UNIVERSIDAD NACIONAL MA M AYOR DE SAN MARCOS Fundada en 1551 FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
APLICACIONES DE LA DERIVADA MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Au!n"# Patricio Simón, Neyra Livaque Ca$$e$a# Ingeniería de telecomunicaciones C%d&'"# 1019027 Cu$("# !"lculo di#erencial e integral I P$")e("$# Nolan $ara $ara
*+1,
L&!a - Pe$.
P$"/e!a +10 Los %untos & y ' est"n situados uno #rente al otro y en lados o%uestos de un rio recto (e 00 mts) de anc*o) +l %unto ( est" a 00 mts) de ' y en su misma orilla) -na com%a.ía de tel/#onos desea tender un cale desde & *asta () Si el costo %or metro de cale es el 2 m"s caro a3o el agua que %or tierra) 4!ómo se dee tender el cale, %ara que el costo total sea mínimo5
L=√ x + 300 + 600− x 2
2
5 2 2 C ( x )= k √ x + 300 + k ( 600 − x ) 4
(erivando6 5 1 C = k . ( 2 x ) ( x 2+ 300 2) 4 2 ' ( x )
−1 2
−k = 0
4 √ x + 300 =5 x 2
2
(onde 800 &sí que x 8 00 es el :nico %unto crítico y de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un mínimo relativo) x = 400
C ( 400 )=√ x + 300 + 600 − x 2
C ( 400 )= 825 k
2
P$"/e!a +*0 Se dis%one de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere *acer una ca3a sin ta%a recortando cuadrados iguales en las esquinas y dolando sus lados) 4!u"l dee ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta %ara que el volumen de la ca3a sea m"imo5 4!u"l es el volumen de la ca3a5
;<2
;
2
3
2
;<2
2
z −2 x ¿ . x =4 x − 4 z x + z x V ( x )=¿
(erivamos V ( x )=12 x −8 zx + z =( 2 x − z ) ( 6 x − z ) =0 '
2
2
z z = = x ; x Puntos críticos 2 6
=allamos segunda derivada6 V ( x )= 24 x −8 z ' '
Para 8;>
()
' '
V
z =24 ( z )−8 z =− 4 z < 0 6 6
Lo cual indica que 8;> corres%onde a un m"imo relativo)
+l volumen m"imo se otiene recortando en las esquinas de la cartulina z 6
cuadrados de lado
y se otiene de esta #orma una ca3a cuyo volumen
viene dado %or6
()
2
z z z 2 =( z −2. ) . = z 3 V 6 6 6 27
P$"/e!a +0 -na oya, #ormada %or dos conos rectos de *ierro unidos %or sus ases *a de ser construido mediante dos %lacas circulares de m de radio) !alcular las dimensiones de la oya %ara que su volumen sea m"imo)
2 3
1 2 V =2. π x y 3 2
2
2
x + y =9 → x =9 − y
2
1 2 π 2 V =2. π ( 9− y ) y = ( 9 y − y 3 ) 3 3
'
V =
2 π ( 9−3 y 2 )= 0 3
y =√ 3
!om%roamos con la segunda derivada
' '
V =
2 π (−6 y )< 0 3
? de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un m"imo relativo) ? el radio ser" √ 6 ) V =21.7655
P$"/e!a +,0 !on @7 metros de rollo de alamrada dee cercarse un terreno rectangular %or tres de sus lados, ya que el cuarto lado estar" limitado %or el cause de un río) 4(e qu/ medidas deer" *acerse %ara que su su%erAcie sea la m"ima aarcada5
@7<2
S = x ( 875−2 x ) S = 875 x −2 x
2
'
S =875 −4 x = 0
x = 218.75
!om%roamos con la segunda derivada
' '
S =−4 < 0
? de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un m"imo relativo) S = x ( 875−2 x ) S = 218.75 ( 875 −437.5 )
S = 218.75 ( 875 −437.5 ) S = 95703.125
P$"/e!a +50 !on @7 metros de rollo de alamrada dee cercarse un terreno rectangular %or sus cuatro lados) 4(e qu/ medidas deer" *acerse %ara que su su%erAcie sea la m"ima aarcada5
875− 2 x 2
S = x
(
875 −2 x 2
)
S=
(
875 x −2 x 2
2
)
1 ' S = ( 875− 4 x )=0 2 x =218.75
Los cuatro lados deen medir 21@)7
P$"/e!a +40 =allar los intervalos de concavidad y conveidad y los %untos de inBeión de las #unciones6
f ( x ) = x −6 x + 4 4
aC
2
f (x)'12 x * 2 - ¿ 12 ( x + 1 )( x −1 ) f (x)'0⇒ x' left l&ra!e -1 ⇒
D<1,<1C y D1,<1C son los %untos de
inBeión &nali;ando6 ESi F<1
f (x)>0…..por lo tanto en : <-∞,-1 > la fn!"on e# !on!a$a %a!"a arr"&a
⇒
ESi <1FF1
⇒
f (x) F0GG)%or lo tanto en : <−1,1 >¿ la #unción es
cóncava *acia aa3o Esi H1
⇒
f (x) >0…… por lo tanto en : <1,∞ > la fn!"on e#
cóncava *acia
arria C
− x2
f ( x )= e
f (x)'-2 e * - x * 2 (1-2 x * 2 )
f (x)'0⇒ x' left l&ra!e - 1 o ⇒
de inBeión)
−1
D √ 2 , e
−1 2
1 C ? D √ 2 e
−1 2
C son los %untos
&nali;ando6
−1
ESi F √ 2 ⇒
ESi
f (x) >0.por lo tanto en : <-∞, - 1 o$er #rt 2 > la fn!"on e# !on!a$a %a!"a arr"&a
−1
1
√ 2 FF √ 2
⇒
f (x)
F0GG)%or lo tanto en
:<
−1 1 ,
√ 2 √ 2
>¿ la #unción
es cóncava *acia aa3o 1 Esi H √ 2 ⇒
f (x) >0…… po r lo tanto en : < 1 o$er #rt 2 ,∞ > la fn!"on e#
cóncava
*acia arria
cC
f ( x )= x −6 x + 11 3
2
f (x)'6x-12
¿ 6 ( x −2 )
f (x)'0⇒ x' left l&ra! ⇒
D2,<C es un %unto de inBeión
&nali;ando6 ESi F2 Esi H 2
⇒
f (x) < 0.por lo tanto en : <-∞, 2> la fn!"on e# !on!a$a %a!"a a&ao ⇒
f (x) >0…… por lo tanto en : < 2 ,∞ > la fn!"on e#
cóncava *acia
arria
P$"/e!a +0 (os líneas #/rreas se cortan %er%endicularmente) Por cada línea avan;a una locomotora, una a 0 m>* y la otra a 120 m>*) &mas se dirigen *acia el %unto de corte y *an salido al mismo tiem%o desde dos estaciones situadas res%ectivamente a 0m y 0 m del %unto de intersección) aC =alla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en #unción del tiem%o transcurrido desde el inicio del recorrido) C =alla el mínimo de esta distancia)
aC =alla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en #unción del tiem%o transcurrido desde el inicio del recorrido) J28120 m>*
D<0,0C
m>*
J180
D0,<0C
!onsiderando el des%la;amiento %ositivo, el e3ercicio se reduce a calcular la *i%otenusa de un tri"ngulo rect"ngulo en el que la longitud de los catetos ser" #unción del tiem%o) Kranscurrido un tiem%o t, la %osición de los móviles vendr" dada %or <0 J28120 m>*
D<0,0C
120t
120t<0
SDtC
0t m>*
D0,<0C
S180<0 S28120t<0 Por lo que la distancia de se%aración entre los móviles ser") 2
120 t − 30 ¿
¿
2
60 t −40 ¿ +¿
¿ S ( t ) =√ ¿
C =alla el mínimo de esta distancia)
0t<0
J180
<0
360 t −120
'
S ( t )=10.
