FACULT ACULTAD DE D E INGENIERIA Y ARQUITECTURA ARQUIT ECTURA
MECANICA CELESTE CURSO
:
Laboratorio de Física IIIII
PROFESOR
:
Atauje Pariona, Magno
ALUMNOS
:
Cano Tejada Cristian Chuquilin Ramirez Ronald Sánchez Mandujano Luis
SECCION
:
60E
SEMESTRE
:
2008 - II
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INDICE
INTRODUCCION....................................................... INTRODUCCION................................ .............................................. ......................................................2 ...............................2 MECANICA CELESTE................................ CELESTE....................................................... .............................................. ........................................... ......................3 ..3 1.1 Determinación de órbitas.......................................... órbitas................................................................. ...............................................4 ........................4 1.2 Fuerzas Centrales............................................ Centrales................................................................... .............................................. ..................................4 ...........4 1.2.1 Definición......................................... Definición................................................................ ................................................................4 .........................................4 1.2.2 Consecuencias................................... Consecuencias.......................................................... ................................................. .......................... ..............4 ............ ..4 1.3 Ejemplos de problemas....................................... problemas.............................................................. .............................................. ..............................5 .......5 1.4 La teoría de perturbaciones ............................................ ................................................................... .........................................5 ..................5 1.4.1 Perturbaciones inversas......................................................... inversas..................................................................... ........................ ...............6 ...6 1.5 Relatividad General ........................................................... ................................................................................................6 .....................................6 1.6 Efectos de la mecánica celeste..................... ce leste............................................ .............................................. .....................................7 ..............7 2. CONCLUSIONES............................ CONCLUSIONES................................................... .............................................. ......................................................7 ...............................7 3. ANEXOS.................................. ANEXOS......................................................... .............................................. .......................................................... ................................... ....8 3.1 El Problema de los dos cuerpos....................................................... cuerpos...............................................................................9 ........................9 3.1.1 La situación.......................................... situación................................................................. .............................................. ......................................9 ...............9 3.1.2 Relaciones vectoriales............................................................................... vectoriales............................................................................... .....10 3.1.3 La posición de ambas masas con respecto al Centro de Inercia.....................11 3.1.4 La energía total y la Lagrangiana del sistema de las dos masas.....................12 3.1.5 Fuerzas........................................ Fuerzas............................................................... .............................................. .............................................13 ......................13 3.1.6 Trabajo entre dos estados de la trayectoria................................................... trayectoria.....................................................14 ..14 3.1.7 Momento angular y forma de la trayectoria...................................................14 3.1.8 Velocidad areolar:............................ areolar:................................................... ...............................................................15 ........................................15 3.1.9 Ejemplo.................................... Ejemplo........................................................... .............................................. ................................................15 .........................15 3.2 Simulación de dos cuerpos......................................... cuerpos.................................................................................. ......................................... ..16 3.3 Simulación de 3 cuerpos.................................... cuerpos........................................................... ....................................................16 .............................16 4. BIBLIOGRAFIA............ BIBLIOGRAFIA................................... .............................................. .............................................. .............................................. ....................... .17
INTRODUCCION
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Kepler fue el primero en desarrollar las leyes que rigen las órbitas a partir de observaciones empíricas del movimiento de Marte apoyadas, en gran parte, en observaci observaciones ones astronómic astronómicas as realizadas realizadas por Tycho ycho Brahe. Brahe. Años Años desp despué ués, s, Newton desarrolló su ley de gravitación basándose en el trabajo de Kepler. Isaac Newton introdujo la idea de que el movimiento de los objetos en el cielo, como los planetas, planetas, el Sol, Sol, y la Luna, Luna, y el movimiento de objetos en la Tierra, como las manzanas que caen de un árbol, podría describirse por las mismas leyes de la física. física . En este sentido él unificó la dinámica celeste y terrestre por eso su Ley de gravitación se llama Universal. Usando la ley de Newton de gravitación, se pueden demostrar las leyes de Kepler para el caso de una órbita circular. Las órbitas elípticas, elípticas, parabólicas e hiperbólicas involucran cálculos más complejos pero factibles. En el caso de la órbita de dos cuerpos aislados, por ejemplo el Sol y la Tierra, encontrar la situac situación ión en un moment momento o poster posterior ior,, conoc conocien iendo do previa previamen mente te la posici posición ón y velocidad de la Tierra en un momento inicial, se conoce como el ( problema de los dos cuerpos) cuerpos ) y está totalmente resuelto, es decir, hay un conjunto de fórmulas que permiten hacer el cálculo. Si el número de cuerpos implicados es tres o más el problema no está resuelto. La solución del problema de los n-cuerpos (que es el problema de encontrar, dado dado las las posi posici cion ones es inic inicia iale les, s, masa masas, s, y velo veloci cida dade dess de n cuer cuerpo pos, s, sus sus posiciones para cualquier instante) no está resuelto por la mecánica clásica. clásica . Sólo determinadas simplificaciones del problema tienen solución general. Los movimi movimient entos os de tres tres cuerpo cuerposs se pued pueden en reso resolve lverr en algu alguno noss caso casoss particulares. El movimiento de la Luna influido por el Sol y la Tierra refleja la dificultad de este tipo de problemas y ocupó la mente de muchos astrónomos durante siglos.
MECANICA CELESTE
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La mecánica celeste es una rama de la astronomía y la mecánica que tiene por objeto el estudio de los movimientos de los cuerpos en virtud de los efectos gravit gravitato atorio rioss que ejerce ejercen n sobre sobre él otros otros cuerpo cuerposs celes celestes tes.. Se aplic aplican an los principios de la física conocidos como mecánica clásica (Ley de la Gravitación Universal de Isaac Newton). Newton). Estudia el movimiento de dos cuerpos, conocido como problema de Kepler, el movimiento de los planetas alrededor del Sol, de sus satélites y el cálculo de las órbitas de cometas y asteroides. 1.1 Determinación de órbitas La mecá mecáni nica ca cele celest ste e se ocup ocupa a de calc calcul ular ar la órbita de un cuer cuerpo po reci recién én descubierto y del que se tienen pocas observaciones; con tres observaciones ya se puede puede calcu calcular lar los paráme parámetro tross orbita orbitales les.. Calcu Calcular lar la posici posición ón de un cuerpo en un instante dado conocida su órbita es un ejemplo directo de mecánica celeste. Calcular su órbita conocidas tres posiciones observadas es un problema mucho más complicado. La plan planifific icac ació ión n y dete determ rmin inac ació ión n de órbi órbita tass para para una una misi misión ón espa espaci cial al interplanetaria también es fruto de la mecánica celeste. Uno de las técnicas más usadas es utilizar el tirón gravitatorio para enviar a una nave a otro planeta cuando el combustible del cohete no hubiera permitido tal acción. Se hace pasa pasarr a la nave nave a una una cort corta a dist distan anci cia a de un plan planet eta a para para prov provoc ocar ar su aceleración. 1.2 Fuerzas Centrales
1.2.1 Definición Se dice que una fuerza es central cuando su dirección siempre pasa por un punto fijo. 1.2.2 Consecuencias Puesto que las fuerzas pasan por un punto fijo, parece natural elegir este como origen de nuestro sistema de referencia. La Fuerza que experimentará un partícula podremos escribirla como F = F(r)ur, siendo ur el vector unitario en la dirección radial. Si volvemos ahora a la definición de momento de las fuerzas, y calculamos el momento de una fuerza central respecto del origen tendremos: M = r x F = r x F(r) ur =F(r) r x ur = 0
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Puesto que el vector r forma un ángulo de 0 ó 180 con ur. Puesto que M = 0, tendremos que L= cte. Que el momento angular L sea constante significa, primero, que el plano en el que se produce el movimiento es fijo f ijo (recordemos que L = m r x v, v, y por tanto el movimiento se efectúa en el plano formado por los vectores r y v, y en segundo lugar que el módulo L = m |r x v| también lo es. Recordando que v = w x r tenemos que se puede escribir L = m r2w = cte A partir de esta fórmula, se puede deducir que la cantidad r2w es proporcional al área barrida por el radio vector de la masa. Este resultado es la explicación teórica de la segunda ley de Kepler. Se puede notar que la única exigencia que se ha planteado es que la fuerza sea central. Ocurre que esta característica, la de ser fuerza central, la cumplen algunas de las fuerzas más importantes de la naturaleza, como son la fuerza de gravitación (Ley de gravitación de Newton) y la fuerza electrostática o de Coulomb (la fuerza ejercida por una carga eléctrica en reposo). Digamos por último que, en general, la suma de fuerzas centrales no es una fuerza central a menos que el origen sea el mismo.
1.3 Ejemplos de problemas El problema de tres o más cuerpos no es un problema teórico sino que la naturaleza está llena de ellos, lo que nunca se da en la naturaleza es el problema de dos cuerpos que es una situación irreal que no se produce. Algunos ejemplos: Movimiento Movimiento de Alfa Centauri Centauri C bajo la acción de la estrella estrella binaria binaria,, Alfa Centauri (dos componentes de aproximadamente la misma masa). Movimiento de una sonda espacial aproximándose a un planeta doble, doble, por ejemplo Plutón con su luna Caronte (la proporción de masa 0,147) El movimiento de la nave Apollo 11 en su viaje a la Luna, Luna, sometida a la atracción de la Tierra y la Luna. Luna. Órbita de un planeta, por ejemplo Mercurio, Mercurio, alrededor del Sol y sometido a la acción de todos los demás planetas. 1.4 La teoría de perturbaciones
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La teoría de perturbaciones comprende métodos matemáticos que se usan para para enco encont ntra rarr una una solu soluci ción ón apro aproxi xima mada da a un prob proble lema ma que que no pued puede e resolverse exactamente, empezando con la solución exacta de un problema relacionado. Así, en el caso del planeta alrededor del Sol, se puede considerar que se trata de un problema de dos cuerpos (su movimiento es una elipse) y trata tratarr la acci acción ón de los los demá demáss cuer cuerpo poss como como pertu perturb rbac acio ione ness a esa esa elip elipse se encontrad encontrada a que causarán causarán variacion variaciones es de la excentrici excentricidad, dad, oscilacio oscilaciones nes del plano de la órbita que hará variar la posición del nodo, nodo, o el giro del eje mayor de la órbita que hará variar el perihelio. perihelio. Para Para todos todos los planet planetas as estas estas variac variacion iones es calcul calculada adass se adapta adaptaban ban a las observadas, excepto para el caso de Mercurio donde había un exceso en el giro del perihelio que no tenía explicación. El descubrimiento de esta pequeña desviación en el avance del perihelio de Mercurio se atribuyó inicialmente a un planeta cercano al Sol, hasta que Einstein la explicó con su teoría de la Relatividad. Relatividad. 1.4.1 Perturbaciones inversas Saber la perturbación que causa un cuerpo conocido sobre otro cuerpo, por ejem ejempl plo o la acci acción ón de Júpi Júpite terr sobr sobre e la órbi órbita ta de Uran Urano, o, es un tema tema de perturbaciones directas. Al aplicar todas las perturbaciones de los cuerpos conocidos a la órbita de Urano, quedaba un residuo sin explicar. Se pensó que se debían a un cuerpo desconocido: en este caso, se veía el efecto, pero se desconocía la masa y posición del causante. El movimiento extraño de Urano, Urano, causado por las perturbaciones de un planeta hasta entonces desconocido, permitió a Le Verrier y Verrier y Adams descubrir al planeta Neptuno mediante cálculos. Descubrir la órbita, masa y posición del cuerpo que causaba las perturbaciones en la órbita de Urano es un caso de perturbación inversa, y es mucho más complicado que el problema habitual. 1.5 Relatividad General Despué Despuéss de que que Einste Einstein in explic explicara ara la preses presesión ión anóma anómala la del perihe perihelio lio de Merc Mercur urio io,, los los astr astrón ónom omos os reco recono noci cier eron on que que la mecánica mecánica newtoniana newtoniana no proporciona una exactitud más alta. La nueva visión de la mecánica y de la gravitación de Einstein es utilizada sólo en ciertos problemas específicos de la mecánica celeste dado que, en la may mayoría ría de los los prob proble lema mass que abord borda a esta sta disc iscipli iplina na,, sigu sigue e siend iendo o sufic suficie ient ntem emen ente te prec precis isa a la mecá mecáni nica ca newt newton onia iana na.. Entr Entre e los los tema temass que que requieren el concurso de la relatividad general están, por ejemplo, las órbitas de los púlsares binari binarios, os, cuya cuya evolu evolució ción n sugier sugiere e la existe existenci ncia a la radiación gravitacional. gravitacional. Aunque la teoría de Einstein predice las ondas gravitacionales, gravitacionales , esta radiación no se ha observado directamente, pero sí indirectamente, a través del cambio en el período orbital del púlsar binario púlsar binario PSR 1913+16, para el
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cual la predicció predicción n mediante mediante relativida relatividad d general general difiere difiere en sólo un 1%. Algunas Algunas teorías postulan también la existencia de una partícula, el gravitón, gravitón, responsable de mediar la fuerza gravitacional, tal como sucede en la física de partículas con las otras tres fuerzas fundamentales. fundamentales .
1.6 Efectos de la mecánica celeste Un eclipse lunar es un evento, evento, Astronómico, Astronómico, que sucede cuando cuando el planeta se interpone entre el Sol y la Luna, es decir, cuando la Luna entra en la zona de Sombra de la Tierra. Esto sólo puede ocurrir en la fase de Luna llena.
2. CONCLUSIONES
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La mecánica celeste es la ciencia que estudia el movimiento y las mutuas atra atracccione ioness grav gravit ita acion cional ales es de los los cuerp uerpos os cele celesstes tes en el esp espacio acio.. Su nacimiento se puede hacer coincidir con la publicación por parte de Isaac Newton (16241727) de sus Principia, es decir con la formulación de la teoría de la gravitación universal. Continuadores de esta ciencia fueron, en el siglo XVIII, el físico físico y matem matemáti ático co suizo suizo Euler Euler,, que realiz realizó ó precis precisos os cálcul cálculos os sobre sobre el movimiento de la Luna, de los planetas mayores y de los cometas, y el francés Clairaut que calculó el efecto perturbador de los planetas sobre el co meta Halley. En el siglo siguiente, el descubrimiento más importante debido a la mecánica celeste es, sin lugar a duda, la localización del planeta Neptuno a partir de las perturbaciones medidas sobre Urano. El cálculo fue realizado ind indepen ependi dien ente teme ment nte e por los los cien ientífi tífico coss J.C. .C. Adams ams y U. Lev Leverne ernerr. Los modernos desarrollos de la mecánica celeste permiten el cálculo de las trayectorias de las sondas par la exploración del sistema solar. Gracias a la ayuda de los ordenadores ha sido posible aprovechar el paso de las sondas junto a los planetas para obtener fantásticas aceleraciones y desviaciones de ruta, que han llevado a las sondas mismas a citas sucesivas con otros cuerpos celestes.
3. ANEXOS
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3.1 El Problema de los dos cuerpos El problema de los dos cuerpos consiste en el estudio dinámico de dos objetos masivos en el ámbito de su influencia mutua. Se sabe, por ejemplo, que dentro del grupo de galaxias conocido como Grupo Local, donde se encuentra nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, hay dos grandes galaxias que tienen, entre ambas, mas del noventa por ciento de la masa total del sistema de las 30 galaxias del grupo: Andrómeda y la Vía Láctea. El centro de Inercia de todo el sistema está, muy aproximadamente, sobre una recta que una a ambas grandes galaxias. La determinación de su posición relativa se puede hacer, con bastante aproximación, resolviendo el problema de Mecánica Clásica No Relativista conocido como Problema de los Dos Cuerpos. Consideremos, por esquematizar el problema, la existencia de dos partículas de masas m1 y m2, con vectores de posición respecto a un cierto origen fijo, respectivamente, r1 y r2. Llamemos también f21 la fuerza que ejerce sobre la partícula m1 la partícula m2, y f12 la fuerza que sobre la partícula m2 ejerce la partícula m1. Por principio newtoniano de la mecánica se tiene que f12 = - f21.
3.1.1 La situación Si llamamos C al centro de inercia de los dos cuerpos, se puede esquematizar la situación mediante la siguiente figura:
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3.1.2 Relaciones vectoriales Se verifican, en definitiva, las siguientes relaciones vectoriales:
y las derivadas del radio vector: y podemos considerar la posición relativa de m2 con respecto a m1, así como, también, la posición relativa de m1 con respecto a m2: Posición relativa de m2 con respecto a m1: Posición relativa de m1 con respecto a m2:
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Velocidad Velocidad de m2 con respecto a m1:
Velocidad Velocidad de m1 con respecto a m2:
Por otra parte, se tiene que
Y también se tiene que
3.1.3 La posición de ambas masas con respecto al Centro de Inercia Teniendo en cuenta las relaciones vectoriales anteriores, ese obtienen, sin dificultad, los vectores de posición de ambas masas con respecto al Centro de Inercia:
Eliminando rc2:
Eliminando rc1:
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Velocidades Velocidades con respecto al Centro de Inercia:
3.1.4 La energía total y la Lagrangiana del sistema de las dos masas La energía cinética total del sistema formado por los dos cuerpos, de masas m1 y m2, es la energía cinética total considerado como un cuerpo único más la energía cinética interna de la masa m1 en su movimiento relativo con respecto al Centro de Inercia, más la energía cinética interna de la masa m2 en su movimiento relativo con respecto al Centro de Inercia.
y se tiene:
y al sustituir las expresiones del apartado anterior para rc1 y rc2:
En definitiva, reajustando las sumas:
Llamando Llamando la Función de Lagrange:
, "masa reducida reducida del sistema", sistema", se tiene la expresión expresión de
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Es decir decir,, la lagrangia lagrangiana na resulta resulta ser una una función función de de las coorden coordenadas adas r,r, r' y
:
, quedando ignorada, evidentemente, rc. Por tanto, en virtud de un resultado elemental de la Mecánica Clásica:
de lo que que se deduc deduce e que es es constante constante , velocidad velocidad del Centro Centro de de Inercia, Inercia, el cual está, pues, en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. Esto nos indica que si trasladamos el origen O de referencia al punto C, Centro de Inercia del Sistema, será rc = 0, y la lagrangiana quedará entonces referida a un sistema inercial de origen en el Centro de Inercia del sistema:
Nos Nos enco encont ntra ramo moss así así que que el prob proble lema ma de los los dos dos cuer cuerpo poss resu resultlta a ser ser equivalente al problema de una partícula de masa m moviéndose en un campo central, del que se derivan fuerzas dirigidas hacia la partícula m1 supuesta fija la partícula m2, o viceversa.
3.1.5 Fuerzas Las fuerzas que una partícula m sufre en el contexto de un campo central de potencial pueden ser de atracción o de repulsión:
Si
Si
Fuerza de repulsión desde el origen
Fuerza de atracción hacia el origen.
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3.1.6 Trabajo entre dos estados de la trayectoria Se tiene, en el movimiento entre dos estados de vectores de posición r1 y r2:
3.1.7 Momento angular y forma de la trayectoria Veamos, Veamos, en definitiva, lo que ocurre al desplazarse una partícula de masa m en el contexto de un campo central. Se tiene, al barrer la partícula un ángulo central diferencial:
Sabemos que el momento angular de una partícula en movimiento, con respecto al origen, es el vector:
perpendicular, perpendicular, por tanto, a los vectores y trayectoria de la partícula.
, es decir, decir, perpendicular a la
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Si también los vectores y
son entre sí perpendiculares, se tiene que es:
por otra parte, su derivada con respecto al tiempo es:
Por ser paralelos los vectores r y
se tiene que es:
y como es perpendicular a la trayectoria, se deduce que tal trayectoria es plana.
3.1.8 Velocidad areolar: La diferencial del área barrida por la partícula de masa m al desplazarse desde el punto A hasta el punto B es:
y la velocidad areolar: Resulta, en definitiva, que la velocidad con la que barre el área central es constante.
3.1.9 Ejemplo Un ejemplo de sistema de dos cuerpos es, con bastante aproximación, el par constituido por nuestro planeta, La Tierra, y su estrella, el Sol. Podemos hacer el cálculo de la velocidad areolar suponiendo circular la órbita de la Tierra alrededor del Sol:
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Velocidad angular:
Masa: Distancia media al Sol: Momento angular:
Velocidad Velocidad de barrido de área:
3.2 Simulación de dos cuerpos •
http://www.um.es/fem/Ejs/EjsExamples3.3/Simulations/ThreeBodyProblem.htm l
•
http://www.um.es/fem/Ejs/LibroEjs/CD/SimulacionesDelLibro/08MovimientoA celerado/TierraYLunaSimulation.html
3.3 Simulación de 3 cuerpos •
http://www.um.es/fem/Ejs/EjsExamples3.3/Simu http://www.um.es/fem/Ejs/EjsExamples3.3/Simulations/EarthSunAndMoon.h lations/EarthSunAndMoon.htm tm l
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4. BIBLIOGRAFIA •
http://personales.ya.com/casanchi/fis/doscuer1.htm
•
http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_dos_cuerpos
•
http://www.um.es/fem/Ejs/Ejs_es/Examples.html
•
http://www.fiumsa.edu.bo/docentes/mramirez/capitulo_III.pdf
•
http://www.astromia.com/glosario/mecanicaceleste.htm
•
http://es.wikipedia.org/wiki/Astromec%C3%A1nica
