UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA Por M.Sc. Alvaro Espinosa Pérez
CÁLCULO INTEGRAL VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN METODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS CILÍNDRICAS El método de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las secciones transversales puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto. Este método también se llama de capas. Básicamente consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total, en la que se puede ver cómo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y cómo se produce el sólido de revolución. Si r1 es el radio interior, r 2 es el radio exterior y de altura h de una capa cilíndrica. Entonces el volumen de la capa capa está dado por:
ℎ−ℎ − ℎ − ℎ + 2 +2 − ℎ 2∆ℎ
Si queremos hallar el volumen de un sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor del eje y la región que está comprendida entre la curva y = f(x), con f(x) > 0, el eje x, y las rectas verticales x = a y x = b. La región aparece representada en la siguiente figura y el sólido de revolución que la genera:
Para obtener un cálculo aproximado del volumen total del sólido de revolución debemos poner n casquetes cilíndricos de éstos, unos unos dentro de los otros. Si dividamos el intervalo intervalo [a, b] en n subintervalos, el volumen de la i-ésima capa cilíndrica es:
∆2 ∆ Entonces el volumen del sólido de revolución es:
||li|m|→ 2∑ ∆2 =
, , . ||li|m|→ 2∑ ∆2
DEFINICIÓN : El volumen del cuerpo de revolución que se genera alrededor del e je , la región limitada por la gráfica de por la fórmula:
, el eje y las gráficas de
y
viene viene definido
=
Ejemplo: Hallar el volumen del cuerpo generado al girar alrededor del eje y, la superficie comprendida entre las parábolas con ecuaciones
√ y
S olución:
La gráfica y el solido generado se muestran a continuación:
El volumen del i-ésima capa cilíndrica de la figura es:
∆ 2 [ [ − ]∆ ] ]∆2[ ||li|m|→ 2∑[ − ]∆ − √ = / 2 2 − 1)2 3 2[ − ] 2 − 2( 5 3 4 5 4 20 10 EJERCICIOS EJERCICIOS EN CLASES: Entonces el volumen del sólido de revolución es:
1. 2. 3. 4. 5.
Encuentre el volumen de una esfera con radio r. Hallar el área de la superficie que se genera al girar alrededor del eje
la elipse 3Hallar+el4volumen 12engendrado al girar alrededor del eje x la superficie comprendida por las parábolas y √ 2, y Halla el volumen del sólido generado al girar la región acotada por 2 1
, alrededor del eje y. Un fabricante taladra un orificio a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio, como se muestra en la figura. El orificio tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto de metal resultante?
TALLER PARA ENTREGAR: 10 PUNTOS
1. Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las curvas , , alrededor de x = 2. 2. Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región limitada por las curvas , , alrededor de . 3. Demuestre que el volumen de la parte del cuerpo de revolución, engendrado al girar la hipérbola equilátera alrededor del eje , que intercepta al plano es igual al volumen de una esfera de radio . 4. Calcule el volumen generado por la región limitada po r las curvas , cuando rota alrededor de 5. Demostrar que el volumen del toro está dado por la integral:
8 − −3 − 22 2 2 – 2 −1 8 ∫ − : > > 0 .
Encontrar el volumen del toro generado al girar la región acotada por la gráfica del círculo alrededor del eje y.
−3 + 1
