TRABAJO N°1 1. CALCULAR
a) Con 6 decimales. b) Utilizando la regla del trapecio: h = 1/2 c) Resolviendo con la regla de Simpson: h
0, h = 1/4
d) Encontrar la relación entre X n + 1, X n al aplicar el método de Newton a la 2 ecuación f(x) = 0 ¿Qué fórmula se obtienen al hacer f(x) = x - c?
SOLUCIÓN a) Con 6 decimales.
∫ ∫ ∫ ⇒ Redondeando a 6 decimales:
b) Utilizando la regla del trapecio: h = 1/2
Regla del trapecio:
Aplicamos la regla del trapecio:
∫
Reemplazando:
∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ ∫ Redondeando a 6 decimales:
c) Resolviendo con la regla de Simpson: h
Regla del Simpson:
Aplicamos la regla del Simpson:
0, h = 1/4
Reemplazando:
∫ ∫ Redondeando a 6 decimales:
Reemplazando:
∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ ∫ Redondeando a 6 decimales:
c) Resolviendo con la regla de Simpson: h
Regla del Simpson:
Aplicamos la regla del Simpson:
0, h = 1/4
Reemplazando:
∫ ∫ Redondeando a 6 decimales:
TRABAJO N°2 1. CALCULAR Obtenga una aproximación a las raíces complejas de la siguiente ecuación algebraica con dos cifras decimales exactos, aplicando el método de LIN (métodos de los factores cuadráticos), con una tolerancia de 0,01 en los valores de p y q.
SOLUCIÓN
a) Sea la ecuación P(x) = 0, donde P(x) tiene la forma:
Se obtiene un factor cuadrático de la forma:
Con lo cual la ecuación anterior resulta:
Donde:
Rx + S es el residuo
Multiplicando la ecuación anterior:
*
*
Tomamos como valores: p = - 0.5 y q = 0.67
*
*
*
*
Tomamos como valores: p = - 0.53 y q = 0.79
Tomamos como valores: p = - 0.53 y q = 0.81
c) Reemplazando los valores en:
Resulta:
Como el residuo es muy pequeño se puede despreciar:
Resolviendo mediante la fórmula de segundo grado:
TRABAJO N°3 1. CALCULAR En estudios sobre polimerización inducida por radiación, se usó una fuente de rayos gamma para obtener dosis medidas de radiación. No obstante, la dosificación varía con la posición en el aparato, donde se registraron las siguientes cifras:
POSICIÓN AL PUNTO BASE (pulgadas) DOSIFICACIÓN (105 rads/h)
0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
3.5
4.0
1.90
2.39
2.73
2.98
3.20
3.20
2.98
2.74
Por alguna razón, no se informó la lectura en 2.5 pulg, pero se requiere el valor de la radiación ahí. Ajuste polinomios de interpolación de varios grados a los datos para obtener la información faltante. ¿Cuál considera que es la mejor estimación para el nivel de dosificación a 2.5 pulgadas?
SOLUCIÓN a) Lo ordenamos en una función tabular y mediante el método de Neville calcularemos el valor de f(x) correspondiente para x = 2.5 pulg. i 0 1 2 3 4 5 6 7 b) Ahora utilizando el algoritmo:
x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 3.5 4.0
f (x) 1.90 = Q 0.0 2.39 = Q 1.0 2.71 = Q 2.0 2.98 = Q 3.0 3.20 = Q 4.0 3.20 = Q 5.0 2.98 = Q 6.0 2.74 = Q 7.0
() Hacemos: i = 1, j = 1
Hacemos: i = 2, j = 1
Hacemos: i = 3, j = 1
Hacemos: i = 4, j = 1
Hacemos: i = 5, j = 1
Hacemos: i = 6, j = 1
Hacemos: i = 7, j = 1
Hacemos: i = 2, j = 2
Hacemos: i = 3, j = 2
Hacemos: i = 4, j = 2
Hacemos: i = 5, j = 2
Hacemos: i = 6, j = 2
Hacemos: i = 7, j = 2
Hacemos: i = 3, j = 3
Hacemos: i = 4, j = 3
Hacemos: i = 5, j = 3
Hacemos: i = 6, j = 3
Hacemos: i = 7, j = 3
Hacemos: i = 4, j = 4
Hacemos: i = 5, j = 4
Hacemos: i = 6, j = 4
Hacemos: i = 7, j = 4
Hacemos: i = 5, j = 5
Hacemos: i = 6, j = 5
Hacemos: i = 7, j = 5
Hacemos: i = 6, j = 6
Hacemos: i = 7, j = 6
Hacemos: i = 7, j = 7
TRABAJO N°4 1. CALCULAR En un experimento se obtuvo 7 puntos como información en donde se da los valores:
T Y
-1 -1
-0,96 -0,151
-0,86 0,894
-0,79 0,986
0,22 0,896
a) Trace los puntos y luego interpole con la curva suave. b) Trace el polinomio de 6º grado que interpole esos puntos.
