3.9.2.

Distribución binomial

Su paradigma es el número de veces que sale cara al lanzar n veces una moneda que tiene probabilidad p de cara. La distribución binomial depende de dos parámetros, uno entero n, que indica el número de pruebas, y otro p, que es la probabilidad de éxito en cada prueba. En particular, si n = 1, coincide con la distribución de BERNOULLl. Una variable aleatoria, X, con distribución binomial de parámetros n y p tiene n + 1 valores posibles: O, 1, ... , n. En el apartado 2.9 (fórmula 2.21), razonamos que P(X = k) es igual a P(X = k) =

G)l(1- p)"-k,

para k = 0,1, . . . , n

(3.13)

La expresión 3.13 describe la distribución binomial de parámetros n y p. El gráfico de la figura 3.12 muestra el histograma de la función de probabilidad, para n = 6 Y P = 0.4. Observemos que las probabilidades P (X = k) 0.5

0.25

¡¡ji :;¡¡

mí .::':¡ :H~:

/

o

2

3

4

5

Figura 3.12: Histograma de la distribución binomial, n

6

= 6, p = 0.4

crecen hasta k = 2, donde alcanzan el máximo, y luego decrecen de manera monótona. Este comportamiento no es una casualidad, cualquier distribución binomial tiene una forma semejante. El valor más probable se denomina moda de la distribución. Para calcular la moda de la distribución

0.25

0.50

0.75

1.00

Figura 3.11: Gráfica de la entropía de la di stribución de BERN OU LLI

124


binomial general de parámetros n y p consideramos el cociente:

P(X = k) P(X=k-l)

n )l-l(1_p)n-k+l ( k-1 n- k+ l

k

p l-p

(3.14)

Si el cociente 3.14 es mayor que 1, las probabilidades crecen y se cumple

P(X > k) > P(X > k-l) . Si el cociente 3.14 es menor que 1, decrecen. Para que el cociente 3.14 es mayor que 1 sea mayor que 1, debe cumplirse (n - k + 1) p > k (1 - p), es decir p > k / (n + 1), o bien k < p (n + 1). Por ello, en el conjunto de valores k = 0,1, ... , lp(n+ l)J, donde lxJ es el mayor entero menor que x, las probabilidades son crecientes y a partir del primer k que cumple k/ (n + 1) ~ p, decrecientes. Si el producto p(n + 1) no es entero, la moda es: moda = lp(n + 1)J. Si p(n + 1) es entero, hay dos modas, dos valores con probabilidad máxima, que son p (n + 1) - 1 Y

p(n + l). Para calcular la esperanza y la varianza de una variable binomial, emplearemos el método de la función generatriz. La función generatriz de la binomial es igual a:

si recordamos la fórmula del binomio de

G(s) =

±

NEWTON 2,

se tiene

(n) (sp)k(l- p)n-k = (sp+ 1- pt

k= O

k

Como comprobación, comprobamos que se cumple G( 1) una vez, resulta G' (s) = np(sp + 1 - p )n- l y se tiene:

= 1. Si derivamos

E{X} = G'(l) = np Derivamos otra vez, y resulta G" (s) = n(n - 1 )p2(sp + 1 - P y - 2; se sigue:

(Ji = G"(I) +G'(I) -

[G'(I) ]2 = np(l- p)

(3.15)

En resumen. si X es una variable con distribución binomial de parámetros n y p, se tiene E{X} = np y = np(1 - p).

(Ji

2Recordemos que se cumple (a + b)" =

±(n)

k~O k

akb n - k

125

3.9 Modelos de distribuciones discretas

3.9 .3.

Cálculo de las probabilidades binomiales

Consideremos una variable, X, con distribución binomial de parámetros n y p. Si queremos programar el cá culo de la probabilidad:

no es recomendable, en general, a licar la fórmula:

n) n! ( k - k! (n-k)! ya que, salvo para pequeños valores de n, los valores de n! son tan grandes que producen overflow. Si n no es muy muy grande, es preferible aplicar un método recursivo, basado en el cociente 3.14, que permite poner: p n-k P(X=k+l)=- · _ · P (X = k ), 1- p k + 1

O '5. k

'5. n

(3.16)

Por ejemplo, supongamos n = 10 y p = 0.4. La recursión se pone en marcha con el cálculo directo de P (X = O) :

P (X = O) = (0.6 ) 10 ~ 0.00605 A partir de aquí se calculan las restantes probabilidades mediante la relación de recursión. Por ejemplo, los primeros cálculos son: 0.4 P(X = 1) = - . 0.6 0.4 PX=2 ( )= _· 0.6

10 1 9 ( _ · PX 2

- · P(X = O)

~

0.0403

= 1 )~ 0.1209

Así sucesivamente. Si p > 1/ 2, conviene hacer la recursión al revés, comenzando por k = n. 3.9.4.

Distribución geométrica

El paradigma de una variable aleatoria con distribución geométrica es lanzar repetidas veces una moneda hasta que sale la primera cara y contar el número de lanzamientos que ha sido Rreciso hacer.

X = "número de lanzamientos hasta que aparece la primera cara" De acuerdo con la definición de X, para que {X = k} ocurra deben salir k - 1 cruces consecutivas y luego una cara. Si la probabilidad de cara al tirar la moneda es p, se tiene

P(X = k) = p(l- p) k- l,

si k = 1,2,3, ...

(3.17)

126


0.25 0.2 0.15

lE

0.1

¡i!

0.05

¡II ¡l~

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

Figura 3.13:

En la figura 3.13 de muestra el histograma de la función de probabilidad de la distribución geométrica para p = 0.25. Al realizar cálculos con las distribuciones geométricas, en muchas ocasiones es preciso sumar una serie geométrica, recordemos que la fórmula de la suma de una serie geométrica de razón r es

f/=_r_ , k=l

válida si

1- r

Irl < 1

Por ejemplo, gracias a la fórmula anterior podemos comprobar que la suma de las probabilidades de la distribución 3.17 es 1: =

L P(X = k) = L (1- p )k- IP k=l

k=l

=-P_f(i _p )k 1 - P k=1

= _p_.l 1- P

p = 1

P

La distribución geométrica tiene una importante propiedad característica: carece de memoria. Para explicar lo que significa "carecer de memoria", hallaremos =

P(X > n) =

L

p(l- pl-l = (1 - p )n k=n+l Este cálculo se puede hacer mediante la suma de la serie geométrica, pero es más fácil razonar así: el suceso {X > n} ocurre si y solamente si los n primeros resultados de lanzar la moneda son cruz, lo que implica P(X > n) = (1 - p )n. De lo anterior, se sigue:

P(X = n+k) P(X = n + k IX> n) = ---":--:-::-::---:--'P(X > n) p ( l - p)n+k-l

(1 - p )n

= p(l- p)k- I


127

Es decir, se cumple P(X = n + k IX> n) = P(X = k). Interpretemos la igualdad anterior. Supongamos que el tiempo, X, que tarda en ocurrir un acontecimiento tiene distribución geométrica. Entonces, 5i. tras esperar n instantes, el acontecimiento no ha ocurrido, la probabilidad de que tengamos que esperar k instantes más es la misma que al principio. Si han transcurrido n instantes sin que ocurra el acontecimiento, todo vuelve ;] comenzar de nuevo y la distribución del tiempo restante es igual a la original. La distribución geométrica describe el tiempo hasta que ocurre un fenómeno sin envejecimiento, son fenómenos tales que saber que ha transcurrido mucho tiempo sin observarlo no hace más probable que ocurra pronto. Muchos fenómenos que tienen que ver con la electrónica siguen esta distribución. En el ejemplo 3.8, calculamos los momentos de la distribución geométrica. De acuerdo con los resultados obtenidos, se tiene E {X} = 1/ p y = 1 - p)/ p2.

al

3.9.5.

Distribución de Poisson

Una variable aleatoria tiene distribución de POISSON de parámetro}.. > 0, si su función de distribución es : }..k

P(X

= k) = e- A _

para k = 0, 1,2 ...

k! '

(3.18)

La ley de POISSON se observa en los procesos de desintegración radiactiva, en el tráfico telefónico, en las distribuciones de accidentes y, en general, cuando contamos cuántas veces ocurre un suceso poco probable en un intervalo de tiempo. Para calcular con probabilidades de POISSON es clave

Figura 3.14: Siméon Denis Poisson , nació en Pithiviers (Francia) en 1781 , murió en Sceaux (Francia) en 1840. Discípulo de LAPLACE y LAGRANGE. Fue profesor de la Escuela Politécnica y, en 1809, de la Facultad de Ciencias. En 1837 publicó una memoria titulada Recherches sur la probabilité des jugements en matiere criminelle et en matiere civile, donde aplicaba el cálculo de probabilidades al derecho. En ella, justificaba que la distribución, que ahora denominamos de POISSON , describe el número de veces que un suceso aleatorio ocurre en un intervalo de tiempo, cuando la probabilidad de que ocurra en pequeños intervalos es muy pequeña.

recordar el desarrollo en serie de la función exponencial:

=J<

¡f =

L -k l ' k=O .

-

00

00

128


Por ejemplo, la función generatriz es igual a: G(S)

=

Li

=

P(X

= k) = e-A

k= O

().)k L _S_,_ =

k=O

(3.19)

k.

luego se tiene: (3.20) De 3.20, se sigue G'(s) = ).eA(s-l), lo que implica E{X} = G' (l) derivamos otra vez, obtenemos G"(s) =). 2 eA(s-l) y resulta:

(Ji = G" ( 1) + G' ( 1) -

= A. Si

[G' (1)]2 = ).

Así, la distribución de POlSSON tiene la peculiaridad de que la esperanza y la varianza son iguales al parámetro.

3.9.6.

Cálculo de las probabilidades de Poisson

El cálculo de las probabilidades de la distribución de POlSSON se puede programar de manera recursiva, de esta manera evitamos el cálculo con factoriales. Si X es una variable con distribución de de parámetro ). > O Y hallamos el cociente entre dos probabilidades consecutivas de la distribución, resulta P(X=k+1) P(X = k)

e- A).k+lj(k+1)!

).

e-A).kjk!

k+1

(3.21)

Se sigue ).

P(X

= k+ 1) = - P ( X = k) k+l

(3.22)

La relación 3.22 permite calcular recursivamente las probabilidades a partir de P(X = O) = e-A. La figura 3.15 muestra el progreso de esa recursión en el cálculo de los primeros términos de la distribución de POlSSON con ). = 2. El histograma de la distribución de POISSON, para). = 2, aparece representado en la figura 3.16. La forma del histograma no es casual. En general, el histograma de una distribución de POlSSON tiene una serie de valores con probabilidades crecientes, hasta que alcanzan su máximo en el valor denominado moda. Desde ese punto, las probabilidades son monótonas decrecientes. La clave para encontrar la media es la relación 3.21. Si k + 1 o k > ). - 1, las probabilidades son decrecientes. Si k < ). - 1 las! probabilidades son crecientes. La moda se encuentra en el menor de los enteros no negativos k que cumplen k > ). - 1.

). "f

129


Cálculo recursivo de las probabilidades de POISSON

P(X P(X P(X P(X

= = = =

O) 1) 2) 3)

= = = =

e- 2

'"

2

¡P(X 2

"2P(X 2

3P(X

0.1353 =

O) '" 0.2707

=

1) '" 0.2707

=

2) '" 0.1804

=

3) "" O;?0902/ -

2

P(X

=

P(X

= 5) =

4)

=

r(X

5" P(X = 2

P(X

=

6)

=

(,P(X

P(X

=

7)

=

;¡P(X

P(X

3.9.7.

=

8)

2

=

5) '" .0120

=

6) "" 0.0034

=

7) '" 0.0004

2

=

SP(X

4) '" O.. 61

Figura 3.15: Para calcular las probabilidades de la distribución de POISSON, con A = 2, partimos del valor P(X = O) = e- 2 A continuación, cada paso es una aplicación de la fórmula de recursión 3.22. A partir de k = 9 las probabilidades son despreciables para el grado de precisión que nos hemos fijado. El procedimiento se programa fácilmente con un tiempo de ejecución proporcional a k.

La distribución de Poisson es límite de pruebas independientes

La distribución POISSON ha sido denominada la ley de los sucesos raros. Por ejemplo, el número de mutaciones que sufre una cadena de ADN sometida a radiación o el número anual de accidentes en un punto kilométrico son variables que se presentan distribución de POISSON. Un curioso ejemplo es el clásico trabajo del economista y estadístico ruso BORTKIEWICZ (1868-1931), donde demostraba que el número de soldados muertos por una coz de un caballo, en cada cuerpo de caballería del ejército prusiano, seguía una distribución de POISSON. En este apartado daremos una justificación formal a esas observaciones, demostrando que la distribución de 0.3

0.2

0.1

O

2

3

4

5

6

Figura 3.16: Distribución de Poisson (A = 2)

\ I

7

8


130

es distribución del número de veces que ocurre un suceso raro en un intervalo de tiempo dado. Supongamos que se trata de contar cuántas partículas a emite una fuente radiactiva en un intervalo de tiempo dado. Nuestro modelo de las emisiones se basa en tres hipótesis que, con palabras, enunciamos: POISSON

1. El número de partículas emitidas durante un intervalo de tiempo es independiente de las emitidas durante cualquier otro intervalo disjunto con el anterior.

(

/50'

2. Si el intervalo de tiempo que consideramos es suficientemente pela probabilidad de que se emita una partícula es, aproximadamente, proporcional a la longitud del intervalo.

3. Si el intervalo de tiempo que consideramos es suficientemente pequeño, la probabilidad de que se emitan dos o más partículas es despreciable. Formulemos con mayor precisión las hipótesis. Consideremos un intervalo de tiempo (O,t]; lo dividimos en dos intervalos, (O,t] = (O, t' ]U (t',t], 0< t' < t, la primera hipótesis garantiza que el número de partículas emitidas durante (t',t ] es independiente de las partículas emitidas durante (O,t']. En general, si dividimos (O,t ] en n subintervalos disjuntos, los números de partículas emitidas durante los subintervalos son independientes entre sí. Para formular con precisión las dos últimas hipótesis, conviene recordar una notación que introdujo LANDAU en 1909 y que se ha hecho indispensable en los análisis asintóticos, donde no interesa el detalle de la función sino su comportamiento límite. El símbolo o(h) se lee "o pequeña de h" y representa cualquier función que cumpla: lim o(h) h

h-> O

=

°

Una propiedad inmediata de esta clase de funciones es que la suma de funciones "o pequeña" de h es "o pequeña" de h. En efecto, dadas 01 (h) Y 02 (h), su suma cumple lim 01(h)+02(h) = 0 h

h->O

luego 01 (h) mula así:

+ 02 (h) =

o (h ). Con esta notación, la segunda hipótesis se for-

P( emitir una partícula durante (s,s + h ]) = Ah + o) (h) y la tercera hipótesis se expresa:

P (emitir dos o más partículas durante (s, s + h])

= 02 (h )


131

De lo anterior, se sigue que la probabilidad de no emitir partículas durante el intervalo ue tiempo ~s,s + hJ es: P(no emitir partículas durante (s,s + h]) = 1 - Ah -

01

(h) -

02 (h)

=l-Ah-o(h) _-\hora, dividamos

intervalo en n subintervalos de longitud 1/ n:

como se muestra en la figura 3.17.

o Figura 3.17: intervalo dividido en n subintervalos de longitud I / n

Designemos por X el número total de partículas emitidas durante el in tervalo (O, t l. Sea A¡ el suceso "durante Ii se emite más de una partícula", para 1 ::; i ::; n, y sea Bn es suceso "en algún subintervalo se emite más de una partícula". Resulta evidente que Bn = Al UA2 U·· · U A n y se tiene:

Ahora, por la tercera hipótesis P(A¡) =

02 (t /

n) y se sigue:

lo que implica:

(3.23) Ahora, para cada k, se cumple:

{X = k} = [{X = k} n B~] U [ {X = k} n Bn] pero P( {X = k} n Bn) ::; P(Bn) ---+ O. Por otra parte, para que ocurra el suceso {X = k} n B~ se tienen que emitir k partículas y no puede haber más de una emisión por subintervalo, luego debe haber k sub intervalos en los que se emita una partícula y n-k intervalos sin emisión. Esto tiene una probabilidad igual a:

132


Si sacamos factor común número binomial, resulta:

ti n

en el primer corchete y desarrollamos el

P({X = k}nB~) = n(n - I) . .. (n-k + l)l(J. k!n k Si n

---f 00,

+ o¡(tln))k(l _ At ln_o¡(tln))"-k t In

se cumple:

. n(n-l) ... (n-k+l)t k hm k 11 -> = k! n

tk k!

lim (A + o¡(tln))k =A k ti n

11->=

y "- k

lim n~oo

(

l-Atln-o¡(tln)

Por lo tanto, cualquiera que sea k entero, k

)

~

= e-Al

O se tiene

y

lim P(X

n-t oo

= k) = lim P( {X = k} nB~) + lim P( {X = k} nB n---too

n ---t oo

I1 )

= n---t= lim P( {X = k} n B~) (At)k -At =--e k!

(3.24)

que son las probabilidades de la distribución de POISSON. Debemos hacer notar que el cálculo anterior no justifica que las partículas emitidas por la masa radioactiva se ajuste al modelo de POISSON. El ajuste es una cuestión empírica, observable. Lo que demuestra es que si las hipótesis del modelo son aceptables en la práctica, necesariamente, el número de partículas emitidas será de POISSON.

!


Ejercicios del capítulo 3 Ejerc' io 3.1 Lanzamos cuatro veces una moneda que tiene probabilidad p de cara y consideramos la variable aleatoria:

x = "número de rachas que aparecen" 1. Mediante un diagrama semejante al de la figura 3.1 , representar la aplicación X: (1 f---4 R. Hallar la función de probabilidad de X y representarla mediante un diagrama de barras. 2. Calcular E {X} . Ejercicio 3.2 Tomamos 4 cartas de una baraja española; consideremos la variable aleatoria X definida por

X = "número de oros entre las cuatro cartas". 1. Hallar la función de probabilidad de X y calcular E {X}. 2. Descomponer X como suma de variables, cada una con distribución de BERNOULLI.

Ejercicio 3.3 Lanzamos un dado dos veces. Hallar la función de probabilidad de la diferencia entre el primer resultado y el segundo. Calcular el valor esperado de esa diferencia y su varianza. Ejercicio 3.4 Lanzamos un dado dos veces. Designemos por XI y X2 los resultados del primer y segundo lanzamiento, respectivamente. Sea X el mayor de los resultados obtenidos,

1. Representar el histograma de la función de probabilidad de X y calcular su valor esperado E {X}. 2. Si A = {XI = 2}, hallar la distribución de la variable condicionada

X

lA.

Ejercicio 3.5 Un canal de transmisión está formado por una fuente que emite dígitos binarios y un receptor. Debido al ruido del canal, hay una probabilidad p de que ocurra un error en la transmisión de cada dígito: si se emite O, se recibe 1 y, si se emite 1, se recibe O. El error se produce con independencia de lo que haya ocurrido en los dígitos emitidos antes.

(

133

134

Variables aleatorias discretas 1. Si emitimos un mensaje con n dígitos, ¿qué distribución tiene la variable X = "número de dígitos recibidos con error"? ¿Cuánto vale E{X}?, y ¿(Ji? 2. Si emitimos dígitos consecutivamente, ¿qué distribución tiene la variable y

= "número de dígitos emitidos hasta el primer error"?

¿Cuánto vale E{Y}?, y ¿(Ji? Ejercicio 3.6 Volvamos a considerar el canal de transmisión del ejercicio anterior. Para tratar de reducir el número de errores, empleamos el siguiente sistema de codificación: cada dígito del mensaje a transmitir se codifica por un "paquete" de tres dígitos iguales; cada paquete recibido se descodifica asignándolo al dígito más frecuente . Por ejemplo, para transmitir un 1 del mensaje, se codifica mediante el paquete 111, que se emite. El ruido del canal produce errores en la recepción de cada dígito del paquete, de modo que el receptor puede recibir uno de los ocho paquetes siguientes: 111, 110, 101,011, 100,010,001 ó 000. El receptor entiende que se ha querido transmitir el dígito que aparece más veces en el paquete. Si recibe 110, lo descodifica por 1; si se recibe O1O, lo descodifica por O.

1. Hallar la probabilidad de que haya un error en la transmisión de un dígito. 2. Estudiar, en función de p, si el método es o no ventajoso. Ejercicio 3.7 Hallar la moda de la distribución de POISSON de parámetro A. Ejercicio 3.8 Lanzamos n veces una moneda que tiene probabilidad p de cara. Consideremos las variables X = "número de caras obtenidas" e y

= "número de caras obtenidas" - "número de cruces obtenidas"

1. Expresar Y en función de X.

2. Aprovechar la relación anterior para calcular la función generatriz de Y. Calcular E {Y} Y (Jf. Ejercicio 3.9 Cuatro bolas se colocan al azar en tres urnas, describir la distribución de la variable X

= número máximo de bolas que hay en alguna urna

y hallar E{X} .


135

Ejercicio 3.10 a población está formada por N individuos. Cada individuo posee una car cteóstica medible (variable estadística). El valor que presenta la variable en el individuo i es Xi. Con esta notación, el valor medio de la variable estadística en la población es: 1 N

x= -

N

LXi i= !

De la población anterior se eligen al azar k individuos sin reemplazamiento (muestra aleatoria) y se calcula el valor medio de la variable en la muestra. Hallar el valor esperado del valor medio de la muestra. Ejercicio 3.11 Lanzamos tres veces una moneda que tiene probabilidad p de cara. Consideremos la variable aleatoria X definida por: X = "número de caras que aparecen después de la primera cruz" Por ejemplo, si el resultado de los lanzamientos es @@@, entonces X = 1; si el resultado de los lanzamientos es @@@, entonces X = O. 1. Representar el histograma de la función de probabilidad de X. Calcular E{X} y

(ji.

2. Hallar el valor de p que hace máxima E{X}. 3. Plantear una ecuación recursiva para calcular E{X} en caso general que la moneda se lanzara n veces. Ejercicio 3.12 Permutamos al azar los números 1, 2, 3 Y4. Diremos que un número está in variado si ocupa la misma posición que en el orden natural de los números. Por ejemplo, en la permutación 1342 sólo el 1 está in variado. Otro ejemplo, en la permutación 2134, hay dos números invariados, el3 yel 4. Designemos por X4 el número de números invariados que hay en nuestra permutación aleatoria. Hallar la función de probabilidad de X4. Calcular E {X4}. Si Xn es el número de números invariados cuando permutamos 1, 2, ... , n, calcular P(Xn = O). Ejercicio 3.13 Colocamos al azar 4 bolas en 3 urnas; es decir, cada bola se coloca en una urna elegida al azar, con independencia de las urnas elegidas para las bolas colocadas anteriormente (ver, ejemplo 3.3). Sea X(4 ,3) el número de urnas vacías. Hallar la función de probabilidad de X (4,3 ) Y calcular E{X (4,3)}. Más general, calcular P(X(n,m) = O) Y la función de probabilidad de X (n, m).

(

136

Variables aleatorias discretas Ejercicio 3.14 Una urna contiene 2 bolas azules y 3 bolas rojas. Extraemos sucesivamente bolas sin reemplazamiento. Por cada bola azul que aparece, el jugador recibe una unidad monetaria; por cada bola roja, paga una unidad monetaria. Evidentemente, si se extraen todas las bolas, el juego es perjudicial para el jugador. Supongamos que el juego puede detenerse cuando el jugador quiera. ¿Hay alguna estrategia que permita asegurar que, en media, el juego es provechoso para el jugador? ¿Cuál sería la estrategia óptima? Ejercicio 3.15 Ana elige un número al azar entre 1 y 10, y Belén trata de adivinarlo, formulando preguntas con respuesta binaria (sÍ o no) a Ana. Supongamos que Belén formula preguntas del tipo "es el número k", k = 1, 2, . .. , 10, hasta que la respuesta es sí. Sea X el número de preguntas que ha formulado ; hallar la función de probabilidad de X y calcular E {X}. Hallar otra estrategia, mediante preguntas de respuesta binaria, que permita adivinar el número con un promedio menor de preguntas.

137


Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 3.1 La variable X puede tomar los valores 1, 2, 3 ó 4. Es una variable aleatoria discreta. La figura 3.18 representa el diagrama

@l@l@l@ @@l@l@l @@l@@ @@@@ @@@@ @@@@

@l@@l@ @@l@@ @@@@ @@@@ @@@@ @@@@ @l@@l@ @@l@©J

@l@l@l@l @@@@ 2

3

Figura 3.18: Variable X

4

= número de rachas

de la aplicación. Bueno, el diagrama no es muy convencional. Para ahorrar flechas, hemos dibujado una por cada preimagen. Calcular la función de probabilidad supone hallar P(X = k), para cada posible valor k; hay que sumar las probabilidades de cada suceso elemental que compone que el suceso {X = k}. Así, obtenemos

P(X

=

1) =p4 +( I_p)4 ,

P (X = 2) = 2p3(1- p) +2p2(1- p)2 + 2p(1- p)3, P(X = 3) = 2p:( 1- p ) +2p2(1- p )2+ 2p (l- p )3, P(X = 4) = 2p2(1 - p)2. Y, tras simplificar, resulta

P(X = 1) = p4 + (1- p )4, 2p(l- p)(p2 + 1 - p ),

P(X

=

2)

P(X

=

3) = 2p(l - p)(p2 + 1- p),

P(X = 4) A partir de la función de

=

=

2f(1 - p )2 .

probab~dad anterior, calculamos la esperanza

138


matemática de X 4

E{X} =

L kP(X = k) k= 1

=

p4 + (1 - p)4 + lOp ( l - p)(p2 + I _ p) + 8p2(1- p)2

Consideremos el caso particular p = 1 /2; la función de probabilidad de X es y la figura 3.19, muestra el histograma de la función de probabilidad de X. 0.375

0.375

Función de probabilidad de X

P(X = 1) = 0.125

\;H

P(X = 4) = 2

3

ft =0.125

-& = 0.375 P(X = 3) = -& = 0.375

P(X = 2) =

0.125

ft = 0.125

4 Figura 3.19

La esperanza matemática de X es es igual a

E{X} = 0.125·1 + 0.375·2 + 0.375·3 + 0.125·4 = 2.500. Solución del ejercicio 3.2 La variable X puede tomar los valores O, 1, 2, 3 Y 4. Calcularemos la probabilidad de que tome cada uno de esos valores, para hacerlo emplearemos el modelo estático. El número de casos posibles es (;¡», tantos como subconjuntos distintos de 4 elementos tiene el conjunto de las 40 cartas de la baraja. Favorables aX = O hay e~) casos, tantos como subconjuntos distintos de 4 elementos tiene el conjunto de las cartas que no son oros. Por ello, tenemos

e~)

P(X = O) = (~O) ~ 0.300. Hay (\0) e30) casos favorables a X = 1, tantos como maneras de elegir un oro (un subconjunto de un elemento del conjunto de 10 oros) multiplicado por el número de maneras de elegir un subconjunto de 3 cartas que no sean oro~ (un subconjunto de 3 elementos del conjunto de 30 cartas que no son oro~), lo que implica \

139


Favorables a X = 2 hay (12°) e20) casos, tantos como maneras de elegir dos oros (un subconjunto de 2 elementos del conjunto de 10 oros) multiplicado por el número de maneras de elegir un subconjunto de 2 cartas que no sean oros (un subconjunto de 2 elementos del conjunto de 30 cartas que no son oros); se sigue

De manera similar, obtenemos

y

P(X = 4) =

C1) ~ O003 (~)

.

Un buen ejercicio es comparar este resultado con la aplicación del método dinámico, es decir, cuando se supone que las cartas se toman sucesivamente. A partir de la distribución de X podemos calcular el valor esperado de X siguiendo la definición. 4

L kP(X = k),

E{X} =

k=O

que, aproximadamente vale

E{X}

~

0.300 · O+ 0.444· l + 0.214·2 + 0.039·3 +0.003 · 4 = 1.001.

Para calcular su valor exacto, debemos operar con los números combinatorios y simplificar con cuidado, el resultado exacto es E {X} = l. Un método alternativo para calcular el valor esperado consiste en descomponer la variable como suma de otras más simple, este método se desarrollara más tarde. La variable X se puede descomponer en suma de cuatro variables. Esta descomposición será útil más adelante, ya que es la clave para un método muy eficiente y sencillo de calcular la esperanza. Para llegar a la idea que está detrás de la descomposición basta preguntarse ¿cómo programar una función que calcule el número de oros entre las cuatro cartas obtenidas? Una respuesta es definir la función lógica: [es oro] (carta) = {

~

si carta es oro si carta no es oro

y poner: X

= [es orol( carta 1) + [es

~O] (carta2) +

+ [es oro] (carta 3) + [es oro](carta4).

140


Entendiendo que al operarlas con +, el lenguaje considera los valores lógicos como números. La función lógica que hemos definido es aleatoria, ya que es el Azar quién determina su valor cuando decide la carta que aparecerá. Cada sumandos es una variable de BERNOULLI, ya que sólo puede tomar los valores O ó 1. En el Cálculo de probabilidades, la notación tradicional para la descomposición anterior es: X

= IA¡ +IA2 + IA3 + fA 4

donde IA¡ es la variable que indica (variable indicadora) si la carta i-ésima es o no un oro. 1 = A¡

1 si la carta i-ésima es oro { O si la carta i-ésima no es oro.

Las cuatro variables tienen distribución de BERNOULLI, con igual parámetro. Podemos comprobar que su función de probabilidad común es

P(IA¡ = 1) =

1

4'

P(IA¡ = O) =

3

4'

Solución del ejercicio 3.3 Sean Xl y X2 los resultados obtenidos en el primer y segundo lanzamiento, respectivamente. El valor esperado de las diferencia, D = X¡ - X2, es igual a

E{D}

=

E{X¡ -X2}

=

E{X¡} -E{XÚ

Como X¡ y X2 tienen la misma distribución, también tienen la misma esperanza, se cumple E{X¡} = E{X2} y resulta E{D} = O. Por otra parte, las variables Xl y X2 son independientes, se tiene (J5 = + = ~.

(J;¡ (J;2

Solución del ejercicio 3.4 Consideremos el espacio muestral, O, de los pares posibles de resultados de ambos lanzamientos.

En total hay 6 x 6 casos posibles. Cada caso tiene la misma probabilidad, 1/36, de ocurrir. La variable X es una función definida sobre O. Por ejemplo, X (~8) = 3, X ( ~ ~) = 4 YX (~ ~ ) = 5. Para calcular la función de probabilidad de X debemos hallar P(X = k), k = 1, 2, ... ,6. Los casos favorables a cada suceso {X = k} se cuentan fácilmente gracias al cuadro de la figura 3.20. Si recontamos los casos favorables a cada valor, obtenemos \

1 P(X=1)=3 6 ' 7 P(X = 4) = 36'

3 P(X = 2) = 36' 9 P(X = 5) = 36 '

P(X

5

= 3) = 36'

11 P(X = 6) = 36'

141


l

2

3

4

5

6

1 r-I- : 2 : 3 : 4 : 5 : 6

Xl

2 13 14 15 16 1 1 3 14 15 16 1 --- 4 4 4 4 4 15 16 ---- -- ~ 1 5 5 5 5 5 5 16

2

2

3

3

Figura 3.20: En el cuadro se indican los valores de X para los 36 resultados posibles de lanzar dos veces el dado. En el margen de la izquierda aparecen los 6 resultados posibles del primer lanzamiento y, en el margen superior, los 6 resultados posibles del segundo. El interior del cuadro tiene 36 posiciones, una para cada par (Xl = i,X2 = j ) de posibles resultados. En cada posición se ha escrito el valor max(i, j ) que es el valor que toma X en ese caso.

-- " 3

---- -- --

6

6

6

6

6

6

6

0.306

2

3

4

6

5

Figura 3.21:

La figura 3.21 nos muestra el histograma de la función de probabilidad de X. Para calcular la esperanza de X aplicamos su definición 6

6

2k- l

E{X} = k~~kP(X = k) = k~ k~ 161

= 36 ~ 4.472. 2. Primero, veremos una solución directa. Si el resultado del primer dado es 2, entonces X = max(2,X2) y X = 1 tiene probabilidad cero. Para que ocurra X = 2, el resultado del segundo dado tiene que ser 1 ó 2, lo que implica

Para que ocurra X = 3, el resultado del segundo dado tiene que ser 3 y obtenemos

P(X = 31 A\ = P(X2 = 3) =

~.

/

142


De manera semejante se calculan: P(X

l

= 41 A) = P(X = 5 1A) = P (X = 61 A) = 6'

La función de probabilidad de la variable condicionada se resume en las fórmulas 2

p (X=2I A)=6 ' P(X

l

= k 1 A) = 6' para k = 3, ... ,6.

(3.25)

Observemos que en esta solución hemos planteado, directamente, el espacio muestral que resulta de condicionar junto con la probabilidad condicionada. Otro camino es seguir la definición de probabilidad condicionada. De este modo, la probabilidad condicionada se calcula a partir de la probabilidad sin condicionar. P(X - 21 A) _ P( {X = 2} nA) _ _ P~(X_=,.-----:.2,_X~]=,------'--2) P(A ) P(X] = 2) .

Las probabilidades del numerador y denominador se calculan en el espacio de los pares de resultados de los dos dados . Así, obtenemos P(X

= 2,X]

2

=

2) = P( ~ c:J, ~¡:] ) = 36

y

P (X¡ = 2)

= P(~c:J, ~¡:], ~IZJ, ~~, ~~, ~[U]) = 36 6

El resultado es: P(X

= 21 A)

= 2/36 =

~

6/36 6 De manera similar calcularíamos las restantes probabilidades.

Solución del ejercicio 3.5 1. Preguntarse por la distribución del número, X, de errores al emitir un mensaje de n dígitos equivale a preguntarse por la distribución del número de caras que aparecen al lanzar n veces la moneda, luego se trata de una distribución binomial con parámetros p y n, y se tiene E{X} = np y = np(l - p).

0'1

2. Emitir dígitos consecutivamente y contar cuántos se han emitido hasta el primer error, equivale a lanzar la moneda hasta que sale una cara y,~ tar cuántos lanzamientos se han hecho; la distribución de Y es geomrrica de parámetro p, y se tiene: E {Y} = 1/ P y O'f = (1 _ p) / p2. ( !.

\

143

Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 3.6

1. Supongamos que queremos transmitir un 1. Emitiremos 111. Para que haya un error, se tiene que recibir bien la secuencia 000, lo que tiene probabilidad p3 de ocurrir, o alguna de las secuencias 001, 010, 100, lo que tiene probabilidad 3 p2 (1 - p ) de ocurrir. Así, resulta: P (error en la transmisión de un dígito)

= p3 + 3p2 ( 1 - p) = p2(3 - 2p)

2. El método de codificación anterior tiene inconvenientes técnicos, ya que triplica la cantidad de dígitos a emitir, lo que implica que cada transmisión ocupa tres veces más ancho de banda. Nosotros lo discutiremos, exclusivamente, desde el punto de vista probabilístico. Nuestro interés es averiguar si al aplicarlo reducimos significativamente la probabilidad de error. La figura 3.22 muestra la gráfica de h. Observamos que h(p) es posi1.00

0.75

0.50

0.25

- 0.25

Figura 3.22

tiva si O < P < 1/2 y negativa si 1/2 < p < 1. Empezamos a comprender que esta codificación no es tan buen procedimiento como podía parecer a primera vista. Incluso, es peor que no codificar cuando p es relativamente grande. Consideremos las funciones f(p) = p y g(p) = p2 (3 - 2p). La primera es la probabilidad de error sin codificar y, la segunda es la probabilidad cuando codificamos con el método del enunciado. Para que esta codificación sea efectiva, debe cumplirse g(p) < f(p), o bien p(3 - 2p) < 1, lo que equivale a 2p2 - 3p + 1 > O. La función h(p) = 2p2 - 3p + 1 es una parábola que tiene sus ceros en p = 1 Y P = 1/2. En la figura 3.23 se representan, simultáneamente, las funciones f y g. Se aprecia que, en el intervalo O < p < 1/2, g se encuentra por debajo de f. La impresión que produce la gráfica es que la mejora no es muy grande. Para apreciar más

144


1.00 . . . , - - - - - - , - - ---,---------,-----::;>.."

0.75

0.50

0.25

0.50

0.25

0.75

1.00

Figura 3.23:

esa mejora debemos estudia el incremento relativo, esto es

r(p) = p~g(p) = 1 ~3p+2p2 P

que coincide con la función h representada en la figura 3.22. Se aprecia que el incremento relativo aumenta al disminuir p.

Solución del ejercicio 3.7 Debemos calcular el valor de k que hace máxima la probabilidad P(X = k). Para ello calculamos el cociente

P(X = k) P(X = k~ 1)

.le k

La moda será el valor de k tal que .le / k ~ l Y .le / (k + 1) ::; 1. Es decir, el entero k tal que

k ::; .Ie < k+1

Solución del ejercicio 3.8 1. El número de cruces obtenidas es igual a n ~ X, luego Y = 2X

~

n.

2. Apliquemos las propiedades de la esperanza matemática de una función, en particular una función lineal (apartados 3.5 y 3.5.1). X tiene distribución binomial de parámetros n y p , su función generatriz es s) = (ps + 1 ~ p)n (apartado 3.7.2). En particular, G ' (1) = np y Gil (1) = n( n - l )p2.

Ge

145

Soluciones de los ejercicios De acuerdo con la definición, la función generatriz de Y es igual a:

H(s) = E{sY}

= E{S2X-n} = E{S- nS2X} =

por ser Y

S- nE{S2X}

= 2X -

n

por las propiedades de la esperanza

= S- nE{ (S2l} .-\hora, si G(s) = E{.0'}, entonces E{ (s2)X} = G(s2) , lo que implica H(s) = s-Il G(s2 ). A partir de esta expresión podemos calcular las derivadas sucesivas de H.

H'(s)

=

-ns-(n+l lG(s2) +s- n2sG'(s2)

= - ns- (n+llG(s2) +2s- (n-llG'(s2) luego

E{Y}

H'(l)

=

=

-nG(I) + 2G' ( I)

=

n(2p -1)

Este resultado era de esperar, ya que se cumple E {Y} = 2E {X} - n = 2np (ver 3.5.1). De manera similar, pero con más paciencia, se calcula H" (1) y. gracias a ella, = 4np( 1 - p).

11

(Ji

Solución del ejercicio 3.9 Pongamos que Xi es el número de bolas que hay en la urna i, entonces X = max(X 1 ,X2,X3). Evidentemente, X sólo toma los valores 2, 3 Y 4. Para que X = 4, las cuatro bolas deben estar en una urna, lo que tiene probabilidad 3/3 4 de ocurrir (hay 3 maneras de elegir la urna ocupada y sólo una manera de colocar las cuatro bolas en ella). Para que X = 3, hay 3 maneras de elegir la urna que contendrá tres bolas y 2 maneras de elegir la urna que contendrá una bola; luego, hay 4 maneras de colocar las bolas en las urnas elegidas, tantas como modos de elegir, entre cuatro, la bola que pondremos en la urna que sólo contendrá una.

3 ·2·4 P(X=3)=--y¡ Por último, la probabilidad de X = 2 se calcula por diferencia:

P(X

=

2 2) = l - P(X = 3) - P(X = 4) = 3

Sin dificultad, se calcula E{X}

= 64/27.

Solución del ejercicio 3.10 Designemos por Xj, 1 .:; j .:; k, el valor que tiene el j-ésimo individuo de la muestra. Xj es un valor escogido por el

146


Azar, es una variable aleatoria. La media de la muestra es igual a X = ~ I,1=1 Xj. El valor esperado de la media de la muestra es igual a: 1

k

E{X} = - L E{X¡} N j=l La distribución de Xj es:

P(Xj = Xi) =

1

N'

para cada i, 1 ::; i ::; N

Este resultado siempre sorprende. Todas las Xi tienen la misma distribución aunque la extracción sea sin reemplazamiento. La justificación no es complicada; hay N(N - 1) .. . (N - k + 1) muestras distintas (casos posibles); mientras que el número de casos favorables es igual al de muestras tales que Xj = Xi; esto es (N - 1) (N - 2) ... (N - k + 1). Se sigue que el valor esperado de X j es igual a:

lo que implica

_

1

k

1

N

E{X} = - LE{X¡} =E{X¡} = - LXi Nj=l

Ni=l

Solución del ejercicio 3.11 El método más elemental es escribir todos los casos posibles y hacer los recuentos pertinentes. Consideremos como espacio muestral, O, el formado por los 23 resultados posibles de lanzar tres veces la moneda. Sobre cada elemento de O, X toma un valor. Por ejemplo, X (@@@) = 1. La variable X es discreta y puede tomar los valores O, 1 ó 2. La figura 3.24 muestra la composición de cada uno de los sucesos de la forma {X = k}, junto con la probabilidad de cada suceso simple. Basta sumar las probabilidades de los sucesos simples, para obtener la función de probabilidad P (X

= O) = p3 + p2 (1 -

p) + p (1 - p )2 + ( 1 - p? '

P(X = 1) = p2(1 _ p) +2p(1 - p)2 = p(l- p)(2- p) P(X = 2) = p2(1- p).

147


x

=0

X=2

X= 1

~~~

p3

~®~

p2(1 _ p)

~~®

p2(1 _ p)

®®~

p(1_p)2

~®®

p(1_p)2

®~®

p(1-p)2

®®®

(1- p)3

®~~

p2(1 _ p)

Figura 3.24:

Por su parte, E{X} es igual a 2

E{X} =

L kP(X = k) k=O

= P (1 - p) (2 - p)

+ 2p2(1 -

p)

=

p (1 - p) [2 - P + 2p1

=p(1-p)(2+p). De manera semejante, calcularemos E{X 2 }.

E{X 2} =

2

L k2 P(X = k) k=O

= p(l- p)(2 - p) +4p2(1 - p) =p(1-p)(2+3p). Por último, obtenemos la varianza de X,

2. Calcular el valor de p que hace máximo el valor esperado es un problema rutinario de Cálculo infinitesimal. Para resolverlo, recordemos, hay que estudiar la función j(p) = p(l - p) (2 + p) = 2p - p2 - p3, con O:::; P :::; 1. Sabemos que j alcanza su valor máximo absoluto en algún punto ya que es continua en un intervalo cerrado y, dado que es derivable en todos los puntos, ese máximo absoluto de la función forzosamente pertenece a alguno de los conjuntos siguientes: • el conjunto de puntos del intervalo que son singulares (aquéllos que cumplen J' (x) = O), • el conjunto de los extremos del intervalo en que está definida. Para hallar los puntos singulares, calculamos la derivada

J'(p) = 2 - 2p-3 p2.

148


X4

1234 1324 1342 1423 1243 1432

X4

4 2 2 1 2 2

2134 2143 2314 2341 2413 2431

Al resolver la ecuación fl (p)

PI

=

X4

X4

2

3124 3142 3214 3241 3412 3421

O

1 O O

1

4123 4132 4213 4231 4312 4321

1 O

2 1 O O

= O, obtenemos dos raÍCes reales

- 1+3 v7 ~ 0.549,

P2 =

- 1- v7 3

~

- 1.215.

La raíz PI pertenece al intervalo [0,1] mientras que P2 no. Dado que f" (PI) < O, el punto PI es un máximo relativo. Para saber donde está el máximo absoluto, debemos comparar f(PI), con f(O) y con f(1)· Como f(PI) ~ 0.631 Y f(O) = f(1) = O, resulta que PI es el máximo absoluto de la función. 3. Designemos por X n al "número de caras que aparecen después de la primera cruz" cuando lanzamos n monedas. Pongamos J.1n = E{Xn}. Ahora, lancemos la moneda por primera vez, si sale cara, es como si el experimento comenzara de nuevo, lanzando la moneda n - 1 veces y el número esperado de caras que aparecerán después de la primera cruz es J.1n - l; si sale cruz, es como contar el número de caras que aparecen en n - 1 lanzamientos de una moneda, así que esperamos obtener (n - 1) P caras. Así, resulta

J.1n = pJ.1n-1

+ (1- p)(n -

l)p

con la condición inicial J.11 = O. Solución del ejercicio 3.12 Primero, resolveremos el problema mediante simples recuentos. Hay 4! = 24 maneras de ordenar los cuatro números. En la tabla siguiente aparecen esas permutaciones, junto con el número de números invariados que hay en cada permutación. Ahora, el cálculo de la función de probabilidad de X4 se reduce a un simple recuento. Por ejemplo, hay 9 casos favorables a X4 = O, luego se tiene

P(X4

=

O)

9 4!

=-

De manera similar, obtenemos 8 P(X4 = 1) = 4!'

1 P(X4 = 4) =4!

O

1 1 2 O O

149


A partir de la función de probabilidad, calculamos la esperanza matemática. 861 E{X4 } = 1· - + 2· - + 4· - = 1 4! 4! 4! El método del recuento tiene un alcance muy limitado. Para responder a la segunda pregunta tenemos que emplear métodos más generales. Observemos que Xn = O supone que ningún número está en su posición; esto es, el suceso XI1 = Ose puede interpretar como es una intersección de n sucesos o como el complementario de una unión. Si ponemos que A¡ es el suceso "el número i está invariado", entonces se tiene

o bien

Cabe intentar el cálculo por medio de la fÓllliula de inclusión-exclusión. P(Xn

= O) =

1 - P(A¡ UA2 U · ·· U A n )

= 1 - LP(A¡)

+ LP(A¡nAj) ¡i j

L

p(A¡ n AjnA k )+···

¡i j#

Este procedimiento tiene éxito porque las probabilidades de la forma P (A¡), P (A¡ n A j ) , etc., son todas fáciles de calcular. Por ejemplo, para que ocurra A¡, el número i debe estar en su posición y los restantes n - 1 números pueden estar permutados de cualquier manera; hay (n - 1)! casos favorables v se tiene P(A¡) = (n-1 )! =

n!

~ n

De manera similar, si i i- j, para que ocurra A¡ nA j , los números i y j deben estar en su posición, mientras que los restantes n - 2 números pueden estar permutados de cualquier manera. p(A¡nAj) =

Un caso más, si i

(n - 2)! 1 n.

n(n-1)

i- j i- k, se tiene

.-\sí sucesivamente, hasta P(A, n A2 n· ·· n A n )

1

=-

n!

150


Si reemplazamos lo anterior en la fórmula de inclusión-exclusión, resulta 1 (n) 1 n (n) 1 P(Xn=O)=I - ( n) -+ _···+( - 1 )1 n 2 n(n -1) n n! 1 1 1 (-ly = 1- - +---+··· + - l! 2! 3! n!

Es interesante observar que la suma anterior converge hacia e- l ; es decir, si n es grande, se tiene P(X" = O) ~ e-l .

Solución del ejercicio 3.13 Hay maneras de colocar cada bola, luego son 3 x 3 x 3 x 3 = 81 casos. La variable X (4, 3) puede tomar los valores 0, 1 Y 2. El recuento de casos no es difícil. Hay 3 casos favorables a X (4,3) = 2, ya que todas las bolas tienen que estar en una urna. Hay 36 casos favorables a X (4,3) = 0, ya que tiene que haber 2 bolas en una urna y 1 bola en cada una de las urnas restantes. La urna que tiene 2 bolas se puede elegir de (i) maneras, las bolas que hay en esa urna se pueden elegir de (i), y las 2 bolas restantes se pueden colocar en las dos urnas que quedan de (7) maneras. Así el número de casos es:

G) G) G)

= 36

Por último, hay 81 - 3 - 36 = 42 casos con X (4,3) = 1; este recuento también se puede hacer directamente. La función de probabilidad de X (4,3) es

P(X(4,3) = O) =

~~,

P(X(4,3) = 1) =

42

81'

P(X(4,3) = 2) = :1

y la esperanza de X (4,3) vale

E{X(4 3)} ,

=

36 81

42 81

3 48 =81 81

O· - + 1· - +2 · -

Este método elemental no sirve para calcular P(X(n,m) = O). El problema recuerda al anterior de los números invariantes en una permutación. Para que X (n, m) = 0, todas las urnas tienen que estar ocupadas; es decir, el suteso {X(n,m) = O} es el contrario de "alguna urna está vacía". Si designamos por A¡ al suceso "la urna i-ésima está vacía", resulta

Así, podemos aplicar la fórmula de la probabilidad de la unión para calcular esta probabilidad.

P(X(n,m) = O) = 1- ¿P(A¡) + ¿P(A¡ nA j ) + ... ¡,¡. j

(3.26)

151

Soluciones de los ejercicios Ahora, el suceso A¡ es "la urna i-ésima está vacía"; este suceso tiene (m 1Y casos favorables, ya que las n bolas tienen que estar colocadas, de cualquier manera, en las restantes m - 1 urnas. Se sigue

m - l)"

P(A¡) = ( --;;:;-

De manera semejante, podemos razonar que

siiO/=j, ya que, si i 0/= j , A¡ n A) tiene (m - 2)" casos favorables, tantos como maneras de colocar n bolas en m - 2 urnas. Si reemplazamos en 3.26, resulta

1) + (m)2 (m--;;:;- 2)

P(X(n,m) = O) = l- ( m) 1 (m --;;:;-

n

n

_ .. . (3.27)

Por ejemplo, como comprobación, si en esta expresión hacemos m = 3 y = 4, obtendremos la probabilidad 36/81 que ya obtuvimos por recuento directo de casos. La expresión 3.27 admite otra interpretación que nos será útil en el razonamiento final de este ejercicio. Si disponemos de m urnas y n bolas , el número No (n , m) de maneras de colocar las bolas en las urnas de modo que ninguna urna esté vacía es 11

No(n ,m) = m"P(X(n,m) = O) = m/l_

(7) (m-l)"+(;)(m-2)" -...+(-I)m -¡(m:I)1/l

La fórmula para calcular No(n,m) nos abre un camino para calcular, mediante un razonamiento directo, la función de probabilidad de X (n ,m). Por ejemplo, supongamos que queremos calcular P(X( n,m ) = 1). La única urna que va a estar vacía puede ser elegida de (7) maneras. Una vez hecha esta elección, las restantes urnas tienen que estar todas ocupadas; el número de casos favorables es igual al de colocar n bolas en m - 1 urnas de manera que ninguna quede vacía; es decir, es No (n, m - 1). Así, obtenemos P (X (n, m )

~o (n, m-l)

= 1) = -'-'-'--'--mil.- - -

Solución del ejercicio 3.14 Consideremos como casos posibles todas las sec uencias formadas por dos letras A, que representan a las bolas azules, y tres letras R, que representan a las bolas rojas. En total hay = 10 secuencias, cuatro que comienzan por A y seis que comienzan por R y que

G)

152


hemos podemos representar en la tabla siguiente.

AARRR ARARR ARRAR ARRRA

RAARR RARAR RARRA RRAAR RRARA RRRAA

No es muy difícil razonar cuál debe ser la estrategia óptima, la idea es intuitiva y contiene el germen de lo que se denomina principio de la programación dinámica de RICHARD BELLMAN. Comenzaremos a razonar por el final. Supongamos que la primera letra es A y que hemos sacado cuatro bolas. Ahora, tenemos que decidir si sacamos otra bola o no. Si la cuarta bola es A, entonces la quinta bola sería R y no tenemos nada que ganar, luego pararíamos el juego. Si la cuarta bola es R, el valor esperado de continuar es -1, ya que hay tres secuencias que cumplen esas condiciones:

AARRR ARARR ARRRA dos terminan en R y una en A. Este razonamiento nos demuestra que, si la primera bola es A, en ningún caso conviene sacar la quinta bola. Sigamos hacia atrás. Si la primera letra es A y la tercera es A, no conviene extraer la cuarta bola. Si la primera es A y la tercera es R, tampoco conviene extraer la cuarta, ya que la ganancia esperada de extraer otra más es - l. Estos razonamientos, aplicados reiteradas veces, nos demuestran que la siguiente estrategia es la mejor entre las posibles: • Si la primera bola es azul, se para el juego. • Si la primera bola es roja, se extrae otra bola. • Si la segunda bola es azul, se para el juego. • Si la segunda bola es roja, se extrae otra bola. o Si la tercera bola es azul, se extrae otra bola.

<> Si la cuarta bola es azul, se para el juego. ~ Si

o

la cuarta bola es roja, se extrae otra, que será azul. Si la tercera bola es roja, se extraen las dos que quedan, que serán azules.

Con esta estrategia de parada, la ganancia G obtenida por el jugador puede tomar los valores 1, O Y - 1. No es difícil calcular la función de probabilidad deG. 2 2 1 P(G = 1) = S' P(G=O)=S' P(G=-I) = -5 Con lo cual, E {G} = 1/5 y el juego es ventajoso para el jugador.

153

Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 3.15 Con la primera estrategia, la probabilidad de que Belén adivine el número con una pregunta es 1/10, ya que es igual a la probabilidad de que el número elegido sea el 1; la probabilidad de que adivine el número con dos preguntas es 1/10, ya que es igual a la probabilidad de que el número elegido sea el 2; así, sucesivamente. Sólo hay una diferencia cuando formule la novena pregunta, ¿es 9?, ya que tanto si le dicen que sí como que no, habrá adivinado el número. La función de distribución de X es

P(X = l) = O.l

P(X=2) = 0.1

P(X=3)=0.1

P(X = 4) = 0.1

P(X = 5) = 0.1

P(X = 6) = 0.1

P(X = 7) = 0.1

P(X = 8) = 0.1

P(X = 9) = 0.2

El número medio de preguntas que necesita hacer es: 1 10

1 10

1 10

2 10

E{X} = 1· - +2· - +···+8· -+9· - =5.4" La mejor estrategia es formular preguntas que descarten, en cadil caso, a la mitad de las alternativas, si el número de estas es par, o la parte entera de la mitad, si es impar. En nuestro problema, si designamos por x el número elegido, el esquema de preguntas sería: ¿Es x E {l, 2, 3,4, 5}? Sí ¿Esx E {l, 2}? Sí ¿Es x = 1? No ¿Esx E {3, 4}? Sí ¿Esx= 3? No x = 5 No ¿Es x E {6, 7}? Sí ¿Es x = 6? No ¿EsXE{8,9}? Sí ¿Es x = 8? No x= 10 Con este esquema, la probabilidad de tener que preguntar 3 veces es 6/10, y la probabilidad de preguntar 4 veces es 4/10. El número medio de preguntas precisas es 3.4.

4 Vectores aleatorios discretos

4.1.

Paradigmas

En este capítulo estudiamos los vectores (XI ,X2,' .. ,Xn ) de variables aleatorias discretas definidas sobre un mismo espacio de probabilidad (O,P). Un vector aleatorio es el modelo del experimento que consiste en medir simultáneamente varias magnitudes en un mismo elemento, por ejemplo, con la intención de analizar si están relacionadas de alguna manera. Un paradigma de este concepto es lanzar dos dados y cuando hemos obtenido un resultado, observamos la variable X, "número de resultados pares" que han aparecido, y la variable Y, "máximo de los resultados". El par (X, Y ) es un vector que observamos sobre cada resultado de lanzar los dos dados. Se trata de un vector aleatorio, cuando el Azar determina el resultado de lanzar los dos dados está determinando el valor de (X,Y). Cada resultado posible produce un par de números o vector bidimensional. Por ejemplo, si sale 3 en el primer dado y 2 en el segundo, se tiene X = l e Y = 3. De manera general, la interpretación del modelo es: el Azar escoge un elemento ro perteneciente al espacio muestral O ; como consecuencia, observamos el vector (X (ro ),Y (ro)). El concepto de vector, llevado al límite, conduce a una sucesión XI , X2, ... , de variables aleatorias. Por ejemplo, una sucesión {Xi}¡: l' sirve de modelo al experimento que consiste en producir, ilimitadamente, dígitos al azar. Un paradigma de sucesión aleatoria es el experimento que consiste en lanzar una moneda una y otra vez, sin término. Cuando sale cara, anotamos l y, cuando sale cruz, O. El resultado de cada lanzamiento se modela por una variable aleatoria, Xk, y la sucesión ilimitada de resultados por la sucesión de variables {Xk}, definidas sobre un mismo espacio de probabilidad. La diferencia teórica entre el modelo de los vectores aleatorios y el de las sucesiones de variables aleatorias es lograr una justificación de la existencia de ese espacio común sobre el que estén definidas todas las v~les. En el caso de los vectores, la justificación es casi inmediata. En el de las sucesiones, es un problema bastante más difícil, que los matemáticos han sido capaces de resolver.

156

Vectores aleatorios discretos

4.2.

Distribución conjunta de un par de variables aleatorias

Consideremos un par de variables discretas (X, Y) definidas sobre el espacio de probabilidad (O,P). El conjunto de probabilidades:

p(i,j) = P(X = i,Y = j),

iEX(O) , jEY(O)

(4.1)

se denomina función de probabilidad conjunta de X e Y. La función de probabilidad conjunta describe los valores posibles de (X ,Y) y la probabilidad con que ocurre cada valor posible, es la manera más simple de definir la distribución conjunta de (X ,Y). Un conjunto o matriz de números (p(i , j)), i E X (O), j E Y (O), define una distribución conjunta si cumple las condiClOnes: 1. p(i,j) ~ O. 2.

L L

p(i,j) = 1.

iEX(O) j EY(O )

EJEMPLO 4.1 Lanzamos tres veces una moneda equilibrada. Cualquier resultado posible de este experimento es una terna ú) = ( Z\ ,Z2,Z3), donde Z¡ = o 3 Z¡ = ® . El espacio muestral O está formado por 2 = 8 casos posibles y cada uno tiene probabilidad 1/8. Consideremos las variables :

©J

x = "número de caras en los dos primeros lanzamientos" y = "número de caras en los dos últimos lanzamientos"

Los valores que pueden tomar X e Y son X (O) = {O, 1,2} e Y(O) = {O, 1,2}. Para definir la distribución conjunta de X e Y debemos hallar todas las probabilidades de la forma P (X = i,Y = j) , donde O <:::: i,j <:::: 2. Por ejemplo, para que X = O e Y = 1, tiene que ocurrir que salga y se tiene: 1 P(X = O,Y = 1) = P(®®©J ) = "8

®®©J,

{©J®©J,®©J®},

Otro ejemplo, se tiene {X = I,Y = 1} = luegoP(X = 1,Y = 1) = 2/8. Con un poco de paciencia, se calcula P(X = i,Y = j), para cada par posible (i, j). U na buena manera de expresar el resultado es mediante la tabla siguiente: Y=O

Y=l

Y = 2

X=O

1/8

1/8

O

X= l

~

2/8

1/8

1/8

1/8

X= 2

O

Cada entrada de la tabla es una probabilidad p(i, j) . Observemos que se cumplen p(i,j) ? O Y L¡,j p(i,j) = 1. •

157

4.3 Cálculo con la función de probabilidad conjunta

4.3.

Cálculo con la función de probabilidad conjunta

Para poder dar una fónnula general para calcular la probabilidad de un suceso a partir de la función de probabilidad conjunta, necesitamos mejorar nuestra notación. Observemos que cualquier suceso definido por medio de condiciones impuestas a las variables X e Y puede ponerse de la fonna:

{w; (X(w),Y(w)) E B} donde B es un subconjunto de R 2 • Por ejemplo, el suceso {X = i,Y = j} es el suceso simple que impone a X la condición de valer i, y a Y la de valer j. Este suceso se puede poner como {X = i,Y = j} = {(X,Y) E B}}, donde B = {(i,j)}.

Otro ejemplo, el suceso {X > Y} se puede poner como {(X,Y) E B}, donde B e R 2 es el subconjunto definido por B = { (x, y) ; x > y}. Para simplificar la notación, en lugar de poner

{w; (X(w),Y(w)) E B} escribiremos {(X ,Y) E B}. La distribución conjunta de (X ,Y) pennite calcular la probabilidad de cualquier suceso definido por condiciones sobre X e Y, mediante la suma de Pí.j extendida a todos los pares (i, j) que cumplen la condición impuesta.

P((X,Y)

E

B) =

L

P(X = i,Y = j)

(4.2)

(í.j) EB

EJEMPLO 4.2 Si (X,Y) son las variables del ejemplo 4.2 anterior, para calcular la probabilidad de {X > Y}, sumamos todas las probabilidades, Pi,;, con i > j.

P(X luego P(X

4.4.

> Y) = P(X = I,Y = O) + P(X = 2,Y

> Y)

= O) + P(X

= 2,Y = 1)

•

= ~.

Distribuciones marginales

Un caso particular de la fónnula 4.2 es el cálculo de P(X = i). Ahora, la condición impuesta a las variables es que X tome el valor i, mientras que y puede tomar cualquier valor. De la fónnula general, se sigue:

L

P(X = i)=

P(X=i,Y=j),quadiEX(o.) ~

j EY(O)

De manera similar, se calcula:

P(Y = j) =

L íEX(O)

P(X = i,Y = j),

j E Y (O.)

158

Vectores aleatorios discretos El conjunto de valores {P(X = i)}iEX(O), define la distribución unidimensional de X. De igual manera, el conjunto de valores {P(Y = j) }¡EY(O) define la distribución unidimensional de Y. Si la distribución conjunta está definida por una tabla, la probabilidad P(X = i) es la suma de las probabilidades de la fila i-ésima. Resulta muy cómodo anotar su valor al margen derecho de la tabla. Por su parte, la probabilidad P(Y = j) es la suma de las probabilidades de la columnna j-ésima y resulta cómodo anotar su valor en el margen inferior de la tabla. Por esta razón, cuando se maneja la distribución conjunta de un vector, se acostumbra denominar marginales a las distribuciones unidimensionales de sus componentes. EJEMPLO 4.3 Consideremos un vector aleatorio (X,Y) cuya distribución conjunta está dada por la tabla 4.1. Como hemos observado, P(X = i) es la suma de Y=O

Y=1

Y =2

X=O

1/6

1/6

1/6

3/6

X=1

O

O

1/6

1/6

X=2

1/6

O

1/6

2/6

2/6

1/6

3/6

Tabla 4.1:

las probabilidades de la fila i-ésima. De manera similar, P(Y = j) es la suma de las probabilidades de la columna j-ésima. En el margen derecho de la tabla, hemos añadido la columna:

3/6 1/6 2/6 que es la distribución unidimensional de X. En el margen inferior, hemos añadido la fila:

2/6 que es la distribución marginal de Y.

1/6

3/6

•

La distribución conjunta determina las distribuciones marginales. El recíproco no es cierto. Sólo con la i~mación de las distribuciones marginales no podemos reconstruir la distribución conjunta, ya que ésta contiene información acerca de la co-variación o variación simultánea de X e Y que no está contenida en las marginales. Por ejemplo, la tabla 4.2 define una distribución conjunta distinta de la definida por la tabla 4.1, pero ambas tienen las mismas marginales.

159

4.5 Valor esperado de una función f(X,Y )

y =o

y = 1

Y=2

X=O

1/6

O

2/6

3/6

X= 1

1/6

O

O

1/6

X =2

O

1/6

1/6

2/6

2/6

1/6

3/6

Tabla 4.2:

4.5.

Valor esperado de una función f(X ,Y)

Por extensión del caso unidimensional, la esperanza matemática de una función de f (X ,Y ) se define por:

L L

E{f (X ,Y)} =

f(i,j) P(X = i,Y = j )

(4.3)

iEX (O ) jEY (O )

Por ejemplo, si la distribución conjunta de X e Y está definida por la tabla 4.2 y f(X ,Y) = IX - YI, se tiene: 2

E{IX -YI} =

2

L L li - j IP(X = i,Y = j ) ;= Oj=O

1

2

1

= 10 - 01-+10- 21- + 11- 01- + 666

1

1

6

6

+1 2- 11-+ 12 - 21 = 1

Si la función f (X ,Y) depende sólo de una variable, por ejemplo si f(X ,Y ) = : \" . la esperanza calculada con la fórmula 4.3 coincide con la esperanza de :.l misma función calculada respecto de la distribución marginal de la va:13ble. Por ejemplo, si f(X ,Y) = h(X), el cálculo mediante la distribución ~ ünjunta es:

L

E{h(X)} =

L

h(i)P(X = i,Y = j )

iEX (O ) JEY (O )

:.

~i

sumamos en j, resulta:

E{h (X)} =

L iEX(O )

=

L iEX (O )

h(i) [

L

P(X =

JEY (O )

h(i) P(X = i )

i~ j )]

160

Vectores aleatorios discretos que es la fónnu]a para calcular E {h (X)} mediante la distribución marginal

deX

4.6.

Esperanza de la suma de dos variables

= X +Y

El caso f(X,Y) neral, se sigue:

tiene un interés especial. De la definición ge-

L L

E{X+Y} =

(i+j)P(X=i,Y=j)

iEX(O )jEY (O )

Lo v~rd~deramente interesante es la propiedad que se sigue de reordenar los tennmos: E{X+Y} =

L L

iP(X =i, Y = j )+

iEX (O ) JEY(O )

=

L

i

L

P(X

= i,Y = j ) +

iEX(O ) JEY (O )

=

L

L L

jP(X = i,Y = j)

iEX(O) j EY (O )

iP(X = i) +

L

j

L

P(X

= i,Y = j)

JEY(O ) iEX(O )

L

jP(Y = j)

JE Y(O )

iEX(O )

=E{X} +E{Y}

(4.4)

Ésta es una propiedad de la máxima importancia: cualquiera que sea la distribución conjunta de X e Y, la esperanza de su suma es igual a la suma de las esperanzas. Por inducción, la propiedad anterior se extiende a las sumas de n variables.

Propiedad 4.1 Cualesquiera que sean las variables XI , X2 , ... , Xn , se cumple:

Cuando una variable aleatoria admite una descomposición como suma de otras más sencillas, esta propiedad proporciona un buen método para calcular esperanzas matemáticas. EJEMPLO 4.4 Esperanza de una variable binomial. Como sabemos, el paradigma de una variable binomial de parámetros n y p es lanzar n veces una moneda que tiene probabilidad p de cara y considerar la variable X definida por "número de caras que aparecen". En el ejemplo 3.1 , razonamos que X se puede descomponer como suma de n variables ~doras:

X = lA, + lA2+ .. · + lA" donde Ak es el suceso "el lanzamiento k-ésimo resulta cara". Por la propiedad de la esperanza de la suma, se tiene:

E{X}

=

E{lAI} + E{lAJ + ... + E {lA,.}

Ahora, E{IA, } = p eAk) = p. Se sigue E{X} = np, como ya habíamos demostrado en el apartado 3.9.2. •

161

4.7 Covarianza de dos variables

4.7 .

Covarianza de dos variables

La covarianza entre X e Y es un parámetro que mide la variación conjunta (la ca-variación) de X e Y. Se define como la esperanza de la función:

f(X,Y) y se suele designar por O"X,Y

=

(X -E{X})(Y -E{Y})

O"x ,Y .

= E{(X - E{X})(Y -E{Y})}

La covarianza entre X e Y permite medir hasta qué punto podemos estimar y mediante una función lineal de X. Con más precisión, el coeficiente:

se denomina coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación es un número comprendido entre - 1 y 1, -1 :::; PX ,Y :::; 1 y, cuanto mayor es PX.Y 1, mejor se puede estimar el valor de una variable mediante una función lineal de la otra. Si PX ,Y = 0, las variables se denominan incarreladas.

4. 8. h

Propiedades de la esperanza matemática

La esperanza es un operador lineal. Si X, Y son variables aleatorias y a, son números reales, se cumple:

E{aX +bY} = aE{X} +bE{Y} siempre que E{X} y E{Y} sean finitas. Esta propiedad permite realizar :nuchos cálculos de manera simbólica, mediante el operador E, lo que hace :nás claros los razonamientos. Como ejemplo vamos a hallar una fórmula j ril para calcular la covarianza, semejante a la que sirve para calcular la " m anza. Para seguir la demostración basta tener en cuenta que la esperanza ;eS un operador lineal, que E{X} es un número y que E{l} = 1. O"x ,Y

=E{(X - E{X})(Y -E{Y})} = E{XY -XE{Y} - YE{X} +E{X}E{Y}} = E{XY} - 2E{X}E{Y} + E{X}E{Y} = E{XY} - E{X}E{Y}

(4.6)

:.....,. expresión o"x,y = E{XY} -E{X}E{Y} es más útil que la misma defi--.l-:-ión para calcular la covarianza.

162


4.9.

Distribuciones condicionadas

Consideremos la probabilidad del suceso X

= x condicionada por Y = y:

P(X =x I y =y) = P(X =x,Y =y) P(Y = y) Si x varía enX(O) mientras que y está fijo, tenemos un conjunto de probabilidades que definen la distribución de X cuando se sabe que Y ha tomado el valor y.

P(X =x I y =y) = P(X = x,Y =y) xEX(O) P(Y = y) ,

(4.7)

Esta distribución se denomina distribución de X condicionada por Y = y . Con símbolos, se pone distribución de X I y = y. Para cada y E Y (O) hay una distribución condicionada. La expresión 4.7 también tiene una interpretación dinámica:

P(X= x, Y = y) = P(Y =y)p(X =xI Y = y)

x E X(O)

(4.8)

que nos presenta el modelo como resultado de dos sorteos. Primero, sorteamos el valor de Y conforme a la distribución marginal y, luego, sorteamos el valor de X conforme a la distribución condicionada por el valor que ha tomado Y. Esta interpretación dinámica tiene importancia ya que es un método muy simple para definir modelos. EJEMPLO 4.5 Consideremos dos variables X e Y con distribución conjunta dada por la tabla 4.3. Para calcular la distribución de X y = 2 hay que calcu-

I

y = 1

X= - l

Y=2

Y =3

0.1

0.2

0.1

0.4

X=0

O

0.1

0.2

0.3

X= I

0.1

0.2

O

0.3

0.2

0.5

0.3

Tabla 4.3:

I

I

lar las tres probabilidades condicionadas P(X = - 1 y = 2), P(X = O y = 2) Y P(X = 1 y = 2). Este proceso se hace de una manera casi automática, como se • muestra en la tabla 4.4.

I

EJEMPLO 4.6 Consideremos una variable aleatoria X con distribución binomial, de parámetros n = 2 Y P = Y, donde Y es otra variable aleatoria con distribución: 1

P(Y = 0.25 ) = P(Y = 0.5 ) = P(Y = 0.75 ) = 3

163

4.10 Variables independientes

y =2

X= -1

0.4

X=O

0.2

X = 1

0.4

Tabla 4.4: Para calcular la distribución de X I y = 2 dividimos cada una de las probabilidades de la segunda columna de la tabla de la distribución conjunta (tabla 4.3) , por la probabilidad P (Y = 2) = 0.5 que encontramos en el margen inferior de la tabla 4.3. Por ejemplo, para calcular P(X = - 1 I y = 2) dividimos 0.2 entre 0.5 , el resultado es 0.4.

Estos datos definen la distribución conjunta de X e Y. Por ejemplo, se tiene:

P(X = 1,Y = 0.25) = P(Y = 0.25)P(X = 1 I y = 0.25) =

~ G)0.25. 0.75

y permiten calcular la probabilidad de cualquier suceso. Por ejemplo, la probabilidad de X = 1 se calcula: 5

L

P(X=I)=

y=O.25 ,O.S ,O.7S

P(Y=y)p(X=IIY = y) = 12

.

Observemos que este modelo es el resultado de dos sorteos. Primero se escoge la probabilidad p, mediante un sorteo uniforme entre los números 0.25 , 0.50 Y 0.75. Luego, se sortea el valor de X conforme a una ley que depende del valor de p ~~.

La esperanza matemática de la distribución de X I y = j se denomina esperanza de X condicionada por Y = j, se simboliza por E{X I y = j} y se calcula mediante la expresión: E{X I y

= j} =

L

iP(X

= i I y = j)

(4.9)

i EX(!1 )

La esperanza condicionada es una herramienta fundamental en el Cálculo de probabilidades. Su misión es del tipo divide y vencerás, ya que reduce el problema a otros menores más fáciles de calcular. En los apartados 4.16 y 4.17 aplicaremos la esperanza condicionada para desarrollar dos importantes métodos de cálculo.

4.10.

Variables independientes

Si se cumple la condición: P(X

=

i,Y

= j) = P(X =

i)P(Y

= j),

los sucesos {X = i}, {Y = j} son independientes. Si, además, la condición anterior se verifica para todo i E X ([)) y todo j E Y ([)), diremos que X es independiente de Y. La independencia de dos variables significa que conocer el valor que Y ha tomado no altera la distribución de probabilidad de X. La condición de

164

Vectores aleatorios discretos independencia del variables, como la de sucesos, es simétrica: si la variable X es independiente de Y, también Y es independiente de X. Por ello, se define: Definición 4.1 Dos variables aleatorias X, Y definidas sobre un mismo espacio de probabilidad son independientes si se cumple:

= i,Y = j) = P(X = i)P(Y = j ),

P(X

(4.10)

para cada par i E X (n), j E Y (n). La independencia de X e Y es una condición sobre su distribución conjunta.

La independencia de las variables suele ser una hipótesis previa, impuesta por la naturaleza del experimento en consideración. Gracias a ella podemos reconstruir la distribución conjunta sin más información que las marginales de X e Y. Por ejemplo, si X e Y son variables con distribuciones respectivas: 2

l

P(X

= 0) = 4' P(X= I )=4' P(X

=

2)

1

(4.ll)

=-

4

y

P(Y

1 P(Y = 2) = -

1

= 0) = 4'

4

(4.12)

Sin más información, no es posible conocer la distribución conjunta de X e Y, ni calcular las probabilidades conjuntas, por ejemplo P(X = I,Y = O), ya que hay muchas distribuciones conjuntas que tienen como marginales las distribuciones dadas. Sin embargo, si conocemos que las distribuciones y=o

Y= 1

Y=2

X=O

1/16

2/16

1/16

1/4

X= 1

2/16

4/16

2/16

1/2

X=2

1/16

2/16

1/16

1/4

1/4

1/2

1/4

Tabla 4.5:

marginales de X e Y están dadas por 4.11 y 4.12, Y que son independientes, sólo puede haber una distribución conjunta que cumpla ese requisito: la que aparece en la tabla 4.5 , ya que para cada i, j debe cumplirse: P(X

= i,Y = j) = P (X = i)P(Y = j)

EJEMPLO 4.7 Si A Y B son dos sucesos independientes, sus variables indica= lA e Y = lB , también lo son. Las variables indicadoras sólo toman los

doras, X

165

4.10 Variables independientes \ alares O Y 1. Para probar que X e Y son independientes, debemos justificar que cumplen la igualdad 4.10 para los cuatro pares de valores posibles del par (x,y). Las cuatro comprobaciones son parecidas. Basta tener que en cuenta que si A y S son independientes, también los son A y B C , AC y S, Y AC y BC • Por ejemplo, se cumple: {X = I,Y = 1} =A n B y. por ser A y B independientes, tenemos:

P(X = 1,Y = 1) =p(An B) =P(A)P(S) =P(X = l )P(Y = 1) Los restantes casos se comprueban de manera semejante.

•

La condición de independencia de dos variables implica una propiedad, aparentemente, más general: si dos variables X e Y son independientes, también son independientes los sucesos {X E A} Y {Y E B}.

Propiedad 4.2 Si A Y B son sucesos y X e Y son independientes, entonces se cumple: (4.13) P(X E A,Y E B) = P(X E A)P(Y E B) Con otras palabras, si X e Y son independientes, cualquier suceso definido por una condición sobre X es independiente de cualquier suceso definido por una condición sobre Y. EJEMPLO 4.8 Ana lanza un dado y Belén otro. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana obtenga más de 2 puntos y que Belén obtenga más de 4? Si X e Y son las respectivas puntuaciones obtenidas por cada una de ellas, postulamos que X e Y son variables independientes. La independencia de las variables es una hipótesis derivada de las condiciones del experimento. En particular, la independencia de X e Y supone que los sucesos {X > 2} e {Y > 4} son independientes, ya que el primero está definido mediante una condición impuesta a X y el segundo mediante una condición impuesta a Y. Se cumple:

P(X > 2,Y > 4) = P(X > 2)P(Y > 4) = Por el contrario, los sucesos {X

422

6' 6 = 9

> 2} Y {X + Y > 4} no son independientes:

23 P(X > 2,X +Y > 4) = 36

i

P(X > 2)P(X +Y > 4) =

4 15 18

6'

Esto no contradice la afirmación anterior, ya que {X + Y > 4} no está definido, exclusivamente, por una condición sobre Y sino por una condición sobre ambas variables y depende del valor que toma X. •

La propiedad anterior nos lleva más lejos. El suceso {X 2 ::; 4} está definido por una condición sobre X, pero también se puede interpretar como un suceso definido por una condición sobre una función de X. Basta poner f(x) =x2 para tener {X 2 ::; 4} = {f(X) ::; 4}. Con esta interpretación, la propiedad 4.2 se formula como sigue:

Propiedad 4.3 Si X e Y son dos variables independientes y f y g son dos funciones, las variables f(X) y g(Y) son independientes.

166


4.11.

Conjuntos y sucesiones de variables independientes

La intuición nos señala que la variables, XI, X2, ... , Xn, serán independientes si conocer los valores que han tomado algunas, no modifica la distribución de las restantes. Si las variables Xl, X2, ... ,Xn son independientes, cada par de variables del conjunto también lo serán, este modo particul ar de independencia se denomina dos a dos, definido en 4.1. Sin embargo, que las variables sean independientes dos a dos no implica que sean independientes en conjunto. Para precisar este concepto, examinemos el ejemplo siguiente. EJEMPLO 4. 9

Lanzamos un dado dos veces; consideremos los sucesos: A = "la suma de los resultados es 7"

B = "el primer resultado es 3"

e=

"el segundo resultado es 4"

y las variables X = l A, Y = lB , 2 = l e . No es difícil comprobar que, dos a dos, son independientes: las variables X e Y son independientes, lo mismo que los pares X ,2 y2,Y. Pero, conjuntamente, las tres variables no son independientes, ya que si conocemos el valor de dos de ellas, el valor de la tercera está determinado. Por ejemplo, si X = 1 e Y = 1, es seguro que 2 = l. •

Para lograr una definición de la independencia de varias variables acorde con la intuición, ponemos: Definición 4.2 Las variables XI, X2, ... , Xn, son independientes si se veri-

fica: 11

P(X I = XI,X2 =X2" ",Xn = Xn) =

TI P(Xk =Xk)

(4.14)

k=1

cualesquiera que sean Xk E Xk(O), 1 :S k:S n. Esta noción tiene una fácil extensión a las sucesiones infinitas, con lo que logramos nuestro primer objetivo de dar sentido a un modelo que genere una sucesión ilimitada de números aleatorios. Definición 4.3 Las variables de una sucesión {Xn } ;;'=1 son independientes

si las variables de cualquier subconjunto finito 10 son. EJEMPLO 4.10 Consideremos una serie ilimitada de lanzamientos de una moneda. Cada vez que sale cara anotamos 1 y cada vez que sale cruz anotamos O. Este proceso es el paradigma de una sucesión de variables aleatorias discretas independientes. Conocer el res ultado de una serie de lanzamientos no modifica la distribución de los restantes. Por ejemplo, si X k es el resultado del lanzamiento k-ésimo, la

167

4.12 Esperanza del producto de variables independientes

variable Y: Y = "número de caras en los n primeros lanzamientos" =X¡ +X2 + ... +Xn

es independiente de la variable Z: Z = "número de caras entre el n + 1 Y el 2n lanzamiento" = Xn+l + X n+2 + ... +X2n

Otra consecuencia: la serie de los lanzamientos impares {X2k-l}, es una sucesión ilimitada de lanzamientos independientes. Por 10 tanto, es una réplica probabilística • de la serie total.

4.12 .

Esperanza del producto de variables independientes

Sumas y productos no conmutan, una suma de productos no es el producto de las sumas. Este hecho implica que, en general, la esperanza del producto de dos variables no es igual al producto de las esperanzas. Sin embargo, si dos variables, X e Y, son independientes, la esperanza y el producto de las variables conmutan y se verifica

E{XY}

=

E{X}E{Y}

este hecho tiene gran importancia y se justifica sin dificultad:

E{XY}=

L

L

xyP(X = x,Y = y)

XEX(O)yEY(O)

L

L

xyP(X = x)P(Y = y)

XEX(O)yEY(O)

La expresión anterior puede ser simplificada. Si separamos los factores que dependen de x y los que dependen de y, resulta:

E{XY} =

L

= E{Y}

L

xP(X = x)

XEX(O)

yP(Y = y)

yEY(O )

L

xP(X

=

x)

XEX(O)

= E{X}E{Y}

(4.15)

Esta propiedad tiene versiones más generales. Si X e Y son variables independientes y f y g son funciones, las variables f(X) y g(Y) son indepen¡entes, y se cumple:

E{f(X)g(Y)}

=

E{f(X)}E{g(Y)}

(4.16)

-iempre que las esperanzas tengan sentido. La propiedad anterior sigue ,iendo válida en el caso de n variables independientes:

168


Propiedad 4.4 Si Xi, 1 ::; i ::; n, son independientes y Ji, 1 ::; i ::; n, son funciones, las variables f¡ (Xi) son independientes y se cumple: k

k

E{TIJi(X¡)} =

TI E {f¡ (Xi)}

(4.17)

;= 1

i=1

siempre que todas las esperanzas tengan sentido.

4.13 .

Varianza de la suma de variables independientes

Si X e Y son independientes con varianzas finitas, la varianza de X + Y es + Justificar esta afirmación no es difícil (ver ejercicio 4.4). Una versión más general de esta propiedad es la siguiente: si Xi, 1 ::; i ::; n, son independientes y tienen varianzas finitas , se cumple:

a; ai-

2

2

aX, +X2+·+ X" = ax,

2 + aX2 + ... + ax"2

Esta fórmula, aparentemente simple, tiene una importancia capital en Estadística. Consideremos n variables XI, X2, . .. , Xn independientes que tienen la misma varianza a 2 , como ocurre cuando hacemos pruebas repetidas de un mismo experimento. Sea X la media de las variables: XI +X2 +··· + Xn X = --'----=----n

De la propiedad de la varianza de la suma de variables independientes, se sIgue: 2

ax, +X2+ .+ x" = na

2

Como consecuencia, X tiene una varianza igual a: (4.18) Esto es, la varianza de la media de los resultados disminuye hacia cero conforme aumenta el número de pruebas repetidas. Así, la media de los resultados de una serie de pruebas repetidas, X, es variable aleatoria, pues depende de los resultados que aparezcan, pero su distribución está más y más concentrada alrededor del valor medio del experimento, conforme aumenta el número de repeticiones. Esto hace posible estimar ese valor medio con una precisión razonable, sin más que realizar un número suficiente de pruebas.

4.14.

Desigualdad de Chebyshev

La probabilidad de que una variable X tome valores muy diferentes de su media se puede acotar en términos de la varianza de X. Esta observación

169

4.1 4 Desigualdad de Chebyshev

Figura 4.1: Pafnuty Lvovich Chebyshev, nac ió en Okatovo (Rusia) en 1821 , murió en San Petersburgo en 1894. Estudió cómo se distribuyen los números primos entre los enteros posit ivos. Demostró la conjetura de BERTRAND , al probar que siempre hayal menos un número primo entre n y 2n . Sus trabajos permitieron a HADAMARD y D E LA VALLÉ POU SS I N probar que el número de primos menores que n es de orden ni Inn.

:Jene su origen en las investigaciones de CHEB YCHEV sobre la distribución .Y números primos. Pongamos 11 = E{X} y consideramos la suma que ,H 1 ne O'l:

L

(x - I1)2P (x = x) = O'l

XEX (O )

eremos estimar la probabilidad de que X tome valores más alejados de

:3media 11 que un número a > O, es decir, la probabilidad del suceso de la :onna IX - 111 > a. Decimos "estimar" porque no trataremos de evaluarla :,'\actamente, sino de tener infonnación sobre su orden de magnitud. La :j ca de C HEBYSHEV fue descomponer la suma en dos , de una parte los , umandos correspondientes a las x tales que Ix - 11 1es mayor que a y, de :>tra parte, los restantes.

L

(x - I1)2p(X=x) +

Ix- ,ul >a

L

(x - I1)2 p (X = x) = 0';

(4.19)

Ix- ,ul ;";a

La segunda suma del primer miembro de la expresión 4.19 es mayor o igual que cero, ya que todos sus sumandos son positivos o nulos. Si suprimimos la segunda suma, el primer miembro de 4.19 será menor o igual que el segundo.

L

(x-l1fp(X =x):::; 0';

(4.20)

Ix- ,ul>a

.-\hora, en la suma de 4.20, cada sumando es mayor o igual que a2 p(X = x), ya que si Ix - 111 > a, entonces (x - 11 )2 > a2. Se sigue

L

a 2p(X

= x) :::;

Ix- ,ul>a

L

(x_ I1 )2 p(X = x):::; 0';

Ix- ,u l>a

lo que implica:

L

2

a p(X

= x) = a2 P( lx - 111 > a)

Ix- .ul>a eS

decir

0'2 P(lx - 11 1> a) :::; ; a

:::; 0';

(4.21)

170


Propiedad 4.5 (Desigualdad de Chebyshev) Si X es una variable aleatoria con varianza finita, para cada a > O se verifica: (J"2

P(lx-.ul > a) ::;

---t a

(4.22)

Lo verdaderamente notable de esta desigualdad es que hace una afirmación universal que compromete a todas las leyes de probabilidad con varianza finita. Si la ley de probabilidad de X tiene varianza, cualquiera que sea esa ley, se cumple la desigualdad de CHEBYSHEV. Esto nos enseña que también el Azar está sometido a leyes generales.

4.15.

Ley de los grandes números

Una consecuencia casi inmediata de la desigualdad de CHEBYSHEV es la ley de los grandes números. Consideremos una serie de pruebas repetidas independientes, que modelamos mediante una sucesión XI, X 2 , .. . , de variables aleatorias independientes, con media y varianza finitas que designaremos por .u y (J"2. Designemos por Xn el promedio de los valores observados en las n primeras pruebas: Xn

Xl +X2 +···+Xn = --'-------'-

n

Puesto que la esperanza es un operador lineal, se tiene:

Por otra parte, de 4.18, se sigue

(J"i = (J"2 In. n

Ahora, si aplicamos la desi-

gualdad de CHEBYSHEV aXn, resulta: _

P( IX n -.u l > a) ::;

(J"2

-2

a n

Fijemos a y hagamos crecer n; el miembro de la derecha de la desigualdad tiende hacia cero, lo que implica: lim P( IXn -.ul > a)

n-+=

=O

(4.23)

resultado que se denomina ley de los grandes números. La ley de los grandes números afirma de los promedios observados, Xn , tienen como límite .u en cierto sentido preciso: fijada cualquier desviación a > O, la probabilidad de que la diferencia entre el promedio Xn y su valor límite, .u, sea mayor

171

4.16 Cálculo de esperanzas por condicionamiento

que a unidades, tiende hacia cero. Este modo de aproximarse se denomina convergencia en probabilidad. EJEMPLO 4.11 Supongamos que las pruebas repetidas e independientes consisten en lanzar un dado repetidas veces y observar si ocurre un suceso A, que tiene probabilidad p de ocurrir en cada lanzamiento. La manera de modelar estos experimentos es mediante una sucesión Xn de variables indicadoras, ya que Xn indica si ha ocurrido el suceso A en el n-ésimo lanzamiento.

1 si A ocurre en el n-ésimo lanzamiento { n-O si A no ocurre en el n-ésimo lanzamiento

X -

Las variables XI1 son independientes y tienen la misma distribución de de parámetro p, con media p y varianza p (1 - p). El promedio: -

B ERNO U LLI

1

X I1 = -(Xl + X2 + ",+ X n) n es la frecuencia con que ocurre A en los n primeros lanzamientos. La ley de los grandes números asegura que XI1 converge a p, en ese sentido preciso que hemos • denominado convergencia en probabilidad.

La Cálculo de probabilidades estudia otras maneras de aproximarse Xn a ).l que son, lógicamente, más "fuertes" que el que aquí hemos justificado. Por ello, la fórmula 4.23 se suele denominar ley débil de los grandes números. Por desgracia, para precisar es convergencia más "fuerte" se requieren desarrollos matemáticos incomparablemente más complicados que la simple desigualdad de CHEBYSHEV que aquí hemos necesitado. La ley débil de los grandes números es una primera justificación teórica de la "ley empírica de regularidad de los promedios". La ley de los grandes números es esa ley misteriosa, tan importante como la ley de la gravedad, que impide que ocurran cosas como que un sábado por la noche, los restaurantes italianos estén abarrotados mientras que los demás restaurantes están vacíos, o que un mes de julio, casi todos los veraneantes decidan ir a la montaña, dejando las playas desiertas.

4.16.

Cálculo de esperanzas por condicionamiento

Es uno de los métodos de calcular más potentes. Se basa en la fórmula:

E{Y}=

L

E{Y IX = x}p(X=x)

(4.24)

XEX(O)

que se puede interpretar así: la media de la esperanza de Y condicionada por X es igual a la media de Y. Para entender el alcance de la afirmación anterior, consideremos dos variables aleatorias discretas X e Y. Ahora, para cada x E X(O) tal que P(X = x) > O, podemos calcular la esperanza condicionada:

E{Y

IX=x}

172

Vectores aleatorios discretos Para cada x hay una esperanza condicionada E {Y I X = x}. Interpretada de esta manera, la esperanza condicionada es una función de x:

xf--+E{Y IX=x} y, puesto que el valor x lo elige el Azar, tiene sentido hallar el valor esperado de la esperanza condicionada como promedio de los valores E{Y IX = x}, respecto de P(X = x).

L

E{Y

IX =x}P(X =x)

XEX(O)

Esta suma es un promedio de promedios: primero promediamos en los valores de Y, supuesto X fijo y, luego, promediamos en los valores de X. La fórmula 4.24 expresa que ese doble promedio es igual al promedio total. La fórmula 4.24 implica que este es un método divide y vencerás. El problema de calcular E{X} se divide en otros más sencillos, como calcular E{Y = x} para cada x. Hay tres casos en los que resulta conveniente aplicar este método:

IX

• Caso 1. Cuando la las esperanzas condicionadas E{Y fáciles de calcular.

IX = x} son

• Caso 2. Cuando la las esperanzas condicionadas E{Y I X = x} se pueden poner en función de E{Y}, con lo que la expresión 4.24 se transforma en una ecuación en E{Y} que una vez resuelta nos da la solución. • Caso 3. Cuando el problema admite un planteamiento "a lo grande", se trata de calcular cierta E {Yn } Ylas esperanzas condicionadas E {Y I X = x} se pueden poner en función de E {Yn - 1}, E {Yn - 2}, etc., con lo que la expresión 4.24 se transforma en una ecuación recursiva que permite calcular E {Yn }. A continuación examinaremos con ejemplos cada uno de estos tres casos. EJEMPLO 4.12. Caso 1. Lanzamos un dado y observamos su resultado. Luego, lanzamos una moneda un número de veces igual al resultado del dado. ¿Cuál es el número esperado de caras que obtendremos? Designemos por Y el número de caras que aparecen y por X el resultado de lanzar el dado. Si X = i, 1 ::; i ::; 6, Y es el número de caras que aparecen al lanzar i veces la moneda, luego su distribución es binomial de parámetros n = i Y P = 1/2 Y se tiene: i

E{Y

IX = i} = 2'

paral::;i::;6

173

4.16 Cálculo de esperanzas por condicionamiento

De la fónnula 4.24, se sigue: 6

E{Y}

LE{Y

=

IX = i}P(X = i) =

i= l

6

.

L ~

i=112

•

luegoE{Y} =7 / 4. EJEMPLO 4.13. Caso 2. Media de la distribución geométrica

Lanzamos una moneda hasta que aparece cara; sea N es el número de lanzamientos que hay que realizar. N tiene distribución geométrica de parámetro p y, en el apartado 3.8, calculamos su esperanza, E{N} = l/p. Ahora, podemos dar un método alternativo, más sencillo, para calcular esa media. Consideremos una variable X que indique si el primer lanzamiento ha sido cara o no. l si el primer lanzamiento es cara X= { O si el primer lanzamiento es cruz Condicionaremos N por los valores de X. Si X = 1, el proceso ha tenninado y N = 1, ya que ha aparecido la primera cara. Se tiene E{N X = 1} = 1. Si X = O, hemos hecho un lanzamiento y, desde ese momento, por ser los lanzamientos de la moneda independientes e idénticos en distribución, el proceso vuelve a comenzar desde el principio y esperamos realizar otros E{N} lanzamientos antes de lograr la primera cara. Por ello, ponemos:

I

E{N

IX = O} =

l +E{N}

De la fónnula 4.24, se sigue:

E{N} = E{N IX = I}P(X = 1) +E{N = p + (1- p)(l + E{N}) = 1+ (1-p)E{N}

IX= O}P(X = O)

lo que implica pE{N} = 1, es decir E{N} = l/p.

•

EJEMPLO 4.14. Caso 3.

Una urna contiene 4 bolas blancas y 2 negras. Extraemos bolas sucesivamente, sin devolver a la urna las extraídas, hasta que aparece una bola negra, ¿cuál es el número esperado de extracciones que haremos? Pensemos a lo grande, supongamos que la urna contiene a bolas blancas y b negras y designemos por Na,b el número de extracciones hasta lograr una bola negra. Hay un caso extremo que no necesita cálculo; si a = O, no hay bolas blancas y No,b = 1, lo que implica E{No,b} = 1. Hallaremos E{Na.d condicionando por el color de la primera bola extraída. La solución vendrá de establecer una relación recursiva. Fonnalmente, consideramos la variable X definida por: 1 X

si la primera bola es negra

= { O si la primera bola es blanca

174


X

IX

Si = 1, entonces Na.b = 1, el proceso ha tenninado y E{Na,b = 1} = 1. Si X = O, ya hemos hecho una extracción y, desde este momento, estamos en la mismas condiciones que si comenzáramos a extraer bolas de una urna que contuviera a - 1 bolas blancas y h negras, luego esperamos hacer E {N,,_ l,b}, antes de extraer una bola negra. En total, tenemos:

E{Na,b Puesto que P(X sigue:

IX=

O} = 1 + E{Na-1,b}

= 1) = b/ (a + b) y P(X = O) = a/ (a + b), de la fónnu1a 4.24, se

IX= 1 }P(X = 1) + E{Na,b IX = O}P(X = O)

E{Na.b} = E{N",b h = -b

a+

= 1

a + - b (1 +E{Na - 1b})

a+

(4.26)

'

a

+ - - E{Na a+h

(4.25)

(4.27)

1 b}

'

Ecuación recursiva que, junto con las condiciones iniciales E{No,b} = 1, nos permite calcular E {Na,b} para todo a y b. Por ejemplo, se tiene: 4 1 + 6E{N3,2}

E{N4,2}

=

E{N2,2}

= 1

2

+ ;¡:E{Nl,2}

3

E{N3,2}

= 1

+ SE{N2,2}

E{N 1,2}

= 1

+ 3E{No,2}

1

Como E{No,2} = 1, basta sustituir sistemáticamente, para obtener E{N4,2} = 7/3 .

•

4.17.

Cálculo de probabilidades por condicionamiento

Puesto que la esperanza de la función indicadora lA es igual a la probabilidad del suceso, P(A), el método anterior se puede emplear para calcular la probabilidad de un suceso condicionando por los valores de una variable. Si aplicamos la fórmula 4.24 a la variable Y = lA, resulta:

L

E{IA}=

E{IAIX=x}p(X=x)

XEX(O)

L

P(A

IX=x)P(X =x)

P(A

IX=x)P(X =x)

XEX(O)

Que, transcrita como sigue:

P(A)

=

L

(4.28)

XEX(O)

nos evidencia que es otra versión de la fórmula de la probabilidad total. EJEMPLO 4.15 Una urna contiene 3 bolas blancas, 2 negras y 2 azules. Las bolas se extraen una a una, sucesivamente, sin devolverlas a la urna. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bola blanca antes que una negra?

4.17 Cálculo de probabilidades por condicionamiento

175

Otra vez pensamos a lo grande. SeaA (a,b ,c) el suceso "extraer una bola blanca antes que una negra", si las extracciones se hacen de una urna con a bolas blancas, b negras y e azules, y sea p(a,b,c) = P(A(a, b,c)). Condicionemos por el color de la primera bola extraída. Sea X la variable: O si la primera bola es blanca X =

{

1

si la primera bola es negra

2

si la primera bola es azul

Si X = O, ha ocurrido el suceso A (a, b, e) y se tiene :

P(A(a, b,c)

IX= O) =

l

Si X = 1, el suceso A(a, b,c) no puede ocurrir, puesto que ya ha salido una bola negra, y se tiene: P(A(a,b ,c ) = 1) = O

IX

Por último, si X = 2, el proceso comienza de nuevo con una urna que contiene a bolas blancas, b negras y e - I azules, y se cumple:

P(A(a, b,c)

IX= 2) = P(A(a ,b,c- I ))

De la expresión 4.28 se sigue:

P(A(a ,b, c)) =

L

P(A(a ,b, c)

IX= i)P(X = i)

i = O, I, 2

=

a b a+ +c

+

=

a h a + +c

+

e

a+ b +c

P(A(a, b,c -l ))

La expresión recursiva:

P(A (a,h ,c))

e

h P(A(a,b,c -l )) a+ + c

(4.29)

permite resolver el problema en cualquier caso. En particular, si a = 3, b = 2 Y e = 2, se tiene:

3

2

3

l

P(A( 3,2,2 ))

=

'7 + '7 P (A(3,2 , 1))

P(A(3,2, 1))

=

'6 + '6 P(A (3,2, 0))

Las condiciones de contorno de este problema son simples. Si e = O, la primera bola que extraigamos será blanca o negra, luego P(A(a,b ,O)) = al (a + b). En nuestro problema, P(A(3,2, O)) = 3/ 5. Basta reemplazar sucesivamente, para obtener P(A(3,2,2)) = ~. Este resultado nos lleva a la hipótesis: ¿se cumplirá siempre P(A( a,b,c)) = P(A(a,b,O))? La respuesta es afirmativa; no es difícil probarlo medi ante la fórmula 4.29. •

177


Ejercicios del capítulo 4 Ejercicio 4.1 En el apartado 4.3 aseguramos que cualquier suceso definido por condiciones impuestas sobre X e Y se puede poner de la forma: {úJ ;

(X (úJ ), y ( úJ )) E B}

dondeB e R 2 . Para cada uno de los sucesos {X = Y + 1} Y {IX -YI = 1}, hallar el conjunto B que requiere la afirmación anterior. Ejercicio 4.2 Demostrar la propiedad 4.2: si X e Y son dos variables independientes y A YB son sucesos, se cumple:

P(X E A,Y E B) = P (X E A)P(Y E B ) Ejercicio 4.3 Demostrar la propiedad 4.3: si X e Y son dos variables independientes y f y g son dos funciones, las variables f(X) y g(Y) son independientes. Ejercicio 4.4 Probar que la varianza de una suma de variables independientes es igual a la suma de las varianzas de los sumandos. Ejercicio 4.5 Lanzamos tres veces una moneda cargada de manera que la probabilidad de salir cara es p = 1/4. Sea X la variable aleatoria "número de caras en los dos primeros lanzamientos", e Y la variable aleatoria "número de caras en los dos últimos lanzamientos".

1. Hallar la tabla de la distribución conjunta de (X,Y). 2. Calcular E{X I y = i}. Ejercicio 4.6 Lanzamos tres dados. Sean XI, X2 y X3 los resultados obtenidos en cada dado. Consideremos las variables Y2,I e Y3,2 que indican si los resultados del segundo y tercer lanzamiento han sido, o no, mayores que el anterior.

(4.30) Hallar la tabla que define la distribución conjunta del vector (Y2, I ,Y3,2). Ejercicio 4.7 Lanzamos un dado tres veces. Sea S3 la suma de los resultados obtenidos. Calcular el valor esperado de S3 . Ejercicio 4.8 Sean X e Y dos variables tales que E{X} (J~ = 2, = 3 y (Jx ,Y = -l. Calcular

(Ji

= 1, E{Y} = 0,

178

Vectores aleatorios discretos 1. E{2X - Y}

2. E{X 2 } 3. E{XY} 4. E{(2X-y)2}

Ejercicio 4.9 Lanzamos una moneda tres veces. Sea Ai el suceso: Ai donde 1 <:::: i

<::::

= {"sale cara en el lanzamiento i-ésimo"}

3. Consideremos las variables definidas por:

Se pide: 1. Calcular la covarianza entre Y I e Y2. 2. Calcular P(Y¡

> 01 Y2 > O).

Ejercicio 4.10 De una urna que contiene a bolas blancas y b bolas negras se extraen k bolas. ¿Cuál es el número esperado de bolas blancas entre las bolas extraídas? (Distinguir casos según que las extracciones se hagan con o sin reemplazamiento). Ejercicio 4.11 Ana lanza n veces una moneda que tiene probabilidad p de cara. Luego, Belén lanza la misma moneda m veces. Sea YA el número de caras que ha conseguido Ana, YB el número de caras que ha conseguido Belén y X¡ la variable indicadora del suceso "el primer lanzamiento de Ana es cara". Se pide: 1. Calcular P(YA = i,YB = j), para cada par (i, j), O <:::: i <:::: n, O <:::: j ¿Son independientes?

<::::

m.

2. Calcular P(X¡ = 1 I YA +YB = k) YE{X¡ I YA +YB = k}. 3. Con la ayuda del resultado anterior, calcular E {YA I YA

Ejercicio 4.12 Sean X e Y dos variables tales que E{X} = 2, = 3Y ,Y = -1; calcular

al

a;

1. E{X -2Y} 2. E{y 2 } 3. E{X +XY}

ax

+ YB = k}.

= 1, E{Y} = O,

179


Ejercicio 4.13 Lanzamos tres veces una moneda que tiene probabilidad p de cara. Sean X e Y las variables aleatorias:

X = "número de caras que aparecen después de la primera cruz" y = "número de caras que aparecen antes de la primera cruz"

Por ejemplo, si el resultado de los lanzamientos es @l@@l, entonces X = 1 e y = 1; si el resultado de los lanzamientos es @l@@, entonces X = O e y = 1. La única duda puede surgir en el caso @@l@), en el que consideraremos X = O e Y = 3. Se pide: 1. Hallar la tabla de la distribución conjunta de (X ,Y) . 2. Calcular

O'x,Y

3. Representar y comentar la gráfica de la función p

f--+

O'x .y.

4. Definir el concepto de entropía de la distribución conjunta de (X,Y ). Ejercicio 4.14 Lanzamos una moneda hasta que aparecen dos caras consecutivas. Sea X el número de lanzamientos que realizamos. Calcular E{X}. Indicación : condicionar por los posibles resultados de los dos primeros lanzamientos. Ejercicio 4.15 Una urna contiene n bolas azules y m rojas. Extraemos bolas consecutivamente, hasta que todas las bolas de algún color han sido extraídas. Sea X (n, m) el número de extracciones que realizamos. Plantear una ecuación recursiva para calcular E{X (n,m)}.

181


Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 4.1 Sea B 1 e R 2 , definido por B 1 = {(x,x + 1) ; x E R}. ResultaevidentequesiX(w) =Y(w) + 1, entonces (X(w),Y(w)) E BI y, recíprocamente, que si (X(w),Y(w)) E B I , entonces X(w) = Y (w) + 1. luego se cumple {X = Y + l} = {lX,Y) E B} . Sea B2 e R 2 , definido por B 2 = {(x, x + 1) ; x E R } U {(x,x - 1) ; x E R}

se tiene {IX -Y I = l} = {(X,Y) E B2}'

Solución del ejercicio 4.2 La demostración es un simple cálculo.

P(X E A,Y E B) =

L L P(X =

i)P(Y = j)

iEAjEB

=

L P(X = i) L P(Y = j) JEB

iEA

= P(X E A)P(Y E B) Solución del ejercicio 4.3 Es un cálculo similar al del ejercicio anterior.

P(f(X) = n,g(Y) = m) =

L L

P(X = i,Y = j)

iEX (O ) j EY (O )

f(i)=n g(j) =m

=

L

P(X = i)

L

iEX (O )

j EY (fl )

f(i )=n

g(j)=m

P(Y = j)

= P(f (X) = n)P(g(Y) = m) Solución del ejercicio 4.4 Sean X e Y dos variables independientes con varianza finita. Se cumple (J~ +y = E{(X + Y - E{X + y})2}

=E{(X - E{X}+Y _E{y} )2 } = E{(X - E{X})2 + (Y _ E{y} )2 + 2(X - E{X})(Y - E{ Y})} = E{(X - E{X})2}+E{(Y -E{y})2}+2E{(X -E{X })(Y -E{Y} )} Ahora, por la propiedad 4.16, se tiene:

E{(X - E{X} )(Y -E{Y})} = E{X - E{X}}E{Y -E{Y}} y, puesto que E{X - E{X}} = E{X} - E{X} = O, resulta

E{(X - E{X})(Y -E{Y} )} = 0 . S1· reemp1azamos, se o btiene ax2 +Y = ax2

2 + ay.

182

Vectores aleatorios discretos Solución del ejercicio 4.5 Con un poco de paciencia, obtenemos la tabla de la distribución conjunta del vector (X,Y) . No es difícil; por ejemplo, para que X = 2 e Y = 1, tiene que salir ©l©l@), lo que tiene una probabilidad l / 4 . 1/4 . 3/4 de ocurrir. El resultado de esos cálculos se muestra Y=O

Y=1

Y=2

O

27/64

9/64

O

X= 1

9/64

12/64

3/64

O

3/64

1/64

x= X

=

2

Tabla 4.6

en la tabla 4.6, a partir de ellos, calculamos las tres posibles distribuciones de X condicionadas por Y = i, i = O, 1, 2. Por ejemplo, la distribución de X I y = O tiene función de probabilidad P(X

27

3

1

= O 1y = O) = 36 = 4'P(X = 1 1y = O) = 4'P(X = 21Y = O) = O

De manera semejante, se tiene P(X

= O 1y = 1)

3

= 8'P(X

= 1 1y

= 1)

4

1

I

= 8 = 2'P(X = 21 Y = 1) = 8

y

P(X

= O 1y = 2) = O,P(X = 1 1y

=

2) =

3 4'P(X

1

= 21 Y = 2) = 4

A partir de las distribuciones condicionadas, calculamos las esperanzas de acuerdo con la definición; resulta

E{X 1 y = O} =

3

1

1

o· 4 + l· 4 = 4'

y, de fOlma similar, E{X 1 y = I} = ~ YE{X 1 y = 2} = ~. Solución del ejercicio 4.6 Hay 63 resultados posibles de lanzar los tres dados. En cada uno de esos resultados, el vector aleatorio (Y2 .) 'y3 ,2) toma un valor que puede ser (0,0), (1,0), (0,1) Y (1,1). Por ejemplo, si el resultado es (1,5,3), entonces Y2 ,1 = 1 (el segundo resultado es mayor que el primero) y Y3 ,2 = O (el tercer resultado no es mayor que el segundo). La distribución conjunta de (Y2,l 'y3 ,2) se resume en la tabla 4.7. Resta calcular cada una de las cuatro probabilidades. Por ejemplo, para calcular

183


Y2. 1

= O

P (Y2.1 = 0,Y3,2 = O)

P (Y2,1 = 0'y3,2 = 1)

Y2. 1

= l

P(Y2. 1 = 1,Y3.2 =0)

P(Y2. 1 = I ,Y3,2 = 1)

Tabla 4.7:

P(Y2 ,1 = 0,Y3 ,2 = O) tenemos que hacer el recuento de casos favorables.

[Z]) {8 ~ ~

l!:!J

f!!l

l!.!J

I."l

l!:J

rol

l....!J

r:ol lLJ

Puesto que P(Y2, 1 = 0,Y3.2 = O) es la probabilidad de que, simultáneamente el segundo resultado no sea mayor que el primero y que el tercero no sea mayor que el segundo, Fijaremos el segundo resultado , contaremos los casos favorabl es y sumaremos Por ejemplo, si el segundo resultado es !Z], hay 12 casos favorables. El primer resultado puede ser uno de cuatro y, por cada elección del primer resultado, hay tres elecciones posibles del tercero. Con paciencia, contamos los casos favorables a {Y2,1 = 0'y3,2 = O}, en función del segundo resultado, El resultado de nuestras cuentas se resume en la tabla 4.8. En total hay 56 casos favorables, por lo que se tiene 6 casos

1 caso

5 casos

2 casos

~

~

~

~

D8D D[Z]D

6x l = 6

D ¡:] D

4 casos

3 casos

3 casos

4 casos

~

~

~

~

4

X

3 = 12

D ~

D

2 casos

5 casos

1 caso

6 casos

~

~

~

~

DlZl D

2 x 5 = 1O

D [] D

Tabla 4.8: Recuento de casos favorables a Y2,1

11

5 x2 = 1O

3 X 4 = 12

l x6= 6

= 0,Y3.2 = O

P(Y2,l = 0,Y3,2 = O) = 66' Mediante razonamiento similares calculamos las tres restantes probabi-

184


lidades. Se obtiene:

70

P(Y2 ,1= I,Y3 .2 = O) = -216'

70

P(Y2 ,I = 0,Y3 .2 = 1) = -216

y

20 P(Y21, = I , YJ2 , = 1) = 216

El resultado de nuestros cálculos se muestra en la tabla 4.9 que define la función de probabilid

Y3.2 = O

56 216

hl = 0

70 216

hl = l

]'\2 = I

70

216 20 216

Tabla 4.9: Distribución conjunta de (Y2.1,Y3.2 )

Solución del ejercicio 4.7 Este ejercicio lo resolveremos por cuatro métodos distintos , como resumen de los métodos de cálculo de la esperanza que hemos estudiado. Método 1. Calcularemos la función de probabilidad de manera recursiva y la esperanza, aplicando la definición, a partir de la función de probabilidad. Las condiciones iniciales se calculan fácilmente; si lanzamos una vez el dado, resulta: 1

PI

(1) = PI (2) = PI (3) = PI (4) = PI (5) = PI (6) =

6

Supongamos que lanzamos el dado n veces. ¿De qué maneras puede ser las suma de resultados igual a k? Razonemos en función del resultado del primer lanzamiento. Si el primer resultado es 1, lo que ocurre con probabilidad 1/6, en los restantes n - 1 resultados tenemos que lograr una suma igual a k - 1, lo que tiene probabilidad Pn- I (k - 1) de ocurrir. Si el primer resultado es 2, en los restantes n - 1 resultados tenemos que lograr una suma igual a k - 2, lo que tiene probabilidad Pn- I (k - 2) de ocurrir, etc.; este análisis se resume en la ecuación: 1 1 1 Pn(k ) = 6' Pn_ l (k- l )+ 6' Pn_l(k -2) + .., + '6' Pn_ l(k-6) Así, la fórmula general de recursión es: 6

Pn(k) =

1

L -PnI (k 6

i=1

i)

(4.31)

185

Soluciones de los ejercicios bien entendido que si k::; O o k ~ 7, entonces PI1(k) = O. Esta manera de resolver el problema nos muestra cómo el computador cambia el modo de entender las Matemáticas y cómo, métodos que antes no tenían importancia, ahora son principales. En los tiempos en que el cálculo era manual, la relación 4.31 tenía una importancia relativa. El ideal para el calculista eran las fórmulas explícitas Pn (k) = f(n,k). Hoy, la relación 4.31 tiene ventajas; por ejemplo, se programa con suma facilidad . Todavía más simple y da mejores aproximaciones, reemplazar Pn(k ), por rn (k) = 6npn(k) . De este modo, la ecuación recursiva se transforma en: 6

(4.32)

rn (k) = Lrn- I(k-i) i= 1

En la primera iteración, obtenemos:

r2(2) = 1 r2(5) = 4 r2(8) = 5

r2(11) = 2

r2(3) = 2 r2(6) = 5 r2(9 ) = 4

r2( 12) = 1

r2(4 ) = 3 r2(7) = 6 r2 ( 10) = 3 En la segunda, se tiene:

r3(3) = 1

r3 (7) = 15

r3( 11 ) = 27

r3(15) = 10

r3(4) = 3

r3(8 ) = 21

r3(12) = 25

r3(16 ) = 6

r3(5) = 6

r3(9) = 25

r3 (13) = 21

r3(17) = 3

1'3 (14) = 15

r3 (18) = 1

r3(6) = 10 r3(1O) = 27 El valor esperado de S3 es igual a:

Método 2. Calcularemos la esperanza de forma recursiva. Pensemos a lo grande. Sea 1111 el valor esperado de la suma de resultados cuando lanza 11 veces el dado, I1n = E{Sn}. Ahora, razonemos en función del primer resultado. Si hemos obtenido 1 en el primer lanzamiento, lo que ocurre con probabilidad 1/6, ya tenemos 1 punto y, en los próximos n - 1 lanzamientos, esperamos obtener otros I1n-l puntos. Si hemos obtenido 2 en el primer lanzamiento, lo que ocurre con probabilidad 1/6, ya tenemos 2 puntos y, en los próximos n - 1 lanzamientos, esperamos obtener otros I1n-l puntos; etc. ; de esta misma manera razonaríamos cuando el primer resultado es 3, ... ,6. El razonamiento anterior se resume en la relación : 1 1 1 I1n = "6 (1 + I1n - ¡) + "6 (2 + I1n - ¡) + ... + "6 (6 + I1n - ¡)

= 3.5 + I1n-l,

(4.33)

186


con la condición inicial JJD = O. Si aplicamos una vez esta relación, obtenemos /11 = 3.5, la puntuación media al lanzar una vez el dado. Si se aplica tres veces la relación 4.33, resulta /13 = 3·3.5 = 10.5. En general, se tiene /1n = 3.5n. Método 3. Calcularemos la esperanza mediante la función generatriz. La suma de los resultados obtenidos al lanzar tres veces el dado se puede descomponer como: donde Xi es el resultado del i-ésimo lanzamiento. Las variables XI , X2 y X3 son independientes. La función generatriz de la suma es igual a:

Por ser variables independientes, la esperanza del producto es igual al producto de las esperanzas.

Pero, la función generatriz de XI es igual a:

y X2 y X3 tienen la misma función generatriz que XI, porque tienen la misma función de probabilidad. Se sigue que la función generatriz de 53 es:

Para calcular E {S3}, hallamos G' (1).

~ k~1 i 6

G'(s)

=

3

(

) 2

~ k~ ki6

I

luego

Método 4. Calcularemos la esperanza descomponiendo la variable como suma de variables. Podemos poner:

187

Soluciones de los ejercicios Calcular E{Xt}, E{X2} y E{X3} es fácil, no es más que la puntuación media al lanzar el dado una vez. 1 6

E{X¡} = -¿'k=3.5 6 k=¡ En consecuencia, se tiene E {S3} = 3 . 3.5 = 10.5.

Solución del ejercicio 4.8 1.Por la propiedad lineal de la esperanza, se tiene:

E{2X - Y} = E{2X} -E{Y} = 2E{X} -E{Y} = 2 2. Por la fórmula de la varianza, se tiene:

3. Por la fórmula de la covarianza, se tiene:

E{XY} =

CYx .y

+E{X}E{Y} =-1

4. Por la propiedad lineal, se tiene:

E{(2X _y )2} = E{4X2 +y 2 -4XY} = 4E{X 2 } +E{y 2 } -4E{XY} (4.34) Ahora, de la fórmula de la varianza, se sigue:

y, por la fórmula de la covarianza, se tiene:

E{XY} =

CYX,y

+E{X}E{Y} =-1

Así, resulta E{(2X _y )2} = 19.

Solución del ejercicio 4.9 1. Calculemos la distribución conjunta de (Y¡,Y2 ). Cada una de las variables puede tomar los valores - 1, O Y l . Debemos calcular P(Y¡ = i,Y2 = j ), para los nueve pares de valores (i, j), i, j = - 1, O, 1, sólo exige un poco de paciencia. Por ejemplo, se cumple:

P(Y¡ = -1,Y2 = -1 ) =P(@@©J) =

P(IA¡ = OJA 2 = OJA3 = 1)

=p(l _ p)2

188

Vectores aleatorios discretos Otro ejemplo,

P(Y1 = 0,Y2 = O) = P(IA¡ = lA2 = lA3 = O) + P(IA¡ = lA z = 1A3 = l)

= P( @@@)+P(@@@ ) = p3 + (1 - p)3 Repitiendo estos cálculos para cada par de valores posibles se obtiene la tabla 4.10. A partir de la tabla de la distribución conjunta y de las marginales,

Y2 = -1

Y2 =0

Y2 = 1

o

o

Y¡ = 1

p(l - p)

p ( l-p )

p(l - p )

p 2+ (I_p )2

p(l-p )

Tabla 4.10: Tabla de la distribución conjunta y marginales

calculamos

CJY¡h.

Primero, se tiene:

E {Y l } = (-1) . p( 1 - p) + O· (p2 + (1 - p)2) + 1 . p( 1 - p) = O y, del mismo modo, obtenemos E{Y2}

E {Y¡ Y2}

= ( -1 ) ( -

=

O. Por otra parte, resulta:

1) . p (1 - p) 2 + ( - 1) (O) . p2 (1 - p) + ( -1 ) (1) . 0+

+ (O) ( -1) . p2 (1 - p) + (O) (O) . [p3 + (1 - p) 3]+ + (0)(1)· p(l- p)2 + (1)( - 1).0+ (1)(O)p(l - p)2 +

+ (1 ) (1 ) p2 (1 - p) =p(l - p) de lo que se sigue:

2. Es un cálculo mecánico. Por una parte tenemos P(Y2 > O) = P(Y2 = 1)

= P (1 - p) y, por otra parte P(Y¡ > 0,Y2 > O) = P(Y¡ = 1,Y2 = 1) = p2(1- p)

189


Basta aplicar la definición de probabilidad condicionada, para obtener

P(Y¡ > O I Y2 > O) =

p2(1- p)

(

p l - p

) =p

Solución del ejercicio 4.10 Designemos por N el número de bolas blancas que hay entre las k bolas extraídas. N se puede descomponer como

Donde Xi es la variable que indica si la i-ésima bola extraída es blanca o no. K = { l si la i-ésima bola es blanca I O si la i-ésima bola es negra El número esperado de bolas blancas entre las extraídas cumple: E{N} = E{X1} +E{XÜ

+ ... + E{Xd

Si las bolas se extraen con reemplazamiento, es evidente que P(X 1 = i) = a~b ' Menos evidente es que si las bolas no se devuelven a la urna, la distribución de Xi es la misma que cuando se reemplazan. Basta razonar que hay a maneras de elegir una bola blanca para el lugar i, y los restantes lugares se pueden completar de (a + b - 1) (a + b - 2) . .. (a + h - k + 1) maneras, lo que implica

P (X¡ = l ) =

a(a+b - l )(a+ h-2 )···(a + h-k+l ) a (a+ b)(a+h - l) . .. (a+h - k+l) =a+b

Así, con o sin reemplazamiento, se tiene E {Xi}

= a / (a + h) Y resulta

E{N}=~ a+b

Notemos la fuerza de este método que no precisa tener en cuenta si k es mayor o menor que a, mientras que si se pretende calcular la distribución de N como paso previo, las relaciones entre a y k complican enormemente el razonamiento. Solución del ejercicio 4.11 1. Imaginemos que la moneda se lanza n + m veces y que los primeros n resultados son para Ana y los últimos m resultados para Belén. El suceso {YA = i,YB = j} significa que hay i caras entre los primeros n lanzamientos y j caras entre los m últimos. La probabilidad de que esto ocurra es:

190

Vectores aleatorios discretos ya que cada secuencia favorable tiene probabilidad pi+j (1 _ P y+m- i- j y hay

sentencias favorables. Un ejemplo de secuencia favorable es:

@@ ... @@@ ... @@@ ... @@@ ... @

