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a Augus u11sriG ta uerreiro ~re.,.
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Pinto Srl va
Neves
Caderno de Ficha s
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• Porto Ed\tora
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Apresentação
Índice
Caro estudante
Domínio 1
[ ste Caderno de Fichas foi pensado para o ajudar a reforçar
a aprendizagem.
Domínio3
Domínios
Geometria analítica no plano
Lógica e teoria dos conjuntos
Funções
consolidar os conhecimentos e a preparar para os testes de avaliação. lntroducão à lógica.bivalente
[ ste instrumento de trabalho. apresenta-lhe:
Ficha p.:1r.:1prôlbcar1 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr2 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr3
• Fichas para praticar: conjunto de questões para adquirir destrezas em cálculo e resolução de problemas
Ficha do tosto 1
• Fichas de teste : conjunto de questões-tipo para rever conteúdos relevantes na preparação para os testes de avaliação.
4 6 8
to
Condições e conjuntos
[ stamos convictos que será mais um recurso a contribuir para que atinja o seu Máximo. Os autores
F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr4
12
F1ch.:> p.:1r.1 pr;:ibc.Jr5 F1ch.:> p.:1r.1pr;:ibc.Jr6 Ficha do tosto 2
14 16
t8
Referencial ortonormado. Distâncias no plano F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 15 44 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 16 46 Ficha de tosto 7
48
Semiplanos. Equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 17 50 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 18 52 Ficha de tosto 8
54
Vetores no plano F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 19 F1chJ p.Jr.J pr.:>t1cilr 20 Ficha de tosto 9
Ficha para praticar
•
Número do ficho/teste poro poder 1dcnt1f1cj-l;:i no mt:1nuJl. Assim, podcr,j s.Jbcr qu\Jndo pode rc.Jbz5-l.J.
Domínio2 Álgebra Radicais F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 7 F1ch.:> p;:ira pr.Jt1c.:Jr 8 Ficha de tosto 3
t!::
Poténcias de expoente racional F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 9 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 10
Ficha de tosto'
tl
tJ
Operações com coordenadas de vetores F1chJ pJrJ prJt1cilr 21 62 F1chJ pJril prill1Cilr 22 Ficha de tosto 10
6' 66
Equação de uma reta no plano 26 28 30
F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 23 F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 24 Ficha de tosto 11
68 70
n
F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 29 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 30 Fichado toste 1'
86 88 90
Transfor mações do gráfico de uma função F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 31 92 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 32 Ficha do toste 15
9' 96
Monotonia e extremos de uma função F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 33 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 34 Ficha do toste 16
Função quadrática. Função módulo F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 35 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 36 Ficha do toste 17
98 100 t 02
º'
1 106
t 08
Função raiz quadrada. Função raiz cúbica. Operações com funções F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 37 F1chJ pJr.J pr.:>ticilr 38 Fichadotoste18
110 112
t14
Operações com polinómios F1ch.:> p;:ira pr.Jt1c.:Jr 11 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 12 Ficha de tosto 5
Ficha do tosto
20 22 24
56 58 60
Generalidades sobre funções
32 34 36
Fator izacão de polinómi.os. Resolução de equações e inequações F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 13 38 F1ch.:> p;:ira pr.:it1e.Jr 14 Ficha de tosto 6
40 42
Dom ínio4
Domínio6
Geometr ia analítica no espaço
Estatística
Referenciais cartesianos do espaço. Conjuntos de pontos do espaço F1chil p.ilr..1pr;:ibcJr25 Ficho poro probcor 26 Ficha de tosto 12
74 76 78
Somatórios. Média. Desvio-padrão. Percentis F1chJ pJr.J pr.:>t1cilr 39 F1chJ pJr.J pr.:>tlCilr 40 Ficha do toste 19
116 118
t 20
Cálculo vetorial no espaço F1chil p.ilr..1pr;:ibcJr27 Ficho poro probcor 28 Ficha de tosto 13
2
80 82 84
Soluções
t22
3
•
m
Lógic• e teorl• do1 conjuntos
Indique o' alor lógico de cada uma da; (>rOp<>!>içõe;.
ara praticar 1 µ: 0,2'< 0, I 1.1.
1.2.
,, : (- 1.21' .. o
lntroducao a logica bivalente
r: ( 21" >0
s: \. 38<6
f
Indique O\alor lógico de cada uma das proposições.
1Jlili1,ando duJ\ da' 1lro1Xl'.1çõe' dadas e oshnbolo
<=> ,
.r~
escl'e\a uma proposição:
4.1.
18 é um número múltiplo de 8 ou de 9.
4.2.
13 nJoéumnúmeroprimo.
O.
\.2< 1 .~ 1 5 e \.2> 1,414
4.4.
49 é um número quadrado perfeito e par.
4.5.
12 1 éumcuboperfeitoou 64 éumcuboperfoi10.
4.6.
7 édh isorde 343 e :;12 é múltiplo de 8 .
a) \erdadcira (indique iodasª' re-110s1as 110ssfl eis}.
Considere as proposições: C:on;iderc a> propo,lçõe' 11, /1, e e 1/: ": O; triângulo> i,6,celc' também ,;io 11inngulos equil:l1eros. /J:
cna;, u 111 nú111cro pai que é pl'imo.
": v3 n.io é um número racional
!ir.
"' v~>0.7
e: (
~)' (
- 1
d: rr+ 1<3, 14 + 1
5.1.
indique o valor lógico de cada uma das pro1>o>içôc>.
5.2.
l'raduza em linguagem natural, ;em uliliwr a i>.lla\'ra "1h 10: cada urna das pro1>0;.içôes e indique o seu valor lógico.
d: O quad r,1do de qualquer né1111cm real é um núme ro J'eal posilivo. &creva a negação de codn umn dns pmposiçf>es dadas e, em seguida, indique o seu valor lógico, bem como o d" >u•l negação.
a) _,, e) -/JVd Considere"' propo>lçõe' ,cguime-. /J: li é um numero primo
q: \. fü é um número irracional
r: i2 n
s: 12 édhlsorde 4
e) -a/\ -e
1) /JV - r
Tradw.a >imbolicamcnw c Indique o 1 alor lógico de cada uma das proposições. Considere as proposições p e q tais que 11 é fal>
4
12 11.ioédhbordc 1.
Indique o 1alor lógico de cada uma das prop<>!>i~
3.2.
l\.ioé1i.'rdJdeque li 1\àoéumnumeroprimo.
3.3.
li é um numero primo e 72 nilo é muh1plo de 16.
3.4.
vi2i é um numero lrraclonnl ou
3.5.
12 nao é dh i\Or dc 1 ou 72 é múhlJllo de 16.
1
3.6.
N:ioó 1crdndeque 72 é rnúlilplode 16 ou 12 nãoédivisor de 4 .
i
11 não é um número primo.
6.1.
,, /\ q
6.3.
- 1J/\q
6.5.
- ( - 11)/\-q
6.2.
fJ V q
t •
5
m
W lntroduçao à lógica bivalente
Lógica e teoria dos conjuntos
Determine o valor lógico de cada uma das proposições.
ara praticar 2 Considere as proposições:
/1: O mês de maio tem 31 dias.
q: Dame escreveu Os Lusfadas.
r: Vasco da (iama descobriu o 13rasil.
s: Um ano civil tem 12 meses.
Traduta em linguagem natural cada uma das proposições. 1.1.
1.4.
- p/\q
r
~
q
1.2.
1.5.
flV q
q
~
1.3.
-s
1.6.
fJ
Se a>O, emão b=3.
2.2.
Se a+/1= 1, e ntão e;;; o.
2.3.
Se a= 3 ou a= 1, então b >O .
2.4.
Se a<3, emão b# 1 e c#O.
2.5.
a=IO ese b
2.6.
a 1' 1 ou se b = 1 , então e> 1O.
2.7.
Se a<5 e a>3, então a=4.
2.8.
a= 1 ou a 1' 3 e se /J = 1 , e mão a= 4 ou a= 1O.
2.9.
a= - 3 e a= 3 se e somente se a' = 9.
-q => -s
4.2.
o> 1 e Vi é um número irracional.
4.3.
Se n + n = n', emão
4.4.
Se
v'3 >Vi,
4.5.
Se
n;;; 4 , emão 3" >\IS.
4.6.
10- 2=8 se e somente se 3"=9.
4.7.
3l+4':5i seeso111enlese 3+4~5.
4.8.
Lisboa é a capital de l'onugal ou Paris é a capital de Espanha.
4.9.
Se a neve é branca, então Pitágoras era chinês.
então
ir x
n =li' .
- v'3 < - Vi.
Vista sobre o Rossio, lJshoa
4.10. Camões escreveu f\ Odisseia se e somente se Madrid é a capital de Itália.
Determine, em cada um dos casos, o valor lógico da proposição p sabendo que:
2.10. a= - 1 ou a= 1 seesomemese a'= 1. 2.11.
4'=8 ou 4 +4 =8
=> q
Traduw para linguagem simbólica cada uma das proposições. 2.1.
4.1.
11> 1 quando li'< - 1.
5.1 .
q é verdadeira e p /\ q é falsa
5.2.
q é falsa
e pvq é falsa
5.3.
q é falsa
ep
=> q é falsa
5.4.
q é falsa
ep
=> q é verdadeira
5.5.
q ''erdadeira
ep
~
q é falsa
5.6.
q é falsa
e q
~
p é verdadeira
2.12. 11'>- I amenos que 11<0.
Considere as proposições 11 e q tais que p é verdadeira e q é falsa. Indique o valor lógico de cada uma das proposições. 3.1.
p/\-q
3.2.
-pvq
Helativarneme a duas proposições 11 e q sabe-se que 11
~
q é falsa e -11 V q é verdadeira.
Qual é o valor lógico das proposições 11 e q ·r 3.3.
fJ
=> -q
3.4.
- p => q
l
.
l 3.5.
6
q
~
-q
3.6.
-p
~
q
•~ ;;
Considere as proposições p e q tais que:
p: 4'>8 e q:
:!.<.!. 6
3
Tradu1.a para linguagem simbólica a pro1>0sição "p a menos que q" e indique o seu valor lógico.
7
m
W lntroduçao à lógica bivalente
Lógica e teoria dos conjuntos
O Minóquio é um " primo" do célebre Pinóquio. Como é um rapaz mais moderado apenas mente às quintas-Feiras, sextas-feiras e sábados e fala a verdade nos outros dias da semana.
ara praticar 3 Determine o valor lógico de cada uma das proposições. 1.1.
-(31 =6
==}
1.2.
-(Vi= 1 se e somente se 1'=2)
1.3.
4";< 12
1.4.
2';<8
==}
<::::}
Em qual dos dias da semana não é possível que o Minóquio faça a seguime afirmação'!
3X3=9)
5.1 .
"Se n1enli onte1n, então rnentirei de novo a111anhã.''
5.2.
"~1enti onten1
se e son1ente se n1enlirei an1anhã:'
(5X 0=51\3°=3)
(2+2= 41\21 = 4)
Considere duas proposições p e q. A seguinte expressão define uma proposição. Simpl ifique-a e indique, se possível, o seu val or lógico.
-[-pl\(pV-q)]V-q Construa uma tabela de verdade para cada uma das proposições. 2.1.
-(pl\-q)
2.2.
-(p 1\ q) V -(q
<::::}
fJ) Considere a proposição 7.1.
2.4.
11
q
==}
<::::}
[a
(111\ - e)]
==}
<::::}
[ú
==} ( -
aV
e)) .
Construa a tabela de verdade e indique, se possível, o seu valor lógico.
l(-qvr)l\pj 7.2.
Veriílque se a l>J'oposição dada é equivalente à proposição -
a.
Justifique a sua resposta.
Dadas as proposições fJ, q e r tais que p é verdadeira, q é falsa e lógico de cada uma das proposições.
3.1.
(pl\-q)V r
3.2.
r é verdadeira, determine o val or Considere duas proposições p e q. Sabe-se que:
-pv(ql\-r)
• a proposição contrarrecfproca de p • a pro1>osição recf11roca de fJ
==}
==}
q é a proposição q
, a pro1>osição contrária ou Inversa de p
3.3.
-(pv-q)l\(- pv r)
3.4.
-(p 1\ q)
<::::}
q é a proposição - q
==}
==}
==} -
fJ;
p;
q é a proposição - p
==}
-q .
-(p V - r) Detennine e sin1plifique:
3.5.
(pvq
==}
r)
==}
qv-r
Considere as proposições p e q tais que fJ
==}
q é uma proposição verdadeira.
pV r
==}
qV r
4.2.
.
l
Determine o valor lógico de cada uma das proposições.
4.1.
..'
fJ 1\ r
==}
q 1\ r
•~ ;;
8
8.1 .
a contrarrecfproca da contrarrecfproca de fJ
8.2.
a contrarrecfproca da recíproca de p
8.3.
a contrarrecfproca da inversa de fJ
8.4.
a contrarrecfproca de fJ
8.5.
a contrarrecfproca de - fJ
8.6.
a recíproca da contrarrecíproca de p
8.7.
a contrária da contrarrecfproca de
==}
==}
==}
==}
q;
q;
q;
-q;
==}
q; ==}
-p
q;
~
-q.
9
Ili
W lntroduçao à lógica bivalente
Lógica e teoria dos conjuntos
Ficha de teste 1
li Das seguintes proposições, apenas uma delas é falsa. Identifique-a. (A) Se a Lua não é um satélite da Terra, então a Terra não é um planeta.
Ficha de teste 1
-
-
IJ Considere as proposições p e q seguintes:
10
fJ:
o português é rico.
q:
"
(l 1)
o português é íeli1_
{B) <> núrnero n é un1 nl11nero racional se e son1ente se - 2 é urn nlunero natural.
Tradu1,a para linguagem simbólica cada uma das proposições.
(e) O cubo não é um poliedro regular ou os ângulos agudos de um Lriângulo retângulo são
6.1.
O português não é rico ou não é felit.
6.2.
O português é rico se e somente se não é felit.
6.3.
Se o português não é rico ou é íeliz, então é rico.
co1nple1nentares.
(o) O quadrado de qualquer número real é um número posit ivo e A l'ortuguesa é o hino de l'onugal.
EJ A seguir apresentam-se quatro equivalências e apenas uma delas é falsa. ldenLifique-a. (A) (p => q)
~
(-q => -p)
(e) (p => q) ~ (-fJ => -q)
10
li
(B) (fJ => q) ~ -(p /\ -q) (o) (q => p) ~ (p v-q)
C;onstrua a
tabela de verdade da proposição:
li'=> (-qv r)J /\[qv(p
EI Considere a proposição seguinte:
"
~ -r)J
IJ Considere as proposições p, q, r e t tais que fJ e q são verdadeirns e r e 1 são íalsas.
Se amanhã estiver sol enLão vou à praia.
li (4 1)
Determine o val or lógico de cada uma das proposições.
A negação da proposição dada é:
8.1 .
(p/\ -q)Vr
8.2. 11 => -(r /\ 1)
(A) Se amanhã não estiver sol, então não vou à praia.
8.3.
-((r => /1) V (1 => q))
8.4.
(q => 1) =>
rV p
(B) Amanhã não vai esLar sol ou vou à praia.
(e)
IJI Considere as proposições t e s ;
Amanhã vai estar sol e não vou à praia.
(D) Se amanhã estiver sol, então não vou à praia.
a
/: 0,3'=0,9
9.1.
=> q, é verdade que:
(A) q é condição suficienl e para p.
(- 1/\s)v(1/\-s)
9.2.
IIiJ Considere a proposição [a/\ ( - a V b)j => a .
(B) fJ é condição necessária para q.
(e) q não é condição necessária 1>ara 11. (o) fJ é condição suficiente para q.
Prove, sem recorrer a tabelas de verdade, que a prnposição é verdadeira.
EI Das quatro proposições seguintes, apenas uma não é equivalente à proposição a.
Ili Considere as proposições b, p e s:
Identifique-a.
10
s: n<3, 14
Determine o val or lógico de cada uma das pro1>osições.
Considere as proposições fJ e q. Quando se afirma que fJ
lG (1 1~
1: Liga.
(A){a /\-/J) V (a/\ b)
/J: O Sport Lisboa e Benfica ganha a
(B){b => a) V b
.!
fJ: O Futebol Clube do !'orlo ganha a 1.• Liga.
