UPAO
UNIVERSIDAD CATOLICA LOS
MÁXI MÍNIM
ANGELES DE CHIMBOTE
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
MONOGRAFIA CURSO: MATEMATICA TEMA: VALORES AMXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION DOCENTE: INTEGRANTES: PEREZ FLORES SANDERS SEMESTRE: IV SATIPO – PERU PERU 2017
1
I.
DEDICATORIA
Primeramente a dios por habernos permitido llegar hasta este punto y habernos dado salud, ser el manantial de vida y darnos lo necesario para seguir adelante día a día para lograr nuestros objetivos, además de su infinita bondad y amor. A nuestras madres por habernos apoyado en todo momento, por sus consejos, sus valores, por la motivación constante que nos ha permitido ser una persona de bien, pero más que nada, por su amor. A nuestros padres por los ejemplos de perseverancia y constancia que lo caracterizan y que me ha infundado siempre, por el valor mostrado para salir adelante y por su amor. Y a todos aquellos que ayudaron directa o indirectamente a realizar este documento A nuestro Excelente catedrático por su gran apoyo y motivación para la culminación de nuestros estudios profesionales, por su apoyo ofrecido en este trabajo, por habernos transmitido los conocimientos obtenidos y habernos llevado pasó a paso en el aprendizaje
II.
INTRODUCCION: Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo parecían imposibles su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los valores máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas ocasiones encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el tamaño de un potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos también enfrentarnos a situaciones en las que han de considerarse dos o más variables Para encontrar máximos, mínimos y puntos de silla en fondones de varias variables existen muchos métodos donde se dará a conocer de manera detallada el discriminante, hessiano o matriz hessiana, Método de los Multiplicadores de LaGrange y una breve reseña histórica y biográfica acerca del creador o inventor de las matrices hessianas y el método de Método LaGrange también se detallara como encontrar máximos y mínimos utilizando matrices hessianas ,el significado de los elementos de esta .Luego se presenta cada paso de cómo resolver funciones de dos o más variables, haciendo uso de la matriz hessiana, se expone ejemplos de aplicación para dicha teoría. Finalmente además se adiciona el método de Kuhn - Tucker se expone ejemplos para la aplicación de dicho método.
III.INDICE I.
DEDICATORIA ................................................................................ 2
II.
INTRODUCCION: ............................................................................ 3
III.
INDICE .............................................................................................. 4
IV.
MARCO TEORICO ........................................................................... 5
1.1.
CÁLCULO DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES ....................................................................................................... 5 Valor Máximo Relativo: ..................................................................................... 5 Valor Mínimo Relativo: ..................................................................................... 5 1.2.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES8
1.
DEFINICIÓN ............................................................................................. 8
EJEMPLO.- ........................................................................................................ 9 V.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:.............................. 10
VI.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:............................................ 11
IV.
MARCO TEORICO
1.1.
CÁLCULO DE LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Valor Máximo Relativo: es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente a decreciente. De acuerdo a la gráfica, f tiene un valor máximo relativo (d) en el punto c, esto es si cierto si c pertenece a (a,b), tal que f(c) sea
mayor o igual
a
Valor Mínimo Relativo: es el punto en cambia su valor de
que la derivada de una función se anula y Es decir la función pasa de decreciente a
negativo a positivo. creciente. f(x) y si y solo si x pertenezca a (a,b).
De acuerdo a la gráfica, f tiene un valor máximo relativo (d) en el punto c, esto es si cierto si c pertenece a (a,b), tal que f(c) sea menor o igual a f(x) y si y solo si x pertenezca a (a,b).
Para calcular los valores máximo o mínimos de la función de dos variables: F(x,y) = 3x2 - 2xy + 3y 2 + 8x - 8y + 5 debemos tener en cuenta los siguientes pasos: 1.
Aplicamos la primera derivada a la función son respecto a X y Y.
Fx = 6x - 2y + 8 F y = -2x + 6y - 8
2.
Igualamos ambas ecuaciones a 0.
Fx = 6x - 2y + 8 = 0 F y = -2x + 6y - 8 = 0 Si las organizamos separando los términos dependientes de los términos libres nos queda: 6x - 2y = -8 (1) -2x + 6y = 8 (2) Podemos ver que es un sistema de ecuaciones lineales 2x2 el cual podemos resolver por cualquiera de los métodos más conocidos (igualación, sustitución, eliminación o determinante). 3.
Resolvemos la ecuación para hallar los valores de X y Y.
En este caso utilizaremos el método de eliminación. Éste método consiste en multiplicar alguna de las ecuaciones por un valor que nos permita eliminar alguna de las variables (X o Y) y así poder despejar la variable resultante. Eliminaremos Y, para ello multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la sumamos con la (2). 3 (6x - 2y) = 3(-8) 15x - 6y
= -24 (3)
Nos queda la ecuación (3) a la que le sumamos la ecuación (2). 18x - 6y = -24 (3) -2x + 6y = 8 (2) 16x
= -16
x
= 16/-16
=>
X
=
-1
Ahora reemplazamos el valor de X en cualquiera de las primeras ecuaciones, en este caso reemplazaremos en 2. -2x
+ 6y
=
8
-2(-1) + 6y =
8
-2
+ 6y
=
8
6y
=
8-2
y = 6/6=> 4.
y
=
(1)
1
Reemplazamos los valores de X y Y en la función original para
hallar el punto crítico en donde la función crece o decrece.
F(x,y) = 3x2 - 2xy + 3y2 + 8x - 8y + 5
F(-1,1) = 3(-1)2 - 2(-1 )(1) + 3(1)2 + 8(-1) - 8(1) + 5 F(-1,1) = 3 + 2 + 3 8-8+5 F(-1,1) = -3 El punto crítico de la función f(x,y) es (-1.1.-3) 5.
Aplicamos la segunda derivada para hallar las cuatro derivadas
parciales: Fxx
= derivada de x respecto a la derivada de x
Fyy
= derivada de y con respecto a
la
derivada de y
Fxy
= derivada de x con respecto a
la
derivada de y
Fyx
= derivada de y con respecto a
la
derivada de x
A partir de la primera derivada obtenida en el paso 1 realizaremos las segundas derivadas parciales: Fx = 6x – 2y + 8 Fy = -2x + 6y – 8 Fxx = 6 Fyy = 6 Fxy = -2 Fyx = -2 6.
Finalmente evaluamos D(x*, y*) con las derivadas parciales para
determinar la naturaleza del punto crítico. Antes de realizar los cálculos definamos los criterios para determinar la naturaleza del punto crítico. a. •
Se tiene un máximo o un mínimo relativo si: D(x*,y*) > 0. El punto crítico es un máximo relativo si tanto Fxx (x*, y*) como
Fyy (x*. y*) son negativas. •
Fyy
El punto crítico es un mínimo relativo si tanto Fxx (x*, y*) como
(x*, y*) son positivas. b.
Si D(x*,y*) < 0, el punto crítico es un punto de silla.
c.
Si D(x*,y*)=0, se necesitan otras técnicas para determinar la
naturaleza del punto crítico. Habiendo definido lo anterior procedemos a evaluar utilizando las derivadas parciales.
