Taller de Geogebra
I-Primeros pasos para conocer Geogebra Puesta en marcha del programa
Para arrancar el programa, haz doble clic sobre el icono que está en el Escritorio. (Si no encuentras el icono en el Escritorio, acceder desde Inicio/Todos los programas/GeoGebra/GeoGebra) Te aconsejo pulsar el botón Maximizar para trabajar más cómodamente sobre la hoja en blanco o zona gráfica que GeoGebra nos muestra. La parte superior de la pantalla tiene el siguiente aspecto:
Cada uno de los botones que estás viendo (en la llamada Barra de Herramientas) permite desplegar un menú diferente. Pulsa en el cuarto de ellos sobre el triangulito de la parte inferior derecha y comprobarás cómo se abre el correspondiente menú y cómo cambia el aspecto del botón cuando seleccionas, por ejemplo la herramienta Polígono. Observa también cómo, a la derecha de la Barra de Herramientas, se actualiza un pequeño texto de ayuda para el uso de la correspondiente herramienta:
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Actividad 1-Construir figuras geométricas En esta actividad vamos a dibujar algunas figuras, usando las posibilidades que te ofrecen las herramientas del tercer y quinto menú. Recuerda que a la derecha de la Barra de Herramientas podrás leer una breve indicación para el uso de la herramienta que selecciones en cada momento.
Las figuras se enumeran en el siguiente párrafo. Procura que te queden distribuidas por la pantalla de manera ordenada, sin que se monten unas sobre otras. Primero: Las figuras que debes dibujar son: una recta, un segmento, una semirrecta, un triángulo, un pentágono convexo, un polígono regular de 12 lados, un hexágono cóncavo, una circunferencia y un arco de circunferencia.
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Si quieres eliminar algún elemento selecciónalo mediante la herramienta principal (Desplazar) y pulsa la tecla Supr (o clic derecho sobre el elemento y Borra). Segundo: Modificaremos y cambiaremos de posición algunas figuras para lo que necesitarás la herramienta Desplazar. Realiza los siguientes cambios: mueve la recta hasta que corte a la circunferencia y dibuja, usando la herramienta Intersección de dos objetos, los puntos de corte de ambas. Mueve la circunferencia y la recta y verás que los puntos se mueven con ellos. Si cometes algún error, recuerda la utilidad del botón Deshacer para anular la última operación y de la tecla Supr para eliminar algún objeto.
Actividad 2- Ángulo inscrito en una semicircunferencia El objetivo es dibujar un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Para ello puedes seguir la siguiente secuencia: Dibuja un Segmento entre dos puntos. Para visualizar los nombres de A y B, haz clic derecho sobre cada uno de ellos y activa la opción Expone rótulo Luego construye la Semicircunferencia cuyo diámetro es el segmento anterior. Finalmente, construye los dos Segmentos que determinan el Ángulo inscrito en la semicircunferencia. Desliza el punto P sobre la semicircunferencia y fíjate en los valores que va tomando el ángulo. Inserta un comentario: ¿Qué observas? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________
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Actividad 3- Ángulos en una circunferencia Primero: Dibuja una figura como la adjunta. 1. Dibuja una circunferencia y llama O al centro. 2. Sitúa en la circunferencia y nombra los cinco puntos restantes. (Para dar nombre a un punto es recomendable hacerlo inmediatamente después de hacer el clic de representación, pues en otro caso tendrás que utilizar el botón derecho y elegir la opción Renombrar). 3. Representa los segmentos, los ángulos. 4. Y finalmente, el arco AB.
Incorpora en un cuadro de texto uno o varios comentarios respondiendo a las siguientes cuestiones: 1. ¿Qué tienen los cuatro ángulos marcados en común y qué diferencia a uno de ellos? 2. ¿A cuál de ellos se le llamará central y a cuáles inscritos? ¿por qué? 3. Modifica la posición de los puntos ¿Observas alguna relación permanente entre las medidas de los ángulos? Descríbela. 4. ¿Encuentras alguna relación entre la figura de la actividad anterior y ésta?
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Actividad 4- Ángulos en polígonos regulares Imagina un octágono regular. ¿Cuánto crees que mide un ángulo central (el determinado por dos radios consecutivos? ¿Por qué? ¿Y cada ángulo del octágono? Compruébalo con GeoGebra (utilizando la herramienta Polígono regular) ¿Encuentras alguna relación entre las dos medidas? ¿Sabrías deducir las fórmulas para calcular la medida de cada ángulo y del ángulo central de un polígono regular de n lados?
Actividad 5- Medianas de un triángulo. Baricentro Dibuja un triángulo ABC. Puedes utilizar la herramienta Exponer/Ocultar rótulo para visualizar los nombres de los vértices. Dibuja dos medianas del triángulo: AM y BN. Para ello debes tener clara la definición de mediana. Las herramientas Punto medio y Segmento entre dos puntos te serán de utilidad. Las dos medianas se cortan en el punto G. Comprueba que la tercera mediana CP pasa por ese punto. Ese punto G es el baricentro del triángulo y en él concurren las tres medianas. Utiliza la herramienta Distancia para medir los dos segmentos en que el baricentro G divide a una cualquiera de las tres medianas. (Para medir, por ejemplo, el segmento AG, has de seleccionar la herramienta y luego hacer clic primero en A y luego en G). Modifica la posición de los vértices del triángulo y observa cómo cambian las longitudes anteriores. ¿Observas alguna relación entre ellas? Comprueba si esa relación se cumple también en las otras dos medianas. Inserta un comentario (Inserta texto ) expresando la propiedad relativa al baricentro y a los segmentos que determina sobre cada una de las 5
medianas.
Actividad 6. Alturas de un triángulo. Ortocentro Dibuja un triángulo ABC. Dibuja en él una altura. Mueve los vértices y comprueba la validez de tu construcción (es decir que la altura sigue siendo la perpendicular a un lado por el vértice opuesto) Dibuja una segunda altura. Estas líneas se cortan en un punto, que llamaremos O. Dibuja la tercera altura y comprueba que O pertenece a ella. Ese punto es el ortocentro del triángulo. Al mover los vértices comprobarás que el ortocentro no siempre se sitúa en el interior del triángulo. Investiga e incluye un comentario en un cuadro de texto aclarando en qué casos es interior, exterior o pertenece a alguno de los lados del triángulo.
Actividad 7- Mediatrices de un triángulo. Circuncentro y circunferencia circunscrita. Dibuja un triángulo ABC. Traza sus mediatrices (Selecciona la herramienta Mediatriz y haz clic sobre cada lado del triánglo). Comprueba que las tres concurren en un punto P. Dibuja la circunferencia de centro P que pasa por uno de los vértices. Comprueba que los otros dos vértices también pertenecen a esa misma circunferencia. Diremos que esa circunferencia está circunscrita al triángulo y que su centro P es el circuncentro del triángulo. Mueve los vértices del triángulo y comprueba los cambios en la figura, especialmente si el 6
circuncentro está dentro, fuera o sobre uno de los lados del triángulo. Escribe el resultado de tu observación utilizando la herramienta Inserta texto.
Actividad 8- Bisectrices de un triángulo. Incentro y circunferencia inscrita. Dibuja un triángulo y sus tres bisectrices. (Tras seleccionar la herramienta Bisectriz habrás de clicar sobre los tres vértices del triángulo (para cada bisectriz, en el orden adecuado). Comprueba que concurren en un único punto I (el incentro). Dibuja una circunferencia con centro en el incentro y que toque un lado del triángulo en un único punto (P). Para hacer esto, debes hacer que la circunferencia sea tangente a ese lado del triángulo, por tanto, debe pasar por la intersección entre el lado y la perpendicular al mismo por el centro de la circunferencia. Antes de hacer esto último, debes pensarlo con cuidado y asegurarte de que lo has entendido. (La figura puede ayudarte) Ya has dibujado la circunferencia ¿qué ha ocurrido? ¿Corta a más de un lado del triángulo? Inserta un texto completando la propiedad: El incentro equidista de … …. ……. … ………………. Por tanto, es el centro de la ………………. …………….. Intenta comprobarla, moviendo los vértices del triángulo para ver que la propiedad es independiente de éste.
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Actividad 9- Teorema de Pitágoras: Comprobación. Antes que nada, haz clic derecho sobre la zona gráfica y activa la Cuadrícula. Dibuja un triángulo rectángulo y visualiza su ángulo recto (mediante la herramienta Ángulo). Construye (mediante la herramienta Polígono regular) un cuadrado sobre cada uno de los lados del triángulo. Utiliza ahora la herramienta Área para visualizar las áreas de los tres cuadrados. Responde brevemente (Inserta texto) a las siguientes preguntas 1. ¿Qué dice el Teorema de Pitágoras? 2. ¿Encuentras alguna relación entre el teorema y la figura? ¿Qué han de cumplir, según Pitágoras, las áreas de los tres cuadrados? Mueve los vértices del triángulo de manera que éste siga siendo rectángulo pero no tenga ningún cateto horizontal y observa si se cumple ahora que el área del cuadrado mayor es la suma de las otras dos Mueve de nuevo los vértices del triángulo de manera que éste deje de ser rectángulo y observa si se sigue cumpliendo la misma igualdad.
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Transformaciones en el plano Actividad 10- Traslaciones Dibuja un vector y un polígono. Obtén la traslación del polígono respecto del vector. Una vez hecha la traslación, une cada punto con su homólogo mediante una flecha. ¿Qué relación hay entre la longitud y la dirección del vector que usaste para hacer la traslación y las de las flechas (vectores) que has dibujado?. Compruébala modificando el polígono y el vector.
Actividad 11. Giros Dibuja un punto (centro del giro), un polígono (figura que vas a girar) y construye un deslizador cuyo valor va a ser el del ángulo de giro (α). Usa la herramienta Rota objeto en torno a punto, el ángulo indicado: tras hacer clic en el polígono y en el centro de giro, aparecerá una ventana donde has de insertar el nombre del ángulo (α). Modifica, de uno en uno, los tres objetos iniciales y observa su efecto. Escribe en un observaciones.
cuadro
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Actividad 12. Simetría axial Dibuja una recta (eje de simetría) y un polígono. Usa la herramienta Refleja objeto en recta: para que el programa dibuje la figura simétrica del polígono debes hacer clic sobre él y sobre el eje de simetría. Una vez hecha la simetría, puedes comprobar que el eje de simetría es la mediatriz de los segmentos que unen cada punto del polígono inicial con su homólogo del polígono transformado. No se te olvide anotar tus observaciones en un cuadro de texto.
Segunda sesión (segundo día)
II Construcciones geométricas con geogebra Usar las herramientas básicas de Geogebra y que se familiaricen con las definiciones de las figuras y practiquen los trazos básicos hasta pequeños problemas de construcción, donde se les proporcionen algunos datos que determinen una figura y se les pida trazarla. Por ejemplo: 1. Trazar el círculo con centro en un punto O y radio igual 3.5 cm. 2. Construir el triángulo ABC sabiendo que AB = 5 cm, BC = 6 cm y CA = 7 cm. 3. Dibujar el cuadrado ABCD cuyos lados AB, BC, CD y DA miden 6.8 cm. 4. Trazar el rectángulo PQRS de lados PQ = 4.5 cm y QR = 6.3 cm. 5. Dibujar el triángulo MNP de lados MN = 7.5 cm, NP = 7.5 cm y PM = 5 cm. 6. Trazar el triángulo XYZ tal que XY = 6 cm, XZ = 7.5 cm y ángulo ZXY = 35°. 7. Dibujar un segmento AB de 7 cm de longitud y trazar el círculo que pasa por sus extremos y lo tiene como diámetro. 10
8. Construir el cuadrado XYZW sabiendo que sus diagonales XZ y YW miden 10 cm de longitud. 9. Dibujar el rectángulo IJKL sabiendo que sus diagonales IK y JL miden 9 cm y se intersecan formando un ángulo de 50°. 10. Trazar el rombo ABCD tal que sus diagonales midan respectivamente AC = 9 cm y BD = 6 cm de longitud. 11. Construir el rombo TUVW sabiendo que sus lados miden 5cm y una de las diagonales mide 6 cm. 12. Trazar el rectángulo PQRS sabiendo que el lado PQ mide 6cm y la diagonal PR mide 10 cm. 13. Para cada inciso dibuja, si es posible, un triángulo DEF con las medidas indicadas: a) DE = 3 cm, EF = 4 cm y FD = 5 cm b) DE = 4 cm, EF = 5 cm y FD = 10 cm c) DE = 5 cm, EF = 7 cm y FD = 5 cm d) DE = 8 cm, EF = 3 cm y FD = 4 cm ¿Pudiste construir el triángulo solicitado en todos los casos? ¿Puedes dar otros ejemplos donde no se pueda construir un triángulo? Explica. 14. Dibuja todas las figuras que pueden formarse juntando cuatro triángulos rectángulos isósceles del mismo tamaño, bajo la condición de que al juntarse dos triángulos tengan un lado común. Realiza lo mismo utilizando cualquiera de los cuatro triángulos rectángulos de forma y tamaño idénticos; cualquiera de los cuatro triángulos iguales, aunque no sean rectángulos. Indica en cada caso las figuras que obtienes. 15. Dibuja un segmento XY de 4 cm de longitud y traza a continuación varios triángulos isósceles tomando como base este segmento; marca con rojo el tercer vértice de cada triángulo que dibujaste. ¿Qué observas? Explica. 16. Dibuja un segmento AB de 6 cm de longitud y traza a continuación varios rombos que tengan como diagonal este segmento; marca con rojo los otros dos vértices de cada rombo que dibujaste. ¿Qué observas? Explica.
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17. Dibuja un segmento PQ de 4 cm de longitud; luego traza varios círculos que pasen por los extremos P y Q del segmento y marca con rojo sus centros. ¿Qué observas? 18. Considera un cuadrilátero ABCD y llama O al punto donde se intersectan sus diagonales AC y BD. Para cada inciso, dibuja el cuadrilátero de manera que satisfaga las condiciones dadas. Indica en cada caso el nombre del cuadrilátero que dibujaste. a) AC = 10 cm; BD = 6 cm
b) AC = BD = 8 cm
AO = OC; BO = OD
AO = OC; BO = OD
AC BD
AC BD
c) AC = 10 cm; BD = 6 cm
d) AC = BD = 8 cm
AO = OC; BO = OD
AO = OC; BO = OD
AB ≠ BC
AB ≠ BC
III Resolución de problemas con Geogebra En resumen, resolver un problema de geometría o hacer una demostración pasa por varias fases: a) La comprensión del problema Se trata de distinguir los datos de las conclusiones, de transcribir en figuras el problema. No debe confundirse con la comprensión del enunciado, pues muchas veces un problema sólo se comprende después de haber examinado varios casos particulares. b) La fase de investigación y búsqueda de la solución Se trata de organizar el examen de casos particulares con el fin de producir las primeras conjeturas y buscar los contraejemplos que eventualmente puedan refutarlas; de reconocer las figuras clave e introducir los trazos auxiliares que permitirán reducir una situación nueva a situaciones conocidas de antemano, o que servirán para apoyar nuestras argumentaciones.
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c) La redacción de la solución Se trata de presentar de manera matemáticamente correcta los resultados obtenidos durante la fase de investigación y búsqueda, distinguiendo con cuidado los resultados que se prueban de aquellos que se tomaron como ciertos o que ya habían sido probados antes. Cada una de las fases anteriores requiere de técnicas de trabajo diferentes por parte de los alumnos y de una larga preparación pedagógica, a la cual el profesor deberá dedicar sus esfuerzos mucho antes de enfrentarlos con una demostración. Como se dijo en páginas anteriores, desde el principio del estudio de la geometría deberán proponerse actividades para que los alumnos exploren y se acostumbren a las propiedades clave de las figuras y configuraciones geométricas y las utilicen para resolver problemas. Por otro lado, también es necesario que haya actividades que les permitan y ayuden a organizar y expresar su pensamiento por escrito. Deberá tenerse en cuenta que, sin la fase de redacción, la actividad de resolver problemas queda incompleta y sus beneficios son limitados.*
¿Cuál es el área de la parte sombreada en las siguientes figuras? (Después de resolverlo abre el archivo y comprueba tu respuesta) 1.¿Cuál es el área de la parte sombreada S?
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2- ¿Cuánto debe medir x para que el área del rectángulo sombreado sea la mitad del área del triángulo isósceles que se muestra?
3-Una escalera de 4 m de largo llega hasta el pretil de una ventana cuando el ángulo formado por la escalera y el suelo es de 65°. ¿A qué altura se encuentra la ventana?¿En qué ángulo debe colocarse la escalera para que quede 50 cm por debajo de la ventana?
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4- Un árbol proyecta una sombra de 48 m cuando el sol se encuentra a una altura de 20° sobre el horizonte. ¿Cuál es la altura del árbol? ¿Cuál será la longitud de la sombra cuando el sol se encuentre a una altura de 35° sobre el horizonte? ¿Cuál será la altura del sol sobre el horizonte cuando el árbol proyecte una sombra de 20 m?
5- Un astronauta ve desde su nave que la Tierra abarca un ángulo de 40°. ¿A qué altura se encuentra sobre la superficie de la Tierra? (Nota: el radio de la Tierra es de aproximadamente 6 380 km.)
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6- La distancia entre dos postes que se emplean en las instalaciones telefónicas es de 10 metros, como se muestra en la figura 1. La longitud de cada poste es de 3 y 5 metros. A manera de soporte, un cable que une la parte superior de los dos postes se sujetará a un punto en la tierra, localizado sobre la línea que une los dos postes. ¿Dónde debe situarse el punto sobre la tierra de manera que la longitud del cable sea la menor? (Santos, 2007).
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Tercera sesión (tercer día) IV. Comprobación de teoremas geométricos con Geogebra 1-
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Explorar lo que ocurre cuando se unen los puntos medios de los lados consecutivos de un cuadrilátero, ¿qué figura obtienes? Elabore una explicación del por qué sucede eso. “Si dos segmentos no congruentes se cortan en sus puntos medios y son perpendiculares ,el cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de los segmentos es un rombo” Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: c2 =a2 + b2 -2ab cos(γ) SELECCIONA EN TU LIBRO DE MATEMATICAS DE TERCER GRADO UN TEOREMA Y DEMUESTRALO CON GEOGEBRA
V. Geogebra y google earth 1- Las siguientes fotos fueron tomadas de la ciudad de México a través de Google Earth:
Hipódromo de las Américas 17
Terminal de autobuses de oriente En tu equipo elabora una estrategia para poder calcular aéreas o distancias usando estas u otras imágenes transportándolas a Geogebra con la herramienta insertar imagen. ¿Qué herramientas de Google Earth usaron? ¿Cómo transportaron las imágenes a Geogerba? ¿Qué midieron en la figura y como?
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VI. Planear usando Geogebra. La siguiente consigna fue retomada y adaptada de un plan de clase (3/4 del apartado 2.5 de segundo grado), abre el archivo correspondiente y realiza la actividad, posteriormente, en equipo, escoge un plan de clase de un grado y realiza algo parecido en Geogebra.
Al final, se hará una presentación de cada plan de clase a todo el grupo.
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