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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
Realizado por: Ing° Carlos Silva Castillo
Tema: MÉTODO GENERAL PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO RECTANGULAR
1
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ÍNDICE Resumen
01
Parte I. Discusión del método. Cálculos y deducciones
01
1 Preliminares
01
2 Coeficientes de rigidez
05
3 Matriz de rigidez
06
4 Condensación de la matriz de rigidez
06
5 Casos particulares
09
5.1 Pórtico simétrico con columnas de igual altura
09
5.2 Pórtico simétrico de la misma sección transversal: 6 Estudio de los casos extremos
11
6.1 Valor mínimo
11
6.2 Valor máximo
12
Parte II. Algunas Aplicaciones
13
Parte II. Conclusiones y recomendaciones
16
Parte III. Bibliografía
17
Anexos
18
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MÉTODO GENERAL PARA DETERMINAR LA RIGIDEZ LATERAL DE UN PÓRTICO RECTANGULAR Resumen Dos fueron las razones que impulsaron la elaboración del presente trabajo. Primero, tiene por finalidad desarrollar un método general que permita determinar la rigidez lateral de un pórtico rectangular que trabaja dentro del rango elástico y que se supone axialmente rígido, que sea del material que fuese (concreto armado, acero, madera, etc.) siempre y cuando el pórtico en cuestión esté hecho de un mismo material. La importancia de conocer o calcular la rigidez lateral, estriba en que prácticamente todos los parámetros dinámicos del pórtico (tal como la frecuencia natural de vibración, por ejemplo) dependen de este valor. Segundo, la información existente en el medio se presenta, casi siempre, en otros idiomas que no sea el español, lo que hace tedioso el estudio para un alumno que, además de la Dinámica de Estructuras, tiene que estudiar el idioma Inglés ya que la información brindada en nuestro idioma materno no siempre está completa o se da de una manera sesgada e incompleta. Para su deducción se ha empleado el método de la condensación estática de la
matriz de rigidez, se deducen y estudian varios casos particulares, terminando con algunos ejemplos prácticos donde se ilustran el poder del método obtenido. Parte I: Discusión del Método. Cálculos y deducciones 1 Preliminares: Se hace necesario conocer, para ensamblar la matriz de rigidez, los coeficientes de rigidez para
un miembro sea este una viga o columna sometido a diferentes efectos tales como la flexión o el corte.
Es posible aplicar los diversos métodos del Análisis Estructural y demostrar que en tales circunstancias se tienen los siguientes resultados:
Fig N° 01: Coeficientes de rigidez Usando este resultado elemental, estamos en la capacidad de formar la matriz de rigidez para
el pórtico mostrado:
3
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Fig N° 02: Pórtico empotrado en sus bases y con características generales Donde: H = Altura de la columna de la izquierda h = Altura de la columna de la derecha L = Longitud de la viga
E = Módulo de elasticidad (se supone que todo el pórtico es del mismo material) Ic1 = Momento de inercia de la columna de la izquierda Ic2 = Momento de inercia de la columna de la derecha Iv = Momento de inercia de la viga
El sistema tiene tres grados de libertad (en el futuro, GDL) tal como de muestra en la figura
siguiente:
Fig N° 03: Grados de libertad del pórtico suponiéndolo rígido axialmente 4
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2 Coeficientes de rigidez: Dado que el sistema tiene 3 GDL, la matriz de rigidez será de 3 3 y para obtener cada columna de dicha matriz, por definición de coeficiente de rigidez, se dan desplazamientos o rotaciones unitarias según la dirección del GDL empleándose en cada caso los resultados de la Fig. N° 01. Para determinar la primera columna de la matriz de rigidez, se realiza un desplazamiento unitario a lo largo del GDL x1, manteniéndose los otros GDL nulos. O sea x1 1 y x2 x3 0 , obteniéndose:
Fig N° 04: Coeficientes de rigidez cuando x1 1 y x2 x3 0 Para determinar la segunda columna de la matriz de rigidez, se realiza una rotación unitaria a lo largo del GDL x2, manteniéndose los otros GDL nulos. O sea x2 1 y x1 x3 0 , obteniéndose:
Fig N° 05: Coeficientes de rigidez cuando x2 1 y x1 x3 0
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Para determinar la tercera columna de la matriz de rigidez, se realiza una rotación unitaria a lo largo del GDL x3, manteniéndose los otros GDL nulos. O sea x3 1 y x1 x2 0 , obteniéndose:
Fig N° 06: Coeficientes de rigidez cuando x3 1 y x1 x2 0 3 Matriz de rigidez: Habiendo calculado los coeficientes de rigidez, estamos en condiciones de formar la matriz de
rigidez del pórtico, obteniendo al ensamblar:
6 EIc1 6 EIc2 Ic1 Ic2 12 E H 3 h3 2 2 H h 6 EIc1 2 EIv Ic Iv K 4E 1 2 H L H L 6 EIc2 Ic 2 EIv Iv 4E 2 2 h L L h
(1.1)
4 Condensación de la matriz de rigidez: El término condensación se refiere a la disminución en tamaño de un sistema de ecuaciones por la eliminación de determinados GDL. Físicamente equivale a sustituir todo el pórtico por un sistema cuyo modelo matemático está dado por una masa puntual y un resorte de rigidez k* (condensada de la matriz). Para determinar una expresión general de condensación de la matriz de rigidez para una fuerza lateral, como se supone que el trabajo del pórtico es bajo el rango elástico, es aplicable la Ley de Hooke:
K F 6
(1.2)
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Donde:
K = Matriz de rigidez = Matriz de desplazamientos F = Matriz de fuerzas La matriz columna de fuerzas tiene sólo un elemento no nulo que es el primero+ ya que sólo se
está suponiendo un comportamiento lateral del pórtico, esto es a la largo del GDL x1. Debido a esto las otras dos componentes son nulas (o sea, las que se ubicarían a lo largo de los GDL x2 y x3) ya que no
hay fuerzas en dichas direcciones. Representando la ecuación (1.2) en su forma particionada, se obtiene:
kaa k ba
kab a f kbb b 0
(1.3)
Desarrollando el producto matricial, obtenemos el sistema:
kaa a kab b f
(1.4)
kba a kbb b 0
(1.5)
Despejando b de la ecuación (1.5):
b kbb kba a 1
(1.6)
Reemplazando en (1.4) y factorizando a :
k
kab kbb kba a f 1
aa
(1.7)
Definiendo la expresión entre paréntesis como matriz condensada k* , y arreglando para que
tenga el aspecto de la ley de Hooke:
k * a f
(1.8)
De donde, por definición de matriz condensada:
k * kaa kab kbb kba 1
7
(1.9)
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Fig N° 07: Interpretación física de la condensación de la matriz de rigidez Condensando la matriz de rigidez del pórtico dada por la ecuación (1.1): 1
Ic1 Iv 6 EIc1 2 EIv 4E H L 2 L 6 EIc2 H 2 6 EIc h 2 EIv Ic Iv 4E 2 2 2 L L h h
Ic Ic 6 EIc k * 12 E 13 32 2 1 h H H
(1.10)
Llevando a cabo las operaciones matemáticas y simplificando algebraicamente:
k*
12 E H 3 LIc22 ( HIv LIc1 ) h 4 Ic1 Iv(3HIv LIc1 ) hIc2 3H 4 Iv 2 HLIc1 Iv 4h 2 3hH 4 H 2 h 2 L2 Ic12 h H 3hHIv 4 LIv hIc1 HIc2 4 L Ic1 Ic2 3
3
2
2
(1.11)
Dividiendo a numerador y denominador entre Iv tenemos: Ic Ic 2 12 E H 3 LIc22 ( H L 1 ) h 4 Ic1 (3HIv LIc1 ) hIc2 3H 4 Iv HLIc1 4h 2 3hH 4 H 2 h 2 L2 1 Iv Iv k* Ic Ic h3 H 3 3hHIv 4 L hIc1 HIc2 4 L2 1 2 Iv
(1.12)
Esta expresión es precisamente la que andamos buscando, es aquella que nos da el valor de la
rigidez lateral del pórtico en estudio. Observamos su aspecto exterior complicado y de forma poco agradable para su memorización, razón por la cual se prefiere en un ejercicio práctico comenzar por la formación y ensamblaje de la matriz de rigidez y luego llevar a cabo el cálculo de su condensada,
antes que usar una fórmula general de muy complicado aspecto. Pero veamos algunos casos
particulares en que esta expresión adopta formas más manejables y simples. En lo que sigue, siempre que se hable de rigidez del pórtico se refiere al valor que se obtiene al condensar la matriz de rigidez, por lo simplemente hablaremos de rigidez. O sea k * k
8
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5 Casos particulares: 5.1 Pórtico simétrico con columnas de igual altura:
Para el caso en que las dos columnas del pórtico tienen la misma altura, teniendo cada una
diferente sección transversal, esto es si
= ℎ, reemplazando en (1.6) se obtiene:
Fig N° 08: Pórtico simétrico, con columnas de diferente momento de inercia Ic Ic 2 12 E h 3 LIc22 ( h L 1 ) h 4 Ic1 (3hIv LIc1 ) hIc2 3h 4 Iv 11h 3 LIc1 h 2 L2 1 Iv Iv k Ic Ic h 6 3h 2 Iv 4hL Ic1 Ic2 4 L2 1 2 Iv
(1.13)
Podemos observar que aún conserva su aspecto poco amigable aunque sólo un poco
simplificada.
5.2 Pórtico simétrico con columnas de igual altura y de la misma sección transversal:
Además de la condición en (1.7), obtenemos:
= ℎ, debe cumplirse que Ic1 Ic2 Ic . Imponiendo esta condición
Fig N° 09: Pórtico simétrico, con columnas de igual momento de inercia 9
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Ic 12 EIc 6h L Iv k Ic h3 3h 2 L Iv
(1.14)
Dividiendo a numerador y denominador entre L y reordenado, se tiene:
h Ic 6 12 EIc L Iv k h3 3 h 2 Ic Iv L
(1.15)
Para simplificar la ecuación anterior y hacerla más manejable, introducimos los siguientes parámetros
Ic h y j , la ecuación anterior queda: Iv L
k
12 EIc 6 j h 3 3 j 2
(1.16)
6j , estudiemos la variación de como función de los parámetros y 3 j 2 j , se obtiene el gráfico siguiente para diferentes valores del parámetro j : Llamando
Fig N° 10: Variación del parámetro 10
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Analizando este gráfico llegamos a determinar los valores extremos que puede tomar este
parámetro , el mínimo valor es 0.5 y el máximo es 2
0.5 2
(1.17)
Este resultado es muy importante, quiere decir que el valor de la rigidez lateral de un pórtico
simétrico rectangular que tiene idénticas secciones transversales en las columnas, está limitado entre dos extremos. De la ecuación (1.16) y de la definición del parámetro :
k
12EIc h3
(1.18)
Introduciendo los valores extremos que puede tomar el parámetro y que se resumen en la ecuación (1.17), obtenemos finalmente los valores extremos de la rigidez:
6
EIc EIc k 24 3 3 h h
(1.19)
6 Estudio de los casos extremos: 6.1 Valor mínimo
km í n 6
EIc h3
(1.20)
Matemáticamente hablando, se tiene este valor ante dos posibilidades: a.
j 0 que ocurre, a su vez, cuando la altura del pórtico es nula ( h 0 ) o despreciable en comparación con la longitud de la viga ( L )
b.
que solamente puede ocurrir si el momento de inercia de la viga es nula o despreciable ( Iv 0 ). Esto quiere decir, cuando la viga no tiene rigidez alguna. Formalmente hablando, este se da cuando la rigidez de la viga ( EIv ) es cero o despreciable ( EIv 0 )
Se podría haber llegado más rápidamente a este resultado analizando el pórtico en estudio para el
caso en que la viga carece de rigidez ( EIv 0 ), como se puede observar en la siguiente Fig N° 11. En este caso, la rigidez lateral está dada por la suma de rigideces de columnas en ausencia de viga:
k
columnas
3
EIv EIv 6 3 3 h h
11
(1.21)
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Fig N° 11: Caso del pórtico con viga de rigidez despreciable 6.2 Valor máximo
km áx 24
EIc h3
(1.22)
Matemáticamente hablando, se tiene este valor ante dos posibilidades: a.
j que ocurre, a su vez, cuando la altura del pórtico es infinita ( h ) o muy grande en comparación con la longitud de la viga ( L 0 )
b.
0 que solamente puede ocurrir si el momento de inercia de la viga es infinita o muy grande en comparación con el de las columnas ( Iv ). Esto quiere decir, cuando la viga es completamente rígida. Formalmente hablando, este se da cuando la rigidez de la viga ( EIv ) es muy grande o infinita1 ( EIv ). Es posible que también se halla llegado a este resultado cuando el momento de inercia de las columnas es nula o despreciable ( EIc 0 ), pero por obvias razones de estabilidad y seguridad estructural es absurdo que se tenga una columna carente de rigidez ¡Pues el pórtico se desploma!
Se podría haber llegado más rápidamente a este resultado analizando el pórtico en estudio para el
caso en que la viga se puede suponer como completamente rígida ( EIv ), como se puede observar en la siguiente Fig N° 12. En este caso, la rigidez lateral está dada por la suma de rigideces de columnas:
k
columnas
12
EIv EIv 24 3 3 h h
1
(1.23)
Esto es lógico por cuanto la rigidez de un elemento no sólo está dada por la forma de la sección transversal sino también por su módulo de elasticidad. Pensemos en dos barras de las mismas dimensiones pero una de plástico y la otra de acero. Tienen el mismo momento de inercia, pero diferente módulo de elasticidad, razón por la cual más rígida será la barra de acero que la de plástico, ya que tiene mayor valor del módulo de elasticidad.
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Fig N° 12: Caso del pórtico con viga completamente rígida Parte II: Algunas aplicaciones Ejemplo 01:
Determinar la rigidez lateral del siguiente pórtico de concreto armado con f 'c 210 kg / cm 2 las dimensiones de los elementos son Col 1 = 0.40m0.40m, Col 2 = 0.35m0.35m y viga = 0.30m0.60m.
La manipulación matemática se detalla en la siguiente hoja de cálculo, usando la Ec. (1.12):
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Ejemplo 02:
Determinar la frecuencia natural de vibración para un pórtico de concreto armado con f 'c 280 kg f / cm 2 las dimensiones de los elementos son Col 1 = 0.50m0.45m, Col 2 =
0.45m0.40m y viga = 0.30m0.50m. Se puede suponer una masa distribuida uniformemente en el techo de 25 t/m, despreciar la masa del pórtico.
La manipulación matemática se detalla en la siguiente hoja de cálculo, usando la Ec. (1.13):
Calculamos la masa como una cantidad puntual:
m 25 4.20 105 t 105000 kg Finalmente hallamos la frecuencia natural de vibración:
k 3447.6815 kg / s 2 0.1812 rad/s m 105000 kg 14
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Ejemplo 03:
Hallar una expresión general que permita determinar la rigidez lateral de un pórtico
rectangular simétrico, donde tanto la viga como las columnas tienen el mismo momento de inercia I; además, la longitud de la viga es el doble del valor para la altura de las columnas.
Este ejemplo se resuelve aplicando directamente la Ec. (1.16), donde los valores de los Ic I h h 1 parámetros ahí encontrados son 1 y j . Reemplazando estos resultados en la Iv I L 2h 2 citada ecuación:
1 6 1 12 EI 96 EI 2 k 3 1 h 3 2 1 7 h3 2 Ejemplo 04:
Hallar el gráfico tridimensional de la variación del parámetro en función de y j. O sea, graficar la función
6j 3 j 2
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Parte III: Conclusiones y recomendaciones 1. El conocimiento del parámetro llamado rigidez lateral es fundamental para la determinación de muchos parámetros mecánicos de un pórtico, sin cuyo valor nada podría hacerse para calcular el periodo de vibración, por ejemplo.
2. Se ha desarrollado un método general para determinar la rigidez lateral de un pórtico
rectangular axialmente rígido y que trabaja en el rango elástico, empleando fórmulas y métodos
algebraicos
en
vez
de métodos
matriciales,
pero
deducidos
fundamentalmente del método estático de condensación de la matriz de rigidez.
de éstos,
3. Los ejemplos resueltos en este trabajo empleando las fórmulas algebraicas obtenidas para el cálculo de la rigidez lateral de un pórtico rectangular, han sido verificados empleando los softwares Mathematica® y la hoja de cálculo Excel®. Los resultados de dichas verificaciones se adjuntan en el anexo correspondiente.
4. Los ejemplos planteados y resueltos, tuvieron (dentro de la precisión de los cálculos y del programa usado) los mismos resultados, quedando verificado que los métodos algebraicos y deducidos en este trabajo son fiables y seguros.