2 √ 180 t −120 t + 25 2
() √
=0 t =
1 3
()
2
1 1 1 1 = 10. 180 ( ) −120 . + 25 S =10. √ 5 ( minimadistancia) S 3 3 3 3
P$"/e!a 1+0 (os %untos &, ' se encuentran en la orilladle una %laya recta, se%arados m entre sí, -n %unto ! esta #rente a ' a m en el mar) !uesta 00)00
tender 1 m de tuería en la %laya y 00)00 en el mar) (eterminar la #orma m"s económica de tra;ar la tuería desde & *asta !) DNo necesariamente dee %asar %or 'C !
m
<
'
&
( m
2 2 2 2 !( 8 √ ( 6 − x ) + 3 = √ ( x −12 x + 36 + 9 ) =√ ( x −12 x + 45 )
Komando como valores6
00)00 1 m %or tierra) 00)00 1 m %or mar) La #unción del costo sería6 C ( x )= 400 x + 500 √ ( x −12 x + 45 ) 2
!uyos %untos críticos son6 '
C ( x ) =400 +
250 ( 2 x −12 )
√ x −12 x + 45 2
400 √ x −12 x + 45 + 500 ( x − 6) 2
=
√ x −12 x + 45 2
=0
400 √ x
2
−12 x + 45=500 ( 6 − x )
5 √ x2− 12 x + 45 = (6 − x ) 4
2
x −12 x + 45=
25 (36−12 x + x 2) 16
(
)
9 2 25 −1 + 25 × 36 −45 =0 x −12 x 16 16 16
( )
9 2 9 225 − 45=0 x −12 x + 16 16 4 2
x −12 x + 20 =0
x =
{
12 ± √ 144 − 80 12 ± 8 x = 10 = = 2 2 x =2
!alculamos la segunda derivada %ara com%roar6 '
C ( x ) =400 +
250 ( 2 x −12 )
√ x2 −12 x + 45
500 √ x −12 x + 45 − 2
C ' ' ( x )=
500 ( x −6 )( 2 x − 12) 2 √ x −12 x + 45 2
2
( √ x 2−12 x + 45 )
500 [ ( x −12 x + 45 )− ( x −6 ) ] 2
2
C ' ' ( x )=
C ' ' ( x )=
3
2 √ ( x −12 x + 45)
500 ×9 3
√ ( x −12 x + 45 ) 2
>0
!om%roado que %ara 8 2 *ay un mínimo valor) +n la ecuación de la #unción6 C ( x )= 400 x + 500 √ ( x −12 x + 45 ) 2
Komamos a 8 2) C ( 2 )= 800+ 500 √ 4 −24 + 45=800 + 500× 5=800 + 2500=3300
C"(6" !7n&!" 8++9++9 Si *uiese sido %or mar) C ( 0 ) =500 √ 45=500 × 6.7 = 3354.1
+l costo *uiese sido mayor) ? si *ui/ramos ido directo de & *asta ' y luego a !) C ( 6 ) =400 ×6 + 500 √ 36 −72 + 45 =3900
+l costo *uiese sido mayor)
P$"/e!a 110 Si se quiere vallar un cam%o rectangular que est" 3unto a un camino) Si la valla del lado del camino cuesta @0 +uros>m y la de los otros 10 +uro>m, *alla el "rea del mayor cam%o que %uede cercarse con 2@@00 +uros)
?
M elación6 90 x + 20 y =28.800
⇒
9 x + 2 y =2880 ⇒ y =1440 – 4 , 5 x 2
f ( x , y )= x·y ⇒ f ( x )= x · ( 1440 – 4 ´ 5 x )= 1440 x – 4 , 5 x
(erivamos e igualamos a 0 f ( x )=1400− 9 x = 0 '
810 =allamos segunda derivada6 f ( x )=−9 < 0 ' '
? de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un m"imo relativo) f ( 160 ) =1440 – 4 , 5 ( 160 ) =720
+l "rea del mayor cam%o que se %uede cercar con 2@@00 +uros es de 160 m . x 720 m. =115.200 m
2
P$"/e!a 1*0 +l %ro%ietario de un ediAcio tiene alquilados los 0 %isos a un %recio de 00 O cada uno) Por cada 0O que el %ro%ietario aumenta el %recio oserva que %ierde un inquilino) 4a qu/ %recio le conviene alquilar los %isos %ara otener la mayor ganancia %osile5 M 8 n inquilinos f ( x )= ( 40− x ) . ( 600 + 60 x ) =24000 + 1800 x − 60 x
(erivamos e igualamos a 0 f ( x )=1800 −120 x = 0 '
81 =allamos segunda derivada6 f ' ' ( x )=−120 < 0
2
? de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un m"imo relativo) Precio que dee aumentar a cada %iso6 0 1 8 900 O Le deer" aumentar 900 O el %recio de cada %iso)
P$"/e!a 10 -n terreno tiene la #orma de un rect"ngulo con dos semicírculos en los etremos) Si el %erímetro del terreno es de 0 m, encontrar las dimensiones del terreno %ara que tenga el "rea m"ima) y
2
2
A = π x + 2 y x
P8 2 Q 2y 8 0 m) y =
50−2 πx 2
y =25 − πx
A = π x + 2 ( 25 −πx ) x =50 x − π x 2
(erivamos e igualamos a 0 '
A =50 −2 π x =0 x =
25 π
=allamos segunda derivada6 A ' ' =−2 π < 0
2
? de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un m"imo relativo)
( )
y =25 − π
25 =0 π
+s decir, el "rea m"ima se otiene cuando el terreno tiene la #orma circular) ? es6 2
A =50 x − π x =198.9
P$"/e!a 1,0 -na ventana %resenta #orma de un rect"ngulo coronado %or un semicírculo) =alle las dimensiones de la ventana con "rea m"ima, si su %erímetro es de 10 m)
r
y
1 2 A = xy + π r 2 = x + 2 y + πr =10
r=
x 2
x 2 x ¿ ! 10 = x + 2 y +( ) π 2 2 π A = xy + ¿ 2
A = xy +
2+ π π 2 x ! y =5 − x 8 4
em%la;amos la segunda ecuación en la %rimera6
(
2+ π π 2 A ( x ) = xy + x = x 5 − x 8 4
)
π 8
+ x2 =
− π + 4 8
x
2
+ 5 x
(erivamos e igualamos a 0 '
A ( x )=
x =
−π + 4 8
( 2 x ) + 5 =0
20 = x 1 π + 4
=allamos segunda derivada6 A ' ' ( x )=
−π + 4 8
⇒
' '
A ( x 1 ) < 0
? de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un m"imo relativo) y =5 −
2 + π 10 x= π + 4 4
"s decir , c#and$ x =
x 10 10 m y c#and$ y = m.Vem$s%#e y = 2 π + 4 π + 4
P$"/e!a 150 Se desea construir un reci%iente cilíndrico de metal con ta%a que tenga una su%erAcie total de @0 cm2) (etermine sus dimensiones de modo que tenga el mayor volumen %osile)Sug) J 8 %irR*& S 82%irR Q 2%ir* 8 @0
*
2 Se desea maimi;ar el V = π r & que de%ende de r y *
2 Trea total 80= 2 π r + 2 πr&
+ntonces tenemos6 na f#nci$n−−−−[ V =π r & ] y na ec#aci$n−−−−−[ 80 =2 π r 2
40− π r &= πr
2
+2 πr& ]
2
Sustituimos en el volumen6
(
2
)
40− π r = 40 r − π r 3 V ( r )= π r & = π r πr 2
2
(erivamos e igualamos a 0 2
V ' (r )= 40−3 π r =0 r =± 2.0601 ($r c$nce( ¿ de) (r$*)ema se in+n$ra e) ne+ati$ .
=allamos segunda derivada6 V ( r )=−6 πr =−6 π ( 2.0601 ) < 0 ' '
? de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un m"imo relativo) 2
40− π r &= rem()azam$s r =2.0601 πr
& = 4.1203
Las dimensiones del cilindro con volumen m"imo serian6 r =2.0601 −−−−−−−−−− & =4.1203−−−−−−−−−Vmax =54.9
P$"/e!a 1:0
Se va a construir una cisterna rectangular con ase y ta%a cuadradas %ara almacenar 12 000 %iesU de agua) Si el concreto %ara construir la ase y los lados tiene un costo de 100 %or %ieR y el material %ara construir la ta%a cuesta 200 %or %ieR 4cu"les son las dimensiones de la cisterna que minimi;an el costo de su construcción5
*
*
2
C =300 x + 400 x&
Por dato del %rolema6 2
Vcisterna= 12000= x &
(es%e3amos de la ecuación convenientemente *6 &=
1200
x
2
Sustituimos en la #unción6 2
C =300 x
+ 400 x (
C ( x )=300 x
2
1200
x
2
)
+ 4800 000 x−1
(erivamos e igualamos a 0 −2
C ' ( x )=600 x − 4800000 x = 0 x = 20
=allamos segunda derivada6
−3 ' ' C ( x )=600 −9600000 x > 0
? de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corres%onde a un mínimo relativo) &=
1200 rem()azam$s x =20 2 x
& = 30
+l costo mínimo se dar" cuando 820 y *80) 2
20 ¿ + 400.20.30 =360000 2 Cminim$ =300 x + 400 x&=300 ¿
Cminim$= - 360 000
P$"/e!a 140 (os %olados Pa y P est"n a 2 m y m, res%ectivamente, de los %untos m"s cercanos & y ' sore una línea de transmisión, los cuales est"n a m uno del otro) Si los dos %olados se van a conectar con un cale a un mismo %unto de la línea, 4cu"l dee ser la uicación de dic*o %unto %ara utili;ar el mínimo de cale5 P
Pa
& Longitud %ara conectar Pa con P ser"6 2
2
4 − x ¿ + 3
¿ 2 L=√ x + 2 + √ ¿ 2
2
4 − x ¿
+9
¿ 2 L ( x ) = √ x + 4 + √ ¿ (erivamos e igualamos a 0
m
!
'
2
4 − x ¿ + 9
¿ ¿ √ ¿
L ( x )= '
4 − x − ¿ √ x 2 + 4
x
−32 ± √ (32)2−( 4 )( 5 )(−64 ) x = 2 (5 ) x 1=1.6 −−−−− x 2 =−8
(escartamos claramente <@F0 %orque re%resenta m) =allamos segunda derivada6 x 9 2 4 − x ¿ +¿
¿ ¿ ¿
3 2
(¿¿ 2 + 4 ) + L' ' ( x )=
9
¿
4
¿
L ( x ) > 0 (ara cada x . "n (artic#)ar (ara L ( 1.6 ) > 0, ($r )$ % #e L ( x ) es minima ''
' '
!uando 81)m) Puesto que 0 V V calculemos los n:meros LD0C, LD1)C y LDC %ara conArmar) 2
2
4 − x ¿ + 3
¿ 2 L=√ x + 2 + √ ¿ 2
LD0C87 LD1)C8) LDC87) Se conArma que LDC es mínimo cuando 81) m, siendo la longitud mínima de cale igual a ) m a%roimadamente)
P$"/e!a 1;0 Se requiere construir un oleoducto desde una %lata#orma marina que est" locali;ada al norte 20 m mar adentro, *asta unos tanques de almacenamiento que est"n en la %laya y 1 m al este) Si el costo de construcción de cada m de oleoducto en el mar es de 2 000 000 de dólares y en tierra es de 1 000 000, 4a qu/ distancia *acia el este dee salir el oleoducto sumarino a la %laya %ara que el costo de la construcción sea mínimo5 P
20m
;
K
&
1< W 1 m
0 x 15
z =√ x + 400 ec#aci/n. 2
C =2 z + ( 15 − x )=2 ( √ x + 400 )+ ( 15 − x ) 2
(erivamos e igualamos a 0 2 x
'
C ( x ) =
√ x + 400
20 x = ± √ 3
2
− 1 =0
(escartamos el negativo %orque X0 y solamente anali;aremos el costo en x =
20
√ 3
=allamos segunda derivada6 x 3 2
(¿¿ 2 + 400 ) > 0 (arac#a)%#ier x '' ( x )
C =
800
¿
+valuamos la #unción costo en
x =
20
√ 3 y en los etremos
0 x 15
C ( x )=2 ( √ x + 400 )+ ( 15− x ) 2
C ( 0 ) =55
( )
C
20 =45.6167 √ 3
C ( 15 )= 50
+l costo mínimo en la construcción del oleoducto es de )17 millones de dólares y se tiene cuando
x =
20
√ 3
=11.547 km
P$"/e!a 10 Se requiere construir un oleoducto desde una %lata#orma marina que est" locali;ada al norte 20 m mar adentro, *asta unos tanques de almacenamiento que est"n en la %laya y 1 m al este) Si el costo de construcción de cada ilómetro de oleoducto en el mar es de 000 000 y en tierra es de 2 000 000, 4qu/ tan ale3ado dee salir el oleoducto sumarino a la %laya %ara que el costo de la construcción sea mínimo5 P
20m
;
K
&
1< W 1 m
0 x 15
C ( x )=3 √ x
2
+ 400 + 2 (15 − x )
(erivamos e igualamos a 0 3 x
'
C ( x ) =
√ x + 400 2
− 2 =0
x = ± √ 320
Por ser X0 descartamos el negativo %ero 8Y20817)@@9 no cum%le con las restricciones en este caso la #unción costo no tiene %untos críticos) Por lo cual el mínimo y m"imo a%arecerían en los etremos de las restricciones +valuamos !DC en 80 y 81 C ( x )=3 √ x
2
+ 400 + 2 (15 − x )
C ( 0 ) =90
C ( 15 )= 75
Por lo tanto, el costo mínimo de la construcción del oleoducto es de 7 000 000 de dólares y se otiene cuando todo el oleoducto es sumarino y sale a la %laya)
P$"/e!a *+0 +n un concurso de resistencia, los %artici%antes est"n 2 millas mar adentro y tienen que llegar a un sitio en la orilla Dtierra ArmeC que est" a millas al oeste Dla orilla va de este a oesteC) Su%oniendo que un concursante %uede nadar millas %or *ora y correr 10 millas %or *ora, 4*acia qu/ %unto de la orilla dee nadar %ara minimi;ar el tiem%o total de recorrido5
P
2 millas
<
Z
&
'
millas 1
1 1 x t ( x ) = ( x 2 + 4 ) 2 + − intera)$ 0 x 5 4 2 10
(erivamos e igualamos a 0 x
'
t ( x )=
4 √ x + 4 2
−
1 =0 10
M80)@7 =allamos segunda derivada6 ' '
t ( x )=
1
' '
ea#)and$ en t ( 0.87 ) > 0 ($r)$ tant$t ( x ) es minim$c#and$ 3
( x 2 + 4 ) 2 x = 0.87 mi))as 1
1 1 x t ( x ) = ( x 2 + 4 ) 2 + − 4 2 10
t ( 0.87 )=0.958
+ntonces el tiem%o mínimo ser" 0)9@ de una *ora que vendría a ser 7 min 29)727s
