Aritmetica-Metode de Rezolvare a Problemelor-clasa IV

ELENA ZAVATE

Metode de rezolvare a problemelor Clasa a IV-a A Şcoala nr.8 „ Alexandra Nechita” VASLUI CERCUL DE MATEMATICĂ „ AŞII” -Suport de curs-

2008-2009 „Matematica este regina ştiinţelor, iar aritmetica este regina matematicii.” C.F. GAUSS

ARGUMENT Este unanim recunoscut faptul că rezolvarea problemelor de aritmetică este una din cele mai sigure căi ce conduce la dezvoltarea gândirii, imaginaţiei, atenţiei şi a spiritului de observaţie ale elevilor. Dacă în algebră lucrăm cu numere, în aritmetică raţionăm direct asupra mărimilor date în problemă. În raţionamentul aritmetic urmărim să avem prezente condiţiile problemei. Pentru aceasta, ne ajutăm de notarea în scris a problemei. Calea aritmetică, tocmai datorită specificului ei, faptului că se bazează mai mult pe iniţiativă şi gândire personală, se foloseşte în învăţământ cu scop educativ: pentru a dezvolta puterea de judecată, pentru a învăţa pe elevi să gândească liber asupra realităţii. Ea este totodată o pregătire pentru metoda algebrică. Aşadar, în aritmetică nu există o metodă unică generală, care să poată fi aplicată cu deplină siguranţă. Se dau unele indicii de ordin general sau se caută să se grupeze anumite tipuri de probleme asemănătoare (prin structura raţionamentului sau prin natura mărimilor cu care se lucrează); aceste indicaţii generale sunt denumite metode de rezolvare (probleme tipice) Prin problemă tipică înţelegem acea construcţie matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui algoritm specific fiecărui tip. Problemele propuse iniţial pentru fiecare tip urmăresc în primul rând consolidarea metodei (algoritmului). Îndrumarea elevului spre însuşirea tehnicii rezolvării problemelor de aritmetică, presupune din partea învăţătorului/profesorului multă răbdare, pricepere şi mai ales o muncă sistematică şi bine organizată.

2

Autoarea

CUPRINS

ARGUMENT ...................................................................... 1 I. PROBLEME DE NUMERAŢIE ................................................. 3 II. METODA FIGURATIVĂ (GRAFICĂ) .................................... 7 A. Probleme de sumă şi diferenţă........................... ..........11 B. Probleme de sumă şi raport .......................................14 C. Probleme de diferenţă, raport şi rest ........................... 19 D. Probleme în care sunt combinate relaţiile de sumă, diferenţă şi raport ......................................... 22 III. METODA IPOTEZELOR (FALSEI IPOTEZE).....................27 IV. METODA COMPARAŢIEI....................................................32 V. METODA RETROGRADĂ (A MERSULUI INVERS)........ 38 VI. PROBLEME DE MIŞCARE...................................................43 RĂSPUNSURI.................................................................. 43 BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ......................................... 47

3

LUCRĂRI PUBLICATE DE AUTOARE: 1.CARTE DE LECTURĂ, clasa I, 2001; coautori: Stan Gabriela, Maftei Luminiţa; 2.PROBLEME ŞI GEOMETRICE DISTRACTIVE, disciplină opţională pentru clasele III-VI, 2001; coautor Stan Gabriela; 3.EXERCIŢII ŞI PROBLEME DIN GAZETA MATEMATICĂ, clasele I-IV, 2002; 4.LABIRINTUL CUNOAŞTERII- elemente de cultură generală, clasele I-IV, 2002; coautori:Stan Gabriela, Maftei Luminiţa, Roman Geta; 5.Despre EDUCAŢIE- Proverbe, zicători, cugetări, 2002; coautori: Stan Gabriela, Şelaru Ilona, Tolontan Liliana; 6.LIMBA ROMÂNĂ, clasa I, 2002; coautori: Stan Gabriela, Şelaru Ilona, Tolontan Liliana; 7.JOCUL CUVINTELOR- exerciţii delimba română, clasa a III-a, 2003; coautori: Stan Gabriela, Maftei Luminiţa, Şolcă Iulia; 8.LITERATURA PENTRU COPII- disciplină opţională, clasa a III-a, 2003; coautori: Stan Gabriela, Maftei Luminiţa, Şolcă Iulia; 9.GHIDUL ÎNVĂŢĂTORULUI pentru aplicarea opţionalului „ Literatura pentru copiii”, clasa a III-a, 2003; coautori: Stan Gabriela, Maftei Luminiţa, Şolcă Iulia; 10.LIMBA ROMÂNĂ-Culegere auxiliar pentru clasa a IVa, 2004; coautori:Stan Gabriela, Şolcă Iulia; 11.TESTE DE EVALUARE- MATEMATICĂ, clasa a IVa, 2004; coautor: Gavril Elena; 12.TESTE DE EVALUARE- ŞTIINŢE ALE NATURII, clasa a IV-a, 2004; coautor: Gavril Elena; 13.TESTE DE EVALUARE- Aria curriculară OM ŞI SOCIATATE: Istoria Românilor, Geografia României, Educaţie civică- clasa a IV-a,2004; coautor: Gavril Elena;

4

14.FOLCLOR ROMÂNESC- disciplină opţională, clasa a IV-a, 2004; 15.PROBLEME DE GEOMETRIE, clasele I-V, 2005; coautori: Maftei Luminiţa, Sâmbotin Elena; 16.PROBLEME DE LOGICĂ ŞI PERSPICACITATE, clasele I-IV, 2006; coautori: Guzgan(Stan) Gabriela, Şolcă Iulia; 17.ARITMETICA- Metode de rezolvare a problemelor, clasele III-IV, 2007; coautori: Obreja Silvia, Trişcă Iozefia; 18.POFTIŢI LA SERBARE!- clasele I-IV, 2007; coautori: Guzgan(Stan) Gabriela, Obreja Silvia, Gherasim Veronica; 19.GHIDUL PĂRINŢILOR ÎN LUMEA COPIILOR, 2007; coautori: Bută Maria, Morozan Costinel; 20.MONOGRAFIA ŞCOLII NR.8 VASLUI- finalizare, mai 2009; coautori: Obreja Silvia, Danu Olimpia, Baban Vladimir.

5

I. PROBLEME DE NUMERAŢIE Pentru acest tip de probleme nu există o metodă standard de rezolvare. Acestea se rezolvă în general ţinând cont de: - proprietăţile numerelor în sistemul zecimal de numeraţie; - proprietăţile operaţiilor cu numere; - observarea unor particularităţi ale datelor şi rezultatelor. ENUNŢURI Să se determine numărul natural x, cunoscând că numărul x+4 este succesorul numărului 14. 1.

2. Cu cât este mai mare suma primelor zece numere cu soţ consecutive din şirul numerelor naturale 1-20 decât suma primelor zece numere consecutive fără soţ? 3. Manualul de matematică de clasa a IV-a are 272 pagini. Câte cifre s-au folosit pentru paginarea lui? 4. Pentru paginarea unui manual de clasa a V-a s-au folosit 1212 cifre. Câte pagini are manualul? 5. Câte cifre se folosesc pentru a scrie toate numerele de la 1 la 999? Câte numere naturale mai mici decât 100 putem pune în locul lui x în (x+3):2, astfel încât fiecare număr obţinut să fie număr natural (justificare). 6.

7. Găsiţi numerele de două cifre care sunt egale cu dublul sumei cifrelor.

6

8. Consideraţi cinci numere naturale consecutive. Arătaţi că suma lor se împarte exact la 5. Justificaţi răspunsul. Găsiţi toate numerele naturale care puse în locul lui x fac adevărate egalitatea: 7  x  3  12 9.

10. Găsiţi toate numerele de două cifre care se împart la produsul cifrelor. 11. Determinaţi toate numerele de trei cifre consecutive care se împart exact la 9. 12. Aflaţi cifrele a, b, c din egalitatea: abc  abc  c 2a 2

13. Scrieţi numărul 33 ca o sumă de termeni al căror produs să fie tot 33. Determinaţi numărul de forma răsturnatul său dau câtul 2 şi restul 36. 14.

abc ,

ştiind că împărţit la

15. Fie cinci numere naturale. Dacă le ordonăm crescător observăm că fiecare este mai mare decât precedentul cu acelaşi număr, iar al treilea este 7. a) Aflaţi suma celor 5 numere. b) Determinaţi cele 5 numere. Câte soluţii sunt? 16.

Determinaţi numărul natural aa , ştiind că: a x a x a = a + a + a + a + a + a + a + a + a.

17. Aflaţi două numere naturale egale ştiind că împărţind produsul la suma lor, obţinem câtul 14.

7

18. Dacă dintr-un număr natural scădem pe 20, pe 19, pe 21 şi pe 24, apoi adunăm cele patru resturi, obţinem o sumă egală cu numărul iniţial. Care este acel număr? 19. Trei numere au, două câte două, media aritmetică respectiv egală cu 21, 22, 25. Care sunt numerele? 20. Florin avea la limba română trei note distincte pe baza cărora putea să obţină exact media 7. Ce note avea el? Câte soluţii sunt? 21. Determinaţi numerele naturale a, b, c, d şi e, care satisfac egalităţile: 1) e + e + e + e = 90 – 58 – e ; 2) d = e + e ; 3) d – 12 = c ; 4) b = c + 8 ; 5) b + b = a . 22.

Dacă

adevărată.

a b aa  b  , atunci să se arate că egalitatea  a  b este b 5 ab

Care este valoarea lui a pentru ca fracţiile următoare să fie echiunitare? 23.

1)

5a  a  3 ; 8

2)

5a  a  3 8

Care este valoarea minimă a lui a, număr natural, diferit de zero, pentru ca fracţiile să fie, pe rând, subunitare şi supraunitare: 24.

1)

a 3 a3 a 3 1 ; 2) ; 3) ; 7 7 7

împarte exact la 3, iar a  3.

4)

a:3 , unde a se 7

25. Se ştie că: ab=32, ac=724, yx=414 şi ux=99. Calculaţi: 1) a(b+c); 2) x(y-u).

8

26. Determinaţi suma numerelor de la 1 la 99 inclusiv, calculând suma dintre suma numerelor impare şi suma numerelor pare din acest şir. 27. Determinaţi suma numerelor naturale care împărţite la 25 dau câtul egal cu restul. 28. Determinaţi numărul de două cifre care este, pe rând egal cu: 1) dublul sumei cifrelor sale; 2) triplul sumei cifrelor sale; 3) împătritul sumei cifrelor sale. 29. Cristi şi Mihaela aveau fiecare câte 26 de alune. După ce a mâncat o parte din ele, Cristi constată că, dacă din alunele rămase ar face grămezi de câte 4 alune, sau de câte 3 alune, ori de câte 2 alune, într-o grămadă i-ar lipsi o alună. Mihaela observă că, deşi a mâncat mai puţine alune decât Cristi, poate şi ea aplica acelaşi procedeu. Câte alune mai are fiecare dintre cei doi copii? 30. Dacă 326 – a = b + 139 = 218 , calculaţi: a + (a – b) = a – (a - b) = (a + b) - (a - b)= (a + b) + (a - b)=

9

II. METODA FIGURATIVĂ (GRAFICĂ) Această metodă constă în reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute şi fixarea în desen a relaţiilor dintre ele şi mărimilor date în problemă. Ea ajută la formarea schemei problemei, la ţinerea în atenţie a tuturor condiţiilor problemei şi la concentrarea asupra lor. În rezolvarea unei probleme care face apel la această metodă ne sprijinim pe raţionament, folosind înţelesul concret al operaţiilor. Figura schematică a problemei trebuie să însemne o schematizare a enunţului pentru a păstra în atenţie relaţiile matematice şi nu toate aspectele concrete ca într-o fotografie. Pentru reprezentarea (figurarea) mărimilor din probleme şi a relaţiilor dintre ele se pot folosi următoarele elemente grafice: desene, figuri geometrice plane, segmente de dreaptă, puncte, ovale, semiovale, litere sau combinaţii de litere, cifre romane, alte simboluri şi semne convenţionale. a) Figurarea prin desen Problemă: De ziua ei, Nina a primit de la fratele său 5 flori, iar de la sora sa 3 flori. Câte flori are Nina, dacă a mai primit 7 flori de la părinţii săi?

10

1) Câte flori a primit de la fraţii săi? 3+5=8 2) Câte flori a primit Nina în total? 8 + 7 = 15 R: 15 flori. b) Utilizarea figurilor geometrice plane Problemă: Două terenuri au suprafaţa totală de 1750 m2. Unul este cu 2 150 m mai mare. Ce suprafaţă are fiecare teren?

150 m2

1750

m2

Care ar fi suprafaţa totală a terenurilor dacă ar fi egale? I750 – 150 = 1600 Care este suprafaţa terenului mai mic? 1600 : 2 = 800 Care este suprafaţa terenului mai mare? 800 + 150 = 950 800 m2 R: 950 m2 c) Figurarea prin segmente de dreaptă Problemă: In două cutii sunt 45 de bomboane. Câte bomboane sunt in fiecare cutie, dacă în a doua cutie sunt cu 5 mai multe? I.

5

45 bomboane

11

Câte bomboane sunt în cele două cutii, dacă în ambele cutii ar fi un număr egal de bomboane? 45 + 5 = 50 Câte bomboane sunt in cutia mai mare? 50 : 2 = 25 Câte bomboane sunt in cealaltă cutie? 25 – 5 = 20 25 de bomboane R: 20 de bomboane d) Utilizarea figurilor schematice Problemă: In curtea bunicului se găsesc oi şi raţe, în total 52 de capete şi 138 picioare. Câte oi şi câte raţe are bunicul?

...... 52 capete Fiecare vietate are cel puţin două picioare; vom figura la fiecare oval câte două liniuţe, reprezentând cele două picioare. ........ 52 capete Atunci cele 52 de vietăţi vor avea: 52 x 2 = 104 (picioare) S-au reprezentat astfel 104 picioare, dar în total erau 138 de picioare. Diferenţa, adică: 138-104 = 34 (picioare) o repartizăm la un număr de 17 ovale (vietăţi), câte două, deoarece 4 – 2 = 2 (cu câte picioare are mai mult o oaie decât o raţă). Câte oi erau? 34 : 2 = 17 Câte raţe are bunicul? 17 oi

12

52 –17= 35 R:

35 raţe

e)Utilizarea literelor si a combinaţiilor de litere Într-o fructieră sunt mere şi pere. Numărul perelor este de 3 ori mai mare decât numărul merelor. La masă sunt 6 persoane. Fiecare îşi pune în farfurie un măr şi 2 pere. Câte mere şi câte pere erau la început, dacă în fructieră au rămas de 6 ori mai multe pere decât mere? Se figurează situaţia iniţială: P MP P

P MP P

P MP P

P

.................M P P

P MP P

Dacă persoanele de la masă iau un măr şi două pere, vom figura astfel: P

P

P

P

P

P

P MP P

.......

P MP P

După ce au fost luate 6 mere şi 12 pere, au rămas de 6 ori mai multe pere, deci trebuie să completăm cu câte trei pere (din cele rămase din grupele iniţiale), patru grupe. PPP

P MP P

P P P

P MP P

1) Câte mere şi câte pere au luat cele 6 persoane? 6 x 1 = 6 (mere); 6 x 2 = 12 (pere); 2) Câte pere se vor redistribui? (6 x 3) – (6 x 2) = 18 – 12 = 6: Câte se vor redistribui? 6 – 3 = 3; Câte mere au rămas? 6:3=2 Câte mere au fost? 8 mere

13

2+6=8 Câte pere au fost? 3 x 8 = 24

R:

24 pere

A. PROBLEME DE SUMĂ ŞI DIFERENŢĂ ENUNŢURI 1. Suma a două numere este 17. Unul este cu 3 mai mare decât celălalt. Să se determine cele două numere. 2. Suma a trei numere este 18. Primul număr este 5, iar al doilea este cu 1 mai mare decât al treilea număr. Să se determine al treilea număr. 3. Media aritmetică a două numere este 5. Unul din numere este cu 6 mai mare decât celălalt. Determinaţi cele două numere. 4. Diferenţa a două numere este 19. Dacă împărţim suma lor la diferenţă, obţinem câtul 18 şi restul 17. Aflaţi numerele. 5. Suma a două numere naturale este 14. Dacă împărţim suma lor la diferenţă, obţinem câtul 3 şi restul 2. Aflaţi numerele. 6. Cristian şi Florin au economisit împreună 666 lei. Dacă Florin i-ar da lui Cristian 13 lei, ei ar avea sume egale. Câţi lei are fiecare? 7. Doi copii au împreună 1200 de lei. După ce primul îi dă celui de-al doilea 30 de lei, acesta din urmă va avea cu 18 lei mai puţin decât primul. Câţi lei a avut iniţial fiecare copil? 8. Pe partea dreaptă a unei străzi sunt cu 4 pomi mai mulţi decât pe partea stângă. Pe altă stradă, pe fiecare parte e un număr dublu de pomi faţă de numărul total de pomi de pe prima stradă. Câţi

14

pomi sunt pe fiecare parte a fiecărei străzi, dacă în total pe cele două străzi sunt 220 de pomi? 9. Suma a trei numere naturale este 2005. Dacă din fiecare număr se scade acelaşi număr, se obţin numerele 109, 107, 1009. Care sunt cele trei numere? 10. Patru bucăţi de pânză au o lungime totală de 32m. Ştiind că prima bucată este mai mare cu 8m decât celelalte trei la un loc, iar lungimea fiecăreia dintre ultimele trei bucăţi, începând cu a doua şi terminând cu a patra, este reprezentată de numere consecutive pare. Aflaţi ce lungime are fiecare bucată. 11. Aflaţi lungimea unui dreptunghi al cărui perimetru este de 2036m, lungimea fiind cu 278m mai mare decât lăţimea. 12. Dacă la suma a două numere adunăm diferenţa lor, obţinem 28, iar dacă din suma lor scădem diferenţa, obţinem 16. Aflaţi numerele. 13. Diferenţa a două numere este 5. Dacă adunăm suma numerelor cu diferenţa lor, obţinem 32. Care sunt cele două numere? 14. Suma a două numere este 19. Dacă la sumă adunăm diferenţa lor, obţinem 26. Aflaţi numerele. 15. Suma a cinci numere este 64. Primele două sunt consecutive impare. Următoarele trei numere au suma 36 şi sunt consecutive pare. Aflaţi numerele. 16. Să se determine cinci numere naturale a căror sumă este 996, dacă al doilea este cu 9 mai mare decât primul, dar cu 3 mai mic decât al treilea, iar al patrulea este cu 4 mai mare decât al treilea, dar cu 18 mai mic decât al cincilea. 17. În ciclul primar al unei şcoli învaţă 1050 de elevi. În clasele a patra sunt cu 50 de elevi mai mult decât în clasele întâi şi cu 70 mai

15

puţin decât în clasele a treia. În clasele a doua sunt cu 30 de elevi mai mult decât în clasele a patra. Câţi elevi sunt în fiecare clasă? 18. Într-o fermă zootehnică se găsesc 5300 de oi, capre şi bovine. Numărul bovinelor este cu 2296 mai mare decât numărul caprelor şi cu 702 mai mic decât numărul oilor. Câte animale se găsesc de fiecare specie? 19. Adunând 7 la diferenţa a două numere obţinem 19. Să se determine cele două numere, ştiind că micşorând de 8 ori suma lor, obţinem 5. 20. Produsul dintre numărul elevilor participanţi la un concurs şcolar şi numărul ce reprezintă diferenţa dintre numărul fetelor şi numărul băieţilor prezenţi este 51. Câţi băieţi şi câte fete au participat la acel concurs? 21. Resturile pe care le primesc trei copii în urma unor cumpărături sunt reprezentate de numere consecutive impare ce au suma egală cu media aritmetică a sumelor iniţiale care erau reprezentate tot de trei numere consecutive impare. Ştiind că primul şi ultimul copil au avut împreună 2046 lei, aflaţi ce sumă a cheltuit fiecare copil. 22. Suma a două numere este 32, iar diferenţa lor este dublul numărului mai mic. Care sunt cele două numere? 23. Suma a două numere este 35, iar diferenţa lor este cât a treia parte din numărul mai mic. Aflaţi numerele.