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Parte IV: Bibliografía 1.0 PAZ, Mario – LEIGH, William. “STRUCTURAL DYNAMICS – Theory and Computation – Updated with SAP2000” KLUGER ACADEMIC PUBLISHERS Printed in the United States of America – 2004 – 844 pp 2.0 ZALKA, Karoly A. “GLOBAL STRUCTURAL ANALYSIS OF BUILDINGS” E & FN SPON London – 2000 – 334 pp 3.0 CHOPRA, Anil K. “DYNAMICS OF STRUCTURES - Theory and Aplications to Earthquake Engineering” PRENTICE HALL Printed in the United States of America – 1995 – 730 pp
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12 G Ic1 H3 Ic2 h3 In[4]:=
Out[4]=
In[5]:= Out[5]=
In[14]:=
6 G Ic1 H2
K
6 G Ic2 h2
12 G
6 G Ic1 H2
6 G Ic2 h2
2 G Iv L
4 G Ic2 h Iv L
4 G Ic1 H Iv L
2 G Iv L
, H3 h3 H2 h2 6 G Ic1 Ic1 Iv 2 G Iv 6 G Ic2 2 G Iv ,4G , , , ,4G 2 H L L L H h2 Ic1
G 15 000 15 000
Ic2
6 G Ic1
,
6 G Ic2
,
Ic2
h
Iv L
210
210
Ic1 40 403 12 640 000
Out[14]=
3
In[15]:=
Ic2 35 353 12 1 500 625
Out[15]=
12
In[16]:=
Iv 30 603 12
Out[16]=
540 000
In[17]:=
H 420
Out[17]=
In[18]:= Out[18]=
In[19]:= Out[19]=
In[20]:=
Out[20]=
420 h 310 310 L 515 515 K
10 21
117 152 040 625
16 000 000
10 21
, 4 379 277 16 000 000
7
10 21
202 000 000 000
10 21
3 240 000 000
103 210
3 240 000 000 ,
103 210
278 162 187 500 ,
103
3193
,
210
,
7
961
210
961
, 112 546 875
112 546 875 ,
,
210
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Untitled-1
In[21]:=
12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2 . Inverse
In[22]:=
6 G Ic1 H2 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L . 2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L 6 G Ic2 h2
215 247 461 950 557 846 875
105 2
15 396.2
117 626 365 598 122
10 21
28 967 052 932 409 375
N 8 645 537 871 461 967
Out[24]=
28 967 052 932 409 375
8 645 537 871 461 967
215 247 461 950 557 846 875 In[24]:=
10 21
117 626 365 598 122
105 2
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12 G Ic1 H3 Ic2 h3 In[4]:=
Out[4]=
In[25]:= Out[25]=
In[26]:=
6 G Ic1 H2
K
6 G Ic2 h2
12 G
6 G Ic1 H2
6 G Ic2 h2
2 G Iv L
4 G Ic2 h Iv L
4 G Ic1 H Iv L
2 G Iv L
, H3 h3 H2 h2 6 G Ic1 Ic1 Iv 2 G Iv 6 G Ic2 2 G Iv ,4G , , , ,4G 2 H L L L H h2 Ic1
G 15 000 30 000
Ic2
6 G Ic1
,
6 G Ic2
,
Ic2 h
280
70
Ic1 50 453 12 759 375
Out[26]=
2
In[27]:= Out[27]=
In[28]:=
Ic2 45 403 12 240 000 Iv 30 503 12
Out[28]=
312 500
In[29]:=
H 325
Out[29]=
In[30]:= Out[30]=
In[31]:= Out[31]=
In[32]:=
Out[32]=
325 h 325 325 L 420 420 K
14 277 600
70
109 350 000
70
, 2197
109 350 000
69 120 000
69 120 000
169
169
20 882 500 000
70
10 7
, 169
,
10 , 312 500 000
13
70
7 16 189 000 000
10 , 312 500 000
169
70
,
, 7
13
10 7
,
Iv L
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Untitled-1
In[33]:=
12 G Ic1 H3 Ic2 h3 6 G Ic1 H2 6 G Ic2 h2 . Inverse
Out[33]=
6 G Ic1 H2 4 G Ic1 H Iv L 2 G Iv L . 2 G Iv L 4 G Ic2 h Iv L 6 G Ic2 h2
791 359 496 773 200
N 188 392 976 291
Out[34]=
70
188 392 976 291
791 359 496 773 200 In[34]:=
70
35 144.6
