MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS CAPÍTULO 13
La tienda de descuentos departamental Smile recibe aproximadamente 300 clientes los sábados en el lapso de 9 A.M. a 5 P.M. P.M. Para decidir cuántas cajas registradoras deberán estar abiertas cada sábado, el gerente de Smile considera dos actores! el tiempo de espera del cliente "# el costo de espera asociado$ # los costos de ser%icio &ue surgen de la contrataci'n de personal de cajas adicional. Los empleados de las cajas reciben un salario promedio de () la *ora. +uando tan solo uno está en ser%icio, el tiempo t iempo de espera por cliente client e es aproximadamente de 0 minutos "o - de *ora$/ cuando son dos, el tiempo promedio de salida es de minutos por persona/ minutos cuando tres empleados están en ser%icio/ # 3 minutos cuando *a# cuatro empleados en turno. La gerencia de Smile *a lle%ado a cabo %arias encuestas sobre la satisacci'n del cliente # *a tenido la posibilidad de estimar &ue la tienda sure de aproximadamente (0 de perdidas en %entas # de buena %oluntad, por cada *ora &ue los clientes pasan en las ilas de las cajas. 1sando la inormaci'n proporcionada, determine el n2mero 'ptimo de empleados contratados cada sábado para minimiar el costo total esperado de la tienda. 13-10
42mero de clientes 6iempo promedio de espera por cliente 6iempo de espera total +osto de espera por *ora +osto total de espera Pago por *ora salario por *ora Pago total de empleados de turno de ) *rs +osto total esperado
42mero de clientes de pago 3 300 300 300 300 - *ora -0 *ora -5 *ora -0 *ora "0 min$ " min$ " min$ "3 min$ 50 *oras 30 *oras 0 *oras 5 *oras ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( 500 ( 300 ( 00 ( 50 () () () () ( ( ) ( 9 ( 5 ( 5 ( ) ( 39 ( 0
42mero 'ptimo de empleados empleados de pago de guardia 7 3 La compa8a :oc; 7 3 al da "aproximadamente de naturalea de Poisson$. La cuadrilla puede dar ser%icio a un promedio de ? 7 ) má&uinas al da con una distribuci'n de tiempo de reparaci'n &ue se asemeja a la distribuci'n exponencial. 13-11 13-1 1
@atos! >73 ?7) a$ +uál es la tasa de utiliaci'n de este sistema de ser%icioB 1tiliando la ratio C ρ =
λ µ 3
ρ = = 0.375 8
b$ +uál es el tiempo de reparaci'n reparaci'n promedio de una má&uina &ue está descompuestaB =l tiempo de reparaci'n promedio es, D, es el tiempo &ue la má&uina espera a ser atendido más el tiempo necesario para realiar el Ser%icio.
W =
1
µ− λ W =
1 8 −3
=0.2 das o . *oras
c$ +uántas má&uinas están en espera de recibir ser%icio en alg2n momento dadoB La cantidad de má&uinas &ue esperan ser atendidas, L&, es de media 2
λ Lq= µ ( µ − λ ) Lq=
3
2
8 ( 8− 3 )
=0.225 máquinaesperando
d$ +uál es la probabilidad de &ue más &ue una má&uina se encuentre en el sistemaB +uál la probabilidad de &ue más de dos estEn descompuestas # en espera de ser reparadas o recibiendo el ser%icioB Más de tresB F más de cuatroB Probabilidad de &ue *a#a más de una má&uina en el sistema k + 1
() =( ) =
λ Ln>k = µ Ln>1
3
2
8
9 64
=0.141
Probabilidad de &ue *a#a más de dos má&uinas en el sistema!
() =( ) = =( ) =
Ln>2=
Ln>3 Ln> 4
3
3
=
8 3
512
4
8
3
27
81 4,096
5
8
=0.053 = 0.020
243 32,768
=0.007
+on base en datos *ist'ricos, el autola%ado de Garr# estima &ue los autom'%iles sucios llegan a sus instalaciones a una tasa de 0 por *ora durante todo el sábado. +on una cuadrilla &ue trabaja en la lnea de la%ado, Garr# calcula &ue los %e*culos se pueden la%ar a un ritmo de uno cada 5 minutos. Se la%a un solo auto a la %e en este ejemplo de una lnea de espera de un solo canal. Suponiendo llegadas de Poisson # tiempos de ser%icio exponenciales, encuentre! 13-12
> 7 0 carros-*ora ? 7 carros-*ora a$ el n2mero promedio de autos en lnea. 2
λ Lq= µ ( µ − λ ) Lq=
10
2
12 ( 12−10 )
= 4.167 carros
b$ el tiempo promedio &ue un auto espera antes de ser la%ado.