~~~~

n - ¡cruces

i caras

m - j cruces

j caras

que tiene probabilidad:

p ... p (1 - p) ... (1 - p) p ... p (1 - p) ... (1 - p) = pi+ j (1 _ p) n+m-l- j ''-v-''

'-v-"

n-;

, m- j

j

Todas las secuencias favorables tienen esta misma probabilidad, ya que están compuestas de i + j caras, en el orden que sea, y n + m - i - j cruces. Hay tantas secuencias favorables como maneras de escoger i lanzamientos, entre los n primeros, y j lanzamientos, entre los m últimos , para que en ellos salga cara; luego, hay C) (j) secuencias favorables. Así, se tiene:

Por otra parte,

luego P(YA

= i,YB = j) = P(YA = i)P(YB = j)

Puesto que la igualdad anterior se verifica cualesquiera que sean i y j , resulta que YA e YB son independientes. 2. Para calcular:

= 11 Y

P(X I

A

+ Y = k) B

=

P(X I = I,YA +YB = k) P(YA+YB=k)

comenzamos por calcular P(YA + YB = k); es fácil; equivale a la probabilidad de obtener k caras cuando lanzamos la moneda n + m veces.

191


Por otra parte, P(X1 = l ,YA + YB = k) es la probabilidad de obtener una cara en el primer lanzamiento y k caras en total (es decir, k - l caras en los últimos n + m - llanzamientos).

P(X 1 = l'yA + YB

l)l-1(1- py+m- k (n:: ~ 1) pk(l _ p)n+m- k

= k) = pC::~ =

Se sigue:

n+ m Que tiene una interpretación bien sencilla: si han salido k caras en los n + m lanzamientos, la probabilidad de que el primer lanzamiento sea cara es: casos favorables casos posibles

k n+m

La media condicionada se calcula de forma inmediata. Se tiene:

E{XIIYA+YB=k} =

¿

kP(X 1 =k IYA+YB = k)

k=O,1

= P(X 1 = 1 I YA + YB = k) k n+m 3. Si X¡ es la variable indicadora del suceso "el i-ésimo lanzamiento de Ana es cara", se tiene YA = L7= 1Xi; lo que implica:

E{YA I YA +YB = k}

n

= ¿E{X¡ I YA + YB = k} ¡= I

Ahora, basta razonar como hicimos en el apartado anterior, para obtener E{X¡ I YA + YB = k} = k! (n + m), para cada i. Se sigue:

E{YA I YA +YB

=

k}

kn n+m

= -


192

Solución del ejercicio 4.12 Todos los cálculos son aplicaciones de las propiedades de la esperanza matemática.

E{X - 2Y} = E{X} - E{2Y} = E{X} - 2E{Y} = 1

E{X +XY} = E{X} +E{XY} = E{X} + O"x ,Y + E{X}E{Y} = O Por último, tenemos

0";

pero E{X 2} = + (E{X}? = 3. De manera similar, obtenemos E{y 2} = 3 Y E{XY} = O"x ,Y + E {X}E{Y} = - l. Basta sustituir para tener E{ (X + y) 2} = 4. Solución del ejercicio 4.13

1. Los valores de X e Y en cada uno de los ocho casos posibles son:

@@@

X=O y =3

@@@)

X = O y =2

@@)@

X = 1 Y= 1

@)@@

X = 2 y =0

@@)@)

X=O y = 1

@)@@)

X = J

y =0

@)@)@

X = 1 Y=O

@)@)@)

X=O

y =0

Si calculamos la probabilidad de cada valor posible de (X,Y), obtendremos la tabla 4.11 de la distribución conjunta. 2. Unos simples cálculos producen

E{X}=p(1-p)(2+p ), y E{XY}

E{Y}=p(1+p+p2)

= p2(1- p). Se sigue O"x,y

= p2 (1 - p) - p2 (1 - p ) (2 + p ) ( 1 + P + p2 ) = p2(1 - p) {1 - (2 + p) (1

+ P + p2) }

193


Y=O

Y= l

Y=2

Y=3

X= 0

(1- p )3

p ( l - p )2

p2(I - p)

p3

X= I

2p(1 - p)2

p2(1 - p)

O

O

X=2

p2(l - p )

O

O

O

Tabla 4.11

0.1 25

~ O .12.'i

- 0.250

Figura 4.2

3. La gráfica de la función P f---+ (Jx ,Y está representada en la figura 4.2. Observamos que (Jx ,Y siempre es negativa, lo que concuerda con la intuición que nos señala que cuánto mayor sea una de las variables, menor será la otra.

4. Generalizar la noción de entropía a la distribución bidimensional de

(X,Y ) no tiene mucha dificultad. Seguimos teniendo una serie finita de resultados posibles, aunque aquí tengan la naturaleza de vectores, y podemos seguir aplicando la idea de promediar los logaritmos de los inversos de las probabilidades de cada caso posible. La entropía de la variable bidimensional discreta (X ,Y), se define igual a la cantidad:

H (X,Y ) =

L L

1

p(x,y) log2 - XEX (O )yEY(O ) p (x,y)

=-

L

L

XE X (O ) yEY (O )

p(x,y) log2 p(x,y)

194

Vectores aleatorios discretos En nuestro caso, tenemos

H (X, Y ) = - [( 1- p )3 10g2 (1- p )3 + 2p(l- p )2 10g22p ( 1 _ p )2+ + p2 ( I - p ) 10g2/i (1 - p) + + p (l- p )2 10g2P(1- p) 2 + p2(i - p)log2p2(1- p)+

+ p2(1 _

p )log 2 p2( 1- p) + p 3log2p3j

Si simplificamos la expresión anterior, resulta

Solución del ejercicio 4.14 Supongamos que la probabilidad de cara es p. La observación capital para resolver el ejercicio es simple: cada vez que aparece una cruz, el juego vuelve a empezar y nos restan por hacer, en media, E{X} lanzamientos para obtener dos caras consecutivas. Primero haremos un razonamiento informal, pero intuitivo y seguro. Tratemos de aprovechar esa observación. Lancemos la moneda. Si sale cruz (lo que tiene probabilidad 1 - p de ocurrir), hemos hecho un lanzamiento y, desde ese momento, esperamos hacer E{X} lanzamientos más . Si sale una cara, volvemos a lanzar la moneda. Si además sale otra cara (lo que tiene probabilidad p2 de ocurrir), hemos hecho 2 lanzamientos y el juego ha terminado. Si ahora sale cruz (lo que tiene probabilidad p( 1 - p ) de ocurrir), hemos hecho 2 lanzamientos y el número esperado de lanzamientos que tendremos que hacer es E{X}. En resumen, podemos plantear la ecuación:

E {X}

=

(1 - p) {1 + E {X} } + p2 {2} + (1 - p ) p {2 + E {X} }

Basta simplificarla, para obtener

E{X} = 1 + P + (1 - p2)E{X}, luegoE{X} = (1+p )/ p2. El razonamiento anterior se hace formal fácilmente. Cuando lanzamos dos veces la moneda, es forzoso que ocurra uno de estos tres sucesos A = "el primer resultado es cruz" B = "el primer resultado es cara y el segundo cara"

C

= "el primer resultado es cara y el segundo cruz"

Por la propiedad de la esperanza condicionada, se tiene

E{X}

= E{X I A}P(A) +E{X I B}P(B) +E{X I C}P(C)

Es inmediato que P(A) = 1 - p, P(B) = p2 Y P(C) = p( 1 - p). Por otra parte, se tiene E{X 1 A} = 1 +E{X}, E{X 1 B} = 2 YE{X I C} = 2+E{X} . Basta reemplazar para obtener la ecuación anterior.

195


Solución del ejercicio 4.15 Si condicionamos por el resultado de la primera extracción, resulta n

m

E{X(n,m)} = {l +E{X(n-l,m)}} + - -{l +E{X(n, m -I)}} n+m n+m

5 Variables aleatorias continuas

5.1.

Modelos continuos

Ciertos experimentos aleatorios se modelan mejor si aceptamos que el Azar puede escoger un punto perteneciente al al "continuo" de los números reales, R. Por ejemplo, para modelar el tiempo T que tarda en fallar un circuito electrónico, podríamos ensayar un modelo discreto, ya que la precisión con que medimos el tiempo es limitada y T sólo tiene un número numerable de valores posibles, pero parece más "natural" aceptar que T puede tomar como valor cualquier número real, dentro de un intervalo acotado, como (a,b), o no acotado, como (0,00). Además, aunque pueda parecer extraño, los cálculos en los modelos continuos suelen ser más sencillos que los correspondientes en el modelo discreto. En este capítulo estudiaremos los modelos aleatorios de esta clase, que denominaremos continuos. Definir modelos probabilísticos continuos conlleva muchas dificultades a la hora de dar un sentido preciso y formal a la noción de suceso, y de definir la probabilidad de la manera más general posible. De hecho, para hacer una teoría matemática de la probabilidad se precisan, inevitablemente, conceptos matemáticos no elementales que son parte de la teoría de la medida y la integral de LEBESGUE. Nuestra intención es introducir la probabilidad sin más herramientas que el cálculo infinitesimal, lo que exige evitar ese formalismo matemático. Por ello, nos limitaremos al campo más restringido en el que los sucesos se reducen a intervalos o uniones de intervalos y a considerar, casi exclusivamente, las probabilidades que provienen de lo que denominaremos una función de densidad. Por otra parte, éste es el mejor camino para iniciarse, si se desea, en los conceptos más abstractos de la teoría general, ya que los métodos que estudiamos anticipan la necesidad de un enfoque más general. Salvo las anteriores, lo expuesto no tiene muchas más restricciones y el lector puede aprender a calcular probabilidades "continuas" con rigor.

198

Variables aleatorias continuas

5.2.

30 1

4

Figura 5.1

1

4

Puntos al azar en el continuo

Un paradigma del experimento que consiste en elegir un punto al azar en un intervalo es la ruleta representada en la figura 5.1. La aguja puede detenerse en cualquier punto X de la circunferencia. Si la circunferencia tiene longitud 1, el intervalo (O, 1] describe los posibles valores que puede tomar X. Si la ruleta está bien equilibrada y bien engrasada, es una máquina capaz de elegir al azar un número del intervalo

(0,1 ]. Para formular el modelo matemático de este sorteo debemos dar un método para calcular la P(A) de cualquier suceso A. Si pretendemos repetir los pasos que dimos en el modelo discreto, deberíamos calcular la probabilidad de que un punto en particular sea elegido. La simetría del problema nos hace intuir que esa probabilidad p debe ser igual en todos los puntos. Pero, cuando tratamos de hallar ese valor común, debemos concluir que p = O; en otro caso, la probabilidad del suceso (0,1] sería infinita. Así, para dar sentido a este modelo, precisamos un concepto que admita que la probabilidad de elegir cualquier punto es y, sin embargo, que la probabilidad total sea l. Ese concepto será semejante al de la longitud, ya que admitimos que la longitud de cada punto de un segmento es y, sin embargo la longitud de todo el segmento es positiva. Una buena ayuda para nuestra intuición es la analogía que existe entre las distribuciones de probabilidad y las distribuciones de masa que estudia la Física. Un hilo metálico muy delgado nos sugiere un sistema en el que la masa de cada punto es cero, ya que un punto es demasiado pequeño para pesar algo, pero que cualquier pedazo (subintervalo) del alambre tiene masa positiva. Al mirar el hilo, hecho de un material homogéneo, sentimos la intuición de una masa repartida por igual, uniformemente, en una longitud. La uniformidad del reparto implica que dos pedazos de igual longitud pesan lo mismo, con independencia de su posición relativa en el alambre. El experimento aleatorio que modela el comportamiento de la ruleta nos sugiere una intuición semejante al hilo. Para que se satisfagan las condiciones de KOLMOGOROV, debemos suponer que P(X = x) = O, cualquiera que sea x E (O, 1] y, para dar sentido matemático a la intuición "el Azar no tiene preferencia por ningún punto", abandonaremos el procedimiento que seguimos al plantear el modelo del caso discreto y estudiaremos la probabilidad de que el punto elegido pertenezca a un intervalo I dado, postulando que P(X E 1) sólo depende de la longitud de I y no de su posición relativa en

°

°

(0,1]. Ese postulado tiene consecuencias numéricas inmediatas. Por ejemplo, supongamos que dividimos el intervalo (0,1] en n subintervalos, li, 1 ::; i::; n, de igual longitud, li = (i~ 1 , ~ ]. Se debe tener

P(X E 11 ) +P(X E lz) + ... +P(X E In) = nP(X El¡) = 1

199

5.2 Puntos al azar en el continuo lo que implica P(X E Id = R(/¡) = 1/ n, donde R(I) es la longitud de l. Puesto que cualquier subintervalo (a,b] e (0,1] se puede aproximar por subintervalos disjuntos de la forma (i~ ¡ , ~ ], resulta:

P(X

E

(a,b]) = R((a,b]) = b - a

(5.1)

Así, nuestra primera intuición: que en el modelo continuo la probabilidad de un punto debe ser cero, P(X = x) = 0, se nos presenta ahora como consecuencia demostrable. El conjunto {x} es el límite de los intervalos (x - ~ ,x], y se cumple: . l. 1 P(X =x) = hmP(X E (x- -,xl) = hm - = 0 oo n-t n n---t oo n

Si I es otra clase de subintervalo, por ejemplo, cerrado 1 = [a, b ], no es difícil razonar que la fórmula anterior también es válida.

