6 \),
*---r a
*
51-q1#
rre-
\
.\\ \\ \,
m
i\\
I
\'_ \ lr\ !
.i:--
' . \b\\ \-\ \ \. .. &.\.\\\ \\ \:\ \:r:iw
ffi AKAAN ]R
.
'I{.
; &"
I,T Peier Srtudojrr, B "$c"
|&,,.6e?' j|tll|lB.
ff
-,-,***
*
-
$\ .:!l
\!1
. t.i
Dr . Halso:'r ",.
..
A
{. ffi
Penerhlt :
ii Iraffiw,
;*".'re@*p+ {:ffir;i;..-.i."
1""tr88K,'!'Y
-;"
{-a
{}"r AY k'12'{ *s.
@-'-t
7.-'**** PERpr
IT4ILIK-tnenon
rgT46AAN l'" to'n
Nomor
r,M
u rr
, 6'4 ,87 tpDl f ll,,gy
!1:'^ ' :il,tss
j
MEKANIKA KLASIK oleh : Dr. Peter Soedojo, B.Sc. Drs. Harsojo Uniuersitas Godjah Mada Yogyakarta. Edisi Pertama
Y i
i f,
I
I I
f
Ftr I I
Cetakan Pertama, 7985
A 1985, Liberty Yoggakarta. Dilorang mereproduksi isi buku ini baik sebagian moupun seluruhnya dalam bentuk dan atau alason apapun jugo, tanpa izin tertutis dari penerbit. Penerbit : LIBERTY YOGYAKARTA Jayengprawiran 21, 23, Yogyokarta.
Distributor
.
i4
:
Toko Buku BINA USAHA Jalon Colombo 2-A, Telp. (0274) 86803, Yogyakorta.
Toko Buku DOMINAN Jolan Jagalan 4, Telp. (0274) 889A4 Yogyakorta
Toko Buku MULIA Jalon Gandasuli No. 5. Telp. (021) 354553 Jakorta Pusot Toko Buku BINA IISAHA Jalan Kramat Raya 78 (Senen) Telp. (021) 341117, Jakarto Pusat
H. FRANKIM d/a Wisma Liberty, Jl. PeJepah Hijou 3 TL 2 No. 27 Kelapo Gading Permai 2, Jakarta Utara.
?-a,
111
,
KATA PENGANTAR
sesuai dengan jufu.rlya,. buku ini nemuat dasar-dasar pemikiran dalam klasik yang teoi-h aitltit-beratkan pada segi analittk serta konsepsional, bukannya pada segi ketrampilan tetnis peilecahrn-ro.r. Itbkanika klasik tidak hanya mencerminkan keterbatasan mekanika titik materinya Newton dalam memecahi
Atas.
Akhirul kata,
rikan
di
sumbangan yarig
Indonesia.
semoga
beraiti
buku sesederhana ini bermanfaat serta membe_ kepada khasanah pengajaran ilmu pengetahuan
segala kekutangan, kekhilafan, dan kelemahan btrku ini, kiranya merutantangan bagi- para penulis iainnya di kemudian P"f'" hari untuk menutis buku semacam yang ieUitr memaclai dan rebih ,urfr""".
Penulis,
l_,
-'t
.,
-i*re<\ilE;*aBiaj
-:t:1
iv DAFTAR
ISI Halaman
PENDAHULUAN
I.
1
TITIK l.,tAlERI 1. Hukur kekekalan tenaga mekanik ) Gerakan di dalan sistem koordinat yang berputar
MEKAiIIKA
3. Gerakan di permukaan bumi 4. Bandul Foucolt 5. Gaya sentral
6.
II.
Hukum-hukum
3
.
10 15
Keppler
20
1. Titik berat 2. Hnkun kekekalan inpuls ..... ..,.. i........ 3. Tenaga kinetik sisten materi ...... ....... 4, Iqpuls putar sistem nateri ..... 5. Momen gaya sistem materi ... ,...
6. Tumbukan t,.., r.... 7. Hamburan .. 8. Massa tereduksi t... .. o... III . MEKANIKA SISTEM Ir,lEKAl'lIS ...,,.,.,. ,,...,...,,....,,
1. Pendahuluan ., 2, Azas usaha semu ,.... 3. Azas DrAlembert -u_r_,,.. .. i.. .. ... ,. 4. Persamaan tagrange ...,, 5. Azas Hamilton . 6. Penjabaran azas Hamilton dari azas DrAlenbert 7, Penjabaran persamaan tagrange dari azas Hanilton .....
fase dan persamaan Hamilton 9. Koordinat siklik dan cara Routh 10. Penjabaran persamaan Hamllton dari azas variasi HamilRuang
ton
29 30 31
32 34 36
40
53 55
55 55
1
a
57 59
67 69
tt
70
!
7t 76
.
11. Transformasi
kanonik dan perisanaan Hamil ton-Jacobi
t2. Azas action terkecil (Least action principle) L3. Variabel action dan variabel sudut t4. Invariansi integral Poincare ... 15. Kurung tagrange (Lagrange bracket) ... 16. L7. 18. Teorema
HIXf I::i:'. :::::::.::::::1.
IV.
1
29
MEKA}'IIKA SISTEM MATERI
'8.
3 5 9
Liouville
81 91
94 98
to2 103
::
:::::::::::::::::::::
109
113
MEKANIKA BENDA IEGAR
1. Pendahuluan 2. Transformasi orthogonal ..... 3, Teorema Euler ... r. .... ..,,. 4. Sudut-sudut Euler .... ! 5. Pararpter Cayley-Klein . ...., 6. Rotasi kecil
104
t
113 113 118
t2t
t24 130
'a
Halanan
Impuls putar henda tegar dan tensor enersia Elipsoida momental (Elipsoida. inersial) 9. Tenaga kinetik rotasi 10. Persamaan gerak Euler 11. Persamaan Euler dengan sudut-sudut Euler 12. Gerakan pusingan 7. 8.
133 136 138 139 145 148
i
t:
_/
\
PENDAHULUAN
+
+
Ilmu pengetahuan alam yang paling primitif ialah mekanika, yakni ilmu yang membahas tentang gerakan. Demikianlah makamekanikamenjadi dasar ilmu pengetahuan alam unumnya dan ilmu fisika khususnya. Pada hakekatnya ilmu mekanika boleh dikatakan dinulai sejak Aristoteles (384 s.M. - 322 s.M.) memikirkan gerakan-gerakan dengan bumi dianggap tetap tidak bergerak. Akan tetapi pemmusan mekanika baru dikemukakan lama kemudian oleh lsaac Newton (1,642 .- 1727) di mana ia mengemukakan konsep gaya dan massa dalam hubungannya dehgan percepatan. Kecuali itu Newton juga merumuskan gaya gravitasi dari hukum-hukum yang dikemukakan oleh Johannes KeppLer (1571 - 1630); Keppler rnengemukakan hukun-hukumnya tentang gerakan planet-planet berdasarkan data-data pengamatan Tycho Brahe (1546-1601) gurunya. Sampai sejauh itu Newton hanya merumuskan mekanika untuk titik materi. Llntuk sistem mel
I
2
Vektor koordinat ini adalah vektor yang pangkalnya di pusat sistem koordinat dan ujtmgnya di tempat titik materi berada. Dengan demikian kecepatan didefinisikan sebagai v = dr/4t dan percepatan didefisinisikan sebagai a = dv / dt - d(*' / dt) /-at : d'r / dt'" Jelaslah bahwa dimensi kecepatan adalah dimensi panjang [1] misatnya dibagi dimensi waktu It] misalnya, sehingga satuanlya misalnya meter/detik dan dimensi percepatan adalah dimensi kecepatan [vJ aiUagi dimensi waktu It] yakni [1] dibagi It]2 sehingga satuannya misalnya meter/detik'. Ukuran banyaknya gerakan ditinjau dari usaha yang diperlukan untukmenimbulkan atau mengubah gerakan adalah sebanding dengan ukuran kwantitatif materi yaAg bergerak" Maka dalam dinamika timbul konsep impuls atau mombntun yang didefinisikan sebagai massa kali kecepatan. JelasIah bahwa dimensi impuis adalah dimensi massa [n] misalnya kali dinensi kecepatan [v]yakni [*l [v] = ['n] [1] / lt7. Adapnn apa yang menyebabkan gerakan atau lebih umum yang mengubah banyaknya gerakan, disebut gaya. Gaya didefinisikan sebagai perubahan impuls per satuan waktu atau tepatnya diferensial impuls terhadao waktu yakni d(m v) / dt. Hal ini dikemukakan oleh Isaac Newton. Dalam mekanika di samping besaran-besaran kecepatan, perceDatan, impu1s, dan gaya, dikenal pula besaran-besaran tenaga kinetik, tenaga potensial, usaha, dan daya. Namun bagaimanapun dimensi besaran-besaran tersebut selaiu dapat dinyatakan seLragai fungsi dimensi ketiga unsur mekanika tt] [t] dan [m1. Dengan dernikian setiap besaran mekanika selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi 3 besaran mekanika lain yang dipilih. Ilnu fisika boleh dikatakan pengembangan lebih lanjut dari pada mekanika di mana unsur-unsurnya kecuali unsur-unsur mekanika, ruang, waktu da: massB, juga misalnya suhu dalam ilmu panas, kuat penerangan dalam ilmu optik, keras bunyi dalam ilmu suara, dan arus listrik dalam elektromagnetika. Jadi kalau un-sur-unsur mekanika tidak lebih dari 3 buah, maka unsur-tmsur fisika tidak lebih dari 7 buah di mana di dalamnya termasuk ketiga unsur-un-
t tI {.
I $
*
l+,
ql
sur mekanika.. Dari uraian di bab pendahuluan ini, jelaslah bahwa mekanika klasik k:cuali merupakan mekanika umum selengkapnya, juga mendasari pengertian pokok bagi mekanika modern khususnya dan ilmu fisika nodern ulnumnya.
lr ! !
\ 1
tt t .
t
I
I
\
I.
IEKANIKA
TiTIK I,IATERI
1. Hukum_Kekelan Tenaga Mekanik
Kita tinjau suatu titik materi yang bergerak dari seperti tertera di gambar I.L. di bawah ini.
medan gaya
A ke
B di
dalan
I
Usaha
di
Gambar
I.
1.
dalam nedan gaya konservatif"
Increment usaha sepanjang increment lintasan dr yang tidak
j di titik A, diberikan
sejajar
gaya
B
ada-
olel.r
dU=1.i5=Fdrcos0
-.>
sehingga usaha 1ah
uo,
=ot.
total yang dilakukan oleh titik materi dari
A ke
* = or't (TJ) . g
Apabila v ((c, kecepatan cahaya, maka gerakannya non relativistik tetap; dengan demikian integral itu menj adi
m dipandang
UAB=*
dv
dt
L2t2
fB a, Ad.
dan
^B
{
*=*
J
v.dv
A
= 7*rB - 7mvA di mana vn dan vo masing-m4sing adalah kecepatan di titik-titik A dan B. Dengan meftdefiniBikan \ mv' sebagai tenaga kinetik, rnaka usaha yang teIah dilakukan itu sama dengan penambahan tenaga kinetik yang diperoleh yakni A K misalnya. Jikalau medan gayanya adalalr sedemikian hingga usaha' yang dilakukan dalam gerakannya dari satu titik ke titik lain tidak tergantungpada
4
lintasannya melainkan hanya tergantung pada letak kedua titik itu, maka di setiap titik dapat dikaitkan suatu besaran skalar V misalnya yang sedemikian hingga usaha itu sama dengan perubahan I'rarga V tersebut yakni A V = V - V-^ Titik *At"titsyang telah melakukan usaha dapat dikatakan telah berkurang potensinya untuk melakukan usaha lebih lanjut; maka V 1alu disebut tenaga potensial. Jadi untuk medan gaya yang demikian berlaku hubungan
U--AV=AK yang berarti pula V+K=tetap atau conserved; medan gaya yang menyebabkan berlakunya hubungan di atas disebut medan gaya konservatif.
Jadi di dalam medan gaya yang konservatif, tenaga mekanik yaitu jurnlah tenaga potensial dan tenaga kinetik, adalah tetap. Pernyataan ini dike-
na1 sebagai hukum kekekalan tenaga mekanik.
Jelaslah bahwa di dalam medan gaya konservatif , usaha sepanjang lintasan tertutup yakni sepanjang liniasan dari suatu titik kembali ke titik itu lagi, adalah no1 sebab misalnya titik itu ia 1ah A maka sudah tentu AU = VO - VL = 0. Dalam elektromagneti-ka kita kenal rumus curl H , j yrLni usaha oleh medan magnet H sekeliling lintasan tertutup sama dengan _jumlah arus 1istrik i yang dlcakup lintasan ittt. Medan gaya demikian sudah tentu tidak konservatif dan karena usaha sekeliling lintasan adalah tertentu, maka medan gaya demikian disebut medan gaya rotasional" Selanj utnya dU
dari
dz
{ dz dv= 3V dx+'uor* Dz Dy Dx serta mengingat dU = - dV di atas, maka Du, F =- 3V F*a*YDyzDz =-DV,p=-
l.
atau secara singkat, menurutkan kalkulus. vektor,
Jadi untuk
medan gaya
*
hubungan-hubungan
F" dr = F dx + F dy + F = _-:xy,z
P=-VVatauF=
t \a
- grad V yang konservatif, gaya dapat dinyatakan
(1) sebagai
gradian potensial"
Seandainya dalam gerakannya, titik materi mengalami gesekan, maka hukum kekekalan tenaga mekanik tidak lagi berlaku, sebab ada bagian
\
tenaga mekanik yang terdesipasi menjadi panas sehingga tenaga kineyang diperolel"r tidak lagi sebanyak, melainkan lebih sedikit daripada, berkurangnya tenaga potensial. Percobaan menunjukkan bahwa banyaknya panas yang timbul karena adanya gesekan selalusebanding dengan tenaga mekanik yangterdisipasi. Jadi panas dapat dipandang sebagai bentuk tenaga dan tenaga total terdiri atas tenaga mekanik dan tenaga panas. Jadi bagaimanapun juga tenaga total selalu tetap atau keka1" Pernyataan demikian dikenal sebagai hukum kekekalan tenaga" Dalam Termodinamika hukum kekekalan tenaga ini terumuskan pula sebagai hukum termodinamika ke I.
tik
2" Gerakan di dalam Sistem Koordinat yang Berputar Kita tinjau suatu titik materi m yang massanya m, yang bergerak di
dalam bidang sistem koordinat dua dimensi " Karena secara umum tempat titik materi hendak kita nyatakan dengan vektor tempat r bukannya dengan koordinat-koordinat x dan y, maka untuk mempelajari-gerakannya akan lebih mudah kalau dipakai sistem koordinat polar. Untuk itu gerakannya hendak kita uraikan menjadi komponen-komponen radial dan tangensial; yang dimaksud dengan komponen tangensial ialah komponen yang tegak lurus radial pada arah rnembesarnya sudut 0 di dalam sistem koordinat po1ar. Jadi d.ilihat dari sistem koordinat yang tetap, kita boleh dikatakanmendirikan sistem koordinat Cartesian lain yang berputar mengikuti perputaran .titik materi tersebut. Agar jelasnya kita perhatikan gambar I.2.
i
l
l: :r
'.a
't Gerakan
di
Gambar
I.2.
dalam sistem koordinat yang berputar.
Misalkan vektor-vektor satuan di dalam sistem koordinat yang berputar itu ialah ? dan G dengan ? yang dibuat se1a1u berimpit dengan vektor tempat r. Jadi teilpat titik materi akan ternyatakan sebagai r = r l.
d
6
Demikianlah maka kita jabarkan rumus-rumus $ecepatan dan percepatan sebagai berikut. untuk singkatnya kita tulis *- dengan titik di atasnya,
dt
dr dt
Maka kecepatan dan percepatannya
diberikan oleh
, r=':*'r
r = r 3 * r r * I r * rr AA'
a'aa
Dengan memperhatikan ganbar
I.3. di
bawah
ini
J
Gambar
I. 3.
Increment vektor-vektor satuan.
dr jelaslah
d3
bahwa
d?
= l+l
ds=ds sebab
dan
=?d0 =sdU=
? = 1 dan 3 -
=
d0
d0
1.
Selanjutnya di gambar I.3. terlihat bahwa vektor di 3 dan vektor d3 adalah pada arah - ?.
adalah pada arah
Jadi kita
dapatkan
q=S d0dan*=-t
d0
sehingga selanjutnya
! =c6=6cd", 3 =63-6'3 ut) 3 =-0?-
3=
-r6=-6f
0-3
Dengan demikian persanaan-persamaan urntuk kecepatan menj
adi
dan
percepatannya
I = rr
+0r3 .) . . + (20r + I = (I- o-r)? ot
Dengan menuliskan
0
(2) lt
0r)
=rrI ari persamaan m0J2^rr+
f=*i=rni?-
zm
s
( 3) [dr
(3)
a
hukun Newton ke tA
1*ruors'
II.
menjadi (4)
titik materi yang bergerak berputar dengan kecepatan sudut w yang tetap, sudah tentu o = 0 dan r = 0, sehingga gaya yang membuatnya ber-
Untuk
putar melingkar beraturan denikian adalah 2n
(s)
P=-m(rJfr Gaya
ini
adalal'r pada arah
radial
menuju ke pusat dan dikenal sebagai ga-
ya sentripetal. Kalau titik materi tersebut kecuali bergerak melingkar dengan kecepatan sudut tl) yang tetap juga bergerak secara radial dengan kecepatan v yang tetap, maka gaya yang rnenggerakkannya demikian diberikan oleh.
fi=-ru-r!
(f
)
+ 2mov3.
(6)
Suku kedua ruas kanan persamaan (6) adalah pada arah tegak lurus arah radial dan disebvt gaya koriolis. Gaya koriolis dernikian nisalnya yang dialami oleh angin di permukaan bumi yang bergerak dari daerah sedang ke daerah katulrstiwa; gaya koriolis pada angin ini disebabkan oleh rotasi bumi.
Marilah kita.perhatikan persamaan (2); suku pertana ruas kananpersanaan itu yaitu r f adalah kecepatan pada arah radial dilihat dari sistem koordinat yang Eerputar, yakni u* rnisalnya. Dernikianlah pula ' suku pertama ruas kanan persanaan (3) yaitu i ? adalah percepatan radial dilihat dari sistem koordinat yang berputar, yakni a* misalnya.
V
8
Tetapi sebenarnya vektor kecepatan dan vektor percepatan tidaklah tergantung pada letak titik pusat sistem koordinat. Jadi terhadap senbarang titik pusat sistem koordinat yang manapur di bidang sistem koordinat yang berputar itu, titik materi m tampak bergerak dengan kecepat. an y* dan percepatan 4*, Jadi dengan menuliskan r ? dengan v* dan i ! dengan a* dalam persanaan (3) kita dapatkan hubungan'antara kecepatan dan percepatan di sistenkoordinat tetap dengan yang di sistem koordinat yang berputar. Dengan nendefinisikan vektor rotasi ro sebagai vektor yang arahnya sama dengan arah ? x 3 yaknl- pada arah bergerak maju atau nundurnya sekrup yang diputar-menlikuti perputaian sistem koordinat yang berputar, maki
l :_
tD
vektor 3 adalah pada arah g x I, sehingga persamaan (2) dan persamaan (3) di a?as dapat ditrtirk"n-sebigai p"rllrrrn vektor ieiengtairnya yang menghubungkan kecepatan dan percepatan di kedua sistem koordinat, dalam bentuk
r =v*+ 0txr r =a*+2uxv*+(rjxr+oJ Kecepatan v* dan percepatan an transport.
(7)
x o xi a*
(8)
lazim disebut kecepatan dan percepat
Persamaan (7) dan persamaan (8) tak lain menyatakan hubungan antara kecepatan dan percepatan yang sesungguhnya yaitu sebagaimana dilihat dari sistem koordinat yang tetap, dengan kecepatan dan percepatanyangterli-
hat dari sistem koordinat yang berputar. Kita tinjau sekarang suatu titik yang tinggal diam di sistem koordinat yang berputar dengan kecepatan sudut uJ yang tetap. Makauntukti tik ini v* = 0 dan a* = 0 sehingga
rxS
= I * 3 *: ' tersebut terlihat dari sistem koordinat yang tetap akan tampakme-
Titik lingkar beraturan dengan
percepatan g x g x r yakni sebesar ri't pada arah nenuju ke pusat sistem koordinat. '? Percepatan ini tak ,lain ialah yang kita kenal sebagai percepatan sentripetal. Adapun untuk titik yang bergerak dengan kecepatan v* yangtetap di sistem koordinat yang berputar, yang berarti pula a* I 0, dilihat dari sistem koordinat yang tetap akan terlihat bergerafi dengan percepatan
t - 2u x v* +ulx(rx : yang berarti di samping dengan percepatan sentripetal juga dengan percepatan ? g v" yang arahnya tegak lurus arah,kecepatannya v* dan oa" da arah Seiputalnya sistem koordinat yang berputar. Dercepatafi ini tak lain ialah yang kita kenal sebagai percepatan koriolis.
I
u,l
9
Dari hukum Newton ke II, F = m a dan hukum Newton ke II1, rezlksi = aksi, suatu titik materi yang senula diam, apabila dipaksa untuk berputar mengikuti perputaran sistem koordinat, akan memberikan gaya reaksi enersial sebesar m uJ2 r pada arah menjauhi pusat sistem koordinat yang berputar" Gaya tersebut yang disebut gaya sentrjfugal, akan menyebabkan titik materi itu terpelanting ke arah radial apabila tidak dipegang tetap di sistem koordinat yang berputar. Jadi untuk mempertahankan titik materi itu tetap tinggal diam di sistem koordinat yang berputar, diperlukan gaya sentripetal untuk melawan gaya sentrifugal tersebut. Demikianlah pula suatu titik rnateri yang semula bergerak lurus dari titik pusat sistem koordinat 0, apabitra sekarang dipaksa untuk berputar mengikuti perputaran sistem koordinat yang berputar, yang berpusatkan di 0 , akan memberikan gaya reaksi enersial yang kecuali gaya sentrifugal juga gaya sebesat 2 m o v* pada arah melawan perputaran. Akibatnya titik materi itu tidak lagi bergerak sepanjang garis lurus,
melainkan akan terpelanting melengkung. Jadi untuk mempertahankan gerak annya yang lurus sepanjang arah radial dengan kecepatan v* yang tetap di sistem koordinat yang berputar, diperlukan gaya sentripetal dan gaya koriolis sebesar 2 m r.o v*. 3. Gerakan
di
Permukaan Bumi
Sistem koordinat di permukaan bumi sebenarnya adalah sistem koordinat yang berputar mengikuti rotasi bumi pada porosnya. l,faka rumus rumus mekanika di permukaan bumi kalau dikehendaki lebih tepat harus dikoreksi seperlunya. Misalnya rumus hukum Newton ke II di permukaan bumi yang tepat adalah
f =' 2* * 2'3 * v* + mLrlx g" I Jadi dilihat dari muka bumi , Eaya F akan terasakan sebagai
f*=*g*=f
(e)
-2rg*v*-mLuxurx:r
(10)
Suku-suku kedua dan ketiga ruas kanan tak lain ialah suku-suku koreksi dan sentrifugal. Denikianlah maka persamaan gerak untuk benda jatuh bebas tepatnya diberikan oleh
koriolis
B = n g = m a* + 2' nxrx v* + m(])x(r)x r yang menghasilkan percepatan sebagaimana
*g
terlihat dari
muka
bumi
sebe-
SAI
ra
a*=g - 2ux v* -(.0 xulxr
(11)
Pada hakekatnya suku sentrifugal o x 0l x r adalah cukup kecil dibanding kan dengan suku-suku yang laj:,. tr6ngafr rnefrgingat bahwa o = 2r/ 2a janr,
dan jari-jaribumi r= 6,38x 108 cm, kitahitungutxuJxr= 3138cn/ detik sedangkan g kira-kira sebesar 980 cm / detik2. ..yakni Jadi koreksi sentrifugal ini kira-kira hanya 3.38,/ 980 sekitar 0
,34eo saj a.
10
Dengan mengabaikan
efek sentrifugal, persamaan (11) rnenjadi
e*=g-2p*y*
(tz)
jatuh bebas, jatuhnya tidak tepat metarlk bumi, yakni gaya berat atau ga_ ya gravitasi, adalah ke arah pusat buni. Lebih lanjut pengintegralan percsamaan (12) terhadap t akan menberikan Yang menunjukkan bahwa benda yang nuju ke pusat bumi, meskipun gaya
ke
cepatan
f v*' d.t y.=yl+gt-2 ux -J
2g*.,f y.or1 dt =y;* gt-zy{q;*gt= Y; * gt - 22 * (I; * Y;t * , gr2 - 2 w -. .[ r* dt) =Y;*gt-2ux(I;.!t*',gtz) karena suku dengan o x gJ x adalah cukup kecil dan dapat diabaikan. pun v* dan a* adalafi halga-harga v* dan a* pada saat i = 0. Akhiiilya pefr$integralan persamaan- (13) m6nghasitkan
r* = rJ * Y;t *r\t -
2y
(13) Ada
* ,/ ,:; * y;t + L4t2) dt
t 3' (r*t+Lv'2 =r*+vIt+t;pt2-2ux (14) io -o 'P'-o :t + u 8t-) di mana r* adalah I'rarga r* pada saat t = 0. -o Jadi adanya efek koriolis menimbulkan suku dengan 2 u x selaku suku koreksi koriolis" 4" Bandul Foucolt Pada tahun 1851 Foucolt melakukan percobaan untuk meyakinkan adabumi pada porosnya, dengan suatu bandul yang cukup berat digantungkan pada tali panjang agar dapat tahan berayun-ayun berjam-jan. Karena adanya rotasi bumi, tentunya berayun-ayunnya bandul bersama talinya tidak akan berada di suatu bidang vertikal yang tetaptertentu; artinya, bandul akan berayun-ayun sambil berputar. Kita hendak rnenyeli diki bentuk lintasan bandul itu. Kita tinjau bandul Foucolt yang berada di daerah yang lintang tempatnya {Q. Kita perhatikan gambar I"4 dan gan-
nya
rotasi
bar I.5.
\ta
11
utara
utara
!/ I I
;r.
I
x
r
I
r
t..Q -(- L
I
I I I
I
rl I
Efek
Gambar
I.4.
koriolis terhadap
ayunan bandul.
Z
t,.l
Gambar
I"5.
Diagram untuk menganalisa ayunan bandul.
Kita ambil sistem koordinat Cartesian dengan sumbu x pada arah tinurbarat dan sumbu Y pada arah utara-selatan sedangkan surnbu Z adalah pada arah vertikal. Bandul yang massanya m berayun-ayun di sekitar titik setimbang 0. Letak massa m terhadap titik setimbang 0 dinyatakan dengan vektor tempatp.i misalkan panjang tali itu adalah 1 dan gaya tegangan tali adalah T; Eaya tegangan tali T ini adalah gaya reaksi daripada komponen gaya berat arah sepanjang tali ke bawah Jelaslah bahwa gaya yar'g menggerakkan bandul ialah komponen gaya berat yang pada arah tegak lurus arah tali, yaitu mg sin or seperti yang termg pada
tera di
gambar
I.5.
ti
l2 Karena jarak bandul ke pusat bumi yakni *p jauh melebihi nanjang tali 1, maka ot z a. Lagi pula untuk o, yang cukup kecil, sinozi sehingga mg
sin
cx,t
x
mg
sin
o,
: mg t"
Gaya yang mengayunkan bandul sebesar ng p/ 1 ini adalah pada arah yang berlawanan dengan arah p sehingga gaya tersebut dapat ditulis sebagai
-(me/r)p Dengan
demilian persamaan geraknya diberikan oleh
a*=-9ple
-
-2trtxv*
Tanpa suku kedua, yakni suku k,oreksi koriolis, persamaan ini tak lain ialah persamaan gerak bandul ttrnggal yang menghasilkan getaran harmonik
yangperiodenyaT=2r\F
i x fi
Selanjutnya dari gambar I.4 kita dapatkan
$
x
I
I -xj*yi*rt
l
mana t, i, dan t, ialah vektor-vektor satuan sepanjang koordinai Xl v dan-Z. Dari aljabar vektor, kita dapat menul is
di
{-:
1
(r)xv*=
-
sumbu
v
v*
I fi
i
8l
J OJ
v*xy
sumbu
$
I
t I
url ,l
";l
Dari gambar I.4 jelaslah bahwa sumbu X tegak lurus ul sehinggatrl* = 0, sedang 0,, = - lrt cos Q dan 0, = 0 sin t{" . . Adapun v* , v* dan v* tak ISin ialah x, y dan z. Karena ayunannya cukup keciI, gerakan bandul boleh dikatakan berada di bidang datar, maksddnya komponen gerakan ke atas dan ke bawahnya boleh diabaikan yang berarti vl = z x 0. Dengan mengingat
g
ha1-l-ralztersebut, kita peroleh
*y* = (- uri sin q) i .
dan akhirnya persamaan
(r,r
i
sin Q)
I . (, i
$
cos Q)
&
!
di atas menghasilkan
I=-$**2urlsin{g 'i=-fv-2urisinQ
(
1s)
n L3
Lagi, tanpa suku kedua, suku koreksi koriolis, persamaan (15) ini lain ialah persamaan getaran harmonik yang periodenya
]r;oi l\fr-lmolrly
komponen-komponen pada arah-arah
(15) di atas
menghubungkan gerakan-gerakan sepanjang sumbu X dan sepanjang sumbu Y yang berarti menentukan bentuk lintasan bandul. Untuk meneliti bentuk lintasannya, kita gabungkan kedua persalnaan (15) di atas dengan menuliskan
Persamaan
. .
diuraikan menjadi
tak
di
r
i =V -_l,ryakni dengan berikan oleh V (*' * y'). mana
Dengan
mengingat resultante simpangan yang
di-
penulisan demikian, akan kita peroleh
ii=-(2oisintp),1 -+u
(16)
ini menyerupai persamaan getaran teredarn dengan suku periama ruas kanan selaku suku redaman. Maka kita cobakan penyelesaian dalam bentuk Persamaan
u=Aetrt Ini
akan memberi-kan
)t
,,._)
?
-It ri = tr A e^ dan ii = )." A e Apabila harga-harga ri dan ir' iri kita masukkan ke persamaan (16), akan
kita
naka
dapatkan
) l.'=-(2oisintQ)),-+ yang
Ialu
menghasilkan
l--u-risinQ+
icx
dengan .))o
cL,= /(^'
sin'(Q. f
)
yang dengan mensubstitusikannya ke penyelesaian .rl
u=Aere- iult sin 0 + i
o,
di atas menghasilkan
t
yang 1a1u menghasilkan penyelesaian umum,dalam bentuk
u = e -i tlt sin Q (r"i o t
* be-i u t,
14
Selanjutnya dengan nengingat
+ iot
epenye
=
cos0tlisinot
lesaian di atas menjadi berwujud U=U
e
-i (l)tsinq
dengan
uo' =[a+b)
cos cr
t + i(a - b) sin o t
Dengan menuliskan
u=x+i oo
v
o
xo = (a+b) cos0t Yn=(a-b)sinctt maka u^ dapat dipandang menyatakan letak suatu titik di kompleX Argand yang koordinat-koordinatnya ialah xo dan nya kita perhatikan gambar I.6.
dalam diagram ro. Untuk jelas,!,
1
atan
-(r)t sin
Gambar
I.6.
