EL MÉTODO DE MUTO
El método de Muto se utiliza para resolver en forma aproximada a los pórticos de edicios compuestos por vigas y columnas ortogonales, sujetos a carga lateral producidas por el viento o los sismos. El método contempla en cierta forma la deformación por exión de las barras, con lo cual, los resultados ue se obtienen son muc!o m"s precisos ue los calculados mediante el método del #ortal o del $oladizo, e incluso pueden utilizarse para el dise%o de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformación axial son despreciables.
1. RIGIDEZ RIGIDEZ LATER LATERAL AL &upongamos la siguiente columna biempotrada, sujeta a un desplazamiento lateral #or euilibrio'
V =12 E I / h
&iendo'
kc = I / hKo
&e obtiene' Multiplicando por' *esulta'
(
V = 12 E
Ko h
2
)
3
kc
a() V =
(
12 E
Ko h
2
)(
a kc )
&e dene a la *igidez +ateral bsoluta - o /a0 como auella fuerza cortante -$0 capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta denición se obtiene' K = Da =
Rigidez Lateral Absoluta =
(
V = d
12 E
Ko h
2
)
a k c = Do ( a kc )= Do D
/onde /o es la denominada *igidez +ateral Est"ndar -con unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton 1 cm0 calculada como' Do =12 E Ko / h
Rigidez Lateral Estándar=
2
+a *igidez +ateral Est"ndar depende de la altura de cada columna, pero, como usualmente las columnas ue conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendr"n el mismo valor /o. #or otro lado, se dene a la *igidez +ateral *elativa -adimensional0 al valor'
Rigidez Lateral Relativa=
D =
K =a Kc Do
El coeciente 2a2 contempla el grado de empotramiento ue tiene la columna en sus extremos3 para el caso ue la columna esté biempotrada -vigas muy r4gidas0 el valor de 2a2 es ). En cambio, si la columna est" biarticulada 2a2 es cero -no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral03 por otro lado, si la columna est" articulada en su base -por ejemplo, zapata sobre un suelo muy blando0 y empotrada en su extremo superior -vigas r4gidas0. &e demostrar" ue 2a2 es 5.
#or euilibrio'
V =
3 E I δ
h
3
2
= 12 E Ko Kcδ /( 4 h )
Do=
&iendo'
*esulta'
6on lo cual'
V = Do (
K =
1 4
h
2
Kc ) δ
V = Do δ
6omo'
12 E Ko
( ) 1 4
Kc
K = Do ( a Kc )
&e concluye ue' a()78
6abe indicar ue pese a ue la columna esté articulada en su base, en el método de Muto siempre se trabaja con un coeciente de rigidez a la exión 9c ( 1 7 -! o0. El valor 2a2 est" comprendido entre : y ) - 0 ≤ a ≤ 1 0. y la m"xima rigidez lateral -0 se obtiene cuando la columna est" biempotrada3 si esa columna se articulase en su base -por ejemplo, por la formación de una rótula pl"stica0 se reduce en ;<=, y si luego se articulase en su extremo superior, se degrada en )::=, convirtiéndose el sistema en un mecanismo inestable ->ig. ?.80.
@al como se !a denido la rigidez lateral, se tendr4a ue ella resulta dependiente del sistema de carga lateral actuante3 sin embargo, Muto concluye ue en los pórticos compuestos por vigas y columnas, la distribución y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de . #or ejemplo, si se calculase mediante 6ross el desplazamiento y la fuerza cortante en la columna 22 del pórtico mostrado en la >ig. ?.<, para dos estados de carga, resulta )(A(.
Es decir, las variables ue intervienen en mayor grado en el c"lculo de son las propiedades el"sticas y geométricas de la columna, as4 como el grado de empotramiento ue tiene en sus extremos. Esto no es cierto para el caso de #lacas, cuya rigidez lateral depende fuertemente de la distribución ue adoptan las cargas laterales.
CÁLCL! DEL C!E"ICIE#TE $a$ través de una serie de comparaciones contra resultados obtenidos mediante métodos matriciales, Muto recomienda emplear las siguientes fórmulas para calcular 2a2'
Colu%nas &ue 'ertene(en a Entre)isos *u)eriores al 'ri%ero Observaciones:
a.B &i
K → ∞ entonces a =1
b.B El método es v"lido solo cuando k ≥ 0.2 , de lo contrario, la fórmula resulta imprecisa. El valor 9 es menor ue :.A cuando las vigas son muy exibles en relación con la columna -vigas c!atas0, o cuando la columna trata de transformarse en una placa.
*ub(asos )ara las Colu%nas del 'ri%er 'iso a.B Case &emiempotrada parte de existir vigas de cimentación -$60, la rigidez aportada por los pilotes o el suelo de cimentación - D0 se contempla mediante la expresión' Kz = Kθ /( 4 E Ko )
6uando la base de la columna esté semiempotrada, el valor ue se obtenga de 2a2, deber" ser inferior al caso en ue la base esté empotrada -subcaso 2b20.
