CUPRINS
1.Noţiuni Fundamentale...............................................................................................................2 1.1.Logica Drumului Critic..........................................................................................................3 1.2.De ce este important Drumul Critic?.....................................................................................4 2.Formularea Problemei...............................................................................................................4 3.Principii teoretice......................................................................................................................5 3.1. Metoda CPM (Critical Path Method)....................................................................................5 3.2. Metoda MPM (Metro Potenţial Method)............................................................................11 3.3. Metoda PERT (Program Evaluation of Review Technique)..............................................14 4.Aplicaţie Practică....................................................................................................................17 BIBLIOGRAFIE........................................................................................................................21
METODA DRUMULUI CRITIC
1.Noţiuni Fundamentale Cercetarea Operaţională definită pe scurt “pregătirea ştiinţifică a deciziilor” a
apărut în perioada celui de-al doilea război mondial, când liderii militari au cerut inginerilor si matematicienilor să studieze probleme legate de securitatea convoaielor militare de nave împotriva submarinelor submarinelor şi a operaţiilor de bombardare. Aceasta se caracterizează prin procesul de elaborare a unor modele economico-matematice ce conduc la decizii optime sau aproape optime. Unul din aceste modele economico- matematice este metoda drumului critic. Metoda Drumului Critic este o metodă euristică bazată pe teoria grafelor,
conţinând anumite procedee de estimare şi reajustare a duratelor unor activităţi, precum şi pe cunoaşterea practică a unor procedee complexe pe care le poate analiza din punct de vedere a desfăşurării în timp a fazelor componente. Procesul complex este alcătuit dintr-un ansamblu de activităţi a căror succesiune logică formează un sistem organizat reprezentat cu c u ajutorul unui model matematic determinist, schematizat printr-un grafic reţea care urmăreşte evidenţierea succesiunii cronologice cronologice a faptelor prin arce orientate. Metoda Drumului Critic identifică activităţile care influenţează în mod hotărâtor durata totală a procesului respectiv, succesiunea acestor activităţi critice formând “drumul critic”. Asupra activităţilor cuprinse în drumul critic trebuie îndreptată atenţia analistului şi a
conducătorului, conducătorului, reducerea duratei întregului proces putând fi realizată doar prin măsuri tehnico organizatorice organizatorice ce vizează duratele acestor activităţi şi interdependenţa interdependenţa temporală a acestora. Drumul critic se refera la o succesiune succesiune de activităţi si evenimente critice critice care
formează un drum continuu între începutul şi finalul unui proiect, el reprezentând drumul cel mai lung al acestuia. Dacă data finală a proiectului a fost depăşită înseamnă că cel puţin o activitate critică nu a fost terminată la timp. Înţelegerea succesiunii activităţilor critice este importantă pentru a şti unde se dispune de flexibilitate în cadrul proiectului.
2
1.1.Logica Drumului Critic
În cadrul fiecărui proiect indiferent de gradul de complexitate întotdeauna există activităţi care pot fi completate mai devreme sau mai târziu fără a periclita termenul limită al proiectului. Această flexibilitate între data cea mai timpurie la care activitatea poate fi terminată şi data cea mai târzie la care trebuie terminată poartă numele de rezerva de timp. Există rezervă de timp, dacă o activitate are flexibilitate între data cea mai timpurie la care activitatea poate fi începută şi data cea mai târzie la care trebuie începută. Prin definiţie dacă o activitate are flexibilitate sau rezervă de timp asociate termenului de început şi sfârşit atunci nu face parte din drumul critic. Toate aceste activităţi sunt interdependente. Drumul critic conţine cea mai lungă succesiune de activităţi care trebuie începute şi terminate conform programului. Cu alte cuvinte, este cea mai lungă succesiune de activităţi cu rezervă de timp zero. Dacă vreo activitate din cadrul drumului critic întârzie, atunci proiectul va depăşi termenul limită. Termenul limită al proiectului se datorează drumului critic. Dacă nu ar fi drumul critic, atunci ar exista cel puţin o rezervă de timp în activităţile prezente pe drumurile proiectului, de la început până la sfârşit.O data cu reducerea termenului limită, se poate începe eliminarea rezervei de timp, activităţile componente devenind interdependente. În cadrul acelei secvenţe de activităţi nu va mai exista rezervă de timp. Exemplu: durata unui proiect este
de noua luni. Tehnica folosită pentru programul
managementului de proiect identifică drumul critic. Să presupunem că în cadrul acestui drum sunt 22 de activităţi, duratele şi efortul necesar variind. A doua activitate din cadrul drumului critic a fost estimată cu o durată de opt zile. Completarea acesteia a durat nouă zile. Vom descoperi că durata întregului proiect este acum de nouă luni şi o zi. Întârzierea celei de-a doua activităţi cu o zi a determinat depăşirea termenului limită a proiectului cu o zi. În caz că ziua suplimentară nu poate fi remediată în cadrul drumului critic mai târziu proiectul va întârzia cu o zi.
3
1.2.De ce este important Drumul Critic? În cazul proiectelor mici nu este necesar să determini drumul critic, însă pentru
proiectele mari şi complexe este importantă înţelegerea acestuia. Dacă proiectul întârzie şi se încearcă proactiv revenirea la programul iniţial este importantă identificarea activităţilor critice. Dacă nu se reuşeşte accelerarea activităţilor din cadrul drumului critic termenul limită va rămâne acelaşi. Folosirea unor resurse adiţionale pentru activităţile ce nu fac parte din drumul critic va ajuta la completarea acestora înainte de termen însă nu va afecta termenul limită al proiectului. Şansa unui impact asupra termenului limită ţine de abilitatea de a identifica şi a scurta drumul critic. 2.Formularea Problemei
Prin proiectul de faţă ne propunem să realizăm o acţiune de mare amploare având ca obiectiv atingerea unui scop bine precizat. În realizarea acestuia, am urmărit analiza amănunţită a drumului critic ce constă în descompunerea unor acţiuni complexe în părţi componente, la un nivel care să permită tratarea unitară a fiecărei părţi şi stabilirea conexiunilor între acestea. Aceste componente se numesc operaţii sau activităţi. O activitate este o parte distinctă dintr-un proiect, un subproces precis determinat, care consumă timp şi resurse. Vom presupune în continuare că activităţile au următoarele proprietăţi: −
fiecare activitate este indivizibilă (nu se mai descompune în subactivităţi);
−
fiecare activitate are o durată cunoscută;
−
o activitate, odată începută, nu mai poate fi întreruptă. La definirea listei de activităţi ne propunem să răspundem următorelor întrebări:
”ce alte activităţi succed sau preced în mod necesar această activitate ?”; ”care este durata activităţii ?”. Astfel vom afla care sunt activităţile proiectului, intercondiţionările între activităţi şi duratele acestora: -activităţi: se enumeră activităţile proiectului, fiind puse în evidenţă printr-o denumire sau printr-un simbol (codul activităţii);
4
-condiţionări: se precizează, pentru fiecare activitate, activităţile imediat precedente, prin simbolurile lor; activităţile de start nu au activităţi precedente, în căsuţă fiind trecută o liniuţă; -durata: pentru fiecare activitate se precizează durata de execuţie, într-o anumită unitate de măsură. Durata unei activităţi este o constantă. 3.Principii teoretice
Metoda drumului critic are două categorii de variante:
variante deterministe: - metoda CPM (Critical Path Method) -metoda MPM (Metra Potential Method) - metoda CPS (Critical Path Scheduling)
variante probabiliste:- metoda PERT (Program Evaluation of Review Technique) - metoda PERT/cost - metoda RAMPS Aceste metode permit identificarea drumului critic şi a activităţilor care îl compun
dintre evenimentul începerii proiectului şi evenimentul finalizării lui. În cele ce urmează vom prezenta cele mai utilizate metode ale drumului critic.
3.1. Metoda CPM (Critical Path Method)
Metoda CPM este un procedeu de analiză a drumului critic în care singurul parametru analizat este timpul şi în reprezentarea grafului reţea se ţine seama de următoarele convenţii:
fiecărei activităţi i se asociază un segment orientat numit arc, definit prin capetele sale, astfel fiecare activitate identificându-se printr-un arc;
fiecărui arc i se asociază o valoare egală cu durata activităţii pe care o reprezintă;
condiţionarea a două activităţi se reprezintă prin succesiunea a două arce adiacente. Nodurile grafului vor reprezenta momentele caracteristice ale proiectului,
reprezentând stadii de realizare a activităţilor (adică terminarea uneia sau mai multor activităţi şi/sau începerea uneia sau mai multor activităţi).
5
Procedeul CPM se bazează pe existenţa unei corespondenţe bipartide între elementele unui proiect (activităţi, evenimente) şi elementele unui graf (arce şi noduri). Se obţine o relaţie model-obiect, care pune în evidenţă particularităţile de o mare însemnătate practică, în special, proprietăţile de succesiune temporală. Pentru reprezentarea corectă a proiectului (respectarea interdependenţelor, claritatea desenului etc), cât şi pentru o standardizare a reprezentării (pentru a putea fi înţeles şi de altcineva decât cel care l-a desenat) în desenarea grafului se respectă următoarele reguli: 1. fiecare activitate se reprezintă printr-un arc a cărui orientare indică, pentru activitate, desfăşurarea ei în timp; 2. un arc este limitat prin două noduri (reprezentate prin cerculeţe) care simbolizează momentele de început şi de sfârşit ale executării activităţii corespunzătoare; 3. lungimea fiecărui arc, în general, nu este proporţională cu lungimea activităţii; 4. activităţile vor fi reprezentate prin arce de forma: sau
sau
sau
sau
sau
sau
5. deoarece respectarea tuturor regulilor nu se poate face doar cu arce care corespund doar activităţilor proiectului, vor exista şi arce care nu corespund nici unei activităţi, care vor fi reprezentate punctat şi care, pentru unitatea prezentării, vor fi numite activităţi fictive, ele neconsumând resurse şi având durata 0.
6. în graf nu sunt admise circuite (existenţa unuia ar însemna că orice activitate a acestuia ar fi precedentă ei însuşi). Deoarece, pentru un proiect foarte mare graful va avea foarte multe arce, se poate întâmpla să creăm un circuit fără să ne dăm seama. 7.nodurile vor fi numerotate, numerotarea făcându-se în aşa fel încât, pentru fiecare activitate, numărul nodului de început să fie mai mic decât numărul nodului de final al activităţii. 8.graful are un singur nod iniţial (semnificând evenimentul "începerea proiectului")
6
şi un singur nod final (semnificând evenimentul "sfârşitul proiectului"); 9.orice activitate trebuie să aibă cel puţin o activitate precedentă şi cel puţin una care îi succede, exceptând bineînţeles activităţile care încep din nodul iniţial al proiectului şi pe cele care se termină în nodul final al proiectului; 10. deşi există activităţi care se execută în paralel, care pot începe în acelaşi moment şi se pot termina în acelaşi moment, este interzis ca cele două arce corespunzătoare să aibă ambele extremităţi comune, altfel desenul care rezultă nu mai e graf. 11.nu trebuie introduse dependenţe nereale 12.să se folosească, pe cât posibil, numărul minim de activităţi fictive, pentru a nu complica excesiv desenul. Analiza metodei
Analiza constă în determinarea duratei minime a proiectului, determinarea intervalelor de timp în care poate avea loc fiecare din evenimentele reprezentate prin noduri şi determinarea intervalelor de timp în care pot fi plasate activităţile, astfel încât să se respecte toate condiţionările şi să obţinem timpul minim de execuţie al proiectului. Este evident că durata minimă de execuţie a proiectului este cel mai mic interval de timp în care pot fi efectuate toate succesiunile de activităţi din proiect. O succesiune de activităţi corespunde unui drum în graf şi deci, durata minimă de execuţie a proiectului este cel mai mic minorant al lungimilor tuturor drumurilor din graf. Cum există un număr finit de drumuri, mulţimea lungimilor acestora este finită şi cel mai mic minorant al ei este maximul acesteia, adică durata drumului de lungime maximă. Deoarece graful nu are circuite şi are un singur punct iniţial şi unul singur final, este evident că cele mai lungi drumuri vor fi cele dintre nodul iniţial şi cel final. Avem deci de găsit drumul de lungime maximă dintr-un graf fără circuite, caz în care se poate aplica algoritmul lui Ford simplificat . Conform acestui algoritm, se calculează pentru fiecare nod al grafului: A.Termenul cel mai devreme de realizare a evenimentului j. Acest termen reprezintă
momentul cel mai devreme posibil de terminare a tuturor activităţilor care converg în nodul j şi este egal cu valoarea maximă a drumurilor dintre evenimentul iniţial 1 şi evenimentul j, pe care îl vom nota cu
t jm = dmax(1,j). Termenul cel mai devreme (numit şi termenul minimal) a
evenimentului j, conform algoritmului lui Ford în grafuri G = (X, Γ ) fără circuite, se calculează 7
astfel: t jm
t im + d ij = (max i, j)∈Γ
, 1 < j ≤ n
Vom presupune, fără a restrânge generalitatea, că t 1 = 0, pentru evenimentul iniţial 1 şi, în acest caz, termenul de realizare cel mai devreme al unui eveniment oarecare j va fi dat formula:
t jm
j = 1 0 m = max ( t + d ) 1 < j ≤ n ij ( i, j)∈Γ i
Această formulă permite calculul termenelor pentru evenimente, prin parcurgerea grafului-reţea în sens-înainte (parcursul înainte) şi durata minimă de execuţie a proiectului va fi termenul cel mai devreme de realizare al nodului final al grafului. Acest termen devine termenul impus de realizare al proiectului şi el nu mai poate fi depăşit, depăşirea lui însemnând doar o proastă organizare a lucrului. B. Termenul cel mai târziu de realizare a evenimentului i. Acest termen (numit şi termen
maximal) reprezintă momentul cel mai târziu posibil de începere a activităţilor care pleacă din nodul i astfel încât toate succesiunile de activităţi dintre acest nod şi nodul final să mai poată fi efectuate până la termenul final de realizare al proiectului şi este egal cu diferenţa între durata minimă de realizare a proiectului şi durata drumului de lungime maximă dintre evenimentul i şi n. Acest termen se notează cu
t iM
= dmax(1,n) – dmax(i,n).
Pentru calcularea acestor momente trebuie calculate duratele drumurilor de la nodul final spre nodul iniţial şi apoi scăzute din durata minimă a proiectului, calcul care va fi făcut aplicând, de asemenea, algoritmul lui Ford simplificat. Conform celor de mai sus, termenul cel mai târziu de realizare a unui eveniment, cu respectarea duratei minime a proiectului (notată T= d max(1,n) = t iM
Intervalul [
t jm , t jM
tm n ), este dată de
formula:
j = 1 T = min ( t M − d ) 1 ≤ i < n ij ( i, j)∈Γ j
] se numeşte intervalul de fluctuaţie al evenimentului j.
Evenimentul j se poate plasa în orice moment al acestui interval de fluctuaţie, fără a periclita durata totală a întregului proiect. Acest interval îl putem defini ca pe o rezervă de timp R(j) a evenimentului j: R(j) =
t jM – t jm
8
Dacă R(j) = 0 evenimentul j trebuie să aibă loc la termenul fixat
t jM
=
t jm , pentru
că orice întârziere va duce la prelungirea duratei întregului proiect. Următoarea etapă în analiza proiectului constă în aflarea termenelor între care trebuie să se efectueze activităţile, calculându-se în acest sens, pentru fiecare activitate (i,j), momentul minim de începere: maxim de începere:
t î M
î t tm (i,j), momentul minim de terminare: t m (i,j) , momentul
(i,j) şi momentul maxim de terminare:
t tM
(i,j).
1. Momentul (termenul minim) de începere cel mai devreme a activităţii (i.j).
Deoarece o activitate nu poate începe decât după ce se termină toate cele precedente,momentul minim de începere este evident termenul cel mai devreme de realizare al evenimentului i: î tm (i,j)
=
t im
2.Momentul (termenul minim) de terminare cel mai devreme a activităţii :
este egal cu suma dintre termenul cel mai devreme de începere şi durata activităţii: t tm (i,j) = t î m (i,j) + dij
3.Momentul (termenul maxim) de terminare cel mai târziu a activităţii (i,j)
este definit de termenul cel mai târziu de realizare a evenimentului j: t tM
(i,j) =
t jM
4.Momentul (termenul maxim) de începere cel mai târziu a activităţii (i,j)
este egal cu diferenţa dintre termenul cel mai târziu de terminare şi durata activităţii: t î M
(i,j) =
t tM
(i,j) - dij
Aceste momente spun doar în ce interval poate fi situată o activitate, dar nu spun care este diferenţa între o plasare posibilă sau alta. În acest scop vom calcula, pentru fiecare activitate (i,j), următoarele repere de timp: a) Rezerva totală de timp (R t) a unei activităţi (i,j), ca fiind diferenţa dintre termenul cel mai târziu de terminare şi termenul cel mai devreme de terminare: R t(i,j) =
î t tM – t tm = t tM – t m – dij = t jM
– t im – dij
- rezerva totală de timp a unei activităţi (i,j) reprezintă timpul maxim cu care se poate amâna sau se poate mări durata activităţii, fără depăşirea termenului final de execuţie al proiectului. b) Rezerva liberă de timp (R l) a unei activităţi (i,j): R l(i,j) =
t jm
– t im – dij
Diferenţa între rezerva totală şi rezerva liberă: pentru o activitate (i,j), este egală 9
cu fluctuaţia evenimentului final j al activităţii. De aici rezultă că rezerva liberă a unei activităţi (i,j) reprezintă intervalul de timp ca parte a rezervei totale de timp, cu care o activitate se poate amâna (sau se poate mări durata activităţii) fără a perturba termenul cel mai devreme de realizare al termenului final j (adică fără a consuma din rezervele de timp ale activităţilor care o succed).
R t(i,j) - R l(i,j) =
t jM
– t jm
c) Rezerva independentă de timp (R s) a unei activităţi (i,j): există dacă R i(i,j) > 0 şi dacă există, ea reprezintă timpul maxim cu care se poate amâna (sau se poate mări durata activităţii) astfel încât să nu perturbe fluctuaţia evenimentelor de la extremităţilor activităţii. Dacă R i(i,j) ≤ 0 atunci activitatea (i,j) nu are rezervă independentă de timp. Rezerva inde pendentă de timp arată intervalul în care poate fi plasată
o activitate fără a consuma nici din
rezervele de timp ale activităţilor ce o preced, nici din cele ale celor ce o succed. R i(i,j) =
t jm
– t iM – dij
Diferenţa între rezerva liberă şi rezerva independentă: este egală cu fluctuaţia evenimentului i (cu care începe activitatea): R l(i,j) – R i(i,j) =
t iM
– t im
Examinarea reperelor de timp permite cunoaşterea posibilităţilor pe care le are un management de program de a interveni la timp pentru executarea la termenele calculate a tuturor activităţilor unui proiect dat. Durata proiectului calculată prin această metodă nu poate fi redusă prin micşorarea rezervelor. Printre avantajele metodei CPM (şi în general ale analizei drumului critic) evidenţiem:
determinarea cu anticipaţie a duratei de execuţie a proiectelor complexe; pe timpul desfăşurării proiectului permite un control permanent al execuţiei acestuia;
explicitarea legăturilor logice şi tehnologice dintre activităţi;
evidenţierea activităţilor critice;
evidenţierea activităţilor necritice, care dispun de rezerve de timp;
permite efectuarea de actualizări periodice fără a reface graful;
oferă posibilitatea de a efectua calcule de optimizare a duratei unui proiect;
reprezintă o metodă operativă şi raţională care permite programarea în timp a activităţilor ţinând seama de resurse. Dezavantajele acestei metode sunt în principal:
10
greutatea desenării grafului, fiind foarte greu de reprezentat exact toate condiţionările din proiect, în condiţiile în care acestea sunt foarte complicate iar desenul trebuie să fie destul de simplu şi clar încât să fie inteligibil şi deci util;
chiar dacă se respectă toate regulile de construire a grafului, rămân încă destule variante de desenare astfel încât două reprezentări ale aceluiaşi proiect făcute de doi indivizi pot să nu semene aproape deloc.
3.2. Metoda MPM (Metro Potenţial Method) Metoda potenţialelor sau MPM este un procedeu de analiză a drumului critic care încearcă să depăşească neajunsurile metodei CPM, în care, ca şi în metoda CPM, se analizează parametrul timp, diferenţa constând în felul în care se construieşte graful reţea:
fiecărei activităţi i se asociază un nod ;
fiecărui nod i se asociază o valoare dată de durata activităţii pe care o reprezintă;
condiţionarea (succesiunea) a două activităţi se reprezintă printr-un arc, orientat de la o activitate la alta;
fiecărui arc dintre două activităţi A şi B i se asociază un număr reprezentând valoarea. Reprezentarea activitate – nod permite ca între activităţile unui proiect să avem mai
multe tipuri de legături de precedenţă. Cele trei tipuri de precedenţă sunt : a) legătura " început-început": poate fi utilizată pentru a arăta simultaneitatea executării a două activităţi prin puncte de început. b) legătura "terminare – terminare" poate fi, de asemenea, utilizată pentru a indica simultaneitatea executării a două activităţi prin punctul de terminare. Vom numi activitate de bază orice activitate folosită ca bază de referinţă, faţă de care este format timpul de aşteptare. Graficul reţea în reprezentarea activitate – nod nu conţine activităţi fictive, eventual cu excepţia unei activităţi de începere şi/sau a unei activităţi de terminare a proiectului, necesare în cazul în care există mai multe activităţi care nu sunt condiţionate de nici o activitate a proiectului (acestea devenind toate noduri iniţiale ale proiectului, deşi trebuie să fie un singur nod iniţial) sau, analog, în cazul în care sunt mai multe activităţi care nu au nici o activitate succesoare. Între un graf reţea în reprezentarea activitate – nod şi un graf reţea în reprezentarea 11
