Mekanika Klasik - Gerakan Partikel 3 Dimensi.doc

Gerakan Umum Dari Partikel Pada Tiga Dimensi

Disusun Oleh : Kelompok

: 3

Kelas

: Karyawan-B

Mata Kuliah

: Mekanika Klasik  

 Nama Dosen

: Purwantiningsih, S,Si., M.S.

!ari"tanggal

: #umat"$% Maret &'$(

)nggota

: *+in Nathasia

$3$$&(''$&''3

*s+itawati

$3$$&(''$&''

/it /itri Ot Ota+ia a+iany ny

$3$ $3$$& $&(' (''$ '$&' &'' '3 3

P0O10)M S2*D /SK) /)K*42)S 25KNK D)N S)NS *N650S2)S N)SON)4 #)K)02) &'$-&'$(

Gerakan Umum Dari Partikel Pada Tiga Dimensi

Sir saa Newton, 7an para pengikutnya, 8uga memiliki pen7apat yang sangat aneh tentang iptaan 2uhan. Menurut 7oktrin mereka, 2uhan Mahakuasa memerlukan  putara waktu 7ari masa ke masa9 8ika ti7ak maka akan erhenti ergerak. Dia ti7ak  melakuk melakukanny annya, a, nampakn nampaknya, ya, pan7anga pan7angan n yang ukup ukup ke 7epan 7epan untuk untuk memuat memuatnya nya men8a7i ergerak terus-menerus.  Nay, mesin yang meniptakan 2uhan, egitu sempurna, menurut pria ini,  ahwa Dia wa8i untuk memersihkannya sekarang 7an kemu7ian oleh ;onourse yang luar iasa, 7an ahkan untuk memperaikin memperaikinya, ya, seagai pemuat waktu yang mengkreasika mengkreasikan n karyanya9 karyanya9 akiatnya akiatnya harus men8a7i peker8a yang 8auh leih terampil, terampil, karena a sering erkewa8ian untuk memperaiki karyanya 7an mengatur 7engan  enar. Menurut pen7apat pen7ap at saya, gaya yang yan g sama 7an semangat semanga t
1ott>rie7 ?ilhelm 4eini@ - Surat untuk ;aroline, Princess ;aroline, Princess of Wales, ales, $$9 4eini@;larke ;orrespon7ene, Manhester, Manhester *ni+. 2ekan 2ekan $A(.

4.1 Pendahuluan: Prinsip-Prinsip Umum

Saat ini kami se7ang memeriksa kasus yang umum 7ari gerakan partikel 7alam tiga 7imensi. Bentuk +ektor 7ari persamaan gerakan untuk partikel terseut a7alah .$.$C

Di mana p  m+ a7alah momentum linear 7ari partikel. Persamaan +ektor ini setara 7engan tiga persamaan skalar 7alam koor7inat ;artesian.

.$.&C

Gerakan Umum Dari Partikel Pada Tiga Dimensi

Sir saa Newton, 7an para pengikutnya, 8uga memiliki pen7apat yang sangat aneh tentang iptaan 2uhan. Menurut 7oktrin mereka, 2uhan Mahakuasa memerlukan  putara waktu 7ari masa ke masa9 8ika ti7ak maka akan erhenti ergerak. Dia ti7ak  melakuk melakukanny annya, a, nampakn nampaknya, ya, pan7anga pan7angan n yang ukup ukup ke 7epan 7epan untuk untuk memuat memuatnya nya men8a7i ergerak terus-menerus.  Nay, mesin yang meniptakan 2uhan, egitu sempurna, menurut pria ini,  ahwa Dia wa8i untuk memersihkannya sekarang 7an kemu7ian oleh ;onourse yang luar iasa, 7an ahkan untuk memperaikin memperaikinya, ya, seagai pemuat waktu yang mengkreasika mengkreasikan n karyanya9 karyanya9 akiatnya akiatnya harus men8a7i peker8a yang 8auh leih terampil, terampil, karena a sering erkewa8ian untuk memperaiki karyanya 7an mengatur 7engan  enar. Menurut pen7apat pen7ap at saya, gaya yang yan g sama 7an semangat semanga t
1ott>rie7 ?ilhelm 4eini@ - Surat untuk ;aroline, Princess ;aroline, Princess of Wales, ales, $$9 4eini@;larke ;orrespon7ene, Manhester, Manhester *ni+. 2ekan 2ekan $A(.

4.1 Pendahuluan: Prinsip-Prinsip Umum

Saat ini kami se7ang memeriksa kasus yang umum 7ari gerakan partikel 7alam tiga 7imensi. Bentuk +ektor 7ari persamaan gerakan untuk partikel terseut a7alah .$.$C

Di mana p  m+ a7alah momentum linear 7ari partikel. Persamaan +ektor ini setara 7engan tiga persamaan skalar 7alam koor7inat ;artesian.

.$.&C

/ungsi 2iga komponen kekuatan koor7inat eksplisit atau implisit, waktu 7an 7eri+ati> spasial, 7an mungkin erkaitan 7engan waktu itu sen7iri. 2i7ak a7a meto7e umum untuk memperoleh memperoleh solusi analitik untuk persamaan gerakan 7i atas. Dalam masalah masalah ahkan kompleksitas kompleksitas paling ringan, kami mungkin mungkin harus meneliti untuk   penggunaan menerapkan teknik numerik9 Namun, a7a anyak masalah yang 7apat 7iselesaikan 7engan menggunakan meto7e analitis yang relati> se7erhana. Mungkin  enar ahwa masalah terseut ka7ang-ka7ang terlalu se7erhana 7alam representasi mereka tentang realitas. Namun, mereka akhirnya men8a7i 7asar 7ari mo7el sistem >isika yang nyata, 7an sehingga layak seagai usaha yang 7apat kita amil 7i sini untuk mengemangkan mengemangkan keterampila keterampilan n analitis analitis yang 7iperlukan 7iperlukan untuk memeahkan masa masala lah h i7eal i7ealis is ters terse eut ut.. Bahk Bahkan an mere mereka ka mung mungki kin n ter terukt uktii mamp mampu u memot memotong ong kemampuan analitik kami. Sangat 8arang ahwa yang tahu ara eksplisit 7i mana / tergantung pa7a waktu9 Oleh karena itu, kita ti7ak perlu khawatir tentang situasi ini tetapi >okus pa7a situasi yang normal leih 7i mana / 7ikenal seagai >ungsi eksplisit 7ari koor7inat spasial 7an turunannya. Situasi yang paling se7erhana a7alah satu 7i mana / 7ikenal seagai >ungsi koor7inat spasial sa8a. Kami menurahkan seagian esar upaya kami untuk memeahkan masalah terseut. )7a anyak hanya se7ikit leih anyak kasus termasuk proyektil gerakan 7engan hamatan u7ara 7an gerakan seuah partikel  ermuatan 7alam me7an elektromagnetik statis. Kami akan memeahkan masalah seperti ini 8uga. )khirnya, / mungkin merupakan >ungsi implisit waktu, seperti 7alam situasi 7i mana koor7inat 7an mengkoor7inasikan ketergantungan 7eri+ati> non statis. Seuah ontoh utama 7ari situasi seperti itu meliatkan gerakan seuah partikel  ermuatan 7alam me7an elektromagnetik 7engan waktu er+ariasi. Kami ti7ak akan memeahkan masalah seperti ini. *ntuk saat ini, kita mulai pela8aran kita tentang gerakan tiga 7imensi 7engan pengemangan eerapa teknik analitis yang kuat yang 7apat 7iterapkan ketika / a7alah a7a lah >ungsi yang 7iketahui 7ari r 7an " atau r.

Prinsip Kerja

Ker8a yang 7ilakukan pa7a seuah partikel menyeakannya untuk men7apatkan atau kehila kehilanga ngan n energi energi kineti kinetik. k. Konsep Konsep ker8a ker8a 7iperk 7iperkenal enalkan kan pa7a Ba & untuk untuk kasus kasus gerakan gerakan parti partikel kel 7alam 7alam satu satu 7imens 7imensi. i. Kami Kami ingin ingin menggen menggenera eralis lisasi asi hasil hasil yang 7iperoleh 7iperoleh 7i sana untuk kasus gerakan gerakan tiga 7imensi. 7imensi. *ntuk melakukannya, melakukannya, pertamatama tama kita kita menga mengam mil il 7ot pro7 pro7ut ut 7ari 7ari ke7ua ke7ua sisi sisi pa7a pa7a Persa Persama maan an .$. .$.$ $ 7enga 7engan n keepatan +:

Kare Karena na 7 +.+ +.+CC " 7t  &+. &+. +, 7an 7an 7enga 7engan n asum asumsi si ahw ahwaa mass massaa a7al a7alah ah konst konstan an,, tergant tergantung ung pa7a keepat keepatan an parti partikel, kel, kita kita 7apat 7apat menuli menuliss Persam Persamaan aan .$.3 .$.3 seagai seagai

Gambar 4.1.1 ker8a yang 7ilakukan

oleh gaya / a7alah garis yang ti7ak terpisahkan

Di mana 2 a7alah energi kinetik, mv2"& Karena +  7r " 7t, kita 7apat menulis ulang  pa7a Persamaan .$. 7an kemu7ian mengintegrasikan hasil untuk men7apatkan

Sisi kiri sehingga persamaan a7alah ti7ak terpisahkan garis /r7r, komponen / se8a8ar 7engan partikel +ektor perpin7ahan 7ari integral 7ilakukan sepan8ang lintasan  partikel 7ari eerapa titik awal 7alam ruang ) ke titik B. akhir Situasi ini 7igamarkan pa7a 1amar .$.$ integral garis mewakili ker8a yang 7ilakukan pa7a  partikel oleh gaya / seagai partikel ergerak 7i sepan8ang entuk lintasan ) ke B. Sisi kanan 7ari persamaan a7alah peruahan ersih energi kinetik partikel. / a7alah  8umlah ersih 7ari semua kekuatan +ektor yang eker8a pa7a partikel9 maka,  persamaan menyatakan ahwa ker8a yang 7ilakukan pa7a partikel oleh gaya total yang eker8a pa7anya, 7alam ergerak 7ari satu posisi 7alam ruang untuk yang lain, a7alah sama 7engan pere7aan energi kinetik 7ari partikel 7i 7ua posisi.

