MATLAB

BAB 7. SIMULASI MONTE CARLO

A. PENDAHULUAN

Bagian ini menjelaskan pemodelan sistem dengan model Monte Carlo. Pemodelan ini berkaitan dengan model probabilistic suatu event atau kejadian berdasarkan berdasarkan history atau sejarah kejadian yang telah terjadi (recorded (recorded data). data). Metode Monte Carlo merupakan dasar untuk semua algoritma dari metode simulasi yang didasari pada pemikiran penyelesaian suatu masalah untuk mendapatkan hasil yang lebih baik dengan cara memberi nilai sebanyak banyaknya banyaknya (nilai bangkitan/Generated bangkitan/Generated Random Number ) untuk mendapatkan ketelitian yang lebih tinggi. Metode ini menganut system pemrograman yang bebas tanpa tanpa telal telalu u bany banyak dii diikat oleh oleh rul rule atau atu aturan terten tertentu tu.. Setelah mendapat materi ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Mengenal konsep dasar metode Monte Carlo dalam memformulasikan masalah dengan baik 2. Memahami konsep konse p kerja ker ja bilangan bilangan acak ac ak (Random Numbe Number) r) 3. Menyederhanakan system menjadi suatu algoritma 4. Menyusun algoritma 5. Membuat program simul simulas asii Monte Carlo Ca rlo

Teknik Simulasi dan Pemodelan Mahmud Achmad

7-1

B. DASAR TEORI SIMULASI SI MULASI MONTE CARLO 1. Variabel Random Menurut Menur ut Bain dan da n Engelhardt Engelhard t (1992) Var Variabe iabell random rando m didefinisikan pada ruang sampel



adal ada la h s uatu fungsi fungs i ya ng

yang menghubungkan setiap hasil yang

 di  dengan suatu bilangan real, yaitu () = . Jika himpunan hasil yang mungkin dari variabel random  merupakan himpunan terhitung, { ,  , …  }, atau , {  ,  , … }, maka disebut variabel random rando m diskrit. Fungsi Fungsi ( ) =  [  = ] ,  = ,  , … (7.1) yang menentukan nilai probabilitas untuk masing-masing nilai  yang mungkin

mungkin

1

n

1

2

X

2

1

2

n

disebut dengan fungsi densitas probabilitas diskrit.

Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random



yang didefinisikan untuk

bil bilang angan real adalah adalah sebagai beriku berikut

  (  ≤ ) (7.2) Variabel random  disebut variabel random kontinu jika ( ) fungsi densitas probabilita probabilita s dari , sehingga fungsi distribusi kumulatif dapat dinotasikan ( )=

sebagai berikut:

 ∫   t

( )= Jika

(7.3)

var iabel random diskrit de ngan ngan fungsi dens itas probabili probab ilitas tas

 (), maka

 ( ) = ∑ . Jika adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas  ( ), maka nilai ekspektasi dari  didefinisikan sebagai  ( ) = ∫     (7.4) ( ) sering kali ditulis dengan  atau  

nilai ekspektasi dari

didefinisikan sebagai

E X

.

Varians dari variabel random X didefinisikan X didefinisikan sebagai berikut ar ( ) = ( - ) 2

(7.6)

Jika adalah ad alah variabel random, maka ar ( ) = ( ) 2 - 2

(7.7)

        


7-2

Ukuran sebaran yang sering digunakan selain varians adalah standar deviasi yang merupa merupakan kan akar ak ar kuadrat kuadr at dari dar i varians. (7.8)

 dan  adalah konstanta, maka ar(a  +  ) = a ar ( ) (7.10) Jika  da n  adalah variabel random yang saling independen dan (  ) dan  () Jika adalah ada lah variabel random, 2

adalah fungsi, maka

    [( )] [h() ] Kovarians Ko varians dari dar i variabel random rando m dan da n  didefinisikan sebagai  ( ,) =  [(  –  )(Y-  )] Jika dan  independen, didapat  ( ,) = ( ) – ( ) ( ) =0 [ ( ) h ( )] =

ov

x

ov

XY

y

E X E Y

(7.11)

(7.12)

(7.13)

Notasi lai lain n untuk tuk kovari kovarian anss adalah adalah ơ xy xy .

 gabungan ( , Jika



1

dan

2

adalah variabel random dengan fungsi densitas probabilitas

1 x 2),

maka (7.14)

Selanjutya diperoleh:


7-3

Johnson dan Wichern (2002) mengungkapkan jika



dengan mean , dan kovarians ∑, vektor random



adalah variabel random dengan ordo

 × 1 maka

ditulis sebagai matriks yaitu:

Atau

dengan

 adalah varians ke-  i = 1, … , , ∑ menunjukkan matriks varians

kovarians.

2. Distribusi Binomial Distribusi Binomial digunakan untuk mengetahui besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa tertentu atau banyaknya terjadi peristiwa sukses dalam n kali


7-4

percobaan (trial ). Misal

adalah banyaknya kejadian sukses,



adalah besarnya

peluang terjadinya peristiwa sukses, maka dapat dinotasikan sebagai

 ~ ( ,  ) in

(Bain dan Engelhardt, 1992). Fungsi densitas probabilitas dari distribusi binomial adalah

(7.15) sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Binomial adalah (7.16)

3. Distribusi Normal Variabel ra ndom jika

dikatakan berdistribus i normal de ngan mean

 mempunyai fungsi densitas probabilitas berbentuk

 dan varians  , 2

(7.17)

∞ <  < ∞, dimana - ∞ <  < ∞ dan 0 <  < ∞, yang dinotasikan sebagai ~ N (  ,  ) (Bain dan Engelhardt, 1992). Jika  ~ ( ,  ) , maka  =  −  mengikuti distribusi normal standar dengan untuk -

2

2

fungsi densitas probabilitas adalah (7.18) dengan mean 0 dan varians 1, atau ditulis

 = X − ~( 0,1 )

(Bain dan

Engelhardt, 1992).

4. Distribusi Normal Multivariat Distribusi normal multivariat merupakan perluasan dari distribusi normal univariat. Dengan demikian distribusi normal multivariat

 ,  … X p] mempunyai bentuk:

[

1

 dimensi untuk vektor random  =

2

(7.19)


7-5

5. Fungsi Lagrange



Untuk memaksimumkan atau meminimumkan ( ) terhadap kendala

() = 0

dengan menyelesaikan persamaan

∇() = ∇ () dan () = 0 (5.20) untuk  dan . Tiap titik  adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan  yang berpadanan disebut pengali Lagrange, dengan ∇ ) merupakan vektor gradien dari () dan ∇ ) merupakan vektor grad ien dar i () (Purcell dan Varberg, 1987). Jika ada lebih dari satu kendala yang diberlakukan pada variabel-variabel suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, maka digunakan pengali pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala) (Purcell dan Varberg, 1987).

6. Uji Lilliefors untuk kenormalan Uji Lilliefors merupakan metode untuk menguji data apakah data berasal dari distribusi normal atau tidak. Metode ini menggunakan statistik uji tipe Ko lmogorov-



Smirnov yaitu pada jarak vertikal maksimum antara fungsi kumulatif ( ) distribusi empirik sampel random standar yang disebut

 ,  ,. . . , p dengan fungsi k umulatif distribusi normal 1

2

 (Conover, 1980).

Uji Hipotesis:

 : Data berasal dari distribusi normal  : Data tidak berasal dari distribusi normal 0 1

Statistik Uji (7.21)

 ditolak jika 0

-  alue <

.

7. Matriks Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-b ilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.


7-6

Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis horisontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.

  , adalah sebuah matriks dengan jumlah baris  dan kolom n, maka a menyatakan entri yang terdapat di dalam baris  dan kolom  dari . Jadi sebuah Jika

ij

matriks dapat dituliska n sebagai berikut:

(7.22) Jika

dan



 + 

adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah

adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan sama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks- matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. Jumlah



anggota

+



adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-

dan anggota-anggota



yang berpadanan. Sedangka n selisih

matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota-anggota anggota

 yang berpadanan.



 -

adalah

dengan anggota-

(7.23) (7.24)

 adalah suatu matriks dan  adalah suatu skalar, maka hasil kali ( product )  adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari  oleh . Jika

(7.25) Jika adalah matriks

× da n 

  , maka hasil kali 

adalah matriks ×

adalah

 yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam bar is dan kolom  dari , memilih bar is  dari matriks  da n kolom  dari matriks . Mengalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut matriks

bersama-sama dan kemudian menambahkan hasil kali yang dihasilkan.


7-7

(7.26)

 ×  , maka tra nspos  dinyatakan oleh  dan difinisikan dengan matriks  ×  yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari  , kolom keduanya adalah baris kedua dari , demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari  , dan seterusnya. Jika A adalah sebarang matr iks

(7.27)

 adalah sebuah matriks, dan jika dapat mencari matriks  sehingga  =  = , maka  dikatakan dapat d ibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari  . Jika dapat dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan simbol  , maka: Jika

I

-1

(7.28)

8. Pembangkit Bilangan Random Dalam sistem nyata, faktor keacakan menyebabkan sesuatu tidak sepenuhnya dapat diramalkan. Dalam metode Monte Carlo faktor kerandoman dimasukkan ke dalam model dengan melibatkan satu atau lebih variabel random. Sebuah metode untuk membangkitkan b ilangan random dikatakan ba ik jika bilangan random yang dihasilkan memenuhi sifat kerandoman, saling independen, memenuhi distribusi statistik yang diharapkan, dan dapat direproduksi.

C. METODE SIMULASI MONTE CARLO Metode Simulas i Monte Carlo adalah suatu metode untuk mengevaluasi s uatu model deterministik yang melibatkan bilangan acak sebagai salah satu input. Metode ini sering digunakan jika model yang digunakan cukup kompleks, non linear atau melibatkan lebih dari sepasang parameter tidak pasti. Sebuah simulasi Monte Carlo dapat melibatkan 10.000 evaluasi atas sebuah model, suatu pekerjaan di masa lalu hanya bisa dikerjakan oleh sebuah software komputer.


7-8

Suatu model memer lukan para meter input da n beberapa persamaan yang digunakan untuk menghasilkan output (atau variabel respon). Dengan menggunakan parameter input berupa bilangan random, maka dapat mengubah suatu model deterministik menjadi model stokastik, dimana model deterministik merupakan suatu model pendekatan yang diketahui dengan pasti sedangkan model stokastik tidak pasti. Simulasi Monte Carlo adalah metode untuk menganalisa perambatan ketidakpastian, dimana tujuannya adalah untuk menentukan bagaimana variasi random atau error mempengaruhi sensitivitas, performa atau reliabilitas dari sistem yang sedang dimodelkan. Simulasi Monte Carlo digolongkan sebagai metode sampling karena input dibangkitkan secara random dari suatu distribusi probabilitas untuk proses sampling dari suatu populasi nyata. Oleh karena itu, suatu model harus memilih suatu distribusi input yang paling mendekati data yang dimiliki (Rubinstein, 1981).

D. CONTOH APLIKASI 1. Aplikasi Metode Simulasi Monte Carlo untuk Menduga Debit Aliran Sungai Dalam perencanaan suatu proyek irigasi, aliran sungai merupakan sumberdaya air yang sangat potensial untuk dimanfaatkan. Pernberdayaan aliran sungai dapat dilakukan dengan cara rnembendung atau menampung di dalam sebuah waduk, tergantung kepada skala proyek irigasi da n besar debit aliran sunga i. Ketersed iaan debit aliran sungai sepanjang waktu perlu diana lisis secara seksama. Banyak rnetode yang dapat digunakan, salah satunya adalah metode simulasi. Debit aliran sungai merupakan salah satu kejadian hidrologi yang bersifat stokastik, oleh sebab itu analisis terhadap debit aliran sungai dapat dilakukan dengan cara menggunakan metode stokastik. Aplikasi metode stokastik dalam bidang hidrologi pertama kali digunaka n untuk mengatasi permasalahan di dalam perancangan s uatu waduk (Linsley, Kohler, and Paulhus, 1986 ).


7-9

Secara garis besar, analisis kejadian hidrologi yang bersifat stokastik (seperti debit aliran sungai) dapat dilakukan dengan dua cara, yakni dengan menggunakan: (1) Model Stokastik Analitik dan (2) Metode Simulasi Monte Carlo (Haan, Johson, and Brakensiek, 1982). Pada Model Stokastik Analitik, setiap proses yang terjadi Stokastik Analitik sering lebih memuaskan, akan tetapi mernbutuhkan biaya yang lebih besar jika dibandingkan dengan Metode Sirnuiasi Monte Carlo. Simulasi terhadap debit aliran sungai (debit rata-rata mingguan, setengah bulanan, dan bulanan) dengan menggunakan Model Stokastik Analitik telah pemah dilakukan, yakni dengan menggunakan Model Box-Jenkins, dengan hasil simulasi sangat memuaskan (Oktafri, 1994). Bertiiik tolak kepada hasil penelitian tersebut, perlu kiya untuk rnencoba Metode Simulasi . Monte Carlo sebagai perluasan altematif metode yang dapat digunakan untuk analisis keadaan debit aliran sungai pada suatu waktu. Dalam contoh ini akan diinformasikan dan direkornendasikan hasil simulasi debit aliran sungai dengan menggunaka n Metode Simulasi Monte Carlo. Hal pertama yang harus ditentukanldiketahui sebeiurn melakukan simulasi dengan rnetode Simulasi Monte Carlo adalah sebaran peluang dari peubah yang akan disimulasi. Berdasarkan kepada sebaran peluang tersebut nantinya akan diperdeh data, yakni dengan menggunakan bilangan acak. Banyak cara dapat digunakan untuk membangkitkan biiangan acak, misalnya dengan menggunakan dadu (cata manual) atau program komputer (cara mekanis). Penggunaan program komputer sangat menunjang untuk meningkatkan efektifitas dan efisiensi proses simulasi (Pramudya dan Djojomartono, 1993). Cara yang umum digunakan untuk membangkitkan bilangan acak pada simulasi kornputer adalah dengan rnenggunakan Pseudo Random

Generator,

yang telah

menjadi fungsi pustaka pada bahasa pemograman komputer. Pada bahasa BASIC, pembangkit bilangan acak dinyatalran dengan RND, sedangkan pada bahasa FORTRAN dinyatakan dengen fungsi RAN(X) atau RANF(-1). Secara bertahap,


7-10

langkah-langkah utama yang harus dilakukan di dalam proses simulasi Monte Carlo adalah sebagai berikut: 1. Penentuan sebaran peluang untuk peubah acak pokok dari sistem yang dianalisis atau diiimulasi. Sebaran peluang suatu peubah dapat dipedeh dari data historis, percobaan, atau dari suatu pilihan yang bersifat apriori (perkiraan). Sebaran peluang yang sering digunakan pada simulasi Monte Carlo dapat dibedakan atas dua macam, yahi: (1) sebaran tiikrit dan (2) sebaran kontinu. Beberapa sebaran diiskrit standar yang sering digunakan adalah sebaran: (a) Binomial. (b) Poisson, (c) Geomettik, dan (d) HyperGeometrik. Selain itu, sebaran diskrit tidak standar juga dapat dinah untuk kondisi tertentu. Sedangkan sebaran kontinu yang sering diiunakan adalah sebaran: (a) Normal, (b) Eksponensial, (c) Gamma, (d) Erlang, dan (8) Uniform. Sebaran tidak standar juga dapat dinakan untuk kondisi tertmtu (Djojamato, 1993). Fungsi yang menyatakan sebaran peluang di atss dikenal dengan ktilah Fungsi Kepekatan Peluang ( Probability Density Funtion PDF). Mengubah PDF ke dalam bentuk kurnulatifnya, sehingga diperdeh Fungsi Ditribmi Kumulatif (Cumulative Distribution Function - CDF) dari peubah sistsm yang diiknulasi. Hal ini akan menjarnin bahwa hanya ada satu ni!ai peubah yang bemubungan dengan satu nilai biigan acak. 2. Mengambii satu contoh dari CDF dengan menggunakan bilangan acak, untuk rnenentukan nilai spesifik dari peubah yang akan tiiunakan pada ulangan simulasi. 3. Melakukan sirnulasi dengan ulangan yang cukup. Simulasi dengan bantuan komputer dapat dilakukan dengan ulangan yang lebih banyak tanpa ada masalah. SISTEM SIMULASI

Data yang digunakan adalah deret data debit aliran sungai selama 12 tahun. Data 10 tahun pertama digunakan untuk proses simulasi, sedangkan data 2 tahun tersisa (terakhir) digunakan untuk validasi hasil simulasi.


7-11

Berdasarkan aplikasi di lapang - pendugaan ketersediaan air irigasi biasanya dilakukan untuk selang waktu satu minggu - mslka simulasi dilakukan terhadap debit rata -rata mingguan. Deret data debit rata-rata mingguan sungai Cikapundung diduga mengikuti sebaran Nmai, yang dalam proses simulas i dihitung dengan persamaan :

∑  =   √     Keterangan: X

 

= debit rata-rata mingguan pada suatu waktu (m /dt) = rata-rata dari debit rerata mingguan (m3 /dt)

i N

= standar deviasi dari debit rerata mingguan (m3 /dt) = 1, 2, 3, …. N = Banyaknya iterasi

Z(i)

= bilangan acak ke - i

Simulasi dilakukan pada buian Desember 2000 dengan menggunakan Personal Computer (PC) dengan Bahasa Progra m QBASIC. Bagan alir proses s imulasi tertera pada Gambar 1. Siufas i dilakukan sebanyak 20 kali ulangan. Dari hasil simulasi

20

kali ulangan tersebut, dihitung rata -ratanya secara aritmetika. Nilai rata-rata tersebut merupakan nilai akhir dari hasil simulasi, yang akan digunakan pada aplikasi di lapang. Validasi hasil simulasi dilakukan dengan rnenggunakan rata -rata dari Persentase Kesalahan Absolut Rata- Rata (Mean Absolute Percentage Error MAPE) (Persamaan 2). Jika MAPE < 25% maka hasii simulasi dapat diterima secara memuaskan, sebaliknya jika MAPE > 25% maka has4 simulasi kurang memuaskan (Makridakii, Wheelwright, and McGee, 1983).

| ∑| =   Keterangan: Yi

= hasil simulasi pada waktu ke - t

At

= data aktual pada waktu ke - t

M

= jumlah data hasil simulasi (dalarn ha1 ini M = 48)


7-12

Uji Kenormalan

Uji kenormalan data dilakukan dengan uji Liliefors (Nasoetion dan Barizi, 1976). Hasil pengujian membuktikan bahwa deret data debi rata-rata mingguan sungai mengikuti sebaran Normal. Contoh Kasus Simulasi ini menyimpulkan:

Metode Simulasi Monte Carlo dapat diaplikasikan secara memuaskan untuk menduga (mensimulasi) debit aliran sungai pada suatu waktu (dalam ha1 ini debit rata -rata mingguan). Metode Simulasi Monte Carlo seyogyanya dapat digunakan sebagai salah satu metode ahematif untuk menganalisis debit aliran sungai. Untuk rnengetahui aplikasi yang lebih luas dari Metode Simulasi Monte Carlo pada bida ng hidrologi, per lu kiranya d ilakukan analisis lain terhadap kejadian hidrologi lainnya yang bersifat stokastik, seperti curah hujan, evaporasi, evapotranspirasi, dan sebagainya untuk dijadikan pembanding dalam pengambilan keputusan uuntuk tujuan kebijakan dan perencanaan sumber daya air.

2. APLIKASI SIMULASI MONTE CARLO DALAM ESTIMASI BIAYA PROYEK Manajemen resiko belakangan ini telah mualai mendapatkan perhatian di bidang manajemen proyek (Kwak & Stoddard, 2004). Metode yang kerap digunakan oleh manajer proyek dalam proses analisa resiko adalah simulasi Monte Carlo. Metode ini sudah lama digunakan da lam berbagai macam aplikas i matematika da n sa ins, dan juga disebutkan dalam A Guide to the Project Management Body of Knowledge (Project Management Institute, 2004). Meskipun demikian, dalam praktiknya simulasi Monte Carlo ini belum umum digunakan oleh praktisi manajemen proyek dibandingkan metode-metode yang lain, seperti CPM dan PERT misalnya. Kondisi yang ada pada saat ini, simulasi Monte Carlo hanya sering digunakan dalam batas dunia akademik yang membahas aspek resiko dalam manajemen proyek. Tulisan ini membahas aplikasi simulasi Monte Carlo dalam mengestimasi biaya sebuah proyek


7-13

dengan menggunakan program Microsoft Excel dengan mengambil contoh sebuah proyek sederhana yang terdiri dari enam aktifitas. Meskipun jumlah aktifitas dari contoh proyek ini relatif kecil, prosedur simulasi Monte Carlo yang ditunjukkan dalam tulisan ini dapat diterapkan untuk proyek yang melibatkan aktifitas yang lebih banyak. Simulasi Monte Carlo didefinisikan sebagai semua teknik sampling statistik yang digunakan untuk memperkirakan solusi terhadap masalah-masalah kuantitatif (Monte Carlo Method, 2008). Dalam simulasi Monte Carlo sebuah model dibangun berdasarkan s istem yang sebenarnya. Setiap variabel dalam model tersebut memiliki nilai yang memiliki probabilitas yang berbeda, yang ditunjukkan oleh distribusi probabilitas atau biasa disebut dengan probability distribution function (pdf) dari setiap variabel. Metode Monte Carlo mengsimulasikan sistem tersebut berulangulang kali, ratusan bahkan sampai ribuan kali tergantung sistem yang ditinjau, dengan cara memilih sebuah nilai random untuk setiap variabel dari distribusi probabilitasnya. Hasil yang didapatkan dari simulasi tersebut adalah sebuah distribusi probabilitas dari nilai sebuah sistem secara keseluruhan. Sejak pertama kali digunakan untuk keperluan militer pada Manhattan Project (Eckhardt, 1987), simulasi Monte Carlo telah diaplikasikan pada berbagai bidang antara lain; manajemen proyek, transportasi, desain komputer, finansial, meteorologi, biologi dan biokimia (Kwak & Ingall, 2007). Dalam bidang manajemen proyek simulasi Monte Carlo digunakan untuk menghitung atau mengiterasi biaya dan waktu sebuah proyek dengan menggunakan nilai-nilai yang dipilih secara random dari distribusi probabilitas biaya dan waktu yang mungkin terjadi, dengan tujuan untuk menghitung distribusi kemungkinan biaya dan waktu total dari sebuah proyek (Project Management Institute, 2004. Pada umumnya literatur-literatur manajemen proyek mene mpatkan simulasi Monte Carlo dibawah topik manajemen resiko, atau kadang berada pada topik manajemen waktu dan manajemen biaya. Project Management Institute (2004) menerapkan sebuah pendekatan standar manajemen resiko yang meliputi enam proses; Perencanaan Manajemen Resiko, Identifikasi Resiko, Kualifikasi Resiko, Kuantifikasi Resiko, Perencanaan Respon Resiko, dan


7-14

Pemantauan & Evaluasi Resiko, simulasi Monte Carlo ditempatkan sebagai bagian dari proses Kuantifikasi Resiko. Meskipun simulasi Monte Carlo adalah sebuah metode yang sangat bermanfaat untuk diaplikasikan dalam bidang manajemen proyek, simulasi jadwal proyek (McCabe, 2003) dan simulasi perataan sumberdaya (Hanna & Ruwanpura, 2007) contohnya, dala m praktiknya metode ini belum banyak digunakan oleh para manajer proyek kecuali disyaratkan oleh organisasi atau perusahaannya. Kwak & Inga ll (2007) berpendapat bahwa alasan utama simulasi Monte Carlo jarang digunakan oleh kebanyakan manajer proyek adalah: kurangnya pemahaman terhadap metode Monte Carlo dan statistik; alih-alih sebagai manfaat, manajer proyek umumnya menganggap penggunaan metode ini lebih sebagai beban terhadap organisasi atau perusahaannya. Alasan lainnya adalah so ftware khusus simulasi Monte Carlo pada proyek baru ada belakangan ini, @RISK for Project (www.palisade.co m) adalah salah satunya, software ini tersedia dalam bentuk add-in pada program Microsoft Project. Meskipun demikian, Microsoft Excel sebenarnya dapat digunakan untuk simulasi Monte Carlo dengan menggunakan fungsi RAND seperti yang ditunjukkan pada contoh ini. 1. Desai n si mul asi

Yang akan disimulasikan adalah sebuah proyek yang terdiri dari enam aktifitas. Setiap aktifitas memiliki total biaya dalam batasan yang telah ditentukan seperti yang ditunjukkan pada Tabel 7.1. Setiap variabel tersebut dapat saja mempunyai distribusi tertentu yang unik, tetapi untuk proyek ini dapat diasumsikan bahwa set iap variabel memiliki distribusi seragam (uniform distribution) tanpa mengurangi validitas hasil simulasi. Tabel 7.1. Aktifitas dan Estimasi Biaya (dalam ribuan rup iah)


7-15

Estimasi terhadap total biaya proyek terseb ut adalah sebuah variabel random dengan nilai yang terletak antara nilai total biaya minimum dan maksimum. Karena nilai variabel ini adalah jumlah dari beberapa variabel random lainnya yaitu biaya dari setiap aktifitas, variabel ini akan memiliki distribusi normal. Ini menjelaskan mengapa penggunaan distribusi tertentu yang unik untuk setiap variabel dapat diabaikan. 2 Angka ran dom

Karena alasan praktis, metode yang sering digunakan untuk menghasilkan angka random antara 0 dan 1 dalam simulasi adalah multiplicative congrueantal method (Taha, 1997). Angka yang dihasilkan oleh metode tersebut sebenarnya tidak dapat dikatakan sebagai angka random yang sebenarnya karena menggunakan operasi aritmetika yang hasilnya dapat diketahui sehingga lebih tepat jika dikatakan sebagai angka random semu (pseudorandom numbers). Jika parameter u0 , b, c dan m diberikan maka sebuah angka random semu Rn dapat dihasilkan dengan menggunakan rumus berikut.

Nilai awal u0 biasanya disebut dengan seed Dalam tulisan ini, angka random dihasilkan dengan menggunakan fungsi RAND yang ada pada Microsoft Excel . Sebagai contoh, biaya random untuk aktifitas A akan terlihat sebagai berikut: =RAND()*(20.000-15.000)+15.000, formula ini akan menghasilkan angka random yang nilainya terletak antara 15.000 dan 20.000. Jika biaya setiap aktifitas disimulasikan de ngan formula tersebut, maka biaya total dari proyek adalah jumlah dari biaya semua aktifitas. Hasil dari 5 iterasi pertama dari simulasi tersebut dapat terlihat Tabel 7.2.


7-16

Tabel 7.2. Hasil Simulasi @5 iterasi (dalam ribuan rupiah)

3. Penentu an ni l ai i terasi

Metode Monte Carlo dapat meprediksi kesalahan (error) dari simulasi, yang mana proporsional terhadap jumlah iterasinya. Total error dihitung dengan formula:

, σ adalah deviasi standar dari variabel random dan N adalah jumlah iteras i. Deviasi standar σ dihitung berdasarkan seluruh populasi, yang dalam simulasi ini anggotanya hanya dua yaitu nilai minimum (79.700) dan maksimum (104.800), dengan menggunakan formula:

σ = didapatkan =12.250. Jika diinginkan nilai absolute error yang kurang dari 2%, maka nilai tersebut didapatkan dengan menggunaka n formula:

didapatkan ε =1.845 1 Jadi jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk mendapatkan hasil dengan error yang kurang dari 2% adalah:

Nilai rata-rata dari var iabel random biaya proyek tersebut sete lah 416 iterasi terlihat pada pada Tabel 7.3.


7-17

Tabel 7.3 Hasil Simulasi Monte Carlo @416 iterasi (dalam ribuan rupiah)

Setelah dilakukan iterasi sebanyak 416 kali diperoleh parameter-parameter dari hasil simulasi Monte Carlo seperti yang terdapat pada Tabel 7.4. Setelah deviasi standar populasi dari has il simulasi diketahui, error yang sebenarnya (true error) dihitung dengan menggunakan formula berikut.

Karena random variabel dari biaya total terdistribusi secara normal, maka median seharusnya tidak jauh berbeda dengan rata-rata, hal ini terlihat pada Tabel 7.4 dimana selisih antara median dan rata-rata hanya 0,22%. Akurasi simulasi Monte Carlo ini cukup tinggi sebagaimana terlihat pada Tabel 7.4 dimana % errornya hanya 0,56%. Gambar 7.1 menunjukkan probability distribution function (pdf) dan cumulative distribution function (cdf) dari hasil simulasi Monte Carlo setelah dilakukan iterasi sebanyak 416 kali. Tabel 7.4 Parameter- parameter Hasil Simulasi Monte Carlo


7-18

Gambar 7.1. PDF dan CDF dari hasil simulasi Monte Carlo (dalam ribuan rupiah) Informasi penting lainnya yang didapatkan dari distribusi hasil simulasi adalah Kurtosis dan Skewness. Kurtosis adalah ukuran relatif dari kurva dibandingkan dengan bentuk kurva distribusi normal. Nilai Kurtosis distribusi normal adalah 0, sementara nilai Kurtosis hasil simulasi Monte Carlo adalah -0,437. Nilai Kurtosis negatif mengindikasikan bahwa bentuk kurva distribusi hasil simulasi Monte Carlo seperti yang terlihat pada Gambar 7.1 memiliki puncak yang lebih rata (platykurtic) dibanding distribusi normal. Skewness adalah ukuran simetri bentuk kurva, dimana pada distribusi nor mal nilainya adalah 0. Nilai Skewness ne gatif (-0,199) Tabel 7.3, mengindikasikan bahwa ekor dari kurva distribusi hasil simulasi Monte Carlo ini lebih condong ke arah kiri sebagaimana yang terlihat pada Gambar 2. Cumulative distribution function pada Gambar 2 d igunaka n untuk mengetahui probabilitas b iaya total proyek tersebut. Sebagai contoh, jika aggaran yang tersedia untuk proyek tersebut adalah Rp. 90 juta maka probabilitas proyek tersebut dapat dilaksanakan dengan sukses adalah sekitar 25%. Jika pemilik proyek bersikap moderat dengan menginginkan probabilitas 50%, maka anggaran yang harus disiapkan tidak kurang dari Rp. 93 juta. Jika pemilik proyek ingin lebih behati-hati maka dana yang harus disiapkan adalah sekitar Rp. 95 juta untuk mendapatkan probabilitas sebesar 75%.


7-19

H asi l Belajar Dasi Si mul asi

Sebagaimana metode-metode simulasi lainnya, ak urasi dar i hasil simulasi Monte Carlo ini sangat dipengaruhi oleh akurasi variabel-variabel inputnya yang dalam contoh kasus pada tulisan ini adalah estimasi awal dari biaya minimum dan biaya maksimum setiap aktifitas. Juga perlu dicatat simulasi Monte Carlo bukanlah sebua h penyedia solusi, metode ini hanya membantu kita dalam memprediksi perilaku sebuah sistem dengan memperhitungkan unsurunsur yang mengandung resiko dan ketidak-pastian. Solusi sebenarnya tetap berada di tangan para manajer dengan mempertimbangkan berbagai aspek, ter masuk aspek kualitatif yang ada da lam sebuah proyek.

Simulasi Monte Carlo dapat menjadi

alat yang handal bagi manajer proyek dalam menganalisa resiko dan ketidak pastian yang umum terjadi dalam pembiayaan proyek. Hasil simulasi Monte Carlo

dapat

membantu

manajer

proyek

dalam

menentukan

ekspektasi

pembiayaan proyek yang lebih realistis. Dengan kemampuan komputer dan software yang semakin berkembang, simulasi Monte Carlo ini sudah selayaknya lebih banyak digunakan oleh para manajer proyek. Melalui edukasi dan pelatihan yang menjelaskan da n mendemonstrasikan kegunaan simulasi Monte Carlo, para manajer proyek akan menyadari bahwa t idak diperlukan pengetahuan statistik tingkat tinggi untuk dapat memahami implementasi dan interpretasi simulasi Monte Carlo. Sehingga secara perlahan metode Monte Carlo ini dapat diterima di kalangan praktisi manajemen proyek dan tidak hanya sebatas digunakan dalam dunia akademik yang membahas aspek resiko dalam manajemen proyek.

3. Teknik Simulasi Untuk memprediksi Keandalan Lendutan Balok Statis Tertentu Permasalahan mengenai ketidakpastian berhubungan erat dalam perencanaan suatu struktur. Parameter-parameter dalam pemodelan suatu elemen struktur bukanlah suatu jumlah yang benar-benar diketahui, tetapi nilai prediksi atau bilangan acak. Sebagai contoh adalah beban yang bekerja pada struktur, modulus elastisitas,


7-20

dimensi penampang, dan sebagainya. Maka dalam perencanaan struktur diperlukan pula perhitungan keandalan atau probabilitas terhadap kegagalan. Pada saat ini terdapat beberapa teknik simulasi yang dapat digunakan untuk menyelesa ikan permasalahan numerik yang berhubungan de ngan keandalan struktur. Sebagai contoh teknik simulasi Monte Carlo, simulasi Latin Hypercube Sampling, dan simulasi rosenblueth’s 2K+1 point estimate. Dalam beberapa hal mungkin saja suatu persamaan numerik ternyata sangatlah kompleks dan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan tersebut dalam satu kali trial dibutuhkan waktu lama. Maka hasilnya, untuk ribuan bahkan jutaan simulasi tentu menjadi sangat lama. Oleh karena itu, diperlukan suatu teknik untuk menyelesaikan hal ini, dengan menghasilkan jawaban yang rasional dan memiliki tingkat ketelitian yang cukup baik. Tahapa n dalam contoh ini adalah: 1. melakukan simulasi Metode Elemen Hingga untuk menentukan lendutan balok, 2. melakukan simulasi Monte Carlo untuk memprediksi keandalan lendutan balok. Contoh ini memuat beberapa hal: 1. model struktur yang ditinjau adalah balok kantilever statis tertentu, 2. asumsi tumpuan yang digunaka n adalah jepit-bebas pada ujung-ujung balok, 3. beban yang bekerja adalah beban terpusat di ujung bebas, 4. asumsi berat sendiri balok dan deformasi geser diabaikan, 5. simulasi menggunakan beban terpusat sebaga i parameter bilangan acak dengan distribusi seragam dan normal. Teknik simulasi Monte Carlo merupakan suatu teknik spesial dimana kita dapat membangkitkan beberapa hasil numerik tanpa secara aktual melakukan suatu tes eksperimen. Kita dapat menggunakan hasil dari tes sebelumnya yang pernah dilakukan untuk menentukan distribusi probabilitas dari parameter-parameter yang ditinjau dalam kasus tersebut. Kemudian kita menggunakan informasi ini untuk membangkitkan parameter-paramater data numerik. Dasar dari prosedur teknik simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan acak yang terdistribusi seragam antara 0 dan 1. Metode monte carlo seringkali diterapkan dalam tiga situasi: 1. untuk menyelesa ika n suatu problem kompleks dengan solusi pendekatan,


7-21

2. untuk menyelesaikan suatu problem kompleks yang pada umumnya dalam penyelesaiannya dilakukan penyederhanaan asumsi. Dengan simulasi Monte Carlo, problem asli dapat dipelajari tanpa asumsi tersebut, 3. untuk digunakan dalam cek hasil dari teknik simulasi yang lain. Pada bilangan acak dengan distribusi seragam, fungsi PDF (probability density function) bernilai konstan untuk semua kemungkinan nilai dari bilangan acak dengan a dan b adalah batas.

Persamaan PDF, mean dan variansi kemudian

dihitung. Bilangan acak dengan distribusi seragam merupakan komponen penting dalam teori keandalan struktur. Fungsi PDF dan CDF, dan pembangkit bilangan acak juga ditentukan melalui hitungan.

Metode elemen hingga (MEH) merupakan suatu simulasi numerik untuk mendapatkan suatu hasil pendekatan, dari suatu masalah dengan syarat-syarat batas tertentu. Banyak dijumpai permasalahan yang berhubungan dengan perhitungan numerik. Pada suatu tingkat-tingkat permasalahan tertentu, penyelesaian tidak dapat diselesaikan dengan metode analitis, sehingga perlu digunakan pendekatan metode elemen hingga sebagai solusinya. Konsep elemen hingga merupakan bagian-bagian kecil dari struktur aktual. Namun, secara umum struktur actual perilakunya tidaklah demikian. Pemodelan MEH hanyalah merupakan sebuah model elemen hingga “yang mungkin” pada struktur aktualnya.


7-22

Gambar 7.5. Skema Metode Elemen Hingga [Cook, et al., 2004] Suatu balok dengan sumbu longitudinal lurus dibebani oleh gaya-gaya lateral, maka sumbu tersebut akan terdeformasi menjadi suatu lengkungan, yang disebut kurva defleksi balok [Gere, 2001].

Gambar 7.6. (a). Free-body diagrams, (b). Lendutan balok, dan (c). Model 3D balok kantilever Beberapa metode analitis dapat dilakukan untuk mendapatkan persamaan lendutan, yaitu antara lain metode integrasi momen lentur, metode balok konjugasi, dan lain sebagainya. Untuk balok kantilever statis tertentu dengan beban terpusat diujung bebas, seperti terlihat pada Gambar 7.6.a dan Gambar 7.6.c, persamaan umum lendutan dapat dihitung dengan Persamaan 7.29.


7-23

(7.29) Contoh ini menggunakan kasus berupa balok kantilever statis tertentu (tumpuan : jepitbebas) dengan beban terpusat pada ujung bebas, bentuk penampang segiempat dengan dimensi dan ukuran penampang b = 300 mm dan h = 600 mm. Panjang bentang balok 4 meter. Beban terpusat (P) sebesar 1500 N. Asumsi modulus elastisitas (E) sebesar 20000 MPa. Asumsi: Simulasi menggunakan parameter bilangan acak beban terpusat, dengan distribusi seragam dan normal masing-masing 4 set data yaitu ; 10, 100, 10000, dan 100000 data.

Gambar 7.7. Bilangan acak dengan disribusi seragam


7-24

Gambar 7.8. Bilangan acak dengan disribusi normal Data sintetik yang digunakan pada masing-masing set data tersebut dibangkitkan dengan range beban antara 1000 N sampai dengan 2000 N, baik pada bilangan acak seragam dan bilangan acak normal. Penyelesaian secara analitis dapat dihitung dengan Persamaan 7.29. Lendutan maksimum terjadi pada ujung bebas balok, atau x = 4 meter.

Simulasi numerik MEH dilakukan dengan software SAP2000 [CSI, 2006], dengan model balok menggunakan properti solid. Untuk mendapatkan hasil dengan tingkat ketelitian yang cukup baik (konvergen), maka dilakukan simulasi pada beberapa pemodelan dengan variasi jumlah ele men yang berbeda. Model- mode l yang digunaka n dalam simulasi dapat dilihat pada Gambar 7.9.


7-25

Gambar 7.9. Beberapa model untuk simulasi MEH. Selanjutnya dilakukan simulasi dengan software SAP2000. Hasil simulasi selengkapnya ditampilkan dalam Tabel 7.3. Tabel 7.3. Simulasi numerik MEH.