2
W q = W q =
λ µ ( µ− λ ) 10 12 ( 12 −10 )
= 0.4167 horas
c$ el tiempo promedio &ue un auto pasa en el sistema de ser%icio. W =
1
µ− λ W =
1 12−10
1
= =0.5 horas 2
d$ la tasa de utiliaci'n del autola%ado. ρ=
λ µ 10
ρ =
12
=0.8333
e$ la probabilidad de &ue ning2n auto estE en el sistema. ρ0=1 −
λ µ
ρ0=1 −
10 12
= 0.1667
Mi;e @res;in administra un gran complejo de cines en Los Hngeles llamado +inemas I, II, III # IJ. +ada uno de los cuatro auditorios pro#ecta una pelcula distinta. Además, el programa está planeado de manera &ue los tiempos de inicio están escalonados para e%itar las posibles aglomeraciones de personas de &ue se presentaran si las cuatro pelculas se iniciaran al mismo tiempo. =l cine tiene una sola ta&uilla # un cajero &ue puede mantener una tasa promedio de ser%icio de )0 espectadores por *ora. Se supone &ue los tiempos de ser%icio siguen una distribuci'n exponencial. Las llegadas en un da acti%o tpico tienen distribuci'n de Poisson # un promedio de 0 por *ora. Para determinar la eiciencia de la operaci'n actual del sistema de boletaje, Mi;e desea examinar distintas caractersticas de operaci'n de la cola. 13-13
a$ @etermine el n2mero promedio de asistentes al cine &ue esperan en la ila para comprar un boleto. > 7 0 clientes-*ora ? 7 )0 clientes-*ora =l n2mero promedio de usuarios esperando en lnea, L&, es dada por 2
λ Lq= µ ( µ − λ ) 2
Lq=
210
280 ( 280 −210 )
=2.25 clientes enla fila
b$ KuE porcentaje de tiempo está ocupado el cajeroB ρ=
λ µ
3
ρ=
210 280
=0.75
c$ +uál es el tiempo promedio &ue el cliente pasa en el sistemaB W =
1
µ− λ
W =
1 280 −210
=
1 70
=0.0143 horas =0.857 minutos =51.4 segundos
d$ +uál es el tiempo promedio &ue está en lnea de espera para llegar a la ta&uillaB W q = W q =
λ µ ( µ− λ ) 210 280 ( 280−210 )
=0.011 horas = 0.64 ,minutos =38.6 segundos
e$ +uál es la probabilidad de &ue *a#a más de dos personas en el sistemaB Más de tres personasB F más de cuatroB k + 1
()
λ Ln>k = µ
Probabilidad de &ue *a#a más de dos personas en el sistema! Ln>2=
( )= 210
3
280
0.422
Probabilidad de &ue *a#a más de tres personas en el sistema!
( )=
Ln>3 =
210
4
280
0.316
Probabilidad de &ue *a#a más de cuatro personas en el sistema!
( )=
Ln> 4=
210
5
280
0.237
La lnea de la caetera uni%ersitaria ubicada en el centro de recreaci'n de estudiantes es una instalaci'n de autoser%icio donde los usuarios seleccionan la comida &ue desean consumir # *acen una sola ila para pagar en la caja. Los alumnos llegan a una tasa aproximada de cuatro por minuto, de acuerdo con la distribuci'n de Poisson. =l tiempo &ue toma la 2nica cajera en registrar la %enta es de segundos por cliente, siguiendo una distribuci'n exponencial. 13-14
> 7 estudiantes-minuto ? 7 0-75 estudiantes-minuto a$ +uál es la probabilidad de &ue *a#a más de dos estudiantes en el sistemaB Más de tres estudiantesB F más de cuatroB Probabilidad de &ue *a#a más de dos estudiantes en el sistema! Ln>2=
( )= 4 5
3
0.512
Probabilidad de &ue *a#a más de tres estudiantes en el sistema!
4
( )= 4
4
Ln>3 =
5
0.410
Probabilidad de &ue *a#a más de cuatro estudiantes en el sistema!