Dorongan konservati dan Dorongan !apangan

Dalam Ba & kita memperkenalkan konsep energi potensial. Kami menyatakan  ahwa 8ika a7a gaya yang eker8a pa7a partikel yang konser+ati>, isa 7iturunkan seagai turunan 7ari potensi >ungsi energi skalar, /E  -76 EC " 7E. Kon7isi ini memawa kita ke gagasan ahwa peker8aan yang 7ilakukan 7engan kekerasan seperti 7alam menggerakankan partikel 7ari titik ) ke titik B sepan8ang sumu E a7alah F/E  -G6  6)C H 6BC, atau sama 7engan minus peruahan energi potensial partikel. Dengan 7emikian, kita ti7ak lagi memerlukan pengetahuan yang terperini 7ari gerakan partikel 7ari ) ke B untuk menghitung ker8a yang 7ilakukan 7i atasnya 7engan kekuatan konser+ati>. Kita hanya perlu mengetahui 7imulai pa7a titik ) 7an  erakhir pa7a titik B. Ker8a yang 7ilakukan tergantung hanya pa7a >ungsi energi  potensial 7ie+aluasi pa7a titik akhir 7ari gerakan. Selain itu, karena peker8aan yang 7ilakukan 8uga sama 7engan peruahan energi kinetik 7ari partikel, G2  2BC H  2)C, kami mampu memangun konser+asi umum prinsip total energi, yaitu, 5 tot  6)C I 2)C  6BC I 2BC  konstan sepan8ang gerakan partikel.

Gambar 4.1." Seuah me7an gaya

non-konser+ati> yang memaksa komponen /E  -y 7an /y  IE

Prinsip ini 7i7asarkan pa7a kon7isi ahwa gaya yang eker8a itu pa7a partikel konser+ati>. Memang, sangat nama menyiratkan ahwa sesuatu se7ang 7i8aga seagai  partikel ergerak 7i awah aksi gaya seperti itu. Kami ingin menggeneralisasi konsep ini untuk seuah partikel yang ergerak 7alam tiga 7imensi, 7an, yang leih penting, kami ingin men7e>inisikan apa yang 7imaksu7 7engan kata konser+ati>. #elas, kami ingin memiliki eerapa rumus yang memeritahu kita apakah kekuatan konser+ati>  tertentu 7an, 7engan 7emikian, apakah >ungsi energi potensial a7a untuk partikel. Kemu7ian kita isa menggunakan prinsip energi konser+asi yang kuat 7alam memeahkan gerakan partikel. Dalam menari rumus seperti itu, pertama-tama kita men8elaskan ontoh kekuatan non konser+ati> yang, pa7a kenyataannya, a7alah >ungsi yang 7i7e>inisikan 7engan posisi tetapi ti7ak 7apat 7iturunkan 7ari >ungsi energi potensial. ni akan memerikan kita petun8uk tentang karakteristik penting ahwa gaya harus memiliki  8ika konser+ati>. Pertimangkan me7an kekuatan 7ua 7imensi 7igamarkan pa7a 1amar .$.&. 1aya stilah lapangan hanya erarti ahwa 8ika partikel$ tes keil yang $ Seuah partikel tes a7alah salah satu yang massanya ukup keil ahwa keha7irannya ti7ak menguah lingkungannya. Seara konseptual, kita mungkin memayangkan itu 7itempatkan 7i eerapa titik 7alam ruang untuk melayani seagai Jproe u8iJ untuk 7i7uga keha7iran pasukan. Pasukan yang J7irasakanJ 7engan mengamati akselerasi resultan 7ari partikel u8i. Kami selan8utnya

7itempatkan pa7a setiap titik E$, y$C pa7a i7ang Ey, itu akan mengalami gaya /. 7emikian, kita isa memikirkan i7ang Ey yang meresap, atau J memetakan, J7engan  potensi untuk menghasilkan kekuatan. Situasi ini, pa7a pan7angan pertama, tampaknya ti7ak egitu iasa. Setelah semua, ketika )n7a men8atuhkan ola 7i me7an gaya gra+itasi, 8atuh 7an keuntungan energi kinetik, 7engan kerugian menyertai 8umlah yang sama energi potensial. Pertanyaannya 7i sini a7alah, 7apat kita ahkan men7e>inisikan >ungsi energi  potensial untuk partikel yang ere7ar ini se7emikian rupa sehingga akan kehilangan se8umlah Jenergi potensialJ sama 7engan energi kinetik itu 7iperoleh, sehingga melestarikan energi seara keseluruhan, karena per8alanan 7ari satu titik ke titik yang lain tu ti7ak ter8a7i 7i sini. #ika kita menghitung ker8a yang 7ilakukan pa7a partikel ini 7alam melaak eerapa 8alur yang kemali pa7a 7irinya sen7iri seperti 8alur   persegi pan8ang 7itun8ukkan oleh garis putus-putus pa7a 1amar .$.&C, kita akan men7apatkan hasil nolL Dalam melintasi lingkaran seperti erulang-ulang, partikel akan terus men7apatkan energi kinetik sama 7engan nilai nol 7ari peker8aan yang 7ilakukan per loop. 2etapi 8ika partikel isa 7ieri energi potensial pa7a melintasi loop tertutup akan men8a7i nol. !arus 8elas ahwa ti7ak a7a ara 7i mana kita isa menetapkan nilai unik energi potensial untuk partikel ini pa7a setiap titik tertentu  pa7a i7ang Ey. Setiap nilai yang 7ierikan akan tergantung pa7a riwayat partikel. Seagai ontoh, erapa anyak loop telah partikel yang su7ah 7iuat seelum tia 7i  posisi saat ini Kita isa leih mengekspos keunikan non >ungsi energi potensial yang 7iusulkan 7engan memeriksa peker8aan yang 7ilakukan pa7a partikel karena  per8alanan antara 7ua titik ) 7an B tapi sepan8ang 7ua 8alan yang ere7a. Pertama, kita memiarkan ergerak partikel 7ari E, yC ke E I GE, y I GyC 7engan melakukan  per8alanan 7alam I E arah untuk E I GE, y I GyC Dan kemu7ian 7i I y arah untuk E  GE, y I GyC. maka kita memiarkan per8alanan partikel pertama sepan8ang I y arah memayangkan ahwa keha7irannya ti7ak mengganggu sumer kekuatankekuatan.

7ari EyC ke E,y I GyC 7an kemu7ian sepan8ang I E arah untuk E I GE, y I GyC. Kita melihat ahwa 8umlah yang ere7a 7ari peker8aan yang 7ilakukan tergantung pa7a  8alan mana yang kita memiarkan mengamil partikel. #ika ini enar, maka >ungsi energi ker8a 7ie+aluasi pa7a ke7ua u8ung gerakan, karena pere7aan terseut akan memerikan, hasil 8alan-in7epen7ent yang unik. Pere7aan 7alam peker8aan yang 7ilakukan sepan8ang 7ua 8alur ini sama 7engan &GEGy 4ihat Persamaan .$.(C. Pere7aan ini hanya sama 7engan nilai 7ari loop tertutup ker8a terpisahkan9 Oleh karena itu, pernyataan ahwa peker8aan yang 7ilakukan untuk pergi 7ari satu titik ke titik lain 7alam me7an gaya ini tergantung-8alan setara 7engan pernyataan ahwa ti7ak terpisahkan loop tertutup ker8a nol. Me7an gaya tertentu 7iwakili 7alam 1amar  .$.& tuntutan yang kita tahu se8arah lengkap 7ari partikel untuk menghitung ker8a yang 7ilakukan 7an, oleh karena itu, keuntungan energi kinetiknya. Konsep energi  potensial, 7ari mana kekuatan itu isa mungkin 7iturunkan, 7iter8emahkan erarti 7alam konteks tertentu. Satu-satunya ara kita isa memerikan nilai unik untuk energi potensial akan  8ika integral eker8a 7ekat loop lenyap. Dalam kasus terseut, peker8aan yang 7ilakukan 7i sepan8ang 8alan 7ari ) ke B akan 8alan-in7epen7en 7an akan sama aik   potensi kehilangan energi 7an keuntungan energi kinetik. 5nergi total partikel akan konstan, terlepas 7ari lokasinya 7i me7an gaya terseutL Karena itu, kami harus menemukan ken7ala yang kekuatan tertentu harus mematuhi 8ika ti7ak terpisahkan ker8a loop tertutup a7alah menghilang. *ntuk menemukan ken7ala yang 7iinginkan, mari kita menghitung ker8a yang 7ilakukan 7alam mengamil partikel tes erlawanan sekitar lingkaran persegi pan8ang 7aerah GE Gy 7ari titik E, yC 7an kemali lagi, seperti yang 7itun8ukkan pa7a 1amar 

.$.&. Kami men7apatkan hasil seagai erikut:

*saha yang 7ilakukan a7alah nol 7an sean7ing 7engan luas loop, G)  GE . Gy, ang 7ipilih 7engan ara sewenang-wenang. #ika kita memagi peker8aan yang 7ilakukan oleh 7aerah loop 7an mengamil atas seagai G)  ', kita memperoleh nilai &. !asilnya tergantung pa7a si>at yang tepat 7ari me7an gaya ini khususnya non konser+ati>. #ika kita memesan arah 7ari salah satu komponen kekuatan - mengatakan,  iarkan /@  Iy 7engan sehingga JmenghanurkanJ sirkulasi me7an gaya tapi 7i mana-mana melestarikan esarnyaC - maka ker8a yang 7ilakukan per satuan luas 7alam melintasi loop tertutup hilang . Me7an gaya yang 7ihasilkan konser+ati> 7an 7itun8ukkan pa7a 1amar .$.3. #elas, nilai loop tertutup yang ti7ak terpisahkan tergantung pa7a ara yang tepat 7i mana +ektor gaya / eruah arah serta esarnya seperti yang kita ergerak pa7a i7ang Ey.

Gambar 4.1.# Seuah me7an gaya

konser+ati> yang komponennya a7alah /E  y 7am /y  E )7a 8elas eerapa 8enis ken7ala yang / harus mematuhi 8ika integral ker8a loop tertutup a7alah menghilang. Kita 7apat memperoleh kon7isi ini ken7ala 7engan

menge+aluasi kekuatan yang E I GE 7an y I Gy menggunakan ekspansi 2aylor 7an kemu7ian memasukkan ekspansi yang 7ihasilkan men8a7i integral ker8a loop tertutup 7ari Persamaan .$.(. !asilnya erikut:

Persamaan terakhir ini erisi istilah /y " E - /E " yC, yang nol atau nilai nol merupakan tes yang kita ari. #ika istilah ini a7alah i7entik sama 7engan nol ukan &,

>ungsi

energi

potensial

7ari

mana

kekuatan

itu

isa

7iturunkan.

Kon7isi ini a7alah +ersi leih se7erhana 7ari teorema matematika yang sangat umum 7iseut theorem& Stoke !al ini 7itulis seagai

2eorema men8elaskan loop tertutup garis integral 7ari >ungsi +ektor / sama 7engan meringkuk / H n 7a terintegrasi 7i atas permukaan S 7ikelilingi oleh penutupan loop. 6ektor n a7alah unit +ektor normal ke permukaan area elemen integrasi 7a. )rahnya a7alah ahwa 7ari ma8u sekrup kanan eruah 7alam arti rotasi sama 7engan arah tra+ersal sekitar loop tertutup. Pa7a 1amar .$.&, N akan 7iarahkan keluar 7ari & 4ihat uku teks kalkulus lan8utan misalnya, S 1rossman 7an ?0 Derrik, )7+ane7 2eknik Matematika, !arper ;ollins, New ork, $A%%C atau ma8u listrik  7an magnet uku misalnya #0 0eit@, /# Mil>or7, 7an 0? ;hristy, ayasan elektromagnetik 2eori . )77ision-?esley.

kertas. Permukaan akan men8a7i area persegi tertutup oleh loop persegi pan8ang  putus-putus. Dengan 7emikian, hilang ikal / memastikan ahwa integral garis / sekitar 8alan 7ekat a7alah nol tangan, sehingga ahwa / a7alah gaya konser+ati>.

4." Potensi $ungsi %nergi in &otion Tiga-Dimensi: The Del 'perator

)sumsikan ahwa kita memiliki su8ek tes partikel suatu kekuatan yang keriting hilang. Maka semua komponen url / 7alam Persamaan .$.A lenyap. Kita 7apat memastikan ahwa url hilang 8ika kita erasal 7ari / >ungsi energi potensial 6 E, y, @C menurut

Seagai ontoh, komponen @ url / men8a7i

4angkah terakhir ini mengikuti 8ika kita mengasumsikan ahwa 6 a7alah 7i manamana terus menerus 7an ter7i>erensialkan. Kami menapai kesimpulan yang sama untuk komponen lain url /. Orang mungkin ertanya-tanya apakah a7a alasan lain mengapa ikal / mungkin lenyap, selain yang era7a 7iturunkan 7ari >ungsi energi  potensial. Namun, url /  ' a7alah kon7isi yang 7iperlukan 7an ukup untuk  keera7aan 6 E, y, @C sehingga pa7a Persamaan .&.$ 7itahan.3

Kita sekarang 7apat mengekspresikan gaya konser+ati> / +etorialisasi seagai

Persamaan ini 7apat 7itulis leih ringkas seagai 3

4ihat, seagai ontoh S.. 1rossman, op it. #uga, /eng merepresentasikan  pemahaman 7iskusi 7ari kriteria konser+asi saat ter8a7i 7orongan lapangan  erisikan singularitas 7alam )Mer #. Phys. 3, ($( $A(AC

7i mana kami telah memperkenalkan operator +ektor 7el:

5kspresi 66 8uga 7iseut gra7ien 6 7an ka7ang-ka7ang 7itulis lulusan 6. Seara matematis, gra7ien >ungsi a7alah +ektor yang mewakili turunan spasial maksimum >ungsi 7alam arah 7an esarnya. Seara >isik, gra7ien negati> 7ari >ungsi energi potensial memerikan arah 7an esarnya gaya yang ertin7ak na partikel yang terletak 7i lapangan yang 7iuat oleh partikel lain. )rti 7ari tan7a negati> a7alah  ahwa partikel 7i7orong untuk ergerak ke arah penurunan energi potensial 7aripa7a 7alam arah yang erlawanan. !al ini 7iilustrasikan pa7a 1amar .&.$. Di sini >ungsi energi potensial 7iplot 7alam entuk garis kontur mewakili kur+a energi potensial yang konstan. 1aya pa7a setiap titik selalu normal kur+a ekipotensial atau permukaan melewati titik terseut.

Gambar 4.".1 Seuah me7an gaya

7iwakili oleh kur+a kontur ekuipotensial.

Kita 7apat mengungkapkan ikal / menggunakan 7el operator. 4ihatlah komponen url / 7alam Persamaan .$.A. Mereka a7alah komponen 7ari +ektor 6 E /. #a7i, 6 E /  ikal /. Kon7isi yang kekuatan konser+ati> 7apat 7itulis lengkap seagai erikut :

Selain itu, 8ika 6 E /  ', maka / 7apat 7iturunkan 7ari >ungsi 6 skalar 7engan

operasi /  - 66, karena 6 E 66  ', atau url 7ari gra7ien apapun i7entik '. Kita sekarang isa menggeneralisasi konser+asi prinsip energi untuk tiga 7imensi. *saha yang 7ilakukan oleh gaya konser+ati> 7alam menggerakan partikel 7ari titik ) ke titik B 7apat 7itulis seagai

4angkah terakhir menggamarkan kenyataan ahwa 66. 7r a7alah 7i>erensial yang tepat sama 7engan 76. *saha yang 7ilakukan oleh gaya total selalu sama 7engan  peruahan energi kinetik, sehingga

7an kita telah tia 7i hukum kita inginkan kekekalan energi total. #ika / a7alah kekuatan nonkonser+ati>, ti7ak 7apat 7itetapkan sama 7engan ++. Peningkatan ker8a /.7r ukanlah 7i>erensial yang tepat 7an ti7ak isa 7isamakan 7engan -76. Dalam kasus-kasus 7i mana ke7ua kekuatan konser+ati> / 7an pasukan nonkonser+ati> / yang ha7ir, peningkatan ker8a total /  /C. 7r  -76 I / , 7an  entuk umum 7ari teorema energi eker8a men8a7i .&.AC

5nergi total 5 ti7ak tetap konstan sepan8ang gerakan partikel, tetapi ertamah atau  erkurang tergantung pa7a si>at 7ari gaya nonkonser+ati> / . Dalam kasus pasukan 7isipati> seperti gesekan 7an hamatan u7ara, arah / selalu erlawanan gerakan9 maka, /.7r negati>, 7an energi total partikel menurun ketika ergerak melalui ruang.

(')T'* 4.".1

Mengingat 7ua 7imensi potensi >ungsi energi

mana r   E I 8y 7an 6o, k, 7an  a7alah konstanta, menemukan >ungsi kekuatan.

+olusi:

Kami pertama kali menulis >ungsi energi potensial seagai >ungsi E 7a n y

7an kemu7ian menerapkan operator gra7ien:

Perhatikan ahwa konstanta 6o ti7ak munul 7alam >ungsi erlaku9 nilainya a7alah sewenang-wenang. ni hanya meningkatkan atau menurunkan nilai >ungsi energi  potensial 7engan konstan 7i mana-mana 7i E, y pesawat 7an, 7engan 7emikian, ti7ak   erpengaruh pa7a >ungsi tenaga yang 7ihasilkan. Kami telah 7iplot >ungsi energi potensial pa7a 1amar .&.& aC 7an >ungsi gaya yang 7ihasilkan pa7a 1amar .&.& C. Konstanta 7iamil men8a7i 6o  $ ....  $"3, 7an k   (. JluangJ 7i permukaan energi potensial menapai ke7alaman teresar 7i asal,  pusat luang yang eQuipotentials - garis energi potensial yang konstan. 1aris ra7ial a7alah garis keturunan uram yang menggamarkan gra7ien 7ari permukaan energi  potensial. Kemiringan garis ra7ial 7i setiap titik 7i pesawat sean7ing 7engan kekuatan yang partikel akan mengalami sana. Kekuatan lapangan pa7a 1amar .&.& C menun8ukkan kekuatan yang  partikel akan mengalami sana. Kekuatan lapangan pa7a 1amar .&.& C menun8ukkan +ektor gaya menun8uk ke arah asal. Mereka melemahkan aik 7an 8auh 7ari 7ekat ke asal, 7i mana kemiringan >ungsi energi potensial men7ekati nol.

Gambar 4."."a

/ungsi energi  potensial + E, yC

Gambar 4."."b  1ra7ien lapangan 7ari

7orongan >ungsi energi potensial  pa7a 1amar .&.& aC9 /  -G6 H kiE I 8yCe-E&Iy&C " &

(')T'* 4."."

Misalkan seuah partikel ermassa m ergerak 7i i7ang kekuatan 7i atas, 7an pa7a saat t  ' partikel melewati asal 7engan keepatan +o. )pa yang akan keepatan  partikel era7a pa7a 8arak keil 7ari asal yang 7ierikan oleh r  er Gr  7i mana G RR

+olusi:

1aya konser+ati>, karena >ungsi energi potensial a7a. Dengan 7emikian, energi total 5  2 I 6  konstan,

Dan memeahkan untuk +, kita memperoleh

5nergi potensial a7alah >ungsi kua7rat 7ari perpin7ahan G 7ari asal untuk   perpin7ahan keil, sehingga solusi ini untuk mengurangi konser+asi energi untuk  osilator harmonik se7erhana.

(')T'* 4.".#

)7alah me7an gaya /  i@y I 8E@ I ky@ konser+ati> ;url 7ari / a7alah

5kspresi akhir ti7ak nol untuk semua nilai koor7inat9 maka, lapangan ti7ak  konser+ati>.

(')T'* 4.".4

*ntuk apa nilai-nilai konstanta a, , 7an  a7alah gaya /  i aE I y&C I 8Ey konser+ati> Mengamil url, kami memiliki

!al ini menun8ukkan ahwa gaya konser+ati>, 7ise7iakan   &. Nilai a7alah immaterial.

(')T'* 4."., & 2un8ukkan ahwa hukum teralik persegi kekuatan 7alam tiga 7imensi /  -k"r  Cer .

)pakah konser+ati> 7engan menggunakan url. Menggunakan koor7inat ola. ;url 7ierikan 7alam 4ampiran / seagai

Kami punya /r   k"r &. /o  o, /o  '. ;url kemu7ian 7ise7erhanakan men8a7i

yang, tentu sa8a, hilang karena ke7ua turunan parsial a7alah nol. Dengan 7emikian, kekuatan yang 7imaksu7 a7alah konser+ati>.

4.# Dorongan dari Tipe Terpisah: Gerakan Proektil

Seuah sistem koor7inat ;artesian 7apat sering 7ipilih se7emikian rupa sehingga komponen me7an gaya meliatkan koor7inat masing-masing sa8a, yaitu,

Dorongan 7ari 8enis yang 7ipisahkan. ;url kekuatan seperti itu i7entik nol:

Komponen  a7alah /@@C" y - /yyC" @ 7an ekspresi yang sama erlaku untuk  komponen lain9 Oleh karena itu, lapangan konser+ati> karena setiap turunan parsial a7alah 7ari 8enis ampuran 7an lenyap i7entik, karena koor7inat E, y, 7an @ a7alah +ariael in7epen7en. ntegrasi persamaan 7i>erensial gerakan kemu7ian sangat se7erhana karena setiap persamaan komponen 7ari 8enis mE  /E C Dalam hal ini  persamaan 7apat 7iselesaikan 7engan meto7e yang 7i8elaskan 7i awah gerakan lurus 7alam Ba &. Dalam hal komponen kekuatan meliatkan waktu 7an turunan waktu koor7inat masing-masing, maka ti7ak lagi enar ahwa gaya a7alah selalu konser+ati>. Namun 7emikian, 8ika gaya a7alah terpisah, maka persamaan komponen gerakan yang 7alam  entuk mE  /E E, E, tC 7an 7apat 7iselesaikan 7engan meto7e yang 7igunakan 7alam Ba &. Beerapa ontoh pasukan terpisah, aik konser+ati> 7an nonkonser+ati>, 7iahas 7i sini 7an 7i agian untuk mengikuti:

Proeksi dari Gerakan dalam +ebuah Keseragaman !apangan Gravitasi

Sementara seorang pro>esor 7i Pa7ua, talia, selama tahun-tahun $('&-$('%, 1alileo menghaiskan anyak waktu memproyeksikan nya ola hori@ontal ke ruang angkasa 7engan menggulung kemu7ian turun i7ang miring 7i agian awah yang telah melekat 7e>lektor melengkung. Dia erharap untuk menun8ukkan ahwa gerakan horisontal en7a akan ertahan tanpa a7anya gaya gesek. #ika hal ini enar, maka gerakan hori@ontal proyektil erat seharusnya ti7ak terpengaruh anyak oleh hamatan u7ara 7an harus ter8a7i pa7a keepatan konstan. 1alileo su7ah menun8ukkan ahwa ola ergulir i7ang miring menapai keepatan yang sean7ing 7engan waktu mereka roll, 7an sehingga ia isa mem+ariasikan keepatan ola hori@ontal 7iproyeksikan 7engan ara yang terkontrol. Dia mengamati ahwa 8arak 

hori@ontal per8alanan ahwa 8arak hori@ontal epergian 7engan proyektil meningkat  eran7ing lurus 7engan keepatan proyeksi 7ari pesawat, 7engan 7emikian, eksperimen menun8ukkan keyakinannya. Selama penyeli7ikan ini, ia tertegun untuk  menemukan ahwa 8alan proyektil 7iikuti a7alah paraolaL Pa7a $('A, su7ah tahu  8awaan menegaskan seagai n8il apa yang setiap mo7ern, pemeahan masalah mahasiswa >isika tahu 7ari pengalamanC. 1alileo mampu memuktikan seara matematis ahwa lintasan paraola proyektil a7alah konsekuensi alami 7ari gerakan hori@ontal yang un 7iperepat - 7an gerakan +ertikal in7epen7en itu. Memang, 7ia memahami 7an konsekuensi 7ari hal ini memeri tan7a 7engan aik. Seelum akhirnya meneritkan karyanya 7i $(3%in ?aana Dua lmu Baru, 7ia menulis seagai erikut 7alam seuah surat kepa7a salah satu 7ari anyak korespon7en ilmiahnya, 1io+anni Baliani: ... Saya memperlakukan 8uga 7ari proyektil gerakan, menun8ukkan eragai  properti, 7i antaranya a7alah ukti ahwa proyektil 7ilemparkan oleh  proyektor, seperti yang akan ola 7itemak 7engan menemakkan artileri, memuat penerangan maksimum 7an 8atuh pa7a 8arak teresar ketika agian terseut meningkat pa7a setengah su7ut kanan, yaitu pa7a '9 7an terleih lagi, ahwa temakan lain yang 7iuat pa7a ketinggian yang leih esar atau kurang keluar sama ketika potongan 7itinggikan 8umlah yang sama 7era8at 7i atas 7an 7i awah kata '. 2i7ak ere7a 7engan situasi pen7anaan ahwa ilmu pengetahuan 7an teknologi menemukan 7irinya 7alam hari ini, masalah men7asar 7alam ilmu yang masih mu7a waktu 1alileo, yang terusik kepentingan tertarik se7ikit, er7iri peluang  agus 7itangani 8ika mereka terkait 7alam eerapa ara untuk perusahaan militer. Memang, memeahkan gerakan proyektil a7alah salah satu masalah yang paling terkenal 7i mekanika klasik, 7an itu a7alah keetulan ahwa 1alileo memuat  4ihat misalnya, S. Drake 7an #. Ma 4ahlan, 1alileo Penemuan Paraoli lintasan, lmiah. )mer. &3&, $'&-$$' Maret, $AC. #uga lihat S. Drake, 1alileo 7i 2empat Ker8a, Mineola, N, Do+er, $A%.

 penemuan seagian 7i7ukung oleh 7ana akhirnya erasal 7ari orang kaya erusaha untuk men7apatkan eerapa keuntungan militer atas musuh-musuh mereka. Pa7a $A, 1alileo telah menga7akan ker8asama $' tahun 7engan pemuat  perkakas, Mar)ntonio Ma@@oleni. Dalam hari 1alileo, penggunaan meriam untuk   pon pergi pa7a 7in7ing istana leih seni 7aripa7a sains. MarQuis 7el Monte 7i /lorene 7an 1eneral 7el Monte 7i Pa7ua, 7engan siapa 1alileo telah eker8a seelumnya, ertanya-tanya apakah hal itu mungkin untuk meranang ringan militer  JkompasJ yang 7apat 7igunakan untuk mengukur 8arak 7an tinggi target, untuk  mengukur su7ut ele+asi meriam 7an untuk melaak 8alur proyektil nya. 1alileo memeahkan masalah 7an mengemangkan kompas militer, yang pemuat perkakas nya 7ipro7uksi 7alam 8umlah 7i engkel ker8anya. )7a pasar yang siap untuk   perangkat ini, 7an mereka men8ual 7engan aik. Namun, 1alileo men7apatkan seagian esar 7ari 7ukungan yang memungkinkan 7ia untuk melakukan in+estigasi sen7iri gerakan 7engan menginstruksikan siswa 7alam penggunaan kompas 7an  pengisian mereka $&'lire untuk hak istimewa. Pa7ahal, seperti anyak pro>esor hari ini 7engan yang anyak pemaa teks ini akan memahami, 1alileo leih 7ari memeni setiap tenaga ker8a yang menegah 7ia 7ari menge8ar kepentingan sen7iri. J)ku selalu 7i layanan ini atau orang itu. Saya harus mengkonsumsi anyak 8am sehari - sering yang teraik -. Dalam pelayanan orang lain J*ntungnya, ia menemukan ukup waktu untuk melakukan eksperimen 7engan ola ergulir, yang menyeakan penemuan lintasan paraola 7an akhirnya memantu memimpin  Newton penemuan hukum klasik gerakan. Pa7a ($$, 1alileo in>ormasi )ntonio 7eMe7ii karyanya pa7a proyektil, yang ti7ak 7iragukan lagi keluarga 7eMe7ii kuat /lorene 7iman>aatkan 7engan aik .. 7an ti7ak 7iragukan lagi, pergi 8auh ke arah memantu 1alileo mengamankan rasa terima kasih aa7i mereka 7an patronase tak eru8ung . #a7i 7engan rasa syukur aa7i untuk 1alileo 7an kesuksesannya, Newton, 7i sini kita mengamil hanya eerapa menit - 7an ti7ak years.- untuk memeahkan masalah proyektil.

Tidak ada esistensi Udara

*ntuk mempermu7ah, kita pertama mempertimangkan kasus proyektil ergerak  tanpa hamatan u7ara. !anya satu gaya, gra+itasi, eker8a pa7a proyektil, 7an, konsisten 7engan pengamatan 1alileo seperti yang akan kita lihat, hanya mempengaruhi gerakan +ertikal. Memilih sumu @ men8a7i +ertikal, kita memiliki  persamaan erikut gerakan:

Dalam kasus proyektil yang ti7ak naik terlalu tinggi atau terlalu 8auh, kita 7apat mengamil perepatan gra+itasi, g, konstan. Maka >ungsi gaya konser+ati> 7an 8enis terpisah, karena merupakan kasus khusus 7ari Persamaan .3.$. +o a7alah keepatan awal proyektil, 7an asal sistem koor7inat posisi awal. Selain itu, ti7ak a7a kehilangan umum 8ika kita mengarahkan sistem koor7inat sehingga sumu E terletak 7i sepan8ang proyeksi keepatan awal ke i7ang hori@ontal Ey, karena ti7ak a7a kekuatan hori@ontal 7iarahkan eker8a pa7a proyektil, gerakan ter8a7i semata-mata 7alam i7ang +ertikal E@. Dengan 7emikian, posisi proyektil setiap waktu lihat 1amar .3.$C

Keepatan proyektil 7apat 7ihitung seagai >ungsi 7ari tingginya, @, 7engan menggunakan persamaan energi Persamaan .&.%C

atau ekui+alen 7engan

Gambar 4.#.1 #alur paraola

7ari proyektil.

Kita

isa

menghitung

keepatan

proyektil

setiap

instan

waktu

7engan

mengintegrasikan Persamaan .3.3

Konstanta integrasi a7alah keepatan +o awal. Dalam hal unit +ektor, keepatan a7alah

Mengintegrasikan hasil sekali lagi +ektor posisi

Konstanta integrasi a7alah awal proyektil, ro yang sama 7engan nol9 Oleh karena itu, 7alam hal +ektor satuan, Persamaan .3.a men8a7i

Dalam hal komponen, posisi proyektil pa7a setiap instan waktu

,

7an

a7alah komponen keepatan +o awal.

Kita sekarang 7apat menun8ukkan, seperti 1alileo lakukan 7i $('A, ahwa  8alan proyektil a7alah paraola. Kami menemukan @ EC 7engan menggunakan  pertama Persamaan .3. untuk memeahkan t seagai >ungsi 7ari E 7an kemu7ian mengganti ekspresi yang 7ihasilkan 7alam ketiga Persamaan .3..

Persamaan .3.A a7alah persamaan paraola 7an 7itun8ukkan pa7a 1amar .3.$. Seperti 1alileo, kita menghitung eerapa properti gerakan proyektil: $C ketinggian maksimum,  zmax, proyektil, &C waktu, tmax, yang 7iutuhkan untuk  menapai ketinggian maksimum, 3C waktu penerangan, 2, 7ari proyektil, 7an C rentang, 0, 7an 8angkauan maksimum, Rmax, proyektil. 

Pertama, kita menghitung ketinggian maksimum 7iperoleh proyektil 7engan menggunakan Persamaan .3. 7an ti7ak a7a yang 7i ketinggian maksimum komponen +ertikal 7ari keepatan proyektil a7alah nol sehingga keepatannya 7alam arah horisontal 7an sama 7engan komponen hori@ontal konstan, +o os T . Seperti 7emikian

Kami memeahkan ini untuk memperoleh



?aktu yang 7iutuhkan menapai ketinggian maksimum 7apat 7iperoleh 7ari Persamaan .3.( mana kita meman>aatkan lagi >akta ahwa pa7a ketinggian maksimum, komponen +ertikal 7ari keepatan yang hilang, sehingga

atau

Kita isa memperoleh total waktu 2 penerangan proyektil 7engan



menetapkan @ C 7i akhir Persamaan .3., 7engan hasil

!al ini a7alah 7ua kali yang 7iutuhkan oleh proyektil untuk menapai ketinggian maksimum. !al ini menun8ukkan ahwa penerangan ke atas  proyektil ke punak lintasan simetris untuk penerangan ke awah yang 8auh 7ari itu. 

)khirnya, kita menghitung eragai proyektil 7engan menggantikan total waktu penerangan, 2, men8a7i yang pertama 7ari Persamaan .3., memperoleh

0 memiliki nilai maksimum

!inear esistensi Udara

Kami sekarang mempertimangkan gerakan su8ek proyektil 7engan gaya hamatan u7ara. Dalam hal ini, gerakan ti7ak menghemat energi total, yang terus erkurang selama

penerangan

proyektil.

*ntuk

memeahkan

masalah

analitis,

kita

mengasumsikan ahwa gaya menolak er+ariasi seara linear 7engan keepatan. *ntuk menye7erhanakan persamaan yang 7ihasilkan 7ari gerakan, kita mengamil konstan seara proporsional untuk mU 7i mana m a7alah massa proyektil. Persamaan gerakan 7iamil

Setelah mematalkan m itu, penye7erhanaan persamaan untuk 

Seelum mengintegrasikan, kita menulis Persamaan .3.$( 7alam entuk komponen

Kita melihat ahwa persamaan 7ipisahkan ,9 Oleh karena itu, masing-masing 7apat 7iselesaikan seara in7i+i7ual oleh meto7e Ba &. Menggunakan hasil 7ari Persamaan &..$, kita 7apat menuliskan solusi segera, menatat ahwa 7i sini U  $"m, $ men8a7i koe>isien 7rag linear. !asilnya

untuk komponen keepatan. Seperti seelumnya, kita mengarahkan sistem koor7inat se7emikian rupa sehingga sumu E terletak 7i sepan8ang proyeksi keepatan awal ke  i7ang horisontal Ey. 4alu V  Vo  ' 7an gerakan teratas pa7a i7ang +ertikal E@. Mengintegrasikan sekali lagi, kita memperoleh koor7inat posisi

Kami telah mengamil posisi awal proyektil men8a7i nol, sistem koor7inat asal. Solusi ini 7apat 7itulis +etorialisasi seagai

yang 7apat 7i+eri>ikasi oleh 7i>erensiasi. Bertentangan 7engan kasus nol hamatan u7ara 8alur proyektil ukan

 paraola, melainkan kur+a yang terletak 7i awah lintasan paraola yang sesuai. !al ini 7iilustrasikan pa7a 1amar .3.&. Pemeriksaan persamaan E menun8ukkan ahwa, untuk t esar, nilai E men7ekati nilai atas

ni erarti ahwa lintasan lengkap proyektil, 8ika hal itu ti7ak apa-apa, akan memiliki asimtotik +ertikal seperti yang 7itun8ukkan pa7a 1amar  .3.&. Dalam gerakan yang seenarnya 7ari seuah proyektil melalui atmos>er, hukum perlawanan ti7ak erarti linear9 itu a7alah >ungsi yang sangat rumit keepatan. Perhitungan yang akurat 7ari lintasan 7apat 7ilakukan melalui meto7e integrasi numerik. 4ihat re>erensi 7ikutip 7alam ;ontoh &..3.C

Gambar 4.#." Peran7ingan 8alan proyektil

7engan 7an tanpa hamatan u7ara.

entang *orisontal

Kisaran hori@ontal proyektil yang linier hamatan u7ara 7itemukan 7engan menetapkan @  ' 7i ke7ua Persamaan .3.$A 7an kemu7ian menghilangkan t antara 7ua persamaan. Dari pertama Persamaan .3.$A, kami telah , 8a7i

. Dengan 7emikian, kisaran EmaE

horisontal 7ierikan oleh ekspresi implisit

ni a7alah persamaan transen7ental 7an harus 7iselesaikan 7engan eerapa meto7e  pen7ekatan untuk menemukan Eh. Kita 7apat memperluas istilah logaritmik 7engan

menggunakan seri

yang erlaku

. Dengan,

7iiarkan seagai masalah untuk 

menun8ukkan ahwa ini mengarah pa7a ekspresi erikut untuk rentang horisontal:

#ika proyektil 7itemakkan pa7a su7ut ele+asi T 7engan awal melesat +o, maka 7an Seuah ekspresi setara kemu7ian

stilah pertama pa7a hak kisaran tanpa a7anya hamatan u7ara. Sisanya a7alah  penurunan karena hamatan u7ara.

(ontoh 4.#.1 entang *orisontal dari /ola Gol 

*ntuk oyek isol atau ukuran gol> ola 7engan keepatan normal, hamatan u7ara leih hampir 7alam +, ukan linier, seperti yang 7itun8ukkan 7alam Bagian &..  Namun, ekspresi perkiraan 7itemukan 7i atas 7apat 7igunakan untuk menari rentang untuk lintasan 7atar 7engan Jlineari@ingJ >ungsi kekuatan yang 7ierikan oleh Persamaan &..3, yang 7apat 7itulis 7alam tiga 7imensi. *ntuk linearisasi itu, kami menetapkan W+W sama 7engan +o keepatan awal, sehingga konstanta U 7ierikan oleh

Seuah pen7ekatan yang leih aik akan mengamil keepatan rata-rata, tapi itu  ukan 8umlah tertentuC. Meskipun meto7e ini meleih-leihkan pengaruh hamatan u7ara, memungkinkan perkiraan kasarnya epat 7apat 7itemukan 7engan mu7ah.

*ntuk gol> 7iameter D  ',''& m 7an massa m  '.'( kg, kami menemukan ahwa $ 7iaaikan 7an seagainya

seara numerik, 7imana +o 7alam ms-$. *ntuk hip 7itemak 7engan, katakanlah, +o  &' ms-$, kita menemukan U  '.''% E &'  '.$ s-$. Kisaran horisontal kemu7ian, untuk T  3''.

Perkiraan kami, 7engan 7emikian, memerikan pengurangan sekitar seperempat karena hamatan u7ara pa7a ola.

(')T'* 4.#." 0(atatan Pengukuran  Home Run

Di sini kita menghitung apa yang 7iutuhkan seorang pemain isol untuk memukul  pita pengukur home run, atau yang menempuh 8arak leih 7ari '' meter. Dalam Bagian &., kami menyeutkan ahwa kekuatan tarik u7ara pa7a isol 7asarnya sean7ing 7engan kua7rat 7ari keepatan yaitu, /D+C  -& W+W +. 1aya hamatan u7ara yang seenarnya pa7a isol a7alah leih rumit ahwa. Misalnya, JkonstanJ  proporsionalitas & er+ariasi agak 7engan keepatan isol, 7an hamatan u7ara tergantung, antara lain, 7i spin 7an ara sampulnya 7i8ahit 7i. Kami erasumsi,  agaimanapun, untuk tu8uan kita 7i sini ahwa persamaan 7i atas menggamarkan situasi ukup mema7ai 7engan peringatan ahwa kita mengamil &  ',$ ukan nilai ',&& yang kita gunakan seelumnya. Nilai ini JmenormalkanJ >aktor hamatan u7ara 7ari isol 7engan keepatan men7ekati $'' mph 7engan yang 7igunakan oleh 0oert )7air 7alam 2he /isika Baseall.  0. K. )7air. 2he /isika Baseall, &n7 e7., New ork, !arper ;ollins.

4intasan a7an 7ikenakan gaya 7rag u7ara yang tergantung pa7a kua7rat keepatan yang ti7ak ti7ak 7apat 7ihitung seara analitis, 8a7i kami menggunakan Mathematia, seuah perangkat lunak komputer lihat 4ampiran C, untuk  menemukan solusi numerik untuk lintasan isol 7i melawan. 2u8uan kami untuk  menemukan keepatan minimum 7an su7ut optimum pelunuran yang a7onan isol harus menapai untuk men7orong isol untuk 8angkauan maksimum. Situasi kita menganalisis masalah terpan8ang home run pernah memukul 7i musim reguler,  permainan ola 7asar liga utama menurut 1uinness Book o> Sports 0eor7s, yaitu,  ola 7isamar Mikey Mantel tahun $A3 yang 7iklaim mampu menempuh ( meter  7i atas angku-angku kiri lapangan 7i Sta7ion 1ri>>ith tua 7i ?ashington, D; Berikut ini a7alah pen8elasan tentang itu home run erse8arah,(  yang salah satu  penulis )n7a 14;C a7alah hak istimewa untuk melihat samil menonton  pertan7ingan isol seagai seorang anak mu7a ermata erah 7ari orang-orang sangat meninggalkan angku i7ang yang 7ia memayar iaya masuk & X oh, seerapa lama telah eruahC.

Gambar 4.#.#a  lintasan Mikey Mantle

home run pa7a $ )pril $A3, 7i Sta7ion 1ri>>ith, ?ashington, D;

Gambar 4.#.#b  lintasan 7ari Mantle

home run seperti yang terlihat 7ari perspekti> atter. Mantle, swith pemukul, seenarnya memukul tangan kanan Stos. /oto ini, menun8ukkan 7ia menggunakan ki7al, ( ni rekening Mantle 1uinness Bok Olahraga 0ekor home run 7apat 7itemukan 7i situs we, http:""www.themik.om"$'homers.html.

a7alah 7emi ilustrasiC.

2he ankees ermain Senator 7i Sta7ion 1ri>>ith 7i ?ashington, D; 2he ?ashington Senator klu aseall 7an Sta7ion 1ri>>ith ti7ak a7a lagiC. Sta7ion ini a7alah san7oE keil kasarnya tetapi, seperti Mikey Mantle mengatakan, Jtu ti7ak mu7ah untuk memukul home run 7i sana. )7a 7in7ing A'-kaki 7i enter>iel7 7an selalu tampaknya men8a7i angin ertiup. J 4e>ty ;huk Stos se7ang gun7ukan. )ngin ahaya meniup 7ari home  plate untuk peruahan. tu 7ua tahun untuk hari se8ak >rist pertan7ingan liga utama Mikey. Mikey melangkah ke piring. Stos menemakkan ola epat tepat 7i awah huru>, tepat 7i mana Mik menyukai mereka, 7an ia terhuung  penuh 7engan itu. Bola mengamil ke arah tan7a 3A$-kaki 7i kiri-enter>iel7. ni melon8ak melewati pagar, 7i atas angku 7an menu8u keluar 7ari taman ketika riohete7 o>> tan7a ir 7i papan skor sepakola tamahan lihat 1amar .3.3a 7an C. Meskipun, se7ikit terhamat, hal itu erlangsung  penerangannya leih tetangga /i>th Street 7an men7arat 7i halaman elak ang 3 Oak7ale Street, eerapa rumah atas lok. Billy Martin era7a 7i ketiga ketika Mikey terhuung 7an, seagai leluon, ia erpura-pura untuk menan7ai seperti itu hanya terang ola  pan8ang. Mikey ti7ak melihat shenanigans Billy J)ku 7igunakan untuk  men8aga kepala saya turun saat aku mengitari pangkalan setelah home run. )ku ti7ak ingin munul pither. Saya pikir 7ia merasa ukup uruk su7ahJC 7an hampir menarak BillyL #ika ti7ak untuk ketiga pelatih ase ketiga, /rank  ;rosetti, ia akan memiliki. Memiliki Mikey menyentuh Billy ia akan seara otomatis 7inyatakan keluar 7an akan telah 7ikre7itkan 7engan hanya gan7a. Sementara itu, 7i kotak pers, 7irektur ankees P0, 0e7 Patterson,  erteriak, Jang itu harus 7iukurLJ Dia erlari keluar 7ari taman 7an memutar  ke sisi 8auh 7ari taman 7i mana ia menemukan erusia $'-tahun Donal7 Dunaway 7engan ola. Dunaway menun8ukkan Sta7ion 0e7. Bertentangan

7engan mitos populer, 7ia ti7ak menggunakan pita pengukur, meskipun ia 7an Mikey 7i>oto ersama-sama 7engan pita pengukur raksasa tak lama setelah le7akan erse8arah. Menggunakan 7imensi taman, 7in7ing, 7an 8arak yang mon7ar-man7ir o>>, Patterson 7ihitung ola per8alanan ( meter. Namun,  penulis olahraga #oe 2rimle, saat menamahkan ersama-sama 8arak, gagal untuk memperhitungkan lear tiga kaki 7in7ing 7an 7atang 7engan angka (&-kaki sering 7ikutip. Namun, ( meter a7alah nomor yang enar. ni a7alah ola pertama yang pernah pergi ke angku 1ri>>ith Sta7ion le>t>iel7. Seagian peraya ola akan pergi leih 8auh telah ti7ak memukul  papan skor lihat 1amar .3.3C. Bagaimanapun, itu men8a7i salah satu home run paling terkenal yang pernah. tu erita hea7line 7i se8umlah koran 7an erita utama 7i seluruh negeri. Dari tanggal terseut ma8u, home run pan8ang yang 7iseut seagai Jmeteran home run.J #a7i, apakah Mikey Mantle enar-enar memukul ( kaki home run, 7an,  8ika 7emikian, apa su7ut 7ia memukul ola 7an apa keepatan awal 7ia menyampaikan itu Persamaan gerakan su8ek isol untuk kua7rat hamatan u7ara

ni memisahkan men8a7i 7ua persamaan komponen

Memiarkan U  &"m, Kita memperoleh

Memahami, permainan isol men8a7i hoi esar )merika, erat ,$& o@C 7an 7iameter &.%( inC 7ari isol 7ierikan 7alam satuan nggris. Dalam satuan metrik, mereka m  ',$ kg 7an D  ','&% m masing-masing, sehingga

Gambar 4.#.4 0entang 7ihitung 7ari isol

7engan kua7rat hamatan u7ara. Kisaran isol a7alah $&,& m ( >tC untuk keepatan awal $3.& mph 7an ele+asi su7ut 3A 7era8at.

Solusi numerik untuk ini or7e ke7ua, 7itamah persamaan 7i>erensial nonlinear 7apat 7ihasilkan

7engan

menggunakan

pemahasan Mathematia

7ierikan 7alam

4ampiran . Di sini kita hanya menguraikan proses, yang meliatkan prose7ur iterasi. 

Pertama, kita 7apat meneak pengemangan yang wa8ar untuk keepatan awal +oC 7an su7ut ''C 7ari isol 7an kemu7ian memeahkan persamaan 7i>erensial yang 7igaungkan 7engan menggunakan nilai-nilai ini.



Plot lintasan 7an menemukan menegat sumu E kisaranC



2ahan +o tetap, 7an ulangi 7i atas menggunakan nilai yang ere7a 7ari '' sampai kita menemukan nilai '' yang menghasilkan 8angkauan maksimum



2ahan'' tetap pa7a nilai yang 7itemukan 7i atas yang menghasilkan  8angkauan maksimumC, 7an ulangi prose7ur lagi, tapi eragai +o sampai kita menemukan nilai yang menghasilkan eragai 7iutuhkan 7ari Mikey meteran home run, ( kaki $&,& mC

0esultan lintasan 7itun8ukkan pa7a 1amar .3. ersama 7engan parameter yang 7ihasilkan lintasan itu. Seagai peran7ingan, kami 8uga menun8ukkan lintasan isol sama melan7a tanpa a7anya hamatan u7ara. Kami menemukan ahwa Mikey harus

memukul ola pa7a su7ut ele+asi ...  3A' 7engan keepatan awal ...  $3.& mph. )pakah nilai-nilai ini wa8ar Kami akan meneak ahwa su7ut awal harus men8a7i se7ikit kurang 7ari ' orang menemukan untuk kasus ti7ak a7a hamatan u7ara. Dengan resistensi, su7ut keil pelunuran ukan 7ari satu leih esar 7ari 'C korespon7en untuk se7ikit waktu yang 7ihaiskan 7alam penerangan selama hamatan u7ara 7apat seara e>ekti> ertin7ak. Bagaimana 7engan keepatan awal ;huk Stos melemparkan isol ti7ak leih epat 7ari A' mph. Mantle isa ayunan kelelawar sehingga keepatan saat memukul ola a7alah sekitar A' mph. koe>isien restitusi lihat Ba C enggak a7alah se7emikian rupa sehingga keepatan yang 7ihasilkan 7isampaikan ke ola 7ipukul akan men8a7i sekitar $3' mph, sehingga nilai kita su7ah 7iperkirakan agak tinggi tetapi ti7ak penghinaan egitu. #ika Mantle ola hit 7i Sta7ion 1ri>>ith 7iantu oleh penarik mo7erat, swat !erules itu tampaknya mungkin. Bukankah telah spektakuler untuk melihat Mantle memukul salah satu seperti itu - 7alam ruang hampa

4.4 *armoni2 'ssillator Dalam Dua dan Tiga Dimensi

Mempertimangkan grekan 7ari suyek partikel ke linear penyimpanan 7orongan yang selalau 7iarahkan menu8u titik tetap, keaslian 7ari system kor7inat kami. Beerapa 7orongan 7apat 7iwakilikan 7engan ekspresi

Gambar 4.4.1 Mo7el 7ari tiga 7imensi

osilator harmoni

Maka, pere7aan persamaan 7ari gerakan a7alah ekspresi penye7erhaan seagai

Situasi 7apat 7iwakili 7iperkirakan oleh partikel yang 7ipasang untuk kumpulan per  elastis seperti yang 7itun8ukkan 1amar ..$. ini a7alah generalisasi tiga 7imensi 7ari osillator linear yang telah 7ipela8ari 7iawal. Persamaan ..& a7alah pere7aan  persamaan 7ari isotropi osillator linear.

3sotropi2 's2lator dengan Dua Dimensi

Dalam kasus gerakan 7alam tempat yang tunggal, Persaman ..$ a7alah ekui+alen  pa7a 7ua komponen persamaan

ni 7ipisahkan, 7an kita 7apat 7engan seger menuliskan solusi 7alam entuk 

7imana

ntegrasi A, B, α, 7an β yang konstan 7itentukan 7ari kon7isi inisial 7alan eerapa kasus yang telah 7ierikan. *ntuk menemukan persamaan 7ari alur, kita menghapus waktu t   antara 7ua  persamaan. *ntuk melakukan hal ini, iarkan kami menulis persamaan yang ke7ua 7alam entuk 

7imana

Kemu7ian

Kominasi hal 7i atas 7engan yang pertama 7ari Persamaan .., kita kemu7ian men7apatkan

7an sepan8ang penguahan urutan 7an pengertian lapangan, kita memperoleh

7imana persamaan kua7ratik 7alam E 7an y. sekarang kua7rati umum

merepresentasikan elip, paraola, atau hiperola, tergantung pa7a 7iskriminasinya

a7alah negati>, nol, atau positi>. Dalam kasus kami 7iskriminasi a7alah persamaan untuk H & sin G")BC&, lalu persamaan 7ari alur pengurangan untuk persamaan

Gambar 4.4." *rutan ellipsis 7ari

 isotropi osillator 7engan 7ua 7imensi

7imana persaman ellipsis yang erporos ersamaan 7engan waktu poros kor7inat. Pa7a sisi lain, 8ika pere7aan >ase a7alah ' atau Y, kemu7ian persamaan 7ari  pengurangan urutan untuk garis lurus, 7inamakan

2an7a yang positi> 7iamil apaila G  ', 7an tan7a negti>, ila G  Y. Pa7a umu mnya kasus yang mungkin 7itun8ukkan ahwa poros ellipsis yang 7itun7ukkan pa7a sumu E 7engan su7ut Z, 7imana

)sal mula a7alah kiri seagai latihan.

3sotropi2 's2ilator dengan Tiga Dimensi

Dalam kasus gerakan tiga 7imensi, pere7aan persamaan 7ari gerakan a7alah ekui+alen untuk tiga persamaaan

7imana telah 7ipisahkan. Karenanya, solusi yang 7apat 7itulis 7alam entuk  Persamaan .., atau, seara alternati+e, kita oleh menulis

5nam integrasi yang konstan 7itentukan 7ari posisi awal 7an keepatan  partikel. Sekarang Persamaan ..$( 7apat 7iwu8u7kan +etorialisasi seagai

7imana komponen  a7alah $,  &, 7an 3, 7an hampir serupa untuk /. #elas ahwa gerakan mengamil tempat seluruhnya 7alam tempat tunggal, yang seara ersamasama untuk & +ektor konstan   7an /, 7an ahwa alur 7ari partikel 7alam alur  terseut a7alah elips, seagai kasus 7ua 7imensi. Karenanya, analisis mengenai  entuk 7ari alur yang erentuk elip 7i awah kasus 7ua 7imensional 8uga

7imasukkan untuk kasus tiga 7imensional.

)on 3sotropi2 's2ilator

Pa7a 7iskusi seelumnya telah 7ipertimangkan gerakan 7ari istropik osillator, 7imana menguah 7orongan tergantung pa7a arah 7ari pergantian, kita memiliki kasus nonisotropik osillator. *ntuk pilihan yang pantas 7ari poros, pere7aan  persamaan untuk kasus nonisotropik 7apat 7ituliskan

Disini kita memiliki tiga pere7aan >rekuensi osillator, 7an

,

7an gerakan 7ierikan oleh solusi

Sekali lagi, ( integrasi yang konstan 7alam persamaan 7i atas 7itentukan 7ari kon7isi awal. Menghasilkan osillator 7ari partikel keseluruhan 7i 7alam kotak segi empat yang 7isisi &), &B, 7an &;C 7itengahkan pa7a keasliannya. Pa7a peristiwa 7imana [$, [&, 7an [3 a7alah setara> H a7alah, 8ika

Dimana n$, n&, 7an n3 a7alah ilangan ulat H alur, 7iseut gamar 4issa8ous, yang telah 7itutup, karena setelah waktu &\n$"[$  &\n&"[&  &\n3"[3 partikel kemali ke  posisi awal 7an gerakan mengulang-ulang. Pa7a persamaan ..&'C kita asumsikan  ahwa eerapa kumpulan >ator integral telah 7iatalkanC. Pa7a agian lain, 8ika ] ti7ak setara>, alur ti7ak 7itutup. Dalam kasus ini alur 7apat 7ikatakan untuk  melengkapi mengisi kotak segi empat yang telah 7iseutkan 7i atas, pa7a akhirnya 7alam pemahaman ahwa 8ika kita menunggu ukup lama, partikel men8a7i ariter  tertutup untuk eerapa titik yang 7ierikan.

Dorongan pemugaran 8aringan yang 7igunakan pa7a atom yang 7ierikan 7alam unsur kristal yang pa7at 7iperkirakan linear 7alam pemin7ahan 7alam  eerapa kasus. Menghasilkan >rekuensi osilasi iasanya palsu 7alam 7aerah in>ramerah pa7a spetrum: $'$& ke $'$ +irasi per 7etik.

Pertimbangan %nergi

Pa7a aa ter7ahulu kita telah 7itun8ukkan ahwa >ungsi energi potensial 7ari harmoni osillator satu 7imensi a7alah kua7ratik 7alam pemin7ahan, *ntuk kasus tiga 7imensi yang umum, a7alah mu7ah untuk  mem+eri>ikasi ahwa Karena

7an 7engan ara yang sama untuk /y 7an /E. #ika k $  k &

 k 3  k, kita men7apatkan kasus isotropi, 7an

2otal energi 7alam kasus isotropi 7ierikan oleh ekpresi se7erhana

Dimana 7engan ara yang sama ahwa kasus satu 7imensional 7i7iskusikan 7alam  a seelumnya.

(')T'* 4.4.1

Partikel 7ari masa m  pin7ah 7alam 7ua 7imensi 7i awah >ungsi energi potensial  erikut: Ditemukan hasil gerakan, memerikan kon7isi awal pa7a

+olusi:

ni merupakan nonistropik osillator potensial. /ungsi 7orongan a7alah

Komponen pere7aan persamaan 7ari gerakan a7alah kemu7ian

1erakan E >rekuensi ersu7ut [  k/mC$"&, sementara gerakan y >rekuensi ersu7ut

hanya 7ua kali 7imana, 7iseutkan, ω y  k/mC$"&  &[ Kita seharusnya menulis solusi umum 7alam entuk 

*ntuk menggunakan kon7isi awal kita harus pertama meme7akan 7engan hati-hati untuk t menemukan ekspresi umum untuk komponen keepatan:

Demikian 8uga, pa7a t   ', kita lihat ahwa persamaan 7i atas untuk posisi komponen 7an penghapusan keepatan untuk 

Persamaan ini memerikan arahan nilai 7ari koe>isien amplitu7e, )$  a, )&  B $  ', 7an B&  +o"&[, lalu persamaan >inal untuk gerakan a7alah

)lur yang merupakan gamar 4issa8ous memiliki entuk 7elapan gamar yang 7itun8ukkan pa7a 1amar ..3

Gambar 4.4.# 1amar 4issa8ous

4., Gerakan Partikel 5ang Dibebankan dalam lur %lektrik dan &agnetik 

Ketika partikel 7ieankan seara elektrik 7alam hamparan ean partikel lainnya, merupakan pengalaman seuah 7orongan. Dorongan ini / 7ikatakan 7iseakan oleh alur elektrik 5, yang angkit 7ari ean ini. Kita tuliskan

7imana q a7alah ean elektrik yang 7iawa oleh partikel 7alam persamaan. Persamaan gerakan 7ari partikel kemu7ian

atau, 7alam entuk komponen

)lur komponen a7alah, pa7a umumnya, >ungsi 7ari posisi kor7inat x, y, 7an z . 7alam kasus waktu-ermaam-maam alur a7alah, 8ika ean 7ihasilkan % akan  erpin7ahC, komponen 8uga 7iliatkan t . Mari

kita

pertimangkan

kasus

se7erhana,

7iseutkan,

ahwa

alur 

keseragaman elektrik yang konstan. Kita 7apat memilh salah satu 7ari poros H sumu @ H men8a7i 7alam arah 7ari alur. Kemu7ian 5E  5y   ', 7an 5  5@. Pere7aan  persamaan 7ari gerakan partikel 7ari ean Q erpin7ah 7alam alur ini kemu7ian

ni persisnya entuk yang sama untuk proyektil 7alam alur grati+itasi yang seragam. )lur, oleh karenanya, paraola, 8ika x 7an y ukan awalnya nol pa7a ke7ua-7uanya. Dengan kata lain, alur a7alah garis lurus, seagai tuuh yang 8atuh seara +ertikal. Buku teks erha7apan 7engan teori elektromagnetik  menun8ukkan ahwa

#ika 5 untuk ean yang statis. ni erarti ahwa gerakan 7alam eerapa lapangan 

Seagai ontoh, 0eits, Mil>or7, 7an ;hrity, op it.

a7alah konser+ati>, 7an ter7apat keera7aan >ungsi potensial ^ seperti 5 

energi

 potensial 7ari ean partikel Q 7alam eerapa lapangan 7alah kemu7ian q  ^, 7an total energi a7alah konstan 7an sama untuk _ m+& I q ^. Dalam keha7iran lapangan magnetik statis B 7iseut in7uksi magnetikC, 7orongan gerak pa7a perpin7ahan partikel 7iwu8u7kan seara kon+ensional 7engan arti 7ari pro7uk yang melintas, 7iseutkan.

7imana v a7alah keepatan 7an Q a7alah ean.% Pere7aan persamaan 7ari gerakan  perpin7ahan partikel 7alam lapangan magnetik a7alah kemu7ian

Persamaan ..( 7inyatkaan ahwa akselerasi 7ari partikel selalu pa7a su7ut kanan menu8u arah gerakan. ni erarti ahwa garis singgung komponen 7ari akselerasi +C a7laah nol, 7an lalu perpin7ahan partikel 7engan keepatan konstan. ni peristiwa yang enar 8ika B ermaam-maam >ungsi 7ari posisi r, sepan8ang ti7ak ermaammaam 7engan waktu.

(')T'* 4.,.1

Mari kita mengu8i gerakan 7ari ean partikel 7alam lapangan magnetik konstan yang seragam. Kita memilih sumu @ men8a7i 7alam arah 7ari lapangan9 a7alah, kita tuliskan  B /  k  Pere7aan persamaan 7ari erakan sekarang 7iaa

%

Persamaan .. a7alah +ali7 untuk unit S: / a7alah newton, Q 7alam ouloms, + 7alam meter per 7etik, 7an B 7alam weer per meter persegi.

Menyamakan komponen, kita 7apat

Disini, untuk pertama waktu kita menemui kumpulan pere7aan persamaan 7ari gerakan a7alah ti7ak 7ari tipe yang 7ipisahkan. Solusi a7alah se7erhana seara relati+e, agaimanapun 8uga, untuk kita 7apat mengintegrasikan segera 7engan hatihati untuk t, memperoleh

atau

7imana kita telah menggunakan singkatan [  qB/m. c’s a7alah integrasi yang konstan, 7an ;$  c"m, ; &  c2"m. Selama memasukkan ekspresi untuk y 7ari agian ke7ua 7ari Persamaan ..% ke7alam agian pertama 7ari Persamaan .., kita  peroleh persamaan yang 7ipisahkan untuk E erikut:

7imana a  ;&"[. Solusinya a7alah

7imana ) 7an `'  a7alah integrasi yang konstan. Sekarang, 8ika kita meme7akan 7engan hati-hati untuk t , kita 7apatkan

5kspresi 7i atas untuk E 7apat 7igantikan untuk sisi agian kiri 7ari Persamaan ..% yang pertama 7an menghasilkan persamaan pemeahan untuk y. !asilnya a7alah

Dimana   -;$"[. *ntuk menemukan entuk 7ari alur gerakan, kita menghapus t 

antara Persamaan ..$' 7an Persamaan ..$& untuk men7apatkan

Demikian 8uga, proyeksi 7ari alur gerakan pa7a i7ang xy a7alah lingkaran ra7ius  7itengahkan pa7a titik a, !C. karena, 7ari ketiga Persamaan ..%, keepatan 7alam arah  z   a7alah konstan 7ari lapangan magentik, seperti 7itun8ukkan 7alam 1amar  ..$. Ber7asarkan Persamaan ..$& kita 7apatkan

$igure 4.,.1 alur spiral 7ari perpi7ahan

 partikel 7alam lapangan magnetik 

ketika menghapus t  antara Persamaan ..$$ 7an Persamaan ..$, kita menemukan

Biarkan

kita lihat ahwa ra7ius ) 7ari spiral solenoi7 7ierikan oleh

#ika ter7apat ti7ak a7a komponen 7ari keepatan 7alam arah z , alurnya melingkar 7ari ra7ius . hal ini 8elas ahwa proporsional seara langsung untuk keepatan +$ 7an su7ut >rekuensi w 7ari gerakan 7alam alur lingkaran a7alah in7epen7en 7ari keepatan. Su7ut >rekuensi w 7ikenal seagai >rekuensi alat pemeah atom. )lat  pemeah atom, 7itemukan oleh 5rnest 4awrene, tergantung untuk oerasi pa7a >akta  ahwa w a7alah in7epen7en 7ari keepatan ean partikel.

4.6 Gerakan Terbatas dari Partikel

Pa7a saat perpin7ahan partikel teratas seara geometri 7alam pengertian ahwa seharunya menetap pa7a atas tertentu pa7a permukaan atau kur+a, gerakannya 7ikatakan 7iatasi. Potongan 7ari 7orongan es sekitar mangku 7an 7orongan emun  pa7a kawat merupakan ontoh 7ari gerakan yang 7iatasi. Pematasan akan lengkap, seagai emun, atau mungkin men8a7i erat seelah, seperti ketika es 7i 7alam mangkuk. Pematasan 7apat 7iperaiki, atau mereka akan pin7ah. Dalam a ini kita  ela8ar hanya pa7a pematasan yang 7iperaiki.

Persamaan %nergi untuk Pembatasan ang !an2ar

2otal 7orongan gerakan pa7a perpin7ahan partikel 7i awah pematasan 7apat 7iwu8u7kan seagai sum +etor 7ari 7orongan / eksternal yang net 7an 7orongan 7ari  pematasan 0. kemu7ian 7orongan merupakan reaksi 7ari agen pematasan sepan8ang partikel. Persamaan 7ari gerakan, oleh karena itu, 7apat 7itulis

#ika kita mengamil pro7uk 7ot 7engan perepatan v, kita men7apatkan

Sekarang 7alam kasus pematasan yang lanar H seagai ontoh, permukaan yang  eas 7ari gesekan H reaksi   normal untuk permukaan atau kur+a sementara  perepatan v a7alah tangent untuk permukaan. Karenanya,   tegak lurus untuk v, 7an  pro7uk 7ot  . v yang lenyap. Persamaan .(.& kemu7ian 7ihilangkan untuk 

Seara konsekuen, 8ika / a7alah konser+ati>, kita 7apat mengintegrasikan seagai Bagian .&, 7an kita temukan ahwa, meskipun partikel 7iatasi ergerak sepan8ang  permukaan atau kur+a, sisa pematasan total energi, 7iseutkan

Kita mungkin, tentunya, 7apat mengekspektasikan hal ini untuk men8a7i kasus untuk   pematasan alat pemeah atom.

(')T'* 4.6.1

Partikel 7itempatkan paling atas 7ari lapisan yang lanar ra7ius a. 8ika partikel se7ikit mengganggu, titik apa yang meninggal lapisan

+olusi:

Dorongan gerak pa7a partikel merupakan 7orongan yang mengarah ke awah 7ari gra+itasi 7an reaksi 0 7ari permukaan erentuk ola. Persamaan gerakannya a7alah

Mari kita memilih sumu kor7inat seperti 7itun8ukkan 7alam 1amar .(.$. 5nergi  potensial a7alah kemu7ian mg@, 7an persamaan energi 7iaa

Dari kon7isi awal +  ' untuk @  aC kita 7apatkan 5  mga, lalu, seperti partikel yang melunur ke awah, keepatannya 7ierikan oleh persamaan

Sekarang, 8ika kita mengamil komponen ra7ikal 7ari persamaan gerakan, kita 7apat menuliskan persamaan 7orongan seagai

$igure 4.6.1 4unuran partikel

 pa7a lapisan yang lanar

karenanya,

Demikian 8uga, 0 yang lenyap ketika @ &"3a, 7imana titik partikel meninggalkan lapisan. !al ini 7apat 7iantah 7ari >akta ahwa tan7a 7ari peruahan 0 7ri positi> ke negati> 7i sana.

(')T'* 4.6." Gerakan ang Dibatasi pada (2loid

Mempertimangkan lunuran partikel 7i awah gaya erat 7alam palung yloi7 yang lanar, Gambar 4.6.", 7irepresentasikan 7engan persamaan parametrik 

Dimana ^ a7alah parameter. Sekarang persamaan energi untuk gerakan, 7iasumsikan ti7ak a7a gerakan y, a7alah

$igure 4.6." 4unuran partikel

7alam palung yloi7 yang lanar 

Karena

7an

energi 7alam pengertian 7ari ^:

kita temukan ekspresi erikut untuk 

atau, 7engan gunakan i7entitas $ I os &^  & os&^ 7an $ H os &^  & sin& ^,

Mari kita perkenalkan +ariael s 7itentukan oleh s  ) sin ^. Persamaan energi 7apat kemu7ian 7ituliskan

ni hanya persamaan energi untuk gerakan harmoni 7alam +ariael tunggal s. Demikian 8uga, partikel yang mengalami gerakan perio7ik 7imana >rekuensi a7alah in7epen7en 7ari amplitu7e osilasi, ti7ak sama 7engan pen7ulum se7erhana 7imana >rekuensi tergantung pa7a amplitu7e. 1erakan perio7ik 7alam kasus saat ini 7ikatakan men8a7i isohronous. harmoni osillator linear 7i awah hukum !ooke, tentunya, isohronous.C )hli ilmu >isika 7an matematika Belan7a, ;hristian !uygens menemukan >akta 7i atas erhuungan 7engan usaha untuk meningkatkan akurasi 7ari pen7ulum waktu. Dia 8uga menemukan teori e+olute 7an menemukan ahwa e+olute 7ari yloi7 8uga merupakan yloi7. Karenanya, 7engan menye7ikan alur yloi7al, 7an  perio7e a7alah, seperti itu, in7epen7en 7ari amplitu7e. Meskipun 7emikian,  penemuannya ti7ak pernah menemukan praktek pengguna an seara luas.

Permasalahan 4.1 2emukan 7orongan untuk setiap >ungsi potensial energi erikut:

4." Dengan menemukan url, tentukan manakah 7ari 7orongan erikut yang

konser+ati>: