Métodos Numéricos Continuos y Homogeneización Los métodos numéricos más utilizados para sistemas continuos son el método de diferencias finitas (FDM), FEM y el método de elementos límite (BEM). La hipótesis básica adoptada en estos métodos numéricos es que los materiales en cuestión son continuos a lo largo de los procesos físicos. Esta suposición de continuidad indica que, en todos los puntos en un dominio del problema, el material no puede ser desgarrado o dividido en pedazos. Todos los puntos materiales originalmente en el vecindario de un cierto punto en el dominio del problema permanecen en el mismo barrio durante todo el proceso físico simulado. En el caso de la presencia de fracturas en los materiales, la suposición de continuidad significa que la deformación a lo largo oa lo largo de las fracturas tiene el mismo orden de magnitud que la de la matriz sólida cerca de las fracturas, de modo que no se produzca deslizamiento o apertura macroscópica a gran escala De las fracturas. Algunos algoritmos especiales han sido desarrollados para tratar las fracturas de material en métodos basados en la mecánica de continuo, tales como elementos especiales de las articulaciones en FEM (Goodman, 1976) y la técnica de discontinuidad de desplazamiento en el BEM (Crouch y Starfield, 1983). Sin embargo, sólo se pueden aplicar con limitaciones: (1) se evitan el deslizamiento y la apertura a gran escala de los elementos de fractura para mantener la continuidad del material macroscópico; (2) la cantidad de elementos de fractura debe mantenerse relativamente pequeña para que la matriz de rigidez global pueda mantenerse bien posicionada, sin causar inestabilidades numéricas severas; y (3) el desprendimiento completo y la rotación de elementos o grupos de elementos como consecuencia de deformación no se permiten ni se tratan con algoritmos especiales. Estas limitaciones hacen que los métodos basados en el continuo sean más adecuados para problemas sin fracturas o un pequeño número de fracturas sometidas a pequeñas deformaciones. Aunque también se han desarrollado y aplicado algoritmos especiales de integración o formulaciones constitutivas para tratar problemas de deformaciones finitas (o grandes) y comportamiento material no lineal, los métodos numéricos basados en continuo son más efectivos Para problemas de deformación pequeña (o pequeña deformación) con comportamiento material constitutivo lineal. Los detalles de los enfoques de FEM, FDM y BEM se pueden encontrar fácilmente en muchos libros de texto (Crouch y Starfield, 1983, Davis, 1986, Banerjee, 1993, Zienkiewitz y Taylor, 2000) y no se repetirán aquí. Cuando los métodos numéricos basados en el continuo como FEM o BEM se aplican a problemas de medios esencialmente discontinuos como rocas fracturadas que contienen fracturas a diversas escalas, la suposición básica es que los medios discontinuos se comportan, a nivel macroscópico y en un sentido estadístico, Como continuos equivalentes. Es importante formular los modelos constitutivos de los continuos de tal manera que los efectos de las fracturas puedan representarse adecuadamente en las propiedades
materiales equivalentes definidas en los respectivos modelos constitutivos de los continuos asumidos. Este proceso se denomina a menudo homogeneización, que sólo puede ser válida en un sentido estadístico a través de un operador de promedio y sobre un volumen de muestreo de la discontinua, llamado REV (volumen elemental representativo), véase la Fig. 1.7. Sea los esfuerzos macroscópicos y los tensores de deformación para un continuum equivalente de una masa de roca fracturada cuyos esfuerzos microscópicos y tensores de deformación sean , respectivamente. La homogeneización es la transición de relaciones constitutivas desde el nivel microscópico al nivel macroscópico, satisfaciendo un operador de promediado dado por
Representa el operador de promediado sobre el volumen VR que es igual al REV del medio fracturado. El tensor de rigidez, , del continuo supuesto es una función tanto de las propiedades mecánicas de la matriz de roca como de las fracturas y de las características geométricas de las fracturas contenidas en el REV. La validez de una homogeneización, por lo tanto, depende de la validez de la REV. La homogeneización no es un simple proceso de promediación. Debe realizarse con el requisito de que no sólo se cumple la regla de transición micro-macro mostrada por la Ec. (1.1), sino que también todas las leyes físicas básicas no deben ser violadas. La Figura 1.8a ilustra la definición del REV para un medio poroso fracturado (Bear y Bachmat, 1991). El dominio se puede descomponer en un medio poroso y en un sistema de fractura.
Parámetros constitutivos que describen un proceso físico para el medio poroso y el sistema de fractura, respectivamente. Para encontrar el REV adecuado para cada sistema, se eligen una serie de volúmenes de muestreo, Vp para el medio poroso y Vf para el sistema de fractura con tamaños cada vez mayores del volumen de muestreo y en ubicaciones aleatorias dentro del dominio, y los valores de npm y nfr Se evalúan aplicando los operadores de promedio sobre Vp y Vf, respectivamente. Mediante el trazado de los valores de npm y nfr frente al tamaño del volumen de muestreo (figura 1.8b), se pueden encontrar dos regiones estables para npm y nfr, definidas por , respectivamente, sobre los cuales los valores de npm y nfr permanecen en gran parte constantes. Fuera de estas dos regiones, los valores de npm y nfr pueden tener ondulaciones grandes con un cambio muy pequeño de los volúmenes de muestreo. La explicación física de las ondulaciones es que fuera de la región estable Rp, el volumen de muestreo es demasiado pequeño, de modo que los límites de grano del material poroso pueden tener un efecto significativo, o demasiado grande, de modo que las fracturas desempeñan un papel significativo. Del mismo modo, también se pueden encontrar explicaciones para nfr. Fuera de la región estable Rf, el volumen de muestreo es demasiado pequeño, de modo que las partículas del medio poroso, en lugar de las fracturas, dominan el proceso, o demasiado grandes, de modo que las fracturas a escalas mucho mayores (tales como fallas y zonas de fractura) Convertirse en contribuyentes importantes. Por lo tanto, para un medio poroso, cualquier volumen dentro del intervalo cerrado Puede servir como su REV. Similarmente para un sistema de fractura, cualquier volumen dentro del intervalo cerrado Puede ser elegido como su REV. La práctica habitual es elegir el límite inferior,
Para el medio poroso fracturado, su REV puede encontrarse en una intersección de las dos regiones estables, , si tal intersección existe. El límite inferior de la REV debe entonces ser elegido como el máximo de los dos límites inferiores En la práctica, tal intersección a menudo no existe, pero el REV para fracturas es generalmente mayor que el REV para una matriz porosa, por lo que los límites inferiores para las fracturas pueden ser elegidos como el límite inferior del medio poroso fracturado. Un REV es un cierto volumen sobre el cual se puede establecer una equivalencia estadística entre los parámetros constitutivos del continuo equivalente y el del discontinuo original en términos de los procesos físicos implicados (por ejemplo, deformación mecánica, flujo de fluido o transporte de energía térmica). Sin embargo, no hay garantía de que exista un REV en todos los casos, especialmente para las rocas cortadas por fracturas de diversos tamaños y comportamiento (ver sección 3.5.1.4 para más discusión sobre este punto). Los principios de mecánica continua no pueden ser aplicados y el enfoque discreto debe ser usado para resolver el problema tratando las masas rocosas fracturadas como sistemas discretos consistentes en bloques y fracturas. Los bloques individuales pueden ser tratados como cuerpos rígidos si las tensiones son bajas y las deformaciones son insignificantes o como cuerpos continuos deformables con comportamiento constitutivo apropiado (por ejemplo, cuerpos elásticos lineales). Este enfoque proporciona una representación más directa de las rocas fracturadas, pero tiene una metodología y algoritmos totalmente diferentes, en comparación con los métodos numéricos basados en el continuo.
