MÉTODO DE MUTO Está en los resultados de la deformación por flexión en las barras son más exactos, incluso pueden utilizarse para el diseño de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformación El análisis sísmico aproximado de edificios trata sobre el estudio de métodos que permiten resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios sujetos a carga lateral (sismo o viento). Entre este método encontramos el método de muto que se utiliza principalmente para resolver pórticos compuestos por vigas y por columnas ortogonales.
Es uno de los métodos que se usa para resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales sujetos a carga lateral producida producida producida por el viento o los sismos. La diferencia que contempla a este método de otros (método del portal o del voladizo) axial son despreciables.
RIGIDEZ LATERAL Supongamos la siguiente columna empotrada, sujeta a un desplazamiento lateral Por equilibrio:
V
Siendo: Entonces:
h
Multiplicando: V
Resulta:
Se define a la rigidez lateral absoluta (K 0 D a ) como aquella fuerza cortante V capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición se obtiene: Rigidez lateral absoluta =
Donde D0 es la denominada rigidez lateral estándar (en unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton/cm) calculada como: Rigidez lateral estándar =
La rigidez lateral estándar depende de la altura de cada columna, pero como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrán el mismo valor D 0
h2
Por otro lado se define a la Rigidez lateral relativa (Adimensional) al valor:
Rigidez lateral =
h1
El coeficiente a contempla el grado de empotramiento que tiene la
columna en sus extremos, extremos, para el caso que la columna este este biempotrada (vigas muy rígidas) el valor de a es 1. En cambio si la columna esta biarticulada a es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral), por otro lado, si la columna está articulada en su base y empotrada en su extremo superior (vigas rígidas), se demostrara que a es un 1/4
V
h
V
Pese a que la columna este articulada en su
base, el método de muto, siempre trabaja como un coeficiente de rigidez a la flexión
El valor a esta comprendido entre 0 y 1, y la máxima rigidez lateral (K) se obtiene cuando la columna esta biempotrada, si esta columna se articulase en su base K se reduce reduce en 75 % y si luego se articulase en en su extremo superior, k se degrada degrada en 100% convirtiéndose en un mecanismo inestable. inestable.
Kv=00
Kv=00
a= 1
K
Kv=00
a= 1 4
k 4
a= 0
K=0
tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendría que ella resulta dependiente del sistema de carga lateral actuante, sin embargo , muto concluye que en los pórticos compuestos por vigas y columnas , la distribución y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K.
CALCULO DEL COEFICIENTE “ a ” ( MUTO RECOMIENDA) 1.-COLUMNAS
QUE PERTENECEN A ENTREPISOS SUPERIORES AL
PRIMERO
a.- si b.-el método es válido solo cuando K ≥ 0.2, de lo contrario, la formula es imprecisa. El valor K es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas), o cuando la columna trata de transformarse en una placa. Kv3
Kv4
Kv3
Kv4
Kc Kc
K v1
L1
Kv2
L2
K v1
Kv2
∑∑
2.- SUB CASOS PARA LAS COLUMNAS DEL PRIMER PISO a.- base semiempotrada: aparte de existir vigas de cimentación (vc), la rigidez aportada por los pilotes o el suelo de cimentación (K ) se contempla:
Kv3
Kv4
Kc
K v1
Kz
∑
Kv2
cuando la base de la columna esta semiempotrada, semiempotrada, el valor que que se obtenga de a deberá ser inferior al caso en que la base este empotrada (sub-caso b)
b.- base empotrada
K v1
Kv2
A=
0.5 + K 2 +K
K=
KV1 + KV2 KC
Kc
c.- base articulada
Kv3
Kv4
Kc =
1 hk0
A=
0.5 + K 1 +2K
K=
KV 1+ KV 2 KC
2. CALCULO DE DESPLAZAMIENTO Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO La condición para que un conjunto de columnas columnas estas dispuestos dispuestos en paralelos es que su desplazamiento relativo ( ) sea único. Esto ocurre en los edificios compuestos por losas de piso axialmente rígidos (aligeradas losas macizas) denominados “diafragmas rígidos” donde al existir monolitismo entre las vigas y la losa, las vigas, también serán rígidas axialmente. Estudiando un entrepiso cualquiera del pórtico mostrado y llamando Q al cortante de entrepiso (valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se tratara de reducir el conjunto de columnas a un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las columnas que conforman ese entrepiso.