( )= 5
4
Ln> 4=
5
0.328
b$ +uál es la probabilidad de &ue el sistema estE %acoB ρ0=1 −
λ µ 4
ρ0=1 − = 0.2 5
c$ +uánto tiempo esperará el alumno promedio antes de llegar a la cajaB W q = W q =
λ µ ( µ− λ ) 4
( −4)
5 5
=0.8 minutos
d$ +uál es el n2mero esperado de alumnos en la colaB 2
λ Lq= µ ( µ − λ ) Lq=
4
2
5 (5 −4 )
=3.2 estudiantes
e$ +uál es el n2mero promedio en el sistemaB L= L=
λ µ − λ 4
−4
5
= 4 estudiantes
$ Si se agrega un segundo cajero "&ue trabaje al mismo ritmo$, c'mo cambiaran las caractersticas operati%as &ue se calcularon en los incisos b$, c$, d$ # e$B Suponga &ue los clientes esperarán en una sola lnea e irán con el primer cajero disponible. > 7 estudiantes-minuto ? 7 0- 75 estudiantes- minuto m7 b. La probabilidad de &ue el sistema de dos canales estE %aco, P0, es! P0=
1
[
n= m− 1
∑=
n 0
( )] ( )
1 λ
n
λ + m! µ 1
n! µ
m
mµ mµ− λ
1 1
( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ( )− ) 4
0! 5
0
1 4 1 5
1
1
4
1 2
5
2
2 (5 )
2 5
()
4
1 4
5
2 5
=1 + +
2
2 ( 5) 2 (5 )−4
=
1 2.33
=0.429
4
5
Por lo tanto, la probabilidad de un sistema %aco cuando se usa el segundo el canal es 0.9. c. =l tiempo promedio de espera, D&, para el sistema de dos canales %iene dado por 1 Lq W q = W − = µ λ
@onde! W =
µ ( λ / µ )
m
1 L P 0 + = µ λ ( m−1 ) ! ( mµ− λ ) 2
=ntonces! 2
( / ) W q = ( 0.429 ) =0.038 minutos=2.3 segundos ( 2 −1 ) ( 2 ( 5 ) −4 ) 5 4 5
2
d. =l promedio de estudiantes en cola para el sistema de dos canales, L&, %iene dado por! Lq= L −
λ µ
@onde! L=
λµ ( λ / µ )
m
P 0+ 2
( m −1 ) ! ( mµ− λ )
λ µ
=ntonces! 4 ( 5)
Lq=
() 4
2
5
( 2−1 ) ! [ 2 ( 5 )− 4 ]
( 0.429 )= 5.492 = 0.15 estudiantes
2
36
e. =l n2mero promedio de estudiantes en los dos canales sistema, L, está dado por L=
λµ ( λ / µ )
m
P 0+ 2
( m−1 ) ! ( mµ− λ )
λ µ
λ 4 L= Lq + =0.153 + = 0.95 estudiantes µ 5
La temporada de cosec*a de trigo en el medio oeste estadounidense es corta, # la ma#ora de los granjeros entregan sus camiones con cargas del cereal a un silo "granero$ central gigantesco en un lapso de dos semanas. @ebido a esto, se sabe &ue los camiones llenos de trigo esperan para descargar # regresar a los campos a una cuadra de distancia del dep'sito. =l silo central es de propiedad cooperati%a, por lo cual beneiciara a cada uno de los granjeros incrementar tanto como sea posible el ni%el de eicacia del proceso de descarga # almacenaje. =l costo del deterioro del grano causado por los retrasos en la descarga, el costo de la renta de los camiones # el tiempo ocioso del conductor mientras llega su turno son preocupaciones importantes para los miembros de la cooperati%a. A pesar de &ue los granjeros tienen problemas para cuantiicar el da8o a la cosec*a, es ácil asignar un costo de () por *ora por concepto de espera # descarga por cada cami'n # conductor. =l silo permanece abierto # unciona *oras al da, los siete das a la semana, durante la temporada de cosec*a, # tiene una capacidad de descarga de 35 camiones por *ora de acuerdo con una distribuci'n exponencial. Los camiones llenos llegan a lo largo del da "durante el *orario en &ue el silo está abierto$ a una tasa aproximada de 30 camiones por *ora, con un patr'n de Poisson. Para a#udar a la cooperati%a a atender el problema de la pErdida de tiempo mientras los camiones están en espera en la lnea o mientras descargan en el silo, encuentre! 13-15
> 7 30 camiones-*ora ? 7 35 camiones-*ora a$ el n2mero promedio de camiones en el sistema de descarga. L= L=
λ µ − λ 30 35−30
= 6 camioenes 6
b$ el tiempo promedio por cami'n en el sistema. W =
1
µ− λ W =
1 35 −30
1
= =0.2 horas =12 minutos 5
c$ la tasa de utiliaci'n del área del silo. ρ=
λ µ
ρ =
30 35
=0.857
d$ la probabilidad de &ue *a#a más de tres camiones en el sistema en un momento dado. k + 1
() =( ) =
λ ρn> k = µ
ρn> 3
30 35
4
0.54
Por lo tanto, la probabilidad de &ue *a#a más de tres camiones en el sistema es 0.50. e$ el costo diario total para los granjeros por tener los camiones detenidos en el proceso de descarga. +omo se mencion', la cooperati%a utilia el silo 2nicamente dos semanas al a8o. Los granjeros estiman &ue ampliar el silo reducira en 50 los costos de descarga durante el pr'ximo a8o. +ostara (9,000 *acerlo durante la temporada en &ue no *a# labores. Jaldra la pena para la cooperati%a ampliar el área de almacenamientoB +osto de descarga C M =16
(
) (
) (
) (
horas + 30 camiones + 0.2 horas +18 dlares día hora camin hora
C M =16 ( 30 ) ( 0.2 ) ( 18 )=1,728
)
dlares dlares =12,096 día semana
La ampliaci'n del contenedor reducirá los costos de espera en un 50 el pr'ximo a8o, lo &ue resultará en un a*orro de ( ,09. @ado &ue el costo de agrandar el contenedor es solo ( 9,000, la cooperati%a debe proceder a agrandar el contenedor. =l a*orro neto es de ( 3,09 "( ,09( 9,000$. La tienda departamental As*le#, ubicada en la cuidad de Nansas, mantiene una exitosa di%isi'n de %entas por cátalos, donde un empleado toma los pedidos por telEono. Si El está ocupado en la lnea, las llamadas entrantes para esa di%isi'n se responden de manera automática con una má&uina # se pide a &uienes llamen &ue permanecan en espera. 6an pronto como el empleado está disponible, el cliente &ue *a esperado por más tiempo se transiere # se atiende en primer lugar. Las llamadas llegan a una tasa aproximada de por *ora. =l empleado puede tomar un pedido en un promedio de minutos. Las llamadas tienden a seguir una distribuci'n Poisson, # los tiempos de ser%icio suelen ser exponenciales. =l empleado recibe un sueldo de (0 por *ora, pero debido a la pErdida de buena %oluntad por parte de los clientes # a las %entas en general, la tienda As*le# pierde aproximadamente (50 por *ora de tiempo del cliente &ue espera para &ue el empleado pueda tomar el pedido. 13-16
> 7 llamadas-*ora ? 7 0- 7 5 llamadas-*ora
7
a$ +uál es el tiempo promedio &ue debe esperar el cliente de catálogos antes de &ue su llamada se transiera al empleado &ue toma los pedidosB W q = W q =
λ µ ( µ− λ ) 12 15 ( 15−12 )
=0.257 horas =16 minutos
b$ +uál es el n2mero promedio de personas &ue llaman # esperan para colocar un pedidoB 2
λ Lq= µ ( µ − λ ) 2
Lq=
12
15 ( 15 −12)
=3.2 clientes
c$ As*le# e%al2a la contrataci'n de un segundo empleado para tomar las llamadas. La tienda pagara a esa persona los mismos (0 por *ora. @ebera contratar a otro empleadoB =xpli&ue. Para decidir si agregar o no al segundo empleado, debemos "a$ calcular el costo total presente, "b$ calcular el costo total con el segundo empleado, # "c$ comparar los dos. +osto total actual C t / hora =costo de sericio + costo de espera
¿ 10 + 12 llamadas hora
(
0.267
horas llamadas
)(
50
dlares hora
)
¿ 10 + 12 ( 0.267 ) (50 )= " 170.20 / hora Para determinar el costo total utiliando el segundo empleado "un segundo canal$! P0=
1
[
n= m− 1
∑=
n 0
( )] ( ) n
1 λ
n! µ
λ + m! µ 1
m
mµ mµ− λ
1 1
( ) + ( ) + ( )( ) ( 12
0 ! 15
W q =
0
1 15
µ ( λ / µ )
1
12
1 2
15
2
(
) 2 ( 15 )−12 2 15
)
1
4
480
5
900
+ +
=0.429
m
( m−1 ) ! ( mµ− λ )2 15
W q =
1
1 12
1
=
( ) 12
P 0
2
15
( 2 −1 ) [ 2 ( 15 )−12 ]
2
( 0.429 )=0.0127 horas = 0.763 segundos
+osto con dos empleados! C t / hora =costo de sericio+ costodeespera
¿ 20 + 12 llamadas hora
(
0.0127
)(
horas dlares 50 llamada hora
)
¿ 20 + 12 ( 0.0127 ) ( 50 )=27.62 / hora 8
Ga# un a*orro de O0.0O.7.5-*ora. Por lo tanto, un segundo empleado sin duda debe ser agregado Los autom'%iles llegan a la %entanilla de atenci'n en una oicina postal a una tasa de cada 0 minutos. =l tiempo promedio de ser%icio es de minutos. La distribuci'n de Poisson es adecuada para la tasa de llegadas # los tiempos de ser%icio se distribu#en de manera exponencial. 13-17
=ste es un sistema M - M - con >7 por *ora # ?730 por *ora. a$ +uál es el tiempo promedio &ue un auto está en el sistemaB W = W =
1
µ− λ 1
1
30 −24
= =0.1667 horas =10 minutos 6
b$ +uál es el n2mero promedio de autos en el sistemaB L= L=
λ µ − λ 24 30−24
=4 autos
c$ +uál es el tiempo promedio &ue los autos pasan en espera de recibir el ser%icioB W q = W q =
λ µ ( µ− λ ) 24 30 ( 30−24 )
= 0.133 horas =8 minutos
d$ +uál es el n2mero promedio de autos &ue están en la lnea detrás del cliente &ue está recibiendo el ser%icioB 2
λ Lq= µ ( µ − λ ) 2
Lq=
24
30 ( 30 −24 )
=3.2 autos enlalíneade espera
e$ +uál es la probabilidad de &ue no *a#a autos en la %entanillaB ρ0=1 −
λ µ
ρ0=1 −
24 30
=0.2
La probabilidad es de un 0 $ +uál es el porcentaje de tiempo &ue el empleado postal permanece ocupadoB ρ=
λ µ
ρ=
24 30
=0.8
=l porcentaje de tiempo &ue el empleado postas permanece ocupado es de )0
9
g$ +uál es la probabilidad de &ue *a#a exactamente dos autos en del sistemaB k + 1
()
λ Ln>k = µ
Probabilidad de &ue *a#a más de un auto en el sistema! Ln>1=
( )= 2
24 30
0.64 =64
Probabilidad de &ue *a#a más de dos autos en el sistema! Ln>2=
( )= 3
24 30
0.512=51.2
P"n7$ 7 P"n$ Q P"n$ 7 0.0 7 0.5 7 0.) =ntonces la probabilidad de &ue *a#a autos en el sistema es de .) Se considera &ue, para agiliar el ser%icio de la oicina postal del problema 3O, se debe abrir una segunda %entanilla. Se ormara una sola ila # al llegar un autom'%il al rente de ella sera atendido por el primer empleado disponible. =l empleado de la nue%a %entanilla trabajara a la misma tasa &ue el empleado actual. 13-18
=ste es un sistema M - M - con >7 por *ora # ?730 por *ora. a$ +uál es el tiempo promedio &ue está un auto en el sistemaB @onde! P0=
1
[
( )] ( )
n= m− 1
∑=
1 λ
n
λ + m! µ 1
n! µ
n 0
m
mµ mµ− λ
1
¿ 1
( ) ( ) 24
0 ! 30
W =
0
+
1 24
1
+
1 30
µ ( λ / µ )
1
2
( )( ( 24
1 ( 2 ) 30
m
( m−1 ) ! ( mµ− λ ) (
3
P 0 +
2
2 ( 30)
2 30)− 24
)
= = 0.4286 7
1
µ
2
) W = ( 0.4286 ) + 1 = 5 =0.0397 horas =2.38 minutos 30 126 ( 2−1 ) ! [ 2 ( 30 )−24 ] /
30 24 30
2
b$ +uál es el n2mero promedio de autos en el sistemaB L=
λµ ( λ / µ )
m 2
P 0+
λ µ
( m −1 ) ! ( mµ− λ ) 2 24 ( 30 ) ( 24 / 30 ) L= ( 0.4286 ) + 24 =0.9524 autos 2 30 ( 2−1 ) ! [ 2 ( 30 )−24 ] c$ +uál es el tiempo promedio &ue los autos esperan para recibir el ser%icioB
10
µ ( λ / µ )
W q =
m
( m−1 ) ! ( mµ− λ )2 30 ( 24 / 30 )
W q =
P 0
2
( 2 −1 ) ! [ 2 ( 30 )− 24 ]
2
