Método de Muller

Descripci´ on del m´ on etodo de M¨ etodo uller uller Programaci´ on y ejemplos del m´ on etodo de M¨ etodo uller uller Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa

M´ et o do de M¨ eto uller uller

Diego Dieg o F. Ch´ avez avez Henao Hena o [email protected]

25 de noviembre de 2014


Preliminares Comparación on de los métodos etodos de la Secante y de M¨ uller uller ¿En qué consi c onsiste ste el m´ eto do de M¨ etodo uller? uller? Medida del error en el m´ etodo de M¨ etodo uller uller

Contenidos

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Descripci´ on del método on eto do de Müller uller Preliminares Comparaci´ on on de los m´ etodos etodos de la Secante y de M¨ uller uller ¿En ¿En qué co cons nsis iste te el méto etodo de Müller? uller? Medida del error en el m´ etodo etodo de Müller uller

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Programaci´ on y ejemplos del método on etodo de M¨ uller uller C´ odigo Matlab del método odigo eto do de Müller uller Ejemplo de aplicación on del método eto do de Müller uller

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Bibl Bi blio iogr graf af´´ıa


Preliminares Comparación on de los métodos etodos de la Secante y de M¨ uller uller ¿En qué consi c onsiste ste el m´ eto do de M¨ etodo uller? uller? Medida del error en el m´ etodo de M¨ etodo uller uller

Preliminares Un problema que se presenta al aplicar los métodos etodos Secante, Posici´ on Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad de que el on polinomi pol inomioo conteng c ontengaa ra r a´ıces compl complejas, ejas, a´ un cuando todos los un coeficientes son números umeros reales. El método eto do presenta presentado do por D.E. M¨ uller puede ser usado para uller encontrar ceros de una función on cualquiera, pero resulta de gran utilidad sobre todo to do al apro aproximar ximar las la s ra ra´´ıces de polinomios (reales o complejas). Cerca Cer ca a una ra ra´´ız sim simple ple el método eto do de M¨ ull er con uller conver verge ge muc mucho ho más as rápido apido que el método eto do de la Secant Secantee y alca alcanza nza a ser tan rápido apido como el método eto do de New Newton. ton. Adem Ad em´ás, as , el méto et o do de Müller uller puede ser programado para usar aritm´ ari tmética eti ca co comp mple leja ja..

Descripci´ on del m´ etodo de M¨ uller Programaci´ on y ejemplos del m´ etodo de M¨ uller Bibliograf´ıa

Preliminares Comparación de los métodos de la Secante y de M¨ uller ¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? Medida del error en el m´ etodo de M¨ uller

Preliminares Un problema que se presenta al aplicar los métodos Secante, Posici´ on Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad de que el polinomio contenga ra´ıces complejas, a´ un cuando todos los coeficientes son números reales. El método presentado por D.E. M¨ uller puede ser usado para encontrar ceros de una función cualquiera, pero resulta de gran utilidad sobre todo al aproximar las ra´ıces de polinomios (reales o complejas). Cerca a una ra´ız simple el método de M¨ uller converge mucho más rápido que el método de la Secante y alcanza a ser tan rápido como el método de Newton. Además, el método de Müller puede ser programado para usar aritmética compleja.








Secante vs M¨ uller El método de Müller es una generalización del método de la secante, en el sentido de que no requiere la derivada de la función. Secante: comienza con dos aproximaciones iniciales y determina la siguiente aproximaci´ on de la ra´ız al cortar el eje x con la l´ınea que cruza los dos puntos Müller: comienza con tres aproximaciones iniciales y determina la siguiente aproximaci´ on de la ra´ız al cortar el eje x con una par´ abola que cruza los tres puntos.


Figura 1: Comparaci´ on entre dos m´ etodos relacionados para encontrar ra´ıces: a) el m´ etodo de la Secante, y b) el m´ etodo de M¨ uller.











¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? El método consiste en obtener los coeficientes de la parábola (a, b y c) que pasa por los tres puntos. Dichos coeficientes se sustituyen en la f´ ormula cuadrática para obtener el valor donde la parábola interseca al eje x, es decir, la ra´ız estimada. Sin perdida de generalidad asumimos que x2 es la mejor aproximaci´ on a la ra´ız, y por ello escribimos la ecuaci´ on de la parábola en una forma conveniente: f (x) = a (x

− x2)2 + b(x − x2) + c

(1)



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? El método consiste en obtener los coeficientes de la parábola (a, b y c) que pasa por los tres puntos. Dichos coeficientes se sustituyen en la f´ ormula cuadrática para obtener el valor donde la parábola interseca al eje x, es decir, la ra´ız estimada. Sin perdida de generalidad asumimos que x2 es la mejor aproximaci´ on a la ra´ız, y por ello escribimos la ecuaci´ on de la parábola en una forma conveniente: f (x) = a (x

− x2)2 + b(x − x2) + c

(1)



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? Queremos que esta par´ abola pase por los tres puntos (x0 , f (x0 )), (x1 , f (x1 )) y (x2 , f (x2 )). Sustituyendo cada uno de esos tres puntos en la ecuación (1) obtenemos el sistema (2) formado por tres ecuaciones con tres incógnitas (a, b y c): f (x0 ) = a(x0 f (x1 ) = a(x1 f (x2 ) = a(x2

)2

− x2 + b(x0 − x2)2 + b(x1 − x2)2 + b(x2

 − x ) + c  − x ) + c  − x ) + c 2

(2)

2 2

El libro de Burden y Faires [1] propone como solución al sistema (2) la siguiente: c = f (x2 ) b = a =

(x0 −x2 )2 [f (x1 )−f (x2 )]−(x1 −x2 )2 [f (x0 )−f (x2 )] (x0 −x2 )(x1 −x2 )(x0 −x1 ) (x1 −x2 )[f (x0 )−f (x2 )]−(x0 −x2 )[f (x1 )−f (x2 )] (x0 −x2 )(x1 −x2 )(x0 −x1 )

  

(3)



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? Queremos que esta par´ abola pase por los tres puntos (x0 , f (x0 )), (x1 , f (x1 )) y (x2 , f (x2 )). Sustituyendo cada uno de esos tres puntos en la ecuación (1) obtenemos el sistema (2) formado por tres ecuaciones con tres incógnitas (a, b y c): f (x0 ) = a(x0 f (x1 ) = a(x1 f (x2 ) = a(x2

)2

− x2 + b(x0 − x2)2 + b(x1 − x2)2 + b(x2

 − x ) + c  − x ) + c  − x ) + c 2

(2)

2 2

El libro de Burden y Faires [1] propone como solución al sistema (2) la siguiente: c = f (x2 ) b = a =

(x0 −x2 )2 [f (x1 )−f (x2 )]−(x1 −x2 )2 [f (x0 )−f (x2 )] (x0 −x2 )(x1 −x2 )(x0 −x1 ) (x1 −x2 )[f (x0 )−f (x2 )]−(x0 −x2 )[f (x1 )−f (x2 )] (x0 −x2 )(x1 −x2 )(x0 −x1 )

  

(3)



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? El libro de Chapra y Canale [2] propone como solución al sistema (2) la siguiente (en términos de diferencias):

 

c = f (x2 ) δ a = hδ − −h b = ah1 + δ 1

en donde

1

0

1

0

h0 = x1 x0 h1 = x2 x1 f (x )−f (x δ 0 = x −x

− − 1

1

δ 1 =

0

0

)

f (x2 )−f (x1 ) x2 −x1

  

(4)

(5)



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? El libro de Mathews y Fink [3] propone como solución al sistema (2) la siguiente: c = f (x2 ) −e h a = he h (6) h −h h 0

1 2 0 2 0 2 0

1

b =

en donde

h0 h1 e0 e1

1

0

0 2 1 2 1 2 1

e1 h −e0 h h1 h −h0 h

  

 =x −x  =x −x = f (x ) − f (x )   = f (x ) − f (x ) 1

0

2

1

0

2

1

2

(7)



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? Reemplazamos a, b y c en (1), y para determinar x = x3 (el siguiente cero de f (x)) usamos la fórmula cuadrática mejorada para solucionar f (x) = 0: a(x

2

− x2)

+ b(x

− x2 ) + c = 0

2c − ⇒ x − x2 = b ± √ b2 − 4ac ⇒ x = x2 + b ± √ −b22c− 4ac(8)

(Se utiliza la f´ ormula cuadrática mejorada para evitar problemas del error de redondeo ocasionados por la sustracci´ on de n´ umeros casi iguales ).



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? Reemplazamos a, b y c en (1), y para determinar x = x3 (el siguiente cero de f (x)) usamos la fórmula cuadrática mejorada para solucionar f (x) = 0: a(x

2

− x2)

+ b(x

− x2 ) + c = 0

2c − ⇒ x − x2 = b ± √ b2 − 4ac ⇒ x = x2 + b ± √ −b22c− 4ac(8)

(Se utiliza la f´ ormula cuadrática mejorada para evitar problemas del error de redondeo ocasionados por la sustracci´ on de n´ umeros casi iguales ).



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? La fórmula (8) da dos posibilidades para x = x3 , dependiendo de el signo que precede al término radical. En el método de M¨ uller el signo se elige para coincidir con el signo de b, de manera que el denominador sea el de mayor magnitud, con lo cual resultar´ a que x3 sea seleccionada como la ra´ız de f (x) que está más cercana a x2 : x3 = x2 +

−2√ c

b + sgn(b)

b2

− 4ac

(9)

N´ otese que al usar la fórmula (9) es posible localizar tanto las ra´ıces ´ reales como las complejas. Esta es la mayor ventaja del método!



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? La fórmula (8) da dos posibilidades para x = x3 , dependiendo de el signo que precede al término radical. En el método de M¨ uller el signo se elige para coincidir con el signo de b, de manera que el denominador sea el de mayor magnitud, con lo cual resultar´ a que x3 sea seleccionada como la ra´ız de f (x) que está más cercana a x2 : x3 = x2 +

−2√ c

b + sgn(b)

b2

− 4ac

(9)

N´ otese que al usar la fórmula (9) es posible localizar tanto las ra´ıces ´ reales como las complejas. Esta es la mayor ventaja del método!



¿En qué consiste el m´ etodo de M¨ uller? Una vez que se determinó x3 , el proceso se repite. Esto trae el problema de que un valor es descartado. En general dos estrategias son usadas: 1

2

Si s´ olo se localizan ra´ıces reales, elegimos los dos valores originales m´ as cercanos a la nueva ra´ız estimada, x3 . Si se localizan ra´ıces reales y complejas, se emplea un m´ etodo secuencial. Es decir, como en el m´ etodo de la secante, x1 , x2 y x3 toman el lugar de x0 , x1 y x2 .




2





2




Medida del error en el m´ etodo de M¨ uller La fórmula cuadrática para x3 − x2 proporciona una forma direcata para determinar el error de aproximación, debido a que su lado izquierdo representa la diferencia entre la ra´ız estimada actual (x3 ) y la ra´ız estimada anterior (x2 ): x3

  − 2c − x = b + sgn(b)√ b − 4ac ⇒  =  x x− x 2

2

a

3

2

3

  × 100% (10)


C´ odigo Matlab del m´ etodo de M¨ uller Ejemplo de aplicaci´ on del m´ etodo de M¨ uller

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Bibliograf´ıa



C´ odigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])









Enunciado Considere el polinomio f (x) = x4 3x3 + x2 + x + 1. Utilize el método de Müller para hallar sus cuatro ra´ıces.

−

Figura 2: Gr´ afica del polinomio f (x) = x4 − 3x3 + x 2 + x + 1.



C´ odigo Matlab usado para correr la funci´ on muller.m


Consola de Matlab con resultados




Resultados organizados: Ra´ıces reales



Resultados organizados: Ra´ıces complejas


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