Hasil simulasi memperlihatkan bahwa tingkat % relatif pada model dengan jumlah elemen yang semakin banyak (atau model dengan ukuran elemen yang semakin diperkecil) menjadi semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa pada model balokM6, hasil lendutan dapat dianggap konvergen karena tingkat % relatif sebesar 0,43%. Si mul asi Monte Carl o

Analisis keandalan lendutan dilakukan dengan menggunakan persamaan lendutan dari metode analitis (Persamaan 7.29). Data sintetik berupa bilangan-bilangan acak distribusi seragam dan normal dibangkitkan masing- masing 4 set data, yaitu 10, 100, 10000, dan 100000 data dengan menggunakan software MATLAB [Mathworks,


7-26

2005]. Selanjutnya dilakukan simulasi untuk tiap set data. Hasil simulasi selengkapnya ditampilkan dalam Tabel 7.4 dan Tabel 7.5. Tabel 7.4. Hasil simulasi untuk bilangan acak seragam

Tabel 7.5. Hasil simulasi untuk bilangan acak normal

Secara umum, dapat dilihat bahwa hasil perhitungan lendutan secara analitis diperoleh sebesar 0,296296 meter, hasil simulasi numerik MEH diperoleh sebesar 0,30071 meter. Perbedaan hasil antara simulasi MEH dengan analitis sebesar 1,49 %. Perbedaan hasil simulasi Monte Carlo dengan analitis untuk 10, 100, 10000, dan 100000 data bilangan acak seragam berturutturut 4,46 %, 1,48 %, 0,47 %, dan 0,018 %. Perbedaan hasil simulasi Monte Carlo dengan analitis untuk 10, 100, 10000, dan 100000 data bilangan acak normal berturut-turut 0,008%, 0,008%, 0,062%, dan 0,025%. Kesimpulan dari contoh simulasi ini adalah: 1. simulasi numerik MEH menghasilkan tingkat ketelitian semakin tinggi sampai dengan konvergen, dengan membagi elemen semakin kecil / jumlah elemen diperbanyak pada model balok, 2. simulasi

Monte

Carlo

dengan

bilangan

acak

terdistribusi

seragam

memberikan perbedaan hasil berkisar antar 0,018 % - 4,46 %, 3. simulasi Monte Carlo dengan b ilangan acak terdistr ibusi normal memberikan perbedaan hasil berkisar antar 0,008 % - 0,025 %,


7-27

4. simulasi numerik MEH cukup baik digunakan untuk menghitung lendutan balok, hal ini dapat dilihat dar i hasil tingkat ketelitian yang semakin baik (konvergen), 5. simulasi Monte Carlo cukup baik dan rasional untuk memprediksi keandalan lendutan balok, hal ini dapat dilihat dari hasil tingkat ketelitian yang cukup tinggi.

E. SOAL DAN LATIHAN Soal: 1. Cari materi sejarah Monte Carlo dan jelaskan uraiannya. 2. Jelaskan apa perbedaan PDF dan CDF dalam sistem Monte Carlo

Latihan: Setelah menyimak 3 contoh model simulasi Monte Carlo dalam Modul ini maka: 1. Cari suatu kasus dalam system keteknikan pertanian yang memiliki komponen acak dalam kejadiannya. 2. Lakukan formulasi dan tentukan variable acak. 3. Lakukan simulasi dengan Metode Monte Carlo. 4. Cetak keluaran program dan hasil simulasi anda dengan menggunakan perangkat lunak yang anda kuasai (misal: MS-Excel, Matlab, FEMLAB)

DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 1991. Aljabar Linear Elementer . Alih bahasa Hari Suminto. Jakarta: Erlangga Bain, L J & Engelhardt, M. 1992. Introduction To Probability and Mathematical Statistics. Second Edition. California. Duxbury Press. Computer and Structures, Inc. (2006), SAP2000 Advanced Tutorials, Computer and Structures, Inc., Berkeley, CA. Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Witt, R.J. (2004), Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley and Sons, Inc.


7-28

Djojomartono, M. 1993. Pengantar Umum Analisis Sistem. Fakultas Teknologi Pertanian, lnstitut Pertanian Bogor, Bogor. Eckhardt, R. ,1987, Stan Ulam, John von Neumann, and the Monte Carlo Method. Los Alamos Science (Special Issue 15), 131-137. Gere, J.M. (2001), Mechanics of Materials – 5t h Edition, Brooks/Cole, Thomson Learning. Haan, C. T., H. P. Johnson, and D. L. Brakensiek. 1982. Hydrologic Modeling of Small Watersheds. American Society of Agricultural Engineers. Michigan USA. Hanna, M., & Ruwanpura, J. Y. ,2007, Simulation Tool for Manpower Forecast Loading and Resource Leveling. Paper presented at the Proceedings of the 2007 Winter Simulation Conference Johnson, R A & Wichern, D W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis. Yogyakarta: BPFE. Kwak, Y. H., & Ingall, L. ,2007, Exploring Monte Carlo Simulation Applications For Project Management. Risk Management, 9, 44-57. Kwak, Y. H., & Stoddard, J. ,2004, Project Risk Management: Lessons Learned from Software Development Environment. Technovation: An International Journal

of

Technical

Innovation,

Entrepreneurship

and

Technology

Management, 24(11), 915-920. Linsley, R. K., M. A. Kohler, and J. L. H. Paulhus. 1986. Terjemahan. Hidrologi untuk Insinyur. Penertbit Erlangga, Jakarta. 3 rd ed. Makridakis, S., S. C. Wheelwright, and V. E. McGee. 1983. Forecasting (Methods and Applications). John Wiley and Sons Inc., New York USA. 2 nd ed. McCabe, B. ,2003, Monte Carlo Simulation For Schedule Risks. Paper presented at the Proceedings of the 2003 Winter Simulation Conference. Monte

Carlo

Method

,2008,

Online.

http://www.riskglossary.com/link/

monte_carlo_method.htm Diakses pada tanggal 16 Oktober 2008.


7-29

MATLAB

Recommend Documents