( 0.4286 )=0.0063 horas =0.38 minutos
d$ +uál es el n2mero promedio de autos &ue están detrás del cliente &ue recibe el ser%icio en ese momentoB Lq= L −
λ µ
Lq= 0.9524 −
24 30
= 0.1524
e$ +uál es la probabilidad de &ue no *a#a autos en el sistemaB P0=
1
[
n= m− 1
∑=
( )] ( )
1 λ
n
+
n! µ
n 0
λ m! µ 1
m
mµ mµ− λ
1
¿ 1
( ) ( ) 24
0 ! 30
0
+
1 24 1 30
1
+
1
3
( )( ( 24
1 ( 2 ) 30
2
2 ( 30)
2 30)− 24
)
= = 0.4286 7
$ KuE porcentaje del tiempo están ocupados los empleadosB ρ= ρ=
λ mµ 24 2 ( 30 )
=0.4
=l porcentaje de tiempo en &ue los empleados están ocupados es del 0 g$ +uál es la probabilidad de &ue *a#a exactamente dos autos en el sistemaB P "n 7 $ 7 0.3O 7 P "n $ Q P "n $ 7 0.) 0.09 La probabilidad de &ue *a#a dos autos en el sistema es de 3.O Ru*n and Sons D*olesale ruit @istributors contrat' a un empleado cu#o trabajo consiste en cargar la ruta en los camiones &ue salen de la compa8a. Los camiones llegan a la plataorma de carga a una tasa promedio de al da, o 3 cada *ora, de acuerdo con una distribuci'n de Poisson. =l empleado los carga a una tasa promedio de por *ora, aproximadamente de acuerdo con una distribuci'n exponencial en los tiempos de ser%icio. @etermine las caractersticas de operaci'n de este problema de plataorma de carga. +uál es la probabilidad de &ue *a#a más de tres camiones en espera o en proceso de cargaB Analice los resultados de los cálculos de su modelo de colas. 13-19
Ru*n considera &ue agregar un segundo cargador de ruta mejorará sustancialmente la eiciencia de la empresa. =stima &ue, con una cuadrilla de dos personas en la plataorma de carga, aun actuando como un sistema de un 2nico ser%idor, duplicara la tasa de carga a de a ) camiones por *ora. Analice el eecto en la cola con dic*o cambio # compare los resultados con los &ue se encontraron en el problema 39. 13-20
42mero de cargadores de ruta :atio de llegada de camiones ">$
3-*ora
3-*ora
11
:atio de carga "?$ 1nidades promedio en el sistema "L$ 6iempo promedio en el sistema "D$ 1nidades promedio en la cola "L&$ 6iempo promedio en la cola "D&$ :atio de utiliaci'n "C$ Probabilidad de &ue el sistema estE %aco "P0$ Probabilidad de más de ; camiones en el sistema
; 0 3
-*ora 3 camiones *ora .5 camiones 3- *ora 0.O5 0.5
)-*ora 0. camiones 0. *ora 0.5 camiones 0.0O5 *ora 0.3O5 0.5
0.O5 0.5 0. 0.3
0.3O5 0. 0.053 0.0
=stos resultados indican &ue cuando se emplea solo un cargador, el cami'n promedio debe esperar 3 *oras antes de &ue se cargue. Además, *a# un promedio de .5 camiones esperando en lnea para ser cargados. =sta situaci'n puede ser inaceptable para la gerencia. 4'tese la disminuci'n en la cola cuando se emplea un segundo cargador. Los conductores de camiones &ue trabajan para Ru*n and Sons "%Eanse los problemas 39 # 3 0$ reciben un salario de (0 por *ora en promedio. Los cargadores de ruta reciben ( por *ora. Los conductores de camiones &ue están en la cola o en la plataorma de carga cobran su salario, aun&ue en realidad están inacti%os # no generan utilidad en ese momento. +uáles seran los a*orros en los costos por *ora para la empresa asociados con la contrataci'n de un segundo cargador, en %e de &ue solo *a#a unoB 13-21
=n reerencia a los datos en los problemas 9 # 0, tenga en cuenta &ue el n2mero promedio de camiones en el sistema es 3 cuando solo *a# un cargador # 0. cuando se emplean dos cargadores.
42mero de cargadores Los costos de tiempo de inactividad del conductor del camión (número promedio camiones por hora taria! "osto de car#a "osto total esperado por hora
"3$"(0$7(30 "0.$"(0$7( ( 3
"($7 ( )
La empresa a*orrará ( ) - *ora al agregar el segundo cargador. La empresa Ru*n and Sons D*olesale ruit @istributors "del problema 39$ considera la construcci'n de una segunda plataorma para acelerar el proceso de carga de la ruta en sus camiones. Se supone &ue esta medida será incluso más eica &ue simplemente contratar a otro cargador para a#udar en la primera plataorma "como en el problema 30$. Suponga &ue los trabajadores de cada plataorma podrán cargar camiones por *ora cada uno, # &ue los camiones continuarán llegando a una tasa de 3 por *ora. =ncuentre las nue%as condiciones operati%as de la lnea de espera. =s este en realidad un mEtodo más rápido &ue los otros dos &ue se *an consideradoB 13-22
P0=
1
[
n= m− 1
∑=
n 0
( )] ( )
1 λ
n! µ
n
λ + m! µ 1
m
mµ mµ− λ
12
1 1
( ) + ( ) + ( )( ) ( 3
0
1 3
0! 4
1
1 4
λµ ( λ / µ )
L=
1
3
1 2
4
m
P 0+ 2
2
( ) 2 ( 4 ) −3 2 4
)
=0.454
λ µ
( m−1 ) ! ( mµ− λ ) 2 3( 4 ) (3/ 4) L= ( 0.454 )+ 3 =0.873 2 4 ( 2 − 1 ) ! [ 2 ( 4 ) −3 ] W =
L λ
W =
0.873 3
Lq= L −
=0.291 hora
λ µ 3
Lq= 0.873− =0.123 4
Lq W q = λ W q =
0.123 3
= 0.041 hora
Al mirar *acia atrás a los problemas 9 # 0, %emos &ue, aun&ue la longitud de la cola # el tiempo promedio en la cola son los más bajos abriendo la segunda plataorma, el n2mero promedio de camiones en el sistema # el tiempo promedio de espera en el sistema son más pe&ue8o cuando dos trabajadores están empleados cargando en una sola plataorma. Por lo tanto, probablemente recomendaramos no construir un segundo port'n. Till irst, gerente general de la tienda por departamentos Dort*more, *a calculado &ue cada *ora &ue un cliente pierde esperando en una cola a &ue el encargado estE disponible cuesta a la tienda (00 en pErdidas de %entas # buena %oluntad. Los clientes llegan al mostrador a una tasa de 30 por *ora # el tiempo promedio de ser%icio es de 3 minutos. La distribuci'n de Poisson describe las llegadas, mientras &ue los tiempos de ser%icio se distribu#en exponencialmente. =l n2mero de encargados puede ser de , 3 o , trabajando al mismo ritmo. Till estima &ue el salario # las prestaciones pagadas a cada empleado corresponden a (0 por *ora. =sta tienda está abierta 0 *oras al da. 13-23
Los sistemas de colas en este problema son M - M - , M - M - 3, # los sistemas M - M - a$ =ncuentre el tiempo promedio de espera en la ila, si se utilian , 3 # empleados. D&7 0.03 para canales/ D& 70,00O9 para 3 canales/ D& 70.005 para canales/ b$ +uál es el tiempo total diario &ue se pasa en espera en la lnea, si se utilian , 3 # empleadosB =l tiempo total dedicado a esperar es >D& "0 *oras por da$. Siendo! 9.9 *oras con canales,
13
.3O *oras con 3 canales, 0.5 *oras con canales. c$ +alcule el total del costo diario de espera # el costo de ser%icio si se utilian , 3 # empleados. +uál es costo total mnimo diarioB =l costo total del tiempo de espera diario se da en la tabla de abajo! +osto de +osto de 6iempo total de 42mero de ser%icio por ser%icio por espera canales *ora "($ da "($ 7>D&"0*r.$ 3
0 30 0
00 300 00
9.9 .3O 0.5
+osto total de espera +osto total "($ 99 3O 5
9 53O 5
=l costo diario mnimo es de ( 5 con canales. =l Till#Us Tan; es el 2nico en un pueblo pe&ue8o de Ar;ansas. =n un %iernes tpico un promedio de 0 clientes por *ora llega al banco para realiar transacciones inancieras. Ga# un solo cajero en el banco # el tiempo promedio re&uerido para realiar las operaciones es de minutos. Se supone &ue los tiempos de ser%icio se pueden describir por medio de una distribuci'n exponencial. A pesar de &ue este es el 2nico banco del pueblo, algunas personas *an empeado a utiliar el banco del pueblo %ecino, &ue se encuentra a cerca de 0 millas de distancia. Se usara una sola ila # el cliente rente de ella sera atendido por el primer cajero disponible. Si se emplea a un solo cajero en el Till#Us Tan;, encuentre 13-24
=ste es un sistema M - M - con >70 clientes-*ora # ?75 operaciones-*ora. a$ el tiempo promedio en la lnea. D& 7 0.333 *oras b$ el n2mero promedio en la lnea. L& 7 .333 c$ el tiempo promedio en el sistema. D 7 0. *oras d$ el n2mero promedio en el sistema. L7 e$ la probabilidad de &ue el banco estE %aco. P0 7 0.333 :emtase a la situaci'n del Till#Us Tan; en el problema 3. Till# considera la contrataci'n de un segundo cajero "&uien trabajara al mismo ritmo &ue el primero$, con la inalidad de reducir el tiempo de espera de los clientes, con lo cual cree &ue se reducirá a la mitad dic*o tiempo de espera. Si se agrega a un segundo cajero, encuentre 13-25
=ste es un sistema M - M - con >70 por *ora # ?75 por *ora a$ el tiempo promedio en la lnea. D& 7 0.00)3 *oras b$ el n2mero promedio en la lnea. L& 7 0.0)3
14
c$ el tiempo promedio en el sistema. D 7 0.0O5 d$ el n2mero promedio en el sistema. L 7 0.O5 e$ la probabilidad de &ue el banco estE %aco. P0 7 0.5 Para la situaci'n de Till#Us Tan; &ue se mencion' en los problemas 3 # 35, el salario # las prestaciones de un cajero e&ui%alen a ( por *ora. =l banco está abierto ) *oras cada da. Se estima &ue el costo del tiempo de espera es de (5 por *ora en la cola. 13-26
a$ +uántos clientes entraran al banco en un da tpicoB > ") *oras por da$ 7 0 ")$ 7 )0 clientes por da b$ +uánto tiempo en total pasaran los clientes en la ila durante el da completo, si tan solo se empleara a un cajeroB +uál es el costo total del tiempo espera por daB 6iempo total dedicado a esperar 7 D& "n2mero de clientes$ 7 0.333 ")0$ 7 0. *oras. =l tiempo de espera total cuesta 7 ( 5 "0.$ 7 ( .5 c$ +uánto tiempo en total esperaran los clientes durante todo el da, si se emplearan dos cajerosB +uál es el costo total del tiempo de esperaB +on cajeros, el tiempo total dedicado a esperar 7 0.00)3 ")0$ 7 0. *oras. =l tiempo de espera total cuesta 7 ( 5 "0.$ 7 ( .0 d$ Si Till# desea minimiar el tiempo total de espera # el costo del personal, cuántos cajeros debera emplearB +osto total con cajero 7 ( .5 V ( 9 7 ( 3.5 +osto total con cajeros 7 ( .0 V "$ "( 9$ 7 ( 0).0 Los clientes llegan a una má&uina automatiada de %enta de caE a una tasa de por minuto, siguiendo una distribuci'n de Poisson. La má&uina de caE despac*a una taa de caE exactamente en 0 segundos. 13-27
a$ +uál es el n2mero promedio de personas &ue esperan en la ilaB 42mero promedio en la lnea 7 0. b$ +uál es el n2mero promedio en el sistemaB 42mero promedio en el sistema 7 .333 c$ +uánto espera una persona promedio en la lnea antes de recibir el ser%icioB =spera promedio en la lnea 7 0. minuto 7 0 segundos
15