SOLUCIÓN a) Trace los puntos y luego interpole con la curva suave.
b) Trace el polinomio de 6º grado que interpole esos puntos.
POR DIFERENCIA DIVIDIDAS
PRIMERA DIFERENCIA
0,5 0,985
0,936 -0,306
_ _ _
_
_
SEGUNDA DIFERENCIA
TERCERA DIFERENCIA
CUARTA DIFERENCIA
QUINTA DIFERENCIA
SEXTA DIFERENCIA
CALCULANDO EL POLINOMIO DE SEXTO GRADO
REDONDEANDO A 3 DECIMALES
P(X) = -1.01x6 + 13.48x5 – 1.039x4 – 18.062x3 + 1.807x2 + 5.193x – 0.146
TRABAJO N°5 1. CALCULAR En la tabla siguiente, X es la distancia en metros que recorre una bala a lo largo de un cañón en t segundos. Encuentre la velocidad de la bala en t = 2 segundos y en t = 1.2 segundos:
X t
0 0
1 0.0359
2 0.0493
3 0.0596
4 0.0700
5 0.0786
SOLUCIÓN a) Ajustando a un polinomio lineal de la forma:
Para lo cual:
Y 0.2934
N6
X
i
i
15
X Y i
i
0.9863
2
Xi 55
Expresando con la forma matricial para un polinomio lineal:
Reemplazando:
Resolviendo la matriz:
El polinomio lineal que se ajusta a los datos:
Redondeando:
⇒ ⇒
b) Calculando para t = 2 segundos.
c) Calculando para t = 1.2 segundos.
TRABAJO N°6 1. CALCULAR En la siguiente tabla se presentan los alargamientos de un resorte correspondientes a fuerzas de diferentes magnitudes que la deforman: Fuerza (kg-f) Longitud del resorte (m)
X Y
0
2
3
6
7
0.120
0.153
0.170
0.225
0.260
Determine por mínimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado que represente la función dada.
SOLUCIÓN a) Hallar por mínimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado.
Ajustando al modelo:
Se aplica la siguiente ecuación:
Para lo cual:
̂
[] [ ] ⇒ ⇒ [ ] ⇒ []
Reemplazando en la ecuación:
La ecuación de regresión de ajuste queda como:
̂ ̂ ⇒ ⇒ ̂
TRABAJO N°7 1. CALCULAR En la tabla siguiente se muestran los pesos X 1 con aproximación de libras, alturas X 2 con aproximación de pulgadas y edades X 3 con aproximación de años de 12 muchachos:
Peso (x1) Peso (x2) Peso (x3)
64
71
53
67
55
58
77
57
56
51
76
68
57
59
49
62
51
50
55
48
52
42
61
57
8
10
6
11
8
7
10
9
10
6
12
9
a) Halle la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X2 y X3. b) Determine los valores estimados de X 1 de los valores de X2 y X3. c) Estimar el peso de un muchacho de 9 años y 54 pulgadas de alto.
SOLUCIÓN a) Halle la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X1 sobre X2 y X3.
Se realiza un cambio de variable.