P(X E [a,b]) = P(X E (a,b]) +P(X = a) = b-a = fi(I)

(5.2)

En resumen, la probabilidad de que un punto elegido al azar en (0,1] pertenezca al subintervalo 1 es igual a su longitud. Esta sencilla observación, que nos indica cómo asignar probabilidades a los sucesos de la forma {X El}, donde I es un subintervalo y X es un punto elegido al azar en un intervalo, nos permite calcular la probabilidad de muchos otros sucesos que pueden ser reducidos a una condición de la forma X E l. EJEMPLO 5.1 Elegimos un número al azar en el intervalo (0,1], ¿cuál es la probabilidad de que su cuadrado sea mayor que 1/37 Designamos por X el número elegido. Dado que X es positivo. la condición X 2 > 1/3 es equivalente a X > 1/ J3 y tenemos:

P(X 2 > 1/3) =P(X E (1/J3,I]) luego p

=

•

1 - 1/ J3.

Si el intervalo J en el que se escoge el punto al azar no tiene longitud 1, una sencilla modificación de los argumentos anteriores nos lleva a una fórmula para la probabilidad. Basta dividir J en n subintervalos de igual longitud, /¡, para obtener:

P(X E I¡) = l/n = R(/¡) / fi(J) Un razonamiento por paso al límite muestra que la probabilidad de que X E I es igual a la longitud de I dividida por la longitud de J.

P(X E I) = R(I)

fi(J)

(5.3)

200


fórmula que tiene una notable semejanza con la "regla de LAPLACE" para la elección al azar de un elemento dentro de un conjunto finito: casos favorables casos posibles sólo que en el modelo discreto contaban como "favorable" o "posible" los tamaños en cuanto al número de elementos que los componían y ahora cuentan los tamaños geométricos. EJEMPLO 5.2 Escogemos un punto X al azar en el intervalo (0,10 ]. La probabilidad de que sea mayor que 3 es: 7 P(X > 3) = P(X E (3,10]) = 10 = 0.7 La probabilidad de que esté comprendido entre 1 y 6, es: 5 P(1 < X < 6)=P(X E (1,6)) = 10 = 0.5 La probabilidad de que su cuadrado sea menor o igual que 50 es :

p(X2 <::: 50) = P(X <::: VsO) = P(X E (O, VsO]) =

~

•

Luego P(X2 <::: 50) ;:::; 0.707.

EJEMPLO 5.3 Escogemos un punto X al azar en el intervalo J = [- 1, 1] . La probabilidad de que su cuadrado sea 0.25 es:

p(X2 > 0.25)

=

P( {X > 0.5} U {X < -0.5}) 1: ((0.5,1])

=

1:(J)

+

1:( [- 1,-0.5)) 1 1:(1) = 2"

La clave del cálculo anterior es la caracterización del suceso X2 > 0.25 . Aquí debemos tener en cuenta que X puede tomar valores negativos y que la condición necesaria y suficiente para que X 2 > 0.25 se cumpla es que se verifique alguna de • las dos condiciones, X > 0.5 ó X < - 0.5 .

5.3.

Probabilidades geométricas

Los razonamientos anteriores sobre el modelo uniforme en (0,1 ] se pueden aplicar a otros conjuntos de naturaleza geométrica. Por ejemplo, al cuadrado unidad e2 = [O, 1] x [O, 1]' al cubo unidad o a la circunferencia unidad: S2 = {(x,y) I x2 = 1}

+l

El modelo uniforme es similar en todos los casos. Elegir un punto al azar en cualquiera de esos conjuntos significa que la probabilidad de que el punto elegido pertenezca a un subconjunto es igual al cociente entre la medida (longitud, área, volumen, etc.) del subconjunto y la medida del espacio total.

5.3 Probabilidades geométricas

201

Propiedad 5.1 (Probabilidad geométrica) Si se elige un punto P al azar en un conjunto A, donde A es subconjunto de un espacio euclídeo, R, R 2 , R 3 , etc., la probabilidad de que el punto elegido pertenezca a B e A es: P (P E B) = _m_ ed_id_a....:.. (B---')-. medida(A)

(5.4)

EJEMPLO 5.4 Elegimos dos puntos X, Y al azar en el intervalo (0,1]; ¿cuál es la probabilidad de que Y > 2X ? Elegir dos puntos al azar en (O, 1] equivale a elegir un punto (X, Y ) al azar en el cuadrado (0,1 ] x (0, 1]. Para hallar la región favorable a y > 2X, trazamos la recta y = 2X; esta recta divide al cuadrado en dos regiones.

B

Figura 5.2:

La región inferior, B, está formada por los puntos que verifican Y < 2X . La región superior, A, que aparece sombreada en la figura 5.2, está formada por los puntos que verifican Y > 2X. A es la región "favorable" a Y > 2X. Se tiene:

P(Y > 2X ) = ,área (A) area total Dado que área(A ) = 1/ 4 Y área total EJEMPLO 5.5. Estimación de

11:

=

1, resulta P(Y > 2X )

=

1/ 4.

•

por simulación

Elegimos (X ,Y ) al azar en el interior del cuadrado [0,1] x [0, 1], ¿cuál es la probabilidad de X2 + y2 < I?

°

Figura 5.3:

202

Variables aleatorias continuas Trazamos la circunferencia X 2 + y2 = l . Esta línea divide al cuadrado en dos regiones. La región A, sombreada en la figura 5.3 es favorable a X 2 + y2 < 1, la región B es desfavorable. A es un cuadrante de circunferencia y su área es n/ 4. El área total del cuadrado es 1. Se sigue:

p (X 2+y2 < 1) = n /4 Este cálculo sugiere una manera de estimar n mediante simulaciones. Se eligen muchos puntos al azar en el cuadrado unidad y, en cada punto elegido, se comprueba si se verifica X 2 + y2 < 1 ó se verifica X 2 + y2 2: l. El cociente entre el número de puntos elegidos que verifican X2 + y2 < l Y el número total de puntos se aproxima a la probabilidad de que un punto elegido al azar pertenezca a A, esto es a n / 4 .

•

EJEMPLO 5.6 Se eligen dos puntos al azar en el intervalo [0, 1 J. Hallar la probabilidad de que el intervalo que determinan tenga longitud menor que 1/2.

Figura 5.4: Escoger dos puntos al azar en [O, I ] equivale a elegir un punto (X, Y) al azar en el cuadrado [0,1] x [0, 1 ] Ytomar la abscisa X como primer punto y la ordenada Y como segundo. El intervalo que determinan será (X, Y) si X ~ Y, ó (Y,X) si Y ~ X. En cualquier caso, su longitud es IX - y l. Para que se cumpla IX - y I < 1/2, el punto (X ,Y) elegido tiene que pertenecer al subconjunto A que aparece sombreado en la figura 5.4, comprendido entre la recta de ecuación x - y = 1/2 Y la recta de ecuación y - x = 1/2. Se sigue:

P( IX _YI <

~) = área(A) = ~ 2

área(O)

4

Observemos que este resultado no es evidente: tres de cada cuatro veces el intervalo • aleatorio que formamos tiene una longitud menor que 1/2.

5.4.


La elección de puntos al azar en el intervalo [0, 1 ] conduce al concepto de variable aleatoria continua l. Como hemos visto, en las variables discretas, el modelo está determinado cuando se conocen las probabilidades I En

la teoría general se denominan absolutamente continuas

203

5.4 Variables aleatorias continuas

de que la variable alcance cada valor posible. En las variables continuas, esas probabilidades no aportan infonnación porque siempre son cero. Para las variables continuas, los intervalos juegan un papel semejante al de los puntos para las discretas. La distribución de probabilidad de una variable continua está detenninada por las probabilidades de la fonnaP(X E (a,b]). En los modelos unifonnes (cuando se elige un punto al azar), la descripción anterior es sencilla. Basta decir que P (X E (a, b ]) es proporcional a b - a. Sin embargo, en los modelos no unifonnes, una descripción basada en describir de alguna manera las probabilidades P(X E (a,b]) es muy complicada. Para lograr una descripción más sencilla de la distribución recurrimos, otra vez, a la intuición física de las distribuciones de masa. Imaginemos un hilo construido con una aleación variable de plomo y cobre. El extremo izquierdo del alambre es cobre puro y el extremo derecho plomo puro. De manera continua, la proporción de plomo de la aleación aumenta de izquierda a derecha. Este hilo no es homogéneo. El peso de un trozo de longitud 1 depende de su posición en el hilo; cuanto más cerca del extremo derecho se encuentre, tanto más pesará. Para describir este sistema de masas, los físicos han inventado la noción de densidad. Esta noción se utiliza en dos contextos. Uno es macroscópico, la densidad media es una propiedad de un intervalo, 1, y se define como el cociente: masa del longitud de 1 Empleada en el otro contexto es una propiedad microscópica; la densidad en el punto x, que representaremos por f(x), es igual al límite:

. masa del intervalo (x - h,x + h) x=hm----------'------f() h-+O

2h

En esta fonna, la densidad es una función de cada punto. En las Matemáticas, esta es una operación bien conocida. La densidad de masa es similar a la velocidad instantánea, y conocemos bien que la densidad se obtiene derivando la masa y la masa integrando la densidad. Más fonnalmente, si f(x) es el valor de la función de densidad en el punto x, la masa contenida en cualquier intervalo se calcula mediante la fónnula: masa del intervalo (a, b)

=

¡b f

(t) dt

(5.5)

La analogía entre probabilidad y masa es casi total. La única pequeña diferencia es que la probabilidad está limitada por 1, mientras que la masa puede tomar valores arbitrariamente grandes. La noción de densidad de probabilidad se obtiene e interpreta exactamente igual que la función densidad de masa y nos pennite describir con facilidad distribuciones de probabilidad de variables continuas y no unifonnes, donde la probabilidad se concentra más en unas regiones que en otras.

204

Variables aleatorias continuas Definición 5.1 Cualquier función que cumpla las condiciones:

l. ¡(x) 2.

2 o.

l~ f (t ) dt = 1

Se denomina función de densidad de probabilidad.

Cada función de densidad de probabilidad detelmina una distribución de probabilidad sobre R. Una variable aleatoria X se denomina continua si su distribución está determinada por una función de densidad. La probabilidad del suceso {X E l }, donde 1 es un intervalo, se calcula mediante la expresión:

P(X

E 1) =

(5.6)

l f et)dt

semejante a la fórmula 5.5 para calcular la masa a partir de la densidad de masa. EJEMPLO 5.7 . Densidad uniforme

Las funcio nes de densidad de las variables continuas con distribución uniforme en un intervalo J , se caracterizan por ser constantes sobre los puntos de J y cero sobre los restantes

- 2

-1

Figura 5.5: Densidad unifonne en J = ( -1 ,2]

No puede ser de otra manera. Si la función de densidad no fuera constante, habría zonas de "alta densidad" y otras de "baja densidad" y la probabilidad de un subintervalo de longitud dada dependería de su posición, 10 que estaría en contradicción con la hipótesis de unifomlidad. La función de densidad uniforme en el intervalo J se define por:

f (x) = { e, 0,

si x E J si x

(5.7)

rt J

donde la constante e se determina por la condición:

l,J

f(l)dl

=

l,edl J

=

e l, dt J

= 1

205

5.4 Variables aleatorias continuas

Como

¡

dt

=

I!(J )

resulta e = 1/ I!(J ). Con esta definición 5.7, P(X E I) depende sólo de la longitud del intervalo y no de su posición en J. Además, si / = (a,b], se cumple:

P(X

E

I)

=j I

Cdt = (b cdt = c(b _ a) = I!(I) Ja I!(J)

que coincide con la fórmula 5.3. La gráfica de la función de densidad uniforme en • el intervalo J = ( - 1,2]. aparece representada en la figura 5.5. EJEMPLO 5.8

La función f( x) definida por:

f(x) =

{2X' O,

si x E [0, 1] six \i[ O,I ]

(5.8)

es una función de densidad porque verifica f (x) 2: O para todo x E R, Y cumple:

l

+= f(t)dt=

.-=

lol 2tdt=t2

1 1

O

= 1

O

Si X es una variable aleatoria con función de densidad f, X toma valores en el intervalo [O, 1].

Figura 5.6: Densidad ¡(x) = 2x

Para calcular P (O.I

< X < 0.2) , hacemos:

P(0.1 < X < 0.2) = P(X E (0.1,0.2)) =

lo

°·2 2tdt = 0.03

0.1

En el intervalo [0,1], la funci ón de densidad es creciente (ver figura 5.6). Esto significa que si / e [0, 1], la probabilidad P(X E I) es mayor cuanto más a la derecha esté situado f . Por ejemplo, se tienen:

P(X E (0.0,0.1 ]) = 0.01 P(X E (0.3,0.4 ]) = 0.07 P(X E (0.7, 0.8 ]) =0. 15 P(X E (0.9, 1.0]) = 0.19

•

206


5.5.

Interpretación gráfica del cálculo con funciones de densidad

Consideremos una función de densidad f. Interpretaremos gráficamente las condiciones que la definen y los cálculos que con ella hacemos. La primera condición que debe cumplir es f(x) ~ O, esto supone que la gráfica de y = f(x) está contenida en el semiplano y ~ O. La segunda condición es

¡+= J_= f(t)dt =

1,

lo que implica que el área comprendida entre el eje de abscisas y la gráfica de y = f(x) es igual a 1. Si X es una variable continua con densidad f, el

-4

-3

-2

-1

Figura 5.7: Interpretación geométrica de P(a < X < b)

cálculo de la probabilidad P(X E (a,b]) se hace mediante la fórmula:

P(X

E

(a,b]) =

¡b

f(t)dt

lo que supone que el área de la región comprendida entre el eje de abscisas, las rectas x = a, x = b Y la gráfica de y = f(x) es igual a P(X E (a,b ]). Por ejemplo, en la figura 5.7, el área de la región sombreada es igual a P( - 3 < X ::; -1). Si la función f es continua en el origen y h es suficientemente pequeño, se cumple:

!ah f(t) dt ~ f(O)· h De manera semejante, si f es continua en 2 y ponemos h = (2,2 + h l, se tiene P(X E h) ~ f(2) . h. En la función de densidad representada en la figura 5.8, f(O) es mucho más grande que f(2), en consecuencia es mucho más probable queX pertenezca al intervalo 11 que al intervalo h, aunque ambos intervalos tienen la misma longitud. Los valores máximos de f(x) indican las regiones de alta "concentración" de la probabilidad. Los valores de la función de densidad no son probabilidades; por eso, la función de densidad puede tomar valores arbitrariamente grandes. La interpretación intuitiva que podemos dar de los

5.5 Interpretación gráfica del cálculo con funciones de densidad

í', P (X E J I) "'=' f( O)· h :l\; :"1 I!il

m:

P(XE}z )"'=' f(2)·h

[::1

f;.

r' l

1: 1

JI

}z

Figura 5.8: Interpretación geométrica de f (x )

valores f(x) es que f(x) dx es una aproximación de la probabilidad de que X pertenezca al intervalo (x,x + dx j. EJEMPLO 5.9 Hemos señalado que los valores de las funciones de densidad na San probabilidades; por ello, las funciones de densidad pueden tomar valores arbitrariamente grandes. Este ejemplo muestra una función de densidad que na está acotada.

2.0

1.5

1.0

0.5

- 1

Figura 5.9: Función de densidad no acotada

Consideremos la función definida por:

f(x) =

_I_ {

2,¡x'

O,

si XE (0 , 1]

(5.9)

sixít'(O,I]

Esta función es de densidad, su gráfica se representa en la figura 5.9. Cumple la primera condición, f(x) 2: O, Y también la segunda, ya que se tiene:

1

+=

-=

f(t) dt=

101 ----,r,'dt=(Vtlo=1 1 1 O 2y

2Jx

t

(5.10)

Ahora, cuando x 1 O, se tiene f(x) = = = , luego f(x) toma valores arbitrariamente grandes cerca del origen y na está acotada. •

207

208


5.6.

Esperanza matemática de una variable continua

Consideremos una variable aleatoria continua X, que toma valores en un intervalo. Para fijar ideas, supongamos que el intervalo es! = (0,1]. La esperanza matemática de X, intuitivamente, es el promedio de los valores que toma la variable y de las probabilidades con que alcanza esos valores. Pero, puesto que la variable es continua, se tiene P(X = x) = O para cada valor posible x. ¿Cómo promediar valores y probabilidades? Hagamos como si X fuera discreta. Recordemos que si h es pequeño, se tiene P(x:S X :S x+h) ~ f(x) h. Dividamos el intervalo! en n subintervalos iguales, O

1

2

n-]

n

0=-<-< - <···< - - < - = 1 n n n n n Si imaginamos que la probabilidad P(k/ n < X :S (k + 1) / n) está concentrada en el punto k / n, estamos imaginando que la variable se ha convertido en discreta por acumulación de la probabilidad de cada subintervalo en el extremo inferior del intervalo. Tras este proceso, el promedio de valores y probabilidades es igual a: k k k+1 Ln -P(
1 1

o

tf(t)dt

(5.11)

Cuanto mayor sea n, más próxima estará la suma a la integral. Del razonamiento heurístico anterior se deriva la definición de esperanza de una variable continua. Definición S.2 La esperanza matemática o valor esperado de una variable X con función de densidad f es la integral:

E{X} =

L~tf(t)dt

(5.12)

siempre que sea finita. EJEMPLO 5.10 dad:

Sea X una variable unifonne en (-1,2], con función de densif(X

J

={1/3, O,

siXE(-1,2] six ít' (-1,2]

En la figura 5.5 se representa la gráfica de f(x). De acuerdo con la definición de esperanza matemática de una variable continua, se tiene:

209

5.7 Esperanza matemática de una función

Observemos que E {X} = 1/ 2 es el punto medio del intervalo (- 1,2 ]. Este hecho no es casual, en general, el valor esperado de una variable uniforme en el intervalo (a,b] es su punto medio (a + b) /2. • EJEMPLO 5.11

La función f definida por: X- 2

f(x ) = { O

si x::::: 1

.

Sl X

<

1

es una función de densidad ya que f(x ) ::::: Oy

¡+=

f(x)dx=

~""

¡+=--zdx 1 I 1+= = -~

I

X

X

= 1

I

Si X es una variable con densidad f, se tiene:

Figura 5.10: Densidad ¡ (x)

E{X}=

= x - 2 , para x ;:' 1

r tf(t )dt = JIr ~tI dt=lnt 1"" = 00 ""

=

JI

I

La variable X no tiene esperanza matemática. Observemos que la integral es infinita porque t f (t ) decrece hacia cero lentamente cuando t ----> oo. •

5.7.

Esperanza matemática de una función

El concepto más general de esperanza de una función se define de manera similar a la esperanza de X. Un razonamiento heurístico para calcular el promedio es: la probabilidad de que X tome valores entre x y x + dx es f(x) dx y, si X E (x,x + dx 1 y g es una función razonable, g(X) vale g(x), aproximadamente. Por ello, un valor aproximado de E {g(X)} es:

Lo que sugiere definir la esperanza matemática de g(X) como el promedio de los valores de g(X) respecto de la función de densidad de X:

E{g(X)} =

[~"" g(t)f(t)dt

(5.13)

210


Un caso particular muy importante es la varianza de X, que se define como la esperanza de la función g(X) = (X - E{X} )2.

a; = ¡_=+= (t - E{x})2 f(t)dt Si desarrollamos el cuadrado del binomio, y simplificamos el desarrollo, obtendremos la conocida fónnula:

5.8.

Distribución uniforme en un intervalo

Su paradigma es escoger un punto al azar en el intervalo. Supongamos que se trate del intervalo [a , b ], con a < b. Su función de densidad es:

a

b

Figura 5.11:

¡(x)

~{

b-a' 0,

six E[ a,b] ; six

9' [a,b];

La gráfica de esta función aparece representada en la la figura 5.11. La esperanza de una variable unifonne X es:

E{X}

=

lbt~ a

Para calcular

a;, hallamos primero E {X

E{X 2 } =

l

. a

b 2

t

dt b- a

__

=

=

b-a 2

a+b 2

(5.14)

}:

b3 - a3 3(b - a)

1 3

= -(b2 +ab+a2 )

se sigue:

a; = E{X

2

} -

(E {X} )2 =

~ (b 12

a) 2

A partir de la distribución unifonne en [O, 1] se puede calcular cualquier otra distribución. Por ello, La distribución unifonne es clave en la técnica de simulación ya que, si somos capaces de sortear un número al azar en [0, 1] , podemos simular cualquier sorteo.

211

5.9 Distribución exponencial

5.9.

Distribución exponencial

Su paradigma es el tiempo que tarda en desintegrarse un átomo de una masa de material radioactivo.

Figura 5.12: Función de densidad exponencial

La función de densidad exponencial es:

f(x)

=

{A eO,

AX

, si x > O; si x :S O;

(5.15)

Como podemos observar, la función depende de un parámetro A > O. Cuanto mayor sea A, más rápidamente decae la función y más probable es que la variable tome un valor próximo al origen. La gráfica de esta densidad para el valor A = 1, aparece representada en la figura 5.12. Las distribuciones exponenciales tienen una propiedad característica similar a las de las distribuciones geométricas: carecen de memoria. Si X tiene distribución exponencial de parámetro A > O, se verifica:

P(X > x)

= 1 00 Ae- At dt = e- At x

00 1

= e- AX,

para x > O

x

Lo que implica:

P(X > x+hIX > x)=

P(X> x+h ) A ( ) =e- h = P(X > h) P X >x

Podemos interpretar la igualdad P(X > x + h IX> x) = P(X > h) de la manera siguiente: si transcurren x unidades de tiempo sin que el suceso que esperamos haya ocurrido, la probabilidad de que se retrase al menos otras h unidades de tiempo es la misma que al comienzo. Esta propiedad implica que un suceso que tarda en ocurrir un tiempo exponencial se comporta como un proceso sin envejecimiento. El suceso ocurre súbitamente, sin que haber esperado mucho tiempo sin que ocurra haga más probable una próxima aparición. La esperanza matemática de una variable exponencial es:

212


esta integral se calcula por partes; si hacemos u = t Y Vi = Áe- AI, con lo que u' = 1 Yv = _ e- Al, resulta:

10= t Áe- AI dt = - te- AI I: + 10=e- Al dt = -te- Al

=+ lo

¡1 e- Al

1O=

I Á

Lo que implica E{X} = l/Á. Para calcular E {X 2 }, se integra por partes dos veces y resulta E {X 2 } = 2/ Á 2 . Como consecuencia, la varianza de la distribución exponencial es igual a: (5.16)

5.10.

Distribución normal

En 1733, DE MOIVRE usó la distribución que hoy denominamos normal para aproximar probabilidades relacionadas con variables binomiales que tenían un parámetro n muy grande. La utilidad de la distribución normal cayó en el olvido hasta que, en 1809, GAUSS la utilizó en sus investigaciones astronómicas para predecir la posición de los objetos estelares. En su honor, se denominó distribución gaussiana. Durante la segunda mitad del

Figura 5.13: Johann Carl Friedrich Gauss, nació en Brunsw ick (Alemania), en 1777, Y murió en Gottingen (Alemania) en 1855. Desde la escuela elemental destacó por su

capacidad para las matemáticas. Con el apoyo del duque de Brunswick, estudió en la universidad de Gottingen. El primero trabajo que le hizo famoso fue la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás, problema abierto desde los tiempos de Euclides . Inventó el método de los mínimos cuadrados para predecir la posición del pequeño planeta Ceres, descubierto en 1801 , del que sólo se tenían unas pocas posiciones. A la muerte del duque, le nombraron director del observatorio astronómico de Gottingen, donde trabajó hasta su muerte.

siglo XlX, cuando se desarrolló la estadística como técnica auxiliar de las investigaciones biológicas y agronómicas , se llegó a creer que la mayoría de los datos que provienen de experimentos biológicos, se ajustan a esta distribución. Por esta razón, PEARSON la denominó distribución normal, término por el que hoy la conocemos. La función de densidad normal es: _ _ 1_

f (X ) -

~

v2ncr

e

_ (X - /1 )2/2a2

,

-00

00

(5.17)

213

5.10 Distribución normal

- 2

-3

- 1

Figura 5.14: Función de densidad JV (0,1)

La función de densidad normal depende de dos parámetros J.l y a; J.l es la media de la distribución y a 2 es su varianza. Realmente, se trata de una familia de distribuciones, para cada valor de J.l y a hay una distribución normal. Para referirnos a la distribución normal de parámetros J.l y a emplearemos el símbolo ../V(J.l , a). Por ejemplo, diremos que la función 5.17 es la función de densidad de la distribución ../V (J.l , a) y que la función de densidad:

¡(x) = vke- X2/2,

- 00 < x < 00

es la densidad ../V (O, 1), la más sencilla de todas las densidades normales. La función de densidad ../V (O, 1) es simétrica y monótona creciente en (-00,0). Su gráfica aparece en la figura 5.14. 5.10.1.

Cálculo con distribuciones normales

Las distribuciones normales tienen una importante propiedad que facilita el cálculo: si a una variable normal le aplicamos una transformación lineal, la variable que resulta también es normal. Propiedad 5.2 Si X es una variable con distribución ../V (J.l, a ) ya, b E R, entonces aX + b tiene distribución normal de media:

E{aX +b} =aE{X} + h = aJ.l+b y varianza: 2

2

2

2

2

aaX+b = aaX =a ax = a a

va

2

2 a 2 = lala, podemos enunciar la propiedad anterior Ahora, como diciendo que la variable aX + b tiene distribución ../V(aJ.l + b, la la ). Por ejemplo, si X tiene distribución ../V ( - 1,2), entonces la variable Y = - X tiene distribución ../V (1,2), la variable W = 2X - 1 tiene di stribución ../V ( -3 ,4) Y la variable Z = X /2 tiene distribución ../V ( -1 /2,1). En particular, si X

214


tiene distribución JV (/1, a), la variable:

Z=X-/1 a

tiene distribución JV (O, 1). Lo habitual es designar por Z a las variables con distribución JV (0,1)). De esta manera, cualquier cálculo que haya que hacer con una distribución JV (/1, a) se puede reducir a un cálculo con la distribución JV (O, 1). La transformación lineal que convierte X en (X /1 ) / a se denomina tipificar la variable X. Por ejemplo, si X tiene distribución JV (1,2), el cálculo de P (X :'S 2) se reduce a un cálculo con la distribución JV (0,1):

X -1 2-1) P(X :'S 2) = P ( -2-:'S -2- = P(Z :'S 0.5) donde Z = (X - 1) /2 tiene distribución JV (0,1). De la expresión de la función de densidad JV(O, 1), se sigue:

1 2 ~e - t /2 dt

0.5

P(X :'S 2) = P(Z :'S 0.5) =

1

v2n

-=

(5.18)

t2

Desgraciadamente, la función primitiva de e- / 2 no se puede expresar en términos de las funciones elementales y la integral debe calcularse mediante algún método numérico. La tabla 5.2 recoge los valores de calcular =

1

1 V2ii

2

__ e- t /2dt

z

para cada z 2 O, de centésima en centésima. Gracias a ella, podemos hallar cualquier probabilidad normal con una buena aproximación. Observemos que la tabla 5.2 sólo muestra los valores P(Z > z) para z 2 O. No se necesita más, por la simetría de la función de densidad, ver figura 5.15, se tiene:

P(Z < -z) = P(Z > z), Expresión que permite calcular P(Z

z>O

> z) para cualquier z.

~ °

~ -z

- z

Figura 5.15: P(Z < -z)

= P(Z

EJEMPLO 5.12 En la tabla 5.2 encontramos P(Z este valor podemos calcular:

P(Z ::; 0.5)

=

I - P(Z

z

> z)

> 0.5)

=

0.3085. A partir de

> 0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915

215

5.11 La distribución "natural" de los números con lo que calculamos la expresión 5.18 P(X :s: 2) = 0.6915. También, podemos calcular P(Z < - 0.5) = P(Z > 0.5) = 0.3085 Y P(Z :::> -0.5)

= 1-

P(Z

< -0.5) = 0.6915

En todos estos cálculos debemos tener en cuenta que P(Z = z) = O, 10 que implica: P(Z:S: z) = P(Z

< z),

P(Z :::> z) = P(Z

> z)

Otro ejemplo, si X tiene distribución JY (- 1,4), para calcular P(X mos así: primero, como P(X = - 2) = O, se tiene P(X:S: - 2) = P(X

:s: -2) razona-

< -2)

segundo, tipificamos X y resulta: P(X < -2) = P (

X-(-I) - 2-(-1)) 4 < 4 = P(Z < -0.25)

tercero, por la simetría, resulta: P(Z

< - 0.25)

=

P(Z

> 0.25)

=

0.4013

•

luego P(X < -2) = 0.4013.

La distribución normal juega un papel principal entre los modelos probabilísticos. Sirve para modelar los fenómenos que son resultado de añadir un gran número de efectos independientes, cualquiera que sea el contexto de que se trate. Desde el punto de vista teórico, los resultados que justifican la afirmación anterior se denominan teoremas centrales del límite. Uno de los más sencillos, manera informal, se enuncia: La suma de un gran número de variables independientes e igualmente distribuidas tiene una distribución aproximadamente normal, con independencia de la distribución que tengan las variables que sumamos.

5.11.

La distribución "natural" de los números

Recordemos que en la notación en punto flotante normalizada, cualquier número x se puede escribir de la forma m(x) . IOn, donde m(x) E [1/10,1) es la mantisa de x y n la característica. Por ejemplo, el número x = 0.000214 se puede expresar como:

x = 0.214 . 10- 3 En esta forma normalizada, el primer dígito de la mantisa, m(x), tras el punto decimal debe ser 1, 2, 3,4,5,6,7,8 ó 9. Esta condición equivale a suponerm(x) E [1/10,1).

216


0.1

0.5

Figura 5.16: Gráfica de la densidad de

BENFORD

Para analizar las rutinas de las operaciones aritméticas en punto flotante, o el número medio de operaciones de normalización que hará el computador, es esencial conocer la distribución de la mantisa de los números. Suponer que la mantisa es uniforme en su rango de variación es un error. Hay una evidencia considerable de que sigue una distribución denominada ley recíproca o ley de BENFORO. La historia de este descubrimiento es interesante y un poco sorprendente. En 1881, el astrónomo NEWCOMBE observó que las primeras páginas de su tabla de logaritmos se desgastaban más que las últimas, lo que indicaba que los números con primer dígito significativo pequeño se consultaban con más frecuencia que los que tenían un primer dígito significativo grande. La observación de NEWCOMBE fue redescubierta en 1937 por FRANK BENFORO, un físico que trabajaba en el laboratorio de General Electric. BENFORO recolectó más de 20000 números procedentes de distintas fuentes, desde superficies de cuenca de diversos ríos, pesos moleculares o estadísticas del baseball. De la evidencia empírica que recogió BENFORO se desprende una hipótesis: los números se distribuyen de modo que el logaritmo de su mantisa es un número elegido al azar en su rango de variación: [1/10, 1). Esta hipótesis equivale a suponer que la función de densidad de la mantisa es:

f(m)

~{

mInIO O

si m E [1/10,1) si m

(5.19)

\l' [1/10,1)

Por ejemplo, una consecuencia de que los números se distribuyan conforme a la ley de B ENFORO es que la distribución del primer dígito significativo no es uniforme. Para que el primer dígito significativo sea igual a k, la mantisa

217

5.12 Variables mixtas tiene que estar comprendida entre k/ 10 Y (k + 1) / 10. Por ello, se tiene:

¡

(k+ l)/10

P (primer dígito significativo es k)

=

=

kilO

f (m) dm

{ (k+l)/IO_I_

mInIO ln(k+ 1) - lnk lnlO

Jk l lO

dm

La tabla 5.1 muestra las probabilidades p(k) de cada uno de los dígitos. k

p(k)

k

p(k)

k

p(k)

1

0.3010

4

0.0969

7

0.0580

2

0.1761

5

0.0792

8

0.0511

3

0.1249

6

0.0669

9

0.0457

Tabla 5.1: Probabilidades del primer dígito

Las probabilidades son decrecientes. El dígito más probable es 1. Con una probabilidad casi igual al 50 %, el primer dígito es 1 Ó 2.

5.12.

Variables mixtas

Además de las variables discretas y de las continuas hay otras clases de variables. De manera "natural" aparecen variables que denominaremos mixtas, ya que parecen compuestas de una parte discreta y otra continua. Consideremos una ruleta como las que aparecen en la figura 5.17 y el juego siguiente: si la aguja se detiene en un número x :s: 1/ 2 (figura 5.17 A), ganamos una cantidad igual a x; si la aguja se detiene en un número x> 1/2 (figura 5.17 B), ganamos O.

,6 , ~V4

(A)

(U)

Figura 5.17:

Sea X el punto en que se detiene la aguja, X E [0,1), Y G la ganancia que obtenemos. X es una variable continua (es un punto elegido al azar en

218


X E [0,1)). La variable G es función de X: si O ~X ~ 1/2 si 1/2 < X < 1

(5.20)

G no es una variable continua, ya que P( G = O) = 1/2, ni es una variable discreta, ya que puede tomar cualquier valor entre [0,1/2]. G es en parte discreta y en parte continua. Una manera equivalente de sortear el valor de G sería lanzar una moneda; si sale cara, se elige G al azar en el intervalo [O, l /2]; si sale cruz, G = O. Para comprender mejor estas variables nos ayuda, otra vez, la similitud con las distribuciones de masa que estudia la física. Un cable sujeto por sus extremos se curva debido a su propio peso. Si el cable es homogéneo, el modelo de la distribución de masas es continuo. La masa de un trozo de longitud dx es infinitesimal. El cable se curva según una función denominada catenaria. Si colgamos una masa en un punto del cable, el sistema de masas que actúan es mixto: hay una masa repartida de manera continua en la longitud del cable y otra, discreta, concentrada en un punto. La definición 5.20 de la variable G, basta para calcular cualquier probabilidad de la forma {G E B}. Por ejemplo, se tiene:

P(G > 1/4) = P(X > 1/4) = 1/4 ya que G > 1/4 si y sólo si la aguja de la ruleta se detiene entre 1/4 y 1/2. Otro ejemplo, se tiene:

P(G ~ 1/3) = P(X ~ 1/3) + P(1 /2 < X < 1) =

1

1

:3 + 2.

Para describir la distribución de esta variable no podemos emplear ni la función de probabilidad ni la función de densidad. Para lograr esta descripción se precisan las funciones de distribución que estudiaremos en el apartado siguiente. El cálculo de la esperanza de G también es intuitivo. Puesto que, con probabilidad 1/2, G vale O y, con probabilidad 1/2, G vale lo mismo que un número elegido al azar en el intervalo [O, 1/2 ], la esperanza de G es razonable que sea igual al promedio de la esperanza de una variable que siempre vale O y otra uniforme en [O, 1/2 ], es decir

i

l 2 /

1 E{G} =-1 ·O+ _· 2 2 o

5.13.

t2dt= -1 8

Funciones de distribución

Las funciones de distribución son la herramienta que permite hacer una teoría general de la probabilidad, con afirmaciones válidas para todas las

219

5.13 Funciones de distribución j istribuciones posibles, sin necesidad de distinguir casos, como estamos :-lJ.ciendo en esta introducción elemental.

Definición 5.3 SeaX una variable aleatoria. La [unción F: R f-+ R definida F(x) = P(X :::; x),

para cada x E R

'-= denomina función de distribución de X.

La función de distribución describe cómo está repartida la probabilidad los valores de X. Cada distribución de probabilidad tiene una función ~ distribución y cada función de distribución describe una única distribu~ ¡ón de probabilidad. Las propiedades de las funciones de distribución se ':cducen de las propiedades de la probabilidad.

~ nt re

Propiedad 5.3 Toda [unción de distribución F verifica las propiedades si~u jentes :

l.

F es no decreciente: si x <

x, se tiene F (x) :::; F (X) .

F es continua por la derecha: lirnhiO F (x + h) 3. Secumplellmx-->=F\x)

=

F (x).

= 1 y\imx-->_= F \x) =\) .

Justificar las tres propiedades no es difícil. Por ejemplo, si x

< x, se cumple:

{X :::; x} e {X :::; x'} lo que implica:

F (x)

=

P(X :::; x) :::; P(X :::; x')

=

F(X')

y F es no decreciente. Por otra parte, fijo x, si h 1 o, se tiene:

limF (x+ h) = limP (X :::; x+ h) = P(X :::; x) = F (x ) hi O

hi O

luego F es continua por la derecha. Por último, se tiene:

limF(x ) = limP (X :::; x) = P(X oo

x---+oo

x ---+

E

R) = 1

y

lim F(x) = Iim P(X :::;x) = P(X E 0) =0

x ---+- oo

X ---+- oo

lo que prueba la tercera propiedad. Las tres propiedades anteriores caracterizan a las funciones de distribución, esto es, la condición necesaria y suficiente para que una función sea de di stribución es que cumpla las tres propiedades.

220


A partir de la función de distribución podemos calcular probabilidades. La clave es la igualdad:

pea < X

~

b) = P(X

~

b) - P(X

~

a) = F(b) -F(a)

(5 .21)

Como apreciaremos más tarde, esta expresión tiene una gran ventaja: no depende de la clase de variable que consideremos. Tanto si X es discreta, como continua, como mixta, como de otras clases que no estudiamos, el cálculo de la probabilidad de {X E (a,b]} siempre es el incremento de la función de distribución. Por otra parte, si se quiere calcular P(X < b), basta hallar el límite:

P(X < h) = limP(X hl 0

~

b-h) = limF(b - h) hl0

Observemos que limhlo F (b - h) es el límite de F en h por la izquierda. Este límite siempre existe (por ser F no decreciente) y lo designaremos por F(b - ). Gracias a esta notación, podemos dar fórmulas semejantes a 5.21 para calcular P(X E I) cualquiera que sea el intervalo l. Si 1 = [a, b], resulta:

pea ~ X ~ b) = P(X ~ h) - P(X < a) = F(b) - F(a - )

(5.22)

Sil = (a,h), tenemos:

pea < X < b) = P(X < b) - P(X ~ a) = F(b-) - F(a)

(5.23)

Por último, si 1 = [a, b), se obtiene: P(a~X < b) =P(X
(5.24)

Gracias a la notación anterior, también podemos expresar la probabilidad deX = a:

P(X = a) = P(X ~ a) -P(X < a) = F(a) - F(a - ) Ahora, puesto que F siempre es continua por la derecha, será continua en un punto si y solamente si es continua por la izquierda, lo que equivale a F (a- ) = F (a). De la expresión anterior se sigue que F es continua en el punto x = a si y solamente si P(X = a) = O. Si F es una función de distribución, sólo caben dos casos: ó F es continua en x = a y P(X = a) = O, ó F tiene un salto en x = a y P(X = a) es igual al tamaño del salto

F(a) - F(a - ).

221

5.14 Tres modelos de funciones de distribución

5.14.

Tres modelos de funciones de distribución

5.14.1.

Variables discretas

Sea X una variable discreta con distribución binomial de parámetros n = 3, p = 1/2. La función de probabilidad de X es igual a:

P(X = 1) = P(X = 2) =

3

8'

1

P(X = 3) = 8

Por la naturaleza de la distribución de X, debemos distinguir cuatro casos. • Si x < O, entonces Fx (x) = O, ya que X no puede tomar valores menores o iguales que x < O. • Si O ::; x 0.125.

< 1, entonces {X ::; x} = {X = O} Y Fx(x) = P(X = O) =

• Si 1 ::; x < 2, entonces {X ::; x} = {X = O} U {X = l} Y Fx(x) = P(X = O) + P(X = 1) = 0.5.

< 3, entonces {X ::; x} = {X = O} U {X = I} U {X = 2} Y Fx(x) = P(X = O) +P(X = l )+ P(X =2) = 0.875.

• Si 2 ::; x

• Por último, si x 2:: 3, entonces {X ::;x} = {X = O}U {X = l} U{X = 2}U{X = 3} y Fx(x) = P(X = O) + P(X = 1) + P(X = 2) +P(X = 3) = 1. En resumen, la función de distribución de X se define por:

Fx(x) =

O

si x

0.125

si O ::; x < l

<2 0.875 si 2 ::; x < 3 0.5

si 1 ::; x

si x 2:: 3 La función Fx aparece representada en la figura 5.18. Es una función que tiene cuatro saltos, tantos como valores posibles de X. Entre los saltos, la función es constante, lo que indica que no hay probabilidad entre ellos. Lo característico de una variable discreta es que la suma de los saltos es igual a uno. El tamaño de cada salto es igual a la probabilidad concentrada en el punto. Por ejemplo, P(X = 1) = 0.375, que es el tamaño del salto de Fx en el punto x = 1, ya que F (1) = 0.5 Y F (1- ) = 0.125.

P(X = 1) = F (1) - F (1 - ) = 0.375

222


-

-

,,

0.5

,

Figura 5.18: Función de distribución discreta

De acuerdo con las fórmulas generales, para calcular P(0.5 < X ::; 1.75), hacemos:

P(0.5 < X ::; 1.75) = F (1.75) - F (0.5) = 0.375 Todas las variables aleatorias discretas que sólo toman un número finito de valores tienen una función de distribución con una gráfica similar.

5.14.2.

Variables continuas

Otro ejemplo, sea Y una variable aleatoria exponencial de parámetro

A = l. Para hallar su función de distribución distinguimos dos casos . • Si x < O, entonces Fy (x) = O, ya que se tiene: Fy (x) =

¡:=

Odt = O

• Si x::;> O, entonces Fy (x) = 1 - e-x, ya que se verifica:

= - e - [ IX =1- e -x

o En resumen, Fy es igual a: si x::; O six > O La figura 5.19 muestra la gráfica de Fy. Observemos que la derivada de la función de distribución es igual a la función de densidad. Esta observación nos da la clave para calcular la función de densidad, supuesto que exista.

5.14 Tres modelos de funciones de distribución

0.75

0.5

0.25

Figura 5.19: Función de distribución exponencial A = I

Propiedad S.4 SeaX una variable aleatoria y F su función de distribución. Supongamos que F' (x) existe salvo para un número numerable de puntos. Si se cumple:

¡~ F'(t)dt =

1

entonces X es continua, tiene función de densidad y es igual a F' . Por ejemplo, la función Fy es derivable en todos los puntos excepto en x = O. Su derivada es:

F~(X)={O_e x

si x< O six> O

No tiene importancia que F no sea derivable en x = O, ya que la integral sobre un punto es cero. Observemos que, naturalmente, cumple la propiedad de las variables continuas:

Por ser no decreciente, cualquier función de distribución tiene derivada en todos los puntos salvo quizá un número en numerable de ellos. Si queremos calcular la función de densidad a partir de la de distribución es preciso hacer esta comprobación, ya que puede ocurrir que la variable no sea continua, como ocurre en el ejemplo siguiente. 5.14.3.

Variables mixtas

Consideremos la variable mixta G definida en 5.20. Para calcular la función de distribución de G consideramos tres casos: • Six < O, entoncesP (G:Sx < O) = OyFc (x) = 0.

223

224

0.75

0 .5

0.25

0.25

0.5

Figura 5.20: Función de una distribución mixta

• Si O <::::

X

<::::

1/2, entonces se tiene:

P(G

<::::

x) = P(G = O) + P(O < G

<::::

x)

-2 + lox dt O

= 1

1 2

= -+x luego Fe (x) =x+ 1/2 . • Por último, si x > 1/2, entonces P(G

<::::

x) = 1 Y Fc(x) = 1.

En resumen, la función de distribución de G se define por:

Fo(x)

~ {~+j

six < O si O <:::: x

<::::

1/2

six > 1/2

La función Fe aparece representada en la figura 5.20. Observemos que F¿ (x) existe en todos los puntos excepto en x x = 1/2. Se cumple:

= OY

six < O siO < x < 1/2 si x > 1/2 Sin embargo, F¿ no admite función de densidad CG no es continua), ya que se tiene: = 1

1-=

F¿(x)dx =

lol/2 1dx=- cj 1 o

2

La gráfica 5.20 es el modelo de las funciones de distribución de las variables mixtas. Tiene saltos, que constituyen la parte discreta de la distribución y, en los restantes intervalos, se comporta como continua.

5.15 Función de distribución de Y

= g(X)

225

La probabilidad P (-1 < G <:= 1/4) se calcula:

P( - 1 < G <:= 1/4) = Fc(1/4) - Fe( - 1) =

1

1

3

2+ 4 - o= 4

Otro ejemplo, la probabilidad P(O <:= G <:= 1/3) se calcula:

P(O<:=G <:= 1/3) =Fc(1/3)-Fc(0-) =

1

1

= {X = O} U {O < G

Observemos que {O <:= G <:= 1/3} cumple:

5

2+:3- 0 = 6 <:= 1/3} y que se

P(O<:=G <:= 1/3) =P(X=O)+P(O
= -1 + 2

5.15.

