Mecanica Cuantica I - Claude Cohen- Bernard Diu

MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I

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Estructura y el nivel de este texto

No es necesario hacer hincapié en la importancia de la mecánica cántica en la !"si !" sic ca mo mode derrna # la $ $"m "mic ica% a% &os pr pro' o'ra rama mas s ac act tal ales es de la n ni ier ersi sida dad d natr na tralm alment ente e re re*e *e+a +a es esta ta im impor portan tanci cia% a% En las ni nier ersid sidade ades s !ra !ranc ncesa esas s por e+emplo na introdcci,n esencialmente calitatia !ndamental a las ideas de la mecánica cántica se da en el se'ndo a ño% En el -ltimo a ño del pro'r pro'rama ama de lice li cenc ncia iat tra ra de !" !"si sica ca me mecá cáni nica ca c cán ánti tica ca .á .ási sica ca # s ss s ap apli lica caci cion ones es má más s importantes son estdiadas en detalle% Este li.ro es el resltado directo de arios a ños de la ense ñan/a de la mecánica cántica en el -ltimo a ño de la licenciatra por primera e/ en dos crsos paralelos en la aclté des 1ciences de 2ar"s # le'o en la Uniersidades de 2ar"s VI # VII de 2ar"s% 1entimos $e es importante para marcar na clara separaci,n en la estr tr ct trra de est ste e li.r .ro o en entr tre e los dos aspe pec cto tos s di! i!er eren enttes pe perro complem com plementa entarios rios (con (con!er !erenci encias as # re recita citales) les) de los cr crsos sos impa impartid rtidos os dra drante nte este tiempo% 2or esta ra/,n hemos diidido este te3to en dos partes distintas (er 4Instrcciones de so4 al comien/o del li.ro)% 2or n lado los cap"tlos se .asa .a san n en la las s co con!e n!ere renc ncias ias dic dictad tadas as en lo los s dos c crs rsos os $e en co compa mparac raci, i,n n disc di sct tid ido o # am ampl plia iado do an ante tes s de es esc cri ri.i .irr la e ers rsi, i,n n 5n 5nal al%% 2or ot otrro la lado do el 4comple 4co mplemen mento4 to4 sr sr'i, 'i, a part partir ir de las re recita citacio ciones nes e+er e+ercic cicios ios # pro pro.lem .lemas as de aten at enci ci,n ,n a lo los s es est tdi dian ante tes s # lo los s in in!o !orrme mes s de $ $e e al al' 'no nos s de el ello los s ! !er eron on prep pr epar arad ados os%% &a &as s id idea eas s ta tam. m.ié ién n ll lle' e'ar aron on de ot otrros c crs rsos os da dado dos s en ot otra ras s circnstancias o en otros nieles (so.re todo en los pro'ramas de pos'rado)% Como hemos señalado en las 4Instrcciones de so4 los cap"tlos en s con+nto constit#en constit #en más o menos n crso $e se preé la ense ñan/a a los estdiantes niersitarios de carto a ño o a$ellos c#o niel es e$ialente% 1in em.ar'o los complementos no están destinados a ser tratados en n solo a ño% El lector pro!esor o estdiante de.e ele'ir entre ellos de acerdo con ss intereses 'stos # o.+etios% A lo lar'o de la escritra de este li.ro nestra preocpaci,n constante ha sido $e nos diri'imos a los estdiantes en !"sica como las $e hemos ense ñado drante los -ltimos a ños% E3cepto en nos pocos complementos $e no han so.repasado los l"mites% Además hemos tratado de tener en centa lo $e hemos isto las di5cltades de los estdiantes en la comprensi,n # asimilaci,n de la mecánica cántica as" como a ss pre'ntas% Esperamos por spesto $e este li.ro tam.ién será de tilidad para otros lectores como los estdiantes de po pos s'r 'rad ado o a pa parrti tirr de lo los s ines esti ti' 'ado dorres # pr pro! o!e esor ores es de en ense se ñan/a secndaria% secndar ia% El lector no está o.li'ado a estar !amiliari/ado con la !"sica cántica6 cántica6 al' al 'nos nos de n nest estro ros s est estdi diant antes% es% 1in em em.ar .ar'o 'o cr creem eemos os $e el c crso rso de la mecá me cáni nica ca c cán ánti tica ca $ $e e pr prop opon onem emos os ( (er er 47 47en ener eral al4 4 má más s a. a.a+ a+o) o) de de.e .e se serr com ompl plem emen enta tado do co con n n ci cicl clo o má más s de desc scri ript pti ia a # má más s or orie ient ntad ado o de !o !orrma e3perimental en la !"sica at,mica por e+emplo%

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Enfoque general

Creemos $e la !amiliaridad con la mecánica cántica me+or pede ser ad$irida mediante s so para resoler pro.lemas espec"5cos% espec"5cos% 2or lo tanto introdcir introdcir los postlados de la mecánica cántica m# temprano (en el cap"tlo III) con el 5n de ser capaces de aplicarlos en el resto del li.ro% Nestra e3periencia en la enseñan an/a /a ha de demo mostr strad ado o $e es pr pre!e e!eri ri.le .le int intro rodc dcir ir tod todos os lo los s po post stla lados dos +ntos en el comien/o en l'ar de presen presentar tar en arias etapas% 9el mismo modo hemos optado por tili/ar los espacios del Estado # la notaci,n de 9irac desde el prin pr inci cipi pio o% Es Esto to e eit ita a la rep epet etic ici, i,n n in in-t -til il $ $e e res esl lta ta de la pr pres esen enta taci ci,n ,n de dell !ormalismo !orm alismo más 'eneral de cada !ormal !ormalismo ismo s,lo despés de ha.er desarr desarrollado ollado la mecánica ondlatoria ondlatoria es -nico en términos de !nciones de onda% Además n cam.io tard"o en la notaci,n se corre el ries'o de con!ndir al almno # $e plantea ddas so.re los conceptos $e él más ha ad$iri, # a-n no asimilado por completo% 9espé 9esp és s de n ca cap" p"t tlo lo de in intr trod odc cci ci,n ,n c cal alit itat ati ia a de la las s id idea eas s me mecá cáni nico co cánticas se tili/an simples analo'"as ,pticas para !amiliari/ar al lector con estos neos conceptos se present presentan an de manera sistemática sistemática las herramientas herramientas matemáticas (cap"tlo H) # los postlados de la mecánica cántica as" como na discsi,n de s contenido !"sico (cap"tlo III)% Esto permite $e el lector desde el principio tener na isi,n 'lo.al de las consecencias !"sicas de los neo n eos s pos postl tlado ados% s% A par partir tir de los co compl mpleme ement ntos os del ca cap"t p"tl lo o III tom tomam amos os aplicaciones empe/ando por los más simples (de dos nieles de sistemas el oscilador arm,nico etc) # cada e/ es más complicado (el átomo de hidr,'eno métodos de apro3imaci,n etc%) Nestra intenci,n es proporcionar e+emplos de la mecánica cántica tomando mchos e+emplos de di!erentes campos como la !"sica at,mica at,mica la !"sica moleclar moleclar # !"sica del estado s,lido% En estos e+emplos se con onc cent ntrran en el aspe pec cto de la mecán ániica cá án nti tic ca de los !e !en n,m ,men enos os descidando descida ndo los detalles espec"5cos espec"5cos $e se tratan en te3tos más especiali especiali/ados% /ados% 1iempre $e sea posi.le los resltados de la mecánica cántica se comparan con los clásicos con el 5n de a#dar al lector a desarrollar desarrollar s intici,n acerca de los e!ectos de la mecánica cántica% Este pnto de ista esencialmente dedctio dedctio nos ha lleado a eitar el estrés en la in intr trod odcc cci,n i,n his hist, t,ric rica a de las ide ideas as de la mec mecán ánica ica c cán ántic tica a es dec decir ir la pres pr esen enta taci ci,n ,n # di disc scs si, i,n n de lo los s he hech chos os e3p 3per erim imen enta tale les s $ $e e no nos s o. o.li li'a 'an n a recha/ar las ideas clásicas% As" hemos tenido o rennciar a la apro3imaci,n indctia $e es sin em.ar'o necesaria si la !"sica es $e 5elmente retratada :


como n na a cienc ncia ia en con onti tin na e eo ol lc ci,n ,n pr pro oo oc cada por la cons nsta tan nte con!rontaci,n con los hechos e3perimentales% Tal en!o$e nos parece $e se adapta me+or a n te3to de !"sica at,mica o de n crso de introdcci,n a la !"sica cántica en n niel más elemental% 9el mism mismo o modo modo hemo hemos s eit eitado ado deli deli.era .eradame damente nte ca cal$i l$ier er disc discsi, si,n n de la 5los 5l oso! o!"a "a im impl plic icac acio ione nes s de la me mecá cáni nica ca c cán ánti tica ca # de la las s in inte terp rprret etac acio ione nes s alternatias alter natias $e se han propesto% propesto% Estas discsion discsiones es si .ien es m# interesante (er ( er se secc cci, i,n n ; de la .i .i.l .lio io'r 'ra! a!"a "a) ) no nos s pa parrec ece e $ $e e pe pert rten enec ecen en a ot otrro ni nie el% l% Creemo Cr eemos s $e esta estas s pr pre'n e'ntas tas ped peden en ser !rc !rct"!er t"!eramen amente te cons consider ideradas adas s,l s,lo o despés de $e no ha dominado los 4ortodo3os4 teor"a cántica c#os é3itos impresionantes en todos los campos de la !"sica # la $"mica o.li'ados de s aceptaci,n% Agradecimientos

&a enseñan/a de las e3periencias de las cales este te3to creci, !eron los es!er/os del 'rpo perse'ido drante arios a ños% <eremos a'radecer a todos los miem.ros de los diersos 'rpos # en particlar =ac$es 9pont>?oc # Haroche 1er'e por s cola.oraci,n amistosa por los !rct"!eros de.ates $e hemos tenido en nestras reniones semanales # de las ideas de los pro.lemas # e+ercicios $e se han s'erido% 1in s entsiasmo # s aliosa a#da nnca ha.r"a sido capa/ de emprender # llear a ca.o la redacci,n de este li.ro% Tampoco podemos olidar a los !"sicos $e nos intro Tampoco introd+ero d+eron n a la inesti'a inesti'aci,n ci,n Al!red @astler rossel # =ean para dos de nosotros # Marice &e# para el tercero% e en el conte3to de ss la.oratorios $e se desc.ri, la .elle/a # el poder de la mecánica cántica% Tampoco hemos olidado la importancia para nosotros de la !"sica moderna $e se ense ña en el CEA por Al.ert Mes"as Clade loch # A.ra'am Anatole en n momento en los estdios de post'rado no se incorporaron a-n en los pro'ramas de la niersidad !rancesa% 9eseamos e3presar nestro a'radecimiento a la 1ra% Acher adrit Chico rodschi Emo He#aerts &emirre To/ea para la preparaci,n del manscrito% Prefacio

Este li.ro es esencialmente na tradcci,n de la edici,n !rancesa $e apareci, a 5nales de 8BD% El te3to ha sido o.+eto de n cierto n-mero de modi5caciones% &a más importante es la adici,n de na .i.lio'ra!"a detallada con s'erencias so.re s so $e aparecen al 5nal de cada cap"tlo o complementos% Este li Este li.r .ro o ! !e e co conc nce. e.id ido o or ori' i'in inal alme ment nte e pa para ra lo los s es est tdi dian ante tes s !r !ran ance cese ses s de terminar ss estdios de pre'rado o de comen/ar s tra.a+o de inesti'aci,n% Nos No s pa parrec ece e si sin n em em.a .arr'o $ $e e la es estr trc ct tra ra de es este te li li.r .ro o (l (la a se sepa para raci ci,n ,n en cap"tlos # complementos > ea la secci,n 4Instrcciones de so4) $e lo hacen adec ad eca ado do pa para ra ot otrros 'r 'rp pos os de le lect ctor ores es%% 2or e+ e+em empl plo o pa para ra n es est tdi dian ante te D


primario por spesto la Mecánica Cántica recomendamos el so de los cap"tlos más importantes con ss simples complementos% 2ara n crso más aan/ado se podr"a a ñadir el resto de cap"tlos # n so más di!"cil complementos% inalmente se espera $e al'nos de los más aan/ados complementa a#dará a los estdiantes en la transici,n de n crso re'lar de la mecánica cántica a temas actales de inesti'aci,n en diersos campos de la "sica% <eremos a'radecer a Nicole # 9an OstrosF# as" como Hemle# 1san para la atenci,n # el entsiasmo $e tra+eron a esta tradcci,n% 1s o.seraciones a mendo condcen a na me+ora del te3to ori'inal% Además estamos a'radecidos a la 1ra% Mathie Adoin # la se ñora por s a#da en la or'ani/aci,n de la .i.lio'ra!"a% C% Cohen>Tannod+i % 9i % &aloë

Ondas # part"clas% Introdcci,n a las ideas !ndamentales G


de la mecánica cántica

E1
8% Cantos de l/ # las relaciones de 2lancF>Einstein :% 9alidad onda>part"cla6 a% El análisis del e3perimento de on' de la do.le rendi+a .% Uni5caci,n cántica de los dos aspectos de la l/ D% El principio de la descomposici,n espectral

% 2art"clas de materia # las ondas de materia

8% &a relaci,n de 9 ’ro'lie :% nciones de onda la ecaci,n de 1chrodin'er

C% 9escripci,n cántica de na part"cla6 pa$etes de onda

8% 2art"cla li.re :% orma del pa$ete de ondas en n momento dado D% ?elaci,n de incertidm.re de Heisen.er' G% Tiempo de eolci,n de n pa$ete de ondas li.res

9% 2art"cla en n potencial escalar independiente del tiempo

8) 1eparaci,n de aria.les% Estados estacionarios

;


a) E3istencia de estados estacionarios .) &a sperposici,n de estados estacionarios :) 2otencial CUA9?A9O nidimensional% Estdio calitatio a) 1i'ni5cado !"sico de los potenciales cadrados .) Analo'"a ,ptica c) E+emplos

En el estado actal del conocimiento cient"5co la mecánica cántica desempe ña n papel !ndamental en la descripci,n # comprensi,n de los !en,menos natrales% 9e hecho !en,menos $e se prodcen en na pe$e ña escala (at,mico o s.at,mico) no se pede e3plicar !era del marco de la !"sica cántica% 2or e+emplo la e3istencia # las propiedades de los átomos el enlace $"mico # la propa'aci,n de n electr,n en n cristal no peden ser entendidos en términos de la mecánica clásica% Inclso cando s,lo se ocpan de los o.+etos !"sicos macrosc,picos (es decir c#as dimensiones son compara.les a los encontrados en la ida cotidiana) es necesario en principio comen/ar por el estdio del comportamiento de ss átomos constit#entes di!erentes iones electrones con el 5n de lle'ar a na descripci,n cient"5ca completa% Ha# mchos !en,menos $e reelan en na escala macrosc,pica el comportamiento cántico de la natrale/a% Es en este sentido $e se pede decir $e la mecánica cántica es la .ase de nestra actal comprensi,n de todos los !en,menos natrales inclidos los tradicionalmente tratados en $"mica .iolo'"a etc 9esde el pnto de ista hist,rico la idea cántica contri.#e a na nota.le ni5caci,n de los conceptos de la !"sica !ndamental por el tratamiento de part"clas de materia # la radiaci,n en las mismas condiciones% A 5nales del si'lo I la 'ente distin'e entre las dos entes en los !en,menos !"sicos6 la materia # la radiaci,n &e#es completamente di!erentes se tili/aron para cada no% 2ara predecir el moimiento de los cerpos materiales !eron tili/adas las le#es de la mecánica de Neton (éase el apéndice III)% 1 é3ito an$e de lar'a data no era menos impresionante% Con respecto a la radiaci,n la teor"a del electroma'netismo 'racias a la introdcci,n de las ecaciones de Ma3ell ha."a prodcido na interpretaci,n ni5cada de n con+nto de !en,menos $e ha."an sido consideradas como pertenecientes a di!erentes dominios6 la electricidad el ma'netismo # la ,ptica% En particlar la teor"a electroma'nética J


de la radiaci,n ha."a sido espectaclarmente con5rmada e3perimentalmente por el desc.rimiento de las ondas hert/ianas% inalmente las interacciones entre la radiaci,n # la materia se e3plican tam.ién por la !er/a de &orent/% Este con+nto de le#es ha."a lleado la !"sica a n pnto $e pede considerarse satis!actorio en ista de los datos e3perimentales a la e/% 1in em.ar'o a principios del si'lo  la !"sica i.a a ser marcado por la pro!nda trans!ormaci,n $e lle, a la introdcci,n de la mecánica relatiista # la mecánica cántica% &a 4reolci,n4 relatiista # la 4reolci,n ’’ cántica !eron en 'ran medida independientes #a $e desa5, la !"sica clásica en di!erentes pntos% &as le#es clásicas de+an de ser álidos para los cerpos materiales $e ia+an a elocidades m# altas compara.le a la de la l/ (dominio relatiista)% Además tam.ién se encentran a na escala at,mica o s.at,mica (cántica de dominio)% 1in em.ar'o es importante tener en centa $e la !"sica clásica en am.os casos pede ser isto como na apro3imaci,n de las neas teor"as na apro3imaci,n $e es álida para la ma#or"a de los !en,menos a na escala diaria% 2or e+emplo la mecánica netoniana nos permite predecir correctamente el moimiento de n cerpo s,lido siempre $e sea no>relatiista (la elocidad mcho menor $e la de la l/) # macrosc,pica (dimensiones mcho ma#ores $e las at,micas)% 1in em.ar'o desde n pnto de ista !ndamental la teor"a cántica si'e siendo indispensa.le% Es la -nica teor"a $e nos permite entender la e3istencia de n cerpo s,lido # los alores de los parámetros macrosc,picos (densidad calor espec"5co elasticidad etc%) Asociados a ella% En la actalidad toda"a no disponemos de na teor"a ni5cadora plenamente satis!actoria entre la mecánica cántica # relatiista #a $e las di5cltades han sr'ido en este ám.ito% 1in em.ar'o la ma#or"a de los !en,menos at,micos # moleclares están .ien e3plicados por la no>relatiista la mecánica cántica $e nos proponemos e3aminar a$"% Este cap"tlo es na introdcci,n a las ideas cánticas # 4oca.lario4% No se intenta a$" ser ri'roso # completo% El o.+etio esencial es despertar la criosidad del lector% en,meno se ha descrito $e pertr.an las ideas tan 5rmemente anclado en la intici,n como el concepto de na tra#ectoria% <eremos hacer $e la teor"a cántica 4plasi.le4 para el lector mostrando simple # calitatiamente la !orma en $e nos permite resoler los pro.lemas $e se encentran en na escala at,mica% Más adelante oleremos so.re las di!erentes ideas presentadas en este cap"tlo # entrar en más detalles #a sea desde el pnto de ista del !ormalismo matemático (cap% II) o desde el pnto de ista !"sico (cap% III)% En la primera secci,n ( § A) se introdce la .ase las ideas cánticas (dalidad onda>part"cla el proceso de medici,n) .asándose en el conocido e3perimentos ,pticos% A continaci,n se mestra ( § ) c,mo estas ideas peden e3tenderse a las part"clas materiales (!nci,n de onda la ecaci,n de 1chrKdin'er)% Estdiamos +nto con más detalle las caracter"sticas del 4pa$ete de ondas4 


asociadas a na part"cla # se introdcen las relaciones de incertidm.re de Heisen.er' (§ C)% 2or -ltimo anali/amos al'nos casos simples de los t"picos e!ectos cánticos ( § 9)%

A. ONDAS ELECTO!A"N ÉT#CAS $ %OTONES &. Cuantos de lu' y las relaciones de Planc()Einstein

Neton considera.a la l/ como n ha/ de part"clas capaces por e+emplo para recperarse despés de na re*e3i,n de n espe+o% 9rante la primera mitad del si'lo I la natrale/a ondlatoria de la l/ se demostr, (inter!erencia di!racci,n)% Esta ,ptica más tarde permiti, a inte'rarse en la teor"a electroma'nética% En este marco la elocidad de la l/ c está relacionada con las constantes eléctricos # ma'néticos # los !en,menos de polari/aci,n de l/ peden ser interpretadas como mani!estaciones de carácter ectorial del campo eléctrico% 1in em.ar'o el estdio de la radiaci,n de cuerpo negro $e la teor"a electroma'nética no pod"a e3plicar diri'ido 2lancF s'iere la hip,tesis de la cuantización de la energía (8B00)6 2ara na onda electroma'nética de !recencia v  las ener'"as posi.les s,lo son m-ltiplos enteros cánticos de hv  donde * es na constante !ndamental nea% &a 'enerali/aci,n de esta hip,tesis Einstein propone n retorno a la teor"a de part"clas (8B0;)6 &a l/ se compone de n ha/ de fotones cada no con na ener'"a hv % Einstein demostr, c,mo la introdcci,n de los !otones ha permitido entender de na manera m# simple al'nos a-n sin e3plicar las caracter"sticas del e!ecto !otoeléctrico% Veinte a ños tieron $e transcrrir antes de $e el !ot,n se demostrara en realidad $e e3iste como n ente distinto por el e!ecto Compton (8B:G)% Estos resltados llean a la conclsi,n si'iente6 la interacci,n de na onda electro>electroma'nética con la materia se prodce mediante procesos elementales indivisible en el $e la radiaci,n parece estar compesto de part"clas los !otones% 2arámetros de las part"clas (la ener'"a E # el momento p de n !ot,n) # los parámetros de onda (la !recencia an'lar  = 2π v # el ector de onda k  donde | k | = 2π / λ , con la !recencia v # la lon'itd de onda λ) están inclados por las relaciones !ndamentales6

9onde = h/2π se de5ne en términos de la constante de 2lancF h6

L


9rante cada proceso elemental la ener'"a # la cantidad de moimiento de.en ser conseradas% +. Dualidad onda),art-cula

As" $e hemos elto a na concepci,n particlar de la l/% ¿1i'ni5ca esto $e de.emos a.andonar la teor"a de las ondas 2or spesto $e no% Vamos a er $e los !en,menos t"picos de onda como la inter!erencia # la di!racci,n no se pod"an e3plicar en n marco pramente de part"clas% Anali/ar .ien el conocido e3perimento de on' de la do.le rendi+a nos lleará a la si'iente conclsi,n6 na interpretaci,n completa de los !en,menos $e s,lo peden o.tenerse mediante la conseraci,n tanto en el aspecto de las ondas # el aspecto corpsclar de la l/ (an$e parece a priori irreconcilia.les)% A continaci,n se mostrará c,mo esta parado+a pede ser reselta por la introdcci,n de los conceptos !ndamentales de la cántica% a% ANÁ&I1I1 9E& E2E?IMENTO 9E OUN7 9E do.le rendi+a El dispositio tili/ado en este e3perimento se mestra es$emáticamente en la 5'ra 8% &a l/ monocromática emitida por la !ente cae en na pantalla opaca atraesando dos rendi+as estrechas # $e ilminan la pantalla de o.seraci,n (na placa !oto'rá5ca por e+emplo)% 1i una distri.ci,n de la intensidad de la .lo$eamos o.tenemos so.re l/

$e es el patr,n de di!racci,n de

% 9e la misma manera cando

está o.strido el patr,n de di!racci,n de es descrito por Cando las dos ranras # están a.iertas al mismo tiempo se o.sera n sistema de !ran+as de inter!erencia en la pantalla% En particlar o.seramos $e la intensidad correspondiente no es la sma de las intensidades prodcidas por # por separado6

¿C,mo se podr"a conce.ir de e3plicar en términos de na teor"a de part"clas (isto en la secci,n anterior al ser necesario) los resltados e3perimentales se aca.a de descri.ir &a e3istencia de n patr,n de di!racci,n cando s,lo na de las dos rendi+as está a.ierta podr"a por e+emplo se e3plica c,mo de.ido a las colisiones de !otones con los .ordes de la ranra% Tal e3plicaci,n por spesto tiene $e ser desarrolladas con ma#or precisi,n # n estdio más detallado se lo enseñar"a a ser ins5ciente% En s l'ar amos a concentrarnos en el !en,meno de inter!erencia% 2odr"amos tratar de e3plicar por na interacci,n entre los !otones $e pasan a traés de la rendi+a de la 8 # los $e pasan a traés de la rendi+a de :% Tal e3plicaci,n podr"a dar l'ar a la si'iente predicci,n6 si la intensidad de la !ente de 1(el n-mero de !otones emitidos por se'ndo) se redce hasta los !otones 'olpean la pantalla prácticamente no por

B


no la interacci,n entre los !otones de.en disminir # 5nalmente se desanecen% &as !ran+as de inter!erencia por lo tanto de.en desaparecer%

9ia'rama de on' e3perimento de do.le rendi+a inter!erencia de la l/ (5'% a)% Cada na de las ranras 8 # : prodce n patr,n de di!racci,n en la pantalla de 1% &as intensidades correspondientes son I8 (3) e I: (3) (l"neas continas en la 5'ra .)% Cando las dos ranras 8 # : están a.iertas al mismo tiempo la intensidad I (3) o.serado en la pantalla no es la sma de I8 (3)  I: (3) (l"neas de tra/os en las 5'ras  # C) pero mestra las oscilaciones de.idas a la inter!erencias entre los campos eléctrico radiado por la 8 # : (l"nea contina en la 5'ra c)% Antes de indicar la respesta dada por la e3periencia recordar $e la teor"a ondlatoria proporciona na interpretaci,n totalmente natral de las !ran+as% &a intensidad de la l/ en n momento de la 1 pantalla es proporcional al cadrado de la amplitd del campo eléctrico en este pnto% 1i E8 (3) # E: (3) representan en notaci,n comple+a los campos eléctricos prodcidos en 3 por a.ertras 8 # : respectiamente (los cortes se comportan como !entes secndarias) el campo total resltante en este pnto cando la 8 # : son a.ierto es 6

Usando la notaci,n comple+a entonces tenemos6

9ado $e las intensidades I8(3) e I:(3) son proporcionales respectiamente para #  la !,rmla (A>;) mestra $e I(3) di5ere de I8(3)  I:(3) por n término de inter!erencia $e depende de la di!erencia de !ase entre E8 # E: # c#a presencia e3plica la peri!eria% &a teor"a de las ondas lo $e predice $e la disminci,n de la intensidad de la !ente 1 simplemente hará $e los már'enes para disminir en intensidad pero no desaparecen al%

80


 9ado $e el e3perimento estdiado a$" se reali/a con la l/ no polari/ada el carácter ectorial del campo eléctrico no +e'a n papel esencial% En aras de la simplicidad lo i'noramos en este párra!o%

¿<é scede realmente cando se emite !otones prácticamente no por no Ni las predicciones de la teor"a de las ondas ni los de la teor"a de las part"clas son eri5cadas% 9e hecho6 (i) 1i la c.ierta de la pantalla de 1 con na placa !oto'rá5ca # amentar el tiempo de e3posici,n para captar n 'ran n-mero de !otones en cada !oto'ra!"a se o.sera cando los desarrollan al mar'en de $e no han desaparecido% 2or lo tanto la interpretaci,n pramente corpsclar se'-n la cal los már'enes se de.en a na interacci,n entre !otones de.e ser recha/ada% (ii) 2or otro lado podemos e3poner la placa !oto'rá5ca drante n tiempo tan corto $e s,lo peden reci.ir nos pocos !otones% A continaci,n o.serar $e cada !ot,n prodce n impacto locali/ado en P # no n patr,n de inter!erencia m# dé.il% 2or lo tanto la interpretaci,n de onda pra tam.ién de.e ser desestimada% En realidad en !orma de !otones cada e/ más la hel'a la placa !oto'rá5ca el !en,meno ocrre lo si'iente% 1s impactos indiidales parecen estar distri.idos de !orma aleatoria # s,lo cando n 'ran n-mero de ellos han lle'ado a 1 tiene la distri.ci,n de los impactos empie/an a tener n aspecto contino% &a densidad de los impactos en cada pnto de 1 corresponde a las !ran+as de inter!erencia6 má3imo en na !ran+a .rillante # cero en na !ran+a oscra% 2or lo tanto se pede decir $e los !otones a medida $e lle'an se acmlan el patr,n de inter!erencia% El resltado de este e3perimento por lo tanto llea al parecer a na parado+a% En el marco de la teor"a de part"clas por e+emplo se pede e3presar de la si'iente manera% 2esto $e las interacciones de !otones se e3cl#en cada !ot,n de.e considerarse por separado% 2ero entonces no está claro por $é los !en,menos de.en cam.iar drásticamente en !nci,n de $e s,lo na rendi+a o rendi+as están a.iertas tanto% 2ara pasar n !ot,n a traés de no de los cortes ¿por $é el hecho de $e el otro está a.ierto o cerrado tiene tal importancia Antes de disctir este pro.lema ten'a en centa $e en el e3perimento anterior $e no tratan de determinar por $é rendi+a pasa cada !ot,n antes de lle'ar a la pantalla% Con el 5n de o.tener esta in!ormaci,n podemos ima'inar la colocaci,n de detectores (!otomltiplicadores) detrás de 8 # :% A continaci,n se o.sera $e si los !otones lle'an no a no cada no pasa a traés de na hendidra .ien determinada (na se ñal es re'istrada #a sea por el detector colocado detrás de 8 o el : $e c.re pero no por am.os a la e/)% 2ero

88


o.iamente los !otones detectados de esta manera son a.sor.idos # no lle'an a la pantalla% <itar el !otomltiplicador $e .lo$ea 8 por e+emplo% El $e permanece detrás de : nos dice $e de n 'ran n-mero de !otones cerca de la mitad pasan a traés de :% &le'amos a la conclsi,n de $e los otros (lo $e pede continar hasta la pantalla) pasan a traés de la 8 pero el patr,n $e poco a poco constrir en la pantalla no es n patr,n de inter!erencia #a $e : está .lo$eado% Es s,lo el patr,n de di!racci,n de 8% .%
8:


emitido $e la pro.a.ilidad de 'olpear la pantalla en 3 es proporcional a la intensidad I (3) calcla tili/ando la teor"a de onda es decir

%

9espés de mchos es!er/os tentatios $e no se descri.e a$" el concepto de la dalidad onda>part"cla se !orml,% 2odemos resmir es$emáticamente de la si'iente 6 (i) &os aspectos de part"cla # de onda de la l/ son insepara.les% &a l/ se comporta simltáneamente como onda # como n *+o de part"clas la onda de lo $e nos permite calclar la pro.a.ilidad de la mani!estaci,n de na part"cla% (ii) &as predicciones so.re el comportamiento de n !ot,n s,lo pede ser pro.a.il"stica% (iii) &a in!ormaci,n acerca de n !ot,n en el tiempo t está dada por la onda E (r t) $e es na solci,n de las ecaciones de Ma3ell% 9ecimos $e esta onda caracteri/a el estado de los !otones en el tiempo t% E (r t) se interpreta como la amplitd de pro.a.ilidad de n !ot,n $e aparece en el tiempo t en el pnto r% Esto si'ni5ca $e la pro.a.ilidad correspondiente es proporcional a

Comentarios6 (i)

(ii)

(iii)

9ado $e las ecaciones de Ma3ell son lineales # homo'éneas podemos tili/ar n principio de sperposici,n6 si E8 # E: son dos solciones de estas ecaciones entonces  donde λ8 # λ: son constantes es tam.ién na solci,n% Este es el principio de sperposici,n lo $e e3plica los !en,menos de ondas en la ,ptica clásica (inter!erencia di!racci,n)% En la !"sica cántica la interpretaci,n de E (r t) como na amplitd de pro.a.ilidad es esencial a la persistencia de estos !en,menos% &a teor"a s,lo permite calclar la pro.a.ilidad de la ocrrencia de n eento dado% Veri5caciones e3perimentales por lo tanto de.e .asarse en la repetici,n de n 'ran n-mero de e3perimentos idénticos% En el e3perimento anterior n 'ran n-mero de !otones todos prodcidos de la misma manera se emiten scesiamente # constrir el patr,n de inter!erencia $e es la mani!estaci,n de las pro.a.ilidades calcladas% Estamos ha.lando a$" so.re 4el estado del !ot,n4 con el 5n de poder desarrollar en el §  na analo'"a entre la E (r t) # la !nci,n de onda ψ(r t) $e caracteri/a el estado cántico de na part"cla material% Esta Qanalo'"a ,ptica4 es m# 8D


!rct"!era% En particlar como eremos en el § 9 $e nos permite entender de manera sencilla # sin necesidad de recrrir al cálclo diersas propiedades cánticas de las part"clas materiales% 1in em.ar'o no ha# $e llearlo demasiado le+os # de+ar $e nos llean a creer $e es ri'rosamente correcto considerar E (r t) como caracteri/ar el estado cántico de n !ot,n% Además eremos $e el hecho de $e ψ(r t) es comple+a es esencial en la mecánica cántica mientras $e el E(r t) en notaci,n comple+a se tili/a en la ,ptica de na cesti,n de comodidad (s,lo la parte real tiene n si'ni5cado !"sico)% &a de5nici,n precisa del estado (comple+o) cántica de la radiaci,n s,lo se pede dar en el marco de la electrodinámica cántica na teor"a $e es a la e/ la mecánica cántica # relatiista% No amos a considerar estos pro.lemas a$" (amos a tocar en @ del complemento)% . El ,rinci,io de la descom,osici/n es,ectral

Armados con las ideas introdcidas en el § : ahora amos a ha.lar de otro e3perimento ,ptico simple c#o tema es la polari/aci,n de la l/% Esto nos permitirá introdcir los conceptos !ndamentales $e se re5eren a la medici,n de cantidades !"sicas% El e3perimento consiste en diri'ir na onda plana polari/ada la l/ monocromática en n anali/ador de O/ A% desi'na la direcci,n de propa'aci,n de esta onda # el 2arlamento Eropeo el ector nitario $e descri.e s polari/aci,n (er 5'% :)% El anali/ador A transmite l/ polari/ada paralela a O3 # a.sor.e la l/ polari/ada paralela a O#% &a descripci,n clásica de este e3perimento (na descripci,n $e es álida por n ha/ de l/ lo s5cientemente intensa) es la si'iente% &a onda plana polari/ada se caracteri/a por n campo eléctrico de la si'iente !orma6

9onde Eo es na constante% &a intensidad de la l/ (I) es proporcional a REoR:> 9espés de s paso por el anali/ador de A la onda plana polari/ada a lo lar'o de O36

 s intensidad I S proporcional a  ES0  : está dada por la le# de Mals6

e3 es el ector nitario del e+e O3 #  es el án'lo entre los e3 # ep%

8G


I7U?A : Un e3perimento simple medici,n en relaci,n a la polari/aci,n de na onda de l/% Un ra#o de l/ se propa'a a lo lar'o de la direcci,n O/ # atraiesa scesiamente la 2 polari/ador # el anali/ador de A%  es el án'lo entre el O3# el campo eléctrico de la onda transmitida por el 2% &as i.raciones transmitidas por A son paralelas a O%

¿<é pasará en el niel cántico es decir cando (3) es lo s5cientemente dé.il como para los !otones para alcan/ar el anali/ador de no por no (A continaci,n colo$e n detector de !otones detrás de este anali/ador%) En primer l'ar nnca el detector re'istra na 4!racci,n de n !ot,n4% a sea el !ot,n atraiesa el anali/ador o es totalmente a.sor.ida por él% 1i'iente (e3cepto en casos especiales $e amos a e3aminar en n momento) no podemos predecir con certe/a si n !ot,n incidente dado pasará o ser a.sor.ido% 1,lo podemos conocer las pro.a.ilidades correspondientes% 2or -ltimo si eniamos n 'ran n-mero N de !otones no tras otro el resltado se corresponde con el derecho clásico en el sentido de $e alrededor de N !otones se detectan despés del anali/ador% Nos reseramos las si'ientes ideas de esta descripci,n6 (i)

(ii)

El dispositio de medici,n (el anali/ador en este caso) pede dar resltados priile'iada a s,lo al'nos $e llamaremos ei'en (o apropiado) los resltados % En el e3perimento anterior s,lo ha# dos resltados posi.les6 el !ot,n atraiesa el anali/ador o se detiene% 1e dice $e no ha# canti5caci,n de los resltados de la medici,n en contraste con el caso clásico c!% la !,rmla (A>L) donde la intensidad transmitida I ’ pede ariar de !orma contina de acerdo con el alor de  entre 0 # I% 2ara cada no de estos resltados ei'en corresponde n estado propio% A$" los dos estados propios se caracteri/an por6

8;


(iii)

(e# es el ector nitario del e+e O#)% 1i ep W e3 sa.emos con certe/a de $e el !ot,n atraiesan el anali/ador # si ep W e# será por el contrario de5nitiamente se deto% &a correspondencia entre los resltados de ei'en # ato estados tanto es la si'iente% 1i la part"cla es antes de la medici,n en no de los estados propios el resltado de esta medida es cierto6 s,lo pede ser el resltado ei'en asociados% Cando el estado antes de la medida es ar.itraria s,lo las pro.a.ilidades de o.tener los di!erentes resltados de ei'en se pede predecir% 2ara encontrar estas pro.a.ilidades se descompone el estado de las part"clas en na com.inaci,n lineal de los atos estados di!erentes% A$" por n ep ar.itraria escri.imos6 &a pro.a.ilidad de o.tener n resltado ei'en dado es entonces proporcional al cadrado del alor a.solto del coe5ciente del estado propio correspondiente% El !actor de proporcionalidad $e está determinada por la condici,n de $e la sma de todas estas pro.a.ilidades de.e ser i'al a 8% 9e este modo dedcir de (A>80) $e cada !ot,n tiene na pro.a.ilidad pro.a.ilidad

de atraesar el anali/ador # na

de ser a.sor.ida por ella (#a sa.emos $e



W 8)% Esto es lo $e se di+o arri.a% Esta re'la se denomina en la

(i)

mecánica cántica el principio de descomposici,n espectral% Ten'a en centa $e la descomposici,n $e se reali/a depende del tipo de dispositio de medici,n se está considerando #a $e no de.e sar los estados propios $e le corresponden6 en la !,rmla (A>80) la elecci,n de los e+es O3 # O# es 5+ado por el anali/ador% 9espés de pasar por el anali/ador la l/ está completamente polari/ada a lo lar'o de e3% 1i ponemos despés de $e el primer anali/ador de A n anali/ador de :da A S con el mismo e+e todos los !otones $e atraiesa A tam.ién recorrerá AS% 9e acerdo con lo $e hemos isto en el pnto (ii) esto si'ni5ca $e despés de ha.er cr/ado A el estado de los !otones es el estado propio caracteri/ado por e X% 2or ello ha sido n cam.io .rsco en el estado de las part"clas% Antes de la medici,n este estado !e de5nido por n ector E(r t) $e !e alineados con el ep% Tras la medida contamos con na pie/a adicional de in!ormaci,n (el !ot,n ha pasado) $e se incorpora al descri.ir el estado de n ector di!erente $e ahora alineados con el e3% Esto e3presa el hecho #a se ha se ñalado en § A>: $e la medida altera el sistema microsc,pico (en este caso el !ot,n) de na manera !ndamental%

Comentario6

8J


&a predicci,n de al'nos de los resltados cando epWe3 o ep We# es s,lo n caso especial% &a pro.a.ilidad de $e no de los eentos es posi.le entonces ciertamente i'al a 8% 2ero con el 5n de compro.ar esta predicci,n se de.e reali/ar n 'ran n-mero de e3perimentos% Uno de.e estar se'ro de $e todos los !otones pasan (o detenido) #a $e el hecho de $e n !ot,n en particlar cr/a el anali/ador (o a.sor.ida) no es caracter"stica de ep W e3(o ep W e#)% 0. PATÍC1LAS DE !ATE#A $ LAS ONDAS DE !ATE#A &. La relaci/n de De 0roglie

2aralelo al desc.rimiento de los !otones el estdio de emisi,n # de a.sorci,n at,mica al desc.ierto n hecho !ndamental $e la !"sica clásica no pdo e3plicar6 estos espectros se componen de l"neas estrechas% En otras pala.ras n átomo emite o a.sor.e dado s,lo !otones con !recencias .ien determinadas (es decir ener'"as)% Este hecho pede ser interpretado con mcha !acilidad si se acepta $e la ener'"a del átomo está canti/ada es decir $e s,lo pede tomar ciertos alores discretos Ei (i W 8 :%%% n%%%)6 la emisi,n o a.sorci,n de n !ot,n es entonces acompa ñado por n 4salto4 en la ener'"a del átomo de n Ei alor permitido a otro E+% Conseraci,n de la ener'"a implica $e el !ot,n tiene na !recencia tal $e i+6

1,lo las !recencias $e o.edecen (>l) por lo tanto pede ser emitida o a.sor.ida por el átomo% &a e3istencia de nieles discretos de ener'"a !e con5rmada independientemente por el e3perimento de rancF>Hert/% ohr interpret, en términos de priile'io ,r.itas electr,nicas # se ñal, con 1ommer!eld na re'la emp"rica $e permita el cálclo de las ,r.itas para el caso del átomo de hidr,'eno% 1in em.ar'o el ori'en !ndamental de estas re'las de canti/aci,n siendo n misterio% En 8B:D sin em.ar'o de ro'lie propesto la si'iente hip,tesis6 las part"clas materiales as" como los !otones pede tener n aspecto ondlatorio% A continaci,n derian las re'las de canti/aci,n de ohr>1ommer!eld como consecencia de esta hip,tesis los distintos nieles permitidos de ener'"a $e aparecen como los análo'os de los modos normales de na cerda i.rante% E3perimentos de di!racci,n de electrones (9aisson # 7ermer 8B:) con5rmada de la e3istencia de n aspecto ondlatorio de la materia demostrando $e los patrones de inter!erencia se podr"a o.tener con part"clas de materia como los electrones% Uno por lo tanto se asocia con na part"cla material de ener'"a E # momento p na onda c#a !recencia an'lar  W :π # ector de onda F ienen dados por las mismas relaciones $e los !otones (c!% § A>l)6 8


En otras pala.ras la lon'itd de onda correspondiente es6

Comentario6 El alor m# pe$e ño de la constante de 2lancF h e3plica por $é la natrale/a ondlatoria de la materia es m# di!"cil de demostrar en na escala macrosc,pica% Un complemento de este cap"tlo trata de los ,rdenes de ma'nitd de las lon'itdes de onda de 9e ro'lie asociada a las part"clas de diersos materiales% +. %unciones de onda. Ecuaci/n de Sc*rodinger.