16

B. PROBLEME DE SUMĂ ŞI RAPORT ENUNŢURI 1. Suma a două numere naturale este 51. Primul număr este de două ori mai mare decât al doilea. Determinaţi numerele. 2. Un număr natural este de trei ori mai mic decât alt număr natural. Ştiind că suma celor două numere este 100, să se afle cele două numere. 3. Doi copii au citit împreună 84 de pagini. Câte pagini a citit fiecare, dacă unul a citit mai mult decât celălalt de 3 ori? 4. Florin, George şi Cristian au împreună 154 de timbre. Câte timbre are Cristian, dacă acesta are cât jumătate din numărul timbrelor lui George, iar el are cât jumătate din numărul timbrelor lui Florin? Dar ceilalţi doi? 5. În două cutii sunt bile albe şi roşii, în total 210 bile. După ce s-au vândut 26 de bile albe şi 14 bile roşii, numărul bilelor albe rămase este de 4 ori mai mare decât numărul bilelor roşii rămase. Câte bile au fost de fiecare fel? 6. O familie a recoltat în trei zile 2510 kg de struguri. În a doua zi a recoltat de 4 ori mai mult decât în prima zi şi încă 10 kg, a treia zi a recoltat cu 8 kg mai puţin decât jumătate din cantitatea culeasă în prima zi. Câte kg de struguri a recoltat familia în fiecare zi? 7. Patru elevi au împreună suma de 288 de lei. Al doilea are de două ori mai mult decât primul, aceştia împreună au de două ori

17

mai mult decât al treilea, iar toţi trei au împreună de trei ori mai mult decât al patrulea. Ce sumă are fiecare? 8. Suma a două numere este 88, iar diferenţa lor este a cincea parte din numărul mai mic. Aflaţi numerele. 9. Doi copii au împreună 120 de lei. Primul a cheltuit din bani de două ori mai mult decât al doilea şi amândoi au primit rest câte 30 de lei. Câţi lei avea fiecare? 10. Să se afle două numere naturale, ştiind că al doilea este de 4 ori mai mare decât primul, iar suma dintre dublul celui de-al doilea şi triplul primului este 99. 11. Suma a trei numere naturale este 240. Primul este de două ori mai mare decât triplul celui de-al treilea şi de două ori mai mare decât al doilea. Care sunt numerele? 12. Trei copii aveau împreună suma de 8960 lei. După ce primul a cheltuit o parte din suma sa, al doilea, dublul sumei cheltuite de primul, al treilea copil, dublul cât al doilea, fiecare are o sumă cheltuită egală cu cât au cheltuit toţi trei la un loc. Aflaţi suma avută de fiecare copil. 13. Patru copii aveau fiecare aceeaşi sumă de bani. După ce primul a cheltuit 90 de lei, al doilea 120 lei, al treilea 150 lei, iar al patrulea 153 lei, le-au mai rămas la un loc tot atâţia lei cât avusese fiecare la început. Câţi lei a avut fiecare? 14. Ana are cu 880 lei mai mult decât Laura. Dacă fiecare ar mai avea câte 100 lei, atunci Ana ar avea de 5 ori mai mult decât ar avea Laura. Câţi lei are fiecare? 15. Suma a 6 numere este 71. Primele două sunt consecutive impare. Următoarele două numere au suma 25, iar unul este mai

18

mic decât celălalt de 4 ori. Ultimele două au diferenţa 18, iar unul este mai mic decât celălalt de 4 ori. Aflaţi numerele. 16. Aflaţi 3 numere naturale, ştiind că suma lor este 21, primul număr este îndoitul celui de-al doilea, dar cu 6 mai mic decât al treilea. 17. Suma a trei numere naturale este 416. Primul număr este de 3 ori mai mic decât suma celorlalte două, iar diferenţa dintre al treilea şi al doilea este jumătate din al doilea număr plus 2. Care sunt cele trei numere? 18. Vârsta tatălui împreună cu vârstele celor doi fii ai săi este de 70 de ani. Care este vârsta fiecăruia, ştiind că vârsta tatălui este de 2 ori mai mare decât a fiului mare, iar vârsta fiului cel mic este jumătate din vârsta fratelui său? 19. Într-o cutie sunt în total 70 de bile roşii, galbene şi albastre. După ce am scos 7 bile roşii, 6 bile galbene şi 8 bile albastre, în cutie au rămas de 2 ori mai multe bile galbene decât roşii şi de 2 ori mai multe bile albastre decât galbene. Câte bile de fiecare fel au fost la început în cutie? 20. Suma a patru numere este 480. Ştiind că al doilea este de 3 ori mai mic decât primul, al treilea este cât media aritmetică a primelor două, iar al patrulea este cât media aritmetică a primelor trei numere, să se afle numerele. 21. Să se afle două numere a căror sumă este 170, iar unul este de 2 ori mai mare decât dublul celuilalt. 22. Gabi, Florin şi Mihaela au împreună un număr de timbre filatelice cuprins între 91 şi 95. Câte timbre are fiecare, ştiind că numărul de timbre pe care le are Florin este cât 2/5 din numărul de timbrelor lui Gabi şi de 3 ori mai mare decât numărul de timbre pe care le are Mihaela?

19

23. Daniel a cumpărat trei feluri de caiete. Numărul caietelor de matematică cumpărate este de 3 ori mai mare decât al celor de dictando şi de 4 ori mai mare decât al celor de biologie. Stabiliţi dacă numărul total de caiete cumpărate de Daniel putea fi strict mai mic decât 19. 24. O sârmă lungă de 95 cm a fost tăiată în 2 bucăţi mai mari şi 3 bucăţi mai mici, rămânând 5 cm. Fiecare dintre bucăţile mari era de 2 ori mai lungă decât bucăţile mici luate la un loc. Ce lungime are fiecare bucată de sârmă? 25. Suma a două numere este mai mare cu 8 decât diferenţa lor. Aflaţi cele două numere, ştiind că produsul lor este 20. La adunarea triplului unui număr natural a cu dublul numărului natural b, obţinem 1110. Aflaţi numerele, ştiind că triplul diferenţei celor două numere iniţiale este 90. Câte soluţii are problema? 26.

27. Suma a trei numere este 1500. Al doilea număr este de 3 ori mai mare decât al treilea şi cu 100 mai mic decât primul. Determinaţi numerele respective. 28. Mama şi tatăl unui copil au împreună 80 de ani. Ştiind că mama are de 2 ori vârsta copilului şi tatăl are de 3 ori, să se determine vârsta copilului. 29. Un copil are împreună cu mama sa 44 de ani. Acum 2 ani mama avea vârsta de 3 ori mai mare decât a fiul. Determinaţi vârsta celor doi. 30. Mama, tata, fiul şi fiica au împreună 184 de ani. Aflaţi câţi ani are fiecare ştiind că: tata are cu 5 ani mai mult decât mama, mama are de două ori plus 2 ani vârsta fiului, iar fiica are jumătate din vârsta mamei.

20

31. Într-o urnă sunt de 5 ori mai multe bile albe decât negre. Extrăgându-se o bilă din urnă, vor rămâne de 4 ori mai multe bile albe decât negre. Câte bile albe şi câte bile negre au fost iniţial în urnă? 32. Diferenţa a două numere este cu 50 mai mică decât dublul sumei lor, iar suma lor este de 3 ori mai mare decât diferenţa lor. Să se determine cele două numere. 33. Dana împreună cu tatăl ei şi cu bunica au 90 de ani. Peste 2 ani tata va avea de 8 ori vârsta fiicei, iar bunica de 2 ori vârsta actuală a tatălui. Să se determine vârsta fiecăruia. 34. Trei echipe de handbal au marcat împreună 60 de goluri. Primele două echipe au marcat împreună cu 22 de goluri mai multe decât a treia echipă, iar ultimele două echipe au marcat împreună cu 6 goluri mai mult decât prima echipă. Să se determine câte goluri a marcat fiecare echipă.

21

C. PROBLEME DE DIFERENŢĂ, RAPORT ŞI REST ENUNŢURI 1. Diferenţa a două numere naturale este 14, iar unul este mai mic decât celălalt de 4 ori. Determinaţi numerele. 2. Tatăl lui Vlad are 53 de ani, iar acesta 11 ani. Cu câţi ani în urmă tatăl avea de 7 ori vârsta băiatului? 3. Paula are în prezent cu 21 de ani mai puţin decât mama sa. Peste 9 ani vârsta mamei sale va fi de 2 ori mai mare decât vârsta fiicei sale. Ce vârstă are fiecare în prezent? 4. Diferenţa a două numere este 7. Împărţind cele două numere, se obţine câtul 1 şi un rest. Aflaţi restul. 5. Fratele are cu 15 lei mai mult decât sora, adică de 4 ori mai mult. Câţi lei are fiecare? 6. Să se găsească două numere, ştiind că diferenţa lor este 35, iar unul dintre ele este de 6 ori mai mare decât celălalt. 7. În clasa a III-a A sunt de 3 ori mai multe fete decât băieţi. Câţi elevi sunt, dacă fetele sunt cu 12 mai multe decât băieţii?

22

8. Diferenţa dintre două numere este 42, iar raportul dintre ele este 8. Determinaţi numerele. 9. Andrei citeşte într-o zi un număr de pagini dintr-o carte, a doua zi de 5 ori mai mult, iar a treia zi de 7 ori mai mult decât în prima zi. Ştiind că în a doua zi a citit cu 32 de pagini mai puţine decât în a treia zi, aflaţi câte pagini are cartea. 10. Un tată de 41 de ani are patru copii de 8 ani, de 6 ani, de 4 ani şi de 2 ani. După câţi ani tatăl va avea vârsta egală cu suma vârstelor copiilor? 11. Diferenţa a două numere naturale este 900. Unul dintre ele se obţine din celălalt prin adăugarea la sfârşit a unui zero. Determinaţi numerele. 12. Determinaţi cele două numere care îndeplinesc simultan relaţiile: a) produsul este de 4 ori mai mare decât câtul lor; b) diferenţa dintre produsul şi câtul lor este 6. 13. Să se afle dacă două numere, ştiind că primul număr este de 5 ori mai mare decât al doilea, iar diferenţa dintre dublul primului număr şi triplul celui de-al doilea număr este 245. 14. Pentru a avea acelaşi număr de cărţi pe cele două corpuri ale bibliotecii este suficient să transferăm 16 cărţi din al doilea în primul corp. Dacă transferul ar avea loc în sens invers, al doilea corp ar conţine un număr de cărţi de 2 ori mai mare decât numărul de cărţi rămase în primul corp. Câte cărţi sunt în fiecare corp al bibliotecii? 15. Ana spune: „Dă-mi 3 mere ca să pot avea cât tine”. Paula îi răspunde: „Dacă aş primi încă 3 mere, aş avea de 4 ori mai mult ca tine”. Câte mere avea fiecare?

23

16. Într-o magazie era de 5 ori mai multă făină decât în alta. Dacă din prima magazie se scot 1000 kg, iar în cea de-a doua se mai aduc 480 kg, atunci cantităţile devin egale. Care erau cantităţile iniţiale? 17. Pe o alee nu sunt 24 de trandafiri. Dacă ar fi de 5 ori mai mulţi decât sunt, atunci ar depăşi numărul 24 cu tot atâţia câţi lipsesc. Câţi trandafiri sunt? 18. Dacă Mihaela ar avea cu 3 lei mai mult decât are, atunci suma ar fi de 5 ori mai mare decât suma lui Alin, iar dacă ea ar avea cu 384 lei mai puţin, atunci suma lui Alin ar fi de 2 ori mai mare decât suma pe care ar avea-o Mihaela. Câţi lei are fiecare copil? 19. Într-o magazie sunt 930 kg de pere şi 1170 kg de mere. În fiecare zi se scot câte 30 kg de pere şi 30 kg de mere. După câte zile cantitatea de pere din magazie va fi cât trei pătrimi din cantitatea de mere? 20. Diferenţa a două numere naturale este 14. Dacă mărim primul număr cu 14, obţinem de 8 ori al doilea număr. Care sunt numerele? 21. Diferenţa a două numere naturale este de 3 ori mai mică decât suma lor, dar cu 50 mai mică decât dublul sumei lor. Aflaţi numerele. 22. Suma a două numere este mai mare decât diferenţa lor cu 658. Dacă împărţim suma la diferenţa lor, obţinem câtul 3 şi restul 60. Aflaţi cele două numere. 23. Diferenţa a două numere este 100. Ştiind că un al treilea număr este de 2 ori şi respectiv de 3 ori mai mare decât cele două numere, să se determine cele trei numere.