- X1 = Y - X2 = X1 - X3 = X2
Ajustando al modelo:
Se aplica la siguiente ecuación:
̂
Para lo cual:
[ ] [ ] [] 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
57
59
49
62
51
50
55
48
52
42
61
57
8
10
6
11
8
7
10
9
10
6
12
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
57
59
49
62
51
50
55
48
52
42
61
57
8
10
6
11
8
7
10
9
10
6
12
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
57
59
49
62
51
50
55
48
52
42
61
57
8
10
6
11
8
7
10
9
10
6
12
9
Reemplazando en la ecuación:
La ecuación de regresión de ajuste queda como:
̂ ̂ ⇒ ̂
b) Determine los valores estimados de X1 de los valores de X 2 y X3. 1. Si: X2 = 57 y X3 = 8
X1 = 64.41464032
2. Si: X2 = 59 y X3 = 10
X1 = 69.13652482
3. Si: X2 = 49 y X3 = 6
X1 = 54.56509625
4. Si: X2 = 62 y X3 = 11
X1 = 73.20668693
5. Si: X2 = 51 y X3 = 8
X1 = 59.28698075
6. Si: X2 = 50 y X3 = 7
X1 = 56.92603850
7. Si: X2 = 55 y X3 = 10
X1 = 65.71808511
8. Si: X2 = 48 y X3 = 9
X1 = 58.22948328
9. Si: X2 = 52 y X3 = 10
X1 = 63.15425532
10. Si: X2 = 42 y X3 = 6
X1 = 48.58282675
11. Si: X2 = 61 y X3 = 12
X1 = 73.85840932
12. Si: X2 = 57 y X3 = 9
X1 = 65.92097264
c) Estimar el peso de un muchacho de 9 años y 54 pulgadas de alto.
Utilizando la ecuación de regresión:
Si: X2 = 54 y X3 = 9
̂ ⇒ X1 = 63.35714286
TRABAJO N°8 1. CALCULAR Un investigador reporta los datos tabulares que se indica a continuación para explicar la tasa de crecimiento de un tipo de bacteria como función de concentración de oxígeno dado en mg/L. estos datos se pueden modelar mediante:
Una transformación para hacer lineal esta ecuación, luego calcule C = 2 mg/L.
C K
64 57
71 59
53 49
SOLUCIÓN a) Ajustar a una ecuación lineal.
Se tiene:
⇒
b) Cálculo de a y b por mínimos cuadrados.
Haciendo cambio de variable:
Ajustando al modelo:
67 62
55 51
Se aplica la siguiente ecuación:
Para lo cual:
Reemplazando en la ecuación:
̂
[] [ ] ⇒ ⇒ [ ] ⇒ ⇒ [] ̂ ̂ ⇒ ⇒ ̂ La ecuación de regresión de ajuste queda como:
c) Calculando K.
Reemplazando en la ecuación:
⇒
⇒ Dato:
El valor de K es:
TRABAJO N°9 1. CALCULAR En una tubería circular de 20 cm de diámetro se midió la velocidad del aire con un tubo de Pilot, y se encontró la siguiente información:
V (cm/s) r (cm)
600 0
550 3
450 5
312 7
240 8
Donde r es la distancia en cm medido a partir del centro del tubo. a) Obtenga la curva v = f (r) que aproxime a estos datos experimentales mediante una curva adecuada de regresión, para lo cual obtenga el índice de correlación. b) Calcule la velocidad en el punto r = 7.5 cm.
SOLUCIÓN a) Obtenga la curva v = f (r) que aproxime a estos datos experimentales mediante una curva adecuada de regresión, para lo cual obtenga el índice de correlación.
A partir de los datos obtenemos los siguientes resultados:
Y
N 5
X
i
X
i
2
i
2152
23
X Y
147
Y
i
2
i
Calculando el índice de correlación (r)
Ajustando al modelo:
8004
1019944
∑ ∑∑∑∑ ∑ ∑ √ ⇒
b) Calcule la velocidad en el punto r = 7.5 cm.
i
Se aplica la siguiente ecuación:
Para lo cual:
Reemplazando en la ecuación:
̂
[] [ ] ⇒ ⇒ [ ] ⇒ [] ̂ ̂ ⇒ ⇒ ̂ ⇒ La ecuación de regresión de ajuste queda como:
Calculando para r = 7.5 cm.
