Metode de rezolvareaintegralelor definite. Calcularea integralei prin utilizarea nemijlocită a proprietăților și tabelului de
integrale se numește integrare directă. Funcțiile care se integrează direct nu epuizează nici măcar funcțiile elementare de bază,nemaivorbind de funcțiile compuse.De exemplu,printre integralele din tabele nu există unele funcții elementare precum ln x,arctg x sau arcctg x. Problema integrării devine din start principial mai dificilă ca cea a derivării. Întrucît nu există un anumit set de reguli de integrare a produsului, cîtului a funcțiilor compuse sau inverse, se recurge la cîteva metode care permit operația de
integrare a unor clase de funcții.Unele din cele mai captivante,interesante și mai des aplivate metode sînt cea a integrării prin părți și a substituției de variabilă. §1.Metoda schimbării de variabilă De multe ori introducerea unei noi variabile de integrare permite reducerea
calculului integralei date la calcularea unei integrale din tabel,adică se poate trece la o integrare directă sau a unei integrale,ce poatefi calculată prin metode cunoscute.Această metodă se numește metoda substituției sau metoda schimbării de variabilă, care se bazează pe următoarea teoremă: Teoremă::Fie f: Teoremă Fie f:[a,b]→R [a,b]→Rși g:[c.d]→[a,b] g:[c.d]→[a,b] funcții cu proprietățile: 1.Funcția f este continuă pe [a,b] g cu derivata g ′ continuășidiferită de 0 pe[c,d]și 2.Funcția g cu g(c)=a,g(d)=b.Atunci: g(c)=a,g(d)=b.Atunci:
∫ ∫ ∫ ‖ ‖ ( ) ∫ | ()() {1}
Edalitatea {1} șe numește Prima formulă a schimbului de variabilă
și poati fi
calculată conform schemei:
A doua formulă a schimbului de variabilă: variabilă:
Se calculează conform con form formulei:
=
() ( )() | ∫ ∫ ∫ | Exemple rezolvate:
1.
2.
3.
∫ ∫ √ ∫ √ . / ∫ ∫
√ ∫ ∫ ∫ ∫ √ √ . / | | . / √ ∫ √ √ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . / | | . / . / ∫⁄⁄ ∫ ⁄ ⁄ √ ∫ √ ∫
4.
=
5.
=
=
=6
6.
7.
√ ∫ √ ∫ √ √ | . / ∫ √ √ √ √ . / √ ∫ √ √ ∫√ ∫√ . / ∫ √ √ √ √ (√ ) (√ ) √ √ 8.
-
9.
Rezolvare:
1)Notăm:
; 2x+1=
dx= dx=
Atunci cînd: x= 0 =
t =1 și x = 1 =
2)Obținem: I= =
=
10.
√ √ √ √ √ √
√ √ - ∫ ∫ √ , ∫ ∫ ∫ ⁄ ./ ∫ ./ ∫ ∫ ∫ √ ∫ √ ∫ √ √ √ √
=
11.
12.
=
√ √ √ √
. / ∫ √ √ ∫ √ √ √ √ (√ ) √ √ √ √ √ √ √ √ ∫ √ ∫ | ⁄ ∫ √ √ | | ∫ √ √
=(4 - 1) + (2 - 4) +
13.
=
14.
=
15.
Exerciții propuse: 1. 2.
3.
4. 5. 6. 7. 8. 9.
∫ √ ∫ ∫ √ ∫ ∫ ∫ √ √ ∫ ∫ ∫ ∫ √
10.
R: 0 R: 1
R: ln
R: R:
R:
R: 2
R: ln R:
R:
§2.Metoda integrării prin părți Metoda respectivă se bazează pe următoarea teoremă: Teoremă:Fie u:[a,b ]→R și v: [a,b ]→R funcții derivabile pe [a,b] cu derivatele u′:[ a,b ]→R și v′:[ a,b ]→R continue pe [a,b] .Atunci are loc formula de integrare prin părți:
∫ | ∫ ∫ | ∫ | | | | Integrarea prin părți se aplică la integralelede forma:
P(x) este un polinom, iar f(x) una din funcțiile: .
Exerciții rezolvate:
1.
2.
∫ . / ./ , -0 1 ∫ . / | | | | ∫ ∫ ∫ ∫ | 3.
4.
5.
du=
)=
|
∫ ∫ | | | ∫ ∫ | ∫ . /∫ √ √ || √ √ ∫ | |
6.
du=
7.
v=tgx )
8.
=
ă
∫ | | ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . / . / ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
I=(u=x;dv=cosx dx;v=
=
Deci,
9.
=
Notăm:
I=
= =
Deci:
10. I=
. / ∫ / ∫ . | . / ∫ | ∫ . / ∫ . / . / [ . / ] . / . / . / *+ [ . / ] . / . / √ Notam =
,adică
{1}
. = = =
{2} și înlocuind în {1} obținem:
Deci
R-s: I =
.
11.Calculați:
∫ ||
R-re: I =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Notăm
A= v=
)=
Notam B= B=(u=
ț
A .
ă
{1}
Relația {1} o înlocuim în I obținînd: I
.
.
∫ ||
R-s:
Exemple propuse: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
10.
√
R:
R: R: R:
R: R:
R: 24ln2 R:
R: -2( R:
)