24

24. Diferenţa a două numere naturale este cu 50 mai mică decât dublul sumei lor, iar suma lor este de 3 ori mai mare decât diferenţa lor. Determinaţi numerele.

D. PROBLEME ÎN CARE SUNT COMBINATE RELAŢIILE DE SUMĂ, DIFERENŢĂ, RAPORT ENUNŢURI 1. Suma a două numere este 1500. Al doilea număr este de 3 ori mai mare decât al treilea şi cu 100 mai mic decât primul număr. Să se determine numerele respective. 2. Vârsta tatălui este cu 15 ani mai mare decât suma vârstelor celor doi fii ai săi. Peste 10 ani tatăl va avea de 2 ori vârsta fiului cel mare. Să se arate că peste 20 de ani vârsta tatălui va fi de 2 mai mare decât vârsta fiului mic. 3. Un constructor a realizat în 6 ani 34 de clădiri. În fiecare an a realizat cu o clădire mai mult decât în anul precedent, iar în anul al şaselea a realizat de 3 ori mai multe clădiri decât în primul an. Câte clădiri a realizat constructorul în anul al cincilea? 4. La o librărie s-au adus de 6 ori mai multe caiete decât cărţi şi de 8 ori mai multe creioane decât cărţi. Ştiind că s-a vândut o pătrime din caiete, o pătrime din creioane şi toate cărţile, în total 270 (caiete, cărţi şi creioane), să se afle câte s-au vândut şi câte au fost din fiecare.

25

5. În două coşuri sunt gutui în cantităţi diferite. Dacă se iau 2 gutui din primul coş, atunci în primul coş rămân de 5 ori mai puţine gutui decât al doilea, iar dacă se iau 2 gutui din al doilea coş, atunci în al doilea coş rămân de 2 ori mai multe gutui decât în primul. Câte gutui au fost iniţial în cele două coşuri? 6. Să se găsească trei numere naturale care îndeplinesc următoarele condiţii: a) media lor aritmetică este un număr par; b) primul număr este par, mai mare ca 30 şi mai mic ca 40; c) al treilea număr este cu 6 mai mic decât al doilea. 7. Aş dori să am 800 de lei. Am scos de la CEC o sumă, dar miar mai trebui încă o dată această sumă plus 80 de lei. Pentru a-mi completa suma care îmi lipseşte, tata îmi dă cu 80 lei mai mult decât o treime din suma scoasă de la CEC, iar mama îmi dă cu 40 lei mai mult decât mi-a dat tata. Să se determine: a) suma pe care am scos-o de la CEC; b) suma primită de la mama şi de la tata; c) suma ce îmi lipsea pentru a completa 800 lei. 8. Suma a patru numere naturale este 144. Al doilea număr este cu 10 mai mare decât primul număr, de 2 ori mai mic decât al treilea şi de 3 ori mai mic decât al patrulea număr. Determinaţi cele patru numere. 9. Să se determine trei numere naturale care îndeplinesc condiţiile: a) suma lor este 40; b) adunând la primul număr 2, scăzând din al doilea număr 2 şi înmulţind al treilea număr cu 2 obţinem rezultate identice.

26

10. Media aritmetică a patru numere este 53. Împărţind primul număr la al doilea, obţinem câtul 5 şi restul 21, al doilea număr este de 2 ori mai mare decât al treilea, iar al patrulea număr este cu 5 mai mic decât al treilea număr. Să se determine cele patru numere. 11. Să se determine patru numere naturale ştiind că: a) suma primelor două numere este 40; b) primul număr este cu 2 mai mic decât dublul celui de-al treilea număr, iar al doilea număr este cu 2 mai mare decât dublul celui de-al treilea număr. c) al patrulea număr este egal cu suma celorlalte trei. 12. Să se determine patru numere naturale, ştiind că: a) al doilea este cu 25 mai mic decât primul; b) al treilea număr este de 2 ori mai mare decât primul; c) al patrulea număr este egal cu primul număr şi mai mic cu 50 decât al treilea. 13. Se consideră cinci numere naturale cu următoarele proprietăţi: a) suma primelor două numere este egală cu suma ultimelor trei numere; b) ultimele trei numere sunt consecutive şi crescătoare; c) numărul al doilea este dublul primului număr; d) suma numerelor al treilea şi al patrulea este cu 9 mai mare decât numărul al cincilea. Să se arate că unul din primele două numere este egal cu unul din următoarele trei numere. 14. Să se găsească trei numere, ştiind că jumătatea primului număr este egală cu o treime a celui de-al doilea sau cu pătrimea celui de-al treilea, iar al treilea este mai mare decât primul cu 64. 15. În curtea bunicilor sunt curci, raţe şi găini. 27 din ele nu sunt găini şi 39 nu sunt curci. Numărul găinilor este de 2 ori mai mare decât al curcilor. Câte păsări sunt de fiecare fel?

27

16. Un pix, o carte şi un joc costă împreună 63 lei. Pixul costă cu 5 lei mai puţin decât cartea, iar aceasta împreună cu pixul costă cu 7 lei mai mult decât jocul. Să se afle preţul fiecărui obiect în parte. 17. Un ţăran vinde în trei zile 1809 kg de cartofi. În prima zi vinde de 3 ori mai mult decât în a doua zi şi încă 1 kg, iar în a treia zi vinde cu 1 kg mai puţin decât jumătate din cât a vândut în a doua zi. Câte kg a vândut în fiecare zi? 18. Suma a trei numere este 75. Primul număr este jumătate din al treilea. Dacă împărţim pe al doilea la al treilea, obţinem câtul 2 şi restul 5. Aflaţi numerele. 19. Trei copii doresc să cumpere o minge de 450 lei. Numărânduşi banii, ei constată că le-ar mai trebui 300 lei şi că al doilea are de 5 ori mai puţin decât primul şi cu 17 lei mai puţin decât al treilea. Câţi lei mai trebuie să adune fiecare pentru a contribui la cumpărarea mingii cu sume egale? 20. Trei ţărani aveau fiecare câte o turmă de oi, în total 176 oi. După ce primul vinde un număr de oi, al doilea cu 2 mai mult decât dublul numărului de oi vândute de primul, iar al treilea cu 3 mai mult decât dublul numărului de oi vândute de al doilea, fiecăruia îi rămân tot atâtea oi câte au vândut împreună. Câte oi a avut la început fiecare ţăran? 21. Să se afle cele trei numere care satisfac condiţiile: a) primul împărţit la al doilea dă câtul 1 şi restul 4; b) al treilea împărţit la suma primelor două dă câtul 2, restul 4; c) diferenţa dintre suma a două dintre cele trei numere şi numărul mai mic este 100. 22. Suma a 4 numere naturale este 170. Diferenţa dintre primele două numere este 4, iar câtul dintre suma acestor două numere şi al treilea număr este 4, rest 4. Al patrulea număr este cu 4 mai mare

28

decât împătritul celui de-al treilea număr. Care sunt cele patru numere? 23. În două coşuri sunt 99 mere. Dacă s-ar lua 17 mere din primul coş şi s-ar pune în al doilea, în primul coş ar rămâne cu 25 mai mult ca în al doilea. Câte mere sunt în fiecare coş? 24. Într-un sac se află făină cu 7 kg mai mult decât triplul cantităţii din al doilea sac. Dacă din primul sac s-ar scoate 40 kg, iar din al doilea, 5 kg, în cei doi saci ar rămâne cantităţii egale de făină. Câte kg de făină se află în fiecare sac? 25. La un magazin, în trei baloturi au fost 125 m de pânză. După 5 zile de vânzare, baloturile aveau lungimi egale; în primul balot a rămas o jumătate, în al doilea şi în al treilea a rămas cu un sfert şi, respectiv, cu 8 m mai puţin decât a fost la început. Câţi metri de pânză au fost la început în fiecare balot? 26. Doi copii aveau împreună 845 de lei. Când primul a cheltuit 280 lei, iar al doilea 430 lei, atunci al doilea a avut de atâtea ori câte 5 lei de câte ori primul a avut câte 10 lei. Ce sumă a avut iniţial fiecare copil? 27. Tatăl, mama şi cei trei copii ai lor au împreună 82 de ani. Vârstele fiilor sunt reprezentate prin numere naturale consecutive pare. Aflaţi vârsta fiecărui membru al familiei, ştiind că la naşterea celui de-al doilea copil, fiecare dintre părinţi avea de 13 ori vârsta primului copil. 28. Perimetrul unui dreptunghi este de 172 m. Aflaţi dimensiunile lui, ştiind că, dacă mărim cu 5 m jumătate din lăţime, obţinem cu 2 m mai puţin decât jumătate din lungime. 29. Trei numere sunt astfel încât dacă îl împărţim pe primul la al doilea sau pe al doilea la al treilea, se obţine câtul 2 şi restul 1.

29

Aflaţi cele trei numere, ştiind că diferenţa dintre primul şi al treilea este 33. 30. Florin, Mihaela şi Gabi au plecat la cumpărături, având câte 1005 lei. Câţi lei a cheltuit fiecare, dacă resturile sunt respectiv numere consecutive, care valorează împreună cât suma cheltuită de Gabi? 31. Andrei are suma de 100 de lei în monede de 1, 3 şi 5 lei. Ştiind că el are 32 de monede, numărul monedelor de 5 lei este mai mic cu 4 decât al celor de 3, iar numărul monedelor de 1 leu este mai mare cu 1 decât jumătate din numărul monedelor de 3 lei, să se calculeze câte monede de fiecare fel are Andrei.

III. METODA IPOTEZELOR(FALSEI PRESUPUNERI) Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilor sau ipotezelor, a falsei ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcţie de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru orientarea raţionamentului şi determinarea rezultatelor. Astfel, avem: a) probleme din prima categorie, din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză; b) probleme din a două categorie, din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze succesive. Metoda se poate utiliza şi în soluţionarea problemelor care se rezolvă în mod obişnuit, prin metoda comparaţiei, în probleme de sumă şi raport etc.

