PROGRAM LINIER (KELAS XII SMA)
Menentukan Nilai Maximum dan Minimum dengan GeoGebra
Standar Kompetensi : 2. Menyelesaikan masalah program linear.
Kompetensi Dasar : 2.3. Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya.
Materi Ajar : Nilai optimum fungsi objektif.
Cara Menentukan Nilai Maximum dan minimum tanpa Geogebra
Dalam pemodelan matematika masalah produksi ban PT. Samba Lababan, kalian akan mencari nilai x dan y sedemikian sehingga f(x, y) = 1000 x+ 2000y maksimum.
Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax + by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik. Bentuk umum dari fungsi tersebut adalah f(x, y) = ax + by. Suatu fungsi yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum). Fungsi ini disebut fungsi objektif. Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif ini, kalian dapat menggunakan dua metode, yaitu metode uji titik pojok dan metode garis selidik.
A. 1. Metode Uji Titik Pojok
Untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok, lakukanlah langkah-langkah berikut :
Gambarlah daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut.
Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.
Substitusikan koordinat setiap titik pojok itu ke dalam fungsi objektif.
Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil berarti menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y).
Menentukan Nilai Maximum dan Minimum dengan GeoGebra
Sebagian besar siswa SMA/SMK merasa mengeluh bila sudah belajar matematika, ada yang bilang gak ngerti, takut sama gurunya karena gurunya killer, ada yang bilang sulit dipahami, susah ngertinya, gimana sih caranya kok gak bisa paham-paham juga? Apalagi kalau sudah masuk bagian kalkulus, aljabar ataupun geometri. Sebenarnya ada banyak cara mudah untuk belajar matematika, banyak tool (software) yang membantu mempermudah untuk belajar matematika, salah satunya adalah software yang akan penulis kenalkan yaitu tentang Geogebra.
Geogebra bisa berjalan di beberapa platform seperti Windows, Mac OS X, Linux, dan Java. Silakan download aplikasinya sesuai dengan OS yang kalian miliki di sini.
Pengertian Geogebra
GeoGebra adalah software matematika dinamis yang menggabungkan geometri, aljabar, dan kalkulus. Software ini dikembangkan untuk proses belajar mengajar matematika di sekolah oleh Markus Hohenwarter di Universitas Florida Atlantic.
Di satu sisi, GeoGebra adalah sistem geometri dinamik. Anda dapat melakukan konstruksi dengan titik, vektor, ruas garis, garis, irisan kerucut, begitu juga dengan fungsi, dan mengubah hasil konstruksi selanjutnya.
Di sisi lain, persamaan dan koordinat dapat dimasukan secara langsung. Jadi, Geogebra memiliki kemampuan menangani varabel-peubah untuk angka, vektor, titik, menemukan turunan dan integral dari suatu fungsi, dan menawarkan perintah-perintah seperti Akar atau NilaiEkstrim.
Pada kesempatan ini kita akan membahas beberapa contoh pembelajaran matematika, khususnya pembelajaran geometri dua dimensi menggunakan program GeoGebra. Berikut ini diberikan contoh pembuatan file dinamis untuk materi Nilai Optimum fungsi Objektif..
Contoh kasus :
Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang. Berapakah penghasilan maksimum tempat parkir tersebut ?
Penyelesaian :
Dari soal di atas maka dapat dibuat model Matematika sebagai berikut :
Misal : mobil kecil (x) dan mobil besar (y) 4x+20y 1760 & x+y 0
F(x) = 1000x+2000y (fungsi optimum)
Selanjutnya kita akan menyelesaikan kasus tersebut dengan sofware GeoGebra, berikut langkah-langkahnya :
Input pertidaksamaan di atas kedalam bentuk persamaan pada bar "Input". Meskipun GeoGebra telah mendukung pertidaksamaan, namun jika di input dalam pertidaksamaan nantinya akan kesulitan pada pemberian titik-titik perpotongan pada kurva GeoGebra.
Kendala 1: lalu tekan Enter.
Kendala 2: lalu tekan Enter.
Setelah menginput persamaan pada kolom yang ditunjukkan tanda anak panah kemudian klik enter begitu pun persamaan yang kedua sampai terlihat grafik persamaan garis tersebut sehingga akan seperti gambar berikut:
Jika gambar anda tidak terlihat sama sekali, bukan karena gagal. Anda perlu memperkecil hasil Geogebra tersebut dengan cara: pilih Icon Zoom Out >> Zoom Out.
Agar kelihatan menarik kedua garis persamaan tersebut diberikan warna yang berbeda. Klik kanan pada salah satu garis persamaan lalu pilih Object Properties, pada tab color pilih warna yang diinginkan, pada tab style naikkan line thicness agar lebih tebal garisnya. Lakukan hal yang sama pada persamaan garis yang satunya. Sehingga menghasilkan seperti gambar berikut
Selanjutnya buatlah titik-titik potong sebagai titik uji untuk menentukan nilai-nilai optimum. Karena pertidaksamaan , maka hanya 3 titik yang akan diuji, yaitu titik potong persamaan I dengan sumbu y (titik A), titik persamaan I dan II (titik B) dan titik potong persamaan II dengan sumbu x (titik C).
Cara membuat titik potong pada GeoGebra, klik pada icon kemudian pilih icon intersect two objects.Selanjutnya tinggal klik di garis biru (garis persamaan I) dan klik di sumbu y, secara otomatis akan keluar titik A (0, 88).Kemudian klik diperpotongan garis persamaan I dan II maka didapat titik B (140, 60).Klik garis pink (garis persamaan II) dan klik disumbu y, maka akan keluar titik C (200, 0).Klik juga di sumbu x dan klik di sumbu y, sehingga keluar titik D (0, 0). Lihat langkah-langkah pada gambar dibawah ini:
Cara membuat titik potong pada GeoGebra,
klik pada icon kemudian pilih icon intersect two objects.
Selanjutnya tinggal klik di garis biru (garis persamaan I) dan klik di sumbu y, secara otomatis akan keluar titik A (0, 88).
Kemudian klik diperpotongan garis persamaan I dan II maka didapat titik B (140, 60).
Klik garis pink (garis persamaan II) dan klik disumbu y, maka akan keluar titik C (200, 0).
Klik juga di sumbu x dan klik di sumbu y, sehingga keluar titik D (0, 0). Lihat langkah-langkah pada gambar dibawah ini:
Buatlah arsiran pertidaksamaan tersebut dengan menghubungkan ke empat titik tersebut dengan menggunakan "Polygon". Seperti di bawah ini :
Kemudian hitunglah nilai optimum pada masing-masing titik uji diatas. Fungsi optimum diketahui : f(x) = 1000x+2000y
Untuk masing-masing titik pada GeoGebra dapat dibuat dengan cara ketikkan pada bar input seperti berikut :
Titik A : lalu klik enter.
Titik B : lalu klik enter.
Titik C : lalu klik enter.
Lihatlah pada kolom "Algebra", Nilai A (NA), Nilai B (NB), Nilai C (NC) sudah dikalkulasi oleh GeoGebra.
Selamat Mencoba