activitate – arc se pot defini următoarele corespondenţe (vezi figura 2): MPM
CPM
tAB = 0
A
B
A
B ⇔
tAB > 0
A
tAB
A
B
B
⇔
tAB
A
A2
A1 tAB
A B
B
⇔
tAB
A ⇔
B
B1
tAB B2
Figura 2
În continuare ne vom referi la cazul a două activităţi A şi B, considerând cele trei tipuri de relaţii între activităţi:
1. Termenul cel mai devreme al începerii activităţii B, va fi dat de formula:
12
0 daca B este o activitate de început t t ( A) + t terminare - început m AB î t m ( B) = max t îm ( A ) + t AB început - început A t t m ( A ) + t AB − d( B) terminare - terminare unde activitatea A este precedentă activităţii B şi tAB este o durată de aşteptare ≥ 0. 2 . Termenul cel mai devreme al terminării activităţii B este egal cu suma dintre
termenul cel mai devreme al începerii activităţii B şi durata sa: t ( B) tm
=
î ( B) tm
+ d(B)
3. Termenul cel mai târziu de terminare a activităţii A, va fi dat de formula:
T daca A este o activitate finala t î ( B) − t terminare - început M AB t t M ( A) = î min t ( B) − t AB + d ( A ) început - început B Mt terminare - terminare t M ( B) − t AB unde activitatea A este direct precedentă activităţii B şi tAB este o durată de aşteptare ≥ 0. 4. Termenul cel mai târziu de începere al activităţii A este egal cu diferenţa
dintre termenul cel mai târziu de terminare al activităţii A şi durata sa: t îM ( A )
=
t tM ( A )
– d(A)
Pentru fiecare activitate vom defini următoarele rezerve de timp: a)Rezerva totală de timp (R t) a unei activităţi A:
R t(A) =
( ) – t mt ( A ) =
t tM A
( ) – t îM ( A) – d(A)
t tM A
b)Rezerva liberă de timp (R l) a unei activităţi A: î ( B ) − t îm ( A ) − d ( A ) , unde activitatea A este direct precedentă activităţii B. ( tm R l(A) = max B
13
3.3. Metoda PERT (Program Evaluation of Review Technique)
Analiza pe baza graficelor reţea de tip PERT este în prezent considerată ca indispensabilă pentru proiecte mari şi complexe. Două calităţi o fac să reprezinte un instrument folositor pentru planificarea şi urmărirea proiectelor de orice mărime şi natură:
activităţile sunt prezentate grafic în ordine secvenţială. Se poate observa întreaga reţea a proiectului, precum şi ce activităţi trebuie să se termine înainte ca altele să înceapă
se pot calcula termenele minime şi maxime de începere şi de terminare ale activităţilor proiectului. Utilizând graficul reţea, se poate lucra direct cu activităţile din cadrul reţelei şi
modifica uşor relaţiile dintre ele. Tehnicile de analiză specifice graficelor reţea propun să se calculeze: durata totală a proiectului pe baza duratei fiecărei activităţi în parte, a
legăturilor impuse la efectuarea lor şi a respectivelor relaţii de interdependenţă; drumul critic sau succesiunea execuţiei activităţilor care nu pot fi întârziate,
eventuala decalare a acestora conducând la întârzierea întregului proiect; rezervele de timp în care activităţile pot să gliseze fără a afecta durata totală
a proiectului. 1
2
1
1 3
4
5
1 6
1
7
1
8
10
1
1 9
1
Figura 3.- Graficul PERT
11
12
11
1
1
În figura 3 se prezintă un grafic reţea corespunzător unui proiect cu 12 activităţi. Prin intermediul graficelor reţea, desfăşurarea proiectului este reprezentată de noduri legate prin săgeţi în aşa fel încât să evidenţieze înlănţuirea logică a execuţiei fiecărei activităţi. Reţeaua poate fi construită în baza a două convenţii: a) Convenţia Americană: săgeţile
reprezintă activităţile proiectului, iar nodurile constituie
evenimente de început/sfârşit ce caracterizează activităţile;
14
b) Convenţia Europeana: nodurile coincid cu activităţile, iar
săgeţile reprezintă legăturile între