TRABAJO N°10 1. CALCULAR Evaluar la integral siguiente:
a) Fórmula analítica. b) Una sola aplicación de la regla del trapecio. c) Con aplicación múltiple de la regla del trapecio. d) Con la aplicación de la regla de Simpson.
SOLUCIÓN a) Fórmula analítica.
∫ ⇒ ∫ ∫ ⇒ ∫
b) Una sola aplicación de la regla del trapecio.
Regla del trapecio:
Aplicamos la regla del trapecio:
i 0 1
Xi 0 /2
f(Xi) 9 6
Reemplazando:
∑
Ki 1 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 9 6 15
∫ ⇒ ∫
c) Con aplicación múltiple de la regla del trapecio: k = 3
Considerando un trapecio i 0 1
f(Xi) 9 6
⁄
∑
Ki 1 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 9 6 15
⇒
Considerando dos trapecios i 0 1 2
Xi 0 /2
Xi 0 /4 /2
f(Xi) 9 8.1213 6
∑
Ki 1 2 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 9 16.2426 6 31.2426
⁄ ⇒
Considerando cuatro trapecios i 0 1 2 3 4
f(Xi) 9 8.7716 8.1213 7.1481 6
Ki 1 2 2 2 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 9 17.5432 16.2426 14.2962 6 63.082
f(Xi) 9 8.9424 8.7716 8.4944 8.1213 7.6667 7.1481 6.5853 6
Ki 1 2 2 2 2 2 2 2 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 9 17.8848 17.5432 16.9888 16.2426 15.3334 14.2962 13.1706 6 126.4596
∑ ⁄ ⇒ Considerando ocho trapecios i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Xi 0 /8 /4 /8 /2
Xi 0 /16 /8 /16 /4 /16 /8 /16 /2
∑ ⁄ ⇒
Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuación:
Luego se construye la siguiente tabla:
Aproximaciones trapezoidales
K
Primera Extrapolación
Segunda Extrapolación
Tercera Extrapolación
0 1 2 3
d) Con la aplicación de la regla de Simpson.
∫ ∫ ⇒ ∫
Regla del Simpson:
Aplicamos la regla del Simpson:
i 0 1 2
Xi 0 /4 /2
f(Xi) 9 8.1213 6
Reemplazando:
∫ ⇒
∑
Ki 1 4 1 Ki f(Xi)
Ki f(Xi) 9 32.4852 6 47.4852
TRABAJO N°11 1. CALCULAR Evaluar la integral siguiente:
a) Fórmula analítica. b) Una sola aplicación de la regla del trapecio. c) Con aplicación múltiple de la regla del trapecio. d) Con la aplicación de la regla de Simpson.
SOLUCIÓN a) Fórmula analítica.
∫ ⇒ ( ) ∫ ∫ ⇒ ∫
b) Una sola aplicación de la regla del trapecio.
Regla del trapecio:
Aplicamos la regla del trapecio:
i 0 1
Xi -2
f(Xi) 99 - 2307
Ki 1 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 99 - 2307 - 2208
∑ ∫ ⇒ ( ) ∫ Reemplazando:
c) Con aplicación múltiple de la regla del trapecio: k = 3
Considerando un trapecio i 0 1
f(Xi) 99 - 2307
Considerando dos trapecios i 0 1 2
Xi -2
Xi -2 1
f(Xi) 99 -6 -2307
Ki 1 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 99 - 2307 - 2208
Ki 1 2 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 99 -12 -2307 -2220
∑ ⇒
∑ ⇒
Considerando cuatro trapecios i 0 1 2 3 4
2.5
f(Xi) 99 2.0625 -6 -259.3125 -2307
Ki 1 2 2 2 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 99 4.125 -12 -518.625 -2307 -2734.5
Ki 1 2 2 2 2 2 2 2 1 Ki f (Xi)
Ki f (Xi) 99 32.3320 4.125 1.371 -12 -110.0274 -518.625 -1729.4894 -2307 -4540.3138
∑ ⇒ Considerando ocho trapecios i 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Xi -2 -0.5
Xi -2 -1.25 -0.5
f(Xi) 99 16.1660 2.0625 0.6855 -6 -55.0137 -259.3125 -864.7447 -2307
∑ ⇒ Las aproximaciones sucesivas se obtienen mediante la ecuación: