Vibraciones Mecánicas MC-571 Capítulo 2 Respuesta Bajo Excitación Armónica
Alberto Coronado Matutti Facultad de Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Ingeniería
2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
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2.1 Excitación armónica
El concepto más importante en vibraciones es la resonancia. La resonancia ocurre cuando una fuerza armónica externa es aplicada a un sistema cuya frecuencia natural es igual a la de la fuerza aplicada. La fuerza de excitación puede ser producida por algún componente rotativo (motor, turbina, compresor, etc.) La resonancia producirá grandes deflexiones, las cuales podrán exceder los límites elásticos y causar el colapso de estructuras. 3
2.1 Excitación armónica
Excitación armónica se refiere a una fuerza senoidal externa de frecuencia simple aplicada a un sistema. La resonancia es la tendencia de un sistema de absorber energía cuando la frecuencia de excitación coincide con su frecuencia natural. Excitaciones armónicas son una fuente común de fuerzas externas aplicadas a máquinas y estructuras. 4
2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Considerando que el sistema mostrado tiene amortiguamiento despreciable (c=0). La naturaleza armónica de la excitación puede ser representada en forma de seno, coseno o exponencial complejo:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
F0 representa la magnitud (amplitud máxima) de la fuerza y ω la frecuencia. La frecuencia ω también se denomina frecuencia de entrada o frecuencia de forzamiento.
Alternativamente, la función de forzamiento armónica puede ser representada por:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Realizando la sumatoria de fuerzas en la dirección del movimiento:
Dividiendo por la masa y usando la definición de ωn: Podemos usar una gran variedad de técnicas para resolver la ecuación diferencial.
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
La solución de una ecuación diferencial no homogénea es igual a la suma de la solución homogénea (f0=0) más la solución particular. La solución particular puede ser hallada asumiendo que tiene la misma forma que la función de forzamiento. Si la excitación es particular será:
, la solución
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Sustituyendo la solución particular y su 2da derivada en la ecuación de movimiento:
Factorizando: Donde el término entre paréntesis debe ser igual a cero:
Esta ecuación es válida siempre que: 9
2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Por tanto, la solución particular será:
Este método se denomina método de los coeficientes indeterminados. La solución homogénea fue calculada anteriormente y puede ser escrita en 3 formas:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Por tanto, la solución total será:
Donde A1 y A2 son los coeficientes a ser determinados usando las condiciones iniciales.
Hallando A1 y A2 y substituyéndolos:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
El segundo y tercer término de la solución no son válidos para Conforme ambas frecuencias se acercan, la amplitud de la vibración se incrementará apreciablemente.
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Considerando condiciones iniciales iguales a cero:
La solución total queda:
Usando identidades trigonométricas:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
En el caso particular en el que ambas frecuencias son bastante cercanas obtendremos el fenómeno del batimiento (beat).
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Conforme ambas frecuencias coinciden, la solución particular dada anteriormente ya no es válida. Esto debido a que escogida como solución particular es también parte de la solución homogénea. Para evitar que ambas sean linealmente dependientes, consideremos:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Usando la nueva expresión para hallar X:
La solución total para
será:
Hallando las constantes de integración usando las condiciones iniciales:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados
Se observa que la respuesta crece ilimitadamente con el tiempo. Este fenómeno se denomina resonancia.
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
Una cámara de seguridad (3 kg) montada sobre un edificio está sujeta a la fuerza del viento, la cual es modelada como función una armónica de amplitud 15 N y frecuencia 10 Hz. Se desea diseñar una viga de montaje que produzca una deflexión máxima de 0.01 m. El área transversal de la viga es 0.02x0.02 m y su longitud debe ser de al menos 0.5, para dar visibilidad. Obtenga la longitud del montaje que produzca vibraciones de amplitudes no mayores a 0.01 m. Ignore vibraciones torsionales y asuma condiciones iniciales iguales a cero. 18
2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
El esquema general del problema es el siguiente:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
La ecuación de movimiento es:
El momento de inercia será:
La frecuencia natural del sistema será:
Debemos hallar la longitud l. 20
2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
La máxima deflexión de la respuesta deberá ser menor a 0.01 m:
Tendremos 2 casos:
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
El primer caso se cumple para
El segundo caso se cumple para
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2.1 Excitación armónica de sistemas no amortiguados: ej. 2.1.3
En los cálculos la frecuencia fue transformada a rad/seg y E para el aluminio es Para ahorrar material se escogerá la segunda opción. Adicionalmente, debido a las restricciones, la longitud deberá cumplir
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Sumando fuerzas en la dirección del movimiento para un sistema amortiguado:
Dividiendo por la masa y usando:
Obtenemos:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Nuevamente usaremos el método de los coeficientes indeterminados para hallar la solución particular. La respuesta forzada de un sistema amortiguado tiene la misma forma del forzamiento, pero con diferente amplitud y fase: El cambio de fase se debe al efecto del amortiguamiento. 26
2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Para simplificar la derivación usaremos la forma equivalente:
Con las siguientes equivalencias:
Hallando la primera y segunda derivadas:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Sustituyendo la solución y sus derivadas en la ecuación de movimiento, luego factorizando:
Esta ecuación debe ser válida para todos los tiempos, por tanto, los términos entre paréntesis deben ser iguales a cero:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Ello resulta en 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
Resolviendo las ecuaciones:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Transformando los valores obtenidos a X y θ, y sustituyéndolos en la solución:
La solución total será la suma de la solución homogénea más la solución particular. Para el caso subamortiguado : 30
2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Los valores de A y φ deben ser calculados usando las condiciones iniciales. Estas constantes deben ser calculadas usando la expresión de la solución total. Para grandes valores de tiempo el primer término (solución homogénea) tenderá a cero. Por ello, la primera parte se denomina solución transitoria y la segunda solución en estado estable. 31
Sumario: respuesta de sistemas no amortiguados
Respuesta total de un sistema no amortiguado:
Donde, para respuesta libre:
Donde, para respuesta forzada:
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Sumario: respuesta de sistemas subamortiguados
Respuesta total de un sistema subamortiguado:
Donde, para respuesta libre:
Donde, para respuesta forzada:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
En muchas aplicaciones es común ignorar la parte transitoria de la solución total y enfocarse en la respuesta en estado estable . Esta decisión depende en gran medida del valor de la razón de amortiguamiento.
Si el sistema tiene un amortiguamiento razonablemente grande, la respuesta transitoria se aproximará a cero rápidamente, quizá en fracciones de segundo. 34
2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
En otras aplicaciones (terremotos, satélites, robots, etc.), la parte transitoria puede ser la más importante. El telescopio espacial Hubble experimentaba una vibración transitoria que duraba 10 min, inutilizándolo en ese tiempo cada vez que pasaba por la sombra de la tierra, hasta que el sistema fue corregido. Antes de desechar la parte transitoria se debe verificar su valor para ver si puede ser ignorada. 35
2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Considerando la magnitud X y la fase θ de la respuesta en estado transitorio como función de la frecuencia de excitación:
Luego de factorizar F0/m, obtenemos:
y dividir la magnitud por
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Graficando las ecuaciones anteriores:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Graficando la magnitud es escala logarítmica:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
La resonancia ocurre cuando , lo cual corresponde a un cambio de fase de Sin embargo, la resonancia no coincide con el valor pico de la respuesta en estado estable. Considerando la magnitud en estado estable:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Factorizando
en el denominador y usando
Dividiendo por . El máximo valor de X ocurre cuando la primera derivada de X/F0 es igual a cero:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Lo que resulta en:
Esta expresión es válida solo para:
Para valores mayores, la magnitud no presenta un valor máximo. Adicionalmente, este pico ocurre ligeramente antes de la resonancia (r=1), ya que: 41
2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Finalmente, el valor de la magnitud en
es:
Recapitulando, tanto para sistemas amortiguados como no amortiguados, la resonancia se define para o . Esta condición no define de manera precisa el valor pico de la magnitud. Sin embargo, para amortiguamientos pequeños se podrá considerar que el pico ocurre en .
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
Se observa la dependencia del valor pico de la magnitud de la respuesta y de en función del nivel de amortiguamiento:
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2.2 Excitación armónica de sistemas amortiguados
La explicación física de la resonancia es la siguiente: En estado estable una fuerza producirá un desplazamiento y velocidad iguales a: Pero en la resonancia: Por tanto, , es decir, en la resonancia la fuerza y la velocidad están exactamente en fase.
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2.4 Excitación de base
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2.4 Excitación de base
Frecuentemente, máquinas o partes de máquinas están excitadas armónicamente a través de sus bases. Dichas bases pueden ser modeladas como conjuntos de resortes y amortiguadores.
Como ejemplos tenemos, sistemas de suspensión de automóviles, sistemas de montaje de motores, alas de aviones con turbinas en sus extremos, etc. 46
2.4 Excitación de base
Dichos sistemas se modelan considerando que la excitación se debe al movimiento del soporte:
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2.4 Excitación de base
Sumando fuerzas en la dirección del movimiento:
Asumiendo que la base se mueve armónicamente: Donde Y es la amplitud de la oscilación de la base y es su frecuencia.
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2.4 Excitación de base
Sustituyendo y(t) en la ecuación de movimiento y reagrupando: Esta ecuación se puede interpretar como un sistemas masa-amortiguador-resorte bajo 2 fuerzas de excitación. Para resolverla podemos usar la linealidad de la ecuación y sumar la respuesta de ambas fuerzas actuando por separado. 49
2.4 Excitación de base
Dividiendo la ecuación por m y usando las definiciones : Recordando la expresión de la solución particular anteriormente derivada:
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2.4 Excitación de base
Primeramente, sustituyendo
Luego, sustituyendo
:
:
En ambos casos es el mismo pues no depende de la amplitud de la fuerza. 51
2.4 Excitación de base
Usando el principio de superposición, la solución particular total será:
Donde fue usado: Denotando la magnitud de la solución particular por X ( ): 52
2.4 Excitación de base
Graficando X/Y, denominada transmisibilidad de desplazamiento. Esta razón describe cómo el movimiento es transmitido desde la base hasta la masa en función de . 53
2.4 Excitación de base
Se observa que para la razón de transmisibilidad es mayor a 1, es decir, hay amplificación del movimiento. En cambio, para la razón de transmisibilidad es menor a 1, es decir, hay atenuación del movimiento. En el rango de frecuencias altas, a mayor amortiguamiento obtenemos mayor amplitud de oscilación, justo lo opuesto a lo observado en frecuencias bajas. 54
2.4 Excitación de base
Otra cantidad de interés en el problema de excitación de base es la fuerza transmitida a la masa debida al desplazamiento de la base. Dicha fuerza será igual a la suma de las fuerzas debidas al resorte y al amortiguador: La cual debe ser igual a la fuerza inercial:
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2.4 Excitación de base
Considerando el estado estable, la solución particular fue calculada anteriormente:
Derivando 2 veces y sustituyendo en
Usando
:
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2.4 Excitación de base
De donde podemos definir la transmisibilidad de fuerzas como:
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2.4 Excitación de base
Considerando el caso de se muestra una comparación entre transmisibilidad de fuerzas (trazos) y transmisibilidad de desplazamientos (continuo).
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2.4 Excitación de base: ej. 2.4.1
Un ejemplo común de excitación de base es el modelo de 1GDL de un automóvil sobre una autopista:
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2.4 Excitación de base: ej. 2.4.1
La superficie de la autopista es aproximada por una función armónica, la cual proveerá el desplazamiento de la base: Donde:
Por tanto, la velocidad del vehículo determina la frecuencia de excitación de la base. 60
2.4 Excitación de base: ej. 2.4.1
Determine el efecto de la velocidad en la amplitud del desplazamiento del automóvil.
Así mismo determine el efecto del valor de la masa del carro. Asuma que el sistema de suspensión provee una rigidez equivalente a y un amortiguamiento equivalente a
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2.4 Excitación de base: ej. 2.4.1
A 20 km/h obtenemos Si el carro es un deportivo, la masa podría estar en torno a 1007 kg.
Por tanto, la frecuencia natural sería:
En este caso obtendríamos:
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2.4 Excitación de base: ej. 2.4.1
Adicionalmente:
Usando:
Lo cual muestra que un bache de 1 cm de amplitud es amplificado hasta 3.2 cm para los ocupantes del vehículo. 63
2.4 Excitación de base: ej. 2.4.1
La tabla muestra valores de desplazamientos para 2 vehículos diferentes viajando a 4 velocidades sobre un bache de 1 cm.
El vehículo 1 es un deportivo con masa 1007 kg y el vehículo 2 es un sedan con masa 1585 kg. Ambos vehículos tiene el mismo k y c. 64
2.4 Excitación de base: ej. 2.4.2
Una gran máquina rotativa transmite vibraciones armónicas al piso de una fábrica. El desplazamiento del piso debajo de la prensa (punch press) es Calcule la máxima fuerza transmitida a la prensa en la resonancia.
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2.4 Excitación de base: ej. 2.4.2
La fuerza transmitida a la prensa en la resonancia (r=1) es:
La razón de amortiguamiento será:
Sabiendo que Y=0.001: 66
2.5 Rotaciones desbalanceadas
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
Una fuente muy común de vibraciones indeseadas es la maquinaria rotativa.
Pequeñas irregularidades en la distribución de la masa del componente rotativo pueden causar grandes vibraciones. Este fenómeno se denomina rotaciones desbalanceadas.
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
Considerando que existe una masa desbalanceada m0 a una distancia e del centro de rotación:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
El diagrama de cuerpo libre correspondiente será:
Para la masa desbalanceada, sumando fuerzas en la dirección vertical: 70
2.5 Rotaciones desbalanceadas
Para la máquina, sumando fuerzas en la dirección vertical: Combinando ambas ecuaciones La componente en x del movimiento de la masa desbalanceada será: Substituyendo la aceleración: 71
2.5 Rotaciones desbalanceadas
Se observa que la magnitud del forzamiento es:
La solución particular tendrá la forma:
Luego de sustituirla en la ecuación diferencial para hallar las constantes, siendo :
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2.5 Rotaciones desbalanceadas
Graficando la magnitud adimencionalizada:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.1
Considere una máquina cuyo máximo desplazamiento en la resonancia es 0.1 m. La razón de amortiguamiento se estima en 0.05 y la masa de desbalance en 10%. Estime el radio e. Luego halle la cantidad de masa que debe ser adicionada uniformemente para reducir el desplazamiento en la resonancia a 0.01 m. 74
2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.1
En la resonancia (r=1):
De donde obtenemos e=0.1 m.
Nuevamente, en la resonancia:
Si deseamos cambiar m tal que X=0.01 m, obtendremos:
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.2
La cola de un helicóptero tiene rigidez equivalente de y masa de 60 kg. La razón de amortiguamiento de 0.01.
La masa total del rotor de cola es 20 kg. Suponga que una masa de 0.5 kg se adhiere a una de las hélices a 15 cm del eje. Halle la magnitud de la deflexión de la cola cuando el rotor gira a 1500 RPM. A que velocidad la deflexión es máxima? Calcule dicha deflexión. 76
2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.2
La masa total del rotor será 20.5 kg.
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2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.2
Cuando la masa del resorte no es despreciable, es posible estimar la frecuencia natural usando:
La frecuencia de rotación es:
Por tanto, tendremos: 78
2.5 Rotaciones desbalanceadas: ej. 2.5.2
Para
obtendremos:
La máxima deflexión ocurre en r=1:
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