FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: ANALISIS ESTRUCTURAL II.
DOCENTE: Ing. CHILON MUÑOZ CARMEN
TEMA: ANALISIS DE PORTICOS CON EL TEOREMA DE MUTO
ESTUDIANTE:
AYALA LOPEZ JHON EMANUEL
ALARCÓN CARRASCO DEIVIS CARLOS
BARRETO FLORES JEAN PAUL
BAYONA REYES MARCO JUNIOR
VILLALOBOS MONDRAGON REINER
C hic layo_ layo_ P imentel, imentel, 07 de junio del 2017 2017
INGENIERIA CIVIL
METODO DE MUTO El método de Muto se utiliza para resolver en forma aproximada a los pórticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales, sujetos a carga lateral producidas por el viento o los sismos. El método contempla en cierta forma la deformación por flexión de las barras, con lo cual, los resultados que se obtienen son mucho más precisos que los calculados mediante el método del Portal o del Voladizo, e incluso pueden utilizarse para el diseño de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformación axial son despreciables. Por equilibrio : Siendo: Se obtiene:
V = kc = V = kc =1 V = (a kc)
Multiplicando Multiplicando por: Resulta:
( )
Se define a la Rigidez Lateral Absoluta como aquella fuerza cortante (V) capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definición se obtiene:
Rigidez Lateral Absoluta
0 (a kc) = D0(a kc) = D0 D k = D = Vd = 12Ek 2 h
Donde Do es la denominada Rigidez Lateral Estándar (con unidades de fuerza entre longitud, usualmente (ton/cm) calculada como:
Rigidez Lateral Estándar
D = 12EK h
La Rigidez Lateral Estándar depende de la altura de cada columna, pero, como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrán el mismo valor Do. Por otro lado, se define a la Rigidez Lateral Relativa (adimensional) al valor:
Rigidez Lateral Relativa.
D = DK = a kc INGENIERIA CIVIL
El coeficiente "a" contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos; para el caso que la columna esté bien empotrada (vigas muy rígidas) el valor de "a" es 1. En cambio, si la columna está biarticulada "a" es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral); por otro lado, si la columna está articulada en su base (por ejemplo, zapata sobre un suelo muy blando) y empotrada en su extremo superior (vigas rígidas). se demostrará que "a" es ¼.
Por equilibrio : Siendo: Resulta: Con lo cual: Como:
V = = D = V=D0(1/4kC)δ k = V = D0(1/4kC) k = D(a k) a=1/4
Se concluye que:
Cabe indicar que, pese a que la columna esté articulada en su base, en el método de Muto siempre se trabaja con un coeficiente de rigidez a la flexión kc = 1/ (h Ka)
CÁLCULO DEL COEFICIENTE "a" A través de una serie de comparaciones contra resultados obtenidos mediante métodos matriciales, Muto recomienda emplear las siguientes fórmulas para calcular "a":
1. Columnas que Pertenecen a Entrepisos Superiores al Primero Observaciones: a.-
Si
k
∞
a =1
b.El método es válido sólo cuando k ≥ 0.2, de lo contrario, la fórmula resulta imprecisa. El valor k es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relación con la columna (vigas chatas). o cuando la columna trata de transformarse en una placa.
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2. Subcasos para las Columnas del Primer Piso a. Base Semi empotrada Aparte de existir vigas de cimentación (Ve). la rigidez aportada por los pilotes o el suelo de cimentación ( ) se contempla mediante la expresión
kz = (4Ekk ) Cuando la base de columna esté semi empotrada, el valor que se obtenga de "a", deberá ser inferior al caso en que la base esté empotrada (subcaso "b").
b.- Base Empotrada
c.- Base Articulada
CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS Y CORTANTES. COLUMNAS EN PARALELO La condición para que un conjunto de columnas esté dispuesto en paralelo es que su desplazamiento relativo (M sea único. Esto ocurre en los edificios compuestos por losas de piso axialmente rígidas (aligerados o losas macizas), denominadas "diafragmas rígidos", donde, al existir monolitismo entre las vigas y la losa (ya que el concreto de ambos elementos se vacia en simultáneo). las vigas también serán rígidas axialmente. Estudiando un entrepiso cualquiera del pórtico mostrado en la Fig. 6.6, y llamando Q al cortante de entrepiso (valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se tratará de reducir el conjunto de columnas a un sólo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las columnas que conforman ese entrepiso.
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Como
Vi = Kδ
entonces:
Q = Vl V2 V3 = K1δ K2δ K3δ = ∑Kiδ de
la cual puede obtenerse
= ∑
Luego, la fuerza cortante en cada columna se calcula como:
) ==(∑
Es decir, cada columna absorbe fuerza cortante en proporción a su rigidez lateral. Por
δ
otro lado, puede observarse que el desplazamiento del entrepiso ( ) pueden obtenerse si se modela al pórtico como un sólo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea .
∑
PÓRTICOS CON MEZZANINE Y VIGAS DE ENTREPISO. COLUMNAS EN SERIE La condición para que dos o más columnas (ubicadas una sobre la otra) estén dispuestas en serie es que la fuerza cortante en ellas sea única, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del nivel que separa a las columnas es nula. Este sistema puede reducirse a una sola columna equivalente de doble altura de la siguiente manera:
En el primer piso: En el segundo piso: Luego:
V1 = V = K1 δ1 → δ1 = V / K1 V2 = V = K2 δ2 → δ2 = V / K2 ∆= δ1 δ2 = V / K 1 V / K2 = V (1 / K 1 1 / K2) INGENIERIA CIVIL
De la cual
K = V / ∆ = 1 / [ 1/ K 1 1 / K2 ] = (∑)
En general para columnas en serie se tiene:
Este caso de columnas en serie puede presentarse en pórticos con mezzanine, donde a la altura del mezzanine la masa es pequeña, así como la aceleración sísmica, con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel es prácticamente despreciable con relación a las que existen en los niveles superiores. También puede presentarse en pórticos con viga intermedia en el entrepiso, que sirve como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequeña, la fuerza de inercia será prácticamente nula en ese nivel.
Determinación de Esfuerzos Conocido el cortante que absorbe una columna (V), Muto proporciona unas Tablas (ver el Anexo 2) que permiten ubicar la posición del punto de inflexión (PI). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado para el método del Portal, se determinan los esfuerzos: a.- Graficar el DMF en las columnas. b.- Calcular los momentos en las vigas, repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en proporción a las rigideces de las vigas (kv), y graficar su DMF. c.- Determinar la fuerza cortante en las vigas por equilibrio. d.- Evaluar la fuerza axial en las columnas.
Ubicación del Punto de Inflexión (PI) en las Columnas Este punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a "y h ", el valor "y" se determina como y = yo + y1 + y2 + y3; donde "yo" es a la altura estándar del PI, "y1" es una corrección por variación de rigideces de las vigas, mientras que "y2" e "y3" corresponden a
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correcciones por diferencias de alturas entre los pisos consecutivos. Como usualmente los pisos son típicos, sólo se calcula "y 0"
Altura Estándar del PI (yo h). Tabla 1 A Muto elaboró la Tabla 1 A, suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, así como que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribución de las fuerzas laterales era triangular. El cálculo de "yo" se efectúa en cada eje vertical de columnas. Para ingresar a la Tabla 1 A, es necesario saber cuántos niveles tiene el eje de la columna en análisis, en que entrepiso está ubicada y el valor de k.
Corrección “y”. Tabla 2 Esta corrección se realiza sólo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexión que las inferiores (B). Para calcular “y1" es necesario determinar el parámetro α1 y k, para luego ingresar a la Tabla 2, anotándose que:
→
Si α1 = 1 y1 = 0 (es lo usual). Para el primer piso “y1” = 0, salvo que la base esté semi empotrada. Si α1 > 1, se ingresa a la Tabla 2 con la inversa de α1 y se cambia de signo al valor "y1"; es decir, el PI se corre hacia abajo.
c.- Correcciones “y2". "y3". Tabla 3 Estas correcciones se efectúan cuando la columna superior o inferior a la que está en estudio, tienen distintas alturas; para esto, es necesario calcular los parámetros a2, a 3 y k. Observaciones:
→ →
Si a2 = 1 y2 = 0 Si a3 = 1 y3 = 0 Para columnas del primer piso Para columnas del último piso
→ →
y3 = 0 y2 = 0
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TABLAS DE MUTO TABLA 1A. ALTURA ESTÁNDAR DEL PUNTO DE INFLEXIÓN (yo)
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TABLA 2. CÁLCULO DE “y1” CORRECCiÓN POR VARIACiÓN EN LAS RIGIDECES DE LAS VIGAS
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TABLA 3. CÁLCULO DE "y2" y "y3" CORRECCIÓN POR VARIACIÓN DE LA ALTURA DEL ENTREPISO
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EJEMPLO 1 Resolver el pórtico mostrado Asumir:
=210 a = 30∗60 = 30∗45 = 760 A
=
a a ada
=30∗ ∗∗ =1.5 Viga
=30∗ ∗∗ =1.18
a . + aa
a = +
a aa aaa +
=
aa a a
a = + = ∑ Columnas 1-2 2-3 4-5 5-6 6-7 8-9 9-10 10-11
k 2.26 1.18 1.18 1.77 2.36 0.79 1.18 1.18
a
0.65 0.37 0.53 0.47 0.54 0.79 0.37 0.37
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= a ∗ 0.33 0.37 0.53 0.47 0.54 0.23 0.37 0.37
K
1.75 7.87 11.27 10.00 11.49 11.01 7.87 7.87
RIGIDES LATERAL ABSOLUTA (K) = a ∗
=∗(/)
= 12 / ℎ 760 ara h = 300 cm − Do = 12 ∗ 210 ∗ 3002 =21.28 / 760 ara h = 600 cm − Do = 12 ∗ 210 ∗ 6002 =5.32/ ara h = 200 cm − Do = 12 ∗ 210 ∗ 2007602 =47.88 / CALCULAMO DE Δ.TRABAJAMOS CON LOS CONCEPTOS DE COLUMNAS EN PARALELO Y EN SERIE 3er piso = k = 7.7811.497.78 = 27.23 2do piso= (k=1.75)….k=10.007.87=17.87 1er piso = (k=1.75)….k=11.2711.01=22.28 APLICAMOS PORTICOS CON MESSANINE Y VIGAS ENTREPISO.COLUMNAS EN SERIE k = 1 1 1 1 2 remplasmos k = 1 1 1 =9.92 17.87 22.28 resolvemos 15∗1.75 =2.25 1.759.92 15∗9.92 = 12.75 1.759.92 75 = 0.57 cm ; δ2 = 12.75 = 0.71 cm ; δ3 = 10 =0.37cm Calculamos δ1 = 12. 22.28 17.87 27.23 INGENIERIA CIVIL
PUNTOS DE IMFLEXION: ∝ 1 ∝ 2 ∝ 3 0 1 2 3 columns
k
1-2 2-3 4-5 5-6 6-7 8-9 9-10 10-11
2.26 1.18 1.18 1.77 2.36 0.79 1.18 1.18
2 -
3/6 --
6/3 2/3 -
0.55 0.45 0.64 0.43 0.45
0.46 0.41
-
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0 -
-
0 -
0.55 0.4 0.64 0.43 0.45 0 0.46 0.41
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EJEMPLO 2 Aplicando el método de Muto, analizar el pórtico resuelto mediante los métodos del Portal y Voladizo Asumir: VIGAS COLUMNAS Ko E
= 0.3X0.5 m = 0.3X0.4 m = 0.0004 m3 = 2000000 tn/m2
1. MOMENTOS DE INERCIA Iv Ic
= =
bxh3/12 bxh3/12
= =
0.3*0.5^3/12 0.3*0.4^3/12
= =
0.003125 m4 0.0016 m4
2. COEFICIENTE DE RIGIDEZ A FLEXION Kv Kv
= =
Iv/(L*Ko) Iv/(L*Ko)
= =
0.003125/(5*0.0004) 0.003125/(6*0.0004)
= =
1.56 1.30
Kc Kc
= =
Ic/(H*Ko) Ic/(H*Ko)
= =
0.0016/(4*0.0004) 0.0016/(3*0.0004)
= =
1.00 1.33
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3. COEFICIENTE "a" 1er Nivel Ḵ
a
=
=
a
=
=
= = =
1.56 2.86 1.30
(0.5 + 1.56)/(2 + 1.56) = (0.5 + 2.86)/(2 + 2.86) = (0.5 + 1.3)/(2 + 1.3) =
0.58 0.69 0.55
∑ Kv/Kc
0.5 + Ḵ /(2 + Ḵ)
2do Nivel Ḵ
1.56/1 (1.56 + 1.3)/1 1.3/1
∑ Kv/(2*Kc)
Ḵ /(2 + Ḵ)
1.56/2*1 (1.56 + 1.3)/2*1 1.3/2*1
= = =
1.17 2.15 0.98
(0.5 + 1.56)/(2 + 1.56) = (0.5 + 2.86)/(2 + 2.86) = (0.5 + 1.3)/(2 + 1.3) =
0.37 0.52 0.33
4. RIGIDEZ LATERAL ESTANDAR "Do" 1er Nivel Do =
12*E*Ko/h2
= 12*2000000*0.0004/(4^2)
= 600 ton/m
Do =
12*E*Ko/h2
= 12*2000000*0.0004/(3^2)
= 1066.67 ton/m
2do Nivel
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5. RIGIDEZ LATERAL RELATIVA "D" Y RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA "K" D = a* Kc
COL
K = D*Do
a
Ḵ
Kc
D
Do
K
1 2
1.56
0.58 1.00
0.58
600
348
2 3
1.17
0.37 1.33
0.49 1066.67
522.67
4 5
2.86
0.69 1.00
0.69
600
414
5 6
2.15
0.52 1.33
0.69 1066.67
736
7 8
1.30
0.55 1.00
0.55
600
330
8 9
0.98
0.33 1.33
0.44 1066.67
469.33
6. CORTANTES EN COLUMNA EN PARALELO V = Q*(Ki/∑Ki)
V 12 V 23 V 45 V 56 V 78 V 89
Q1 Q2
= =
15 10
= = = = = =
15*348/(348 + 414 + 330) 10*522.67/(522.67 + 736 + 469.33) 15*414/(348 + 414 + 330) 10*736/(522.67 + 736 + 469.33) 15*330/(348 + 414 + 330) 10*469.33/(522.67 + 736 + 469.33)
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= = = = = =
4.78 3.02 5.69 4.26 4.53 2.72
ton ton ton ton ton ton
7. DESPLAZAMENTOS = δ Q/∑Ki 1er Nivel δ1
=
15/(330 + 414 + 348)
=
0.014 m
δ2
=
10/(522.67 + 736 + 469.33)
=
0.006 m
2do Nivel
8. CORRECION POR ALTURA Y UBICACIÓN DEL PUNTO DE INFLEXIÓN COL 1 2 2 3 4 5 5 6 7 8 8 9
Ḵ
α1 — 1.56
1.17 2.86 2.15 1.30 0.98
α2
α3 Yo Y1 Y2 Y3 Y 0.75 — 0.57 0 -0.055 0 0.52 — 1.00 — 1.33 0.45 0 -0.027 0.42 — 0.75 — 0.55 0 0 0 0.55 — 1.00 — 1.33 0.45 0 0 0.45 — 0.75 — 0.59 0 -0.121 0 0.47 — 1.00 — 1.33 0.44 0 -0.033 0.41
9. MOMENTO FLECTOR EN COLUMNAS MA = V(1 - Y)*H
V
MB = V(Y*H)
COL 1 2 2 3 4 5 5 6 7 8 8 9
M 1 2 2 1 2 3 3 2 4 5 5 4 5 6 6 5 7 8 8 7 8 9 9 8
V
H 4.78 4.78 3.02 3.02 5.69 5.69 4.26 4.26 4.53 4.53 2.72 2.72
Y 4 4 3 3 4 4 3 3 4 4 3 3
MF 0.52 0.49 0.42 0.58 0.55 0.45 0.45 0.55 0.47 0.53 0.41 0.59
9.85 9.27 3.84 5.24 12.51 10.24 5.75 7.03 8.50 9.63 3.32 4.83
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10. FUERZA CORTANTE EN VIGAS POR EQUILIBRIO VIGA 2 5 3 6 5 8 6 9
M 2 5 5 2 3 6 6 3 5 8 8 5 6 9 9 6
MA MB MF L 9.27 3.84 13.11 5.00 10.24 5.75 7.99 5.24 0.00 5.24 5.00 7.03 0.00 3.51 8.50 9.63 9.07 6.00 3.32 9.63 12.95 7.03 0.00 3.51 6.00 4.83 0.00 4.83
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Q 4.22 1.75 3.67 1.39
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