Lintasan ayunan bandul di permukaan bumi.
15
Dari persamaan di atas terlihat bahwa variasi x dan y_ ' terhadap waktu o hubungan
senantiasa menurutkan 2
.x
2
yo
o
(a + b)-
-1
(a + b)z
yakni memenuhi persamaan e1 ips " Jadi titik u bergerak sepanjang lintasan elips dengan periode o I =-
2n
0
01elr karena sebenarnya uJ cukup kecil
, * ,n.l! vg
,
maka
u=/
o
b
T sehingga
yakni hampir sama denganperiode ayunan bandul yang Lazimkita kenal itu. Lebilt lanjut, persamaan (17) menunjukkan bahwa lintasan bandul yang sebenarnya, yakni yang diberikan oleh u, adalah lintasan titik u yang ber o' putar dengan kecepaian sudut - osin tp. Dengan mengamati gambar I.6 kita perhatikan bahwa dilihat dari sistem koordinat X - Y yang tetap di permukaan buni, lintasan bandul adalah elips yang berputar pada sumbu Z pada arah barat ke utara ke timur ke selatan. Dengan perkataan lain bandul akan berayun sepanjang elips sanbil berputar sekeliling sumbu vertikal menurutkan perputaran elips lintasannya" Adapun periode perputaran itu menurut persamaan (17) diberi-
il t
kan oleh
Tl
2r
=
trt
sin
(
18)
Q
Untuk bandul yang berada di sebelah selatan katulistiwa, arah perputaran itu adalah sebaliknya, yakni pada arah dari barat ke selatan ke tirnur lalu ke utara. HaI ini ternyatakan pula dari negatifnya harga sin karena Q. O,sehingga kecepatan sudutnyapun yang diberikan oleh -ttl sintp berharga berlawanan dengan kecepatan sudut untuk t[ fang positif yakni untuk tempat di sebelah utara katulistiwa " Di daerah katulistiwa, Q = 0 se[ingga T' =(u) yang berarti bandul ti-. dak berputar, sedangkan di daerah kutub, Q = 90" sehingga Tr = 2tr/a= 24 jam yakni paling pendek kalau dibandingkai dengan periode putaran tmtuk di daerah lainnya. {Q
.n.
a
5" Gaya Sentral Yang dimaksudkan dengan gaya
sentrit iatah
gaya yang
selalu
menuju
ke atau mengarah dari suatu pusat, dan besarnya hanya tergantung pada jaraknya dari pusat itu. Dengan mengambil pusat tersebut sebagai pusat sistem koordinat, Eaya sentral itu dapat ditulis sebagai
I
= F(r)
?
(
1e)
16
I 3
Jadi menurut
persamaan
(3) percepatannya ialah
i- (r- r62)t
(20)
dan
6r=o
20r+ ta
(21)
Dari persamaan (20), dengan mengalikan kedua ruasnya dengan r x kidapat
l[.
r*i=9 ? x ? =9 Akan tetapi di lain pihak sebab
fXf=--
..d
(:* r)-rxr dt
a
=-- dt (r* :) 0. Jadi kita dapat menarik kesimpularr d
karena TXf=
rxr
bahwa
= tetap
Ini berarti bahwa vektor yang tegak lurus g dan;! adalah tetap. Tetapi bidang lintasan adalah bidang yang mengandung vektor koordinat r dan vektor kecepatan i yang berarti bidang lintasan itu tegak lurus vektor I x I yang menurut di atas adalah.tetap. Dengan demikian makasudahtentu ini berarti bahwa bidang lintasannya tetap atau dengan perkataan lain lintasannya adalah koplanar yakni ada di bidang datar tertentu, Dari persamaan {21) dengan mengingat bahwa persamaan (21) itu dapat pula dituliskan
1d
sebagai
i'a?
o)
(0r')-0
kita dapat menarik kesimpulan bahwa 6 h; atau dirumuskan
ngan suatu tetapan
r 2 =h=tetap Kita perhatikan bahwa ruas kiri 0
12 adalah
tetap, misalnyasamade(22)
persamaan (22) tersebut adalah rnomen daripada kecepatan sehingga kalau dikalikan massa m menjadi suatu impuls
Maka liendak kita selidiki apakah memang impuls putar, yakni modaripada impuls, untuk gerakan titik materi oleh gaya sentral adaIah tetap. Adapaun impuls putar terhadap suatu titik pusat koordinat, didefinisi kan sebagai
putar. men
t
l7
I=:**f Jadi
dengan mengingat persamaan
H=m r
(2) impuls putar itu ialah
x(i'?*.6e)
=mrlx(it*r6e) Dengan mengingat bahwa
? x i = 0,
maka impuls
putar itu
adalah
.?
(23)
I=*0r-?xC
Untuk gaya
sentral, berlaku
persamaan (22) sehingga
I=*h?x3=ml
h ialali suatu vektor yang besarnya I'r dan arahnya pada arah i x 3 yang belarti sejajar arah sumbu putar. Demikianlah maka karena r x r adalah tetap dan h adalah tetap, maka besarnya maupun arahnya imfru1s-putar oleh gaya sentral adalah tetap; atau singkatny, I = tetap. Berikut ini hendak kita selidiki persamaan gerak oleh gaya sentral. Kerapkali persamaan gerak tebih mudal, dijabarkan dari hukum kekekalan dengan
tenaga mekanik. Untuk gerakan oleh gaya
sentral, kiranya persamaan geraknya akan lebih dipelajari apabila dipakai sistem koordinat po1ar. Di dalam sistem koordinat polar, persamaan gerak itu tentunya akan berwujud hubungan fungsional antara koordinat r dan 0 dan waktu t dengan tenaga total yang tetap tertentu dan tenaga potensial V = V(r) selaku parameter - pamudah
rameternya"
Kita mulai
dengan menjabarkan tenaga
K = ti
kinetik
K.
* u2 = L, mv.u = >, ^|"|
, G: * ,6 e) . (i I * ,6 3) =11
irz *\nr02
atau
^ ='i nit * \y ft
_2
K
(24)
rZ
?.3 = 0 karena ? | 3 d* mengingat pulapersamaan (22). Perlu aipeitrattkafr 6ahwa i / lvll;l , dan i.-ini'ialai perubahan -ia rak radial per satuan waktu, blkannya " ftecepatan Selanjutnya dari hukum kekekalan tenaga mekanika E = K + V(r)
ciengan mengingat
il,iluro tawc
A.
PrrPultrlaes
Timur 199'
1993 ',
18
dan persamaan (24) t
di atas kita peroleh 2V
2E
T=
m
) h-
--z
[r)
(2s)
I
m
yang la1u menghasilkan 2Y
dr=dt
(r) m,
dan
dr (26) 2E
l'r
m
r
)
di
mana r ialah harga r pada saat t = 0, yakni berhubungan dengan kedudukan afta1 titik niteri. Persamaan (zoj ini menghubun[-ian kidudukan titik materi r dengan waktu t, dengan menyatakan t sebagai fungsi r. (Bukannya r sebagai fungsi t). Lebih lanjut dengan menuliskan f=
dr dr dr =_ d0
{
d0
dt
persamaan (25) bersama persamaan (22) nenghasilkan
dr
2v
2E
d0
m
(r)
(27)
m
yang 1a1u memberikan
0=0 o
dr
+
2E_ 12
Adapun bentuk
lintasannya
ra variabel-variabel r
oleh dengan substitusi. U=-
1
r
m
2v(g m
(28) _
h
r2
akan diberikan oleh huburgan fungsional antadan 0 " Hubungan ini ternyata lebih mudah diper-
19
Dengan
substitusi ini, kita menulis
dr= --2
1
du
u
dan
dr d0
du
7do
yang bersama persamaan (27) menghasilkan
du1 ao= -h-
(2e)
Dari persamaan ini kita peroleh harga nol untuk yang sedemi $6'-, x*tni kian rupa hingga 2E m
2V(r)
.2
2
m
yang berarti
u=u o-+-
1
h
atau
2r. _
mm
Adapun
2v
G)
(30)
$$ = o berarti perubahan u terhadap perubahan Q adarah nol, arti itu perubahan tidak nempengamhi u yang berarti tidakmem
nya ditdftpat pengaruhi r"
Ini berarti bahwa di tempat hal ini terjadi, arah lintasannyaadalahtegak lurus arah radial. Seandainya lintasannya berbentuk elips seperti terlukis pada gambar I.7 maka tempat di mana hal tersebut terjadi, yakni yang disebut apses, ada
Aphelion
Perihelion
Gambar I 7.
" Aphelion dan perihelion
20
lah di sebelah menyebelah titik fokus elips sepanjang sumbu panjangnya. Apses untuk lintasan elips demikian disebut perihelion r:ntuk yang dekat tltik fokus dan aphelion untuk yang satu lainnya. Contoh gaya sentral yang kita jumpai sehari-hari ialah gaya elastik, gaya elektrostatik dan gaya gravitasi. Gaya-gaya itu bertufut - turut dapat dituliskan dalam bentuk
F--kr=-kr? -k t=+..--Tf r p=- k^ r L-
-z:
6.
Hukum-hukum SePPler Gerakan planet-p1anet, termasuk
bumi, sekeliling matahari, tak lain
sentral dengan madisebabkan otLh gaya tarik tahari selaku PusatnYa Johannes Keppler (1571 - 1630) adalah orang yang pertama-tama merumus kan lintasar,- planet-planet sekeliling matahari yang kemudian dikenal sebagai hukum-hlkum Keppler I, II dan III yang hendak kita bicarakan bermatahari yang adalah gaya
ikut ini. Kita selidiki
gerakan oleh gaya gravitasi untuk mempelajari gerakanplanet-planet sek6li1i-ng matahari. Sebagaimana besar gaya gravitasi-ituber banding terbalik dengan kwadrat jarak dan pada arah ke pusat, maka begitu juga halnya dengan percepatan gravitasi, Jadi percepatan gravitasi itu berbentuk
..a persamaan (31) f=
ini
-z: r
(
31)
bersama persamaan (20) memberikan
rU:2a=--Z 'r
yang dengan mengingat persamaan (22) serta dengan substitusi U=
1
r
menjad,
., z ) il .h'u'=-au" Untuk menyatakan r sebagai fungsi u dan Q, kita tulis 1'=
dr dt
dr do
d0
?rr=
I dr
u
m
(32)
I
27
yang dengan persamaan (22) dan substitusi U=-
,1 o clhu" -
i-
?$=
1
r
menberikan
du -au
Selanjutnya
_d; -E= di
dO a 'E= adi "6=
.2
2
=-hu
)
hu2 Su ,-
n
du
;6)
du --: do'
sehingga persamaan (31) menj adi
l'2u2 d2u do2
)? fl u= - au
atau
)
du
62. Persamaan (53) tum-nya adalah c _
Untuk jelasnya,
u--,a
ini
h'
(33 )
adalah persamaan
irisan kerucut
yang
semilatus
fec_
) h'
T kita perhatikan
gambar I.,g
Gambar I. g., Semi_latu-s rectum
Persamaan
di
bawah
ini.
elips.
irisan misalnya elips pada gambar koordinat polar, ferucyt, I.8 dalam sistem tertuliskan sebagar S
r
1+ ecos0
22
atau
su = 1 + e coso
(34)
yang menghasilkan
&1 do2*'=
s
Irisan kerucut itu adalah elips apabila eksentrisitas e dalarn persamaan (34) lebih kecil daripada 1 dan hiperbola bilanana e lebih besar daripada 1 serta parabola jikalau e = 1 dan lingkaran bilamana e = 0" Lhtuk menyelidiki gerakannya lebih lanjut, kita berpaling ke persamaan (28), yakni persanaan gerak di dalam sistem koordinat polar. Terlebih dahulu kita tuliskan tenaga potensialnya sebagai berikut dv = _
I.{.
Jadi
v2
r'z
- vr = -
J ,1
Dengan mengingat persamaan
I.{" _r
r^Z
Ti.{'
t1
(36) persamaan ini lalu menjadi
Y2-vt=- J t1
rt2
a -m -7
?"
r
a (.?)
43
,2
/
*
ir
!. t'at + rdr.)
1
/'
t1
,/"
t1
=_rna(
a m-7
?. (r
a m-2
dr
r
r
11 __l '2 '1
edo
+?dr)
23
Sebab
3"9 = o sedangkan ?.f - 1. rungi.lkrn v = o or, =--j, dan *un:"1r.1j.:lrrn V untuk = rl = " kita perolelr '1 1? =
I
dO dan
mengambil Lo - (4 z
serta
rra v=-mr
.sehingga persamaan (27) meniadi
do=
dr
x_h 2 r
2E
-+ u= 1r m
yang dengan
substitusi
ro
J
di atas Ialu
menberikan
["
do =
0
o
Integral ini
u
o
akan menghasilkan a
o-o
o
=-
s1n
IT sln
Apabila untuk
u odiambilhargaudiapses du= 0, - maka persamaan (29) memberikan aE 2E 2a )) _+__h_u-=0 mr
atau
)tr
#*r^u-h2u2=11
yang menghasilkan
..= p
.\f-i"{
yakni
a o -- h,z
(3s)
persamaan
24
Di perihelion, untuk r_ nya diambil yang berharga keci 1, yang dengan - 1/r6 Ue9arti untuk uo nya diambil yang berharga besir, o yakni mengingat u_
uoz=a-
a
+
di
2E
--. z
;r+
n
sedangkan
2
(36)
mh
aphelion a
U---
o
,2 n
2 a2E
.4 h
(s7)
)
rnh-
Selanjutnya dengan mengambi_l 0^ = 0 untuk perihelion (perhatikan gambar I.8), persamaan (40) bersama pSrsarrrn ijoi-r""ghasi1kan
'i'-1i=+1
l.\
l.?,?
=in.1
_1
- s1n
_t
)
T
lr*1
t
2
u--f-a atau
o+I"2
h-
s1n a l',4
yang
lalu
+
2E --
mll
memberikan
u---ta cos0=
l)
a 2E + --a :T l'l mh-
dan selanjritnya ) hU= 1+ a
2Eh2 1+ ___z ma
cos
(38)
25
Persamaan tum
(38) ini tak lain ialah
persamaan
(34) dengan semilatus . rec-
)
h' =- a
s
dan eksentrisitas
-r+ 2Eh2 -'2 ma
(3e)
Dari persamaan (39) ini jelaslah bahwa lintasannya adalah eliptik apabila E < 0 yakni tenaga totalnya adalah negatif, hiperbolik bilamana E > 0, parabolik jika E = 0 dan lingkaran kalau ma
2
"'T
E-
L--
2h'
Lebih lanjut dari hukum kekekalan tenaga mekanik ')
mv- +
E=\ _1-
\'(r)
mv2a-m r
atau
2E +-2a
2
V=
dan mengingat ketergantungan bentuk bahwa lintasan akan berbentuk
elips apabila
"'
lintasan akan E di atas ternyatalah
.?
hiperbola apabila v2
>
2a
-r.
parhbola apabila v2 = 2ar Lintasan yang berbentuk hiperbola dan parabola,y berarti titik materi tak kan kembali mengulangi lintasannya semula. Dengan perkataan 1ain, titik materi takkan kembali apabila kecepatannya cukup besar sedemikian hingga
u2, Batas kecepatan kan oleh 2
V=
2a
T di
mana
titik materi takkan kembali yakni yang diberi-
2g atauv=\i 4 1ur
(40)
26 { il F
disebut kecepatan hilang (escape velocity)
Kita uji sekarang kebenaran hukum-hukum Kepp1er" Hukum-hukun ,itu adalah sebagai berikut 19 Lintasan planet-planet sekeliling matahari, berbentuk elips dengan matahari di salah satu titik fokusnya. 29- Luasan yang disapu oleh vektor radius planet terhadap matahari per
satuan waktu adalah tetap" 39 Kwadrat periode mengelilinginya matahari, (periode revolusi) sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet dari matahari" Menurut Newton, Eaya tarik antara benda-benda angkasa berbanding lurus dengan massa masing*masing benda dan berbanding terbalik dengan kwadrat jarak antara kedua benda dan tetapan kesebandingan itu adalah universal, artinya sama untuk semua benda. Secara matematis hukum Newton tentang gravitasi tersebut daoat dirumuskan sebagai
!'=-"ryr r
(41)
? iatatr satuan vektor sepanjang vektor koordinat satu benda terhadap |ang lain; dan G ialah apa yang disebut tetapan gravitasi universal yang temyata besarnya ialah G = 6,67
x 1o-8 dyr" .*'1gr^
't
2
Dari persamaan (41) yang menyatakan bahwa gaya gravitasi itu adalah gaya sentral menuju ke pusat dan berbanding terbalik dengan kwadrat jaralg jelaslah bahwa menurut pembahasan di atas^lintasan itu memang daoatberbentuk elips, sebagaimana hukum Keppler 19 mengatakan. Adapun hukum Keppler 2e- dapat dibuktikan dengan pertolongan gambar I.9. sebagai berikut
Gambar I "9 " Elemen luasan yang disapu
vektor radius.
27
Dari gambar I,9 terlihat bahwa elemen luasan dL, yang disapu oleh vektor radius misalnya dari A ke B holeh dikatakan sama dengan luas A MAB dengan panjang AB kira-kira sebesar rdO. Dengan perkataan lain
dL=\ (rdO) x r = ,rr2d} Jadi luasan yang disapu oleh vektor radius per satuan waktu adalal"r
*"=Lr-0 dL_, 2 d0 , .2 &:>rTyang dengan mengingat persamaan (27) dapat
ditulis
sebagai
dL: '>zll ' ctt
yakni tetap sebab h ada14h tetap" Akhirnya hukum Keppler 39 akan ierbuktikan dengan nenerapkan persamaan (26) untuk menghitung periode revolusi planet. Dari persamaan (36) dan (37) dengan mengingat u = : , kita peroleh jarak antara aphelion dan perihelion R misalnya, yakfii .l
ft= a
2
a
2E * ---T
-) h-
mh-
=_
ma _ E
yang 1a1u memberikan tenaga total
-ma L--R
(42)
Selanjutnya, di atas telah kita jabarkan bahwa tenaga potensialnya yang (31) diberikan oleh
memenuhi persamaan
v
=
-.:
(4s)
Substitusi persamaan-persamaan (42) dan (43) ke persamaan (26) dengan batas integrasi dari perihelion ke perihelion lagi (1ihat ganbar I.9.) memberikan periode
,2 dr
'1--1
/ t1
2a R
jika r 1
ion,
_t
dan
yaKn]-
r, berturut-turut
+
(44) 2a
r
adalah harga rdi
h
-z r perihelion dan di
aphe-
28
tl
(4s)
=
a
a ')
-+ l"r
:T lr
+-
2E
.2
mh
,2
(46) a
?-
a-t*-hmh
2E
Penyelesaian persamaan (44) dengan mengingat persamaan-persamaan dan (46) akhirnya menghasilkan T- 2r (, N3/2
( 45 )
G
atau
-2 I
=
4tr2 -3 -f
(47)
a
bila i yakni setengah jarak antara perihelion dan aphelion kita pandang sebagai jarak rata-rata antara^planet dan matahari. Dari persamaan (47) terbuktikanlah hukum Keppler 3I tersebut" Adapun ketergantungan kecepatan planet akan jaraknya dari matahari, dengan mudah diperoleh dengan substitusi persamaan-persamaan ( 42 ) dan (43) ke persamaan hukum kekekalan tenaga mekanik.
E=K+V lalu
yang
memberikan ma -'cmv 2a-m*r -T
yakni V=
(48)
planet berada lebih jauh dari matahari, yaitu sewaktu r besar, gerakannya lebih lambat " Dari
persamaan
(48) ini terlihat
bahwa sewaktu
t
29
II. Titik
MEKANIKA SISTEM MATERI
Berat
Titik berat sistem materi adalah letak rata-rata kedudukan sistem materi tersebut" Untuk menjelaskan yang dirnaksud, kita perhatikan himpunan titik-titik materi pada gambar II.1. di bawah ini.
m ,2
o
ot3 m
4
Gambar II " 1. Definisi titik berat.
dan seterusnya Rata-rata kedudukan titik-titik materi m, , fr), dengan vektor-vektor kedudukan rr, ,2 ".: ilan seterusnya adalah
i=
*tfl * *zfz * *3f3 * '' *1*^2
* ,3 + ...
atau secara singkat
I m.r. = t-t
! 'M di mana M ialalr massa total titik-titik materi" Vektor ini adalah vektor titik berat G yang kita
(49) maksud"
Untuk sistern materi yang kontinyu persamaan (49) sudah tentu adalah
_ L-
"fr
dm
------FT-
(s0)
Lebih lanjut dengan menyatakan vektor kedudukan 1= dalam l'rubtmgannya dengan vektor kedldukannya terhadap titik berat difr vektor kedudukan titik berat itu yakni dengan menuliskan +
'1
(s 1)
30
dari yang
persamaan (49)
berarti
lah no1.
2.
kita peroleh
tL,'.' m. rr O: = -: fl bahwa
(s2 )
rata-rdta vektor
kedudukan terhadap
Kekekalan ImpuLs Impuls sistem rnateri didefinisikan sebagai jumlah masing titik materi; atau secara singkat
titik berat
ada-
Hukum
!= r,1i= r*iii
impul s masing!N
(s3)
Dari persamaan (49) dengan mendiferensialkannya terhadap t, kita dapatkan
.
-
I m.r. 1-1
f --lMatau
=
Mi=rm.i. la1 -
Maka menurut persamaan
(53) kita peroleh
L=Ml
(s4)
Jadi kita dapat mengatakan impuls sistem sama dengan impuls titik berat; yang dimaksud impuls titik berat adalah impuls titik massa yang seolaholah berada di titik berat dengan massa sebesar massa total sistem dan bergerak menurutkan gerakan titik berat. Selanjutnya gaya pada sistem materi didefinisikan sebagai jumlalt gaya-gaya pada masing-masing titik materi; atau dirumuskan p=I
(ss )
F.
Dengan mengingat hukum Newton
I='i
dan mengingat persamaan (49)
F=Mi
kita peroleh (s6)
berarti gaya pada sistem sama dengan gaya terhadap titi k be4at, rnaksudnya sama dengan gaya yang seolal'r-olah bekerja pada suatu titik massa yang berada di titik berat dengan massa sebesar massa total sistem yang
serta bergerak menurutkan gerakan titik berat. Perlu kita perhatikan bahwa gaya yang bekdrj a pada masing-masing titik materi dapat terdiri atas gaya dalam maupun gaya luar; yang dimaksud demateri satu sangan gaya dalam ialah gaya interaksi antara titik-titik ma lain Dengan perkataan lain kita dapat menuliskan (s7 ) F. = F. (1) * F. (d) -1 -1
-1
3L
atau
F. F.('1) + r.F.. j*rj -1 = -i
(s7)
di
nana F. . adalah gaya oleh m. terhadap ' m.. 1 -lJ ) Tetapi menurut hukum Newton ke III, reaksi sama dengan aksi,
Iij sehingga
=
- I:t
TI
i ; It:-o
yang
dari
persamaan (57)
F=
berarti
r F"11= I p-(1)
Jadi gaya pada sistem materi
tik-titik
(58) sama dengan jumlah gaya-gaya
luar pada ti-
materi
Dari persamaan-persamaan (58), (56), dan (49) tertihatlah tiada gaya luar yang bekerja pada sistem materi, maka
bahwa apabila
rmrir=9 yang berarti
Liii
= tetap
(59)
yakni jumlah impuls titik-titik materi adalah tetap terhadap waktu. Pernyataan ini disebut hukum kekekalan impuls. Hukum ini sangat bermanfaat daTam analisa tumbukan antara titik-titik nateri.
3.
Tenaga
Kinetik Sistem Materi
Yang dimaksud dengan tenaga kinetik sistem materi naga-tenaga kinetik masing-masing titik materi. Atau kalau dirumuskan :
K=LK. - 11 r I =L\r.i..i.
ialah
jumlah
te-
(60)
I
Seperti pada pembahasan-pe*trf.,Jrrri di atas, kita hendak menyatakan tenaga kinetik itu dalam hubungannya dengan tenaga kinetik titik bera t. I.jntuk itu vektor kedudukan masing-masing titik.materi akan kita nya takan dalam hubungannya dengan vektor kedudukan titik berat. Kita perhat i kan lagi gambar II.1 di atas"
,
(ni.ri) -
Im.(i.,i.)=f
I Itlf: .P-i ).(I * 0-i),f
t)
mi (i+0-1).(i
*0-i)
3'2
Tetapi menurut persamaan {52)
d- r m.0 .-0 Im.o. 'l " 1 ---=dt 1- 1ry sehingga
a"ti ]"rramaan K=
Lz
(60)
Ui2 * L, I
.2 p=
mi
KG
1
t" * I -. *, rG)
(61)
i
lain, tenaga kinetik sistem materi sama dengan tenaga kinetik titik berat dan tenaga kinetik maslng-masing titik ri terhadap titik berat. Dengan perkataan
jumlah mate-
4. Impuls Putar Sistern Mate_ri Impu1s
putar yaitu
momen
daripada impuls didefinisikan sebagai (62)
5=-rxm-r=_rxqv
Jadi impuls putar yang memberi ukuran besar impuls perputaran itu nyatakan oleh vektor Perputaran yang tegak lurus bidang lintasan. Adapun arahnya adalah pada arah bergerak maju-mtmdurnya
perputaran sekrup itu mengikuti perputaran gerakan. hat gambar 1I.2. di bawah ini.
Llntuk
di-
rup' kalau jelasnya li-
s ek
H
1I.2. Vektor impuls putar Gambar
Impuls putar sistem materi didefinisikan sebagai jumlah impul s - impuls putar masing-masing titik materi; atau kalau dirumuskan 11 = ; FI. = I f . X m.V. 1-1 -1 -1
Dari persamaan (51), persamaan (63)
-:-: =rxIm.r+rxLm. 1+r o
II:
(63)
menjadi-
l. (:* gi)*ri(I*l l=)t -
* *. 3 i
. I 0 - 1
i) +I0
I
-
. xm.r I-
I
(64)
I i
33
Suku pertama ruas kanan dapat a
dituliskan
sebagai
I
xiIm.
=ixYI,i =rxfllr
-1
suku kedua ruas kanan adalah
nol
sebab
dari
persamaan (52)
Im.6 . -o1: I Sedangkan suku
ketiga ruas kanan adalah
I Lp 1 i x I m. o , X ill.i 1. = - ;---"'iii
-
0
dengan mengingat persamaan (52) Dengan demikian persamaan
(64) menjadi
*rui*I !i*ri 5=Ic* tUrtt' H_=f
atau
f , (6s)
Persamaan (65) ini mengatakan bahwa impuls putar sistem materi sama dengan impuls putar titik berat (H^) ditambah jumlah ippuls - irnpuls putar masing-masing titik materi terhadap titik berat (H. ('7). rmpuis putar titik berat ialah impuls putar suatu titik rnateri i*g- seol-ah-otah- ada di titik berat yang massanya sama dengan jumlah nassa-masing-masing ti-
tik materi. Kita tinjau sekarang keadaan khusus di mana suatu titik materi berputar sekeliling pusat sistem koordinat dengan jarak titik materi kepusat yang tetap. Llntuk gerakan demikian, besar kecepatannya adalah
v=urr
(66)
Selanjutnya dengan mengingat definisi vektor kecepatan sudut pasal 2, persamaan (63) dan persanaan (66) menghalilkan
u-r
di
bab
I,
H=Ir.xm.v. 1-1 -
-1
=Ir.?xmor.3 L-
1-
) = ( I m.r.-) 11
i x
=(r
m.
ur
3
r. ')g
11
atau
U=I dimanal=I
(67)
q
2
r. adalah apa yang disebut momen 1 1. Untuk sistem mat.erl yang kontinyu, sudah tentu m.
I-
)
I {dn
enersia sistem materi. (68)
J
f
34
Kalau persamaan (67) di atas kita bandingkan dengan persamaan (54) naka I bersesuaian dengan massa sebagaimana impuls putar H bersesuaian dengan impuls L dan kecepatan sudut 6 bersesuaian dengan kecepatan linier
J.
Adapun tenaga kinetik perputaran sistem materi yang hanya berputar sekeliling pusat seperti di atas, diberikan oleh K = L .2 4 m.v. l-1
= L \-
m. (o.r
1'
r.l' )2
)2
= tz (L mir.-)ut )
y=\Iu'
atau
(6e)
yang bersesuaian dengan tenaga
5.
Momen
kinetik gerakan linier K=\
Gaya Sistem Materi
Bersesuaian dengan hukum Neyton II, meneliti apakah yang memberikan !r U. Untuk itu kita perhatikan gambar"tllS di
r=$ri*r)= bawah
ini.
*Y
Gambar
II.3.
Impuls putar dan
Kita
Mv-.
mempunyai dH
AT
d
at(I' x mv) dr d (rY) :*aT E d
IXE
(*Y)
VX
xmv MV
momen
gaya.
#r kita
hendak
35
=rx-'. -dt
d
(mv)
=5*r VXmV=mVXV=0
sebab
Jadi yang memberikan-p"rirU.nL impuls putar terhadap waktu j alah nomen gaya r=rxF. Dengan-demikiafi , analoog dengan hukum Newton ke II, untuk gerakan putar an berlaku hubungan dH
r=#
(70)
Adapun momen gaya sistem materi sewajarnyalah didefinisikan sebagai jumlah momen gaya masing-masing titik materi, yakni
kita
sehingga
:=rli peroleh dI-I.
T'= --"8t --1
_d xi[m.r.) =Ir. dt r-l -I yang dengan mengingat persamaan (51) menj adi
(i* gi .d )*i.
l-_
,i(I .f,
=ixui+i.I:.(*r!,)*r r
tg, Akan tetapi, menurut. r
d (,i . .^l * at ))
)
{t, * $1- r,ril].
fr
(71)
persamaan (52) , suku kedua ruas kanan sama dengan (m. 0.. j = 0. - metult,t perSamaan (52) puta, suku ketiga ruas kanan Lebih 1anjilt
nol
sebab
.gi * $7r,r;l = - ; * $r (,, !, ) = o Dengan demikian, L-
-
atau l=#
-
akhirnya kita tulis pri
* t {g, * $, r,, :, ,J
+- d Ic 'dt
H. -1
(G)
(72)
36
Dengan kata 1ain, momen gaya sama dengan perubahan impuls putar titik berat per satuan waktu ditambah jumlah perubahan impuls-impuls putarper satuan waktu masing-masing titik nateri, terhadap titik berat.
6.
Tumbukan
Gejala tunbukan ialah yang mana tidak ada gaya luar ataupun resultante gaya luar adalah nol. materi rnaka gaya itu hanyalah gaya inKalau ada gaya pada titik-titik teraksi yakni gaya dalam saja. Pertama-tama hendak kita pelajari tumbukan tanpa gaya da1am, misalnya tumbukan antar kelereng, antara bola-bola bilyard, dan lain sebagainya. Kita perhatikan gambar II.4 di bawah ini.
Gambar
II.4.
Perubahan kecepatan sewaktu tumbukan
l, dan i" ialah kecepatan sebelum tilfrbukan-6edangkan ir' dan
Misalkan
titik-titik materi bersama m, dan m, irr adalah kecepatan mereka ' sesudah
tumbukan
Dari persamaan (52) dengan mendiferensialkannya ke t, kita peroleh
=-*rp, ^rir=0ataurrp, 'ryry& *r i r, * ^r p z' = o atau *, i, ' - - ^,
*r
i,
U3)
+
pr,
(74)
NNNA/
(73) adalah untuk yang sebelum tumbukan dan persamaan (74) adalah untuk yang sesudah tumbukan. Persamaan (73) memperlihatkan bahwa dilihat dari titik berat, m, dan m, saling bertumbukan berhadapan, sedangkan persamaan (74) menunjukkan bah wa dilihat dari titik berat kedua titik materi itu terpelanting dengai arah yang berlawanan. Untuk jelasnya kita perhatikan gambar II.5. diba-
di
mana persamaan
wah
ini.
--l
1
37
d,, * G,/
-lC 2 r'../'--N., 2
rn
2
II.5. titik berat. dari dilihat Garnbar
Tumbukan
berat, Kecuali itu, dilihat dari titik berat, titik materi yang lebih bergerak lebih lambat. (73) selanjutnya dengan memperhatikan harganya saj a, persanaan-Dersamaan dan (74) memberikan
*1 o1=*2
62
*1 ir'
o
=
^Z
di mana ;r, p.r, pr' , dan tif. Kemudian diri P6rsamaan
(
7s)
(76)
2' posiI 6, adalah besaran-besaran berharga (s 6) kita peroleh
Ml = t"tup sebab tiada gaYa luar, Yakni F = 0' tenaga, di mana dalam Dengan demikian, a"ngir'mengifrgat hukum kekekatan (61) ha1 tumbukan di atas, tenaganya hanya tenaga kinetik saja' persamaan menj
adi
2
. -. 4, ir' * ', m2 i22 = ', ^, (01') +\nr(02 yang
lalu
t-2 )
menghasilkan
*1 (6r * or'l to,
-ir')
= -*2 G,
* 'or'lto, -
Adapaun persamaan (75) dan persamaan rangkan keduanYa, memberikan
,1 (0, * 6t', = ^2 (bz * *1 fo, -
ot'l = ^2 (i,
-
p2
r)
p2
')
(76)
o, ')
(77)
dengan menj umlahkan dan mengu(78 )
(7e)
38
Akhirnya persamaan .a
0,r_tatau
0.
|
(77)
dan persamaan (78) menghasilkan
_a
=
- l9z -
Qz')
pl.*pz -6r'*02'
sedangkan persamaan
91
(80)
(77) dan persamaan (79) menghasilkan
* olt= - ({,r* or')
(81)
relatif (yakni kecepatan nl dilihat l".ri ,2. ataupun kecepatan *Z 9ilihat. dari mr) adalah tetap artil nya sesudah tuftbukan sama dengan sebelum tumbukan. Sedangkan persamaan (81) tidak cocok dengan kenyataan, sebab p, QZ,0l,t dan pr' semuanya harus berharga positif. Lebih-lanjut, dari persamaan (75) dan (76) kita dapatkan Persamaan (80) mengatakan bahwa kecepatan
'p2
n
'1
.t -p.
=
I
:---ip2
nn,
atau
tl
'rl ..t -= p^ LZ
p'.
yang berarti aa
ot
o, Q2 .-.
-Qr'
_*
.Q2'
dan
P2
Dengan mengingat persamaan hasi lkan
(80),
6t*P, pi
6tt
* ,r' p1
persamaan-persamaan
di atas
akan meng-
QZ dan g1t = 91 Jadi dilihat dari titik berat G, besar kecepatan masing-masingtitikmateri tidak berubah sewaktu tumbukan, dan hanya arahnya sA.ja yang berQ2' =
ubah. Tumbukan di mana hukum kekekalan tenaga mekanik dipenuhi, disebut tumbukan elastis, sedang sebaliknya disebut tumbukan non elastis. Dalam alam, tumbukan yang benar-benar elastis tidak ada. Tidak elastis-
nya tumbukan, disebabkan oleh desipasi tenaga menjadi panas atauboleh jadi menjadi tenaga deformasi (lekukan dan lain sebagainya) dari pada benda-benda yang bertumbukan. Tidak elastisnya tumbukan menyebabkan tenaga kinetik total sesudah tumbukan, lebih kecil daripada tenaga kinetik total sebelum tumbukan, sehingga persamaan (80) menjadi
6r'*6r'(6r.', Besaran
P1t * Q2 e = ;------=Pl * QZ
(82 )
39
ketidak elasti-san tumbukan dan disebut koefisien res-
memberikan ukuran
titus i. .Ie 1as lah
bahna
0(e
Dengan
total E
-r
o
tr,
) *, (or)- *
'7
.
)l m2(o)'J
-f
,
merosostnya tenaga mekanik
. ) mr(01')' *
Lt,
. )1 \ nr(or')')
(83)
tentu dapat dinyatakan dalam hubungannya dengan koefisien resti e. Kemorosotan tenaga dibandingkan dengan tenaga mula-mu1a, diberikan oleh
sudah
tusi
.2
,t
p)
AE E
12
^r( br,)' + \ nr(
m" o.- * ,, 1t ^2
6
r,
,')
(84)
.')
g2
Dalam tumbukan, meskipun tenaga mekanik kekalan impuls tetap berlaku.
total dapat merosot, hukum
dari persamaan (75) dan persamaan (76) koefisien resititusi pula ditulis sebagai m^ fl; /. l(' I P. Pr ,\ * 1) p^t IIIZ Z I ir,
Maka
ke-
dapat
I
I
^2
\
m
nr^f
u2
"2
-T-
* 1) p-Z
2
(8s)
a2
1
atau
,1
m-
ol
p.t -1
+
ma
O.1
(1
*
L
A_
m_
O+ 1
l.
^2
o 1
(1 *
*Z
)
o1'
1
m-
' ) ^2
;,
p. r
(
86)
p1
Dari kedua persamaan di atas, jelaslah.bahwa apabila e = 1, yaitu tumbukannya elastis sempurna, maka ert = 0, dan 01 t = p1 sebagaimana te1ah djkemukakan sebelumnya. Selanjutnya, penghitungan persamaan (84) iebih lanjut dengan menerap kan persamaan-persamaan (75) dan (76) menghasilkan
40
[*, o ,')2
(nz , r')'
*1
/lE _, H-
.)
*Z
Pr)-
(mt
.) (nz P)'
*1 Ot '2
(mz
-1
(n,
.)
o)-
^2 ? ,l )- (-'m1a
1 _l
^2' .7 1('m1 +-)m2'
-1.t+l sehingga dengan mengingat persamaan (85)
kita
dapatkan
AE2 l, - e := (87) Dari persamaan (87), jelas bahwa untuk tumbukan yang elastis, e = 1 sehingga AE = 0; ha1 ini cocok dengap kenyataan. Keadaan extreem lain ialah untuk tumbukan yang mutlak non elastis. Da1am keadaan ini, e = 0 sehingga AE = E, yang berarti seluruh tenaga l-.
mekaniknya hilang sesudah tumbukan. Untuk keadaan yang demikian, menurut persarnaan (82), kecepatan relatif sesudah tumbukan adalah no1; hal ini berarti kedua titik materi itu sesudah tumbukan, melekat satu sama
lain.
7.
Hamburan
Hamburan adalah semacam tumbukan. Kalau dalam tumbukan yang kita bicarakan di pasal 6 di atas, kedua titik materi itu saling tidak mengenakan Eaya, artinya tidak ada interaksi, yakni tidak ada gaya dalam, maka dalam hamburan yang kita bicarakan di pasal ini, justru kita hendak membahas sifat gerakan akibat interaksi dua titik materi. Secara khusus kita pelajari hamburan oleh gaya sentral, yakni gaya terhadap satu titik materi oleh titik materi lain. Arah gaya interaksi itu adalah sepanjang garis penghubung kedua titik materi tersebut, sedang besar gaya itu hanya tergantung pada jarak antara kedua titik materi itu. Lebih khusus 1agi, kita akan meninjau hamburan dengan gaya Coulomb yang tolak menolak. Jadi untuk masalah ini, persamaar (31) di bab I pasal 5 menj
adi
berbentuk
..4^
r=-3-r r
dengan a>0.
(88)
41
Selanjutnya dengan mengikuti pembahasan di bab I pasal 5 tentang hukum Keppler, kita peroleh rumus-rumus yallg sebentuk, yakni dengan mengganti kan a setiap kali dengan -a. Demikianlah maka akan
kita
..4 V=+m
peroleh
r
dan
-2a +m (8s) =2mv -t sehingga pastilah E > 0. Ini berarti bahwa lintasan satu t it ik materi terhadap yang lain adalah hiperbolik. Dari persamaan (34), dengan menuE
1iskan S
kita
=n'=_t_ -aa
dapatkan
u=- )t, h-
*ecoso)
atau
l='h'
\ft*ecosO)
Kita perhatikan
gambar
II.6. berikut ini.
Gambar II.6.' Hubungan antara sudut hambur dan
(90)
eksentrisitas.
42
Menurut geometri, hubungan antara r dan o untuk hiperbola yang diberikan oleh persamaan (90) adalah seperti yang tertera pada gambar II.6. di atas. ! = o. Jadi meArah asimptot, diberikan oleh 0 = )rruntuk T = c./) , yakni 'r nurut persamaan (90)
o-- ) h-
(1 + e cos Ocn)
yang berarti
cos O- (/)
=--
1
(e1)
e
di mana e diberikan oleh persamaan (S9) di bab I pasal 5. seandainya antara kedua titik materi m., dan m, itu tidak ada gaya interaksi, maka m, yang datang dari r = - rj: tidak'akan melintasi lintasan hiperbolik mel'ainkan sepanj ang garis asimptot yang berj arak p dari m ,. . Besaran p ini disebut parameter benturan (impact param6ter). SelSnjut nyd, karena tidak ada gaya luar, maka impuls total maupun impuls. putar total adalah tetap. Untuk sementara kita tinjau keadaan di mana n, dipandang tetap di tempatnya sedang m, ditembakkan ke arah m" dan 151u mengalami pembelokan oleh gaya interdksi tolak menolak deng6n m_. Karenanya, kita dapat meninjau impuls putaf m, terhadap m2 selaku impuls putar yang kita pandang tetap itu. Sewaktu di r = - @ t impuls putar itu diberikan oleh H=P**1 di
mana
,_
c./)
v_uradalah kecepatan mr yakni r, di r = -@ . Tetapi menurut (22), impuls putar itrj adalah tebesar
persamaan
P x m1 '--
= *1
h
atau h
D='
Y_ rn
Adapun v_rn dapat diperoleh dari persamaan di persamaan tersebut. Ini menghasilkan
E-1;m. I atau
'\/ '6
=
2 "a
(89) dengan memasukkanr= -u)
43
Jadi kita
dapatkan
P=
h
(s2)
\ r-:1 /E \/
V11
Dalam Fisikan Atom dan Fisika Nuklir banyak dibicarakan gejala hamburdtr, di mana dibahas derajat kemungkinan hamburan pada berbagai - bagai arah hamburan. Derajat kemungkinan tersebut dinyatakan dengan apa yang disebut tampang lintang diferensial (differential cross section). Kita perhatikan gambar II.7 di bawah ini.
Gambar
Keterangan tampang
II.7 . lintang diferensial.
Kita tinjau titik-titik materi bermassam.,, dihamburkan oleh titik materi bermast? Tz yang kita pandang tetap letaknya; untuk m, hal ini me^2r, mang sesuai d6ngan kenyataan. tJntuk titik materi m., yang lebih dekat sumbu, yakni yang parameter benturan p-nya lebih kedil, tentunya akan lebih dihamburkan, yaitu terhambur dengan sudut hambur Q yang lebih besar. Sebaliknya yang sangat jauh dari sumbu, boleh dikatakan tidak terhambur. Kita hendak neneliti dari titik-titik materi dengan berbagai-bagai parameter benturan itu berapa bagian yang terhambur dengan sudut hambur tQ
tertentu.
Misalkan yang terhambur ke dalam sudut ruang dfl dengan sudut hambur antara Q dan tQ + dQ itu adalah yarlg parameter benturannya berharga antara p dan p + dp tertentu. Apabila banyaknya titik materi m, yang ditembakkan per satuan waktu per satuan luas penampang yakni yafig disebut inmaka banyaknya titik dalam sudut ruang dCI adalah
tensitas atau rapat flux, ialah I,
dihamburkan ke arah
q di
d4,=2n pdpxI
materi m1
yang
44
ialah luas elemen luasan berbentuk cincln yang dibatasi oleh jari-jari p dan p + dp. Jadi banyaknya titik materi per satuan rapat flux yang dihamburkan pada di
mana 2npdp
arah t{ per satuan sudut ruang, diberikan oleh
d{q)= d|/t =
2tpdp
da
(e3)
dCI
Besaran ini sudah tentu tergantung pada, yakni merupakan fungsi daripada sudut hambur tQ; besaran tersebut dinamakan tampang lintang diferensial. Selanjutnya, dengan memperhatikan ganbar II.7 sudut ruang d 0 diberikan oleh
On_
(2rRsintQ).
RdQ
R
2rsinQdtQ Dengan demikian persamaan
S(r{)
(e4)
(93) menjadi
2tr =
2n
sin pdp
sin t( d
tQ
p maki-n kecil Q, yang berarti 9* . O, maka agar "x 6 (Q) berharga positif, kita tuliskan
01eh karena makin besar
pdp
s rQt
sin
atau S ((t) =
Q
dq
a(z p2)
d-G-Q
(ss)
Lebih lanjut, dari persamaan (92) d(!ip21
=
d{\
h2)
E-r \ .2
*1h
;7-
dH
Sedangkan Q, yaitu sudut antara arah datang dengan arah ngan pertolongan ganbar II.6., diberikan oleh
(e6)
terhambur,
de-
45
Q= n - 2 (n - 20-
-o(/) )
1T
sehingga
d cos
t{
= d (cos 2Oc.) )
= d (2 cos- 0-= 2 d.or2
1)
o-cD
yang dengan mengingat persamaan (91) dan persamaan (39) menjadi
lr
t
dcosQ-=2ol
r-l
1,.ry
L'ru) =-l
I
0w
2h2
1
--2 '1"
dE
(e8)
'1"
Akhirnya, persamaan-persamaan (95), (96),
. 1 f' 4)' ,2h2 l' C ) * O (tg)= l--- . 1
dan
(98) menghasilkan
^t^2
4E- --or,--
.I
-'1
' i6E-
yang dengan
lagi
2Fh2
+-l
2l
l'
'r" J
mengingat persamaan (91) dan persamaan (39) menjadi
^.^' ((Q) ="''*)
x-+-
16E- cos' Q.,
(es)
Untuk menyatakan (|-(Q) sebagai fungsi sudut hambur Q, kita ingat hubmgan antara {Q dengan 0o? yang dibeiikan oleh persamaan (97), yang menghas i lkan
46
cos 0q:
= cos % (t( + n; = cos
(rz r{
+ \n)
--sin%[ kita peroleh
sehingga akhirnya
O(Q) atau
=
"'1*n
m-a
rumus hamburan Rutherford
2
16E'
x+
sin*,
22 m.A
Q.
I
cosec'l 1
(100)
6E-
(101)
Q
Ketergantungar tampang lintang diferensial S akan sudut hambur q, ti."nya dapat dinyatakan dengan diagram gambar II.8 di bawah ini, di nana panjang anak panah menggambarkan besarnyag pada arah yang diberikan oleh arah anak panah tersebut. tQ
m11nlmum
Diagram
Gambar I I .8. tampang lintang
polar
diferensial.
Oleh karena dalam kenyataannya, flux titik nateri yang ditenbakkan adalah terbatas sampai dengan yang parameter benturannya p = P_-__,*--_ misalnya, maka sudut hamburanny*prn terbatas dari rQ ='n sampa$'daflEB" Qminimum'
Dalam
analisa kita di atas, kita
tempatnya. Namun kenyataannya
menganggap bahwa
tak denikian.
m, adalah tetap
di
47
di atas perlu dikoreksi den.qan memnerhim., menpentalan, yakni di mana sehenarnya scwaktu *1 adanya efek pentalan, tunpkin adanyi tungkan dekati mr, titik materi_mr^itu agak, terpental dari kedudukannya.
Maka perhitungan-perhitungan
Ki;;-;";frr.ir.*
ganu.,
rtlg ai bawah ini.
p-1
r
c>-__ ^.2
Gambar
Sudut hambur
di
II.9.
dalam sistem koordinat laboratorium"
Karena tiada gaya luar, maka niscayalah titik berat G bergerak dengan kecepatan tetap sepanjang garis 1urus, yakni misalnya sepanjang sumbu z. Seandainya m? tidak terpental, maka m, akan tetap berada di titik 0f misalnya, sehifigga garis penghubung m.,mi membuat sudut crr dengan sumbu z. Akan tetapi sebenarnya m? terpental'k6 0 sehingga garis penghubung ,1*2 membuat sudut o dengan sfimbu z. Sewaktu m, masih jauh sekali dari m., yakni misalnya kita katakan Pada saat t =-"n, vektor r, yang menghu bfngkan m, dengan m, boleh dikatakan sejajar dengar sumbu-t. Pada saat ini kita tuliskan r, = r, (- ur). Sebaliknya, sewaktu m, sudah-terhifrbur jauh, yakni misalnya kita kata kan pada rrrt t = * uj, dan m, berada di 0, vektor r, boleh dikatakan sejajar dengan asimptot linta5an. Pada saat ini kita tuliskan r. ; r. (*c). Jadi apa yang kita sebut sudilt hafrAur q dalam pembahasan di atas, sesungguhnya bukan sudut antara 11 Gc) dan r, (*u>), re lainkan antara It G ,-") dan P, (* '-) , atau s ingkatnYa
Q = O (*rrt) Namun
=
{ ,,
(-or) ;
P, (. '^; }
(102)
dalam experimen apa yang sebenarnya teramati sudut hambur
(
;,
rt* ra) L di mana cr t dan r1 adal ah seperti yang tertera di gambar II.9. Kita selidiki sekarang -hubung an antara Q dan Qt. Dari kedua persamaan (102) dan Et = ut (+c.:)
=
r ,(-
)
(103)
r 4B
(103) di atas, hubungan itu akan ternyatakan oleh hubungan antara
(*-.) d- !1 (+<.a) bersama r, (-.-). "1 Karena dalam proses hamburan, hukum kekekalan impuls memegang peranan maka hubungan di atas diharapkan diperoleh dari penerapan hukum keke kalan impuls.
Akan tetapi hukum kekekalan impuls, menyatakan hubungan antara kecepatan-kecepatan, bukan vektor-vektor kedudukan, Maka terlebih dahulu persamaan-persamaan (102) dan (103) harus dinyatakan dalam bentuk fung
si kecepatan. I"Jntuk ini tidaklah begitu sukar melakukannya, sebab pada saat t - -6t)t - r , ( - c.s) Can begitrt nul a 1., (+ct't) searah !., (- -) adal ah searah dengan dengan :r(*q) dan p, (+v>) seafah dengan p, (*c.,cJ. -i Dengan aEfrit
= { !rt--r, t-
Q,
,, ,.-*
(104)
={i, Gcd; ir Gr^)} t
(1os)
Selanjutnya dengan mengingat bahwa pada saat t = -c/), m, boleh dikatakan masih diam, dengan hukum kekekalan impuls berlaku persamaan mrt, (-ca) =
*1lt Gco) * ^zlzGcn)
[1 06)
di mana r, adalah vektor kedudukan m, sesudah terpental dari kedudukan nya semull di 0r. Dengan kata I ain rl iatah vektor kedudukan m, terhadap 01, ydfrE kita ambil selaku pusat-koordinat yang tetap. Karena yanrkita keirendaki adalah hubungan antara i,,(-u>), ir(*u>), dan dalam persamaan (106) haril3 dinyatltan dalamhu2, Gc't), maka I-r(+cn) tiungannya dengan'i, (*r>). Hubungan ini kita dapati dari definisi titik berat
* *ziz
'rir
r=
-T-yang 1a1u memberikan mlir (*czl) *
i (+r,; Kemudian,
dari
f1 yang
=
gambar =
berarti i,
II.9, kita lihat
r+o -U :
=f+
^zlzGcn)
IU
o1
hubungan
(107)
49
yang
berarti
I
i,
dan
*Pr
f=
-I
(+
u>) = i_ (*.rr) . P, (*ca) _.
(108)
Akhirnya dengan eliminasi I"(+A) dan ! (*cr->), persarnaan-persamaan (106), (107), dan (Ios) di atas mEfrghasilkan fiubungan antara i1(-c.'o) ' i, (*cz:) dan
!t (*cn)
dalam bentuk
l1(*o) =f, (*ca).
[, +rtGcz>)
(1os)
,rJ ,*urung memberikan t[ dan r[' agram gambar II.10 di bawah ini. Persanaan (109)
dengan pertolongan
(+
tu)
o.-r(+ tu) sin
cos
'
Persamaan (110)
tp
tQ
Gambar II.l"0. Llubungan antara q d* Et
Dari diagram gambar II.10 di atas terlihat tan (tr
di-
bahwa
8r Ga) sin + r{-u',) * P r Ga) cos r{ tQ
=
ini dapat juga dituliskan
t3:: 0r , =
(
110)
(
111)
sebagai
sin Q *1 r!\.a) _V '._ + cos r[ 9t (*r.)
50
(--l lehih disederhanakan lagi bilamana pern yataan 1r dapat disederhanakan. p, (+cr) Ljntuk ini kita ingat akan tetapnya kecepatan relatif yang dinyatakan oleh persamaar (80) yang dalam hal ini menjadi yang dapat
tr(-a)
g, (+<-o)
=
itrt* ur)
+
(112)
saat t - - cn, m2 masih belum terPental sehingga kecepatan relatifnya adatah kecepatah ml yaltu t. Gq) . r.,_t Demikianlah maka dari persamaan (112) kita perolen
dengan mengingat bahwa pada
a
i,
(- rz,)
O
(*crr) '-) 61 G'n)
0
-1+
(113)
.
cn)
,(+ Suku kedua ruas kanan persamaan (113) ini dapat dinyatakan sebagai perbandingan massa-massa m1 dan m, yakni dengan mengingat persamaan (75) atau persamaan (76) atatrpun peisamaan (52) yang nemberikan it21 P
sehingga akhirnya
*)
*,.
*z
rt*ur)
kita
peroleh
tan
(Qr
=
sin *1
Q
(1 14)
+ cos
(0 .1
^2
Sudut hambur yang teramati di laboratorium, yaitu Q', dikatakan sudut hambur di dalam sistem koordinat laboratorium sedang sudut hambur yang sesungguhnya, yaitu q, yakni yang terlihat dari titik berat G disebut sudut hambur di dalam sistem koordinat titik berat. Apabila *2=*1, maka persamaan (114) menjadi
tan Q'
= -i-*# -
2 sin
q lztQ
cos )
LzQ
1+Zcos-I1q-1
= tan
!i,\Q.
Ini berar:ti bahwa hamburan yang meliputi sudut hambur dari Q = 0 sampai Q = n itu, di dalam sistem koordinat laboratorium, yaKni yang teramati, hanya meliputi sudut hambur dari qr = 0 sampai tQ' = Y .
51
Jadi dalam hal ini tidak terjadi hamburan balik (back scattering) yang diamati, artinya hamburannya paling jauh hanya sampai ke arah tegak lurus arah datang titik materi m.,. Adapun hubungan antara tampang'lintang diferensial di dalam sisten koordinat laboratorium 6(Q') dengan tampang lintang diferensial di dalam sistem koordinat titik berat d tQl dengan nudah dapat dilihat dari persamaan (95).
Titik-titik
materi yang datang dari elemen luasan 2r pdp yakni yang parameter benturannya antara p dan p + dp, akan terhambur dengan sudut hambur Q dalam sistem koordinat titik berat dan dengan sudut hambur Qt dalam sistem koordinat laboratorium. Dengan demikian maka dari persurmaan (95) kita peroleh ')
( rot = d7hcosp')(l 22 0 (Q')
d (\ p2) = -_-_ d cos qt
sehingga 6 (,Q,) =
*+#+,
t(
(11s)
rrQt
d cos (i) di mana #, dapat diperoleh dari persamaan (114). d cos Kita hitung sekarang merosotnya tenaga kinetik m, sesudahmengalami (Q
I
hamburan. Tenaga kinetik m, sesudah terhambur dibandingkan dengan sewaktu be1um terhambur, ddlam koordinat laboratorium, diberikan oleh
,^r{G, G,,,.)}2 _ \ ^r{i, t-r-l}2
a2
mr
salnva
atau
ir(+rn) )2
j
,{ at
(
=L
t, Gd j'
116)
l1
Perbandingan tenaga kinetjk ini sudah tentu tergantung pada arah hanbur an Q' dalam sistem koordinat laboratorium, serta ditentukan pula oleh massa masing-masing titik materi. Dari gambar I1.10 terlihat bahwa -j
(
1ot t
(
*'u)
lr tLl
l' I
l!
r,
( +'u)
:, i
i
)
)
,1 +. M
l"
I
i1(-tu)r -rtu'
,.",it* ,1 , ^,+ cos
(fl
52
yang menghasilkan
f
{r,r'*r
,1 2
_ 1brr.1}'
in-;*' {r{-,7
M-
t, (tca)
2m + -fr f{-6r
yang dengan nengingat persanaan (116) dapat pula
-r12 a, = {irGd}'
^?, z^l C. t=
ltrt_aj
a cos Qr
cos
Qr
dituliskan
sebagai
(117)
Suku pertarna ruas kanan persamaan (Ll7) harus kita eliminasi dengan menyatakannya dalan fungsi massa titik materi rn, dan mr. Hal ini dapat dilakukan dengan menerapkan persamaan (112) dan^persanSan (75) yang lalu menghasilkan
,t
t1(- ^') " = 1 r) o, t*
M
t
^2
-=
^z
yakni a-
P1(+
;1-
tu)
")
=
^2 Fr-
Dengan demikian persamaan (117) rnenjadi 2
1ffi.
,1 2
L/ d
m_
t
--
{acosq'
-+M-
M.
(mr+ mr) (m,
- mr)
m_
+2 g.- acos[r I
M2
,2-11
---Tm
atau
,2
-2a+
+2
pa.os
q'
ill-Dt
Q'- -M ^
=o
(1
18)
\ 53
Persamaan (118)
u=p
ini
menghasilkan
*r.
7
cosQ':
Oleh karena a
i, =
2
? cos- qt
*
(*crr)
adalah besaran
tt (-c4)
ml-^l
-,,positif,
maka harga a yang se-
suai dengan kenyataan adalah yang diberikan oleh
a=+
2
m
cosQr+
Keadaan khusus nisalnya maan (11.9) nenjadi
L
(1 1e)
-a Muntuk keadaan ini' ialah untuk'1 = '2'
persa-
a=costf 8.
Massa Tereduksi Dalam pembahasan hukurn-hukum Keppler di bab I pasal 5, matahari dipandang tetap ditempatnya. Sebenarnya tidaklah demikian halnya. Karena massa matahari jauh lebih besar daripada massa planet, rnakamenurutpersamaan (75) kecepatan natahari dalam sisten koordinat titik berat, memang jauh lebih kecil dibandingkan dengan kecepatan planet. Kita perhatikan ganbar II.L1 di bawah ini.
Gambar I
Keterangan
hal
I.
11"
.
massa tereduksi.
54
Misalkan m, ialah, planet dan m, adalah natahari dan vektor kedudukan ml L terhadap m) adalah
I=L-Iz
(120)
Dalam pembahasan hukum-hukum Kepoler di atas, di mana m, dipandang tap kedudukannya dan diambil sebagai pusat sistem koordinat 0, kita lis persamaan gerak m, terhadap m2 sebagai
tetur*
I=*ri Persamaan ini berlaku hanya apabila m, tetap. Pada hakekatnya persurmaan gerak m, teihadap 0 adalah
f=rrir
(L2t)
Maka terhadap matahari, m2, persamaan geraknya yang kan sebagai
tepat dapat.ditulis
=Ur
T
misalnya, di mana p ialah massa pengganti m, agar gaya gravitasi F dapat menyatakan percelatan ml terhadap mr; U'ini disebut massa tereduksi. Kita hendak mencari berapakih harga p t6rsebut. Persamaan gerak matahari m, terhadap 0 adalah
-!=*z lz
(123)
minus ini berhubtrngan dengan hukum Newton ke III reaksi = aksi dearah reaksi berlawanan dengan arah aksi di mana sebagai reaksinya ialah gaya tarik m., oleh m, sedang sehagai reaksinya ialah gaya tarik n,
Tanda
ngan
oleh m.r. Demikianl6h
dari
persamaan-persamaan (120)
(t23) dengan mudah kita, peroleh 1
u
11
*1 -+
*Z
, (727), (722),
dafi
(124)
Massa tereduksi p ini dipakai sebagai massa terkoreksi untuk menggantikan massa planet dalam persarnaan-persamaan pada pembahasan hukun - hukum
Keppler
di atas.
55
III, 1.
MEKANIKA SISTEM MEKANIS
Pendahuluan
Yang dimaksud dengan sistem mekanis ialah sistem di mana bagian bagiannya nempunyai kaitan mekanis satu sama lain. Sistern rnekanis dapat berwujud himpunan titik-titik nateri, kerangka yang tersusun atas bendabenda tegar yang dapat berubah-ubah polanya, dan liin sebagainya. Hukum Newton dalarn mekanika, hanyalah mengenai gerakan titik materi dan hirnpunan titik-titik materi. l,laka untuk mempe l'ai ar j mekanika secara umum, perlu dikembangkan teori-teori mekanika lebih lanjut. Sebagai pemu\1,pgmuka ilnu mekanika sesudah Isaac Newton (tahun 1642 - 1727) dapat diSbbutkan Johan Bernoulli (tahun L667 - 1748), Jean Le Ron l-rtAtembirt (tahun 17L7 - L783), Joseph Louis Lagrange (tahun L736 - 181s), wirliam Rowan Hamilton (tahun 1805 - 1865).
2.
Azas Usaha Semu
Azas usaha semu dikemukakan oleh Johan Bernoulli pada tahun L7L7. Azas usaha semu mengatakan bahwa jumlah usaha semu oleh bagian - bagian sistern yang dalarn keadaan setimbang adalah nol. Yang disebut usaha semu ialah usaha yang berhubungan dengan pergeseran semu; pergeseran senu ialah pergeseran kecil yang mungkin. Pergeseran yang dimaksud, dikatakan semu, karena dalam keadaan setimba.g, pergeseran itu sebenarnya tidak terjadi. untuk menjelaskan apa yang dirnaksud, kita anbil contoh seperti tertera pada gambar Irr.1 di bawah ininl
l-
')
""fi
,, {_.
'+:5r Gambar
LrO N 2
2
=RcosO
III.1.
Contoh penerapan metode usaha semu.
Suatu penberat yang beratnya W., dihubungkan dengan tali lewat kerek ke cincin yang beratnya W, dan cificin itu dapat bergerak tanpa gesekan sepanjang tepi lingkaran'yang dilingkarinya.
56
Pergeseran semu yang dimaksud ialah turunnya pemberat yang disertai oleh bergesernya cincin ke atas sepanjang tepi lingkaran, dari kedudukan setirnbangnya. Yang dimaksud setimbang di sini ialah bahwa tiap-tiap bagian sistemberada dalam keadaan tidak bergerak. Adapun gaya-gaya yang kita lihat bekerja pada gambar III.1 di atas ialah gaya-gaya dalam T, N1 dan N, serta gaya-gaya luar lrr, dan Wr. Gaya dalan T sudah tentu tidak melakukan usaha selama pergeseran sepanjang tali karena di ujung-ujung tali beketja gaya yangmasing-masing sebesar T dengan arah yang berlawanan.sehingga usaha totalnya nol. Gaya-gaya normal N., yakni yang oleh tepi lingkaran ke kerek, tidak melakukan usaha seba6 kerek itu tetap tempatnya, sedang gaya normal N2 juga tidak melakukan usaha. sebab arah pergeserannya, yakni sepanjang tepi lingkaran, adalah tegak lurus N, tersebut. Jadi gaya-gaya yang melaku kan usaha hanyalah gaya-gaya lufr W, dan W, dan usaha itu r:ntuk pergeseran kecil adalah
dU=WrdI7*WZdY2 Maka azas usaha semu nenyatakan bahwa sistem akan berada dalam keadaan setimbang apabila jumlah usaha-usaha senu oleh berat W, dan W, itu ada-
lah nol, yakni
Wtdyt +Wrdyr=0
Dari gambar III.1
kita
amati
It=R-(1-2Rsinro) dy1
R cos
LO
d0
Y2 = R.cos 0
dy. -Rsino
d0
y.r dan y, masing-masing ialah jarak W, dan'i\12 di atas sumbu horisontal tingkaran. Xl yang vans lewatt pusat Dusat lingkaran. Dari ketiga perszrmaan-persilmaan di atas dengan mudah kita dapatkan sudut 0 pada keadaan setimbang, Yaitu .I^I_
o=2sin_r%*f Z
Secara umum, untuk azas usaha semu ini dapat diterangkan pertanggunggan jawab teorinya sebagai berikut. Sep"iti iralnya dengan titik materi, maka sistem mekanis dinyatakan beradi dalan keadaan setimbang apabila tenaga potensialnya V berharga ex-
treem, yakni boleh jadi maximum, boleh jadi minimum. Secara matematis syarat setimbang ini dapat ditulis sebagai
H
-o
trr I 1
"h 57
Menurut hukum kekekalan tenaga mekanik tersebut di bab I pasal 1 di atas, turunnya tenaga potensial adalah sebanyak usaha yang dirakukan, yaitu
-5v= 5u atau 5v=Dengan demikian,
- P= oT o yang
lalu
5u
syarat setimbang di atas dapat pula dituliskan sebagai
atau
p
=
dr
fl
menghasilkan
$u=o Adapun
diferensial 5u =
Maka
usaha oleh -gaya-gaya pada sistem mekanis adalah
r 5u., = r 5
5r.1 = r
a.i
F.. 5r.-1
-l_
syarat setimbang untuk sistem mekanis adalah 6u =
r p.. 6:,
=
o
Di lain pihak, jumlah usaha oleh gaya-gaya dalam adalah nol sebab gayagaya dalan secara berpasangan saling menghapuskan. Jadi dengan singkat kita dapat merumuskan azas usaha semu t
' Ir(') ,:, = o yang
berarti jumlah
:
(L2s)
n
usaha masing-masing bagian sistem oleh gaya luarada
lah nol. Perlu diperhatikan di sini bahwa pergeseran 5;., masing - masing bagian berkaitan satu sama lain yakni tidak sembarang.
3.
Azas DrAlembert Dalam nekanika
titik
materi kita kenal
hukum Newton
ke Ir
I
I
t I I i I
-dd I=;r(my)=;E !=! dan dalam mekanika sistem materi,
(56), kita
dapatkan
f =rfi= #
dari
persamaan
-
persaxnaan
( s4 )
dan
_L=Ma
Persamaan ini tidak dapat diterapkan untuk sistem mekanis, sebab kita_mengenyampingkan pengertian titik berat dalam sisten mekanis. Lagi puIa, untuk sistem mekanis gerakan masing-masing bagian adalah bel'kai tan
Fr
58
sehingga sukar untuk menyatakan gerakannya dengan meninjau gerakan masing-masing bagian, sebab pada masing-masing bagian tidak hanya bekerja gaya luar tetapi juga gaya-gaya dalan yang boleh jedi cukup rumit. t'laka timbul gagasan oleh DrAlenbert pada tahun 1743 untuk nenyatakan gerakan sistem mekanis dalam kaitannya dengan gaya-gaya luar, seperti halnya dengan azas usaha semu, dan berubahnya impuls per satuan waktu untuk masing-nasing bagian. Llntuk masing-masing bagian, sudah tentu
F.
=
-1
.{,
d
1. -1
m
Tetapi pada umumnya, F. -1
(1) t
5t L=i,
Nanun dari azas usaha semu di pasal 2 yang dirunuskan oleh persamaan (125), tidak setimbangnya sistem berarti ada perubahan impuls pada masing-masing bagian, yang berarti
,
Ir(r)
6:,
=
r -11..
5r. -1
sehingga berlakulah hubungan
r(Ii( ) - .1r).9 r, = o
(126)
ini ialah pernyataan singkat azas DfAlembert. Perumusan azas DrAlembert ini sebentuk dengan azas usaha senu Bernoulli, untuk syarat kesetimbangan, hanya di sini terhadap gaya luar tiap bagian sistem, harus dikurangkan dengan perubahan impuls per satuan waktu dari bagian itu selaku penyetimbangnya. Perlu diperhatikan bahwa persEilnaan (126) berarti Persamaan (L26)
F.(1) = r i. r -1 -1 namun bukannya
F. -1
(1)
=
1. -1
kita ambil contoh soal di pasal 2 dengan nemperhagambar III.1 Seandainya pemberat W, ditambah, sisten yang tadinya setimbang menjadi tidak lagi setimbang.dan W, T"l?i bergerak turun sedang W, mulai meluncur ke atas sepanjang t6pi lingkaran. Untuk jelasnya
tikan kembali
\ 59
Maka menurut azas DfAlembert,
(Ir.dlt - *rir.d:r) *
(Tz
berlaku persamaan
-0
.d!z ^z!z.d:)
massa pemberat yang beratnya w, dan massa cincin l3 yang lf-^111.-Tz,.,i"1ah beratnya-lVr. wr.pada saat t) = O' dari saat 0 = O^, dapat diperoreh 1:::f.:l_1f_1{ mengrntegrarkan persamaan di atas, dengan meng?ngat hal_hal 9-erga
ber_
ikut '
It
.
d_.t = W1dy1
Yz'dJz = w2dY2
=
w,
= WZ
-l *i.di = Ju ua-o
a{n - rr d
2R
sin u o)l
(R cos 0)
dvvdrv m
m'a:={mffi.0*r=Jry.{r=
mengingat pula kecepa tan selalu sama dengan kecepatan ]t, vl v misalnya, = = kar ena IVf dan It, bersambungan. 2 P eng gintegralandariO=O ke ^u= 0r ' akan menghasilkan o \ *.r-RR sin LrO, - sin L6n) - hru'i . o, cos d an
I
{-rro(cos
v aknni
r| 2R t-. -" llrr-(sin *r* [)adi jelaslah ^?. 1'' bahwa
!
-
oo)
4mv W,
- brr'}
)
yakni
=Q
\O'- sin ,rOo) wr(cos Or - cos a.rll'o ))
keuntungannya dengan azas DrAlembert seperti azas usaha semu, ialah tidak usahnya diperhitungkan gayao aya a dalam rnasing-masing bagian sistem, sehingga memudahkan perhitungan.
h alnnya dengan
4.
P-e.rsamaalr Lagr.ang_e
seperti pada contoh di atas, trans'formasi koordinat diperlukan. Pada contoh tersebut, transformasi itu ialah dari sering koordinat Cartesian X - Y ke sistem koordinat polar yang meli sistem karena pergeseran satu bagian sistem berkaitan debatkan sudut 0 . 01eh ngan pergeseran bagian lain, misalnya pada contoh di ataspergeseran {:, berkaitan dengan pergeseran dr,, maka untuk memperoleh variabel-varia I bel yang tidak berkaitan satri Sama lain seperti halnya 0 pada contoh di atas perlu dilakukan transformasi. t Pada umumnya transformasi dar.i sistem koordinat rr, r. t Tzt ke sistem koordinat qr, g2, q3 t dapat dilakukariderig6n frBnyatakan Pada umumnya,
t
tt
I I
.Ii
=
Ii(Q1, Q1 Q,
t)
(\27)
60
sehingga
V'
r
=
V. -1
=
dr. -1
r!-'
dr
3r.
tr
J
3r. -1
I-
-
.
dt
Dr. tu1
+-*
dt
Dr. ryI a--
O. -'j +
dq.
J
do
-1
t
u
=
(128)
dt
J
Marilah kita bentuk persamaan (126) azas DrAlembert dalam sistem koordinat (q, . g, e, . . .) .
i
Menurutkdn p6rsdmaan transformas Dr.
(L27)
I F..dr.1 - I1 I F. . ,.-t 'J = ngj dq. -r J -1
, f, J
kita dapat menulis O.do. .J .J
dengan
0. '1
=
tr 1
Er. -1
-H--!1
(t2s)
oQ. ''l
Q. ini lalu disebut gaya umunr (generalized force) yakni seakan-akan ada lth hasil transformasi gaya F dari sistem koordinat (r., r, I. . . . . .) ke sistem koordinat (q, e, Q. . . .). Adapun transformasi ifrci6m6ilt pergeser an dr. sudah tentu dib6ri(an oleh -1
- r ili dr.,jDai.J
dq.
Selanjutnya dengan persamaan (130)
i..a.. - 1
-I
ini kita
dapatkan
= m.i..dr. t-1 - 1 .. ,. = m.f 1-1
Dr. --1 L--'-
I
dcl
ouj
.
'r tsr.
-ftir oo, =
=
*, *,
i {*.
. ar. ri. - ti u- , ,., ;q,]oo, )or' b
D
I {*.
ti.
tr' ,0,' - Yi
:. ,{fi J oo,
(131)
I 6L
Kemudian
dari
persarnaan (128)
dv. -t
kita
dapatkan
Dr. &1
m=&l .J
(Ls2)
,J
3r.
*'1 -m '3
pada suku
pertama ruas kanan persamaan (131), sedang untuk suku kedua persamaan (131) kita tulis
ruas kanan
Persamaan (132)
ini
hendak
kita pakai untuk substitusi
* (4 ,*(x;J a
= ---n-cjo. ,)
'l
menj
1..dr. = m. -i fa 1 { at -l- -1 J\ -
t i
, d
qr - E*ilJT -l
3v. ,.1 =...-.trdo.
(+)
sehingga persamaan (i31)
.2 d r.
.L
adi
tYi'
aYi ao. ')
(,ar^.r.2
I t:
at \
11 oej
Dv.
)-
*1
'-Tq.
-l
D%m
1 d
'l ] -r2 'i \
a*t
I
uoj
ooj
(r33)
Persamaan (135) ini bersama persirmaan (129) akhirnya nemberikan perumusan azas D rAlembert persamaan (1,26) dalam bentuk apa yang disebtrt per samaan Lagrange
rl
i
o,J'oj-o
(134)
dengan K = I ,grru12 sclaku tenaga kinetik sistem. .ladi perso.*uo., l*!rung" tak lain ialah persamaan DrAlembert yang ditransformasikan ke sistem koordinat umum. Apabila koordinat-koordinat q. tidak tergantung satu sana.lain, yakni berarti bahrva sistemlya adalah'apa yang disebut holonomik, persanaan ( 1.3a)r menj
adi
daK ._ dt do. - ,)
5,qj.J=Q.
(13s)
62
Agar tenaga kinetik K dapat ditliferensialkan terhadap q dan ditransformasikan sebagai berikut' Dar:i persamaan (128) kita dapat mentrlis
/a" = 'i" Yi'Yi !(ro; 2=
= sehingga tenaga
u,
I lrt
kinetik
K
=
ali
m w-t-2 \,i,)! ri *r"\ ^-
A * lit) . ri':i)) ' ,/51 Qt r er-) i['f; H;ejQ,,
i
8, '2 perlu
''r''2 l:
ET-
*' 3 irtqj .(F)'
menjacii
ajar* :,
Br, +'i m.f ..l-) ' / ), 'i\at / '.
Dr'
Er'
l*t # fri
qj
Z
Apabilarnedang,ayanyi..sedemikianhinggadapatdinyatakansebagai ,u"ir"pltensial, maka persamaan (129), dapat dilulis se-
minus graclian bagair
uj i lr, q 15r.
Io,
u
,\ (rj
!r. = f I F.. ^r u -1 J1
='6v yang 1a1tr member:ikan ,
Qi=''
A .,\I
6-. (lr
sehingga -iikalau V
tak tergantung t,
'ui; i.d (,6L. io,) 6L
=
persamaan (135) menjadi (1 36)
r I
63
dengan
L=K-V L, disebut furtgsi
Lagrange dan persamaan (136) dikenal sebagai persamaan Lagrange yang dikemukakan pada tahun 1788. Persamaan Lagrange ini sangat bermanfaat untuk merumuskan persamaan gerak sistem bilamana tenaga kinetik dan tenaga potensial sistem dapat dirumuskan. Sebagai contoh misalnya kita ambil osilator harmonik yakni suatu titik materi yang bergetar secara harmonis. Tenaga kinetik dan tenaga potensial osilator harmonik, diberikan oleh
(=
.)
"nn
x
y =\kxz lrlaka
fungsi Lagrange-nya adalah
.')
L = Lz mx' bL -ir dan
=
!5
)
kx'
mx
d .dL at tErJ=mx br,
ox -=-Kx
sehingga persamaan geraknya diberikan oleh
mi+kx=0 atau k m
yang
lalu
menghasilkan
x = A cosrot +
B
sinot
dengan (r)=
Apabila di dalam sistem koordinat q tidak semua variabel koordinat nya bebas terhadap yang 1ain, maka persamaan (136) sudah tentu tidak berlaku dan harus dipakai persamaan (134). Tetapi persurmaan ( 134) itu
64
menyangkut penjumlahan sigma sehingga runit penyelesaiannya. Maka perlu diciptakan rumus yang sebentuk dengan rumus (136) yakni yang tidak menyangkut penjunlahan sigma untuk sistem yang tidak sepenuhnya holononik
itu.
Misalnya dari n variabel eu e, ez e-, m variabel di antara nereka bergantungan satu sama taini yafrg berarti variabel bebasnya hanya se banyak n - m buah. Maka m variabel yang bergantungan itu selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasilinear n-m variabel bebas tersebut. Maka kaitan holonomik (holonomic constraint) nya dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan simulatan
.tr 6 gl*
a1n 5Qn=
6 9z
+a^zn 6o'n -0
691 *am2dqz
+amn6o'n -0
u2t 6 o1
'rnl
*
^tz6qz ^22
atau secara singkat n
t j=1
"tj
O
Oj = 0 dengan k = l, 2,3
(Ls7)
Dari ni persamaan ini hanya ada m variabel yang dapat dicari, dan m variabel itu akan ternyatakan sebagai fungsi linear n - m variabel yang 1ain, yang kita sebut variabel bebas tersebut. Selanjutnya, karena sistem tidak sepenuhnya holonomik, persamaan Lagrange-nya (134) menjadi
nr -
,d
,t= ,
tit
dL t uE'
-
:i,l uoj_o
dari
persanaan
(138)
Tujuan kita sekarang ialah mengubah persamaan (138) menjadi bentuk holomonik seperti persamaan (136). Untuk ini Lagrange berpaling ke l)ersamaan kaitan holonomik (137) yang terdiri atas m persamaan itu. Persamaan pertama dikalikan dengan trr, ke dua dengan trr, dan seterusnya lalu dikombinasi linearkan dan ditan6ah kan ke persaffaan (138). Jelasnya adalah sebagai berikut Kita bentuk persamaan
Ir*rr 6 q1 xf tz 5 e2
11"1n u Qr, =
65
xz^zt
oor*\2^zz
uor*
Imaml o o, _ tr*ar2 u o, Ke m persamaan
*
I*.r,
ini lalu dijumlahkan
(trtrrt * \z^21+.....
\2^2n %=o
diatur
dan
trio"rnt)
Qr, =
o
menjadi
UO, (Ir.tz *
\2122
+ ......
trr"r2) u'0, * + (tr-a -Imn + ..... Persamaan
trr"*)6
er, =
o
ini lalu ditambahkan ke persamaan (tSg) dan diatur nenjadi
+ ...
.
{ *r , }h, 3h, * (r la1n + -.. tr,",n) 6q,,
-0 atau secara singkat
h. i,
,!,{#,3#,,
rn'rj} o o' = o
(13e)
Kenudian dipilihlah apa yang lalu disebut. Lagrange multiplier tr1, .)'2.. . .-l itu sedemikian rupa [ingga masing - masing suku pada p6rsamEan
- adalah (139)
nol, yakni
d ,EL.
h,rqruntuk
a-L
* f
tr-a-.
= aqj k=1 x"kj=o
i = L,2,....
n.
fl
(140)
66
ini terdiri atas n persamaan, sedangkan untuk dapat memgo dan l, x2 .... l, diperlukan n + n persanaan. Adapurt m feisanaan lainnya yang kita perlukan tersebut, dapat diperoleh dari persamaan kaitan holonomik (L37) dengan mendiferensialkan ke t dua Persamaan (140)
peroleh
qrq,
ka1i, yakni n
r a..6. -o KJ'J
(k = 1,
j=l
2,
(141)
m)
$ebagai contoh misalnya menentukan persamaan gerak sebuah lingkaran yang mengguling di atas papan miring seperti tertera pada gambar III.2.
Gambar III.2 Persamaan Lagrange untuk lingkaran mengguling
Dari gambar III.2, jelaslah dx = rdO
bahwa persamaan
dx - rd0 =
atau
kaitan holonomiknl'a ialah
Q
x dan 0 selaku iloordinat-koordinatnya, sehingga seandainya kita mengikr:ii persarnaan (137) kita tulis dengan
u11 6 yang
berarti
Sedangkan
* * ul2 6 0 = 0
^2L, ^Sl
ini all = 1,
= -t dan seterusnya adalah nol.
dalarn ha1
Selanj utnya,
K=
\tt*2 * ,1,ft262
V=Mg(1 -x)sincr
aL2
67
dengan mengingat momen enersianya
I = Iulr2 dan dengan mengambil V = 0 sewaktu lingkaran menyinggung dasar yakni tik beratnya berj arak r dari dasar. Dengan demikian maka fungsi Lagrange-nya adalah
L = Lz M*2 * ti MrZ 62 - Mg(1 - x) sin
ti-
cr
sehingga persamaan (140) memberikan
6L,- at + I , t.") -d ( a. T.
=
0
ax
ftt3tr 3t-)r=o yang menghasilkan
Uii-t'tgsino,+I=0 :.,tr20 Sedang persamaan menghasilkan
-o
-Ir
kaitan holonomiknya,
dengan menerapkan persamaan (141),
i=16 yakni
I=td sehingga akhirnya
kita
peroleh
i = \ g sin o A=Lrfsino ).
r I
=
1.i l.,lg
sin
o
5. Azas Hamilton Menilik miripnya persamaan dalam kalkulus variasi
Lagrange ddngan persamaanEuler Lagrange
d afaf a;(er,) a, _u yang berlaku untuk suatu kurve
grafik (x,y)
dx {t {{*,r,r' = 5{,
sepanjang
mana
68
berharga extreen, maka persamaan sedemikian rupa hingga
Jt
(e1, e2
9L,
gerak sistern mekanis tentunya adalah
12
t)
dt
berharga extreem. Sejalan dengan kurve di dalam ruang dimensi dua (x,y) dalam kalkulus, ,n"k" p".rbahan keadaan koordinat sistem mekanis dapat dinyatakan dengan suatu kurve di datam apa yang disebut ruang konfigurasi. Untuk jelasnya, kita perhatikan gambar III.3.
Gambar III.3. Ruang konfigurasi.
Kita tahu bahwa keadaan sistem mekanis ditentukan oleh koordinat umum (generalized coordinat) 91, 92 . ...- Qn dan kecepatan umum 9L' 4Z ',1--il jiai ,r,trk sistem nekanis'yanfi terdirT atas n bagian atau elemen, keada an sistem
2n.
Ferubahan keadaan sistem atau singkatnya gerakan sistem kan oleh bergeraknya titik tersebut. Lebih lanjut persamaan di atas berarti pula
akan terlukis-
tz
5/l at = o
(142)
tt yang mengatakan bahwa perubahan keadaan sistem mekanis pai saat t, adalah sedemikian rupa sehingga
J
tt
rtz Ldt
dari saat t,
sam-
I 69
berharga optimlun (extreer:r). Pernyataan ini ,.iiiremukakan dan lalu disebut azas Flamilton, yang tak lain ialah azas
oleh Hamilton variasi dalam
mekanika-
Azas Ilamilton ini sudah tentu berlaku sama di clalam sistem koordinat Cartesian, sehingga tentunya dapat pula dijabarkan dari azas DrAlembert. o
. 8Sl ele ryn_q : q r !g1tl_t o n !3i_r_i_ {, g1_!l A_lSglSft Baik azas DrAlembert, maupun persamaan Lagrange, ataupun azas Hamilton dan persamaan Hamilton yang akan kita pelajari kemudian, masing-t
masing merumuskan secara umum, gerakan sistem mekanis umumnya (termasuk pula gerakan titik materi selaku sistem mekanis yang paling elementair). Maka antara mereka tentu ada kaltannya satu sama 1ain, misalnya yang satu dapat dijabarkan dari yang lain, dengan yang kurang fundamental dapat dijabarkan dari yang lebih fundamental, sedangkan yang sama tingkat fundamentalnya, dapat saling dijabarkan dari yang satu ke,yans 1ain. Di 1rasa1 6 ini kita hendak menjabarkan azas Hamilton dari azas DrAlem bert. Sebagaimana dirumuskan oleh persamaan (126), azas DrAlembert adalah berdasarkan variasi dlferensial, sedangkan sebaliknya azas Hamilton adalah berdasarkan variasi integral. Maka pengintegralan persamaan (126) tentunya ak-an rnenghasilkan runus azas tlamilton persamaan (142). Pengintegralan persamaan (126) akan menghasilkan
t)
-f'
t fr(t).
t1
6
r.dt
ta =
J
i.'. . r m.]"-1 &
t1
dt 6r. ry1
kiri persamaan di atas tak lain ialah integral increement usaha dari saat t = t, sampai saat t = t), sedangkan di bab I pasal 1, increement usaha = 6erkurangnya increefrent tenaga potensial; atau dirunuskan
Ruas
t
t
"r
L
F.
(1)
-'l
6r.dt ru1
=
t.)
6u
t1 "r
dt = .[ ' - 6v dt t1
1
Di lain pihak, untirk ruas t2
{
t
kanan,
t) *rr,.
t1
{r.dt [- = t1 t)
= Im.i. 1-1
kita dapat menulis
6r.
-1
l"
t1
E
t., .i. JLM t-1 t1
d (Ii _. 6ri) - i.. *i{ dt ,r) ot. I
dt 6i. -1
at
70
Suku pertama ruas kanan adalah no1, sebab harga r, pada saat dan t, terhadap nana sistem mekanis ditiniau adalah tert6ntu, yakni o"trr. = 0, -1 sedang suku kedua ruas kanan adalah
-
tz I
/r
I m.i.. 1-1
6i. dt =
-1
t^ rZ
dt J t u(', ,.i.2'r 7-t'
-
t1
t.)
= ('
,!
6K dt
_
dengan K ialah tenaga kinetik sistem. Dengan demikian akhirnya kita peroleh
I
n'2
tl
6(x-v)dt=o
yaitu
fzt^
J
6Ldt=o
ti'
atau
tr.
Ldt=0
z. !"n:g!g3!_Ig:eyg." _t:granse lef:-aret Hami lton Dengan mudah kita jabarkan persamaan Lagrange dari azas
Hamilton
sebagai berikut.
Dengan mengingat
aL Ur
6L=f,|t-o".+r r1 o9i
n+
o9i
. Q.
maka persamaan az.a.s !iamilton (142) menghasilkan
l---aL "t, (tr;:6
J t1
aL d.) dt = o q. + r a:-,ei u" '1'
nt2 t^z I ar. f -at 6q.dt. LvI ,q; a(6qi)-o do. ^
t1
1
'1
Untuk suku kedua ruas
^t"
J
t1
I
Nl-a6o I
qi)
kiri kita dapat menulis
=
rtz t-
-J tl
nt2 D, -rdai d(;hoor) J ' t1
ar-H-r
\ 7T
atau
t) r' -L- dL vI
do-
t1 yang
J
'1
$. (6rr) at
lalu menghasilkan t, f, ' -r;;aL 6q.dt-ooQi
3r, r at; uQi
=
t.
lz "1.
fti '
,-uq,"*r ,HJ o.
t2
T
16
6qi
d E r3fr a.
t1
t1
dengan mengingat bahwa pada saat t1 dan t, yang berarti pada saat t1 dan t, t6rsebut-
t
f
' , *6 dei q.dt '1
1
yang
t
lalu
, -ft' tl
u
5li
mengambil harga tertentu = 0. Jadi
d Qq dT ,Pql, dt =
o
menghasilkan persamaan Lagrange umum (termasuk yang
non
ho-
lomonik)
, {*. s.
,3t, h}'-, -0
I"tg_99" :g':geelHery_1lel Di atas kita mendefinisikan ruang konfigurasi sebagai ruang yang Q' dan sistem koorclinatnya ialah koordinat-koordinat umum 91, 92
Bllrlg_
qr.,. kecepatan-kecepatan umum q1 , gt Akan tetapi, slbenarnya datam fiekanik'd, besaran impuls (atau nomentum ) lebih p"tting daripada kecepatan, sebab keadaan dinamis sistem mekanis kecuali ditentukan oleh koordinat-koordinat kedudukannya q1q? ...... q,., juga ditentukan oleh keadaan impuls masing - masing elemefl.-l{aka kite fr"uaat mencipt.akan apa yang disebut ruang fase yang sisten koordinatnya ialah koordinat*koordinat umum dan impuls-impuls umum (generalized momenta). Tetapi sebeiumnya kita harus terlebih dahulu mendefinisikan im-
puls umum P. kita tin3au sistem mekanis yang paling sederhana yaitu misalnya himpunmateri bebas, aitlnya tiada interaksi satu sama lain. an titik-titik DaIam ha1 ini fungsi Lagrangenya adalah L K=i .2 2 m.v. =
I
-
11
72
sehingga impuls materi ke
i ialah
aL n.v. 1 1 = avi Maka
kita
hendak mendefinisikan impuls umum sebagai
'i - aLfri D -
(143)
Selanjutnya, kita hendak menyatakan tenaga total sistem dalam hubungan* nya dengan koordinat umum dan impuls umum, bersama fungsi Lagrange. Di atas kita telah mendefinisikan fungsi Lagrange sebagai
L=K-V sedangkan tenaga total sistem adalah misalnya H=K+V Dari kedua hubungan ini dengan eIi-minasi V, kita dapatkan H=2K-L Jadi langkah berikutnya, kita hendak menyatakan tenaga kinetik sistem K, dalam hubungannya dengan koordinat umum dan impuls umun. Untuk ini dengan mengingat persamaan (130), kita menulis ., K - L 'nm.v.' 11
1
=
,,
L,
mt t 1l-d
arl'
Dari persamaan ini, kita peroleh r,K
\.
,S a il = ', *i (' r I
sehingga
i
u,
^
3t
Er.1 qjJ tq. 5-q.
Er.1
'l - ') tsr.
= t, ,r( tj rd Dr.
= f, m.(I ,l' i I j ^--f 'qj =2K
Er.
qj)( r aq orl
73
atau
ro.
2K=
j')
?S-
oaj
Apabila tenaga potensialnya elemen sistem, maka
V
aK = a(K - v)
-il-')
a*ql
)
sehingga akhirnya
kita peroleh
H- rq. . 'r )"'-l
yang
dari
?!do.
tidak tergantung
pada
kecepatan elemen
AL
=r- do. .J hubungan
L
persamaan (143) menjadi
rl= I piqi-L J-
(144)
total H yang dinyatakan dengan rumus (144) ini disebut fungsi Hamilton (Hamiltonian) . Jadi sekarang kita dapat nenyatakan tenaga total H sebagai fungsi koordinat umum, impuls umum, dan waktu t, atau singkatnya Tenaga
Kita
fase.
H = H (p, q, t) sekarang hendak menjabarkan persamaan gerak sistem
(145)
di dalam
ruang
Dari persamaan (145) ki.ta dapatkan dH Akan
tetapi
=
;3il;
dp, I
3Ht'"
. Fo'
menurut persamaan (144)
1
dl-l= | pioqi*
Iqrdpt-dL
11
I I
dan
dL= r .p_ oQi oQi i
AL
i m;
oQi
AL * 6-t-
ot
Sehingga dengan mengingat definisi impuls unum yakni persamaan (J.46) dan mengingat pula persamaan Lagrange (136) akhirnya dengan mudah kita peroleh hubungan kanonik
74
AH
Qi= p.
^1
5;. t1
(146)
AH
=
-_oQi
yang 1a1u disebut persamaan HamiIton. Persamaan gerak menurut Hamilton ini berbentuk persamaan diferensial orde satu yang berarti tentu lebih mudah penyelesaiannya j ikalau dibandingkan dengan persamaan Lagrange yang berbentuk persamaan diferensial orde dua itu. Perlu diperhatikan di sini bahwa agar dapat menerapkan runus Hamilton tersebut, fungsi Hamilton H harus terlebih dahulu dinyatakan sebagai fungsi p,, e. dan t. Jadi misalnya q, harus dinyatakan dalam p.. Untuk menjelastan,'kita ambil contoh gerakin perputaran titik materirol.eh gaya sentral gravitasi. Llntuk ini kita ambil sistem koordinat polar (r,0). Tenaga kinetiknya kita peroleh dari persamaan (2) 11
= ! mt.i
= 2 miz + 1< m tr6)2 dan tenaga potensialnya, diberikan oleh persamaan (43)
V- -m ra sehingga fungsi Lagrangenya adalah
L=K-V ='4fltt
e)
+timtU
) o)
+m a
r
Jacli menurut persamaan (143) impuls umunnya ialah pr
'e L'
dL
-
.)
-
---
a0
mur
dan fungsi Lagrangenya dinyatakan dalam impuls
p-
Pga ^lr lmr
ZM
sehingga Hamilton-nya,
umum
dari
persamaan (144), menjadi 2
,=Pri*Po6
2
/Pr + PO .) _ I ------+m \2m zmt
i)
nenjadi
\ 75
yang menurut persamaan di atas untuk p* dan p^, kan dalam hubungannya dengan p. dan Pa'lakni I
sehingga
rPoqPr "=dani=0m ^r' akhirnya kita tuliskan fungsi Hamilton
pr Po fr'* n-Pr m *Po ;z \;. 22 = ', *'o=-*" r 2m Zmrz
i
dan
6 dapat dinyata-
dalam bentuk
Po' rm t\ +m i) ,*r,
dan berlakulah persamaan Hamilton
p-=-P=dr
G2Po '-2*.5
**1-) lLz
=m(62r_ l"l
,T"
r['
2
yang
berarti .. !2 mr = m., .-
*
a
7
Hasil ini cocok dengan hasil dari persamaan (31),
sebagaimana yang
harapkan.
Selanjutnya persamaan Hamilton juga menghasilkan
.aH Po=-
# karena H tidak rnengandung 0.
'l
"iI
.
=s
Hal ini sesuai dengan apa yang kita harapkan, yaitu
I I
P6 = tetaP
I
atau
= tetap ^Or2 sebagaimana dinyatakan oleh persamaan (22).
kita
76
Jadi dengan cara Hamilton, mula-mu1a dituliskan fungsi Lagrangefry?, lalu dari fungsi Lagrange dicari impuls umumnya, dankemudian fungsi Hamilton-nya dinyatakan dalam fungsi koordinat umum dan impuls umum dengan menyatakan kecepatan umum dalam impul uiltum. Cara Hamilton ini memang berkepanjangan dan ticiak praktisuntukmemecahkan masaalah yang sederhana cara Hamilton ini ternyata menjadi penting untuk mendasari perkembangan iLnu Fisika teori misalnya dalam mekanika kwantum dan teori
Namun
medan.
9. Koordinat Siklik
dan-Cara Routh
Pada contoh soal di pasal 8 di atas, kita dapatkan pa =0 yang berarti p..' tetap, sebab persamaan Hamilton-nya tak menganduig variabel 0. Di laiX pihak variabel O ini berhubungan dengan perputaran maka disebut koordinat siklik dan untuk koordinat siklik ini, impuls pasangannya (conjugate momentum) yaitu po adalah kekal atau tetap (conserved). Pada umumnya, suatu koordinat q disebut siklik apabila koordinat tersebut tak terdapat dalam fungsi Lagrange dan fungsi Hamiltonnya, dan untuk koordinat siklik ini, impuls pasangannya adalah keka1. Untuk koordinat siklik, 95, persamaan- Lagrange (136) memberikan d AT
yang
,*o )-o=o
dari definisi impuls
umum
persamaan
(143), la1u menghasilkan
d at D 's =0
berarti p* tetap, tak tergantung waktu, dan hanya inilah yang dihasilkan oleh persama.an Lagrange. Di lain pihak, persamaan Hamilton (146), meskipun agak berkepanjangan, memberikan hasil yang l"e'r;ih, yakni kecuali p, tetap, juga dapat diperoleh q, dari hubungan yang
r
(l
.s
=
ll--- li Dp.
y'ang siklik, penerapan i)ersamaan ilarailton lebih menguntungkan daripada penerapan persilmaan'Lagrange. l'{aka Routh memakai cara gabungan, yakni dengan memakai persamaan Lagrange untuk koordinat yang non siklik, dan memakai persamaan Hamilton untuk yang siklik. Karena cara l"lamilton hanya akan dipakai untuk yang siklik .Saja, maka dalam penulisan fungsi Hamilton-nya, untut I pial cukup dituliskan un-
Jadi untuk koordinat
tuk yang siklik saja. Fungsi Harnilton yang demikian memang bukan fungsi Hamilton narnya dan disebut fungsi Routh (Routhian)
yang
sebe-
I 77
Fungsi Routh
ini
yakni (147)
R=Ind^s's -L
dengan penjumlahan sigma-nya hanya meliputi ),ang siklik saja, lebih singkat daripada fungsi Hamilton, namun dapat sepenuhnya menggantikan fungsi Hamilton dalam penerapan persamaan Harnilton untuk koordinat yang s ikl ik, sebab
.6H6R qr=6r=QatnPr-
6H
6Q,
_6R --6;
ts
kita ambil kembali contoh soal di pasal 8. soal tersebut kita tulis
Untuk jelasnya Maka dalam
-
R = pod
(r2 mtz
*
,< ,16212
* ,n +)
Dari perszrmaan (143) kita dapatkan
aL =rL)r : 2 Po =5tidan karena
0 adalah siklik,
tetap = q, misalnya, sehingga
maka pa
o = ,Oa2 I
atau
:cr "2
mr
dan
oZ - (\ntz R=o lt
.
') L
-,i
-
1 L
.'jmr.z -
,)
mr
L
CI,
m
r.
2
0 *;
't
+m
*)
mr
mr
.0,
+mFJ r 2a-
'4fii -TT
mr
^2 - lrrnf * = -_;-' I
)
.
m
a
7
Jadi 0
AR
3cr
,0
-Z
mr
cocok dengan apa yang
kita tuliskan
I I I
i 1
iawp. T:mur
T" t.
le93
I
1991
78
10.
Pen
dari
abaran Persamaan Hamilton Dari persamaan (144)
I Piqj -
L
L = I p.d. 'J'l -
H
11
=
Azas
variasi
Hamilton
yakni (148)
tentunya persamaan Hamilton dapat dijabarkan' dari azas variasi Hamilton yang diberikan oleh persamaan (142)
t, Ldt=0
'J' t1
Dari
persamaan
(142) ini kita tulis
6t l at =J6 L dt = .f a(r n3r; - H) dt Kita tinjau *
6(pjqj)=pj6qj*ej6Pj Karena persamaan Hamilton bersangkutan denga' U harus diubah ke bentuk 6Oj yak :i 6 pj, *utt O
Qi
6Qj=!+
=
*r
(6qj)
sehingga selanjutnYa D. ') 0 0. 'J
=
pj d
at d
AT
d
ar
t0
qj) dP.
(ojoor)-6qj.+ (rj 6 qj) - ej u oj
di sanping
dengan dengan nenuliskan
79
dan
t)
!z 6 q.) dt - J, (t nj 6 q.)dt pj ,' *t
(-o
-r-f''''6
4jot = .1
j, (r Pj o
t2 =[
(r pj 6 qj)
d
tt
pjuoi
_F _L
t)
I"1
t1
a3)dt
(-
-J(rpj6q.)dt di atas adalah nol, sebab di variasi, yaitu U Oj 0 di t =
Adapun suku pertama ruas kanan persamaa n
t=t.
t_1
dafr Dengan
dant=t2memang tidak diadakan t = t.t. mengifigat hasil pe rhitungan ini serta mengingat pula 6H=
r $L o. oPj o ^J
-DH * L
I
oQj 0
O.
'J
-
akhi rn ya persamaan (148) dan persamaan (142) menghasilkan
Jf
'u,
- 3t'
u
0 leh maka
karena variasi h.aruslah
J{'
(oj .
J{'
(nj
ffi,,
6
pj] o.
,(,
(rj . |t,u r, =o Jat
6n, dan 6qj satu tak terganlung
pj
yang 1ain,
Jo.=o
dan
. ftr ' o:} -0
Karena persamaan
tulah
ini
dipenuhi oleh sembarang harga P5 dan Q, maka ten-
AH o.--=Q dD. '-r ,J -
atau
.aH qj =
EF;
z
80
dan
D. 'l
* 5= oaj
o
atau
q AH
Pj=
11. Transformasi Kanonik dan Persamaan Hamilton-Jacobi Persarnaan Hamilton tidak langsung memberikan penyelesaian yang tunta! sebagai q = q(t) dan p = p(t) kecuali kalau niisalnya diketahui
4r=ft=o,
suatutetaPan
sehingga dengan mengintegralkannya, diperoleh
qi = qi(t)
dalam bentuk
Qi=oit*Bi tlaka dapat dipikirkan kemungkinan nengadakan transformasi dari ruang fase (q, p) te ruang fase (Q, P) yang lain sedemikian rupa hingga di dalarn ruang fase yang baru, didapatkan Q, = cxi YanB tetap. Agar a din p aaafatr koordinat umum dan-imputs umum di dalam ruang farL y.rg baru, maka transformasi itu harus sedenikian rupa hingga bentuk kanonik persamaan Hamilton tetap berlaku, dan transformasi demikian disebut transformasi kanonik. Misalnya transformasi itu dari qt n" Q:. untuk koordinat umum dan dari p1 ke P, untuk impuls umun yang bersang utan. Karena persamaan
tulah
ini dipenrfii oleh sembarang harga P, dan q, '3 J
. aH -0 o:-E atau
.
Q.i =
"
dan
aH
T;l ,J
.. aH Pj.q
atau
ij= -
q AH
=Q
maka ten-
J
I B1
1L. Transformasi Kanonik dan Persamaan Hamilton-Jacobi Persamaa:r Hanilton tidak langsr:ng memberikan penyelesaian yang tuntas sebagai q = q(t) dan p = p(t) kecua'1i kalau mlsalnya diketahui Q, '1
=P=o. dPi
r
suatutetapan
sehingga dengan mengintegralkannya, diperoleh qi = qi(t)
dalam bentuk
qi =o.t+B. t-1 dipikirkan kemungkinan mengadakan transformasi dari ruang (q, p) ke ruang fase (Q, P) yang lain sedenikian nrpa hingga di fase dalan ruang fase yang baru, didapatkan Qi = oi yang tetap. Agar Q dan P adalah koordinat umum dan impuls unum di dalam ruang fase yang baru, maka transformasi itu harus sedemikian rupa hingga benttrk Maka dapat
kanonik persamaan Hamilton tetap berlaku, dan transformasi demikiandisebut transformdsi kanonik. Misalnya transformasi itu dari q., O" Qi tnrtuk koordinat umun dan dari p.i ke P,. untuk impuls umum yang -bersafrgkutan. idaka di^ dalam sistem koordinat yang baru yaitu sistem koordinat (Q,P) tetap berlaku hubungan DH*
Qi= aPi Dr.
].
DH*
5q
jika H* ialah ftmgsi Hamilton di dalam ruang fase yang b.aru. Perlu diperhatikan bahwa neskipwr seandainya e, p, H di dalam ruang fase lana adalah besaran koordinat, impuls dan tenags, Q, P, H* di dalam ruang fase baru boleh jadi bukan besaran koordinat, impuls dan tenaga dalam artian fisis. Andaikata Q, P dan H* kebetulan memang tetap mertpakan besaran-besaran koordjpl:t., ir4ruls dan tenaga, yakni nisalnya transfprmasi itu ialah transf,ormasi sistem koordinat secara linear, maka sudah barang tentu dalam ruang fase yang [ra;:u, p*rsamaan llanilton tetap berlaku yang berarti trs"nsformasi itu pasti kanonik. Namun yangkitabahas di sini adalah transformasi yang lebih umum, bukarurya hanya transformasi sistem koordinat. Ilengan transformasi tlmum ini, padaumumnya hasil transformasi koordinat adalah fungsi impuls lana maupun koordinat lama, dan begitu juga hasil transformasi impulsnya. Atau secara singkat kita rumuskan
Q=Q(q,p,t) ( 14e)
P=P(9,p,t)
I
J
82
Di pasal 10, kita menjabarkan persamaan Hamilton dari azas variasi Hamilton, secara matematis murni, tanpa menghiraukan gejala fisinya. Maka di dalam ruang fase (Q, P) yang baru, tentr,rnya juga berlaku azas variasi Hamilton yang diberikan oleh persamaan (L42) dan dengan fungsi Lagrange L yang didefinisikan oleh persamaan (148). ivlaka baik di dalam ruang fase baru niaupun di dalam ruang fase lama berlaku persamaan-persamaan
,
([ piQt - H)dt = o
-j'
1
ti,
t. ,-[
(x
i
t1
PiQr-H*)dt=o
Dengan demikian pengintegralan kedua persamaan hubungan
Io.d. H - Io.O. 'a '1 '1 't dengan F
H'r
6J tl
'dtdF
t^
*fu. ul' 't. =
t
akan
dengan rnengingat
f=
dF =6
menglrasi lkan
(1s0)
I-
ialah suatu tetapan integrasi, ,'2
ini
FI
t-
tz
-0 tr.
t = t, d* t = t, tertentu antara mana integrasi dilakukan, harga variabdl-variabel - q, p, Q, P, t adalah tertentu, yakni 6 q, 6 p, 6 Q, 6 f, 6 t adalah no1 sedangkan 6 F adalah fungsi deferensi al -de ferensi al tersebut . Setanjutnya, F memang merr:pakan fungsi variabbl-variabel Q, P, Q, P, t. Tetapi mengingat hubtmgan-hubungan pada dua persamaan (149), maka F cukup dinyatakan sebagai fungsi 5 - 2 = 5 di antara 5 variabel itu, sebab pada saat
misalnya
F=F1(qQt) atau
F=F2(qPt)
(
1s1)
.t
t 83
atau
F=rS(pPt) atau
F=F4(pQt) Lebih lanjut, agar F mengandung informasi tentang bentuk fungsi transformasi dari sistem koordinat lana ke sistem koordinat baru, maka dipilihfah F yang mengandtrng variabel di dalam kedua sisten koordinat, seperti halnya persamaan (151) di atas. Jadi misalnya kita tak akan memilih
F=F(pqt) dan
F=F(PQT) fungsi F yang diberikan oleh persamaan (151) di atas, diharapkan dapat menentukan ftngsi transformasinya, dan disebut fungsi generasi (generating function) . Dari fungsi generasi ini tentunya dapat ditentukan hubungan variabel-variabel . Misalnya untuk Dengan demikian
F = F1 (qQtl
aF-.
dF -0Fr
5i=;#0,.i;.1
i,.3-f ^
sehingga persamaan (150) merrjadi
DF,
aFt
EF.,
EF,
lpiai - r{ = IoiQ' - H* + r r+
i, * t e, a, . f
atau
Xpiqi - l{ - IPiQi + HI - t rO, ei - I 5ga,
aF
- et =
Q
Karena q diln Q dalam F, adalah variabel-variabel bebas, dan begitu puta .ii dan Q, yakni dafat berharga sembarang, maka kofaktor q- dan Qi dalaft persafit-an di atas tentulah sana dengan nol, sehingga persanaafl di atas menghasilkan
84
aF_1
U. '1 -._d q.
'1
^i-_D
aF_ I a 0.
[ls2) OF,
H*=H. #
menberikan jalan untuk nenentukan variabel-variabel yang tak terdapat dalam Fungsi generasi yakni p dan P dengan mendeferensialkan ftrngsi generasi terhadap variabel-variabel bebas yang ada dalam fungsi generasi yaitu q dan Q. Dengan jalan yang sama, tentunya untuk
Persamaan (152)
ini
F=F2(qpt) kita
dapat nrenentukan Q dan p dari
0F, ,-=
dan
0F, *:
.
cara di atas tidak dapat begitu saja diikuti untuk F, (q P t), sebab persanaan (151) yang kita libatkan itu hanya mengandr.fig suku-suku dengan q- dan P. sedangkan yang kita butuhkan ialah suku - strku yang nengandtmg ' Qi ' dan p1. Maka kita ambil suatu akal dengan menulisNamtm
Kan
Fr(t P t) = F, (t yang
lalu
Q
t)
+ IPIQi
memberikan
'2 k
dF
aFZ
: m= feq. qi * i eq.tt * -a.=
_a
aF.
I ,r,
o,
EOZ
aF. aF" . Tq, a, . e* * i
yang bersama persamaan (150)
IPiQi
*
IPiQi
seperti di atas lalu meng[asilkan
EFz
Pi= q
!
\ 85
3Fz Qi
(ls3)
aP.
1
OF,
=H+--: dt
H*
Demikianlah dengan cara
seperti ini,
untuk
= Fr(P P t)
kita tuliskan Fr(n P t) = F1(q Q t) yang
lalu
- IqiPi +
xQ.P.
nenghasilkan EFs
Qi=
m.-1 3Fs
o. ='1
q
H*=H
+-
(1s4)
aF-
'at J
Sedangkan untuk
p= Fo(n
Q
t)
qiengan rnenuliskan C
Kita peroleh
F4(PQI) = Fr(qQt)
'i n-
a .1i =-
- [Piei
aF.lL a0.
AF,
4
3pi 3Fo
H*=H*Ef
(155)
B6
Dari persamaan-persamaan (152) sampai dengan [155] jelaslah bahwa apa-
bila fungsi transformasinya tak mengandung t, maka F tak merupakan firngsi t sehingga H* = H. Dari uraian di atas, jelaslah bahwa ftmgsi generasi F rnertpakan kunci
penyelesaian persamaan gerak. Tetapi untuk memilih dan menentukan F yang berarti memilih dan menentukan fungsi transformasi, merupakan nasalah tersendiri yang tidak mudah. Hal ini akan kita bicarakan kemudian, dan sebelunnya akan kita ambil contoh untuk menunjukkan bagaimana peranan fungsi generasi. Misalkan trntuk fungsi generasi suatu osilator harmonik, dipilih
F = \ mulq2 cot
Q
yakni berbentuk sebagai F, persamaan (151). Maka
dari
persamaan (152)
pp= Kedua persamaan
ini
kita
AF
moq cot
dq -=
-
dapatkan
AF aa-
memberikan
_ t-
Q
muiq
2
sin-Q
fungsi transf-ormasi
,1.
p=mr,1@)cotq = fcos
Q)
Selanjutnya tenaga potensial osilator harmonik dapat dituliskan sebagai )
.v = Lkq'
dan fungsi Hamilton-nya nenjadi
11
= ,, ,rqz
tertuliskan
sebagai
.2 ^2 Kq + \kqz = 'zm =P2
{.
87
yang
dari hasil di atas menjadi
H=(,)pcos20* I 2psin2Q III tr) =(1)P
sebab
mtuk osilator harmonik,
k2 -= n
0J
Lebih lanjut, karena F tak mengandung variabel AF
maka
U
5T= dan,
t,
ftngsi Harnilton-nya di
dalam ruang
fase (pQ adalah
H*=H=trtP Dengan menerapkan persamaan kanonik (P,Q), kita dapatkan
Hamilton (146) dalam ruang fase
0H*=, o= -aP p=-
ffi= o
sehingga untuk penyelesaian Q dan P dapat
P'. tef,ap
dan.Q = trl
t
+
kita tulis c[
total osilator harmonik yakni nisalE, nengingat hmil tersebut kita dapat menulis
Dengan mengingat H sebagai tenaga
nya
sehingga
H E P= uJ = t0 dari hasi'l di atas kita
fa- tt"
q'=V,
;|,
peroleh
(o t + 6x;
atau
e=Asin(ura*o)
t ,/
88
dengan
n=l[ ^ f ^^'
adalah amplitude Osilator. A-dan frekwensi Jadi tenaga total E berhubungan ----o---- amplitude ---o--- dengan ---r--
menurutkan
g zIL
t
E=%^^2A2 kita perhatikan di sini bahwa di dalam ruang fase (P.Q), hasil di atas rrenunjukkan bahwa besaran P di sini adalah besaran tenaga dibagi kecepatan sudut, bukannya irnpuls dalam artian fisis, dan Q adalatr Dapat
besaran sudut.
Dari contoh-contoh di atas kita memaharni batrwa dengan persanaan Hanilton kita dapat memperoleh persamaan gerak apahila fungsiHaniltonnya diketahui atau dapat dirumuskan. Adaptrn transformasi kanonik ruang fase adalah dimaksudkan untuk memudahkan penyelesaian pers'arnaan Hamilton tersebut. Namtrn hal ini hanya mungkin bilanana ftrtgsi generasi F yang sesuai dapat dirunuskan, dan dari ftrngsi generasi F inilah kemudian .diperoleh persamaan gerak dan ftrngsi transformasi dengan rnend'ifrrensialkan ftrngsi generasi tersebut. Untuk menentukan ftrngsi generasi F, kita tinjau hubungan F denganfrmgsi Hamilton H yang telah diketahui. Hubungan ini terdapat dalan persamaan (152) sampai dengan (155) dalam bent.r.rli
H*=H*E Et Agar penyelesaiannya mudah, frmgsi transformasinya dapat dipilih sedemikian rupa hingga furgsi Hamiltonnya di dalam ruang fase yangbaru yaitu H* adalah noI, sehingga dapat kita tulis
H+
(1s6)
$f--o
ini, merupakan langkah pertama dalam pemilihan fungsi F dan generasi 'lisebut persamaan t{amilton-Jacobi.Harnilton-Jacobi (1s6), dengan mudah dicari dari persamaan Agar F dapat salah satu variabelnya H yai.tu p atau q seyog,vanya dinyatakan sebagai diferensial F terhadap variabel yang 1ain, yakni misalnya Persamaan (1561
p= #
ataukah
AF q=JF
sesuai dengan persamaan (153) ataukah persamaan (155) sehinggapersamaan (156) menjadi berbentuk
n(q,#,t)*#=o
{.
I 89
ataukah
nCp,#.)*#=o Bentuk fungsi generasi yang memenuhi F) (q,P,t) sedangkan yang memenr.rtri
p
AF =
5q-
adalah Fr(qQt)
dan
ialah Fr(p,P,t) dan Fo(pQt). Lebih lanjut, agar F dapat mudah diintegralkan, kita pilih F yang dapat diuraikan menjadi suku-suku yang tidak mengandtrng dan yanghanyamengandtrng variabel waktu t yakni
q=
#
F= Suku pertana Adapun dari
Fz' (q, P) + Fr" (t) karakteristik.
ruils kanan yakni n, t [e,p) disehut fungsi.
H*=0 nenurut persamaan Hamilton (146) menherikan
: = Qi yang
aH*
q=
o
berarti turtuk Q, dapat kita tulis
O.=9. -1 1 tetap, tak tergantung waktu t. Dan seperti itu pula dapat kita tulis yang
P.11 =
cL.
l.jntuk menjelaskan ini, kita ambil lagi soal osilator hannonik yakni yang fungsi Hamiltonnya ialah
ri
2^
=
+ *hkq' ZM
Kita pilih
F -Fr(tPt) sehingga dari persamaan (155) ftmgsi Hamiltopnya
n=
+, #
)2 *'zkqz
yang bersama persamaan (156) nenghasilkan 1
6
menj
adi
di atas,
90
Karena ruas kiri persamaan tersebut hanya merupakan fungsi q saja, sedang ruas kanannya adalah fungsi t saja, naka masing-nasingruastentulah suatu tetapan misalnya o. Dengan demikian dengan mengintegralkan nya, kita dapatkan
'r' = -[u, Fz = -ctt Untuk menemukan pelsanaan gerak q = peroleh drZ Q = -Ep-
yakni
q[t], dari Persalnaan [153) kita
OFz
o-To-
3Fz
=- Ecr 3Fr'
=6-
-E
fdo -^'#-+ J rl
V zn (a yang la1u menghasilkan
3+t =o,4 J V
=
- flfl
,*
')
- '., kq')
1ct -%
urc
{-'.os
kr2)
,lE .i.
yang selanjutnya memberikan
q =V
S-.o'
{{d(g +
t)}
suatu persamaan getaran harmonik dengan
'/
^=V Adapun tenaga (1s6)
k m
totalnya E = H diberikan oleh persanaan Hanilton - Jacobi EF,
E+_5=:=o
91
yakni E
yang
lalu
o* T[-t F2' -crt)
Q
menghasi Ikan
=
L2.
=
(1,
Kita perhatikan di sini hatrwa i.mpuls uryum P = q di dalan ruang fase (PQ) adaLah tenaga total bukannya impuls dalam artian fisi's. Demikianlah dengan cara seperti itu dengan F yang lain Cbukan Fr) tentunya akan menghasilkan hal yang sama. Azas Action Terkecil (Least Action Principlg) Dalam pembicaraan azas variasi Hamilton, ditinjau variasi integral fungsi Lagrange L antara sa&t t = t., dan saat t = t, dan pada iaat-saat tersebut keadaan sistemnya adatah tertentu. Mefiurut Hamilton, perubahan keadaan sistem mekanis terhadap waktu t dari f = tl sampai t = tr adalah sedemikian rupa hingga incegral fmgsi Lagrange:
nya terl'radap't adalah optimum (berharga extreem) Kalau perubahan keadaan sistem mekanis itu dilukiskan sebagai lintasan titi-k di dalam ruang fase dimensi 2n yang diagram representasinya seperti yang tertera pida gambar lII.4, maka azas tlamilton mengatakan bahwa dari berbagai-bagai kemtmgkinan kurve yang semuanya berasal dari titik yang sama pada saat t = t, dan berakhir di titik yang sama pula pada saat t = t., kurve yang ' memenuhi hukummekanikaialah yang ie,lenrikian rupa hingfa integral fungsi- Lagrangenya terhadap waktu t dari t = t. sampai t = t, adalah optimum. Dalam gambar III.4kurveini ialah kurvd c^ ie
(q, p)
+ ----'.---.}'
L
Gambar
-_
>t
III.4.
Variasi A dalam azas action terkecil. ,Jacli dengan azas Hamilton, koordinat-koordinatnya pada saat t = trdar. t = t, sudah diketahui secara pasti. Untuklkeatlaan yang lebih ,r*r* i.it" hendak meneliti dari antara kurvekurrre cli dalam diiglam ruang fase, kurve yang manakah yang memenuhi
92
hukum nekanika, tanpa rnemastikan keadaan sistem mekanis pada
saat t = t, dan t = l). Kurve-kurve ini misalnya dilukiskan sebagaikurve-kurve 8tt, b', cr 1.. dan lain-lain pada gambar III.4. I'tlaka azas action terkecil mengatakan bahwa untuk sistem yang fungsi Hamiltonnya kekal, perubahan keadaan sistem mekanis dari saat a.= t1 sampai t = t2 adalah sedemikian rupa hingga apa yang disebut action -
t) A_
It t1
Ji
r
nrt,
at
berharga terkecil. Ini berarti pula
AA=A/ )z Ipiqidt=0
ir
r-
dengan variasi A yang meliputi pula variasi kemungkinan keadaan saat t = t, dan , = t2. HaI ini dapat dibuktikan iebagai berikut. Dari persamaan (1.44)
pada
t)
AA=
.J I piq: d. ^ ;1
1
)z 2z =^J Hdr+ ^_J t1
Ldt
t1
tetap, yakni yang memenr:hi berarti ftmgsi HamiltonnyaH tetap, H dj. suku pertama ruas kanan dapat dikeluarkan dari integral sehingga persamaan di atas menjadi Untuk sistem mekanis yang
total
tenaganya
hukum kekekalan tenaga mekanik yang
tZ
AA=FIAt
I
. o[",u,
t1
jika
A t, dan A Selanj utnya
t1
tr'ia1ah variasi t di sekitar t,
dan
tr.
AL=5r,.-$|at dengan 6 tut lain ialah variasi L dengan t maka suku kedua ruas kanan dalam persamaan
tetap tertentu. Demikianlah untuk A di atas menjadi
q3
r' t1
*, ('
dt= J ti.
Alt' tt
6L
I
rlt^
dJ
t1
=6J
(LAt)
at
dt
dt
'Z
Ldt+Lat
ti, Perlu diperhatikan di sini
' #0.. _[ tt
.
,i, t1
Ldt+
!, rL
dr
-t^
I
t1
bahwa pada umunnya
t,
6l'Ldtlo -r, sebab
di t = t,
maupun
di t = t, boleh
ada
variasi 6 q
dan 6
seperti nalnya'dengan azas Flamitton '
Pada umumnYa
6L=i,rqrdqr).r(fratrl sehingga
dq.) -P '1 do-
{,o,=#rt6qi
ctt
yang dengan mengingat Persamaan Lagrange (136) menjadi
of,
u, =
ift#
-, -?ldt(
(+/ 5ai jtd ( aL 6 q,)
a
t'
l.
-
= )
1
Dengan demikian
kita
.aL
6 q.) rl
l-
dq.
'1
] dt
dt
"z r
t1
dapat menulis untuk AA sebagai
=ult I L,
+
I
tz
tZ
t-L
AA
I
,Qi
q
6 q.) I t 3L .r I
dq. '1
I
t1
+ LAt
t
t1
q, tidak
94
Dari persamaan
ini kiranya kita perlu menyatakan strku kedua ruas kanan t. Hal ini dapatkitalakukan de-
dalan bentuk yang nengandung faktor A ngan mengingat
0e;
Aqi 6ai -#4.
{
1
rl
-6qi+q.At yang
d
'
berarti
6ei=Aqi
trnt
Lebih lanjut, kalau dalam azas Hamilton variasi 6 q. di t = t, dan t = t, adalah-n?1, maka dalam azas action terkecil, ad6lah A q. fang sama d6ngan nol di t = t, dan , = ,2. Denikianlah maka dengan nengingat definisi impuls unum persanaan (143), akhirnya kita peroleh
tz AA=HAt I t1
dan akhirnya
L,
persamaan
dan
dari
tz xp.ri.At | +LAt "z i^^ t1 tt
s
H
dan
13. Variabel Action dan Variabel Sudut
Kita telah mempelajari bahwa untuk gerakan perputaran oleh gaya sentral, impuls putarnya adalah tetap. Ivlaka untuk gerakan perputaran, dipikirkanlah untuk. mentransformasikan ruang fase sehingga di dalam ruang fase baru impuls umuulya adalah tetap yakni sama dengan h misalnya.
Jadi di dalam ruang fase yang demikian berlaku
dPdq=hddq=znh sebab koordinat pasangan impuls putar p adalah sudut putar q. (Atas dasar inilah Sommerfeld mengemukakan rumus kondisi kwantururya
t'+
h ialah tetapan Planck, bukan tetapan impuls). Integral di atas mengingatkan kita akan action
dengan
{ :.
terbuktilah kebenaran azas action terkecil itu.
SPdq =
I
t
I
persamaan (L44) atau (148) yang rrenghtrbtrngkan
di atas menjadi AA=0
ri
,{ '{
-1
95
o
f =)l .r-
lL = ,. Jl
pi4i
d.
do.
P.r
J61 dt
r
p,dq. Jilr ^r 'r
= Maka
didefinisikanlah variabel action
Ji=dpidai Bahwa
impuls
umum
tetap, mengingatkan kita
(157) akan
transfornasi ruang fase
dalam persamaan Hamilton-Jacobi . Akan tetapi transformasi ruang fase dengan nenerapkan persamaan Hanilton-Jacobi menghasilkan impuls umum P yang berwujud tenaga. l4aka untr-rk mendapatkan ruang fase di dalam mana impuls unum P adalah tetap tetapi- bukannya tetapan tenaga melainkan tetapan impuls putar, kita hendak melakukan transformasi lebi-h lanjut setelah persamaan Ha-
milton-Jacobi diterapkan. Dari persamaan Harnilton-Jacobi, kita
memptrnyai
H(q,ffi' **l=o setelah
kita tulis AF p=5q_
dan
F=Ft(q,P) +Ft'(t) = F'(q,cr) + F"(t) dengan mengingat
P=cL Selanj utnya
H = ct = tetapan tenaga total Kita hendak melakukan transformasi sedemikian rupa hingga impuls nya ialah variabel action J.. Dari
Ji
unum-
= d pidai =
dftdqi ,ffi00,
d
-/
96
dan
Fr= P'(Ql , 92,
Qni Pl'
Pz
Pr,)
F'(Ql,
Qni o1'
q2
or,)
Q2
maka trntuk
Fl
=
lFr'(e1 $.1te2t ...orr) 1
kita
dapatkan
Ji
= Ji
(o' o,
a)n-
yakni suatu tetapan. Sebaliknya,
oi sehingga
kita
=
oi(JL,
.J)n-
Jz
dapat menulis
, Qr, JL, JZ, "'
Ff = Ft(91, 92,
Dengan menganbil J' Jr ... J- sebagai menurut persamaan ^(153) kita" peroieh
-aF -aFt ^vi_q_q_
Jrr)
P maka impuls umum P, P, kobrdinat umufr 'patargailnya
aFt
5r.r.
I
yakni misalnya
lv.i = ?l' aJi Jadi apa yang telah kita lakukan ialah menggantikan P. = o; dengan J. selaku impuls umum, dan koordinat umum pasangannya l{.'dipeioleh dengafi
mengikuti persamaan (153) . ini dis6but variahel sudut karena nemang rerupakan besaran Variabel 1rl. sudut dan lpada hakekatnya ialah sudut fase. Hal ini dapat dittrnjukkan sebagai berikut. Dari persanaan Hamilton, kita dapatkan
'' aH wi={
Tetapi
H yang
o)n-
= H(o' o,
berarti pula
H sehingga
aH +O.J .
a
=
[{(.Ir J, ...
iadalah fungsi dari
vi(J1, J2 ... Jr)
.
.]
n)
Jy
J2'
Jn, )rakni misalnYa
97
Jadi
(Jt, Jz ... 'i = vi(or, cr, ...
wi =
yaitu suatu tetapan tertentu,
*Bi
dengan B* suatu te!?pan Selanjutfrya kita trnjau integrasi. aw.
^ =9qoo'
yang dengan mengingat i.J'
,
di atas menghasilkan
aw
=
aFt
aJI I
=f,fu*,
a f aF, dqt - Ef I EEI- ) yang dengan mengingat lrrU.rrgai
Ji=$#oo, cii atas,
persamaan
tersebra ,"rrrrd,
= ,fl--i tr.) )'
a wi Yang
berarti
AWi=lbilamanaj_i dan
AW.
=
1 Dengan demikian, mengingat
tryang
kita pirih itu,
=
yang
P.= 1
0bilamanajli fungsi generaCi F
(qPt)
F'(qP) + F"(t)
lalu aFt
Eq-
dn)
yang la1u memberikan
wi=vi
Aw'
Jr)
mernberikan
98
kita
dapat menulis
Aw.
=+6nidt, 1
=1 Ini berarti hatrwa apabita Q;, )raitu suatu besaran sudut putar yang berpasangan dengan impuls ' putar Pi itu, mencakup keliling satu ka-
li,
W. bertambah dengan satu.
Maka
dari
hubungan
W. =
v.t
+ $, yang berarti A Wi = viA
t
V: dapat diinterpretasikan sebagai frekwensi dan W1 dapat diinterpretdsikan sebagai sudut fase. Untuk nenjelaskan penbahasan di atas, kita anbil. lagi osilator harno-
nik di atas sebagai contoh. Untuk osilator harmonik, irnpuls putar p diberikan p--
oleh
tq2)
Jadi
=6pdq
=
zno
yang nenghasilkan
lff
J ,/-T
- Zn tt/m atau =
Sehingga
J ,fk
2r llV -
m
. ALI 0=-TT =
1 t/k
2r Vn ll
-
-
=
1 z"tr -[0=
V
yakni frekwensi osilator.
14. Invariansi Integral Poincare Di atas kita membicarakan perihal transfornasi kanonik ruang fase Dengan transformasi ini p"tsarain Hamilton tetap berlaku, yakni inva-
rian.
t I : I
I
I
i
99
Poincare menunjukkan, bahwa transfornasi kanonik juga nenghasilkan variansi apa yang disebut Integral Poincare
in-
t =J|idqidpi yakni
jrl u"u"
=[idQ.
dPi
integrasi yang meliputi lUasan elernen volun ruang fase. Untuk rnenjelaskan yang dinaksud, kita lukiskan pernyataan tersebut dengan gambar seperti gambar III.5. dengan
ao. dP. i1't_1
Gambar
III.5.
Invariansi luasan ruang fase. 01eh suatu transformasi, pada umumnya elemen volum di ruang fase baru, bentuknya maupun volunnya ataupun luas permukaannya berbeda dengan apabila elemen volum semula di ruang fase lama. l4enurut Poincare, transformasinya adalah kanonik, naka luas permukaannya tidak berubah
atau dikatakan invarian. Adapun elemen luasan yang dimaksud tak lain ialah' as =
I
dpidqi
1
Hal jni dapat diterangkan sebagai berikut. Dalam geometri, kita kenal bahwa letak titik di suatupermukaantertentu ditentukan oleh dua parameter. Maka meminjam pengertian ini, letak titik di perrnukaan di ditam ruang fase ditentukan misalnya oleh dua parameter u dan v. Dengan perkataan
lain, kita dapat menulis Qi = Qi(u,
v)
Pi(u'
v)
Pi
=
./
100
dan semacam itu pula turtuk yang di dalan ruang fase (p, Q). Demikianlah maka untuk elemen luasan dgi * dp* kita dapat menulis
dsi=
Eq.,
Eq.
oP..
3p.
#*.#{,
dpi = _5;: du +a;:au sehingga
do. x do41 -'1
aqi 39i Tiu -v=
oPi 5u-
duxdv
EPi
fi-
atau dengan notasi singkat kita tulis
dsi*gi=H# Notasi tmtuk determinan Dengan
di
dyxdl,
ruas kanan dinamakan determinan Jacobi.
notasi ini, persamaan (158) menjadi tertuliskan sebagai
fr +*P d-ux{v/t## yang
d,xd-v
berarti
I
I il
d(u,v1 = ,JL'lli 5Iu, vi'. :9{!Jadi kita hendak
membuktikan persamaan (159).
fmgsi generasi F=F(qPt) yang menurut persamaan (L53) berarti Dengan mengambil
p. -1 =1' aei
a, =3$ 1
dengan
Qi(trnrt) Pi = Pi(trnrt)
Qi. =
(159)
! 101
kita
dapatkan
api
a
aF.
Etq'
Eu
-=
-tF-
.-a j
oqj
'#'#.
3o.
a2,
'J -s i6F.du
ET:+
)
jalan yang sama, kita hitung pula sehingga akhirnya kita akan memperoleh
Dengan
rrm- -\'i
L
-tJ
1
Da;-
Av ")'1
{
-l a2r 0q.
Er
3u
'
aP. J
Eu
a2p
Eo.
aP.
Dpi bqi oan bqi ---)v
av')u
aPi
*
I ;r,E,' ^2p
a2r
rr-.
Er
-ai
l'1')
J
a"
3ei 5u a2p
+II ffi5p-. 'r) ij
-orT{:
1l
aP. 3u ' 1 J.TJ
I
a2p -bL
'Do.
rJ
'oj Eu
ffiF:ffi
Eqi
I 1
t
a2p
a" i@
(t1,nr)
:JJ'1aP.
- 1 (-or
qj
oai E
d
r
3ei
,qj
F-
5v
aei 5v
Harga determinan di suku pertana nuas kanan adalah
aai ,oj Uoj 5u Av -EMaka suku
itu
dapat
misalnya
5=55 il[- il/dv du 5v - 1L5=Q diganti
dengan yang
aP. r_J
aP.
3u
3u
aP. 1)
aP.
a2p
T 1
t_ : aP. a llJ
P.
Dv
Dv
lain
yang berharqa nol j uga,
{
t02
sehingga aP.
aP.
5u
0u
3(Q.,P*)
,
h=
0o. '1
)
1
a2n
Ii m-r 1J
+EX
ij
aP.
)
3u
3u
3ei
aP.
5v
?v
a2r
5rffi '1 )
aP.
1
AP.
J
F-
0v
)
yang dengan mengingat
n xi _aF "1 aP. akhirnya kita peroleh
3
(ei, pi)
nQj
aP.
5u
Eu
L a(Q.Pj)
l -5(u,D-- =f, j 1
=f, Tfu,-.,T j aQj
aP.
5v
Ev
J
15. Kurung Lagrange (Lagrgnge Bracket) Di pasal 14 dikemukakan bahwa tetapnya atau invariansinya integral Poincare yang dirumuskan oleh persamaan (158) berarti j uga tetapnya atau invariansinya determinan Jacobi yang diberikan oleh persanaan (159) , yang tak lain ialah
0q. Ep. En.
T 1
.'L
,-
'3u Ev
Eo.
'1,
I
3u 3v '
=
-
Secara singkat persamaan
{'''}o,n
r( i
3Qi 3u
ao. aP. aP. '1 1 1 -5:v -5u -t -
di atas kita tulis
= {u'v}q,P
r
/
sebagai ( 160)
Notasi dengan kurung demikian dinanakan kurung Lagrange, dan persamaan (160) mengatakan bahwa harga kurung Lagrange tak tergantungpadasisten koordinat kanonik, atau ruang fase, yang dipakai. Dengan demikian, index q, p ataupun Q, P tidaklah perlu dibubuhkan. Dari definisi kurung Lagrange, jelaslah bahwa
Iv,u]
=
- tu,v]
\ 103
Substitusi u dengan q. atau q. serta v dengan p. atau p. dengan ingat bahwa q., t' ni, n, J tak saling berkattan, yaltni
Egr . EP. Ep, Eq, J r : 6. d* '' = =1 =^r "ij ' apj= o - "t: ' 5ni ,oj T
=
meng-
o
akan menghasi lkan persamaan-persamaan
tqi, aj) = o {pi,pj}=o {qi, pj} = Uri Persamaan (161)
(161)
di atas dikenal sebagai
kaidah utama kurung Lagrange.
16. Kurung Poison (Poison Braclcgt) Kurung Poison seolah-olah berwujud kebalikan kurung Lagrange, Io-
itu didefinisikan sebagai Ev ou 3r., f I -.Eu Lu,vJ=it5q;mi-5ei
m;'
Dari definisi ini, seperti halnya dengan kurung Lagrange, akan kita +
dapatkan
Begitu
[,,"] = - [",,] pula akan kita peroleh hubungan-hubungan
[o* or] = o ["' ',] [or,
,J
-o
G62)
= 6ij
yang dinamakan kaidah utama kurung Poison. fungsi Hamilton b"n!.r, substitusi u dengan q. -t ataupun p. dan v dengan kurung Poison notasi ' ditrlis H, persamaan Hamilton dipat flengan sebagai
ei = p.
r'lrl ,l
Lot,
dan Pi =
Lrt, 'l
(163)
Ivlarilah sekarang kita tinjau besaran u yangmerupakanfungsi q lan t variasi u terhadap t diberikan oleh dPi dqi du =-,0,- ' Eu -tt, , api dt -i' 0qi dt
Maka
=
o,. finrr It H;
\
1C4
du -, Eu aH dt
3u
| l-
i.Oqi 3Pi
=
-
aH
I
8Pi EQi, -
= u, H
(164)
Apabila u ialah tetapan gerakan, yaitu tak tergantung waktu, maka nurut persamaan (164) ini,
(16s)
[",n]=o
Dapat ditunjukkan trhwa apabila v juga merupakan tetapan gerakan, begitu pula l_ u, v J , sebagai berikut Setelah melalui perhitungan yang panjang akan terbukti bahwa
r r ll
yang
me-
maka
[,,,]
* [,,
=Q [-,,,-l.l * [,, dengan mengingat Lr,u] = - Lu,vJ dapat pula ditulis
[F,'] , { =L', [','] - [',
sebagai
t",.,]]
Substitusi w dengan H akan menghasilkan j ikalau
f lF,rl r- -
-'r
, Hl -
o
J
f",H]=o
dan
fr,n]=o
17. Rotasi kecil dan lltpuls Putar {engan_Kurung Poison Di pasal 11 telah kita bahas hal transformasi kanonik, dengan fungsi generasi F yang menentukan pers.rmaan transformasinya. Kita sekarang hendak merumuskan transformasi kecil. Adanya transfornasi kecil yang kecilnya hendak kita nyatakan dengan e kita pandang sebagai akibat perubahan fungsi generasi Fr yang tadinya mentransforma -. sikan identik, artinya mentransformasikaf, kembali ke asalnya, atau secara fisis, tidak mentransformasikan. Mengikuti pasal 11 dengan mengambil fungsi generasi
FI akan
kita peroleh
=
i otn'
aF_ r P. = r.oei1. = P.
Qi= #=0,t-
I 105
yakni P.. = p. dan qi= g., artinya secara fisis tidak ada transformasi, transformasi atau setara'fornalitas'matematik dikatakan terjadi identik. Dengan demikian, ftrngsi generasi untuk transformasi kecil dapat kita
tuliskan
sebagai F
=leiPi+eG(q,P)
(q,p)
1
Dengan
fungsi generasi demikian, transfornasi kecil Qi
E-i
AF
dP.
t-
or=tr=0, Kedua persamaan
6qi = Qi
6pi
ini
AG ataU 'i P- = ri n. - e*-*- aqi
akan menghasilkan
='ft='
- ei
Pi - pi =
diberikanoleh
AG Qi *u 5F: 1
AG exdo.
+
akan
-.ft
variasi-variasi
ft
( 166)
.aG transformasi yang cukup kecil, narga _5p; kiranya tidak banyak berubah apabila P, di dalam S itu setiap kal dengan mengingat bahwa untr-rk
!,
li diianti
dengan p.
.
Dengan
kita lainl
kiranya
kitti
dapat mengganti
G(q, P) rnenj adi C (q, i) . Selanjutnya, stratu besaran u yang nerupakan fungsi q dan transformasi kecil, akan bervariasi sebesar
6u=
^ -,Du ,5; oqi
i
Eu
5o;
p,
oleh
oPir
yang dengan nengingit rumus (166) nenjadi l6u= c)":--Eu ' 3o. 1'1'1
Seandainya
aG Eu En.
Do.
aGEq.' -l
t[",0] u ialah fungsi Hamilton H, ma(a
(t67) persamaan {167) menjadi
[r,.]
6H = e yang dengan mengingat rumus (166), apabila G adalah suatu . tetapan gerakan, maka 6H = 0. Jadi transformasi kecil dengan tetapan gerakan selaku fungsi generasi, tidak akan merubah fungsi Haniltonnya.
Rotasi kecil, adalah keadaan khusus dari transformasi kecil. Kita tinjau rotasi kecil sekitar sumbu Z di dalam ruang Cartesian, dengan sudut putar kecil 60. Kita perhatikan gambar III.6.
1.06
;ff
tar
Dari
:. i: 60.
* Or) akan menghasitkan l!* * 6x, yoleh ;xxr:i.,xTl" %,xi,l,"l! ditentukan increement iudut pu_
hubungan
variasi 6x o.f"ill'X,iji'i;rortaran kecir.
x=rcos0 y = t sinO dengan mudah
kita
r,
dapatkan
6x=-rsinO6O=_y60 6y=rcos060 = x6O
(168)
variasi koordinat -yang diberikan oleh persanaan (16g) ini sudah tentu berlaku sama untuk'r"ilb.."rrg vektor ai'aaiam ruangcartesianr s€_ hingga untuk komponen-komponen imputs p berlaku pula 6P* - py 60 Rumus
un, = px
(16e)
60
Dengan menuliskan 60= e, persamaan bersama persamaan isyaratkan bahwa c adalah^seaemitia,i(16g) t iigg"-"-"'-
.#tx = _, dan
AG
5;-,y
=x
sedangkan persamaan (169) bersana persamaan (170) bahwa G memenuhi hubungan aG
AF = Py
dan
AG
dY
=-D
'x
(166)
meng_
( 170)
memberikan petunjuk
(177)
.i I
L07
Dari persamaan (170) dan persanaan (171) di atas,
kita dapat
menarik
kesimpulan bahwa
G-xPy-YPx dianbil selaku fungsi generasinya. Di lain pihak, ruas kanan persamaan di atas tak lain ialah Lz yaitu dapat
komponen Z impuls
putar l, yang diberikan oleh
ijk !=IxP= .xyz px Py pz Jadi untuk perputaran kecil sekeliling sumbu Z putar 60, dari runus (167) berlaku
dengan increement sudut
hubungan
.(r72)
6u = 6OI-u, L-l
L',z) Lebih lanjut, untuk sembarang vektor F, dengan
menguraikan
I=F*|*tri*FrI
persamaan (L72) akan menghasilkan hubtrngan
-- -r'z)
6r=601-F, L:l Di lain pihak,
dengan pertolongan gambar
6F =
k
( 173)
III.7 terlihat
bahwa (17 4)
60 x'F
x
Ganbar
Variasi vektor
F
III .7.
oleh perputaran kecil pada sumbu
Z.
108
Jadi kedua
(173)
persamaan
dan (17
4) nenunjukkan bahwa
['. I L-',' z) =T*I
(17s)
Untuk perpu taran sek eliling l!, dengan mengingat
r
[,,
r L*N* -l = t LI'
-'1
+Ly Ny +LN zz)
I
persamaan ( 17s) menj adi
r
E,
Dengan meng
t. d ingat
I*I
=
bah wa
. K-ar2 _aF dan dx dD
aF2
,/ h-
0x
=
tx -= maka dapat ditun jukkan bahwa -1
l-t ,! NI -J L-
=2F
F
=ip =;
Jadi
[r',! l]
* [t,.'t,]
+j
serta F2 =Fz +F2 *F2 2FSdP*xyz
[r,L L-
I*I
J:l
-0
(177)
Dengan sumstitusi F dengan L
persamaan (17s)
(176)
serta menguraikan L menjadi
Liy'- +Lkz-
L=Li+ -x-
me mberikan
-'l
["
+k ,L-l t)
--Li+L.i y-
fr,' ')
1lI =
001 LLL
.f
xa
Jadi
Adapun
F,.'tJ
=-l
Fr'tl
=l
L
l I
v
I
(178)
x
-0 V,,,,) )) substitusi F' dengan L' ke persamaan (177) f 't -1 Ir,' L I = 0
LZ)
I I i I
nenghasilkan (17s)
I 109
Hal yang nenarik perhatian ialatr persamaan-persamaan (178) dan (17e) nemperlihatkan adanya analoogi antara komutator dalam nekanika kwantum dengan kurung Poison dalam mekanika klasik ini. Dalam nekanika kwantum, terhadap ruas kanan persanaan
dengan
(178) dikalikan
faktor i J-. "2n
18. Teorema Liouville
Kita telah mempelajari bahwa keadaan sistem mekanis dapatdiltrkiskan sebagai suatu titik di dalarn ruang fase berdirnensi 2n. Perubahan keadaan sistem itu terhadap waktu akan terlukiskan sebagai gerakan titik tersebut di dalam ruang fase. Gerakan titik ituharus sedemikian rupa hingga persamaan Hamilton dipenutri. Seandainya kita rnempunyai banyak sekali sistem mekanis sejenis, maka hinpunan sistem-sisyang semuanya tem itu akan terlukiskan sebagai himpunan titik-titik bergerak di dalam ruang fase. Llntuk arus titik-titik itu Liouville mengatakan bahwa kerapatan' titik di sekitar setiap titik adalah tetap. Untuk jelasnya kita perhatikan ganbar III.8.
Bt Y
,--.Dl
B-z-
rl I I
.41Et
."1'
,7 r, - rlJ 3 a
lC.
'or'))
r2
b2
Gambar
I
,As
'.c3
,86 I
III.8.
Invariansi kerapatan titik di dalan ruang fase.
ABCD dan seterusnya dari saat t1 ke saat t, Berubahnya keadaan titik-titik dilukiskan oleh gerakan titik-titik tersebut dari A, ke Ar, - dari B; ke 82, dan seterusnya. l,hka menurut Liouville, kerafatan - titik di sekitar A., adalah sama dengan kerapatan titik di sekitar A, ; begitu
pula untufr titik-titik lainnya. Dengan kerapatan di sekitai titikAitu p. pernyataan di atas dapat dirunuskan sebagai .A , dpA
-zf
=
o
110
Kita tinjau Pada saat
elemen volume dpdq di perubahan kerapatan
sekitar titik A yang bergerak itu. terhadap waktu di A; adalatr
tr,
*
titik
,o dp dq) = #
dpdq
Perubahan kerapatan di A? itu disebabkan oleh karena banyaknya titiktitik yang nasuk ke elem6n volume itu persatuan waktu tidak sama dengan banyaknya titik-titik.yang mengalir ke luar persatuan waktu. Apabila yang ke luar lebih banyak daripada yang nasuk, maka kerapatan-
nya menjadi berkurang. Dengan pertolongan gambar III.9 kita lihat bahwa banyaknya masuk ke elemen volume pada arah sumbu q, diberikan oleh
titik
yang
pQdp
,o.F
dq){
q
Gambar
Arus titik
di
II I.9.
dalam ruang fase.
dengan pQ tak lain ialah rapat arus titik sepanjang arah sunbu q di sebelah kiri dinding elemen volume, sedangkan yang ke luar dari elemen volune itu adalah
,.4 -tp{.
Dengan demikian sumbu q adalah
[pQ
*
f
(pti)dqldp
resultante yang ke luar dari elemen volune pada arah
fr tm
I
dq
]dp - pq dp =
roCt dq
foDengan cara yang sama akan kita peroleh arus titik
(. 1pp
*
a
E
1l
(pp) dp] dq -
pp dq =
+
dp
pada arah sumbu
(p p) dp
dq
p
.
111
resultante yang
sehingga adalah
fr
.
cool dq dp
luar dari elenen
ke
voh:me
pada kedua arah
$ roOl dp dq = tfr rofl --$ trnl ) aq
ap
Pada kenyataannya arus titik itu adalah pada segala arah; nanun kita selalu dapat menguraikannya menjadi komponen-komponen pada arah sumbusumbu q dan p. Jadi kita dapat nengatakan bahwa berkurangnya titik-titik per'satuan waktu di dalam elemen volume dp dq di A, adalah
#dpdq=rfroo.+ yang
tu
lalu
(PD)
j
dpdq
menghasilkan perubahan kerapatan
titik di
A2
per satuan
wak-
-P=u*.P3'f .o(ffi.ffir
Selanjutnya dengan nengingat persamaan Hamilton (146), ruas kanan nemberikan
ad a6 !
J-
Dq 0p
=
snku ke tiga
a.aH ) Eq'Ep +,-3[, 1-
=--a\ opoq -
a2u -5pEq
-0 sehingga
kita
dapatkan
3p_,0p *P-E-p' .0p
E=l
( 180)
o
Adapun perubahan kerapatan per satuan waktu di sekitar A yang bergerak itu sama dengan perubahan kerapatan per satuan waktu sesaat di tempatA sedang berada (nisalnya di A?) ditambah dengan perubahan kerapatan per satuan waktu sepanjbng arah Eergerak A. Atau kalau dirumuskan
*=ip.+ dt at Akan
tetapi
berikan oleh
perubahan kerapatan
di sekitar
aoR Do do Eo
at
Eq dt op .Ep -,op =qfi*PEF
:=-J---J-!.+--l-
(181)
at A karena bergeraknya
A di-
do
dt
Dengan demikian persamaan (180) dan persamaan (181) menghasilkan
$=o
( 182)
Lt2
tak lain ialah perumusan teorena Liouville. Teorema Liouville ini merupakan bagian yang berperanan mekanika statistik dan ternodinamika. yang
penting
dalam
"l
115
IV.
1.
MEKANIKA BENDA TEGAR
Pendahuluan Benda
tegar (rigid body) adalah sistem materi yang nassanya tersecara kontinyu dan bagian-bagiannya berjarak tetap sasehingga konfigurasinya atau bentuknya adalah tetap.
terdistribusi tu sama lain,
Jadi kemungkinan gerakannya pada umunnya adalah translasi (bergeser) sanbil rotasi (berputar) dengan sumbu rotasi yang boleh jadi berubahubah letak dan orientasinya (arahnya) . Rotasi pada suatu titikpada hakekatnya adalah rotasi pada sunbu yang melalui titik itu dengan orientasi sumbu yang berubah-ubah. Seperti halnya dengan sistem titik materi, kita kenal definisi yang sama pula untuk titik berat dan lain-lain, kecuali bahwa untuk benda tegar penjumlahan signanya diganti dengan integral, sebagaimana dinyatakan oleh persamaan (50b) dan persamaan (68) .
2.
*.
Transformasj- Orthogonal Perubahan orientasi benda tegar kiranya dapat dinyatakanoleh perrubahan orientasi sumbu-sumbu koordinat Cartesian yang kita tanbatkan pada benda tegar sehingga berputar mengikuti perputaran benda tegar tersebut. Sistem koordinat dengan sumbu-sumbu koordinat Xr, Y', Z' dan berpusatkan 0t di dalam benda ini hendak kita sebut sistem koordinat benda St. Adapun suatu sistem koordinat yang sunbu-sumbunya X, Y, Z tetap, terhadap mana perputaran sumbu-sumbu koordinat Xr, Yt, Z'hendakditinjau, hendak kita sebut sistem koordinat ruang S dengan pusat koordinat 0, mi salnya .
Marilah
kita perhatikan
gambar
IV.1.
'1"',i il )*."'.
,".i/Z
Gambar IV.1. Rotasi sistem koordinat benda beserta rotasi benda.
114
Perubatran orientasi benda tegar dapat dinyatakan oleh berputarnya sumbu-sumbu Xr, Yt, Zt di dalam benda tegar, terhadap sumbu-stunbu X, y, Z yang tetap itu. Untuk mudahnya, kita pilih sistem-sistem koordinat Sr dan S yang mularnula berimpitan satu sama lain. l,bka perubahan orientasi itu nisalnya sedemikian rupa hingga sumbu Xr lalu membuat sudut o dengan sumbu X, sumbu Yt lalu membuat sudut B dengan sumbu Y, dan sumbu Zt lalumenbuat sudutldengan sumbu Z. Secara aljabar, perputaran sumbu-sumbu koordinat Xt, Yt, Zt terhadap sumbu-sumbu
dinat X, Y,
X, Y, Z dapat dinyatakan sebagai transfornasi sistem koorZ.
Transformasi demikian, yakni yang sedemikian rtrpa hingga sisten koordinat yang orthogonal, artinya tegak lurus satu sama lain, tetaporthogonal, dinamakan transformasi orthogonal . Hendak kita selidiki sekarang rumus-rumus dan sifat-sifat transformasi orthogonal tersebut. lvtisalkan sepanjang sumbu-sumbu koordinat X, Y, Z di dalam sistem koordinat ruang S kita sangkutkan vektor-vektor satuan berturut - turut et, a), a<, serta begitu pula sepanjang sumbu-sumbu koordinat Xt, Yt , Z' di dalan sistem koordinat benda St kita sangkutkan vektor-vektor satuan e1, a|t ost . ' ' Maka untuk suatu titik P di dalam sistern koordinat ruang S dapat kita
tulis vektor koordinat r
sebagai
I=*ul*Yez*r"3 Sedangkan terhadap sistem koordinat benda akan tertuliskan sebagai
{-
Sr vektor koordinat titik
P
It -*tu1' *YtaZ'+zer' dengan sudah
tentu selalu
:'=: sebab 0r selalu berimpit dengan O. Jadi berlakulah hubungan * yte2' * z'a3' = *"1 + ye. + ze,. "t"l.t Dari persamaan ini hubungan antars xr, y' , z I dengan X, y, z tidaklah mudah dilihat. Maka sebelunmya kita perlu mencari hubungan antara e.,r, ert, ert dengan a3, hubungan mana ditentukan oleh suatu funf;si "1, "2, transformasi yang mentransformasikan sistem S ke sistem Sr. Hubungan demikian kita peroleh sebagai berikut. Cosinus sudut antara er', dengan el; e.l e, berturut-turut ialah "lt. ert.er; err.er; dan demikian pula untuk yang lain. "1i Maka dilihat dari sistem S, vektor-vektor er', a2r dan err akan terbaca sebagai
*i. i
11s
(el' ."1) e, + (er, .u2). e, + (er' ."S) us "1' = (eZ' .u1) e, + (er, ."2) e, + (ert ."S) .s "2' = (es' .ul) e, + (er' .er) e, + (er' ." j) es. "s'' = atau misalnya
*'L3t3 tr"r"l * "r.t = ^rztz .2t = ,Zl.l * * ^22"2 ^23"3 ust ='s1"l * *
(1gS)
^3ztz "ss"J Jadi transformasi dari S ke Sr adalah linear danditentukanoleh matrix transformasi
ul1 A-
'L2 ^2L ^22
^sr u3z
^rs ^23
^ss
menurutkan
er = Ae ii)
I
(1g4)
e' adalah vektor-vektor yang komponen-komponennya adalah vektor-vektor satuan ul, e, dan e ,t, err, "2, "jr. Sebagaimana dikatakan di atas, transformasi ini adalah transformasi orthogonal yang sifat-sifatnya akan kita rumuskan berikut ini. Sifat-sifat orthonormal a3, yaitu sifat bahwa dan "1, "2, "ZL"S "LJ panjang uL, .2, e, masing-masing sama dengan satu, dapat dirumuskan dengan hasil kali skalar vektor-vektor satuan 6rj, (i, J = l, 2, s) ( 18s) "i."j = dengan e dan
Hal yang
- 1 bilamana i = j 6,* tJ=o bilamanailj sama berlaku juga untuk e.-t, err
e.r.e.t 1 J - 6.. 1l Selanjutnya dengan nenuliskan e.l = I a. r k 1k
dan
err
yakni ( 186)
persamaan
e-
k
(183) secara singkat sebagai ( 187)
116
persamaan (186)
meniadi,i.",
t "t) . ,1", r "r) =orj
yang bersama persamaan (185) menghasilkan
i 'ro"in = 6rj yang
berarti
( 188)
misalnya
**Lz *"lJ =1 t1t222 222 *^zz *^2s -1 ^2L
dan
*'Lz'22 * * '2L'sr ^22'sz'
^rr^zl
^L3^23
^zs^ss
=
o
=
o
Dengan menuliskan
/"r\
/\
o=[
"J \"r/ dengan
^L, ^Z
dan
a, adalah vektor-vektor
t1 = ("11 a, -- (ar, "3 =
^r'2 "ts) ,22 ^zs)
('31 '32
^ss) maka persamaan (186) mengatakan pula batrwa vektor-vektor a, , t.), dan uZ, e3 maup,aa adalah orthonormal, seperti halnya 6Zt,€St. "L, ";,, Sifat penting yang lain dari natrix A ialah bahwa deterninannya berharga 1. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut. Dari persamaan linear simultan (185), sebaliknya e dapat pula dinyatakan sebagai konbinasi
linear dari er yakni
e = A-le' dengan A - selaku matrix inversinya A yang komponen-komponennya misal_1 nya ialah a. l, sehingga persamaan (187) memberikan ' L)' _1
_1
e.r -i = I a..-e -ik-k
Demikianlah maka
[ kita dapat menuliskan
L17
I a..e. e.r 1.1 J 1 = )*. ,ik a ^-1 uk, -= F , o.. ! tJt j -1 = II "l j "itt "k' j k Akan tetapi komponen-komponen er (begitu juga e) tidak satu sama lain. dari e-k | Jadi e.r "- - -r-'---- kombinasi linear :- bukanlah me'rupakan lvlaka persamaan di atas pasti berarti
bergantungan
-
v
-1 j ^ij"ik = tik Tetapi di lain pihak kita mempunyai
I.. a..a. =o..r.K I 1JKJ Jadi -1
'jt
sedangkan
sehingga
=
Lj
an. adalah transposenya elemen ai1, Yakni
k: = "jt _1
atau
":n = 'jt _1
A-
=At
Yaitu inversinya sama dengan transposenya. Dengan mengalilan masing-masing ruas dengan menghasilkan
A, persamaan di atas laIu
M-1 = AA' yakni
atau Mr=f
I-AAr
jika I adalah matrix satuan Yaitu T_ Menurut
100 011 001
aljabar determinant, berlaku
lABl= lAl
lBl
hubungan
( 18e)
118
sehingga persanaan Akan
IAA'l =
tetapi berarti
lol
Adapun seandainya
=
lnl ln'l = lll -1
lA'l = lnl lol' - I lnl = lL
Jadi yang
di atas memberikan
-1,
1
[=
0 0
maka
refleksi,
bersangkutan dengan
lnl -
00 -1 01
bukannya
rotasi,
sebab
0
-1
Tetapi matrix A demikian bersangkutan dengan refleksi sumbu.y, karena memberikan
-1 Al=-a "2
"2
"3t =
"s
Pl=a
Hal yang
sama
A-
"1
berlaku pula untuk
-1 0 010 001
0
1
dan A-
0 0
00 10 0
-1 yang nemberikan refleksi sumbu X dan sunbu Z. Jadi yang bersangkutan dengan transformasi orthogona L adalah matrix yang memptmyai sifat
lnl -1 J.
A
(1e0)
Teorema Eu1er Pada pembahasan transformasi orthogonal, kita tinjau perubahan orientasi benda tegar yang dinyatakan oleh perputaran sistem koordinat benda sr di dalam benda tegar terhadap sistem koordinat ruang s
yang tetap.
.1.
119
Euler mengatakan bahwa untuk setiap transformasi orthogonal seladitemukan satu sumbu putar sesaat yang bersangkutan dengan transformasi ituSunbu putar adalah garis yang tidak ikut terputar, yakni berarti titiktitik padanya memptmyai koordinat-koordinat yang tidak berubah terhadap sistem koordinat ruang s yang tetap itu. 01eh berputarnya benda tegar, setiap titik pada benda tegar, (kecuali titik-titik pada sumbu pu[ar) akan mengalami perubahan koordinat-koordinatnya terhidap sistem koordinat ruang S seperti halnya dengan vektor-vektor er t, 6r,, e.' yang ada di dalam sistem koordinat benda sr, yaitu menuiutkfn flersamaan transformasi. Maka
Iu dapat
xf =a11**rl}y*^13, yt =^ZL**^22y*rZS, zt=t31**^szy*^3s,
(1s1)
dengan xr, yt , zt ialah koordinat-koordinat di dalam s I sebelum'maupun sesudah perputaran, sedangkan x, y, z, adalah koordinat - koordinatnya di dalan s sesudah perputaran. seperti harnya dengan persamaan (1g4), begitu pula persamaan (19L) dapat disingkat nenjadi
r'=Ar
(te2)
hal ini transformasi e diberikan oleh e' = A'" Jadi untuk titik di sumbu putar, berlaku hubr.rngan Ar =: Dalam aljabar matrix, r disebut eigenvector matrix Ayangeigenvaluenya Dalam
adalah 1. Dengan perkataan lain, dalam batrasa aljabar matrix, teorema Euler mengatakan bahwa eigenvalue dari eigenvector matrix orthogonal adalah 1.
Hal ini hendak kita buktikan sebagai berikut. Persamaan eigenvalue pada umunnya ialah
AI=II
(1e3)
yakni
* *t.y * araz = l. x * * ^2!* ^22y ^2s. =\y * a32Y * arrz = xz "s'*
"11* atau
Persamaan simultan apabila determinan
(rff -l) x+arry*r13, =Q ^Zt*** GZz-\)y+arrz=O * ("sS -l)z = 0 ,31* "s2y dengan 3 variabel x, y, z ini dapat dipecahkanhanya
120
ttt -l
a2r ^sL
^rz
"1g
^zz-\ ^32
,zs
=$
"gs-tr
yang menghasilkan
-3 - 1-2 (atl * azz * .3S) * I* l(at1 ^Zz * ^22 ^s3 ^Ll ^ss - ^23^32*....:......) * (atl + ^Z3rs. ....... ) - 0 Misalkan akar persamaan di atas adalah 11, 12, iS. Maka persamaan di atas sama dengan persafiaan(1, - rr)(r - r2)(r - 15) - o atau 5-
Z_ * L2 + trj) I" - ),-(lt
+ l(),1tr2 +
.... ) - tr1t2tra = 0
yang dengan nencocokkannya dengan persamaan .-L n .'2 * ..3 = * r22 * r33
tr .). -I
yaitu
sama dengan
di atas kita
dapatkan
"11
trace (spur) atau jumlah diagonal matrix A,
dan
I I I'.s _^ L 2 = aLLaz3'32* = lAl Jadi nengingat persamaan (189) untuk matrix transformasi orthogonal, berlaku
I I ). -' 1 2 3-
(
L
Di rain pihak, dari persamaan (192), gatenya, kita dapatkan (Ar)* = 1* ,*
1e4)
dengan mengambil transpose conju-
yakni
,* A* = l.* ,* Tanda + dimaksudkan untuk
notasi transpose conjugate yakni sesudah ditransposekan - lalu diambil conjugate komplex-nya, sedang tanda * adalah notasi untuk conjugate komplex 01eh karena A adalah matrix rieel, maka
A+=A' sehingga
+ rAr
-I -* r +
L2L
Dengan rnengalikan Ar di sebelah kanan masing-masing ruas dan nengingat pula sifat matrix orthogonal persamaan (L89) serta persamaan (193) kita peroleh
,*AtA, = tr* r+
Ar
atau !I
r r = l,* r' = yang
berarti
Ini berarti
tr*
).r
),r*r
tr*). = lbahwa ). berbentuk
r=.:iq Jadi kemungkinan harga-harg3
ta mengingat persamaan (194) adalah ^,
If, \2, tr,
atau boleh jadi
di atas ser-
= -'
1't2 - -1
l.-J
menurut uraian
=
(
1es)
1
=" iq \2=6 iE
11
( 1e6)
trs=1 Persamaan (195) tidaklah cocok dengan kenyataan, sebab ).= -1 berarti refleksi, sedangkan rotasi takkan menghasilkan refleksi. Jadi persamaan (196) yang harus diambil sebagai penyelesaiannya. Bahwa tr, = 1 menunjukkan adanya suatu sumbu putar tertentudalam transformasi drthogonal tersebut, dan ini membuktikan kebenaran teorema Eu-
ler.
4. Sudut-sudut
Eule_r
Di pasal 2, transformasi orthogonal ditentukan oleh harga - harga a.. berdimensi 3 x 3 ; jadi ditentukan oleh 9 parameter. Namun sebenarnya ke 9 parameter itu tidak bebas satu sama lain, sebab dibatasi oleh hubungan parameter-parameter menurutkan persamaan (188) yang dapat diuraikan menjadi 6 buah persamaan elemen matrix
I
t22
222. *^Lz *"ls =r "1r. 222*'zs = r * ^2r22 ^zz *^sz *ass"=L ^sL o *'Lz'22 * ^ls'zs = 'LL^2L *'2s^s3 = o * ^zL'sL ^22^sz . t31"11 * '32'!2 * "sstls = o Ke 6 persamaan ini menberikan penyelesaian untuk sebanyak 6 parameter. Jadi iebenaralya paraneter bebasnya hanya 9 - 6 = 3 buatr saja. Maka Euter nempetrtimbangkan trntuk nenuliskan elemen-elenen matrix orthogonal itu sedemikian rupa hingga hanya didapat 3 parameter selaku
;ffi::"LHlHl#
bahwa setiap rotasi pada suatu surnbu dapat dicapai dengan S langkatr dengan masing-nasing langkah adalah suatu rotasi pada surnbu koordinat, maka tentunya sudut-sudut putar pada nasing -masing langkatr boleh dipakai selaku variabel bebas. Kita perhatikan ganbar IV.2.
puti
(2)
^"35
"r.
=u-
(5)^ _.
(1)
-JJ
1,)
"1
=
e1
-
Ganbar IV .2. Sudut-sudut Euler dalam langkah-langkatr rotasi.
Untuk ke 3 langkah tersebut diambil langkah-langkah sebagai berikut. Mula-nula dengin sunbu bervektor satuan e, tetaP, e, dan e, diputar se-
sudut putar q
t" "r(1) at. ur(1).
t23
Kemudian dengan
"r(2)
drn
"r(r)
tetap,
"r(f)
dan
ea(l)' = e, diputar sesudut
"r(2).
O ke
Akhirnya dengan ur(2) tetap, er(2) = e1(1) dan e, (2) aiputar dengan su-
dut putar sebesar Y tu ur(s) d.n "r(3). Dengan demikian, wrtuk langkah pertama berlaku e1 cos t * sin rp "r(1) = "z '"r(') = -"1 sin tQ + e, cos tt
er(1)
^'"" (e.
(1))
=
*3
[ .", ,q
sin
rp
.]
cosQ ol l"],t,1 = l-sinq o o
l."it"j
l.
-vl ^(2)_^(1) "1 "r(2) = "a(5) =
e2(1) cos e + ej(1) sin
-ur$) sin O + es(1)
atau
[,;l;]lI
seda ngkan
"r(3)
"r(3)
aQ) -1
-
-"r.('
t.",t"J
"r(1)
-sin
e.orrl
-*3 (1)
"r(L)
/
cosY+e2 (2) sin y sinV+e2 (2) cos v "
{.
o
cos
=
[";:,]]f
cos
o
,) 0 sin0l
untuk langka h terakhir, Uu.trk,,
.(3)= "1
atau
L0 0 0
['i]
')
dan untuk langkah kedua berlaku
V sin Y 00 cos
sin cos
r(2) (2)
YO YO
"1
tz 1
e--)
(2) (2)
L24
sehingga resultante ke
"r(s)
eG) e, (3)
yang
lalu
cos
q
-sin
{[
lan gkah tersebut ryemheri kan
3
sin
rp
cos
t[
0
^SZ
YsinY YcosY0
sin
sin
0 -sin 0
cos
0
u1
"2
"s
menghasilkan
= cos tf cos Y
t1
aZL= -sin q cosY- cos aZZ = -sin Q sinY+ cos a2S = cos tQ sin 0 aS.-
cos
0
cos
ll
0
- sin aLZ=cosQsinV+sintf = sin Q sin 0 "1S "11
00
Q Q
cos 0 sin cos O cos cos cos
Y Y
0 sin V O cos V
= sin 0 sin Y = -sin 0 cos
Y
= cos 0 ^35 Sudut-sudut Q, 0, dan Y yang merupakan variabel-variabel bebas dalam natrix transformasi di atas dikenal sebagai sudut-sudut Euler.
5.
Parameter Cayley
- Klein
Seperti halnya dengan Euler, begitu pula Klein hendak menyatakan matrix transformasi dengan elemen*elemen yang mengandung 3 variabel bebas saja. Untuk mereduksi 9 parameter elemen matrix menjadi 3 variabel bebas, Klein berpaling ke natrix kornplex. Denganmatrixkomplex, setiap elemen akan berisi 2 variabel yakni 1 untuk bagian rieelnya dan 1 untuk bagian inaginairnya. Dengan demikian matrix transfornrasi yang tadinya berdimensi 5 x 3 dapat disederhanakan menjadi matrix komplex berdinensi 2 x 2. Antara matrix rieel dan matrix komplex menang ada analoogi, yaknikalau dalam aljabar matrix rieel, sifat simetri matrix rieel tidak berubah di bawah transformasi orthogonal, maka dalam aljabar matrix komplex, sifat Hermitian suatu matrix komplex tidak berubah di bawah transformasi Unitair (Unitary transformation). Maka dipilihlah suatu matrix Hermitian berdimensi 2 x 2 yang mengandung 5 variabel bebas x, y,z,di dalam apa yang disebut ruang spinor, yang menyatakan vektor di dalam sistem koordinat Cartesian berdimensi 3. Llntuk nratrix Hermitian tersebut dipilihtah yan g berbentuk
x-1y H["
+iy
-Z
I )
(1e8)
'1
t25
Adapun selaku
matrix lInitairnya yarlg Dentqgnsfornasikan matrix Hermi-
tian secara l.jnitair, misalnya dapat dituliskan
sebagai
t]
rr= ["
(1ee)
[a
6J
Analoog dengan sifat orthonormal matrix transformasi orthogonal A yang dinyatakan oleh persamaan (188) . matrix tlnitair di atas menpunyai sifat orthonormal menuiutkan kaidah UU+ = U*U = I t O j, Xakni
+ B*B=1 c,*cr * * a
a+
;;.'I
6
6=
1,
uuil=3"""
o*o* . =l Io',J BIB * 6 6 = t"
(2oo)
I-3.: .3:3
Dari syarat orthonormalitas persamaan (200) ini diperoleh
hubungan
c[*0,=6*6
a*a=S*g
(zOL)
Selanjutnya seperti halnya syarat orthogonalitas persanaan (190) dikehendaki pula ul_l" , 'a 6l
(202)
Dari persamaan (200) dan persamaan (202) dapatlah dipilih
3= 3; Dengan pemilihan demikian, persamaan transformasi Unitair yang menterjemahkan transformasi orthogonal dari (x, y, z) ke (Xt, It, zr), adaIah sedemikian rupa hingga
[o Blf, *-iyl [u 'nu*=1, u.J[..r, -,) [, (r' =| [*'*iy'
x' - iy') I -r')
-Bl
") (203)
Dengan menyelesaikan perkalian ke 3 rnatrix, persamaan (203) memberikan hubungan antara xt , y, , z I dertgan x, y, z sebagai
x' = \ (oz - a2 * y, =\i(oZ *a2 zt=(Bd
-
cl8) x
d2 g2
di
- gZ)x * rie2 - o2 * d2 - g2)y + (86 - 62y** Lr(az +A2 *gZ * 62)r-i(o$+ + i [oD + $$;y
atas ag)z D6)z
(ct6 +$| ;2
i L26
natrix A s.ekarang ternyatakan dalan variabel-variabel o, B, a, dan 6, yakni Dengan demikian elemen-elenen
(r,ro'-d2 *a2 -gz);rr (a2 - o2 *62 -s2); -a6 -oB l a=f zi7a2 *a2 -92 -a\; tz@2 *a2 *gz *62); -i (oB +aollczoal I \
;r^l,aAr. i(oO+86);
^ 86-40;
^A,r^l s6*Ba,j
o, B, a, pada dasarnya dapat diperoleh dengan menyamakan persamaan (204) dengan natrix di persamaan (197). Tetapi sayang penyelesaian aljabarnya dengan cara ini sangat berkepanjangan. Cara yang lebih sederhana ialah dengan melalui langkah - langkah rotasi pada perumusan sudut-sudut Euler di pasal 4. Dari langkah pertama, kita tulis Adapun hubrmgan antara parameter-parameter Cayley-Klein
6, dengan sudut-sudut Euler Q, 0, V,
x(1) y[1) yang
lalu
= x cosq =_x sinQ
+
ysinQ
+
ycosQ
memberikan
x(1) * ir(1) = (x + iy) "-iQ x(1) - iy(1) = (x - iy) "iQ yang dengan membandingkannya dengan hasil manipulasi dari (203), kita dapatkan
6=
persamaan
"-2iq
c' = "%itQ B = 0.
3=0 sehingga
di
dalam ruang
spinor, langkah rotasi pertama itu ternyatakan
oleh matrix komplex dimensi 2 x
(* B) tt_t tt-l
l"Intuk langkah
2
(" %iQ
6j [a [o rotasi yang kedua,
.l
.,-rrr )
(2) X'=X
,.(2) y=y
zQ) =
I
O+zsin0 -y sin 0+zcos0 cos
(20s)
i I
t :
i
-I
t2';
atau
(,
x(2) y[?)
=
lo
o
coso
I
zQ)
\0 -sin
0
kita terpaksa membandingkan
,,:][l]
elemen-elemen matrix rotasinya dengan elenen-elenen matrix pada persamaan (204) yang renghasilkan
,(o2-a2*a2-g')=l \i(az *32 -g'-a\ =s 86-o3=0 \iG'-o2 *a'-g') =g , toz * a2 * 92 * 62) = cose dst. Setelah manipulasi peroleh
aljabar atas persamaan-persamaan ini, kitaakan men-
*l_/'""' r"
i,i"ro) o,J l, \'sin ! o coshof
(206)
Adapun untuk langkah rotasi ketiga dengan mudah kita ikuti bentuk yang sana dengan yang pada langkah pertama hanya untuk tp kita masukkan Y, sebab langkah ketiga itu adalah juga rotasi pada e, atau sumbu Z seperti halnya dengan langkah pertama.
Jadi trntuk langkah rotasi ketiga dapat kita tuliskan
Bj = l"'r ' 'l oJ e-%iu1
l"
(zo7)
L,
Ia
akhirn ya dengan mengalikan matrix-matrix ruas kanan persamaan-persanaan (205 ), (206), (207) berurutan, matrix rotasi dengan sudut-sudut Euler selak u variabel-variabel yang diberikan oleh persamaan (197) di dalam ruang spinor menjadi berbentuk lvlaka
["a I
ul =
oJ
,I[.",to i'i'zol 'riP f"f rin L,t o f" [o "-"t9 [i
cos
I "%i(t[+Y) cos L, [, e%i(v-q) sin
L
%
)
Lt
ie%i(q-U sin
o "-%i(q+9 cos
:,)
O
t'l
""'r)
r 1c
Adalah menarik untuk diperhatikan matrix
f'
H
yang kalau diur
,.
- t''l
-z ) Ix*ir aikan menjadi berbentuk
'l .,[' ['i"' ,)'[' ,)
'l +zf'
-t)
* r(,
* y(v
=xdx
['
,l
Jadi matrix Hermitian H seolah-olah adalah suatu vektor di dalamsisten koordinat yang vektor-vektor satuannya sepanjang sumbu - sunbtrnya yakni adaLah matrix-matrix dimensi 2 x 2' 6x, (y,6, Dalam mekanika kwantum
,
(0
(*= I (v=
[1 10
1
I I
o) -1)
Lr
oJ
0)
11
(' = [o
-')
(r= l.,
,)
fl
0)
dikenal sebagai matrix-matrix Pauli yang oleh Pauli dipakai wrtuk menyatakan rotasi sPin elektron. Dj- atas telah tita petajari, bahwa rotasi sekitar sumbu Zdi dalamruang rpi"ot, dinyatakan ol"tt-pelsamaan (205). Dengan matrix - matrix Pauli, ,nitri* rotasi tersebut dapat dinyatakan sebagai
(a
B)
ll=lr6J [,
[*"itQ
Io
o
)
"-''iQ
J
(cos'ttq * i sin L, Q
=ll[o
O
l
- i sin % QJ = ( r cos %r[ *(, , sin rztg cos14 Q
(208)
L29
Sedangkan j adi (
I
rotasi
o
B)
I 6j
[a
pada sumbu
)rang dinyatakan
X
oleh persa4aan (206)
=(cos%o * Gi sin L, o
men-
(209)
Y, yang di dalam ruang Cartesian ternya-
Adaptut untuk rotasi pada sumbu takan oleh hubungan
xr = x cosy + z siny y'=y zt=-xsinY+zcosV atau
[.'l [.o= v = ly'l ,'J l0 \-sin Y L
o 1
0
sin vl
r,.l
.3'*J
)
lrl 1.,
dengan cara membandingkan elemen-elemen matrixnya dengan elemen - elemen matrix persamaan (204), setelah melalui manipulasi alj abar diberikan
oleh
f"
B'.l
_ fcoskv -sin%Y'\
L, ,,J =
Sampai
[sin
%
v
I
.os ,,Y )
('Icos >l* id,
sin
di sini kita perhatikan
>rY
(210)
bahwa persanaan-persanaan
dan (210) adalah sebenttrk, sehingga secara tmtuk rotasi sekitar suatu sumbu
(a
umum
kita
(208), (209),
dapat nerumuskan,
Bl
l: :l6J =(.or\Q*i(sin%A 'r I 'Y ta
Perumusan persamaan (203) ini titik di dalam diagram Argand
i(
mirip dengan pernyataan koordinat suatu seperti yang tergambar di gambar IV.3.
srn \0
(1 tot t;0 Rotasi
(211)
Gambar
di
IV.3.
dalam ruang spinor.
130
Rotasi sehesar 0 di dalam ruang Cartesian akan ter-terjeuahkan sehagai sebesar 't 0 di dalam diagran Argand yang lalu disehut ruang spinor karena b.ersangkutan dengan rotasi spin ; demikianlah maka rotasi 2n di dalam ruang Cartesian yakni yang memutar ke posisi sernula kembali, di dalam ruang spinor akan ternyatahan sebagai rotasi n, yakni rotasi \ jalan sebelum kembali ke posisi semula. Atas dasar perniklran inilah maka diketemukan bilangan kwantum spin untuk elektron sehesar a Lr. Hallain yang juga menarik perhatian, ialah hasil manipulasi
rotasi
FIH*
222
0
0
22 .r.-) x+y
f- +y +z
=
I
(.
(x- +y'+z') yang
berarti
rLya
I i
0)
t'
-2 2 2[x+y+z) )))
)
i l
,)
Io
6'.,
bahwa H seolah-olah
bertindak selaku vektor yang panjang-
22 x+y+z
Lagi pula sesudah mengalami transformasi Unitair, kita lihat
yang
(, Hr (H,)* = (x''*r''*r'', =HH* berarti bahwa transformasi Unitair tidak
merubah panjang 'tvektor"
H.
6. Rotasi Kecil Suatu rotasi pada suatu titik boleh dipandang sebagai urut-urutan rotasi-rotasi kecil pada suatu sumbu, dengart sr:tiap kali sumbu rotasi itu berubah-ubah Kita hendak mempela_iar:i bagaimana merumuskan rotasi pada suatu titik. Rotasi kecil sistein knordinat benda S' terhadap kedudukannya semula "
yang
berimpit dengan sistem koordina.t ruang S dapat dirumuskan dengan
persamaan
6"1' = 6fl* e, + 60rre, + iit?rre, 6"r' = 6021 e, + 6flrr.Z * 6Q23.s
6"r'=
6051
e, + 6f)rre, + 6Qrre,
(2t2)
atau dengan notasi matrix
u"'' I I I 6"r' I
Iu".'
j
=
( unr, 6CIr, 60rr)
[ "r]
6ezr 6ozz onr,
1", ["r,}
|
lon
I
,, 60j2 6CI33 J
I
131
atau lehih singkat
6e' = (6n) e
(2Ls)
tntuk jelasnya kita perhatikan
gambar IV.4.
uJ' =
"s
"i="
tz' = tz 0e
,
(1) Gambar IV.4 Rotasi kecil sistem koordinat benda terhadap sistem koordinat ruang.
Karena
6er'I e, dan 6er' I
e,
dan 6er'I e,
maka
6or, = o dan 6flr, = 0 dan 6Qr, = 0
(2t4)
Selanj utnya
(et + 6e,
)I
(uz + 6er')
maka
("1 * 6er')
(eZ +
6er')
=0 yang dengan mengingat persamaan-persamaan (212) dan (214) serta neng| e, sehingga e1 .@Z = 0 dan seterusnya rrenghasilkan ingat pula
"1
6O21
Seperti itu pula, karena
= -60f2
* H
x
132
!i
*
' akan
kita
G, * 6.eat) ! (u3 * 6er')
(",
oer') I
(ez
6ert)
peroleh
- 60r, 60J2 = - 6AZS 60JL =
Dengan
demikian, trntuk matrix (E0) , kita dapat menulis misalnya
(o (60)
= l_un.
6os
6CI,
o
6CI,
)
I
[ 60,
(21s) I
I
,)
-6CIr
Kita perhatikan bahwa matrix 16CI; sudah tingga 1 mengandung 3 variabel saja, rneskiptrn tanpa transfo rmasi ke sud ut-sudut Euler.
bebas
Dengan
penulisan demikian,
maka
6"1'=er6flr-erdQr=6CI *"1 6uZ --edftr+erdftr=6CI *"2 6"J' = erdQ, - er6f2, = 6-fl *"s Et. ialah 6fr1, dQ2, 603 disebut vektor rokecil. tasi I*q-konponen-komponennya Demikianlah maka untuk rotasi kecil sembarang titik materi yang vektor kedudukannya semula
* *"3 = *"1.r + ye.r + zerr dengan mengingat bahwa rotasi itu menyertai rotasi sistemkoordinat I
yang
= xe1 *.y"2
berarti
6x=0 dan6y=g dan6z=0 kita
dapat menulis
6r = xd e1t + y6 err + z dear = x6f,)xe, + y 6CIxe, +
26f,)
xe,
= 6flx(xer) + 6f,x(yer) +6fl x(zer)
=69*I
Sr,
r33
Untuk jelasnya
kita perhatikan
diagram gambar IV.5.
Jadi untuk suatu rotasi sekeliling suatu sumbu, dengan mendiferensialkan persanlaan di atas terhadap waktu t, kita peroleh 1. =0JX dengan
(216)
f
d0
o---dt
t.
Gambar
IV.5,
rotasi
keci1.
Diferensial vektor koordinat oleh suatu vektor yang arahnya pada arah vektor rotasi dpfane berarti pada arah sumbu putar, serta besarnya sama dengan besar Kecepatan sudut (4J i vektor itu, yang menyatakan cepatnya rotasi, sewajarnyalah disebut vektor kecepatan sudut, sebagaimana telah terdefinisikan pula di bab II pasal 4 tentang impuls putar sistem materi maupun di Bab I pasal 2.
7. Impuls Putar Benda Tegar dan Tensor Enersia Di bab II pasal 4, kita telah mendefinisikan inpuls putar sisten titik materi. Definisi yang sama sudah tentu berlaku pula tmtuk benda tegar.
harus diingat bahwa pada penjabaran,rumus persamaan (67) di bab II pasal 4 tersebut, kita meninjau gerakan perputaran titik -titik nateri pada suatu bidang yang tegak lurus sumbu putar. Dalarn hal ini npmen enersia I adalah suatu besaran skalar. l'{arilah kita tinjau keadaan yang lebih umum yakni impuls putar benda tegar, ialah yang nenyangkut perputaran setiap bagian dari benda tegar itu, sekeliling sumbu pltar yang tetap. Sejalan dengan definisi impuls putar sistemtitik-titilimateri, impuls putar benda tegar diberikan oleh Namtur
734
A=.f:xd(av) -
=ufixf
yang menurut persama an (ZL6),
am
irr,r"r"r:"U,
(-
r xulx r dm - =J(^-? . _
U
=J
r.r,r.dm
J
(3.g) g
dm
Dengan menuliskan komponen-komponennya, persamaan
Hx =f
ini memberikan
oJ +f trl +I u) xxx xyy xzz
ul +I j"yy trl +I yzz yxx H*=Ir*'**'rr'r*rrr^, Hy =f
u)
atau disingkat
tetapi mennya
dalam
ialah
hal ini, I
I=Ig bukan
(2LZ)
skalar, melainkan matrix yang eremen-ele-
a)) I*_=JU'*z')dm
/^)) I WU __ = I G' * z') dm Pf
(218)
r-zzv= ,f r*, * y2) dm
I.-.=-/x y dm xyv'-yx.-/
I
ff xzdm I--_=-f XZJ_ZxU rC Lz vttt I__ =-l y dn I 'yr-J
._
=:) y x
dn
f
=:l zxdm
r
--t z y
'ry-O
dm
Jelaslah bahwa sebenarnya
I xy =I
yx
I xz =I
zx
tr,
=
t*
berarti bahwa natrix I adalah matrix simetri. l,tatrix I di atas disebut tensor enersia atau tensor momental dan elemen-elemennya selain Ir*, 1yy, lrr, disebut enersia silang (product of rt inertia) Dari hubungan persanaan (217), secara aljabar vektor, dengan I eda1ah fungsi koordinat-koordinat x, y, z, matrix I boleh dipandang sebagai matrix transformasi yang mentransformasikan vektor rrl menjadi vektor yang
H.
1 ,
.i5
tl tidak sc arah dengan P, Jikalau eigenvector I a dalah ortho gonal, maka dapat dipilih sistem koordinat benda S' sedemikia n rupa hing ga I adalah diagonal, dalam bentuk misal.nya 0 0) ( ,.
Maka pada umumnya
r= lo
I
,
0
[, Kita
vl 0l
meneliti eigenvector I ialah
r)
hendak
apakah eigenvector:
l,,.'l 81=lrrl
( I
Br= -l
I
I
memang
orthogonal.
*r'\
(*t
r_1.- Rr= Yzl l', II
I
\ ', )
L,,J Maka dengan
I*, I,dan I Z
Eigenvector
IR,
ada lah
Dari
'B, +
(rR1)
=
R2
ki ta
R^' R=0 15 -)
dapa tkan
Br* rrB, =IRy*L =
IR, = IrR,
orth ogonal bi I amana
persamaan (.219)
Br*
tro,
=
+ R.R =0 3
81*Br=o
[',
sel aku eigenvaluenya,
v
IB1 = I*Rl
(I*R1.)
+
!
=RlTx -1 x
*8,
Rz
82=I ** Bro B, -I * Br* *,
Sedangkan
(IBr) sebab
*
Bz
-Br*'*Br=
.Iadi
Ini
r.RlR^ R-* -IyLZIR^ =
matrix I adalah simetri dan elemer-"rJr"rnru rieel.
I*Br* 82 =
i,
Br*
82
hanya mungkin apabila
Br* B,
=
MisalnYa
t2
le)
t35
Derrgan
cara yang sama akan terbukti pula
tr* Sumbu-sunbu
t, = o dan tr* ls=o koordinat yang dipilih pada arah eigenvector-eigenvec-
sunbu*sumbu utama (principle axes). Arah sumbu-sumbu utama di dalam benda itu ditentukan oleh bentuk geometri benda tegar serta letak titik pusat sistem koordinatnya.
tor itu disebut 8. Elipsoida
.t I
Momental (Elipsglda
Inersial) Pengertian momen inersia telah kita kenal untuk suatu larnina (keping datar) yang berputar pada sumbu yang tegak lurus bidang lamina, ataupun pada sumbu yang berada di bidang lamina. Di lain pihak, di atas kita kenal tensor inersia terhadap suatu titik; momen inersia terhadap sumbu koordinat. yakni I , I zz adalah di antara elemen-elementenxx' I YY' sor tersebut. Sekarang hendak kita pelaj ari momen inersia ter:hadap sumbu putar o ,yakni nisalnF Ir, yang didefj-nisikan seperti lazimnya untuk lanina.Kita perhatikan gambar IV.6.
I 1l
Gambar
Momen
Maka
iV.6.
inersia terhadap pusat koordinat.
kita dapat nenulis
1='[oz *
a^
=-_[G sin o)2 dm =ft xn.r xn a,/
dm
\
L37
dengan n sebagai Akan tetapi
vektor satuan sepanjang u. uz
uI
e?
x
v
x
yz
cos0
cosB
cosct
cosB
"l T X n. f X n
=
::,[
"s cos0
coso = n. u1 cos$ = n. ez cosD = n. e-J yaitu
arah sumbu-surpbu e.
komponen-komponen n pada
Jadi uz
e
,
"3
yz cosB
=|-
"z
"1 x
cos8
y
cosct
= f (y2*rz) "or2o dm '*f7*2 *, 2; d, "*J{*2
-zf
*
cosg
usl
,l
"osa
dm I
"or2g d, "o.2a
yz)
dm
- 2.)f ...
dm
yakni
*I "or2a * , t*, coso cosB * 2 l*, coso cosD (220) * , ,r, cos6 cosD Persamaan ini adalah suatu persanaan elipsoida dengan I**, I*r. ....... dan seterusnya selaku parameter-parameter dan cos o,, cos B, cirs 3 seL..= I cos2cr * r wxxyyzz
.or2B
laku variabel-variabelnya. Elipsoidld yang diberikan olehpersamaan tersebut, disebut eLipsoida momental atau elipsoida inersial-
Ka1au sumbu-sumbu
koordinatnya
dipilih
sepanjang sumbu-sumbu utama, na-
ka
xy =Q
xz =Q
yz
-0
sehingga persamaan elipsoida rnenjadi
f(r)x= r
cos2o
+r yz.or2B*I
"or2a
(2?L)
l
138
Tetapi ini adalah persanaan elipsoida yang sunbu-sumbu sinetrinya adalah sepanjang sumbu-sunbu koordinat. Jadi sumbu-sumbu sirnetri elipsoida momental adalah sepanjang sunbu-sum bu utama. Lebih lanjut persamaan
di atas menrmjukkan bahwa panjang sumbu simetrinya berturut-turut'adalah
sumbu I
1 ,-t
Sedangkan
l/-tjarak titik
ll,yr tembus
adalah
Gambar
o dengan permukaan elipsoida dari pusat
I IV.7 kiranya menjelaskan keterangan di atas.
Gambar IV.7 momental dan komponen-konponen
Alipsoida
'
9.
v,
tensor enersia.
Tenaga Kinetik.Rotasi
Sejalan dengan yang untuk sisten materi, maka tenaga kinetik bentegar adalah da f')
K=LJv-dm =l' %J(urxr) ='\4
J
"1 OJ
x
L
x
(c,rxr)
tZ
e-
(,
0)
v v
J a
dm
"1 0)
x x
t2
e-
OJ
k)
v
v
5
z
139
yang dengan
definisi
yang diberikan oleh persamaan (218), nenjadi
K=\ r**r*)))*\ rrrry *r, Irr^r" * t*r**', * I*r'*'* * ,
'rr'f
selanjutnya dengan nengingat (t) = tdc6S d x O =tJCOS 6 yl
='cos
d
" akhirnya dan persamaan (220) K=\ Irr'
)
kita peroleh (222)
Hendaknya diingat bahwa tenaga kinetik K dihubungkan dengar $2 o'lehmomen enersia terhadap sumbu putar I, , Iakni oleh suatu skalar, sedangka., E dihubungkan dengan td oleh suatu tensor enersia I, yaknioleh sua-
tu matrix,
Namun
bukan skalar. demikian, dengan memilih sumbu-sumbu utama seLaku sunbu - sunbu
koordinat, kita dapat menulis H=Itl')e.+I0le-+I111e-
x x L
I'
=\Iu2xx
yyt
+LiIw2 'yY
z z5 +ltI' z $2 z
yang menghasilkan
r=!:u.g
I
Q23)
yang analoog dengan tenaga
si
vn --. 1. 2
r. 1
kinetik titik nateri untuk
gerakan transla-
V
I iaiah impuls m y. Lebih lanjut, karena H dan K tak tergantung pada sisten koordinat benda maka persamaan (2lT dan persamaan (222), herlaku umum.
dengan
10. Persamaan Gerak Euler Analoogi antara gaya dengan irnpuls Eaya, yakni antara d1
I=aE
dengan
I=#
kiranya mudah dimengerti txrtuk benda tegar yang berbentuk lamina y'ang berputar pada sumbu yang tegak lurus bidang lamina. Akan tetapi kita telah nendefinisikan impuls putar H secara urnum yakni terhadap suatu titik sehingga pada ununmya I tidak Sejajar ur.
L40
Kita hendak meneliti hubungan antara impuls gaya T dengan momen enersia I nelalui hubungannya dengan impuls putar H. Sebelumnya perlu diingat bahwa dalam penjabaran peisamaan (217), H = I o, tensor enersia adalah frmgsi tetap dari koordinat-koordinat 5agiin-bagian benda, di dalam sistem koordinat S' yang berputar bersama benda. Jadi I berharga tetap terhadap waktu. Namun demikian persarnaan (70) dan persamaan (217) tidak berarti
T=I
ul
melainkan
I=r1i1 +Iur
Akan tetapi tidaklah mudah menyatakan i dari I. Maka Euler menerapkan persamaan (70) untuk benda tegar dengan meninjau diferensial H. Seperti pada pembicaraan hal rotasi kecil, kita tinjau perubalian$ terhadap,aitu yrtri fi ai aafam sistem koordinat ruang S dengan nanl sistem koordinat benda Sf mula-mula berimpit Ivlaka dengan mengingat keadaan mula-mula
H e, + H e^r + H e^ + H e- = H e- + H et -^;-ll x-I "z-3 '-y-2 "z-3 "y-2 "x-t perubahan H terhadap waktu diberikan oleh
$ = iir*er' * ir.rL + Hrer') * (H*6t'* Hr6rt+ Hr6rt) Suku kedua ruas kanan adalah berhubungan dengan perubahan $karenaterbawa rotasi benda. Tetapi pada keadaan mula-mula et = e ; maka
!= (H*"t *ry.Z+Hre3) * (Hx61, * nr'r' *
Hz6S')
Selanjutnya dari persamaan (2i3), dan persanaan (215)
6l'
=g
*"t
6r' = g*"2
6,
=
1*"3 sehingga kenudian kita tuliskan
z5' I=(H*er*nr", +He-l + urx (H *"1 *'r"r*Hrus) =He-+He^+ yl xI
s-
ez5
H
+ urxH
kita
dapatkan
14r
Lebih lanjut, karena i*, i, da, i, adalah perubahan H*, Hyzdan H terhadap waktu pada saat mula-mula, pada saat rnana er = e (Sf berimpit dengan S) maka untuk saat itu, di dalarn sisten koordinat ruang S berlaku
H=Io yakni
H=I uJ +I rrl +J xxxxxyyxzz
rj
+I H=I v YXuJX
u)
H= z
rrt
a
_
+I yyyyzz (i +I t]l +I I zY\xzyyzzz
n
sehingga akhirnya dengan mengingat persamaan (2L7) dH
:.
kita
dari
persamaan (70)
I
dt peroleh apa yang disebut persanaan gerak Euler
koordinat ruang
axxxxxxyyxzz uJ +I =ft =l
0j
+I
di dalan
sistem
u)
(I uJ + rrr *Y'-zx --y+ I-zz u.r -z') -x + J-zy uJ {J + I-YYtrl. + I--to-) *2'-yx-x -o^(I Y Yz z'
r-yyyxxwy = H = f il + I
6 + ...
,r=ir=Ir*i** yang apabila untuk sumbu-sumbu koordinat benda elt, e.t, yang berimpit dengan sumbu-sumbu utama benda, menjadi
r xxxz = I 6 + (I -I)ur y'z
ul
Lr)
dianbil
v
-I)ur z'x ,, = I, *, * (r, I*) ,y ,*
,y=ry6y*(I*
o,t
7
t224)
Penerapan khusus persarnan Euler (224) ini nisaLnya stratu masalah yang diielicliki oleh Poinsot (Poinsot problem) pada-tahrm 1834, ialah tentang-gerakan perputaran bebas (tiada impuls gaya) benda legar berUentrri."sfiheroida yang berputar pada sunbu yang tidak berimpit dengan 3 sumbu simetri benda (sumUu utama benda). Kalau elipsoida nenpunyai simetri. 2 sumbu nempunyai sumbu simetri, maka ipheroida hanya
*
t42
I t
t Dengan demikian maka elipsoida momental spheroida juga akan berbentuk spheroida dengan 2 sumbu utarna yang sama panjang, dan momen enersianya terhadap sumbu-sumbu utama dapat dituliskin sebagai I* = I, = I dan i,
hilamana untuk e.t diambil yang berimpit dengan sumbu sirnetri benda. 01eh karena panjing sumbu elipsoida momental berbanding terbalik dengan akar momen enersia, sedangkan momen enersia berbanding lurus dengan kwadrat koordinat, maka benda yang berbentuk prolate, yaitu yang sumbu ketiganya lebih panjang daripada sumbu lain yang sama, elipsoidamomentalnya akan berbentuk oblate yakni yang sumbu ketiganya lebih pendek daripada dua sumbu lainnya yang sama. Gambar IV.8 menjelaskan keterangan tersebut. Sebaliknya untuk benda berbentuk oblate, elipsoida momentalnya berben-
tuk prolate.
Suatu contoh yang baik
dari
masalah Poinsot
ialah gerakan rotasi
bumi.
"3
f:lipsoida Benda
prolate
momental
benda nr:o1ate
Gambar IV.B.
Oblate elipsoida momental benda prolate.
rotasi bumi yang berbentuk oblate itu tidak tepat ber simetri bumi. Akibatnya, sumbu rotasi bumi berpresesi sekitar (berputar mengelilingi) sumbu simetri bumi dengan periode kira-kira 430 hari. Hal ini dapat diKenyataannya sumbu impit dengan sumbu
terangkan sebagai berikut. Dari persamaan Euler ('224) dengan memasukkan
T
=
0, kita dapat menulis
0 = I6* * (12 ,) rrr,
(22sa)
+(I-I)o 0=Itir y-z'xz 0=iur
(22sb)
ur
(22sc)
7
Dari persamaan (225\ kita dapat menarik kesimpulan bahwa o- adalah te-
tap.
^
r
Dari persamaan (225\ dan persarnaan (225b) kita peroleh
t
143
I-I zu Iyz I z -I
o= x
6y= yang
lalu
Ixz 0J
xx
)
0-)
-
menghasilkan
uJ -l(
u)
")
Lo
dan ut = - k-
YY
trt
dengan
I-I k=-:J LZ
uJ
Suatu penyelesaian misaln),a yang diberikan oleh
,r=Asinkt yang
lalu
memberikan
nx =kAcoskt Tetapi menurut persamaan di atas
6 xy=kul
Jadi
uJ = A cos kt v
Dari gambar IV.9 jelaslah bahwa o-- dan o-- adalah proyeksi A pada sumxYl ei dan ej, dengan A berputar mengelilingi ef dengan kecepatan sudut kl
.ll bu-sumbu
1
Gambar
tV.i
Rotasi sumbu putar sekeliling adalah proyeksi A p."d" sunbu-suqb, 1i lingi dengan kecepatan sudut
Tetapi
"3'
"l' ki
sumbu
dan
err,
sinetri
benda.
dengan A berputa.r nenge-
t44
* @it 9='*"lt**r"rt =A*rr"Jt tetap d* 4 berputar, naka t,^r berputar menselilingi 91:l^I.T\?-\, "3' perrode cengan 2n , =_E_
Periode ini ialah periode dari apa yang disebut presesi. Selanjutnya, karena I = O, maka pastilah H tetap diam di dalam sistem koordinat ruang S. (Ingat H berputar di dalam sistem koordinat benda
s')
.
Jadi perputaran benda tentu sedemikian rupa hingga ut dan H di dalam mengelilingi sumbu simteri tetapi di lain pihak, ".t i dilihat dari luar benda, H tetap tinggal diaffi. Jadi dengan sendirinya dilihat dari luar benda, sudah tentu berpu"3t tar mengelilingi H. benda berputar
Lebih lanjut, dari persamaan (217) H=Ittt
kita
dapatkan
I=Ir*"lr
+f ry"2r +1r^r"S'
= [ (rrl -xI e.'
=
+ J uJ n-r + hJ y e^t) I Z Z J
I I * Ir*r.S'
Yang berarti H sebidang dengan A dan e,'. Gambar IV.10 frelukiskan apa yan! sebendrnya
terjadi.
A H
{I
z
HH x_y
z
U.) xy
berarti I>I Z
HHH zxy
tr)
Gambar
IV.10
0t =^, 'y berarti I z < I
Vektor impuls putar dan vektor sumbu putar benda spheroidal
ls-_
14,
sebelatt Untuk benda yang berbentuk oblate, I- ( I sehingga H ada di sebaliknYa. luar terhadap err dan Yang prolate ' adatah Perputaratr G"t dan t^t sekeliling H sebagainana terlihat dari luar benda, dapat ditr.diskan ilengan menglulingnyi apa -yang disebut kerucut benda (boiy cone) pada dindlng *p""|ang disebut kerucut ruang (sp'ace cone) seperti yang terlihat di gambar IV.11.
Ganbar IV.11
KerucutruangclankerucutbendadalammasalahPoinsot. tetap Garis sepanjang I-l ada1ah tetap tinggal dian dan-disebut garis juga tetap ini, lurus tegak yang (invariaLle line|, sedangk"n Lidang plane) ' dan disebut bidang tetap (invariable L1
Euler depgan Sudut-sudut Euler Persamaan Euler dengan sudut-sudut Euler selaku variabel-variabel dengan nedapat diperoleh dengan p6rtolongan persamaan- Lagrange, yakni persamaan ,ry.t.k.n^ impuls gaya .rrl* (generalized force) Q, menurut
Persamaan
(
13s)
d (-tr) 'EK. - Ea; = o, ar 'l 'l aK-
Dalam
hal ini koordinat
sehingga
umum
q: ialah
tecepatin;;; t, i"itr-,
V. Nlaka langkah pertama
dengan rp,O dan Y.
ialah
sudut-sudut Euler -q, kecepatan-kecepatan sudut
menyatakan
'*, 'y,
dan
o,
v, 9, ^d"tt dan q, 0,
dalam hubuni;annya
t46
itu kita tinjau
langkatr--langkah yang dijelaskan dengan gambar IV.2. LJntuk
rotasi sistem koordinat seperti
iradi rangtah transformasi pertama, tf adalah pada arah ear , sehingga = t0 er'
I
(1)
Q26a)
Demikianlah pula untuk langkah-langkah transformasi berlaku
kedua
dan
(zz6b)
o = o. ei(2)
=
Y
Y
ketiga
ea'(3)
Q26c)
o* tak lain ialah jumlah komponen vektor-vektor t , 0 dan Y pada trl, ialah yang pada arah sumbu X terakhir, yaitu pada arah "rt('),;.d"t atah e)(3), dan u.r, ialah yang pada arah er'(3) ' jadi
Adapun
. t . e,'(3) (3) ,y = g. .r'(3) . - "r'(3) . !. er' ,, = g. "r' (3) . i. er' (3) . !. er' (3)
,* = g. "r'(3) . g . "r'(3) 9
yang dengan mengingat hubtrngan dalam persamaan 1226) di rengirgai persamaan langkah-langkah transformasi di pasal yakni
"r'(1) = cos Q.
*rr + sin Q. "z
+ cos (|. ' -sinQ. ^ "L' "2't'(1) = (1) er' =
^,(2)
"Z J
-6 - '1 '(1)
o' "r ' (1) + sin o. er' (1) ")'"' (1) er'(2) = -gin o' "r'(1) + cos o. er' ^ ,t2) e1'(3) = cos v' er'(2) + sin Y' "z .r'(3) = -sin Y' "r. '(2) * cos Y' ^"2 ,(2) (3) ^5 '(2) ert = cos
v-
nenjadi
atas, 4 di
serta atas,
I i
t47
,*
= Q er'
(1)."r' (3) + 0 e, ,(2') . er, (3) *
=Q "s'(1).(cos
,i,
(3}.e1,(.3)
"r,
Y."r'(2) + sin Y.er'(2)',
* o e1 'Q) .(cos Y.er ' (2) + sin Y.er'(Z) * Y"3' (3) .e1 ' (3) =
11
(1). "s'
{cos Y.er'
(1) + sin V (cos o.er'(1) + sin O.er' (1),
*OcosV +0
=QsinVsinO*OcosY dan dengan jalan seperti itu ,r=TcosYsin.O-0sinY ,r=Qcos0+ V
akan
kita
dan kemudian untuk suatu spheroida
dapat
kita
peroleh
2
11
=!Itrt -x'y-zz+t, l,62 *l;l
- )z r Dari hasil
(q2 sir,2
o*
,2
o'l * \
rrtg2
.or2o, i' .
2 t1 .or o.
(227)
ini kita peroleh
'. = I0 ao
3x
34 = Iro rir2o \zz
* I 0 .or2,-., * I v cos o
a(p
"" - I u/ + I 0\ cos 0 L L ur
AK t
I
ar
a
o7
ON
')
= I(0'
a0 AK
=Q 4 aL =Q
AY
sino
cos
') 0 - Tr9'
i;
cos
0 sin,O -
IZQV
sin 0
748
Akhirnya persanaan Lagrange (135) nemberikan
t' # #
') Irt{- cos 0 sin 0
itor - (r,i' sino coso
-
I z\0Y sin 0) =fo
trg ,ir,2o * rrQ "or2 o * frY cos O) = (q ,rr'i' * rrtp cos o) = fy
(228) d
it
t
12. Gerakan Pusingan Suatu contoh khas dari penerapan hasil penbahasan di pasal 11 di atas ialah penelitian gerakan suatu pusingan (gangsingan, giroskop) yang hendak kita bahas di pasal 12 ini. Kita perhatikan gambar IV.l2.
(2)
(3)
c-5.) = €,
3
(1)
\
tz
(2) e.)
(1) €z
er#
'
(r)
Q) "1 =€1
1
(3)
Gambar IV.12,
Sudut-sudut Euler dalam gerakan pusingan. Gaya luar yang bekerja pada pusingan, gaya berat mg. Jadi dalam hal ini
to = ngl sin 0 tq -0 tv =Q
kecuali gaya normal di 0, adalah
J
t49
Dari kedua hubungan
akhir ini kita lihat
yang --(p
dt
=tQ=o
&v yang
-?T
=tv=o
nq
= tetaP = H* misalnYa
nv
= tetap = Hy misalnya
berarti
Tetapi, karena
maka
=n: u'"'* = -Jr*qo = ,
,} ,,(o - {}': -:
'aqaq aL
.. LY=;
bK
aY
av
Dengan demikian, persamaan {228) menghasilkan
" ') ') I0 - IQ- sin 0 cos 0 + IrQ"sin O cosO + Iz(tV sin ')2^ + IrY .orO = fr* I0sin-OrI0cos-O t. zl
irV * IrQ coso = fr*
0
=
mgl sin
A i229)
(230)
l23t)
Pada dasarnya dari ketiga persamaan simultan ini dapat diperoleh 0, Q, dan Y sebagai fungsi waktu t. Namun karena rumitnya dan kurang kegundannya, tak ada orang yang suka mencoba menyelesaiakannya. Penyelesaian yang kita perlukan hanyalah yang berhubungan dengan gejala fisis yang teramati saja, misalnya yang menerangkan bergoyang-goyangnya atau nutasi (nutation) dan berputar kelilingnya atau presesi (preces-. sion) sumbu simetri pusingan Suatu hal yang kita mengerti ialah bahwa tenaga total E adalah tetap apabila desipasi panas oleh gesekan diabaikan. Tenaga total E ini terdiri atas tenaga kinetik putaran K dan tenaga potensial gaya berat V = mg1 cos 0. Inj- berarti bahwa variasi 0 terhadap t yang berarti variasi V terhadap t, akan harus dikompensasi variasi K terhadap t; yakni sewaktu V naik, K harus turun dan sebaliknya. Variasi 0 terhadap t ini ialah apa yang kita lihat sebagai bergoyang-goyangnya sumbu simetri, sedangkan berputar kelilingnya sumbu simetri ter-
nyatakan oleh variasi
tQ
terhadap
t.
150
\dapun Y adalah pacla arah 9r'(tl, sehingga V tak lain ialah kecepatan rotasi (spin) pada sumbu sifietri. Lebih rnudah hendak kita teliti lebih dahulu berputar ketilingnya pusing an.
Dari persamaan Q30) dan pcrsanaan (23L), dapat kita tulis H* - l{n-cos o 6' =
(232)
I sin'O
kecepatan presesinya tergantung pada 0; apabila 0 bervariail terhadap waktu t, yang berarti terjadi nutasi, makakecepatan presesinya juga bervariasi terhadap waktu. Sebagaimana diutarakan di atas, variasi 0 terhadap t adalah berhubungan dengan pertukaran antara tenaga potensial dan tenaga kinetik. bari persamaan (227) serta mengingat V = mg1 cos 0, kita peroleh tenaga yang
berarti
total
E=K+V * \Iqz sir,26 * li lrurz + mgl cos 0 ruas kanan persamaan (233) ini ialah tenaga kinetik
= % IO2
t233)
yang Suku pertama ruas kedua suku jatuhnya sedangkan pusingan, rebah bersangkutan dengan y-ang menggaya sentripetal adanya seolah-olah kanan, berhubungan dengan akibatkan pr"t"ii; suku ketiga tak lain adalah tenaga kinetik rotasi (spin) pada sumbu simetri. Selanjutnya dengan persamaan (232) untuk mengeliminasi t{, dan persamaanrr=QcosO+Y yang telah kita peroleh di atas untuk'menyatakan
ul., serta persamaan (231) untuk mengeliminasi Y, persamaart(233) di atas
akan ternyatakan sebagai
12
l't
I sin2 o
J
Hu-
sin"o + '-, I
+ ngl cos
0
(234)
yang sepenuhnya menyatakan 0 sebagai fungsi O saja. Untuli singkatnya, kita tulis
E=\I02*F(O) yang
lalu
nremberikan F)
Sebagaimana F tergantung pada O maka begitu pula halnya dengan 0. tlargi O akan maximum apabila harga oadalah sedemikian rupa sehingga trerharga minimum.
\
151
Grafik ganbar Iy.13 kurang lebih 4elukiskan variasi F terhadap
0
Ganbar Iy.13. Diagran nutasi pusingan.
0 = 0^u pada ganbar IV.13 adalah harga 0 yang merberikan F milirnum. Pada trarga-Q yang sedemikian rupa-hingga F = E, kecepatan 0 = 0;
ini terjadi
pada 2 hatga
0, yakni O, dan 0,
dan
misalnya.
Jadi sunbu sinetri itu bergoyang-goyang antara kedua batas harga O tersebut secara periodik sambil berpresesi sekeliling sumbu vertikal. Apabila tenaga totalnya kebetulan sana dengan F minimun, yakni Er paqa gambar IV.15, 0l dan 0, berimpit bersarna dengan 0o yangberarti
tidak terjadi nutasii
L
Kecepatan presesi mantap (steadyprecession) dalamkeadaan ini, sudah tentu diberikan oleh persamaan (232) dengan menuliskan 0^ untuk 0. Pada keadaan umumlya, cepat persamaan (229) menjadi
rotasi ti'adalah U"3", sekali, sehingga
Iri v sin o = mgl sin o yang menberikan kecepatan presesi
= Ingl YIY z Kecuali itu cepat rotasi yang besar rh
di
yang
rnenyebabkan persamaan
IrY=Hn berarti vektor impuls putar rotasi
sumbu
simetri.
(231) menja(236)
boleh dikatakan berimpit dengan
/
DAFTAR PUSTAKA
1.
S,!V.Mc Cuskey, ttAn 1959.
Introduction to Advanced Dynamicsrt, Addison-Wesley,
2. H.Goldstein, rtClassical h{echanicsrt, Addison-Vbsley, 1959. S, J.L.Synge &. B.A.Griffith, 'rPrinci.ples of lbchanicsrr, ].{c Graw Hil1, 1959 4. W.D.Mac Millan, r'Statics and the Dynamics of a Particle, Mc Graw Hill, L927.
5. W.D.Mac Millan, r?Dynamics of Fligid body", Mc Graw Hill, 1936. 6. H.C.Corben 6 Philip 'Stehle, tfClassical Mechanicsr', John Wiley 6
Sons,
1960.
7,R.A.Becker,rrAnIntroductiontoTheoretica1It1edtanics|l,McGrawHi11,
8.
A.Sommerfeld E M.O.Stern, "Mechanics't, Acadenic
Pr6ss'Inc.,
1961
t
1s3
INDEX
Action,
azas - terkecil gl,gz variabel ' ,94, 95 , Aphelion, l9. 24, 27, 2g Apses, 19
&.
Back scaterring, Sl Bandul Foucolr]'fO Benda tegar, rnekanika
3ffi":j#: CayI
ey-Klei
i;l* n
-.
Di
fferenti al
Holonomic qonstraint, Holonomik, 61
7zo
,
Ek,;;;;i;;;;,:T: iil.ii,, Elipsoida , tsi rig, -i+i' , _ enersial,
o,
136, Enersia silang, 134 ' lS7 ,, l4Z ls9ape velocity, 26 Euler, teorena -, l1g, 11g. 1,Zl sudut _, LZ4, 126, f+i,^i+g persamaan. _,^1j9, Fungsi generasi, eS, 141, l4Z, 14S s+, A6,'es, 97 , tungsi karakteristik, g9 Fungsi transfornasi, g6. rtr Gangsingan, 14g --' "v' 114 Gaya, - Coulonb, 40 - dalam, 52, '' Sg _ elastis, 2040, 56, 57. _ gravitasi, Z0
- koriolis, 7, g - luar, S0, .3i - sentrifugal, g
_ sentripetal, T, g umum, 60, 145 ueneralized force, 60, I4S Generating function, aS-'-
lt'?:kop,148
porensial, 4 :I"o."n uravrtasirgsla_rZ0 hukumNewton-r
26 percepatan-rZ0r26
.tetapan_,26 , 40, 43 rumus - Rutherford,
Hukum Newton,
Hani r
transformlri _, 80, g1,
Kecepatan, _
fungsi
-AZ
- , !1, 74', BZ, 88, 8e, 92
persamaan -
74, 75, 76, -! 7!t 78, 81, 8i, 8i , lrr,
hil ang, 26
- relatif,
99
Sg
_ sudut, 7, B, 33r ISs rumus _ 6, 7,
- transport,
g
umum,69,7L Keppler, hukun _ , 20, 26Kerucut benda, 1,4; ' -- ' Kerucut ruang, 14S
27
Koefisien restitusi, Koordinat, _ siklik, J9 ;e transformasi _, g1
-
umua,
anar,
,!opl koriolis,
69, 7-1r_ 72, 73, 96, 145
ge rakan gaya _,
_
,
g0,
16
7
efek _,11 kofuksi _, g, lZ, 13 ,, Kurung Lagrange, lOZ, 10J Kurung poison, 103, iOg Lagrange, - bracket, loz fungsi -, gi, 67, 7r, 22, 74, kurung _ , 702,103
- multiplier,
persanaan
1r,' ull,, u3: ;o el !ifl'";,; , , s3 variasi _ 79,
azas
j0, 3f '
4g
3,
Jnrna"t parameter,. 42 Impuls gaya, l4O ImPuls_putar, 32,3J, J5, !9, t7, 42, l-ss, i+0,'rsr _ 36, ' 104, -;o; 71,_7i, gi_60 ITtrJ: ,Trm, J-acoDl, determinal _, i00, 102 Kanonik, hubungan _, 73
namDuriu:l
46
g0,
64
kaitan _, 64, 66, -SO 62. kekekalan impuf r, Sl, Hukrryn kekekatan t"il;;';k_it,, -3g,;)*. 4,. 17, 29, 25, --
113
-
_,
Huktrm
-, is,',''"
o;ii.iu",;;";,X3"T"1;:u; -.lacobi -"',: u:t1o, '160
Deterninan
Hamilton-Jacobi, persamaan gB, 90,.95
65
_, 59, 61, 66. 6r
gi, action ,ril;rJtt;,'ii ,Tirt.I le teorema L.rovi _ , l0g ^Hassa tereduksi, S3, 54 Matrix pauli , l'Zg I4atrix transformasi, llS, llt
IUedan Momen
Mornen
gaya konservatif, i enersia, 33, 6 T,'L36.
140',
Eaya,34-
36
iri
1.39
154
Newton, hukrrn -r.
7,
9
Nutasi, 150, 151 &late , 142, 145 Osilator harrnonik, 86-89, 98 Paranreter benturan, 42, 43 Parameter C'aYleY-K1ein', t24, 'Pauli, matrix -, L28 Percepatan, - koriolis, rumus - ,' 6, 7
Ia
L26
Sistem mekanis,
8
55, 57, 69,
91
Space cone, 145 Spheroi.da , l4t, 142, 147 Spinor, ruang -, lZ4, L26, 128
- transportr 8 Perihelion, 19, 24t 27, 28 Persamaan, - Euler, 139' l4l
Sudut
fase,
98
Sunbu rotasi bumi, 142 Sunbu utama, 136, 139 Tampang lintang diferensial 43,51
- Lagrange; 148 Poi'ncare, 98, 99, 102 Poinsot, - problen,
- berputar, 5r 7 - Iaboratorium, 47, 50' 51 - Polar, 5, 59, 74. - ruang, 113, 114, 118, 130 , 141 - titik berat, 50, 51 - qrmwt, 61
141
Tenaga-kinetik, 3, L7, 31,'32, 34, 37, 62, 63, 74 hannonik, 63 osilator 139 138, rotasi, 72 70, 61, sistem, Tenaga potensial, 4, 17, 63, 69, 73 - osilator harmonik, 63, 86 Tensor enersia, 133, 134, 136, 139
Poison, kurung -, 103 Presesi, kecepatan -r 150 periode - , 744 - pusingan, 149 - srmbu rotasi btrmi, L42 Principle axes, 156 Product of inerti a,' L34 Prolate, 142, 145 Pusingan, gerakan -, 148 Rigid body, 113 Rolasi, - kecil, 104, 130'
Tensor momental, 134 Teorena Euler, 118, 119,
121
vektor - , 732 Routh,cara-r76 fungsi -, 76, 77 Ruang, - fase , 7L, 80, 81, 82, _87,
Titik berat, 29, 37, 48, 57 Titik materi, 3 Transformasi, fungsi -, 114 - kanonik, 81, 89 - koordinat, 81
lo2, 109 - konfigurasi, 68, 7L - spin, 124, L26, 128 Rutherfordrrumus- ,46
- orthogonal, 1"13, 115, 118, I Tnrnbnkan , 36, 37 , 38 - elastis, 38, 40 - non elastis, 38, 40
88, 91, 94, 95, 99,
Semilatus recttrm, 21,
100,
25
Sentrifugal, gaYa ', koreksi -, 9 Sentripetal, gaya - , 7,
natrix -
Usaha,
-
7
9
Sistem tooriiiai, - benda, 113, 114, 130,139,168
3,
,115
69
semu, 55-59
Variabel action, 94, 95 Variabel sudut , 94, 96' Vektor inrpuls putar, 151 '
.ff"a {ir:ur
?^ e"
1993
i
1994