30

a) Problemă Într-un bloc sunt 10 apartamente, unele cu cât 2 camere, altele cu câte 4 camere, în total 30 de camere. Câte apartamente sunt cu 4 camere si câte apartamente au câte 2 camere? Presupunem că toate apartamentele au câte 2 camere: 1) Câte camere vor fi in cele 10 apartamente_ 10 x 2 = 20; 2) În realitate sunt 30 de camere. Cu cât presupunerea este falsă? 30 – 20 = 10; (Asta înseamnă că sunt apartamente cu câte 4 camere); 3) Care este diferenţa dintre numărul camerelor unui apartament cu patru camere şi unul cu trei camere? 4 – 2 = 2; 4) În locul unui apartament de două camere, introducem un apartament de 4 camere. Câte apartamente de 4 camere vor fi? 10 : 2 = 5: 5) Câte apartamente cu câte 2 camere vor fi? 10 – 5 = 5 5 ap. cu 4 camere R: 5 ap. cu 2 camere b) La un magazin s-a adus 48 de saci de făină albă ambalată în saci: de 50 de kg, de 54 de kg şi de 63 de kg, în total 2552 de kg. Să se afle câţi saci au fost de fiecare fel, ştiind că numărul sacilor de 50 de kg este cu 8 mai mic decât triplul sacilor de 45 de kg. Presupunem că numărul sacilor de 50 de kg este egal cu triplul celor de 54 de kg. Pentru aceasta adăugăm 8 saci de câte 50 de kg. Adică: 48 + 8 = 56 (saci);

31

Ce cantitate de făina vom avea acum? 2552 + 50 x 8 = 2552 + 400 = 2952 (kg); Acum la un sac de făină de 54 de kg corespund 3 saci de 50 de kg; Presupunem că toţi sacii sunt de 63 de kg. 63 x 56 = 3528 de kg. Cu cât cantitatea nu corespunde realităţii? 3528 – 2952 = 576 (kg). 54 50

50

54 50

50

50

54 50

......

50

50

50

63

63

....

63

Aceste kilograme în plus au provenit din grupuri de câte 3 x 13 + 9 = 48 kg. 576 : 48 = 12 Deci vor fi 12 grupe de câte 3 saci de 50 de kg şi un sac de 54 de kg, adică 36 de saci de 50 de kg şi 12 saci de câte 54 . Câţi saci de 63 de kg sunt? 56 –(36 + 12)= 56 – 48 = 8(saci) Câţi saci de 50 de kg au fost? 36 – 8 = 28 (saci). 28 saci de 50 kg R: 12 saci de 54 kg 8 saci de 63 kg ENUNŢURI 1. Într-o curte cu găini şi oi, cineva numără 100 capete şi 330 picioare. Câte găini şi câte oi erau?

32

2. Florin îşi cumpără un costum şi plăteşte 950 lei, în bancnote de 100 lei şi 25 lei, în total 14 bancnote. Câte bancnote din fiecare fel a dat? 3. Un biciclist parcurge 96 km în 5 ore, mergând la deal cu viteza medie de 12 kg pe oră şi la vale cu viteza medie de 30 km/oră. Câte ore a mers numai la deal şi câte ore a mers numai la vale? 4. Olivia o ajută pe bunica la treburile gospodăreşti. Ea dă de mâncare în fiecare zi animalelor din curte: raţe, găini, purcei şi lui Grivei. Numărând, observă că sunt 39 de capete şi 86 de picioare. Ştiind că numărul raţelor reprezintă un sfert din numărul găinilor, să se afle câte animale sunt de fiecare fel. 5. La un concurs de matematică s-au dat 20 de probleme. Pentru o problemă rezolvată corect s-au acordat 10 puncte, iar pentru o problemă nerezolvată sau rezolvată greşit se scad 3 puncte. Câte probleme a rezolvat corect Gabriel, dacă a obţinut 148 puncte? 6. Cei 27 de elevi din clasa a IV-a A trebuie aşezaţi în 12 bănci, câte 2 şi câte 3 elevi în bancă. În câte bănci sunt câte 2 elevi şi în câte bănci sunt câte 3 elevi? 7. Într-o curte sunt iepuri şi găini, în total 22 capete şi 68 picioare. Câţi iepuri şi câte găini sunt în curte? 8. În clasele a V-a şi a VIII-a ale unei şcoli sunt numai elevi de 10 ani şi respectiv 14 ani. Ştiind că în total sunt 268 elevi, iar suma vârstelor lor este de 3 000 de ani, câţi elevi sunt în fiecare clasă? 9. Valoarea unui frigider este de 850 lei şi s-a plătit în bancnote de 100 lei şi 50 lei, în total 9 bancnote. Câte bancnote din fiecare fel au fost?

33

10. Într-un bloc sunt în total 20 de apartamente, de câte 2 camere şi de câte 3 camere, în total 44 camere. Câte apartamente au două camere şi câte au 3 camere? 11. Pentru a plăti cumpărăturile făcute, mama lui Andrei a dat 475 lei în bancnote de 100, 50 şi 25 lei, în total 8 bancnote. Câte bancnote a dat din fiecare? 12. De ziua Laurei, mama îi cumpără bomboane pentru a oferi colegilor de clasă. Numărând bomboanele ea constată: „Dacă împart copiilor câte 5, 2 copii vor rămâne fără bomboane; dacă împart câte 4, atunci rămân 17 bomboane”. Câte bomboane şi câţi copii sunt? 13. Un ţăran are în total 200 de animale: iepuri şi găini, care au împreună 520 picioare. Câţi iepuri şi câte găini are? 14. Într-o urnă sunt 13 bile albe şi negre. Dacă extragem din urnă o bilă albă obţinem 3 puncte, iar dacă extragem o bilă neagră obţinem 5 puncte. Câte bile albe şi câte bile negre a extras un copil din acea urnă, dacă a totalizat 49 puncte? 15. Dacă în fiecare bancă dintr-o sală aşezăm câte 5 elevi, rămân două bănci libere, iar dacă aşezăm câte 4 elevi, rămân 10 elevi în picioare. Câţi elevi şi câte bănci sunt? 16. Într-o gospodărie sunt 200 de porci, găini şi gâşte ce au în total 600 de picioare. Ştiind că numărul găinilor este egal cu numărul gâştelor, să se determine numărul găinilor, gâştelor şi porcilor existenţi în gospodărie (separat). 17. Într-o sală sunt scaune cu 4 picioare, scaune cu 3 picioare şi bănci cu 2 picioare, în total 95 bucăţi şi 340 de picioare. Numărul băncilor este de 6 ori mai mic decât numărul scaunelor cu 3 picioare. Determinaţi câte obiecte din fiecare fel sunt.

34

18. Părinţii lui Sebi au cumpărat o mobilă în valoare de 1200 lei şi au achitat suma cu 74 bancnote de 100 lei, 25 lei şi 5 lei. Să se afle câte bancnote din fiecare fel a dat, ştiind că numărul bancnotelor de 5 lei este cu 6 mai mare decât numărul celor de 100 lei şi 25 lei luate împreună. 19. Bunicii lui Vlad au în curte păsări şi oi. Animalele au la un loc 46 de capete şi 114 picioare. Câte păsări şi câte oi are? 20. Radu are suma 435 de lei în bancnote de 5 lei şi 10 lei. Ştiind că sunt în total 50 de bancnote, să se afle câte bancnote de fiecare fel are Radu? 21. 300 de grinzi, unele de brad şi altele de stejar, cântăresc 10524 kg. O grindă de brad cântăreşte 28 kg, iar una de stejar, 46 kg. Câte grinzi sunt de fiecare fel? 22. La un spectacol s-au vândut 40 de bilete la preţul de 6 lei şi de 4 lei, încasându-se în total 220 lei. Câte bilete de fiecare categorie au fost vândute? 23. La o librărie s-au adus 31 de truse cu două, trei şi patru creioane, în total 105 creioane. Ştiind că numărul truselor cu 4 creioane este de 3 ori mai mare decât al celor cu 2 creioane, aflaţi numărul truselor de fiecare fel. 24. Într-o curte sunt găini, raţe şi oi. Ştiind că în total sunt 100 capete şi 280 de picioare, iar numărul raţelor este cât o treime din numărul găinilor, să se afle câte păsări de fiecare fel sunt în acea curte. 25. Vrând să pun florile pe care le am în vaze, constat că dacă pun câte 2 flori în fiecare vază, rămâne o floare fără loc, iar dacă pun câte 3 flori în fiecare vază, rămâne o vază fără flori. Câte flori şi câte vaze sunt?

35

26. Dacă stă câte o vrabie pe un par, o vrabie nu are pe ce sta. Dacă stau câte două vrăbii pe un par, rămâne un par liber. Câte vrăbii şi câţi pari sunt? 27. Învăţătorul împarte elevilor unei clase bomboane. Dacă ar da fiecărui elev câte 2 bomboane, i-ar rămâne 30, iar dacă ar da câte 4, nu i-ar ajunge 40 de bomboane. Câţi elevi şi câte bomboane împarte învăţătorul? 28. O cantitate de căpşune trebuie pusă în lăzi. Dacă în fiecare ladă se pun câte 5 kg, rămân 180 kg. Dacă se pun câte 6 kg în fiecare ladă, rămân 20 de lăzi goale şi o ladă cu numai 2 kg. Câte lăzi şi câte kg de căpşune sunt? 29. În 20 de zile Mălina rezolvă câte un număr de probleme. Lucrând acelaşi număr de probleme şi încă 3 probleme pe zi, ea termină problemele în 15 zile. Câte probleme a avut de rezolvat Mălina? 30. De ziua sa de naştere, Ana cumpără 3 cutii a câte 18 bomboane fiecare pentru a-i servi pe cei 22 colegi de clasă. Ştiind că Ana împarte toate bomboanele şi că unii au primit câte 2, iar alţii câte 3 bomboane, să se afle câţi colegi au primit câte 2 bomboane şi câţi câte 3 bomboane. 31. La o cofetărie s-a adus un număr necunoscut de bomboane şi de pungi. Dacă în fiecare zi pungă s-ar pune câte 8 bomboane, 35 ar rămâne neambalate, iar dacă s-ar pune câte 10 în fiecare pungă, 29 de pungi ar rămâne goale, iar o pungă cu numai o bomboană. Câte pungi şi câte bomboane s-au adus la acea cofetărie? 32. Cum se împart în mod egal la trei persoane 24 de lădiţe, dacă 5 sunt pline cu fructe, 11 sunt umplute pe jumătate şi 8 sunt goale, fără a se răsturna din una în alta.

36

IV. METODA COMPARAŢIEI Specificul metodei comparaţiei constă în faptul că se foloseşte mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt legate prin două relaţii clar precizate, determinarea fiecăreia implicând eliminarea celeilalte mărimi prin înlocuire sau prin reducere (scădere). Această metodă implică elemente din metoda reducerii la unitate, care se poate sintetiza prin regula: pentru a şti valoarea

37

mai multor unităţi, trebuie să determinăm valoarea unei singure unităţi şi invers. În ambele situaţii, fie că sunt mărimi direct proporţionale, fie că sunt mărimi invers proporţionale, enunţul cuprinde trei elemente cunoscute şi unul necunoscut, două câte două de acelaşi fel. Cu ajutorul celor trei elemente cunoscute se află cel de-al patrulea. De aceea metoda se mai numeşte regula de trei (simplă sau compusă). Eliminarea unei necunoscute prin scădere Problemă: 3 băieţi şi 5 fete culeg într-o oră 60 de kg de cireşe, iar 5 băieţi şi 5 fete culeg 90 de kg. Câte kilograme de cireşe culege, în medie, o fată pe oră zi? Dar un băiat? Scriem datele problemei astfel: 3 b ..................................................5 f .......................... 60 kg 5 b ..................................................5 f .......................... 90 kg 2 b .................................................../ ..............................30 kg 1 b .......................... 30 : 2 = 15 kg 3 b ......................... ..3 x 15 = 45 5 f ......................... 60 – 45 = 15 1 f .......................... 15 : 3 = 5 5 kg R: 15 kg ENUNŢURI 1. Să se afle cât costă o riglă şi o gumă, ştiind că 5 rigle şi 15 gume costă 45 lei, iar 7 rigle şi 15 gume costă 51 lei. 2. Pentru 4 săpunuri şi 3 paste de dinţi s-au plătit 73 lei, iar pentru 3 săpunuri şi 3 paste de dinţi s-au plătit 63 lei. Cât costă un săpun şi cât costă o pastă de dinţi?

38

3. 6 cărţi şi 7 caiete costă 105 lei, iar 8 cărţi şi 9 caiete costă 139 lei. Să se determine cât costă împreună 2 cărţi si 2 caiete? 4. 6 pungi cu mălai şi 9 pungi cu făină cântăresc 36 kg, iar 9 pungi cu mălai şi 9 pungi cu făină cântăresc 45 kg. Câte kg cântăreşte o pungă cu mălai şi una cu făină (separat)? 5. 26 saci cu cartofi şi 17 saci cu făină cântăresc 2764 kg, iar 35 saci cu cartofi şi 17 saci cu făină cântăresc 3250 kg. Câte kg cântăreşte un sac din fiecare fel? 6. Un turist a mers 4 ore cu trenul şi 8 ore cu vaporul, parcurgând în total 280 km. Alt turist a mers 6 ore cu trenul şi 8 ore cu vaporul, parcurgând 352 km, mergând cu aceeaşi viteză. Aflaţi viteza trenului şi a vaporului. 7. Mama lui Bogdan îşi cumpără de la un magazin 3 m de mătase şi 4 m de stofă pe care plăteşte suma de 305 lei. O altă femeie cumpără 4 m mătase şi 3 m de stofă, plătind 290 lei. Cât costă 1 m de mătase şi 1 m de stofă? 8. O gospodină cumpără fructe pentru compot astfel: 2 kg de mere şi 3 kg de pere, plătind 13 lei. O altă gospodină plăteşte 12 lei pentru 3 kg de mere şi 2 kg de pere. Cât costă 1 kg de mere? Dar unul de pere? 9. La o pescărie se vând mai multe feluri de peşte. Vânzătorul încasează pe 2 kg de crap şi 3 kg de ştiucă 28 lei. Ştiind că 1 kg de crap costă de 2 ori mai mult decât 1 kg de ştiucă, să se afle cât costă 1 kg din fiecare. Într-o piaţă, o ţărancă vinde ardei, morcovi şi păstârnac. Într-o discuţie cu un cumpărător ea îi spune: „Dacă veţi cumpăra 3 morcovi, 6 ardei şi 2 păstârnaci, vă cer 24 lei, dacă veţi cumpăra 5 morcovi, 2 ardei şi 4 păstârnaci, vă cer 21 lei”. Ştiind că un 10.

39

păstârnac costă dublu faţă de un morcov, să se afle cât costă un ardei, un păstârnac şi un morcov, luate separat. 11. De 10 ori perimetrul unui triunghi echilateral şi de 5 ori perimetrul unui pătrat reprezintă 280 m, iar de 5 ori perimetrul aceluiaşi triunghi echilateral şi de 10 ori perimetrul aceluiaşi pătrat fac 290 m. Care este perimetrul fiecărei figuri geometrice? 12. Costel şi David păstrează acelaşi ritm de citire în fiecare oră. Dacă Costel citeşte 4 ore, iar David citeşte 3 ore, atunci cei doi copii citesc împreună 190 pagini. Dacă Costel citeşte 2 ore, iar David 4 ore, atunci ei citesc împreună 160 pagini. Care copil citeşte mai multe pagini într-o oră şi cu cât? 13. Suma dintre un număr, dublul celui de-al doilea şi triplul celui de-al treilea număr este 24, iar suma dintre triplul primului număr, dublul celui de-al doilea şi al treilea număr este 36. Care sunt cele trei numere, dacă al treilea număr este de 4 ori mai mic decât primul? 14. 5 copii mănâncă 5 bomboane în 5 minute. Câţi copii mănâncă 30 de bomboane în 15 minute? 15. În cât timp vor termina o lucrare 180 muncitori, dacă 3 muncitori termină aceeaşi lucrare într-o oră? 16. 10 muncitori termină o lucrare în 6 zile. În câte zile vor termina lucrarea 12 muncitori? 17. 5 pixuri, 5 stilouri şi 6 caiete costă 36 lei. 2 pixuri, 3 stilouri şi 7 caiete costă 23 lei. 3 pixuri, 2 stilouri şi 9 caiete costă 23 lei. Câţi lei costă fiecare obiect în parte? 18. Să se afle trei numere, ştiind că dublul celui de-al doilea şi cu triplul celui de-al treilea este 46, suma dintre triplul primului

40

număr, dublul celui de-al doilea şi al treilea număr este 34, iar cel de-al treilea număr este de 3 ori mai mare decât primul. 19. În 3 coşuri şi 4 lădiţe încap 120 kg de prune. Ştiind că în 4 coşuri şi 3 lădiţe, de acelaşi fel, încap 146 kg de prune, să se afle ce cantitate de prune se poate pune în fiecare coş şi în fiecare lădiţă. 20. O lucrare poate fi executată în 20 de zile de către 15 muncitori. Deoarece, după 8 zile de lucru, unii dintre aceşti muncitori pleacă pe alt şantier, lucrarea se termină după alte 30 de zile. Câţi muncitori au plecat pe alt şantier?

V. METODA RETROGRADĂ (MERSULUI INVERS) Prin această metodă se rezolvă unele probleme în care datele depind unele de altele succesiv.

41

Ea constă în faptul că enunţul unei probleme trebuie urmărit de la sfârşit spre început. Analizând operaţiile făcute în problemă şi cele pe care le facem noi în rezolvarea problemei, constatăm că în fiecare etapă facem operaţia inversă celei făcute în problemă. Deci, nu numai mersul invers, ci şi operaţiile pe care le facem pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă. Metoda mersului invers se utilizează şi în rezolvarea unor exerciţii, în care apar o necunoscută (a, b, etc.) Problemă: Un elev citeşte o carte în 4 zile. În prima zi citeşte 3/10 din numărul paginilor, a doua zi 2/7 din rest, a treia zi 3/5 din noul rest şi a patra zi ultimele 20 de pagini. Câte pagini are cartea? 100 pagini 70 pagini Ziua I 50 pagini Ziua a II-a Ziua a III-a

20

Ziua a IV-a 5/5 – 3/5 = 2/5= 20 pagini; 1/5 = 10 pagini; 5/5 = 50 pagini 7/7 – 2/7 = 5/7 = 50 pagini; 1/7 = 10 pagini; 7/7 = 70 pagini; 10/10–3/10=7/10=70 pagini; 1/10 = 10 pagini; 10/10 = 100 pagini. R: 100 pagini. ENUNŢURI

42

1. La o librărie se vând caiete. În prima zi se vinde 1/9 din numărul total de caiete. A doua zi se vinde 1/8 din numărul de caiete rămase, iar a treia zi 1/7 din noul rest de caiete, rămânând în final 522 caiete. Câte caiete au fost la început în librărie? 2. Ce sumă a avut un copil, dacă în prima zi a cheltuit 1/3 din sumă, a doua zi 1/5 din rest, a treia zi 1/2 din noul rest şi încă 4 lei? 3. Un călător are de făcut un drum. În prima zi parcurge 1/4 din drum, a doua zi 1/3 din rest, a treia zi 1/2 din noul rest, iar a patra zi ultimii 50 km. Câţi km avea drumul? 4. Andrei cheltuie suma pe care o are astfel: la primul magazin 1/5 din suma pe care o are, la al doilea magazin 2/5 din rest, la al treilea magazin 3/5 din noul rest, iar la al patrulea magazin 3/5 din următorul rest. Îi rămân 120 lei. Ce sumă a avut şi cât a cheltuit în fiecare zi? 5. Un turist parcurge o distanţă în 4 zile, astfel: în prima zi jumătate din distanţa totală, a doua zi o treime din rest, a treia zi jumătate din noul rest, iar a patra zi ultimii 12 km. Ce distanţă a parcurs în total? 6. Un tractor ară un teren în tri zile. În prima zi ară 3/8 din suprafaţa totală, a doua zi 1/2 din rest, ceea ce reprezintă cu 14 ha mai puţin decât suprafaţa arată în prima zi. Care a fost suprafaţa totală? 7. Ana cheltuie o sumă de bani astfel: în prima zi jumătate din sumă, a doua zi un sfert din rest, a treia zi o treime din noul rest, iar a patra zi jumătate din ultimul rest. Ştiind că i-au rămas 125 lei, să se afle ce sumă a avut ea în total. 8. Într-un siloz se află o anumită cantitate de cereale: 1/6 din cantitatea totală este grâu, 1/4 din din rest este porumb, 3/5 din noul

43

rest, ovăz, 2/9 din următorul rest, secară, iar ultimul rest de 3500 kg este orz. Să se afle cantitatea totală de cereale, exprimată în tone. 9. Să se determine un număr, ştiind că, scăzând o pătrime din el, apoi o treime din rest şi apoi o jumătate din noul rest, obţinem 250. 10. Un biciclist parcurge un drum în trei etape: în prima etapă parcurge 1/6 din drum plus 5 km, în a doua etapă parcurge 1/5 din restul drumului, iar în etapa a treia parcurge 3/4 din noul rest al drumului plus 9 km. Să se determine lungimea drumului şi câţi km a parcurs biciclistul în fiecare etapă. 11. Un elev are o sumă de bani. La început cheltuie o cincime din sumă şi încă 5 lei, apoi o cincime din rest şi încă 3 lei şi ultima dată o cincime din noul rest şi încă 2 lei. Ce sumă a avut elevul, dacă iau rămas 210 lei? 12. Un motociclist parcurge un drum în trei etape: în prima etapă 1/5 din drum şi încă 5 km, în a doua etapă 1/5 din rest plus 5 km, iar în a treia etapă 4/5 din noul rest plus 11 km. Să se determine lungimea drumului şi cât a parcurs în fiecare zi. 13. La un aprozar se vinde toată cantitatea totală de mere la 4 cumpărători. Primul cumpără 1/2 din cantitate şi încă 1 kg, al doilea, 1/3 din rest şi încă 2 kg, al treilea, 1/4 din noul rest şi încă 1 kg, iar al patrulea 1/2 din ultimul rest şi încă 1 kg. Determinaţi cantitatea totală de mere. 14. Un elev a rezolvat toate problemele dintr-o culegere în 5 zile. În prima zi a rezolvat 1/5 şi încă 3 probleme, în a doua zi, 2/5 din rest şi încă 3 probleme, în a treia zi, 3/5 din noul rest plus 4 probleme, în a patra zi, 3/5 din următorul rest şi încă 5 probleme, iar în a cincea zi ultimele 3 probleme. Câte probleme a avut de rezolvat în total?

44

15. Un ţăran a vândut mere la 4 clienţi, astfel: primului, 1/3 din cantitatea totală şi încă 32 de mere, celui de-al doilea 1/3 din rest şi încă 32 de mere, celui de-al treilea 1/3 din noul rest şi încă 32 de mere, iar celui de-al patrulea 1/3 din ultimul rest şi ultimele 32 de mere. Câte mere a avut ţăranul şi câte mere a cumpărat fiecare? 16. Dintr-un bidon de benzină, tatăl lui Ionuţ a luat într-o zi 1/4 din întreaga cantitate şi încă 3 l, a doua zi 1/3 din rest şi încă 3 l, iar a treia zi 1/2 din noul rest şi încă 1 l şi a constatat că au mai rămas 13l. Câţi litri au fost la început? 17. O florăreasă s-a întors de la piaţă cu câteva garoafe. Întrebată de o vecină câte flori a vândut la piaţă, ea a spus: „Am avut trei clienţi. Primul a luat jumătate din numărul total al florilor plus încă un număr egal cu jumătate din câte flori a luat al treilea. Al doilea a luat jumătate din florile rămase plus încă un număr egal cu jumătate din numărul florilor luate de al treilea. Al treilea a luat, la rândul său, jumătate din numărul florilor rămase plus încă o floare şi m-am întors acasă, după cum vezi, cu 4 garoafe.” Câte garoafe a avut florăreasa la început? Câte garoafe a luat fiecare client? 18. Dintr-o pungă de bomboane Mihaela a mâncat până a mai rămas o treime. Mama mai pune în pungă 5 bomboane şi îi dă lui Cătălin jumătate din ele. Acum în pungă au mai rămas 9 bomboane. Câte bomboane au fost la început în pungă? 19. Pentru a ajunge în sat la bunici, am mers 3 ore cu autoturismul. În prima oră, drumul fiind mai aglomerat am parcurs un sfert din drum şi încă 4 km, în a doua oră am parcurs o distanţă de 2 ori mai mare decât în prima în prima oră, iar în a treia oră am parcurs jumătate din ce a rămas şi încă 15 km. Ce lungime are drumul? 20. Jumătatea unui număr mărită de 7 ori a fost împărţită la 4. Câtul obţinut se măreşte cu produsul numerelor 47 şi 28. După ce se dublează numărul obţinut şi se micşorează cu 612, se constată că

45

rezultatul obţinut este triplul numărului 100. Care este numărul iniţial? 21. Patru prieteni au crescut împreună porumbei. După un timp au hotărât să-şi împartă între ei porumbeii. Ca să nu se supere nimeni, au acceptat următoarea regulă: primul să ia o cincime din numărul porumbeilor şi încă un porumbel, al doilea să ia o cincime din rest şi încă 2, al treilea să ia o cincime din noul rest şi încă 3 porumbei, iar al patrulea, calculând o cincime din ce a rămas şi încă 4 porumbei, a constatat că nu mai rămâne nici un porumbel şi că au fost împărţiţi în mod egal, toţi porumbeii. Câţi porumbei au fost în total şi câţi i-au revenit fiecăruia? 22.

Determinaţi valorile lui a din: 1) [(a:7+69):9+71]:20+8=12 2) {[(a+20)-1081:47]x32+19x25}-258=569 3) {[56:(a+20)+7]x5-30}:3=5

46

VI. PROBLEME DE MIŞCARE Probleme de mişcare sunt acelea în care se cere aflarea distanţei (drumului parcurs), a timpului şi vitezei când se cunosc două dintre acestea sau datele problemei permit aflarea acestora, considerând diferitele relaţii dintre acestea. În general, în problemele de mişcare se va vorbi despre mişcarea uniformă a unui mobil, adică în intervale de timp egale mobilul parcurge distanţe (spaţii) legate de expresia s  v  t , iar din aceasta deducem un factor: v 

s s şi t  . t v

La rezolvarea problemelor de mişcare se pot folosi atât metode aritmetice generale şi speciale, cât şi cele algebrice. Putem clasifica problemele de mişcare în mai multe grupe: a) probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spaţiului, a vitezei sau a timpului; b) probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse; c) probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în acelaşi sens. Problemă: Un turist are viteza de 4 km/oră. În cât timp parcurge cei 8 km pe care-i are până la destinaţie? D= V x T; T = D: V T = 8 : 4 = 2 (ore). R: 2 ore ENUNŢURI 1. Doi turişti parcurg distanţa de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului este de 4

47

km/h, iar a celui de-al doilea este de 6 km/h. Determinaţi distanţa de la A la B. 2. Un pieton care parcurge 5 km/h, pleacă din oraşul A spre oraşul B. În acelaşi timp, un biciclist pleacă din B spre A, cu viteza de 22 km/h. Între cele două oraşe este o distanţă de 81 km. a) După cât timp se întâlneşte pietonul cu biciclistul? b) La ce distanţă de oraşul B se întâlnesc? 3. Distanţa dintre Bucureşti şi Vaslui este de aproximativ 330 km. La ce distanţă de Bucureşti se va afla un motociclist după 4 ore de la plecarea din Vaslui, dacă merge cu viteza medie de 65 km/h şi a avut 2 opriri de câte 30 minute? 4. Un biciclist având viteza de 24 km/h, pleacă din oraşul A. După 3 ore pleacă tot din oraşul A, în aceeaşi direcţie, un motociclist având viteza de 42 km/h. În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist? La ce distanţă de oraş? 5. Un pieton a parcurs distanţa, dus şi întors, între două localităţi, în 9 ore; la dus cu viteza de 4 km/h, iar la întors cu viteza de 5 km/h. Să se afle distanţa dintre cele două localităţi. 6. Două vapoare au plecat în acelaşi timp dintr-un port A, în alt port B. Viteza primului vapor este de 25 km/h, iar al celui de-al doilea este de 20 km/h. Primul a ajuns la destinaţie cu 4 ore înaintea celui de-al doilea. Aflaţi distanţa dintre cele două porturi. 7. Un tren trece prin faţa unui om timp de 8 secunde, iar prin faţa unei platforme cu o lungime de 400 m în 33 secunde. Determinaţi lungimea şi viteza trenului. 8. Un câine fuge după un iepure, care se află la o distanţă de 105 metri de el. După cât timp îl va ajunge, dacă iepurele fuge cu 340 m/minut, iar câinele cu 375 m/minut?

48

9. Două trenuri de călători, unul personal şi unul accelerat, se găsesc la o distanţă de 140 km şi merg în aceeaşi direcţie. Trenul personal merge cu viteza de 40 km/h, iar trenul accelerat parcurge în 4 ore cât cel personal în 6 ore. După cât timp acceleratul va ajunge trenul personal? 10. Un tren parcurge în 1/2 oră 25 km, iar un vapor în 1/4 oră 5 km. În cât timp vaporul va parcurge distanţa pe care trenul o face în 6 ore? 11. Un pod lung de 200 m este străbătut de un tren lung de 500 m timp de 30 secunde. Care este viteza trenului? 12. Distanţa dintre două oraşe este de 150 km. Din fiecare oraş pleacă spre celălalt câte un biciclist. Unul dintre ei are viteza de 30 km/h. Ce viteză are celălalt, dacă ajunge la destinaţie cu 2 ore mai repede? 13. Din două oraşe pleacă unul spre celălalt două automobile. După un timp se întâlnesc şi-şi continuă drumul astfel încât la 20 min de la întâlnire, între ele este distanţa de 50 km. Să se afle distanţa dintre oraşe, ştiind că una dintre viteze reprezintă 2/3 din cealaltă şi că automobilele s-au întâlnit la 30 minute de la începutul mişcării. 14. Vasile şi Ion merg unul lângă altul. În timpul în care Vasile face 4 paşi, Ion face 7 paşi, amândoi parcurgând în acest timp aceeaşi distanţă. Dacă lungimea pasului lui Vasile este de 70 cm, care este lungimea pasului lui Ion? 15. Un câine urmăreşte o pisică ce se află la 24 de sărituri în faţa lui. Să se afle după câte sărituri câinele ajunge pisica, ştiind că, în timp ce câinele face 5 sărituri, pisica face 6 sărituri, iar 5 sărituri de-ale câinelui fac cât 8 sărituri de-ale pisicii.

49

16. Un ogar urmăreşte o vulpe care este distanţată la 60 sărituri faţă de acesta. Vulpea face 9 sărituri în timp ce ogarul face 6, iar 3 sărituri de-ale ogarului fac cât 7 de-ale vulpii. Peste câte sărituri ogarul va ajunge vulpea? 17. Distanţa dintre două localităţi este de 258 km. Doi automobilişti pleacă în acelaşi timp din aceste localităţi şi merg, unul spre celălalt. Viteza unuia este cu 17 km/h mai mare decât a celuilalt. Ei se întâlnesc după 2 ore de la plecare. Aflaţi viteza fiecăruia dintre cele două autoturisme. 18. Din două oraşe pleacă în acelaşi timp două maşini, una spre alta: prima cu viteza de 80 km/h, a doua cu viteza de 70 km/h. Când se întâlnesc, o maşină trece de mijlocul distanţei cu 10 km. Ce distanţă este între cele două oraşe? 19. Un motociclist pleacă la ora 9 din Bârlad şi trebuie să parcurgă 180 km ca să ajungă la orele 18, la Iaşi. Pe drum face un popas de 2 ore şi, pentru a recupera timpul pierdut, el merge apoi cu o viteză medie cu 10 km/h mai mare decât cea propusă iniţial. La ce distanţă de Iaşi se opreşte motociclistul prima dată? 20. Sorin doreşte să ajungă, într-un anumit timp, de la Sibiu la Cluj-Napoca. Dacă ar merge cu o motocicletă cu o viteză medie de 28 km/h, ar întârzia cu o oră, iar dacă ar merge cu un automobil cu o viteză de 42 km/h, ar sosi la Cluj-Napoca cu o oră mai devreme. Ce distanţă este între Sibiu şi Cluj-Napoca?

50

RĂSPUNSURI I. Probleme de numeraţie: 1. 11; 2. 10; 3. 708; 4. 440; 5. 2889; 6. 50; 7. 18; 8. n+(n+1)+ (n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2) care se împarte exact la 5; 9. 10, 11, 12, 13, 14; 10. 12,14, 36,11, 15; 11. 234, 567; 12. 631; 13. 3+11+1+…+1=19 termeni; 14. 981; 15. suma=35, 5 soluţii; 16. 33; 17. axa:(a+a)=14; axa=14x2xa;  a=28; 18. a-20=b4=20+b, a19=ca=19+c, a-21=d  a=21+d, a-19=c  a=19+c, a=b+c+d+e, 3a=84  a=28; 19. 18, 26, 26; 20. (a+b+c):3=7, 7 soluţii; 21. 20, 10, 4, 16, 8; 22. a=6, b=5; 23. 1) 2a/8=1a=4, b) 8a/8=1a=1; 24. 1) a=3, a=11, 2) a=1, a=5, 3) a=1, a=3, 4) a=3, a=24; 25. 1) a(b+c)= ab+ ac=32+724=756, 2) x(y-u)=yx-ux=414-99=315; 26 1+3+5+7+…+99=2500 (99 numere). Formule: a) (2+98)+(4+96)+ …+(48+52)+50= =2450, b) 2(1+2+3+… +49)=2[(1+49)x49:2]=2450, 2450+2500=4950. 27. r<25, c<25 => d=25c+r=> d=25c+c=96c. Dacă c aparţine mulţimei {0,1, 2, 3, …, 23, 24}=> d aparţine mulţimei {26x0, 26x1, …, 26x24}. Atunci S=26x0+26x1+…+26x24=>S=26x(0+1+2+…+ +24)=7800; 28. 1) ab=2(a+b)=> 10a+b=2a+2b=> ab=18; 2) ab= =27; 3) abc aparţine muţtimei {12, 24, 36, 48}. 29. 11; 23. 30. 137; 79; 158; 216. II. Metoda grafica (figurativa): A) Probleme de sumă şi diferenţă 1. 7, 9; 2. 6; 3. 2, 8; 4. 189, 170; 5. 9, 5; 5. 9, 5; 6. 320, 346; 7. 639, 561; 8. a) 20, 24. b) 88, 88; 9. 369, 367, 1269; 10. 20, 2, 4, 6; 11. 370, 648; 12. 14, 8; 13. 16, 11; 14. 13, 6; 15. 13, 15, 10, 12, 14; 16.

51

185, 197, 201; 17. 200, 280, 320, 250; 18. 3000, 2298, 2; 19. 26, 14; 20. 25 băieţi, 26 fete; 21. 682; 22. 24, 8; 23. 20, 15. B) Probleme de sumă şi raport 1. 17, 34; 2. 25, 75; 3. 21, 63; 4. 88, 44, 22; 5. 162, 48; 6. 456, 1834, 220; 7. 72, 48, 96, 72; 8. 40, 88; 9. 70, 50; 10. 9, 36; 11. 144, 72, 24; 12. 2560, 2880, 3520; 13. 171; 14. 1000, 120; 15. 7, 9, 5, 20, 24, 6; 16. 6, 3, 12; 17. 13, 10, 7; 18. 10, 20, 40; 19. 14, 36, 20; 20. 180, 60, 120, 120; 21. 136, 36; 22. 60, 24, 8; 23. 12, 4, 3, Nu; 24. 36, 6; 25. 5, 4; 26. 2 soluţii: a) 204, 234. b) 210, 240; 27. 700, 600, 200; 28. 16, 32, 48; 29. 12, 32; 30. 29, 30, 60, 65; 31. 5 albe, una neagră; 32. 20, 10; 33. 2, 30, 58; 34. 27, 14, 19. C) Probleme de diferenţă, raport şi rest 1. 152, 38; 2. 4; 3. 12, 33; 4. 7; 5. 20, 5; 6. 49, 7; 7. 24; 8. 48, 6; 9. 208; 10. 7; 11. 1000, 100; 12. 4, 2; 13. 175, 35; 14. 80, 112; 15. 5, 2; 16. 1850, 370; 17. 8; 18. 427, 86; 19. 7; 20. 18; 21. 20, 10; 22. 628, 329; 23. 200, 300, 600; 24. 20, 10. D) Probleme în care sunt combinate relaţiile de sumă, diferenţă şi raport 1. 700, 600, 200; 3. [34-(1+2+3+4)]:8=3; 4. 60 cărţi, 90 caiete, 120 creioane; 5. 4, 10; 6. 36, 108, 102; 7. a) 360. b) 200, 240. c) 440; 8. 12, 22, 44, 66; 9. 14, 18, 8; 10. 161, 28, 14, 9; 11. 18, 22, 50, 10; 12. 50, 25, 100, 50; 13. 11, 22, 10, 11, 12; 14. 64, 96, 128; 15. 24 găini, 12 curci, 15 raţe; 16. 15, 20, 28; 17. 1207, 402, 200; 18. 10, 45, 20; 19. 88, 131, 114; 20. 49, 56, 71; 21. 25, 21, 96; 22. 40, 36, 18, 76; 24. 79, 20; 25. 49, 14; 26. 35, 54, 36; 27. 54, 36, 35; 27. 370, 475; 28. 4, 6, 8, 32,32; 29. 36, 50. 30. 43, 21, 10; 31. 755, 754, 755; 32. 10 de 5 lei, 14 de 3 lei, 8 de 1 leu III. Metoda ipotezelor

52

1. 65 oi, 35 găini; 2. 8, 6; 3. 3 ore, 2 ore; 4. 7 raţe, 28 găini, 3 purcei, 1 câine; 5. 16; 6. 9 bănci câte 2 elevi, 3 bănci câte 3 elevi; 7. 12 iepuri, 10 găini; 8. 80, 188; 9. 4, 9; 10. 4 cu 3, 16 cu 2; 11. 3 de 100 lei, 2 de 50 lei şi 3 de 25 lei; 12. 125 bomboane, 27 elevi; 13. 60 iepuri, 140 găini; 14. 8 albe, 5 negre; 15. 90 elevi, 20 bănci; 16. 50 găini, 50 gâşte, 100 porci; 17. 6 scaune cu 4 picioare, 30 scaune cu 3 picioare, 5 bănci cu 2 picioare; 18. 2 de 100 lei, 32 de 25 lei, 34 de5 lei; 19. 11 oi, 35 păsări; 20. 37 bancnote de 10 lei, 13 bancnote de 5 lei; 21. 182 (brad), 118 (stejar); 22. 10 bilete de 4 lei, 30 bilete de 6 lei; 23. 18 truse cu 4 creioane, 7 truse cu 3 creioane, 6 truse cu 2 creioane; 24. 45 găini, 15 raţe, 40 oi; 25. 9 flori, 4 vaze; 26. 4 vrăbii, 3 pari; 27. 35 elevi, 100 bomboane; 28. 304 lăzi, 1700 kg; 29. 180; 30. 12 câte 2 bomboane, 10 câte 3 bomboane; 31. 167 pungi, 1371 bomboane; IV. Metoda comparatiei 1. 3; 2. 10, 11; 3. 34; 4. 2, 3; 5. 54, 80; 6. 36, 17; 7. 35, 50; 8. 2, 3; 9. 8, 4; 10. 1, 2, 3; 11. 18, 20; 12. 28, 26, 2; 13. 8, 5; 14. 10; 15. 1 minut; 16. 5; 17. 2 lei (pixul), 4 lei (stiloul), 1 leu (caietul); 18. 3, 8, 9; 19. 36, 6; 20. 9; V. Metoda retrogradă (a mersului invers) 1. 783; 2. 15; 3. 200; 4. S=3125(625, 1000, 900, 360); 5. 72; 6. 224; 7. 1000; 8. 18; 9. 1000; 10. 60 km (15, 9, 36); 11. 425; 12. 100 km (25, 20, 25); 13. 20; 14. 135; 15. 390 kg (162, 108, 72, 48); 16. 64; 17. 58 (32, 6); 18. 139; 19. 168; 20. 560; 21. 5, 20; 22. 1) 84, 2) 14, 3) 8. VI. Probleme de mişcare

53

1. 24 km; 2. a) 3 ore; b) 66 km de la oraşul B; 3. 135 km; 4. 3 ore, 168 km; 5. 20 km; 6. 400 km; 7. 128 m, 57 km şi 600m/h; 8. 3 minute; 9. 7 ore; 10. xxxx; 11. 84 km/h; 12. 50 km/h; 13. 75 km; 14. 40 cm; 15. 60 sărituri; 16. 72 sărituri; 17. 56 km/h, 73 km/h; 18. 300 km; 19. 120 km. 20. 168 km.

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ Cârjă Gheorghe, Oniţă Viorel – Culegere de probleme, clasele I-IV, Vaslui, 1990; 1)

Cherată V., Voicilă J., Mândruleanu L.- Culegere – Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică, clasele I-IV, Ed. Sibila, 1993; 2)

Ciobotaru Vlad – Culegere de exerciţii şi probleme, clasele I-IV, Suceava, 1990; 3)

Pârâială D., Pârâială V. – Aritmetică – Probleme tipice rezolvate prin mai multe metode şi procedee, clasele II-VI, Ed. Polirom, Iaşi 1995; 4)

Pârâială D., Pârâială V. – Teste de aritmetică pentru admiterea în clasa a V-a, Ed. Ass – Iaşi, 1996; 5)

Petrică Ion, Ştefănescu Vasile – Probleme de aritmetică pentru clasele I-IV, Ed. Petrion – Bucureşti, 1992; 6)

Roşca V. Dumitru – Matematici moderne în sprijinul învăţătorilor – E.D.P. Bucureşti, 1978; 7)

54

Rusu Eugen – Aritmetica, manual pentru liceele pedagogice, E.D.P. 1980; 8)

Schneider Mariana, Schneider Gheorghe – Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică pentru clasele II-IV, Ed. Apollo, Craiova, 1992; 9)

Teodorescu Nicolae – Culegere de probleme în sprijinul elevilor claselor I-VIII – Partea I, Bucureşti, 1985 10)

Metodica predării matematicii la clasele I-IV, E.D.P. – Bucureşti, 1988; 11)

12)

Gazeta matematică – colecţie, 1984 – 2008;

Meridian matematic vasluian matematică, colecţie  2003 – 2008 13)

55

–

Revista

de

cultură

56