1 1

o

/3 1dt

Función de distribución de Y = g(X)

Dada una variable aleatoria X, nos planteamos calcular la función de distribución de otra variable Y = f(X) que es función deX. El método que seguiremos es hallar la función de distribución de Y a partir de la distribución de X. Gracias a la función de distribución, podemos saber si Y es una variable discreta, continua o mixta, y calcular su función de probabilidad o de densidad en cada caso. La idea de este método no puede ser más sencilla. Para cada intervalo 1, se cumple:

P(Y El) =P(X Eg- 1 (1))

(5.25)

donde g-1 (1) = {x; g(x) E I}. En particular, si aplicamos lo anterior al intervalo 1 = ( -oo,y l, se tiene:

Fy(y) =P(Y <:=y) =P(g(X) <:=y) =P(X E g- 1(1)) En cada caso, hay que estudiar el conjunto g- 1(1) Y calcular su probabilidad. Ese análisis dependerá de cada función g particular. Unos ejemplos nos muestran cómo actuar en cada caso. EJEMPLO 5.13. Funciones lineales

Supongamos que X es una variable exponencial de parámetro A = 1 Y que y es una función lineal de X:

y

=

3X-l

Se tiene:

y+l

Fy(y) =P(3X -1 SY) = P(X S -3-) = Fx

(Y+l) -3-

(5.26)

226


Ahora, dado que Fx (x) es igual a:

Fx (x) resulta:

Fy (y) =

=

{~_e-x

{~ _

e -(y+ I)/3

si x :::; O

six > O siy:::; -1 siy> -1

Comprobemos que Y es continua y calculemos su función de densidad. De la expresión anterior, se sigue: I

Fy (y)

=

{O1

e

si y < -1 - (y+ I)/3

si y > -1

Como la integral de esta función es igual a 1,

1 ~ e-(y+ I )/3 = -13

dy = _e- (Y+ I)/3 [= = I -1

resulta que la función:

fy (y) =

{~e-(Y+ I )/3

siy:::; -1 si y > -1

es la función de densidad de Y. Observemos que hemos completado la definición de 0, lo que no altera el valor de la integral. •

F?, poniendo fy ( -1 ) =

La aplicación de la igualdad 5.25 supone manejar desigualEJEMPLO 5.14 dades, lo que debe hacerse con cuidado. En particular, debemos recordar que si multiplicamos cada miembro por un número negativo, la desigualdad cambia de orientación. Por ejemplo, supongamos que X es una variable con función de densidad : 2x si x E (1 ,2)

f (x ) =

{

¿ si

x E,i (1,2)

y consideremos la variable Y = 1 - 2X. Hagamos una interpretación gráfica del cálculo de la distribución de Y. La figura 5.21 muestra la función Y = 1 - 2X. Puesto que X toma valores en el intervalo (1 ,2), la variable Y tomará valores en (- 3, -1 ). La figura 5.22 muestra la interpretación geométrica de la igualdad 5.25. En este caso y = g(X ) = I - 2X ; si queremos calcular P(Y E ( - 2.2, - 1.8 ]), tenemos I = (-2.2, - 1.8] Yg - I (1 ) = (1.4, 1.6 ]. Se tiene: P (Y E (- 2.2, -1.8])

= P(X

E (1.4,1.6])

=

1.6

2x dx 3

1lA

= 0.2

De igual manera podemos calcular la probabilidad de cualquier otro intervalo. Para calcular la fun ción de distribución de Y consideramos los intervalos de la forma 1 = (- oo,y]. El razonamiento analítico es:

Fy (y)

= P(1- 2X :::; y) = P( - 2X :::; y -1) = P (X ::::: (1 - y)/2)

y{,

5.15 Fundón de d;,t,;budón de

227

x

Figura 5.21:

x

Figura 5.22:

En el cálculo anterior hemos puesto en evidencia cada paso del razonamiento. En =special, observemos que la división por -2 hace cambiar el sentido de la desigual:.ad.

Para calcular P(X :::: (1- y) / 2) a partir de la funci ón de densidad de X , debemos i¡scutir si (1 - y) / 2 pertenece o no al intervalo (1,2). • Si y

:s: - 3, entonces ( 1 Fy (y)

• Si - 3 < y

=

y) / 2 :::: 2 y se tiene:

r

f (x) dx

J (I-y) /2

=

r

J (I - Y) 12

Odx

=O

< - 1, entonces 1 < (1 - y ) / 2 < 2 Y se tiene:

Fy (y)

=

=

f (x) dx =

J

(l - y )/ 2

J2 -2x dx = -l6---'---'-''(1- y)2 12

( l - y)/2 3

• Por último, si y:::: - 1, entonces (1 - y) / 2 :s: 1 y se tiene:

Fy (y)

=

J

=

( l - y) /2

f (x) dx =

/22x- dx = 1

3

1

228


En resumen, la función de distribución de Y es igual a:

Fy (y) =

{

O

siy S; - 3

[16 - (1 - y) 2] / 12

si - 3 < y < - 1

1

si Y :2: -1

La derivada F~ existe en todos los puntos salvo en y = - 3 e y = - l. Se comprueba que la integral de F~ es igual a 1. Se sigue que Y tiene función de densidad dada por: fy (y) = {( 1 - y) /6 O

si - 3 < y < -1 siy¡¡7(-3, - I)

La figura 5.23 insiste en la interpretación gráfica de la igualdad 5.25. Hemos repre-

x - 1

~

'"

/'

"~. ------ -- --- - --- ---------------------- - -

/¡ ~

\"' - 3

- 4

Figura 5.23:

sentado la gráfica de la transformación Y = 1 - 2X y las funciones de densidad de X e Y. La igualdad 5.25 implica que para cada intervalo las áreas correspondientes • son iguales. EJEMPLO 5.15 en (- 1, 1).

Sea X una variable aleatoria con función de densidad uniforme

l(X)={1/2 siXE(- l,l ) .

O

si x ¡¡7 ( - 1, 1)

Calculemos la función de densidad de la variable Y = X 2 . La figura 5.24 permite interpretar esta transformación. Como X toma valores entre - 1 y 1, la variable y tomará valores entre O y 1. Para calcular Fy (y) es preciso analizar el conjunto {X 2 S; y} . En la figura 5.24 (b) se justifica gráficamente la igualdad:

{Y S; y} = {X 2 S; y} = { - yY S; X S; yY} válida para cada y> O. Se sigue que, para O < Y < 1, se cumple:

Fy (y) = P( - yY S; X S; yY)

=

I

vY 1

-dx= yY . - vY 2

229

5.16 Distribución de una variable condicionada por un suceso

- 1

/'

(a )

(b )

Figura 5.24:

Sin dificultad se comprueba que Fy (y) = O, si Y ::; O, Y Fy (y) = 1, si y 2: 1. En resumen, la función de distribución de Y es igual a:

Fy (y) =

Observamos que

{

O

si y ::; O

JY

si O < Y < 1

1

si Y 2: 1

F; existe salvo en los puntos y = Oe y = 1. Además, se tiene:

lo que implica que Y tiene función de densidad dada por: l

2JY

si O < Y < 1 si Y 9! (O, 1)

O

• 5.16.

Distribución de una variable condicionada por un suceso

Consideremos una variable aleatoria X continua, con función de densidad f. Si sabemos que X cumple cierta condición, por ejemplo que X E A , ¿qué distribución tiene X? Si 1 es un intervalo, la probabilidad del suceso B = {X E I} condicionada por X E A es igual a:

P(X E

II X E A) = =

P( {X E I} n {X E A}) P(X E A)

r

f (x)

j/nA P(X

E

dx

A)

230


Puesto que el cálculo anterior vale para cualquier intervalo 1, la [unción de densidad condicionada de X por el suceso B = {X EA} se representa por fXIX EA, o por fX IB, y se define por six EA si x

(5.27)

f. A

En resumen, si sabemos que X E A, la función de densidad condicionada es cero fuera de A. Esto es intuitivamente evidente, ya que no puede haber probabilidad fuera de A; por otra parte, dentro de A, la función de densidad condicionada es proporcional a la función de densidad incondicional. El factor de proporcionalidad es:

1 P(X E A) lo que asegura que fX lx EA cumple la condición de normalización. EJEMPLO 5.16 por:

SeaX una variable aleatoria con función de densidad ¡ (x ) dada

¡ (x ) =

{

3x2 O

si O
si x ít (0, 1)

Calcular la función de densidad de X condicionada por X > 0.5. En este caso, A = (0.5,1). Primero hallamos la probabilidad del suceso que condiciona:

P(X E A) =P (X > 0.5 ) = (' 3x2 dx =

io.s

2

8 De 5.27, se sigue que la función de densidad condicionada es: si x E (0.5, 1) six ít (0.5, 1)

En la figura 5.25 se muestran las gráficas de la función de densidad sin condicionar,

¡(x), y la de densidad condicionada por X > 0.5. Podemos apreciar las dos características de la función de densidad condicionada por un suceso: se anula fuera del suceso que condiciona y, sobre el suceso que condiciona, la gráfica está desplazada hacia arriba, puesto que se obtiene de multiplicar la gráfica antigua por el factor 1/ P(A) que es mayor que 1. •

Los momentos de la variable X condicionada por X E A se calculan, como de costumbre, a partir de la función de densidad condicionada. Por ejemplo, la fórmula para calcular el valor esperado de la variable X condicionada por X E A es: E{XIXEA} =

(1

P X EA

) !xf(x)dx

JA

(5.28)

231

5.16 Distribución de una variable condicionada por un suceso

0.5

0.5

Figura 5.25: Gráficas de f(x)

y

de fX lx >o.s(x)

La varianza de X condicionada por X E A se calcula mediante cualquiera de las expresiones siguientes:

O"~ I XEA = E{(X -E{X 1X E A} )2 1X E A} =

E{X21 X E A} - (E{X X E A})2 1

EJEMPLO 5.17 Sea X la variable del ejemplo 5.16. Para calcular la esperanza de X condicionada por X > 0.5 hacemos:

8lo 7

1

E{X I X > O.S} = -

0.5

x3x2 dx ~ 0.8

De manera semejante, el momento de segundo orden es igual a:

8lo 7

E{X 2 I X> O.S} = -

1

x2 3x2 dx ~ 0.66

0.5

luego a; IX>O.S ~ 0.66 - (0.8)2 = 0.02.

•

232


DISTRIBUCIÓN NORMAL

P(Z

> z)

=

(0,1)

t2 Jz= ;ke/2 dI, para z > O de centésima en centésima) 2tr -

~ O

z

.. 0

.. 1

.. 2

.. 3

..4

.. 5

.. 6

.. 7

.. 8

.. 9

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.5000 0.4602 0.4207 0.3821 0.3446 0.3085

0.4960 0.4562 0.4168 0.3783 0.3409 0.3050

0.4920 0.4522 0.4129 0.3745 0.3372 0.3015

0.4880 0.4483 0.4090 0.3707 0.3336 0.2981

0.4840 0.4443 0.4052 0.3669 0.3300 0.2946

0.4801 0.4404 0.4013 0.3632 0.3264 0.2912

0.4761 0.4364 0.3974 0.3594 0.3228 0.2877

0.4721 0.4325 0.3936 0.3557 0.3192 0.2843

0.4681 0.4286 0.3897 0.3520 0.3156 0.2810

0.4641 0.4247 0.3859 0.3483 0.3121 0.2776

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.2743 0.2420 0.2119 0.1841 0.1587

0.2709 0.2389 0.2090 0.1814 0.1562

0.2676 0.2358 0.2061 0.1788 0.1539

0.2643 0.2327 0.2033 0.1762 0.1515

0.2611 0.2297 0.2005 0.1736 0.1492

0.2578 0.2266 0.1977 0.171 I 0.1469

0.2546 0.2231 0.1949 0.1685 0.1446

0.2514 0.2206 0.1922 0.1660 0.1423

0.2483 0.2177 0.1984 0.1635 0.1401

0.2451 0.2148 0.1867 0.161 I 0.1379

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

0.1357 0.1151 0.0968 0.0808 0.0668

0.1335 0.1131 0.0951 0.0793 0.0655

0.1314 0.1112 0.0934 0.0778 0.0643

0.1292 0.1093 0.0918 0.0764 0.0630

0.1271 0.1075 0.ü901 0.0749 0.0618

0.1251 0.1056 0.0885 0.0735 0.0606

0.1230 0.1038 0.0869 0.0721 0.0594

0.1210 0.1020 0.0853 0.0708 0.0582

0.1190 0.1003 0.0838 0.0694 0.0571

0.1170 0.0985 0.0823 0.0681 0.0559

1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

0.0548 0.0446 0.0359 0.0287 0.0228

0.0537 0.0436 0.0351 0.0281 0.0222

0.0526 0.0427 0.0344 0.0274 0.0217

0.0516 0.0418 0.0336 0.0268 0.0212

0.0505 0.0409 0.0329 0.0262 0.0207

0.0495 0.ü401 0.0322 0.0256 0.0202

0.0485 0.0392 0.0314 0.0250 0.0197

0.0475 0.0384 0.0307 0.0244 0.0192

0.0465 0.0375 0.0301 0.0239 0.0188

0.0455 0.0367 0.0294 0.0233 0.0183

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

0.0179 0.0139 0.0107 0.0082 0.0062

0.0174 0.0136 0.0104 0.0080 0.0060

0.0170 0.0132 0.0102 0.0078 0.0059

0.0166 0.0129 0.0099 0.0075 0.0057

0.0162 0.0125 0.0096 0.0073 0.0055

0.0158 0.0122 0.0094 0.0071 0.0054

0.0154 0.0119 0.0091 0.0069 0.0052

0.0150 0.0116 0.0089 0.0068 0.0051

0.0146 0.0113 0.0087 0.0066 0.0049

0.0143 0.0110 0.0084 0.0064 0.0048

2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

0.0047 0.0035 0.0026 0.0019 0.0013

0.0045 0.0034 0.0025 0.0018 0.0013

0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0013

0.0043 0.0032 0.0023 0.0017 0.0012

0.0041 0.0031 0.0023 0.0016 0.0012

0.0040 0.0030 0.0022 0.0016 0.0011

0.0039 0.0029 0.0021 0.0015 0.0011

0.0038 0.0028 0.0021 0.0015 0.0011

0.0037 0.0027 0.0020 0.0014 0.0010

0.0036 0.0026 0.0019 0.0014 0.0010

3.1 3.2 3.3 3.4

0.0010 0.0007 0.0005 0.0003

0.0009 0.0007 0.0005 0.0003

0.0009 0.0006 0.0005 0.0003

0.0009 0.0006 0.0004 0.0003

0.0008 0.0006 0.0004 0.0003

0.0008 0.0006 0.0004 0.0003

0.0008 0.0006 0.0004 0.0003

0.0008 0.0005 0.0004 0.0003

0.0007 0.0005 0.0004 0.0003

0.0007 0.0005 0.0003 0.0002

Tabla 5.2:

233


Ejercicios del capítulo 5 Ejercicio 5.1 Se elige un punto X al azar en el intervalo [O, 1]. Hallar la longitud media del mayor de los dos segmentos que determina. Ejercicio 5.2 Se toma un punto al azar en un círculo de radio r. Hallar la probabilidad de que su distancia a un punto fijo P de la circunferencia sea mayor que r. Ejercicio 5.3 Elegimos dos puntos, X, Y, al azar en una circunferencia de radio r. Hallar la probabilidad de que se estén a una distancia mayor que r. Ejercicio 5.4 Tomamos un punto X al azar en un círculo de radio R. Sea D la distancia de X al centro del círculo. Se pide: 1. Calcular P (D

:s; d), para cada d, O :s; d :s; R.

2. Hallar la función de densidad de D. 3. Hallar la media y la varianza de D. Ejercicio 5.5 Consideremos una variable X con distribución uniforme en (0, 1). l. Hallar la función de densidad de X2. Calcular E {X 2} Y ai2. 2. Hallar la función de densidad de

,¡x. Calcular E { ,¡x} y a p.

Ejercicio 5.6 Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en (O, 1). Calcular la función de densidad de Y = lnX. Hallar E {Y} Y af. Ejercicio 5.7 Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en (O, 1). Calcular la función de densidad de Z = max(X , 1 - X) . Hallar E {Z} 2

y az·

Ejercicio 5.8 Si x es un número entre O y 1, designemos por T(x) al número x redondeado a las décimas. Por ejemplo, T (0.314) es igual a 0.3 y T (0.364) es igual a 0.4. El caso de cinco centésimas se redondea por defecto; por ejemplo, T (0.35) = 0.3. SeaX es una variable aleatoria uniforme en [0,1 ]. ¿Qué modelo de distribución tiene Y = T (X) ? Hallar la distribución de Y. Calcular E{T(X)} y a j (X) ·

Ejercicio 5.9 Sea X es una variable aleatoria uniforme en [0,1 ]. Hallar la fu nción de distribución de Y = min (X, 0.75). ¿Qué modelo de distribución tiene Y? Calcular P(Y > 0.25) .

234


Ejercicio 5.10 Sea X una variable con distribución JV (f.1, cr). Se pide: 1. Calcular P( IX normal.

- f.1 1> cr)

con la ayuda de la tabla de la distribución

2. Representar gráficamente la función g(a) = P( IX - f.11 > acr), a ~ O. Indicación: calcular g (a) para una serie de valores de a repartidos en [0,00) y utilizar alguna aplicación para representar la gráfica de g. 3. Estimar P(IX - f.1 1> acr) mediante la desigualdad de CHEBYSHEV. Comparar la estimación con los valores exactos obtenidos en el punto anterior.

Ejercicio 5.11 El tiempo T que transcurre hasta que un circuito electrónico se avería es aleatorio y tiene una distribución exponencial de parámetro A > o. Sea A = {T > a}. Se pide: 1. Calcular P(T ::; tiA), para cada t

> O.

2. Hallar la función de densidad !T IA, de la variable T condicionada por el suceso A. 3. Calcular E{T I T

> a}. ¿Tiene alguna relación con E {T}?

Ejercicio 5.12 Tomamos un punto X al azar en el interior de un cuadrado de lado l. la distancia de X al perímetro del cuadrado es la menor de las distancias de X a cada lado. designaremos por D a la distancia de X al perímetro del cuadrado. Se pide: 1. Hallar la probabilidad P (D ::; 1/4). Indicación: es más fácil calcular la probabilidad del complementario. 2. ¿Entre qué valores puede variar D? Calcular P(D ::; z) para cada z. 3. Calcula la función de densidad de D . 4. Calcula la media y la varianza de D.

Ejercicio 5.13 Consideremos una variable X con distribución uniforme en

(0,1). l. Hallar la función de densidad de Y = l/X. 2. Hallar la función de densidad de Z

= 2X 2 -

X.

Ejercicio 5.14 Participamos en un juego con las reglas siguientes: primero, se sortea el valor de una variable X con distribución exponencial de parámetro A = 1; después, se lanza una moneda que tiene probabilidad 1/3 de cara. Si sale cara, ganamos X; si sale cruz, ganamos - X. Designemos por y la ganancia obtenida.


1. Hallar la función de distribución de Y. 2. Hallar la función de densidad de Y. 3. Calcular E{Y}. 4. ¿Hay alguna relación entre E{Y} y E{X}? Ejercicio 5.15 Se toman dos puntos, Xl y X2, al azar en el intervalo [0,1]. ¿Cuál es la longitud media del mayor de los tres segmentos que determinan?

235

237


Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 5.1 Calcularemos la función de distribución de M, = P(M :S: m); después la función de densidad de M y, por último, su esperanza. Para calcular P(M :s: m) es mejor calcular P(M > m). Puesto que X divide al intervalo en dos segmentos de longitudes X y 1 - X, la condición M > m equivale a X > m ó 1 - X > m. Se tiene así:

F(m)

P(M>m) =P(X > m)+P(I - X > m) = P(X > m)+P (X < l - m) = P(X E (m, I ]) + P(X E [O, I - m)) =2(1 - m) Del cálculo anterior se sigue P(M:S: m) = 1 - 2(1 - m), 1/2 que implica que la función de densidad de M es:

.f(m) -_ dP(Mdm:S: m) -_ 2,

para 1/ 2:S: m

:s: m:S:

1, lo

:s: 1

El valor medio de M es igual a:

E{M}

=

¡

I

3

m2dm = m2 11

1/ 2

=-

1/2

4

Solución del ejercicio 5.2 Tracemos el círculo de centro P y radio r. El conjunto intersección de ambos círculos es el conjunto de puntos del círculo original tales que la distancia a P es menor o igual que r. Esta es la región desfavorable D. El resto del círculo original es la región favorable F, que aparece señalada en gris en la figura 5.26. La probabilidad pedida es el

p

Figura 5.26:

cociente del área de la región F al área del círculo de radio r. En lugar del área de la región F, calcularemos el área de D . Este cálculo es un ejercicio de geometría elemental que se resume en la figura 5.27.

238


El área de D es igual al área de un sector circular de radio r y ángulo 2n I 3 que se representa en la figura 5.27 (a), más el área de las dos regiones señaladas en gris de la figura 5.27 (b). El área del sector circular es igual a:

2nl3 2 nr 2 --·nr = 2n 3 PI

PI

PI

o

P

P

·':; ..

O6· P2

P2 (b)

(a)

P

(e)

Figura 5.27:

Mientras que el área de una de las regiones de 5.27 (b) se calcula como diferencia del área de un sector circular de ángulo nl3 y radio r, menos el área de un triángulo equilátero de lado r:

nr2 6

r2 y'3 4

-- --

En total, el área de D es igual a:

2nl3 2 nr 2 nr 2 r2 y'3 2nr 2 r2 y'3 --·nr = - + 2 - - - - = - - - - 2n 3 6 4 3 2 y la probabilidad pedida es: p=l-

área (A) nr2

1 3

y'3

=-+2n

Solución del ejercicio 5.3 Una vez escogido X, tracemos la circunferencia de centro X y radio r, esta circunferencia cortará a la original en dos puntos PI y P2, ver figura 5.28 (a). Para que la distancia entre X e Y sea mayor que r, Y tiene que pertenecer al arco PI P2 contado en sentido contrario a las agujas del reloj. La línea de este arco aparece en gris en la figura 5.28. La probabilidad pedida será el cociente entre la longitud del arco favorable y la longitud de la circunferencia 2nr. Ahora, el triángulo de vértices O, X Y PI es equilátero, y lo mismo le ocurre al triángulo de vértices O, X, P2. Se sigue que el ángulo ¡;;c¡Pz mide

239

Soluciones de los ejercicios 2n /3 (ver figura 5.28 (b» , luego la longitud del arco desfavorable es 2~r,

y la probabilidad pedida es:

p = 1 _ 2nr /3 = ~ 2nr

"-

/

I

"-

\

I

{

3

\

\ I

r

o 1+-- - - 1 X

x

{

\ \

I I /

(b)

(a)

Figura 5.28

Solución del ejercicio 5.4 1. Sea O :::: r :::: R; el conjunto de puntos favorables a D :::: r es un círculo concéntrico de radio r (ver figura 5.29). Resulta evidente que P(D :::: r) = O,

Figura 5.29

si r

< O, Yque P (D :::: r)

=

1, si r

> R. Lo "interesante" ocurre entre O y R,

240

Variables aleatorias continuas que es donde se acumula la probabilidad Si O ::; r ::; R, se tiene: P (D ::; r) = áre,a favorable

area total nr 2 nR2

__ (8.r )2 ,

si O ::; r ::; R

En resumen, la función de distribución de D es igual a:

(~)2

si r
1

si r > 1

O

FD (r)=

{

2. La función candidata a ser función de densidad es: si r < O si O ::; r ::; 1 si r > 1 Puesto que

foRf(r)dr = 1 f

es una función de densidad. 3. La media de D es igual a:

E{D} =

i

R

.o

2r

2

R

3

r 2 dr = -R

el momento de segundo orden es:

y la varianza vale:

Solución del ejercicio 5.5 1. Pongamos Y = X 2 . La variable Y toma valores entre O y 1, su función de distribución, Fy, es igual a:

Fy(y) = P(Y ::; y) = p (X2 ::; y)

241


Si Y -::; O, entonces Fy (y) = O; si y 2': 1, entonces Fy (y) tiene más interés es y E (O, 1). Fy (y) = p (X2 -::; y) = P (X -::; =

=

1. El caso que

0 )

l'ÍY dx

=

0,

si y E (0,1 )

La función de distribución FD (y) es igual a:

FD(y)

=

{

O

si y -::; O

0

si O < y < 1 si y 2': 1

1

En la figura 5.30 se representa la gráfica de Fy (y). La posible función de

1.00

...,---~~-~-.....,..,--...,

0.75 0.50 0.25

- 0.25

O

0.25

0.50 0.75

1.00

1.25

Figura 5.30

densidad de Y es: si y < O si O < Y < 1 si y > 1

Id

Puesto que se cumple ir (y) dy = 1, es una función de densidad. La esperanza E {X 2 } es igual a:

Cálculo que también podemos hacer a partir de la fun ción de densidad de

242


Y:

E{X 2} = E{Y} =

{l 1 Jo y 2,¡yd y

=

Para calcular

fal yJy(y) 1 3

a;2, hallamos

y, luego, ponemos

a 2 2 = E{X 4 } x

_

(E{X 2})2 =

!5 - !9 = ~ 45

2. Repetimos los pasos del punto anterior. Pongamos Z = VX; Z toma valores entre O y 1. Sea Fz (z) la función de distribución de Z, se tiene:

Fz(z) = P(Z ~ z) = P(X ~ z2) Se tiene Fz(z) resulta.

= O, si

z ~ O, Y Fy(z)

=

fa

= 1, si z > 1. Ahora, si y E (0, 1) ,

z2

dx=z2 ,

sizE (0,1)

En la figura 5.31 se representa la gráfica de la función de distribución Fz (z) . La posible función de densidad de Z es:

fz ( z)

=

FzI (z)

=

{2Z

si O < z < 1 en otro caso

O

Id

Dado que se cumple fz (z) dz = 1, es, efectivamente, es una función de densidad. La esperanza E { VX} es igual a:

E{Vx} = {I VXdx= ~ Jo 3 Cálculo que también podemos hacer a partir de la función de densidad de Z:

E{Vx} =E{Z} =

l

zfz(z)dz 1

= 10 z2zdz =

~

243


1.00

....---~~-~--,-----..,

0.75 0.50 0.25

- 0.25

O

0.25

0.50 0.75

1.00

1.25

Figura 5.31

Para calcular (J'~, hallamos E { ( vx')2} =

1 x dx = -

l

lo°

2

y, luego, ponemos

2 = E{X} - ()2 E{ VX} = -1 - -4 = -1

(J' IV

2

yX

= lnX;

Solución del ejercicio 5.6 Pongamos Y

9

18

y toma valores entre

-00

y O. Sea Fy (y) la función de distribución de Z, se tiene:

Fy (y) = P(Y :::; y) = P(InX :::; y)

= P(X :::; eY ) Se tiene Fy (y)

= 1, si y 2: O. Si y E ( Fy(y)

-00,

O), resulta:

= P(Y:::; y) = P(X :::; eY ) Y

= foe dx = eY La gráfica de la función de distribución Fy (y) se representa en la figura 5.32. La posible función de densidad de Z es: ( )= ( ) = F,'yy !:yy

{e

Y

si y O

O

Se cumple:

l °oo

Y

e dy

= eY

1° -

00

=1

244


eY Fy (y) = { 1

siy < O siy 2 O

-s

-4

-3

-2

-J

o

Figura 5.32

luego, efectivamente, es una función de densidad. La esperanza E{Y} es igual a:

E{Y} = E{lnX} = llnxdx Para calcular esta integral, tomamos las partes u = lnx y

Vi

= 1,

1

la lnxdx = xlnx o -la dx=-1 I

1

1

E {Y} también se puede calcular a partir de la función de densidad de Y: E{Y}

= ¡:yfy(Y)dY = ¡:yeYdY

Integramos por partes, con u = y , Vi

= eY ,

puesto que limy-. _=yeY = O, resulta

De manera semejante, para calcular E{y 2 }, integraremos por partes con u = y Vi = eY , resulta

i


245

Ahora, puesto que limy---> _=yeY = O Y dado que f~=yeY dy = 1, resulta E {y2} = 2. Se sigue que la varianza de Y es igual a:

Solución del ejercicio 5.7 Puesto que: Z = max(X,l-X) =

l-X

{

X

siO
resulta que Z toma valores entre 1/2 Y 1. Si 1/2 .:; z < 1, se tiene: 1

1

1

1

Fz(z) =P(Z':;z) =P(O1-z)+P(2':;X<1,X
o

1-z

z

1

2:

Figura 5.33

{Z .:; z} es el segmento (1 - z, z). Se sigue que la función de distribución de Z es igual a: si z .:; 1/2 si 1/2 .:; z < 1 si z > 1 Si Z tiene función de densidad, será igual a:

fz

(Z)=F1(Z)={O siz < 1/2óz>1 z 2 si 1 /2 < z < 1

1

Puesto que fl /2 fz (z) dz = 1, es una función de densidad. Por último, se tiene:

E{Z}

=

r

1

11/2

1

zfz(z)dz =

z2 1

1/2

3

-

4

246


y

E{Z2}

=

r1 }1/2

1 z2

fz(z)dz

2 = _z3

7 12

1

3

1/2

lo que implica

Solución del ejercicio 5.8 La variable Y = T(X) es discreta y toma valores 0.0, 0.1, 0.2, ... , 0.9, 1.0. Con la ayuda de la figura 5.34, donde se muestra la gráfica de la función T (x), x E [O, 1], es fácil calcular la función de probabilidad de T (Y). Si 1 ::::; k ::::; 9, se tiene: 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O O

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Figura 5.34

P(T(X) = ~) =p(k - O.S 10 10

< X < k+O.S) -

10

HO.S

=

( lO

}H5

dx = O.l

lO

mientras que 05

rO.os dx = 0.05

P(T(X)

= O) = P(O ::::; X ::::; 1·0 ) = Jo

P(T (X)

= 1) = P(0.9S < X ::::; 1) =

y

t

JO.95

dx

= 0.05

247

Soluciones de los ejercicios La función de probabilidad de Y = T (X) es igual a: k

P(T(X) = 1O)=0.l ,

parak=I,2, ... ,9

P(T(X) = O) = P(T(X) = 1) = 0.05 El valor esperado de T (X ) es:

E{T(X)} =

9

k

k= 1

1

L - O ·0.1 + 1 · 0.05 = 0.50

El momento de segundo orden es:

E{T 2 (X)} =

9

k2

k= 1

100

L-

·0.1 + 12 ·0.05 = 0.335

Y Uf (Xl = 0.335 - 0.250 = 0.085 . Solución del ejercicio 5.9 Para calcular la función de distribución de X debemos distinguir dos casos. Primer caso y < 0.75; para que se cumpla

1.00

~----------~

si y

< 0.75, entonces

{Y ::; y} = {X ::; y}

o

0.25

0.50 Y

0.75

1.00

Figura 5.35

y ::::; y tiene que ser X ::::; Y y, entonces, se tiene

Fy(y) = P(Y :::;y) =P(min (X, 0.75) :::;y)

= P(X ::::;y)

= !aYdx = y.

248


Segundo caso 0.75 < y :S; 1; cualquiera que sea el valor deX entre O y 1, se cumplirá Y :s; y, lo que implica P (Y

:s; y) = P (X :s; 1) = 1.

De lo anterior, se sigue que la función de distribución de Y es igual a

1.00

~-~.-~~--------,

y;:, 0.75, entonces {Y :Sy}={X :S l}

SI

y 0.75

0.50

0.25

o o

0.25

0.50

0.75

1.00

Figura 5.36

O si y < O Fy(y)= y siO :S; y < 0.75 { 1 si y ~ 0.75 En la figura 5.37 hemos representado la gráfica de la función de distribución de Y . Observamos que Fy (y) tiene una discontinuidad de "salto". Esa discontinuidad indica que la variable Y es mixta y que en el punto 0.75 tiene una probabilidad positiva igual al tamaño del salto. Es fácil de explicar porqué Y = 0.75 tiene una probabilidad positiva. Basta tener presente cómo está definida Y, para concluir

P(Y

= 0.75) = P(0.75 :s; X :s; 1) = 0.25,

o bien, una vez calculada Fy, podemos poner:

P(Y

= 0.75) = =

lim P(0.75 - h < Y

h-->O

:s; 0.75)

Iim (Fy(0.75) - Fy(0.75 - h))

h-->O

= Iim(l - 0.75 h-->O

+ h) =

0.25.

249


1.00

0.75

Fy(y ) 0.50

0.25

o

0.25

0.50

0.75

1.00

Figura 5.37

El criterio para saber si F? es una función de densidad nos indica que Y no es una variable continua. La derivada existe en todos los puntos, salvo y = O e y = 0.75, Y es igual a

F?(y)=

{

O siy < O 1 siO < y < 0.75 O si y > 0.75

pero se tiene

L~F?(y)dy= fo°·75 dy = 0.75-¡'1, luego Y no tiene función de densidad. Solución del ejercicio 5.10

1. Conviene poner P(IX - .ul > a) en función de probabilidades que puedan calcularse, directamente, a partir de la tabla. Por eso ponemos

-.u < - a) + P(X - .u> a) = 2P(X -.u> a);

P(IX -.ul > a) = P(X

ahora, si dividimos por a cada miembro, resulta P(IX

-.ul > a) = 2P(X -.u > 1) = 2P(Z > 1), a

donde Z es una variable con distribución JV (O, 1) Y esta probabilidad se encuentra en la tabla, P(Z > 1) = 0.1587. Así obtenemos P( IX

- .u l > a) = 2P(Z > 1) = 0.3174.

250


Figura 5.38

Es importante observar que esta probabilidad no depende ni de p, ni de CJ. En cualquier distribución normal, la probabilidad de que una observación se difiera de la media en menos de una vez la varianza es 0.6826. 2. De manera similar al apartado anterior calculamos P (IX - p, 1> aCJ ) = 2P

(X ~

P,

> a) = 2P (Z > a)

para distintos valores de a 2': O. En la tabla 5.3 hemos anotado una serie de valores de g(a) previamente calculados, esta serie es suficiente para representar su gráfica. Hemos representado la gráfica de g(a) en la figura 5.38. a

g(a)

a

g(a)

a

g(a)

0.0

1.0000

1.2

0.2302

2.4

0.0164

0.2

0.8414

1.4

0.16 16

2.6

0.0094

0.4

0.6892

1.6

0.1096

2.8

0.0052

0.6

0.5486

1.8

0.0718

3.0

0.0026

0.8

0.4238

2.0

0.0456

3.2

0.0014

1.0

0.3 174

2.2

0.0278

3.4

0.0006

Tabla 5.3

3. Según la desigualdad de CH EB YSHEV, tenemos P(IX - p,I

CJ2

> aCJ ) ~ - 2 a CJ2

1 = -2

a

251


6

5

4

3

h(a)

2

o

o

2

4

3

5

Figura 5.39

Pongamos h( a) = a- 2 , a > O. En la figura 5.39 comparamos las gráficas de g(a) y h(a). Lo primero que llama la atención en que la cota de CHEBYSHEV no es útil para a < 1, ya que h(a) > 1 Y esto no aporta información por ser P (IX - .u I > acr ) ::; 1. También salta a la vista que la gráfica de g (a) se encuentra por debajo de la gráfica de h(a), lo que es razonable puesto que el valor de g(a) está basado en la distribución exacta de X y debe ser más preciso que el valor de h (a), que es una constante universal válida para cualquier distribución que tenga varianza cr 2 . Solución del

eje~~5.11

1. Primero, calculamos la probabilidad del suceso que condiciona P (A) = P(T

=

> a)

¡=

íte- A1dt

= _e- At [

= e - Aa.

-\hora, para hallar P(T ::; t i A)

= P(T

I

::; t T

> a)

252


< a, resulta evidente que

debemos distinguir dos casos: si t

P(T ~ t i T

> a)

= O

mientras que si t 2 a, se tiene: P(T ~ t,T>a)