activităţi; În elaborarea graficului PERT trebuie parcurşi următorii paşi: •
înşiruirea activităţilor proiectului având la bază descompunerea ierarhică a acestuia stabilită anterior;
•
definirea pentru fiecare activitate a următoarelor informaţii: cod, descriere, durată;
•
definirea secvenţei logice a activităţilor prin indicarea activităţilor condiţionate de activitatea curentă şi a celor care condiţionează activitatea curentă;
•
definirea legăturilor exterioare sau a condiţionărilor din punct de vedere contractual. Spre deosebire de metoda CPM, graful PERT utilizează trei estimări pentru
duratele unor activităţi care nu s-au mai efectuat şi deci nu există un precedent care să ofere cu certitudine o valoare de timp. PERT utilizează cele trei estimări pentru activităţile incerte: un timp optimist , cel mai probabil timp şi un timp pesimist . Timpul optimist reprezintă acel timp
care are doar o probabilitate de 1% să reprezinte cel mai scurt timp, iar timpul pesimist are la rândul său tot o probabilitate de 1% să reprezinte cel mai mare timp. Se calculează o medie aritmetică în care valoarea probabilă are o pondere substanţial mărită: a
t
4m
b
6
b
şi
a
2
v 6
în care: a – reprezintă durata optimistă m – reprezintă durata cea mai probabilă b – reprezintă durata pesimistă t – valoarea medie pentru activitatea analizată v – variaţia duratei pentru activitatea analizată Metoda PERT utilizează valorile astfel calculate, iar timpul total al drumului critic este egal cu suma valorilor medii ale activităţilor, iar variaţia totală a grafului se obţine ca suma variaţiilor activităţilor considerate. Suma variaţilor activităţilor în drumul critic corespunde valorii obţinute cu formula: n
2
= i 1
b
a 6
2
sau
b
a 6
Metoda PERT se utilizează, în general, pentru descrierea unui proiect atât pe reţele CPM cât şi MPM. 15
Algoritmul pentru calcularea unui program PERT este următorul: Pasul 1. Se calculează durata medie a fiecărei activităţi din reţeaua PERT, utilizând relaţia: t ij
=
a ij
+
4 ⋅ m ij + b ij 6
Pasul 2. Se calculează termenele activităţilor reţelei PERT, considerând duratele activităţilor deterministe şi egale cu mediile lor, utilizând una din metodele CPM sau MPM; Pasul 3. Se calculează dispersia duratei fiecărei activităţi cu formula 2 σ ij
2 b ij − a ij = 6
Pasul 4. Se calculează durata totală de execuţie a întregului proiect ( t n ) şi dispersia ( σ n2 ) tn =
cu formulele :
∑t
ij
2 σ n
( i, j )∈Dcrit
=
∑
2 σ ij
( i, j )∈Dcrit
Pasul 5. Se determină probabilitatea de realizare a duratei planificate a proiectului după relaţia z =
T plan − t n 2
σ n
, folosind tabelul funcţiei Laplace;
Pasul 6. Se face analiza proiectului, conform probabilităţilor de realizare a duratei a proiectului: −
dacă p( t n ≤ T plan) este mai mică decât 0,25 există un mare risc ca proiectul să nu se realizeze la termenul planificat şi este necesară revizuirea duratelor de execuţie ale activităţilor în sensul urgentării acestora;
−
dacă p( t n ≤ T plan) ≥ 0,5 programarea este justă;
−
dacă p( t n ≤ T plan) este mai mare decât 0,6, programarea utilizează excesiv de multe resurse
Pasul 7. Dacă se doreşte să se urmărească anumite activităţi (i,j) pentru care sunt date termenele planificate de execuţie T ij, atunci se calculează probabilităţile ca fiecare activitate să fie executată la termenul planificat utilizând relaţia:
16
zij =
Tij − t î 2
σ ij
şi tabelul valorilor funcţiei lui Laplace.
- dacă pij(tî ≤ Tij) < 0,6 atunci trebuie luate măsuri de urgentare a executării activităţii (i,j) în vederea realizării ei în termenul planificat; - dacă pij(tî ≤ Tij) ≥ 0,6 activitatea (i,j) se execută în termenul planificat.
4.Aplicaţie Practică
Folosind metoda drumului critic, să se determine durata lansării unui nou produs şi să se identifice activităţile critice, cunoscând activităţile şi duratele acestora.
A B C D E F G H I J
Activitaţi Design produs Cercetarea pieţei Analiza producţiei Model de produs Vânzări broşură Cost producţie Testare produs Testare vânzări Preţ Raport proiect
Predecesor necesar A A A C D B, E H F,G, I
17
Durată(luni) 5 1 2 3 2 3 4 2 1 1
Să se determine: a) drumul critic; b) timpii liberi t ai evenimentelor x ; c) timpii limită t evenimentelor x ; d) evenimentele critice şi operaţiile critice; e) rezerva liberă de timp a fiecărei activitate; f) rezerva sigură de timp a fiecărei activitate; g) rezerva totală de timp a activităţilor ( x ; x 2 ), (x 2 ; x ), (x ; x 7 ), (x 7 ; x ) i
i
*
i
i
5
1
5
8
a) Aplicând alogritmul lui Bellman-Kalaba obţinem: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 -
x2 5 0 -
x3 1 2 0 -
x4 2 0 -
x5 3 0 -
x6 2 0 -
x7 3 4 1 0 -
x8 1 0
λ λ2 λ λ λ
13 13
8 8 8
4 4 4
4 4 4 4
5 5 5 5
2 2 2 2
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
1
3
4
5
18
l max = 13 x1
x2
x5
x7
x8
b) Considerăm timpul de început al proiectului egal cu 0, deci vom avea t =0 t 2 = max (t + t 12 ) = max(0+5) = 5 t = max (t + t ; t 2 + t 23 ) = max(0+1; 5+2) = 7 t 4 = max (t 2 + t 24 ) = max (5+2) = 7 t = max (t 2 + t 25 ) = max (3+5) = 8 t = max (t + t 36 ) = max (7+2) = 9 t 7 = max (t + t 57 ; t 4 + t 47 ; t + t 67 ) = max (8+4 ; 7+3 ; 9+1 ) = 12 t = max (t 7 + t 78 ) = max (12+1) = 1 c) Timpii limită t t = 13 t *7 = min (t - t 78 ) = min (13-1) = 12 t = min (t *7 - t 67 ) = min (12-1) = 11 t = min (t *7 - t 57 ) = min (12-4) = 8 t *4 = min (t *7 - t 47 ) = min (12-3) = 9 t = min (t - t 36 ) = min (11-2) = 9 t *2 = min (t - t 25 ; t *4 - t 24 ; t - t 23 ) = min (8-3 ; 9-2 ; 9-2) = 5 t = min (t *2 - t 12 ; t - t ) = min(5-5 ; 9-1) = 0 1
1
3
1
13
5
6
3 5
6
8
* i
*
8
*
8
*
6
*
5
*
*
3
6
*
*
5
3
*
*
1
3
13
d) Având în vedere rezultatele de la punctul precedent observăm că evenimentele critice sunt x , x 2 , x , x 7 , x (pentru ele avem t = t ) şi activităţile critice sunt (x , x 2 ) ; (x 2 , x ); ( x , x 7 ) ; (x 7 , x ). Obervăm din nou că drumul critic este { x , x 2 , x , x 7 , x } de lungime 13. *
5
1
8
i
i
1
5
5
8
1
e) Rezerva liberă de timp a activităţilor R 78 = (t - t 7 - t 78 ) = (13-12-1) = 0 R 57 = (t 7 - t - t 57 ) = (12-8-4) = 0 R 67 = (t 7 - t - t 67 ) = (12-9-1) = 2 R 47 = (t 7 - t 4 - t 47 ) = (12-7-3) = 2 R 36 = (t - t - t 36 ) = (9-7-2) = 0 R 25 = (t - t 2 - t 25 ) = (8-5-3) = 0 8
5 6
6
3
5
19
5
8
R 24 = (t 4 - t 2 - t 24 ) = (7-5-2) = 0 R 23 = (t - t 2 - t 23 ) = (7-5-2) = 0 R = (t - t - t ) = (7-0-1) = 6 R 12 = (t 2 - t - t 12 ) = (5-0-5) = 0 3
3
13
13
1
1
f) Rezerva sigură de timp a activităţilor = (t - t *7 - t 78 ) = (13-12-1) = 0 - t 57 ) = (12-8-4) = 0 57 = (t 7 - t - t 67 ) = (12-11-1) = 0 67 = (t 7 -t * 47 = ( t 7 - t 4 - t 47 )= (12-9-3) = 0 - t - t 36 ) = (9-9-2) = -2 36 = (t - t *2 - t 25 ) = (8-5-3) = 0 25 = (t * 24 = (t 4 - t 2 - t 24 )= (7-5-2) = 0 - t *2 - t 23 ) = (7-5-2) = 0 23 = (t = (t - t - t ) = (7-0-1) = 6 - t 12 ) = (5-0-5) = 0 12 =( t 2 - t
R 78 R R R R R R R R R
8
*
5
*
6
*
6
3
5
3
*
3
13
1
13
*
1
g) Rezerva totală de timp pentru activităţile : * R 12 R *25 R *57 R *78
= t *2 - t - t 12 = 5-0-5 = 0 = t - t *2 - t 25 = 8-5-3 = 0 = t *7 - t - t 57 = 12-8-4 = 0 = t - t *7 - t 78 = 13-11-1 = 1 *
1
*
5
*
5
* 8
20
BIBLIOGRAFIE • • • • • • •
Diaconiţa, V – “Optimizari liniare” , Sedcom Libris, Iaşi, 2001 www.ase.ro www.romaniaeuropa.com www.scribd.com www.trexro.dublu.ro www.hydrop.pub.ro www.facultate.regielive.ro
21