+. CÁLCL! DE DE*'LAZA,IE#T!* C!L,#A* E# 'ARALEL!
-
C!RTA#TE*.
+a condición para ue un conjunto de columnas estén dispuestas en paralelo es ue su desplazamiento relativo -M sea nico. Esto ocurre en los edicios compuestos por losas de piso axialmente r4gidas -aligerados o losas macizas0, denominadas 2diafragmas r4gidos2, donde, al existir monolitismo entre las vigas y la losa -ya ue el concreto de ambos elementos se vac4a en simult"neo0, las vigas también ser"n r4gidas axialmente. Estudiando un entrepiso cualuiera del pórtico mostrado en la >ig. ?.?, y llamando F al cortante de entrepiso -valor conocido por euilibrio de fuerzas laterales0, se tratar" de reducir el conjunto de columnas a un sólo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las columnas ue conforman ese entrepiso.
6omo Vi= k i δ , entonces
∑ Ki
Q=V 1 + V 2+ V 3 = K 1 δ + K 2 δ + K 3 δ =δ
, de
la cual puede obtenerse' δ = Q /
∑ Ki
+uego, la fuerza cortante en cada columna se calcula como' Ki /
∑ Ki
Vi= Kiδ =Q ¿
Es decir, cada columna absorbe fuerza cortante en proporción a su rigidez lateral. #or otro lado, puede observarse ue el desplazamiento del entrepiso - δ 0 pueden obtenerse si se modela al pórtico como un sólo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea Gi.
. '/RTIC!* C!# ,EZZA#I#E - 0IGA* DE E#TRE'I*!. C!L,#A* E# *ERIE
+a condición para ue dos o m"s columnas -ubicadas una sobre la otra0 estén dispuestas en serie es ue la fuerza cortante en ellas sea nica, lo ue implica ue la fuerza actuante a la altura del nivel ue separa a las columnas es nula. Este sistema puede reducirse a una sola columna euivalente de doble altura de la siguiente manera'
En el primer piso'
V V 1 =V = K 1 δ 1 →δ 1 = K 1
V 2=V = K 2 δ 2 → δ 2=
En el segundo piso'
∆ = δ 1 + δ 2 =
+uego'
/e la cual'
K =
V ∆
=1
[
1
K 1
+
1
K 2
En general para columnas en serie se tiene'
V K 1
+
V K 2
V K 2
=V (
1
K 1
+
1
K 2
)
] K =1 /
∑ ( K 1 1 )
Este caso de columnas en serie puede presentarse en pórticos con Mezzanine, donde a la altura del Mezzanine la masa es peue%a, as4 como la aceleración s4smica, con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel es pr"cticamente despreciable con relación a las ue existen en los niveles superiores. @ambién puede presentarse en pórticos con viga intermedia en el entrepiso, ue sirve como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa peue%a, la fuerza de inercia ser" pr"cticamente nula en ese nivel.
Deter%ina(i2n de Es3uerzos 6onocido el cortante ue absorbe una columna -$0, Muto proporciona unas @ablas -ver anexo0 ue permiten ubicar la posición del punto de inexión -#10. +uego, siguiendo un proceso similar al explicado para el método del #ortal, se determinan los esfuerzos' a.B Hracar el /M> en las columnas. b.B 6alcular los momentos en las vigas, repartiendo el momento deseuilibrado en los nudos en proporción a las rigideces de las vigas -9v0, y gracar su /M>. c.B /eterminar la fuerza cortante en las vigas por euilibrio. d.B Evaluar la fuerza axial en las columnas.
bi(a(i2n del 'unto de In4e5i2n 6'I7 en las Colu%nas Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a 2y ! 2, el valor 2y2 se determina como y ( yo I y) I yA I yJ3 donde 2yo2 es a la altura est"ndar del #1, 2y)2 es una corrección por variación de rigideces de las vigas, mientras ue 2yA2 e 2yJ2 corresponden a correcciones por diferencias de alturas entre los pisos consecutivos. 6omo usualmente los pisos son t4picos, sólo se calcula 2yo2.
Altura Estándar del 'I 68o 97: Tabla 1 A
Muto elaboró la @abla ) , suponiendo ue las alturas de los entrepisos eran iguales, as4 como ue las rigideces de las vigas no variaban y ue la distribución de las fuerzas laterales era triangular. El c"lculo de 2yo2 se efecta en cada eje vertical de columnas. #ara ingresar a la @abla ) , es necesario saber cu"ntos niveles tiene el eje de la columna en an"lisis, en ue entrepiso est" ubicada y el valor de 9.
Corre((i2n ;81<. Tabla +.
Esta corrección se realiza sólo cuando las vigas ue llegan al extremo superior -0 de la columna tienen distinta rigidez a exión ue las inferiores -C0. #ara calcular Ky)L es necesario determinar el par"metro a) y 9, para luego ingresar a la @ablaA, anot"ndose ue' B &i a) ( )
y)(: -es lo usual0.
B #ara el primer piso K y) ( :L salvo ue la base esté semiempotrada. B &i a) ), se ingresa a la @abla A con la inversa de a ) y se cambia de signo al valor 2y)23 es
decir, el #1 se corre !acia abajo.
Corre((iones ;8+<: ;8<. Tabla
Estas correcciones se efectan cuando la columna superior o inferior a la ue est" en estudio, tienen distintas alturas3 para esto, es necesario calcular los par"metros aA, aJ y 9. Nbservaciones' B&i aA ( )
yA ( :
B&i aJ ( )
yJ ( :
#ara columnas del primer piso #ara columnas del ltimo piso
yJ ( :
yA ( :
. E>E,'L!* DE A'LICACI/# 4.1. *esolver el pórtico mostrado en la gura. &uponer'
E ( A): ton7cmO $igas' J: x ?: cm 6olumnas' J: x 8< cm o ( ;?:cmP COEFICIENTE DE RIGIDEZ A FLEXIÓN (k)
9 ( 1 7 -+ o0 Columna con bas !o"ula#a$
9c ( J:x8
/ ( a 9c ( / /o -ton7cm0
/o ( )A E o 7 !O
#ara ! ( J:: cm /o ( )AxA):x;?:7J::O ( A).AQton7cm
#ara ! ( ?::cm /o ( )AxA):x;?:7?::O ( <.JA ton7cm
#ara ! ( A::cm /o ( )AxA):x;?:7A::O ( 8;.QQ ton7cm
B6R+6S+N /E T. @rabajando con los conceptos de columnas en paralelo y en serie'
T)( )A.;<7AA.AQ ( :.<; cm3 TA( )A.;<7);.Q; ( :.;) cm3 TJ( ):7A;.AJ ( :.J; cm
CÁLCL! DE ;8<: ;0i = ?i @i = ?iB ?i$
D," 6ton%7
/e !aber existido una fuerza ->)0 aplicada a la altura del Mezzanine del ejemplo anterior, tendr4a ue procederse aplicando las ecuaciones de
euilibrio y de compatibilidad de desplazamientos para calcular T) y TA, tal como se ilustra a continuación.
6N*@E B' >A I >J ( $A I $J ( A TA I J -T) I TA0 U. -)0 6N*@E CBC' >) I >A I >J ( $) I $J ( ) T) I J -T) I TA0
U. -A0
/e -)0 V -A0 se despeja T) I TA3 luego, la fuerza cortante ue absorbe cada columna se calcula aplicando' $i ( i Ti Cabe mencionar que este problema resultó un tanto complicado de analizar, debido a que la intención fue estudiar una serie de casos particulares como fueron: una estructura con Mezzanine, base articulada y columnas de diferentes alturas; sin embargo, para los casos convencionales resulta muy simple aplicar el método de Muto, tal como se verá en el segundo eemplo!
4. plicando el método de Muto, analizar al pórtico resuelto mediante los
métodos del #ortal y $oladizo.
Asum*!$
$igas' :.J x :.< m 6ols.' :.J x :.8 m
o ( :.:::8 mP E ( AW:::,::: tn7mO
/o ( )A E o 7 !O para ! ( J m' /o ( ):?; ton7m para ! ( 8m' /o ( ?:: ton7m En este caso no existen correcciones y), yA, yJ3 es decir' y ( yo.
"ota: Cuando no e#iste un cambio signi$cativo entre las alturas de los pisos consecutivos %Menos de &'() y cuando el valor en la *abla & del +ne#o que y - y& - O
k ≥ 1 , puede observarse
. A#E! TAFLA 1A ALTRA E*TA#DAR DEL '#T! DE I#"LEI/# 68o7.
"- n.mero de niveles del ee de la columna en análisis!
TAFLA + CÁLCL! DE ;81< C!RRECCI/# '!R 0ARIACI/# E# LA* RIGIDECE* DE LA* 0IGA*.
"ota /0ara el primer piso: y1-', salvo que la base esté semiempotrada! /Cuando a121 se ingresa a la tabla con la inversa de a1 y al resultado %y1) se le cambia de signo, esto signi$ca que el punto de in3e#ión se desplaza 4acia el lado de las vigas menos r5gidas, en este caso 4acia abao!
TAFLA CÁLCL! DE ;8+< 8 ;8< C!RRECCI/# '!R 0ARIACI/# DE LA ALTRA DEL E#TRE'I*!
"otas: a) Cuando a-1 y-' b) Cuando a&-1 y&-' c) 0ara el primer piso y&-' d0 0ara el .ltimo piso y-: