MC-2431 Dinámica Sistemas Partículas I Y II Ley de Newton

MC-2431 MC-24 31 Dinámic a I Euro Casanova, sep-dic 200 2007 7

Universidad Simón Bolívar 

Definición De finición del sistema I.

Leyes de Newton

II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange

Sistema de N partículas d e masa  mi constante !

m2

m1

 Z 

mi  y

r

 Ri

Y 

r

r i

 p

m N −1

m N 

o

 N 

 M  = ∑ mi

Masa total del sist ema

 X 

i =1

 x

 z

Posició n absolu absolu ta y relativa del centro de masas

r c =

 N 

1

r

∑ mi r i r

 M 

r

∑ mi Ri  M 

 Rc =

i =1

 N 

1

r

i =1

Velocidad y aceleración absolutas del centro de masas

1

r

vc = r

d r c

=

dt 

 M 

 N 

∑ mi vi

d vc

ac = r

=

dt 

i =1

 N 

1

r

r

∑ mi ai  M  r

i =1

Cantidad lineal de movimiento d e la partícula i y del sistema  N 

r

v

 N 

 p = ∑  pi = ∑ mi vi =  M vc

 pi = mi vi

v

r

v

i =1

r

i =1

Cantidad angular de movimi ento de la partícula partícula i y del sist ema respecto a  p r

 N 

r

 N 

r

r

hP = ∑ hP i = ∑ Ri × mi vi

r

r

hPi =  Ri × mi vi r

i =1

i =1

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MC-2431 MC-24 31 Dinámic a I Euro Casanova, sep-dic 200 2007 7

Universidad Simón Bolívar 

1ra Ley de la mecánica r

I.

 f 1 E 

Leyes de Newton r

 f 1 I 

II. Cinemática

r

 f i E 

 f i E 

r

 f 2 I 

mi

r

III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange

m2

m1

K

r

 f 2 E  r

 y

 f i I  m

r

r i

r

 x

 z

 f  N  I −1

 N −1

m N 

o

r

 f i I 

Resultante de fuerzas internas qu e actúan sobre i (producidas por la interacción de las partículas del sistema)

K

r

 f  N  E −1

r

 f  N  I 

Resultante de fuerzas externas al sistema que actúan sobre i (producida por la int eracción eracción de la partícula i con el exterior)

r

 f  N  E 

 Ac ci ón / reac ci ón r

 E  i

r

 I  i

 f  +  f  = mi ai

2da ley de Newton a la partícul a i

r

r

 N 

da

2

 N 

r

0 r

 N 

 E   I  ∑  f i + ∑  f i = ∑ mi ai r

ley de Newton a las N partículas y sumando

i =1 r

 N 

i =1

i =1

 N 

r

F i E  = ∑  f i E  = ∑ mi ai r

i =1

ac = r

Recordando

r

1  M 

 N 

 N 

∑ mi ai r

r

r

i =1

r

 N 

d  p dt 

 N 

 p = ∑  pi = ∑ mi vi =  M vc v

r

v

i =1

i =1

F  = ∑ mi ai =  M aC  =  E  i

fuerzas inerciales

i =1 r

i =1

La resultante de fuerzas externas es igual a la resultante de las fuerzas inerciales o igual al cambi o de la cantidad lineal de 27 movimiento del sistema

MC-2431 Dinámic a I Euro Casanova, sep-dic 2007

Universidad Simón Bolívar 

2da Ley de la mecánica r

I.

 E 

 f 2 I 

r

 f 1 I 

II. Cinemática

m1

 f 2 E 

mi

 Ri

 E  i

 f 

III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange

r

m2

r

 Z 

m N 

r

o

 f  N  I 

 x

 z

Sistema móvil PXYZ

 p

 f 

r i

Resultante de fuerzas int ernas que actúan sobre i

K

Y 

r

 I  i

r

 f i I 

r

r

 y

Resultante de fuerzas externas al sistema que actúan sobre i

K

r

 f 1

Leyes de Newton

r

 f i E 

2da ley de Newton a la partícul a i r

r

 I   N −1

 f 

m N −1

Premultiplicando  Ri

r

 f  N  E −1

r

 E   N 

 f 

r

 f i E  +  f i I  = mi ai

 X 

r

r

r

 N 

 N 

r

r

i =1

i =1 r

 f  jk  = − f k  j

mi

 Ac ci ón / reac ci ón

r

r

∑ Ri × f 

 I  i

 Rk /  j

Sist. de 2 partículas

=?

i =1

r

 R j

m N   j k 

 f  r

∑ Ri ×  f 

 I  i

r

r

k   j

(

r

r

 j k 

r

 N 

)

r

p

r

 Rk 

r

r

r

r

r

2

 N 

r

r

 E   I  ∑ Ri ×  f i + ∑ Ri ×  f i = ∑ Ri × mi ai i =1

r

r

r

Sumando para las N partículas

 N 

r

r

 Ri ×  f i E  +  Ri ×  f i I  =  Ri × mi ai

r

r

r

 j k 

r

 j k 

j k 

 Rk /  j || f 

=  R j ×  f  +  Rk  ×  f  =  Rk  −  R j ×  f  =  Rk /  j × f  = 0

r

r

∑ Ri × f i

r

r

i =1

 I 

r

=0

i =1

r

 N 

El momento de la fuerzas externas es igual al momento d e las fuerzas inerciales respecto a un mi smo punto  p

r

 M  = ∑ Ri × mi ai  E   p

r

i =1

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MC-2431 Dinámic a I Euro Casanova, sep-dic 2007

Universidad Simón Bolívar 

2da Ley de la mecánica: otra forma I.

Leyes de Newton

II. Cinemática III. Dinámica Sist. de partículas Definiciones 1ra ley 2da ley 3ra ley Cuerpo rígido Ecs. de Lagrange

m2

m1 mi  y o  z

r

r i

 Z 

r

r r

 Ri

r

r  p

 N 

r

r

r

r

∀ t 

Y 

 p

m N −1  X 

m N 

 x

r

 Ri = r i − r  p

r i = r  p + Ri

r

hP = ∑ Ri × mi vi r

Recordando

i =1 r

Derivando

d hP dt 

=

d  dt   N 

 N 

 N 

r

∑ Ri × mi vi = ∑ r

i =1

d 

i =1

r

d  Ri dt   N 

 N  r

i =1

(r  − r  )× m v + ∑ R × m a dt  1 1

=∑

r

r

i

dt 

(mi vi ) r

r

i i

i

i=

 N 

d 

r

r

 p

r

× mi vi + ∑ Ri ×

i

i

i=

(

)

r

= ∑ vi − v p × mi vi +  M  p r

r

r

 E 

i =1 r

 E 

= v p × M vc + M  p r

r

r

r

 E   p

 M  =

d hP dt 

+ v p × M vc r

r

El momento de la fuerzas externas es igual al cambio de la cantidad angular de m ovimiento respecto a  p mas el término v p × M vc r

r

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