La formula es: D(x*, y*) = Fxx X Fyy - (Fxy) Fxx = 6 F
yy = 6 Fxy = -2 Fyx = -2
D(-1,1) = 6 x 6 - (-2) 2 D(-1,1) = 36 - 4 D(-1,1) = 32
Como resultado fue positivo y tanto F xx como Fyy son mayores o iguales a 0 podemos concluir que el punto crítico en es un mínimo relativo en el punto (-1,1 ,-3). 1.2. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Existen varias definiciones a continuación presentamos las más importantes 1. DEFINICIÓN.- La función f : D a R 2 R definida en un conjunto abierto, D a R 2 tiene un valor máximo absoluto sobre el conjunto si existe un punto P ( x 0 , y 0 ) E D tal que f ( x 0 , y 0 ) < f ( x 0 , y 0 ) , V (x,y) E D en este caso f ( x 0
,y0) Es el valor máximo absoluto de f e n D . 2. DEFINICIÓN.- La función /: D a R 2 ^ R la definida en un conjunto
abierto D a R 2 tiene un mínimo absoluto sobre el conjunto D a R 2 si existe un punto P ( x 0 , y 0 ) E D tal que f ( x 0 , y 0 ) < f ( x 0 , y 0 ) , V ( x , y ) E D en este caso f ( x 0 , y o ) es el valor mínimo absoluto de f e n D . OBSERVACIÓN Si a función f: DaR 2 ^ R es continua en un conjunto cerrado DaR 2 entonces existe al menos un punto donde tiene un valor máximo a6soluto y al menos un punto Q E D donde tiene un mínimo vaibr a6soluto. 3. DEFINICIÓN.- La función f : D a R n ^ R definida en un conjunto abierto D a R n tiene un valor mínimo relativo en el punto x 0 E D si existe una
bola abierta B ( x 0 , e ) a D tal que f ( x 0 ) < f ( x ) , V x E B ( x 0 , e ) a D . 4. DEFINICIÓN.- La función f : D a R n ^ R definida en un conjunto abierto D a R n abierta
tiene un valor máximo relativo en el punto x 0 E D si existe una bola B
(x0,e)aD, tal que
f(x)
<
f(x0),V
x
E
B
(x0,e)aD.
OBSERVACIÓN A los máximos y mínimos relativos de (a función f : D a R n ^ R le llamaremos extremos de (afunción f
TEOREMA Si la función f \ D ^ R n ^ R definida en conjunto abierto D ^ R n tiene un valor extremo x 0 E D y D k f ( x 0) y existe entonces D k f ( x 0) = 0 , V k = 1,2, 3, ...,n 5.
DEFINICIÓN.- Sea la función f : D ^ R n ^ R definida en un conjunto deabierto
R n . Los puntos x 0 D donde todas las derivadas parciales de primer orden de f son
ceros o no existen, se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de f
EJEMPLO.- Hallar los puntos críticos o estacionarios de la función f ( x , y ) = x 2 y 2 — 5 x 2 — 8 x y — 5 y 2
OBSERVACIÓN.- La condición necesaria para que una función tenga extremo relativo en un punto, donde sus derivadas parciales existen, es que este punto sea un punto estacionario o crítico, sin embargo esta condición no es suficiente, por ejemplo, la función /(x,y) = y2 — x2 cuyas derivadas parciales son:
a pesar de esto la función no tiene máximo ni mínimo relativo, en este caso, a este tipo de puntos se denominan puntos de silla.
V.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES:
Normalmente cuando hablamos de cálculo creemos que serán conocimientos que nunca nos van a servir, o que por la carrera que escogimos nunca los vamos a volver a usar, la realidad es que las matemáticas están presentes en todo lo que nos rodea, desde que contamos el dinero para ver cuanto vamos a gastar hasta la fabricación de la maquina más compleja. Las palabras máximo y mínimo, pertenecen a un lenguaje habitual y los usamos generalmente cuando deseamos expresar, lo más grande o lo más pequeño de la cantidad comparada. Es un tema indispensable en nuestra vidas, pues a través de ellos se pueden calculas ventas o las compras de una empresa, cuanto se tiene que llenar una alberca, o simplemente al hacer una maqueta, en construcciones de edificios, etc
VI.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:
Alfonzo A. (07 de diciembre de 2013) Condiciones de Kuhn Tucker y LaGrange 97 Recuperado el 28 de junio de 2015, de http://es.slideshare.net/andreaalfonzosanchez/condiciones-de-kuhn-tucker-ylagrange- 97
Espinoza E. (2000) Análisis Matemático III Para Estudiantes De Ciencias e Ingeniería (3° edición), Perú Editorial Servivios Gráficos J.J
Mary A. (01 de junio de 2013) Discriminante o hessiano Recuperado el 28 de junio de 2015, de http://es.slideshare.net/maryanabella/discriminante-ohessiano