F3
F3
F2
F2
K1
K2
v1
K3
F1
Como
F3 v2
v3
Q = v 1+ v 2 + v 3 = F2 +F3
F2 K1 M F1
entonces: Q= V1 +V2+V3=K 1. = 1. +K 2. 2. +K 3.
∑
∑
La fuerza cortante en cada columna:
∑
Nota: cada columna absorbe fuerza cortante en proporción a su rigidez lateral. Por otro, lado se observa que el desplazamiento del entrepiso (A) puede obtenerse si se modela al pórtico como un solo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea ∑Ki.
3.- PÓRTICOS CON MEZZANINE Y VIGAS DE ENTREPISO: columnas en serie La condición para que dos o más columnas (ubicadas una sobre otra), estén dispuestas en serie es que la fuerza cortante en ellas sea única, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del nivel que separa a las columnas es nulo. Este sistema puede reducirse a una sola columna equivalente de doble altura de la siguiente manera.
1+
V2 =V
0
2
V
K2 V2=V
h2 1
V1=V
h1 V
1º PASO
2º PASO
K1
Entonces:
2
( )
∑
Este caso de columnas en serie puede presentarse en pórticos con mezzanine, donde la altura del mezzanine la masa es pequeña, así como la aceleración sísmica con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel es despreciable con relación a los que existen en los niveles superiores. También puede presentarse en pórticos con viga intermedia en el entrepiso, que sirve como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequeña, la fuerza de inercia será nula en ese nivel .
F3 0
F2 0
F1
K1
0
PÓRTIC ICO O CON ME MEZZAN ANIN INE E
0
PÓRTIC ICO O CO CON VI VIG GA EN EN EL EN ENTREPIS ISO O
4.- DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS Conocido el cortante que absorbe una columna (V), MUTO proporciona unas tablas que permiten ubicar la posición del punto de reflexión (Di). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado se determinan los esfuerzos. M A = V(1-y)h
a.- Graficar el DMF en las columnas. b.- calcular los momentos en las vigas, repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en proporción a las rigideces de las vigas (Kr); y gráfica su DMF. C.- determinar la fuerza cortante en las vigas.
A (1-y)h
PI B
h
V yh
D.- Evaluar la fuerza axial en las columnas. MB = V(yh)
UBICACIÓN DEL PUNTO DE INFLEXIÓN (PI) EN LAS COLUMNAS Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a “Yh”, el valor “y” el valor Y se determina como Y = Y0 + Y1 + Y2 + Y3; Donde ”y0”, es la altura estándar del PI, “Y 1 “es una corrección por variación de rigidez de las vigas, mientras que “Y2 “ e “Y3 “
(A)
h
Corresponden a conecciones por diferencias de altura entre los pisos consecutivos. Como usualmente los pisos son típicos, solo se calcula “ Y 0 ”.
y3.h
PI
y2.h y1.h y0.h
(B)
a.- altura estándar del PI (Y 0h) Suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, así como que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribución de las fuerzas laterales era triangular. El cálculo de” Y 0 “ se efectúa en cada eje vertical de las l as columnas. Es necesario saber cuántos niveles tiene el eje de la columna en análisis, en que entrepiso está ubicada y el valor de K.
k y0.h
eje de 2 niveles
eje de 1º nivel
b.- corrección “y1” Esta corrección se realiza solo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexión que las inferiores (B). Para calcular” Y 1 “es necesario determinar el parámetro de “ 1 “ y k. - Si 1 1 Y1 0
- Para el 10 piso “Y1 0”, salvo que la base este semiempotrada - Si 1 1, se ingresa a la tabla con la inversa de 1 y se cambia de signo
al valor “Y1”, es decir, el PI se corre hacia abajo.
K v1
K v2
(A)
K Kv3
K v4
(B)
c.- Correcciones “Y2”,” Y3” Estas correcciones se efectúan cuando la columna superior o inferior a la que está en estudio, tienen distintas alturas, para esto, es necesario calcular los parámetros 2 , 3, K. Observaciones: - Si 21 Y2 0 - Si 31 Y3 0 - Para columnas del 1 0 piso Y3 0 - Para columnas del 2 0 piso Y2 0
hs
COLUMNA EN ANALISIS
K
h
hi
MÉTODO DEL MUTO APLICADO A ESTRUCTURAS APORTICADAS
El método asigna a cada columna un valor característico “D” que viene a ser la relación entre el corte que toma la columna y la deformación que la produce. Este valor depende a su vez de otros llamados k que es la relación entre las sumas de las rigideces de las vigas que llegan a los extremos de la columna y la rigidez de la columna. El corte que forma cada columna “j” del entrepiso, esta dado por:
: : :
Corte que toma la columna j Corte debido a la constante de entrepiso Q Corte debido a la torsión
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS Los pasos a seguir son: 1) Calculo de los valores valores de D 2) distribución de la cortante de entrepiso Q entre las columnas proporcionalmente a sus valores D.
