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Manual de soluciones del libro "Métodos dinámicos en economía" Versión 0.4 Héctor Lomelí Ortega Beatriz Rumbos Pellicer Lorena Zogaib Achcar 1 de septiembre de 2004
Manual de soluciones del libro "Métodos dinámicos en economía" Versión 0.4 Héctor Lomelí Ortega Beatriz Rumbos Pellicer Lorena Zogaib Achcar 1 de septiembre de 2004
Índice General
2 Ecuaciones diferenciales lineales
3
3
Ecuaciones no lineales de primer orden
7
4
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
11
5
Análisis cualitativo
15
6
Conceptos básicos de dinámica discreta
20
9
Optimización estática
22
11 Introducción al cálculo en variaciones
1
39
Nota para el lector
La presente es una versión preliminar de las soluciones del libro Métodos dinámicos en economía. Estamos conscientes de que, a pesar del esfuerzo y cuidado puestos en este tra bajo, es probable que existan errores involuntarios en las respuestas que q ue aquí presentamos. Agradeceremos sus comentarios y correcciones al presente documento a las siguientes direcciones electrónicas:
[email protected] [email protected]
Con cierta frecuencia aparecerán nuevas versiones en la página del departamento de Matemáticas del d el ITAM, en: http://matematicas.itam.mx
Gracias por leer nuestro libro.
Los autores
2
Cap´ıtulo
2
Ecuaciones diferenciales lineales −3, c = 6, x0 = 5. 1 , B = 1 . Por lo tanto la solución para las condiciones 2.3 α = 3, β = − 19 , A = 18 18 1 1 3t 1 − 3t iniciales dadas es x (t) = − + e + e . 9 18 18 2.2 b =
2.4 α = 0, β = 7. Por lo tanto la solución para las condiciones dadas se puede escribir como y (v) = 7e−v sin v. 2.5
a) x(t) = ke5t , la solución no converge a su estado estacionario. t
b) x(t) = ke − 2 , la solución sí converge a su estado estacionario. c) x(t) = 8 + ke −t , la solución sí converge a su estado estacionario. d) x(t) = 2 + ke5t , la solución no converge a su estado estacionario. 2.6 P(t) = 5 + ke −6t , el estado estacionario es P ∗ = 5. La solución sí converge a su
estado estacionario. 2.7
a) P(t) = P0 eat . b) t∗ =
ln 2
.
a c) lim P(t) = 0. t
→∞
2.8 P(t) = P0 e(α− β)t . Si α > β, lim P(t) = ∞, es decir que P crece indefinidamente. t →∞ Si α = β, lim P(t) = P0, es decir que P es siempre constante. Si α < β, t
→∞
lim → ∞P(t) = 0, es decir que P se extingue. t
E E E E 2.9 P(t) = + P0 eat . Si P0 = , entonces P (t) = , por lo tanto lim P (t) = t →∞ a a a a E E es decir, la población es constante. Si P0 > , entonces lim P(t) = ∞, es t →∞ a a
−
3
4
decir la población es creciente. Si P0 la población es decreciente. 2.10 Factor de integración µ (t) = e Y es el precio del bono y T + BT a) r(t) = r 0 b)
E , entonces lim P(t) = t →∞ a
. Interpretación: Y (t) es la inversión, B (t)
δ(s )ds es la cantidad de bonos que se tienen
T
r0 (t T )
B(t) = e −
T + 1 t + 1
.
−er (T −t). Si δ 0 tenemos retiros. 1 r (T −t) − 1 + 1. Z( T ) = e r0 0
<
0
1 −r0 (t−T ) T + 1 r0 (t− T ) 1+ 1 e) Y (t) = e e t + 1 r0 1 r0 (t−T ) 1 T + 1 1 . + Y (t) = e t + 1 r0 r0 2.12
−∞, es decir
− t +1 1 .
c) δ(t) = d)
t
en la inversión.
2.11
T t r ( s ) ds
<
− −
= B(t) Z(t). Simplificando
˙ es el cambio en la inversión. Se debe a las ganancias rY generadas a) Y por invertir a una tasa Y menos las perdidas X (t) debidas al flujo de
−
inversión. b) Y (t) =
T
r ( t T )
e − Y (T ) + e rt
t
∞
rt
e
e−rs X (s)ds. En el límite T
e−rs (s)ds.
→
∞, Y (t) =
t
∞
c) Cambio de variable τ = s
− t. Por lo tanto Y (t) =
∞
2.13
L { a f (t) + bg (t)} =
0
=
= a
2.14
e
0
st
∞
0
− −
( a f (t)) dt +
∞
e
0
e−rτ X (τ + t)dτ .
e−st [ a f (t) + bg (t)] dt
∞
− −
0
e
st
(bg (t)) dt
∞
st
f (t)dt + b
1 2 1 2 b) x(t) = + ce −t . 2 t3 c) x(t) = 5 + e− 3 .
a) x(t) = + ce −2sin t .
0
e
st
g(t)dt = a
L { f (t)} + bL { g(t)} .
5
− 17 et + e−6t .
d) x(t) =
1 2 3 3
3
e) y(u) = + e−u . 2.15
a) p˙ e +
αr
r
−α
pe =
dα r
− α . Resolviendo encontramos que d d pe (t) = + p0e − e −( − ) t r r
− − − αr r α
.
∞
b
d d lim e rb 1 = . r b →∞ r 0 0 αr d d d lim e−( r−α )t = = p∗ ya que α, r > 0 y r > α. c) lim pe (t) = + pe0 t →∞ r r t →∞ r d α d) Sustituyendo (2.29) en (2.28) se tiene que p = + ( p p e ) . Por lo tanr r α e ∗ to p = p ( p p ) . Ahora bien, usando la solución para pe se obtiene r b)
de−rt dt = lim b →∞
de−rt dt =
−
−
−
que
∗− − ∗ − − r
p(t) =
Por lo tanto lim p(t) = t
∞
∗→∗ − ∗− α
r
α
p = p .
e) p(t) = p
αr
r
−α
( p0e
r
r
r
−α
α
α
p
r
α
α
p
r
−α
αr r α
− p ∗ ) e−( − )t , con r
pe (t) = p∗ + ( p0e
pe . e
y lim p = t
>
→∞
∗− r
r
−α
p
α. Además
αr r α
− p ∗ ) e−( − )t ,
con r > α. 2.16 Sea v = ln y, entonces ev = y y y = ev
Q(t)ev v. Por lo tanto v
− Q(t)v = −P(t).
dv dv . Sustituyendo ev + P (t)ev = dt dt
− 4 + ct . Como y (t) = ev(t)
2.17 Sea v = ln y, resolviendo para v se obtiene v (t) = t3
t3
c
entonces y(t) = e − 4 + t . 2.18 Sea A x¨ + B ˙x + Cx = 0 una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes, donde A = 0, B , C R. Sean x1 , x2 dos soluciones de la ecuación, es decir: A x¨1 + B ˙x1 + Cx1 = 0 y A x¨ 2 + B ˙x2 + Cx2 = 0. Sea x3 = ax1 + bx2 .
∈
Entonces A x¨3 + B ˙x3 + Cx3 = A (a x¨1 + b x¨2 ) + B (a ˙x1 + b ˙x2 ) + C (ax 1 + bx 2 ) = a ( A x¨ 1 + B ˙x1 + Cx 1 ) + b ( A x¨2 + B ˙x2 + Cx 2 ) = 0. Por lo tanto x3 = ax 1 + bx2 es solución de la ecuación A x¨ + B ˙x + Cx = 0.
6
2.19
a) x¨ = b)
−1, x (0) = 2, x˙ (0) = 4. x¨ − 3 ˙x + 2x = 6 t − 7.
c) x¨ + 4x˙ + 5x = 0. 2.20
a) x(t) = e t .
√ 23
√
13 23 3cos b) x(t) t + √ sin t . 4 4 23 c) x(t) = e −t [cos t + sin t] . 5 = e 4 t
d) x(t) = (1 2.21
− 3 t ) e3 t . √
√
a) x(t) = k 1 e( 1+ 2) t + k 2 e( 1− 2)t b) x(t) = c 1 cos t c) x(t)
5 = e 4 t
− 7.
− c2 sin t + 1. √ 23 √ 23 c1 cos t − c2 sin t 4 4
+ 3.
d) x(t) = A + Be 3t e)
− 4t. 1 x(t) = c 1 e−t + c2 e2t − . 2
1 9
f) x(t) = c 1 e−3t + c2 te −3t + . β
¯ + e− 2 t ( A cos δt 2.22 p(t) = m β
u(t) = u¯
−
e− 2 t γ
− B sin δt) , con β 0, δ 0. − β A − Bδ cos δt + βB − Aδ >
2
2
sin δt .
Además lim p(t) = m¯ y lim u(t) = u¯ , lo que quiere decir que se satisface el t →∞ t →∞ mismo comportamiento asintótico que en el caso β > 4αγ. 2.23
− c2 sin 2t − 4t cos 2t. 14 x(t) = c 1 e−t + c2 e3t − 3t2 + 4t − . 3 4 x(t) = c 1 e−t + c2 e2t − te−t . 3 1 x(t) = c 1 e3t + c2 e−t − et − cos t + 2 sin t. 2
a) x(t) = c 1 cos 2t b) c) d)
e) x(t) = e −3t (c1 cos 2t
− c2 sin 2t) + e
2.24 x(t) = k 1 et + k 2 e2t + k 3 e−t .
− 2t
1 4 cos 2t + sin 2t . 17 17
Cap´ıtulo
3
Ecuaciones no lineales de primer orden 3.1
a) x(t) = t o x (t) = t si t b)
| | x(t) = |t| o x (t) = t si t
>
0.
>
0.
1
. 2−t π . d) x(t) = tan t − 1 + 4 71 3 e) x(t) = 2 ( t + 1)3/2 + . 27 c) x(t) =
3.2
− − | | − − −∗
b) y( x)
a) N (t) =
N ∗ .
.
x2 + 1 2 ln y(x) + 2 =
1 t 1 3t e + e . 2 2
c) y( x) = 3.3
2
a) y( x) = sin 1
N
1+
N ∗ N 0
1 e
N ∗ kt
ln |x + y| − 1.
para N ∗ = N 0 . Si N ∗ = N 0 entonces N (t) =
b) lim N (t) = N ∗ , es decir que el número de personas que habrá oído el t →∞ rumor cuando t sea muy grande tenderá al número total de personas
del pueblito. s . Por lo tanto n + δ 1 1− α 1 s la solución para k es de la formak (t) = w 1−α = ce−(1−α)(n+δ)t + . n + δ
3.4 Sea w = k 1−α . Resolviendo se obtiene w (t) = ce −(1−α)(n+δ)t +
7
8
s Además lim k (t) = t →∞ n + δ 3.5
1 1− α
= k ∗ .
1 L˙ L L = α β = α β γ 1−γ = α β γ 1−γ = Υ L K L K L γ +1 L γ L α β γ . Por lo tanto L˙ = αL β γ , donde K es constante. K K 1 β β . b) Sea w = L−γ . Resolviendo se obtiene w (t) = e−αγt + γ γ αK αK γ L0
a) Sea Υ = K γ L1−γ . Entonces
−
−
− β αK γ
c) lim L(t) = 3.6
→∞
1
γ
1 γ
L0
−
β αK γ
−
−
β e αγt + αK γ
α . Por lo tanto lim L(t) = t →∞ β
1
1
γ
− 1/α
ke αt
C r
b) lim P(t) = t
→∞
−
1
γ
.
K .
− α1 . Por lo tanto
. Como P = y + L , entonces P ( t) =
L, P0 = C P0 , P0 = C
1
− 1 r P0 L + αC
− L −L
eαt
−
r αC
+ L .
.
1 . 2t − 2 + ce −t 1 1 b) Sea w = 2 , cuya solución es w ( x ) = x + + ce 2x . Por lo tanto y ( x ) = 2 y 1 −2 ± x + 12 + ce2x . 1 x + c x c) Sea w = , cuya solución es w ( x) = . Por lo tanto y (x) = .
a) x(t) =
y
d) Sea w =
1
x + c
x
1 y
3 3 3 , cuya solución es w ( x) = x 2x + c . Por lo tanto y ( x ) =
1
x [2x3 + c] 3 3.8
=
a) Sea w = y1−n . Su solución está dada por w(t) = keαt
y(t) =
3.7
−
−
1 Por lo tanto L (t) = w (t)− γ
t
−
.
a) Sea w = x−6, entonces la tenemos la solución w (t) = 1 + ce6t . Por lo tanto x (t) = 1. 4 c b) Sea w = x−4 , entonces la tenemos la solución w (t) = + 44 . Por lo 43t t 1 tanto x (t) = .
−
4
47 43t44
− 434 t
9
1
c) Sea w = y−2 , entonces la tenemos la solución w(t) =
t
√
+
tanto y (t) = t, con t > 0. 3.9
√ c t . Por lo
a) x = 0 equilibrio inestable; x = 2 equilibrio estable. b) x = 0, x = 12 equilibrios inestables; x = 3 equilibrio estable. c) x = 2 nπ equilibrio inestable; x = (2n + 1) π equilibrio estable. d) x = k equilibrio estable.
3.10
a) Si x 0
2 entonces x (t) converge a 2. Si x 0 > 2 entonces x (t) diverge.
<
0 entonces x (t) converge a 0. Si 0 < x 0 < 1 entonces x (t) converge a 1. Si x = 1 es un punto de equilibrio estable.
3.11
b) Si x 0
<
c) Si x 0
<
0 entonces x (t) converge a 0. Si x 0 > 0 entonces x (t) diverge.
( u ) (u ) u u d u u u u u 1 . Entonces a) Como = = = dw u (u )2 (u )2 (u )2 d u d u 1 . De esta manera = = 1 k . Lo que implica k dw u dw u u . Donde A es continua. Por lo que se tiene u = 1 = ( ) + k w A u u 1 1 u . Sea A = A entonces . = A + ( 1 k )w u A + ( k 1)w b) A + ( k 1) w > 0 con w > 0. 1 w2 u , c) Si k = 0 entonces u = k 2 + k 1 Aw k 1 . Si k = 1 entonces = 2 u A
−
−
−
−
−
−
− −
−
−
−
−
la cual es una función CARA (aversión relativa al riesgo constante). Si 1 u y se parece al caso k = 0. k > 1 entonces − = u A + ( k − 1)w
3.12
1
a) p˙ =
1 − αλ ción es
[(αm0 + µ + αµt)
− α p] . Por lo que la solución para esta ecua-
p(t) = (m0 + µλ + µt) + ( p0
α
− m0 − λµ) e− − t . 1 α
Además lim p(t) = ∞, y t
→∞
lim p˙ (t) = µ = m˙ .
t
b) p˙ =
1 λ
( p
das, es:
→∞
− m0 − µt) . Cuya solución, para las condiciones iniciales da p(t) = (m0 + µλ + µt) + ( p0
Además lim p(t) = ∞, y lim p˙ (t) = ∞. t
→∞
t
→∞
− m0 − λµ) e
t λ
.
10
3.13
e
a) Sea p˙ =
(1
− τ )dα r−α
αr
r
−α
pe . Resolviendo se obtiene
pe (t) = p∗ + ( p0e
− p ∗ ) e−( − )t αr r α
y
− r −α α ( p0e − p ∗ ) e−( − )t . (1 − τ ) d Además lim pe (t) = lim p(t) = ≡ p∗ . αr r α
p(t) = p∗
t
→∞
t
r
→∞
¯ > τ entonces en el momento del cambio, el cambio en b) Si τ aumenta a τ el precio p˙ pasa de un valor cero a un valor negativo (el precio tiende a disminuir) correspondiente a la condición pe = p∗ . Después p˙ aumenta en el tiempo y el sistema procede asintóticamente hacia un nuevo valor de equilibrio, pe = p¯ ∗ < p∗ . (1 − τ ) d rt ( 1 − τ ) d . c) p(t) = p0 − e +
r
r
d) El nivel del precio diverge, a menos que p 0 =
(1
− ¯τ ) d , con τ ¯ r
>
τ .
Cap´ıtulo
4
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 4.1
a) X (t) = c 1
− − √ − −√ √ −√ − − − − − −− − − − −− − − 1 1
1 3
b) X (t) = c 1
4.2
4.3
1 0
+ c2
d) X (t) = c 1
2 1
+ c2
e
3 1
cos t e t sin t 4 2
c) X (t) = c 1
cos2t sin2t
d) X (t) = c 1
1 2
1 1
1 4
t
b) X (t) = c 1
a) X (t) = c 1
e 4t .
1
e(2+ 3)t + c2
c) X (t) = c 1
a) X (t) = c 1
1 1
e 2t + c2
+ c2
e3t + c2
et + c2
e2t + c2
3
e 4t .
et .
e t sin t e t cos t
4t
1 2t
1 2t
1 2
.
e3 t .
sin2t cos2t t
et + c2
e(2
e3 t
11
− 12
et .
et .
1 1
.
3) t .
12
b) X (t) = c 1
√
√ 2cos 23 t √ − cos 23 t + √ 3sin 23 t
2sin 23 t sin 23 t 3cos
1 1
c) X (t) = c 1
4.5
a) X (t) =
4.6
t
e
cos βt sin βt
c) X (t) =
5 0 0
2
3t 2
e3 t
3 2 t
1 2
5 4
∞
t
3t 2
e
. Por lo tanto lim X (t) =
5cos t + 15sin t 20cos t + 10sin t 30cos t 10sin t
1 1
et + ( 1
−2.
0 0
.
et .
− w) −12
e 2t .
− − − − − − − − − − − −
x (t ) y(t)
3 1
4.8 X (t) =
4.9 A =
→∞
1 3 1
2 0 3
−
λ1
3 1
2 0 3
eλ1 t + c2
1 1
=
.
b
λ1
a
bc
e
λ1 t
<
0. En este caso
.
e 4t .
3 c1 c1
.
5cos t + sin t 12cos t + 2 sin t 4cos t
e2t + c1
7 1 7
a
+ c2
b) lim X (t) = c 1 t
b
= c 1
a) X (t) = c 1
.
et .
a) Se necesita que tr A = a + d = 0 y que det A = ad λ1 = bc ad > 0 y λ 2 = bc ad < 0.
2 5
+
eαt .
+
a) X (t) = (2 + w )
b)
4.7
1 10
1 2
e2t + c2
b) X (t) =
b) w =
e
− √ √ √ √ − − − − − → − − +c2
4.4
−
et + c2
5sin t − cos t 12sin t − 2cos t 4sin t
et .
13
4.10
a) Como el conjunto w1 , w2 , w3 , . . . , wn es l.i. para todo t, por lo tanto las columnas de Φ(t) son l.i. de modo que existe la inversa Φ−1 (t).
{
}
˙ = AX , b) Sabemos que cada w i con i = 1, . . . n es solución de la ecuación X por lo que se tiene que w˙ i = Awi para i = 1 . . . n. Así Φ˙ (t) =
=
w ˙1 w ˙ 2 ... w ˙n
A w2 . . . A w n
A w1
c) Sea Υ(t) = Φ(t)
t
0
=A
w1 w2 . . . w n
= A Φ ( t ).
Φ−1 (s) f (s)ds. Por lo tanto t
− 0
Por otra parte ˙ (t) = Φ˙ (t) Υ
t
0
Φ 1 (s) f (s)ds = Φ −1 (t)Υ(t).
Φ−1 (s) f (s)ds + Φ(t)Φ−1 (t) f (t)
= Φ˙ (t)Φ−1 (t)Υ(t) + f (t) = AΦ(t)Φ−1 (t)Υ(t) + f (t) = AΥ(t) + f (t).
˙ = AX + f (t). Por lo tanto Υ es una solución particular a la ecuación X 4.13
a) b)
4.14
− − x( t) y(t)
= c 1
4 3
e
x (t ) y(t)
= c 1
4 3
e
4 t 10
+ c2
4 t 10
− − −
+ c2
1 1
e
1 −1
e
11 t 10
11 t 10
+
1 2500 11 1625
+
1 6
17 19
.
t
e 10 .
a) x˙ = f ( x, y), y˙ = 1. b) x(t) = c 2 e2t
− 12 t − 14 .
x (w) = a 1 x(w) + b1 y ( w) . 4.15 El sistema lineal con coeficientes constantes es y (w) = a 2 x (w) + b2 y ( w) 4.16 4.18
x( t) y(t)
= c 1
1 1
t2 + c2
1 3
t4 .
a) x(t) = (cos t + sin t) e−t . Además lim x (t) = 0. t
→∞
1 5 t→ ∞ 3 3 19 44 6 c) x(t) = − e−5t + t.Además lim x(t) = ∞. t →∞ 25 25 5
b) x(t) = + e3t .Además lim x(t) = ∞ .
14
d) x(t) = (1 + 2t) e−t .Además lim x(t) = 0. t
e) x(t) = (1
→∞
− 2t) e2t .Además tlim x(t) = −∞. → ∞
1 −4e−2t + 83 e−3t + 13 .Además tlim x ( t) = . → 3 u + w − x u−w u + 2v + w cos x + a) y( x ) = e + f) x(t) =
4.19
∞
sin x. 2 2 b) w = u y v = −u.Conestosetiene y( x) = ue− x .Porlotanto lim y( x ) = 0. 2
x
→∞
1 −2t 4 t 2 e + e cos t − et sin t. Además lim y(t) no está definido ya que la t →∞ 5 5 5 función oscila. 2v − 2u − 1 − x 4.21 a) y( x ) = e −5 4.20 y(t) =
2v + 3u − 1 x 2v − 2u + 4 x + e cos x + e sin x. 5 10
b) u = 1 y v = 4.22 y(t) =
−1. Con esto se tiene y(x) = e −x . Por lo tanto xlim → y(x) = 0.
1 t 1 −t 1 e − e − sin t. 4 4 2
∞
Cap´ıtulo
5
Análisis cualitativo 5.1
∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗
a) P =
0 0
es un punto silla.
b) P =
0 0
es un espiral atractora.
c) P =
0 0
es un espiral repulsora.
d) P =
0 0
es un nodo repulsor.
e) P =
5.2
a) P =
1 3
5 3
0 0
es un punto silla.
es un punto silla.
b) P =
0 0
es degenerado inestable.
c) P =
0 0
es degenerado.
d) P =
3b
b
es un punto fijo para cada b . Por lo tanto hay una infini-
dad de puntos fijos, cada uno de ellos degenerado.
e)
P∗ =
9 4
− 92
es un espiral repulsora.
15
16
5.3
0 0 0
∗ ∗ ∗ − ∗
a) P =
b) P =
0 0 0
es nodo repulsor.
c) P =
0 0 0
es degenerado.
4 1 1
d) P =
5.4
es degenerado.
es nodo repulsor.
a) Existen cuatro puntos fijos: P1∗ =
P4∗ =
4 −2
0 0
, P2∗ =
0 6
, P3∗ =
2 0
,y
. El punto P1∗ es un nodo repulsor, P2∗ un nodo atractor, P3∗
un punto silla y P4∗ una espiral atractora. Se tiene que lim t
→∞
x( t) y(t)
=
0 es decir que la población de x se extinguirá y la de y tenderá a 6, 6 no es posible que las dos poblaciones coexistan en el largo plazo. b) Existen cuatro puntos fijos: P1∗ =
P4∗ =
4 −2
0 0
, P2∗ =
0 2
, P3∗ =
3 0
,y
. El punto P1∗ es un nodo repulsor, P2∗ un punto silla, P3∗ un
3 t →∞ 0 es decir que la población de x tenderá a 3 y la de y se extinguirá, no es posible que las dos poblaciones coexistan en el largo plazo. 0 0 1 c) Existen cuatro puntos fijos: P1∗ = , P2∗ = , P3∗ = ,y 0 3 0 nodo atractor y P4∗ un punto silla. Se tiene que lim
P4∗ =
10 3 14 3
x( t) y(t)
=
. El punto P1∗ es un nodo repulsor, P2∗ un punto silla, P3∗ un
x( t) punto silla y P4∗ un nodo atractor. Se tiene que lim t →∞ y(t)
=
10 3 14 3
17
es decir que la población de la especie x se estabilice en 103 y la de y en 14 . Se espera que las poblaciones coexistan en el largo plazo. 3 5.5
a) Para el punto fijo
λ =
∗ ∗ P N
0 1
−1 que es U =
es V =
1 0
0 0
=
,se tiene la dirección estable dada por
, y la dirección inestable dada por λ = 1 que
.
b) Como γNP es el número de encuentros Depredador-Presa por unidad de tiempo, entonces γ representa la frecuencia de encuentros entre las
especies. 5.6
a) Se obtiene un comportamiento cíclico si 0 b) El sistema es estable si a
1, b > a y ab
w p
w p
5.8
<
1.
a
= c 1
a
=p
<
+ c2
1
a ( AB + C ) . Además lim t
∞
1
w p
a
1
b) Para el punto fijo P∗ se tiene Es = gen
1 α
− β
neal estable es E (0¯ ) = gen
,
a
= c1
1
. Por lo tanto,
y son puntos de equilibrio
>
0 y λ2 = α − β < 0. 1 con λ2 < 0 y
α + β
con λ 1 > 0.
5.9 El punto P ∗ = (0,0,0) es un punto silla porque det A = s
λ2 t
e
AB + C A
a) P∗ = (0, 0) es un punto silla porque λ 1 = α + β
Eu = gen
1 y b = a .
. La solución del sistema es
1
los puntos fijos son múltiplos del vector estables.
a
∗ ∗ ∗ −| | − →
5.7 El punto fijo está dado por
donde λ 2 = A
<
<
−
lineal inestable es E u (0¯ ) = gen
1 1 1
−6
<
0. El espacio li-
que representa una recta. El espacio
5 0 2
,
1 0 0
que representa un plano.
18
5.11
∗
k c∗ ese punto se obtiene λ1 =
a) El punto fijo es P ∗ =
1
=
− 12
<
4 5
y es un punto silla porque para
0 y λ2 =
4 5
0.
>
b) En P ∗ la recta tangente que aproxima la variedad estable W s ( P ∗ ) es c =
4 k . Similarmente, la recta tangente que aproxima la variedad inestable 5 1 13 Wu ( P∗ ) es c = − k + . 2 10 4 c) c0 ≈ (1.1) = 0.88 > c ∗ . 5 5.12 v = −2u. 1 5.13 a) Los puntos fijos son cuatro: P1∗ = (0, 1), P2∗ = (0, −1), P3∗ = ( √ , 0), y 3 1 P4∗ = (− √ , 0). Los puntos P1∗ y P2∗ son los únicos puntos silla. Los 3 puntos P3∗ y P4∗ dan soluciones cíclicas. Para P1∗ se tiene
∈ R2 | x = 0
∈ R2 | y = −1
E s ( P1∗ ) = gen
Eu ( P1∗ ) = gen
Para P2∗ se tiene E s ( P2∗ ) = gen
Eu ( P1∗ ) = gen b) Por regla de la cadena
0 1
= ( x, y)
1 0
= ( x, y)
1 0
∈ R2 | y = 1
= ( x, y)
0 1
∈ R2 | x = 0
= ( x, y)
y˙ dy /dt dy dt dy . = = = x˙ dx /dt dt dx dx
Entonces Por lo tanto
1 dy y˙ = = dx x˙
− 3x2 − y2 = 1 − 3x2 − 2xy
2xy
1 3 x2 1 y 1 y, 2xy 2x que es una ecuación de Bernoulli con n = −1. dy = dx
− −−
y2 . 2xy
, .
.
,
19
c) Ws ( P1∗ ) = W u ( P2∗ ) = ( x, y)
y
∈ R2 | x = 0
∈ R2 | x 2 + y2 = 1
Wu ( P1∗ ) = W s ( P2∗ ) = ( x, y)
5.14
0 a) Hay dos puntos de equilibrio: P1∗ = y P2∗ = 0 ∗ es un nodo repulsor y P2 es un punto silla.
3 4 3
.
. El punto P1∗
1 0 − ∗ ∗ 3 b) Existen dos puntos de equilibrio: P1 = y P2 = 0 − 13 punto P1∗ es un punto silla y P2∗ es un centro (soluciones cíclicas).
5.15 El punto fijo
I ( p∗ ) δ f (k ∗ ) r +δ
∗ k p∗
=
es un punto silla.
a) La tasa de convergencia está dada por λ =
r
−
de
r2
− 2
4det J ∗
<
0, don-
det J ∗ = −δ(r + δ) + f (k ∗ ) I ( p∗ ). Se tiene además que lim λ = −δ. r >>1
5.17
∗
a) El único punto fijo del sistema es P =
0 1
b) Para P ∗ se tiene E s ( P∗ ) = gen
E u ( P ∗ ) = gen c) y( x) = e x +
1 e
1 e
y es un punto silla.
∈ R2 | x = 1
= ( x, y)
= ( x, y)
∈ R2 | y = ex
c
x
− 1.
d) Para P ∗ se tiene
Ws ( P ∗ ) = ( x, y)
y
. El
∈ R2 | x = 1
∈ R2 | y = e x
Wu ( P∗ ) = ( x, y)
.
.
y
Cap´ıtulo
6
Conceptos básicos de dinámica discreta 6.4
1 t ( x0 − 2) + 2. Además lim xt = 2, es decir que es asintóticaa) xt = t →∞ 2 mente estable. 3 t ( x0 + 4) − 4. Además lim xt = ∞, es decir que es asintóticab) xt = t→ ∞ 2 mente inestable. 5 5 c) xt = ( −1) t x0 − + . Además lim xt no está definido es decir que t →∞ 2 2 diverge. 1 t d) xt = − x0 . Ademáslim xt = 0, es decir que es asintóticamente estat →∞ 3 ble.
−
6.5 La ecuación en diferencia para el ingreso es Y t+1 = mY t + ( c + I ) . Tiene como c + I punto fijo a y∗ = . Por lo tanto, la solución de la ecuación es Y t = 1 m c + I c + I . Además lim Y t = 1c−+mI > 0, es decir que el punto + mt Y 0 t →∞ 1 m 1 m
− −
− −
fijo es asintóticamente estable.
6.8
6.10
a) Puntos fijos: x1∗ =
−1 el cual es asintóticamente inestable y x 2∗ = 1 el cual
es un punto silla. b) Puntos fijos: x1∗ = 1 el cual es asintóticamente inestable y x 2∗ = 3 el cual es asintóticamente estable. 1 8 a) pt = − pt−1 + . El punto fijo es p ∗ = 2 el cual es asintóticamente esta3 3 ble, ya que lim pt = 2. t
→∞
20
21
b) pt =
− pt−1 + 112 . El punto fijo es p∗ = 114 el cual es inestable, se tiene
que lim pt no existe. t
→∞
c) pt =
−3 pt−1 + 16. El punto fijo es p∗
inestable.
= 4 el cual es asintóticamente
Cap´ıtulo
9
Optimización estática 9.1 Sean A y B subconjuntos convexos de R n . a) Sea A + B = a + b a A y b B y sean c1 , c2 A + B . Entonces c1 = a 1 + b1 , c 2 = a2 + b2 donde a 1 , a 2 A y b 1 , b2 B. Como a 1 , a 2 A y b1 , b2 B con A y B convexos, entonces λ ( 0, 1) se tiene que λa1 + (1 λ) a2 A y λb1 + (1 λ) b2 B. Por lo tanto, [λa1 + ( 1 λ) a2 ] + [λb1 + ( 1 λ) b2 ] A + B . De donde λ ( a1 + b1 ) + (1 λ) (a2 + b2 ) A + B. Entonces λc1 + ( 1 λ) c2 A + B. Por lo tanto A + B es convexo.
{
−
∈
∈ −
| ∈
∈ } ∈
−
∈
∈
−
∀ ∈
∈
∈
∈
−
−
∈
∈ b) Sea kA = {ka | a ∈ A} para k ∈ R y sean c1 , c2 ∈ kA .Entonces c1 = ka1 , c2 = ka2 donde a1 , a2 ∈ A. Como a1 , a2 ∈ A y A es convexo, entonces ∀ λ ∈ (0, 1) se tiene que λa1 + (1 − λ) a2 ∈ A. Por lo tanto, k [ λa1 + ( 1 − λ) a2 ] ∈ kA . De donde λ [ ka1 ] + (1 − λ) [ka2 ] ∈ kA. Entonces λc1 + ( 1 − λ) c2 ∈ k A. Por lo tanto kA es convexo. 9.2 Sea X ⊂R n un conjunto convexo y sean f , g : X →R dos funciones cóncavas. a) Sea α ∈ R + y sean x¯1 , ¯x2 ∈ X . Como f es cóncava, entonces f ( λ x¯1 + ( 1 − λ) ¯x2 ) λ f ( x¯1 ) + ( 1 − λ) f ( x¯2 ) , ∀λ ∈ ( 0, 1) . Como α > 0, entonces α f (λ x¯1 + ( 1
− λ) x¯2) α [λ f ( x¯1) + (1 − λ) f (x¯2)] = λ [ α f ( x¯ 1 )] + (1 − λ) [α f ( x¯2 )] .
Por lo tanto α f es cóncava. 22
23
b) Sea α
∈ R− y sean x¯1 , x¯2 ∈ X . Como f es cóncava, entonces f ( λ x¯1 + ( 1 − λ) ¯x2 ) λ f ( x¯1 ) + ( 1 − λ) f ( x¯2 ) , ∀λ ∈ ( 0, 1) .
Como α < 0, entonces α f (λ x¯1 + ( 1
− λ) x¯2) α [λ f ( x¯1) + (1 − λ) f (x¯2)] = λ [ α f ( x¯ 1 )] + (1 − λ) [α f ( x¯2 )] .
Por lo tanto α f es convexa. c) Como f y g son cóncavas, entonces λ
∀ ∈ ( 0, 1) se tiene que f (λ x¯1 + ( 1 − λ) ¯x2 ) λ f ( x¯1 ) + ( 1 − λ) f ( x¯2 ) , g (λ x¯1 + ( 1 − λ) ¯x2 ) λ g ( x¯1 ) + ( 1 − λ) g ( x¯2 ) .
Por lo tanto, f ( λ x¯1 + ( 1
− λ) x¯2 ) + g (λx¯1 + ( 1 − λ) ¯x2 ) [λ f ( x¯1 ) + ( 1 − λ) f ( x¯2 )] + [λ g ( x¯ 1 ) + ( 1 − λ) g ( x¯ 2 )] .
Entonces ( f + g) (λ x¯1 + ( 1
− λ) x¯2 ) [( f + g) (x¯1 )] + (1 − λ) [( f + g) (x¯2 )] .
Por lo tanto, f + g es cóncava. d) Sea g ( x¯ ) ⊂ Y ⊂ R y sea h : Y → R una función cóncava y creciente. Como g es cóncava, entonces ∀λ ∈ ( 0, 1) se tiene que g ( λ x¯1 + ( 1
− λ) ¯x2 ) λ g ( x¯1 ) + (1 − λ) g (x¯2 ) .
Como h es creciente, entonces h ( g (λ x¯1 + ( 1
− λ) x¯2 )) h (λ g (x¯1) + (1 − λ) g (x¯2 )) .
De donde (h g) (λ x¯1 + ( 1
− λ) ¯x2 ) = h ( g (λ x¯1 + ( 1 − λ) ¯x2 )) h ( λ g ( x¯ 1 ) + ( 1 − λ) g ( x¯2 )) λh [ g ( x¯ 1 )] + (1 − λ) h [ g ( x¯ 2 )] = λ ( h ◦ g) ( x¯1 ) + ( 1 − λ) (h ◦ g) ( x¯2 ) . ◦
Por lo tanto, h ◦ g es cóncava.
24
9.3
a) Conjunto convexo. b) No es conjunto convexo. c) Conjunto convexo.
9.4
a) Si x = 0 o y = 0, entonces f ( x, y) = 0, que es un plano en
3 ( z = 0),
y sabemos que toda función que represente un plano es cuasicóncava en particular (también es cuasiconvexa, cóncava y convexa). Si suponemos que x, y > 0, queremos demostrar que para toda k ∈ R+ , el contorno superior de f en k , CS f ( k ) = {( x, y) ∈ R2++ | xy k } es un conjunto convexo. Sean x1 = ( x1 , y1 ) , x2 = ( x2 , y2 ) ∈ CS f ( k ) , de modo que x1 y1 k y x 2 y2 k . Sea x = ˘x1 + ( 1
R
− λ) x2 = (λx1 + ( 1 − λ) x2, λ y1 + (1 − λ) y2 ) ,
con λ ∈ ( 0, 1) . Debemos demostrar que (λx1 + ( 1
− λ) x2 ) (λ y1 + ( 1 − λ) y2 ) k .
Así, (λx1 + ( 1
− λ) x2 ) (λ y1 + (1 − λ) y2 ) = λ 2 ( x1 y1 ) + ( 1 − λ)2 ( x2 y2 ) + λ (1 − λ) (x2 y1 + x1 y2 ) x 2 x1 2 2 + k λ + k (1 − λ) + k λ (1 − λ) x1 x2
= k λ2 + (1 = k ( λ + ( 1
− λ)
− λ))
2
2
+ 2λ (1 + k λ ( 1
− λ)
− λ) 2
− λ) ( x2x−1 xx21 ) ( x2 − x1 )2 1 + ( 1 − λ)
+ k λ ( 1
x 2 x1 + x1 x2
− λ) x21 + x22 − 2x1 x2 x1 x2
− 2
= k + k λ ( 1 = k
x1 x2
k .
Por lo tanto, x ∈ CS f ( k ) . Lo que implica que CS f ( k ) es convexo, ∀k ∈ 2 2 R + . Por lo tanto, f ( x, y) = xy es cuasicóncava en R + . b) Como f es doblemente diferenciable, analizamos simplemente el signo
de le matriz hessiana H : H =
f xx f yx
f xy f yy
=
2 2 2 2
.
25
2 = 0. Entonces es Como f xx = 2 > 0, f yy = 2 > 0 y | H | = f xx f yy − f xy H positiva semidefinida. Por lo tanto, f es convexa (no estricta).
c) Como f es doblemente diferenciable, analizamos simplemente el signo de le matriz hessiana H :
H =
f xx f yx
f xy f yy
2 0 0 2
=
.
2 = 4 > 0. Entonces H Como f xx = 2 > 0, f yy = 2 > 0 y | H | = f xx f yy − f xy es positiva definida. Por lo tanto, f es estrictamente convexa.
9.5 f es una función cóncava para a 0 y b 0. 9.6
a) Si el dominio de la función se restringe a R2++ entonces f es cuasicóncava y además estrictamente cóncava. Si el dominio incluye x , y < 0 entonces
f no es cuasicóncava, ni se aplica la definición de función cóncava al no
ser el dominio convexo. b) f es cuasicóncava y además estrictamente cóncava. c) f es cuasiconvexa y además convexa (no estricta). 9.7 Sea g :
n
R ++
→ R, dada por g ( x¯ ) = ln Πnk =1 xk αk
con α 1 , . . . , αn > 0. Entonces
g ( x¯ ) = ln x1α1 x2α2 . . . xnαn = α 1 ln x1 + α2 ln x2 +
Por lo tanto H =
−
α1 x12
0 ... 0
0
− αx
2 2 2
... 0
... ... ... ...
· · · + αn ln xn . 0 0 ...
.
− αx α α α 0, | H 3 | = − 12 22 32 x x x n
2
n
α1 α1 α2 k < 0, H 2 = > < 0, . . . , ( 1) 2 2 2 x1 x1 x2 1 2 3 H k > 0 con 1 k n. Entonces H es definida negativa. Por lo tanto f es
Como | H 1 | = −
| |
estrictamente cóncava.
| |
−
26
9.8 Por el ejercicio anterior tenemos que la función α g ( x¯ ) = ln Πnk =1 xk k = ln (h ( ¯x ))
es estrictamente cóncava y, por lo tanto, cóncava. Existe un teorema que establece que si f es creciente y h es cuasicóncava entonces f ◦ h también es cuasicóncava. Entonces, como g es cuasicóncava y ex es una función creciente, se tiene que h = e g = Πnk =1 xαk k es cuasicóncava. 9.9
a¯ b¯ ˜ y b = ¯ . Entonces a) Sean ˜a = f ( a¯ ) f b
a¯ f ( a¯ )
f (a˜ ) = f =
1 ¯a f ( a¯ ) f (a¯ ) f (a¯ ) = f (a¯ )
1 f ( a¯ )
= f
= 1.
Similarmente f b˜ = 1. Como CS f ( 1) = { x¯ ∈ X | f ( x¯ ) = 1} y como f ( a˜ ) = f b˜ = 1, por lo tanto ˜a, ˜b ∈ CS f (1) . λ f b¯ . Como f : X → ( 0, ∞) , entonces f ( a¯ ) > 0 b) Sea µ = (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯ y f b¯ > 0. Además, como 0 < λ < 1 se tiene que λ > 0 y ( 1 − λ) > 0, por lo tanto µ > 0. Por otra parte, reescribamos µ como
λ f b¯ + (1 λ) f ( a¯ ) (1 λ) f ( a¯ ) µ = (1 λ) f (a¯ ) + λ f b¯ (1 λ) f ( a¯ ) = 1 < 1, (1 λ) f ( a¯ ) + λ f b¯
− − −
− −
ya que
(1
−
(1 λ) f ( a¯ ) λ) f ( a¯ ) + λ f b¯
−
>
− −
0. Por lo tanto µ
<
1. Se concluye que
0 < µ < 1. c) Como ˜a, ˜b ∈ CS f ( 1) , 0 < µ < 1 y CS f ( 1) es convexo, entonces (1
− µ) ˜a + µb˜ ∈ CS f ( 1) .
Por lo tanto, f (1 − µ) ˜a + µb˜
d) De la definición de µ se tiene
1 − µ = 1 −
(1
−
1.
λ f b¯ = (1 λ) f (a¯ ) + λ f b¯
−
(1 λ) f ( a¯ ) . λ) f ( a¯ ) + λ f b¯
−
27
Entonces 1 f (1 − µ) ˜a + µb˜ = f
(1
−
(1 λ) f ( a¯ ) λ) f ( a¯ ) + λ f b¯
−
λ f b¯ λ) f ( a¯ ) + λ f b¯
b¯ f b¯
− − − − − a¯ f ( a¯ )
+
(1
1 (1 λ) ¯a + λ b¯ ¯ ¯ (1 − λ) f ( a) + λ f b 1 = f (1 λ) ¯a + λb¯ . (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯ = f
Es decir, 1
1 (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯
(1
− λ) f ( a¯ ) + λ f
f (1
b¯ f (1
λ) ¯a + λb¯ . Por lo tanto
λ) ¯a + λb¯ .
Por lo tanto f es cóncava.
α
9.10 Sea f ( x1 , . . . , xn ) = x1α1 . . . xnαn = Πnk =1 xk k una función Cobb-Douglas y x n R ++ . Es claro que f es cuasicóncava siempre, ya que es una transformación
∈
creciente de la función cóncava ln x1α1 x2α2 . . . xnαn , y es por lo tanto cuasicóncava. Si α1 + · · · + αn = 1, entonces f es homogénea de grado 1, cuasicóncava y positiva, por lo tanto, por el problema 9.9, f es cóncava. Si α1 + · · · + αn = 1, entonces el hessiano de f es
H =
α1 (α1 1) f x12
α1 α2 f x1 x2
...
...
α1 αn f x1 x n
α1 αn−1 f x1 xn − 1
−
... . .. ...
α1 αn f x1 x n
... αn ( αn 1) f x2n
−
Por lo tanto, sus menores principales dominantes son:
| H k | =
α1 α2 . . . αk k f ( x1 . . . xk )2
= ( 1) k 1
−
k
− ∑ αi i= 1
α1
−1
... αk
.
. . . α1 ... ... ... αk . . . αk − 1 α1
α1 α2 . . . αk k f . ( x1 . . . xk )2
Por lo tanto, ( −1)k | H k | > 0. Entonces, H es definida negativa. Por lo tanto, f n
es estrictamente cóncava. Si 0 < ∑ αk 1, entonces f es cóncava. k =1
28
9.11
a) w (λx1 , . . . , λxn ) = δ1 ( λx1 ) ρ +
· · · + δn (λxn ) ρ ρ
1
ρ
· · · + δn x ρn ρ ρ δ1 x1 + · · · + δn xn
= λ ρ δ1 x1 +
= λ
= λw ( x1 , . . . , xn ) .
1
ρ
1
ρ
Por lo tanto, w es homogénea de grado 1.
lim (ln w)
b) Como limw = lim eln w = e ρ→0 ρ
→0
ρ
→0
. Además
→
ρ
lim (ln w) = lim ln δ1 x1 + · · ·
ρ
→0
ρ
0
= lim ρ
→0
ρ 1 + δn xn ρ
ln δ1 x ρ1 + · · · + δn x ρn ρ
.
Cuando δ1 + · · · + δn = 1, este limite es del tipo 00 , ya que ln δ1 x ρ1 + · · · + δn x ρn
→→
0
ρ
ln (δ1 + · · · + δn ) = ln 1 = 0.
Así, usando la regla de L’Hôpital se tiene que (δ1 x ρ1 +··· +δn x ρn ) (δ1 x ρ1 +··· +δn x ρn )
d d ρ
lim (ln w) = lim
ρ
→0
ρ
→0
= lim ρ
= =
→0
1 ρ ρ δ1 x1 ln x1 + · · · + δn xn ln xn ρ
δ1 x1 +
δ1 ln x1 + δ1 +
ln
δ1 δ2
ρ
→0
· · · + δn ln xn · · · + δn
x1 x2 ... xnδn
1
Por lo tanto, limw (x1 , . . . , xn ) = e
· · · + δn x ρn
δ
.
δ
ln x11 x22 ... xnδn
. Es decir,
lim w (x1 , . . . , xn ) = x 1δ1 x2δ2 ... xδnn
ρ
→0
y corresponde a la familia de funciones Cobb-Douglas. c) Es claro que si ρ = 1 entonces w ( x1 , . . . , xn ) = δ1 x1 +
una ecuación lineal (hiperplano en Rn+1).
· · · + δn xn, que es
29
d) Sea g ( x1 , . . . , xn ) =
n
ρ
ρ
ρ
∑ δk xk = δ1 x1 + · · · + δn xn . Entonces,
k =1
H =
δ1 ρ ( ρ
− 1) x ρ1−2 0 0
0
δ2 ρ ( ρ
− 1) x ρ2−2 0
... 0 ... 0 ... δn ρ ( ρ − 1) x ρn−2
.
Por lo tanto, si 0 < ρ < 1, entonces ρ ( ρ − 1) < 0. Lo que implica que | H 1 | < 0, | H 2 | > 0, | H 3 | < 0, . . . , (−1)k | H k | > 0, . . . , (−1)n | H n | > 0. Por lo tanto, H es negativa definida. Por lo tanto, si 0 < ρ < 1, entonces g es cóncava. 1 e) Con la definición del inciso anterior, se tiene que w = g ρ . Si ρ = 1, entonces w es lineal (inciso c ), de modo que es cuasicóncava. Si 0 < ρ < 1, 1 entonces g es cóncava (inciso d ) y, como g ρ es una función creciente, en1 tonces w = g ρ es cuasicóncava también. Como w es cuasicóncava para toda 0 < ρ 1, sólo toma valores positivos y como además es homogénea de grado 1 (inciso a ), por el teorema del problema 9.9 concluimos que w es cóncava. Por lo tanto, si 0 < ρ 1, entonces w es cóncava. a¯ b¯ 9.12 Suponemos que C I f ( 1) es convexo, se definen ˜a ≡ y ˜b = ¯ . Como f f ( a¯ ) f b ˜ es homogénea de grado 1, se obtiene que f ( a˜ ) = f b = 1. Además
CI f ( 1) = x¯
{ ∈ X | f ( x¯) 1}.
Por lo tanto, ˜a, ˜b ∈ C I f ( 1) . Luego se define µ =
(1
−
λ f b¯ , λ) f (a¯ ) + λ f b¯
con a¯ , ¯b ∈ X y 0 < λ < 1. De modo que (problema 9.9), nuevamente 0 < µ < 1. Como a˜ , ˜b ∈ CI f ( 1), 0 < µ < 1 y CI f ( 1) es convexo (ya que f es cuasiconvexa), entonces f (1 − µ) ˜a + µb˜ 1. Finalmente, sustituyendo ˜a, ˜b y µ en esta desigualdad y, viendo que f es homogénea de grado 1, se obtiene que (1 − λ) f ( a¯ ) + λ f b¯ f (1 − λ) ¯a + λb¯ .
Por lo tanto, f es convexa. Ahora, apliquemos este resultado a la función CES, ρ ρ 1 w (λx1 , . . . , λxn ) = δ1 x1 + · · · + δn xn ρ .
Es claro que w es homogénea de grado 1 (problema 9.11. a) y positiva. Falta ver que w sea cuasicóncava cuando ρ > 1, para aplicar el teorema recién
30
demostrado. De acuerdo con el problema 9.11 inciso d , cuando ρ > 1 el hessiano de g es positivo definido (| H 1 | > 0, | H 2 | > 0, . . . , | H n | > 0), de modo 1 que g es convexa y, por lo tanto, cuasiconvexa. Como w = g ρ con ρ > 0, es decir, w es una función creciente de g , con g cuasiconvexa, por lo tanto w es cuasiconvexa. Por lo tanto, por el teorema recién demostrado, w es convexa si ρ > 1. Por lo tanto, si ρ > 0, entonces una función CES es convexa. 9.13 Sea Ω = ( a, b) un conjunto convexo y abierto de R y sea y = f ( z) una función
cóncava en Ω. a) Sean a
<
z 1
<
z 2
<
z 3
<
b con z 2 = λ z1 + ( 1
es cóncava en Ω, entonces f ( z2 ) λ f ( z1 ) + ( 1
− λ) z3 , 0
<
λ
<
1. Como f
− λ) f ( z3 ) .
Por lo tanto, y2 λ y1 + ( 1
− λ) y3 ....... (1) . Como z2 = λ z1 + ( 1 − λ) z3 = λ z1 + z3 − λ z3 . Por lo tanto, λ ( z3 − z1 ) = z3 − z2 . Lo que implica que z3 − z2 z2 − z1 ....... (2) . λ = y, 1 − λ = z3 − z1 z3 − z1 Por último, se reescribe y2 como y2 = 1 y2
∗
= =
− − − − −
z3 z1 = y2 z3 z1 z2 + z2 z1 y2 z3 z1 z2 z2 z1 y2 + y2 ....... (3) . z1 z3 z1
z3
−
z3 z3
− −
−
Por lo tanto, sustituyendo (2) , ( 3) en ( 1) se obtiene
z3 z3
− z2 − z1
z2 y2 + z3
− z1 − z1
z3 y2 z3
− z2 − z1
z2 y1 + z3
− z1 − z1
Multiplicando por z3 − z1 > 0 se tiene ( z3
− z2 ) y2 + ( z2 − z1 ) y2 ( z3 − z2 ) y1 + ( z2 − z1 ) y3.
Por lo tanto, ( z3
− z2 ) ( y2 − y1 ) ( z2 − z1 ) ( y3 − y2 ) .
y3 .
31
Como z 3 − z2 tanto
>
0 y z 2 − z1
>
0, entonces
( y2 ( z2
− y1 ) ( y3 − y2 ) . Por lo − z1 ) ( z3 − z2 )
f ( z2 ) f ( z1 ) f ( z3 ) f ( z2 ) ....... (4) . z2 z1 z3 z2
− −
− −
b) Como Ω es convexo y por la densidad de los reales, siempre se pueden
escoger números r , s, t, u tales que a < r < s < x < y < t < u < b, para cada x ∈ ( a, b) . c) Sean a < r < s < x < t < u < b. Podemos aplicar la ecuación ( 4) en cada trío de puntos en r < s < x < y < t < u, obteniendo f ( s) s f ( y) y
− f ( r) f ( x) − f (s) −r x−s − f ( x) f ( t) − f ( y) f ( u) − f ( t) ....... (5) , −x t − y u−t
con s, r, u y t fijos. Así, se definen las constantes c1 y c2 como: c1 =
f ( s) s
De ( 5) y ( 6) se obtiene
− f ( r) , c2 = −r
c2 ( y
− x
− f ( t) ....... (6) . −t
f ( y) y
c1 d) Por último, como y
f (u) u
>
− f ( x) c2....... (7) . −x 0 entonces lim c1 ( y − x) y→ x +
f ( y)
− f ( x)
− x) . Por lo tanto, lim [c1 ( y − x)] lim [ f ( y) − f ( x)] lim [c2 ( y − x)] . y→ x y→ x y→ x +
+
+
Como lim+ [c1 ( y − x)] = lim+ [c2 ( y − x)] = 0,
y
entonces
→x
y
→x
lim+ [ f ( y) − f ( x)] = 0.
y
Por lo tanto,
→x
lim+ f ( y) = f ( x) .
y
→x
Procediendo de modo similar, pero ahora con y < x se tiene que lim− f ( y) = f ( x) .
y
→x
Por lo tanto, lim f ( y) = f ( x) .
y
→x
Es decir, f es continua en x . Por lo tanto, f es continua en Ω = (a, b) .
32
9.14 Sea x
∈ X y sea y ∈ X un punto en la vecindad de x. Por lo tanto, 1 T T f (y) ∼ = f ( x) + ( y − x ) ∇ f + ( y − x) [ H f ( x)] ( y − x) , 2
donde H f (x) es el hessiano de f evaluado en x. a) Sabemos que f es cóncava si y sólo si f ( y) f ( x) + (y
tanto, f ( x) + ( y
− x)T ∇ f . Por lo
− x)T ∇ f + 12 ( y − x)T [ H f (x)] (y − x) f (x) + ( y − x)T ∇ f .
Entonces (y
− x)T [ H f ( x)] ( y − x) 0.
Por lo tanto, H f ( x) es negativo semidefinido. b) Sabemos que f es convexa si y sólo si f ( y) f ( x) + (y
procediendo análogamente al inciso anterior, se tiene: (y
− x)T ∇ f . Así,
− x)T [ H f ( x)] ( y − x) 0.
Por lo tanto, H f ( x) es positivo semidefinido. c) Suponemos que H f ( x) es negativa definida, es decir,
− x)T [ H f ( x)] (y − x) 0. f ( x) + ( y − x ) T ∇ f . Por lo tanto, f es estrictamente (y
Por lo tanto, f ( y) < cóncava.
<
d) Suponemos que la matriz H f ( x) es positiva definida, es decir,
− x)T [ H f ( x)] (y − x) 0. f ( x) + ( y − x ) T ∇ f . Por lo tanto, f es estrictamente (y
Por lo tanto, f ( y) > convexa.
>
⊂ R y sean f , g : X → R de clase C1 . Supongamos que x ∗ = (x∗ , y∗ ) es una solución del problema. Se quiere mostrar que existe λ ∈ R tal que ∇ f ( x∗ ) = λ∇ g (x∗ ) , con g (x∗ ) = 0. Los puntos que satisfacen la restricción están dados por g (x, y) = 0. Supongamos que ∇ g = 0, de modo que = 0 o g y ( x, y) = 0. Sin pérdida de generalidad supongamos que gx ( x, y) = 0. Por el teorema de la función implícita, la ecuación g ( x, y) = 0 g y ( x, y)
9.15 Sea X
33
define a y como función implícita diferenciable de x, es decir, y = y ( x) si = 0. En ese caso, g y ( x, y) dy = dx
− g g yx , g y = 0.
Por lo tanto, y = y ( x) en f ( x, y) , el problema de optimización se reduce al siguiente problema de optimización en 1 variable: max F ( x) ≡ f ( x, y ( x)) . Entonces,
∗ ∗ ∗ −
dF ( x) = f x∗ + f y∗ dx
Lo que implica
f x∗ + f y
gx g y
dy dx
= 0.
