Mestodo Simplex Para Una Mina Subterranea

APLICACIÓN DEL ALGORITMO SIMPLEX A MINERÍA SUBTERRÁNEA GRUPO:

G3 – A1

DOCENTE: DOCEN TE: Carlos Agr!a T"rr#ar$ "rr#ar$%% P&' D' INTEGRANTES: BONILLA C(A)E*% Er#+, LANDEO (UAMAN% -org LA*ARO SUARE*% -org PALMA RAMIRE*% .#ll#a/ )ELÁS0UE* -ARA% -org

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+# Is$#ga+#2 2 ! O4ra+#os G35A1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I .I NTRODUCCI ÓN

El método simplex es un método muy práctico, práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes coeficientes de la función objetivo y de las restricciones. El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima el mayor o menor valor posible, se!"n el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones#. $artiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. anterior. %omo en el método &ráfico, dichos puntos puntos son los vértices del pol'!ono pol'!ono o poliedro, poliedro, si el n"mero de variables variables es mayor mayor de (# que constituye constituye la re!ión re!ión determinad determinada a por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema llamada re!ión factible#. )a b"squeda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del pol'!ono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista re!ión factible, como su n"mero de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método Simplex se basa en la si!uiente propiedad* si la función objetivo + no toma su valor m áximo en el vértice , entonces existe una arista que parte de  y a lo lar!o de la cual el valor de + aumenta. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex "nicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo -- menor o i!ual# y sus coeficientes independientes sean mayores o i!uales a /. $or tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requis requisito itos s antes antes de inicia iniciarr el al!orit al!oritmo mo del Simple Simplex. x. En caso caso de que después después de éste éste proces proceso o aparezcan restricciones del tipo -0- mayor o i!ual# o -1- i!ualdad#, o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más com"n el método de las 2os 3ases. El objet objetiv ivo o cons consis isti tirá rá en maxi maximiz mizar ar o mini minimi miza zarr el valor valor de la funci función ón objet objetiv ivo o incrementar !anancias o reducir pérdidas.

que que !ene !enere re,,

I I .MARCO TEÓRI CO

MÉTODO SIMPLEX

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------El método simplex es un procedimiento iterativo que permite tender pro!resivamente hacia la solución óptima. Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los vértices de optimalidad.

El método requiere que las restricciones sean ecuaciones en lu!ar de inecuaciones, lo cual se a4ade variables de hol!ura a cada inecuación del modelo, variables que nunca pueden ser ne!ativas y tienen coeficiente 5/6 en la función objetiva %onceptos importantes* 

Solución básica: 7alores de las variables que satisfacen las restricciones de i!ualdad de un

pro!rama lineal en forma estándar, después de que las variables no básicas se toman como cero. 

Solución básica factible inicial: 7alores de las variables que satisfacen las restricciones de

i!ualdad y de no ne!atividad de un pro!rama lineal en forma estándar, después de que las variables no básicas se toman como cero. 

Variable de holgura: variable no ne!ativa que se a4ade al lado izquierdo de una restricción

menor o i!ual que, para obtener una restricción de i!ualdad equivalente. 

Variable artificial: variable no ne!ativa que se a4ade al lado izquierdo de una restricción

mayor o i!ual que, para obtener una restricción de i!ualdad equivalente. 

Iteración: una serie de pasos de un al!oritmo que se repiten.



Prueba de optimidad: 8étodo para determinar si la solución obtenida es la óptima.



Mejora: proceso de encontrar soluciones factibles con valores de la función objetivo cada vez

mejores. Preparando el modelo para adaptarlo al método Simplex

)a forma estándar del modelo de problema consta de una función objetivo sujeta a determinadas restricciones* 3unción objetivo* c9:x9 ; c(:x( ;... ; cn:xn Sujeto a* a99:x9 ; a9(:x( ; a(9:x9 ; a((:x( ; ... am9:x9 ; am(:x( ; x9,..., xn 0 /

... ...

; ;

a9n:xn 1 a(n:xn 1

b9 b(

...

;

amn:xn 1

bm

El modelo debe cumplir las si!uientes condiciones* 9. El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la función objetivo incrementar !anancias o reducir pérdidas, respectivamente#.

por ejemplo,


I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(. . )os términos independientes bi# de cada ecuación deben ser no ne!ativos. ?. @ay que adaptar el problema modelado a la forma estándar para poder aplicar el al!oritmo del Simplex. Tipo de optimiación.

%omo se ha comentado, el objetivo del método consistirá en optimizar el valor de la función objetivo. Sin embar!o se presentan dos opciones* obtener el valor óptimo mayor maximizar# u obtener el valor óptimo menor minimizar#. demás existen diferencias en el al!oritmo entre el objetivo de maximización y el de minimización en cuanto al criterio de condición de parada para finalizar las iteraciones y a las condiciones de entrada y salida de la base. s'*



Objetivo de maximización

%ondición de parada* cuando en la fila + no aparece nin!"n valor ne!ativo. %ondición de entrada a la base* el menor valor ne!ativo en la fila + o el de mayor valor absoluto entre los ne!ativos# indica la variable $j que entra a la base. %ondición de salida de la base* una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente $/A$j de los estrictamente positivos.



Objetivo de minimización

%ondición de parada* cuando en la fila + no aparece nin!"n valor positivo. %ondición de entrada a la base* el mayor valor positivo en la fila + indica la variable $j que entra a la base. %ondición de salida de la base* una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente $/A$j de los estrictamente ne!ativos. Bo obstante, es posible normalizar el objetivo del problema con el fin de aplicar siempre los mismos criterios en lo referente a la condición de parada del al!oritmo y a las condiciones de entrada y salida de las variables de la base. 2e esta forma, si el objetivo es minimizar la solución, se puede cambiar el problema a otro equivalente de maximización simplemente multiplicando la función objetivo por -9-. Es decir, el problema de minimizar + es equivalente al problema de maximizar C9# D+. na vez obtenida la solución será necesario multiplicarla también por C9#. 7entajas* Bo hay que preocuparse por nuevos criterios de parada, condición de entrada y salida de la base ya que se mantienen. Fnconvenientes* En el caso de que la función ten!a todos los coeficientes de sus variables básicas positivos, y además las restricciones sean del tipo de desi!ualdad --, al hacer el cambio dichos coeficientes quedan ne!ativos cumpliéndose la condición de parada en la primera iteración en la fila del valor de la función objetivo todos los valores son positivos o cero#. Gbteniéndose en este caso por defecto un valor óptimo para la función i!ual a /. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Solución* Healmente no existe este problema dado que para que la solución sea superior a / es necesario que al!una restricción ten!a impuesta la condición -0- y se tratar'a de un modelo para el método de las 2os 3ases#. En el caso planteado, la solución real debe ser cero.

%ambio de si!no de los términos independientes.
!ormaliación de las restricciones Gtra de las condiciones del modelo estándar del problema es que todas las restricciones sean ecuaciones de i!ualdad también llamadas restricciones de i!ualdad#, por lo que hay que convertir las restricciones de desi!ualdad o inecuaciones en dichas identidades matemáticas. )a condición de no ne!atividad de las variables x9,..., xn 0 /# es la "nica excepción y se mantiene tal cual. •

"estricción de tipo #$#

$ara normalizar una restricción con una desi!ualdad del tipo --, hay que a4adir una nueva variable, llamada variable de hol!ura xs con la condición de no ne!atividad* xs 0 /#. Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la ecuación correspondiente que ahora s' será una identidad matemática o ecuación de i!ualdad#. a99:x9 ; a9(:x(  b9

•

a99:x9 ; a9(:x( ; 9:xs 1 b9

"estricción de tipo #%#

En caso de una desi!ualdad del tipo -0-, también hay que a4adir una nueva variable llamada variable de exceso xs con la condición de no ne!atividad* xs 0 Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en la ecuación correspondiente.#. / Sur!e ahora un problema con la condición de no ne!atividad con esta nueva variable del problema. )as inecuaciones que conten!an una desi!ualdad de tipo -0- quedar'an* ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a99:x9 ; a9(:x( 0 b9 a99:x9 ; a9(:x( C 9:xs 1 b9 l realizar la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero. En este caso la nueva variable xs, tras hacer cero a x9 y x(, tomará el valor Cb9 y no cumplir'a la condición de no ne!atividad. Es necesario a4adir otra nueva variable xr, llamada variable artificial, que también aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo y sumando en la restricción correspondiente. Iuedando entonces de la si!uiente manera* a99:x9 ; a9(:x( 0 b9

•

a99:x9 ; a9(:x( C 9:xs ; 9:xr 1 b9

"estricción de tipo #&#

l contrario de lo que cabr'a pensar, para las restricciones de tipo -1- aunque ya son identidades# también es necesario a!re!ar variables artificiales xr. %omo en el caso anterior, su coeficiente será cero en la función objetivo y aparecerá sumando en la restricción correspondiente. a99:x9 ; a9(:x( 1 b9

a99:x9 ; a9(:x( ; 9:xr 1 b9

En el "ltimo caso se hace patente que las variables artificiales suponen una violación de las leyes del ál!ebra, por lo que será necesario ase!urar que dichas variables artificiales ten!an un valor / en la solución final. 2e esto se encar!a el método de las 2os 3ases y por ello siempre que aparezcan este tipo de variables habrá que realizarlo. En la si!uiente tabla se resume se!"n la desi!ualdad el tipo de variable que aparece en la ecuación normalizada, as' como su si!no

'esarrollando el método Simplex na vez estandarizado el modelo y se determina que hay que utilizar el método simplex  continuación se explican paso a paso los puntos de cada método, concretando los aspectos a tener en cuenta. •

(onstrucción de la primera tabla:

)as columnas de la tabla están dispuestas de la si!uiente forma* la primera columna de la tabla contiene las variables que se encuentran en la base o variables básicas#, esto es, aquellas que toman valor para proporcionar una soluciónJ la se!unda columna reco!e los coeficientes que dichas variables básicas tienen en la función objetivo esta columna es llamada % b#J la tercera muestra el término independiente de cada restricción $ /#J a partir de ésta aparece una columna por cada una de las variables de decisión y hol!ura presentes en la función objetivo $ j#. $ara tener una visión más clara de la tabla, se incluye una fila que contiene los t'tulos de cada una de las columnas. Sobre esta tabla se a!re!an dos nuevas filas* una de ellas, que lidera la tabla, donde aparecen los coeficientes de las variables de la función objetivo, y una "ltima fila que reco!e el valor la función objetivo y los costes reducidos + j C % j. )os costes reducidos muestran la posibilidad de mejora en la solución + /. $or este motivo también son llamados valores indicadores. Se muestra a continuación el aspecto !eneral de la tabla del método Simplex* ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tabla

%9

%(

...

%n

)ase

(b

P*

P+

P,

---

Pn

$9

%b9

b9

a99

a9(

...

a9n

$(

%b(

b(

a(9

a((

...

a(n

...

...

...

...

...

...

...

$m

%bm

bm

am9

am(

...

amn

+/

+9C%9

+(C%(

...

+nC%n

.

(ondición de parada:

Se cumple la condición de parada cuando la fila indicadora no contiene nin!"n valor ne!ativo entre los costes reducidos cuando el objetivo es la maximización#, esto es, no existe posibilidad de mejora. Si no se cumple la condición de parada es necesario realizar una iteración más del al!oritmo, esto es, determinar la variable que se vuelve básica y la que deja de serlo, encontrar el elemento pivote, actualizar los valores de la tabla y comprobar si se cumple nuevamente la condición de parada. Es también posible determinar que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. En tal caso no es necesario continuar iterando indefinidamente y se puede finalizar el al!oritmo. Esta situación ocurre cuando en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son ne!ativos o nulos.

•

/lección de la 0ariable 1ue entra a la base:

%uando una variable se vuelve básica, es decir, entra en la base, comienza a formar parte de la solución. Gbservando los costes reducidos en la fila +, se decide que entra a la base la variable de la columna en la que éste sea el de menor valor o de mayor valor absoluto# entre los ne!ativos. •

/lección de la 0ariable 1ue sale de la base:

na vez obtenida la variable entrante, se determina que sale de la base la variable que se encuentre en aquella fila cuyo cociente $ /A$ j sea el menor de los estrictamente positivos teniendo en cuenta que esta operación se hará "nicamente cuando $ j sea superior a /#. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------•

/lemento pi0ote:

El elemento pivote de la tabla queda marcado por la intersección entre la columna de la variable entrante y la fila de la variable saliente. •

2ctualiación de la tabla:

)as filas correspondientes a la función objetivo y a los t'tulos permanecerán inalteradas en la nueva tabla. El resto de valores deberán calcularse como se explica a continuación* 

En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como*



Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote.



En el resto de las filas cada elemento se calcula*

Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote).

2e esta forma se consi!ue que todos los elementos de la columna de la variable entrante sean nulos salvo el de la fila de la variable saliente cuyo valor será 9. Es análo!o a utilizar el método de &aussCLordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales#. plicaciones del al!oritmo simplex $ara poder solucionar un problema mediante un al!oritmo primero se debe extraer toda la información que aporta el enunciado y preparar el problema de acuerdo a las necesidades del método resolutivo. )os pasos para modelar un problema son los si!uientes* D $aso 9* 2eterminar las variables de decisión y expresarlas al!ebraicamente. o M9,..., Mn D $aso (* 2eterminar las restricciones y se expresarlas como ecuaciones o inecuaciones dependientes de las variables de decisión* G 99DM9 ; 9(DM( ;... ; 9nDMn 0, , ó 1 b9 G (9DM9 ; ((DM( ;... ;  (nDMn 0, , ó 1 b( o m9DM9 ; m(DM( ; ... ; mnDMn 0, , ó 1 bm

D $aso =* Expresar todas las condiciones impl'citamente establecidas por la naturaleza de las variables* que no puedan ser ne!ativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... o M9,..., Mn 0 /


I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o M9,..., Mn son n"meros enteros, o son booleanos,...

D $aso >* 2eterminar la función objetivo. G 8aximizar o minimizar + 1 %9DM9 ; %(DM( ;... ; %nDMn  modo de ejemplo se explica cómo se modelan al!unos problemas t'picos* D $roblema de la dieta D $roblema de transporte de mineral D $roblema de transporte de mercanc'as D $roblema de los árboles frutales D $roblema de asi!nación de personal D $roblema del camino m'nimo D $roblema de localización D $roblema de inversión en bolsa, etc.

DESCRIPCIÓ de !o" PRO#R$M$S EMPLE$DOS SO6T.ARE TORA:
V/!T232S

9. Se visualiza bien, como es el funcionamiento de los al!oritmos. (. Es una herramienta muy "til que le permite al estudiante comprobar los resultados obtenidos en un problema de $.). y corre!ir errores que se puedan cometer. =. Es de fácil accesibilidad ya que se encuentra de manera !ratuita en la Neb.

I I I .ENUNCI ADO delPROBLEMA N° 1


I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------En una empresa minera del sur del pa's que opera por el método de explotación subterránea,

actualmente desea implementar su extracción y se ha propuesto iniciar con la explotación de dos unidades mineras, con las cuales se han propuesto extraer dos tipos de minerales, se sabe también que la capacidad de la chancadora en la unidad  es de >? tmAhr y en la unidad O de P/ tmAdia, y la capacidad del molino para la unidad  es de Q/tmAhr y en la unidad O de ?/ tmAhr. En la unidad O la máxima producción de dicho mineral es de P// tmAdia. El !erente de operaciones pide maximizar la venta.

CAPACIDAD

DE CAPACIDAD

DE )ALOR

C(ANCADORA

MOLIENDA

MINERAL

GALERIA

;TM<(R= ?@

;TM<(R= 

;US>
A GALERIA

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@

3@

(R
(R
DEL

B

I V.SOLUCI ÓN

Sa X1 l /#ral 4lo$a!o 4or !7a  la "#!a! A Sa X l /#ral 4lo$a!o 4or !7a  la "#!a! B Ma * F @X1  3@X S$: @X1 XHF %&' ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1JX1 KX HF 1@?'%('

XHF'%)'

TABLA INICIAL BASE

)ar#als DECISIÓN

! )ARIABLES (OLGURA

DE SOLUCI ÓN

OPERACI ÓN

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S

S3

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ITERACIÓN No 1

BASE



DE SOLUCI ÓN

OPERACI ÓN

X1

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S1

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

1

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

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1

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53@

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RESULTADO DE ITERACIÓN N o BASE


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

1


DE SOLUCI ÓN

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ITERACIÓN No BASE

OPERACI ÓN

;J= X1





DE SOLUCI ÓN

OPERACI ÓN

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RESULTADO DE ITERACIÓN N o BASE


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DE SOLUCIÓ OPERACI N ÓN



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TABLA 6INAL BASE



DE SOLUCIÓ OPERACI N ÓN

X1

X

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S

S3

X1

1

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S

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

1

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*





@

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

3@ 

Co/o $o!os los +o+#$s ! la la ! la "+#2 o$#o so 4os#$#os% &/os llga!o a la sol"+#2 24$#/a' La sol"+#2 24$#/a # !a!a 4or l alor ! *  la +ol"/a ! los alors sol"+#2%  "s$ro +aso: )*+,,' DONDE

X1 F ?

DONDE

X F 



PROBLEMASPROPUESTOS

Prol/a NQ: Fmpala &old %ompany operaba una mina de oro en el Estado )ibre de Gran!e, Sudáfrica. )a operación consist'a en miner'a subterránea, a una profundidad de 9>// metros, para la extracción de mineral de oro. )as rocas se transportaban por los piques de la mina a un molino que trituraba la roca y extra'a el oro. )a mina Fmpala ten'a tres piques. )a información acerca de estos piques se presenta en la tabla adjunta. Gbserve que el mineral que se obtiene de cada una de las áreas de los $iques tiene diferente contenido de oro y distinto costo. )as rocas que extra'an de los tres piques subterráneos se enviaban al molino para ser trituradas y refinadas. )a capacidad del molino depend'a de la finura del molido de las rocas. Si las rocas se mol'an finamente, la capacidad del molino era de (>//// toneladas mensuales y se recuperaba el R? del oro en la operación. )as rocas de cada t"nel se pod'an moler por separado. El costo de molido fino de una tonelada de roca era T9.9( por tonelada. Si el molido de las rocas era !rueso, la capacidad del molino era de (?//// toneladas, pero la recuperación de oro bajaba al R/. El costo de molido !rueso de una tonelada de roca era de T/.P?. )a mina pod'a vender todo el oro que produjera, a T/.P/ el !ramo. El !erente de la mina estaba preocupado por la cantidad de mineral que deb'a extraer de cada una de las áreas de los $iques. @ab'a observado que la capacidad del molino no era suficiente para manejar todos los $iques si éstos operaban a toda su capacidad. El problema se complicaba a"n más por el requisito le!al de que la mina no pod'a operar 5por encima del !rado promedio6 de las reservas de mineral. En la mina Fmpala este !rado promedio era de (/ !ramos por tonelada. $or lo tanto, exist'a la restricción le!al de que la mezcla de rocas de los tres $iques no pod'a exceder un promedio de (/ !ramos de oro por tonelada de mineral. 3ormule un modelo de pro!ramación lineal para maximizar los beneficios de la operación de la mina.

P#" N 1 ! @ !l

Ca4a+#!a! $ras4or$ P#";$<$=

P#" N K

P#" N3 K@



1@

@

?

Sol uci ón So!ción de! ./ob!ema "ando e! tab!e/o "im.!ex0

Fdentificación de las variables de decisión* ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M93* toneladas de roca fina en el $ique BU9

M9&* toneladas de roca !ruesa en el $ique BU9 M(3* toneladas de roca fina en el $ique BU( M(&* toneladas de roca !ruesa en el $ique BU( M=3* toneladas de roca fina en el $ique BU= M=&* toneladas de roca !ruesa en el $ique BU=

%apacidad de transporte de los $iques* %apacidad del pique BU9*

M93 ;M9&V1P?///W..9#

%apacidad del pique BU(*

M(3 ;M(&V1R////WW(#

%apacidad del pique BU=*

M=3 ;M=&V1R?///WW=#

%apacidad del molino cuando la roca es fina* (>//// tn %apacidad del molino cuando la roca es !ruesa* (?//// tn

E+"a+#2 ! la r+$a: F 24000

G +

25000

=1

I+"a+#2 ! la r+$a: F 24000

+

G 25000

≤1


I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------250000 240000

F + G ≤ 25000

1.04 F + G ≤ 25000

2onde* 31M93 ;M(3 ;M=3 &1 M9& ;M(& ;M=& Heemplazando tenemos la restricción >#* 9./> M93# ;9./> M(3# ;9./> M=3# ; M9&# ;M(&# ;M=&# V1 (?//// WW.. ># Hestricción del !rado del mineral*

(?M93 ;M9&# ;(/M(3 ;M(&# ;9?M=3 ;M=&# V1(/M93 ;M(3 ;M=3 ;M9& ;M(& ;M=&# ? M93# C? M=3# ;? M9&# C?M=&# V1/ 3unción objetivo*

Ma#/#ar:

* F 11';X16=  K';X6=  J';X36=  11'1@;X1G=  '@@;XG=  @'K@;X3G=

Sujeto a* M93 ;M9&V1P?///


I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M(3 ;M(&V1R//// M=3 ;M=&V1R?/// 9./>M93# ; 9./>M(3# ; 9./>M=3# ; M9&# ; M(&# ; M=&# V1 (?//// ? M93# C ?M=3# ; ?M9&# C?M=&# V1/ M93# ; 9./>M(3# ; 9./>M=3# ; M9&# ; M(&# ; M=&# ; S> 1 (?//// ? M93# C ?M=3# ; ?M9&# C?M=&# ; S? 1 /

)lenamos la tabla*

$rimero la columna pivote en la fila objetivo el cual será el elemento mas ne!ativo de dicha fila

)ue!o dividimos la columna del extremo derecho con la columna pivote para ubicar cual será nuestra fila pivote el cual será esco!iendo al menor n"mero positivo de dicha operación*

na vez ubicados la fila y columna pivote, la intersección será nuestro elemento pivote el cual tendremos que convertirlo en la unidad, para hacer dicha operación debemos dividir el n"mero que convierte a la unidad, a toda la fila.


I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)ue!o procedemos a iterar con nuestra fila pivote las demás filas convirtiendo a cero a todos los elementos que estén arriba o abajo del elemento pivote, obteniéndose la si!uiente tabla*

bicamos nuestra fila y columna pivote y asi obtener nuestro elemento pivote

Fteramos la tabla obteniendo la si!uiente tabla*


Fteramos la tabla obteniendo la si!uiente tabla*




Fteramos la tabla hasta lo!ra obtener que todos los coeficientes de la función objetivo sea positivo, obteniendo la si!uiente tabla*

$or lo tanto la solución óptima del problema será* M93 1 P?/// tn M(3 1 Q=X?=.P tn M=& 1 P?/// tn %on lo que se maximiza la utilidad + 1 T (9P>=(Q

Prol/a NQ3: )a empresa 8inas $oracota S..bicado en la re!ión requipa, provincia de %ondesuyo distrito de %ayarani tiene asentada su unidad minera $oracota la cual se dedica a la explotación y transporte de mineral.Sierto d'a se le asi!na al in!eniero de turno que se encar!ue de transportar los materiales extra'dos de dos labores mineras una de chimenea y la otra de cruzero hacia tres plantas concentradoras, sabiendo que la primera labor minera tiene una producción de 9/
)abor minera )abor minera9#%@ )abor minera(#%+

$lanta 9# 9/ 9?

concentradora $lanta (# 9? 9/

concentradora $lanta =# (/

concentradora

9/


I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)os datos de la tabla hacen referencia a miles de dólares.

En base a las condiciones del problema se pide planificar el trasporte de tal forma que el costo de este sea m'nimo. Solucion* El problema que se muestra a continuación involucra un total de X variables de decisión y cinco restricciones por lo cual ya no es posible utilizar el método !rafico en su solución por tanto es conveniente pensar en métodos matemáticos de solución de problemas de pro!ramación lineal más !enerales como el método al!ebraico, al!oritmo simplex, al!oritmo del tablero simplex o a!enciarnos de la ayuda de softNare de optimización tales como el )indo, Yinqsb,
Enunciando las variables* M91 %antidad de toneladas de material de la labor 9 a la planta concentradora 9. M(1 %antidad de toneladas de material de la labor ( a la planta concentradora 9. M=1 %antidad de toneladas de material de la labor 9 a la planta concentradora (. M>1 %antidad de toneladas de material de la labor ( a la planta concentradora (. M?1 %antidad de toneladas de material de la labor 9 a la planta concentradora =. MX1 %antidad de toneladas de material de la labor ( a la planta concentradora =. 3unción objetivo* + min#19/x9;9?x(;9?x=;9/x>;(/x?;9/xX

Hestricciones* M9;x(;x=V19/WWWWWWWWW 9# M(;x>;xXV19?WWWWWWWW.. (# M9;x(Z1PWWWWWWWWW. =# M=;x>Z1PWWWWWWWWW. ># M?;xXZ1RWWWWWWWWW. ?#

%ondición de no ne!atividad* x9J x(J x=J x>J x?J xXZ1/

Es"/a gra+o ! sol"+#2' +o+$ra!ora

Pla$a



;Laor /#ra ! C&#/a=

;Laor /#ra ! Cr"ro=

U$#l#a!o l 4rogra/a ! 4ara la sol"+#2 !l 4rol/a'

#s$#ga+#2

!

o4ra+#os

TORAV

1 Igrsar al 4rogra/a'

 Prs#oar l o$2 +l#+, (rV% #grsar a la o4+#2 L#ar Progra//#g ' ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a


3 Prs#oar l o$2 Go $o #4"$ s+rV'

? S ar#ra la s#g"#$ $aa  !o! s ! 4or $#$"lo al 4rol/a %l"go s #grsara l "/ro ! ar#als 8 rs$#+#os a +o$#"a+#o s a+#oa E$rV'

@Al ar#rs la s#g"#$ $aa s lg#rW la a++#2 " s !s ral#ar sa s$a /a#/#ar o /##/#ar% l"go s llara la $ala +o las rs$r#++#os !l 4rol/a'



JL"go ! &ar lla!o la $ala 4or +o/4l$o s &a+ +l#+,  l o$2 SOL)E M"V'

Dar +l#+,  SI% l"go sg"#r l s#g"#$ or!: Sol Prol/% Algra#+% I$ra$#os% Bo"!! S#/4l'

 Al ar#rs la s#"$ $ala s &ara +l#+,  All I$ra$#osV% /os$ra!os #/!#a$a/$ l "/ro ! #$ra+#os +o la +"al s llga al o4$#/o  l +aso ! "s$ro 4rol/a s llga al o4$#/o l"go ! 11 #$ra+#os'



KL"go ! &ar sg"#!o or!a!a/$ los 4asos a$r#ors s +o$rara la sol"+#2  la 9l$#/a #$ra+#2'

2e la tabla siquiente se lle!a a la conclusion que si se quiere aminorar los costos de traslado del material desde la laborminera a la planta consentradora se deberian repartir desde la labor de cruzero ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a

I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------P
PRO#R$M$ LIDO )FB2G es una aplicación para computadoras que se utiliza para resolver problemas de pro!ramación lineal, cuadrática y entera. 2esde 9RQR el pro!rama )FB2G ha sido una de las herramientas de optimización favoritas de las comunidades Educativas y Empresariales. )FB2G Systems se ha dedicado a proveer poderosas e innovativas herramientas de optimización que también son flexibles y muy fáciles de usar. )FB2G tiene una lar!a historia y es uno de los pioneros en crear poderosos pro!ramas de optimización. En 9RQR se vendió en 8éxico la primer copia comercial de )FB2G, la ayuda que este proporcionó en aquel momento, le hizo !anar popularidad muy rápidamente para lue!o ser utilizado en aplicaciones industriales. En 9RP= la versión )FB2GA$% fue el primer paquete para pro!ramación lineal, este manejaba X/ restricciones y 9(/ variables. En 9RRX apareció la versión X./ para YFB2GYS. ntes que aparecieran )otus 9C(C= o Excel, )FB2G hab'a sido incorporado a la planilla de cálculo 7isi%alc, el paquete se llamó 7FBG y es el equivalente del SG)7EH que viene con Excel. En estos momentos existe una hoja de cálculo llamada Y@<[S Oest\ la cual se inte!ra a EM%E) o )G<S 9C (C=J ésta resuelve problemas de optimización con al!oritmos de )FB2G Systems. Esta ima!en es una pantalla obtenida del pro!rama )FB2G*

)a

le

si!uiente pantalla muestra una versión de la @oja de %álculo EM%E) a la que se ha inte!rado el paquete de optimización de )FB2G -Y@<[S Oest\-*

VI I .

RECOMENDACI ONES ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6a+"l$a! ! Ig#r7a Gol2g#+a% M#ra 8 M$al9rg#+a


$ara una mejor compresión del método del al!oritmo del tablero simplex se recomienda tener conocimientos previos de al!ebra vectorial o al!ebra lineal para poder comprender de mejor manera al!unas definiciones que están involucradas en el al!oritmo como definición de ran!o de una matriz, operaciones elementales fila columna, sistema de ecuaciones lineales entre otros. En lo posible se deber'a utilizar más de un softNare en la solución delos problemas de pro!ramación lineal porque de esa forma se puede comparar resultados y darse cuenta que pro!rama es más idóneo para cada tipo particular de problema.

VI I I .CONCLUSI ONES

El método simplex, emplea básicamente, la estrate!ia de resolver los problemas de pro!ramación lineal por medio de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas siempre que se ten!a una solución factible. El óptimo, si es que existe, se determina avanzando un punto esquina adyacente a la vez y comprobando si a"n existe un punto esquina que pueda mejorar el valor de la función objetivo. Es vital el uso de este al!oritmo simplex en la miner'a y en cualquier industria porque optimiza las operaciones y !enera las mayores !anancias con los menores costos. Su importancia está en que es un método que se puede encontrar el óptimo sin importar el n"mero de variables con las que se trabaje a comparación de otros métodos como la pro!ramación )ineal que sus variables queda restrin!ido a un n"mero finito muy peque4o Se comprueba que el método del al!oritmo del tablero simplex es idóneo para la solución de problemas de pro!ramación lineal de más de ( o = variables si es que se realiza el cálculo en forma manualJ por encima de otros métodos como el método al!ebraico que !eneralmente se torna tedioso con el in!reso de mayor cantidad de variables de decisión. Se comprendió que para problemas con m"ltiples variables como es el caso de problemas relacionados con la industria minero metalur!ia se hace indispensable el uso de softNare que nos permitan calcular de manera eficiente los resultados esperados tales como )indo,Ninqsb,
I X. BI BLI OGRAFÍ A

Fnvesti!ación de Gperaciones @andy .
I$ro!"++#2 a la Is$#ga+#2 ! O4ra+#os G35A1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fnvesti!ación operativa* 8odelo, técnica y softNareJ %oncepción 8aroto lvares. $ro!ramación lineal .$rimera edición 9RRQ.


Mestodo Simplex Para Una Mina Subterranea

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