PERP ERPINDA NDAHA HAN NP PA ANA NAS S2D Kuliah VI
PERPINDA ERPINDAHA HAN N PANA NAS SKONDUKSI 2 DIM DIMENS ENSI YANG STEDI • Tanpa pencetusan panas • Konduktivita Konduktivitas s termal bahan = konstan konstan Untuk sistem koordinat kartesian dengan perpindahan panas dalam arah x dan y Persamaa Persamaan n Ko nduk si
2T 2T 2 0 2 x y
Persamaan dasar Laju Perpan q x k dy dz
T x
q y k dx dz
T y
Metode Analisa : - Metode Analitik - Metode Grafik - Metode Analog - Metode Numerik
METODA ANALITIK METODA PEMISAHAN VARIABEL y
2T 2T 0 x 2 y 2
T2
W
T1
kondisi batas L
T 2 T 1
2 2 2 0 2 x y
T1
T1
T T 1
( 0 , y ) ( L , y ) ( x ,0 ) 0 ( x ,W ) 1
x
Solusi umum pemisahan var iabel ( x , y ) X ( x )Y ( y )
2 d X 2 Y 2 2 x dx
2 2 d Y X 2 2 dy y
Y
d 2 X dx
2
X
1 d 2 X X dx 2
d X dx
2
2
d 2Y dy
2
0
1 d 2Y Y dy
2
X 0 2
2
2
d Y dy
2
2Y 0
solusi X C 1 cos x C 2 sin x Y C 3e
x
C 4e x
jadi
C 1 cos x C 2 sin x C 3e x C 4 e x
Solusi umum, diselesaikan dari boundary conditions : ( 0, y ) 0 C 1 0 ( x,0) 0 C 2 sin x (C 3 C 4 ) 0 C 3 C 4 ( L, y )
0 C 2C 4 sin L(e y e y ) 0 sin L 0 L
n
n L
n 1,2,3,..................
n x
C 2C 4 sin
C n sin
n y
e L
n x L
sinh
e
L
n y L
n y
L n x n y C n sin sinh ( x, y ) L L n 1
C n
ditentukan dari,
( x, W ) 1
C n sin
n x
n 1
1
2 ( 1)n 1 1
n
n 1
C n
n 1
2 1
n sinh(
1
n W L
)
L
sin
sinh n x L
n W L
( x, y )
2
n 1
1
n 1
sin( n x )
1
n
L
sinh( sinh(
θ=1
θ=0,75
θ=0
θ=0 θ=0,5
θ=0,25
θ=0
n y
)
L n W L
)
2. METODA GRAFIK
x
ab cd
2
y
ac bd
2
METODA GRAFIK Metoda grafik dapat diterapkan untuk kasus dua dimensi yang memiliki kondisi batas isotermal dan adiabatik (simetris). Untuk menerapkan metoda ini perlu kesabaran dan rasa seni (kertas yang tidak mudah robek dan mudah dihapus-hapus) Tahapan plot fluks-isotermal 1. Fahami peroalan dan identifikasi garis utama awal yaitu isotermal dan adiabatik (simetri) 2. Garis adiabatik adalah arah perpindahan panas, gambar garis-garis adiabatik lainnya mulai dari garis adiabatik yang diketahui. Bagi garis isotermal kedalam segmen dengan jarak sama. 3. Gambar garis-garis isotermal mulai dari yang dekat garis isotermal yang diketahui. Semua garis isotermal harus saling tegak lurus dengan garis-garis adiabatik 4. Periksa apakah kotak-kotak yang terbentuk berbentuk bujur sangkar atau bujur sangkar kurvilnier
x
ab cd
2
y
ac bd
2
METODA GRAFIK Penentuan laju perpind ahan p anas
Karena pembagian segmen dibuat sama maka perpindahan panas konduksi diharapkan sama untuk setap alur yang dibentuk oleh dua garis adiabatik, M
q qi Mqi i 1
qi kAi
T j
k y .l
T j
T j
qi
x
N
T 1 2
q
T j N T j
M l N
j 1
y
qi
k T 1 2
y
q Sk T 1 2 Rt , kond ( 2 D )
1 S k
x
x
S = Faktor Bentuk Konduksi ( Conduction Shape Factor )
METODA NUMERIK Metod a Beda-Hing ga
PERSAMAAN BEDA HINGGA METODA DISKRETISASI
2T / x 2 m1 / 2,n 2T / x 2 m1 / 2,n 2T 2 x x m,n T m 1, n T m 1,n 2T m ,n x 2 2T / y 2 m,n1 / 2 2T / y 2 m,n1 / 2 2 T 2 y y m , n T m, n 1 T m, n 1 2T m, n y 2 d 2T d 2T dx 2 dy 2 0 m ,n m ,n
T m 1, n T m, n
x
T m T m 1, n
x
x
T m, n 1 T m, n
y
T m T m ,n 1
y
y
T m 1, n T m 1, n T m , n 1 T m , n 1 4T m , n 0
PERSAMAAN BEDA HINGGA METODA BALANS ENERGI
E 0 E in g 4
q
(i ) (m, n)
q ( x yl ) 0
i 1
q( m1,n )( m ,n ) k .( y.l ) q( m1,n )( m ,n ) q( m ,n1)( m ,n ) x
y
q( m ,n1)( m ,n )
T m 1, n T m 1, n T m, n 1 T m , n 1
x T m1,n T m,n k .( y.l ) x T T k .( x.l ) m,n1 m ,n y T m1,n T m,n k .( x.l ) y
q ( x. y ) k
T m1,n T m ,n
4T m , n 0
CONTOH
SOLUSI PERSAMAAN SIMULTAN 1.Metoda Invers i Matrik s
CARA MENCARI INVERSMATRIKS • • • •
Misal Diketahui Matriks [A] Cari determinan |A| Cari matrik kofaktor [K] daro elemen [A] Cari matrik transpose [K]T
• Maka invers matrik [A]: [A]-1= [K]T/|A|
SOLUSI PERSAMAAN SIMULTAN 2. Metoda Gauss-Seidel