( )= PTa - I donde P(T ~ t,T > a) = l P ( T >a ) Ae- A1 dt = e- Aa - e- At lo que implica p(T~t I T>a)=e -Aa ~; e- -At =l_e-)..(t-a ). En resumen, henos obtenido P(T ~ t I T > a) = { ~ si t _ e-A(t - a) si t 2 a 2. Puesto que conocemos P(A), la función de densidad condicionada se calcula inmediatamente: si t ~ si t >a a 3. La esperanza condicionada es igual a E{T I T>a}= (1 P T = e Aa >a 1 )1 t>a t Ae- tf(t)dt At dt t>a 1 = eAa(ae- Aa + ¡e-Aa) 1 =a+¡. Este resultado tiene una sencilla interpretación. Sabemos que E {T} así, el resultado anterior se puede poner E{T I T > a} = l/A; = a+E{T}, lo que concuerda con la falta de memoria de la distribución exponencial: condicionado por T > a, ya han transcurrido a unidades de tiempo sin ninguna avería y esperamos que transcurran otras E{T} unidades, porque el proceso "no recuerda" el tiempo transcurrido (ver apartado 5.9 del texto). 253 Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 5.12 1. El gráfico (A) de la figura 5.40 muestra la interpretación geométrica de la definición de distancia de un punto al perímetro del cuadrado. l- Y . (X,Y) X l- X y (B) (A) Figura 5.40 Consideremos el vértice inferior izquierdo del cuadrado como origen de coordenadas. Supongamos que el punto elegido tiene coordenadas (X, Y); X e Y son variables aleatorias ya que su valor depende de la decisión del Azar. Las distancias del punto elegido a cada uno de los lados son X, 1 - X, Y y 1 - Y . La distancia del punto al perímetro es la menor de estas distancias D = min(X, l-X ,Y,l-Y). Para calcular P (D <:; 1 / 4), atendiendo a la indicación, calcularemos P (D > 1/4). Puesto que D es el mínimo de cuatro magnitudes, para que D > I /4 ocurra cada una de las magnitudes tiene que ser mayor que 1/4 {D > 1/ 4} = {X > 1/ 4}n{1 - X > 1/ 4} n {Y > 1/ 4} n {1-Y > 1/ 4} . La interpretación geométrica de esta condición es evidente: el punto elegido debe estar a una distancia mayor de 1/4 de cada uno de los lados. En el gráfico (B) de la figura 5.40 se representa la región favorable a D > 1/ 4. Hemos trazado cuatro rectas paralelas a cada cada uno de los lados , a di stancia 1/4 del lado correspondiente. Esas cuatro rectas son la frontera de la región favorable, que es el cuadrado coloreado en la figura, limitado por esas cuatro paralelas. El lado del cuadrado coloreado tiene longitud 1/2 y el área favorable es 1/4. Puesto que el área total es 1 y de acuerdo con 10 estudiado en el apartado 5.3, resulta P(D > ~ ) = áre,afavorable = 1/ 4 = ~. 4 area total 1 4 254 Variables aleatorias continuas Así, la probabilidad que buscamos es P (D :::; !) = ~. 2. Observemos que la variable D varía entre O (cuando el punto (X,Y) está sobre el perímetro) y 1/2 (cuando el punto (X ,Y) está en el centro del cuadrado). Resulta inmediato que si z < O, entonces P(D :::; z) = O Y que si z> 1/2, entonces P(D :::; z) = lo Resta calcular P (D :::; z) para O :::; z :::; 1/2, para ello usaremos el método de calcular probabilidad del complementario como hicimos en el punto anterior. La región favorable al suceso D > z es el cuadrado de lado 1 - 2z que aparece coloreado en el gráfico (A) de la figura 5.41. De esta manera, 4 .--------------, 3 2 o o 0.25 0.50 (B) (A) Figura 5.41 se tiene ( > z= ) PD 2)2 área favorable ( =1-z área total ' si O:::; z:::; 1/2, y P(D :::; z) = 1 - (1 - 2z)2 , si O :::; z :::; 1/2. De acuerdo con todo lo anterior, la función de distribución de D es igual a FD(z) = { O 1- (1-2z)2 si z < O siO :::;z :::;1/2 l si z > 1/2 3. Del punto anterior se sigue el cálculo de la función de densidad de D. La función candidata a ser densidad es ° si z < si O < z < si z > 1/2 4 255 Soluciones de los ejercicios Puesto que 1 integra uno 10 1/2 ¡1/2 4(1-2z)dz = _(1_2Z)2 ° = 1, resulta que D posee función de densidad y que 1 es su función de densidad. En el gráfico (B) de la figura 5.41 aparece representada la función de densidad I(z). Podemos observar que es una función monótona decreciente en el intervalo (0, 1/2), que es donde toma valores D. Por ser 1 decreciente, la probabilidad está más concentrada en los valores próximos al z = O que en los próximos a z = 1/2; es decir, hay más probabilidad, por unidad de longitud, en las proximidades de z = O que de z = 1/2. Esa mayor concentración supone la probabilidad de que D pertenezca a un intervalo de longitud fija es mayor cuanto más a la izquierda esté situado el intervalo. Por ejemplo, en la figura 5.42 hemos considerado los intervalos l¡ = (0.10,0.15) e /z = (0.40,0.45); ambos tienen la misma longitud fI = 0.05, pero están situados en extremos opuestos del intervalo. Como sabemos (ver apartado 5.5) las probabilidades P(D E II ) YP(D E h) son iguales, respectivamente, a las áreas coloreadas. La primera de las probabilidades es igual a 4 ~-----------------------------, 3 2 o o 0.10 0.1 5 0.40 0.25 0.45 0.50 Figura 5.42: P(D E l¡) = P(O.lO < D < 0.15 ) = l O.15 l °.45 4 (1-2z)dz = 0.15 0.1 mientras que la segunda vale: P(D E /z) = P(0.40 < D < 0.45) = 4( 1 - 2z) dz = 0.03. 0.40 Hay cinco veces más probabilidad en el intervalo (0.1,0.15) que en el intervalo (0.4,0.45). Debido a la mayor densidad de probabilidad de los valores 256 Variables aleatorias continuas pequeños, la media de la variable D es menor que el punto medio geométrico del intervalo. 4. Los cálculos para hallar la media de D son rutinarios (ver apartado 5.6); se tiene t / z4(1-2z)dz 2 E{D} Jo = = 2z2 1/ 2 [ 8 _ _ z3 o 3 O [1/2 Observamos que la media, E {D} = 1/ 6 ~ 0.167, es menor que el punto medio del intervalo e = 0.25. Para hallar la varianza calculamos E {D 2 } E{D2} 1/2 = 1 o 1 z24 (1-2z)dz = - , 24 y, a continuación, ponemos (58 = E{D2} - (E{D})2 ~ 0.0139. Solución del ejercicio 5.13 1. Puesto que O< X < 1 implica 1 < Y = l /X < 00, resulta que si y ::; 1, Fy(y ) = P(Y ::; y) = O. Por otra parte, si y E (1,00), se cumple Fy(y) = P(Y ::; y) l = P(X ::;y) 1 = P(X:::: -) y t 1 = Jl / y dx = 1- Y En resumen, la función de distribución de Y es si y ::; 1 si 1 < Y < 00 La candidata a ser ser función de densidad de Y es f(y) = {~ y2 Puesto que si y ::; 1 si 1 < Y < 00 257 Soluciones de los ejercicios la función f es efectivamente la función de densidad de Y . 2. Primero, estudiamos el rango de variación de Z = 2X 2 - X. Para ello, representamos gráficamente la función g (x) = 2x2 - x, cuando O < x < 1. Es una función continua, con g(O) = O Y g( 1) = l. La derivada es g'(x) = 4x - l luego g'(x) < O si O < x < 1/ 4, Y g'(x) > O si 1/ 4 < x < 1; esto significa que la función decrece desde x = Ohasta x = 1/ 4 Yque crece desde x = 1/ 4 hasta x = l . En consecuencia, g tiene un mínimo en x = 1/ 4, donde la función toma el valor g(l /4) = -1/8. De la gráfica de g se sigue que cuando l.oo 0.75 0.50 0.25 o -0.25 Figura 5.43: X varía entre O y 1, la variable Z = 2X 2 - X toma valores entre - 0.125 y 1, lo que implicaqueP(Z :::; z) = O si z:::; - 0.125 YP(Z :::; z) = 1 si z 2 1. Lo interesante del problema es analizar qué ocurre cuando - 0.125 < z < 1. Si -0.125 < z < O, hay dos soluciones de la ecuación 2x 2 - x del intervalo (0, 1), que denotaremos por X I (z) y X2(Z). XI (z) = 1 + VI+8z 4 = z dentro 258 Variables aleatorias continuas Entonces, se tiene Fz(z) P(Z :::; z) =P(X¡(z) :::; X :::;X2(Z)) = X2(Z) - X I (z) = 1 = 2:v'f+8z Mientras que, si O < z < 1, sólo hay una solución de la ecuación 2x2 en el intervalo (0,1) que es X = z X(z) = 1 + v"f+8z 4 y se tiene Fz(z) = P(Z:::; z) = P(X :::; x(z)) 1 + V1+8z 4 En resumen, la función de distribución de Z es Fz () z = O siz<-0.125 !J l+8z si-0.125 { ~(1+Jl+8z) 1 < z:::; O siO 1 La candidata a ser función de densidad de Z es 2 f(z) = { VI +8z si - 0.125 < z < 0 t~8z si O < z:::; 1 en otro caso Fácilmente, se comprueba que J~0125 f(z) dz tivamente, es la función de densidad de Z. = 1, lo que implica que, efec- Solución del ejercicio 5.14 1. La variable Y toma valores en el rango ( - Soluciones de los ejercicios 259 resume en el cálculo siguiente, si y P(Y :=:; y) < 0, se tiene: = P (sale cruz y -X :=:; y) = P(sale cruz y X 2 -y) = P(sale 2 cruz)P(X :;;. -y) r .dx = 32 = 3 J- eY . e- X y Por otra parte, si y 2 0, el suceso Y :=:; y ocurre siempre que, o bien sale cruz (con lo que Y es negativo y es menor o igual que y), o bien sale cara y X es menor o igual que y. Este razonamiento se resume en el cálculo siguiente: si y :;;. 0, se tiene P(Y :::; y) = P(sale cruz) + P(sale cara y X :::; y) = ~ + ~ [Y e- x dx 3 2 = 3- 3 Jo 1 y 3 (1- e- ). Así, la función de distribución de Y es igual a: siy < siy 2 En la figura 5.44 se representa la gráfica de Fy Fy(y) = -5 -4 eY { + t (1 - -3 si y e-Y) -2 si y ° ° . - 1 o 2 3 4 Figura 5.44 2. La derivada F; (y) existe en todos los puntos salvo y = si y < si y> ° ° ° vale y 5 260 Variables aleatorias continuas Un simple cálculo nos confinna que su integral es igual a l se sigue que es una función de densidad cuya gráfica hemos representado en la figura 5.45. ¡r (Y) ={ eY e-Y siy < O siy > O 2/3 -5 -4 -3 -2 o - 1 2 3 4 5 Figura 5.45: 3. Para calcular la esperanza integramos por partes, E{Y} = 1= Jo 2 Y dy + 1 Y dy -ye -ye3 o 3 2 1 1 -= = - - 3 +- 3 = - - 3' (5 .29) 4. Escribamos Y mediante una única fónnula que la ponga en función de X . Estos razonamientos son importantes para hacer programas sencillos. En esencia, el sorteo consiste en: si ocurre un suceso, ganamos X y, si no ocurre, ganamos -X. Otra vez, llamemos en nuestra ayuda a las funciones indicadoras de las que nos servimos para expresar los casos "ocurre-no ocurre". Sea Z la variable indicadora del suceso "sale cara", es decir: Z= {~ si sale cara si sale cruz Entonces, se tiene Y = ZX - (1 - Z)X. En efecto, si sale cara, Z = 1 e y = X; mientras que si sale cruz, Z = O e Y = -X. 261 Soluciones de los ejercicios Como el lanzamiento de la moneda es independiente del sorteo del valor de X, las variables Z y X son independientes y se tiene: E{Y} = E{ZX - (I -Z)X} = E{ZX} -E{(1 -Z)X} = E{Z}E{X} - E{I-Z}E{X} = 1 1 3 3 -E{X} - (1 - - )E{X} por la propiedad lineal por ser X y Z independientes por ser E{Z} = 1 "3 1 = --E{X} 3 Resultado que coincide con 5.29, ya que E{X} = 1 por ser X exponencial de parámetro A = l. Solución del ejercicio 5.15 Este ejercicio generaliza el ejercicio 5.1. La complicación del problema aumenta bastante cuando se pasa de un punto a dos. Si elegimos dos puntos, X, Y, al azar, el intervalo queda dividido en tres subintervalos. Nos interesa calcular la longitud media del mayor. Supongamos que X > Y, el caso contrario es simétrico y basta hacer el análisis bajo esta hipótesis. Desde el punto de vista geométrico, esta hipótesis se interpreta así: elegir (X, Y) al azar equivale a tomar un punto al azar en el cuadrado [O, 1] x [0,1]. Suponer que X > Y implica que el punto elegido pertenece al triángulo de vértices (0,0), (1,0), (1,1) . Si X > Y, las longitudes de los tres subintervalos en que queda dividido son el = Y , e2 = X -y ye3 = l-X. Designemos por M la mayor de las I o I I Y =y X=x Figura 5.46: longitudes. Analizaremos en qué subintervalo se alcanza. 1. Para que M = e1 deben cumplirse y > x - y e y > 1 - x, lo que ocurre en la región del triángulo caracterizada por: y > x / 2 y x + y > 1. 2. Para que M = e2 deben cumplirse x - y > y e x - y > 1 - x, lo que ocurre en la región del triángulo caracterizada por: y < x/2 e y < 2x-1. 3. Para que M = e3 deben cumplirse l - x > y y l - x > x - y, lo que ocurre en la región del triángulo caracterizada por: x + y < 1 e y > 2x - 1. 262 Variables aleatorias continuas / / / o I '2 o 2 '3 I 2 2" '3 o I '2 2 '3 Figura 5.47: El análisis anterior se expresa gráficamente en la figura 5.47. El promedio de M se calcula como integral respecto de dydx, teniendo en cuenta el valor de M en cada punto (x,y) : J1 M(x,y)dydx donde T es el triángulo y M está definida como muestra la figura 5.47. El cálculo es un poco penoso, ya que hay que distinguir varios casos. JJT ¡ M(x,y)dydx = + ¡1/2 ¡x (l-x)dydx+ Jo Jo ¡2/3 ¡X ydydx + JI /2 JI~x + ¡l ¡x/2(x J2/3 Jo ¡2/3 JI /2 ¡I~x (l - J2x~1 ¡2/3 ¡2x~ 1 (x - y)dydx+ J' /2 Jo y)dydx + ¡' ydydx J2/3 x/2 ¡X 11 36 Este promedio es sólo la mitad del valor esperado. Así, resulta: E{M} 22 x)dydx+ = 36 = 11 18 ~ 0.6111 6 Vectores aleatorios continuos 6.1. Vectores aleatorios continuos y densidades conjuntas Un vector aleatorio (X,Y) tiene distribución de probabilidad continua si existe una función f(x,y), denominada función de densidad conjunta o función de densidad bidimensional, que verifica: P(X Ef¡,Y E h) = JJ f(x,y)dydx (6.1) /1 X/2 Con palabras: la probabilidad de que (X,Y) pertenezca a cualquier rectángulo se puede obtener como la integral de f(x,y) sobre el rectángulo. Para que la definición anterior sea completamente operativa debemos intentar resolver dos cuestiones relacionadas: ¿qué condiciones debe cumplir f(x,y) para ser función de densidad de algún vector aleatorio? y, dada una distribución, ¿cómo calcular su función de densidad, si es que la tiene? La primera pregunta tiene una respuesta simple y rotunda. Una función f(x,y) es una función de densidad conjunta si verifica las condiciones siguientes: 1. f(x,y) "2 0, para - 00 < x < +00, -00 < y < +00. ¡+ ~ ¡+~ 2. J-~ J-~ f(x,y)dydx= 1 Como podemos observar, se trata de condiciones similares a las que definen una función de densidad unidimensional. La segunda pregunta no tiene una respuesta tan clara. En el próximo apartado daremos una contestación adecuada para nuestros cálculos. La condición 6.1 es más fuerte de lo a primera vista puede parecer, toda función, f(x ,y), que la cumpla, también verifica: P((X,Y) EB) = JJ f(x,y)dydx (x,y)EB (6.2) 264 Vectores aleatorios continuos para una clase de conjuntos B e R 2 mucho mayor que la clase de los rectángulos de la forma l¡ x h, denominada clase de los conjuntos de BOREL. La clase de los conjuntos de BOREL es muy compleja pero, para nuestros fines, basta saber que contiene a todos los subconjuntos de R 2 que se pueden obtener a partir de los rectángulos mediante operaciones numerables de unión, intersección y complementación, como son todos los conjuntos que manejamos en este curso. La interpretación intuitiva de la función de densidad conjunta es semejante a la de la densidad unidimensional. Si f(x,y) es una función continua, se tiene: P(X E (x,x+dx],Y E (y,y + dy ]) l = x+dx ( y+dy x J f(t,s)dtds y ~ f(x,y)dxdy Lo que da sentido al calificativo de densidad, ya que la probabilidad del pequeño rectángulo (x,x + dx 1x (y,y + dy 1es igual a su área multiplicada por la "densidad", f(x ,y) , de probabilidad del rectángulo. EJEMPLO 6.1 La función definida por: f (x,y) = {3 (X+ Y) O si x ~ O,y~O,x+y ::; 1 en otro caso es una función de densidad conjunta ya que cumple las dos condiciones. La primera condición es evidente: ¡(x,y) ~ O. Para comprobar la segunda condición, analizamos el conjunto de puntos (x,y) sobre los que f toma valores positivos. Pongamos T = {(x,y) ; x ~ O, Y ~ O, x+ y::; 1}, cada una de las tres condiciones x ~ O, Y ~ O Y x + y ::; 1 define un semiplano. En la figura 6.1 se muestran, por separado, cada uno de esos semiplanos. El conjunto T es la región del plano donde se cumplen, S I = {x S2={x+y ~ l} 2: O} Figura 6.1 simultáneamente, las tres condiciones, luego T = sIn S2 n S3. En la figura 6.2 se representa el conjunto T . Se tiene: l:~ l:~ f(x,y)dydx = JJ f (x,y) dydx T 265 6.2 Función de distribución conjunta Falta poner los límites a la integral. La abscisa x de los puntos (x,y) E T varía entre 1, y, si fijamos x, con x :::; 1, la ordenada y de los puntos (x,y) E T varía entre y I - x. Así, se tiene: °y °: ; ° t tx j/f(x,y)dydX = T = = 3(x+y)dydx 13(xy + ~2 11 -X dx r Jo 2 o 13 10O -2 (1 - 2) dx =1 Si la distribución bidimensional está definida por medio de una función de densi- o o x Figura 6.2 dad conjunta, la clave para calcular la probabilidad de un suceso es la fórmula 6.2. Por ejemplo, si (X,Y) es un vector aleatorio con función de densidad f(x ,y), para calcular la probabilidad del suceso {X + Y ::; I /2} , basta observar que se tiene: {X +Y ::; 1/2} = {(X ,Y) E B} donde B = {(x,y) ; x ¿ 0, y ¿ 0, x + y :::; 1/2} P(X +Y::; 1/2) e R 2 . De la fórmula 6.2, se sigue: = P((X,Y) E B) = 1/2 la"- = JJ f (x,y)dydx B X /o .O luego P(X 6.2. +y 2 3(x+y)dydx O ::; 1/ 2) = 1/8. • Función de distribución conjunta La función de distribución conjunta del vector (X ,Y) es una función de dos variables Fx,y (x,y) que se define: Fx ,y(x,y) =P(X :::;x, Y :::;y) 266 Vectores aleatorios continuos Como vemos, Fu,v (u, v) es igual a la probabilidad de que el vector (X ,Y ) tome un valor en el cuadrante (- Fx,y(x,y) = P((X,Y) E (- para cada par (x,y) E R 2 . Las funciones de distribución conjunta se caracterizan por la propiedad siguiente: Propiedad 6.1 La condición necesaria y suficiente para que una función de dos variables, F (x,y), sea de distribución conjunta es que verifique: 1. Si (x,y) y (x' ,y') son tales que x::::: x' e y ::::: y', se cumple: F(x,y) - F(x',y) -F(x,y') +F(x',y') ~ O 2. Se cumple limx-=F(x,y) y ---+ oo = 1 Y limx_ - =F(x,y) y -+- oo = O. El problema de calcular la función de densidad si conocemos la función de distribución Fx,Y no tiene una receta sencilla. La primera causa es que, la única manera general de saber si Fx ,y admite una función de densidad es hallar una función f(x ,y) que para cada (x,y) cumpla: F (x,y) = r [Y J_=J_=f(u,v)dvdu (6.3) Imponiendo algunas condiciones podemos dar una relación elemental entre F y f. Por ejemplo, si F posee una función de densidad igual a f y es integrable en cada variable, en cada punto (x,y) en que f sea continua, se cumple 1 : f (x,y ) = (j2F(x,y) dxdy Este resultado nos enseña la manera de operar cuando no sepamos si F admite una densidad. Calcularemos la doble derivada donde sea posible, esta función será nuestra candidata a ser la densidad conjunta. La piedra de toque para averiguar si nuestra candidata es la densidad conjunta de F es verificar que se cumple 6.3 . I Ver VÉ LEZ, R., Unidades didácticas de Cálculo de probabilidades JI, Uned, 2002 6.2 Función de distribución conjunta EJEMPLO 6.2 267 La función definida por: F(x,y) = o si x::; O, Ó y::; O .xy si O < x ::; 1, O < Y ::; 1 x si O < x ::; 1, Y > 1 Y 1 si x > 1, O < Y ::; 1 si x > 1, ó y> 1 Es una función de distribución conjunta. Fácilmente, se comprueba que cumple las condiciones de la propiedad6.1. Si calculamos la doble derivada, obtenemos: f (xy ) = , ¡j2F(x,y) {1 siO Sin dificultad comprobamos que f(x,y) verifica la condición 6.3. Por ejemplo, si x ::; O e y ::; O, resulta evidente que se cumple: luego coincide con F (x,y). De manera parecida se comprueban los restantes casos. Figura 6.3 En la figura 6.3 ilustramos dos de esos casos. En el gráfico de la izquierda se muestra el caso O < x::; 1 e y > 1; se tiene: j- = jY-= f(u,v)dvdu= hr hr'ldvdu=x x De manera semejante, el el gráfico de la derecha se muestra el caso x en el que se tiene: > 1 e O < Y ::; 1, En la figura 6.4 aparecen los dos casos restantes. En el gráfico de la izquierda se 268 Vectores aleatorios continuos (x,y) - - - -- - - -- 1 Figura 6.4 tiene O < x ::; 1, O < Y ::; l . En estas condiciones se cumple: te _=f(u,v )dvdu = Jo .lo ldvdu =xy j XjY _00 Por último, en el gráfico de la derecha se muestra el caso x > I e y > 1 Yse verifica: f( u, v) dvdu = (1 ¡I l dvdu = 1 j x jY -~ Jo Jo -00 Así, en cualquiera de los cuatro casos posibles, la integral sobre un rectángulo de nuestra candidata a ser función de densidad coincide con F (x,y) , lo que prueba que • efectivamente es su función de densidad. 6.3 . Distribuciones marginales Si X e Y tienen distribución conjunta continua, cada una de las componentes X e Y tienen distribución unidimensional continua. La función de densidad de X es igual a: fx (x) = i~ f(x,y)dy (6.4) mientras que Y se distribuye con función de densidad: fy(y) = ¡~ f(x,Y)dX (6.5) Las funciones de densidad fx (x) y fy (y) se denominan densidades marginales de X e Y , respectivamente. La ecuación 6.4 tiene una interpretación clara: en x acumulamos toda la densidad de probabilidad que tienen los puntos (x,y), con x fijo e y variable. La densidad marginal fx (x) es la conden sación o acumulación de las densidades f(x,y) de todos esos puntos. 269 6.3 Distribuciones marginales Consideremos el conjunto Q, que es el cuadrado de vértices (0, 0), (1,0), (1,1), (0,1), definido por: EJEMPLO 6.3 Q = {(x,y) ; O :::; x :::; 1, O :::; Y :::; 1} y la función definida por: f(x,y) = { x+ y O si (x,y) E Q si (x,y) ~ Q La función f(x,y) es de densidad conjunta ya que cumple las dos condiciones o o x Figura 6.5 exigidas. Primero, f(x,y) 2:: O y, segundo, I",,~ I",,~f(x,y ) dydx = 1. La primera condición es evidente, para comprobar la segunda, calculamos la integral: Puesto que se tiene: l loo (x+y)dy = (xy+ L211 =x+-1 2 o 2 res ulta j ~ l~ f(x,y )dy dx= lo' (x+-21) dx = (-2 + -2 -~. - ~ x2 O X 1 1 = l o Ahora, para hallar la función de densidad marginal de X hay que calcular la integral: para cada x E (- =, =). Sin embargo, para muchos valores de x el cálculo anterior es banal. Por ejemplo, si x < O Ó x > 1, por la definición de f se sigue f(x,y ) = O para todo y, y resulta: fx(x) = L~ Ody = O 270 Vectores aleatorios continuos Los valores que interesan son los del intervalo [O, 1], que es donde la función toma valores distintos de cero. Fijemos x E [0, 1] ; la función de densidad marginal de X en el punto x es igual a: fx(x) = i~f(x,y)dy= t(X+Y)dY 1 = (xy + ~2 1 = X+-1 2 O 2 Los dos cálculos anteriores se resumen en la fórmula: f'x (x) = {X +I/2 O sixE [0,1 ] six Ií' [0,1 ] De manera similar se obtiene: fy(y) = {YO + 1/2 siyE [0,1 ] si y Ií' [0,1] • que es la función de densidad marginal de Y. EJEMPLO 6.4 Consideremos el conjunto T definido por: T = {(x,y) ; y ~ 0, y :::: x :::: 2 - y} Si representamos los semi planos y ~ 0, y:::: x, y:::: 2 - x, como muestra la figura 6.6, y señalamos el conjunto de puntos que cumplen todas las condiciones, comprenderemos que T es el triángulo de vértices (0,0) , (1,1 ), (2,0) . Consideremos un vector aleatorio (X, Y) con función de densidad dada por: , {l° f(x y) = T si (x,y) E si (x,y) Ií' T Esta densidad es uniforme en el triángulo. Todos los puntos tienen igual densidad Figura 6.6 de probabilidad. La variable (X, Y) se puede interpretar como el resultado de escoger un punto al azar en T . Calculemos la función de densidad marginal de X. Desde luego, si x Ií' [0,2], entonces fx (x) = O. Lo interesante es analizar el caso x E [0,2] . Por la forma del conjunto T , debemos distinguir dos casos. 271 6.3 Distribuciones marginales y o x x o 2 2 Figura 6.7 • Primer caso. Si x E [0,1 ]. entonces y varía entre O y x (ver figura 6.7), y se tiene: fox ldy = x fx(x) = • Segundo caso. Si x E (1,2], entonces y varía entre Oy 2 - x, y se cumple: r J"x(x) = Jo 2- x ldy = 2-x En resumen, fx (x) es igual a: six E [0,1] si x E (1,2 ] six íi [0,2 ] De manera similar se calcula la función de densidad marginal de Y. Si Y '1- [0, 1]. entonces fy (y) = O. Mientras que si y E [0,1 ]. entonces x varía entre y y 2 - Y (ver figura 6.7) y se tiene: r 2- y fY(Y)=Jy ldx =2( I- y) En resumen, se tiene: JY(y) = {2(1 -y) O si y si y E[0,1 ] '1- [0,1 ] 1 Este ejemplo nos muestra cómo, en el cálculo de las densidades marginales, no sólo intervienen los valores que toma la función de densidad conjunta, sino la forma • del conjunto sobre el que toma valores no nulos. Las probabilidad de un suceso definido mediante una condición impuesta a X (por ejemplo, { IX I ::; x}) se pueden calcular, según convenga, por medio de la función de densidad conjunta o de la función de densidad marginal, como expresa la fórmula: P(X EB) = J[~ f(x,Y)dydX = J fx(x)dx xEB xEB (6.6) Vectores aleatorios continuos 272 Por ejemplo, si (X ,Y) es el vector aleatorio del ejemplo 6.3 y queremos calcular P(0.2 < X ::; OA), podemos emplear la función de densidad conjunta: J P(0.2 < X ::; OA)= ¡~f(x,y)dydX 0.2 < x:e::O.4 l °.410 (x+y)dydx 1 = 0.2 = 0.16 O o la función de densidad marginal de X: J P(0.2 < X ::; OA)= fx (x) dx 0.2 < x:e::0.4 = l 1 0.4 (x+ -)dx = 0.16 0.2 6.4. 2 Variables independientes La intuición de independencia de las variables X e Y significa que "conocer el valor que ha tomado una de ellas no modifica la probabilidad de que la otra tome cualquier valor prefijado". En términos más formales, la independencia de dos variables aleatorias X, Y, significa que cualquier suceso de la forma {X E B l} es independiente de cualquier suceso de la forma {Y E B2}. Si las variables aleatorias tienen función de densidad conjunta, la condición de independencia adquiere una forma particularmente sencilla: Propiedad 6.2 Supongamos queX e Y tienen [unción de densidad conjunta f(x,y). Una condición necesaria y suficiente para que sean independientes es que se verifique: f(x,y) =fx(x)fy(y) La condición f(x,y) = fx (x)fy (y) es la manera más sencilla de comprobar la independencia de dos variables continuas. EJEM PLO 6.5 definida por: Las variables X e Y tienen función de densidad conjunta f(x ,y), f(x,y) = { 6xl O si O ::; x ::; 1, O ::; Y ::; 1 en otro caso La función de densidad marg inal de X es igual a: six E [0, 1] 273 6.5 Funciones de densidad condicionadas if- [0, 1] . De manera semejante, podemos calcular la función de densidad marginal de Y , para obtener: y f x (x) = 0, si x f (y ) = {3l ° siy E [0,1 ] si y if- [0,1] Comprobamos que f(x,y) = f x (x )fy (y) para todo par (x,y) , luego las variables son independientes. • EJEM PLO 6.6 Las variables X, Y del ejemplo 6.3 no son independientes. Resulta evidente que f(x,y) fe fx (x)fy (y). Observemos que, para que X e Y sean independientes, es necesario que el conjunto donde la función de densidad conjunta es distinta de cero sea un rectángulo, fi nito o infinito, ya que no pueden ser independientes dos variables cuando el rango de variación de una depende del valor de la otra, como ocurre en las variables del • ejemplo 6.3 . 6.5. Funciones de densidad condicionadas Si conocemos el valor que ha tomado la variable X, por ejemplo X = x, la distribución de Y, bajo esta hipótesis, se denomina distribución de Y condicionada por X = x y se representa por Y I X = x . De igual manera se define la distribución de la variable X condicionada por Y = y, que se representa por X I y = y. SiX e Y poseen función de densidad conjunta f(x,y), las distribuciones condicionadas también tienen funciones de densidad que se calculan de la manera siguiente: la función de densidad de Y I X = x es igual a: si fx(x) > O (6.7) si fx(x ) =0 Para ahorrar subíndices y cuando no haya posibilidad de confusión, emplearemos la notación f (y I x ), en lugar de fr lx =Ay). La función de densidad f (y I x) se denomina [unción de densidad condicionada de Y por X = x . Por su parte, la función de densidad de X I y = y es igual a: si fy (y) > O (6.8) si fy (y) =O Si X e Y son independientes, se tiene f (x, y) = fx (x )fy (y) , lo que implica f (x I y) = f x (x) . Resultado que recuerda la condición de independencia de dos sucesos P(A lB ) = P(A). El resultado recíproco también es cierto, si f(x I y) = f x (x), las variables son independientes. 274 Vectores aleatorios continuos EJEMPLO 6.7 Sea (X,Y) un punto elegido al azar en el triángulo: T={(x,y) ;y20,yS;xS;2 - y} Supongamos que Y = Y E [0,1], entonces X varía entre y y 2 - Y (ver figura 6.8). Se sigue que la variable condicionada X I y = y toma valores en el intervalo [y,2 - y ]. La función de densidad de X I y = y es igual a: o x x O 2 2 Figura 6.8 !(x !y) .• { 1 2(1 - y) sixE [y,2 - y] O six lt' [y,2 - y] Comprobemos que f(x I y) es una función de densidad. Se cumple f(x I y) tiene: 2- y 1 1 2- r Jy 2 OY se 2(I_y)dx=2(I_y)(x ly Y= 1 Como la función de densidad condicionada f(x I y) depende de y, las variables no son independientes. Calculemos la densidad de Y X = x. El rango de variación de Y depende de x de la siguiente manera (ver figura 6.8): I • Si O < x S; 1, entonces Y varía entre O y x. • Si 1 < x < 2, entonces Y varía entre O y 2 - x. Por este motivo, la función de densidad de Y condicionada por X • Si O < x S; 1, entonces se tiene: si y E [0,1] si y It' [0,1 ] • Si 1 < x < 2, entonces se tiene: 2- x O si y E [0,1] si y It' [0,1] = x, se define: 6.6 Modelos dinámicos 275 Para cada x fijo, f(y I x) es una función de densidad sobre el intervalo correspondiente. Observemos que el valor f(y I x) no depende de y, esto significa que la variable condicionada Y X = x es uniforme en su intervalo de variación. Sin embargo, X e Y no son independientes, ya que f(y I x) depende de x. Por ejemplo, si X = 0.5, Y tiene distribución uniforme en [0,0.5); dicho de otro modo: condicionado por X = 0.5, Y es un punto elegido al azar en el intervalo [0,0.5). • I EJEM PLO 6.8 Consideremos las variables X, Y del ejemplo 6.4. Sea y E [0,1 ) fijo. Si Y = y, X varía entre O y 1. Éste es el rango de variación de la variable condicionada X I y = y. La función de densidad condicionada es igual a: f(x I y) = 6xi 3y -2- = { O 2x si O < x < 1 - en otro caso Puesto que f(x Iy) = fx (x), las variables son independientes. 6.6. • Modelos dinámicos Al igual que ocurre, en el modelo discreto, con la definición de probabilidad condicionada, la igualdad 6.7, que sirve para calcular la función de densidad de Y condicionada por X = x, puede ser expresada como un producto: f(x,y) = fx(x )f(y Ix) (6.9) Esta expresión implica, que podemos calcular f(x,y) si conocemos la densidad marginal de X y la densidad de Y condicionada por X = x. Esta interpretación sugiere un modelo dinámico. Primero, sorteamos el valor de X conforme a la ley de probabilidad que define fx (x). Luego, si el valor elegido es x, sorteamos el valor de Y conforme a la ley definida por f(y Ix), que es la distribución de Y condicionada por X = x. El resultado de estos sorteos sucesivos equivale a sortear, de una vez, el valor (x,y) de cada variable, conforme a la ley de probabilidad definida por la función de densidad conjunta f(x,y). Con esta interpretación, la igualdad 6.7 es útil por partida doble. En la versión de la fórmula 6.7 sirve para calcular f(y I x) a partir de f( x,y) y de fx(x) (modelo estático). En la versión de la fórmula 6.9 sirve para calcular f( x,y) a partir de fx(x) y f(y I x) (modelo dinámico). EJ EMPLO 6.9 Elegimos un número X al azaren el intervalo (O, 1). Siel resultado de la primera elección es x, elegimos otro número Y al azar en el intervalo (x, 1) . Calcular la función de densidad conjunta de X e Y, Y la probabilidad de que Y sea mayor que 2X. Primero analizamos el rango de variación de las variables. X varía entre O y 1, y, si X = x, Y varía entre x y 1. Se sigue que la variable bidimensional X, Y) toma valores (x,y) en el conjunto, T, definido por: T = {(x,y) ; O < x < 1, x < y < 1} 276 Vectores aleatorios continuos o Figura 6.9 Este conjunto es el triángulo de vértices (0,0), (1,1), (0,1), que aparece representado en la figura 6.9. De las condiciones del modelo se sigue que la función de densidad marginal de X es igual a: fx () x = l si x E (O, 1) { O si x íl (0,1) y que la función de densidad de Y condicionada por X = x es: l para cada x E (0,1), parax f(y I x) = l - x' De lo anterior y de la fórmula 6.9, concluimos que la función de densidad conjunta de (X,Y) es: si (x,y) E T si (x,y) Para calcular P(Y íl T > 2X), debemos hallar: JI f(x,y)dxdy B donde B es el subconjunto de T, formado por los puntos que cumplen y > 2x. B = {(x,y) ; O < x < 1, x < y < 1, Y > 2x} Este subconjunto es un triángulo de vértices (0,0), (1/2,1), (0,1), Y está representado en el segundo diagrama de la figura 6.9, donde aparece representada la variación de y para cada x fijo. Si O < x < 1/2, entonces y varía entre 2x y 1. Con 277 6.6 Modelos dinámicos esta información, calculamos: P(Y > 2X) = 1/2 10O ~\ 2< 1/2 1 - = 10o = ¡t / 2 Jo 1 dydx 1- x 2x - -dx 1- x (2- _1 ) l- x dx 1/2 = Así P(Y (2x + ln (1-x) [O • > 2X) = 1 + ln (1/2) = 1-ln2 ~ 0.3068. Un modelo dinámico muy importante es aquel en que las variables son independientes. En estas condiciones, la fórmula 6.9 se transforma en: f(x ,y) = fx (x)fy (y) Bajo la hipótesis de independencia, sortear (X,Y) equivale a realizar dos sorteos sucesivos; por ejemplo, primero X y, luego, Y. El valor de cada variable se elige sorteando conforme a su distribución marginal. EJEMPLO 6.10 Supongamos que X e Y son dos variables independientes y que ambas variables tienen la misma distribución exponencial de parámetro A = l. Es decir, sus funciones de densidad respectivas son: (x) = {eOfx X x si < < 00 si x ::; O O . f:y (y ) = {e- Y O si O < Y < 00 si y ::; O Calcularemos la función de densidad conjunta y la probabilidad P (X + y ::; s). La Figura 6.10 independencia de las variables supone que el valor que toma una de ellas no altera el rango de variación de la otra. Por ello, el vector (X,Y) toma valores en el primer cuadrante Q\ = (0,00) X (0,00). Por su parte, la función de densidad conjunta es igual al producto de las marginales: e- (X+Y ) f(x ,y) = { O si (x,y ) E Q\ si (x,y) íl QI 278 Vectores aleatorios continuos Ahora, el suceso {X + Y ::; s} se puede poner como: {X +Y ::; s} = {(X,Y) E B} donde B es el conjunto definido por: B = {(x,y); x 2' O,y 2' O,x+y::; s} B es el triángulo de vértices (0,0), (s,O), (O,s), que aparece en la figura 6.10. Se ° ° observa que X varía entre y s, y que, fijo X = x, Y varía entre y s-x. Resulta evidente que si s ::; 0, entonces P(X + y ::; s) = 0, mientras que si s > 0, se tiene: P(X +Y::; s) = }J e-(x+y) dxdy B = fa' = fa'e- x (1-¿-S)dX = (_ e-X - xe- s [ = {~_e-S e-x (fa'-x e-Y dY) dx Luego P(X +Y::; s) -ses si s > si s::; ° ° Observemos que el cálculo anterior nos proporciona la función de distribución de la variable suma S = X + Y. A partir de Fx +y podemos calcular la función de densidad de la suma. Este método se hace general en el próximo apartado. • 6.7. Densidad de la suma de variables independientes Consideremos dos variables X, Y, independientes con funciones de densidad marginales fx(x) y fy(y). Un problema de interés es determinar la distribución de la variable suma, S = X + Y. Bajo las hipótesis anteriores, el problema se puede resolver de una manera satisfactoria, y podemos dar una fórmula para la función de densidad de S. Para lograrlo, hallaremos la función de distribución de S y, luego, la función de densidad como derivada de la función de distribución. Sea Fs la función de distribución de S que queremos calcular, y Fx, Fy , las funciones de distribución de X e Y, respectivamente. Dado que X e Y poseen función de densidad, se cumple: 279 6.7 Densidad de la suma de variables independientes Por la definición de función de distribución, se tiene: Fs(s) = P(X +Y S; s) = JJ !x (x)fy (y) dxdy, -00 00 x+y:S;s y, puesto que: {(x,y) ; x + y S; s} = {(x,y) ; - 0 0 < x < 00, y S; s - x} resulta: Fs(s) = [~J:~x fy (y) dy!x(x) dx = [~FY(S -x)!x (x) dx Si derivamos la expresión anterior, resulta: d -Fs(s) = ds ¡= -= d -Fy(s - x)!x(x)dx ds [~fy(s-x)!X(X)dX = Esta derivada es la función de densidad de S = X +Y . Propiedad 6.3 Si X e Y son variables independientes con funciones de densidad marginales !x (x) y fy (y), la función de densidad de su suma S = X + Y es igual a: !s(s) = [~fy(s-x)!x(X)dX, -00 00 (6.10) EJEMPLO 6.11 Consideremos dos variables independientes, X e Y, con distribución común exponencial de parámetro A = 1, en el ejemplo 6.6, hemos calculado la función de distribución de su suma: Fs () s 1 - e- s - se- s = {O si s > O si s::; O Basta derivar esta función para obtener la función de densidad: !s(s) = {seO s sis>O SI (6.11) s::; O esta densidad pertenece a un modelo denominado densidades gamma. Hagamos el cálculo de la densidad de la suma mediante la fórmula general 6.10: !s(s) = L~!y(s - X)!x(X)dX, - 00 00 280 Vectores aleatorios continuos Este cálculo es sencillo, pero hay que tener bien en cuenta cómo están definidas las funciones de densidad de nuestro problema concreto. Por ejemplo, si x ::; 0, fx(x) = 0, y, si x > 0, fx(x) = e - x; luego la integral anterior, en este caso, se transforma en: - 00 00 Ahora, por la definición de fr, se sigue: e-(S- X) fr(s-x)= { ° six < s si x 2: s luego resulta: ¡s e - (s-x ) e-x dx, fs(s) = { si s > Jo Por último, si calculamos la integral: ° si s ::; ° ° • obtenemos 6.11. 6.8. Densidad de una función g(X ,Y) En el apartado anterior, desarrollamos una fórmula para calcular la función de densidad de una suma de variables, cuando los sumandos son independientes y conocemos sus densidades. En este apartado, nos planteamos el problema más general de calcular la función de densidad, si existe, de una variable Z = g(X ,Y), a partir de la densidad conjunta de (X,Y). Es claro que el problema del apartado anterior es un caso particular del actual, cuando g(X,Y) = X +Y Y f(x,y) = fx (x)fy (y) . No hay una condición simple que sea equivalente a la existencia de densidad de g(X,y)2. Por ello, nos limitaremos al método más simple, que también es el más general: calcular la función de distribución de Z y, después, analizar su derivada para saber si tiene densidad. Este método elemental basta para resolver los problemas que nos planteamos. Primero, hallaremos: Fz(z) = P(g(X,Y) 'S z) = 11 f(x,y)dxdy, para -00 00 {g(x,y):S;z } 2Una condición suficiente, relativamente sencilla, es que las derivadas parciales agl ax y ag I ay, sean continuas y alguna de ellas no se anule 281 6.8 Densidad de una función g(X ,Y ) para, después, calcular dFz (z) / dz y estudiar si se cumple: r dFz(z) dz = 1 dz J-oo En caso afirmativo, dFz (z) / dz es la función de densidad de Fz. EJEMPLO 6.12 Sea (X ,Y) un punto elegido al azar en el interior del círculo C, de centro el origen y radio 1: C = {(x, y) ; x2 + i < 1} Calcularemos la función de densidad de la variable R = vlX2 + y2. El área de C es n y la función de densidad conjunta de (X,Y) es igual a: ¡(x, y) = Primero, calculamos FR (r) {t si (x,y) E C si (x,y) = P(R ::; r), rt C para cada r. Evidentemente, los valores Figura 6.11 de r que interesan son los comprendidos entre O y 1, ya que los restantes casos son inmediatos : P(R ::;r) = 0 si r::; O P(R ::; r ) =1 si r :::: 1 Si r E (0, 1), se tiene: P(R ::; r ) = P(X 2 + y 2 ::; r 2) = JJ ~ dxdy (6. 12) B donde B = {(x,y) ; x2 + l < r 2}. No es necesario, calcular la integral de la expresión 6.12. Puesto que el área de B es nr2 , tenemos: FR (r) = P(R ::; r) = ~ JJ B dxdy = r 2, si 0 < r < 1 282 Vectores aleatorios continuos Ahora, dFR / dr = 2r, y se tiene: 10 1 2rdr = 1 luego R tiene densidad y es igual a: fR(r) si r E (0,1) si r íi (0,1) {2r = O A partir de la función de densidad anterior podemos calcular los momentos de R. Por ejemplo, E{R} = 1/2 Y (J~ = 1/ 18. • EJEMPLO 6.13 Sea (X,Y) un punto elegido al azar en el cuadrado Q: Q = {(x,y) ;x E (O,l),y E (0,1)) Calcularemos la función de densidad del producto Z = X Y. La función de densidad xY = z o Figura 6.12 conjunta de (X,Y) es: f(x ,y) = {1 si (x,y) SI (x, y) O EQ íi Q Puesto que X E (O, 1) e Y E (O, 1), la variable Z = XY varía entre O y 1. Esto se comprende fácilmente si observamos el primer diagrama de la figura 6.12. Las curvas de ecuación xy = z son hipérbolas equiláteras. Si z 2: 1, la hipérbola no corta al cuadrado Q. Para hallar la función de distribución de Z, calculamos: Fz(z) = P(XY ':; z) = JJ dxdy, O B donde B = {(x,y) ; x > O, Y > O, xy .:; z}. El conjunto B aparece representado en el segundo diagrama de la figura 6.12. Para calcular la integral, consideramos B partido en dos recintos, como se muestra en el tercer diagrama de la figura 6.1 2; se obtiene: Fz(z) = = !o llol dydx + llloz/x dydx .o o ¡z dx + l Jo = z - zln z z 1 l :' dx x o 283 6.8 Densidad de una función g(X,Y) La derivada de la función de distribución es - In z = In(1 / z). Se comprueba que es función de densidad. Primero, si z E (0, 1), se tiene - In z > O (nótese que ln z < O). Segundo, si integramos por partes u = - ln x, Vi = 1, resulta: I 10 1 (-ln z) dz= - zlnz 0+10 1 dz = 1 1 luego ¡:, JZ = {ln~Z , O, si z E (O, 1) si z ll" (0,1 ) • es la fu nción de densidad de Z = Xy. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con distribución común uniforme en (O, 1). Calcular la densidad de la variable Z = Y/X. EJEMPLO 6.14 CasoO P(Z ::;z)=~ Caso 1 ::; z < =, p eZ ::; z) = 1 - fz Figura 6.13 Primero, analizamos el rango de variación de Z = Y/X. Puesto que tanto X como Y varían entre O y 1, se tiene 0 < Z < oo. Observemos la interpretación geométrica de este rango. La ecuación Z = Y /X = z es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente z. Las rectas de la forma Y = zX que cortan al cuadrado [0, 1] x [0, 1] tienen una pendiente que varía entre Oe infinito. Si O < z < 1, la recta está comprendida entre el eje de OX y la diagonal , como se muestra en el primer diagrama de la figura 6.13. Si 1 ~ z < 00, la recta está comprendida entre la diagonal y el eje OY, como muestra el segundo diagrama de la figura 6.13. Para calcular peZ ~ z) debemos distinguir estos dos casos. • Si O< z < 1, entonces {Z ~ z} está formado por los puntos (x,y) del triángulo de vértices (0, 0), (1,0) Y (l ,z), que aparece sombreado en el primer diagrama de la figura 6.13. Se tiene: Fz(z)= P(Z~z)= {I {ZX dydx=:' Jo Jo 2 • Si 1 ~ z < 00, es preferible calcular la probabilidad del complementario, ya que {Z > z} es el triángulo de vértices (0,0), (0,1 ) y (l /z, 1). Se tiene: P(Z > x) = ldydx = l/zi !no 1 zx 2z 284 Vectores aleatorios continuos lo que implica: 1 Fz(z) = I - P (Z > z) = 1 - 2z La función de densidad de Z es igual a Fí: fz puesto que 6.9. () ° si < z < 1 sil ::;z {I / 2, 1/ 2z2, z = • Jo Fí(z) dz = 1. Esperanza matemática de una función g(X,Y) De manera informal, la esperanza matemática de g(X ,Y) es el promedio de los valores de g respecto de la distribución de probabilidad de (X,Y). Puesto que: P(X E [x,x+dx ],Y E [y,y+dy]) -;:::,f(x,y)dxdy el promedio aproximado sería: LLg(x,y) f(x,y) dxdy (x,y) Por ello, definimos E {g(X ,Y)}: Definición 6.1 Si X e Y son dos variables aleatorias con función de densidad conjunta f (x,y), la esperanza matemática de una función g(x,y) es igual a: E{g(X,Y)} = [~ [~ g(x,y) f (x,y)dydx (6.13) supuesto que la integral exista. Si conocemos la función de densidad marginal de Z = g(X ,Y), también podemos calcular la esperanza E {Z} respecto de su distribución unidimensional: E{Z} = J zfz(z) dz y el resultado es el mismo que si se calcula como función de (X,Y), mediante la fórmula 6.13. J zfz(z)dz = EJEMPLO 6.15 [~ [~ g(x,y) f(x,y) dydx Sea (X ,Y ) un punto elegido al azaren el cuadrado Q : Q = { (x, y) ; x E (0, 1) , Y E (O,I )} 6.9 Esperanza matemática de una función g(X, Y ) La esperanza matemática del producto XY, se puede calcular, directamente, mediante la fórmula 6.13 : E{XY} = (1 (1 Jo Jo 1 xydxdy = 4" y por medio de la función de densidad de Z = XY que calculamos en el ejemplo 6.8: E{XY} = E{Z} = l 1 loo z In -z dz Para calcular esta integral, tomamos las partes u = In ~ y Vi E{XY} = l = z; resulta: 1 !a z 1n-dz z O Desde luego, si no se conoce la función de densidad marginal , es preferible emplear la fórmula 6.13 . • EJEMPLO 6.16. Esperanza de g(X ,Y ) = aX + bY La esperanza matemática es. un operador lineal que cumple: E{aX +bY} = aE{X} + bE{Y} donde a E R, b E R, Y siempre que existan E{X}, E{Y}. La esperanza matemática hereda esta propiedad de la integral, que también es un operador lineal: E{aX +bY} = ¡:¡: (ax+by ) f (x,y)dxdy = a ¡: J~ xf(x,y) dxdy +b ¡ :¡:Yf(x,y) dXdy = aE{X} + bE {Y} Así, las propiedades de la esperanza son las mismas tanto si las variables son discretas como si son continuas. Para poder hacer una teoría general de la probabilidad que incluya todas las distribuciones posibles es necesario considerar una integral más general, denominada de LEBESGUE, que incluye como casos particulares a los que consideramos aquí. • Otra función interesante es el producto g(X ,Y) = XY. En general, no es cierto que E{XY} = E{X}E{Y}. Sin embargo, bajo la hipótesis de independencia, sí se verifica que la esperanza del producto de dos variables sea igual al producto de las esperanzas. 285 286 Vectores aleatorios continuos La justificación es simple. Si X e Y son independientes, se cumple = fx (x)jy (y), lo que implica: f(x,y) E{XY} = f~f~ xyf(x,y)dxdy = f~ f~ xyfx (x) jy (y)dxdy = f~ x ([~yjy(Y)dY) fx (x) dx = [~XE{Y}jx(X)dX = E{X}E{Y} De manera más general, se cumple: Propiedad 6.4 Sean X e Y dos variables independientes. Si g Y h son dos funciones , g(X) y h(Y) son independientes y se cumple: E{g(X)h(Y)} = E{g(X)}E{h(Y)} Por ejemplo, las variables X e Y del ejemplo 6.9 son independientes y se tienen E{X} = E{Y} = 1/2, lo que permite calcular E{XY}: E{XY} = E{X}E{Y} = ~ EJEMPLO 6.17 En el ejemplo 6.8 hemos calculado la función de densidad del cociente Z = Y/X de dos variables independientes y uniformes en (O, 1). Si intentamos calcular la esperanza de Z por medio de esta función de densidad, obtenemos: E{Z}= l dz loo z-2 + ¡~ I dz z-2 =00 2z (6.14) ya que la integral J~ ~ diverge hacia +00. La esperanza matemática de Z no existe. Este ejemplo nos enseña que las variables sin esperanza matemática no son raras en el Cálculo de probabilidades. La que acabamos de mostrar aparece al operar variables que tienen buenas cualidades. Las variables sin esperanza matemática pueden ser causa de paradojas al interpretar de los resultados probabilísticos, además añaden dificultades técnicas a la hora de probar, de manera general, algunos resultados. Las variables con esperanza infinita no cumplen, en general, la ley de los grandes números. Observemos también que el cálculo de E {Z} se puede hacer de otras dos maneras. Si la calculamos a partir de la función de densidad conjunta, se tiene: E{Z} = {I ¡I ~ dydx Jo Jo x {I 1 = Jo 2x dx = +00 287 6.10 Covarianza entre X e Y También podemos calcularla gracias a la propiedad 6.4. Puesto que X e Y son independientes, también lo son l/X e Y. Se sigue: pero E{Y} = 1/2 Y E {~ } = t~ dx = += cálculo que, otra vez, nos indica que E{Z} no es finita. 6.10. • Covarianza entre X e Y Consideremos dos variables X e Y con función de densidad conjunta ¡(x,y). La función: g(X,Y) = (X -E{X})(Y -E{Y}) es el producto de las desviaciones de cada variable a su media. Si X e Y, varían al unísono, un valor positivo de X - E{X} irá asociado, con mayor probabilidad, a un valor positivo de Y - E {Y}, mientras que un valor negativo de X - E{X}, con mayor probabilidad, estará asociado a un valor negativo de Y - E{Y}. Así, g(X,Y) tomará valores positivos con mucha probabilidad y E{g(X,Y)} será positiva. Por el contrario, si X e Y varían en sentido opuesto, E{g(X,Y)} será negativa. Por esta razón, se denomina covarianza al valor esperado de g(X ,Y), y se representa por Cov(X ,Y): Cov(X,Y) =E{(X -E{X})(Y - E{Y})} La covarianza mide el grado de asociación lineal estadística entre X e Y. De las propiedades de la esperanza, se sigue la fónnula: Cov(X,Y) = E{XY} - E{XE{Y}} - E{YE{X}} + E{E{X}E{Y}} = E{XY} - E{Y}E{X} - E{X}E{Y} + E{X}E{Y} =E{XY}-E{X}E{Y} (6.15) que es la mejor para calcular la covarianza. El cociente: Px,Y = Cov(X,Y) (Jx(Jy se denomina coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación no depende de la escala de medida que empleemos para las variables ni del origen de coordenadas. Es un número sin dimensiones que mide el grado de asociación lineal entre X e Y. 288 Vectores aleatorios continuos El signo del coeficiente de correlación indica la modalidad de la asociación: positiva o negativa. El valor absoluto, la intensidad: cuánto mayor es IPx,yl, más fuerte es la asociación lineal. Si PX,y = 0, las variables se denominan incorreladas. Por la definición del coeficiente de correlación, una condición necesaria y suficiente para que X e Y sean incorreladas es: = O'x ,y ° EJEMPLO 6.18 Sea (X, Y ) un punto elegido al azar en el triángulo, T, de vértices (0,0), (0, 1), (1, 1). Calcularemos el coeficiente de correlación PX ,y. Puesto 1, 1) y o o Figura 6.14 que el área de T es 1/ 2, la función de densidad conjunta de (X ,Y ) es: ¡(x,y) = {02 T si (x,y) E si (x,y) li T Las esperanzas de X e Y son iguales a: (111 E{X} = Jo x (111 E{y} = Jo x 1 x2dydx = 3" y2dydx = 3" 2 Los momentos de segundo orden, son iguales a: E{X 2 } = E{y 2 } = (111 Jo x fo l l O x 1 ~2 dydx = "6 1 i2dydx= -1 2 Luego se tiene: aR = 1/6 - (1/3 )2 = 1/lS, af = 1/2 -(2/3)2 = 1/1S Por otra parte, E {XY} es igual a: (111 E{XY} = Jo x (1 1 2 xy2dydx = Jo X(1 - x )dx= ;¡ 289 6.10 Covarianza entre X e Y luego Cov (X ,Y) = 1/4 - (1 / 3 2/ 3) = 1/ 36 Y el coeficiente de correlación es igualaPx,y =( 1/36) / (1/18)2=0.5. • Si X e Y son independientes, entonces están incorreladas. En efecto, de la independencia, se sigue: E{XY} = E{X}E{Y} lo que implica: Cov(X ,Y) = = E{XY} -E{X}E{Y} E{X}E{Y} -E{X}E{Y} = O La afirmación recíproca no es cierta: la incorrelación no implica independencia, como mostramos en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 6.19 Sea R el cuadrilátero de vértices (1,0), (0,1), (- 1,0), (O, -1 ). R es el rombo que aparece en la figura 6.15. Sea (X,Y) un punto elegido al azar en R. Puesto que R tiene área 2, su función de densidad viene dada por: 1/ 2 f (x y ) = { , O si (x ,y) ER si (x,y) It R Para calcular la esperanza de X descomponemos la integral en dos partes, según Figura 6.15 que x E (-1,0) oquexE [0,1). E{X} = ~ 11 xdxdy R = ~ {Jo 2 j l+X - 1 - (I + x) dyxdx + (1 Jo jl-X dYXdX} = O -( I-x) De manera similar se obtiene E {Y} = O. Observemos que este resultado es una consecuencia de la simetría de la di stribución respecto del origen. Por cada punto (x,y) del dominio de definición , hay otro punto (-x, -y) que también pertenece al dominio y en el que la función de densidad toma el mismo valor. El resultado es 290 Vectores aleatorios continuos que al promediar los valores de X (o los de Y), el resultado debe ser cero. El cálculo de E {XV} es semejante a los anteriores. E{XY} = ~ JJ xydxdy R = -1 {JO 2 - ¡ jl+X - ( I + x) y~x~+ 10 1 jl-Xy~x~ } = 0 O - ( I - x) Así, tenemos E{XY} = E{X}E{Y} = 0, lo que implica Cov(X ,Y ) = O. Sin embargo, las variables no son independientes. Para convencernos de ello no necesitamos calcular las densidades marginales, basta observar que el conjunto de valores posibles de (X, Y) no es un rectángulo, cada variable no puede variar en su rango de variación con independencia del valor que haya tomado la otra. Al contrario, el • valor que toma una variable, determina dónde puede variar la otra. 6.11. Cálculo de la densidad de un vector función de otro Consideremos Un vector aleatorio (X, Y) COn función de densidad COnjunta f(x, y) y supongamos que U y V SOn dos funciones de X e Y: U=g¡(X,Y) V = g2(X,Y) Cuando el Azar sortea los valores de X e Y, indirectamente, está sorteando los de U y V. Nuestro interés es calcular la ley de probabilidad de (U, V) a partir de la de (X, Y). En este apartado daremos dos métodos para calcular la distribución de (U, V). El primer método es el más elemental y el más robusto. No impone ninguna condición a g¡ Yg2. Consiste en calcular la función de distribución bidimensional Fu,v (u, v), para cada par de valores (u, v). FU,v(u,v ) =P(U:S: u,V :S: v) = Ji f(x,y)dxdy para u, v E (-00,00) (6.16) g l (x,y) :C; u g2(X,y):C;v Para analizar si Fu,v admite una función de densidad, nuestra candidata debe ser: ~ ( ) _ J 2 Fu,v(u,v) JU,v u, v Juav La comprobación crucial es que cumpla la condición: Fu,v (u, v) = ¡~ ¡v= fu,v (s,t) dt ds 291 6.11 Cálculo de la densidad de un vector función de otro En particular, si fu,v (u, v) existe y es continua en todos los puntos, se cumplirá la condición anterior. EJE M PLO 6.20 Sea (X ,Y) un punto elegido al azar en el cuadrado Q: Q = {(x, y) ; x E (O, 1),y E (0, 1)) Consideremos la variable bidimensional (U,v), donde U = max(X,Y) yV = min(X ,Y). Para calcular la función de densidad de (U, V) calcularemos primero su función de BI = { (x,y) ; max (x,y) ::; u} B2 = { (x,y ) ; min(x,y)::; v} (a) (b) B = {max(x,y) ::; u, min(x,y )::; v} Figura 6.16 distribución, Fu,v (u, v), y luego discutiremos la existencia de la densidad. Se tiene Fu ,v (u , v) = P(max(X,Y) ::; u,min(X,Y ) ::; v) Primero, hay que analizar el rango de variación de (U, V) . Dado que X e Y toman valores en (0, 1), Y que U 2: V, la variable (U,v) toma valores en el conjunto 0 < v ::; u < 1. Ahora, si u E (0,1), para que max(x,y) ::; u, tanto x como y deben ser menores o iguales que u. Por esta razón, se tiene: B] = {(x,y) ; max(x,y) ::; u} = {(x,y) ; x ::; u} n {(x,y) ; y ::; u} y B] es el cuadrado que aparece coloreado gráfico (a) de la figura 6.16. Por otra parte, para que min(x,y) ::; v, debe ocurrir que alguna de las variables x ó y sea menor que v, lo que implica: B2 = {(x ,y) ; min(x, y) ::; v} = {(x ,y) ;x ::; v} U { (x,y) ; y ::; v} El conjunto B2 es la región coloreada del gráfico (b) de la figura 6.16. Ahora, el suceso B = {max(X ,Y) ::; u, min(X ,Y) ::; v} es la intersección de ambos sucesos. {max(X ,Y) ::; u,min(X,Y) ::; v} = {max(X,Y) ::; u} n {min(X,Y) ::; v} = {(x,y); (x,y) E B] nB2} (e) 292 Vectores aleatorios continuos El suceso B = B¡ nB2 aparece coloreado en el gráfico (e) de la figura 6.16. Una vez identificado el suceso B, calculamos su probabilidad. JJ dxdy = Pu.v (u, v) = área(B) B uv + (u - v) v = 2uv - v2, = si O < v::; u < I La función de densidad de (UY) es: fu.v(u,v) = o2pU.v ouov { O, = 2 ' si O < v ::; u < 1 en otro caso • El segundo método es más mecánico, pero exige que las funciones g¡ y g2 cumplan ciertas condiciones. Se basa en el siguiente resultado: Propiedad 6.5 Sean u = g¡ (x,y), v = g2 (x,y). Supongamos que la aplicación (x,y) f-+ (u,v) es biyectiva, que u = g¡ (x,y) y v = g2 (x,y) tienen derivadas parciales continuas y que el jacobiano no se anula: l(x,y) = entonces, la [unción de densidad de (U, V) es igual a: fu,v(u,v) 1 = 1 x U,v ,y u, v 1 ( ( ) ( ))lfx,Y(x(u,v),y(u,v)) (6.17) donde 11 (x,y) 1es el valor absoluto del jacobiano y (x( u, v) ,y( u, v) ), es la solución del sistema de ecuaciones: g¡ (x,y) =u { g2(X,y) = v EJ EM P LO 6.21 Sea (X, Y) un punto elegido al azar en el cuadrado Q : Q = {(x,y) ; x E (0,1), Y E (O, 1)} Consideremos las variables U = X + Y Y V = X - Y. Calcularemos la función de densidad conjunta de (UY) por el método basado en la propiedad 6.5. La variable (X ,Y) tiene función de densidad conjunta dada por: fx ,Y (x,y) = { 1 si (x,y) E Q O si (x,y) ji Q 6.11 Cálculo de la densidad de un vector función de otro Figura 6.17 Para cada x, y, el sistema: tiene una única solución: u- v 2 u+v 2 x = -- y= - lo que prueba que la transformación es biyectiva. El jacobiano de la transformación es igual a 1= I~ - 1 1 1= -2 y 11 = 2. De la igualdad 6. 17, se sigue que la función de densidad de (U,V) es igual a: fu ,v(u,v) 1 = ¡:r¡fx,y (u +v u - v) - 2- ' - 2- = 2:1 en cada punto (u, v) que sea imagen de un punto (x,y) E Q. Sólo falta hallar el transformado del dominio Q por la aplicación. Observemos la interpretación geométrica de u y v que se muestra en la figura 6.17 . Todos los puntos de la recta x + y = e tienen la misma coordenada u, precisamente u = c. De igual manera, todos los puntos de la recta x - y = e tienen la misma coordenada v, precisamente v = c. Por ello, los haces de rectas de la forma x + y = e y x - y = e son las líneas de nivel de u y v. Gracias a esta observación, deducimos que la coordenada u varía entre el valor correspondiente a la recta x + y = y el correspondiente a x + y = 2, luego < u < 2. De manera similar, la coordenada v varía entre el valor correspondiente a la recta x - y = - 1 Y el de la recta x - y = 1, luego - 1 < v < 1. La figura 6.18 nos ayuda a determinar el dominio transformado de Q . Si u E (0, 1), la recta x + y = u corta a los lados de Q en los puntos de coordenadas (O,u) y (u,O ) (ver gráfico a), luego v varía entre - u, que corresponde a la línea de nivel que pasa por el punto (O,u), y u, que corresponde a la línea de nivel que pasa por el punto (u,O). En el gráfico b hemos representado del caso u E [ 1,2). Ahora, la recta x + y = u corta a ° ° 294 Vectores aleatorios continuos (a) (b) Figura 6.18 los lados de Q en los puntos (l , u - 1) Y (u - 1,1), luego v varía entre u - 2, que corresponde a la línea de nivel que pasa por (u - 1, 1) Y 2 - u que corresponde a la línea de nivel que pasa por (1, u - 1). El dominio transformado de Q está definido por: D = { ( u, v) ; O < u < 1, - u < v < u} U { (u , v) ; l ::; u < 2, u - 2 < v < 2 - u} El dominio D es el rombo de vértices (0,0), (1,1 ), (2,0), (1, -1 ) que aparece en (0,1 ) o (1,- 1) o Figura 6.19 la figura 6.19. Por ejemplo, el punto de coordenadas x = Oe y = 1 se transforma en u = 1 Y v = -1. La función de densidad de (U,V ) está definida por: ! fu,v(u,v) = { 02 si (u, v) E D si (u, v) \t D Puesto que f u,v es constante en el interior del rombo, el vector aleatorio (U, V ) se distribuye uniformemente en D. Como comprobación final , observemos que f u,v cumple las condiciones de una función de densidad bidimensional: es nonegativa y, puesto que D tiene área igual a 2, se cumple: JJ D fu ,v dvdu = 1 • 295 Ejercicios del capítulo 6 Ejercicios del capítulo 6 Ejercicio 6.1 Sea (X,Y) un vector con función de densidad conjunta: cxe-(x+y) f(x,y) = O { six> O, y> O en otro caso Se pide: 1. Calcular la constante c. 2. Hallar las funciones de densidad marginal de X y de Y. 3. ¿Son independientes X e Y? Ejercicio 6.2 Sea (X ,Y) un vector con función de densidad conjunta: e-(x+y) f(x,y) = { O si O < x en otro caso Se pide: 1. Calcular la constante c. 2. Calcular P(Y > 3X). 3. Calcular la función de densidad condicionada f(x I y). 4. Calcular P(Y > 3X I y> 2X). Ejercicio 6.3 Sea (X,Y) un vector con función de densidad conjunta: f (x,y ) = { c(x + y) O six>O,y>O,x+y< l en otro caso Se pide: l. Calcular la constante c. 2. Hallar la función de densidad condicionada f(y Ix). 3. Hallar E{Y IX = 0.25}. 4. Calcular el coeficiente de correlación Px.Y. 296 Vectores aleatorios continuos Ejercicio 6.4 El valor que toma del vector aleatorio (X ,Y) se elige mediante dos sorteos sucesivos. Primero elegimos el valor de X sorteando un número según la ley de probabilidad de densidad: f(x) = 2 -2x { e o six> O en otro caso y, luego, elegimos el valor de Y, sorteando un número al azar en el intervalo (O,X). 1. Hallar la función de densidad conjunta f(x,y). IX 2. Calcular E{Y = x} en función de x. Con la ayuda de este resultado, calcular E{Y}. Ejercicio 6.5 Sea (X ,Y) un vector con función de densidad conjunta: f(x,y) = { c(x;y) si O < x < 1, O < Y < 1 en otro caso Se pide: 1. Calcular la constante c. 2. Hallar las funciones de densidad marginal de X y de Y. 3. ¿Son independientes X e Y? Ejercicio 6.6 Sea (X,Y) un punto elegido al azar en el cuadrado: Q = {(x,y) ; O ~ x ~ 1, O ~ Y ~ 1} Se pide: 1. Hallar la función de densidad de S = X + Y. 2. Calcular el coeficiente de correlación Ps,x. 3. Calcular P(X ~ 0.25,S 4. Calcular P(X ~ x,S ~ ~ 0.75). s), en función de x y s. 5. Con la ayuda del resultado anterior, hallar la función de densidad conjunta de (X,S). 297 Ejercicios del capítulo 6 Ejercicio 6.7 Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad: 2x si O < x < 1 Ix () x ={ O en otro caso y si O < Y < 1 en otro caso Se pide: l. Calcular la función de densidad de S = X + Y . 2. Calcular la función de densidad de D =X- Y. 3. Calcular P(S < 0.75,D < O). Ejercicio 6.8 Sea (X ,Y) un vector con función de densidad conjunta: I (x,y ) = exy { O si x> O, y > O, x + y < 1 en otro caso Se pide: l. Hallar la función de densidad conjunta, h(u,v ), del vector (U,V), donde U = X + Y, V = X - Y. 2. Calcular las funciones de densidad marginales hu (u) y hv (v). 3. Calcular la función de densidad condicionada h (v I u). Ejercicio 6.9 Un sistema tiene dos circuitos el Y e2. Designemos por Xi el tiempo que tarda en fallar el circuito e¡. Las variables Xl y X2 son independientes y tienen distribución exponencial de parámetro A > O. Sea T el tiempo que tarda en fallar el sistema. Puesto que el sistema funciona cuando los dos circuitos estén operativos, se tiene: Se pide: l. Calcular P(T > t), t > O. 2. Del resultado anterior, calcular la función de densidad de T. 3. Calcular el tiempo esperado hasta que falla el sistema. 4. Calcular la probabilidad de que se averíe primero el circuito el. 298 Vectores aleatorios continuos Ejercicio 6.10 Sea (X,Y) un vector con función de densidad conjunta: I(x,y) = { c(x;y) six> O,y > O, x+y < 1 en otro caso Se pide: 1. Hallar la constante c. 2. Calcular las funciones de densidad marginales Ix (x) y Iy(y ). 3. Calcular P(Y > X). Ejercicio 6.11 Sea (X,Y) un vector con función de densidad conjunta: I(x,y) si O o en otro caso Se pide: 1. Calcular la constante c. 2. Calcular P(Y > 3X). Ejercicio 6.12 El valor que toma el vector aleatorio (X, Y) se elige mediante dos sorteos sucesivos. Primero elegimos el valor de X sorteando un número según la ley de probabilidad uniforme entre Oy 1 y, luego, elegimos el valor de Y, sorteando un número al azar en el intervalo (O,X ). 1. Hallar la función de densidad conjunta I (x, y). 2. Hallar la función de densidad marginal de Y. IX 3. Calcular E{Y = x} en función de x. Con la ayuda de este resultado, calcular E {Y}. 4. Calcular E{X I y = y} en función de y. Ejercicio 6.13 Sea (X,Y) un punto elegido al azar en el cuadrado: Q= {(x,y) ; O:::;x:::; 1, O:::;y:::; l } Si U = X + Y YV = X - Y, calcular el coeficiente de correlación Pu,v . 299 Ejercicios del capítulo 6 Ejercicio 6.14 Sean X e Y dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad: fx(x) = { O y fy(y) = { ¿ si O < x < 1 en otro caso si O < Y < 1 en otro caso Se pide: 1. Calcular la función de densidad de S = X + Y. 2. Calcular la función de densidad de D = X - Y. 3. Calcular P(S < 0.75,D < O). Ejercicio 6.15 Un sistema tiene tres circuitos CI, C2 Y C3. Designemos por X¡ el tiempo que tarda en fallar el circuito C¡ . Las variables XI, X2 y X3 son independientes y tienen distribución exponencial de parámetro A > O. Sea T el tiempo que tarda en fallar el sistema. Puesto que el sistema funciona cuando los tres circuitos estén operativos, se tiene: Se pide: 1. Calcular P(T > t ), para cada t > O. 2. Del resultado anterior, deducir la función de densidad de T. 3. Calcular el tiempo esperado hasta que falla el sistema. 301 Soluciones de los ejercicios Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 6.1 1. Para calcular la constante, imponemos la condición de normalización: La integral Jo=xe- x dx se puede calcular por partes (tomando u = x y v' = e-X ) o con Maple. Es un caso particular de la denominada función gamma, Figura 6.20 r(p) , . En cualquier caso, se tiene: y [~ [~ /(X,Y)dydX = e lo que implica e = l. 2. Para calcular las función de densidad marginales de X, hay que distinguir dos casos. Si x :::; O, entonces Ix (x) = O; mientras que, si x > O, se tiene: Ix (x) 10=xe- (x+Y)dy = xe- x 10=e- Ydy = =xe- x Vectores aleatorios continuos 302 luego fx(x) = six > O six <::: O xe- X {O De manera similar, calculamos la función de densidad marginal de Y. También hay que distinguir dos casos. Si y <::: O, entonces fy (y) = O; mientras que, si y > O, se tiene: 10= xe-(x+y) dx = e- Y 10= xe- x dx fy(y) = = e-Y en resumen, se tiene: fy(y)={~-Y si y> O si y <::: O 3. Para todo par (x,y), se verifica f(x,y) = fx (x)fy (y), luego X e Y son independientes. Solución del ejercicio 6.2 1. Para calcular la constante, imponemos la condición de normalización: J~[:f(x,y)dydX= 10= = 1= ce- (X+Y)dydx 10= -e-Y[ ce-Xdx = 10= ce- 2x dx = _~e-2X[ e 2 - (6.18) lo que implica e = 2. El gráfico de la figura 6.21 ilustra el razonamiento para poner los límites a las integrales en el cálculo de la constante c. El dominio donde la función de densidad toma valores no nulos está coloreado. La abscisa x de los puntos de ese dominio varía entre O e infinito. Para determinar los límites de la integral en dy, fijamos un valor de x E (0,00), la ordenada y de los puntos del dominio que tienen abscisa x varía entre x e infinito. Gráficamente, cuando trazamos la recta X = x, el primer punto del dominio que encontramos es el punto de corte con Y = X, es decir (x,x), y el último punto del dominio es (x, 00). Por eso, la integral en dy tiene límites x e oo. 303 Soluciones de los ejercicios x Figura 6.21 2. Pongamos B = {(x,y);O < x < oo,y > 3x}, se tiene: P(Y > 3X) = JJ f(x,y)dydx B En la figura 6.22 se identifica el suceso B y se razona gráficamente el Figura 6.22 cálculo de los límites de la integral JJ f(x,y ) dydx. Los límites de la integral B en dx son Oe 00, porque las abscisas x de los puntos de B varían entre Oe oo . Para poner límites a la integral en dy fijamos un x, O < x < oo. Si observamos la recta X = x, podemos analizar la variación de las ordenadas de los puntos de B que pertenecen a esta recta. La recta corta a B en el punto en que se encuentran las rectas Y = 3X y X = x, esto es (x, 3x). Todos los puntos de la recta, por encima de ese punto pertenecen a B y ninguno de los que están 304 Vectores aleatorios continuos por debajo pertenece. Por ello, la ordenada y varía entre 3x e oo. P(Y > 3X) = = r r 2e-(x+y) dydx Jo J3x ¡=-e- Y1=2e-x dx Jo 3x = 10=2e -4x dx = _~e-4X [ 2 3. Primero calculamos la función de densidad marginal de Y. Si Y :::; O, fy (y) = O; mientras que, si y > O, se tiene: Si Y > O Y x < y, la función de densidad condicionada es igual a: f(x I y) = 2e- (x+y ) 2e-Y(1 - e-Y) en otro caso f(x I y) = O. si Y > O, O < x < y en otro caso 4. De acuerdo con la definición de probabilidad condicionada, se tiene: P(Y > 3X I y > 2X) = P(Y ~:;~~ 2X) P(Y P(Y > 3X) > 2X) Es necesario calcular P(Y > 2X). En la figura 6.23 se representa el suceso {Y > 2X} cuya probabilidad queremos calcular y se justifica la elección de los límites de la integral doble que la calcula. Las abscisas de los puntos de e varían entre O y +00 y, fijada una abscisa x, como se muestra en la figura, las ordenadas de los puntos de e de la forma (x, y) varían entre e= 305 Soluciones de los ejercicios Figura 6.23 2x y +00. P(Y > 2X) = 10=J: 2e- (x+y) dydx = 10=- e - Y [ 2e- x dx = 10=2e- 3x dx = _ ~e-3X[ ~ De lo anterior, se sigue P(Y > 3X I y > 2X) = 3/4. Solución del ejercicio 6.3 1. En la figura 6.24 se representa el dominio D en el que la función de densidad conjunta toma valores distintos de cero. Para calcular e, debemos imponer la condición JJ f(x,y)dydx= 1 D La única pequeña dificultad de cálculo es poner límites a la integral doble. Observamos que x varía entre Oy 1 Yque, fijado un x, O< x < 1, la ordenada y de los puntos del domino varía entre Oy 1 - x. Estas variaciones justifican los límites de la integral doble y los de la función de densidad condicionada 306 Vectores aleatorios continuos Figura 6.24 que calcularemos a continuación. Como c/3 = 1, se sigue que la constante e es igual a 3. 2. En primer lugar, calcularemos la función de densidad marginal de X. Es claro que si x ti- (0,1), entonces Ix (x) = O. Por otra parte, si x E (0, 1), se tiene: Ix (x) = ¡ : I(x,Y)dY = t - 3(x + y)dy = ~(1 - x2) Jo 2 x La función de densidad condicionada I (x I y) es igual a: I(y Ix) = { 2(x+y) 01 - x 2 si O < x < 1, O < Y < 1 - x en otro caso 3. De acuerdo con el punto anterior, la función de densidad de Y, con- 307 Soluciones de los ejercicios dicionada por X = 0.25 es igual a: 2(y+0.25) Ivlx=O.25 = { si O < Y < 0.75 O 0.9375 en otro caso y el valor esperado es: E{Y IX = 0.25} = + 0.25 ) dy 0.9375 ( 075 Y 2(y Jo = 0.45 4. Calculamos la covarianza entre X e Y y las respectivas varianzas. Se cumple: E{X} = {l {1 -x x3(x+y) dydx=~ Jo Jo de manera semejante, se tiene: E{Y} = 8 llol -X 3 loO O y3(x+y) dy dx =-8 Por otra parte, se verifica: t t - .xy3(x + y)dydx = 101 x E{XY} = Jo Jo mientras que E{X 2 } = E{y 2 } = loo lil~ o 1 ~3(x+y) dydx =5 y lil ~ io o 1 /3(x+y) dy dx=5 luego 13 aX ,Y = E{XY} -E{X}E{Y} = - 320 y ai = ai = ~ - (~r = 3:0 1 El coeficiente de correlación es igual a: Pxy = G:::i. ~ -0.684 a XY yaiai El coeficiente de correlación es negativo porque cuando una variable toma valores grandes, es más frecuentes que la otra variable tome valores pequeños. ( 308 Vectores aleatorios continuos Solución del ejercicio 6.4 1. El problema se plantea de manera dinámica. Primero se elige el valor de X y, en función del valor que haya tomado, se sortea el valor de Y. Los datos son la función de densidad marginal de la variable X: fx (x ) = { ° 2e-2x six > ° en otro caso y la función de densidad de Y condicionada por X: "uniforme en (O,X)", es decir: si x ° > 0, < y < x en otro caso La función de densidad conjunta es igual a: Figura 6.25 f(x ,y) = fx(x )f(y I x) = 2 - 2x { :r eO ° si x > 0, < y en otro caso En la figura 6.25 se representa el conjunto T = {(x,y) ; 0 < x < 00 , °< y < x} sobre el cual, f(x ,y) es distinta de cero. 2. Por otra parte, se tiene: E{Y IX= x} = [~ Yf(Y Ix)dy ¡Xl = Jo y -; dy = ~ ~Soluciones de los ejercicios 309 Ahora, la importante fórmula 4.24, tiene su análoga para variables continuas, lo que permite poner: fo= E{Y Ix = x} fx (x)dx = fo= ~2e-2x dx = ~ E{Y} = Solución del ejercicio 6.5 1. Para calcular la constante, imponemos la condición ¡: ¡:f(x,y) dydx = 1. Ahora, f(x,y) vale O en todos los puntos salvo en los del cuadrado Q = {(x,y) ;O ¡:¡:f(x,y)dydX= fol fo1 c(x+y)dydx 1 = r c(xy + L221 odx Jo 1 = c. Se sigue e = l. 2. La función de densidad marginal de X es el punto x es igual a fx(x) = ¡:f(x,y)dy. Por la manera en que f(x,y) está definida, hay que distinguir dos casos, si x rt (O, 1), la integral anterior es igual a O, mientras que si x E (0,1), es igual a fx(x) = t (x+y)dy = x + ~.2 Jo En resumen, hemos obtenido que fx es igual a 1 fx(x) = x+ { O 2 sixE (O,l) sixrt (0,1) 310 Vectores aleatorios continuos 7 y x (b) (a) Figura 6.26 Con la ayuda de la figura 6.26 podemos entender mejor el cálculo de las densidades marginales. La función de densidad conjunta sólo es distinta de cero sobre los puntos del cuadrado (0,1) x (0,1), esto determina el rango de variación de las integrales que definen las funciones de densidad marginales. Por ejemplo, para calcular fx (x), tenemos que "acumular" toda la densidad de probabilidad que encontramos en los puntos de la forma (x,y) , donde x está fijo e y varía entre - 00 e oo. Puesto que la densidad es cero fuera del intervalo (0,1), lo anterior equivale a acumular la densidad de probabilidad de los puntos de la forma (x,y) con x fijo e O < Y < 1. De manera similar, calculamos la función de densidad jy (y ). El resultado es 1 y+- jy(y)= { O 2 si y E (0,1) siy ~ (O , l) 3. Observemos que se tiene f (x,y) = x+y =f: (x+~) (y + ~) = fx (x )fy (y ) cuando O < x < 1, O < y < 1; se sigue que las variables X e Y no son independientes. Solución del ejercicio 6.6 1. Dado que el punto se elige al azar, la probabilidad es proporcional al área. La función de densidad conjunta es: f(Xy)={l , si(x,Y )E Q O si (x,y) ~ Q Primero, conviene conocer el rango de variación de la variable. S varía entre O y 2. Calcularemos la función de densidad por el método más elemental, que consiste en hallar la función de distribución Fs (s) y estudiar su derivada 311 Soluciones de los ejercicios CasoO < s< 1 Casol S s < 2 l ,s - l ) o Figura 6.27 (si caemos en la cuenta de que X e Y son independientes, también se puede hacer por la propiedad 18 que se explica en el apartado 6.7). Los cálculos precisos para hallar Fs(s) se resumen en la figura 6.27. Si s :::; 0, resulta evidente que se cumple: FS(s) = P(S:::; s) = ° mientras que si s ?: 2, se verifica: Fs(s) = P(S:::;s) = 1 Como habíamos anticipado, los valores cruciales son los comprendidos entre y 2. Los gráficos de la figura 6.27 indican que es preciso distinguir los casos < s < 1 Y 1 :::; s < 2. Si < s < 1, la región favorable a S :::; s es el triángulo T de vértices (0,0), (s, O) y (O,s ), coloreado en azul. Se tiene: ° ° ° Fs(s) = P(S :::; s) = slos-x loo o dydx = -2 s2 Observemos que, por ser un modelo uniforme, se cumple: P(S :::; s) = P((X ,Y) E T) = ,área(T) area total Si 1 :::; s < 2, la región favorable es el pentágono P. P(S :::; s) = P((X,Y) E P ) = ,área(P ) area total Resulta más fácil calcular el área del triángulo complementario de P, que es isósceles con catetos de longitud 2 - s. Se tiene: Fs (s) = P(S:::;s) =1 - (2-S)2 2 312 Vectores aleatorios continuos En resumen, la función de distribución de S es igual a: o si s ::; O l s2 Fs(s) = si O < s < 1 2 1- (2- , i - 2- si 1 ::; s < 2 si s ~ 2 1 La función candidata a ser densidad es: 2- s si O < s < 1 si 1 ::; s < 2 O otro caso S fs (s) = { Resulta inmediato comprobar que densidad de S. r:~ fs(s)ds = 1, luego es la función de 2. Primero, observemos que para calcular Ps,x no necesitamos conocer la función de densidad conjunta de S y X. Basta con observar que todos los momentos precisos se deducen de la distribución conjunta de X e Y. E{S} = E{X + Y} = E{X} + E{Y} E{S2} = E{X 2} +2E{XY } +E{y 2} y E{SX} = E{(X +Y)X} = E{X 2 } +E{XY} Ahora, se tiene: E{X} = (' (' xdydx = Jo Jo y, por la simetría entre X e Y, E {Y} E{X 2 } = y, por simetría, = E {X} = ~ 2 1/2. Por otra parte, j "1' x dy dx= -31 2 O O E{y 2 } = E{X 2} = 1/3, lo que implica (E{X})2 = 1/12. Por último, se tiene: t {' E{XY } = Jo Jo xydy dx = De los cálculos anteriores, se sigue: E{S } = E{X} +E{Y} y 1 4 = 1 al = E{X 2 } - 313 Soluciones de los ejercicios lo que implica al = E {S2} - (E {S} )2 = 2/12. También; se tiene: E{SX} = E{(X +Y)X} = E{X 2}+E{XY} lo que implica as.x = E{SX} - E{S}E{X} = Ps,x = as,x ¡;;¡;;¡ 0'20'2 S k 1 = ¡;;;;::::; v2 x 7 = 12 En resumen, se tiene 0.707 Las fórmulas generales permiten apreciar mejor la estructura de los problemas y explicar los resultados. En lugar de calcular Ps.x directamente, vamos a tratar de expresarlo en término de los momentos de X e Y. as,x E{SX} - E{S}E{X} = E{X 2} +E{XY} - (E{X})2 -E{X }E{Y} = E{X 2} - (E{X} )2 +E{XY} -E{X}E{Y} = = ax2 +aX,Y Un dato esencial de este problema es que X e Y son independientes, luego ax ,Y = O Y as,x = al· Por el mismo motivo, resulta al = al + a; y se tiene: Esta fórmula vale para hallar el coeficiente de correlación entre X + Y YX siempre que X e Y sean independientes. En nuestro problema, resulta Ps,x = 1/ 12 1/ 12 + 1/ 12 1 v'2 como ya habíamos calculado. 3. El conjunto favorable a {X ::::: 0.25,S ::::: 0.75} es el conjunto B representado en la figura 6.28. Se cumple: r O.25 ¡O.75-x P(X ::::: 0.25,S ::::: 0.75) = Jo ¡O.25 =Jo Jo dydx 5 (0 .75- x)dx = 16 4. Para lograr un análisis completo de P(X ::::: t,S ::::: s) hay que estudiar, con paciencia, todos los casos que pueden darse en la variación de t y s. Los 314 Vectores aleatorios continuos Figura 6.28 casos interesantes son O < t < s < 2, que separamos en dos casos. El caso 0 < t < s < 1, se representa en la gráfica (b) de la figura 6.28. Se tiene: P (X 5: t,S 5: s) = {l ( S- l Jo Jo dydx = st - t2 "2 Si 1 5: s < 2, caben dos casos que se representan en la figura 6.29. Primero, si 1 ::; s < 2 YO < t < S - 1, se tiene: P(X ::; t,S 5: s) = II =t dydx (a) (b) Figura 6.29 Segundo, si s - 1 5: t < s, 1 5: s < 2, se cumple: P(X 5: t,S::; s) = ¡S-l {l dydx+ Jo Jo t ¡s-xdydx Js- l Jo t2 (s - 1)2 = s - 1 + s(t - s + 1) - "2 + -'---2--'-- 315 Soluciones de los ejercicios Los restantes casos son bastante simples. El resultado el análisis es: • Si s::; 0, entonces P(X ::; t,S::; s) = O. • Si °< s < 1, entonces P(X ::; t,S ::; s) = ° si si t t s {~t - ~ °< 52 '2 • Si 1 ::; s si t S; ~ < 2, entonces P(X::; t,S::;S)=¡~ ° ( ) (2 (5- 1)2 s-l+s t - s+1 -"2+-21 ° si t ::; si < t < s-l <1 si s - 1 ::; t (5- 1)2 si t s-l+s ( 2-s ) -2:+-2- ~ 1 • Si s ~ 2, entonces si t ::; ° ° si < t < 1 si t ~ 1 S. Del análisis de P(X ::; t,S ::; s), se sigue: _a2p(x::;t ,S::;S) _{1 J J utus ° f x .s (t,s ) - ° si < t < 1, t otro caso < s Solución del ejercicio 6.7 1. Desde luego, los valores de S que tienen interés son los comprendidos entre y 2. Apliquemos la fórmula para la densidad de la suma de variables independientes: ° fs(s) = [~ fy(s -x)fx(x)dx Por la definición de fx, resulta que la fórmula anterior se reduce a: fs(s) = l fy(s-x)2xdx ya que fuera del intervalo (0,1), fx es cero. Ahora estudiemos el valor de fy(s - x) en función de s E (0,2) Y x E (0,1). 316 Vectores aleatorios continuos • Si O < s < 1, caben dos casos: si O < x < s, entonces O < s - x < 1 Y ir (s - x) = 2 (1 - s + x); mientras que, si s :=:; x < 1, entonces s - x :=:; O Yir (s - x) = O. En resumen: si O < x < s si s:=:; x < 1 2(I-S+X) ir (s - x) = { O si O < s < 1, De lo que se sigue: si O < s < 1, entonces Is(s) = fas 2(1- s +x)2xdx 2s2 _ ~s3 = 3 • Si 1 :=:; s < 2, caben otros dos casos: si O < x :=:; s - 1, entonces s - x ?: 1 Yir (s - x) = O; mientras que si s - 1 < x < 1, entonces O < s - x < 1 Y ir (s - x) = 2(1 - s + x). En resumen, se tiene: si 1:=:; s < 2, Iy (s - x) = {O2(I-s+x) si O < x:=:; s - l si s - 1 < x < 1 De 10 anterior se sigue: si 1 :=:; s < 2, entonces Is(s) = l' s- 1 2(1-s+x)2xdx 2 4 3 = 2(I-s)[1-(s-1) l +- [I -(s-l) 1 3 2. Pongamos Z = -Y. La función de densidad de Z cumple: Iz(z) = Ir( -z) luego fz(z) = {~(I +z) si -1 < z < O en otro caso Ahora, calcularemos la densidad de D = X + Z, donde X y Z son independientes, con funciones de densidad conocidas. La variable D toma valores entre -1 y 1. La fórmula 6.10, se transforma es: ID(r) = tI Jo fz(r - x)2xdx Analicemos en valor de fz (r - x) en función de r y x. • Si - 1 < r < O, tenemos dos casos: Soluciones de los ejercicios 317 1. Si O < x < 1 + r, entonces -1 < r - x < O Y f z (r - x) = 2(1 + r - x). 2. Six 2: 1+r,entoncesr-x < -1 y.fz(r-x) =0. luego, para -1 < r < O, se tiene: 10 fo(r) = l +r 2( 1 + r - x)2xdx 2 3(1 +r)3 = • Si O :::; r < 1 tenemos también dos casos. 1. Si O < x:::; r, entonces r-x 2: OY fz(r-x) = O. 2. Six > r,entonces -1 < r- x < Oyfz(r-x) = 2(1+r-x). luego, para O :::; r < 1, se tiene: fo(r) = [ 2 (1 + r - x)2xdx 4 3 =2(1+r)(1 - r 2 ) - -(1 - r) 3 En resumen, resulta: si - 1 < r si O :::; r <1 en otro caso 3. Puesto que no conocemos la función de densidad conjunta de (S, D ), calcularemos esta probabilidad a partir de la función de densidad conjunta de (X,Y). ~ ~-x 5 .3 r ¡ x( l - y)dydx= - l-O Jo 2 2 P (S< 0.75 ,D < 0)=4 x Solución del ejercicio 6.8 1. Aplicaremos el método del apartado 6.11. Si expresamos X e Y en función de U y V, resulta u-V X = U+V 2 ' Y=-2 el jacobiano de la transformación es: ax ay ax ay au dv au av 1 2 318 Vectores aleatorios continuos La función de densidad conjunta de (U,v) es igual a: l' ( JU,v ) u, v = { 3 (u O 2 v2 ) - si O < u < 1, - u < v < u en otro caso 2. Puesto que U varía entre O y 1, si u (j. (O, 1), la función de densidad marginal de U es igual a O; si u E (0,1), se cumple: fu(u) = ¡:fu,v(u,v)dv = ¡Uu 3(u2 - v2 ) dv =4u 3 En resumen, se tiene: fu(u) = 4U { O 3 si O < u < 1 otro caso Por su parte, V varía entre -1 y 1. Si v (j. ( -1, 1), entonces fv (v) v E ( -1, 1) debemos distinguir dos casos: 1. Si -1 = O; si < v < O, entonces 2. Si O -::: v < 1, entonces En resumen, se tiene: si - 1 < v < O si O -::: v < 1 otro caso 3. Basta aplicar la fórmula de la probabilidad condicionada y simplificar un poco, para obtener: f(v I u) = fu,v(u, v) = fu(u) {tuO [1- (~)2l si - u < v < u y O < u < 1 otro caso 319 Soluciones de los ejercicios Solución del ejercicio 6.9 1. Resulta evidente que si t s:; O, entonces P(T > t) = l. Consideremos t > O; para que T > t ocurra, tiene que ocurrir X¡ > t YX2 > t; se sigue: P(T > t) = P({X¡ > t} n {X2 > t}) = P(X¡ > t)P(X2 > t) puesto que las variables son independientes. Ahora, se tiene: P(X¡ > t)= l~ Ae-Axdx=e-AI luego P(T > t) = e- 2At . 1 P(T > t) = { e- 2AI si t s:; O si t >O 2. Del resultado del apartado anterior, se sigue que la función de distribución de T es igual a: Fy(t) = P(T s:; t) = l - P(T > t) = {O)-e si t -ZAI si t s:; O >O y la función de densidad de Te s: fT(t) = F;(t) = {~Ae-2At si t < O si t >O 3. El tiempo esperado hasta que falla el sistema es E{T}. E{T} = fo~ t2Ae- ZAt dt basta integrar por partes para obtener E {T} = 1/2A. 4. Que el circuito C¡ se averíe antes que C2 equivale a XI < X2. Calcularemos la probabilidad de este suceso a partir de la función de densidad conjunta de Xl y X2. Por la independencia de la variables, se tiene: si x ¡ > O YX2 > O en otro caso Se tiene: P(que Cl se averíe antes que C2) = P(X¡ < X2 ) = r~ r~ Ae- Ax2 Ae- Ax ]dX2dx¡ Jo JX] = fo~ Ae- 2Ax ] dx¡ 1 - 2 320 Vectores aleatorios continuos Resultado que concuerda con la simetría e independencia de funcionamiento de los circuitos. Solución del ejercicio 6.10 1. ¡=¡= - = f(x,y)dydx= - = 1111-x o o c(x + y)dydx=-c 3 luego c = 3. 2. Evidentemente, si x:::; O o si x;::: 1, entonces fx (x) = O. Si O < x se tiene: 1- X 3 fx(x) = 3(x+y)dy = -(1-x2 ) o 2 Así, se tiene: si O < x < 1 < 1, 1 en otro caso Como la distribución es simétrica en x e y, resulta: si O < y < 1 en otro caso 3. P(Y > X) = ¡1/2 Jo = ¡I -X3(x+y)dydx Jx 1/2 3 1 o 2 1 - (1 - 4x ) dx = 2 2 (6.19) Lo que concuerda con la simetría del problema en X e Y: es tan probable que X sea mayor que Y, como que Y sea mayor que X. Solución del ejercicio 6.11 1. Para calcular la constante, imponemos la condición de normalización: =c 321 Soluciones de los ejercicios lo que implica e = l. 2. Pongamos B = {(x,y); O < x < oo,y > 3x}, se tiene: P(Y > 3X) = rr Jo J3x e-Y dydx Solución del ejercicio 6.12 1. Los datos del enunciado detenninan la función de densidad marginal de la variable X: si O < x < 1 en otro caso y la función de densidad de Y condicionada por X: "unifonne en (O,X )", es decir: 1/ x si O < x < 1, O < Y < x !(y Ix) = { O en otro caso La función de densidad conjunta es igual a: l/x siO < x < I, O ! (x,y) = !x (x) ! (y lx) = { O en otro caso 2. La función de densidad marginal de Y es igual a O si y «; O o y 2: 1; mientras que, si O < Y < 1, se tiene: fy (y) = = i~ f( x,y) dydx j '1 1 - dx = -lny Y x 3. Por otra parte, se tiene: E{Y IX = x} = i~Y!(Y I x)dy = 1 y -dy o x x lo - 2 x 322 Vectores aleatorios continuos Ahora, la importante fórmula 4.23 del libro, tiene su análoga para variables continuas, lo que permite poner: E{Y} = = i: E{Y IX= x} fx(x)dx l~dX 1 - 4 4. Primero, observemos que los valores de Y por los que resulta "interesante" condicionar son del intervalo O < Y < 1 Y que, supuesto que Y = y, los valores "interesantes" de X son y < x < 1. La función de densidad condicionada f(x I y) es igual a: f( x I y) = f(x,y) fy(y) l/x -lny - 1 xlny' si O < y < 1, Y < x < 1 y cero en otro caso. Se sigue: E{X I y = y} = ¡t x 2 Jy x ln y dx y-l lny Solución del ejercicio 6.13 Primero, observemos que para calcular Pu,v no necesitamos conocer la función de densidad conjunta de U y V. Basta con observar que todos los momentos precisos se deducen de la distribución conjunta de X e Y. E{X} = 1 11 1 o o ¡l ¡t xdydx = -1 , E{Y} = Jo Jo ydydx = E{YX E{Xy ¡1 ¡1 2 } = Jo Jo ¡t¡t 2 } = 2 1 2' 1 2 y dydx = 6' Jo Jo xldydx= 1 6' 323 Soluciones de los ejercicios y ¡t ¡t xydydx = ~. E{XY} = Jo Jo 4 De las propiedades de la esperanza matemática, se sigue E{U} = E{X + Y} = 1, Y E{V} = E{X -Y} = O. y E{U 2 } = E{X 2 } +2E{XY}+ E{y 2 } = ~ E{V 2 } = E{X 2 } ~ y ao - 2E{XY} + E{y 2 } = aJ luego = 1/ 6 Y = 1/6. Por otra parte, E{UV } = E{X 2 - y 2 } = O, luego au,v = E{UV} - E{U}E {V} = O Lo que implica Pu,v = O. Las variables U y V están incorreladas, sin embargo, como se observa fácilmente, no son independientes. Solución del ejercicio 6.14 1. Desde luego, los valores interesantes de S son los comprendidos entre O y 2. Apliquemos la fórmula 6.10 para la densidad de la suma de variables independientes: ¡~ fy(s - Is(s) = x)lx(x) dx Por la definición de Ix, resulta que la fórmula anterior se reduce a: Is(s) = l fy (s -x) dx ya que fuera del intervalo (0,1), Ix es cero. Ahora estudiemos el valor de fy (s - x) en función de s E (0,2) Y x E (0, 1). Si O < s < 1, caben dos casos: si O < x < s, entonces O < s -x < 1 Y fy (s - x) = 2(s - x); mientras que, si s ::; x < 1, entonces s -x::; O Y fy (s - x) = O. En resumen: siO 2(S-X) fy(s-x)= { O De lo que se sigue: si O < s < 1, entonces Is(s) = loS2(s - x)dx = i si O 324 Vectores aleatorios continuos Si l :::; s < 2, caben otros dos casos: si O < x :::; s - I, entonces s - x :::: l y ir (s - x) = O; mientras que si s - l < x < 1, entonces O < s - x < l Yir (s - x) = 2(s - x) . En resumen, se tiene: si 1 :::; s < 2, ir (s - x) = O { 2(s - x ) siO < x :::; s - 1 si s - I De lo anterior se sigue: si l :::; s < 2, entonces 2. Pongamos Z = - Y . La función de densidad de Z cumple: fz (2) = ir (- 2) luego fz (2) = { <2 - 22 si -1 O en otro caso Ahora, calcularemos la densidad de D = X + Z, donde X y Z son independientes, con funciones de densidad conocidas. La variable D toma valores entre -1 y l. fD (r) = l fz(r-x)dx Analicemos el valor de fz (r - x) en función de r y x. Si -1 < r < O, tenemos dos casos: l. Si O < x < 1 + r, entonces -1 < r - x < O Y se tiene fz (r - x) = -2(r -x). 2. Si x :::: 1 + r, entonces r - x :::; - 1 Y se tiene fz(r - x) = O. luego, para - 1 < r < O, se tiene: t + -2 (r - x )dx =l-r2 r fdr ) = Jo Si O :::; r < 1 tenemos también dos casos. 1. Si O < x:::; r, entonces r -x:::: O y .fz(r - x) = O. 2. Six > r,entonces - } 1. -2 (r - x)dx = (l -r)2 1 fD (r) = 325 Soluciones de los ejercicios 3. Puesto que no conocemos la función de densidad conjunta de (S,D), calcularemos esta probabilidad a partir de la función de densidad conjunta de (X ,Y). P(S < 0.75 ,D < O) = 210 ~ ¡ ~- x 33 ydydx = 2R Solución del ejercicio 6.15 t 1. Resulta evidente que si t ::; O, entonces P(T > t) = 1. Consideremos > O; para que T > t ocurra, tiene que ocurrir simultáneamente los tres sucesos XI > t, X2 > t YX3 > t; se sigue: P(T >t) = P({X I >t } n {X2 > t}n{X3 > t}) = P(X, > t)P (X2 > t) P(X3 > t) puesto que las variables son independientes. Ahora, se tiene: P(X , > t) = luego P(T > t) 1= )..,e- Ax dx = e-Al = e- 3AI . P(T > t) = e- 3At si t ::; O si t >O 2. Del resultado del apartado anterior, se sigue que la función de distribución de T es igual a: FT(t) = P(T ::; t) = l - P(T > t ) = {~ _ e- 3AI si t ::; O si t y la función de densidad de T es: si t < O si t >O 3. El tiempo esperado hasta que falla el sistema es E{T}. basta integrar por partes para obtener E {T} = 1/3)..,. >O 7 Simulación estocástica 7.1. Introducción En este capítulo introducimos los métodos de cálculo denominados "simulaciones estocásticas". Su inclusión aquí está justificada por la importancia que han adquirido y porque evidencian cómo los computadores influyen en el desarrollo del Cálculo de probabilidades. Aunque el término simulación tiene un sentido negativa en su uso corriente, podemos entender rápidamente la esencia de estos métodos si pensamos en los aparatos denominados "simuladores de vuelo" que sirven para entrenar a los aviadores. Son máquinas que reproducen las diferentes condiciones de vuelo del avión, de manera que la persona que esté a los mandos se encuentra en una situación casi idéntica a la que tendría si estuviera realmente volando. Los métodos de cálculo clasificados como "simulaciones" realizan una misión semejante. Buena parte de los modelos matemáticos que nos encontramos no pueden ser resueltos analíticamente, es decir, no podemos obtener fórmulas explícitas que relacionen los datos de salida con los datos de entrada. Sin embargo, fijados unos valores de entrada, es posible, gracias a las relaciones del modelo y al computador, calcular las salidas. Si programamos los cálculos del modelo e introducimos diferentes valores iniciales, las salidas que observamos simulan el resultado real en distintas circunstancias. Cuando la simulación contiene algún elemento aleatorio, se denomina estocástica. Por ejemplo, supongamos que queremos modelar el funcionamiento del peaje de una autopista. Los automóviles llegan en instantes que, podemos suponer, son aleatorios. Si el conductor encuentra una taquilla vacía, la ocupa y paga su peaje. Si todas las taquillas están ocupadas, espera su tumo. A la empresa concesionaria le interesa, por ejemplo, controlar el máximo de los tiempos de espera, X, de modo que no supere unos límites razonables. El tiempo máximo de espera X es aleatorio, depende de la distribución de los instantes de llegada y del número de taquillas abiertas. Este número puede ser controlado por la empresa de manera que se pueda asegurar que, salvo un porcentaje pequeño de casos, el tiempo de espera no superará un límite fijado too 328 Simulación estocástica Por desgracia, los cálculos son demasiado complicados para conocer, de manera analítica la distribución del tiempo de espera. Esto hace imposible calcular, por los métodos hasta aquí estudiados, la probabilidad P(X > to). Nos queda la alternativa de estimar esa probabilidad mediante simulación. Para ello, fijado el número de taquillas abiertas, sorteamos los instantes de llegada conforme a su ley de probabilidad y calculamos X. Tras cada sorteo y cada cálculo, se cumple una de las alternativas X > to ó X ::; too El computador nos permite repetir, con rapidez, la operación anterior muchas veces. En cierto modo, equivale a repetir un experimento aleatorio muchas veces. La frecuencia observada de veces que se cumple X > lO proporciona el valor estimado por simulación de P(X > lo ). Para poder realizar las operaciones anteriores es necesario que nuestro computador sea capaz de sortear números de acuerdo con la ley de probabilidad de los instantes de llegada. En general, para poder simular cualquier experimento aleatorio, nuestro computador debe ser capaz de sortear números según la ley de probabilidad definida por cualquier función de distribución F. La clave de nuestra capacidad de sortear números conforme a cualquier ley de probabilidad está en el siguiente resultado: Propiedad 7.1 Si X es una variable aleatoria uniforme en el intervalo [0,1] Y F es una función de distribución , denominaremos función de cuantiles de F a la función Q definida por: Q(u ) = min{x; F (x) :::: u} Cualquiera que sea la función de distribución F, la función Q está definida p81·a todo u E (0,1 ) y, si U es una variable uniforme en (0, 1), la variable X = Q(U ) tiene función de distribución F. Este resultado señala con claridad cómo debe ser la solución del problema: basta generar números al azar entre O y 1 para, mediante una transformación adecuada, obtener números sorteados conforme a cualquier otra distribución. Si nuestro computador posee un generador de números aleatorios, podemos sortear de acuerdo a cualquier ley, ya que podemos encontrar transformaciones adecuadas que conviertan los números escogidos al azar en [0,1 ] en números sorteados conforme a la distribución F. En la práctica, muchas de las transformaciones que se emplean son más eficientes que la función de cuantiles. La propiedad anterior también condiciona la estructura lógica que tiene este capítulo, que pretende servir de introducción a la simulación estocástica: en el próximo apartado discutiremos los sistemas para generar números aleatorios; en los siguientes, mostraremos algunas técnicas para obtener transformaciones eficientes. 7.2 Generadores de números aleatorios y pseudoaleatorios 7.2. 329 Generadores de números aleatorios y pseudoaleatorios El primer procedimiento que se empleó para generar números aleatorios fue reproducir algún juego de azar. Por ejemplo, extraer bolas numeradas de un bombo. En esencia, son métodos mecánicos. Tienen el inconveniente de su lentitud; generar una gran cantidad de números lleva mucho tiempo. Su gran ventaja es la impredecibilidad del resultado. Por ello, se siguen empleando para las loterías. Posteriormente aparecieron procedimientos mecánicos, como la máquina que BABINGTON-SMITH y KENDAL L construyeron en 1939 para producir una tabla de 100.000 dígitos aleatorios. Luego, siguieron los dispositivos electrónicos, basados en el ruido impredecible (ruido blanco) que emiten las resistencias o los diodos. Por ejemplo, en 1951 se construyó el computador FE RR ANTI-M ARK 1 que tenía una instrucción para producir 20 dígitos al azar mediante un generador de ruido de una resistencia que llevaba acoplado, según una idea de T URING. Mediante un dispositivo físico de este tipo, la R AN D C ORPOR ATION produjo en 1955 una tabla con un millón de dígitos al azar. Una máquina para producir números al azar que se ha hecho famosa es ERN IE, utilizada por la lotería británica. Estos métodos electrónicos también eran lentos. Además, estaban sujetos a sesgos y derivas incontrolables, y fueron reemplazados por los generadores de números pseudo aleatorios basados en algoritmos; estos generadores son software. El primero que sugirió usar las operaciones aritméticas para generar números que parecían aleatorios fue VON NE UMA NN, que propuso formar una sucesión a partir de un número, elevando al cuadrado el anterior y extrayendo los dígitos centrales. En 1951 , L EHM ER introdujo un Figura 7.1: John Von Neumann , nació en Budapest en 1903 , murió en Washington en 1957. Fue un genio esn el sentido más absoluto que pueda tener esta palabra. Poseía una memoria extraordinaria. Se licenció en ingeniería química en Berlín y Zurich. Sin asistir a clase, también se licenció en matemáticas en Budapest. El gran matemático Pólya dijo de él : Es el único estudiante que me ha dado miedo. Si en clase proponía un problema sin solución conocida, había una gran probabilidad de que al fin al viniera Von Neumann con la solución. Emigró a USA. Trabajó en Princeton , donde construyó en primer gran computador. Contribuyó a fabricar la primera bomba atómica. Este trabajo le hizo enfermar del cáncer de huesos que le mató. Sus trabajos abarcan toda la matemática moderna, desde sus raíces más teóricas, hasta los frutos de sus aplicaciones. Creó nuevas teorías , como la de juegos o la de autómatas. generador basado en congruencias, de la forma: Xn = aXn- l (mod m) que imita el movimiento de una ruleta. La idea de LEHM E R ha tenido éxito y muchos de los algoritmos que se utilizan hoy en día están basados en congruencias, lineales o no. La sucesión de números que producen estos Simulación estocástica 330 algoritmos no es aleatoria sino determinista. Si se conocen los números a, m y Xo, los restantes están determinados. Por ello, las sucesiones que resultan de aplicar estos algoritmos se denominan pseudoaleatorias, lo que significa que, aunque previsibles, poseen propiedades estadísticas (esto es, relativas a las frecuencias de los números) semejantes a las sucesiones que se obtendrían sorteando variables independientes e igualmente distribuidas. Estas propiedades se contrastan mediante diversos tests estadísticos. Para las necesidades de la Simulación, los algoritmos generadores de números pseudoaleatorios son suficientes, ya que producen un gran número de valores en poco tiempo y no tiene importancia que sus valores sean previsibles. Incluso, es una ventaja, puesto que si repetimos la misma operación a partir de un mismo valor inicial Xo, los valores que obtendremos serán idénticos, lo que permite depurar nuestros programas con facilidad. Por el contrario, la previsibilidad de los resultados del algoritmo es un defecto muy grave cuando se emplean los generadores de números aleatorios en Criptografía o en los juegos de los casinos on-line. Por ejemplo, MCG RAW Y VIEG A han demostrado que en el juego Texas Hold' em Poker, que utiliza para ordenar la baraja el generador aleatorio de Borland, tras observar las primeras cinco cartas jugadas, es posible conocer en pocos segundos la distribución de las restantes. Para satisfacer esta necesidad de generar números aleatorios imprevisibles se han desarrollado, tanto generadores no lineales como nuevos dispositivos físicos que se incorporan a algún puerto del computador. 7.3. Generadores de congruencias lineales (Gel) Producen una secuencia de números fraccionarios entre O y 1 mediante el siguiente algoritmo recursivo. Primero, escogemos cuatro números enteros: m, el módulo de la congruencia a, el multiplicador e, la tanslación Xo, la semilla Después calculamos tantos números como se desee mediante la recurrencia: X n = (aXn-1 + e) (mod m) El algoritmo devuelve la sucesión de números Un, obtenidos mediante la división: U _Xn nm Puesto que X n E {O, 1, ... , m - 1}, los números Un están comprendidos entre O y 1. Por ejemplo, si m = 5, a = 7, e = O Y Xo = 1, se tiene XI == 7 7.3 Generadores de congruencias lineales (Gel) 331 (mod 5), luegoX¡ = 2. De igual manera se calculanX2 = 4,X3 = 3,X4 = 1. El algoritmo devolvería los números: VI = 0.4, V2 = 0.8, V3 = 0.6, V4 = 0.2 Cuando se conoce el valor de X¡, el "futuro" está determinado; es decir, los valores Xi+ l , Xi+2, ... , son conocidos. Como sólo hay m valores posibles para Xn (de O a m - 1), entre los números XI , X2, .. . , Xm+1 forzosamente habrá dos repetidos, lo que implica que la secuencia es periódica, con un periodo máximo de m números si c i=- O Y de m - 1 números si c = O. Lo usual es escoger m lo mayor posible pero tal que el cálculo de la congruencia sea rápida, esta elección depende de la aritmética del computador. Luego, se escogen a y c de forma que el periodo sea lo mayor posible. Si el computador trabaja en base b, escoger un módulo potencia de b tiene muchas ventajas para implementar el cálculo de la congruencia. Por ejemplo, si consideramos base 10 y m = 102, para calcular la congruencia módulo m del número 12345 basta conservar las dos posiciones más a la derecha del número: 12345 == 45 (mod m) Tampoco es muy difícil implementar la congruencia por lor - 1, que se reduce a realizar sustracciones. Por ejemplo, si m = 102 - 1, para calcular x == 12345 (mod m), primero calculamos y == 12345 (mod 102) que es más fácil. Ese cálculo implica: 12345 = y+N102 (7.1) en este caso, y = 45 y N = 123. De 7.1 se sigue: 12345 = (y+N)+N(10 2 -1)==y+N (modm) (7.2) Así, el cálculo consiste en restar a y + N tantas veces como podamos m, hasta que el resultado sea menor que m. En nuestro ejemplo, y + N = 168 y m = 99, el cálculo es: 168 - 99 = 69 que ya es menor que m, luego se tiene 12345 == 69 (mod 102 -1). Este truco ha hecho muy popular el módulo 231 - 1 que, además, es primo, lo que tiene otras ventajas. Las condiciones que deben satisfacer los parámetros para que el periodo sea máximo las determina el teorema siguiente: Teorema 7.1 La condición necesaria y suficiente para que un generador GeL tenga periodo de longitud máxima m es que se cumplan: 1. m y c son primos entre sí. 2. Se cumple a == 1 (mod p), para cada p primo que divide a m. 3. Si 4 divide a m, entonces a == 1 (mod 4). 332 Simulación estocástica Las propiedades estadísticas de la sucesión V¡ son muy sensibles a la elección de los parámetros, por lo que debe hacerse con cuidado. Ésta es la enseñanza que se deriva del célebre error ocurrido con el generador RANDU, que IBM implementó en sus máquinas durante la década de los 60 y que se hizo muy popular. Se caracteriza por el módulo m = 231 ya = 2 16 + 3. Al someterlo a algunos tests tiene unos resultados tan malos que KNUTH lo ha calificado de verdaderamente horrible. Por el contrario, con módulo m = 231 - 1, que es un número primo, hay generadores con muy buenas cualidades. Uno de los grandes inconvenientes de los GCL es la estructura Figura 7.2: Donald E. Knuth nació en Milwaukee, Wisconsin, (USA) en 1938. Se licenció en matemáticas. Desde 1968 ha sido profesor de la universidad de Stanford. Es pionero en el Análisis de algoritmos al que ha contribuido aportando técnicas matemáticas para el análisis riguroso de su complejidad. Su gran obra es The Art of Computer Programming, de la que lleva publicados tres volúmenes definitivos y tres fascículos del cuarto, y en la que sigue trabajando activamente. Es una referencia indispensable en computación y algoritmos. Le debemos TEX, el sistema de tipografía digital para preparar textos matemáticos, como éste que tiene el lector en sus manos. Sus trabajos de investigación han dado lugar a la creación de diversos subcampos de la ciencia de la computación. Actualmente es profesor emérito del arte de programar computadores en la universidad de Stanford. reticular que presentan. Para aclarar lo que esto significa, consideremos de nuevo el algoritmo RANDU. Como hemos dicho, se caracteriza por: Esto implica: 16 31 + 3)X¡+1 + k 12 = (2 16 + 3) 2X¡ + k2 231 = (6.2 16 + 9)X¡ + 232 X¡ + k2231 X¡+2 = (2 = (6.2 16 + 9)X¡ = 6(2 16 + k3231 + 3)X¡ - 9X¡ + k3231 Se sigue que cumple la relación: X¡+2 - 6X¡+ 1 + 9X¡ = k2 31 lo que implica que cada tema de números consecutivos (V¡,V¡+l ,V¡+2) producidos por el algoritmo pertenece al plano de ecuación: (k, entero) Esto hace muy previsible el valor de V¡+2 cuando se conocen V¡ y V¡+I, aunque no se conozca el algoritmo que está generando los números. De hecho, k cumple -6 < k < 10, lo que significa que sólo hay 15 planos posibles 333 7.4 Transformaciones generales y, para la mayor parte de las ternas, ese número es menor. El comportamiento de la estructura reticular de los resultados de un algoritmo GCL se evalúa con el test denominado espectral'. Según RIPLEY , para que un GLC sea aceptable debe tener un módulo m lo mayor posible (al menos 230), el multiplicador a debe ser elegido de modo que el periodo sea m ó m - 1 Y debe dar un buen resultado en el test espectral. 7.4. Transformaciones generales Para obtener valores de una variable aleatoria con una función de distribución no uniforme hay que transformar los resultados que nos produce el generador de números aleatorios. Dada una transformación, el cálculo de la distribución de la variable transformada es un ejercicio de aplicación de las técnicas que estudiamos en la lección anterior. EJEMPLO 7.1 Para simularlos valores de una variable X con función de distribución exponencial de parámetro A > 0, basta transformar U mediante: - 1 X= T 1nU En efecto, si x > 0, se tiene: P(X ::; x) = P(lnU :::: -AX) = P(U :::: e- AX ) = ¡J Ax. du le- Así, la función de distribución de X es igual a: Fx(x) = O , { 1 - e- AX si x::; O si x > O luego la función de densidad de X es : Ix (x) = { Ae~AX si x::; O six> O y X tiene distribución exponencial de parámetro A. • Resta dar métodos para encontrar la transformación conveniente para lograr una distribución dada. La función de cuantiles definida en la propiedad 7.1 nos proporciona un procedimiento universal de simular valores con cualquier distribución. Sin embargo, el algoritmo basado en la función de I ver D. K NUTH , The Art of Computer Programming, vol n, pag 93. Ed. Addison Wesley Simulación estocástica 334 cuantiles no siempre es eficiente. Lo ideal es que la transformación que escojamos sea fácil de programar y que tenga una rápida ejecución. Además, no debe agravar los defectos de los GeL. La transformación de la función de cuantiles puede ser un algoritmo muy lento si no hay subprogramas que calculen Q de manera eficiente. Por esa razón, en este apartado, estudiamos otro método general basado en una idea de VON NEUMANN, que produce importantes algoritmos. Método 7.1 (Von Neumann) Queremos simular valores de una variable aleatoria X que tiene función de densidad f(x) . Supongamos que sabemos generar valores de otra variable Y con función de densidad g(y) y que se cumple: f(x) < C < g(x) - 00 entonces, el algoritmo: 1. GenerarY con densidad g(y). 2. Generar U con función de densidad uniforme en (O, 1). 3. Si se cumple: CU < f(Y) - g(Y)' devolver X = Y; en otro caso, volver al paso 2. produce valores distribuidos con función de densidad f(x). Observemos que la esencia del método de VON NEUMANN consiste en aceptar o rechazar cada valor Y, simulado con función de densidad g (y), con una probabilidad igual a: P(U < f (Y) ) - Cg(Y ) Por lo que se denomina método de aceptar-rechazar. Para simplificar la notación, pongamos: h(y) = P(U Se tiene: P(Y es aceptado) ~ f(y) ) Cg(y) = ¡~ h(y) g(y) dy De igual manera, resulta: P(Y ~ x, Y es aceptado) = 1:00 h(y) g(y) dy 335 7.4 Transformaciones generales lo que implica: P (Y <::: x I Y es aceptado) J~ooh(y)g(y)dy = ¡ce h () () Y g Y dy _00 Si derivamos respecto de x, obtenemos la función de densidad de los valores aceptados: h(x)g(x) (7.3) Doo h(y) g(y) dy Ahora, puesto que U es uniforme en (0,1) Y f(y) le g(y) < 1, se tiene: h(y) = P(U < f(y) ) = f(y) - eg(y) eg(y) si reemplazamos en 7.3, resulta que la función de densidad de los valores aceptados es: f(x) g(x) eg(x) f(y) = f(x) - () g(y)dy eg y ¡ _ OO 00 Luego los valores aceptados tienen la distribución que queríamos simular. Observemos que, en razonamiento anterior, se tiene: P(Y es aceptado) = ¡~ h(y) g(y) dy ¡COI = Loo f(y) dy e e Así, el número de simulaciones de Y que hay que hacer hasta aceptar un valor tiene una distribución geométrica de parámetro 1le. Se sigue que el número medio de valores de Y que hay que simular para tener uno de X es e. Conviene elegir g de manera que e sea lo más próximo a 1 que sea posible. EJEMPLO 7.2 Queremos simular valores de una variable X con función de densidad: si x fx(x) = { 6X(10-X) ~ (0,1) siXE(O,l) Esta distribución pertenece a una familia más amplia conocida como distribuciones beta, f3(p,q), que tienen función de densidad proporcional a x p- I (l-x)q-I para x E (0,1), P > O, q > O. Para aplicar el método de VON NEUMANN nos apoyaremos en la función de densidad uniforme g(y) = 1, si y E (0,1). Puesto que el máximo de x(l - x), para x E (0,1), se alcanza cuando x = 1/2, se cumple: f(y) 3 g(y) = 6x(l-x) :::: :2 =c Simulación estocástica 336 El algoritmo que emplearemos será: 1. Generar Y con densidad uniforme. 2. Generar U con función de densidad uniforme en (O, 1). 3. Si se cumple: U :S; 4Y(I-Y), entonces devolver X = Y; en otro caso, volver al paso 1. Con este algoritmo, en media, tenemos que generar 150 valores de Y para tener 100 valores de X. Observemos que el número total de simulación puede reducirse • bastante si el valor de U de un paso se usa como Y en el paso siguiente. EJEMPLO 7.3 Queremos simular valores de una variable X con distribución beta de parámetros p = 1/2 Yq = 2. Su función de densidad es: fx (x) ={ ~. ~ - x 2 Vi six \t' (0, 1) sixE (0,1) En este caso no podemos emplear g (y) = 1, si x E (O, 1), ya que el cociente: f(y) g(y) 3 1- y 2 vy no está acotado en un entorno del origen . Probemos con g(y) = 1/2VY. Esta distribución se simula fácilmente, basta tomar Y = U 2 , donde U es una uniforme en (O, 1). Con esta elección, el cociente f / g verifica: f(y) 3 3 - = - (1 - y) 2. Generar U2 con función de densidad uniforme en (O, 1). 3. Si se cumple: U2 :S; I -Y, entonces devolver X = Y; en otro caso, volver al paso 2. genera valores de una variable X que tiene función de densidad f . Los valores U2 generados en un paso, se pueden aprovechar como U) del paso siguiente. Así, hay que generar tantos números al azar como ejecuciones del algoritmo. Puesto que e = 3/2, en media, para generar 100 valores de X habrá que ejecutar el algoritmo ISO veces. • 337 7.5 Simulación de variables normales 7.5 . Simulación de variables normales Como aplicación del método general de aceptar-rechazar, construiremos un algoritmo para generar variables normales. Si Z es una variable normal de media O y varianza 1, primero, simularemos la variable X = IZI que tiene función de densidad igual a: si O < x < 00 mediante el método general; luego, se sortea el signo de X y se devuelve Z. Partimos de una variable Y con distribución exponencial: si O < x < 00 Se tiene: f(x) _,j2ii 2 -- - - - e g(x) luego e = ¡-¡¡. y _ x2 +x _ T - fjen -e - (x- l )2/2 < - fje-n el algoritmo es el siguiente: Algoritmo 1 Para generar variables normales como aplicación del método de aceptar-rechazar. 1. Generar VI con densidad unifonne. Hacer Y = -lnV~ (Y tiene distribución exponencial de parámetro A = 1). 2. Generar V2 con función de densidad uniforme en (0,1). 3. Si se cumple: hacer X = Y; en otro caso, volver al paso 2. 4. Generar V3 con densidad uniforme. Si V3 < 0.5, devolver Z en otro caso, devolver Z = X . = - X; Los algoritmos más populares para generar variables nonnales se basan en una transformación de la distribución normal bidimensional denominada de BOX y MULLER. Supongamos que (X, Y) es un vector aleatorio donde X e Y son independientes y tienen distribución normal de media O y varianza 1. La función de densidad conjunta de (X ,Y ) es igual a: si -00 00, - 0 0 00 338 Simulación estocástica (X,Y ) Figura 7.3: Calcularemos la función de densidad conjunta en coordenadas polares (figura 7.3). Las ecuaciones de la transformación son: x = rcose y = rsene o bien r2 = x2 +i y e jacobiano es igual a: J(x,y) = J(r , e) (7.4) = arctg(y/x), donde O < r < I cose sen e 00 y O:::; e < 2n. El I = r(cos 2 e+sen2 e)=r -rsen e reos e y la función de densidad conjunta de (R,8) vale: J(x,y) f(r, e) = f(x(r, e),y(r,e ))· J(r ,e) = ~re-~r2 2n Observemos que se cumple: 1 1 2 f(r,e) = 2n ·re-'1 r =fe(e)fR (r) esto significa que 8 y R son independientes; 8 es uniforme en [O, 2n) y R tiene densidad re- r 2 / 2, lo que implica que W = R 2 tiene densidad exponencial de parámetro 1/2: fw(ro) = 1 1 2e- 2 W , si O < ro < 00 Esta observación proporciona la clave para simular la normal mediante la transformación inversa que de (W,8) pasa a (X,Y ). Primero, generamos U¡ con densidad uniforme y hacemos 8 = 2nU¡. La variable 8 tiene distribución uniforme entre Oy 2n . Segundo, generamos U2 con densidad uniforme y hacemos W = - 2InU2. La variable W tiene distribución exponencial de parámetro 1/2. Luego hacemos R = VW y calculamos X e Y mediante la transformación 7.4. El algoritmo se resume: 339 7.6 Simulación de variables discretas Algoritmo 2 Denominado algoritmo de BOX-MULLER, sirve para generar dos variables normales independientes. 1. Generar UI y U2 con densidad uniforme. 2. Devolver: y = V-21nU2sen2nUI El algoritmo de BOX-MULLER tiene el inconveniente de emplear las funciones cos y sen, lo que puede incrementar el tiempo de ejecución. Una alternativa ventajosa es el siguiente algoritmo debido a MARSAGLIA y conocido como algoritmo polar. Algoritmo 3 Denominado algoritmo polar de MARSAGLIA, sirve para generar variables normales independientes. 1. Generar U I y U2 con densidad uniforme entre O y l. 2. Hacer VI = 2U 1 - 1 YV2 = 2U2 - 1 (VI y V2 tienen densidad uniforme entre -1 y l. 3. Calcular W = V? el paso 1. + V:f. Si W < 1 pasar a 4.; si W 2: 1, repetir desde 4. Devolver: x = VI 7.6. J-~ In W, Simulación de variables discretas Consideremos una variable discreta, X, con distribución dada por: P(X = Xi ) = Pi, para i = 1,2, ... , N (7.5) Cualquier variable discreta que haya que simular admite una representación semejante, ya que, aunque teóricamente tome un número numerable de valores distintos, en la práctica, las probabilidades inferiores a la precisión del computador se considerarán cero. La aplicación del método de la función de cuantiles a la variable X tiene algunas características peculiares. Para simular X, generamos U con densidad uniforme entre O y 1, Y adoptamos el criterio: si j- I j i= 1 i= 1 L. Pi:::; U < L. Pi , entonces X = Xj 340 Simulación estocástica Este algoritmo genera valores de una variable con distribución igual a 7.5. En efecto, para cada j, 1 :'S j :'S N, se tiene: j-I j P(X =Xj) =P(L Pi :'S U < LPi) i=1 i=1 luego j P(X=Xj) j-l = LP¡- LPi=Pj i=l i=1 De una manera un poco más estructurada, el algoritmo se enuncia: Algoritmo 4 Para generar valores de una variable discreta. 1. Generar U con densidad uniforme entre O y l. 2. Hacer i = 1. 3. Mientras se cumpla U;::: 4. Devolver X = '2./=1 Pi, hacer i = i + 1. Xi. Observemos que, cualesquiera que sean los valores xi Y su orden, el algoritmo es válido. Esto permite hacer un pequeño análisis para mejorarlo. Cuando X = Xj, en media, el paso 3 se repite j veces. Esto significa que el número medio de pasos para generar un valor es del orden de la suma: como vemos, en este número medio no intervienen los valores concretos, sino el orden en que están colocados. La manera de hacer la media anterior lo más pequeña posible es reordenar los valores de X en orden decreciente de P j. Otras estrategias más efectivas consisten en buscar desde un punto más conveniente. En las distribuciones unimodales es la moda de la distribución (ver KNUTH 2). EJEMPLO 7.4 La simulación de una variable aleatoria discreta con distribución geométrica de parámetro p, mediante el método anterior, tiene una sencilla formulación analítica. Consideremos una variable X con distribución: P(X = i) = p(1 _ p)i-l, para i = 1, 2, ... Si tenemos en cuenta la suma de una progresión geométrica, resulta: j-l L p(1 - p)i-l = 1 - (1 _ p)j- I i=1 2KNUTH, D., The Art of Programmjng Computers, vol II, Addison Wesley 341 7.6 Simulación de variables discretas luego, en este caso, la condición: j- I j i= 1 i=1 ¿Pi S:U < ¿Pi es igual a: 1- (1- p)j-I s: U < 1- (1 - lo que implica (I-p)j < l-U p)j s: (l_p)j - l Ahora, 1 - U también es unifonne entre O y 1, luego esta condición equivale a generar U y analizar si se cumple: (1 - p)j < U s: (1- p)j- I Se sigue: X = min{j; U donde . > (1 - p)J} = min { j; j > l (InU} ) = 1+ (InU ) Inl-p Inl-p lxJ es el mayor entero menor o igual que x. J • Como sucede con las variables continuas, además de los métodos generales, hay un buen número de métodos particulares para generar distribuciones especiales. Por ejemplo, el algoritmo para generar una variable aleatoria de BERNOULLI, de parámetro p es bien sencillo: Algoritmo S Para generar valores de una variable de BERNOULLI de parámetro p. 1. Generar U con densidad uniforme entre O y l. 2. Si U :::; p, devolver X = 1; en otro caso, devolver X = O. Sabemos que una variable binomial, Y, de parámetros n y p, se puede descomponer como suma de n variables de BERNOULLI independientes: y =X1 +X2+",+ X n Esta descomposición es la clave para el siguiente algoritmo de simulación: Algoritmo 6 Para simular valores de una variable binomial de parámetros n y p. 1. Hacer i = 1. 2. Generar Ui con densidad uniforme entre O y 1. 3. Si Ui :::; p, hacer Xi = 1; en otro caso, hacer Xi = O. 342 Simulación estocástica 4. Hacer i = i + 1. Si i < n + 1, pasar a 2. s. Devolver Y =X, + X2+",+Xn. El algoritmo anterior es muy simple, pero tiene la desventaja de requerir n simulaciones de una uniforme entre O y 1 para generar un valor binomial. Una mejora se consigue si caemos en la cuenta de que, condicionado por VI ~ p, la variable V2 = ~V tiene también distribución uniforme entre O y 1. De igual manera, condicionado por V > p, la variable V2 = (V p) / (1 - p) , tiene distribución uniforme entre O y l. Lo más interesante es que, aunque las variables VI y V2 no son independientes, las variables XI y X2 definidas por: si VI ~ p si VI> p X2 = { ~ si V2 ~ p si V2 >p son de BERNOU LLI e independientes. Esta observación es la clave para generar un algoritmo que sólo requiere 3 un valor simulado de una uniforme entre O y 1 para cada valor simulado de la binomial. 7.7. Simulación de permutaciones al azar Además de simular valores de variables aleatorias, con frecuencia se requiere, bien para los algoritmos de muestreo o remuestreo como para los diseños de experimentos o los mismos juegos, simular ordenaciones, permutaciones o subconjuntos elegidos al azar, entre los elementos de un conjunto dado. Como ejemplo, en este apartado mostramos un algoritmo para simular una permutación aleatoria. Consideremos n valores numéricos o literales, X I, X2, .. . , X n . El algoritmo más elemental para obtener una permutación al azar de los valores consiste en escoger al azar uno de los valores, entre XI Y X n , Y colocarlo en primera posición; luego, se escoge al azar otro valor entre los n - 1 restantes y se coloca en segunda posición; así, sucesivamente, hasta que no quedan valores que escoger. Este algoritmo no es muy eficiente ya que, en cada paso, hay que recordar los valores elegidos en los pasos anteriores. Es más conveniente poner los valores en una lista ordenada y escoger las posiciones del valor, más que el valor en sí. Partimos de una ordenación de los valores: En el paso j = 1, escogemos al azar una de las posiciones 1,2, ... , n. Si i es la posición elegida, se intercambian el valor que ocupa la posición i y el 3 Al menos teóricamente, ya que, si n es grande, los redondeos obligan a simular más valores uniformes. 343 7.7 Simulación de permutaciones al azar que ocupa la posición n. X¡ .. . Xi - ]XnX¡+] ... Xn-¡X¡ '-v-"' En el paso j = 2, se escoge al azar una de las posiciones 1, 2, ... , n - 1, Yse intercambian el valor que se encuentra en la posición escogida y el que se encuentra en la posición n-l. Así sucesivamente, hasta que j > n. Cuando esto ocurra, habremos logrado una permutación al azar de los n valores. Queda por resolver la manera de escoger, al azar, una posición entre los k índices 1, 2, ... , k. Para ello, generamos un número, V, al azar entre O y 1. La variable kV es uniforme entre O y k, Y se cumple: P(i -1 ~ kV 1 < i) = k,para k = 1, 2, . . . , k luego 1 = 1 + lkV J es un índice elegido al azar entre 1,2, ... , k. Algoritmo 7 Para generar una permutación al azar de n valores. Partimos de una ordenación de los valores: X]X2·· .Xn-]Xn 1. Hacer k = n. 2. Generar V con densidad uniforme entre O y 1, Y hacer 1 = 1 + lkV J. 3. Intercambiar Xl con Xk. 4. Hacer k = k-l. Si k > 1 ir a 2. 5. Devolver la ordenación en memoria. , Indice alfabético cr-aditividad, 74 n"l, 21 álgebra de Boole, 8, 54 de sucesos, 7 aditividad, 11 al azar, 17 aleatorio, 1 algoritmo aceptar-rechazar, 334 análisis, 2 Box-Muller, 337 polar, 339 RANDU, 332 análisis de algoritmos, 2 de imágenes, 60 de patrones, 2 autómata, 84 axiomas de la probabilidad, 10 Babington-Smith, 329 baraja francesa, 23 Bayes,59 Benford,216 Bernoulli, 22,121 biyectiva, 17 Boole desigualdad, 15 George,9 Borel, 264 Box, 337 canal de transmisión, 133 sin memoria, 78 Cardano, 3 cardinal, 18 casos favorables, 16 posibles, 16 Catalan, 22 Chebyshev, 168, 169 circuito en paralelo, 67 en serie, 67 codificación, 134 coeficiente binomial, 22, 24 de correlación, 161,287 combinaciones, 17 computador ERNIE,329 FERRANTI-MARK r, 329 conjunto de Borel, 264 contrario suceso, 8 convergencia en probabilidad, 171 correlación coeficiente, 287 covarianza, 161, 287 Criptografía, 330 cuantiles, 328 dados, 26 densidad bidimensional, 263 condicionada, 273 conjunta, 263 de g(x,y), 280 de probabilidad, 203 marginal, 268 no acotada, 207 uniforme, 204 desigualdad de Boole, 15 de Chebyshev, 170 diagramas de árbol, 56 de estado, 83 distribución beta, 335 binomial, 123 condicionada, 162 346 íNDICE ALFABÉTICO conjunta, 156, 263 de Benford, 215 de Bemoulli, 121 de Poisson, 127 exponencial, 211 gamma, 279 geométrica, 125 marginal , 157 nonnal,212 unifonne, 210 distribución binomial media, 160 distribución de probabilidad, 108 de distribución conjunta, 266 de distribución continua, 222 de distribución discreta, 221 de distribución mixta, 224 de probabilidad, 109 generatriz, 119 [unción de distribución continua, 222 discreta, 221 mixta, 224 Función gamma, 301 funcion de densidad, 203 ecuación característica, 85 ecuaciones en diferencias, 85 Entropía, 116 equilibrado, 17 ERNIE,329 espacio de probabilidad, 6 muestral , 6 esperanza, 114 condicionada di screta, 163 condicionada, 163 condicionada por X E A, 230 de g(x,y) , 284 de Bemoulli, 122 de una función, 115,209 de una variable continua, 208 distribución binomial, 124 distribución de Poisson, 128 geométrica, 121 estocástico, 3 Euclides, 212 experimentos aleatorios, 1, 5 independientes, 70 Galileo, 3 Gauss, 212 generador no lineal, 330 generador de congruencias, 329 generatriz de Poisson, 128 distri bución geométrica, 119 fónnula de Bayes, 60 de la probabilidad total, 57 factorial, 20 fenómeno aleatorio, 1 FERRANTI-MARK l, 329 fiabilidad , 68 Fibonacci, 26 Fourier, 118, 120 función de cuantiles, 328 de densidad condicionada, 230 de densidad conjunta, 263 de densidad unifonne, 204 de distribución, 219 IBM, 332 incompatibles sucesos, 8 incorrelación, 161,288 independencia de sucesos, 63, 65 de variables continuas, 272 de variables discretas, 164 de varias variables, 166 dos a dos, 65 Kendall , 329 Knuth, 332, 340 Knuth , D. E., 332 Kolmogorov Andrei N. , 10 Lagrange, 127 Landau, 130 Laplace, 16, 119, 127 regla de, 16 Lebesgue, 197 Lehmer, 329 ley de los grandes numeros, 170 de los promedios, 170 de probabilidad, 5, 11 de regularidad de las frecuencias, 4 loterías , 329 método aceptar-rechazar, 334 347 íNDICE ALFABÉTICO dinámico, 55 recursivo, 76 marginales, 268 Marsaglia, 26, 339 McGraw,330 media, 114 moda, 123 distribución binomial, 124 modelo uniforme, 15 modelos continuos, 197 dinámicos , 49 estáticos, 49 estocásticos, 3 Moivre de, 212 momentos , 118 monedas, 25 Muller,337 en un canal de comunicación, 25 ruletas , 27 número al azar en el continuo, 27 números aleatorios , 2 pseudo-aleatorios, 329 Newcombe, 216 teoría póker, 23 Pearson Karl,212 permutaciones, 17, 20 Poisson, 127 Popper, 5 probabilidad, 10 axiomas, 10 condicionada, 51 de la unión, 14 empírica, 4 geométrica, 201 problema de los cumpleaños, 31 , 55, 80, 81 pruebas, 5 pseudoaleatoria sucesión, 329 pseudoaleatorio número, 329 Rand Corporation, 329 RANDU,332 regla de Laplace, 27 Ripley,333 ruido, 2 blanco, 329 en la transmisión, 79 simulación, 2, 327 estocástica, 327 solución general, 85 particular, 86 Stirling,22 sucesion de variables, 155 suceso, 7 compuesto, 9 desfavorable, 63 favorable, 63 simple, 9 sucesos dependientes, 63 independientes, 63 intercambiables, 15 de la fiabilidad, 68 de la información, 2, 78 teorema central del límite, 215 triángulo de Pascal, 22 Turing,329 urnas, 26 valor esperado, 114, 208 variable aleatoria, 105, 106 discreta, 106 variables continuas, 202 incorreladas, 161, 288 independientes, 164, 166,272 mixtas, 217 variaciones, 17 varianza, 118 condicionada por X E A , 231 de Bernoulli, 122 de una suma, 168 distribución binomial, 124 distribución de Poisson, 128 geométrica, 121 vector aleatorio, 155 Viega,330 Von Neumann, 329 Probabilidad y sus aplicaciones en Ingeniería informática es una introducción a la Teoría de la probabilidad que subraya las aplicaciones de la probabilidad a la Ciencia de los computadores y la Teoría de la información. La obra sirve también como introducción a los Procesos estocásticos y las Redes bayesianas. Su estilo es sencillo y directo, ofreciendo una gran variedad de métodos de cálculo. Es un texto especialmente adecuado para los estudiantes de Ingeniería eléctrica e Informática. Contiene más de doscientos ejemplos y ejercicios completamente resueltos. ISBN 978-84-96062-99-3 ..... @ - EDICIONES ACADÉMICAS

Métodos Numéricos, Matlab - Carlos Enrique Mejía Salazar.pdf

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