4.9
Máximos y Mínimos. Multiplicadores de Lagrange. Valores extremos de funciones de dos variables
Defi Defini nici ción ón ! Se dice que la función f de dos vari variab able les s tiene tiene un valor máximo relativo en el punto ( x 0 , y 0 ) si existe un disco abierto B (( x0 , y 0 ); r ) tal que f ( x0 , y 0 ) ≥ f ( x, y ) para toda ( x , y ) en B . variab able les s tiene tiene un valor Defi Defini nici ción ón "! Se dice que la función f de dos vari mínimo relativo en el punto ( x 0 , y 0 ) si existe un disco abierto B (( x 0 , y 0 ); r ) tal que f ( x0 , y 0 ) ≤ f ( x, y ) para toda ( x , y ) en B . Ejemplo: Sea la función f ( x , y ) = 25 − x 2 abierto ((0,0); r ) para el cual x + y ≤ 5 . 2
−
y2
, sea B cualquier disco
2
La func funció ión n g ( x, y ) = x 2 + y 2 corres correspon ponde de a la siguie siguiente nte gráfica, gráfica, en la cual cual observamos que la función tiene un mínimo relativo en el origen.
1
#eorema! $i f ( x , y ) existe en todos los puntos en algn disco abierto B (( x 0 , y 0 ); r ) ! si f tiene algn extremo relativo en ( x0 , y0 ) , entonces si f x ( x0 , y0 ) ! si f y ( x0 , y0 ) existen, f x ( x0 , y0 ) " f y ( x0 , y 0 ) "#
$na condición necesaria para que una función de dos variables tenga un extremo relativo en un punto, donde sus primeras derivadas parciales existan, es que este punto sea crítico. %ero esto no es suficiente para que la función posea un extremo relativo, como veremos en la silla de montar . %&emplo! Dada la siguiente función encontrar sus extremos relativos si es 'ue los tiene.
%ara esta función, vemos que f x ( x , y ) = −2 x ! f y ( x , y ) 2 y . &anto f x (0,0) como f y ( 0,0) son iguales a cero. 'bservando la gráfica nos damos cuenta que esta función no cumple con la definiciones ( ! ). =
La prueba básica para determinar los máximos ! mínimos relativos de las funciones de dos variables es la prueba de la segunda derivada, que se enuncia en el siguiente teorema.
%&emplos!
2
. $ea la función definida por!
encuentre sus extremos relativos. ). $i f ( x , y) = 2 x 4 + y 2 − x 2 − 2 y , determine los extremos relativos de f si existen.
Definición (! Se dice que la función f de dos variables tiene un valor máximo absoluto en su dominio D en el plano xy si existe algn punto 3
( x0 , y0 ) en D tal que f ( x 0 , y 0 ) ≥ f ( x, y ) para todos los puntos ( x , y ) en D . En este caso, f ( x0 , y0 ) es el valor máximo absoluto de f en D .
Definición 4! Se dice que la función f de dos variables tiene un valor mínimo absoluto en su dominio D en el plano xy si existe algn punto ( x0 , y0 ) en D tal que f ( x0 , y0 ) ≤ f ( x, y ) para todos los puntos ( x , y ) en D . En este caso, f ( x0 , y0 ) es el valor mínimo absoluto de f en D . #eorema del valor extremo para funciones de dos variables! Sea R una región cerrada en el plano xy , ! sea f una función de dos variables, la cual es continua en R . Entonces existe por lo menos un punto en R donde f tiene un valor máximo absoluto ! por lo menos un punto en R donde f tiene un valor mínimo absoluto. %&emplo! $n fabricante monopolista vende dos tipos de lámparas. %or su experiencia, *a decidido que si produce x lámparas del primer tipo ! y lámparas del segundo tipo, se pueden vender respectivamente a (100 − 2 x) ! a (125 −3 y ) dólares cada una. El costo de fabricación de x lámparas del primer tipo ! y lámparas del segundo, es (12 x +11 y + 4 xy ) dólares. +uántas lámparas de cada tipo debería fabricar a fin de lograr una ganancia máxima ! cuál sería dic*a ganancia-
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
uc*os problemas de optimi/ación tienen restricciones o ligaduras, para los valores que pueden usarse en la solución óptima. Esto tiende a complicar los problemas de optimi/ación porque la solución óptima puede presentarse en un 4
punto de la frontera. %ara resolver este tipo de problemas se usa el m0todo de los multiplicadores de Lagrange. Ejemplo de función con restricción.
M)todo de los Multiplicadores de Lagrange
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%&emplos! *plicar el m)todo de los multiplicadores de Lagrange para . +btener el máximo de
". ,n cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de --- pie (. La tapa y la base del cilindro se acen de un metal 'ue cuesta " dólares por pie ". La cara lateral se cubre con un metal 'ue cuesta "./ dólares por pie ". 0alcule el mínimo costo de construcción.
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%&emplo!
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