9e acerdo con la hip,tesis de de ro'lie se aplicarán las ideas introdcidas en § A para el caso de los !otones para todas las part"clas materiales% ?ecordando las conclsiones de este apartado nos llea a la si'iente !ormlaci,n6 (i)

(ii)

(iii)

2ara la concepci,n clásica de na tra#ectoria de.emos sstitir el concepto de n estado aria.le en el tiempo% El estado cántico de na part"cla como el electr,n  se caracteri/a por na !nci,n de onda ψ(r t) $e contiene toda la in!ormaci,n $e es posi.le o.tener so.re la part"cla% ψ(r t) se interpreta como na amplitd de pro.a.ilidad de la presencia de la part"cla% 9esde las posiciones posi.les de la !orma de part"clas de n contino la pro.a.ilidad d2(r t) de la part"cla $e en el tiempo t en n elemento de olmen dDrW d3 d# d/ sitado en el pnto r de.e ser proporcional al dDr in5nitesimal # por lo tanto Y ψ (r t)  : se interpreta como la densidad de pro.a.ilidad correspondiente con6 9onde C es na constante de normali/aci,n éase el comentario (i) al 5nal del § >:% El principio de la descomposici,n espectral se aplica a la medici,n de na ma'nitd !"sica ar.itraria6 > El resltado $e se o.tiene de.e pertenecer a n con+nto de resltados ei'en Za[% > Con cada alor na se asocia n estado propio es decir na !nci,n propia t ψa(r)% Esta !nci,n es tal $e si ψ(r t0)W ψa (r) (donde t0 es el momento en $e se reali/a la medici,n) la medici,n siempre dará a% > 2ara cal$ier ψ(r t) la pro.a.ilidad 2a de encontrar n alor propio para la medici,n en el tiempo t0 se encentra por la descomposici,n de ψ(rt0) en términos de las !nciones ψ(r)6 8L


 No se tendrán en centa a$" la e3istencia del esp"n del electr,n (c!% cap% I)%

Entonces6

(&a presencia del denominador ase'ra $e la pro.a.ilidad total es i'al a 86 ) > 1i la medici,n se o.tiene n e!ecto la !nci,n de onda de la part"cla inmediatamente despés de la medici,n es la si'iente6 (i)

&a ecaci,n $e descri.e la eolci,n de la !nci,n  + R (r t) está por escri.irse% Es posi.le $e introdcir de na manera m# natral con la de 2lancF # las relaciones de 9e ro'lie% 1in em.ar'o no tenemos nin'na intenci,n de pro.ar esta ecaci,n !ndamental $e se llama la ecaci,n de 1chrKdin'er% 1implemente se asme% Más tarde amos a disctir al'nas de ss consecencias (c#a eri5caci,n e3perimental pro.ar s alide/)% Además de.emos considerar esta ecaci,n con mcho más detalle en el cap"tlo III% Cando la part"cla (de masa m) se somete a la in*encia de n potencial V  (r t) la ecaci,n de 1chrKdin'er toma la !orma6

9onde ∆ es el operador laplaciano Nos damos centa de inmediato $e esta ecaci,n es lineal # homo'énea en ψ% En consecencia para part"clas de materia e3iste n principio de sperposici,n $e +nto con la interpretaci,n de ψ como na amplitd de pro.a.ilidad es la !ente de los e!ectos de onda% Ten'a en centa además $e la ecaci,n di!erencial (>L) es de primer orden con respecto al tiempo% Esta condici,n es necesaria si el estado de la part"cla en n tiempo t0 $e se caracteri/a por ψ(rt0) es para determinar s estado posterior% 2or tanto e3iste na analo'"a !ndamental entre la materia # la radiaci,n6 en am.os casos na correcta descripci,n de los !en,menos e3i'e la introdcci,n de los conceptos cánticos # en particlar la idea de la dalidad onda>part"cla%

8B


Comentarios6 (i)

2ara n sistema compesto por na sola part"cla la pro.a.ilidad total de encontrar la part"cla en cal$ier l'ar en el espacio en el tiempo t es i'al a 86

2esto $e d 2(r t) está dada por la !,rmla (>G) se concl#e $e la !nci,n de onda ψ(r t) de.e ser de cadrado inte'ra.le6

&a constante de normali/aci,n C $e aparece en (>G) está dada por la relaci,n6

(Veremos más adelante $e la !orma de la ecaci,n de 1chrKdin'er implica $e C es independiente del tiempo)% A mendo se tili/a !nciones de onda $e están normali/ados de tal manera $e6

&a constante C es entonces i'al a 8%  V (t t) desi'na na ener'"a potencial% 2or e+emplo pede ser el prodcto de n potencial eléctrico # la car'a de la part"cla% En la mecánica cántica V (r t) se conoce com-nmente como n potencial% (ii)

Ten'a en centa la importante di!erencia entre los conceptos de los estados clásicos # los estados cánticos% El estado clásico de na part"cla se determina en el tiempo t por la especi5caci,n de los seis parámetros $e caracteri/an s posici,n # s elocidad en el tiempo t6 3 # / 3 # /% El estado cántico de na part"cla está determinada por n n-mero in5nito de parámetros6 los alores en los di!erentes pntos en el espacio de la !nci,n de onda ψ(r t) $e se asocia con él% 9e la idea clásica de na tra#ectoria (la scesi,n en el tiempo de los di!erentes estados de la part"cla clásica) de.emos sstitir la idea de la propa'aci,n de la onda asociada a la part"cla% Consideremos por e+emplo el e3perimento do.le rendi+a de on' descrito anteriormente para el caso de los !otones pero $e en principio tam.ién se pede reali/ar con las part"clas materiales como electrones% Cando el patr,n de inter!erencia se o.sera no tiene sentido pre'ntar por $é rendi+a cada part"cla ha pasado #a $e la onda asociada a s paso por am.os%

:0


(iii)

Vale la pena se ñalar $e a di!erencia de los !otones $e pede ser emitida o a.sor.ida drante n e3perimento las part"clas materiales no pede ser creada ni destrida% &os electrones emitidos por n 5lamento caliente por e+emplo #a e3ist"a en el 5lamento% 9e la misma manera n electr,n a.sor.e n contador no desaparece se conierte en parte de n átomo o na corriente eléctrica% En realidad la teor"a de la relatiidad demestra $e es posi.le crear # ani$ilar a las part"clas de material6 por e+emplo n !ot,n con ener'"a s5ciente $e pasa cerca de n átomo pede materiali/arse en n par electr,n>positr,n% A la inersa el positr,n cando choca con n electr,n ani$ila con él emitiendo !otones% 1in em.ar'o se se ñal, en el comien/o de este cap"tlo $e nos ce ñimos a$" al dominio no relatiista cántica # de hecho hemos tratado el tiempo # el espacio de coordenadas de !orma asimétrica% En el marco del no>mecánica cántico relatiista las part"clas materiales no pede ser creada ni ani$ilada% Esta le# de la conseraci,n como eremos +e'a n papel de primera importancia% &a necesidad de a.andonar es na de las importantes di5cltades cando se trata de constrir na mecánica cántica relatiista%

C. DESC#PC#ÓN C1ÁNT#CA DE 1NA PAT ÍC1LA. PA21ETES DE ONDA

En el párra!o anterior hemos introdcido los conceptos !ndamentales $e son necesarios para la descripci,n cántica de na part"cla% En este apartado amos a !amiliari/arnos con estos conceptos # dedcir de ellos arias propiedades m# importantes% Empecemos por el estdio de n caso especial m# sencillo el de na part"cla li.re% &. Part-cula li3re

Considere la posi.ilidad de na part"cla c#a ener'"a potencial es cero (o tiene n alor constante) en cada pnto del espacio% &a part"cla es por lo tanto no sometida a nin'na !er/a sino $e se dice $e es li.re% Cando V (r t) W 0 la ecaci,n de 1chrKdin'er se conierte en6

Esta ecaci,n di!erencial es o.iamente satis!echo por las solciones de la !orma6

(9onde A es na constante) a condici,n de $e F #

 satis!acen

la relaci,n6

:8


O.sere $e de acerdo con las relaciones de ro'lie éase (>:) la condici,n (C>D) e3presa el hecho de $e la ener'"a E # el momento p de na part"cla li.re satis!acen la ecaci,n $e es .ien conocido en el clásico mecánica6

Voleremos más adelante ( § C>D) a la interpretaci,n !"sica de n estado de !orma (C>:)% a hemos isto $e desde

Una onda plana de este tipo representa na part"cla c#a pro.a.ilidad de presencia es ni!orme a lo lar'o de todo el espacio (er comentario a.a+o)% El principio de sperposici,n nos dice $e cada com.inaci,n lineal de ondas planas satis!actoria (C>D) tam.ién será na solci,n de la ecaci,n (C>8)% Tal sperposici,n se pede escri.ir6

(dDF representa por de5nici,n el elemento de olmen in5nitesimal en el espacio F6 dF3%dF#%dF/)% ' (F) $e pede ser comple+a de.e ser lo s5cientemente re'lares para permitir la di!erenciaci,n dentro de la inte'ral% 1e pede demostrar además $e cal$ier solci,n de cadrado inte'ra.le se pede escri.ir en la !orma (C>J)% Una !nci,n de onda tales como (C>J) na sperposici,n de ondas planas se le llama en tres dimensiones 4pa$ete de ondas4% En aras de la simplicidad a mendo se lle, a estdiar el caso de na  onda nidimensional de pa$etes $e se o.tiene a partir de la sperposici,n de ondas planas paralelas se propa'en a todos los O3% &a !nci,n de onda entonces s,lo depende de 3 # t6

 Un modelo simple de n pa$ete de ondas en dos dimensiones se presenta en el complemento E% Al'nas propiedades 'enerales de los pa$etes de onda en tres dimensiones $e se estdian en  complemento $e tam.ién mestra ::


c,mo en ciertos casos n pro.lema en tres dimensiones se pede redcir a arios pro.lemas nidimensionales% En el párra!o si'iente amos a estar interesado en la !orma del pa$ete de ondas en n instante dado% 1i ele'imos este momento como el ori'en del tiempo la !nci,n de onda está escrita6

Vemos $e ' (F) es simplemente la trans!ormada de orier (éase ane3o I) de ψ (3 0)6

En consecencia la alide/ de la !,rmla (C>L) no se limita al caso de la part"cla li.re6 cal$iera $e sea el potencial ψ(3 0) siempre se pede escri.ir de esta !orma% &as consecencias $e se derian de esta en los § § : # D son pes per!ectamente 'eneral% No es hasta § G $e amos a oler de !orma e3pl"cita a la part"cla li.re% Comentario6 Una onda plana del tipo (C>:) c#o m,dlo es constante a lo lar'o de todo el espacio c!% (C>;) no es de cadrado inte'ra.le% 2or lo tanto con ri'or no pede representar a n estado !"sico de la part"cla (en la misma !orma en la ,ptica na onda plana monocromática no es !"sicamente reali/a.le)% 2or otro lado na sperposici,n de ondas planas como (C>) pede ser de cadrado inte'ra.le% +. %orma del ,aquete de ondas en un momento dado

&a !orma del pa$ete de ondas está dada por la dependencia de ψ(3 0) de5nida por la ecaci,n (C>L)% Ima'ina $e  ' (F)  tiene la !orma representada en la 5'ra D es decir tiene n pico pronnciado sitado en F W F0 # n ancho ($e se de5ne por e+emplo la mitad de s alor má3imo) de ∆F%

:D


I7U?AD orma de la !nci,n  ' (F)  m,dlo de la trans!ormada de orier de ψ(3 0%)6 1e spone $e se centra en F W F0 donde alcan/a n má3imo # tiene na anchra de ∆F%

Empecemos por tratar de entender calitatiamente el comportamiento de ψ(3 0) a traés del estdio de n caso especial m# sencillo% 1ea ψ(3 0) en l'ar de la sperposici,n de n n-mero in5nito de ondas planas

en la !,rmla (C>L)

la sma de las tres ondas planas% &os ectores de onda de estas ondas planas son F0 F0>  F0  # ss amplitdes son proporcionales respectiamente a 8 8 R : # 8 R : entonces tenemos6

Vemos $e  ψ(3)  es má3ima cando 3 W 0% Este resltado se de.e al hecho de $e cando 3 toma este alor las tres ondas están en !ase e inter5eren de manera constrctia como se mestra en la 5'ra G% Medida $e nos ale+amos del alor de 3 W 0 las olas se hacen más # más !era de !ase #  ψ(3)R dismin#e% &a inter!erencia se ele completamente destrctio cando el des!ase entre

#

es i'al a

tiende a cero cando 3 W ±

 ∆3

está dado por6

Esta !,rmla mestra $e canto menor sea el ancho ∆F de la !nci,n de  ' (F)  ma#or será el ancho de ∆3 de la !nci,n  ψ(3)  (la distancia entre dos ceros de Y ψ(3) Y)%

:G


&as partes reales de las tres ondas c#a sma da la !nci,n ψ(3) de (C>80)% En 3 W 0 las tres ondas están en !ase e inter5eren constrctiamente% Medida $e nos ale+amos de 3 W 0 se an !era de !ase e inter5eren destrctiamente para 3W± % En la parte in!erior de la 5'ra ?e Z ψ Z3)[ se mestra% &a cra de l"nea discontina corresponde a la !nci,n 8  cos (

) $e de acerdo con (C>80)

da Y ψ(3) Y (# por lo tanto la !orma del pa$ete de ondas)%

COMENTA?IO6 &a !,rmla (C>80) mestra $e Y ψ(3) Y es peri,dica en 3 # por lo tanto tiene na serie de má3imos # m"nimos% Esto sr'e del hecho de $e ! (3) es la sperposici,n de n n-mero 5nito de ondas (en este caso tres)% 2or na sperposici,n contina de n n-mero in5nito de ondas como en la !,rmla (C> L) tal !en,meno no se prodce # Y ψ (3 0) Y s,lo pede tener n má3imo% Volamos ahora al pa$ete de ondas en 'eneral de la !,rmla (C>L)% 1 !orma tam.ién el resltado de n !en,meno de inter!erencia6 Y ψ(3 0) Y es má3imo cando las ondas planas di!erentes inter5eren constrctiamente% 1ea α (F) el ar'mento de la !nci,n ' (F)6

:;


1pon'amos $e α (F) ar"a .astante sae en el interalo donde  ' (F)  es aprecia.le # le'o cando ∆F es s5cientemente pe$e ño se pede ampliar α (F) en la ecindad de F W F06

$e nos permite reescri.ir (C>L) en la !orma6

Con6

&a !orma (C>8G) es -til para estdiar las ariaciones de

en términos de 3%

Cando es 'rande la !nci,n de F $e es para ser inte'rado oscila n n-mero m# 'rande de eces dentro del interalo Vemos entonces (c!% 5'% ;> A en el $e la parte real de esta !nci,n se mestra) $e las contri.ciones de las oscilaciones scesias se anlan entre s" # la inte'ral so.re F se ele insi'ni5cante% En otras pala.ras cando 3 está 5+ado en n alor le+os de 30 las !ases de las ondas di!erentes $e componen ar"an m# rápidamente en el dominio # estas ondas se destr#en entre s" por la inter!erencia% 2or otro lado si  la !nci,n $e se inte'ra so.re F oscila apenas en a.solto (éase la 5'% ;>.) # &a posici,n

es má3imo%

del centro del pa$ete de ondas es por lo tanto6

En realidad el resltado (C>8J) se pede o.tener m# simplemente% Una inte'ral tal como la $e aparece en (C>L) será má3ima (en alor a.solto) cando las ondas $e tienen la ma#or amplitd (a$ellos con F cerca de @0) inter5eren constrctiamente% Esto ocrre cando las !ases de @>dependientes de estas ondas ar"an s,lo li'eramente alrededor de % 2ara o.tener el centro del pa$ete de ondas na continaci,n impone (condici,n !ase estacionaria) $e la deriada con respecto a F de la !ase es cero para % En el caso particlar $e se está estdiando la !ase de la onda correspondiente a F es % 2or lo tanto

es $e el alor de 3 para $e el deriado

es

cero en

:J


&as ariaciones con respecto a F de la !nci,n $e se inte'ra so.re F con el 5n de o.tener % En la 5'ra (a) 3 está 5+ado en n alor tal $e # la !nci,n $e se inte'ra oscila arias eces dentro del interalo de ∆F% En la 5'ra (.) 3 está 5+ado de tal manera $e  # la !nci,n $e se inte'ra apenas oscila de modo $e s inte'ral so.re F tiene n alor relatiamente 'rande% En consecencia el centro del pa$ete de ondas pnto donde es má3imo está sitado en Cando 3 se ale+a del alor 30

dismin#e% Esta disminci,n se ele

aprecia.le si oscila alrededor de na e/ cando F atraiesa el dominio  es decir cando6

1i A3 es el ancho apro3imado del pa$ete de ondas por lo tanto tenemos6

&le'amos as" de neo a na relaci,n clásica entre las anchras de dos !nciones $e son trans!ormadas de orier de cada otro% El hecho importante es $e el prodcto tiene n l"mite in!erior el alor e3acto de esta cota depende claramente de la de5nici,n precisa de los anchos # % Un pa$ete de ondas tales como (C>) por lo tanto representa el estado de na part"cla c#a pro.a.ilidad de presencia en el instante t W 0 es prácticamente cero !era de n interalo de ancho apro3imado centrado en el alor % Comentario6 El ar'mento anterior podr"a llear a pensar $e el prodcto es siempre del orden de 8 c!% (C>8)% Vamos a s.ra#ar el hecho de $e se trata de n l"mite in!erior% An$e es imposi.le constrir pa$etes de onda para la cal el prodcto es insi'ni5cante en comparaci,n con 8 es per!ectamente

:


posi.le constrir pa$etes para $e este prodcto es tan 'rande como se desee éase por e+emplo complemento  especialmente comentar (ii) de § D>c% Esta es la ra/,n (C>8L) está escrito en la !orma de na desi'aldad% . elaci/n de incertidum3re de 4eisen3erg

En la mecánica cántica la desi'aldad (C>8L) tiene consecencias !"sicas m# importantes% Tenemos la intenci,n de ha.lar so.re esto ahora (nos $edaremos para simpli5car en el marco de n modelo nidimensional)% Hemos isto $e na onda plana corresponde a na densidad de pro.a.ilidad constante para la presencia de la part"cla a lo lar'o del e+e  para todos los alores de t% Este resltado pede ser más o menos e3presarse diciendo $e el alor correspondiente de es in5nito% 2or otro lado s,lo na !recencia an'lar # n ector de onda están implicados% 9e acerdo con las relaciones de 9e ro'lie esto si'ni5ca $e la ener'"a # el implso de la part"cla están .ien de5nidas6 # % Tal na onda plana pede además ser considerado como n caso especial de (C>) para el cal es na 4!nci,n delta4 (apéndice II)6

El alor correspondiente de

es entonces i'al a cero%

2ero esta caracter"stica tam.ién se pede interpretar de la si'iente manera tili/ando el principio de la descomposici,n espectral (c!% § § A>D # >:)% 2ara decir $e na part"cla $e se descri.e en el instante t W 0 por la !nci,n de onda  tiene n implso .ien determinada es decir $e na medici,n de la !er/a en este momento de5nitiamente prodcirá % 9e esto podemos dedcir $e caracteri/a al estado propio $e corresponde a % 9ado $e e3iste na onda plana para cada alor real de F los alores propios $e no pede esperar encontrar en na medida de la !er/a de n Estado ar.itrario incl#en todos los alores reales% En este caso no ha# canti5caci,n de los resltados posi.les6 como en la mecánica clásica todos los alores del implso están permitidos% Consideremos ahora la !,rmla (C>L)% En esta !,rmla aparece como na sperposici,n lineal de las !nciones propias de momento en el $e el coe5ciente de

es

% &le'amos as" a interpretar

constante) como la pro.a.ilidad de encontrar

(dentro de n !actor si se mide en t W 0 el

momento de na part"cla c#o estado es descrito por

% En realidad los

posi.les alores de p como los de 3 !orman n con+nto contino # proporcional a na densidad de pro.a.ilidad6 la pro.a.ilidad de

es de la :L


o.tenci,n de n alor entre

#

es dentro de n !actor constante

%% Más precisamente si olemos a escri.ir la !,rmla (C>L) en la !orma6

1a.emos $e

#

satis!acen la relaci,n de 2arseal>essel (ane3o I)6

1i el alor com-n de estas inte'rales es C de $e la part"cla se encentra en t W 0 entre 3 # manera6

es la pro.a.ilidad % 9e la misma

Es la pro.a.ilidad de $e la medici,n del implso prodcirá n resltado comprendido entre # relaci,n (C>:8) a continaci,n ase'ra $e la pro.a.ilidad total de encontrar cal$ier alor es de hecho i'al a 8% Ahora olamos a la desi'aldad (C>8L)% Nos pede escri.ir como6

( es la anchra de la cra $e representa )% Consideremos na part"cla c#o estado es de5nido por el pa$ete de ondas (C>:0)% 1a.emos $e la pro.a.ilidad de posici,n en t W 0 es aprecia.le s,lo dentro de na re'i,n de ancho de 6 s posici,n es conocida dentro de n hacha incertidm.re % 1i se mide el implso de esta part"cla a la e/ se encontrará n alor entre #

 #a $e

es prácticamente nla !era de este interalo6

la incertidm.re en el momento es por lo tanto el % Interpretaci,n de la relaci,n (C>:D) es entonces la si'iente6 es imposi.le de5nir en n momento dado tanto la posici,n de la part"cla # s Momento>implso a n 'rado de precisi,n ar.itraria Cando el l"mite in!erior impesta por (C>:D%) se alcan/a el amento de la precisi,n en la posici,n (decreciente

) implica $e la e3actitd

en el implso dismin#e (amenta ) # iceersa% Esta relaci,n se denomina relaci,n de incertidm.re de Heisen.er'% No sa.emos de nada como esto en la mecánica clásica% &a limitaci,n e3presada por (C>:D) sr'e del hecho de $e h no es cero% Es el alor m# pe$e ño de h en :B


la escala macrosc,pica $e hace $e esta limitaci,n totalmente insi'ni5cante en la mecánica clásica (n e+emplo se discte en detalle en complemento

)%

Comentarios6 &a desi'aldad (C>8L) con la $e empe/amos no es n principio inherente mecánica cántica% 1e e3presa simplemente na propiedad 'eneral de trans!ormadas de orier nmerosas aplicaciones de las cales se peden encontrar en la !"sica clásica% 2or e+emplo es .ien conocido de la teor"a electroma'nética $e no e3iste nin'-n tren de ondas electroma'néticas para los $e no pede de5nir la posici,n # la lon'itd de onda con na precisi,n in5nita al mismo tiempo% &a mecánica cántica se presenta cando no se asocia con na onda de na part"cla material # re$iere $e la lon'itd de onda # el implso de la satis!acci,n respecto de 9e ro'lie% 5. Evoluci/n tem,oral de un ,aquete de ondas li3res

Hasta ahora hemos estado preocpados s,lo con la !orma de n pa$ete de ondas en n instante dado en este apartado amos a estdiar s eolci,n en el tiempo% Volamos por tanto para el caso de na part"cla li.re c#o estado es descrito por el pa$ete de ondas nidimensional (C>)% Una onda plana dada

se propa'a por el e+e

a $e depende de 3 # t s,lo a traés de !ase de la onda plana%

\

con la elocidad6

se denomina elocidad de

1a.emos $e en el caso de na onda electroma'nética $e se propa'a en el ac"o es independiente de F e i'al a la elocidad de la l/ c% Todas las ondas $e !orman n pa$ete de ondas se meen a la misma elocidad de modo $e el pa$ete como n todo tam.ién se mee con la misma elocidad sin cam.iar de !orma% 2or otro lado se sa.e $e esto no es cierto en n medio dispersio donde se le da la elocidad de !ase por6

Es el "ndice de del medio $e ar"a con la lon'itd de onda% El caso $e estamos considerando a$" corresponde a n medio dispersio #a $e la elocidad de !ase es i'al a c!% ecaci,n (C>D)6

D0


Veremos $e cando las ondas por lo tanto tienen di!erentes elocidades desi'ales de !ase la elocidad má3ima de promedio de elocidad de !ase esperar%

del pa$ete de ondas no es el

 contrariamente a lo $e no podr"a

Tal # como hicimos antes amos a empe/ar por tratar de entender calitatiamente lo $e scede antes de tomar n pnto de ista más 'eneral% 2or lo tanto olamos a la sperposici,n de tres ondas consideradas en el § C>:% 2ara n t ar.itrario

está dada por6

Vemos pes $e el má3imo de

 $e se encontra.a en

en

 se encentra ahora en el pnto6

# no en el pnto J%

% El ori'en !"sico de este resltado aparece en la 5'ra

2arte a) de esta 5'ra representa la posici,n en el tiempo t W 0 de tres ad#acente má3imos (8) (:) (D) para las partes reales de cada na de las tres ondas% 9ado $e los má3imos denotado por el "ndice (:) coinciden en 3 W 0 ha# inter!erencia constrctia en este pnto $e por lo tanto corresponde a la posici,n del má3imo de

% 9ado $e los amentos de elocidad de !ase

con F !,rmla (C>:J) el má3imo (D) de la onda ponerse al d"a con la de la onda

poco a poco a

 $e a s e/ ponerse al d"a con la de la

onda % 9espés de n cierto tiempo de este modo tendrá la sitaci,n mostrada en la 5'ra J>.6 será los má3imos (D) $e coinciden # determinar as" D8


la posici,n del má3imo no es i'al a

de

% Vemos claramente en la 5'ra $e

 # n simple cálclo de neo los rendimientos (C>:L)%

I7U?A J &as posiciones de los má3imos de las tres ondas de la 5'ra G en el tiempo t W 0 (5'% a) # en na posterior t (5'% .)% En el instante t W 0 es el má3imos (:) sitado en el pnto 3 W 0 $e inter5eren de manera constrctia6 la posici,n del centro del pa$ete de ondas es

% En el momento t las tres ondas han

aan/ado con di!erentes elocidades de !ase % Es entonces los má3imos (D) $e inter5eren de manera constrctia # el centro del pa$ete de ondas está sitado en el pnto % Vemos as" $e la elocidad del centro del pa$ete de ondas (elocidad de 'rpo) es di!erente de las elocidades de !ase de las tres ondas% El despla/amiento del centro del pa$ete de ondas (C>) se peden encontrar en na !orma análo'a mediante la aplicaci,n del metodo de 4!ase estacionaria4% 1e pede er de la !orma (C>) del pa$ete de ondas li.res $e con el 5n de pasar de

a

 todo lo $e necesitamos hacer es cam.iar

a

% El ra/onamiento de § C>: por lo tanto si'e siendo álida a condici,n de $e se reempla/a el ar'mento

de

por6

9e la condici,n (C>8J) a continaci,n se o.tiene6

&le'amos as" de neo a resltar (C>:L)6 la elocidad de la má3ima del pa$ete de ondas es6

D:


se denomina elocidad de 'rpo del pa$ete de ondas% Con la relaci,n de dispersi,n dada en (C>D) se o.tiene6

Este resltado es importante por$e nos permite recperar la descripci,n clásica de la part"cla li.re para los casos en $e esta descripci,n es álida% 2or e+emplo cando se trata con na part"cla macrosc,pica (# el e+emplo de la part"cla de polo disctido en complemento  se mestra c,mo pede ser pe$eño) la relaci,n de incertidm.re no introdce n l"mite o.sera.le so.re la e3actitd con la $e s posici,n # el momento son conocidos% Esto si'ni5ca $e podemos constrir con el 5n de descri.ir como na part"cla de na manera mecánica cántica n pa$ete de ondas c#as anchras caracter"sticas # son insi'ni5cantes% A continaci,n se ha.la en términos clásicos de la posici,n # el implso de la part"cla% 2ero entonces s elocidad de.e ser % Esto es lo $e está impl"cito en la !,rmla (C>D:) o.tenida en la descripci,n cántica6 en los casos en los $e # tanto pede hacerse insi'ni5cante el má3imo de los pa$etes de onda se mee como na part"cla $e o.edece a las le#es de la mecánica clásica % comentarios6 Hemos s.ra#ado a$" el moimiento del centro del pa$ete de ondas li.re% Tam.ién es posi.le estdiar la !orma en $e s !orma eolciona en el tiempo% Es entonces !ácil demostrar $e si el ancho de es na constante del moimiento ar"a con el tiempo # para los tiempos s5cientemente lar'os amenta sin l"mite (la di!si,n del pa$ete de ondas)% &a discsi,n de este !en,meno se da en complemento pa$ete de ondas 'assiano%

 donde se trata el caso especial de n

D. PATÍC1LA EN 1N POTENC#AL ESCALA #NDEPEND#ENTE DEL T#E!PO

Hemos isto en § C como la descripci,n de la mecánica cántica de na part"cla se redce a la descripci,n clásica cando la constante h de 2lancF pede considerarse insi'ni5cante% En la apro3imaci,n clásica el carácter ondlatorio no aparece de.ido a $e la lon'itd de onda asociada con la part"cla es mcho menor $e las lon'itdes caracter"sticas de s moimiento% Esta sitaci,n es análo'a a la encontrada en la ,ptica% &a ,ptica 'eométrica $e i'nora las propiedades ondlatorias de la l/ constit#e na .ena apro3imaci,n cando la lon'itd de onda correspondiente se pede despreciar DD


en comparaci,n con las lon'itdes con la $e no se re5ere% &a mecánica clásica lo $e +e'a con respecto a la mecánica cántica el mismo papel +'ado por la ,ptica 'eométrica con respecto a la ,ptica ondlatoria% En este apartado amos a estar preocpados con na part"cla en n potencial independiente del tiempo% &o $e aca.amos de decir implica $e los e!ectos cánticos por lo 'eneral (es decir los de ori'en de onda) $e sr'en cando el potencial ar"e considera.lemente en distancias más cortas $e la lon'itd de onda $e no pede ser descidado% Es por eso $e amos a estdiar el comportamiento de na part"cla cántica colocado en diersos potenciales 4cadrados4 es decir 4los potenciales de paso4 como se mestra en la 5'ra >A% Tal potencial $e es discontino claramente ar"a considera.lemente drante interalos del orden de la lon'itd de onda por pe$e ña $e es6 los e!ectos cánticos de.e por lo tanto siempre aparecen% Antes de iniciar esta inesti'aci,n disctiremos al'nas propiedades importantes de la ecaci,n de 1chrKdin'er cando el potencial no es dependiente del tiempo% &. La se,araci/n de varia3les. estados estacionarios

&a !nci,n de onda de na part"cla c#a ener'"a potencial V (r) no depende del tiempo $e satis!acen la ecaci,n de 1chrKdin'er6

a) E3istencia de estados estacionarios Vamos a er si e3isten solciones de esta ecaci,n de la !orma6

1stit#endo (9>:) en (9>l) se o.tiene6

1i diidimos am.os lados por el prodcto

 nos encontramos con6

Esta ecaci,n e$iale na !nci,n de s,lo t (lado i/$ierdo) # na !nci,n de r solamente (lado derecho)% Esta i'aldad s,lo es posi.le si cada na de estas !nciones es de hecho na constante $e se 5+a i'al a dimensiones de na !recencia an'lar%

 donde

tiene las

DG


&a con5'racion de la mano i/$ierda i'al a  se o.tiene para ecaci,n di!erencial $e se pede inte'rar !ácilmente para dar6

9e la misma manera

1i el con+nto

na

de.e satis!acer la ecaci,n6

en la ecaci,n (9>;) lo cal es posi.le si se incorporan por

e+emplo la constante

 se lo'ra el resltado si'iente6 la !nci,n

es na solci,n de la ecaci,n de 1chrodin'er con la condici,n de $e es na solci,n de (9>J)% El tiempo # las aria.les de espacio se dice $e se han separado% Una !nci,n de onda de la !orma (9>) se llama na solci,n estacionaria de la ecaci,n de 1chrKdin'er6 llea a na densidad de pro.a.ilidad independiente del tiempo aparece de

acerdo

% En na !nci,n 5+a s,lo na !recencia an'lar con la relaci,n de 2lancF>Einstein un estado

estacionario es un estado con una energ-a 3ien de6nida (ener'"a ei'enestado)% En la mecánica clásica cando la ener'"a potencial es independiente del tiempo la ener'"a total es na constante del moimiento en la mecánica cántica e3isten tam.ién determinados por los estados de ener'"a% &a ecaci,n (9>J) por lo tanto se pede escri.ir6

o .ien6

donde H es el operador di!erencial6

es n operador lineal #a $e si

#

son constantes tenemos6

D;


&a ecaci,n (9>B) es por lo tanto la ecaci,n de alores propios del operador lineal H6 la aplicaci,n de la H a las Q!nciones propias] se o.tiene la misma !nci,n mltiplicado por los correspondientes Qalores propios] E% &as ener'"as permitidas son por lo tanto los alores propios del operador H% más adelante eremos $e la ecaci,n (9>B) tiene cadrado>inte'ra.les solciones para ciertos alores de e (c!% § 9>:>c § :>c del complemento ori'en de la canti/aci,n de la ener'"a%

s,lo

)6 este es el

COMENTA?IO6 &a ecaci,n (9>L) o (9>B) a eces se llama el 4tiempo independiente de la ecaci,n de 1chrodin'er4 en contraposici,n a la 4!nci,n del tiempo la ecaci,n de 1chrodin'er4 (9>8)% 9estacamos s di!erencia esencial6 la ecaci,n (9>8) es na ecaci,n 'eneral $e o!rece la eolci,n de la !nci,n de onda cal$iera $e sea el estado de la part"cla # por el otro lado la ecaci,n de alores propios (9>B) $e nos permite encontrar entre todos los estados posi.les de la part"cla a$ellas $e son estacionarias% .)% &a sperposici,n de estados estacionarios Con el 5n de distin'ir entre los diersos alores posi.les de la ener'"a E (# las !nciones propias correspondientes ) se les eti$eta con n "ndice n% As" tenemos6

# de los estados estacionarios de la part"cla tiene como !nciones de onda6

es na solci,n de la ecaci,n de 1chrodin'er (9>8)% 2esto $e esta ecaci,n es lineal $e tiene toda na serie de otras solciones de la !orma6

donde los coe5cientes tenemos6

son constantes comple+as ar.itrarias% En particlar

Inersamente spon'amos $e sa.emos part"cla en

 es decir el estado de la

% Veremos más adelante $e cal$ier !nci,n

siempre se

DJ


pede descomponer en términos de !nciones propias de coe5cientes



por

lo

tanto

determinado

por

 como en (9>8;)% El %

&a

solci,n

correspondiente de la ecaci,n de 1chrodin'er está dada por (9>8G)% Todo lo $e necesitamos hacer para o.tenerla es mltiplicar cada término de (9> 8;) por el !actor  9onde es el alor propio asociado con % Hacemos hincapié en el hecho de $e estos !actores de !ase di5eren de n término a otro% es s,lo en el caso de estados estacionarios $e la dependencia t implica s,lo n e3ponencial !,rmla (9>8D)% +. 1nidimensionales 7cuadrado7 ,otenciales. estudio cualitativo

9i+imos al comien/o del § 9 $e el 5n de mostrar los e!ectos cánticos $e se a a considerar el potencial $e aria.an considera.lemente en distancias pe$eñas% Nos limitaremos a$" a n estdio calitatio con el 5n de concentrarse en las ideas !"sicas simples% Un estdio más detallado se presenta en los complementos de este cap"tlo (del complemento )% 2ara simpli5car el pro.lema amos a considerar n modelo nidimensional en el $e la ener'"a potencial depende s,lo de 3 (la +sti5caci,n de este modelo se da en el complemento

)%

a) 1i'ni5cado !"sico de n potencial cadrado Consideraremos n pro.lema nidimensional con n potencial del tipo mostrado en la 5'ra >a% El e+e O3 está diidido en n cierto n-mero de re'iones de potencial constante% En la !rontera de dos re'iones ad#acentes del potencial hace n salto .rsco (discontinidad)% En realidad dicha !nci,n no se pede representar n potencial !"sico $e de.e ser contina% 1e de.erá tili/ar para representar es$emáticamente na ener'"a potencial

$e en realidad tiene

la !orma mostrada en la 5'ra >.6 no ha# discontinidades pero ar"a m# rápidamente en la ecindad de ciertos alores de 3% Cando los interalos so.re los cales se prodcen estas ariaciones son mcho menores $e todas las otras distancias implicadas en el pro.lema (en particlar la lon'itd de onda asociada con la part"cla) se pede sstitir el erdadero potencial por el potencial cadrado de la 5'ra >no% Esta es na apro3imaci,n $e de+ar"a de ser álida por e+emplo para na part"cla $e tiene na m# alta ener'"a c#a lon'itd de onda ser"a m# corto% &as predicciones de la mecánica clásica so.re el comportamiento de na part"cla en n potencial tal como la de la 5'ra  son !áciles de determinar% 2or e+emplo ima'ine $e es la ener'"a potencial 'raitatoria% i'ra >. entonces representa el per5l real del terreno en el $e la part"cla se mee6 los correspondientes discontinidades de discontinidades son las pendientes

D


!ertes separados por mesetas hori/ontales% Ten'a en centa $e si 5+amos la ener'"a total E de la part"cla los dominios del e+e O3 donde está prohi.ido a ella (s ener'"a cinética de.e ser positio)% potencial 4Cadrado4

El potencial real

er/a

i'ra  2otencial de Cadrado (5'% a) $e representa es$emáticamente n erdadero potencial (5'% .) para los $e la !er/a tiene la !orma mostrada en la 5'ra c%

COMENTA?IO6 &a !er/a e+ercida so.re la part"cla es % En la 5'ra >c hemos representado esta !er/a $e se o.tiene a partir del potencial de la 5'ra >.% 1e pede o.serar $e esta part"cla en todas las re'iones donde el potencial es constante no está s+eto a nin'na !er/a% 1 elocidad es constante a continaci,n% Es s,lo en las /onas lim"tro!es entre estas mesetas $e na !er/a act-a so.re la part"cla # se'-n el caso se acelera o se desacelera hacia a.a+o% .)% analo'"a ,ptico Vamos a considerar los estados estacionarios ( § 9>8) de na part"cla en na ni>dimensional 4cadrado4 potencial% En na re'i,n donde el potencial V tiene n alor constante la ecaci,n de alores propios (9>B) está escrito6

o .ien6 DL


Ahora en la ,ptica e3iste na ecaci,n completamente análo'a% Considere la posi.ilidad de n medio transparente c#o "ndice n no depende de r ni en el tiempo% En este medio pede ha.er ondas electroma'néticas c#o campo eléctrico

es independiente de  # ^ # tiene la !orma6

donde e es n ector nitario perpendiclar a O% E (3) de.e satis!acer6

Vemos $e las ecaciones (9>8) # (9>8B) lle'an a ser idénticos si ponemos6

Además en n pnto 3 donde la ener'"a potencial V # en consecencia el "ndice n dada por (9>:0) es discontina las condiciones de contorno para

#

son los mismos6 estos dos !nciones as" como ss deriados en primer l'ar de.e permanecer constante (éase el complemento  § 8>.)% &a analo'"a estrctral entre las dos ecaciones (9>8) # (9>8B) as" nos permite asociar con n pro.lema de mecánica cántica $e corresponde al potencial de la 5'ra %a n pro.lema ,ptico6 la propa'aci,n de na onda electroma'nética de !recencia an'lar en n medio c#o "ndice tiene discontinidades del mismo tipo% 9e acerdo con (9>:0) la relaci,n entre los parámetros ,pticos # mecánicos es6

2ara la onda de l/ na re'i,n donde

corresponde a n medio

transparente c#o "ndice es real% &a onda es entonces de la !orma

%

¿<é scede cando % ,rmla (9>:0) da n "ndice ima'inario pro% En (9>8B) es ne'atio # la solci,n es de la !orma 6 es el análo'o de na 4onda eanescente4% Ciertos aspectos de la sitaci,n recerdan la propa'aci,n de na onda electroma'nética en n medio  metálico% 9e este modo podemos incorporar los resltados conocidos de la ,ptica ondlatoria a los pro.lemas $e estamos estdiando a$"% Es importante sin em.ar'o darse centa de $e esto es s,lo na analo'"a% &a interpretaci,n $e le damos a la !nci,n de onda es DB


!ndamentalmente di!erente de la $e la ,ptica clásica de ondas atri.#e a la onda electroma'nética%  Esta analogía no debe ser demasiado lejos, ya que el índice n de un medio metálico tiene tanto una parte real y un complejo (en un metal, una onda óptica sigue a oscilar como se amortigua a cabo).

c)% E+emplos

α otencial escalon y de barrera Consideremos na part"cla de ener'"a

$e procedente de la re'i,n ne'atia

de 3 lle'a a la potencial 4escalon4 de altra

$e se mestra en la 5'ra L%

1i  (el caso en $e la part"cla clásica despe+a el potencial escalon # contin-a hacia la derecha con na elocidad más pe$e ña) la analo'"a ,ptica es la si'iente6 na onda de l/ se propa'a de i/$ierda a derecha en n medio de "ndice 6

%igura 8

2otencial escalon%

en

ha# na discontinidad # el "ndice para

es6

1a.emos $e la onda incidente procedente de la i/$ierda se diide en na onda re*e+ada # na onda transmitida% Vamos a incorporar este resltado a la mecánica cántica6 la part"cla tiene na cierta pro.a.ilidad de

$e se

G0


re*e+a # s,lo la pro.a.ilidad de se'ir s crso hacia la derecha% Este resltado es contrario a lo $e predice la mecánica clásica% Cando  el "ndice  $e corresponde a la re'i,n  se conierte en ima'inario pro # la onda de l/ incidente es re*e+ada totalmente% &a predicci,n cántica por lo tanto en este pnto coincide con la de la mecánica clásica% No o.stante la e3istencia para de na onda eanescente mestra $e la part"cla cántica tiene na pro.a.ilidad no nla de ser encontrado en esta re'i,n% El papel de esta onda eanescente es más nota.le en el caso de na .arrera de potencial (5'% B)% 2ara  na part"cla clásica siempre olera atrás% 2ero en el pro.lema ,ptico correspondiente $e tendr"a na capa de espesor 5nito con n "ndice ima'inario rodeado por n medio transparente% 1i este espesor no es mcho ma#or $e el ran'o

de la onda eanescente parte de la onda

incidente se transmite en la re'i,n % 2or lo tanto inclso para  nos encontramos con na pro.a.ilidad no nla de la part"cla de cr/ar la .arrera% Esto se llama el 4e!ecto t-nel4%

&a 5'ra B arrera de potencial%

β ozo de potencial &a !nci,n tiene ahora la !orma mostrada en la 5'ra 80% &as predicciones de la mecánica clásica son los si'ientes6cando la part"cla tiene na ener'"a ne'atio (pero ma#or $e la ener'"a cinética

) solamente pede oscilar entre

#

 con

 cando la part"cla tiene na% ener'"a

positia # lle'a desde la i/$ierda se somete a na aceleraci,n .rsca al le'o na desaceleraci,n e$ialente a

#

 # le'o contin-a hacia la derecha%

G8


En el análo'o ,ptico del caso corresponden a las re'iones

 los "ndices #

#

 $e

 son ima'inarios mientras $e el

"ndice de  $e caracteri/a el interalo  es real% As" pes tenemos el e$ialente de na capa de aire por e+emplo entre dos medios re*ectantes% &as ondas di!erentes re*e+a scesiamente en # se destr#en entre s" a traés de la inter!erencia a e3cepci,n de ciertas !recencias .ien determinadas (4modo normal4) $e permiten esta.les ondas estacionarias $e se esta.le/can%

9esde el pnto de ista cántico esto implica $e las ener'"as ne'atias se canti5can  mientras $e clásicamente todos los alores comprendidos entre # 0 son posi.les% 2ara

 los "ndices de

9esde n: es ma#or $e



#

son reales6

#

 la sitaci,n es análo'a a la de na capa de

idrio en el aire% Con el 5n de o.tener la onda re*e+ada para transmitida en la re'i,n

 o la onda

 es necesario sperponer n n-mero in5nito de

ondas $e sr'en de las re*e3iones scesias a # (inter!er,metro de ondas m-ltiples análo'a a na de a.r#>2erot)% Encontramos entonces $e para las !recencias de ciertos incidentes la onda es $e se transmite% 9esde el pnto de ista cántico la part"cla por tanto tiene en 'eneral na cierta pro.a.ilidad de ser re*e+ada% 1in em.ar'o e3isten alores de ener'"a llamado ener'"as de resonancia para lo cal la pro.a.ilidad de transmisi,n es 8 # en consecencia la pro.a.ilidad de re*e3i,n es 0% Estos pocos e+emplos mestran la cantidad de las predicciones de la mecánica cántica peden di!erir de los de la mecánica clásica% Asimismo destacar claramente el papel primordial de las discontinidades potenciales ($e representan de !orma es$emática las ariaciones rápidas)% G:


! "os valores de energía permitidos no se les da por la condición bien conocida# , ya que es necesario tener en cuenta la e$istencia de las ondas evanescentes, que introducen un cambio de %ase en la re&e$ión en y,

(vease complemento

, § 'c).

CONC&U1IÓN En este cap"tlo hemos presentado # disctido de na manera calitatia e intitia al'nas ideas !ndamentales de la mecánica cántica% Más tarde oleremos so.re estas ideas (cap% III) con el 5n de presentarlos en na !orma más precisa # sistemática% 1in em.ar'o #a está claro $e la descripci,n cántica de los sistemas !"sicos di5ere radicalmente de la $e 5'ra por la mecánica clásica (an$e este -ltimo constit#e en mchos casos na e3celente apro3imaci,n)% Nos hemos limitado en este cap"tlo para el caso de los sistemas !"sicos compestos por na sola part"cla% &a descripci,n de estos sistemas en n momento dado es en la mecánica clásica .asados en la especi5caci,n de seis parámetros $e son los componentes de la posici,n r 9t: # la elocidad v 9t: de la part"cla% Todas las aria.les dinámicas (ener'"a momento lineal momento an'lar) se determinan por la especi5caci,n de r 9t: # ; 9t:. &as le#es de Neton nos permiten calclar r (t) a traés de la solci,n de ecaciones di!erenciales de se'ndo orden con respecto al tiempo% En consecencia 5+ar los alores de r 9t: # v 9f: para todo tiempo t cando se les conoce por el momento inicial% &a mecánica cántica tili/a na descripci,n más complicado de los !en,menos% El estado dinámico de na part"cla en n momento dado se caracteri/a por na !nci,n de onda% a no depende de s,lo seis parámetros pero en n n-mero in5nito los alores de en todos los pntos del espacio r% Además las predicciones de los resltados de la medici,n son ahora s,lo pro.a.il"stica (con ellos se o.tienen s,lo la pro.a.ilidad de o.tener n resltado dado en la medici,n de na aria.le dinámica)% &a !nci,n de onda es na solci,n de la ecaci,n de 1chrodin'er $e nos permite calclar de % Esta ecaci,n implica n principio de sperposici,n $e condce a e!ectos de onda% Este trastorno en nestra concepci,n de la mecánica se impso por la e3periencia% &a estrctra # el comportamiento de la materia a niel at,mico son incomprensi.les en el marco de la mecánica clásica% &a teor"a as" ha perdido parte de s simplicidad pero ha 'anado na 'ran cantidad de la nidad #a $e la materia # la radiaci,n se descri.e en términos de la misma estrctra 'eneral (dalidad onda>part"cla)% Hacemos hincapié en el hecho de $e este es$ema 'eneral an$e a en contra de nestras ideas # há.itos e3tra"das del estdio del dominio macrosc,pico es per!ectamente coherente% Nadie ha tenido é3ito en ima'inar n e3perimento $e podr"a iolar el principio de incertidm.re (c!% complemento 9 de este cap"tlo)% En 'eneral nin'na o.seraci,n hasta la GD


!echa contradice los principios !ndamentales de la mecánica cántica% 1in em.ar'o en la actalidad no e3iste na teor"a 'lo.al de los !en,menos relatiistas # cánticos # nada por spesto impide la posi.ilidad de n trastorno neo% eferencias y sugerencias 3i3liogr<6cas=

9escripci,n de los !en,menos !"sicos $e demestran la necesidad de introdcir los conceptos cánticos mecánicos6 conslte la s.secci,n 4El tra.a+o de introdcci,n > la !"sica cántica4 de la secci,n 8 de la .i.lio'ra!"a en particlar _ichmann (8%8) # e#nman III(8%:) caps% 8 # :% Historia del desarrollo de los conceptos de la mecánica cántica6 las re!erencias de la secci,n G de la .i.lio'ra!"a en particlar =ammer (G%%L) er tam.ién re!erencias (;%88) # (;%8:) $e contienen nmerosas re!erencias a los art"clos ori'inales% E3perimentos !ndamentales6 las re!erencias a los art"clos ori'inales se peden encontrar en la secci,n D de la .i.lio'ra!"a% El pro.lema de la interpretaci,n de la mecánica cántica6 la secci,n ; de la .i.lio'ra!"a en particlar la 4Carta de recrsos4 ;%88) $e contiene mchas re!erencias clasi5cadas% Analo'"as # di!erencias entre las ondas de materia # las ondas electroma'néticas6 Khm (;%8) cap% G en particlar la ta.la de 4?esmen de pro.a.ilidades4 al 5nal del cap"tlo% Ver tam.ién los art"clos de 1chrodin'er (8%:;) 7amo (8%:J) orn # iem (8%:L) 1cll# # 1ar'ent (8%D0)%

= Orden de magnitud de las longitudes de onda asociada con ,art-culas materiales.

6re*e3iones m# simples pero !ndamentales en el orden de ma'nitd de parámetros cántico

= Las restricciones im,uestas ,or las relaciones de incertidum3re. = Las relaciones de

GG


incertidum3re y ,ar
6 &a discsi,n de n sencillo e3perimento mental $e trata de inalidar la complementariedad entre los aspectos de part"cla # onda de la l/ (es !ácil pero podr"a ser reserado para s posterior estdio)%

= 1n tratamiento sim,le de un ,aquete de ondas 3idimensional

6 complementa en los pa$etes de onda ( § C del cap"tlo I)

= La relaci/n entre ,ro3lemas mono y tridimensionales = ,aquete de ondas gaussiano unidimensional= difusi/n del ,aquete de ondas

6 reela en na manera simple calitatia la relaci,n $e e3iste entre la e3tensi,n lateral de n pa$ete de ondas de dos dimensiones # la dispersi,n an'lar de ectores de onda (!ácil)% 6 &a 'enerali/aci,n a tres dimensiones de los resltados de § C del cap"tlo I mestra c,mo el estdio de na part"cla en el espacio tridimensional pede en ciertos casos se redce a pro.lemas nidimensionales (n poco más di!"cil)% 6 trata en detalle n caso especial de los pa$etes de onda para la cal se pede calclar e3actamente las propiedades # la eolci,n (con al'nas di5cltades en el cálclo pero conceptalmente simples)%

6 retoma de na manera más 6Estados estacionarios de una ,art-cula en ,otenciales cuadrados cantitatia las ideas de § 9>: del cap"tlo I% 1e recomienda unidimensionales encarecidamente #a $e los potenciales cadrados se tili/an a mendo para ilstrar simplemente las implicaciones de la mecánica cántica (nmerosos complementos # e+ercicios propestos más adelante en este li.ro se .asan en los resltados de )%

G;


=Com,ortamiento de un ,aquete de onda en un ,otencial escalon

6E>ercicios

6 n estdio más preciso para n caso especial del comportamiento cántico de na part"cla en n potencial cadrado% 2esto $e la part"cla es lo s5cientemente .ien locali/ados en el espacio (pa$ete de ondas) se pede se'ir s 4moimiento4 (promedio de di5cltad importante para la interpretaci,n !"sica de los resltados)%

Com,lemento ODEN DE !A"N#T1D DE LAS LON"#T1DES DE ONDA ASOC#ADOS CON LAS PATÍC1LAS !ATE#ALES

?elaci,n de 9e ro'lie6

Mestra $e para na part"cla de masa # elocidad  # son más pe$eños canto ma#or sea la lon'itd de onda correspondiente% 2ara demostrar $e las propiedades ondlatorias de la materia son imposi.les de detectar en el dominio macrosc,pico tomar como e+emplo na part"cla de polo de diámetro # la masa de % Inclso para na masa tan pe$eña # na elocidad de la !,rmla (8) da6

Esta lon'itd de onda es completamente insi'ni5cante en la escala de la part"cla de polo% Consideremos por otro lado na de netrones térmicos es decir n netr,n con na elocidad  correspondiente a la ener'"a térmica media a (a.solta) temperatra % Está dada por la relaci,n6

9onde F es la constante de olt/man ( corresponde a dicha elocidad es6

)% &a lon'itd de onda $e

GJ


2ara

 nos encontramos con6

es decir na lon'itd de onda $e es del orden de la distancia entre los átomos en na red cristalina% Un ha/ de netrones térmicos $e caen so.re n cristal por lo tanto da l'ar a !en,menos de di!racci,n análo'os a los o.serados con ra#os>% E3aminemos ahora el orden de ma'nitd de las lon'itdes de onda de de ro'lie asociadas a los electrones % 1i na acelera n ha/ de electrones a traés de na di!erencia de potencial (e3presada en oltios) na da los electrones na ener'"a cinética6

( Colom. es la car'a del electr,n%) 2esto $e de onda asociada es i'al a6

 la lon'itd

Es decir nméricamente6

Con di!erencias de potencial de arios cientos de oltios na e/ más se o.tiene lon'itdes de onda compara.les a los de los ra#os  # los !en,menos de di!racci,n de electrones se pede o.serar con cristales o polos cristalinos% &os 'randes aceleradores $e están actalmente disponi.les son capaces de impartir na ener'"a considera.le a las part"clas% Esto nos llea !era del dominio no relatiista a la $e hemos hasta ahora nos limitamos% 2or e+emplo haces de electrones se o.tienen !ácilmente por los $e la ener'"a sea sperior a ( ) mientras $e la masa en reposo de electrones es i'al a % Esto si'ni5ca $e la elocidad correspondiente está m# cerca de la elocidad de la l/ c% En consecencia la mecánica cántica no relatiista $e estamos estdiando a$" no se aplica% 1in em.ar'o las relaciones6

G


1i'en siendo álidos en el dominio relatiista% 2or otro lado la relaci,n 7) de.e ser modi5cado #a $e relati"sticamente la ener'"a de na part"cla de masa en reposo #a no es  pero en s l'ar6

En el e+emplo considerado anteriormente (n electr,n de ener'"a de es insi'ni5cante en comparaci,n con  # o.tenemos6

)

( )% Con electrones acelerados de esta manera se pede e3plorar la estrctra de los n-cleos at,micos # en particlar la estrctra de los protones\ dimensiones ncleares son del orden de n ermi% COMENTA?IO16 (i) <eremos se ñalar n error com-n en el cálclo de la lon'itd de onda de na part"cla material de masa  c#a ener'"a se conoce% Este error consiste en calclar la !recencia  tili/ando (B>a) # a continaci,n por analo'"a con las ondas electroma'néticas de tomar c R  la lon'itd de onda de 9e ro'lie% O.iamente el ra/onamiento correcto consiste en calclar por e+emplo a partir de (80) (o en el dominio no relatiista de la relaci,n ) El implso asociado con la ener'"a # a continaci,n tili/ando (B>.) para encontrar % (ii) 9e acerdo con (B>a) la !recencia  depende del ori'en ele'ido para las ener'"as% &o mismo es cierto para la elocidad de !ase

% Nota por otro

lado $e la elocidad de 'rpo no depende de la elecci,n del ori'en de ener'"a% Esto es importante en la interpretaci,n !"sica de %  Nota del tradctor6 En los Estados Unidos esta nidad se escri.e a eces 7eV% ?e!erencias # s'erencias .i.lio'rá5cas6 _ichmann (88) cap% ;\ Eis.er' # ?esnicF (8D) § D%8%

Com,lemento EST#CC#ONES #!P1ESTAS PO LAS ELAC#ONES DE #NCET#D1!0E

8% sistema macrosc,pico :% sistema microsc,pico

GL


Vimos en el § C>D del cap"tlo I $e la posici,n # el momento de na part"cla no pede ser al mismo tiempo se de5ne con precisi,n ar.itraria6 las incertidm.res correspondientes # de.e satis!acer la relaci,n de incertidm.re6

A$" tenemos la intenci,n de ealar nméricamente la importancia de esta restricci,n% Vamos a demostrar $e es completamente insi'ni5cante en el dominio macrosc,pico # $e se conierte por otro lado $e es crcial en el niel microsc,pico% 8% sistema macrosc,pico Tomemos de neo el e+emplo de na part"cla de polo (éase complemento A) c#o diámetro es del orden de # c#a masa  con na elocidad % 1 implso es entonces i'al a6

1i s posici,n se mide con na precisi,n de en el implso de.e satis!acer6

 por e+emplo la incertidm.re

As" la relaci,n de incertidm.re introdce prácticamente nin'na restricci,n en este caso #a $e en la práctica n dispositio de medici,n de implso es incapa/ de conse'ir la precisi,n re$erida relatia de % En términos cánticos la part"cla de polo es descrito por n pa$ete de ondas c#a elocidad de 'rpo es # na media de implso es % 2ero no pede ele'ir por e+emplo na e3tensi,n pe$e ña espacial # dispersi,n de implso $e am.os son totalmente insi'ni5cantes% &a má3ima del pa$ete de ondas a continaci,n representa la posici,n de la part"cla de polo # s moimiento es idéntico a la de la part"cla clásica% :% sistema microsc,pico Ahora amos a considerar n electr,n at,mico% El modelo de ohr lo descri.e como na part"cla clásica% &as ,r.itas permitidas están de5nidas por re'las de canti/aci,n $e se spone a priori6 por e+emplo el radio de na ,r.ita circlar # el implso del electr,n ia+ando en $e de.e satis!acer6

9onde n es n n-mero entero% 2ara $e nosotros seamos capaces de ha.lar de esta manera de na tra#ectoria de los electrones en términos clásicos la incertidm.re en s posici,n # el momento de.e ser insi'ni5cante en comparaci,n con

#  respectiamente6

GB


&o $e si'ni5car"a $e6

Ahora la relaci,n de incertidm.re impone6

1i se sa la !,rmla (G) para reempla/ar desi'aldad se pede escri.ir como6

por

en el lado derecho esta

Vemos entonces $e (L) es incompati.le con (J) a menos $e % &a relaci,n de incertidm.re de lo $e nos hace recha/ar la ima'en semi>clásico de las ,r.itas de ohr (éase § C>: del cap"tlo VII)% ?e!erencias # s'erencias .i.lio'rá5cas6 ohm (;8) cap% ; § 8G%

Com,lemento LAS ELAC#ONES DE #NCET#D1!0E $ PA Á!ETOS ATÓ!#COS

&a ,r.ita de ohr no tiene realidad !"sica cando se com.ina con las relaciones de incertidm.re (c!% complemento )% Más adelante (cap% VII) amos a estdiar la teor"a cántica del átomo de hidr,'eno% Vamos a mostrar inmediatamente sin em.ar'o c,mo las relaciones de incertidm.re ha.ilitar na para entender la esta.ilidad de los átomos e inclso para deriar simplemente el orden de ma'nitd de las dimensiones # la ener'"a del átomo de hidr,'eno en s estado !ndamental% Vamos a considerar por tanto n electr,n en el campo clom.iano de n prot,n $e asmirá como estacionario en el ori'en del sistema de coordenadas% Cando las dos part"clas están separadas por na distancia  la ener'"a potencial del electr,n es6

9onde es s car'a (e3actamente opesta a la del prot,n)% Vamos a esta.lecer6

;0


1pon'amos $e el estado del electr,n es descrito por na !nci,n de onda de simetr"a es!érica c#a ma'nitd espacial se caracteri/a por (esto si'ni5ca $e la pro.a.ilidad de presencia es prácticamente nla más allá de o )% &a ener'"a potencial correspondiente a este estado es entonces en el orden de6

2ara $e sea tan .a+o como sea posi.le es necesario tener tan pe$e ño como sea posi.le% Es decir la !nci,n de onda de.e ser tan concentrada como sea posi.le so.re el prot,n% 2ero tam.ién es necesario tener la ener'"a cinética en centa% A$" es donde el principio de incertidm.re entra en +e'o6 si el electr,n está con5nado dentro de n olmen de dimensi,n lineal  la incertidm.re en s implso es por lo menos del orden de % En otras pala.ras inclso si el implso media es cero la ener'"a cinética asociada con el estado .a+o consideraci,n no es cero6

1i tomamos menor con el 5n de disminir la ener'"a potencial la ener'"a cinética m"nima (G) amenta% &a menor ener'"a total compati.le con la relaci,n de incertidm.re es as" el m"nimo de la !nci,n6

Este m"nimo se o.tiene por6

# es i'al a6

;8


I7U?A 8 Variaci,n con respecto a (e3tensi,n de la !nci,n de onda) de la ener'"a potencial  la ener'"a cinética  # la ener'"a total de n átomo de hidr,'eno% &as !nciones de # ar"an inersamente por lo $e la ener'"a total pasa a traés de n alor m"nimo para n cierto alor de # % El alor correspondiente de da la orden de ma'nitd del tama ño del átomo de hidr,'eno%

&a e3presi,n (J) es la $e se encentra en el modelo de ohr para el radio de la primera ,r.ita # () da correctamente la ener'"a del estado !ndamental del átomo de hidr,'eno (éase el cap"tlo VII\% &a !nci,n de onda del estado !ndamental es de hecho )% Tal acerdo cantitatio s,lo pede ser accidental #a $e hemos sido el ra/onamiento so.re la .ase de ,rdenes de ma'nitd% 1in em.ar'o el cálclo anterior reela na idea importante !"sico6 de.ido a la relaci,n de incertidm.re menor será la e3tensi,n de la !nci,n de onda ma#or es la ener'"a cinética del electr,n% El estado !ndamental del átomo reslta de n compromiso entre la ener'"a cinética # la ener'"a potencial% Hacemos hincapié en el hecho de $e este compromiso .asado en la relaci,n de incertidm.re es totalmente di!erente de lo $e ca.r"a esperar en la mecánica clásica% 1i el electr,n se traslad, en na ,r.ita circlar de radio clásica  s ener'"a potencial será i'al a6

&a ener'"a cinética correspondiente se o.tiene i'alando la !er/a electrostática # la !er/a centr"!'a 6

9e hecho las le#es del electroma'netismo clásico indican $e se irradia electrones acelerados $e #a proh".e la e3istencia de ,r.itas esta.les <e da6

;:


 &a ener'"a total ser"a entonces i'al a6

&a sitaci,n ener'ética más !aora.le $e se prodcen en  lo $e dar"a na ener'"a de enlace in5nito% 2or lo tanto podemos decir $e es la relaci,n de incertidm.re $e nos permite entender por as" decirlo la e3istencia de los átomos% ?e!erencias # s'erencias .i.lio'rá5cas6 e#nman III (8:) § G%:% El mismo tipo de ra/onamiento aplicado a las moléclas6 1chi` (88L) primera secci,n del § GB% )))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) ))))))))))))))))))))))))))))))))))) Com,lemento

?

1N E@PE#!ENTO PAA #L1STA LA ELAC# ÓN DE LA #NCET#D1!0E

E3perimento de do.le rendi+a de on' $e hemos anali/ado en § A>: del cap"tlo I nos ha lleado a las si'ientes conclsiones6 los dos aspectos de ondas # part"clas de l/ son necesarios para e3plicar los !en,menos o.serados pero $e parecen ser mtamente e3cl#entes en el sentido de $e es imposi.le determinar a traés del cal rendi+a cada !ot,n ha pasado sin destrir por esta operaci,n m# el patr,n de inter!erencia% &os aspectos de onda # part"cla a eces se dice $e son complementarios% Vamos a considerar la do.le rendi+a de on' e3perimento de neo para demostrar c,mo las relaciones de complementariedad # la incertidm.re están "ntimamente relacionadas% 2ara tratar de poner en dda la relaci,n de incertidm.re no se pede ima'inar dispositios más stiles $e el del cap"tlo I $e tili/a !otomltiplicadores colocados detrás de las rendi+as% Ahora amos a anali/ar no de estos dispositios%

;D


I7U?A 8 9ia'rama de n dispositio mediante na placa m,il c#o implso se mide antes # despés del paso del !ot,n para determinar si el !ot,n pasa a traés de  o mediante antes de lle'ar al pnto en la pantalla%

1pon'amos $e la placa de  en la cal las hendidras están per!oradas está montado de modo $e pede moerse erticalmente en el mismo plano% As" es posi.le medir el implso ertical trans!erido a la misma% Considere la posi.ilidad de (5'% 8) n !ot,n $e 'olpea a la pantalla de o.seraci,n en el pnto (para simpli5car ele'imos na !ente en el in5nito)% El implso de estos cam.ios de !otones cando se cr/a 3% &a conseraci,n del momento implica $e la placa 3 a.sor.e la di!erencia% 2ero el implso as" trans!erida a 3 depende de la tra#ectoria del !ot,n\ dependiendo de si se pasa a traés de 8 o : el !ot,n tiene n implso de6

O .ien6

( Es el implso del !ot,n la direcci,n incidente%)

#

son los án'los !ormados por

#

con

A continaci,n permitir $e los !otones de lle'ar no por no # 'radalmente constrir el patr,n de inter!erencia en la pantalla de E% 2ara cada na se determina a traés del cal rendi+a $e ha pasado por la medici,n del implso ad$irido por la placa de 3% 2or tanto parece $e los !en,menos de inter!erencia toda"a se peden o.serar en E an$e sa.emos por $é rendi+a cada !ot,n ha pasado% En realidad eremos $e las !ran+as de inter!erencia no son isi.les con este dispositio% El error en el ar'mento anterior consiste en asmir $e s,lo los !otones tienen n carácter cántico% En realidad no ha# $e olidar $e la mecánica cántica tam.ién se aplica a la placa de 3 (o.+eto macrosc,pico)% 1i $eremos sa.er a traés del cal a'+ero de n !ot,n ha pasado la

;G


incertidm.re

(A2) en el implso ertical

(0) de.e ser lo s5cientemente

pe$eño para $e seamos capaces de medir la di!erencia entre

pl #

2ero entonces la relaci,n de incertidm.re implica $e la posici,n de sa.e $e dentro de  con6

p:6

s,lo se

1i se desi'na por na separaci,n de las dos rendi+as # por 9 la distancia entre la placa 0 # la pantalla 1 # si sponemos $e Jl # J: son pe$e ñas (? R * 8) encontramos (5'% 8)6

( denota la posici,n del pnto de impacto continaci,n6

so.re

,rmlas (8) # (:) dan a

donde es la lon'itd de onda de la l/% 1stit#endo este alor en la !,rmla (G) se o.tiene6

2ero

> es precisamente la separaci,n de las !ran+as $e esperamos encontrar

en 3% 1i la posici,n ertical de na de las rendi+as 8 # : se de5ne solamente a dentro de na incertidm.re ma#or $e la separaci,n de las !ran+as es imposi.le para o.serar el patr,n de inter!erencia% El análisis anterior mestra claramente $e es imposi.le constrir na teor"a cántica $e es álido para la l/ # no para los sistemas materiales sin entrar en contradicciones serias% 2or lo tanto en el e+emplo anterior si pdiéramos tratar la placa de como n sistema material clásico $e podr"a inalidar la complementariedad de los dos aspectos de la l/ # en consecencia la teor"a cántica de la radiaci,n% A la inersa na teor"a cántica de la materia por s" solo se en!rentan a di5cltades análo'as% Con el 5n de o.tener na coherencia 'eneral ha# $e aplicar las ideas cánticas a todos los sistemas !"sicos%

;;


Com,lemento 1N TATA!#ENTO S#!PLE DE 1N PA21ETE DE ONDAS 0#D#!ENS#ONAL

8% introdcci,n :% 9ispersi,n an'lar # dimensiones laterales D% 9iscsi,n% 8% introdcci,n En § C>: del cap"tlo I se estdi, la !orma de pa$etes de ondas nidimensionales o.tenidos mediante la sperposici,n de ondas planas $e todo se propa'an en la misma direcci,n !,rmla (C>)% 1i esta direcci,n es la del e+e  la !nci,n resltante es independiente de # # /% <e tiene na e3tensi,n 5nita a lo lar'o de  pero no se limita en las direcciones perpendiclares6 s alor es el mismo en todos los pntos de n plano paralelo a % Tenemos la intenci,n de e3aminar a$" otro tipo simple de pa$etes de ondas6 las ondas planas $e se an a com.inar tienen ectores coplanarios de onda $e son (casi) i'ales en ma'nitd pero tienen direcciones di!erentes% El o.+etio es mostrar c,mo la dispersi,n an'lar condce a na limitaci,n del pa$ete de ondas en las direcciones perpendiclares al ector de onda media% Vimos en el § C>: del cap"tlo I como mediante el estdio de la sperposici,n de tres ondas espec"5cas del pa$ete de na sola dimensi,n no pede entender los aspectos más importantes de los !en,menos% En particlar no pede encontrar la relaci,n !ndamental (C>8L) de este cap"tlo% Nos amos a limitar a$" a n modelo simpli5cado de este tipo% &a 'enerali/aci,n de los resltados $e se an a encontrar pede llearse a ca.o de la misma manera como en el cap"tlo I (éase tam.ién complemento

)%

:% 9ispersi,n an'lar # dimensiones laterales Consideremos tres ondas planas c#os ectores de onda  # se mestra en la 5'ra 8% &os tres están en el plano \ está diri'ido a lo lar'o \ # son simétricas con respecto a

 el án'lo entre cada no de ellos #

iene a

ser  $e se spone $e sea pe$e ña% 2or -ltimo las pro#ecciones de en son i'ales6

#

;J


&as ma'nitdes de estos tres ectores se di!erencian s,lo por los términos $e son de se'ndo orden en del e+e son6

$e amos a descidar% 1s componentes a lo lar'o

Vamos a ele'ir como en el § C>: del cap"tlo I reales amplitdes de satis!acen las relaciones6

 $e

I7U?A 8 &a disposici,n de los ectores de onda #

asociadas con tres ondas planas $e se sperponen para constrir n pa$ete de ondas de dos dimensiones% Este modelo representa es$emáticamente na sitaci,n más comple+a en la $e se tendr"a n pa$ete de ondas real como en la ecaci,n (C>J) del cap"tlo I con las si'ientes caracter"sticas6 todos los ectores de onda son perpendiclares a # tienen la misma pro#ecci,n en (s,lo el componente a lo lar'o

ar"a)\ la !nci,n

tiene con respecto a esta aria.le -nica (

la !orma mostrada en la 5'ra :\ s anchra la dispersi,n an'lar

)

se relaciona m# simplemente a

6

&a sperposici,n de las tres ondas de5nidas anteriormente da6

(No ha# />dependencia ra/,n por la cal esto se llama n pa$ete de ondas en dos dimensiones)%

;


I7U?A : &os tres alores ele'idos para representan m# es$emáticamente na !nci,n en pico (l"nea discontina)% A 5n de comprender lo $e scede podemos tili/ar la 5'ra D donde se representa para cada no de los tres componentes los !rentes de onda scesias correspondientes a las di!erencias de !ase de % &a !nci,n tiene n má3imo en 6 las tres ondas inter5eren constrctiamente en el e+e % Cando nos ale+amos de este e+e

dismin#e (el des!ase entre los

incrementos de los componentes) # se a a cero en dada por6

 donde

iene

Es decir para6

&as !ases de las ondas de la

#

están entonces en oposici,n con la de la

onda (5'% D)% Utili/ando (G) se pede reescri.ir () en na !orma $e es análo'a a la de la relaci,n (C>888) del cap"tlo I6

;L


I7U?A D &a i'aldad de planos de de !ase de las tres ondas asociadas a los tres ectores de la 5'ra 86 estas ondas están en !ase en  pero inter5eren de !orma destrctia en % 2or lo tanto na dispersi,n an'lar de los ectores de onda limita las dimensiones laterales de los pa$etes de onda% Cantitatiamente esta limitaci,n tiene la !orma de na relaci,n de incertidm.re !,rmlas () # (L)% D% discsi,n Considere la posi.ilidad de na onda plana con ector de onda $e se propa'a a lo lar'o de % Cal$ier intento de limitar s e3tensi,n perpendiclar a prooca na dispersi,n an'lar a aparecer es decir la trans!orma en n pa$ete de ondas análo'as a las $e están estdiando a$"% 1pon'amos por e+emplo $e se colo$e en el camino de la onda plana na pantalla per!orada por na rendi+a de anchra% Esto dará l'ar a na onda di!ractada (éase la 5'% G)% 1a.emos $e la anchra an'lar del patr,n de di!racci,n está dada por6

9onde es la lon'itd de onda incidente% Esto es en e!ecto la misma sitaci,n $e anteriormente6 !,rmlas () # (B) son idénticos%

;B


I7U?A G Cando la incertidm.re se dismin#e la di!racci,n de la onda por el dia!ra'ma amenta la incertidm.re %

Com,lemento LA ELAC#ÓN ENTE PO0LE!AS EN 1NA $ TES D#!ENS#ONES

8% Tres dimensiones de n pa$ete de ondas a% caso sencillo .% caso 'eneral :% =sti5caci,n de los modelos nidimensionales El espacio en el $e na part"cla clásica o cántica se mee es por spesto de tres dimensiones% Es por eso $e se escri.i, la ecaci,n de 1chrKdin'er (9>I) en el cap"tlo I de na !nci,n de onda $e depende de los tres componentes de % No o.stante hemos tili/ado en arias ocasiones en este cap"tlo na sola modelo dimensional en la $e se considera s,lo la aria.le 3 sin +sti5car este modelo de na manera m# precisa lo tanto este complemento tiene dos prop,sitos6 2rimero ( § 8) de 'enerali/ar a tres dimensiones de los resltados dados en § C del cap"tlo #o a continaci,n ( § :) para mostrar c,mo se pede en ciertos casos ri'rosamente +sti5car el modelo nidimensional% 8% Tres dimensiones n pa$ete de ondas a% CA1O 1ENCI&&O Empecemos considerando n caso m# simple por lo $e las dos hip,tesis son re$isitos6 > El pa$ete de ondas es li.re la ecaci,n (C>J) del cap"tlo I6

# por lo tanto se pede escri.ir como en

J0


> 2or otra parte la !nci,n

?ecordemos la e3presi,n de

es de la !orma6

en términos de 6

1stit#endo :) # D) en 8)% Es posi.le separar las tres inte'raciones con respecto ha

para o.tener6

Con6

 e3presiones análo'as para

#

9e hecho tiene la !orma de n pa$ete de ondas nidimensional% En este caso particlar 1e o.tiene as" simplemente tomando el prodcto G) de tres pa$etes de ondas nidimensionales cada no de los cales eolciona de na manera totalmente independiente% .% CA1O 7ENE?A& En el caso 'eneral donde el potencial V (r) es ar.itraria la !,rmla 8) no es álida% Es entonces -til para introdcir la trans!ormada de orier tridimensional de la !nci,n

por la escritra6

A priori la t>dependencia de $e re-ne en es ar.itraria% Además no ha# ra/,n por la $e en 'eneral de.e ser capa/ de e3presar en la !orma de n prodcto como en :)% Con el 5n de 'enerali/ar los resltados de § C>: del cap"tlo I hacemos la si'iente hip,tesis acerca de s F>dependencia6 es (en n momento dado t) na !nci,n $e tiene n pico m# pronnciado para

J8


alores de

cercanos a

sale n dominio nos propsimos6

# tiene n alor insi'ni5cante cando la pnta de

centrado a

# de dimensiones

de modo $e la !ase de la onda de5nida por el ector

% Como el anterior

pede escri.irse6

2odemos esta.lece n ar'mento similar a la de § C>: del cap"tlo I% En primer l'ar el pa$ete de ondas alcan/a n má3imo cando todas las ondas para lo cal la pnta de m# poco en % En 'eneral

es en

 son prácticamente en !ase $e es cándo

se pede desarrollar so.re

la orden por primera e/ en

% 1 ariaci,n entre

ar"a

# es a

6

Es decir más concisamente  tili/ando (L)6

Vemos de 80) $e la ariaci,n de para6

dentro del dominio

Hemos isto $e .a+o estas condiciones

será m"nimo

es má3ima% ?elaci,n 88) por lo

tanto de5ne la posici,n del centro del pa$ete de ondas # constit#e la 'enerali/aci,n a tres dimensiones de la ecaci,n (C>8;) del cap"tlo I%

¿En $é dominio

 centrado en

# de dimensiones

pa$ete de ondas J) pede adoptar alores no desprecia.les

 donde el Vele

mcho más pe$e ño $e cando las ondas di!erentes se destr#en entre s" por la inter!erencia es decir cando la ariaci,n de dentro del dominio es del orden de (o apro3imadamente del orden de 8 radián)% Modi5cando escri.irse6

 si 88) se tiene en centa la relaci,n de 80) pede

J:


El estado de b; (F r t) X 8 de inmediato nos da las relaciones $e e3isten entre las dimensiones de # los de 6

&as relaciones de incertidm.re de Heisen.er' a continaci,n son na consecencia directa de la relaci,n 6

Estas desi'aldades constit#en la 'enerali/aci,n a tres dimensione de (C>:D) del cap"tlo I% inalmente n,tese $e la elocidad de 'rpo

del pa$ete de ondas pede

o.tenerse mediante la di!erenciaci,n de 88) con respecto a 6

En el caso especial de n pa$ete de ondas li.re $e no sin em.ar'o necesariamente satis!acer a :) tenemos6

9onde

está dada por D)% ,rmla 8;) entonces se o.tiene6

<e es la 'enerali/aci,n de la ecaci,n (C>D8) del cap"tlo I% :% =sti5caci,n de los modelos nidimensionales Cando el potencial es independiente del tiempo imos en el § 9>l del cap"tlo I $e es posi.le separar la aria.les tiempo # espacio en la ecaci,n de 1chrodin'er% Esto condce a la ecaci,n de alores propios (9>L)% Tenemos la intenci,n de mostrar a$" c,mo es posi.le en ciertos casos para ampliar a-n más este método # para separar as" en las aria.les (9>L)% 1pon'amos $e la ener'"a potencial

se pede escri.ir6

# amos a er si e3isten solciones de la ecaci,n de alores propios de la !orma6 JD


Un ar'mento similar a la esta.lecida en el cap"tlo I ( § 9>I>a) mestra $e esto es posi.le si6

 si tenemos otras dos ecaciones similares donde 3 se sstit#e por # (o /) por

(o ) #

por

(o )% Además tam.ién es necesario $e la relaci,n6

2ara ser satis!echa% &a ecaci,n :0) es del mismo tipo como (9>L) pero en na dimensi,n% &as aria.les  están separadas % &o $e ocrre por e+emplo si la ener'"a potencial

de na part"cla s,lo

depende de 3 se pede escri.ir en la !orma 8L) donde # &as ecaciones :0) en # corresponden al caso #a estdiado en Cl § del cap"tlo I de la part"cla li.re en na dimensi,n # ss solciones son las ondas planas # % Todo lo $e $eda es resoler la ecaci,n :0) lo $e e$iale a considerar n pro.lema en na sola dimensi,n sin em.ar'o la ener'"a total de la part"cla en tres dimensiones es ahora6

&os modelos nidimensionales estdiados en el cap"tlo I as" realmente corresponden a na part"cla en tres dimensiones $e se meen en n potencial V (r) $e depende s,lo de 3% &a solciones # son entonces m# simple # corresponden a las part"clas $e son 4li.re a lo lar'o de 4 o a lo lar'o de % Es por ello $e hemos concentrado toda nestra atenci,n en el estdio de la 3 la ecaci,n% COM2&EMENTA?

6

2A
#

\ relaci,n de la incertidm.re

D% Eolci,n del pa$ete de ondas

JG


a% Cálclo de .% &a elocidad del pa$ete de ondas c% 9i!si,n del pa$ete de ondas En el complemento tenemos la intenci,n de estdiar n pa$ete de ondas en particlar (nidimensional) li.re para el $e la !nci,n es 'assiana% &a ra/,n por la $e este e+emplo es interesante radica en el hecho de $e los cálclos se peden reali/ar e3actamente # hasta el 5nal% 2or lo tanto lo primero $e se pede compro.ar en este caso especial las diersas propiedades de los pa$etes de onda $e hemos se ñalado en § C del cap"tlo I% A continaci,n se tili/an estas propiedades para estdiar la ariaci,n en el tiempo de la anchra de este pa$ete de ondas # para reelar el !en,meno de propa'aci,n a traés del tiempo% &. De6nici/n de un ,aquete de ondas gaussiano

Considere la posi.ilidad de en n modelo nidimensional na part"cla li.re  c#a !nci,n de onda en el tiempo

es6

Este pa$ete de ondas se o.tiene mediante la sperposici,n de ondas planas con los coe5cientes6

$e corresponde a na !nci,n 'assiana centrada en (# mltiplicado por n coe5ciente nmérico $e normali/a la !nci,n de onda)% Esta es la ra/,n por el pa$ete de ondas A) se llama 'assiana% En los cálclos $e si'en $e repetidamente ha de enir so.re las inte'rales del tipo6

donde # son n-meros comple+os de la inte'ral (D) a coner'er tenemos $e tener %El método de los residos nos permite mostrar $e esta inte'ral no depende de 6

J;


# $e cando la condici,n posi.le si iene dada por6

se cmple ($e siempre es

Ahora todo lo $e $eda es ealar 0 A) $e se pede hacer clásicamente a traés de na do.le inte'raci,n en el plano 3O# # n cam.io en coordenadas polares6

As" tenemos6

con6 Calclemos ahora 2ara ello amos a 'rpo en los e3ponentes de (8) los términos dependientes F en n cadrado per!ecto al escri.ir en la !orma6

A continaci,n pede tili/ar () $e da como resltado6

Nos encontramos como era de esperar $e la trans!ormada de orier de na !nci,n 'assiana es 'assiana (éase apéndice I)% En el instante t W 0 la densidad de pro.a.ilidad de la part"cla iene dado por6

&a cra $e representa

es la conocida cra en !orma de campana%

El centro del pa$ete de ondas el má3imo de está sitado en el pnto Esto es lo $e h.iéramos podido encontrar si h.iéramos aplicado la !,rmla 'eneral (C>8J) del cap"tlo I #a $e en este caso particlar la !nci,n es erdadera% JJ


+. C
y

 relaci/n de la incertidum3re

Es coneniente cando no está estdiando na !nci,n 'assiana para de5nir s ancho  precisamente a traés de6

Cando 3 ar"a de 0 a se redce por n !actor de % Esta de5nici,n la cal es por spesto ar.itrarias tiene la enta+a del coincidiendo con el de la 4desiaci,n ra"/ cadrada media4 de la aria.le 3 (c!% cap% III § C>;)% Con este conenio se pede calclar el ancho de $e es i'al a6

del pa$ete de ondas (80)

2odemos proceder de la misma manera para calclar la anchra

#a $e

es tam.ién na !nci,n 'assiana% Esto le da6

O6

9e este modo se o.tiene6

n resltado $e es totalmente compati.le con la relaci,n de incertidm.re de Heisen.er'% . Evoluci/n del ,aquete de ondas a.  Á "*"+ E

2ara el cálclo de la !nci,n de onda en el tiempo todo lo $e necesitamos hacer es tili/ar la !,rmla 'eneral (C>J) del cap"tlo I $e da la !nci,n de onda de na part"cla li.re se o.tiene6

J


con

(relaci,n de dispersi,n para na part"cla li.re)% Veremos $e en el

tiempo el pa$ete de ondas si'e siendo 'assiana% &a e3presi,n (8;) pede ser trans!ormada por la a'rpaci,n como anteriormente todos los términos dependientes F en los e3ponentes en n cadrado per!ecto% A continaci,n pede tili/ar () # nos encontramos con6

donde es real e independiente de 36

Vamos a calclar la densidad de pro.a.ilidad

de la part"cla en el tiempo

% O.tenemos6

Vamos a demostrar $e la norma del pa$ete de ondas no es dependiente del tiempo (lo eremos en el cap"tlo III $e esto da l'ar a la propiedad del hecho de $e el hamiltoniano de la part"cla es hermitiana)% 2odr"amos en este sentido el so () na e/ más el 5n de inte'rar la e3presi,n (8) de % Es más rápido para o.serar de la e3presi,n (8;) $e la trans!ormada de orier de está dada por6

' (F t) por lo tanto o.iamente tiene la misma norma como Ahora la ecaci,n de 2arseal>2lancherel nos dice $e misma norma al i'al $e 9e esto dedcimos $e

#

' (F 0)% tiene la

# tiene la misma norma como

b. -E"+/ E" /0*E1E E +2/3

JL


Vemos en (8) $e la densidad de pro.a.ilidad es na !nci,n 'assiana centrada en donde la elocidad se de5ne por6

1e podr"a ha.er esperado este resltado en ista de la e3presi,n 'eneral (C>D:) del cap"tlo I $e o!rece la elocidad de 'rpo

%

c% 4*3Ó2 E" /0*E1E E +2/3 Tomemos la !,rmla (8) otra e/% &a anchra tiempo t de la de5nici,n (88) es i'al a6

del pa$ete de ondas en el

Vemos (éase la 5'% 8) $e la eolci,n del pa$ete de ondas no se limita a n simple despla/amiento a na elocidad El pa$ete de ondas tam.ién se somete a na de!ormaci,n% Cando t amenta desde a la anchra de las disminciones de onda de pa$etes alcan/ando n m"nimo en &e'o a medida si'e en amento ondas)%

crece sin l"mite (la di!si,n del pa$ete de

2ara ne'atios el pa$ete de ondas 'assiano dismin#e en anchra #a $e se propa'a% En el instante es n 4m"nimo4 pa$ete de ondas6 el prodcto es i'al a Entonces para el pa$ete de ondas se propa'a de neo #a $e se propa'a% 1e pede er en (8) $e la altra del pa$ete de ondas tam.ién ar"a pero en oposici,n a la anchra por lo $e la norma de se mantiene constante% &as propiedades de la !nci,n c!% !,rmla (8L)6

son completamente di!erentes% 9e hecho

JB


2or lo tanto el implso promedio del pa$ete de ondas # s dispersi,n implso no ar"an en el tiempo% Veremos más adelante (c!% cap% III) $e sr'e del hecho de $e el implso es na constante del moimiento de na part"cla li.re% "sicamente es eidente $e pesto $e la part"cla li.re se encentra nin'-n o.stáclo la distri.ci,n de los implsos no se pede cam.iar% &a e3istencia de na dispersi,n implso de la part"cla s,lo se sa.e $e dentro de part"clas clásicas de partida en el tiempo elocidad de dispersi,n i'al a

si'ni5ca $e la elocidad Ima'ine n 'rpo de desde el pnto con na

En el momento

la dispersi,n de ss

posiciones será esta dispersi,n se incrementa linealmente con # como se mestra en la 5'ra :% Vamos a di.+ar en el mismo 'rá5co la cra $e da a la eolci,n en el tiempo de  cando se ele in5nita coincide prácticamente con la rama de la hipér.ola $e representa tiene para ss as"ntotas la recta l"neas $e corresponden a % 2or lo tanto podemos decir $e cando t es m# 'rande e3iste na interpretaci,n casi> clásico de la anchra de

2or otro lado cando

en!o$es

toma

alores $e di5eren más # más de &a part"cla cántica de hecho de.en satis!acer constantemente la relaci,n de incertidm.re de Heisen.er' $e desde se 5+a impone n l"mite in!erior a Esto corresponde a lo $e pede erse en la 5'ra :%

I7U?A : &a ariaci,n en el tiempo de la anchra del pa$ete de ondas de la 5'ra 8% 2ara 'rande se apro3ima a la dispersi,n de las posiciones de n 'rpo de part"clas clásicas $e han de+ado en el instante con na elocidad de dispersi,n comentarios6

0


&a di!si,n del pa$ete de ondas li.res es n !en,meno 'eneral $e no se limita al caso especial estdiados a$"% 1e pede demostrar $e para n pa$ete de ondas li.re ar.itraria la ariaci,n en el tiempo de s anchra tiene la !orma mostrada en la 5'ra : (er e+ercicio G de complemento

)%

En el cap"tlo I n ar'mento sencillo nos lle, en (C>8) a  sin hacer nin'na hip,tesis particlar so.re  e3cepto para decir $e tiene n pico ancho c#a !orma es la de la 5'ra D del cap"tlo I ($e es el caso en este complemento)%Entonces ¿c,mo se o.tiene (por e+emplo para n pa$ete de ondas 'assiano cando

es 'rande)

2or spesto esto es s,lo na contradicci,n aparente% En el cap"tlo I a 5n de encontrar  se asmi, en (C>8D) $e el ar'mento de se pede apro3imar por na !nci,n lineal en el dominio As" spone impl"citamente na hip,tesis splementaria6 $e los términos no lineales hacer na contri.ci,n desprecia.le a la !ase de en el dominio 2or e+emplo para los términos $e son de se'ndo orden en es necesario $e6

1i por el contrario la !ase no se pede apro3imar en el dominio por na !nci,n lineal con n error mcho menor $e encontramos cando olamos a la discsi,n del cap"tlo I $e el pa$ete de ondas es ma#or $e era predicho por (C>8)% En el caso del pa$ete de ondas 'assiano estdiado en este complemento tenemos

#

% En consecencia la condici,n (::) pede ser

escrito % En e!ecto podemos compro.ar a partir de (80) $e siempre # cando se cmple esta condici,n el prodcto es apro3imadamente i'al a 8%%

CO!PLE!ENTO 4? LOS ESTADOS ESTAC#ONA#OS DE 1NA PAT ÍC1LA EN POTENC#ALES C1ADADOS 1N#D#!ENS#ONALES

8% Comportamiento de na !nci,n de onda estacionaria

bp (3)

a% ?e'iones de ener'"a potencial constante .% Comportamiento de

en na discontinidad de la ener'"a potencial

8


c% Es$ema del cálclo :% Estdio de al'nos casos sencillos a% 2otencial escalon .% &as .arreras potenciales c %% Estados o.li'ados\ cadrados potenciales Vimos en el cap"tlo I (c!% § 9>:) el interés por estdiar el moimiento de na part"cla en n 4potencial cadrado4 c#o rápido ariaciones espaciales para ciertos alores de introdcir e!ectos pramente cánticos% &a !orma de las !nciones de onda asociadas a los estados estacionarios de la part"cla !e predicha por considerar na analo'"a ,ptica $e nos permiti, entender m# sencillamente c,mo estos e!ectos !"sicos $e apare/can neos% En este complemento se descri.e el cálclo cantitatio de los estados estacionarios de la part"cla% Vamos a dar los resltados de este cálclo para n determinado n-mero de casos sencillos # disctir ss implicaciones !"sicas% Nos limitamos a modelos nidimensionales (ease complemento

)%

&. Com,ortamiento de una funci/n de onda estacionaria a. 5E6+2E3 E E2E56 Í / +1E2/" +231/21E

En el caso de n potencial cadrado es na !nci,n constante en ciertas re'iones del espacio% En dicha re'i,n la ecaci,n (9>L) del cap"tlo I se pede escri.ir6

Vamos a distin'ir entre los arios casos6

Vamos a presentar la constante positia  de5nida por6

&a solci,n de la ecaci,n (8) se pede escri.ir6

donde

#

son constantes comple+as%

:


Esta condici,n corresponde a re'iones del espacio $e se prohi.idas a la part"cla por las le#es de la mecánica clásica% En este caso se introdce la constante positia

de5nida por6

# la solci,n de (8) se pede escri.ir6

donde

#

son constantes comple+as%

En este caso especial

es na !nci,n lineal de

b. +7+51/7E21+ E +1E2/"

E2 *2/ 3+212*/ E "/ E2E56 Í /

¿C,mo se comporta la !nci,n de onda en n pnto  donde el potencial es discontina 1e podr"a pensar $e en este pnto la !nci,n de onda se comportan de manera e3tra ña lle'ando a ser en s" discontina por e+emplo% El o.+etio de esta secci,n es demostrar $e este no es el caso6 # son continas # es s,lo la se'nda deriada $e es discontina en % 1in dar na pre.a ri'rosa amos a tratar de entender esta propiedad% 2ara ello recordemos $e n potencial cadrado de.e tener en centa (éase el cap"tlo I § 9>:>a%) Como el l"mite cando de n potencial i'al a !era del interalo # ariando continamente dentro de este interalo% Entonces considere la ecaci,n6

donde

se spone $e se limita de !orma independiente en el interalo

%Eli+a na solci,n $e para coincide con na determinada solci,n de (8) El pro.lema es demostrar $e cando tiende hacia na !nci,n  $e es contina # di!erencia.le en Admitamos $e si'e siendo limitada cal$iera $e sea el alor de en el entorno de "sicamente esto si'ni5ca $e la densidad de pro.a.ilidad si'e siendo 5nita entonces el inte'rador (J) entre #  se o.tiene6

D


 Este pnto se pdo demostrar matemáticamente a partir de las propiedades de la ecaci,n di!erencial A)% En el l"mite cando la !nci,n $e se inte'ra en el lado derecho de esta e3presi,n si'e siendo limitada de.ido a nestro spesto anterior% En consecencia si tiende a cero la inte'ral tam.ién tiende a cero #6

As" en este l"mite

es contina en

# tam.ién lo es

inte'ral de na !nci,n contina)% 2or otro lado pede erse directamente de (8) hace n salto en donde

representa el cam.io en

(#a $e es la

es discontina # como 3 W 3t $e es i'al a 

COMENTA?IO6 Es esencial en el ar'mento anterior $e si'en siendo limitada% En ciertos e+ercicios de complemento @ por e+emplo el caso se considera $e na !nci,n ilimitada c#a inte'ral permanece 5nita% En este caso se mantiene constante pero

no lo hace%

c. E30*E7/ E"  Á "*"+

El procedimiento para determinar los estados estacionarios en n 4potencial cadrado4 es por lo tanto lo si'iente6 en todas las re'iones donde es constante escri.ir en cal$iera de las dos !ormas(D) o (;) es aplica.le a continaci,n 4compati.les4 con estas !nciones al e3i'ir la continidad de de

en los pntos donde

#

es discontina%

+. Estudio de ciertos casos sencillos

Vamos ahora a llear a ca.o el cálclo cantitatio de los estados estacionarios reali/ado de acerdo con el método descrito anteriormente para todas las !ormas de considerados en § 9>:>c del cap"tlo I% As" de.erá eri5car $e la !orma de las solciones es de hecho la predicha por la analo'"a ,ptica% a. +1E2/" E3/"+2

G


i'ra 8 2otencial Escalon

Caso donde

\ re*e3i,n parcial

Esta.lecer6

&a solci,n de (8) tiene la !orma (D) en las dos re'iones

#

6

9ado $e la ecaci,n (8) es homo'énea el método de cálclo del § 8>c s,lo se nos permite determinar las proporciones # 9e hecho las dos condiciones de coincidentes en no son s5cientes para la determinaci,n de estas tres relaciones es por esto $e de.erá ele'ir

lo $e e$iale a

limitarnos al caso de na part"cla incidente iniendo desde condiciones de coincidentes a continaci,n se dan6

es la sperposici,n de dos ondas% El primero (el término

&as

) corresponde a

na part"cla incidente con el implso mltiplicando de i/$ierda a derecha% El se'ndo (el término ) corresponde a na part"cla re*e+ada con el implso $e se propa'a en la direcci,n opesta% 2esto $e hemos ele'ido consta de na sola onda $e está asociada con na part"cla de transmisi,n% Nos eremos en el cap"tlo III (c!% § 98>c>.) ¿C,mo es posi.le

;


tili/ando el concepto de pro.a.ilidad actal para de5nir el coe5ciente de transmisi,n T # el coe5ciente de re*e3i,n ? de la etapa de potencial (éase tam.ién el § : del complemento Estos coe5cientes dan la pro.a.ilidad de $e la part"cla $e lle'a desde para pasar el paso potencial en o dar marcha atrás% As" nos encontramos con6

# para

6

Tomando (8D) # (8G) en centa tenemos entonces6

 El ori'en !"sico de la complemento%

F:RFl !actor $e aparece en

T se trata en el § : de

Es !ácil compro.ar $e 6es cierto $e la part"cla se sea transmitida o re*e+ada% Contrariamente a las predicciones de la mecánica clásica la part"cla incidente tiene na pro.a.ilidad distinta de cero de elta atrás% Este pnto !e e3plicado en el cap"tlo I sando la analo'"a ,ptica # teniendo en centa la re*e3i,n de na onda de l/ desde la inter!a/ de n plano (con )% 2or otra parte sa.emos $e en la ,ptica no ha# retardo de !ase se crea por esta re*e3i,n las ecaciones (8D) # (8G) en e!ecto reelan $e las relaciones # son reales% 2or lo tanto la part"cla cántica no se ralenti/a por s re*e3i,n o transmisi,n (ease complemento § :)% inalmente es !ácil compro.ar tili/ando (B) (80) # (8L) $e si 6cando la ener'"a de la part"cla es lo s5cientemente 'rande en comparaci,n con la altra del paso potencial la part"cla se .orra este paso como si no e3istiera% Caso donde

\re*e3i,n total

A continaci,n reemplace (80) # (8:) por6

J


2ara $e la solci,n permane/ca acotada cando

&as condiciones coincidentes en

El coe5ciente de re*e3i,n

 es necesario $e6

3 W 0 dan en este caso6

? es entonces i'al a6

Al i'al $e en la mecánica clásica la part"cla siempre se re*e+a (re*e3i,n total)% 1in em.ar'o ha# na di!erencia importante $e #a ha sido se ñalado en el cap"tlo I6 de.ido a la e3istencia de la onda eanescente la part"cla tiene na pro.a.ilidad no nla de presencia en la re'i,n del espacio $e clásicamente se se proh".e a la misma% Esta pro.a.ilidad dismin#e e3ponencialmente con  # se ele insi'ni5cante cando es ma#or $e el 4ran'o4 de la onda eanescente% N,tese tam.ién $e el coe5ciente es comple+a% cam.ia de !ase determinada por la re*e3i,n $e !"sicamente es de.ido al hecho de $e la part"cla se retrasa cando penetra en la re'i,n

§ 8 # tam.ién § D )% Este despla/amiento de !ase es (ease complemento análo'a a la $e aparece cando la l/ es re*e+ada desde n tipo de sstancia metálica sin em.ar'o no ha# análo'o en la mecánica clásica% comentarios#

Cando

de modo $e (::) # (:D)rendimiento6

En la re'i,n la onda c#o ran'o decrece sin l"mite tiende a cero% 2esto $e la !nci,n de onda tiende a cero en por lo $e si'e siendo contina en este momento 2or otro lado s deriado el cal cam.ia a.rptamente%% el alor a cero #a no es contina Esto es de.ido al hecho de $e dado $e el salto de potencial es in5nito en la inte'ral de () #a no tiende a cero cando tiende a b. 8/55E5/3 +1E2/"E3 


I7U?A : arrera de potencial cadrado%

Caso en $e

\ resonancias

Utili/ando las anotaciones (B) # (80) encontramos en las tres re'iones #

6

Eli+amos como el anterior

(part"cla incidente iniendo desde

&as condiciones coincidentes en a$ellos en términos de

dar

#

entonces dan

en términos de

#

#

%

en términos de

#

(# por consi'iente en

)%

As" nos encontramos con6

% # nos permite calclar el coe5ciente de re*e3i,n transmisi,n de la .arrera $e a$" son i'ales a6

# coe5ciente de

2ede ser positio (el caso de na .arrera de potencial como el mostrado en la 5'ra :) o ne'atio (n po/o de potencial)%

Es entonces !ácil eri5car $e

Tomando (B) # (80) en centa tenemos6

L


&as ariaciones con respecto a

de los coe5ciente transmisi,n

la 5'ra D (con

oscila peri,dicamente entre s alor m"nimo

# 5+a

)6

se mestra en

# s alor má3imo $e es Esta !nci,n es el análo'o de la $e descri.e la transmisi,n de n inter!er,metro a.r#>2erot%

I7U?A D &as ariaciones de la coe5ciente de transmisi,n de la .arrera como na !nci,n de s anchra (la altra de la .arrera # la ener'"a de la part"cla son 5+os)% &as resonancias aparecen cada e/ $e es n m-ltiplo entero de la media lon'itd de onda en la re'i,n Como en la ,ptica las resonancias (o.tenido cando es decir cando ) corresponden a los alores de $e son m-ltiplos enteros de la media lon'itd de onda de la part"cla en la re'i,n Cando el re*e+o de la part"cla en cada na de las discontinidades potenciales se prodce sin n cam.io de !ase de la !nci,n de onda de resonancia

Esta es la ra/,n por la condici,n

corresponde a los alores de para $e n sistema de

ondas estacionarias pede e3istir en la re'i,n

2or otro lado le+os de las

resonancias las ondas di!erentes $e se re*e+an en # se destr#en entre s" por la inter!erencia de modo $e los alores de la !nci,n de onda son pe$eñas% Un estdio de la propa'aci,n de na onda de pa$etes (similar al complemento ) $e mestran $e si la resonancia condiciones se cmple este re$isito el pa$ete de ondas pasa n tiempo relatiamente lar'o en la re'i,n En la mecánica cántica este !en,meno se llama dispersi,n de resonancia% Caso donde

e!ecto t-nel

Ahora tenemos $e sstitir (:J>.) por (:0) a-n siendo propesta por (8B)% &as condiciones coincidentes en # nos permiten calclar el coe5ciente de transmisi,n de la .arrera% 9e hecho no es necesario para reali/ar

B


los cálclos de neo6 todo lo $e ha# $e hacer es sstitir en las ecaciones o.tenidas en

con por spesto

% Tenemos entonces6

Cando

tenemos6

a hemos isto en el cap"tlo I ¿por $é contrariamente a las predicciones clásicas la part"cla tiene na pro.a.ilidad distinta de cero de cr/ar la .arrera de potencial% &a !nci,n de onda en la re'i,n II no es cero pero tiene el comportamiento de na 4onda eanescente4 de ran'o % Cando la part"cla tiene na pro.a.ilidad considera.le de cr/ar la .arrera por el 4e!ecto t-nel4% Este e!ecto tiene nmerosas aplicaciones !"sicas6 la inersi,n de la molécla de amoniaco (c!% complemento ) el diodo t-nel el e!ecto =osephson E& decaimiento al!a de ciertos n-cleos etc% 2ara n electr,n el interalo de la onda eanescente es6

donde # están e3presadas en electr,n>oltios (esta !,rmla se pede o.tener inmediatamente mediante la sstitci,n en la !,rmla (L) del complemento Consideremos ahora n electr,n de ener'"a $e se encentra con na .arrera para $e # El ran'o de la onda eanescente es entonces es decir del orden de 6 el electr,n entonces de.e tener n na considera.le pro.a.ilidad de cr/ar la .arrera% En e!ecto la !,rmla (D0) da en este caso6

El resltado cántico es radicalmente di!erente del resltado clásico6 el electr,n tiene apro3imadamente L de cada 80 posi.ilidades de cr/ar la .arrera% 1pon'amos ahora $e la part"cla incidente es n prot,n (c#a masa es de apro3imadamente 8 LG0 eces la del electr,n)% El entonces en6

ran'o

se conierte

L0


1i mantenemos los mismos alores6 n ran'o

 nos encontramos con

mcho menor $e l%&a ,rmla (D8) da entonces6

a+o estas condiciones la pro.a.ilidad de $e el prot,n está cr/ando la .arrera de potencial es desprecia.le% Esto es tanto más cierto si se aplica (D8) a los o.+etos macrosc,picos por lo $e nos encontramos con estas pe$e ñas pro.a.ilidades de $e no pede desempe ñar nin'-n papel en los !en,menos !"sicos% c. E31/+3 +8"6/+39 +:+ E +1E2/"E3 */5/+3

2o/o de pro!ndidad 5nita Nos limitaremos a$" a estdiar el caso los cálclos de la secci,n anterior )%

(el caso

se incl#, en

I7U?A G 2o/o de potencial cadrado%

En las re'iones respectiamente6

tenemos

con6

L8


2esto $e

de.e ser limitada en la re'i,n

&as condiciones coincidentes en

de.emos tener6

6 le'o le dan6

# a$ellos en

2ero

tam.ién de.e ser limitado en la re'i,n

$e

es decir%6

2or lo tanto es necesario

9ado $e 2 # dependen de la ecaci,n (G:) s,lo pede ser satis!echa para ciertos alores de &a imposici,n de n l"mite de en todas las re'iones del espacio lo $e implica la canti5caci,n de la ener'"a% Más precisamente dos casos son posi.les6 si6

tenemos6

A+stando6

L:


A continaci,n se o.tiene6

&a ecaci,n (GD) es por tanto e$ialente al sistema de ecaciones6

&a 5'ra ; 1olci,n 'rá5ca de la ecaci,n (G:) dando a las ener'"as de los estados consolidados de na part"cla en n po/o de potencial rectan'lar% En el caso mostrado en la 5'ra e3isten cinco estados consolidados inclso tres (asociada con el pnto de la 5'ra) # dos pntos impares ( %

&os nieles de ener'"a están determinados por la intersecci,n de na l"nea recta $e tiene na pendiente  con arcos sinsoidales (l"neas lar'as discontinas en la 5'ra ;)% As" se o.tiene n cierto n-mero de nieles de ener'"a c#a !nciones onda a-n son% Esto se hace eidente si nos re!erimos a (GD) en (G0) # (G8) es !ácil compro.ar $e

# $e

de modo $e

si6

n cálclo del mismo tipo condce a6

LD


&os nieles de ener'"a se determinan entonces por la intersecci,n de la misma l"nea recta como antes con otros arcos sinsoidales (ease l"neas cortas de tra/os en la 5'ra ;)% &os nieles as" o.tenida ca"da entre las $e se encentran en 2ede ser !ácilmente demostrado $e las !nciones de onda correspondientes son impares%

Comentarios: 1i

 es decir si6

&a i'ra ; mestra $e s,lo e3iste n estado li'ado de la part"cla # este estado tiene na !nci,n par de las ondas% Entonces si n niel impar aparece por primera e/ # as" scesiamente6 cando amenta aparecen como alternatia inclso los nieles impares% 1i de la pendiente de la l"nea recta de la 5'ra ; es m# pe$e ño6 para los nieles de ener'"a más .a+os $e prácticamente tiene6

donde

n es n entero # en consecencia6

po/o In5nitamente pro!ndo 1pon'amos $e A+ste6

V (3) sea cero para

# esto in5nito en todas partes%

LG


9e acerdo con el comentario $e hi/o al 5nal del

§ de este complemento

de.e ser cero !era del interalo

# contina en

 as" como en

Ahora para

9esde

Además

se pede dedcir $e

$e condce a6

por lo $e6

donde n es n entero positio ar.itrario% 1i normali/amos la !nci,n (;;) teniendo (;J) en centa o.tenemos las !nciones de onda estacionarias6

con ener'"as6

&a canti5caci,n de los nieles de ener'"a es por tanto en este caso particlarmente simple% comentarios6 &a ?elaci,n (;J) e3presa simplemente el hecho de $e los estados estacionarios están determinados por la condici,n de $e el ancho del po/o de.e contener n n-mero entero de medias lon'itdes de onda n R c% Este no es el caso cando el po/o tiene na pro!ndidad 5nita (c!% § a) la di!erencia entre los dos casos sr'e del despla/amiento de !ase de la !nci,n de onda $e se prodce en la re*e3i,n desde n paso de potencial (Veáse § 1e pede eri5car !ácilmente de (;8) # (;:) $e si la pro!ndidad Vo de n po/o 5nito tiende a in5nito nos encontramos con los nieles de ener'"a de n po/o in5nito% Complemento

L;


COM2O?TAMIENTO 9E UN 2A
8% ?e*e3i,n total6 :% &a re*e3i,n parcial6 En el complemento  a 5n de determinar los estados estacionarios de na part"cla en arias potenciales 4cadrados4% En determinados casos (n po/o de potencial por e+emplo) los estados estacionarios o.tenidos consisten en ondas planas ilimitadas (incidente re*e+ada # transmitida)% 2or spesto #a $e no peden ser normali/ada tales !nciones de onda en realidad no pede representar n estado !"sico de la part"cla% 1in em.ar'o peden ser linealmente sperponen para !ormar pa$etes normali/a.le onda% Además dado $e tales n pa$ete de ondas se e3pande directamente en términos de !nciones de onda estacionaria s eolci,n en el tiempo es m# sencillo de determinar% Todo lo $e necesitamos hacer es mltiplicar cada no de los coe5cientes de la e3pansi,n por na e3ponencial e ima'inaria !recencia .ien de5nida

(eáse cap

con na

)

Tenemos la intenci,n en este complemento para constrir tales pa$etes de onda # estdiar s eolci,n en el tiempo para el caso en $e el potencial presenta n 4paso4 de altra  como en la 5'ra 8 de complemento 9e esta manera se de.erá ser capa/ de descri.ir con precisi,n el comportamiento cántico de la part"cla cando lle'a a la etapa de potencial a traés de la determinaci,n del moimiento # la de!ormaci,n de s pa$ete de ondas asociada% Esto tam.ién nos permitirá con5rmar los resltados o.tenidos en di!erentes a traés del estdio de los estados estacionarios por s" solos (coe5cientes de re*e3i,n # transmisi,n lo $e !rena a la re*e3i,n etc%) Vamos a esta.lecer6

# como en el complemento

 amos a distin'ir entre dos casos $e

corresponden a menores alores de

o sperior a

%

&. eBexi/n total=

LJ


En este caso las !nciones de onda estacionarias están dadas por las !,rmlas (88) # (:0) del complemento

 Z

se llama simplemente

a$") los

coe5cientes # de estas !,rmlas son relacionadas por las ecaciones (:8) (::) # (:D) de % Vamos a constrir n pa$ete de ondas a partir de estas !nciones de onda estáticas para linealmente sperponer% 1e de.erá ele'ir s,lo los alores de menos de

a 5n de tener las ondas $e !orman el pa$ete a someterse a la

re*e3i,n total% 2ara ello amos a ele'ir na !nci,n

' (F) ($e caracteri/a al

pa$ete de ondas) $e es cero para Nos amos a centrar nestra atenci,n en la re'i,n ne'atia de la e+e>3 a la i/$ierda de la .arrera de potencial% 9el complemento  la relaci,n (::) mestra $e el coe5ciente # de e3presi,n (88) de na onda estacionaria en la re'i,n tienen el mismo m,dlo% 2or lo tanto podemos con5'rar6

con éase !,rmla (8B) de

6

2or -ltimo el pa$ete de ondas $e amos a considerar pede ser por escrito en el tiempo para ne'atios6

Al i'al $e en § C del cap"tlo I se spone $e pronnciado de anchra

 ' (F)  tiene n pico

so.re el alor

Con el 5n de o.tener la e3presi,n para la !nci,n de onda  + R (3 t) en cal$ier momento t simplemente tili/ar la relaci,n 'eneral (9>8G) de I cap"tlo6

donde % 2or constrcci,n esta e3presi,n s,lo es álida para ne'atios% 1 primer término representa el pa$ete de ondas incidente s L


se'ndo termino el pa$ete re*e+ado% 2ara simpli5car spondremos pede ser real% &a condici,n de la !ase estacionaria (% Véase el cap"tlo I § C>:) a continaci,n nos permite calclar la posici,n del centro del pa$ete de ondas incidente6 si en se esta.lece la deriada con respecto a de la i'aldad de primera e3ponencial a cero se o.tiene6

el ar'mento

9e la misma manera la posici,n del centro del pa$ete re*e+ado se o.tiene di!erenciando el ar'mento de la se'nda e3ponencial% 9i!erenciando la ecaci,n (D) nos encontramos con6

es decir6

As" tenemos6

,rmlas (L) # (B) permiten a descri.ir con ma#or precisi,n el moimiento de la part"cla locali/ada en na re'i,n pe$e ña de anchra centrada en En primer l'ar consideremos lo $e scede con el ne'atio % El centro del pa$ete de ondas incidente se propa'a de i/$ierda a derecha con na elocidad constante % 2or otro lado podemos er en la !,rmla (B) $e es positio es decir sitado !era de la re'i,n donde la e3presi,n (;) para la !nci,n de onda es álida% Esto si'ni5ca $e para todos los alores ne'atios de  las ondas de arias partes del se'ndo termino de (;) inter5eren de !orma destrctia6 para ne'atios no ha# nin'-n pa$ete de ondas re*e+adas pero s,lo n pa$ete de ondas incidente como los $e hemos estdiado en el § C del cap"tlo I% El centro del pa$ete de ondas incidente lle'a a la .arrera en el tiempo t W 0% 9rante n cierto interalo de tiempo alrededor de el pa$ete de ondas se locali/a en la re'i,n donde la .arrera es # s !orma es relatiamente complicado% 2ero cando es s5cientemente 'rande lo emos LL


en (L) # (B) $e es el pa$ete de ondas incidente $e ha desaparecido # nos $edamos s,lo con el pa$ete de ondas re*e+adas% Ahora es lo cal es positio mientras $e se ha conertido en ne'atio6 las ondas del pa$ete incidente inter5eren de !orma destrctia para todos los alores ne'atios de mientras $e los del pa$ete re*e+ado inter5eren de manera constrctia para El pa$ete de onda re*e+ada se propa'a hacia la i/$ierda a na elocidad de opesta a la del pa$ete incidente c#o espe+o de la ima'en es s !orma es inalterado % Además la !,rmla (B) mestra $e la re*e3i,n se ha introdcido n retardo  dado por6

Contrariamente a lo $e predice la mecánica clásica la part"cla no se re*e+a instantáneamente% O.sere $e el retardo está relacionado con el despla/amiento de !ase

entre la onda incidente # la onda re*e+ada para n

alor dado de No o.stante de.e o.serarse $e el retraso del pa$ete de ondas no es simplemente proporcional a como ser"a el caso para na onda plana ilimitada pero a la deriada ealado en retraso es de.ido al hecho de $e para cercano a cero presencia de la part"cla en la re'i,n

"sicamente este t la pro.a.ilidad de

la cal está prohi.ida clásicamente

no es cero onda eanescente éase el comentario

a continaci,n %

1e pede decir meta!,ricamente $e la part"cla pasa n tiempo del orden de en esta re'i,n antes de oler so.re ss pasos% ,rmla (80) mestra $e canto más cerca de la ener'"a media de la .arrera

 ma#or será el retardo

del pa$ete de ondas es a la altra %

omentarios#

A$" se ha s.ra#ado el estdio del pa$ete de ondas para tam.ién es posi.le estdiar lo $e ocrre para pa$ete de ondas se pede escri.ir6

3 b0 pero

3 0% En esta re'i,n el

1e spone es lo s5cientemente pe$e ño como para la di!si,n del pa$ete de ondas es insi'ni5cante drante el interalo de tiempo considerado% donde6

LB


está dada por la ecaci,n (:D) del complemento por 8

por

#

por

cando se reempla/a

Un ar'mento análo'o al de § C>: del cap"tlo I a

continaci,n mestra $e el m,dlo

de e3presi,n (88) es má3ima cando

la !ase de la !nci,n $e se inte'ran a lo lar'o es estacionaria% Ahora de acerdo a las e3presiones (::) # (:D) de el ar'mento de es la mitad del $e de acerdo con (:) es i'al a En consecencia si se e3pande # en la ecindad de inte'ra so.re en (88)6

se o.tiene para la !ase de la !nci,n $e se

hemos tili/ado (80) # el hecho de $e

se spone real% 9e esto podemos

dedcir $e es má3ima en la re'i,n para El momento en $e el pa$ete de ondas se ele por lo tanto lo $e nos da el mismo retardo de en la re*e3i,n $e hemos o.tenido anteriormente% Tam.ién emos a partir de la e3presi,n (8D) $e tan pronto como sea por6

donde

es la anchra de

e3cede el tiempo de

de5nido

 las ondas de salen de !ase # de e3presi,n(88)

para se hace desprecia.le% As" el pa$ete de ondas como n todo permanece en la re'i,n drante n interalo de tiempo de la orden de6

$e corresponde apro3imadamente al tiempo $e sea necesario en la re'i,n  para ia+ar na distancia compara.le a la anchra 9esde AF se spone $e es mcho más pe$e ña $e comparaci,n de (80) # (8;) mestra $e6

@0 #

@o la

El retraso en la re*e3i,n por lo tanto implica por el pa$ete de onda re*e+ada n despla/amiento $e es mcho menor $e s anchra%

B0


Ten'a en centa $e la !ase (8D) no depende de 3 al contrario de lo $e encontramos en el cap"tlo I de n pa$ete de ondas li.res% 9e ello se dedce $e en la re'i,n respecto al tiempo%



no tiene n pico pronnciado $e se mee con

:% ?e*e3i,n parcial6 Esta e/ amos a considerar na !nci,n $e es cero para

de ancho

centrada en n alor

El pa$ete de ondas está !ormada en este

caso mediante la sperposici,n con coe5cientes las !nciones de onda estacionaria c#as e3presiones son dadas por las !,rmlas (88) # (8:) de complemento 1e de.erá ele'ir a 5n de $e la part"cla se está considerando lle'ar a la .arrera de la re'i,n ne'atia del e+e  # tendrá &os coe5cientes (8G) de complemento

se o.tienen a partir de las !,rmlas (8D) # (en la $e

se sstit#e por

por

#

por

Con el 5n de descri.ir el pa$ete de ondas por na e3presi,n -nica álida para todos los alores de escalon 4

podemos sar el Heaiside 4 la !nci,n

de5nida por6

El pa$ete de ondas $e se e3amina a continaci,n se pede escri.ir6

Esta e/ nos encontramos con tres pa$etes de ondas6 incidente re*e+ada # transmitida% Como en el § 8 anterior la condici,n de la !ase estacionaria da la posici,n de ss respectios centros encontramos con6

9ado $e

#

son reales nos

B8


Una discsi,n análo'a a la de (J) # (B) condce a las si'ientes conclsiones6 para t ne'atios s,lo el pa$ete de ondas incidente e3iste\ para t positios s5cientemente 'randes s,lo el re*e+ado # e3isten pa$etes de onda de transmisi,n (5'% 8)% N,tese $e no ha# retraso #a sea en la re*e3i,n o so.re la transmisi,n esto es de.ido al hecho de $e los coe5cientes reales%

#

son

&os pa$etes de ondas incidentes # re*e+ados se propa'an con elocidades de #

 respectiamente% 1pon'amos

pe$eño $e dentro del interalo ariaci,n de

en comparaci,n con la de

a de ser lo s5cientemente  se pede prescindir de la 2odemos entonces en el

se'ndo término de (8L) rempla/ar por # llearlo !era de la inte'ral% Es entonces !ácil er $e el pa$ete de onda re*e+ada tiene la misma !orma $e el pa$ete de ondas incidente s ima'en especlar% 1 amplitd es más pe$eño sin em.ar'o pesto $e de acerdo con la !,rmla (8D) de complemento es menor $e 8% El coe5ciente de re*e3i,n es por de5nici,n la relaci,n entre las pro.a.ilidades de encontrar la part"cla en el pa$ete de onda re*e+ada # en el pa$ete incidente% 2or lo tanto tenemos $e de hecho corresponde a la ecaci,n (8;) de complemento recordemos $e hemos ele'ido n

B:


Comportamiento de n pa$ete de ondas en n potencial escalon en el caso 4% El potencial se mestra en la 5'ra (a)% En la 5'ra . el pa$ete de ondas se mee hacia el escalon% &a 5'ra C mestra el pa$ete de ondas drante el periodo transitorio en el $e se diide en dos% &a inter!erencia entre el incidente # las ondas re*e+adas son responsa.les de las oscilaciones del pa$ete de ondas en la re'i,n % 9espés de cierto tiempo (5'% d) nos encontramos con dos pa$etes de onda% El primero (el pa$ete de ondas re*e+adas) está oliendo hacia la i/$ierda\ s amplitd es menor $e la del pa$ete de ondas incidente # s anchra es la misma% El se'ndo (el pa$ete de ondas transmitida) se propa'a hacia la derecha\ s amplitd es li'eramente ma#or $e la del pa$ete de ondas incidente pero es más estrecho%

&a sitaci,n es di!erente para el pa$ete de ondas de transmisi,n% Toda"a pede tili/ar el hecho de $e es m# pe$e ña con el 5n de simpli5car s e3presi,n6 se reempla/a

por

#

por la apro3imaci,n6

Con6 El pa$ete de ondas de transmisi,n se pede escri.ir6

BD


Vamos a comparar esta e3presi,n con el otro para el pa$ete de ondas incidente6

Vemos $e6

El pa$ete de ondas transmitida por tanto tiene na amplitd li'eramente ma#or $e la del pa$ete incidente6 de acerdo con la !,rmla (8G) del complemento $e si

es ma#or $e 8% 1in em.ar'o s anchra es menor #a tiene n ancho

de !,rmla (:G) mestra $e la anchra de

es6

El coe5ciente de transmisi,n (la relaci,n entre las pro.a.ilidades de encontrar la part"cla en el pa$ete transmitido # en el pa$ete incidente) se e $e es el prodcto de dos !actores6

Este hecho responde a la !,rmla (8J) del complemento  #a $e 2or -ltimo se ñalar $e teniendo en centa la contracci,n del pa$ete de ondas transmite a lo lar'o del e+e  podemos encontrar s elocidad6

BG


B;


BJ


B


BL


4EA!#ENTAS !ATE! ÁT#CAS DE LA !EC ÁN#CA C1ÁNT#CA

?E1UMEN 9E& CA2Í TU&O II A% Espacios de la !nci,n de onda de na part"cla

8% Estrctra del espacio !nci,n de onda a% como n espacio ectorial .% El prodcto escalar c% los operadores lineales :% ases orto normales discretas en a% de5nici,n .% Componentes de na !nci,n de onda en la .ase

% Espacio de estado% Notaci,n de 9irác

c% E3presi,n para el prodcto escalar en términos de los componentes d% ?elaci,n de clasra D% Introdcci,n a las 4.ases4 no perteneciente a a% &as ondas planas .% 4nciones 9elta 4 c% 7enerali/aci,n6 las .ases orto normales ‘’continas4 8% introdcci,n :% ectores 4@et4 # ectores 4.ra4 a% &os elementos de 6 Fets .% &os elementos del espacio dal de 6 .ras c% Correspondencia entre Fets # .ras D% los operadores lineales a% de5niciones .% E+emplos de operadores lineales6 pro#ectores G% la con+'aci,n hermitiana a% Acci,n de n operador lineal so.re n .ra

C% ?epresentaci,n en el espacio de estado

.% El operador ad+nto de n operador lineal c% &a correspondencia entre n operador # s ad+nto d% &a con+'aci,n hermitiana en la notaci,n de 9irác e% operadores hermitianos I Introdcci,n a% 9e5nici,n de na representaci,n .% inalidad de :% ?elaciones caracter"sticas de na .ase orto normal a% relaci,n Ortonormali/ation

BB


.% ?elacion de clasra D% ?epresentaci,n de los Fets # .ras a% ?epresentaci,n de los Fets .% ?epresentaci,n de .ras G% ?epresentaci,n de los operadores a% ?epresentaci,n de

por na matri/ 4cadrada4

.% Matri/ de representaci,n del Fet c% &a e3presi,n para el n-mero

9% Ecaci,n de alores propios% O.sera.les

E% 9os e+emplos importantes de representaciones # o.sera.les

d% ?epresentaci,n de la matri/ del ad+nto de ;% Cam.io de representaciones a% E3posici,n del pro.lema .% Trans!ormaci,n de los componentes de n Fet c% Trans!ormaci,n de los componentes de n .ra d% &a trans!ormaci,n de los elementos de matri/ de n operador 8% Valores # ectores propios de n operador a% de5niciones .% Encontrando los alores # ectores propios de n operador :% o.sera.les a% 2ropiedades de los alores # ectores propios de n operador herm"tico .% 9e5nici,n de n o.sera.le c% E+emplo6 el pro#ector D% &os con+ntos de o.sera.les $e conmtan a% teoremas importantes .% =e'os completos de o.sera.les $e conmtan (C%1%C%O%) 8% &as representaciones Zr)[ # ZI 2)[ a% de5nici,n .% Orthonormali/ation # las relaciones de clasra c% Componentes de n Fet d% El prodcto escalar de dos ectores e% Cam.io de la representaci,n de la representaci,n :% &os operadores # a% de5nici,n .% # son hermitiana c% Vectores propios de

% 2rodcto tensorial en espacios de estados

#

d% # son o.sera.les 8% introdcci,n :% 9e5nici,n # propiedades del prodcto tensor 800


a% El espacio prodcto tensorial .% 2rodcto tensorial de los operadores c% notaci,n D% Valores propios de las ecaciones en el espacio del prodcto a% Valores # ectores propios de los operadores e3tendidos .% =e'os completos de los despla/amientos o.sera.les en el G% Aplicaciones a% Estados ni # tri dimensionales de las part"clas .% Estados de n sistema de dos part"clas Este cap"tlo está destinado a ser n estdio 'eneral de las herramientas .ásicas matemáticas $e se tili/an en la mecánica cántica% Vamos a dar na simple presentaci,n condensada destinada a !acilitar el estdio de los cap"tlos si'ientes para los lectores no !amiliari/ados con estas herramientas% No intentamos ser matemáticamente completa # ri'rosa% Creemos $e es pre!eri.le $e nos limitemos a n pnto de ista práctico niendo en n solo cap"tlo los diersos conceptos $e son -tiles en la mecánica cántica% En particlar $eremos hacer hincapié en la coneniencia de la notaci,n de 9irac para la reali/aci,n de los diersos cálclos $e se tienen $e reali/ar% En este sentido amos a tratar de simpli5car la discsi,n tanto como sea posi.le% Ni las de5niciones 'enerales ni las pre.as ri'rosas $e podr"an ser re$eridos por n matemático podrá encontrar a$"% 2or e+emplo a eces se ha.la de espacios in5nito>dimensionales contra la ra/,n como si no tieran n n-mero 5nito de dimensiones% 2or otra parte mchos términos (cadrado>inte'ra.les !nciones .ases etc %%) se emplea con n si'ni5cado $e an$e de so com-n en la !"sica no es e3actamente el mismo tili/ado en las matemáticas pras% Comen/amos en mediante el estdio de las !nciones de onda introdcidas en el cap"tlo I% 1e demestra $e estas !nciones de onda pertenecen a n espacio ectorial a.stracto lo $e llamamos el 4espacio de la !nci,n de onda ’’% Este estdio se lleará a ca.o con todo detalle #a $e introdce al'nos conceptos .ásicos del !ormalismo matemático de la mecánica cántica6 &os prodctos escalares operadores lineales .ases etc% A partir de se de.erá desarrollar n !ormalismo más 'eneral $e caracteri/a el estado de n sistema por n 4ector de estado4 $e pertenece a n espacio ectorial6 el 4espacio de estado % &a notaci,n de 9irac lo $e simpli5ca enormemente los cálclos\ $e se introdce en este !ormalismo% Tiene la intenci,n de estdiar la idea de na representaci,n% &a lectra de está especialmente recomendado para el 808


lector $e no esté !amiliari/ado con la dia'onali/aci,n de n operador6 esta operaci,n estará constantemente -til para nosotros en lo $e si'e% En se trata de dos importantes e+emplos de representaciones% En particlar se mestra c,mo las !nciones de onda estdiados en son los 4componentes4 de los ectores de estado en na representaci,n en particlar% 2or -ltimo se introdce en el concepto de n prodcto tensorial% Este concepto se ilstra más en concreto con n e+emplo simple en el complemento

A. ESPAC#O DE LA %1NC# ÓN DE ONDA DE 1NA PAT#C1LA

&a interpretaci,n pro.a.il"stica de la !nci,n de onda

de na part"cla $e

se le dio en el cap"tlo anterior6 representa la pro.a.ilidad de encontrar en el tiempo t la part"cla en n olmen so.re el pnto &a pro.a.ilidad total de encontrar la part"cla en al'-n l'ar en el espacio es i'al a 8 por lo $e se tienen6

9onde la inte'raci,n se e3tiende so.re todo el espacio% 2or lo tanto nos llea a estdiar el con+nto de !nciones de cadrado inte'ra.le% Estas son las !nciones para las cales la inte'ral coner'e% Este con+nto se denomina por los matemáticos # tiene la estrctra de n espacio de Hil.ert% 9esde el pnto de ista !"sico está claro $e el con+nto

es demasiado

amplia en s alcance6 dado el si'ni5cado $e se atri.#e a las !nciones de onda $e se tili/an realmente poseen ciertas propiedades de re'laridad% 1,lo podemos mantener las !nciones  $e están en todas partes de5nidas continas # di!erencia.les in5nitamente (por e+emplo a a5rmar $e na !nci,n es m# discontina en n pnto dado en el espacio no tiene sentido !"sico #a $e nin'-n e3perimento $e nos permite tener acceso a los !en,menos reales a na escala m# pe$e ña por e+emplo de m)%Tam.ién es posi.le $e nos limitamos a !nciones de onda $e tienen n dominio limitado (lo $e da por cierto $e la part"cla se encentra dentro de na re'i,n 5nita del espacio por e+emplo en el interior del la.oratorio) no amos a tratar de dar na lista precisa 'eneral de estas condiciones adicionales6 <e llamaremos el con+nto de !nciones de onda compesta por s5cientemente re'lar !nciones de ( es n s. espacio de )% &. Estructura del es,acio funci/n de onda

80:


a.

+7+ *2 -E1+5 E3/+

1e pede demostrar !ácilmente $e

satis!ace todos los criterios de n

espacio ectorial% A modo de e+emplo se demestra $e si pertenecen a %Entonces 6

9onde

#

#

son dos n-meros comple+os ar.itrarios%

Con el 5n de demostrar $e

es de cadrado inte'ra.le ampliar

&os dos -ltimos términos de l"mite sperior6

tienen el mismo m,dlo $e tiene como n

2or lo tanto es más pe$e ño $e na !nci,n c#a inte'ral coner'e #a $e # son de cadrado inte'ra.le% b. E" 5+*1+ E3/"/5 e;nición

Con cada par de elementos de n-mero comple+o denotado por

si

Es el prodcto escalar de pertenecen a %

# tomada en este orden se asocia n  $e por de5nici,n es i'al a6

por

esta inte'ral siempre coner'e si

#

ropiedades

1i'en de la de5nici,n

(A>G)6

El prodcto escalar es lineal con respecto a la se'nda !nci,n del par anti lineal con respecto a la primera% 1i  # se dice $e son orto'onales%

80D


es n n-mero real positio $e es cero si # s,lo si ( R Z +! P) se llama la norma de (i R R r) $e se pede eri5car !ácilmente $e este n-mero tiene todas las propiedades de na norma% El prodcto escalar ele'ido anteriormente por lo tanto permite la de5nici,n de na norma en D% Citemos por -ltimo (éase complemento

) &a desi'aldad de 1char/6

Esto se conierte en na i'aldad si # s,lo si las dos !nciones proporcionales%

#

son

c. +E5/+5E3 "2E/"E3

% de5nici,n Un operador lineal

es por de5nici,n na entidad matemática $e se asocia

con todas las !nciones

otra !nci,n

la correspondencia es lineal6

Citemos al'nos e+emplos sencillos de operadores lineales6 el operador de paridad c#a de5nici,n es la si'iente6

El operador $e reali/a na mltiplicaci,n por de5nido por6

$e llamaremos

2or -ltimo el operador $e di!erencia con respecto a c#a de5nici,n es la si'iente6

# $e está

$e llamaremos

#

&os dos operadores #  actando en na !nci,n de pede trans!ormarla en na !nci,n $e #a no es necesariamente cadrado inte'ra.le% 2rodcto de los operadores

80G


1ean

#

dos operadores lineales% 1 prodcto

se permiti, por primera e/ para actar en

está de5nido por6

lo $e da

entonces

!nciona con la nea !nci,n En 'eneral

&lamamos el conmtador de

#

el operador escrito

# de5nido por6

Vamos a calclar como n e+emplo el conmtador tener na !nci,n ar.itraria

2esto $e esto es cierto para todos

2ara ello amos a

se pede dedcir $e6

+. 0ases ortonormales discreta en a. E42Ó2

Considere la posi.ilidad de n con+nto nmera.le de !nciones de

marcado

por n "ndice discreto

> El con+nto

9onde

es orto normal si6

la !nci,n delta de @ronecFer es i'al a 8 para

> Constit#e na .ase  si cada !nci,n s,lo na !orma en términos del

# 0 para

se pede desarrollar en na #

.% COM2ONENTE1 9E UNA UNCIÓN 9E ON9A EN &A A1E

80;


Mltiplica los dos lados de A partir de

por

e inte'rar a todo el espacio%



#

 Cando el con+nto constit#e na .ase a eces se dice $e es n con+nto completo de !nciones% Ca.e se ñalar $e la pala.ra completa se tili/a con n si'ni5cado di!erente de la $e por lo 'eneral tiene en matemáticas%  2ara $e completamente ri'rosa no de.e ase'rarse de $e se pede intercam.iar

1istemáticamente se i'noran este tipo de pro.lemas%

Es decir6

El componente de en es por lo tanto i'al al prodcto escalar de por Una e/ $e la .ase ha sido ele'ido es e$ialente a especi5car o el con+nto de ss componentes on respecto a las !nciones de .ase% El con+nto de n-meros

se dice para representar a

en la .ase

%

Comentarios6 Ten'a en centa la analo'"a con na .ase orto normal del espacio tridimensional com-n El hecho de $e #  son orto'onales # nitario de hecho pede ser e3presado por6

Cal$ier ector

de

se pede ampliar en esta .ase6

Con6

&as !,rmlas # as" 'enerali/ar por as" decirlo las !,rmlas .ien conocidas 1in em.ar'o de.e tenerse en centa $e la  son n-meros reales mientras $e el son n-meros comple+os% 80J


&a misma !nci,n  o.iamente tiene distintos componentes en dos .ases di!erentes% Vamos a estdiar el pro.lema de n cam.io en la !orma más tarde% Tam.ién pede en la .ase  representan n operador lineal por n con+nto de n-meros $e peden ser dispestos en !orma de na matri/% Nos ocparemos de esta cesti,n de neo en el despés de ha.er introdcido la notaci,n de 9irac%

É 572+3 E "+3 c% "/ E<5E3Ó2 /5/ E" 5+*1+ E3/"/5 E2 1 +7+2E21E3 1ea ( # manera6

dos !nciones de onda $e se pede ampliar de la si'iente

1 prodcto escalar se pede calclar tili/ando

#

6

es decir6

En particlar6

El prodcto escalar de dos !nciones de onda (o el cadrado de la norma de na !nci,n de onda) lo $e pede ser m# simplemente e3presada en términos de los componentes de estas !nciones en la .ase

%

Comentarios6 1ean # dos ectores de  con los componentes de anal"tica de s prodcto escalar es .ien conocida6

#

% &a e3presi,n

80


&a ,rmla %

por lo tanto pede ser considerada como na 'enerali/aci,n de

d% ?E&ACIÓN C&AU1U?A &a relaci,n llamada la relaci,n orto normali/aci,n e3presa el hecho de $e las !nciones del con+nto se normali/an a 8 # orto'onal con respecto a la otra% Ahora amos a esta.lecer otra relaci,n llamada la relaci,n de cierre $e e3presa el hecho de $e este con+nto constit#e na .ase% 1i

es na .ase de 1stitto en

e3iste na e3pansi,n como la la e3presi,n

para cada !nci,n

para los distintos componentes

el nom.re de la aria.le de inte'raci,n se de.e cam.iar pesto $e aparece en 6

Intercam.iando

#

se o.tiene6

Es por tanto na !nci,n cada !nci,n de

#a

de

# de

de tal manera $e para

tenemos6

&a ecaci,n (A>D8) es na caracter"stica de la !nci,n (éase el apéndice II)% 9e esto se pede dedcir $e6

?ec"procamente si n con+nto orto normal $e constit#e na .ase% Cal$ier !nci,n en la !orma6

1stit#endo la e3presi,n !,rmla % 2ara oler a

d (r > r S)

satis!ace la relaci,n de cierre de hecho se pede escri.ir

para en esta e3presi,n se o.tiene la lo -nico $e de.e hacer es na e/ más la

80L


sma de intercam.io e inte'raci,n% Esta ecaci,n se e3presa el hecho de $e siempre se pede ampliar en términos de la esta e3pansi,n%

# da los coe5cientes de

Comentarios6 Vamos a oler a e3aminar la relaci,n de clasra con la notaci,n de 9irac en él  # eremos $e se pede dar na interpretaci,n 'eométrica simple% D% La introducci/n de 73ases7 que no ,ertenecen a El estdi, por encima de las .ases se componen de !nciones de cadrado inte'ra.le% Tam.ién pede ser coneniente introdcir 4.ases4 de las !nciones $e no pertenecen a cal$iera o pero en términos de $e cal$ier !nci,n de onda  sin em.ar'o se pede ampliar% Vamos a dar e+emplos de estas .ases # amos a mostrar c,mo es posi.le poner a s disposici,n las !,rmlas importantes $e se esta.lecieron en la secci,n anterior% a% ON9A1 2&ANA1 2or simplicidad tratar el caso nidimensional% 2or lo tanto estdiaremos !nciones de cadrado inte'ra.le

 $e dependen s,lo de la aria.le % En el

cap"tlo hemos isto la enta+a de sar la trans!ormada de orier

Considere la !nci,n

de

6

de5nida por6

es na onda plana con el ector de onda

&a inte'ral

dier'e

so.re todo el e+e 2or lo tanto % 1e desi'nará por el con+nto de todas las ondas planas es decir de todas las !nciones correspondientes a los diersos alores de El n-mero $e ar"a continamente entre #  se considera como n "ndice contino $e nos permite eti$etar las diersas !nciones del con+nto % ?ecordemos $e el "ndice tili/ado para el con+nto considerado anteriormente era discreto% &as !,rmlas

(A>DG) se pede reescri.ir sando

(A>D;)6

80B


Estas dos !,rmlas pede ser comparado a # ( &a relaci,n e3presa la idea de $e cada !nci,n se pede desarrollar en na -nica !orma # en términos de la

es decir las ondas planas% 9ado $e el "ndice

ar"a continamente # no en !orma discreta la sma $e aparece en de.e ser sstitido por na inte'raci,n so.re &a relaci,n como

da

el componente de en en !orma de n prodcto escalar  %El con+nto de estos componentes $e corresponden a los diersos alores posi.les de 2or lo tanto #a sea de

constit#e na !nci,n

de la trans!ormada de orier

es el análo'o de % Estos dos n-meros comple+os $e dependen o en

representan los componentes de la misma !nci,n

.ases di!erentes6

#

en dos

%

Este pnto tam.ién aparece con claridad si se calcla el cadrado de la norma de

9e acerdo con la relaci,n de 2arseal app%  la !,rmla

Una !,rmla $e se aseme+a a (

si reempla/amos

por

 tenemos6

#

por

%

Vamos a demostrar $e de.e cmplir con na relaci,n de clasra% Utili/ando la !,rmla éase el apéndice la ecaci,n 6

( Nos encontramos con6

 1,lo hemos de5nido el prodcto escalar de dos !nciones de cadrado inte'ra.le pero esta de5nici,n se pede e3tender !ácilmente a casos como éste siempre $e la inte'ral coner'e correspondientes%

880


Esta !,rmla es el análo'o de (92) por

(A>D:) con de neo la sstitci,n de

( =T)%

2or -ltimo amos a calclar el prodcto escalar (V2 V2) con el 5n de er si e3iste n e$ialente de la relaci,n de orto>normali/aci,n% Usando de neo (A>DB) se o.tiene6

es decir6

Comparar

#

En l'ar de tener dos "ndices discretos

#

# n delta

de @ronecFer  ahora tenemos dos "ndices continos # # na !nci,n delta de la di!erencia entre los "ndices Ten'a en centa $e si ponemos  el prodcto escalar

se ale+a de neo emos $e

constit#e n mal so del término llamaremos normali/aci,n4% Es tam.ién a eces se dice $e el sentido de 9irac4%

% An$e esto

na relaci,n de 4orto> están 4orto>normali/ado en

&a 'enerali/aci,n a tres dimensiones no presenta di5cltades% Consideramos $e las ondas planas6

&as !nciones de la .ase ahora dependen de los tres "ndices continos condensados en la notaci,n Es entonces !ácil demostrar $e las si'ientes !,rmlas son álidas6

888


Ellos representan las 'enerali/aciones de

#

As" el

se pede considerar $e constit#en na 4!orma contina4% Todas las !,rmlas esta.lecidas anteriormente para la .ase discreta se peden e3tender a esta .ase contina tili/ando las re'las de correspondencia resmidos en la ta.la

.% 4 UNCIONE1 9E&TA” 9e la misma manera amos a introdcir n con+nto de !nciones de marcado por el "ndice contino (notaci,n condensada para # se de5ne por6

?epresenta el con+nto de !nciones delta centrada en los diersos pntos del espacio \

no es o.iamente de cadrado inte'ra.le6

Entonces considere las si'ientes relaciones $e son álidos para todas las !nciones  perteneciente a la

Ellos peden ser reescrito sando

en la !orma6

E3presa el hecho de $e cada !nci,n solamente na !orma en términos de la

se pede desarrollar en na # mestra $e el componente

de en la !nci,n (se trata a$" con !nciones de .ase real) es precisamente el alor de en el pnto # son análo'os # 6 simplemente sstitir el "ndice discreta por el "ndice contino #

por

%

88:


Es por lo tanto el e$ialente de 6 estos dos n-meros comple+os $e dependen #a sea en o en representan los componentes de la misma !nci,n en dos .ases di!erentes6 ,rmla



se conierte en6

1e e $e la aplicaci,n de para el caso de la .ase contina en la de5nici,n del prodcto escalar% inalmente n,tese $e la

reslta

satis!acen 4orto>normali/aci,n4 # las relaciones

de clasra del mismo tipo $e apéndice 6

As" pes tenemos la !,rmla

del

Todas las !,rmlas esta.lecidas para la .ase discreta  lo $e pede ser 'enerali/ado para la .ase contino tili/ando las re'las de correspondencia (resmidos en el cadro

)%

COMENTA?IO IM2O?TANTE6 &a tilidad de las .ases continas $e hemos introdcido se reela con ma#or claridad en lo $e si'e% 1in em.ar'o no de.emos perder de ista el pnto si'iente6 n estado !"sico siempre de.e corresponder a na !nci,n de onda de cadrado inte'ra.le% En nin'-n caso pede o representan el estado de na part"cla% Estas !nciones son nada más $e intermediarios m# -tiles en los cálclos $e implican las operaciones en las !nciones de onda $e se tili/an para descri.ir n estado !"sico% Una sitaci,n análo'a se encentra en la ,ptica clásica donde la onda plana monocromática es na !orma matemática m# -til pero irreali/a.le 88D


!"sicamente la ideali/aci,n% Inclso los 5ltros más selectios siempre permitir el paso de na .anda de !recencia $e pede ser m# pe$e ña pero nnca es e3actamente i'al a cero% &o mismo es cierto para las !nciones 2odemos ima'inar na !nci,n de onda cadrada inte'ra.le locali/ado so.re  por e+emplo6

9onde

son (!nciones $e tienen n pico de ancho

# amplitd e centrado

en  tal $e (er del Apéndice para e+emplos de estas !nciones)% Cando <e #a no es de cadrado inte'ra.le% 2ero de hecho es imposi.le tener n estado !"sico $e corresponde a este l"mite6 como locali/ado como el estado !"sico de na part"cla pede ser (t) nnca es e3actamente i'al a cero% c% 7ENE?A&IÂCIÓN6 A1E1 4O?TONO?MA&E14 CONTINUA1 % e;nición &a 'enerali/aci,n de los resltados o.tenidos en los dos párra!os anteriores de acerdo a la .ase 4orto>normal contina 4 n con+nto de !nciones de marcado por n "ndice contno  $e satis!ace las dos si'ientes relaciones la de orto>normali/aci,n # las relaciones de clasra6

Comentarios 1i

dier'e% 2or lo tanto

2ede representar arios "ndices como es el caso de anteriores%

#

en los e+emplos

Es posi.le ima'inar na .ase $e incl#e las dos !nciones eti$etados mediante n "ndice discreto # !nciones marcados mediante n "ndice contino% En este caso el con+nto de no !orma na .ase\ el con+nto de de.e ser añadido a la misma% Citemos n e+emplo de esta sitaci,n% Consideremos el caso de la pla/a ha estdiado .ien en del cap"tlo (éase tam.ién el complemento de )%

88G


Como eremos más adelante el con+nto de los estados estacionarios de na part"cla en n potencial independiente del tiempo constit#e na .ase% 2ara tenemos los nieles discretos de ener'"a a la $e corresponden las !nciones de onda cadrados inte'ra.les marcados mediante n "ndice discreto% 2ero estos no son los estados estacionarios $e s,lo son posi.les% &a ecaci,n del cap"tlo I tam.ién se cmple para todos por las solciones $e están delimitadas sino $e se e3tienden por todo el espacio # por tanto no están son de cadrado inte'ra.le% En el caso de n 4mi3to4 (discreta # contina) .ase orthonormali/ation son los si'ientes6

las relaciones

 la relaci,n clasra se conierte en6

"os componentes de una %unción de onda

1iempre se pede escri.ir6

Utili/ando la e3presi,n para inertir el orden de

#

dada por

# sponiendo $e podemos

 se o.tiene6

Es decir6

(A>J8) e3presa el hecho de $e cada !nci,n de onda e3pansi,n -nica en términos de

la (_A>r)% El componente

(i R !r) tiene na (CCC) de

la 88;


(i+ R r) en escalar

(a>r) es i'al de acerdo con

(A>J:) para el prodcto

(Za t R X)%

E$presión del producto escalar y la norma en t=rminos de los componentes

1ea # términos de

dos !nciones cadrado>inte'ra.les c#os componentes en son conocidos

Calclar s prodcto escalar6

&a -ltima inte'ral está dada por

es decir6

En particlar6

Todas las !,rmlas del

por lo tanto se pede 'enerali/ar tili/ando las

re'las de correspondencia de la ta.la

&as !,rmlas más importantes esta.lecidas en esta secci,n se ensam.lan en la ta.la 9e hecho no es necesario $e les recerde en esta !orma6 amos a er $e la introdcci,n de la notaci,n de 9irac nos permite $e re derie de na !orma m# simple%

88J


0. ESPAC#O DE ESTADO. NOTAC# ÓN de D#AC &. introducci/n

En el cap"tlo

hemos se ñalado $e el si'iente postlado6 el estado cántico

de na part"cla se de5ne en n instante dado por na !nci,n de onda % &a interpretaci,n pro.a.il"stica de la !nci,n de onda re$iere $e sea de cadrado inte'ra.le% Este re$isito nos lle, a estdiar el espacio % A continaci,n encontr, en particlar $e la misma !nci,n pede ser representada por arios con+ntos distintos de los componentes cada no correspondiente a la elecci,n de na .ase ta.la % Este resltado pede interpretarse de la si'iente manera6

o

 o

caracteri/a el estado de na part"cla tan .ien como la !nci,n de onda si el .ase $e se tili/a se ha especi5cado con anterioridad% 2or otra parte se parece en la ta.la en el mismo niel $e # el alor $e la !nci,n de onda toma en n pnto de espacio pede ser considerado como s componente con respecto a na !nci,n espec"5ca particlar (la !nci,n .ase )%

de na .ase en

88


2or lo tanto nos encontramos en na sitaci,n $e es análo'a a la encontrada en el espacio ordinario la posici,n de n pnto en el espacio pede ser descrito por n con+nto de tres n-meros $e son ss coordenadas con respecto a n sistema de e+es de5nidos en aan/ar% 1i no cam.ia los e+es otro con+nto de coordenadas se corresponde con el mismo pnto% 2ero el concepto de ector 'eométrico # el cálclo ectorial nos permiten eitar hacer re!erencia a n sistema de e+es lo $e simpli5ca considera.lemente las dos !,rmlas # el ra/onamiento% Vamos a tili/ar n en!o$e similar a$"6 cada estado cántico de na part"cla se caracteri/a por n ector de estado $e pertenece a n espacio a.stracto  llamado el espacio de estados de na part"cla% El hecho de $e el espacio es n s.espacio de si'ni5ca $e es n s.espacio de n espacio de Hil.ert% Vamos a de5nir la notaci,n # las re'las de cálclo de ectores en % En realidad la introdcci,n de ectores de estado # el espacio de estado hacen al'o más $e simpli5car el !ormalismo% Tam.ién permite na 'enerali/aci,n del !ormalismo% En e!ecto e3isten sistemas !"sicos c#a cant"a descripci,n no pede ser dada por na !nci,n de onda6 eremos en los cap"tlos # $e este es el caso en $e los 'rados de 'iro de la li.ertad se tienen en centa inclso para na sola part"cla% En consecencia el primer postlado $e se e3pondrán en el cap"tlo será la si'iente6 el estado cántico de cal$ier sistema !"sico se caracteri/a por n ector de estado $e pertenece a n espacio <e es el espacio de estado del sistema% 2or lo tanto en el resto de este cap"tlo amos a desarrollar n cálclo ectorial en % &os conceptos $e amos a introdcir # los resltados $e se o.tienen son álidos para cal$ier sistema !"sico $e pede ser $e considere% 1in em.ar'o para ilstrar estos conceptos # los resltados $e serán de aplicaci,n al caso sencillo de na part"cla (sin spin) #a $e este es el caso $e hemos considerado anteriormente% Vamos a comen/ar en este apartado mediante la de5nici,n de la notaci,n de 9irac $e han demostrado ser m# -til en las maniplaciones !ormales $e se tienen $e reali/ar% +. vectores 7et7 y vectores 73ra7

a% E&EMENTO1 9E

@ET1 88L


% 2otación Cal$ier elemento o ector de espacio se llama n ector Fet o más simplemente n Fet% 1e representa por el s"m.olo en c#o interior se coloca n si'no distintio $e nos permite distin'ir el correspondiente Fet de todos los demás por e+emplo6 En particlar #a $e el concepto de na !nci,n de onda es #a !amiliar para nosotros amos a de5nir el espacio de los estados de na part"cla al asociarse con todas las !nciones de cadrado inte'ra.le en n ector de Fet de

6

2osteriormente se de.erá incorporar las distintas operaciones $e hemos introdcido para en % A pesar de # son isomor!os cidadosamente hará na distinci,n entre ellos a 5n de eitar con!siones # para reserar las posi.ilidades de 'enerali/aci,n se mencion, anteriormente en el % Hacemos hincapié en el hecho de $e la dependence #a no aparece en  # s,lo la letra aparece para recordarnos la !nci,n con la $e está asociado% se interpretarán en como el con+nto de los componentes del Fet en na .ase particlar r +e'a el papel de n "ndice éase # la ta.la % En consecencia el procedimiento $e estamos adoptando a$" consiste en la caracteri/aci,n inicial de n ector por ss componentes en n sistema de coordenadas priile'iado $e más tarde serán tratados en pie de i'aldad con todos los otros sistemas de coordenadas% 1e desi'nará por

el espacio de estado de na part"cla (sin spin) en na sola

dimensi,n es decir el espacio a.stracto constrido como en tili/ando las !nciones de onda $e dependen -nicamente de la aria.le

pero %

producto escalar

Con cada par de Fets

#

 tomada en este orden se asocia n n-mero

comple+o $e es s prodcto escalar satis!ace # $e los diersos propiedades descritas por las ecaciones # % Más adelante se ela a escri.ir estas !,rmlas en notaci,n de 9irac despés de ha.er introdcido el concepto de n 4.ra4% En el prodcto escalar de dos mercados coincidirá con el prodcto escalar de5nido anteriormente para las !nciones de onda asociadas% .% E&EMENTO1 9E& E12ACIO 9UA&

9E

?A1

e;nición del espacio dual 88B


?ecordemos en primer l'ar la de5nici,n de n !ncional lineal de5nida en los Fets

de

Un !ncional lineal

es na operaci,n lineal $e asocia n

n-mero comple+o con cada Fet

Operador lineal !ncional # lineal no ha# $e con!ndir% En am.os casos se está tratando con operaciones lineales pero el anterior asocia cada Fet con n n-mero comple+o mientras $e los -ltimos asocian otro Fet%1e pede demostrar $e el con+nto de !ncionales lineales de5nidas en los Fets constit#e n espacio ectorial $e se llama el espacio dal de # $e se sim.oli/a por 2otación 8ra para los vectores de

Cal$ier elemento o ector del espacio simplemente .ra% Es sim.oli/ada por !ncionales lineales

se llama n ector .ra o más

2or e+emplo el .ra

# en adelante amos a tili/ar la notaci,n

indicar el n-mero $e se o.tiene haciendo $e la !nci,n lineal

desi'na a las para para

$e act-e en el Fet

El ori'en de esta terminolo'"a es la pala.ra 4.racFet4 $e se tili/a para denotar el s"m.olo 9e ah" el nom.re de 4.ra4 para el lado i/$ierdo # el nom.re de 4Fet4 para el lado derecho de este s"m.olo% c% CO??E12ON9ENCIA ENT?E @ET1  ?A1 ara cada ket corresponde un bra

&a e3istencia de n prodcto escalar en  ahora nos permitirá demostrar $e podemos asociar en cada Fet se denota por El Fet

n elemento de

es decir n .ra $e

en e!ecto nos permiten de5nir n !ncional lineal6 el no $e asocia

(en na !orma lineal) con cada Fet

n n-mero comple+o $e es i'al al

prodcto escalar de por 1pon'amos $e !ncional lineal sino $e se de5ne as" por la relaci,n6

$e este

% Esta correspondencia es anti lineal 8:0


En el espacio el prodcto escalar es anti lineal con respecto al primer ector% En la notaci,n de esto se e3presa por6

2arece a partir de

El Fet

$e el .ra asociado con el Fet

es el .ra

.ra la correspondencia es por lo tanto anti lineal%

Comentarios6 1i A es n n-mero comple+o # n mercado espacio ectorial)% A eces nos lle, a escri.ir como

Entonces se de.e tener cidado de recordar $e con el Fet tenemos6

es n mercado (

es n

representa el .ra asociado

9ado $e la correspondencia entre n .ra # n Fet es anti lineal

% 2otación de irác para el producto escalar Ahora tenemos a nestra disposici,n dos notaciones di!erentes para desi'nar el prodcto escalar de asociado con el mercado

por

o siendo el sostén A partir de entonces amos a sar s,lo la notaci,n

(9irác)6 Ta.la se resmen en la notaci,n de 9irác las propiedades del prodcto escalar $e #a 5'ra en el

¿>ay un ket que corresponda a cada bra? An$e a cada Fet corresponde n .ra amos a er en dos e+emplos esco'idos en $e es posi.le encontrar .ra $e no tienen Fets correspondientes% Más

8:8


adelante se mestran por $é esta di5cltad no nos impide en la mecánica cántica% Ejemplos elegidos en

2ara simpli5car amos a ra/onar en na dimensi,n%

1ea

na !nci,n real s5cientemente re'lar tal $e

la !orma de n pico de ancho # amplitd  centrado en es por e+emplo na de las !nciones consideradas en el

 # tiene er 5'% del apéndice % 1i

 (cadrado de s norma es del orden de ) 9enotemos por el correspondiente Fet6

Una !nci,n $e tiene n pico en (de anchra # amplitd ) c#a inte'ral entre # o es i'al a

1i todos los

Ahora amos a

1pon'amos $e

es el Fet asociada a este .ra por$e

tenemos6

tienden a cero% 2or n lado6

el cadrado de la norma de  por lo tanto6

Z3) $e es del orden de

 dier'e cando

2or otro lado cando la inte'ral se apro3ima a n l"mite per!ectamente .ien de5nida #a $e por lo s5cientemente pe$e ño pede ser sstitido en (por # se retira del inte'ral% En 8::


consecencia se acerca a n .ra $e desi'naremos por !nci,n lineal $e asocia con cada Fet de  el alor !nci,n de onda asociada en el pnto

As" emos $e el s+etador

es la asmida por la

e3iste pero el Fet no corresponde a la misma%

9e la misma maneraconsideremos na onda plana $e se trnca !era de n interalo de anchra

Con la !nci,n de

a rápidamente a cero !era de este interalo (sin de+ar de

ser contina # di!erencia.le)% Nosotros desi'naremos por

el Fet asociado

con

El cadrado de la norma de 2or lo tanto6

Consideremos ahora el .ra

Cando orier

$e es prácticamente i'al a

asociados con

% 2or cada

tiene n l"mite6 el alor de la

para

% 2or lo tanto cando

dier'e si

 tenemos6

de la trans!ormada de tiende hacia

n .ra .ien de5nido

Una e/ más no ha# correspondencia del Fet con el .ra la resolución %ísica de las di;cultades anteriores

8:D


Esta disimetr"a de la correspondencia entre los Fets # los .ras se relaciona #a $e los e+emplos anteriores mestran a la e3istencia de 4.ases continas4 para 9ado $e las !nciones $e constit#en estas 4.ases4 no pertenecen a no podemos asociar n Fet de con ellos% 1in em.ar'o s prodcto escalar con na !nci,n ar.itraria de se de5ne # esto nos permite asociar con ellos n !ncional lineal en es decir n .ra $e pertenece a &a ra/,n para tili/ar dichas 4.ases continas4 radica en s tilidad en ciertos cálclos prácticos% 2or la misma ra/,n ($e se hará más eidente en lo $e si'e) nos llea a$" para resta.lecer la simetr"a entre los Fets # los .ras con la introdcci,n de 4Fets 'enerali/ados4 de5nidos a traés de !nciones $e no son de cadrado inte'ra.le pero c#o prodcto escalar con todas las !nciones de e3iste% En lo $e si'e amos a tra.a+ar con los 4Fets4 como

o

( asociada con

O % No ha# $e olidar $e estos Fets 4'enerali/adas4 no peden en ri'or representar estados !"sicos% Ellos no son más $e intermediarios -tiles en los cálclos $e implican ciertas operaciones $e se tienen $e reali/ar en los Fets reales del espacio  $e en realidad caracteri/a a los estados cánticos de reali/aci,n% Este método plantea n cierto n-mero de pro.lemas matemáticos $e se peden eitar mediante la adopci,n del si'iente pnto de ista !"sico6 denota la realidad (o ) donde es m# pe$e ña (o es m# 'rande) en comparaci,n con todas las otras lon'itdes en el pro.lema $e estamos considerando% En todos los cálclos intermedios donde (o ) aparece el l"mite nnca se alcan/a de modo $e na está tra.a+ando siempre en El resltado !"sico o.tenido al 5nal del cálclo depende m# poco en el alor de

siempre # cando

es s5cientemente pe$e ña con

respecto a todas las otras lon'itdes6 es posi.le entonces a descidar $e es para a+star en el resltado 5nal (el procedimiento $e se tili/a para es análo'a)% &a o.+eci,n podr"a plantearse $e a di!erencia de # # cmplen

con

ri'or

no son .ases ortonormales en la medida en $e no la relaci,n de clasra% 9e hecho se cmplen

apro3imadamente% 2or e+emplo la e3presi,n es na !nci,n de $e pede serir como na e3celente apro3imaci,n para 1 representaci,n 'rá5ca es prácticamente n trián'lo de .ase # altra  centrado en (apéndice  1i es insi'ni5cante en comparaci,n con todas las otras lon'itdes en el pro.lema la di!erencia entre esta e3presi,n # es !"sicamente inaprecia.le% En 'eneral el espacio dal

# el espacio de estado no son isomor!os e3cepto

por spesto si es de dimensi,n 5nita  an$e para cada mercado de se corresponde n s+etador en el rec"proco no es cierto% No o.stante se 8:G


compromete a tili/ar además de los ectores $e pertenecen a (c#a norma es 5nita) los mercados 'enerali/ados con las normas in5nitas pero c#o prodcto escalar con cada mercado de es 5nito% 2or lo tanto a cada no de los .ra de no corresponderá n Fet% 2ero los .ra 'enerali/ados no representan a los estados !"sicos del sistema% D% los o,eradores lineales a% 9EINICIONE1 Estos son los mismos $e los de Un operador lineal se asocia cada Fet correspondencia es lineal6

El prodcto de dos operadores lineales si'iente manera6

Act-a en los primeros En 'eneral

El conmtador

de

#

de

el prodcto escalar6

#

#

escrito

para dar el Fet

1pon'amos $e entre

con otro Fet

entonces la

se de5ne de la

le'o act-a en el Fet #

es por de5nici,n6

dos mercados% &lamamos al elemento de la matri/

En consecencia este es n n-mero $e depende linealmente de

(Y si R) #

anti lineal en .% E=EM2&O1 9E O2E?A9O?E1 &INEA&E16 2?OECTO?E1 omentario importante sobre la notación de irac

8:;


 Es cierto $e el espacio de Hil.ert

# s espacio dal son isomor!os sin

em.ar'o hemos dado por el espacio de !nci,n de onda $e e3plica por $é es 4más 'rande 4$e

n s.espacio de lo

Hemos empe/ado a sentir en el párra!o anterior la sencille/ # la comodidad del !ormalismo de 9irac% 2or e+emplo

(b$) indica na !nci,n lineal (n .ra) #

el prodcto escalar de dos Fet # % El n-mero de asociados por la !nci,n lineal con n Fet ar.itrario se escri.e simplemente por la #3taposici,n de los s"m.olos

#

% Este es el prodcto escalar

de por el Fet $e corresponde a correspondencia no>a>no entre los Fets # .ras)% Ahora spon'amos $e escri.imos

#

(por lo $e es -til tener na

en el orden inerso6

Veremos $e si nos atenemos a la re'la de la #3taposici,n de s"m.olos esta e3presi,n representa n operador% Eli+a n Fet ar.itrario

a sa.emos $e

# ten'a en centa6

es n n-mero comple+o # en consecencia

Fet $e se o.tiene al mltiplicar por el escalar n Fet ar.itraria da otro Fet6 es n operador%

es n se aplica a

As" emos $e el orden de los s"m.olos es de importancia cr"tica% 1,lo n-meros comple+os se peden moer so.re con impnidad de.ido a la linealidad del espacio

# de los operadores $e se tili/an% En e!ecto si

es n n-mero6

2ero para Fets los .ras # los operadores el orden de.e ser siempre cidadosamente respetado por escrito en las !,rmlas6 este es el precio $e de.e pa'arse por la sencille/ del !ormalismo de 9irac% El proyector

1ea

(en un ket

)

es n Fet normali/ado a no6

Considere la posi.ilidad de $e el operador

se de5ne por6 8:J


# aplicarlo a n Fet ar.itrario

act-a en n Fet ar.itrario de proporcionalidad

o!rece n Fet proporcional a

es el prodcto escalar de

El coe5ciente

por

&a 4'eométrica4 importante de es m# clara6 es la 4pro#ecci,n orto'onal4 del operador en el Fet Esta interpretaci,n se con5rma por el hecho de $e (pro#ectando dos eces en scesi,n en n ector dado es e$ialente a la pro#ecci,n de na sola e/)% 2ara er esto escri.imos6

En esta e3presi,n tanto6

es n n-mero $e es i'al a 8 !,rmla

% 2or lo

royector sobre un subespacio

1ea s"6

son ectores normali/ados $e son orto'onales entre

9enotamos por 1ea

el s.espacio de

'enerado por estos ectores

%$será el operador lineal de5nido por6

Calclando

tenemos sando

8:


Es por lo tanto n pro#ector% Es !ácil er $e los pro#ectores s.espacio

so.re el

#a $e para cal$ier

<e act-a so.re en los diersos

o!rece la sperposici,n lineal de las pro#ecciones de es decir la pro#ecci,n de

en el s.espacio

G. la con>ugaci/n *ermitiana a% ACCIÓN 9E UN O2E?A9O? &INEA& 9E UN ?A Hasta ahora s,lo hemos de5nido la acci,n de n operador lineal en Fets% Ahora amos a er $e tam.ién es posi.le de5nir la acci,n de so.re .ras% Vamos a  n .ra .ien de5nido # considerando el con+nto de todos los .ra Con cada no de estos Fets se pede asociar el n-mero comple+o $e #a se ha de5nido anteriormente como el elemento de la matri/ de entre los # Como es lineal # el prodcto escalar depende linealmente del Fet el n-mero depende linealmente de As" por 5+o # $e pede asociarse con todos los Fets n n-mero $e depende linealmente &a especi5caci,n de # por lo tanto de5ne na !ncional lineal en los neos Fets de es decir n neo .ra $e pertenece a &o haremos%% ?e!erirse a este neo .ra por &a relaci,n $e de5ne se pede escri.ir6

El operador se asocia con cada .ra n neo .ra Vamos a demostrar $e la correspondencia es lineal con el 5n de hacer esto ten'a en centa na com.inaci,n lineal de los .ra

(lo $e si'ni5ca $e

9esde

#

) A partir de

tenemos6

es ar.itraria se si'e $e6

8:L


&a ecaci,n

por lo tanto de5ne na operaci,n lineal en los .ra% El .ra

es el .ra $e reslta de la acci,n del operador lineal

en el .ra

Comentarios 9e la de5nici,n

de

se e $e el l'ar de los paréntesis en el

s"m.olo $e de5ne el elemento de matri/ de entre # no tiene nin'na importancia% 2or lo tanto a partir de ahora de.erá desi'nar este elemento de la matri/ por la notaci,n

El orden relatio de

#

.>OC anteriormente)% Uno de.e escri.ir so.re n Fet

(c!% § D>

es m# importante en la notaci,n # no

$e act-a

proporciona n n-mero

hecho n .ra% 2or otro lado

por lo tanto es de

$e act-a so.re n Fet

dar"a

es decir n operador (el operador mltiplicado por el n-mero No hemos de5nido n o.+eto matemático de este tipo6 2or lo tanto no tiene sentido% .% E& operador ad+nto

de n operador lineal

Ahora amos a er $e la correspondencia entre los Fets # los .ra estdiados en nos permite asociar a cada operador lineal a otro operador lineal llamado el operador ad+nto (o hermitico con+'ado) de Veamos n Fet ar.itrario de

de

El operador

asociados con él otro Fet

(5'% :)% I7U?A : 9e5nici,n del operador ad+nto de n operador con la correspondencia entre los Fets # los .ra%

2ara el Fet

corresponde n .ra

\ de la misma manera a

corresponde

Esta correspondencia entre los .ra # los .ra lo $e nos permite de5nir la acci,n del operador en los .ras6 el operador se asocia con el .ra correspondiente al Fet Escri.imos6

el .ra

correspondiente a la +nta

Vamos a demostrar $e la relaci,n .ra

corresponde al Fet

es lineal% 1a.emos $e para el (la correspondencia

8:B


entre n .ra # n Fet es antilineal) El operador

se trans!orma

en 2or -ltimo a este Fet corresponde el .ra6

9e esto podemos conclir $e6

Es por lo tanto n operador lineal de5nido por la !,rmla6

A partir de operador escri.ir6

es !ácil dedcir otra relaci,n importante satis!echos por el % Usando las propiedades del prodcto escalar siempre se pede

9onde es n ar.itrario Fet de se o.tiene6

Uso de e3presiones

Una relaci,n $e es álido para todos

para

#

#

COMENTA?IO 1O?E &A NOTACIÓN a hemos mencionado na notaci,n $e pede llear a con!si,n6 donde

es n escalar !,rmlas

e3presiones # de desi'nar el mercado

donde

es el .ra asociado con el Fet

#

#

% El mismo pro.lema sr'e con las

(A) es n operador lineal%

Usando

#

es otra !orma

emos $e6

Cando n operador lineal A se toma !era el s"m.olo de .ra $e de.e ser sstitido por s ad+nto (# coloca a la derecha del .ra)%

8D0


c% CO??E12ON9ENCIA ENT?E UN O2E?A9O?  1U A9=UNTO Mediante el so de

o

Ahora amos a calclar Escri.ir en la !orma

% #a $e

es !ácil demostrar $e

2ara ello consideremos el Fet Y a+ste

A continaci,n6

A partir de esto se dedce $e6

Ten'a en centa $e los cam.ios de orden cando se tiene el ad+nto de n prodcto de los operadores%

COMENTA?IO6 9ado $e

podemos escri.ir sando

As" el lado i/$ierdo de pede ser reescrita en la !orma 9e la misma manera el lado derecho de esta misma ecaci,n se pede poner con la notaci,n de en la !orma A partir de estos resltados la si'iente ecaci,n a eces se sa para de5nir el operador ad+nto de

d% CON=U7ACIÓN HE?MITIANA EN 9I?AC NOTACI ÓN En la secci,n anterior hemos introdcido el concepto de n operador ad+nto mediante el so de la correspondencia entre los Fets # los .ras% Un Fet # s .ra correspondiente se dice $e son 4con+'ados hermitianos4 el no del otro% &a operaci,n de con+'aci,n hermitiana está representada por las *echas ondladas en la 5'ra : emos $e se asocia con Esta es la ra/,n por la cal tam.ién se conoce como el operador con+'ado hermitiano de &a operaci,n de con+'aci,n hermitiana cam.ia el orden de los o.+etos a los $e se aplica% As" emos en la 5'ra : $e se conierte en El mercado se trans!orma en # en 9e la misma manera hemos isto en

2or otra parte el orden se inierte% $e el con+'ado hermitiana de n 8D8


prodcto de dos operadores es i'al al prodcto de los con+'ados hermitianos adoptadas en el orden opesto% 2or -ltimo amos a demostrar $e6

1e sstit#e por relaci,n

#

por

para el operador

nos encontramos con6

Ahora .ien si samos la propiedad

Mediante la comparaci,n de

# se cam.ia el orden)% Aplicando la

del prodcto escalar6

#

se pede deriar

El resltado de la operaci,n de con+'aci,n hermitiana en na constante si'e siendo $e se encentran% Vemos de # $e esta operaci,n simplemente se trans!orma acerdo con el hecho de $e

en

(con+'aci,n comple+a)% Esto está de

2or lo tanto el con+'ado hermitiano de n mercado es n .ra # iceersa el de n operador es s ad+nto el de n n-mero s comple+o con+'ado% En la notaci,n de 9irac la operaci,n de la con+'aci,n hermitiana es m# !ácil de reali/ar .asta con aplicar la si'iente re'la6

?E7&A 2ara o.tener el con+'ado hermitiano (o el ad+nto) de na e3presi,n compesta de constantes Fets los .ras # los operadores se re$iere6 > Vela a colocar las constantes de ss comple+os con+'ados los Fets por parte de los .rass asociados con ellos los .ras de los Fets asociados a los mismos los operadores de ss ad+oints > Inertir el orden de los !actores (la posici,n de las constantes no o.stante no es de importancia)%

E=EM2&O1

8D:


este

operador

es n operador ( # se o.tiene mediante

el

son n-meros)% El ad+nto de so de la re'la anterior

6 $e tam.ién se pede escri.ir cam.iando la posici,n de los n-meros # 9e la misma manera

es n Fet (

es con+'ado

#

(son constantes)% El .ra

$e tam.ién se pede escri.ir

e% operadores hermitianos El operador

se dice $e es hermitiana si es i'al a s ad+nto es decir si6

&a com.inaci,n de relaci,n6

#

$e es álido para todos

emos $e n operador herm"tico satis!ace la

#

inalmente para n operador herm"tico

se conierte

Vamos a tratar a los operadores hermitianos en detalle más adelante si tenemos en centa el pro.lema de alores # ectores propios% 2or otra parte nos eremos en el cap"tlo  $e los operadores hermitianos +e'an n papel !ndamental en la mecánica cántica% 1i la !,rmla pro#ector

se aplica al caso en $e es hermitiana6

Vemos $e el

COMENTA?IO6 El prodcto de dos operadores hermitianos # es hermitiana s,lo si En e!ecto si # (se pede demostrar tili/ando $e es i'al a s,lo si

$e

C% ?E2?E1ENTACI ÓN EN E& E12ACIO 9E& E1TA9O 8% introdcci,n a% 9EINICIÓN 9E UNA ?E2?E1ENTACIÓN Ele'ir na representaci,n si'ni5ca ele'ir na .ase orto normal #a sea discreta o contina en el espacio de estados Vectores # los operadores están a

8DD


continaci,n representado en esta .ase de n-meros6 los componentes de los ectores elementos de la matri/ de los operadores% El cálclo ectorial introdcido en se conierte entonces en na matri/ de cálclo con estos n-meros% &a elecci,n de na representaci,n es en teor"a ar.itraria% En realidad es o.io $e depende del pro.lema particlar $e está siendo estdiada6 en cada caso se eli'e la representaci,n $e condce a los más sencillos cálclos% .% O=ETIVO 9E &A 1ECCI ÓN C Usando la notaci,n de 9irac # para cal$ier ar.itrariedad del espacio  amos a tratar de neo todos los conceptos introdcidos en # para las .ases discretas # continas de Vamos a escri.ir las dos relaciones caracter"sticas de na .ase en la notaci,n de 9irac6 las relaciones ortho normali/ation # clasra% A continaci,n amos a mostrar c,mo con estas dos relaciones es posi.le resoler todos los pro.lemas espec"5cos relacionados con la representaci,n # la trans!ormaci,n de na representaci,n a otra% :% ?elaciones caracter"sticas de na .ase orto normal a% ?E&ACIÓN de O?THONO?MA&IÂTION Un con+nto de Fets discreto o contino se dice $e es Orto normal si los Fets de este con+nto satis!acen la relaci,n ortho normali/ation6

o

1e pede o.serar $e para n con+nto contino tienen na norma in5nita # por lo tanto no pertenecen a ectores de

se pede ampliar en el

no e3iste6 el 1in em.ar'o los

Es -til por lo tanto a aceptar el

como Fets 'enerali/adas (er las discsiones en

#

)%

.% ?E&ACIÓN 9E C&AU1U?A Un con+nto discreto cada Fet

$e pertenece a

o na contina

constit#e na .ase si

tiene na e3pansi,n -nica so.re el

o el

8DG


1pon'amos

además

$e

la

.ase

es

ortonormal%

mltiplicaci,n por escalares en am.os lados de de con componentes

1e o.tiene tili/ando

con o

&e'o

reali/ar

la

# en am.os lados

las e3presiones de los

o

Entonces sstitir en

por

# en

por

#a $e en se pede colocar el n-mero despés del Fet de la misma manera en podemos colocar el n-mero despés de $e el Fet %

2or lo tanto emos a dos operadores de aparecer Ellos act-an en cada Fet $e pertenece a 2esto $e es ar.itrario se dedce $e6



para dar el mismo Fet

9onde denota el operador identidad en &a relaci,n o se llama la relaci,n de clasra% 2or el contrario amos a demostrar $e las relaciones #

e3presa el hecho de $e los con+ntos

.ases% 2or cada

$e pertenecen ha

#

 constit#en las

se pede escri.ir6

8D;


con6 9e la misma manera6

con6

As" cada Fet tiene na e3pansi,n en el -nico o en el Cada no de estos dos con+ntos tanto constit#e na .ase n no o n discreto n contino% Tam.ién emos $e la relaci,n o nos ahorra la necesidad de memori/ar las e3presiones # para los componentes # COMENTA?IO16 1e erá más adelante $e en el caso del espacio las relaciones se pede dedcir !ácilmente a partir de #

#

la interpretaci,n 'eométrica de la relaci,n de cierre% 9e la discsi,n de emos $e so.re el s.espacio ('enerado por .ase cada Fet de 1e pede ampliar en el

Y es n pro#ector6 El pro#ector 1i el !orman na el s.espacio es idéntico a la

propia >espacio% En consecencia es ra/ona.le $e para ser i'al a la identidad del operador6 2ro#ectar en n Fet $e pertenece a no modi5ca este Fet El mismo ar'mento pede ser se aplica a Ahora se pede encontrar n e$ialente de la relaci,n de cierre para el espacio tridimensional de la 'eometr"a ordinaria 1i # son tres ectores ortonormales de este espacio # # son los pro#ectores en estos tres ectores el hecho de $e constit#e na .ase en se e3presa por la relaci,n

2or otro lado constit#e n con+nto orto normal pero no na .ase de Esto se e3presa por el hecho de $e el pro#ector ( $e se pro#ecta en el plano 'enerado por # ) no es i'al a por e+emplo6 %Ta.la se resmen las -nicas !,rmlas !ndamentales $e son necesarios para cal$ier cálclo $e se reali/a en el

o

representaci,n% 8DJ


D% ?epresentaci,n de los Fets # los .ras a% ?E2?E1ENTACI ÓN 9E n Fet En la .ase  el Fet está representado por el con+nto de ss componentes es decir por el con+nto de n-meros (Estos n-meros peden ser dispestos erticalmente para !ormar na matri/ de na colmna (con en 'eneral n in5nito nmera.le de 5las)6

En na .ase contina  el Fet está representada por na in5nidad contina de n-meros es decir por na !nci,n de Es entonces posi.le di.+ar n e+e ertical a lo lar'o de la cal se colocan los diersos alores posi.les de 2ara cada no de estos alores corresponde n n-mero

.% ?E2?E1ENTACI ÓN 9E ?A’s 1ea

es n .ra ar.itraria% En la .ase

 podemos escri.ir6

(2 bb Y) tiene n desarrollo -nico en el .ras &os componentes de son los comple+os con+'ados de los componentes (del Fet

asociada con

)

9e la misma manera se o.tiene en la .ase

6

8D


&os componentes de componentes

(son los comple+os con+'ados de los del Fet

asociada con

Hemos acordado para or'ani/ar los componentes de n Fet ertical% Antes de descri.ir la !orma de or'ani/ar los componentes de n .ra amos a mostrar c,mo la relaci,n de clasra nos permite encontrar simplemente la e3presi,n del prodcto escalar de dos Fet en términos de ss componentes% 1a.emos $e siempre se pede colocar

entre

#

en la e3presi,n del prodcto escalar6

9e la misma manera6

Vamos a or'ani/ar los componentes del .ra en posici,n hori/ontal para !ormar na matri/ 5la ($e tiene na 5la # n n-mero in5nito de colmnas)6

El so de este conenio

es el prodcto de la matri/ de la matri/ de la

colmna $e representa a # la matri/ de la 5la $e representa El resltado es na matri/ $e tiene na 5la # na colmna es decir n n-mero% En la .ase



tiene na in5nidad contina de componentes

&os diersos alores de

na se colocan a lo lar'o de n e+e hori/ontal% 2ara

cada no de estos alores corresponde a n componente

de

COMENTA?IO6 En na representaci,n dada las matrices $e representan n Fet # el .ra asociado son con+'ados hermitianos el no del otro (en el sentido de la matri/)6 se pasa de na matri/ a otra mediante el intercam.io de 5las # colmnas # teniendo el comple+o con+'ado de cada elemento% G% ?epresentaci,n de los operadores

8DL


a% ?E2?E1ENTACIÓN 9E

UNA 2O? UNA MAT?I^ ‘CUA9?A9A’

9ado n operador lineal  podemos en na .ase él na serie de n-meros de5nidos por6

o

 asociar con

o Estos n-meros dependen de dos "ndices # por lo tanto peden ser dispestos en n 4cadrada4 matri/ $e tiene na in5nidad nmera.le o contina de 5las # colmnas% &a conenci,n ha.ital es $e el primer "ndice de 5+ar las 5las # el se'ndo las colmnas% As" en la .ase  el operador está representado por la matri/6

1e e $e la colmna trans!ormada

se compone de los componentes de la .ase

de la

del ector de la .ase

2ara na .ase contina tra/amos dos e+es perpendiclares entre s"% 2ara n pnto $e tiene por e+e de a.scisas corresponde el n-mero

(a S) # por s ordenada

(a) le

Vamos a sar la relaci,n de clasra para el cálclo de la matri/ $e representa el operador de la .ase 6

&a conenci,n ele'ida anteriormente para la disposici,n de los elementos 2or consi'iente se consistente con la relatia al prodcto de dos

8DB


matrices6 e3presa el hecho de $e la matri/ $e representa el operador es el prodcto de las matrices asociadas con # .% ?E2?E1ENTACI ÓN MAT?ICIA& 9E& @ET El pro.lema es el si'iente6 conocer los componentes de # los elementos de matri/ en na representaci,n dada ¿c,mo podemos calclar los componentes de en la misma representaci,n En la .ase

 la coordenada

de

están dadas por6

1i s,lo tiene $e insertar la relaci,n de clasra entre

2ara la .ase

#

se o.tiene6

 se o.tiene de la misma manera6

&a e3presi,n de la matri/ es m# simple% Vemos por e+emplo a partir de $e la matri/ de la colmna $e representa es i'al al prodcto de la matri/ de la colmna $e representa # la matri/ cadrada $e representa

c% E2?E1I ÓN 2A?A E& NÚME?O Mediante la inserci,n de la relaci,n de clasra entre #

#

# entre de neo

se o.tiene6

8G0


> 2ara la ase

6

> 2ara la ase

6

&a interpretaci,n de estas !,rmlas en el !ormalismo de la matri/ es como si'e6 es n n-mero es decir na matri/ con na 5la # na colmna $e se o.tiene mltiplicando la matri/ de la colmna $e representa por primera e/ por la matri/ cadrada $e representa # le'o por la matri/ 5la representa

2or e+emplo en la .ase

6

COMENTA?IO16 1e pede demostrar de la misma manera $e el .ra

está representado

por na matri/ de 5la el prodcto de la matri/ cadrada $e representa por la matri/ 5la representa las dos primeras matrices de la parte derecha de % Neamente emos la importancia del orden de los s"m.olos6 la e3presi,n condcir"a a na operaci,n de matri/ $e es inde5nido (el prodcto de na matri/ 5la por na matri/ cadrada)% 9esde n pnto de ista de matri/ la ecaci,n $e de5ne e3presa simplemente la asociatiidad del prodcto de las tres matrices $e aparecen en Uso de las conenciones anteriores se e3presa cadrada6

por na matri/

8G8


Esto es de hecho n operador mientras $e la colmna por na matri/ 5la es n n-mero% 9% ?E2?E1ENTACIÓN MAT?ICIA& 9E &A A9=UNTA Usando

el prodcto de na matri/ de 9E

se o.tiene !ácilmente6

o

2or lo tanto las matrices $e representan # en na representaci,n dada están con+'ados hermiticamente el no del otro en el sentido de la matri/6 no pasa de no a otro por 5las # colmnas intercam.iando # le'o tomando el comple+o con+'ado% 1i

es hermitiana por

entonces pede reempla/ar

por

en

#

en

Un operador herm"tico se representa por na matri/ hermitiana es decir na en la $e cal$iera de los dos elementos $e son simétricas con respecto a la dia'onal principal son comple+os con+'ados no del otro% En particlar para o # se conierten en6

&os elementos de la dia'onal de na matri/ hermitiana son por lo tanto los n-meros siempre reales% ;% Cam.io de representaciones a% ?E1UMEN 9E& 2?O&EMA En na representaci,n dada n Fet (o n .ra o n operador) está representado por na matri/% 1i cam.iamos representaciones es decir las .ases el mismo Fet (o .ra o el operador) estará representada por na matri/ di!erente% ¿C,mo están relacionados estos dos matrices 8G:


En aras de la simplicidad spondremos a$" $e estamos pasando de na .ase discreta ortonormal a otra discreta .ase orto normal En amos a estdiar n e+emplo de cam.io de na !orma contina a otra !orma contina% El cam.io de .ase se de5ne mediante la especi5caci,n de los componentes de cada no de los Fets de la nea .ase en términos de cada na de los Fets de lo anterior% Vamos a esta.lecer6

Es la matri/ del cam.io de .ase (la trans!ormaci,n de matri/)% 1i con+'ado hermitiano6

denota s

&os cálclos se peden reali/ar m# !ácilmente # sin memori/aci,n mediante el so de las dos relaciones de cierre6

# las dos relaciones orthonormali/ation6

COMENTA?IO6 &a matri/ de trans!ormaci,n satis!ace6

donde

es nitaria (complemento

)% Es decir se

es la matri/ nidad% En e!ecto emos $e6

9e la misma manera6

.% T?AN1O?MACIÓN 9E &O1 COM2ONENTE1 9E UN @ET

8GD


2ara o.tener los componentes de n Fet en la nea .ase de ss componentes en la .ase anterior no simplemente inserta (entre #

&as e3presiones inersas se peden deriar de la misma manera tili/ando

c% T?AN1O?MACIÓN 9E &O1 COM2ONENTE1 9E UN ?A El principio del cálclo es e3actamente el mismo% 2or e+emplo6

d% T?AN1O?MACIÓN 9E &O1 E&EMENTO1 MAT?I^ 9E UN O2E?A9O? 1i en o.tiene6

$e la inserci,n

entre

#

# de neo entre

#

se

es decir6

9e la misma manera6

9% ECUACIONE1 VA&O?E1 2?O2IO1% O1E?VA&E1 8% Valores # ectores propios de n operador

8GG


a% 9EINICIONE1 se dice $e es n ector propio (o Fet propio) del operador lineal

si6

9onde es n n-mero comple+o% Vamos a estdiar n cierto n-mero de propiedades de la ecaci,n la ecaci,n de alores propios del operador lineal En 'eneral esta ecaci,n tiene solciones s,lo cando reali/a en ciertos alores llamados alores propios de El con+nto de los alores propios se llama el espectro de N,tese $e si es n ector propio de con el alor propio (donde es n n-mero comple+o ar.itrario) es tam.ién n ector propio de con el mismo alor propio6

2ara li.rarnos de esta am.i'edad nos ponemos de acerdo para normali/ar los ectores propios de (8)6

2ero esto no elimina completamente la am.i'edad #a $e donde es n n-mero real ar.itrario tiene la misma norma como Más adelante eremos $e en la mecánica cántica los resltados !"sicos o.tenidos con las predicciones son los mismos% El alor propio se llama no de'enerado (o simple) cando s propio correspondiente es -nico dentro de n !actor constante es decir cando todos ss atos ectores asociados son colineales% 2or otro lado si e3isten al menos dos Fets linealmente independientes $e son ectores propios de con el mismo alor propio este alor propio se dice $e está de'enerado% 1 'rado ( orden) de la de'eneraci,n es entonces el n-mero de ectores propios linealmente independientes $e se asocian con él (el 'rado de de'eneraci,n de n alor propio pede ser 5nito o in5nito)% 2or e+emplo si es eces de'enerado (') corresponden al mismo Fets independientes tal $e6

2ero le'o cada Fet

de la si'iente !orma6

es n ector propio de coe5cientes #a $e6

con el alor propio

independientemente de los

8G;


En consecencia el con+nto de ato ectores de asociado con constit#e n espacio ectorial ' dimensiones ($e pede ser de dimensi,n in5nita) llamado el 4ei'en s.espacio4 del alor propio En particlar es e$ialente a decir $e es no de'enerada o decir $e s 'rado de de'eneraci,n es 2ara ilstrar estas de5niciones amos a ele'ir el e+emplo de n pro#ector (con )% 1 ecaci,n de alores propios está escrita6

es decir

El Fet en el lado i/$ierdo es siempre colineal con cero% En consecencia los ectores propios de son6 por n lado en s" con n alor propio de por el otro lado todos los Fets son orto'onales a para lo cal el alor propio asociado es El espectro de por lo tanto incl#e s,lo dos alores6 # &a primera es simple el se'ndo in5nitamente de'enerado (si el espacio de estado considerado es de dimensi,n in5nita)% El s.espacio propio asociado con es el splemento de (éase )% COMENTA?IO16 Tomando el con+'ado hermitiano de am.os lados de la ecaci,n o.tenemos6

2or lo tanto si

es n Fet propio de

con n alor propio

pede decir $e es n .ra propio de con n alor propio amos a insistir en el hecho de $e salo en el caso en $e

tam.ién se 1in em.ar'o es herm"tico

nada se pede decir a priori so.re  En n espacio ectorial

dos s.>espacios

complementarios si todos los Fets

de

#

se dice $e son

se pede escri.ir



donde Y # pertenecen respectiamente $e # # si # son dis+ntos (no com-n6 Fet distinto de cero la e3pansi,n es entonces -nico) En realidad e3iste na in5nidad de s.>s.>espacios adicionales a na determinada s.>espacio 1e pede solcionar al o.li'ar a $e sea orto'onal a %Esto se hará a traés de este li.ro a pesar de $e la

8GJ


pala.ra 4orto'onal4 no a a ser e3pl"citamente por escrito antes de splemento% E+emplo6 En el espacio tridimensional tridimensional ordinaria ordinaria si cal$ier cal$ier l"nea recta ar.itraria ar.itraria no contenida en  Es la recta $e pasa por el ori'en # orto'onal a

es n plano

pede ser

El splemento splemento orto'onal de

2ara ser totalmente ri'roso se de.e resoler la ecaci,n de alores propios en el espacio espacio Es decir no de.e considerar s,lo a$ellos ector ectores es propi propios os $e tienen na norma 5nita% 9e hecho nos eremos o.li'ados a tili/ar los ope pera rado dorres para para $e $e los los atos atos ect ector ores es no cm cmpl plen en esta esta con condi dici ci,n ,n 2or lo lo tanto tan to se con concede cede $e los ect ector ores es $e son sol solcio ciones nes de pede ser 4F 4Fets ets 'enerali/ados4% .% ENCONT?AN9O &O1 VA&O?E1  VECTO?E1 2?O2IO1 9E UN O2E?A9O? 9ado n oper operador ador line lineal al ( ¿c,mo encentra no todos ss alores propios # los ectores propios correspondientes Estamos preocpados por esta cesti,n desde n pnto de ista pramente práctico% práctico% Vamos Vamos a considerar el caso en $e el esp espaci acio o de est estado ados s es de dim dimens ensi,n i,n 5n 5nita ita # am amos os a adm admit itir ir $ $e e lo los s resltados peden ser 'enerali/ados a n espacio de estados de dimensi,n in5nita% Vamos a ele'ir na repr representaci,n esentaci,n por e+emplo ecaci,n ectorial

# amos a pro#ec pro#ectar tar la

en los ectores de la .ase ortonormales di!erentes

9e la Inserci,n de la relaci,n de clasra entre

#

se o.tiene6

Con la notaci,n ha.ital6

&a ecaci,n

pede escri.irse6

o

2e ede de se serr co cons nsid ider erad ado o co como mo n si sist stem ema a de ec eca aci cion ones es do dond nde e la las s inc,'n 'nit itas as son son lo los s los compon onen ente tes s de dell ec ecttor cara carac cte terr"s "sti tic co en la representaci,n ele'ida% Este sistema es lineal # homo'éneo% 8G


&a ecaci,n caracter"stica El sist sistema ema

se com compone pone de ecacio ec aciones nes en inc,'nit inc, 'nitas as 2esto $e es lineal # homo'énea $e tiene na solci,n no triial (la (l a sol solci ci,n ,n trii triial al es a$e a$ella lla par para a la $e $e todos todos los los son cer cero) o) si # s,lo s,lo si el determinante de los coe5cientes es cero% Esta condici,n está escrita6

9onde

es la matri/

de los elementos

#

es la matri/ nidad%

&a ecaci,n llamada la ecaci,n caracter caracter"stica "stica (o ecaci,n seclar) nos perrmi pe mite te dete deterrmi mina narr todos todos los los al alor ores es prop propio ios s del ope opera rado dorr es deci decir r s espectro% se pede escri.ir de !orma e3pl"cita en la !orma6

1e trata de na ecaci,n de orden en # en consec consecencia encia tiene ra"ces reales o ima'inarios distintos o idénticos es !ácil de demostrar mediante la reali/aci,n reali /aci,n de n cam.io ar.itrario ar.itrario de la .ase $e la ecaci,n caracter"stica caracter"stica es% independiente de la representaci,n ele'ida% 2or lo tanto los alores propios de n operador son las ra"ces de s ecaci,n caracter"stica% 9eterminaci,n de los ectores propios Ahor ora a am amos os a el ele e'i 'irr n al alor or pro propi pio o na sol ol ci,n de la eca ecac ci,n caracter"stica caracter "stica # amos a .scar a los ectores ectores propio propios s corr correspondientes espondientes%% Vamos a distin'ir entre dos casos6 En pri primer mer l' l'ar ar s spon pon'am 'amos os $e es na ra" ra"/ / si simpl mple e de la ec ecac aci,n i,n caracter"stica% caracter "stica% A contin continaci,n aci,n se pede demostrar $e el sistema cando se compone de ecaciones independientes es na conti co ntin naci aci,n ,n de los an anter terio iore res s # por lo tan tanto to re redn dndan dante% te% 2er ero o ten tenemo emos s inc,'nitas ha# por lo tanto n n-mero in5nito de solciones pero todos los se pede determinar de na manera -nica en términos de no de ellos por e+emplo % 1i 5+amos  se o.tiene de otros sistema de ecaciones lineales homo'éneas (el 4lado derecho4 de cada ecaci,n es el términ tér mino o en ) con n !ac !actor tor dete determ rminan inante te dist distinto into de cer cero o la las s ecacio ec aciones nes son independientes% &a solci,n de este sistema es de la !orma6

8GL


2esto 2est o $e el sistema inicial i'a i' all a

porr de po de5ni 5nici ci,n ,n # los

es lineal # homo'énea coe5c co e5cien ientes tes

partir de los elementos de la matri/ # di5eren di5e ren s,l s,lo o por el al alor or ele' ele'ido ido para por6

!or

es por spesto se de deter termin mina a a

&os ector ectores es propios asociados con Ellos Ell os son por lo tant tanto o todo todos s dada

Con

2or lo tanto cando 2or es na ra"/ simple de la ecaci,n caracter caracter"stica "stica s,lo n ector propio corresponde a él (dentro de n !actor constante)6 es n alor propio no de'enerados% Cando es na ra"/ de orden m-ltiple ha# dos posi.ilidades6

de la ecaci, ecaci,n n caracter" caracter"stica stica

> En 'ene 'eneral ral can cando do el sist sistema ema toda"a tod a"a está inte inte'rad 'rado o por ecaciones independientes% 1,lo n ector propio a continaci,n se corresponde con el alor propio El operador no se pede dia'onal i/ar en este caso6 los ectores ector es propi propios os de no son lo s5cient s5cientemente emente nmer nmerosos osos para ser capa/ de constrir con ellos solos na .ase del espacio de estados% > No o.stante cando  pede sceder $e el sistema s,lo tiene ecaciones independiente independientes s (donde es n n-mero ma#or $e pero no más de % 2ara el alor propio se corresponde entonces n s. espacio propio de dime dimensi, nsi,n n # es n alo alorr pro propio pio ec eces es de'e de'enera nerado% do% 1po 1pon'am n'amos os por e+emplo e+em plo $e por se com compone pone de ecacio ec aciones nes line linealme almente nte independ inde pendient ientes% es% Est Estas as eca ecacion ciones es nos per permite miten n calc calclar lar los coe5 coe5cien cientes tes en términos de dos cales$iera de ellos por e+emplo #

(O.iamente6 (O.iamente6 continaci,n de la !orma6

Todos los ector ectores es propio propios s asociado asociados s

son

Con6

8GB


&os e ect ctor ores es en e! e!ec ecto to co cons nsti tit t#e #en n n es espa paci cio o e ect ctor oria iall en do dos s dimensiones esta caracter"stica de ser de n do.le alor propio de'enerado% Can C ando do n op oper erad ador or es he herrmi miti tian ana a se p ped ede e de demo most stra rarr $ $e e el 'r 'rad ado o de de'en de 'enera eraci ci,n> ,n>de' de'ene enerac raci, i,n n de n a alor lor pr propi opio o es sie siempr mpre e i' i'al al a la mltiplicidad de la ra"/ correspondiente en la ecaci,n caracter"stica% 9ado $e en la ma#or"a de los casos se estdian s,lo los operadores hermitianos s,lo se necesita sa.er la mltiplic mltiplicidad idad de cada ra"/ de para o.tener de inmediato la dim dimens ensi,n i,n de s s. . esp espaci acio o pr propi opio o cor corre respo spondi ndient ente% e% As" As" en n esp espac acio io de dimen di mensi, si,n n 5n 5nita ita n ope opera rador dor he herm rm"t "tico ico si siemp empre re tie tiene ne ector ec tores es pr propi opios os linealmente independientes (eremos más adelante $e peden ser ele'idos para ser orto>normal)6 este operador por lo tanto pede dia'onali/arse :% o.sera.les a% 2? 2?O2 O2IE9 IE9A9E A9E1 1 9E &O1 VA& A&O? O?E1 E1 2? 2?O2I O2IO1 O1  VEC VECTO TO?E ?E1 1 2? 2?O2I O2IO1 O1 9E UN O2E?A9O? HE?MÍ TICO TICO Consideremos ahora el caso m# importante en el $e el operador hermitiana6

(A) es

&os alores propios de n operador herm"tico son reales% Tomando el prodcto escalar de la ecaci,n de alores propios

2ero emos en6

por

se o.tiene6

(bi!R8A (bi !R8A I  p) es n n-m n-mero ero re real al si

(A) es her hermiti mitiana ana com como o

donde la -ltima ecaci,n se despre desprende nde de la hip,tesis # son re reales ales la ec ecaci, aci,n n implica impl ica $e

(9>::)% 2esto $e tam.ién tam .ién de.e ser

real% 1i es her real% hermiti mitiana ana pode podemos mos en rempla re mpla/ar /ar por # $e aca.amos de mostrar $e es real% 9e este modo se o.tiene6

&o $e demestra $e propio

es tam.ién n .ra propio de

por

#a

con el erdadero alor

2or lo tanto cal$iera $e sea el mercado

El operador herm"tico

se dice $e act-a en el lado i/$ierdo en

9os ec 9os ector tores es pr propi opios os de n ope opera rador dor he herm rm"ti "tico co co corr rresp espon ondie diente ntes s a do dos s alores propios distintos son orto'onales%

8;0


Consideremos dos ectores propios

2esto $e

es hermitiana

&e'o se mltiplican derecha6

?estando

de

En consecencia si

#

del operador herm"tico

se pede escri.ir en la !orma6

por

en el lado i/$ierdo #

por

a la

nos encontramos con6

#

son orto'onales%

.% 9EINICI ÓN 9E UN O1E?VA&E Cando es de dimensi,n 5nita hemos isto $e siempre es posi.le !ormar na .ase con los ectores propios de n operador herm"tico% Cando es de dimensi,n in5nita esto #a no es necesariamente el caso% 2or esta ra/,n es -til para introdcir n neo concepto el de n o.sera.le% Consideremos n operador herm"tico 2ara simpli5car spondremos $e el con+nto de ss alores propios !orman n espectro discreto $e se indicará más adelante las modi5caciones $e se de.en hacer cando todo o parte de este espectro es contino% El 'rado de de'eneraci,n del alor propio

no se denota por

no de'enerado)% Nosotros desi'naremos por linealmente independientes ele'idos en el s. espacio propio

(si

es ectores

Aca.amos de mostrar $e cada ector $e pertenece a es orto'onal a cada ector de otro s.espacio asociada con por lo tanto6

9entro de cada s.espacio es decir tal $e6

el Y ortonormal

siempre pede ser ele'ido

8;8


1i por e+emplo se hace na elecci,n el resltado es n sistema ortonormal de ectores propios de

A6 los

satis!acen las relaciones6

O.tenerse a traés de rea'rpamiento

#

2or de5 de5ni nici ci,n ,n el oper operad ador or her herm" m"ti tico co es n n o.se o.ser ra. a.le le si si este este sis siste tema ma ortonormal de ectores !orma na .ase en el espacio de estado% Esto se pede e3presar por la relaci,n de clasra6

Comentarios6 9ado $e los ector ectores es propio propi o

de

escri.ir (de

El o.sera.le

son ortonor ortonormales males el pro#ec pro#ector tor

$e a.arc a.arcan an todo el s. espacio en este s.espac s.espacio io

se pede

)

iene dada por6

(Es !ácil compro.ar $e la acci,n de am.os lados de esta ecaci,n en todos los Fets

da el mismo resltado)%

&a relaci,n se pede 'enerali/ar para inclir los casos en $e el espectro de alores propios es contina mediante el so de las re'las dadas en la ta.la 2or e+e e+empl mplo o con consi sider deremo emos s n op opera erado dorr her herm" m"tic tico o c c#o #o es espec pectr tro o est está á comp co mpest esto o de n na a par parte te di discr screta eta ('rado ('r ado de de de'en 'enera eraci ci,n ,n # n na a pa parte rte contina (sponer no de'enerados) de'enerados)66

Estos Esto s e ect ctor ores es si siem empr pre e p ped ede e se serr el ele' e'id ido o de ta tall ma mane nera ra $ $e e !o !orrma man n n 4ortonormal4 sistema6

A se dice $e es n o.sera.le si este sistema !orma na .ase es decir si6 8;:


c% E=EM2&O6 E& 2?OECTO? Vamos a demostrar $e

(con

) es n o.sera.le% a hemos

señalado $e es hermit hermitiana iana # $e ss alor alores es propi propios os son 8 # 0 el prim primer ero o es simpl simple e (ect (ector or prop propio io asoc asocia iado do66 ) el se' se'nd ndo o es in in5n 5nit itam amen ente te de'enerado (ectores propios asociados6 todos los Fet orto'onales a Consider Consi dere e la pos posi. i.ili ilidad dad de n ar ar.it .itrar rario io Fet 1iempre se pede escri.ir en la !orma6

es n Fet propio de

con el alor propio

en el es espac pacio io de est estado ados% s%

Ahora .ien como

Es ta tam. m.ié ién n no no de lo los s Fet Fet pr prop opio ios s de de como emos en6

perro con pe con el a alo lorr pr prop opio io

Cada Fe Fett pede ser ampliado en estos atoecto atoectores res de es n o.sera.le% Nos eremos en

por lo tanto

otros dos e+emplos importantes de o.sera.les%

D% &os con+ntos de o.sera.les $e conmtan a% TEO?EMA1 IM2O? IM2O?T TANTE1 1eorema 3i dos operadores y conmutan y si es un vector propio de tambi=n un vector propio de con el mismo valor propio.

1a.emos $e si

&a aplicaci,n de

es n ector propio de

, es

tenemos6

a am.os lados de esta ecaci,n o.tendremos6

9esde $e asmimo asmimos s $e en el lado i/$ierdo por

#

conmtan tam.ién tenemos en sstitci sstitci,n ,n de

8;D


Esta ecaci,n e3presa el hecho de $e es n ector propio de propio el teorema por consi'iente se demostr,%

con el alor

9os casos peden presentarse a continaci,n6 1i es n alor propio no de'enerada todos los ectores propios asociados a ella son por de5n de5nici ici,n ,n col colinea ineales les # es nec necesar esariame iamente nte pr propor oporcion cional al a 2or lo tanto

es tam.ién n ector propio de

1i es n alor propi propio o de'enerado de'enerado s,lo pede decirse $e pertenece al s.espaci s.espacio o propi propio o de corr correspondiente espondiente al alor propio 2or lo tanto para cal$ier tenemos6

1e dice $e es 'lo.almen 'lo.almente te inariant inariante e (o esta.le) .a+o la acci,n de

2orr lo 2o

tanto el teorema pede ser dicho de otra !orma6 Teor eorema ema 6 si dos oper operador adores es # con conmta mtan n cad cada a s. espa espacio cio pr propio opio de 'lo.almente inariante .a+o la acci,n de

es

1eorema 3i dos observables y conmutan, y si y son dos vectores propios de con valores propios di%erentes, el elemento de la matriz es cero.

1i

#

son ectores propios de

1e'-n el teorem teorema a de

podemos escri.ir6

el hecho de $e

#

conmtan si'ni5c conmtan si'ni5ca a $e

n ector propio de con el alor propio orto'onal a (atoector del atoalor de

es por lo tanto (éase ) $e se pede escri.ir6

es )

El teorema se demostr, por lo tanto% Otra pre.a pede darse $e no implica el teorema de #a $e el operador es cero tenemos6

Usando

# la hermiticidad de

la ecaci,n

 se o.tiene6

8;G


#

pede ser reescrita en la !orma6

9ado $e por hip,tesis esta% . 1eorema

no es cero se pede dedcir

a partir de

(%undamental)

3i dos observables y conmutan, se puede construir una base orto normal del espacio de estados con vectores propios comunes a y

Considere la posi.ilidad de dos o.sera.les de conmtando # Con el 5n de simpli5car la notaci,n spondremos $e ss espectros son totalmente discretos% 2es esto to $e $e es n n o.ser o.sera. a.le le e3 e3ist iste e al me menos nos n sis sistem tema a orto orto nor norma mall de ector ec tores es propio propios s de $e !or !orma ma na na .ase .ase en en el espa espacio cio de estado estado%% Vamos Vamos a denotar estos ectores por

es el el 'rado 'rado de de de'ener de'eneraci, aci,n n del alo alorr propio propio  es deci decir r la la dimensi dimensi,n ,n del del s. s. espacio propio correspondiente Contamos con6

¿C, C,m mo es la mat atrri/ como la $e repr pres esen entta en la .ase  1a.e .em mos (éas ase e Teorema T eorema $e los elementos de la matri/ son i'ales a cero cando (por el contrari contrario o no podemos decir nada a priori so.re so.re lo $e scede para # )% Vam amos os a or or'a 'ani ni/a /arr los e ect ctor ores es de la .a .ase se en el or orde den6 n6

A cont contina inaci, ci,n n se o.ti o.tiene ene para decir de la !orma6

el 4.l 4.lo$e o$e de la dia' dia'onal onal44 de la mat matri/ ri/ es

8;;


(1,lo las partes som.readas $e contienen elementos no>cero de la matri/)% El hecho de $e los s. espacios propios son 'lo.almente inariante .a+o la acci,n de es eidente a partir de esta matri/% 9os de los casos pede presentarse entonces es6 Cando propio

es n alor propio no de'enerada de de

n alor propio de

(el "ndice

s,lo e3iste n ector en

es entonces

innecesario)6 la dimensi,n de es entonces i'al a En la matri/ el correspondiente 4.lo$e4% Entonces se redce a na matri/  es decir a n simple n-mero% En la colmna asociada a todos los elementos de matri/ otros son cero% Esto e3presa el hecho a # Cando

$e

es n ector propio com-n

no es n alor propio de de'enerados

representa en no es en 'eneral la dia'onal6 el ectores propios de

el 4.lo$e4 $e no son en 'eneral los

1e pede o.serar no o.stante $e dado $e la acci,n de los ectores se redce a na simple mltiplicaci,n por $e representa la restricci,n de dentro de es i'al a

en cada no de na la matri/ (donde es el

matri/ nidad)% Esto e3presa el hecho de $e n Fet ar.itrario de es n ector propio de con el alor propio &a elecci,n en de na .ase como es por lo tanto ar.itraria% Cal$iera $e sea esta .ase la matri/ $e representa en es siempre i'al a la dia'onal # a Vamos a tili/ar esta propiedad para o.tener na .ase de $e tam.ién son ectores propios de cando la .ase ele'ida es

inte'rada por los ectores

&a matri/ $e representa

en

 tiene por ss elementos6

Esta matri/ es herm"tico #a $e es n operador herm"tico por lo tanto es dia'onali/a.le es decir no pede encontrar en na nea .ase en la $e

está representado por na matri/ dia'onal

Esto si'ni5ca $e los ectores de la .ase nea

son ectores propios de

8;J


Como imos anteriormente estos ectores son ectores propios de !orma atomática con n alor propio #a $e no pertenece Vamos a s.ra#ar el hecho de $e los ectores propios de asociada con alores propios de'enerados no son necesariamente ectores propios de &o $e hemos mostrado es $e siempre es posi.le seleccionar en cada s. espacio propio de na .ase de ectores propios com-n a # 1i se reali/a esta operaci,n en todos los s.espacio !ormada por ectores propios comnes a demostrado

#

se o.tiene na .ase de As" el teorema $eda

Comentarios6 A partir de ahora desi'naremos por

los ectores propios comnes a

#

&os "ndices # $e aparecen en nos permiten especi5car los alores propios # de # El "ndice adicional con el tiempo se tili/a para distin'ir entre los di!erentes ectores de la .ase $e se corresponden con los mismos alores propios

#

(

El rec"proco del teorema de ato ector comnes ha A partir de

)%

es m# sencillo de demostrar6 si e3iste na .ase # conmtan estas dos o.sera.les%

es !ácil dedcir6

# restando estas ecaciones6

Esta relaci,n es álida para todos !orman na .ase

9ado $e por hip,tesis los ectores

implica

9e e/ en cando se resele la ecaci,n de alor propio de n o.sera.le tal $e6

9onde

#

son tam.ién o.sera.les%

8;


Cando se ha encontrado na .ase

de ato ectores comnes a

#

el pro.lema está reselto #a $e emos inmediatamente $e es tam.ién n ector propio de con n alor propio El hecho de $e constit#e na .ase es o.iamente esencial6 esto nos permite por e+emplo para mostrar simplemente $e todos los alores propios de son de la !orma % =UE7O1 COM2&ETO1 9E O1E?VA&E1 CONMUTANTE1 Considere la posi.ilidad de n o.sera.le

# na .ase de

 inte'rado por los

ectores propios de 1i nin'no de los alores propios de es de'enerado los ectores de la .ase de di!erentes peden ser eti$etados por el alor propio (el "ndice en es en este caso innecesario)% Todos los s. espacios propios son entonces nidimensionales% 2or lo tanto especi5cando el alor propio $e determina de na manera -nica el correspondiente ector propio (dentro de n !actor constante)% En otras pala.ras s,lo e3iste na .ase de !ormado por los ectores propios de (no se consideran a$" como dos .ases distintas c#os ectores son proporcionales)% 1e dice entonces $e el o.sera.le constit#e por s" mismo n

 &a pala.ra 4completo4 se tili/a a$" en n sentido $e es totalmente a+eno a los mencionados en la nota de Este so de la pala.ra 4completo4 es ha.ital en la mecánica cántica%  2ara tener na .ena comprensi,n de los conceptos importantes introdcidos en esta secci,n el lector de.e aplicar a n e+emplo concreto como el $e se discte en el complemento ( ) (e+ercicios reseltos # 1i por otro lado no o arios alores propios de se de'eneran la sitaci,n es di!erente% Especi5car #a no es siempre s5ciente para caracteri/ar n ector de la .ase #a $e no se corresponden arios ectores independientes de alores propios de'enerados% En este caso la .ase de ectores propios de

8;L


o.iamente no es -nica% 1e pede ele'ir cal$ier .ase dentro de cada no de los s. espacios propios

de dimensi,n ma#or $e

Veamos a continaci,n eli+a otra o.sera.le $e conmta con # amos a constrir na .ase orto normal de ato ectores comnes a # 2or de5nici,n # !ormar na si esta .ase es -nico (dentro de n !actor de !ase para cada no de los ectores de la .ase) es decir si a cada no de los posi.les pares de alores propios no corresponde s,lo n ector de la .ase% COMENTA?IO6 En se constr#, na .ase de ato ectores comnes a # mediante la resolci,n de la ecaci,n de alores propios de dentro de cada s. espacio propio 2ara $e # constit#an na es necesario # s5ciente $e dentro de cada no de estos s. espacios todos los alores propios de de.en de ser distinto% 2esto $e todos los ectores de corresponden al mismo alor propio de los ectores entonces se pede distin'ir por el alor propio de $e está asociado con ellos% N,tese $e no es necesario $e todos los alores propios de sean no de'enerados% &os Vectores $e pertenecen a dos s. espacios distintos pede tener el mismo alor propio de Además si todos los alores propios de !eron no de'enerados ser"a e$ialente a na 1i por lo menos no de los posi.les pares e3isten arios ectores independientes $e son ectores propios de # con estos alores propios el con+nto no es completo% A ñadamos a ello entonces n o.sera.le tercero $e conmta con am.os # A continaci,n pede tili/ar el mismo ar'mento anterior  la 'enerali/aci,n de la manera si'iente6 Cando a n par no corresponde s,lo n ector este ector es necesariamente n ector caracter"stico de 1i ha# arios ectores $e !orman n s. espacio propio en el $e es posi.le seleccionar na .ase !ormada por ectores $e son tam.ién ectores propios de 1e pede constrir por lo tanto en el espacio de estado na .ase orto normal !ormada por ectores propios comnes a # # !orman na si esta .ase es -nico (dentro de los !actores mltiplicatios)% Especi5car de n posi.le con+nto de alores propios # le'o caracteri/ar s,lo no de los ectores de esta .ase% 1i este no es el caso se a ñade a n o.sera.le $e conmta con cada no de estos tres operadores # as" scesiamente% En 'eneral as" a la si'iente6 or de;nición, un conjunto de observables completo de observables que conmutan si

se llama un conjunto

8;B


1odos los observables

conmutan por pares,

"a especi;cación de los valores propios de todos los operadores determinan un @nico ( dentro de n !actor mltiplicatio ) auto vector com@n.

Una !orma e$ialente de decir esto es lo si'iente6 *n conjunto de observables es un conjunto completo de los desplazamientos observables si e$iste una base @nica orto normal de vectores propios comunes ( dentro de los !actores de !ase ).

=e'an n papel importante en la mecánica cántica% Vamos a er nmerosos e+emplos de ellos (éase en particlar

)

Comentarios6 1i es n otro pede o.tenerse mediante la adici,n a ella de cal$ier o.sera.le con la condici,n por spesto $e conmta con # 1in em.ar'o 'eneralmente se entiende $e se limita a n 4m"nimo4 con+ntos es decir a$ellos $e de+an de ser completa cando no cal$iera de los o.sera.les se omite% 1ea es n con+nto completo de los despla/amientos o.sera.les% 9ado $e la especi5caci,n de los alores propios determina n Fet de la .ase correspondiente (dentro de n !actor constante) este Fet es a eces indicado por 2ara $e n sistema !"sico dado e3isten arios +e'os completos de los despla/amientos o.sera.les% Vamos a er n e+emplo concreto de esto en

E% 9O1 E=EM2&O1 IM2O?TANTE1 9E ?E2?E1ENTACIONE1  O1E?VA&E1 En este párra!o se de.erá oler a espacio de !nciones de onda de na part"cla o más e3actamente al espacio de estado $e está asociada con él # $e se de5nen de la si'iente manera% Veamos la corresponden de cada !nci,n de onda n Fet $e pertenece a  esta correspondencia es lineal% Además el prodcto escalar de dos Fets coincide con el de las !nciones $e están asociados con ellos6

Es por lo tanto el espacio de estados de na part"cla (sin spin)%

8J0


Vamos a de5nir # estdiar en este espacio dos representaciones # dos operadores $e son especialmente importantes% En el cap"tlo  amos a asociarlas con la posici,n # el implso de la part"cla en cesti,n% 1e nos permitirá además aplicar e ilstrar los conceptos $e hemos introdcido en los apartados anteriores% 8% &os

#

representaciones

a% 9EINICIÓN En

#

hemos introdcido dos 4.ases4 particlares # de

6

Ellos no están compestos de !nciones $e pertenecen a

1in em.ar'o cada !nci,n re'lar de cadrado inte'ra.le pede ser s5cientemente e3pandida en na  otra de estas 4.ases4% Es por esto $e se $ite las comillas # asociarlo a n Fet con cada na de las !nciones de estas .ases simplemente por

(El Fet asociado con

# $e se asocia con

El so de las .ases (

#

de

se denota

por

(de este modo se de5ne en

dos

representaciones6 la representaci,n # la representaci,n % Un ector de la .ase de la primera se caracteri/a por tres "ndices 4continos4 # $e son las coordenadas de n pnto en el espacio tridimensional\ para el se'ndo los tres "ndices son tam.ién los componentes de n ector ordinario .% O?THONO?MA&IÂTION  ?E&ACIONE1 9E C&AU1U?A Vamos a calclar

donde la relaci,n

Utili/ando la de5nici,n del prodcto escalar en

ha sido tili/ada% 9e la misma manera6

Usando &as .ases $e aca.amos de de5nir por lo tanto ortonormal en el sentido más amplio%

8J8


El hecho de $e el con+nto de l o el de constit#e na .ase en pede ser e3presado por na relaci,n de clasra en %Esto está escrito en na !orma análo'a a la inte'raci,n de a$" sin em.ar'o más de tres "ndices en l'ar de no% 2or lo tanto tienen las relaciones !ndamentales6

c% COM2ONENTE1 9E UN @ET Considere la posi.ilidad de n Fet ar.itrario $e corresponde a la !nci,n de onda &as relaciones de cierre anteriores nos permiten escri.ir en cal$iera de estas dos !ormas6

&os coe5cientes

#

se pede calclar mediante las !,rmlas6

Nos encontramos entonces6

donde El valor

es la trans!ormada de orier de de la %unción de onda en el punto

componente del ket

en la base vector

de la representación

4!nci,n de onda en el espacio de momentos4 !orma análo'a% &a posi.ilidad de caracteri/ar simplemente n caso especial de los resltados de 2or e+emplo para

!,rmla (

es mostrado por el . &a

pede ser interpretado de por es por lo tanto

da6

8J:


2ara el resltado es en e!ecto de acerdo con la relaci,n orthonormali/ation

Ahora $e hemos reinterpretado la !nci,n de onda orier

# s trans!ormada de

desi'naremos los ectores de la .ase de las dos representaciones

$e estamos estdiando a$" pede escri.ir6

#

en l'ar de

# las relaciones ortho normali/ation # cierre

2or spesto

#

"ndices continos

#

,rmlas

se

(E>;) se conierten en6

toda"a se considera $e representan dos con+ntos de #

$e 5+an los Fets de la .ase

#

representaciones respectiamente% Ahora na .ase ortonormal de Con cada na El con+nto !orma na .ase ortonormal de relaci,n de clasra6

Ealar el elemento de matri/ de am.os lados de

9e acerdo a

#

se asocia n Fet de por lo tanto satis!ace la

entre

#

esta relaci,n pede escri.irse6

&a relaci,n de clasra !,rmla  es otra cosa $e la e3presi,n en la representaci,n de la relaci,n de clasra ectorial d% E& 2?O9UCTO E1CA&A? 9E 9O1 VECTO?E1 Hemos de5nido el prodcto escalar de dos Fet de como i'al a la de las !nciones de onda asociadas en ecaci,n % A la l/ de la discsi,n en esta de5nici,n aparece simplemente como n caso especial de la !,rmla (C>:8)% (El) pede de hecho se deriada mediante la inserci,n de la relaci,n de clasra

entre

# 8JD


# por la interpretaci,n de los componentes

#

como en

1i nos sitamos en la representaci,n  na propiedad .ien conocida de la trans!ormada de orier se demestra (el apéndice )%

e% CAMIO 9E &A ?E2?E1ENTACI ÓN

A &A ?E2?E1ENTACIÓN

Esto se lo'ra tili/ando el método indicado en la -nica di!erencia deriada del hecho de $e estamos tratando a$" con dos .ases continas% Cam.io de na .ase a la otra trae en los n-meros6

Un determinado Fet # por  $e

#

es representado por

en la representaci,n


% a sa.emos $e la !,rmla

están relacionados por na trans!ormada de orier%

Esto es lo $e las !,rmlas para el rendimiento de la representaci,n del cam.io6

Es decir6

Inersamente6

Es decir6

Mediante la aplicaci,n de la !,rmla 'eneral de los elementos de la matri/

no pede !ácilmente pasar de n operador

en la

8JG


representaci,n de los elementos de la matri/ mismo operador en la representaci,n 6

Una !,rmla análo'a permite calclar

 del

de

:% &os operadores ? # 2 a% 9EINICIÓN 1ea es n Fet ar.itraria de # sea correspondiente% Utili/ando la de5nici,n del operador

está representado en la .ase $e6

la !nci,n de onda el Fet6

 por la !nci,n

tal

En la representaci,n  el operador  por lo tanto coincide con el operador $e mltiplica por % A pesar de $e se caracteri/a por la !orma en $e lo trans!orma las !nciones de onda es n operador $e act-a en el espacio de estado 1e peden introdcir otros dos operadores # de na !orma análo'a% As" de5ne # por las !,rmlas6

9onde los n-meros

son precisamente los tres "ndices $e eti$etan el

Fet # se considera $e los 4componentes4 de n 4operador ectorial4 por el momento amos a tratar esto como na simple notaci,n condensada s'iere el hecho de $e (son los componentes del ector ordinario &a maniplaci,n de los operadores

es particlarmente simple en la

representaci,n % 2or e+emplo para calclar el elemento de matri/ todo lo $e necesitamos hacer es insertar la relaci,n de clasra # el so # la de5nici,n

entre

8J;


9el mismo modo se de5ne el operador ectorial  c#a acci,n en la representaci,n

9onde

 está dada por6

son los tres "ndices $e aparecen en el Fet

Vamos a determinar c,mo el operador 2ara ello trans!ormaci,n

por ss componentes

2 act-a en la representaci,n

se tili/a la relaci,n de cierre para o.tener6

?econocemos en la trans!ormada de orier de (apéndice la relaci,n de % 2or lo tanto6

En la representaci,n

 el operador

%

# la matri/ de

es decir

coincide con el operador di!erencial

aplicado a las !nciones de onda% El cálclo de n elemento de matri/ como en la representaci,n  se reali/a de la manera si'iente6

1itándonos en la representaci,n conmtadores entre los operadores

Este cálclo es álido para todos

 tam.ién podemos calclar los % 2or e+emplo6

# para cal$ier Fet de la .ase

%

8JJ


2or lo tanto se encentra 6

9e la misma manera nos encontramos con todos los conmtadores otros entre los componentes de # los de El resltado se pede escri.ir en la !orma6

 El conmtador es n operador # de.e en realidad pede escri.ir 1in em.ar'o a mendo sstit#e al operador de identidad por el n-mero e3cepto cando es importante hacer la distinci,n% 9onde

#

,rmlas .%



desi'nan respectiamente

#

se llaman las relaciones can,nicas de conmtaci,n%

1ON HE?MITIANA

Con el 5n de mostrar $e

 por e+emplo es n operador herm"tico podemos

tili/ar la !,rmla

9esde herm"tico%

 sa.emos $e la ecaci,n

es caracter"stico de n operador

2re.as similares demestran $e # son tam.ién hermitiana% 2or # la representaci,n  pede ser tili/ado # los cálclos son entonces análo'a a las precedentes% Es interesante mostrar $e es herm"tica mediante el so de la ecaci,n $e da a s acci,n en la representaci,n % Consideremos por e+emplo la !,rmla e inte'rarlo por partes6

8J


2esto $e la inte'ral $e da el prodcto escalar es coner'ente se apro3ima a cero cando El primer término en el lado derecho de es por ello i'al a cero #6

1e pede o.serar $e la presencia del n-mero ima'inario

es esencial% El

operador di!erencial $e act-a so.re las !nciones de no es hermitiana de.ido al cam.io de si'no $e se introdce por la inte'raci,n por partes% 1in em.ar'o

es hermitiana como es

c% Vectores propios de

#

Considere la posi.ilidad de la acci,n del operador con tenemos6

en el Fet

de acerdo

Esta ecaci,n e3presa el hecho de $e los componentes en la representaci,n  del Fet tenemos6

(son i'ales a las del Fet

mltiplicado por

2or tanto

Un ar'mento análo'o demestra $e los Fets tam.ién son ectores propios de los operadores # % &a omisi,n del "ndice cero $e se conierte en innecesaria podemos escri.ir6

&os Fets

son por lo tanto los ato ectores comnes a

#

As" la

notaci,n $e hemos ele'ido anteriormente se +sti5ca6 cada ector está marcado por n ector (c#os componentes representan tres "ndices continas $e corresponden a los alores propios de Ar'mentos similares se peden ela.orar para el operador nosotros mismos esta e/ en la representaci,n o.tiene6

 poniendo a

% A continaci,n se

8JL


COMENTA?IO Este resltado tam.ién se pede deriar de la ecaci,n $e o!rece la acci,n de en la representaci,n % Utili/ando nos encontramos con6

Todos los componentes del Fet mltiplicando los de el alor propio d%




por la constante

 pede o.tenerse

es na de Fet propio de

con

1ON O1E?VA&E1

&as ?elaciones # e3presan el hecho de $e los ectores constit#en las .ases de 2or lo tanto # son o.sera.les% 2or otra parte la especi5caci,n de los tres alores propios determina n"ocamente el ector propio correspondiente representaci,n  ss coordenadas son de los tres operadores por lo tanto constit#e n en 1e pede demostrar de la misma manera $e los tres componentes

#

de en la El con+nto

de

constit#en tam.ién n en N,tese $e en no constit#e n por s" mismo% Cando el "ndice es 5+o # pede tomar cal$ier alor real% 2or lo tanto cada alor propio es in5nitamente de'enerado% 2or otro lado en el espacio de estado de n pro.lema nidimensional constit#e n % El alor propio determina n"ocamente el Fet propio correspondiente siendo ss coordenadas en la representaci,n % COMENTA?IO16 Hemos encontrado dos C1CO en (1t) (Z%  ^[) # (Z23 2# 2/[)% Encontraremos otros despés% Consideremos por e+emplo el con+nto (Z 2# 2/[)6 se trata de conmtadores de tres o.sera.les (ecaciones (E>D0)) # además si los tres alores propios (3o 2O) # (R 0:) son 5+os les corresponde n solo Fet c#a !nci,n de onda asociada está escrito6

8JB


% 2?O9UCTO TEN1O?IA& 9E E12ACIO1 9E E1TA9O1 8% INT?O9UCCIÓN Hemos introdcido el espacio de estados de n sistema !"sico tili/ando el concepto de na !nci,n de onda de na part"cla% 1in em.ar'o el ra/onamiento $e ha inolcrado a eces de no # a eces en tres dimensiones las !nciones de onda% Ahora es eidente $e el espacio de cadrado>inte'ra.les !nciones no es el mismo para las !nciones de na aria.le como para las !nciones de tres aria.les # son por lo tanto di!erentes espacios% No ¿E3iste na o.stante parece ser esencialmente na 'enerali/aci,n de relaci,n más precisa entre estos dos espacios En esta secci,n amos a de5nir # estdiar la operaci,n de tomar el prodcto tensorial de espacios ectoriales  # aplicarla a los espacios estado% Esto responde en particlar la cesti,n $e aca.amos de pre'ntar6

pede ser constrido a partir de

# dos otros

espacios # $e son isomor!os a ella ( a continaci,n)%9e la misma manera $e será a!ectado despés (cap"tlos # ) con la e3istencia para ciertas part"clas de n momento an'lar intr"nseco o esp"n% Además de los 'rados de li.ertad e3ternos (posici,n momento) las cales son tratadas con los o.sera.les # se de5nen en será necesario tener en centa los 'rados de li.ertad internos # para introdcir los o.sera.les de spin $e act-an en n espacio de estado de esp"n

El espacio de estados

de na part"cla con

esp"n a continaci,n se erá $e el prodcto tensorial de # 2or -ltimo el concepto de n prodcto tensorial de espacios estatales nos permite resoler el si'iente pro.lema% 1ea # dos sistemas aislados !"sicas ($e son por e+emplo lo s5cientemente le+os $e ss interacciones son per!ectamente insi'ni5cante)% &os espacios de estados $e corresponden a # son respectiamente # Ahora spon'amos $e tenemos en centa el con+nto de estos dos sistemas para !ormar n sistema !"sico (esto se hace indispensa.le cando están lo s5cientemente cerca para interactar)% ¿Cál es entonces el espacio de estados 1 del sistema 'lo.al  1e pede er en estos e+emplos la tilidad de las de5niciones # los resltados de esta secci,n se encentran en la mecánica cántica%  Esta secci,n no es necesaria para la comprensi,n del cap"tlo Uno pede estdiar en el !tro cando se hace necesario el so de prodctos tensoriales (complemento o el cap"tlo )  Esta operaci,n a eces se llama el 4prodcto de @ronecFer4%

80


CO!PLE!ENTOS DEL CAP ÍT1LO ##

&A 9E1I7UA&9A9 1CH_A?^

  ?e eiisi si,n ,n de al'n na as de5niciones # resltados matemáticos ?EVI1IÓN 9E A&7UNA1 -tiles (niel elemental) destinados a 2?O ?O2I 2IE E9A9 A9E E1 9E lec Ú TI&E1 lector tores es no !am !amili iliari ari/ad /ados os co con n est estos os O2E?A9O?E1 &INEA&E1 conceptos serirá como na re!er re! erenci encia a más adel adelante ante (so (so.re .re todo O2E?A9O?E1 UNIT UNITA?IO1 A?IO1 )% UN E1TU9IO M Á1 9ETA&&A9O 9E &A ?E2?E1ENTACIÓN 9E  9E

complem com plementa enta a

del cap cap"tl "tlo o

2ermanece en el niel de cap"tlo # se p ped eden en le leer er in inme medi diat atam amen ente te 7ENE?A&E1 9E 9O1 O1E?VA&E1%  CUO CU O CONMUT CONMUTA9O? A9O? E1 I7UA& A des péis de ella% A&7UNA1

2?O2IE9A9E1

Adopta n carácter más 'eneral # n pnto n poco más de ista !orrma !o mal% l% 2res esen enta ta en pa part rtic icl lar ar el oper op erad ador or de tr tras asla laci ci,n ,n%% 1e p ped ede e reserar para s posterior estdio% &A 2A?I9A9 9E& O2E?A9O?

la disc sc si,n de dell oper erad ado or de paridad pari dad part partic iclar larment mente e imp importa ortante nte en la mecánica cántica a la e/ na simpl si mple e il ilstr straci aci,n ,n de lo los s co conc ncept eptos os del cap"tlo rec recomendado omendado por estas dos ra/ones%

Una simple aplicaci,n del UNA A2&ICACIÓN 9E &A1 2?O2IE9A9E1 9E& 2?O9UCTO TEN1O?6 prodcto ten tensorial ( del ca cap"tlo )\ E& 2OÔ ININITO I9IMEN1IONA& pede ser considerado como e+ercicio de tra.a+o% E=E?CICIO1

1e dan las solciones para e+er e+ erc cic iciios 88 # 8: s o. o.++et eti io o !amiliari/ar al lector con prop pr opie ieda dade des s de lo los s o. o.se ser ra. a.le les s tra# tr a#ec ecto to # el conce concept pto o de n en n caso especial m# simple%

los es las de 1e

88


recomi reco miend enda a $e estos estos e+ e+er erci cici cios os se har ará á d dra ran nte la lec ect trra de dell dell de cap"tlo II%

Com,lemento LA DES#"1ALDAD DE SC4AF

2ara cal$ier Fet

 pertenecient perteneciente e al espacio de estados

tenemos6

es i'al a cero s,lo cando es el ector nlo éase la ecaci,n del cap"tlo % El so de la desi'ald desi'aldad ad $e se derian de la desi'ald desi'aldad ad de 1char/ $e esta.lece $e si entonces6

#

la i'aldad se dio centa de si # s,lo si Teniendo en centa

donde

#

son los ectores ar.itrarios de

#

considere el Fet

son proporcionales% de5nido por6

es n parámetro ar.itrario% Cal$iera $e sea

<e nos ha ele'ido para

pede ser6

el alor6

En los tér términ minos os se' se'ndo ndo # ter tercer cero o del lado der derech echo o son ento entonces nces i' i'al al # opesta en alor para el término carto de modo $e se redce a6

2es esto to $e

es pos posit itio io po podem demos os m mlti ltipli plica carr est esta a des desi' i'al aldad dad po porr

para o.tener6

8:


$e es precisamente

En

decir de ac ac erdo con entonces proporcional%

la i'aldad s,lo pede reali/arse si si

&os mer erc cad ado os

es #

son

?e!erencias6 ass

\ Ar!Fen

Com,lemento evisi/n de algunas ,ro,iedades Gtiles de o,eradores lineales

8% Tra/ado Tra/ado de na operador a% de5nici,n .% &a tra/a es inariante c% &as propiedades importantes :% conmtador de ál'e.ra a% de5nici,n .% propiedades D% &a restricci,n de n operador a n s.espacio G% nciones de los operadores a% 9e5nici,n6 &as propiedades simples .% Un e+emplo importante6 el titlar potencial c% Conmtadores $e incl#en !nciones de los operadores ;% 9i!erenciaci,n de n operador a% de5nici,n .% re'las de di!erenciaci,n c% E+emplos d% Una aplicaci,n6 na !,rmla -til

8% Tra/ado Tra/ado de n operador a% 9EINICI ÓN El tra tra/a /a de n ope operad rador or dia'onales%

escrit esc rito o Tr

es la sm sma a de ss el eleme emento ntos s de ma matri tri/ /

Cando na .ase orto Cando ortonor normal mal disc discret reta a tiene por de5nici,n

2ara el caso de na .ase orto normal contino

se eli' eli'e e para el espa espacio cio

no

se tiene

8D


Cando

es n espacio de dimensi, dimensi,n n in5nita la tra/a del operador

s,lo si las e3presiones

#

se de5ne

coner'en%

3. LA TAFA es invariante

&a sma de los elementos de la dia'onal de la matri/ $e representa n operador en na .ase ar.itraria no depende de esta .ase% Vamos a sacar esta propiedad propi edad para el caso de n cam.io de na discr discreta eta .ase orto norma normall otra discreta .ase orto normal

Contamos con6

(9on (9 onde de hem hemos os ti tili li/a /ado do la la rela relaci ci,n ,n de cla clas sr ra a para para los est estad ados os derecho de

a

)% El El lado lado

es i'al a6

(#a $ $e e es po posi si.l .le e cam am.i .iar ar el or orde den n de do dos s nn-me merros en n pr prod odc cto to)% )% A contin con tinaci, aci,n n ped pede e re reempl empla/ar a/ar a para los los es esttad ado os

en

por

(relac (r elaci,n i,n de cla clasra sra

) # o.t .ten enem emo os 5n 5nal alm men entte6

2or tanto hemos demostrado la propiedad de inariancia para este caso% Comentarios6 1i el oper operador ador es n o.se o.sera ra.le .le por lo tan tanto to se ped pede e cal calcla clarr en na .ase de ectores propios de &os elementos de matri/ dia'onales son entonces los lo s al alor ores es pr propi opios os de ('rado ('r ado de de' de'ene enerac raci,n i,n # la tr tra/a a/a pe pede de se serr escrito6

c% 2?O2IE9A9E1 2? O2IE9A9E1 IM2O?T IM2O?TANTE1 ANTE1

En 'e 'ene nera ral l la tr tra/ a/a a de dell pr prod odc cto to de c cal al$ $ie ierr n-me n-merro de op oper erad ador ores es es inariante cando na permtaci,n c"clica se reali/a en estos operadores%

8G


Vamos a demostrar por e+emplo la relaci,n de

(Usa san ndo dos e eces la rel rela aci,n de cla cla s srra so so.re la la .a .ase )% &a &a re rela lac ci,n es lo $e demostr, s 'enerali/aci,n no presenta nin'na di5cltad% :% conmtador de ál'e.ra a% 9EINICI ÓN El conmtador

de dos operadores es por de5nici,n6

.% 2?O2IE9A9E1

&a deriaci,n de estas propiedades es m# simple6 .asta con comparar am.os lados de cada ecaci,n despés de ha.erlos escrito de !orma e3pl"cita% D% &a restricci,n de n operador a n s.espacio 1ea

es el pro#ec pro#ector tor so.re el s.espac s.espacio io $>dimensi $>dimensional onal

'enerado por los

ectores ortonormales

2or de5n de5nici, ici,n n la re restri stricci cci,n ,n

1i

del oper operador ador

al s.e s.espac spacio io

es6

es n Fet ar.itrario se desprende de esta de5nici,n $e6

9onde6

8;


Es la pr pro# o#ecc ecci, i,n n or orto' to'ona onall de

en

En co conse nsec cenc encia ia par para a $e

acté ac té de

manera ar.itrari ar.itraria a en el Fe Fett se comien/a por la pro#ec pro#ecci,n ci,n de este Fet en entonces se permite permite $e el operador acté en esta esta pro#ecci, pro#ecci,n n manteniendo manteniendo s,lo la pr pro#ecci,n en

 de la la $e $e re reslta el Fe Fet% El op operador de

trans!orma cal$ier Fet de

 $e $e

en n Fet $e pertenece a este mismo

s.espacio es por lo tanto n operador c#a acci,n se ha limitado a

¿< <é é pede pede decirse decirse acer acerca ca de la matri/ matri/ $e $e represe representa nta  Eli+am Eli+amos os na na .ase c#o pr c#o prim imer er e ect ctor ores es pe pert rten enec ecen en a ($e ($ e so son n po porr e+ e+em empl plo o el otros $e pertenecen al s.espacio splementario% Contamos con6

) lo los s

es decir6

2or lo tanto la matri/ $e repr representa esenta es por as" decirlo 4cortada4 de la $e repre re present senta a Uno s,l s,lo o cons consera era los elem elemento entos s de la mat matri/ ri/ de A asoc asociado iado a ectores ector es de la .ase # am.as am. as pert pertenec eneciente ientes s a matri/ de otros son reempla/ados reempla/ados por ceros%

los elem elemento entos s de

G% nciones de los operadores a% 9EINICI ÓN\ simples propiedades Considere la posi.ilidad de n operador lineal ar.itrario

No es di!"cil de de5nir

el operador es el operador $e corresponde a aplicaciones scesias de El op oper erad ador or de de de5n 5nic ici, i,n n de dell op oper erad ador or la in ine ers rsa a de tam. ta m.ié ién n es .i .ien en conocido6 Es el operador (si e3iste) $e cmplen las relaciones6

¿C,mo podemos de5nir de na manera más 'eneral na !nci,n ar.itraria de n ope opera rado dor r 2ar 2ara a ello ello cons consiide derrem emos os na na !n !nci ci,n ,n de na na ar aria ia.l .le e 1pon'amos 1pon'am os $e en n determi determinado nado dominio se pede desar desarrollar rollar en serie de potencias de

8J


2or de5nic de5nici,n i,n la !nci,n !nci,n corre correspo spondi ndient ente e del operad operador or

es el ope operad rador or

de5nido por na serie $e tiene los mismos coe5cientes

2or e+emplo el operador

es de5nido por6

No tendrá en centa los pro.lemas relatios a la coner'encia de la serie $e depe depende nde de los los alores alores pro propios pios de # en en el el radio radio de con coner er'enc 'encia ia de de la la serie Ten'a en centa $e si Ten'a rea ealles% 1i 1i po porr ot otrra pa parrte te hermitiana% 1ea 1e a

es na !nci,n real los coe5cie coe5cientes ntes de es he herrmit itiian ana a lo emos emos en $e $ e

es n ec ector tor pr prop opio io de

&a aplicaci,n del operador

Apli$emos ahora la serie

son es

con co n a alor lor pr propi opio o 6

eces se'idas se o.tiene6

a

o.tenemos6

Esto llea a la si'iente re'la6 cando es n ector propio de con n alor propio de es tam.ién n ector propio de con el alor propio Esta pr Esta prop opie ieda dad d co cond ndc ce e a n na a se se' 'nd nda a de de5n 5nic ici, i,n n de n na a ! !nc nci, i,n n de n operador%% Vamos a conside operador considerar rar n operador dia'onali dia'onali/a.le /a.le (Esto es siempr siempre e el caso si es n o.sera.le) # amos a ele'ir na .ase donde la matri/ asociada a realmente es dia'onal (ss elementos son entonces los alores propios de )

es por de5n de5nici ici,n ,n el oper operador ador $e está re repre present sentado ado en esta mis misma ma

.ase por la matri/ dia'onal c#os elementos son 2or e+emplo si

es la matri/

8


se dedce directamente $e6

Comentarios6 1e de.e tener cidado cando las !nciones de los operadores se tili/an con respecto al orden de los operadores% 2or e+emplo los operadores # no son en 'eneral i'ales cando # son los operadores # no n-meros% Considere lo si'iente6

Cando # son ar.itrarios los lados de la mano derecha de # no tienen por $é ser i'al (er e+ercicio del complemento )% 1in em.ar'o cando # conmtan tenemos6

(Una relaci,n $e es eidente por otra parte si las matrices dia'onales $e representan # se consideran en na .ase de ato ectores comnes a # )% .% UN E=EM2&O IM2O?TANTE6 E& O2E?A9O? 2OTENCIA& En los pro.lemas de na dimensi,n a mendo se tiene $e considerar 4posi.les4 operadores (llamado as" por$e se corresponden con el potencial de la ener'"a clásica de na part"cla colocada en n campo de !er/a) donde es na !nci,n del operador posici,n 1e desprende de la secci,n anterior $e ectores propios

de

tiene como ectores propios los

# tenemos simplemente6

&os elementos de la matri/ de

en el

la representaci,n por lo tanto6

8L


Aplicando # tili/ando el hecho de $e real) se o.tiene6

es hermitiana (la !nci,n

es

Esta ecaci,n mestra $e en la representaci,n la acci,n de operador es simplemente la mltiplicaci,n por &a 'enerali/aci,n de # a pro.lemas tridimensionales se pede reali/ar sin di5cltad en este caso se o.tiene6

c% CO&ECTO?E1 EN &A1 UNCIONE1 9E &O1 O2E?A9O?E1 9e5nici,n

mestra $e

9el mismo modo si

#

conmta con todas las !nciones de

ia+an lo hacen

#

¿Cál será el colector de n operador con na !nci,n de otro operador $e no ia+e con él Nos limitaremos a$" para el caso de los operadores #  c#o colector es i'al a6

Usando la relaci,n (8:) podemos calclar6

Más en 'eneral amos a demostrar $e6

1i asmimos $e esta ecaci,n se eri5ca se o.tiene6

&a relaci,n

2or consi'iente se esta.leci, por la relaci,n de recrrencia%

Ahora amos a calclar el conmtador

8B


1i denota la deriada de la !nci,n operador 2or lo tanto6

emos en

la de5nici,n del

Un ar'mento análo'o $e nos han permitido o.tener la relaci,n simétrica6

COMENTA?IO16 El ar'mento anterior se .asa en el hecho de $e

(o

) depende s,lo

de

(o en )% Es más di!"cil calclar n conmtador tal como donde es n operador $e depende tanto de # las di5cltades sr'en del hecho $e # no conmtan% &as ecaciones # se pede 'enerali/ar para el caso de dos operadores #  $e tanto conmtan con s colector% Un ar'mento inspirado en el anterior mestra $e si tenemos6

a continaci,n6

;% Diferenciaci/n de un o,erador a% 9EINICIÓN 1ea

sea n operador $e depende de na aria.le ar.itraria

de5nici,n el deriado de e3iste)6

de

con respecto a

&os elementos de la matri/ de independientes

2or

iene dado por el l"mite (si

en na .ase ar.itraria de ectores t>

son !nciones de

8L0


Vamos a llamar a compro.ar la relaci,n6

los elementos de la matri/ de

% Es !ácil

9e este modo se o.tiene na re'la m# simple6 para o.tener los elementos de la matri/ $e representan todo lo $e de.e hacer es tomar la matri/ $e representa # di!erenciar cada no de ss elementos (sin cam.iar s l'ar)%

.% ?E7&A1 9E 9E?IVACI ÓN 1on análo'os a los correspondientes a las !nciones ordinarias6

No o.stante se de.e tener cidado de no modi5car el orden de los operadores en la !,rmla Vamos a demostrar por e+emplo la se'nda de estas ecaciones% &os elementos de matri/ de (7) son6

Hemos isto $e los elementos de matri/ de deriadas con respecto a

de los de

d (7) R dt) son las

As" hemos di!erenciando la parte

derecha de

Esta ecaci,n es álida para cal$ier

#

,rmla

1e esta.lece as"%

c% E=EM2&O1 Vamos a calclar la deriada del operador

2or de5nici,n tenemos6

8L8


9i!erenciando la serie término a término se o.tiene6

?econocemos el interior de los corchetes de la serie $e de5ne como "ndice de la sma

(tomando

)% El resltado es por lo tanto6

En este caso simple $e implica s,lo n operador no es necesario prestar atenci,n a la orden de los !actores6 # el conmtador Este no es el caso si no está interesado en la di!erenciaci,n de n operador como Aplicando # se o.tiene6

El lado derecho de esta ecaci,n se pede trans!ormar en

o

por e+emplo% 1in em.ar'o nnca se pede o.tener (a menos claro # conmtar ) de na e3presi,n como orden de los operadores tanto es importante%

En este caso el

Comentario6 An cando la !nci,n implica s,lo n operador la di!erenciaci,n no siempre pede reali/arse de acerdo con las re'las álidas para las !nciones normales% 2or e+emplo cando tiene na dependencia del tiempo ar.itrario el deriado

'eneralmente no es i'al a

% 1e pede o.serar mediante

la e3pansi,n de en na serie de potencias de conmtar para esta i'aldad de cierre

$e

#

de.e

d% UNA A2&ICACIÓN6 UNA Ó?MU&A Ú TI& Considere la posi.ilidad de dos operadores #  $e por hip,tesis am.os conmtan con s conmtador% En este caso se o.tendrá la relaci,n6

(,rmla de 7la.er)% 8L:


Vamos a de5nir el operador

na !nci,n de la aria.le real

por

Contamos con6

2esto $e # conmtan con s colector la !,rmla con el 5n de calclar6

pede ser aplicada

2or lo tanto6

Mltiplica am.os lados de esta ecaci,n a la derecha por relaci,n as" o.tenida en

&os operadores

se o.tiene6

#

conmtan por hip,tesis% 2or lo tanto se pede

inte'rar la ecaci,n di!erencial proporciona6

Marco

1stit#endo la

 emos $e

como

#

n-meros% Esto

 #6

Veamos a continaci,n esta.lecer as" demostrada%

o.tenemos la ecaci,n

$e $eda

Comentarios6 Cando los operadores

#

son ar.itrarias la ecaci,n

no es álido en

'eneral6 es necesario $e am.os # conmtan con Esta condici,n pede parecer m# restrictia% En realidad en la mecánica cántica a mendo se encentra con los operadores c#os conmtador es na serie6 por e+emplo #

o los operadores

#

del oscilador arm,nico (er cap"tlo )%

?e!erencias6

8LD


Ver las s.secciones 4Te3tos 'enerales4 # 4 Ál'e.ra lineal > los espacios de Hil.ert4 del art"clo 80 de la .i.lio'ra!"a%

Complemento operadores nitarios 8% 8%Caracter"sticas 'enerales de los operadores nitarios a% 9e5nici,n propiedades simples .% Operadores nitarios # el cam.io de las .ases c% matrices nitarias d% Valores # ectores propios de n operador nitario :% Trans!ormaciones nitarias de los operadores D% El operador nitario in5nitesimal

8% Caracter"sticas 'enerales de los operadores nitarios a% 9EINICIÓN\ 1IM2&E1 2?O2IE9A9E1

2or de5nici,n n operador

es nitaria si s inersa

Consideremos dos ectores ar.itrarios #

#

es i'al a s ad+nto

de

# ss trans!ormadas

.a+o la acci,n de

Vamos a calclar el prodcto escalar

o.tenemos6

&a trans!ormaci,n nitaria asociada con el operador

por lo tanto consera el

prodcto escalar (# en consecencia la norma) en

Cando

es de

8LG


dimensi,n 5nita por otra parte esta propiedad es caracter"stica de n operador nitario% comentarios6 1i

es n operador hermitiano el operador

es nitaria #a $e6

# por lo tanto6

(o.iamente

conmta con

)%

El prodcto de dos operadores nitarios tam.ién es nitario% 1i nitarias tenemos6

#

son

Calclemos ahora6

Estas ecaciones mestran e!ectiamente $e el operador del prodcto es nitario% Esta propiedad además era preisi.le6 cando dos trans!ormaciones conserar el prodcto escalar tam.ién lo hace la aplicaci,n scesia de estas dos trans!ormaciones% En el ordinario espacio tridimensional de los ectores reales estamos !amiliari/ados con los operadores $e conseran la norma # el prodcto escalar6 rotaciones las operaciones de simetr"a con respecto a n pnto a n plano etc En este caso donde el espacio es real estos operadores se dice $e son orto'onales% Operadores nitarios constit#en la 'enerali/aci,n de los operadores orto'onales en espacios comple+os (con n n-mero ar.itrario de dimensiones)% .% O2E?A9O?E1 UNITA?IO1  E& CAMIO 9E &A1 A1E1 1ea

es na .ase ortonormal del espacio de estados

ser discretos% &lamada operador

9ado $e el operador

la trans!ormaci,n del ector

$e se spone

.a+o la acci,n del

es nitario tenemos6 8L;


&as por lo tanto los ectores son ortonormales% Vamos a demostrar $e constit#en la .ase de la 2ara ello considere n ector ar.itrario de 9ado $e el con+nto ampliar en el

Aplicando el operador

constit#e na .ase el ector

se pede

para esta ecaci,n o.tenemos6

# por lo tanto6

Esta ecaci,n e3presa el hecho de $e cal$ier ector

se pede ampliar en

los ectores $e por lo tanto constit#en na .ase% 2or lo tanto podemos a5rmar el si'iente resltado6 na condici,n necesaria para n operador es nitario es $e los ectores de na .ase ortonormal de trans!ormado por la constit#en otra .ase ortonormal% 2or el contrario amos a demostrar $e esta condici,n es s5ciente% 2or hip,tesis entonces tenemos6

# por lo tanto6

Vamos a calclar6

?elaci,n $e es álida para todos e3presa el hecho de $e el operador es el operador identidad% Mostremos de la misma manera $e 2ara ello ten'a en centa la acci,n de

en n ector

8LJ


Tenemos entonces6

9edcimos de esto $e

El operador

es por lo tanto nitario%

c% matrices nitarias <e6

¿C,mo se pede er en la matri/ $e sean los elementos de matri/ de representa a si este operador es nitario &a ?elaci,n

nos da6

es decir6

Cando na matri/ es nitaria la sma de los prodctos de los elementos de na colmna # los con+'ados comple+os de los elementos de otra colmna es > Cero si las dos colmnas son di!erentes > I'al a 8 si no lo son% Citemos al'nos e+emplos en los $e se pede !ácilmente eri5car esta re'la% e+emplos6 (i) &a matri/ $e representa na rotaci,n a traés de n án'lo en com-n el espacio tridimensional6

so.re

8L


&a matri/ de rotaci,n en el espacio de estado de n n-mero (éase el cap"tlo )6

de part"clas

d% Atoalores # atoectores de n operador nitario 1ea

es n ector propio normali/ado del operador nitario

con el alor

propio

El cadrado de la norma del ector

es la si'iente6

9ado $e el operador nitario consera la norma tenemos $e necesariamente &os alores propios de n operador nitario por lo tanto de.en ser n-meros comple+os de m,dlo 86

Consideremos dos ectores propios

Cando los alores propios

#

#

de la

entonces tenemos6

son di!erentes lo emos en

$e el

prodcto escalar es i'al a cero6 dos ectores propios de n operador nitario $e corresponde a alores propios distintos son orto'onales% :% Trans!ormaciones nitarias de los operadores Vimos en

$e n operador nitario

permite la constrcci,n a partir de

na .ase ortonormal de de otro En esta secci,n amos a de5nir na trans!ormaci,n $e act-a no en los ectores pero a los operadores% 2or de5nici,n la trans!ormada

del operador será el operador $e en la .ase

 tiene los elementos de matri/ mismo $e el operador

en la .ase

.ase6

8LL


1stit#endo

2esto $e

en esta ecaci,n o.tenemos6

#

son ar.itrarias tenemos6

o mltiplicando esta ecaci,n a la i/$ierda por

# de la derecha por

&a ecaci,n pede ser tomado como la de5nici,n de la trans!ormada del operador por la trans!ormaci,n nitaria En la mecánica cántica estas trans!ormaciones son de so !recente6 n primer e+emplo se da en el complemento

de este cap"tlo

C,mo pede los ectores propios de %Consideremos n ector propio

se o.tiene a partir de a$ellos de

de

1ea es la trans!ormada de entonces6

con n alor propio

por el operador

Tenemos

es por lo tanto n ector propio de con alor propio Esto pede ser 'enerali/ado a la si'iente re'la6 los ectores propios de la trans!ormaci,n de son las trans!ormadas propios son sin cam.ios%

de los ectores propios

de

los alores

Comentarios &a ad+nta de la trans!ormada (U)6

de

por

es la trans!ormaci,n de

En particlar se dedce a partir de esta ecaci,n $e si es tam.ién%

por

es hermitiana

Análo'amente tenemos6

8LB


# en 'eneral6

Utili/ando la de5nici,n $e6

donde

del complemento

se pede demostrar !ácilmente

es na !nci,n del operador

D% El operador nitario in5nitesimal 1ea

U de ser n operador nitario $e depende de na cantidad

in5nitamente pe$e ña \ por hip,tesis na serie de potencias en (e)6

Al

9esple'ar

en

Tenemos entonces6

#6

9esde es nitario los términos de primer orden en son i'ales a cero\ por lo tanto tiene6

Esta ecaci,n e3presa el hecho de $e el operador coneniente esta.lecer6

en el lado derecho de

es anti>hermitiana% Es

as" como para o.tener la ecaci,n6

$e esta.lece $e es hermitiana% Un operador nitario in5nitesimal por lo tanto se pede escri.ir en la !orma6

donde

es n operador hermitiano%

1stit#endo

en

se o.tiene6

8B0


# por lo tanto6

&a ariaci,n del operador

.a+o la trans!ormaci,n

es a 5n de primero en

proporcional a la conmtador

Ejercicios capitulo dos Notación Dirc! Conmutadores! "alores # vectores propios 8%

son los estados propios de n operador herm"tico

es por e+emplo el

hamiltoniano de n sistema !"sico ar.itrario :% 1pon'amos $e los estados !orman na .ase orto normal discreta% El operador se de5ne por6

a% Calclar el ad+nto

de 8B8


.% Calclar el conmtador c% 9emostrar la relaci,n6

d% Calclar

 la tra/a del operador

e% 1pon'amos $e es n operador con elementos de la matri/ 9emostrar la relaci,n6

!% 9emestre $e

:% En n espacio ectorial en dos dimensiones ten'a en centa el operador de la matri/ en na .ase orto normal

está escrito6

a% ¿Es herm"tico Calclar los alores # ectores propios (dando s e3pansi,n normali/ada en términos de la ase )% .% Calclar las matrices $e representan los pro#ectores so.re estos ectores propios% A continaci,n compre.e $e cmplen las relaciones de orto'onalidad # el clasra% c% &as mismas pre'ntas para las matrices6 # en n espacio tridimensional

D% El espacio de estado de n sistema !"sico determinado es tridimensional% 1ea na .ase orto normal de este espacio los Fets

#

se

de5nen por6

a% ¿1on estos Fets normali/ados

8B:


.% Calclar las matrices

(20) #

(p3) $e representan en la .ase

 los operadores de pro#ecci,n so.re el estado Veri5$e $e estas matrices son herm"ticas%

estado

G% 1ea es el operador de5nido por ectores del espacio de estado% a% ¿a+o $é condici,n es herm"tica .% Calclar

#

son dos



¿a+o $é condici,n es

c% 9emestre $e

donde

# en el

n pro#ector

(@) siempre se pede escri.ir en la !orma

es na constante $e se calclan #

#

donde

son los pro#ectores%

;% 1ea es el pro#ector orto'onal so.re el s.espacio el pro#ector orto'onal so.re el s.espacio 9emostrar $e para el prodcto es n pro#ector orto'onal as" es necesario # s5ciente $e # conmten% En este caso ¿cál es el s.espacio so.re el cal act-a pro#ector

J% &a matri/



se de5ne por6

9emostrar la relaci,n6

donde

es la matri/ : 3 : nidad%

% Esta.lecer para  matri/ dada en el e+ercicio : na relaci,n análo'a a la $e reslt, para en el e+ercicio anterior% 7enerali/ar para todas las matrices de la si'iente !orma6

Con6

Calclar las matrices $e representan 

#

¿Es

 i'al a

¿

8BD


L% Consideremos el hamiltoniano nidimensional de5nido por6

9onde

#

de na

se de5ne en los operadores

relaci,n6 &os ectores propios de donde es n "ndice discreto%

part"cla

del cap"tlo

en n

pro.lema

# $e satis!acen la

sé denota por

a% 9emostrar $e6

9onde

es n coe5ciente $e depende de la di!erencia entre

(1'erencia6 considere el conmtador

#

Calclar

)%

.% 9e esto dedcir tili/ando la relaci,n de clasra la ecaci,n6

B% 1ea el operador hamiltoniano de n sistema !"sico% 9enotemos por ectores propios de con alores propios

a% 2ara n operador ar.itrario

los

demostrar la relaci,n6

.% Consideremos n pro.lema nidimensional donde el sistema !"sico es na part"cla de masa # de ener'"a potencial En este caso se escri.e6

En términos de

#

encontrar los conmtadores6

9emostrar $e el elemento de la matri/

($e se interpretará en

el cap"tlo III como el alor medio del implso en el estado Esta.lecer na relaci,n entre cinética en el estado

) #

#

) es cero%

(el alor medio de la ener'"a 9ado $e el alor medio de la

ener'"a potencial en el estado (2N) es con el alor medio de la ener'"a cinética cando6

c,mo se relaciona

8BG


80 Utili/aci,n de la relaci,n

encontramos las e3presiones

¿2eden estos resltados ser hallados directamente sando el hecho de $e en la representaci,n  #

en términos de

act-a como

CO!PLE!ENTOS DEL CAP#T1LO 

?E7?E1O A 2?O&EMA1 UNI9IMEN1IONA&E1 Ahora $e estamos más !amiliari/ados con el !ormalismo matemático # el contenido !"sico de la mecánica cántica podemos entrar en al'nos de los resltados o.tenidos en el cap"tlo I con más detalle% En los tres complementos 8B;


$e si'en amos a estdiar de na manera 'eneral las propiedades cánticas de las part"clas de n s+eto a n potencial escalar  de !orma ar.itraria limitando a nosotros mismos por la simplicidad de pro.lemas nidimensionales% Vamos a tratar los estados li'ados estacionarios de na part"cla c#as ener'"as !ormar n espectro discreto (Min complemento) # le'o el no nido a5rma $e corresponde a n contino de ener'"a (complemento )% Además amos a e3aminar n caso especial $e es m# importante de.ido a ss aplicaciones partic+arl# en la !"sica de estado s,lido de n potencial peri,dico (complemento )% COM2&EMENTO E1TA9O1 &I7A9O1 9E UNA 2A?T ÍCU&A EN UN 42OÔ 9E 2OTENCIA&4 9E O?MA A?IT?A?IA 8% Canti5caci,n de las ener'"as Estado o.li'ado :% Valor m"nimo de la ener'"a del estado !ndamental En el complemento se estdi, por n caso especial (5nito o in5nito 4cadrado4 tam.ién) los estados li'ados de na part"cla en n po/o de potencial% Estamos deriados de ciertas propiedades de los estados the%se l"mite6 n espectro discreto de ener'"a # ener'"a del estado !ndamental de ener'"a ma#or $e el m"nimo clásica% Estas propiedades son de hecho en 'eneral # tienen nmerosas consecencias !"sicas como eremos en este complemento% Cando la ener'"a potencial de na part"cla posesses n m"nimo (éase la 5'ra 8>a) la part"cla se dice $e está colocado en n 4po/o de potencial4 % Antes de estdiar calitatiamente los estados estacionarios de na part"cla cántica de tal .ien recordemos $e la moci,n correspondiente de na part"cla clásica% Cando s ener'"a toma el alor m"nimo posi.le (donde pnto

es la pro!ndidad del po/o) la part"cla está inm,il en el

 c#o e+e de a.scisas es

En donde

la part"cla oscila

en el po/o con na amplitd $e amenta con 2or -ltimo cando la part"cla no se $eda en el po/o pero se ale+a hacia el in5nito% &os 4estados li'ados4 de la part"cla clásica por lo tanto corresponden a todos los alores de ener'"a ne'atia entre

#

2ara na part"cla cántica la sitaci,n es m# di!erente% ien de5nida por los estados de ener'"a

son estados estacionarios c#as !nciones de onda

son solciones de la ecaci,n de alores propios del hamiltoniano

8BJ


 &os e!ectos de n potencial ector en complemento E%

A se estdiará más adelante en particlar

 &a ener'"a potencial por spesto s,lo se de5ne dentro de na constante% 2or conenci,n se esta.lece el potencial i'al a cero en el in5nito% Esta ecaci,n di!erencial de se'ndo orden tiene n n-mero in5nito de solciones sea cal sea el alor ele'ido para si tomamos alores ar.itrarios de # s deriada en cal$ier pnto podemos o.tener para cal$ier otro alor de &a ecaci,n por s" sola no pede por lo tanto tenemos $e limitar los alores de ener'"a posi.les% 1in em.ar'o amos a mostrar a$" $e si además se imponen ciertas condiciones de contorno en la s,lo n cierto n-mero de alores de si'en siendo posi.les (la canti5caci,n de los nieles de ener'"a)% 8% Canti5caci,n de las ener'"as Estado li'ado Vamos a llamar a los 4estados li'ado de la part"cla4 estados c#as !nciones de onda

satis!acen la ecaci,n de alor propio

# son de cadrado

inte'ra.le indispensa.le si es en realidad para descri.ir el estado !"sico de na part"cla% Estos son por lo tanto los estados estacionarios para $e la densidad de pro.a.ilidad de posici,n

%Toma alores no desprecia.les s,lo

en na re'i,n limitada de espacio para $e coner'a de.e tender a cero con la s5ciente rapide/ cando % &os estados li'ados nos recerdan el moimiento clásico en el $e la part"cla oscila dentro del po/o sin poder salir (de ener'"a

ne'atio pero ma#or $e

) eremos $e en la

mecánica cántica el hecho de $e se re$iere $e sea cadrado inte'ra.le implica $e las ener'"as posi.les !orman n con+nto discreto de alores $e tam.ién se incl#en entre # para entender esto olamos a la posi.ilidad de la 5'ra (8>a)% para simpli5car spondremos $e (V3) es idénticamente i'al a cero !era de n interalo % 1i (re'i,n ) # la solci,n de la ecaci,n (8) inmediatamente se pede escri.ir6 > 1i

con6

8B


> 1i

Con

Estamos .scando na solci,n de cadrado inte'ra.le por lo tanto de.e eliminar la !orma en la $e es na sperposici,n de ondas planas de m,dlo de constantes $e hacen $e la inte'ral6

dier+a% Única posi.ilidad se mantiene # se o.tiene el primer resltado6 los estados li'ados de la part"cla tienen na ener'"a ne'atia% En no podemos mantener el término $e se aparta cando 2or consi'iente nos de+, con6

8BL


I7U?A 8 2o/o de potencial de pro!ndidad (5'% a) sitado entre los pntos # Ele'imos na solci,n de la ecaci,n de alores propios de $e por se apro3ima a cero e3ponencialmente cando A continaci,n esta solci,n se e3tienden a todo el e+e dier'e como cando

% 2ara n alor ener'ético ar.itrario 5'ra (.) representa el caso de $e

i'ra (d) cando 1in em.ar'o si la ener'"a se eli'e a 5n de hacer ( se apro3ima a cero e3ponencialmente cando (5'% c) # es de cadrado inte'ra.le%

Hemos omitido el !actor de proporcionalidad ecaci,n

nos permite de5nir

alor de

en el interalo

 #a $e la homo'eneidad de la

dentro de n coe5ciente mltiplicatio% El (re'i,n

) se o.tiene por e3tension de

8BB


ha# $e .scar la solci,n de la ecaci,n

$e es i'al a

# c#a deriada en este pnto es i'al a % &a !nci,n depende de # desde le'o en la e3presi,n e3acta para

por

(cpn3) o.tenida No o.stante

pesto $e es na ecaci,n di!erencial de se'ndo orden está determinada -nicamente por las condiciones de contorno anteriores es además real ($e nos permite tra/ar cras como las de las 5'ras Todo lo $e ahora $eda por hacer es o.tener la solci,n cando )\ esta solci,n pede escri.irse6

donde

#

# )% (re'i,n

son constantes reales determinados por las dos condiciones de

continidad para en la !nci,n

#

en el pnto

%

#

dependen de

2or tanto hemos constrido na solci,n de la ecaci,n mestra en la 5'ra

as" como

tal como la $e se

¿Es esta solci,n de cadrado inte'ra.le Vemos de

$e en 'eneral no lo es e3cepto cando

es i'al a cero (este caso especial

se mestra en la 5'ra )% Ahora para na !nci,n dada es na !nci,n de a traés del intermediario &os -nicos alores de para los $e e3iste n estado li'ado por tanto son solciones de la ecaci,n

Estas solciones

(er 5'% :) !orman n espectro discreto $e por spesto depende del potencial ele'ido (lo eremos en la si'iente secci,n donde todas las ener'"as son ma#ores $e )% As" lle'amos al si'iente resltado6 los alores de estado de la ener'"a por posi.les para na part"cla sitada en n po/o de potencial de la !orma !orma ar.itraria n con+nto discreto (a mendo se dice $e las ener'"as están canti/adas estado li'ado)% Este resltado pede ser comparado con la canti5caci,n de los modos electroma'néticos en na caidad% No ha# análo'o en la mecánica clásica donde como hemos isto todos los alores de ener'"a comprendido entre

#

son acepta.les% En la mecánica cántica el niel

más .a+o de ener'"a se llama el estado !ndamental el niel de ener'"a inmediatamente anterior el primer estado e3citado el niel de ener'"a el pr,3imo el se'ndo estado e3citado etc% El si'iente es$ema dia'rama se asocia a mendo con cada no de estos estados6 en el interior del po/o de potencial $e representa na l"nea hori/ontal se tra/a c#a posici,n ertical corresponde a la ener'"a del estado # c#a lon'itd nos da na idea de la e3tensi,n espacial de la !nci,n de onda ( la l"nea en realidad a.arca los pntos del e+e $e se accede por na part"cla clásica de la misma ener'"a)% 2ara el

:00


con+nto de nieles de ener'"a se o.tiene n dia'rama es$emático del tipo mostrado de la 5'ra (D)%

46*5/ '

?epresentaci,n 'rá5ca de la !nci,n &os ceros de dan los alores de para los $e es cadrado inte'ra.le (la sitaci,n en la 5'ra es decir las ener'"as de los estados consolidados\ todas estas ener'"as se incl#en entre #

Como imos en el cap"tlo el !en,meno de la canti/aci,n de la ener'"a !e no de los !actores $e cond+eron a la introdcci,n de la mecánica cántica% Nieles discretos de ener'"a aparecen en n 'ran n-mero de sistemas !"sicos6 los átomos (éase el cap"tlo átomo de hidr,'eno%) El oscilador arm,nico (éase cap ) &os n-cleos at,micos etc I7U?A D ?epresentaci,n es$emática de los estados li'ados de na part"cla en n po/o de potencial% 2ara cada no de estos estados estacionarios no di.+a na l"nea hori/ontal c#a ordenada es i'al a la ener'"a del niel correspondiente% &os e3tremos de esta l"nea son los pntos de intersecci,n con la cra $e representa el potencial es decir la l"nea se limita a la re'i,n de moimiento clásico para la misma ener'"a lo $e da na idea de la e3tensi,n de la !nci,n de onda

:% Valor m"nimo de la ener'"a del estado !ndamental

:08


En esta secci,n amos a demostrar $e la ener'"a son ma#ores $e el alor m"nimo de la ener'"a potencial A continaci,n eremos c,mo este resltado peda ser !ácilmente comprendido con la relaci,n de incertidm.re de Heisen.er'% 1i es na solci,n de se o.tiene mltiplicando esta ecaci,n por la inte'raci,n de la relaci,n as" o.tenida6

2ara n estado li'ado la !nci,n pede escri.ir simplemente6

pede ser normali/ado # la ecaci,n

#

se

con6

tenemos$e reali/ar na inte'raci,n por partes # se tili/a el hecho de $e tiende a cero cando #6

&a relaci,n mestra simplemente $e ener'"a cinética6

es la sma del alor medio de la

# el de la ener'"a potencial6

9e las relaciones

#

 se dedce inmediatamente $e6

2or lo tanto6

:0:


2esto $e

es ne'atio como imos en

emos $e como en la mecánica

clásica las ener'"as estado li'ado siempre entre # E3iste sin em.ar'o na di!erencia importante entre la sitaci,n clásica # cántica6 mientras $e en la mecánica clásica la part"cla pede tener na ener'"a i'al a (caso de na part"cla en reposo en ) o n poco ma#or $e (caso de las pe$e ñas oscilaciones) el mismo no es cierto en la mecánica cántica donde la ener'"a más .a+a posi.le es la ener'"a del estado !ndamental $e es necesariamente ma#or $e (éase la i'% D% )% &as relaciones de incertidm.re de Heisen.er' nos permiten entender el ori'en !"sico de este resltado #a $e ahora se mestran% 1i tratamos de constrir n estado de la part"cla para $e la ener'"a potencial media es tan pe$e ña como sea posi.le se e de $e se de.e ele'ir na !nci,n de onda $e está prácticamente locali/ada en el pnto &a desiaci,n de la ra"/ cadrada media (es entonces m# pe$e ña por lo $e es necesariamente m# 'rande% 9ado $e6

la ener'"a cinética es entonces tam.ién m# 'rande% 2or lo tanto si la ener'"a potencial de la part"cla se apro3ima a s m"nimo la ener'"a cinética amenta sin l"mite% &a !nci,n de onda del estado !ndamental corresponde a n compromiso para $e la sma de estas dos ener'"as es n m"nimo% El estado !ndamental de la part"cla cántica se caracteri/a as" por na !nci,n de onda $e tiene na cierta e3tensi,n espacial (éase la i'% D%)  s ener'"a es necesariamente ma#or $e A di!erencia de la sitaci,n en la mecánica clásica no e3iste n estado de ener'"a .ien de5nida en la mecánica cántica donde la part"cla es 4en reposo4 en la parte in!erior del po/o de potencial% Comentarios6 2esto $e la ener'"a de los estados enla/ado está inclido entre # tales estados s,lo pede e3istir si el potencial toma alores ne'atios en na o arias re'iones del e+e Es por eso $e hemos ele'ido para este complemento% 2o/o 2otencial como el $e se mestra en la 5'ra (8>a) (mientras $e en el complemento si'iente no nos limitaremos al caso de n po/o de potencial) 1in em.ar'o no ha# nada para eitar $e de ser positia para ciertos alores de (por e+emplo el 4po/o4 pede ser rodeado por los posi.les 4.arreras4 como se mestra en la 5'ra $e siempre de.erá asmir el potencial de ser cero en el in5nito)% En este caso ciertos moimientos de

:0D


clásicos de la ener'"a positia $e permanecen acotadas mientras $e en mecánica cántica el mismo ra/onamiento anterior mestra $e los estados li'ados siempre tienen na ener'"a entre # "sicamente esta di!erencia sr'e del hecho de $e na .arrera de potencial de altra 5nita nnca es capa/ de hacer na part"cla cántica retroceder completamente6 la part"cla siempre tiene na pro.a.ilidad no nla de pasar a traés por el e!ecto t-nel% I7U?A G 2otencial .ien de pro!ndidad sitado entre dos .arreras de potencial de altra # (sponiendo por e+emplo % Clásicamente e3isten estados de las part"clas c#a ener'"a está entre #  $e permanecen con5nados entre las dos .arreras% En la mecánica cántica na part"cla c#a ener'"a es entre # peden penetrar la .arrera por el e!ecto t-nel # en consecencia los estados li'ados siempre tiene ener'"as entre #

?e!erencias # s'erencias .i.lio'rá5cas6 e#nman I el Mes"as  1chi`

A#ant

#

elori/F#

:0G


Complemento E1TA9O1 NO &I7A9O1 9E UNA 2A?T ÍCU&A EN &A 2?E1ENCIA 9E UN 2OÔ 9E 2OTENCIA& O A??E?A 9E O?MA A?IT?A?IA 8% &a matri/ Transmisi,n a% 9e5nici,n de .% 2ropiedades de :% Coe5cientes ?e*e3i,n # transmisi,n D% E+emplo En el complemento pso de mani5esto $e los estados li'ados de na part"cla sitada en n potencial tienen las ener'"as ne'atias # de $e e3isten s,lo si es n potencial atractio (n po/o de potencial $e permite el moimiento clásico limitado) Timos $e recha/ar los alores positios de la ener'"a #a $e cond+o a las !nciones propias del Hamiltoniano $e en el in5nito se comport, como sperposiciones de e3ponenciales no>cadrado>inte'ra.les 1in em.ar'o hemos isto #a en el cap"tlo $e mediante la sperposici,n de !nciones lineal se pede constrir cadrado>inte'ra.les las !nciones de onda (pa$etes de onda) $e por lo tanto pede representar el estado !"sico de na part"cla% Es eidente $e dado $e los estados as" o.tenido implican arios alores de (es decir de la ener'"a) $e #a no son estados estacionarios la !nci,n de onda (por lo tanto eolciona con el tiempo de mltiplicaci,n # de de!ormarse % 1in em.ar'o el hecho de $e está #a e3pandido en términos de las !nciones propias nos permite calclar la eolci,n de manera m# simple como lo hicimos por e+emplo en el complemento donde se tili/, las propiedades de para calclar los coe5cientes de transmisi,n # re*e3i,n de na .arrera de potencial el retraso en la re*e3i,n etc% 2or esta ra/,n a pesar de $e cada no de los no solo pede representar a n estado !"sico es -til para estdiar las !nciones propias de ener'"a positia de como #a lo hemos hecho en el complemento para ciertos potenciales

:0;


cadrados% En el complemento amos a estdiar de na manera 'eneral (limitándonos sin em.ar'o para pro.lemas nidimensionales) el e!ecto de n potencial en las !nciones propias de ener'"a positia Vamos a sponer nada so.re la !orma de $e pede presentar no o arios o.stáclos po/os etc salo $e tiende a cero !era de n interalo 5nito del e+e % Vamos a demostrar $e en todos los casos el e!ecto de en las !nciones pede ser descrita por na matri/  $e posee n cierto n-mero de propiedades 'enerales% 2or lo tanto se o.tienen resltados di!erentes $e son independientes de la !orma del potencial ele'ido% 2or e+emplo se erá $e los coe5cientes de transmisi,n # re*e3i,n de na .arrera (#a sea simétrico o no) son los mismos para na part"cla iene de la i/$ierda # de na part"cla de la misma ener'"a procedente de la derecha% Un o.+etio adicional de este complemento es la de serir como pnto de partida para los cálclos de complemento en el $e estdiar las propiedades de na part"cla en n potencial peri,dico  ?ecerde $e hemos ele'ido el ori'en de ener'"a a 5n de $e in5nito%

cero en el

 Tam.ién se podr"a considerar el estdio de las !nciones propias ne'atias no cadrado>inte'ra.les de ener'"a (a$ellos c#as ener'"as no pertenecen a la o.tenida en el espectro discreto del complemento )% 1in em.ar'o estas !nciones dier'en m# rápidamente (e3ponencialmente) en el in5nito # no se pod"a o.tener cadrado>inte'ra.les las !nciones de onda de !orma lineal a sperponer% 8% &a matri/ de Transmisi,n a% de5nici,n de En n pro.lema nidimensional considere n potencial

$e es cero !era

de n interalo de lon'itd pero $e ar"a en na !orma ar.itraria dentro de este interalo (i'% I)% 1e eli'e el ori'en para estar en el medio del interalo as" como tener satis!echa por cada !nci,n de onda ener'"a es6

ar"an s,lo para &a ecaci,n asociado con n estado estacionario de

En el resto de este complemento $e se eli+a para caracteri/ar la ener'"a el parámetro (F) esta dado por6

:0J


I7U?A 8 El potencial en estdio ar"a de na manera ar.itraria en el interalo > # tiende a cero !era de este interalo%

En la re'i,n

la !nci,n

satis!ace la ecaci,n

\ llamemos

la

solci,n de esta ecaci,n $e es idéntica a por Cando es necesariamente na com.inaci,n lineal de dos solciones independientes #

de

donde

Esto nos da6

#

son coe5cientes $e dependen de

as" como en la !orma de

la potencial .a+o estdio% 9e manera similar se pede introdcir la solci,n $e por es i'al a

&a solci,n más 'eneral de la ecaci,n (de se'ndo orden en n alor dado de (es decir de es na com.inaci,n lineal de #

?elaciones

#

) para

implica $e6

:0


1i mientras $e las relaciones

#

nos proporciona6

si con6

2or de5nici,n la matri/

es el

matri/6

lo $e nos permite escri.ir las relaciones

en la !orma de la matri/6

por lo tanto nos permite determinar dado el comportamiento de la !nci,n de onda a la i/$ierda de s potencial s comportamiento a la derecha% Hacemos n llamado  la 4matri/ de transmisi,n4 de las posi.ilidades% COMENTA?IO6 &a corriente asociada con na !nci,n de onda

es6

9i!erenciando encontramos6

Tomando

en centa se o.tiene6

2or lo tanto la corriente asociado con n estado estacionario es la misma en todos los pntos del e+e Nota además $e es simplemente el análo'o nidimensional de la relaci,n6

:0L


$e es álido de acerdo con la relaci,n del cap"tlo para cal$ier estado estacionario de na part"cla $e se mee en n espacio tridimensional% 9e acerdo con la corriente asociada con por lo tanto se pede calclar para cal$ier eli'iendo la !orma o la !orma de

.% 2?O2IE9A9E1 9E % Es !ácil demostrar tili/ando el hecho de $e la !nci,n es na solci,n de la ecaci,n ( !nci,n es idéntica a

$e es na solci,n de

cando

es tam.ién% Consideremos ahora la comparaci,n de

#

mestra $e

2or lo tanto tiene para todo

1stit#endo las relaciones

#

9e ello se dedce $e la matri/

2% Hemos isto más arri.a depende de

es real $e si

en esta relaci,n se o.tiene6

se pede escri.ir en !orma simpli5cada6

$e la corriente de pro.a.ilidad

no

para n estado estacionario% 2or lo tanto de.e tener

para cal$ier

#

Ahora las relaciones

&a condici,n

es e$ialente a6

# rendimiento

COMENTA?IO16

:0B


No hemos hecho sposiciones particlares acerca de la !orma del potencial% 1i es par es decir si la matri/ posee na caracter"stica adicional6 se pede demostrar $e es n ima'inario pro% &as relaciones mestran $e # son los coe5cientes de las ondas 4entrante4 ondas planas es decir asociadas con las part"clas $e lle'an respectiamente a partir de # # moiendo hacia la /ona de in*encia del potencial (part"clas incidentes)% 2or otro lado # son los coe5cientes correspondientes a 4saliente4 ondas asociadas con part"clas $e se meen le+os del potencial (transmitida o re*e+ada part"clas)% Es -til para introdcir la matri/ $e permite calclar la amplitd de las ondas salientes en términos de la de las ondas entrantes6

!ácilmente se pede e3presar en términos de los elementos de la matri/ como se mestran ahora% &as relaciones6

implica $e6

1stit#endo esta relaci,n en

Tomando

se o.tiene6

en centa podemos escri.ir la matri/

Es !ácil compro.ar tili/ando

de neo $e6

es por lo tanto nitario% Esta matri/ +e'a n papel importante en la teor"a de la colisi,n\ $e podr"a ha.er demostrado s propiedad nitaria de la del operador de eolci,n (éase complemento ) $e e3presa simplemente la conseraci,n en el tiempo de la pro.a.ilidad total de encontrar la part"cla en al'-n l'ar del e+e (norma de la !nci,n de onda)

:80


:% coe5cientes Transmisi,n # re*e3i,n 2ara el cálclo de los coe5cientes de re*e3i,n # transmisi,n de na part"cla de encontrarse con el potencial no de.e (como en el complemento ) constrir n pa$ete de ondas con las !nciones propias de $e aca.amos de estdiar% Consideremos por e+emplo na part"cla incidente de ener'"a procedente de la i/$ierda% El pa$ete de ondas correspondiente se o.tiene sperponiendo !nciones para los $e nos propsimos con coe5cientes dados por na !nci,n $e tiene n pico pronnciado en la encidad de No amos a entrar en estos cálclos en detalle a$" sino $e son análo'as en todos los sentidos a las de complemento 9emestran $e los coe5cientes de re*e3i,n # transmisi,n son i'ales respectiamente a 9ado $e

las relaciones

#

dan6

&os coe5cientes de re*e3i,n # transmisi,n son por lo tanto i'al a6

es !ácil compro.ar $e la condici,n

ase'ra $e

1i ahora consideramos na part"cla $e iene por la derecha tenemos $e tomar lo $e da6

&os coe5cientes de transmisi,n # re*e3i,n son ahora i'al a6

:88


&a comparaci,n de # mestra $e # $e para na ener'"a dada la transparencia de na .arrera (#a sea simétrico o no) es por lo tanto siempre es el mismo para las part"clas procedentes desde la derecha # desde la i/$ierda% Además a partir de

tenemos6

Cando la i'aldad se reali/a el coe5ciente de re*e3i,n es cero # el coe5ciente de transmisi,n es i'al a (resonancia)% 2or otro lado la sitaci,n inersa no es posi.le6 desde $e impone na nnca pede tener # e3cepto en el caso en $e # tienden simltáneamente hacia el in5nito% En realidad esta sitaci,n pede ocrrir solamente para 2ara er esto diidir la !nci,n de5nida en por %1i tiende a in5nito la !nci,n de onda será i'al a cero en el lado i/$ierdo # por lo tanto necesariamente por e3tensi,n cero en el lado derecho% 1in em.ar'o esto es imposi.le a menos $e # D% e+emplo Volamos a los potenciales cadrados estdiados en en la re'i,n

es i'al a na constante

del complemento (éase la 5'ra :

donde (ha sido ele'ida para ser positio)% En primer l'ar spon'amos $e (es menor $e # esta.lece6

I7U?A : arrera de potencial cadrado%

:8:


Un cálclo elemental análo'a a la de

del complemento nos da6

con6

( es necesariamente positio a$" #a $e hemos asmido sponemos $e  $e esta.lece6

)% 1i ahora

#6

 9e hecho estamos considerando a$" na .arrera $e se despla/a con relaci,n al complemento #a $e estamos sponiendo $e $ede sitado entre # (en l'ar de entre # (donde

si

#

si

)% O.tenemos as"6

Es !ácil compro.ar $e las matrices relaciones

escrito en

#

satis!acen las

#

?e!erencias # s'erencias .i.lio'rá5cas6 Mer/.acher

er tam.ién las re!erencias del complemento

Complemento

:8D


&A1 2?O2IE9A9E1 CUÁNTICA1 9E UNA 2A?T ÍCU&A EN UNA E1T?UCTU?A 2E?IÓ9ICA UNI9IMEN1IONA& 8% El paso a traés de arios o.stáclos potenciales scesias idénticas a% notaci,n .% las condiciones de +e'o c% &a iteraci,n de la matri/ d% Valores propios de :% 9iscsi,n6 el concepto de na .anda de ener'"a permitido o prohi.ido na% Comportamiento de la !nci,n de onda .% ?e*e3i,n de ra''\ ener'"as posi.les para na part"cla en n potencial peri,dico D% &a canti5caci,n de los nieles de ener'"a en n potencial peri,dico el e!ecto de las condiciones de contorno na% Condiciones impestas a la !nci,n de onda .% 1e admiten .andas de ener'"a6 los estados estacionarios de la part"cla dentro de la red c% andas prohi.idas6 estados estacionarios locali/ados en los .ordes En el complemento amos a estdiar las propiedades cánticas de na part"cla sitada en n potencial $e tiene na estrctra peri,dica% &as !nciones $e consideraremos no será necesariamente peri,dico en el sentido estricto de la pala.ra sino $e .asta para $e ten'an la !orma de na !nci,n peri,dica en na re'i,n 5nita del e+e (5'% ) $e es decir $e es el resltado de la #3taposici,n de N eces el mismo motio a interalos re'lares es erdaderamente peri,dico s,lo en el l"mite % I7U?A 8 2otencial $e tiene na estrctra peri,dica al o.tenerse a traés de la #3taposici,n de eces el mismo motio ( en la 5'ra)% Tales estrctras peri,dicas se encentran por e+emplo en el estdio de na molécla lineal !ormado por (átomos o 'rpos de átomos) $e son idénticos # espaciadas por i'al% Tam.ién se encontr, en la !"sica de estado s,lido cando :8G


se eli'e n modelo nidimensional con el 5n de comprender la disposici,n de los nieles de ener'"a de n electr,n en n cristal% 1i es m# 'rande (como en el caso de na macromolécla lineal o n cristal macrosc,pico) el potencial es dado en na amplia re'i,n del espacio por na !nci,n peri,dica # las propiedades de la part"cla se pede esperar $e sea prácticamente el mismo $e lo $e ser"an si eran realmente peri,dica% 1in em.ar'o desde n pnto de ista !"sico el l"mite en el in5nito no se alcan/a nnca # nos ocparemos a$" con el caso de $e N es ar.itraria% 2ara estdiar el e!ecto del potencial en na !nci,n propia del hamiltoniano de alor propio se podrán introdcir na matri/  la matri/ de iteraci,n $e depende Vamos a demostrar $e el comportamiento de es totalmente di!erente dependiendo de si los alores propios de la matri/ de iteraci,n son reales o ima'inarios% 2esto $e estos alores propios dependen de la ener'"a seleccionado amos a ser -til para distin'ir entre los ám.itos de la ener'"a $e corresponde a alores propios reales # las $e condcen a alores propios ima'inarios% El concepto de na .anda de ener'"a permitido o prohi.ido por lo tanto será presentado% Comentarios6 2or ra/ones de coneniencia amos a ha.lar de na 4.arrera de potencial4 para desi'nar el motio de $e repetidas eces da la posi.ilidad de (5'% 8)% 1in em.ar'o este motio tam.ién pede ser n 4po/o de potencial4 o tener na !orma ar.itraria% El so com-n en la !"sica de estado s,lido se resera la letra para desi'nar n parámetro $e está implicado en la e3presi,n para las !nciones de onda estacionaria # $e no es simplemente proporcional a la ra"/ cadrada de la ener'"a% 2ara a+starse a este so en adelante amos a tili/ar na notaci,n li'eramente di!erente de la de complemento esta.leciendo6

# no amos a introdcir la letra

amos a sstitir

hasta más tarde (eremos $e

directamente relacionada con los alores propios de la matri/ comple+as)%

por

está

cando son

8% 2aso a traés de arios o.stáclos potenciales scesias idénticas Consideremos n potencial (V3) $e se o.tiene mediante la #3taposici,n de como .arreras en la 5'ra la primera .arrera está centrada en la se'nda en la tercera en el -ltimo en Tenemos la :8;


intenci,n de estdiar el comportamiento drante el paso por este con+nto de .arreras de na !nci,n propia  $e es na solci,n de la ecaci,n de alores propios de

donde

#

están relacionados por

a% NOTACIÓN A la i/$ierda de las .arreras (N) es decir por cero # es la solci,n 'eneral de la ecaci,n ()6

(3 X >

V (3)) es

1i Ten'a en centa como en

del complemento

las dos !nciones

#

$e a$" se conierten en # En la re'i,n de la primera .arrera centrada en la solci,n 'eneral de se escri.e6 1i 9e manera similar en la re'i,n de la se'nda .arrera centrada en o.tiene6

se

# más en 'eneral en la re'i,n de la .arrera enésima centrada en

si inalmente a la derecha de las .arreras de neo a cero # tenemos6

es decir por

es

1i Ahora de.e coincidir con estas diersas e3presiones de

en

Esto es lo $e haremos en la si'iente secci,n% .% CON9ICIONE1 9E 9E CON7?UENCIA

:8J


&as !nciones # dependerá de la !orma del potencial ele'ido% Nos mestran sin em.ar'o $e es !ácil de calclar ellos # ss deriados as" en los dos .ordes de cada .arrera mediante el so de los resltados de complemento 2ara ello ima'inemos $e todas menos na de las .arreras se eliminan de+ando por e+emplo el enésimo  centrada en 1olci,n siempre álido dentro de esta .arrera a continaci,n de.e e3tenderse a la i/$ierda #a la derecha por sperposici,n de ondas planas% Estas ondas se o.tienen mediante la sstitci,n en las !,rmlas # por # añadiendo n "ndice a .arrera enésimo está aislado6

#

de por As" tenemos si la

para

para

con6

donde con el cam.io en la notaci,n de tenerse en centa es la matri/ introdcido en el complemento %En consecencia en el .orde i/$ierdo de la .arrera enésima

 la !nci,n

de5nido en

tiene el mismo alor # la

misma deriada como la sperposici,n de ondas planas 9e manera similar en el .orde derecho de esta .arrera $e tiene el mismo alor # la misma deriada Estos resltados nos permiten escri.ir simplemente las condiciones encontradas en la estrctra peri,dica% As" en el .orde i/$ierdo de la primera .arrera (es decir en (3 W > 8R:)) es s5ciente o.serar $e tiene el mismo alor # el deriado de lo mismo $e directamente6

(n resltado $e era eidente a partir de

$e se o.tiene

)%

:8


En el .orde derecho de la primera .arrera $e es el mismo $e el .orde i/$ierdo de la se'nda $e escri.ir $e # tienen el mismo alor # la misma deriada $e se o.tiene6

9e manera similar en la ni,n de la enésima # se o.tiene esta.leciendo i'al al alor # el deriado de o.tenida mediante la sstitci,n de por en

.arreras # las de la e3presi,n

2or -ltimo en el .orde derecho de la -ltima .arrera de.emos escri.ir $e tiene el mismo alor # el deriado de lo mismo $e la e3presi,n o.tenida mediante la sstitci,n de por en ) lo $e da6

c% ITE?ACIÓN MAT?I Vamos a presentar la matri/

 de5nida por6

Nos permite escri.ir la condici,n de concordancia

es decir teniendo

en la !orma6

en centa lo si'iente6

Iteraci,n esta ecaci,n # sando

o.tenemos6

:8L


inalmente la condici,n coincidente so de #

pede ser trans!ormado mediante el

es decir6

En esta !,rmla $e nos permite pasar de asociado con cada .arrera # na matri/ .arreras scesias% ?elaciones

a na matri/ está con cada interalo entre dos

demestran la importancia del papel desempe ñado por

#

la matri/6

$e entra a la enésima potencia cando se pasa de a cando no reali/a na tradcci,n a traés de na distancia

 es decir a lo lar'o de la

estrctra peri,dica% 2or esta ra/,n llamaremos la 4matri/ de iteraci,n4 Uso de la !,rmla del complemento # de e3presi,n para o.tenemos6

El cálclo de

se e !acilitada si cam.iamos las .ases a 5n de $e

en

dia'onal por eso amos a estdiar los alores propios de d% Valores propios de 1ean es n alor propio de escri.e6

&a ecaci,n caracter"stica de la matri/

es decir teniendo en centa relaci,n

donde

se

de complemento

es la parte real del n-mero comple+o

:8B


?ecordemos c!% complementar relaci,n lo mismo es cierto tanto de se'ndo 'rado

 $e el m,dlo de

es ma#or $e

El discriminante de la ecaci,n de

es6

9os casos peden presentarse a continaci,n6 1i la ener'"a

es tal $e6

(por e+emplo si en la 5'ra

na está entre

#

 n con+nto pede6

con6

I7U?A : Variaci,n con respecto a n-mero comple+o%

del

2esto $e la cra o.tenida en el plano comple+o $eda !era del c"rclo centrado en de radio nidad% &a discsi,n si'iente se mestra $e si es menor $e es decir si el alor de ele'ido proporciona n pnto de la cra $e se encentra entre las dos l"neas erticales de tra/os de la 5'ra la ener'"a correspondiente cae en na 4.anda permitida4 en el caso contrario se cae en na .anda de 4prohi.ido4%

Un simple cálclo demestra entonces $e los alores propios de dadas por6

ienen

::0


Ha# por tanto dos alores propios $e son comple+os con+'ados # c#o m,dlo es i'al a 1i por otro lado la ener'"a

(por e+emplo si en la 5'ra

da n alor de

es entre

#

a tal $e6

) los con+ntos de no6

con6

# si entonces6

es positio

si

es ne'atio% Nos encontramos

En este caso am.os alores propios de inersa%

son reales # son mtamente

:% 9iscsi,n6 el concepto de na .anda de ener'"a permitido o prohi.ido a% COM2O?TAMIENTO 9E &A UNCI ÓN 9E ON9A 2ara aplicar

se empie/a por el cálclo de las dos matrices colmna

asociados con los ectores propios de respectiamente a los alores propios matri/

#

#

# $e corresponden A continaci,n descomponer la

en la !orma6

$e nos permite o.tener directamente6

Es eidente a partir de esta e3presi,n $e el comportamiento de la !nci,n de onda es m# di!erente dependiendo de si es menor o ma#or $e en el dominio de la ener'"a de la !nci,n de onda% En el primer caso la !,rmla mestra $e el e!ecto de atraesar las .arreras scesias se e3presa en ( C:) por n despla/amiento de !ase en los componentes de la matri/ de la colmna

::8


con respecto a # El comportamiento de a$" recerda a la de na sperposici,n de e3ponenciales ima'inarias% 2or otro lado si la ener'"a es tal $e

la !,rmla

(por e+emplo

) tiene n m,dlo ma#or $e

2ara

indica $e s,lo no de los dos alores propios

lo s5cientemente 'rande tenemos como resltado6

# por lo tanto amentan de !orma e3ponencial con e3cepto en el caso especial donde  la !nci,n de onda # le'o amenta en el m,dlo a medida $e atraiesa las .arreras potenciales scesias # s comportamiento recerda a la de na sperposici,n de e3ponenciales reales% .% &a re*e3i,n de ra'' las ener'"as posi.les para na part"cla en n potencial peri,dico 9ependiendo de si se comporta como na sperposici,n de e3ponenciales reales o ima'inarios los !en,menos $e resltan ra/ona.lemente se pede esperar a ser m# di!erente% Vamos a ealar por e+emplo el coe5ciente de transmisi,n las .arreras idénticos% 2or estas .arreras

 la relaci,n

del con+nto de mestra $e la

matri/ desempeña n papel análo'o al desempe ñado por para na sola .arrera% Ahora de acerdo a la relaci,n del complemento el coe5ciente de transmisi,n se e3presa en términos del elemento de esta matri/ $e se coloca en la primera 5la # la colmna de primera la inersa de es i'al al cadrado del m,dlo de este elemento% lo $e ocrre si la ener'"a de la part"cla se eli'e a 5n de hacer $e los alores propios de real es decir dado por  Cando se hace s5cientemente 'rande el alor propio se conierte en dominante # la matri/ amenta e3ponencialmente con como tam.ién pede erse en la relaci,n  En consecencia el coe5ciente de transmisi,n dismin#e e3ponencialmente%6

En este caso para 'randes alores de (N) el con+nto de (n) .arreras de potencial re*e+a la part"cla prácticamente sin !alta% Esto se e3plica por el hecho de $e las ondas dispersadas por las .arreras de potencial di!erentes inter!erir totalmente destrctia para la onda transmitida # constrctiamente para la onda re*e+ada% Este !en,meno por lo tanto se pede comparar a la re*e3i,n de ra''% Nota además $e esta inter!erencia destrctia para la onda transmitida :::


pede ser prodcido inclso si la ener'"a (E) es ma#or $e la altra de la .arrera (n caso donde en la mecánica clásica se transmite la part"cla)% No o.stante si el coe5ciente de transmisi,n de na .arrera aislado está m# cerca de tenemos por e+emplo en la 5'ra si es decir la ener'"a  se apro3ima al in5nito% El pnto $e representa el n-mero comple+o es entonces m# cerca de la circn!erencia de radio nidad centrado en i'ra : mestra $e las re'iones del e+e de ener'"a donde es decir donde se prodce la re*e3i,n total son m# estrechas # prácticamente se pede considerar como alores de ener'"a aislados% "sicamente esto se e3plica por el hecho de si la ener'"a de la part"cla incidente es mcho ma#or $e la amplitd de la ariaci,n del potencial s cantidad de moimiento está .ien de5nido como es la lon'itd de onda asociada% &a condici,n de ra'' (donde es n n-mero entero) da entonces as" de5nidas por alores de ener'"a% 1i por otro lado la ener'"a

de la part"cla cae en n dominio donde los

alores propios son de m,dlo como en los elementos de la matri/ in5nito en!o$e #a no cando lo hace% a+o estas condiciones el coe5ciente de transmisi,n no se apro3ima a cero cando el n-mero de .arreras se incrementa% Estamos neamente !rente a n !en,meno pramente mecánico relacionado con la natrale/a ondlatoria de la !nci,n de onda lo $e permite $e se propa'e en la estrctra re'lar potencial peri,dico sin ser atenada e3ponencialmente% N,tese especialmente $e el coe5ciente de transmisi,n es m# di!erente a partir del prodcto de los coe5cientes de transmisi,n indiidales de las .arreras adoptadas por separado (este prodcto se apro3ima a cero cando #a $e todos los !actores son más pe$e ños $e )% Otro pro.lema interesante encontrado particlarmente en la !"sica de estado s,lido es el de la canti5caci,n de los nieles de ener'"a para na part"cla colocada en na serie de po/os de potencial idénticos # espaciados ni!ormemente es decir colocado en n potencial $e tiene na estrctra peri,dica% Este pro.lema será estdiado en detalle en sin em.ar'o #a se pede adiinar la !orma del espectro de las ener'"as posi.les% 1i sponemos $e la ener'"a de la part"cla es tal $e% la ecaci,n mestra $e los coe5cientes # se conierten en in5nito cando Es claro $e esta posi.ilidad de.e ser recha/ada #a $e si'ni5ca $e la !nci,n de onda no se $eda limitado las ener'"as correspondientes por lo tanto prohi.ido%% por lo tanto el nom.re de las .andas prohi.idas dadas a los dominios de la ener'"a para el cal 2or el otro mano si la ener'"a de la part"cla es tal $e # si'en siendo limitada cando las re'iones correspondientes del e+e de ener'"a se llaman .andas permitidas 2ara resmir el espectro de ener'"a se compone de ::D


interalos 5nitos dentro de la cal todas las ener'"as son acepta.les separados por todas las re'iones de c#as ener'"as están prohi.idas% D% &a canti5caci,n de los nieles de ener'"a en n potencial peri,dico el e!ecto de las condiciones de contorno Consideremos na part"cla de masa m colocado en el potencial

se mestra

en la 5'ra (D)% En la re'i,n tiene la !orma de na !nci,n peri,dica compesta de na serie de .arreras scesias de altra centrados en era de esta re'i,n se somete a ariaciones ar.itrarias en distancias compara.les a le'o se ele i'al a n alor constante positia

En lo $e si'e la re'i,n

la celos"a4 # las re'iones $e limitan la celos"a4%

se denominará 4dentro de 4termina (o .ordes) de

"sicamente tal !nci,n pede representar el potencial ista por n electr,n en na molécla lineal o en n cristal (en n modelo nidimensional)% &os po/os de potencial sitado en a continaci,n corresponden a la atracci,n del electr,n por los diersos iones% &e+os de $e el cristal (o la molécla) el electr,n no está s+eto a las !er/as de atracci,n por lo $e se conierte rápidamente en constante !era de la re'i,n

I7U?A D Variaci,n con respecto a del potencial ista por n electr,n en na 4ni> dimensional de cristal4 # en ss .ordes% En el interior del cristal tiene el potencial de na estrctra peri,dica es má3ima entre los iones (.arreras en # n m"nimo en las posiciones de los iones (po/os en en los .ordes del cristal ar"a de na manera más o menos complicadas so.re na distancia compara.le a le'o rápidamente se apro3ima a n alor

::G


constante

El potencial $e hemos ele'ido se a+sta per!ectamente en el marco de complemento (aparte de n cam.io en el ori'en de la ener'"a)% a sa.emos por tanto $e los estados li'ados de la part"cla !orman n espectro discreto de ener'"as a menos de 1in em.ar'o el potencial reco'idos a$" tam.ién se presenta la nota.le pecliaridad de tener na estrctra peri,dica del tipo de las consideradas en \con5ar en los resltados de esta secci,n amos a demostrar $e las conclsiones del complemento ad$ieren na !orma especial en este caso% 2or e+emplo hicimos hincapié en el hecho en el complemento $e se trata de las condiciones de contorno cando $e introdcen la canti5caci,n de los nieles de ener'"a% &as condiciones de contorno del pro.lema $e están estdiando a$" es decir la ariaci,n del potencial en los .ordes de la red por lo tanto se podr"a esperar $e +e'an n papel cr"tico en la determinaci,n de las ener'"as posi.les% En realidad esto no es en a.solto el caso6 eremos $e estas ener'"as dependen prácticamente s,lo en los alores de en la re'i,n en la $e es peri,dica # no so.re los e!ectos de .orde (a condici,n por spesto $e el n-mero de po/os de potencial es s5cientemente 'rande)% Además se de.erá eri5car el resltado o.tenido en intitiamente mostrando $e la ma#or parte de las ener'"as posi.les se a'rpan en .andas de ener'"a permitidos% 1,lo nos pocos estados estacionarios locali/ados cerca de los .ordes dependen de na manera cr"tica en la ariaci,n de en esta re'i,n # peden tener na ener'"a $e cae dentro de na .anda prohi.ida% 2or lo tanto procederá esencialmente como en el complemento e3aminando en primer l'ar precisamente las condiciones impestas a la !nci,n de onda de n estado estacionario% A% CON9ICIONE1 IM2UE1TA1 2A?A E& UNCI ÓN 9E ON9A En la re'i,n donde es peri,dica la relaci,n da la !orma de la !nci,n de onda los coe5cientes # se determina a partir de 2ara escri.ir de manera más e3pl"cita de5namos\

A continaci,n se o.tiene6

::;


Ahora amos a e3aminar las condiciones de contorno en la !nci,n de onda En primer l'ar a la i/$ierda le+os de la celos"a es i'al a # escri.e en la !orma6

se

con6

(eliminamos la solci,n en

$e dier'e cando

)% &a corriente de

pro.a.ilidad asociada con la !nci,n de es cero (Véase complemento )% Ahora para n estado estacionario esta corriente es independiente de Véase complemento relaci,n  por lo tanto si'e siendo i'al a cero en todos los (inclso dentro de la red)% 9e acerdo a la relaci,n del complemento de los coe5cientes # por lo tanto necesariamente tienen los mismos modls%Ths si optamos por e3presar las condiciones de contorno so.re la i/$ierda como las relaciones entre los coe5cientes de # es decir por escrito $e la e3presi,n para para es la e3tensi,n de la !nci,n de onda  nos encontramos con na relaci,n de la !orma6

es na !nci,n real de (# por tanto de la ener'"a $e depende del comportamiento preciso de en el .orde i/$ierdo de la red en lo $e si'e no se necesita el e3presi,n e3acta para esta !nci,n (el pnto esencial es $e las condiciones de contorno de la i/$ierda tienen la !orma % El mismo tipo de ra/onamiento o.iamente se pede aplicar a la derecha donde las condiciones de contorno se escri.en6

donde la !nci,n real derecho de la red%

depende del comportamiento de

en el .orde

2ara resmir podemos decir $e la canti5caci,n de los nieles de ener'"a pede o.tenerse de la si'iente manera6 > Empe/amos con dos coe5cientes

# $e satis!acen

lo $e ase'ra $e

la !nci,n (cpa3) se'irá siendo limitada cando 2esto $e se de5ne en s interior% n !actor constante podemos ele'ir por e+emplo6

::J


> Entonces calclar tili/ando los coe5cientes # el 5n de ampliar la !nci,n de onda ele'ida a lo lar'o de todo el cristal% Ten'a en centa $e la condici,n implica $e es real (éase el complemento cálclo de # (de.e ceder el paso por tanto6

> 2or -ltimo se escri.e $e los coe5cientes relaci,n $e ase'ra $e

#

satis!acen

se'irá siendo limitada cando

na 9e

hecho la relaci,n mestra $e la relaci,n es atomáticamente n n-mero comple+o de m,dlo nidad\% Condici,n por lo tanto e$iale a na i'aldad entre las !ases de dos n-meros comple+os As" se o.tiene na ecaci,n real en $e tiene n cierto n-mero de solciones reai dando las ener'"as permitidas% Vamos a aplicar este método distin'ir entre dos casos6 alores propios reales de caso donde  # los ima'inarios el caso donde( % .% &A1 AN9A1 9E ENE?7 ÍA A9MITI9A16 estados estacionarios del part"cla dentro de &A ?E9 En primer l'ar sponemos $e la ener'"a

está en n dominio donde

a% orma de la ecaci,n de canti5caci,n Tomando

en centa las relacion

se conierten en6

Además hemos isto $e la elecci,n de # implica $e para todo Ahora .ien es !ácil demostrar $e las relaciones dan dos n-meros comple+os con+'ados s,lo si6

Condici,n

 entonces se pede escri.ir6

Esta ecaci,n EN es la $e o!rece la canti5caci,n de los nieles de ener'"a% 2ara solcionarlo amos a con5'rar6

::


pede en principio se calcla a partir de # la matri/ ecaci,n pede a continaci,n se ped escri.ir simplemente6

% &a

&os nieles de ener'"a por lo tanto dada por6

con6

los otros alores de de.en ser e3clidos como la condici,n a$" las !er/as de para ariar dentro de n interalo de ancho a podemos er $e si es m# 'rande podemos escri.ir la ecaci,n en la !orma simpli5cada6

'rá5ca de la solci,n la locali/aci,n de los nieles de ener'"a 1i sstitimos la de5nici,n de (en se o.tiene na ecaci,n en na $e da a las ener'"as permitidas% 2ara resoler 'rá5camente empecemos por el se'imiento de la cra $e representa la !nci,n ( 9e.ido a la e3ponencial ima'inaria se espera $e esta cra para tener n comportamiento oscilatorio del tipo de la $e se mestra en la 5'ra 2esto $e es ma#or $e c!% complemento la relaci,n  la amplitd de la oscilaci,n es ma#or $e por lo $e la cra intersecta las dos l"neas rectas (en ciertos alores de la aria.le A continaci,n eliminar todas las re'iones del e+e limitada por estos alores donde la condici,n no se satis!ace% Utili/ando el con+nto de arcos de las cras o.tenidas para $e de.e representar la !nci,n6

::L


I7U?A G Variaci,n con respecto a

de

(éase la 5'ra :%)  de

&os alores de (es decir de la ener'"a asociado con estados estacionarios se o.tienen ( si por el corte de la cra $e representa con las l"neas hori/ontales c#as ecaciones son &as .andas permitidas son as" reelados% Cada no incl#e los nieles $e están m# cerca entre s" (los interalos ) &as .andas prohi.idas están representados por las áreas som.readas &as cras de l"neas de tra/os corresponden al caso especial donde (na part"cla li.re)%

Teniendo en centa la !orma de la !nci,n del coseno de arco nos llea a la cra c#a !orma se mestra en la 5'ra &a ecaci,n indica $e los nieles de ener'"a corresponden a las intersecciones de esta cra con las $e representan las !nciones de

es decir si

con las l"neas

hori/ontales c#as ecaciones son As" se o.tiene 'rpos de los nieles asociados con alores e$idistantes de # sitadas en las .andas permitidas de5nidas por etc

::B


Entre estas .andas permitidas son las .andas prohi.idas ( amos a e3aminar ss propiedades en )%

&a 5'ra ; &a !nci,n Arco coseno%

1i consideramos na .anda particlar permitido se pede locali/ar cada niel de acerdo con el alor de $e corresponde a la misma% Esto condce a la elecci,n de como la aria.le # considerando # en consecencia como !nciones # de &a ariaci,n de na con respecto a está dada directamente por la cra de la 5'ra por lo $e .asta para ealar la !nci,n para o.tener la ener'"a mostrada en la 5'ra J%

&a cra correspondiente tiene la !orma I7U?A J &a ariaci,n de la ener'"a con respecto al parámetro &as l"neas continas corresponden a las ener'"as de las dos primeras .andas permitidas (los alores de $e dan a los nieles de ener'"a son e$idistantes en el interior del interalo &as l"neas discontinas corresponden al caso especial en $e el potencial es cero (na part"cla li.re)\ las .andas permitidas son conti'os # no ha# :D0


.andas prohi.idas% comentarios6 Es eidente a partir de la 5'ra $e a n alor dado de corresponden arios alores de n tanto # de la ener'"a\ esta es la ra/,n por arios arcos aparecen en la 5'ra 1in em.ar'o si dentro de na determinada .anda permitido amenta de manera constante desde a (o dismin#e de manera constante desde a  s,lo n niel de ener'"a corresponde a cada alor de para esta .anda  # esta .anda incl#e los nieles de ener'"a% % discsi,n &os cálclos anteriores mestran c,mo cándo amos a partir de a alores m# altos de se pasa 'radalmente a partir de n con+nto de nieles discretos de ener'"a a las .andas permitidas% ?i'rosamente estas .andas están !ormadas por nieles discretos pero s separaci,n es tan pe$e ño para na celos"a macrosc,pica $e prácticamente constit#en n contino% Cando se toma como n parámetro la densidad de estados (el n-mero de posi.les ener'"as por nidad de interalo de ) es constante e i'al a Esta propiedad $e es m# -til e3plica por $é es 'eneralmente ele'ida como la aria.le% Un pnto importante aparece al pasar de a cando es 'rande los e!ectos de .orde de la red $e introdce s,lo a traés de la mediaci,n de las !nciones #  en #a no +e'a nin'-n papel s,lo la !orma del potencial peri,dico dentro de la red es importante para determinar las ener'"as posi.les% Es interesante considerar los dos casos si'ientes limitantes6 1i

(li.re de part"clas) tenemos

# o.tenemos6

(la l"nea discontina correspondiente se mestra en la 5'ra como na l"nea discontina)% &a relaci,n reela $e el estado siempre es satis!echa6 como sa.emos las .andas prohi.idas no e3isten para na part"cla li.re% i'ra J por lo tanto nos permite er el e!ecto del potencial en la cra Cando las .andas prohi.idas aparecen las cras $e representan la ener'"a se de!orma para tener tan'entes hori/ontales para # (los .ordes de

:D8


la .anda)% A di!erencia de lo $e ocrre para na part"cla li.re e3iste n pnto de in*e3i,n para cada .anda donde la ener'"a ar"a linealmente con 1i el coe5ciente de transmisi,n complementan

las ecaciones

es prácticamente cero tenemos c!% #

6

En la 5'ra : el pnto $e representa el n-mero comple+o es m# le+os del ori'en% 2or lo tanto er en esta 5'ra $e las re'iones de el e+e donde son e3tremadamente estrecho &as .andas permitidas por lo tanto redcir si el coe5ciente de transmisi,n de las disminciones de .arrera elementales\ en el l"mite de cero% transmisi,n se redcen a nieles indiidales en n aislado tam.ién% Inersamente tan pronto como el e!ecto t-nel permite la part"cla para pasar de n .ien a la si'iente cada no de los nieles discretos de la .ien da l'ar a na .anda de ener'"a c#a anchra amenta a medida $e crece el coe5ciente de transmisi,n% oleremos so.re esta propiedad en el complemento c% AN9A1 2?OHII9A16 E1TA9O1 E1TACIONA?IO1 &OCA&IÂ9O1 EN &O1 O?9E1 orma de las ecaciones los nieles de ener'"a 1pon'amos ahora $e pertenece a n dominio en el $e con las relaciones entonces se pede escri.ir6

El hecho de $e

para todo

&a condici,n de canti/aci,n

9e acerdo

si'ni5ca $e de.emos tener a$"6

entonces toma la !orma6

es decir6

donde la !nci,n real

se de5ne por%

:D:


Consideremos el caso donde se redce a6

tenemos entonces

# la ecaci,n

&os nieles de ener'"a sitados en las .andas prohi.idas por lo tanto dada por los ceros de la !nci,n (éase la 5'% )% entra ni en ni en por lo $e el n-mero de estos nieles no depende de ( (a di!erencia del n-mero de nieles sitado en na .anda permitido)% En consecencia cando se pede decir $e prácticamente todos los nieles se a'rpan en las .andas permitidas% 9iscsi,n &a sitaci,n a$" es radicalmente di!erente de la encontrada en el n-mero es decir la lon'itd de la red no desempe ña nin'-n papel (siempre no o.stante $e es lo s5cientemente 'rande) por el otro lado  de5nici,n de mestra $e las !nciones # +e'an n papel esencial en el pro.lema% 2esto $e #a sa.emos $e estas !nciones dependen del comportamiento de en los .ordes de la red se espera o.tener estados locali/ados en estas re'iones% Este es el caso% &as ecaciones si

el hecho de $e

#

o!recen dos posi.ilidades6

re$iere $e6

&a 5'ra  Variaci,n de con respecto a en na .anda prohi.ida% &os ceros de dar a los estados estacionarios $e son locali/ados en los .ordes de la celos"a%

Volamos a la de5nici,n de # emos $e la relaci,n mestra $e la !nci,n de onda constrida a partir del primer ector propio satis!ace las condiciones de contorno a la derecha Esto es !ácil% de entender6 si empe/amos a con na !nci,n de onda ar.itraria $e satis!a'a las condiciones de :DD


contorno a la i/$ierda la matri/ propios de

los coe5cientes

tiene componentes en los dos ectores #

son entonces

dada por $e e3presa el hecho de $e la matri/ matri/ de la colmna de la primera de atoector

esencialmente es proporcional a la

Ten'a en centa $e dado $e el alor propio es ma#or $e  la !nci,n de onda crece e3ponencialmente cando se incrementa% El estado estacionario propesta por el ector propio primero de es por lo tanto locali/ada en el e3tremo derecho de la celos"a% si da # las de5niciones implica $e el estado estacionario correspondiente se asocia con el se'ndo ector propio Aparte del hecho de $e este estado se locali/a en el e3tremo i/$ierdo de la celos"a las conclsiones o.tenidas en si'en siendo álidas% ?e!erencias # s'erencias .i.lio'rá5cas6Mer/.acher l''e &anda # &i!shit/  er tam.ién los te3tos de !"sica del estado s,lido (art"clo de la .i.lio'ra!"a)% E>ercicios ca,itulo tres

8% En n pro.lema nidimensional considere na part"cla c#a !nci,n de onda es6

9onde

#

son constantes reales #

a% 9eterminar

de modo $e

es n coe5ciente de normali/aci,n%

se normali/a%

.% &a posici,n de la part"cla se mide% ¿Cál es la pro.a.ilidad de encontrar n resltado entre

#



c% Calclar el alor medio del momento de na part"cla $e tiene !nci,n de onda%

para s

:% Consideremos en n pro.lema nidimensional na part"cla de masa c#a !nci,n de onda en el tiempo es a% En el tiempo

la distancia

de esta part"cla desde el ori'en se mide%

:DG


Escri.ir como na !nci,n de la pro.a.ilidad de encontrar n resltado ma#or $e na lon'itd dada ¿Cáles son los l"mites de cándo

#



.% En l'ar de reali/ar la medici,n de la pre'nta se mide la elocidad de la part"cla en el tiempo E3presar como na !nci,n de la pro.a.ilidad de encontrar n resltado ma#or $e n alor dado %

D% &a !nci,n de onda de na part"cla li.re en n pro.lema nidimensional se da al tiempo por6

9onde

#

son constantes%

a% ¿Cál es la pro.a.ilidad $e na medici,n de la !er/a reali/ado en el tiempo prodcirá como n resltado comprendido entre #  9i.+e la !nci,n .% ¿<é ocrre con esta pro.a.ilidad tiempo

si la medici,n se reali/a en el

 Interpretar%

c% ¿Cál es la !orma del pa$ete de ondas en el tiempo  1e calcla para ¿cál es s conclsi,n 9escri.ir este tiempo el prodcto calitatiamente la eolci,n posterior del pa$ete de ondas%

G% 9i!si,n de n pa$ete de ondas li.res Considere la posi.ilidad de na part"cla li.re% a% Ver aplicando el teorema de Ehren!est $e tiempo el alor medio

es na !nci,n lineal del

constante restante%

.% Escri.ir las ecaciones de moimiento para los alores medios Inte'rar estas ecaciones%

#

c% 9emostrar $e con na selecci,n adecada del ori'en del tiempo la desiaci,n de la ra"/ cadrada media iene dada por6

:D;


9onde inicial%

#

son las desiaciones de la media cadrado en el momento

¿C,mo la anchra del pa$ete de ondas ar"a como na !nci,n del tiempo (éase de complemento ) 9ar na interpretaci,n !"sica%

;% 2art"clas s+eto a na !er/a constante En n pro.lema nidimensional considere na part"cla de ener'"a potencial donde es na constante positia  sr'e por e+emplo desde n campo de 'raedad o n campo eléctrico ni!orme% a% Escri.ir el teorema de Ehren!est para los alores medios de la posici,n # el momento de la part"cla% Inte'rar estas ecaciones\ comparar con el moimiento clásico% .% 9emostrar $e la desiaci,n de la ra"/ cadrada media tiempo% c% Escri.ir la ecaci,n de 1chrKdin'er en la representaci,n na relaci,n entre # este modo dar na interpretaci,n !"sica%

no ar"a con el % 9edcir de ella

Inte're la ecaci,n o.tenida de

J% Considerar la !nci,n de onda tridimensional

9onde

#

son tres lon'itdes positias%

a% Calclar la constante

$e normali/a

.% Calclar la pro.a.ilidad de $e na medici,n de comprendido entre #

prodcirá n resltado

c% Calclar la pro.a.ilidad de $e las mediciones simltáneas de o.tendrán resltados inclidos respectiamente entre # #

#

se

#

d% Calclar la pro.a.ilidad de $e na medici,n del implso prodcirá n resltado inclido en el elemento

centrada en el pnto

% 1pon'amos $e sea la !nci,n de onda normali/ada de na part"cla% E3presar en términos de la pro.a.ilidad para6 :DJ


a% Una medici,n de la a.scisa #

para prodcir n resltado comprendido entre

.% na medida de la componente comprendido entre # c% mediciones simltáneas de

del momento para prodcir n resltado

#

para dar6

d% mediciones simltáneas de

para dar6

9emestre $e esta pro.a.ilidad es i'al al resltado de

e% na medida del componente n resltado comprendido entre

L% 1ea

cando

de la posici,n para prodcir #

es la corriente de pro.a.ilidad asociada a na !nci,n de onda

$e descri.e el estado de na part"cla de masa # %

cap%



las relaciones

a% 9emestre $e6

9onde

es el alor medio del implso%

.% Considere la posi.ilidad de $e el operador (momento an'lar or.ital) de5nida por 1on los tres componentes de  Operadores hermitianos Esta.lecer la relaci,n6

B% Uno $iere demostrar $e el estado !"sico de na part"cla (sin spin) está completamente de5nida especi5cando la densidad de pro.a.ilidad la corriente de pro.a.ilidad a% 1pon'amos $e la !nci,n

es conocido # sea

#

s ar'mento6 :D


9emestre $e6

9edcir $e dos !nciones de onda $e condcen a la misma densidad corriente (= (r)) peden di!erir s,lo por n !actor de !ase 'lo.al%

# de

.% 9adas las !nciones ar.itrarias # mestran $e n estado cántico pede estar asociado con ellos s,lo si donde es la elocidad asociada con el *ido de pro.a.ilidad% c% 1pon'amos ahora $e la part"cla se somete a n campo ma'nético Véase el cap% 9emestre $e6

de5nici,n

de la corriente de pro.a.ilidad en este caso%

#6

80% teorema del irial a% En n pro.lema nidimensional considere na part"cla con el hamiltoniano6

donde6

Calclar el conmtador en el potencial

1i e3iste no o arios estados estacionarios

mestran $e los alores medios

#

de las ener'"as

cinéticas # potencial en estos estados satis!acen la relaci,n6 .% En n pro.lema de tres dimensiones

se escri.e6

Calclar el conmtador H ?% 2% 1pon'amos $e (V (?)) es na ¿<é relaci,n e3iste !nci,n homo'énea de orden n en las aria.les necesariamente entre la ener'"a cinética media # la ener'"a potencial media de la part"cla en n estado estacionario :DL

Mecanica Cuantica I - Claude Cohen- Bernard Diu

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