∑ Dj: constante relativa de la columna j ∑Dj: ∑Dj: suma de las constantes Dj del entrepiso considerado 3) determinación de los puntos de inflexión de las columnas columnas y cálculo de los momentos flectores. 4) Calculo de las solicitaciones solicitaciones en vigas vigas y fuerzas axiales en columnas. columnas. 5) Corrección de torsión.
VALORES D EN LAS COLUMNAS a) Para columnas columnas de altura uniforme
: constante que depende de K
A
Kc : rigidez de la columna considerada
CASO Nº 01
K v2
K v1
Kc
Kv3
K v4
Si K V3+KV4 es mucho mayor que K V1+ K V2 , o a la inversa ; el valor de A no debe ser mayor que el que resultaría de aplicar la formula correspondiente al caso siguiente:
CASO Nº 02: extremo empotrado (primer piso)
K v1
K v2 Kc
CASO Nº 03: extremo articulado
K v1
K v2
Kc
b) caso en que las columnas son de altura no uniforme. CASO Nº 04: Una columna de altura “h” que difiere de la altura estándar estándar “h”
D h
D1
D2
h'
CASO Nº 05: Una columna compuesta de dos tramos cortos de altura h 1 y h2 las cuales sumadas dan la altura estándar h
h2.D2
h
D h1.D1
CALCULO DE RIGIDECES LATERALES USANDO EL MÉTODO DE MUTO Para el cálculo de las rigideces laterales hacemos uso de las formulas del doctor Muto para calcular las rigideces D X DY. Se debe cumplir que K sea mayor a 0.20. ya que las limitaciones del método están dadas por el valor de K En cuento K se haga más pequeño el error se incrementara, debido a que una hipótesis base es que las vigas son suficientemente rígidas; un pequeño valor de K indicara que esta condición no se cumple satisfactoriamente. Posteriormente hallamos las rigideces para vigas y columnas tanto en la dirección X como Y. Una vez hallada las rigideces DX y DY procederemos a calcular el centro de rigideces.
CALCULO DE LAS RIGIDECES LATERALES.
Según la fórmula del Dr. Muto
K v2
K v1
Kc K v4
Kv 3
K v2
K v1
Kc
Se debe cumplir
Dirección x:
2.13
2.13
0.53
2.13
0.53
DIRECCIÓN Y:
0.9
0.9
0.9
0.533
0.533
=0.384
Ejemplo nº 01 Resolver el pórtico mostrado en la figura suponer: 10 Tn 3m
E =210 ton/cm 2 Vigas: 30x60 cm 2 Columnas: 30x45 cm 2 K0 =1000 cm 3
5 Tn 3m 2m
6m
Solución:
coeficiente de rigidez a flexión
PARA VIGAS:
PARA COLUMNAS: Para h= 200 cm
Para h=300 cm
Para h=600 cm
6m
Calculo del coeficiente a I.
columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero
∑ II.
III.
base empotrada
∑
∑
base articulada
PARA EL EJEMPLO
KV=0.9
KV=0.9
KC=0.76
KV=0.9
KV=0.9
Rigidez lateral absoluta:
Para h=200 cm; Para h=300 cm; Para h = 600 cm;
D0=63 ton/cm D0=28 ton/cm D0 = 7 ton/ cm
Luego de realizar los cálculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.
Kv=0.9
Kv=0.9 Kc=0.76
Kc=0.76 K=2(0.9)/(2
K=4(0.9)/(2
x 0.76)=1.18
Kc=0.76 x 0.76)=2.37
K=2(0.9)/(2
x 0.76)=1.18
A=1.18/(2+1.18)=0.37
A=2.37/(2+2.37)=0.54
A=1.18/(2+1.18)=0.37
D=0.37(0.76)=0.28
D=0.54(0.76)=0.41
D=0.37(0.76)=0.28
K=0.28(28)=7.84
K=0.41(28)=11.48
K=0.28(28)=7.84
Kv=0.9
Kv=0.9
Kc=0.76
Kc=0.38 K=0.9/0.38=2.37 A=(0.5+2.37)/(2+2.37)=0.66
D=0.66(0.38)=0.25
Kc=0.76
K=(3 x 0.9)/(2 x0.76)=1.78
K=2(0.9)/(2
A=1.78/(2+1.78)=0.47
A=1.18/(2+1.18)=0.37
D=0.47(0.76)=0.36
D=0.37(0.76)=0.28
K=0.36(28)=10.08
K=0.28(28)=7.84
K=0.25(7)=1.75
Kc=1.14
Kv=0.9
Kc=0.76
x 0.76)=1.18
K=0.9/1.14=0.79
K=0.9/0.76=1.18
A=0.5(0.79)/(1+2(0.79))=0.15
A=(0.5+1.18)/(2+1.18)=0.53
D=0.15(1.14)=0.17
D=0.53(0.76)=0.4
K=0.17(63)=10.71
K=0.4(28)=11.2
CALCULO DE
: TRABAJANDO TRABAJANDO CON LOS LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS COLUMNAS EN PARALELO PARALELO Y EN EN
SERIE 10 Tn
10 Tn
K=27.16
K=7.84+11.48+7.84 5 Tn
5 Tn K=10.08+7.84
K=1.75
K=1.75
1
K=
= 9.86
1 1 + 17.92 21.91
K=11.2+10.71
10 Tn
10 Tn
3
10 Tn 5 Tn
5 Tn 15(1.75) (1.75+9.86) =2.26
15(9.86) (1.75+9.86)
2 12.74 Tn
1
2.25 Tn 12.74 Tn
=12.74
Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez
∑
∑
∑
Ejemplo nº nº 01 con K0 =760 cm3 Resolver el pórtico mostrado en la figura suponer: 10 Tn 3m 2
E =210 ton/cm Vigas: 30x60 cm 2 Columnas: 30x45 cm 2 K0 =760 cm3
5 Tn 3m 2m
6m
Solución:
coeficiente de rigidez a flexión
PARA VIGAS:
PARA COLUMNAS: Para h= 200 cm
Para h=300 cm
Para h=600 cm
6m
Calculo del coeficiente a IV.
columnas que pertenecen a entrepisos superiores al primero
∑ V.
VI.
base empotrada
∑
∑
base articulada
PARA EL EJEMPLO
KV =1.18
KV =1.18
KC =1
KV =1.18
KV =1.18
Rigidez lateral absoluta:
Para h=200 cm; Para h=300 cm; Para h = 600 cm;
D0=47.88 ton/cm D0=21.28 ton/cm D0 = 5.32 ton/ cm
Luego de realizar los cálculos para cada elemento (viga, columna); la figura queda.
Kv=1.18
Kv=1.18
Kc=1 K=2(1.18)/(2
x
Kc=1 K=4(1.18)/(2
1)=1.18
Kc=1 x
1)=2.36
K=2(1.18)/(2
A=2.36/(2+2.36)=0.54
A=1.18/(2+1.18)=0.37
1)=1.18
x
A=1.18/(2+1.18)=0.37
D=0.37(1)=0.37
D=0.54(1)=0.54
D=0.37(1)=0.37
K=0.37(21.28)=7.87
K=0.54(21.28)=11.49
K=0.37(21.28)=7.87
K v=1.18
Kv=1.18
Kc=1
Kc=1 K=2(1.18)/(2
K=(3 x 1.18)/(2 x1)=1.77
Kc=0.5
A=1.18/(2+1.18)=0.37
A=1.77 /(2+1.77)=0.47
K=1.18/0.5=2.36 A=(0.5+2.36)/(2+2.36)=0.65
D=0.65(0.5)=0.33
1)=1.18
x
D=0.47(1)=0.47
D=0.37(1)=0.37
K=0.47(21.28)=10
K=0.37(21.28)=7.87
K=0.33(5.32)=1.75
Kc=1.5
Kv=1.18
Kc=1
K=1.18/1.5=0.79
K=1.18/1=1.18
A=0.5(0.79)/(1+2(0.79))=0.15
A=(0.5+1.18)/(2+1.18)=0.53
D=0.15(1.5)=0.23
D=0.53(1)=0.53
K=0.23(47.88)=11.01
K=0.53(21.28)=11.27
CALCULO DE
: TRABAJANDO TRABAJANDO CON LOS LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS COLUMNAS EN PARALELO PARALELO Y EN EN
SERIE 10 Tn
10 Tn
K=27.23
K=7.87+11.49+7.87 5 Tn
5 Tn K=10 +7.87
K=1.75
K=1.75
K=
K=11.27+11.01
1
= 9.92
1 1 + 17.87 22.28
10 Tn
10 Tn
3
10 Tn 5 Tn
5 Tn
15(1.75) (1.75+9.92) =2.25 ton
15(9.92) (1.75+9.92)
2
12.75 Tn
1
2.25 Tn 12.75 Tn
=12.75 ton
Cada columna absorbe la fuerza horizontal proporcional a su rigidez
∑
∑
∑
EJEMPLO Nº2: Aplicando el método de muto, analizar el pórtico ASUMIR: Vigas : 0.3x 0.5 m2 Columna: 0.3 x 0.4 m 2 K0=0.0004 m3 E=2000000 Ton/m2
15 Tn
3m 8 Tn
4m
Solución 5m
Coeficiente de rigidez a flexión
6m
Vigas: Para h= 5m , Kv=1.56 Para h= 6m , KV=1.30
COLUMNAS: Para h = 3m, K C=1.33 Para h = 4m, K C=1 RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA
Para h=3m, D0=1067 ton/m Para h=4m, D0=600 ton/m
Luego de hallar los valores de
,D ,K
de cada columna se tiene:
Kv=0.9
Kv=0.9
Kc=1.33
Kc=1.33
Kc=1.33
k=1.17
k=2.15
k=0.98
a=0.37
a=0.52
a=0.33
D=0.49
D=0.69
D=0.44
K=523 ton/m
K=736 ton/m
K= 469 ton/m
Kv=0.9
Kv=0.9
Kc=1.33
Kc=1
Kc=1
k=1.56
k=2.86
k=1.3
a=0.58
a=0.69
a=0.55
D=0.58
D=0.69
D=0.55
K=348 ton/m
K=414 ton/m
K=330 ton/m
Calculo de 15 tn
2
15 tn
K= 523+736 + 469 =1728 ton/m 8 tn
15 tn
1
8 tn
K= 348 + 414 + 330 =1092 tn/m 23 tn
∑
∑
APLICACIÓN POR EL MÉTODO DE MUTO Aplicamos el método a nuestro edificio para el eje principal 1-1 (igual que eje 2-2) Analizamos el primer nivel Hallamos la rigidez para las vigas y columnas E=15100* E=15100* E=2.1882*106 ton/m2
√
5 , 3
C1
C3
5,425
C8
5,425
C11
5,425
VIGA: 0.25x0.50 m Columna: 0.25x0.50 m
Kv=I/hK0 Consideramos como rigidez rigidez estándar de la estructura K0=0.001 m3 Coef. De rigidez a flexión:
Para c1:
Se debe cumplir que K>0.2
0.480 8 6 8 . 0
K=0.553 a=0.217
Dx=0.188 K=548.5855 ton/m
0.480 8 6 8 . 0
K=1.106 a=0.356
Dx=0.309 K=901.829 ton/m
0.480
0.480 8 6 8 . 0
K=1.106 a=0.356
Dx=0.309 K=901.829 ton/m
0.480
8 6 8 . 0
K=0.553 a=0.217
Dx=0.188 K=548.5855 ton/m
0.480
K=0.553
K=1.106
K=1.106
K=0.553
a=0.217 8 6 Dx=0.188 8 . 0 K=548.5855 ton/m
a=0.356 8 6 Dx=0.309 8 . 0 K=901.829 ton/m
a=0.356 8 6 Dx=0.309 8 . 0 K=901.829 ton/m
a=0.217 8 6 Dx=0.188 8 . 0 K=548.5855 ton/m
0.480
0.480
0.480
K=0.645
K=1.29
K=1.29
K=0.645
a=0.433 4 4 Dx=0.322 7 . 0 K=690.4735 ton/m
a=0.544 4 4 Dx=0.405 7 . 0 K= 867.8113 ton/m
a=0.544 4 4 Dx=0.405 7 . 0 K= 867.8113 ton/m
a=0.433 4 4 Dx=0.322 7 . 0 K=690.4735 ton/m
A
B
PÓRTICO X1: PARA LAS RIGIDECES LATERALES 3º PISO: 2900.8290 ton/m 2º PISO: 2900.8290 ton/m 1º PISO: 3116.5695 ton/m
C
D
BIBLIOGRAFÍA:
“ANÁLISIS DE EDIFICIOS”. Ángel San Bartolomé; 2da edición 1999; universidad católica del Perú.
“DISEÑO DE ESTRUCTURAS APORTICADAS DE CONCRETO ARMADO” Genaro Delgado Delgado Contreras; EDICIVIL; 2003.