= 0.
De donde f x∗ g y∗ − f y∗ g∗x = 0. Por lo tanto,
f x∗ f y∗ g∗x g y∗
= 0,
donde los renglones de este determinante son linealmente dependientes. Por lo tanto, existe λ ∈ R − {0} tal que f x∗ , f y∗ = λ g∗x , g y∗ , o sea, ∇ f ∗ = λ ∇ g∗ , con g ( x∗ , y∗ ) = 0. 9.16 Como f :
n
R ++
→ R es una función de producción homogénea, continua y
cuasicóncava, entonces CS f ( q) es convexo. Además, sea x ∗ ( w, q) una solución al problema, por lo tanto, el costo mínimo C (w, q) está dado por C (w, q) = w x∗ ( w, q) .
·
Por lo tanto, por el teorema de la envolvente, se obtiene el lema de Shepard: ∂C = x j∗ (w, q) , ∂w j
para j = 1, . . . , n. a) Se quiere demostrar que C es una función creciente de w j , j = 1, . . . , n. ∂C Como x R2++ , entonces x j > 0 y como = x j∗ ( w, q) , entonces ∂w j ∂C > 0. Por lo tanto, C es creciente con respecto a w j , para j = 1, . . . , n. ∂w j
∈
34
b) Se quiere demostrar que C es homogénea de grado 1 en w. Para ello, utilizamos el teorema de Euler. Sea C = C (w, q) , entonces
∂C ∂C + w2 + w1 ∂w1 ∂w2
···
n ∂C ∂C + wn = ∑ w j ∂wn j=1 ∂w j n
=
∑ w j x j∗ (w, q)
j=1
= C (w, q) .
Por lo tanto, w · ∇w C (w, q) = (1) C (w, q) .Porlotanto, C es homogénea de grado 1. c) Se quiere demostrar que C es cóncava en w , es decir, que λ
∀ ∈ (0, 1) se
cumple C ( λw1 + ( 1
− λ) w2, q) λC (w1, q) + (1 − λ) C (w2 , q) .
Se tiene que C (λw1 + ( 1
− λ) w2, q) = (λw1 + (1 − λ) w2, q) · X∗ (λw1 + ( 1 − λ) w2, q) = λ [ w1 · X∗ ( λw1 + ( 1 − λ) w2 , q)] + (1 − λ) [w2 · X∗ ( λw1 + ( 1 − λ) w2 , q)] ∗ ∗ λ [ w1 · X ( w1 , q)] + (1 − λ) [w2 · X ( w2 , q)] = λC (w1 , q) + ( 1 − λ) C (w2 , q) .
Por lo tanto, C es cóncava en w . 9.17
a) f se optimiza en x = 16000 y y = 64000. Por lo tanto, se tiene que f max = 1 50 (16000) 2 (64000)2 . b) Sea
d2 ( x, y) =
√
x2 + y2 , entonces d2 ( x, y) se minimiza en los puntos
√
− √ 1.1 . Además dmin = √ 2.2. √ 1.1 y P1 = P1 = 1.1 − 1.1 c) Sea f ( x, y) = ln x + ln ( y + 5) = ln [ x ( y + 5)] . Entonces f max ocurre en ( x, y) = (0, 4) con f max = f ( 4, 0) = ln20. d) Sea f ( x, y) = x2 + y2 . Entonces f min ocurre en ( x, y) = (5, 5) con f min = f ( 5, 5) = 50. e) Sea f ( x, y, z) = xyz . Entonces f max ocurre en x = 43 , y = 43 y z = 43 , con 64 f max = .
27
35
9.18
a) Las condiciones de Kuhn-Tucker están dadas por:
Lx = 31x − 3λ1 − λ2 = 0, L y = 31 y − λ1 − λ2 = 0, Lλ = A − (3x + y) 0, λ1 0, λ1 (3x + y − A ) = 0, Lλ = 40 − (x + y) 0, λ2 0, λ2 ( x + y − 40) = 0. 1 2
El ingreso se tiene que restringir al intervalo ( 40,120) porque si A 40 entonces la primera restricción del problema será inútil. De la misma manera si A 120, entonces la segunda restricción del problema será inútil. i) Si A
∈ ( 40,60) , entonces sólo la primera restricción está activa (λ1 A
A
0, λ2 = 0) y la solución del problema es x ∗ = , y ∗ = . 6 2 ii) Si A ∈ [60,80] , entonces ambas restricciones están activas ( λ1 0, A − 40 ∗ 120 − A , y = . λ2 0) y la solución del problema es x ∗ = 2 2 iii) Si A ∈ (80,120) , entonces sólo la segunda restricción está activa (λ1 = 0, λ2 0) y la solución del problema es x ∗ = 20, y ∗ = 20. 9.19 Sea
L (x, q, λ; w, p) =
pq
− wT x − λ [ f ( x) − q] .
Entonces por las condiciones de primer orden, se tiene que la solución es del tipo x∗ = x ∗ ( w, p) ,
q∗ = q ∗ ( w, p) = f ( x∗ ( w, p)) , λ∗ = λ ∗ ( w, p) .
La función de máxima ganancia es
L (x∗ , q∗ , λ∗; w, p) = pq∗ (w, p) − wT x∗ (w, p) − λ∗0.
Π (w, p) =
Entonces por el teorema de la envolvente: ∂Π ∂ = = x j∗ (w, p) , j = 1, ...n. ∂w j ∂w j ∂Π ∂ = = q ∗ ( w, p) . ∂ p ∂ p
L − L
36
9.20 Se tiene que
L
¯ = px x, λ; p, U
¯ . U
− − −λ
U ( x)
Por las condiciones de primer orden se tiene que ¯ , xh = x h p, U
¯ . λh = λ h p, U La función de gasto es
L
¯ = E p, U
¯ = pxh p, U ¯ xh , λh ; p, U
λ 0.
∗
Por lo tanto, por el teorema de la envolvente
L
∂E ∂ ¯ , = = x jh p, U ∂ p j ∂ p j
para j = 1, . . . , n. 9.21
a) El problema
min p T x , s.a U ( x) = V ( p, m) implica que
L (x; p, V (p, m)) = p T x − λ [U (x) − V (p, m)] . Por lo tanto, xh = x h ( p, V ( p, m)) .
En el óptimo se cumple la restricción, es decir:
U x ( p, V ( p, m)) = V ( p, m) = U ( x∗ ( p, m)) . h
Supongamos que U es monótona creciente, además de cóncava, entonces existe U −1 y es posible cancelar U de ambas expresiones. Por lo tanto, xh (p, V ( p, m)) = x ∗ ( p, m) . b) El problema
max U (x) ¯ , s.a p T x = E p, U implica que
L
¯ = U (x) x; p, E p, U
− − λ p T x
¯ . E p, U
37
Por lo tanto, ¯ . x∗ = x ∗ p, E p, U
En el óptimo se cumple la restricción, es decir: ¯ = E p, U ¯ = p T xh p, U ¯ . p T x∗ p, E p, U
Como esto vale para p arbitraria, entonces
¯ = x h p, U ¯ . x∗ p, E p, U
c) Por el inciso anterior y porque se cumple la restricción de Hicks se tiene
que
∗
¯ = U x V p, E p, U
¯ p, E p, U
¯ = U ¯. = U xh p, U
d) Por el inciso a) y porque se cumple la restricción de Marshall se tiene
que E ( p, V ( p, m)) = p T xh (p, V ( p, m)) = p T x∗ ( p, m) = m . 9.22
a) x∗ ( p, m) =
αm ∗ βm , y ( p, m) = . p1 p2
α
α p1
b) V ( p, m) = ln
α
¯ = p1 c) E p, U ¯ = d) x p, U h
β
p2 β
α
β
α p2 β p1
β
β p2
m .
¯
eU .
¯ = β p1 e , y p, U ¯ U
h
α p2
1
9.23
a) x∗ ( p, m) = m
r
p1r−1
, y y ∗ (p, m) = m
r
p1r−1 + p 2r−1 r r 1
r
1− r
r
r
r 1 r
−
b) V ( p, m) = m p1− + p 2r−1
¯ = U ¯ p1r−1 + p2r−1 c) E p, U 1
r
r
−
r
¯
eU . 1
p2r−1
.
.
1 r
,y 1
r
r
¯ = U¯ p2r−1 p1r−1 + p 2r−1 y p, U h
r
p1r−1 + p2r−1
.
¯ = Up ¯ 1r−1 p1r−1 + p 2r−1 d) x p, U h
r
α
−
1 r
.
38
¯ = x h p, U ¯ . Entonces 9.24 Se tiene x ∗ p, E p, U
∗ ∗
h ¯ ¯ ∂xi ¯ + ∂xi p, E p, U ¯ ∂E p, U = ∂xi p, U . p, E p, U ∂ p j ∂m ∂ p j ∂ p j
∂E ¯ = V ( p, m) , m = E p, U ¯ y = x jh , y como U ∂ p j x jh (p, V ( p, m)) = x j∗ (p, m) . Por lo tanto
Por el Lema de Shepard
∂xi∗ (p, m) ∂xi∗ (p, m) ∂xih (p, V ( p, m)) ∗ + x j ( p, m) = . ∂ p j ∂m ∂ p j
Cap´ıtulo
11
Introducción al cálculo en variaciones 11.1
a) Por demostrar que x =
n
∑ | xi | es una norma.
i=1
n
∀i = 1,..n se tiene que |xi | 0. Por lo tanto, ∑ |xi | 0. Entonces i =1 x1 0. n ii) | xi | = 0 si y sólo si x i = 0. Entonces ∑ | xi | = 0 si y sólo si x = 0 . Por i=1 lo tanto, x1 = 0 si y sólo si x = 0 . n n n iii) cx1 = (cx 1 , . . . , cx n )1 = ∑ |cx i | = ∑ |c| |xi | = |c| ∑ | xi | = i =1 i=1 i=1 |c| x1 . i)
iv)
x + y1 = (x1 + y1, . . . , xn + yn )1 n n = ∑ | xi + yi | ∑ (| xi | + | yi | ) = b) Por demostrar que x
∞
i=1 n
n
i=1
i=1
i =1
∑ | xi | + ∑ | yi | = x1 + y1 .
= sup xi , i = 1, . . . , n es una norma.
{| |
}
∀i = 1,..n se tiene que |xi | 0. Por lo tanto, sup{| xi |} 0. Entonces x 0. ii) x = 0 si y sólo si sup{| xi |} = 0. Esto sólo se cumple si y sólo si |xi | = 0, que a su vez se cumple si y sólo si x i = 0. Es decir, si y sólo i)
∞ ∞
si x = 0 .
39
40
iii) iv)
cx
∞
= sup cx i = sup c xi = c sup xi = c
{| |}
x + y
{| | | |} | |
.
{| |} sup {| xi | + | yi |} sup {| xi |} + sup {| yi |} = x + y .
b
∞
= sup xi + yi
∞
∞
11.2 Por demostrar que f p =
{| |} | | x
a
| f | p dt
∞
1
p
es una norma.
a) Es claro que f p es no negativa.
b) Además f p sólo vale cero cuando f = 0.
b
c)
c f p =
a
1
|| | | b
p
|c f | p dt
d) Si p = 1, entonces
=
c p
1
p
f p dt
a
b
f + g1 =
| |
b
| | | | | | | | | | f + g dt
( f + g ) dt
a
a
b
=
= c f p .
b
f dt +
a
a
g dt = f 1 + g 1 .
Si p = 2, como | f + g| | f | + | g| , entonces ( f + g )2 ( f + g )2 = f 2 + g 2 + 2 f g .
|
|
|| ||
| | | |
| || |
Además, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz, se tiene que b
|
b
f + g dt
a
|
b
f 2 dt +
a
b
f 2 dt +
a
f + g 2 dt
|
a
2
g 2 dt
.
a
|| ||
Es decir, f + g 2 = f 2 + g2 .
b
a
b
f 2 dt
a
a
|
b
g 2 dt + 2
a
b
Por lo tanto,
f g dt
a
b
f 2 dt +
a
=
g 2 dt + 2
a
b
b
b
| | | | | | | | | | | | | | | | || ||
2
b
f 2 dt +
a
g 2 dt.
g 2 dt
41
11.3 Sea V = f : [ 0, 1]
{
→ R| f es continua}.
a) Por demostrar que V es un espacio vectorial sobre R. i) Sean f , g
∈ V . Como f , g son continuas en [ 0, 1] . Entonces, f + g es continua en [ 0, 1] . Por lo tanto, f + g ∈ V . ii) Sean f , g, h ∈ V . Como la suma de funciones es asociativa, entonces ( f + g) + h = f + ( g + h) . iii) Sea f : [ 0, 1] R, f ( x) = 0. Claramente f es continua en [ 0, 1] , por lo tanto, f (x) = 0 V .
→
∈
iv) Sea f V . Como f es continua en [ 0, 1] entonces f es continua en [0, 1] . Por lo tanto, f V . Además, f + ( f ) = 0.
∈
− ∈
−
−
v) Sean f , g V . Como la suma de funciones es conmutativa, entonces f + g = g + f .
∈
vi) Sea f V y sea α R. Como f es continua en [ 0, 1] , entonces α f es continua en [ 0, 1] . Por lo tanto, α f V .
∈
∈
∈
vii) Sean f , g
∈ V y sea α ∈ R. Claramente α ( f + g) = α f + α g. viii) Sea f ∈ V y sean α , β ∈ R . Claramente ( α + β ) f = α f + β f . ix) Sea f ∈ V y sean α , β ∈ R . Claramente α ( β f ) = (αβ ) f .
b) Dos posibles ejemplos de funcionales lineales sobre V son: 1
J 1 [ f ] =
f ( t) dt
0
y J 2 [ f ] = f (0) . c) Dos posibles ejemplos de funcionales no lineales sobre V son: 1
J 1 [ f ] =
y J 2 [ f ] = 11.4
1
0
f ( t) dt
0
f 2 (t) dt
2
.
− 12 t + 20. Por lo tanto, J [ x] = −5. x (t) = 9 t + 10. Por lo tanto, J [ x] = −10710.
a) x (t) = b)
1912 . 5 154 t2 . d) x (t) = + 4t + 1. Por lo tanto, J [ x] = 4 3 c) x (t) = t 3 + 4t + 1. Por lo tanto, J [ x ] =
42
e) x (t) = t . Por lo tanto, J [ x] = f) Se tiene que
16 . 3 x¨ = 2 x y . y¨ = x
−
Por lo tanto, x (t) = [(c1 + 2c2 ) + c2 t] et + [( c3
− 2c4 ) + c4 t] e−t ,
y ( t) = (c1 + c2 t) et + ( c3 + c4 t) e−t .
11 2 t y y ( t) = t + 2. 10 5 h) Se tiene que g) x (t) =
x¨ = y . y¨ = x
Por lo tanto, x (t) = y (t) =
1 π
π
e 2 e− 2 i) x (t) = t . Por lo tanto, J [ x] = 1. 11.5 x ( t) = 11.6
t2
2
+
et
− e− t
.
1 t. 2
− N
a) x (t) = 4. Como f es convexa en ( x, x˙ ) , entonces se trata de un mínimo. b) x (t) =
11.7
−
−t + 4, o x (t) = t + 4 y T = 1.Como f es convexa en (x, x˙ ) ,
entonces se trata de un mínimo. 1 a) x (t) = t2 − t + 1. Como f es convexa en ( x, x˙ ) , entonces se trata de un 4 mínimo. 1 b) x (t) = t2 − 4t y T = 16. Como f es convexa en ( x, x˙ ) , entonces se trata 4 de un mínimo.
11.8 Teniendo el modelo de inversión de la sección 11.7.1 como base, entonces sustituyendo k (t) y su demanda ˙k (t) en la condición de transversalidad se tiene 2 0 = lim e− ρT α k 1 r1 er1 T + k 2 r2 er2 T + A k 1 er1 T + k 2 er2 T + k ρ t→ ∞ 2 − lim e− ρT B k 1 er1 T + k 2 er2 T + k ρ t →∞ = lim e(2r1 − ρ)T k 21 αr12 − B + e(2r2 − ρ)T k 22 αr22 − B t→ ∞ + lim e(r1 +r2 − ρ)T 2k 1 k 2 [ αr1 r2 − B ] + e(r1 − ρ)T k 1 [ A − 2Bk ρ] t →∞ + lim e(r2 − ρ)T k 2 [ A − 2 Bk ρ] + e− ρT Ak ρ − Bk ρ2 . t →∞
43
Para que este límite converja es necesario que no aparezcan aquí los términos e(2r1 − ρ)T y e (r1 − ρ)T que son divergentes, y esto se logra pidiendo que k 1 = 0. En este caso,
lim e
t
→∞
(2r2 ρ)T 2
− k αr2 − B 2 2
+ e − k 2 [ A − 2Bk ρ] + e− ρT Ak ρ − Bk ρ2 (r2 ρ)T
se verifica automáticamente. 11.9 x ( t) = 11.10
a)
t2
2
= 0,
√
y T = 2 N . 1
− − − − −
x (t) = c 2 e−t + x ( t ) = x0
1 ρ2 1
1−
ρ2
e
e
ρt
t
. Pero como c2 = x 0
+
1
1−
b) Se tiene que f x = e− ρt x y f x˙ = f x ˙x = 0 y f x˙ = 1. Por lo tanto,
−
−
H =
e
ρ2
ρt
1
− 1 − ρ2
.
, entonces
− x˙ , lo que implica que f xx = −1
−
1 0
0 −1
<
0,
.
De donde | H | = 1 > 1. Por lo tanto, f es cóncava en ( x, x˙ ) , es decir que se trata de un máximo. c) Al imponer la condición c 1 = 0, y dado que ρ > 0, entonces 1 1 −t + lim x (t) = lim x0 − e e− ρt = 0. 2 2 t →∞ t →∞ 1 − ρ 1 − ρ Por lo tanto, sí es cierto que
lim x (t) = 0.
t
→∞
11.11 La trayectoria óptima de consumo es:
− − − − − − − −
( ρ r) c(t) = rc1 + w + βr
ρ
−
r
β
t.
Es decir que el consumo decrece linealmente con t. Según las condiciones de ρ
r
transversalidad tenemos que a (t) = a0 t. Es decir que el nivel de βr activos decrece linealmente con t. Para verificar la concavidad de f se tiene H =
−
β2 r2 e− ρt e βc β2 re− ρt e− βc
−
β2 re ρt e βc β2 e− ρt e− βc
−
.
Como f aa = − β2 r2 e− ρt e− βc < 0, f a˙ a˙ = − β2 e− ρt e− βc < 0 y
| H | = e −2 ρt e−2 βc β4 r2 − β4r2
= 0,
entonces, H es negativa semidefinida. Por lo tanto, f es cóncava.
