El Método de Muller

Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Ingeniería en Electrónica Métodos Numéricos

Método de Müller 

Profesor: Ing. Marin !ern"nde# I $emestre %&&'

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El Método de Muller  Ca(e )acer la com*aración entre el método de la secante en el +ue las raíces se determinan mediante una línea recta , el método en estudio -Muller +ue toma un *unto de manera similar *ero *ro,ecta una *ar"(ola con tres *untos. El método trata de determinar coeficientes de los tres *untos de la *ar"(ola/ dic)os coeficientes *ueden ser sustituidos en la fórmula cuadr"tica *ara o(tener el *unto donde la *ar"(ola interce*ta el e0e 2 es decir la raí# estimada. 3a a*roimación es f"cil de escri(ir de manera de ecuación de *ar"(ola. 4-5a-6%7 8 (-6 % 8 c

ec 1

$e trata de (uscar los tres *untos -&2 f-&2 -12 f-12 -%2 f-%2 , esos coeficientes *ueden ealuarse al sustituir cada uno en: 4-&5a-&6%7 8 (-&6 % 8 c 4-15a-16%7 8 (-16 % 8 c 4-%5a-%6%7 8 (-%6 % 8 c

ec % ec 9 ec 

4ig. 1. Com*aración gr"fica de los métodos de la secante , de Müller 

Puede resolerse f"cilmente +ue 4-%5 c 2 *or lo +ue esas ecuaciones se re*resentan: 4-&6 4-% 5 a-&6%7 8 (-&6 % 4-16 4-% 5 a-16%7 8 (-16 %

ec ; ec <

$e *uede definir: !&5 1 =  >1 >&5 f-1 = f-% 1 = %

!15% 6 & >15 f-% = f-1 % = 1

%

Ec ?

$ustitu,endo en ; , < -)o6)1( = -)o6)1% a 5 >& )& 6 >1 )15 ( )1

 = a )1%

5 )1>1

El resultado *uede resumirse como: a5 >& 6 >1 )1 8 )&

Ec @

(5 a)1 6 >1

ec '

c 5 f-%

ec 1&

Para encontrar la raí# se *uede a*licar la fórmula cuadr"tica de la ec 12 de(ido al error de redondeo se usa una formula alternatia: D96% 5

6%c  A F(7 = a

Ec 11

D95% 8

6%c  A F(7 = a

ec 1%

El ma,or (eneficio de este método es +ue se *ueden locali#ar tanto las raíces reales como las com*le0as. El error a*roimado se determina con a,uda de la ec 1% , se )ace de la siguiente manera: Ga 5 9 = % 9 Con la ec 11 se *roduce un *ro(lema ,a +ue se generan % raíces de(ido al A del denominador. En este método el signo cam(ia de acuerdo al signo de ( *or  lo +ue se generan un denominador mu, grande *or lo tanto da la raí# estimada mas cercana a %. Bna e# +ue 9 es determinada el *roceso se re*ite. Este resultado conduce a un *unto +ue es descartado. os estrategias usadas son: 16$i sólo se locali#an raíces reales elegimos dos *untos originales +ue se a*roiman a la nuea raí# estimada 9. %6 $i am(as raíces real , com*le0a )an sido ealuadas2 se em*lea una a*roimación secuencial. Esto es *arecido a método de la secante2 12 %2 9 toman el lugar de &2 12 %.

Ejemplo 7.2 Pág. 177 Chapra . 9

4- 5 H9 = 19 61% Do 5 .; D1 5 ;.; D% 5 ; Iteraciones D9 & ; 1 9.'?<; % .&&11 9 .&&&&  .&&&& Problema 7.3 a 4- 5 H9 8 H% =  6  Do 5 1 D1 5 1.; D% 5 1.?; Iteraciones D9 & 1.?; 1 %.&11% % 1.'''@@%%9 9 1.'''''''?  % ( 4- 5 H9 = &.;H% 8  6 % Do 5 &. D1 5 &.< D% 5 &.@ Iteraciones D9 & &.@ 1 &.;&&? % &.'''' 9 &.;&&&&& Problema 7.4 (Incluye raices complejas) a 4- 5 H9 = H% 8 % 6 % Do 5 &.%; D1 5 &.;& D% 5 &.?; Iteraciones D9 & &.?; 1 1.&&% % &.''@9 9 &.'''''%  &.'''''''

Ea - 666666666666666 %;.?9'1 &.<19' &.&%<% 1.?<91 J 1& H 6 ;

Ea - 666666666666666 1%.'@<9 &.;<@ &.&&;' 1.9<@< J 1& H 6 <

Ea - 666666666666666 ;'.??;& &.11@1? &.&&1&&

Ea - 666666666666666 %?.@'?' .1''; &.1?%' ;.???< J 1& H 6 

( 4- 5 %H 8 <H% 8 @ 

Do 5 1.?; D1 5 % D% 5 %.%; Iteraciones D9 & %.%; 1 1.1??@ = &.?11<@i % &.'1@< = &.'9&;1i 9 &.<@; = 1.1%;1i  &.;9@1 = 1.%?%&i ; &.;&9& = 1.91?
Ea 66666666666666666 '9.;1 %;.' %9.11 1;.&; .&9 &.9 &.&&; 1.;% J 1& H 6 <

Ea 66666666666666666 @@.;1 %.'% %<.<; %.; 1%.'? %.''< &.1@1' &.&&19<<

)o 5 &.;; = &.;9 5 &.&% )1 5 &.; = &.;; 5 6&.&1 d& 5 ;@ = 1' 5 1';& &.;; = &.;9 d1 5  = ;@ 5 1&& &.; = &.;;

b

2

a 5 d1= d& 5 6;;&&& )1 8 )o ( 5 a )1 8 d1 5 1';& c 5  − 4ac  5 9
=

0.54 +

−

2( 44)

1950 + 3671.85

=

0.524 s

3a *resion es #ero en &.;% s

C!igo !el ejemplo ;

function *olinomio 5 f - * 5 JJJ 6 %JJJ 8
 

if a(s-( 8 disc  a(s-( 6 disc den 5 ( 8 disc/ else den 5 ( 6 disc/ end 9 5 % 8 - -6% J c  den/

ea 5 a(s-- 9 6 % 9J1&&/ if -ea Q es- iter 5 ima2 (reaS2 end & 5 1/ 1 5 %/ % 5 9/ end Resultado 5 9 Iteraciones 5 iter  Error 5 ea end "ibliogra#ia

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Métodos Numéricos *ara ingenierosU. C)a*ra2 Canale. Mc VraL !ill. ta. Edición2 Méico.

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n"lisis Numérico , Wisuali#ación Vr"fica con Mat3a(U. NaSamura. Pearson Education. Méico. 1''?.

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