(e) (a v /J) /\(a v - b) (o)(- a => 11) /\ (/J => a)
l
s: O Sporting Clube de Portugal ganha a I.' Liga.
•
Admitindo que
.
-(-b v(- p => s)) é uma proposição verdadeira, determine, jusliílcando, qual das equipas ganha a primeira liga,
11
m
UI Condiç:oes e conjuntos
Lógica e teoria dos conjuntos
Considere, em IR, as condições:
ara praticar 4
x'=i', x"'x, xEIN, xEIR, x~IR, xE0, x~0
Hesolva, em Z e em O, cada uma das equações. 1.1.
1.3.
e
x~Z
4.1.
Indique as que são universais, as que são possíveis e as que são impossíveis.
4.2.
Indique se é possível, impossível ou universal cada uma das condições.
- 3i'+2x= - I
a) i'=.r /\x~F!
2 - i'=O
e)
b) xE0V i'=i'
xEIR/\x~Z
d)
e) x"'xVxEIR
x~0V xEIN
1) X"'X/\xEIN
Escreva em linguagem simbólica e indique o seu valor lógico.
2.1.
2.2.
Exisle pelo 1ne11os urn nlunero natural 1ne11orque ·v2. Escreva aíir mações equivalentes à negação de cada urna das proposições, ulilitando as segundas leis de De Morgan.
·1bdo o nún1ero racional é un1 nú111ero i11teiro.
2.3.
Existe pelo menos um número real diíerenle dele próprio.
2.4.
·1bdos os números ímpares são primos.
l lá pelo menos um número racional maior que
2.6.
Existe pelo menos um n(unero real não negativo cujo dobro é não positivo.
2.8.
Existe pelo menos um português que não trabalha.
5.2.
Todos os portugueses do Norte de Portugal gostam de trabalhar.
5.3.
Nem Lodos os portugueses são ricos.
5.4.
Qualquer português gosta de gotar férias.
\/3.
2.5.
2.7.
5.1 .
Considere as condições •..=' + 1 >O,
i' >O, i' (O e .t'
6.1.
Indique se é universal, impossível ou possível, em F!, cada uma das condições anteriores.
6.2.
Indique se é universal, impossível ou possível, em F!, cada uma das condições seguimes.
Qualquer n(unero real positivo é menor que o seu cubo.
·1bdos os núrneros naturais são não negativos.
a) i'+ 1 > O/\.t'.;;;o
b) ..-'O
e) i'> O/\i'+ 1 >O
d) .ro
Considere as proposições: a: 'V 11 E IN, 211 + 1 é um número par
/;: 'VxEIR, i"+3>0
d: 3xEO: X' - 3=0
e: 3xEZ: (x+3)(2x - l )= O
Considere, em IR, as condições:
e: 'VxEIR , x+ 1 =x
aÇt): i' - 1=O
/;~~): x - l > O
c(x): x - 1
Indique se, em F!, é universal, possível não universal ou impossível cada uma das condições. 3.1.
Tradu1,a em linguagem natural cada uma das proposições dadas.
'
7.1.
a(x) /\ ú(x)
7.2.
a(x) /\ c(x)
7.3.
a (x) V ú(x) V c(x)
7.4 .
ú(x) v c(x)
~
.
l 3.2.
Indique o val or lógico de cada uma das proposições.
•~ ;;
12
13
•
lfl Condiç:oes e conjuntos
Lógica e teoria dos conjuntos
Justifique que as afirmações seguin tes são falsas.
Considere o conjumo A = { 2, 3, 4 , 5, 7 , 9, 11 , 12} e sejam as condições: q(~) :
/J(.t): x é um número primo. 1.1.
Todos os números pl'imos são ím1>ares.
4.2.
Todos os triângulos são isósceles.
4.3.
Nem todos os números quadrados perfeitos formados por dois algarismos têm os algarismos distintos.
4.4.
Qualquer quadrilátero que tenha os quatro lados iguais também tem os quatro ângulos iguais.
4.5.
Todo o número natural que é divisor de 24 é divisor de 8 .
12.
Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.
b) 3xE A: p(x)
a) V'xE A, q(x) 1.2.
x é um número divisor de
4.1.
Escreva em linguagem natural cada uma das proposições e indique, justificando, o seu valor lógico.
b) V' xE A, p(x)
a) 3xE A : q(x)
C:onsidereoconjumo IJ ={- 1, 1, 3, 9, 16, 19, 25} e as condições:
Considere as proposições:
/J(.t): x não é um número quadrado perfeito. q(.\'): x não é un'I nl1111ero prüno.
a: V'xEIR, X(2 => X(4
rÇt) : 2.1.
x é um número real menor que
b: V'xEFl, x'>4 => x>2
30 .
5.1 .
l demifique o val or lógico de cada uma das pro1>osições.
5.2.
Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilizar o símbolo - .
Indique, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições.
a) V'xE IJ , r(x)
b) 3xE IJ: p(x) e) V'xE IJ , q(x) Considere as proposições: 2.2.
Relativamente a cada uma das condições, indique se é possível não universal, impossível ou universal em IJ.
e : V'xEIN, lxl>4 => x<2 d: V'xEZ, x'+ 1 =O=> .r - IO (O
p(x) , q(x),
r(x),
-p(x), -q(x) e -r(x) 6.1.
Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilizar o símbolo - .
6.2.
Indique o valor lógico da negação de cada uma das pro1>osições obtidas em 6.1 ..
Escreva a negação de cada uma das proposições sem utilitar o símbolo - .
3.1.
Considere as proposições:
V'xEIR' , - 2x x>O
p: 311 E IN: 11 é m últiplo de 15 /\ 11 não é m últiplo de 5 . 3.2.
3.3.
q: V' x E IR,
V'xEZ 'X;tXl\x>O
V'xEIR, x - 1;tOV.t"(O
x é uma dílirna infinita não periódica => x é um número racional.
7.1.
Escreva a negação de cada urna das proposições anteriores.
7.2.
Indique o valor lógico da negação de cada urna das proposições obtidas em 7.1 ..
' ~
.
l
•~ ;;
14
15
•
&ta Cond1coes e conjuntos
Lógica e teoria dos conjuntos
Considere as condições definidas em IN:
P.r.aticar 6
.
C:on;idere o; to111u1110-= J\;{.tEZ:
2(A<51
b(11):
11
éumnúmerudhl\Ordc 21.
c(11): 11 é um número múlúplo de 6.
d(t1):
11
é um nunwro inferior a 15 .
Represente em ei.tensão cada um d0> conjumo;.
r f
11- {xElll: 2.1 - 13<01
a(11): 11 é um número primo.
4.1.
,\; {11: a(11l /\ d(11ll
4.2.
IJ; { 11: a(t1) /\ b(11)}
4.3.
( ;(11: b(t1)A-d(11JI
4.4.
IJ; { 11 : - a(11) /\ d(11)}
C:;{l, 2, 3, 1. G, 8, 12, 211
0;{ -3. - 2. - 1,
o. 1, 2, 31
º' conjumo' e e /) em compreensão.
1.1.
Hcpre>elllc
1.2.
Heprc>entc e.ida um do' conjumo-; em ei.1ensão.
•)
,,
e)
A f'l /J
e) C\
b)
/J
d) "u /) 1) An/Jnc:no
IJ
Considere os seguintes conjuntos: /J: {AEIR: J - 2 ;A
C:on,idcre o; conjumo"
)2x}
Defino, sob a forma de intervalo ou de reunião de illlervalos dl\jumos, <» ~cguln1cs subconjunms de IR.
1/-{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11 , IR, 20f
J\;{AEll: 42 3.1>0)
/J ;{.tEI/: x épriinot
5.1.
/J
5.2.
e:
5.3.
ii
5.4.
;\ \ /J
5.5.
f:u IJ
5.6.
ii \"
C:-lxEI/: ·' édivl\ordc 201 /J;lxEI/: (A 2.1.
1)(2.,
10)(.,
12)-0I
lle1>rese111e em extensão cada um dos conjunto;. A-{AEIR: A;(-1)', 11EINI
H.eprc!-ic11tc c1n C.\ten...tio O'-! conjunto°' J\, IJ, e e D.
ll~ {.,EIN,:
2.2.
c~(.,e{o, 1, 2. 31:
H.cprc~1ue c1n CÃtcn~o l"ada un1 do, conjuntos.
b) d)
•) Ã
e) li /)
;:'; 13.\ - 22}
x'-x:o}
une: /1
(Ãuê) Escre\ a o comrarrecíproco de cada uma da; propo;içôt.':>. 7.1.
C:on;idere o conjumo 1; {I , 2, 3
Se nes1e ª'ião existe algum pas.ageiro dOt'nte, cnt
1odos os passageiros ficarão doentes.
Oe1ennine, ju;LiOcJndo, o ,ator lógico de cada uma das J>l'OJX>Sições. 3.1.
3xEA: A .. A 6;0
3.2.
'lfAEA,
7.2.
x' 1 (0
t
3.4.
16
Qualquer pessoa presente nesta >ala que tenha um livro sabe ler.
3xEA: x+2)5
1 •
i
Demons1re 1>or comrarreclproco que: Se
Mt\IA IU( 1 -O.!
/1
e
111
são números naturais para o; quai;
11
+ 111 ê 1>ar, cn1:10 11 e 111
t~m a
mesma paridade.
17
•
W
Lógica e teoria dos conjuntos
Ficha de teste 2
-
li Qual das proposições seguintes não é verdadeira'! (A) 3xE Z: ~= - 4 X
10
(B) 3xE Z: i"( O
~
(e) 'o'xEIR, 2> - ~
Condiç:oes e conjuntos
Ficha de teste 2
a
lltili1.e um contraexemplo para mostrar que é falsa cada uma das proposições. 6.1.
'o'11EIN,
li
(D) 'o'11EIN, (- 1Y'( 1 6.2.
3G
(1 1~
.!. < 1 1
'o'xEIR\{ O}.-(x X
IJ Considere os conjuntos:
10
6.3.
3aEIN:
- a' é um número real 1>ositivo.
P ={11EIN : 211 - 3< 14 /\11 é ímpar}
li Sejam A e IJ dois subconjuntos do universo C/ = { 1, 2, 3 , 4 , 5, 6} tais que:
Q={xEZ: x=(- 1)"+11/\11EIN/\11<5} Qual das opções segu imes corresponde ao conjunto P \ CJ '!
AU/J={ l ,2,3,4}
(A) {3, 5}
(B) {I , 3, 5, 7}
Defina em extensão cada um dos conjuntos:
(c)lo, 2}
(D) {l ,7}
7.1.
A
7.2.
/J
7.3.
IJ \A
EI Considere o conjunto M={xEIR:
- 1
10
Em qual das opções seguintes está represemado o conjunto
M '!
(A) )1, 5)
(B) )- oo, l )U)5, +oo(
(e) [ 1 ,
(o) J- oo, l [U[5, +oo[
5(
f\()/J={3}
3G
(1 1~
A\IJ={ l ,2}
IJ Considere os conjuntos A e IJ tais que
11
• O número de elementos do conjumo A é 7 . • O número de elementos do conjumo /J é 5 . • O número de elementos do conjumo A U /J é 1O.
Indique, justificando, qual o númern de elementos do conjun to (A \ ll) U(/J \A).
a
A negação da proposição 3x E Z: x > - 2 /\ x' < 4 é: (A) 'o'xE
z. X( - 2 /\i")4
(e) 'o'xEZ, X) - 2Vi"(4
(B) 'o'xE
10
z' X( - 2 =>
F={3, 4, 6, 8}
711+9 é um número natural par, então 11 é um
11
número natural ímpar.
10
(; ={ O, 4, 6, 10}
lliJ Escreva em linguagem natural a negação de cada uma das proposições. 10.1.
Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever.
10.2. Qualquer que seja a pessoa, é necessário ser pobre para ser felit.
Qual das seguintes afirmações é ''erdadeira'I
18
IJ Demonstre, por contrarrecfproco, que se
(D) 'o'xEZ , x> - 2 => x' ) 4
EI Considere os conjuntos: E={I, 3, 4, 5}
x' < 4
(A) E\G={O, 6, IO}
(B) (Pn c;)UE={4 }
(c)(i;uf')nc; ={4, 6}
(o) c; \F={ o, 3, 8, 10}
m
Sendo A= { 1, 2, 3}. determine, justiíicando, o valorlógico de cada uma das proposições. 11.1.
3G
(1 1~
-(3xEA: x' +3x+ 1 =O)
11.2. -('o'xEA, x' +x=G)
19
~-----------~-----W
•
Álg _e_IN'll ________
F_
Radic•i• _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
lleduLa ao mesmo índice e escreva por ordem cre;ccntc o; radicai' ob1ido,,
P.JLaticar 7
5.1.
lltili1A111do um do. ohnbolo' 1.1.
-3< '\ 3 = (
< ou >, com1>le1e de modo a obter proposições' erdadeira;.
3)'
1.3.
'\lo
1.5.
- 11
!\'31 •• 11
\8
1.2.
- 11<- 2 = (- l i)'...... (- 2)' 1
1
(r (r 1
.r~
-2<-:;=-2
u.
(i) <(~)' = [(i)'] '. ..... J~) 'J.
······-:;
J
Calcule o 1 alor de cadJ uma da' expre-;-;úes. Apre.ente o 1alor 1><'tlldo na foi ma mal, <;lmpliílcada possf\el. 2.1.
"\!'2 e \.3
Calcule e simplifique. Apresente o resultado na forma t1'\'b (11EN\l11 e 11, 11 E O).
f
1
1.4.
~,5,
6.1.
XZx\J
6.3.
'\ 9- 2"\ õi + ~ \
6.5.
\'3:\'.'2
6.2•
1
rJi
6.6.
~8
1 '\
q
(VI,fi)
: ( '\:'ÍÍ) •
Efe1ue as seguintes operações, simplificando o reoultado o mal' Pº''''cl.
7
\':i - ~·w
\õ
64 +c;'+H,t<1+b10
'\ . Rí
2.4,
\Y\7243 + \~V27 - \'Í-27 /~ 6 2
7.2.
Sim1>liílquc cad:i um do' rad icais. 3.1.
vm
3.3.
\ - &l
-
v2o
w. + 2v?i
.!.2 v'iiõ
7.4. 3.2.
V25õõ
3.4.
\!3'+ 3' + 3' 7.6.
3.5.
\'32
3.6.
\. 11'' li. 11>0 e b>O
3.7.
\ , , p
A" y
3.8.
\•&la'. 11>0
3.9.
3.10.
\, - 128a1' b.. e'- ; 11 >O, b>O e c>O
8.1.
\:'2.i3tl b
8.3.
-
1 11
,
">o e
/»O
Simplifique.
KCare- de radicais.
20
~ :f \"Õ : ~
2.2.
2.3.
'\7c\ 1
4.2.
\Y2 e V3
4.3.
\!lii
4.4.
Va
e \''Í
~e \Y2i;. ti> o
4.6.
\ '3\':Í
1
4.1.
4.5.
6.4.
\ 'J '\'J
e
\Jãi, a>O
~ e\ffr;j!' a>O
\t 11'
\,;;
~ \!• 2) '
.11>0
8.4.
(\
~.a>O
8.6.
(Vt1' ~ ';:")', n>o
2
t
1 •
i
8 .5.
21
-
Determine o' alor e>.ato da área de um tri1lngulo equilátero cujo 1icrí111etro é:
ara praticar 8
6.1.
.r~
11.acionaliLc °" clcnominaclnre' ele cada uma das frações. 3 1.2. 2=,, x>O 1.1. ...; X'
1.3.
2
5- \
v'7.- \ 3 v7 \ 1
1.6.
\'.IB unidades
Mo<;tre que:
f
7.1.
\
----
l:i - 20\ 5 - \ 84 - 32\ 5= - 3
3 7.2.
\ 3i - 20\ 3 - \ 61 - 28\íJ= - 2
7.3.
\ 72 - 32\ 2 - V114 - 80V 2=3Vz
\J \5
1
1.5.
6.2.
li
1.4.
~'J
\ 180 unidades
2\ 2-
Hesol\a, em FI , cada uma dn' equnçfles. Apresen1e as soluções com denominador racional. 2.1.
vG .1 2 = 0
2.2.
VJx=l+2x
2.3.
ãVz.1 + x = 3
2.4.
VJx=Vz(l - x)
Na ílgura está representado um quadrado [AIJC:D] de lado igual a -.:Í2 unidades. Mostre que o volume do sólido gerado pelo tra1i6do [JHJO/i] quando dá um volta completa em torno da reta
Hocionallze o; dcnomlnndo1es de cadn umn elas frações. 3.1.
3.3.
1
3.2.
-.:'3 -.:12
\'17 ª \YV; + 'y
2
3.4.
\'.2 + 1
_2
AIJ
é
7\'IÍiJt
24
unld•tdcs de volume.
11>0 e y>O
Na figura esi.1 representada uma esíera i1&rita mun cubo e um
_;a, b, e, tl')O
a\ b+c\"tl
Admita que a aresta do cubo mede a w1idades. Mo<;tre que o ,aJor exato do quociente entre o \Olume da c;íera circunscrita ao cubo e O\olwne da esfera il&riw no cubo é 3\'3
3.5.
G
3.6.
2
\'.J - 1
Ju;tifique a> ""'fluintc, igualdade... 4 .1.
\ 29
12\ 5 = 2\
3- 3
4.2.
Um octaedro regular está inscrito num cubo tal como a figum ao lado 'ugere. Cada um dos 1 értices do octaedro é o cenlJ'O de uma da; face\ do cubo. Sabe-se que a área de uma face do cubo mede b cm' .
\ 52 - 16\ 3=4VJ- 2
t
1
Mostre que o volume do octaedro é igual a
bf cm' .
•
i 22
23
tll Radicais
Álgebra
Ficha de teste 3
-
li Apenas uma das seguintes proposições é falsa. ldemifique-a. (A)
1
\'14.;:M x\'14-"M
10
!x(~)'
_!
(B) _3----=--
v3
2
Ficha de teste 3
IJ Hacionalize o denominador da fração
·\12
-
\15.
5vJ- 2 5
111
\/3
-3
li Verifique que os n(uneros x, =~ e x, =- ·'{:12 são soluções da equação 2X' - '\fzx' - 6 =O. IJ Na figura está represemado um prisma hexagonal regular e
IJ Considere o n(unero A representado por ~~ \jf, com x >O e y >O.
a pirâmide [AJJ<:rJli] cuja base é um trapézi o.
Sabe-se que:
Qual das seguintes opções corresponde ao inverso de A ·r
, o perímetro da base do prisma é 6\12;
(A) ~
(B)
y
Wy
• a al tura da pirâmide é igual ao lado da base do prisma.
X
Mostre que o volume da pirâmide é igual a
(e)
wy X
a> O e EI Aíração --ª-, ~
a
11 E IN, com denominador racional
(A) '\Íii
(a) W
(e) '\Y'iTi
(o) a
IJl um cuboctaedro é um poliedro com oi to faces triangulares e seis
é igual a:
faces quadradas e obtém-se a partir do cubo truncando-o por planos definidos por pontos médios das suas arestas. Considere o cuboctaedro obtido a partir de um cubo de aresta 1 • Mostre que o quociente entre a área da superfície do cubo e a área da superfície do cuboctaedro é igual a 3 -
v3.
A expressão
1
Vi+ã - V'i"=ã
-
1
\l2+ã '\l'i=ã' 2+a+
aEIN, é iguala:
10
2- a
(A) \l2+ã
(B) '\l'2=ã
'\l'2=ã
(o) v'2+ã a
(e)
a
EI Considere as quatro afirmações seguintes, onde a e /J são nlimeros reais. 1
W=a WxW=V(axl1f
Ili
li
IV
w+Vil=V(a+bl' W: Vil=Vi.ã7Jl,
/J;tO
Helalivameme a estas afirmações, podemos di1,er que:
24
·v;:.
(o) ·efX;! y
(A) Só lll é verdadeira.
(B)
(e) Apenas Ili e IV são verdadeiras.
(o) São todas ' 'erdadeiras.
10
mv3
Num trapézio isósceles [AJJ<.D) a base menor é igual aos lados não paralelos e tem cm de comprimento. Um dos lados não paralelos forma com a base maior um ângulo de 60' de amplitude. 9 cm'. Prove que o perímetro do trapélio é igual a 5\13 cm e a área igual a
;{3
Apenas li é falsa.
25
UI Poti nci•s de expoente racional
-
Ficha para praticar 9
.r~
bcre'a >0b a forma de r.idital. 1.1.
1.3.
1.5.
:;
1.2.
(~)=
1.4.
V3
1.ô.
- 2
2 •
f
\_ 5 T
Calcule apresemando o resultado o mai; i,implificado
Pº'"" cl e com denominador racional.
5.1.
5.2.
5.3.
3x[~:· 0,1'": (~)]
z
\ i).25 .. 4xo,:;' -s - -h 3
-- . (
\ \'3
X
')
2 '; 2 i
J1' .... \'.'Í25
j \
21 : 'i:' 1
bcreva >0b a rorm.1 de uma 1Xltêncla de base natural. 2.1.
"
\'1
1
..
22
~
2.3.
Sejam a e b dois números reais positivo;. Mo;tre que: ô.1.
2.4.
1
'
a!xrrxa ' :a
c:alculc o valor de cada u1na do• rxpl'cs;ôes. 3.1.
1 16; + (...!...) (.:!...)" 19
25
IGx(~)'
5.ô.
5.5.
3.2.
11
'
1 ' )
.x a vvax a,,j'-,
. r-i-
ô.3.
6~ '1 + 0,0 l 'i- 1 6"·"
J=efa
\i'cr
(
(
1
a' ) • a '
.."r
: - - = v t1
0 1 >< 11"º 1 X /f
=(a X /1)'
ô.2.
li
ô.4.
'1\liix \)f,í i} X "'~ V t1° 1 = 2"r.:-2 V 1 ,,
h f/IJ
UI
Considere 3 ' = 2 . Determine o valor numérico de cada u111.1 da' C>lll'C>'<"lc,, 3.3.
243"' + IG'
3.4.
' 1' '21x3 (2) 3 'x(- 2) 3 1
7.1.
3""'+ 31
7.2.
3x9
7.3.
(_!_)"'
\~
4.7.
26
~ \\3
J\a figura está represemado um quadrado (,IBCO) e um triângulo /)/ /. . Sabe seque:
4.4.
4 .3.
4.5.
4.2.
\ \'.•êi 1
~
4.ô.
4 .8.
+ \'. •:r;
\ 27
bcreva na ronna de pot~ncla de ba..e 3 cada uma das expressões. 4 .1.
•
:
• os JlOntos E e F penencem a [,w) e (BC), re>1x.'li•amcnw;
\ 108 -2-
•
t
1 •
i
-
-
13
Ali~
• -A/J=3x2t .
Mostre que a área do triângulo [/JBF) é igual a 4 \ quadmdas.
'2 unidJdc' 27
tia Potências de expoente racional
li
Na figura está represemado um cubo [AIJC.D/iF(;//] e nele está inscrito o tetraedro [ii/JG/1 .
F.iclia P-ara praticar 10
4.1.
Justifique que o tetraedro [ é/JC;fj não é regular.
4.2.
Admit indo que a diagonal facial do cubo mede unidades, determine o valor exalo da razão emre o volume do cubo e o do LelJ'aedro.
e;
Simplifique cada uma das expressões.
1.1.
o,5 '-(0.2 '- 0,1 'x(o.25
"'-(~)'))
\Y4
1.2. Na figura está represemado um cilindro de raio da base igual a (3 x igual ao quádruplo do raio da base.
2~} cm e altura
Sabe-se que: • os pomos A e /J são os cemros das bases do cilindro;
1.3.
1
5
• um ponto P desloca-se ao longo do segrnemo [AIJ). nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto /J.
x(:!.);
" 5 x o, 1 · ~75 x 10 · : (.~)2 • x (- O,I)"
Cada 1>osição do pomo P determina dois cones cujos vértices coincidem com o ponto P e as bases com as bases do cilindro.
Escreva na rorma de potência de base 2 cada urna das expressões.
2.1.
3.2.
3.3.
28
5.2.
Admita que o pomo P dista
\132 cm do ponto A.
Determine o volume de cada um dos cones de vén ice P e bases de centms A e IJ,
respelivarnenle.
5.3.
w
Mostre que a soma dos volumes dos dois cones é constante, isto é, não depende do pomo P.
1
lJma íábrica de produtos alimentares criou uma nova embal agem para empacotar bolachas. Essa caixa tem a forma de um paralelepípedo em que: , cada caixa transporta nove pacotes de bolachas devidamente acondicionados con10 n1ostra a figura;
Considere 4' = 5 . Determine o valor numérico de cada urna das expressões.
3.1.
Determine o valor exal o do volume e da área l otai do cilindro.
\IV2
2.2.
2.3.
5.1 .
4
16 '
'V'4' 8'
(r·
• os pacotes de bolachas têm a forma de um cilindro cujo raio da base é igual a r e a sua altura é quádrupla do diâmetro da base.
"x ~
Caixa vi~la de frente
6.1.
Mostre que o volume da caixa que transporta as bolachas é, em runção de
r,
igual a 80
(2+ \/3) r'.
1 1
. •~ ;;
J
C:aixa \'ista de cima
l
6.2.
Determine o valor exal o do volume da caixa que transporta as bolachas quando
r = \Y9.
29
W
Álgebra
Ficha de teste 4
li
O inverso do número
a= x ' - y '
i'I
()
Y
j'+i'
(o)
e i'I
n A expressão ..
.. (A) 5 T
a
10
i' 1 () B T""7
(A) - - , (y - x)
Ficha de teste 4
-
é:
Potências de expoente racional
() número de ouro {ou número áureo) é um número irracional que designamos pela
1elra grega fl1, .1slo é,
+x
6.1.
~,
1+·\15
. va1or é - -- . e CUJO 2
PrO\'e que o número de ouro é solução da equação
i' = x+ 1 •
i' I
(y - x)(y+x)
\,
6.2.
@ vw-
MosLre que:
a) ~·=~+2
5 : - -- escriLa na rorma de uma 1>0Lência de base 5 é igual a:
o,t
li Na figura está represenLado um sólido que pode ser decomposlo no cubo
(o) s
(e) 5
[STllVOPQR] e na 1>irâmide quadrangular regular [AIJC:Dli]. Sabe-se que:
EJ Considere a igualdade (\/8+ v'2+ 1)' =a+úv'i, com a e /J n(unerosnaLurais. (B) a= 17 e IJ=3 (o) a=3 e IJ= 17
(e) a= 19 e ú=6
11'.11
• os vértices da base da pirâmide são os pon tos médios dos lados do quadrado [ OPQR];
a e /J são:
Os val ores de
(A) a=6eú=19
.,. A expressão
10
a
• o cubo tem volume igual a duas unidades cúbicas; e
• a pirâmide Lem vol ume igual a ~ unidades cúbicas.
'
Moslre que a altura da pirâmide é igual a 5 x 2 ' unidades.
~ X(\'.ia) ' : (- ãI)' , com a ;t O, é equival ente a: -~
(A) ~
(B) 'o/ã"
(e) ~
(o) ·'\l'ij'
r
"
B Na figura está represemado o retângulo [A JJC :o] .
v
r.
r.'11 . . . • . .. a7 X~ lliJll Se1am a e /J dois numeros reais posmvos. Mostre qu e , :
(vi.i) j
10
.---------~
Sabe-se que:
(/
a'x(-a')Í -
a' /J.
Y/i}
• M=6x41 e ÃÕ=3x"{fa; • [AC:] é uma diagonal do reLângulo. A
IJI Na figura está representado um Lrapézio isóscel es [ABC.D].
H
Qual das seguintes afirmações é ' 'erdadeira'I
(A)
a\/2.
A área do retângulo é igual a 1
(B) O perímetro do retângulo é igual a
IBVz .
(e) A diagonal do retângulo mede ·efiõ. (o) O comprimenlo do retângulo é igual ao triplo da largura.
30
Sabe-se que
j
.•
l
A/J=4'\f72,
/)-------.:r.
OC:=2; x3; e AO= 2 x 5; x·ef:i.
a\Y!i.
Moslre que a área do trapélio é igual a 1
A
L \
lG
H
,...
ZUl""I•
31
~-Ã-~-·-~--------------~----------------~----------w~~-~~~~ llllli,rnnclo a regra ele Ruífini determine o quociente e o rc>to ela eli'l'3tl de:
ara praticar 11 Con;,idereo;,polmómio' Jl(x)" A + 2.\
1.1.
1.2.
1.3.
3 , /J(.tl "2.'
·' e C(x)=4:( - x' + 1.
Ol'ICrmlnc, na forma redu1lcla, o polinómio A(xl .. B(xJ + C:(xl, indique o respeti\O grau e 'crifiquc ;,e"' traia ele um polinómio completo.
J\ (x)"x' - .i+ 2x+ 6 por B(xl " 2.\ + 4;
5.3.
,\ (x)" - x'+ B:r'- ICU por B(x' =3x + 9 ;
.r~ f
Ociernunc, na fonna redu1lcla, o polinómio , \(x ) x c:(x) e indique o respetil o grau.
5,,,
Qual é ograudopolinómio R(x)x.\ C..). se R(x)" x"+ 2.t '- 3 e S (x) =
5.1.
5.5.
mE N e 11 > 2 e 111 > 2?
Qual é a rclaçilo emrc o grau de R(.,). o de S (x) e o ele R(x) x S(x)? 5.6. C:on;,ide..c o;, polinómio' A(.•)" •
+ r,, +R e
/l(x) ~ U
A(A)"x' + x' - 2Vu - 2\/Í.\ + 2x + 2 1JOr lJ(A)" A- v2.
- 7x + 3.
Determine o 1>olinómlo C(.•) mi que: 2.1.
A (x) X /J(x) " C(.\)
2.2.
A(x)+ C(x)= 2.1 - I
2.3.
IJ(x)" C:(x) x (.• - 3)
Considere /'(x + l)=x' - 7x + 6. l'roveque / 1(x)"x'-!lx + 11.
1Jm 1JOlinómio l'(x) foi dividido porum binómio (J(x). i.cndo CJ(x)" x Huffinl, obtendo o seguinte esquema. lJLilitando o algmiuno da dlvl,.10 Inteira de polinómios, deLermine o quocieme e o reMo ela clivi>ão de: 3.1.
At\)" x '+ 3.1 ' 2.\ + l 11or 11(,1)" ·'
2;
3.2.
A (x)=x'- U + & por H(x),. x + 1;
3.3.
A (x) "x' + :i.,•- 2.\ + 1 11or /l(x)"
.t ' + 3 ;
3,,,
A (x)= - x' - 4x'+ 1 e B(x)= .l' - 6 ;
3 a
b
-4
"
ab
- IOt1
'"
2-lll
- 10
e
2~
40
fl.
lhlli1.ou se a regra de
Determine /'tx). 3.5.
Atr),. 2.t°+ A' - x ilOr
llt' l" -"+-' ;
3.6.
1\ ~r) =:r' - x -> l
3.7.
11i 11,. 2.t'+.l'- 2 por H(x)" 3x + 2 ;
3.8.
1\ (x '=- -x'+ - por B(x\=x'+ x -3. 3 2
x'
e B(xl =:U - 1; 1
Para cada wn do, casos, determine os número;, reai;, k e p de modo queº' 1l01inómio~ , \(x) e H(x)
sejam iguais. 8.1.
Afa) "!i•' - U + & - 4
e
Hú)" 5x' - 2 (2x - il' -(L+ 2)A' -11 - J
1Jtili1.anclo a n.'gm de Ruffini detennine o quociente e o resto da dhisão de A(x)= 2x' -3.t' + 1 jlOr lJ(.•) definido 1JOr:
,,1.
lJ(x); A
4.2.
B(A) = H 3
,,3.
lJ(x) = x
4.4.
B(x)"4x - 8
4.5.
32
/J(A) = 2.1 + i
4.6.
B(x)=x - I
t
1 •
C:onsidereospolinómios A(A)= - x' + v2ax' - 2\'Í1ó
i
lJtil ILando a regra de Ruffini, mostre que o r~to da dh i\jo de A (x) por ll(x)
Mt\IAIU( 1 -0J
3v211'. 11E IR \lOf e /l(x)"> + a .
é Igual a n' .
33
W Oporaçoes com polinómios
1Je1ermineos \alores reais de a e de ú e o maior n(uncro n•llural /1 de modo que o 1mllnómio i'(x) = x ax' + úx' - ú.i' + 2x - 1 seja di\ bfvel 1>0r (x - 1Í .
Ficha para praticar 12
.r~
Determine, ulili1.ando o teorema do fl'\10. o re<;to da di\ isão de:
1.1.
il ~t)"' .t'
2x +x1
x +3 por /J(.\
=A
2;
C:on~ldere o 1mlinómio P \.t) = x1"
f
1.3.
1.5.
1
, \ (x )=- 2.t' + x - x •
( 71?º) .
selem f'\fll+ l'(- al=- 2 1-
l'm1equepara1odo
9.2.
1 Considere 11=3. Determine o \alOr exato de - --
.!.1 por /J(x )=2.> + I;
.
1'(\ 2) Apreseme o valor pedido com denominador racional.
.!.
Determine o polinómio 11(.1) do quui-10 grau que admi1e os zeros simples - 3, - 2, e 1 4 da d ivi>iio 1>or 1 ê Jgunl o 10. Apre,en1e o na forma reduzida e ordenada.
x'
Determineª' rnf,c;, de
onde 11 > 2 e /1 E N •
9.1.
A(x)=- 2.>"+ 1.\' ' ·u " ' +2 (11E N e11>l) por H(A) =x - 1;
Sabe;,cque / 1(.\)"' Gx'
a>O
' - :?" ' - x + 1,
C:onsldel'e um ;>olinómio l'(x) tal que o reMo da divl;..io de 11(x) por .1 + 1 igualo 3.
e cujo rc.10
6 Jgunl n 7
e ;>or x
2é
Delel'mine o l'esto da divisão de l'(x) por (x + l){x - 2).
7i R.1 + 5 êdivisfvel por 3A ri.
/l(x) e c'creva o na forma l'(x)=a(x - b)(x - c)(x - d). <:on~Jdere o ;mlinómio l'(x) = :t + x'.,. A' + a.1 .,. ú .
O resm da divisão de />(x) por Determine o valor real de
l 1).1m o qual o poli nó mio l'{x) = x' - k? - 2.> + 4 é di\ isfvel por x +
C:On,idereo1>0ilnómio / 1(A)=
\ 13.l
Sabendo que o 1>0linómio / 1(.\)
é di\i,l\el por H(x )"'x - \
~.
~+1
é igual a 3 .
Calcule o valor de a + ú.
2\i. • (J - l:x', onde k e f' sãonúmerosreai!>.
3, mosire que k= -
+e.. 3
1
Considere o polinómio />(x) = x" ... x .,. 1 , onde 11 E N e 11 > 2 .
12.1.
l'm\equepara1odo o
lJelermine 1>ara que' alore' de 11 e li o 1>0linómlo i'(x) = re;,10 dJ dh 1>ào 1>0r x • 2 é igual a G.
3x' + ax" - úx + 1 é dh isí•el 1>0r x -
1 eo
a>O
selem:
/'(a)+ f'(- a) =2a" + 2, 'lf 11E N A11 é1>ar;
• />(a)+ f'(- a) =2, 'lf11E N A11 éím11ar.
t
C:on;,iderc o 1>olinómlo / 1(.1)= / ' Admitindo que "
34
(n
+ l )x" +32, onde a é um número real.
é rnlalc /1(.,), dete1m ine o resto da divisão de P(x) 1>or x- 1 .
1 •
i
12.2. Considel'e 11 = 6 . 1Je1ermine o quociente e o resto da divil>ão de / 1(x) por .1 '
1.
35
t!.I Operaçoes com polinómios
Álgebra
Ficha de teste 5
li Orestodadivisãodopolinómio P(x)=&t"-2x'+2x'-x+ 1 por LJ(x)=x-2 éum (B) par; (o) múltiplo de 6.
(A) primo;
(e)
(D 10
11l1111ero:
múlti1>lo de 3;
Ficha de teste 5
li u tilizando o algori tmo da divisão inteira de polinómios, determine o quociente e o resto da divisão de l '(x) = - 2x' + x' -
a paraoqualopolinómio l '{x) édivisívelpor x+2 é:
(A) - 2
(B) - ~
(e) - 5
(o) o
EI c;onsidere o polinómio l'(x)=.\" + ax' + úx' + Bx+ 4, onde a e /J são números reais.
2
Prove que se o polinómio l'(x) é um quadrado perfeito, emão a= /J - 4 . 10
Qual das aílr mações seguintes é verdadeira'!
II!J C;onsidere o polinómio l'(x) = x' + ax' + /Jx +e, onde a, /J e e são números reais.
(A) O polinómio P(x) tem grau 3, qualquer que seja o valor de a.
(B) O polinómio
(o) o polinómio
10.1.
Determineosvaloresreais
a, /J e e.
P{x) tem grau 2, para a= - 1 .
Considere os polinómios P(x) = x'
, Q(x) = .\" + :(' e ll(x) = 5X' + 3.1" .
10
10.2. Determine o valor exato de rncional.
Quais são os valores reais de a e de /J tais que ll(x) = al'(x) + /JQ(x) ·1
1
P(\Y2J- 2
. Apresente o valor pedido com denominador
(B) a= - 2 e IJ= - 5 (o) a= - 2 e IJ=5
(A) a=2 e IJ=5
(e) a=2 e IJ= - 5
D Considere um polinómio I' tal que:
m
Considere o polinómio />(x)=(2a + l )x'
P(x)+xP(2-x)=x'+3, V'xEIR
(A) 4
(e) 3 Considere o polinómio P(x)=(Cil"-4x+ t)'. Determine a soma dos coeílcienles do polinómio.
+(~- a).t"- 1, onde a E IR.
Sabe-se que o polinómio l '{x) é divisível por
Ovalorde l'{I) é iguala:
36
.,
(2 li)
Sabe-seque P(l )=O e P(-x)+ P(x)= O, V'xEIR.
P(x) tem grau 2, qualquer que seja o valor de a.
(e) o polinómio P(x) tem grau 3, para a* 1 .
a
111
A(x)=X'+Gx'+ 13.1"+24x+36 por Q(x)=(x+3)'
EJ Considere o polinómio P(x)=(a- l)x' +(a+ l)i'-a.~+a.
a
-
IJ lltili1.ando a regra de Rufílni, determine o quociente e o resto da divisão de:
EJ Considere o polinómio P(x)=ax' - 2x+ 36. Ovalorde
i' + x por JJ(x) = 4.t' - 2x.
(B) 2 (o) 1
11
"'
(l~ t lll)
x + 1.
a.
11.1.
Determineovalorde
11.2.
Considere o polinómio T(x)=2(x+
•t(x-~).
Mostre que o polinómio '/'(x) é igual ao polinómio P(x).
37
-~-·-~---------------~------------------~----------w ~~~~~~~~~·~nei~~-'_______________FD Sabe seque l'(x}"2x' - x' - 2ãx - l2 édivishel por 2.\ + 1.
Ficha para praticar 13
Determine as ra!Les de J>(x) e escreva-o na forma J>(xl" 11(.1 - b)(.. - r}(.. - ti}, onde a, /J, e e d são
.!' r
fatoriLe cad.i um dO'> 1JOlinómio' 1.1.
4x' 25
1.3.
X"
1.5.
1.7. 1.9.
1.2.
18 - 2x'
1.4.
i'-x'
2 - ii
u.
2x' + x - I
- 3i'+ 5.t + 2
1.8.
10.. + 25
i' ..
- 2x'
-a..-.. 10.1
nlunems reais.
f
Considere o polinómio l'(x}" x' - 2\ 6.1.
\"erifique que - \'Í é Uma das rafLes de i'\.t) .
6.2.
Detennine as outras rafJ.es de J>(x) e fatori/,e este polinómio.
lfu + 6 - 6x' 6.3.
1.10.
Z..... - 2A + ~\ 'Í.
2x' + 5x' + 4x'
Determine o 1>olln6111lo l'(x} do 1.cgundo grau q ue admite os ·1.eros simples -
~e
"'° ª' raí1e<, do flOlinómlo /'(x) .
. • a + /J + r l+ 3 . Determine o valor da expressao onde 11, /1 e r 11 + ú +c - 3 Ap1ese111e o valor 1>edido com denominador racional.
Considere o polinómio P(x}:(x - 2}'(- x' +x+ 2).
3 e tal que
/'(~)" 245 . A1ircsc111c /'(x} no íonna 1eduzldo e ordenada.
Uetenninc o 11olinómio l'(x} do quarto grau que admite - 3 e - l como Leros sim1iles e l como tcro de multiplicidade dob. Sabe se ainda que o re"o da divisão de f'(.<} por x+ 2 é igual a - 9.
7.1.
Indique o valodógico da afirmação: Dois é um ;cro de muh iplicldndc trl!Hlo ilolinómlo l'(x),
7.2.
l'morize o polinómio T(x):
l'(x)x ~I" -
7.3.
Determine o valor e>.ato de
1'(v2),
l).
Apreseme o 1JOlinórnlo /1(.1) fatori1ado. Determh1e o 1JOlinómio J>(x) do quarto grau que .idmilc 3 e - 1 corno 1cro' duplo' e cujo resto da divi~o por x - 2 é igual a 18. Apresente f'(xl fotoriLado.
IJ FatoriLe: 4.1.
x'- 2-'1 -
4.2.
- x' + 3x'+ 3x'- lh + G, \.1hendoque 1éunllerodamultiplicidade2;
_.
+ 2, '>.lbcndo que admite a rali 1 ;
Considere o polinómio f'(x): x' + b.1 + e. onde b e e sao núrncro\fcal ... Sabe-se que l'(x) é dhishel por x - 2 e - 3 é um 1.ero sirn1Jll"> de l'h)
4.3. 4.4. 4.5.
38
9.1.
Detem1ineos,aloresreaisde b ede e .
9.2.
l'atorite o JlOlinómio J>(x),
9.3.
llesolva a equação P(x): 6 .
.t '+ 3x'+ li' + tt'+ 3x + 1, "l>endoque - 1 éum.rerodemulliplicidade 3; - 2.1'+ z...- .. 20.1 + Ui, ,abcndoqueédlvlsf,el JlOr x - 4; - x' + i ' • 5.1 + 3, 'ohcndo que é dlvl~hel llor.1 3 .
t
1 •
i 39
-~-·-~--------------~----------------------------w ~~~~~~~~~·~nei~~-'______________FD Considere o polinómio P(x)=x'- 17x' + 16.
.r~
C:on;idereospolinómio-. 11(,)= x'-2.t'-., e IJ(x)=x'-.t'- 4.\ +4. 1.1.
\'crifiqucquc
1.2.
Dctcrminc ai. outra' raf'c' de /l(xl e íatorlJ.e este polinómio.
1.3.
Hesohaainequaçjo /ll.t)
2 éumaral,de IJ(x).
f
u.
Determine as rafM!S de l'(x) e fatoriJ.e este polinómio.
6.2.
Hesol\a a inequação P(xl<;O .
Dc1ermlne o' alor real de ti' sabendo que a, b (a< b) e l'ttl=2.t
3.r-3.\-2.
H~h a, em
ratori1.e o 1><>lin6mio A(>) e r~h a a inequação A(x)) O.
C:on;idereal>quaçilo "'
6.1.
-4
!>ào raf'e' do polinómio
FI, cada uma das inequaçõe!.. 1
-7x<6
8.1.
-'').\
8.2.
.\
8.3.
x'-2"'-5.\+6)0
8,,,
.\'+3.•'( h '
8.5.
(H l )(x'-2.X'-9)( 0
8.6.
8.7.
X~)
8.8.
.\
I0.1 +9=0.
G.1. 9.1)0
(x-4) (2.• +.1r
2.1.
lendo cm coma que "• =(; ')'. suhsli1ua na equação x' por y e resolva a equação de ;egu ndo grau obtida.
2.2.
Dcierminc o; v.1lorc>1le
15+2.t
Considere os polinómios: .1
que smlsfn1,em o equação dada.
He;olva, e m FI, cuda uma dn' equoçi\es. 3.1.
.1'-x
3.3.
:U' =7x' - 2
A{x) - {2.l- l){x'- 1)
IJ(x)=x' -:...-' + 3.u 9
c:(x)=4x'- t2i'-x+ 3
JJ(x) = (x' - 1O.>" + 9)(4.>"
9.1.
6=0
3.2.
-2.1''+6x'+ 8= 0
3,,,
2x'+(2x- lf=xt<-4)
Hesolvo, em IR, cada uma das condições.
a) A(x)x C:(x)= O 9.2.
1)
\/2 /J(x)) O
e)
b) Ut\)XCt,)
Considere as proposições: 11: Se 1 é raiLdo polinómio A(x) emâo 1 é rai1.do 1>olín6mlo /J(x).
3.5.
3x'-G.t'+G.\ 12 =0
3.6.
q:
(.\ -2x)(x -x'-4.+ 4)=0
-4
é ra;, do 1>olinómio A(xl ;e e wmeme M?
~ é rul1do1>ollnómlo
/J(x).
r: 3 é raiL do polinómio ll{x) e 3 é rai1. do polinómio C.'(x).
1: - 1 é rai.t do polinómio O(x) ou - 1 é rai1. do 1><>linómio
C:on;idcreo1>olinómlo 1(.\ = 2x
2.l'+ t b'+h-12.
Sabe·>equco1>0linórnio l(t) édl\;,r,el por
.1+
tn•l.
a) Indique, justificando, o' alor lógico de cada uma da> pmpo,içól•,,
t. b) Indique, justificando, o valorlógico da pm1><>>iç.:.o -(p /\ r)
, ,1.
Dt>ternunco,alorrealde 1..
, ,2.
i'a10ri1.e o 1><>hn6mio H.t) e re<;0l\a a inequação ,I(.>)> O.
9.3.
Seja,\ oconjumodefinidopor
=
(1 V -q\.
A={-3. - 1, ~· ~· I, 3}.
ldemifique o' alor lógico de cada wna da> pmpo'>içõc>. Sabe·>e que /J(.1) ê um 1iolinómlo do 1erceiro grau com um único .tero tal que 'lfxE fl, /J(.>)>O
.1 E )5, ... oo[.
40
(4.1 21) /J(x)( O
5.2.
( .1'
3) /l{x)> O
5.3.
(i'-6.• + 5) /1(.1') <;o
b: 'li x E A, • é rait. do polinómio
C:t
t
e : 'li x E A, .\ é ra.il do 1>0linómio D (x).
i
e: \f.tEJ\, ..t ésolução daequação A(x)x /J(x) xC(x);O.
1 •
He;ol\ a cada umJ da' condlçé>e•. 5.1.
=
a : 3x E A : • é rait. do polinómio H(x).
ti: 3.1EA:
.1
ésoluçãodaequação - /1(.1)= 0.
41
tz1 Fatorizaçao de polinómios. Resoluçao de equaçoes e inequaçoes
Álgebra
Ficha de teste 6
e
li O conjunto-solução da inequação x' > 9 é: (A) )- 3, 3(
(B) )3, +oo(
(e) J- oo, - 3(U]3, +oo[
(o) ]o, +oo[
10
EJ Considere os quadros de sinais dos polinómios P(x) e T(x). -oo
-oo
+
+
- 1
o
+
IJ C;onsidere o polinómio l'(x) = .i' + x' - 5x' - i' + Bx - 4 .
~
õ 1
t
o 2
4
6.2.
l'atorize o polinómio P(x) e resolva a inequação P(x);;. O.
o
o
4
j
+
IJ Considere o polinómio T(x)=3x'- 13.i' +7x- I. As dimensões de um paralele1>fpedo retângulo são as raf1,es do polinómio T(x).
(B) )- oo, - 3)U{- qu[2, 4)
(e) (- 3, 2)U{4}
(o) ]- oo, - 3)U(2, 4)
T(~)= O.
8.1.
Veriílqueque
8.2.
Determine as dimensões do paralelepípedo.
8.3.
Admita que
10
(B) (x+3)(x-~)(x+ 1)
(o) 2(x-3)(x- ~)
a, /J e e sãoasdimensõesdoparalelepfpedoe a
Determineovalorexatodaexpressão IJ+a.
e
Apresente o valor pedido com denominador racional.
1)
IJI Considere o polinómio A(x)=4x' - 19i'+ 28x+ k. Considere a equação 72= - 2x'+ IOX1 •
Sabe-se que 2 é uma raildupla do polinómio A(x).
10
Qual dos seguintes conjuntos corresponde ao conjunto-solução da equação'!
(A) {-2 , 2}
(B) {- 3, 3}
(e) l }
(o) {- 3, - 2, 2, 3)
9
1. 9
(e) 26 9
Determineovalorrealde k.
9.2.
l'atorize o polinómio A(x) e resolva a inequação A(x)~O.
quadradas. Sabe-se que a largura do retângulo é quádrupla do seu comprimento.
O valor de ti + q' é:
(B) ~
9.1.
"'
(11 • 20
IIiJ Considere a equação .t - 34.i' + 64 = O e um retângulo cuja área é igual a 8 unidades
EI As trêsraflesdo polinómio P(x)=9X'-3 1x - IO=O são 2, fJ e q.
(A) .:!_
11
Apresente o polinómio P(x) fatorilado.
O polinómio P(x) fatori1.ado pode ser igual a:
42
Determine o grau de multiplicidade da raiz 1 .
que admite - 1 como 1,ero tri1>lo, 2 como 1,ero duplo e O como 7,ero simples.
EI Considere o polinómio P(x)=ZX' - 5i' - 4., + 3.
a
6.1.
li Determineopolinómio P(x) dosextograu ecujo restodadivisãopor x - 1 é iguala - 12
+
(A) (- 3, 2)U(4, +oo(
(e) (x-3)(2x- l)(x+ 1)
(11 +20
10
O conjunto-solução da condição l'(x) x T(x) ~ O é:
(A) (x-3)(x-~)(x+ 1)
"'
Sabe-se que 1 é rail do polinómio l'(x) .
7
+oo
2
o
P(.<)
T(.,)
-3
Ficha de teste 6
(o) 31 9
.
J •
Prove que as dimensões do retângulo são as soluções positivas de x'-34i' + 64 =O.
..,""'..... 43
•
UI Referencial ortonormado. Distâncias no plano
Geometria analitica no plano
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a elipse de rocos F, e F, tais que F, (- 8, O) e F, (8, O) e o eixo menor tem de comprimento igual a 12. 4.1.
Justifique que Y(x+ 8)' + y' + V(x-Bf + y' = 20 é uma equação desta elipse.
4.2.
Mostre que a equação referida em 4.1. é equivalente a
4.3.
Considere a equação reíerida em 4.2. e calcule as coordenadas dos pomos A, e A, em que a elipse interseta o eixo das abcissas, e as dos pomos IJ, e IJ,, nos quais a elipse interseta o eixo das ordenadas.
Considere, num referencial ortonormado do plano, os pontos A(2, - 3) e IJ(- 1, 1). He1>reseme os pontos A e IJ e IJ'ace as retas paralelas aos eixos coordenados que contêm A ou lJ, por forma a construir um retângulo do qual [AJJ) é uma diagonal. Determine a distância entre os pontos A e JJ utililando o Teorema de Pitágoras.
1~0 + ~ = 1 .
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas:
2.1.
Determine:
a) d(A, IJ)
b) d(C:, O)
e) d(li, 1-)
d) d(D, 1-) [C:O).
2.2.
Determine as coordenadas do pomo médio, M, do segmento de reta
2.3.
Escreva a equação reduzida da mediatriz do segmento de rela:
Considere, um plano munido de um referencial ortonormado e os pontos A(- 2, 4), IJ(4, - 3) e l'(x, 3), onde x é um número real.
a) (A/J)
Determine o val or de
b) [01']
2.4.
Escreva a equação reduzida da circunrerência de centro A e raio igual a d(c:, F).
2.5.
Escreva a equação reduzida da circuníerência de diâmetro [CD) .
x sabendo que o ponto
I' é equidistante dos pontos A e lJ .
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, as circunferências e, cujas equações são:
G,: .?+ / - 4x - 6y+9=0 Considere um plano munido de um reíerencial ortonormado e a circunferência de equação:
G,: .?+/+2x+4y- 5=0
6.1.
Determine o centro e o raio de cada uma das circunferências.
6.2.
C:lassiílque quanto à medida do comprimento dos lados o triângulo
e,
e
e:, e a elipse
•
E,: :§-+/=1
(x+ 1)' +(y- 1)'=4 3.1.
3.2.
3.3.
Verifique qual a posição do pomo 1V de coordenadas (- 2,
Mostre que a circunferência pode ser deílnida por
:oJ.
, A é o centro da circunferência
X'+ 2x+ y'-2y-2 =O.
Considere A, IJ, C: e O como sendo os pomos em que a circunferência interseta os eixos coordenados. Determine a área do quadrilátero [AIJC
44
~) relativamente à circunferência. e,
[AIJC:), tal que:
e lJ é o centro da circunferência e;, ;
• C: é o vértice da elipse de menor abcissa que pertence ao eixo Ox.
' ~
.
l
•~ ;;
6.3.
Veriílque se o ponto médio do segmento de rela que tem por extremos os centros das circunferências e, e e:, é interior ou exterior à elipse e, .
45
•
US Referencial ortonormado. Oistáncias no plano
Geometria analítica no plano
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o ponto P de coordenadas (O, 1) e um ponto Q, tal que o quadrado da sua abcissa é igual ao quádruplo da sua ordenada. 4.1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas A (2, 2), IJ(5, 7) e C:(5, 2). 1.1.
Determine as coordenadas do polllo médio, D , do segmento de rela [AC:].
1.2.
Escreva uma equação da mediatrit do segmelllo de reta [AC:].
1.3.
Escreva a equação reduzida da circunferência de diâmetro [A/J].
4.2.
Admita que v'2 é a ordenada do polllo Q. Mostre que a distância do ponto Q ao ponto P é
v'2 + 1 .
Admita que y é a ordenada do ponto Q. Mostre que a distância do ponto Q ao ponto P é y + 1 .
Na figura está represelllada, num referencial ortonormado, a circunferência de centro em A (-4, 6) e raio 5.
y
Sabe-se que:
• (cc;] é a corda que está colllida no eixo Oy; Escreva a equação redulida da elipse em que: 2.1.
• [ C:D] é uma corda pa ralela ao eixo Ox ;
os focos são os polllos de coordenadas 1:, (- 2, O) e rA2, O) e o eixo maiortem comprimento igual a 6;
• [AF] é um raio da circunferência, paralelo ao eixo Oy; • [ABC:D] é um trapézio retângulo; • [ADlilt) é um losango.
2.2.
os focos são os polllos de coordenadas F, (O, - 3) e F,(O, 3) e o e ixo menortem comprimento igual a 8.
5.1 .
Mostre que uma equação da circunferência é x'+ auy' - 12y+27= 0.
5.2.
Mostre que o ponto C: tem coordenadas (O, 9) e que o ponto D tem coordenadas (- 8, 9).
5.3.
Determine o comprimento da corda (cc;J.
5.4.
Determine uma equação da mediatrit do segmelllo de reta [AO]. Apresente a equação pedida na forma y = ax + /J, onde a e /J são números reais.
5.5.
Determine a ratão entre a á rea do trapézio [A/JC.'D] e a área do losango [ADliF].
X
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de cenlrn na origem do referencial e raio igual a \/iõ. Sabe-se que: • A e /J são os polllos da circunferência com abcissa igual a 2\12 e, destes dois pontos, A é o que
pertence ao primeiro quadrante; • C: é o ponto da circunferência que pertence ao semieixo negali\'O Ox.
3.1.
Determine as coordenadas dos pontos A e IJ.
3.2.
Mostre que a área do triângulo [AJJC:] é igual a
3.3.
46
Verifique que o ponto R de coordenadas (\/5, de rela [AC] .
2\/5 + 4.
- 2\/5- 5) pertence à mediatrit do segmento
Num referencial ortonormado do plano, os pontos IJ e C: pertencem a uma circunferência de cenlm A. Sabendo que 11(5, 2) e JJ(3, 2 +2v3), determine a ordenada do ponto e; sabendo que a sua abcissa é 2.
47
•
UI Referencial ortonormado. Distâncias no plano
Geometria analítica no plano
Ficha de teste 7
li Considere, num reíerencial ortonormado do plano, os pontos 1' (2 , a) e Q(- a - 2,
1) ,
onde a <- 1 /\a E IR.
10
Em que quadrante se situa o ponto médio do segmento de rel a [PQ) ·1
(A) 1.
quadrante
(B) 2. • quadrante
(e) 3.º quadrante
(o) 4.º quadrante
0
e
Ficha de teste 7 1
õ
' 1
t
@)
;onsidere, um plano m unido de um referencia] OJ'lo normado, O triângulo equilátero Sabe-se que:
60
(1 lG)
• o ponto CJ é a 01·igem do referencial e o centro do triângulo; • o perímetro do t riângulo é igual a 3a , onde real posi tivo; , o ponto A tem coordenadas
IJI Considere, num plano munido de um reíerencial, o triângulo [ALJC:] .
-
a ([ACIJ].
a é um número
(O,~a) .
X
10
6.1.
Sabe-se que:
Mostre que as coordenadas do 1>onto IJ são
v'3 ) d e· _ ( a v'3 ) a ( 2 . - 6 a eas o pomo • sao - 2 , - 6 a .
, C: pel'lence ao eixo CJx e tem abcissa positiva; • A e IJ têm coordenadas (O, 8) e (O, 18), respetivan1ente;
• d (A, IJ)=d(A, e.).
(A) 54
(B) 50
(e) 30
(o) n
6.2.
A
Qual é a área do triângulo [AIJC:] 'f
X
li C:Onsidere, nurn plano rnunido de uin referencial ortonor1nado, as circunferências e, e c:l , tais que:
E1 Considere, nu1n plano 1nunido de un'I referencial cartesiano, os pontos: 11 (\/2, 1) , JJ(2\/2, - 1) e c :(k, ~).onde kéumn(uneroreal.
• a circunferência e, te1n centro no ponto ;t de coordenadas (2 , 1) e 1>assa pela origem do reíerencial;
Sabe-se que o pomo C: pertence à mediau·iz do segmento de reta [All].
• a circunferência C.~ é definida pela equação x' - 6x + j' + 4y + 3 = 0 etemcenlrono ponl o IJ.
Qual é o val or real de k ·r
7.1.
(A)
a
.
Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AC:) e verifique que o ponto JJ pertence a essa mediatril.
\/2
(B) 2\/2
(e) 3\/2
(o)
e:, .
4Vz 7.2.
Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência e.:, .
7.3.
Escreva a equação redulida da circunferência
Considere, num plano munido de um reíerencial canesiano, a circunferência de equação:
x'+y'- 4x + 8y + 17=0
X
Mostre que o ponto A, centro da circunferência e:,' pertence à circunferência
e;,.
Quais são as coordenadas da imagem do ponto que é o centro da circunferência pela reílexão de eixo CJx '!
(A){2, - 4)
(8)(2' 4)
(e) (- 2, 4)
(D) (- 2, - 4)
E1 Considere, num 1>lano m unido de um referencial ortonormado, a elipse de equação 9x' + 25j' =225.
1E1 Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a elipse de equação
8.1.
, i
~ + - = 1 e o triângulo [PP,rJ , onde P, e f~ sãoos focosdaelipsee Pé o pomo de 25
Mostre que o ponto P de coordenadas ( 3, -
~;) pertence à elipse e, em segu ida,
determine o valor da distância d, sendo d = l'P, + l'P, e P, e P, os focos da elipse.
9
coordenadas (2, - 6) . A área do triângulo (P 1:,fJ é igual a:
(A)
48
(B) 24
(e) 18
(o) 36
8.2.
Determine as coordenadas dos vértices Q e R da elipse que pertencem ao eixo das abcissas e calcule a área do t riângulo [l'QR], tal que P ( 3, -
48
M~ I AIOC:í·OI
~2 ) . 49
•
tu Semiplanos Equaçoes e inequaç:oes cartesianas de subconjuntos do plano
Geometria analitica no plano
Considere, num plano munido de um referencial ortonormJdo, os quadrados [ABC:D] e [Ef"G//].
ara praticar 17
Salle se que: ldenliílque e deílna analllicamcme, u11ll1A111do equações e inequações cartesianas, cada um d0> conjulllO> de po1110> do Ilia no. l'ont0> cuja; abcb-.1' "'º 'uperiote\ a
1.1.
3
. r
• o llOnto B lem coordenadas (O, 2); • o llOnto D tem coordenadas (O, - 8);
f
1.2.
Pont0> cuja' ordenada' \.lo n.io \Ullerion-; a 2
1.3.
1'01110> cuja' ordcnada' ...:10 11;10 lnferlore-. aos simétricos das abcissas
• °' 1énices do quadrado [EFGlI] são 0> ponto> médio' dos lados do quadrado [ABCD] a que JleAencem. 4.1.
lndiqueascoordenadasdospontos A, C:, L, I', (,e//.
Rewe.ente gt'Omclfic:amcme cada um do\ conjuntos de tlOntos do plano definido> pelas M'gllilll1'1> condiçõe;,. 2.1.
.1> 21\.1(3
2.3.
2.5.
A -2y<2
2.7.
y>-xVy
2.9.
,1 -
1
2
y < 1V 1
2.1 )
C:on,idere a condição
ti
O
1 +(y
1f
(
2.2.
y;;. - vi
2.4.
y< l /\y)- 1
Deílna. llOr meio de uma condição, a reglilo sombreada. Incluindo a fron1clra.
2.6.
y( I AA>-2
2.8.
3y-x)3Ax>-3A2-y)O
2.10.
xy>O
2.12.
r-9/>o
4.3.
Mosue que uma equação da medialrit do .egmcmo de reta ( (ili]
4.4.
Defina analilicamenleo círculo inscrilo no quadrado
5.1.
Defina. (lOr meio de uma condição. a regi.io sombreada da figura, incluindo a fronleira.
5.2.
Detem1ine o valor exato da medida de comprimento do segmemo de reta [AB].
Em qual da' otlÇOC' *Kuime-.1l0dc c\lar representado. em referencial onononnado. o conjumo de tl0nt0> deílnido tJ<:la condiç:10 dada"'
(a)
(A) y
(e) .I'
[1:1-c;11].
Considere, num plano munido de um referencial ononorm.ido, uma circunferência de cenlIO C:(3, 2) e raio 2 e a reta que pas\à (leia origem e pelo ponto de coordenadas ( 1, 1). ~la reta Interseta a circunferência nos ponlos ,1 e B.
21\ A;;. O .
13 ~ y- - .!. .1 3 5·
.I'
/
(D) y
X
t
·' 50
1 •
i 51
•
W
Geometria analítica no plano
Semiplanos. Equaçoes e inequaçoes cartesianas de subconjuntos do plano
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de centro no ponto e;, que 1>assa pelo pomo A e pelo ponto IJ e cuja equação é i'+ j' - 4.~ - 4y+ 4 =O. Sabe-se que: Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o polígono deílnido analit icamente pela condição:
• o ponto A pertence ao eixo das abcissas; • o ponto IJ pertence ao eixo das ordenadas; • o segmento de rel a [MA~ é um diâmetro e é paralelo a [AIJ] .
Hep1·esente geomet1·icamenle esse polígono e determine o val or exato da medida da sua área e o valor exalo da medida do seu perímetro.
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o trapézi o [ CJAIJC:] eo 1>onlo li de coordenadas {-6, O).
Determine as coordenadas dos pontos A, IJ e C:.
3.2.
Deílna, por meio de uma condição, a região lJ'acejada, incluindo a fronteira.
3.3.
Mostre que a área da região sombreada é igual a
X
n + 2.
.Y
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, as rel as
Considere, ainda, que:
JJ(O, 3), C:{4 , O) e D(O, 2) .
• o pomo A pertence ao eixo CJx e C: ao eixo CJy;
Sabe-se que:
• o ponto IJ pertence à bisseu·iz dos quadrames ímpares;
• os pomos A e JJ pertencem à rel a r;
• o ponto li pertence à reta IJC:;
• os pomos
• a equação da reta A/J é x= 4 .
• as relas r e t interseta1n-se no ponto I.
2.1.
e: e D
r e 1 e os pontos A{I, O) ,
1>ertencem à rela t;
r e t.
4.1.
Escreva as equações reduzi das das retas
4.2.
Determine as coordenadas do 1>onl o I.
4.3.
Deílna, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.
4.4.
Determine o valor exal o da medida da área da região sombreada.
4.5.
Veriílque que o pomo A não pertence à mediatrit do segmento de reta
4.6.
Considere o círculo de centro no ponto A e raio igual a d(A,
Deílna, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fromeira.
2.2.
Delern1ine o val o1·exato da medida do perímetro do trapézi o [ CJA/JC ;) •
2.3.
Deílna analiticamente o círculo de diâmetro [EJJ].
2.4.
Determine a equação redulida da mediatritdo segmemo de rel a [li/J].
2.5.
A mediatriz do segmento de rel a [EJJ] interseta o eixo CJx num ponto P. Calcul e o valor exal o da distância do ponto I' ao pomo JJ.
[IJ( ;) .
'
~
.
l
•~ ;;
52
3.1 .
e:) .
Veriílque que o pomo I pel'lence a este círculo.
53
•
W
Geometria analítica no plano
Ficha de teste 8
li Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o círculo de cemro na origem e raio igual a lrês unidades e a rela de equação x= - 1 .
A V
A interseção do círculo com a rela é.
(A) um segmento de reta vertical cuja medida de comprimento é igual a
z\12 unidades;
(B) um segmento de reta hori1,ontal cuja medida de comprimenlo é igual a 2\/2 unidades; (e) um segmento de reta vertical cuja medida de comprimento igual a 4\12 unidades; (o) um segmento de reta hori1,ontal cuja medida de comprimenlo é igual a 4\/2 unidades.
'º
Semiplanos. Equaçoes e inequaçoes cartesianas de subconjuntos do plano
Ficha de teste 8
-
11 C~onsidere, nu1n plano rnunido de uin referencial ortonol'lnado, a rela AH e a circunferência de cenlro na origem e raio igual a 5 unidades.
61
{zt+) 1~
y
Sabe-se que: • o ponlo A pertence à circu nferência e ao eixo das
abcissas; • o ponlo IJ pertence à circunferência e lem abcissa igual a 3 e ordenada posiliva. 5.1 .
Determine a ordenada do ponlo IJ.
5.2.
Mostrequeaequaçãoredulidada reta AIJ é y= .!.x+~.
5.3.
Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronleira.
5.4.
Determine a á rea da região LJ'acejada.
EJ Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de centro na origem e raio igual a lrês unidades e a elipse de centro também na origem e cujos vértices são os pontos de coordenadas (- 6, O), {6 , o), (O, - 3) e {O, 3).
2
2
y 3
IJ Num referencial ortonormado do plano, os pontos IJ e C: pel'lencem a uma circunferência de centro A. Sabendo que A{ l , 2) e IJ(-3, 5), delermineaabcissado 1>onlo Qual das seguintes condições define a região sombreada, incluindo as fronle iras'I
(A)
~+~( t l\i'+/;;.91\y;;.ol\x(O
(e) ~+~ (
11\ i'+ /;;.91\xy;;. o
(e)
~+~( t l\J'+/;;.91\y(Ol\x;;.o
(o) ~+~ (
11\i'+ /;;.91\xy(O
EJ O conjunto de 1>onlos que não distam do ponlo 1'{3, - 4) mais de cinco unidades pode ser definido pela condição:
a
sabendo que a sua ordenada é
e;
~. 5
li Considere, num 1>lano m unido de um referencial ortonormado, os pontos A (2, - 3) ,
JO (<1 +21)
IJ(- 4 , 2) e C:(5, - 2). 7.1.
Escreva uma condição ca1·tesiana que defina:
(A) (x + 3)' + (y - 4)';;. 25
(e) (x- 3)' + (y + 4)' > 25
a) reta perpendicular ao eixo Oy que passa pelo ponlo e:;
(e) (x-3)' +(y+ 4f ( 25
(o) (x+ 3)' +(y- 4)' ( 25
b) o conjwllo de pontos do plano que estão à mesma distância de e) o conjunlo de pontos do plano que distam do ponlo
Considere o conjunlo de pontos do plano definido 1>or:
IJ e de C:;
A lrês ou menos unidades.
.t'1 +(y+ ·v3)' (271\xy( O 7.2.
Qual dos ponlos seguinles pertence a esle conjumo de pontos'!
(A) A(\/3, v'3) (e) c:(2\/3,
54
-v'3l
(B) B(- 2\/3,
-v3}
(o) o(- 2\/3, 2v3)
Considere as proposições: ": O pomo A pertence ao terceiro quadranle.
/; : d(A , /J) < d(IJ, e.)
Idemifique o valor lógico da proposição: -a 1\ /J ~ -(a V b)
55
•
W Vetores no plano
Geometrie enelitlce no pleno
-
A figura aprL.,,cllla dol' \l.'j\mento-. orientado' que representam \etores Reprodu~ d~~ ~l'WllClllO' orientados com a mesma origem f' \etore~
11
e
li
Na figura está represemado o retângulo [AC:C;/) , o qu.11 íoi dividido em quatro retângulos iguais entre si.
ara praticar 19 ti e
t•.
que representem, res1>eti\ amente, °"
11 .
Sal>e se que:
.r~
• IJ
é o pomo médio de [AC);
• li
• J\ é o ponto médio de [ D.\f) ;
f
3.1.
lltili1..ando a rc11ra do par.1lclogramo ou a regra do triângulo, construa o \etor ti• tal que t; + ti·= ti .
3.2.
é o pomo médio de [1c;);
• CJ é o ponto médio dc [/I J .
Complete de modo a obter propo>i~ \l'rdadeira>.
o)
J\ + /11 ; ...
o)
. -· ,\L+ .. , ; ,\fG
b)
+ 111-= IJ
Admila que Alf = 3 e
.,vi = 4.
e
8
A
Determine:
u.li
b)
/,. e)
--
L--- ~ "
i--
AF
Slmpliílque.
4.3.
,; • 1 • 1-+2v+-11 - - u 3 2 3
4.2.
23- (.1.- 3yi) - -31(- 9.>+-y . 32 ·)
4 .4.
IJ Considere
OS\ etores
Na foguray~tá ~cprc\4?lll
/1) +2/j
3.(1ori 2/J) 5
~( 2
( ti+ /J)
lri +2...1;) 15
v tais que:
7 - -3 (- 6b• - a1+ " b• ti=-Õ 2 2
tl>ando a~ 01>er.1çóe> adiç.10 de \etore, e produto de um número real por um \etor, rep~lllecada um do~' liOrl':> cm função de 1i e t;. 2.2.
ti e
2(ri
\'erifique que os \etores Ü e
e
v s.'io colineare11. 8
r,; A
2.3.
e
OÍJ
l\a figura btá representado um quadrilátero [AUC:D).
t
1 •
2.5.
56
,,:,:
2.6.
C:F
i
Considere os 1>ontos M, N, I' e Q como >endo os ponco~ médio' do~ lados do quadrilátero a que pertencem.
.
__.
_.
l'rmeque .llN+ l'Q=O. /)
57
•
W Vetores no plano
Geometrie enelitlce no pleno
A flgura a1>resenta três segrnentos orientado!:t que rcprC!tCllta1n o~ \Ctore~ ,; , u e ''-' .
Construa o \etor á tal que: Na figura e>tá rcprc~111ado um quadrado [il/JG/], o qual foi dividido em nO\ e quadrado> iguab.
Calcule o' ctor re>uha111e de cada uma da' ..omas com origem no ponto ,1. 1.1.
AB + IJIJ
1.2.
\(
1.3.
,\#." +,\,\"
u.
IO
IX"
H
A
--" c _ _o
.r~
..
f
J
1.5.
.11b
1.7.
BI. + y ,\
s1i
1.6.
Ni
1.8.
""
l
l'.V • .VI'
11'
_1_,..: 2
\
/ I •·
\
.\ 1
\,,
I
/J.V . "" li
(;
Na figura está represemado o losango [ABC:IJ], a»im como o po1110 /; ,
Con~idcreO!:t\Clorco,
,;, ,, e
1i1,
lnl~que ti~ ~ti+3Ji, t;~zâ - ~6 e
H
ln1erseção das suas diagonais. ÚJ; - 2tÍ + 4ti.
De1ermine:
Mo;u-c que ,;, "' 91i 1Gli •
(<:Á + IJCJ+ ÔÚ
6.1.
A
2/JA- 2c:/i
6.2. Na figura e>tá rcprc,cnrndo o lo>nngo [A/JC:/J) .
,,, ........ /)
Uelcnninc: 3.1.
oi + 1.c: A
3.2.
3.3.
'
,/
/
AC;+ CÓ
" .....
CÓ + Cá
:-...
Na figura ao lado estão representado; o;' etore> IÍ
Considere os' etores
~V ..........
/)
1
!'.... e V
t:
.........
1\IÍ+(- c:ú) + iX:
6.3. 1
i ei
e
lai> que: /
• .\~2(~ti - 1;)- 1i -2F
./
H
• y~
, 1/)
IJD
Simplifique li
R
Mowc que
1(
2
•
:..
•
HI'• SQ1"' HQ.
i
i>do colin~Jn."
i e y.
Construa um represemame do \etor
Ili Justiliquequeos,etores
Na figura e;,tá reprt>..emado um 1>aralelogramo [l'QRS) , assim como as ~u~ diago11ai~. que M! illU!r,eLarn no J}()llto
< '
v
\.s1i - \. 2(- 2F - ü)
Percorra as seguimes etapas para justificar que i e 3.5.
1• .
:>"e
f
i e um re1>re:.entante do '~tor .Y .
sãocolinearc;,.
l\' .
t
1 •
i 58
59
•
lt,I Vetores no plano
Geometria analítica no plano
Ficha de teste 9
li Na figura está represelllado o pa ralelogramo [AJJC:D] ,
G
/)
e
o qual está dividido em quatro paralelogramos iguais. Considere o vetor Tt tal que O vetor ti é igual a:
(A) -
ec:
A
2
e
IJ Na figura eslá representado um triângulo equilátero [AJJC:]. • o perímetro do triângulo [AJJC:] é igual a 12 unidades;
(o) - Dú
Considere um vetor ui tal que
1
3
3
(e) a= - e IJ =--
2
1
3
3
pontos do plano.
(o) a= - - e IJ=- -
7.1.
Os 1>ontos cuja distância ao polllo C:(4 , - 5) não excede 3 unidades.
7.2.
Os 1>ontos que distam igualmente da origem e do polllo P(- 4, - 4) e que pertencem à circuníerência centrada em P e tangente aos eixos coordenados.
10
Qual das seguintes afirmações é ' 'e rdadeira'I
(e) Se
a
H
li 1dentiílque e defina analiticamente, por meio de uma condição, cada um dos conjuntos de
3
EI Considere dois vetores a e b tais que ã = )./Í, onde ;. é um número real. (A) '\;/). E IR,
A
(D
(B) a= - ~ e IJ=!
2
w= 2ÃÚ + 211c: + c:;i.
Prove que W= - e' e, e1n seguida, delennine a norn1a do velor tV.
10
A
Os valores reais de a e /J 1>ara os quais JJÓ = aÂÚ + /JJJc: são:
3
~
• Au=a, IJC;=IJ e C:Á =c (e) - 5i;
qual foi dividido em nove triângulos equiláteros iguais. Também estão assinalados os polllos O e li.
3
-
e
Sabe-se que:
H
IJ Na figura está represelllado um triângulo equilátero [AJJC:] , o
3
10
ti= - .!. FI i + ÜÍ.
(B) - c;;i
(A) a=~ e IJ= !
Ficha de teste 9
'°
(1 lt)
a tem o mesmo sentido de JJ (o) Se ). ;;; - 1 , então llã ;;. /J'll
).>O, enLão lã > llill
Na figura está represelllado um retângulo (11/JC:O) , o qual íoi dividido em quatro retângulos iguais. /)
IJ Considere, num 1>lano munido de um referencial ortonormado, o polígono definido
10
analilicamente pela condição x ;;; 2 /\ y ;;; 2x /\ y ;;.- x - 1 .
e
G
Represellle geometricamente esse polígono e dete1m ine o valor exalo da medida da sua área.
H
H
A
li C ~onsidere, nun1plano rnunido de un1 referencial orlonorn1ado, os pontos P(- l , v'2- 1)
Qual das afirmações seguintes é falsa'!
(A)
e
E,. - c;c;= Ü 1-
-
(B) 11c'; -1fli = c;( -
(e) 110 + Ili =AI
2
Determine os valores reais de k tais que o ponto CJ pertence à bissetriz dos quadranLes pa res.
9.2.
Admita que
(o) .!. DÚ - (;[.·=o· 2
EI Considere o vetor ti tal que Tt = ·\12(v'2 a+2\/2 1))- 4 (a-~ b). Tt é colinear com w. Qual dos seguinLes vetores 1>ode ser o vetor w·1 (A) - 2a - Gli (e) Gã + 1a1j (e) - 2ã + 101> (o) 4a - 121> Sabe-se que
9.1.
10
.!
.•
.!
,
k=v'2.
a) Determine a norma do vetor
l'Q.
b) Escreva uma equação da circunferência de diâmetro [PQ) .
;;
60
61
Ili
u.t Operaçoes com coordenadas de vetores
Geometrie enelitlce no pleno
Num plano munido de um referencial carte>iano, :wbc >e queº' pomo' il (5, • 1), /l( 1 , 3) e 2) são vértices do paralelogr:uno [,wc:v].
Ficha para praticar 21
e:(. 1,
C:on;idere. num 1>lano munido de um referencial cartesiano, os' etores Ü (- 2 • 5) e 1i (3 • - 4l. Determineª' coordcnad.i- do 'eior 1.1.
1.3.
• • 1 • • u1 tal que u:=- Í 11 - ''
.
3 •
1.2.
. • 1 .
)' t.il que - 11 = 2 )' + - 1• 2 3
1.4.
• - 2 • 1 . ,, tal que x = -11- - 1• 5 5
.
1
tal que
-
.r~
4.1.
Detennine as coordenadas do 1>0nto D.
4.2.
Considere o' e1or Ü• tal que 1i>= c:ri - DÚ. Octcnninc a norma do \etor ,;.,
4.3.
Mostre que a circunferência definida pela l'quaçao .t' + l médio do segmento de reta [AC:).
f
- x + 3y
2 =O tem centro no ponto
1 ·2·
-11=-1 --1•
2
3
Considere, num plano munido de um referencial ononormado, o vemr 1i (- 1 , 3). C:orn,idere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos: 3) e
A( 1, 2), /J(- 4,
De1ermine as coordenadas do vetor colinear a 1i:
c:(1. - ~)
Determineª' cooi dcrmda' do vetor: 2.2.
2.3.
, · = 2il(; 3/JJ\ .. (.'/j
2.4.
5.1.
de sentido contrário e de norma 10;
5.2.
com o mesmo sentido e de norma 6.
ü =AT- /j{;
Num 11lano munido de um referencial cartesiano, sabe >C queº' ponmi. i1(4, vérllces consecu1ivos do quadrado [AlJC:D) .
.
1 2 ...,... W=-lJA--UI 3 5
O
C:ori>idcre, num 1>lano mL111ldo de um referencial ortonormado de origem o. os ponto> X( 1 • 0) e r(O. 1) e O>\CtOtC> t!. = ()_\ e ,; = oi-.
cemro do quadrado si1ua-se no eixo
O)'
e tem ordenado
5) são
1.
6.1.
De1ermine as coordenadas dos ponto; (.' e D.
6.2.
Defina, analiticamente, a circunferência in;crita no qu.idrado (MIC'IJ).
6.3.
Detennine as coordenadas do' etor ti tal que:
,ui
4) e ll( 3,
211 = 2'\C
y
Na figura está representado o retângulo [AHC/J), di\ idido cm >eh qu.1drado- Igual,, t
l
Sabese,lixadoumcertoreferencialortonormado,quc ,1(1, 2), 1/ 0, \
.; o
\ ('~
t
7.1.
X
t
62
3.1.
Hc1nc;c111c o' ctor 1i de coo1denada~ (- 4 , 1) e origem no ponto 1'(2, -3) .
3.2.
llCjlfC•Clllcowtor ,; dc coo1 denada~ (2, ·3) eex1remidadeno 11onto Q(5, - 1) .
•
i
li'!\ 2, O.
Oetennine as coordenadas dos 1X>nt0> r, .li e I.
.
7.2.
Detennine as coordenadas do' etor 1 tal que /·,Ú- 1 =-21.IÍ .
7.3.
De1ermine o valor real de k tal que DÍ + k ,vi=- 11/ .
7.4.
Liscre1 a a equação redu,dda da circunfer~ncia in.criw no quadmdo [/JC:/li].
1
2e /)
H
e í.
-:\t A
li
,,
H
63
m
UI Operaçoes com coordenadas de vetores
Geometria analítica no plano
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o vetor ü (- 2, 2\/3) e os pontos 11{- 1, k) e IJ(l, - 2), onde k é um n(unero real. Na figura está representado um paralelogramo [AJJ<.DJ e os pontos médios /i, F, e; e li dos lados [AJJ]. [JJC], [CD) e [DA], respelivan1enle. Sabe-se que, fixado um certo referencial ortonormado,
11(- ~,
5.1 .
Determine as coordenadas do vetor colinear a Ü, de sentido contrário ao de Ü e de norma igual a 3.
5.2.
Determine, se existir, o n(unero real k tal que os vetores Ü e Ãii são colineares.
D
G
H
.
A
~), iít(7, - 5) e 110(5 , 1).
p
5.3.
H
Af.· = 211(; e indique as coordenadas de 11(;.
1.1.
Justifique que
1.2.
Determine as coordenadas dos pontos e;, F e li.
Considere a circunferência definida pela equação
x' + y' -
2y - 4 =O.
Sabe-se que o raio desta circunferência é igual a d(ll, JJ). Determine o(s) número (s) real (ais) k.
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o vetor 1.3.
u(-i, 4)
e os pontos
A(-j. -1)e 11(~, ~).
Justifique que r[c; = 11c: e determine as coordenadas dos vértices do paralelogramo [AIJ<.D].
Determine as coordenadas: 6.1.
dos vetores colineares a 1i de norma 10;
6.2.
do ''etorcolinear a
6.3.
do ponto
6.4.
do ponto P tal que llP - IJ= 21i.
Num plano munido de um referencial cartesiano os pontos A{- 1, - 1) e IJ(5, 1) são vértices consecutivos de um losango e e{1 , - 3) é o ponto de interseção das respetivas diagonais. 2.1.
Determine as coordenadas dos outros dois vértices do losango.
2.2.
Determine o valor exato da á rea do losango.
2.3.
Determine a equação redulida da mediatritdo segmento de rela (;VJ).
ti,
de sentido contrá rio e norma 6.
e sabendo que o ponto JJ
é o ponto médio do segmento de reta [llC);
Nun1plano1nunido de uu1 referencial cal'lesiano, delel'1nine, caso exisLan1, os núrneros reais k tal que
os vetores 1i(\/5, k - 2) e ti(2k - 1,
v'5} sejamcolineares.
Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência C,, definida pela equação{x+2f+(y - 3f=80 eosponLos A{- 6, l)e IJ(2, 5).
Num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos 11(2, - 1). /J{5, - 5) e C(8, - 7) são vértices de um tra1>élio, cujas bases são os segmentos de rela [AJJ] e [co]. 4.1.
Determine todas as coordenadas possíveis do vértice O sabendo que C:D = 211/J.
4.2.
Considere 0(2, 1). PrO\'e que o quadrilátero definido pelos pontos médios dos lados do Lra1Jé1,io [AIJ<.D] é um paralelogramo.
7-1 .
Determine as coordenadas dos pontos da circunferência C,, que têm ordenada 7.
7.2.
Escreva as equações das relas tangentes à circunferência e paralelas aos eixos coordenados.
7.3.
Verifique se o segmento de reta (11/J) é um diâmetro da circunferência C, .
' ~
.
l
64
•~ ;;
M~IA
ior.r.os
65
Ili
UI Operaçoes com coordenadas de vetores
Geometria analítica no plano
Ficha de teste 10
li Considere, num plano munido de um referencial ortonormado de origem O, os pontos l'{- 2, 4), A{I , - 3) e IJ(5 , - 1). Seja Q otrnnsformadode P na translação associada ao vetor IJA •
10
C:onsidere,
IJ Considere, num plano munido de um referencial ortonormado de origem O, os vetores ti(-~,
Sabe-se que
Au +ti= 2u - 2v, sendo
e
ti
sejam colineares
• !::
Admita que k=2V2. Determine as coordenadas do vetor
•
1 •
•
.
w tal que '2 v =2w-11 .
1) eo ponto A(5, 2). li Num plano munido de um referencial cartesiano, sabe-se que os pontos A(- 1, - 2),
IJ um ponto desse plano.
(e) (1, 6)
(A) {3, 2)
JJ(- 4 , 2) e C;(a , 1O) são vértices de um paral elogramo.
ft{3, k - 2) e ií(\/2, -
ií
Determine as coordenadas do ponto O , quarto vértice do paral elogramo.
7.2.
Escreva a inequação redulida do círculo cujo centro é o ponto médio do segmento de reta [AC:) e o raio é igual a d(A, IJ).
10
1), onde k é um número real.
Sabendo que os vetores ft e
7.1.
(o) (2 , 4)
EI Considere, num plano munido de um referencial ortonormado de origem O, os vetores são colineares, o valor de k é:
(B) - 3\/2+~
(A) - 3\/2+2
3
(e) - 3\/2 +2
2
IJ Na figura está representado um quadrado [AIJC.'/J], de centro
(D) - 3+\/2
2
..
r.
(20 • & + ~
no ponto R, e a circunferência circunscrita ao quadrado.
IJ Considere, num plano munido de um referencial ortonormado de origem o, os pontos
Sabe-se, fixado um referencial ortonormado, que 10
A(3, - 2) e IJ(-9, 4). Uma equação da circunferência de diâmetro [AIJ] é: X1 -
ti
10
Quais são as coordenadas do ponto IJ ·1
(A)
Determine, se existir, um número real k tal que os vetores
u(k, ~) e
(D) (- 6 ,2) 6.2.
ft{- 3, 2) e
ílxado um plano munido de um referencial cartesiano, os vetores
v(a, k- \/2), onde k é um número real. e co1n o n1esn10 senlido.
(e) (-2 , 6)
(B) (6, - 2)
IJ
6.1.
Quais são as coordenadas do ponto Q 'I
(A){2, 6)
Ficha de teste 10
A(4, - 1) , D(O, 2) e R(i , 8.1.
~).
IJ
Determine as coordenadas dos pontos IJ e C.
6x+ y' + 2y - 35=0
A
(B) x' + 6x+ y'-2y-35=0 (e) x'- 6x+ y' + 2y - 45=0
8.2.
Determine o valor exal o da área da região sombreada.
8.3.
Determine as coordenadas dos vetores colineares a
(o) ...'+ 6x+ /-2y-45=0
EI Considere, num plano munido de um referencial ortonormado de origem O, os pontos A(- 3, 2), JJ{4 , - 3) e c:(-2, - 1) .
66
Qual é a no1·ma do vetor
tv definido por Ã(; - 2CJÚ 'I
(A) \/5ij
(B) W
(C) 3\15
(o)
10
AD e de norma 7.
2\/29
67
m
U;I
Geometria analitica no plano
Equaçao de uma reta no plano
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a reta s definida por - x+ 2y+ 4 =O.
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas a seguir definidas e, para cada uma delas, indique as coordenadas de dois ''elores diretores e de dois 1>ontos. 1.1.
(x, y)=(- 2, 3)+r(- 1, 2). 1EIR
1.2.
(x , y)=l(- 10, 4), 1EIR
1.3.
3 y= - -X + 1 2
1.4.
y=x+2
1.5.
12y- 6x+l=O
1.6.
1.7.
x - 1 y+4 -3----g-
1.8.
1.9.
2 - x 2y - 4 -4-=---:r
9 - 3y 1.10. 2x=--
1.11.
3y=5
2- x 1.12. - 3-=3y+2
e-I
= - 2", ÃEIR +À=-3
3.1.
Determine as coordenadas dos pontos em que a reta s interseta os eixos coordenados.
3.2.
Indique as coordenadas de dois vetores diretores da reta s.
3.3.
Verifique se o ponto de coordenadas ( 1 ,
3.4.
Escreva uma equação vetorial da reta s.
3.5.
Escreva um sistema de equações paramétricas da reta s.
~) pertence à reta s.
x=2
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a reta p definida por:
4
x= - À ÃEF! { y= - 2+Ã'
4.1.
Justifique que o ponto de coordenadas (1, - 3) pertence à reta p.
4.2.
Determine a ordenada do ponto da reta fJ que tem abcissa - 2.
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a rela r definida por: (x, y)=(l , 2)+1(- 5, 3), 1EIR 2.1.
Indique as coordenadas de três pontos da rela r.
2.2.
Determine a abcissa do 1>on10 da rela r que tem ordenada - 7.
4.3.
Escreva uma equação vetorial da reta fJ.
2.3.
Determine a ordenada do ponto da reta r que tem abcissa 6.
4.4.
Escreva a equação redulida da reta fJ.
2.4.
Verifique que o ponto de coordenadas ( 2,
2.5.
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas r e s definidas, res1>etivamente,por(x, y)=(- 2, 1)+ 1(4, k), 1EIR e 2x+4y=O.
Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o eixo das ordenadas.
2.6.
Escreva a equação reduzida da reta r.
2.7.
Escreva um sistema de equações paramétricas que defina a reta r.
2.8.
Determine a equação redulida da rela s, paralela à reta r, que passa pelo ponto P de coordenadas (- 4, 1).
2.9.
68
~) pertence à reta r.
Escreva urna equação da circunferência de diâmetro [AIJ), sendo A e IJ os pontos de in terseção da reta r com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas, respetivamente.
5.1 .
Determine o valor real k de modo que as retas r e s sejam paralelas.
5.2.
Escreva um sistema de equações paramétricas da reta p, paralela à reta s e que 1>assa pelo ponto I' de coordenadas (- 4,
'
~).
~
.
l
•~ ;;
5.3.
Considere k= - 8. Determine a equação reduzida da reta r.
69
m
W Equaçao de uma reta no plano
Geometrie enelitlce no pleno
Determine para que valores reais de k o 1>onto 11(k , k') 1>ertcncc 1L reia de equaçJo y R~ 2.\ .
Ficha para praticar 24 C:on;idere. num 1>lano munido de um referencial cartesiano, as retas r, s e p definidas por: r:3.t + 2y l "' O
1.1.
s : (.\, )')"'(- l, l) + t(- 1,- 6),tER
p.. { 3.l=4 + 2À . • "'Eº ...
- y= - 2+ 1.
.r~
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, ..i; rNJ' r , ' e /1 deflnlda.s 1><>r:
f
s: (.t , y)= (- 1, 4)+ 1·- 2\.
Determine a; coordenada.' do-. pon1os em que a reta r imerseia os ei).os coordenado;.
1.2.
Deternunc a ordenada do 1><>mo da reia s que 1em abcissa - 2.
1.3.
Indique, para cada uma da, retas, as coordenadas de um' etor diretor.
1.,.
E>ercva a cqu,1çt10 reduzida da rern s.
1.5.
Indique cvc111uals l}Ol'e' de 1·c1n' parnlelas.
6.1.
2. 4\.Zl, 1E R
.\
1 )'
2
1
p: -= -
Considere as proposições: a: A reta I' tem decli\e negalho. b : A reta r é paralela à reta s . e: A reta I' interseta o ei).o Oy no ponto de ordenJda 3 . Identifique o' ator lógico da propo>içllo - a V ú
= e = (- /J ~ a/\ r) .
6.2.
De1ermine as coordenadas do ponto da reta s que tem abcl''ª nula.
6.3.
Defina analiticamente o conjunto de ponto; do plano que pe1·1enccm h 1·c1a 11 e cujo proclu10 das coordenadas é um número real negativo.
C:on;idcre, num referendai cor1c,1nno do plano, a reta r definida por (.l , y) = t(3, - &) , t E IR Determine à equação rcdu1ldn da reia s, paralela à reta r, que interseta o eixo O.\ no me>mo 1>01110 que a reia /J de cquaç;10 iano, a rel-1><>111os A e B são os pomos de interseção da reta r com°" ei•lh coordenados. C:on;idere. num 1>lano munido de um referencial cartesiano, as retas r e s definidas. .l q y 6 J.\ = 1 J.< res1>e1i,amentc, por - 1-· "'; r e \y = 1 2À,). E R .
y
Determine a 1111.oquação n.'y.
C:on>idere, num plano munido de um referencial canesiano, os pontos A(- 2, 3) e B(I , - 4) e a reia r deDnidapor ly • IO.l
' "'º·
,.1. ,.2.
70
E>ercva um ;,b1cma de equnçõe' 1larnmétrlcas da reta AB. Dc1ennine ª'coordenada' do pomo da reta r que tem a abcissa e a ordenada ;imétrica;.
r
t
1 •
i
De1ermine o \alor real de m, declive da rela r, de modo que a área do irldngulo (11110) seja Igual a !l unidades quadradas.
71
•
Ficha de teste 11
-
Considere, nun'I plano rnunido de urn referencial cartesiano, a reta r deílnida por:
(x, y)=(- 3, 2)+k(8, - 6), kEF! As coordenadas de um vetor diretor da rela r podem ser:
(A) (-8, - 6)
(e) (4, 3)
(B)(- 3, 2)
Considere, num plano munido de um referencial ca1·tesiano, o segmento de rela ( PQ). Sabe-se que: y
, a reta r é a mediatriz deste segmento de rela; • 111
é o declive da reta
u
tLI Equaçao de uma reta no plano
Geometria analítica no plano
r;
e e
10
Ficha de teste 11
-
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas r e s definidas por:
ô
r: (x, y)=(2, - 5)+1(- 3, 6), 1E F!
f
;: l
e
60 (lh211 +Z5)
s : 4y+Bx - 2=0
6.1.
Justifique que as retas r e s são paralelas.
6.2.
Escreva um sistema de equações paramétricas que defina a reta s.
6.3.
Determine as coordenadas do 1>onlo da rela s que tem ordenada igual ao siméu·ico do triplo da abcissa.
10
• b é a ordenada na origem da rela r. X
Qual das proposições seguintes é verdadeira'!
(A) 111>0/\IJ>O
(B) m< O/\b>O
(e) 111>O/\11<0
(o) m
C ~o 1 1sidere,
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, de origem no ponto O , a rela AIJ e a circunferência de centro no ponto O que pas.~a no ponto JJ.
nun'I plano rnunido de urn referencial ca1·tesiano, as retas r e fJ definidas por:
Sabe-se que:
10
y
• o ponto IJ pertence ao eixo Oy e tem ordenada - 3;
e
-x=- 1 +). /J: { y=M , ).EIA 2
, o ponto A pertence ao e ixo Ox e tem abcissa negativa; , a área do triângulo [AJJO) é igual a 6 u. a.
Sabe-se que as retas r e p são paralelas. (Jual é o valor real de k ·1
(e) i
(A) 12
(e) _!__ 12
3
X
7.1.
Escreva equação reduzida da reta AIJ.
7.2.
Defina por meio de uma condição a região sombreada, incluindo a fronteira.
(o) ~ 4
Considere, nun 'I plano rnunido de urn referencial ca1·tesiano, a reta s definida por 2y + 6x = 12 . Sejam A e IJ os pontos de interseção da rela s com o eixo das abcissas e
10
com o e ixo das ordenadas, respetivamente. A norma do vetor 1fú é igual a :
(A) 4 C ~onsidere,
(e)
(B) 2v'iõ
2\/5
(o) a
nun 'I plano rnunido de urn referencial ca1·tesiano, as relas r e s definidas por: r: 3x+2y - 4 = 0
e
Na figura está representado um retângulo (; VJC/J).
10
Sabe-se, fixado um reíerencial ortonorn1ado, que A(- 2, 1), /J(- 1, - 1) e as retas IJC: e C:IJ são definidas respetivamente por:
s: fx= - J+f.?.' ).EIA lv= - 2+).
2y - x+ 1=O e (x, y)=(- 1, 9)+1(2, - 4), tEIA
A.Helas r e s intersetam-se num ponto 1. A que quadrante pe rtence o ponto /'!
l
72
(A) 1.0 quadrante
(e) 2. •quadrante
(e) 3.º quadrante
(o) 4.º quadrante
8.1.
Determine as coordenadas dos pontos C: e IJ.
8.2.
Escreva uma equação vetorial da mediatril do segmento de rela [AIJ) .
l 73
um Referenciais cartesianos do espaço. Conjunto de pontos do espaço
Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os pontos A(3, 4, - 1) e IJ(- 1 , 1, 4).
Fixado um referencialortonormadodoespaço,ospontos A(2, - 1, O), IJ(2, 3, O) e C:(- 2, 3, O) três dos vértices de uma das bases de um prisma quadrangular regular [ABC:DEFGI 1) de altura 8. 1.1.
Indique as coordenadas do pomo D , quarto ''értice da base.
1.2.
Derina analit icamente: a) o plano que comém a base
[EFC;ll]
Determine as coordenadas do 1>onl o c:(x ,
3.2.
Determine a inequação redulida da esfera de diâmetro [AB].
[AC:].
são ~ -
í
r
do prisma; Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a superfície esférica S de equação:
b) o plano mediador da aresta [AB];
(x-4)' +(y+ 2)' + (z- 3)' = 10
e) a reta F/J sabendo que o vértice F tem a mesma abcissa e ordenada de IJ; d) o plano mediador de ( FIJ); e) a aresta ( Fc;) sabendo que
y, z) tal que lJ é o ponto médio de
3.1 .
4.1.
l demifique a interseção da superfície esférica S com o plano de equação x= 5.
4.2.
Determine os valores de a 1>ara os quais o plano de equação y= a tem interseção não valia com a superfície esférica S.
e éaprojeçãoortogonaldovénice e; no plano x
1) o conjumo de pontos do espaço cuja distância ao ponto A é igual a 4 . 1.3.
Determine o volume do prisma.
1.4.
Determine a área lotai do prisma.
4.3.
Determine para que valores reais de b a interseção da superfície esférica S com o plano de equação
z = /J
é uma circunferência de raio 2\/2.
Considere, rixado um referencial can esiano do espaço, a superfície esférica de equação:
i'+ 2x+ l - 8y+ 'i'- 4z-3 =O
e e o raio da superfície esférica.
2.1.
Indique o cenlm
2.2.
Determine a interseção da superfície esférica com cada um dos conjuntos de pontos seguintes.
Na figura está represemado um cubo [CJPQRSTCIV]. Sabe-se, rixado um referencial orlonorn1ado do espaço, que:
• o cubo te1n aresla 5 unidades;
a) Eixo Oy
• o vértice O do cubo coincide com a origem do referencial; • os vértices I', R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox, Oy e Oz, respetivamente;
b) Plano de equação
x= -
y
• o plano MNQ pode ser derinido pela equação I Ox + 15y + 6z= 125 ;
1
• [MNtJQ] é uma pirâmide.
e) Plano de equação
2.3.
Determine as coordenadas dos pontos Me N.
5.2.
Determine o valor exal o do volume da pirâmide [MNllQ].
5.3.
Determine a equação reduzida da superfície esférica que contém os oito vértices do cubo ( CJPQRSTlJ VJ .
z=4
Prove que o ponto A(- 3, O, O) pertence à superfície esférica e determine a inequação reduzida da esfera de centro A e raio AC:.
'
~
.
l
•~ ;;
74
5.1 .
75
m
W
Geometria analitica no espaço
Referenciais cartesianos do espaço. Conjunto de pontos do espaço
Na figura está representado um cubo [AJJ<.DliP(;/ 1] e fixado um referencial ortonormado do espaço, sabe-se que: • a base inferior do cubo tem centro no ponto CJ; Na figura está representado um cubo [C!ABCDEFG]. O vértice CJ do cubo coincide com a origem do referencial e os vértices A , C e D pertencem aos eixos Ox , CJy e ()z, respetivamente.
• a área de cada uma das faces do cubo é igual a 36 unidades quadradas; • as faces do cubo são 1>aralelas aos planos coordenados.
Sabe-se, rixado um referencial ortonormado do espaço, que:
3.1.
• ovértice i:temcoordenadas ( 10, 10, 10);
a)
• o ponto P pertence à aresta [liP] e tem ordenada 3;
x= - 3/\z=G H
• o ponto Q pertence à aresta (oc;) e tem ordenada 7;
b) y=3/\z=O/\ - 3(x(3
• o ponto S pertence à aresta [ JJC] e tem abcissa 5 . 1.1.
\. z[_ P
Identifique o conjun to dos pontos do espaço definidos por:
e)
Indique as coordenadas dos pontos P, Q e S.
3.2.
r.
x=3/\z=O/\y) - 3
.,..
l/A
Defina analiticamente:
y
a) a aresta (c;c:); 1.2.
Deílna analit icamente: b) o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto IJ é igual a 5;
a) o plano que contém o ponto P e é paral elo ao plano .tCJz; b) o plano que contém o ponto Se é perpendicular ao eixo C!x; e) o plano mediador do segmento de reta
e) o plano paralelo à face
[AIJ< :oJ que contém o centro do cubo.
[DQ];
d) a reta EP; 3.3. e) a reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano xOy;
Determine uma equação do plano mediador do segmento de reta [Ac;). Apresente a equação pedida na forma
a.~+
/Jy+ cz + d= O, sendo a, ú, e e d números reais.
1) a reta que contém o 1>onto S e é paralela ao eixo Oy;
g)
a aresta[<.'(;];
h) a sernirrela
i.,P.
C(2, O, 6).
Deílna analit icamente, utilitando equações e inequações cartesianas, os seguintes conjuntos de pontos do espaço.
2.1.
4.1.
Interseção da esfera cuja inequação redutida é
4.2.
Superfície esférica que passa pela origem e tem centro no ponto médio do segmento [A/J], sendo A(2, 3, - 1) e /J(-6, - 1, 5).
4.3.
Semiesfern de raio igual a 5 e centro na origem cujos pontos têm abcissa não negativa.
Fixado um referencial ortonormado do espaço considere os pontos A(- 1, 2, 4), /J(O, 2, O) e Determine a equação redulida da stq>erffcie esférica de diâmetm [AC:].
2.2.
Determine a inequação reduzida da esfera de centro IJ e raio AC:.
2.3.
Classifique o t riângulo [A/JC:] quanto à medida do comprimento dos lados.
'
i' + I + z';;; 25 com o plano y
~
.
l
•~
4.4 .
Planos tangentes à esfera deílnida pela inequação (x + l f + y' + (z -
2Y;;; 6 e paralelos ao plano
x
;;
76
77
Ili
W
Geometria analítica no espaço
Ficha de teste 12
li Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, o ponto A {2, - 3, - 4). Qual das seguintes condições pode definir a rela paralela ao eixo CJy que passa no ponto A ·1
(A) y= - 3/\z= - 4
(e) x=2/\y= - 3 (e) x=2/\z= - 4
10
CD
Referenciais cartesianos do espaço. Conjunto de pontos do espaço
Ficha de teste 12 1
õ 7
1
t
a
-
Na figura está representado um cubo [AIJC:DliFC;/ /)de aresta igual a duas unidades.
IG
Sabe-se, fixado um referencial ortonormado do espaço, que:
(~ + lhZG)
• a face [AJJC:D] está colllida no plano xOy; • a aresta [DC) está contida no eixo CJy ; • o ponto D tem coordenadas (O, 2, O) .
(o) x=O/\y= - 3
6.1.
IJI Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, a superíície esférica definida por:
Defina analiticamente:
a) o plano mediador da aresta [liF);
y
10
b) a aresta (FC;);
(x-v2}' +(y-v2}\(z+ vi)'= 8
e) a face [ffC al] .
Qual dos seguintes planos é tangellle à superfície esférica'!
(A) x= - 3v'2
(e) y=v'i
(e) y= - 3v'2
(o) z=v'i
EI Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, os polllos 1'(1 , 3, - 2) e
10
11(5, - 1, k), onde k é um número real.
6.2.
Determine a inequação reduzida da esfera tangellle a todas as races do cubo.
6.3.
Determine uma equação do plano mediador do segrnelllo de reta [TP] tal que: • 1' é o ponto médio da a resta [li/ l];
Sabe-se que a distância e ntre os pontos P e li é igual a 6 unidades.
• Pé o cenlrn da face (IJC;c;p'j.
Qual das seguintes opções poderá ser o valor de k ·r
(e) -
(A) - 2
(e) -
3
(o) -
4
Apresenteaequação na íorma reais.
6
IJ Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, o plano mediador do segmento de
a.~+/Jy+cz+d=O,
onde a,/>, e e d são números
10
rela [AIJ) definido 1>or x- y = O. Quais 1>oderão ser as coordenadas dos ponto A e IJ ·r
E1 Considere, fixado um reíerencial cartesiano do espaço, a superfície esíérica cujo centro é o
(A) A{2, 2, O) e IJ(O, 2, 2)
(e) A{2, o, O) e (e)
ponto c:{2, 2, 2) e que é tangellle ao plano de equação y = 2 -
/J(2, 2, O)
A{2, 2, O) e /J(O, 2, O)
(o) A{2, o, O) e /J(O,
7.1 .
Esta supe rHcie contém apenas dois pontos que têm as três coordenadas iguais. Determine as coordenadas destes dois pontos.
7.2.
Determine para que valores reais de a a illlerseção da superfície esíérica com o plano de equação x =a é urna circuníerência de raio v'5.
2, O)
EI Considere, fixado um referencial cartesiano do espaço, o conjun to de pontos definido pela equação x= - 1. Este conjunto de polllos define:
(A) um plano paralelo ao eixo
10
CJx ;
(B) um plano perpendicular ao eixo
Oy;
E1 Considere, fixado um reíerencial cartesiano do espaço, os 1>ontos A (O , 6, 3), JJ(G, O, 3)
(e) um plano perpendicular ao plano yoz;
(o) um plano paralelo à rela definida por x = v'2 /\ z = -
78
v'6.
\/3.
e c:{6, p, - 3), onde fJ é um n(unero real. Sabe-se que [A/Jc:) é um triângulo equilátero. Determine os valores reais de p.
79
i:g
Cálculo vetorial no espaço
Na figura está represetllada uma pirâmide quadra ngular regular [ORQPV].
Ficha para P.raticar. 27
Sabe-se, fixado um referencial ortonormado do es1>aço, que:
D Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, os polllos A{- 4, 3, 2) e IJ(- 1 , 2, - 2) e o vetor
ti (4 , 2,
1.1.
1J - 2ti
1.2.
1.3.
3. 2AIJ -:... u 2
1.4.
1.5.
A- 2(3ü - 2iiJj)
<
• o vértice O é a origem do referencial;
~
p
, o vértice P tem coordenadas {O, O, 10);
- 6). Determine as coordenadas de:
• o cenlm da base da pirâmide é o 1>onlo de coordenadas (4 ,3 ,5);
IW+2(- 2UJ
• o vértice V tem coordenadas (- 2, 11, 5). 4.1.
Determine as coordenadas dos pontos R e
q. li
Na figura está representado o cubo [AJJ<.DJiF'(;/1] . 2.1.
Dele1'1nine:
8
a) E//+ E/J b) e) 2.2.
4.2.
Escreva uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide.
4.3.
Determine o volume da pirâmide.
4.4.
Escreva a inequação redulida da esfera de diâmetro (TIV], onde Te W são polllos médios dos segmentos de rela [1'11] e [ QP]. respetivamente.
4.5.
Determine uma equação do plano mediador do segmelllo de reta [PV].
A
mi - w Fr.;- u/i
Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os pontos A(I, 2, 4), E{I, 2, O), F(- 3, 2, O) e 11(1, 6, O).
a) Determineascoordenadasdovetor IV, sendo w=Aê:+1!c: - l.17ú. 2
Apresente a equação pedida na forma b) Calcule
l 11ú- 11iill.
a.~+
/Jy+ cz + d= O, onde a, /J, e e d são nlimeros
reais.
e) Determine a equação redulida da supe rfície esférica tangellle a todas as faces do cubo. Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, a supe rfície esférica definida por:
:( + y' + t-zx+ 4y - 6z+ 4 =O d) Escreva um sistema de equações paramétrica~ da reta que passa em D e é paralela ao eixo Oy.
5.1 .
Indique as coordenadas do centro e o raio da superfície esférica.
5.2.
Mostre que o ponto 11(1, - 3, O) pertence à superfície esférica e, em seguida, dete rmine as coordenadas do polllo n tal que [An] é um diâmetro da superfície esférica.
5.3.
Escreva um s istema de equações paramétricas da reta que passa no ponto A(I , - 3, O) e no centm da supe rfície esférica.
Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os 1>ontos A(2, - 3, 1). /J(l , - 1 , 2) e C{3, - 1, O). 3.1.
Escreva uma equação vetorial da rela A/J.
3.2.
Escreva uma equação vetorial do segmento de rela [C:A].
3.3.
Determine um sistema de equações paramétricas da reta /JC .
'
~
80
.
l
•~ ;;
MMA IOC.í·Ob
81
•
W Cj lculo ve torial no espaço
Geometria 1...utlu no llPIÇO
Na figura está represemado um cubo [AHC:/JliH;11] . O 1mmo li não está representado na figura.
Deterrnint.>:
1.1.
G + C'Ó
1.2.
11 - 11..' .. 111
1.4.
1-,i
1.5.
Ili + /(;'
1.6.
#.. + /J
1.7.
m: -11i; .. 2 11
1.8.
H : +,1Jj - 2c;Í1 +
• o 1mmo A tem coordenadas (3 , 5, 3);
r f
#.. . 11/J L#..
1.3.
Sabe se, fixado um referencial ononormado do e>J>JÇO, c1ue:
.~
Na figura e>tá rcpre~mado um 1lrbma he,agonal [1\HC:Df.fGlllJKL].
• o 1mmo D tem coordenadas (- 3. 3 . G); • o ponto L tem coordenada. ( 1 • 2. - 3).
JI +
IJ.\
ij
A
H
5.1.
Detennine o 10lume do cubo.
5.2.
Detennine a; coordenadas do pomo 11 e, em >l'!!UidJ, indique o 1alor lógico da 1>m1m-ição:
o pomo 11 />erte11ce a um ti<» eí.lo> coorilc11t11/o" C:on;idere, fixado um rt'fcrenclal ononormado, º'pomos 1\(- 2, - 1 , 4) e H(1 , - 3, 2) e 0> •elO~
ti (- 1 , 4 , O) e ,; ( 2 , 3 ,
~).
5.3.
Detenninc a~ roordl.'nada' do ve1or:
2.1.
1i11alqucu"""Ú 21; +1i; 5.4.
2.2.
2.3.
Determine uma equação do plano mediador do M'gmcmo de reia [Ali). Ap1eseme a equação na forma ox + /Jy + e:: + ti"' O, onde 11 , /J , r e ti ,;io numeros reais.
.
1
1 •
•
x ta que '2"' + 11 "
b) Ueiennine o valor exalo do volume da C>ÍCl'
li, .
Num referencial orionormado do espaço, e>tá rcprc>cniaclo um pri,ma hcxngonal regular
. y. t.11que 3 11• " 2 y. 1 11. + 21M.
2
Considere a esfera li, tal que o seu centro é o ponto ti e icm mio Igual a U:.
a) 1'-screva a inequação redutida da esfera li, .
(AIJC/Jli /'C;l/l}LM].
2
Sabe -se que: • a base [e ;111/LM] está contida no plano xOy; • a base [AHDtF] está contida no plano de equação : "' 16;
C:on>idere. fixado um rdcrenclal ortonormado do espaço. 01eior 1i(2\ Í , 3, \'31.
. a aresta (c;11) es1ácontidanoeixo Oy;
Determineª' coordenada' do 1e1or colinear a 1i de sentido conlrário ao de li e de norma 3\ 1i.
• o he>.ágono [ilHCJJl:f] tem perúnetm igual a 36 unidade>; • o ponto e; tem coordenadas (O, 2. O) e o pomo I tem abci»a negali1a. 6.1.
Mostre que as coordenadas do 1>0nto M >ão -3\
'3,
1 , Ol eª' do pomo /J ...to
G\J , 8 , 161.
C:on;1dcre. fixado um referencial ortonormado do espaço. as retas definidas do modo M?gUime e, parJ cada uma dela;, Indiqueª' coordenadas de dois 1 e1ores diretores e de dois 1mmos. 4.1.
.1 ...
1"' º" ·"' 2
4.2 .
.1 .. G/\y + 2"0
4.3.
1
2'")'/\ Z- 3 " 0
t
1 •
i 82
6.2.
Determine uma equação vetorial da reta G.\I.
6.3.
Determine uma equação do plano mediador do M'gmcmo de reia [M/J). Apreseme a equação pedida na forma ax + by + r: + '' " O. onde n, i>, r e ti sJo númeios reais.
83
•
W
Geometria analítica no espaço
Ficha de teste 13
li Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os ''elores ü (2, 4 , - 1) e v(- 3, 1 , - 2) e o ponto T(2, - 1 , - 4) .
Sabendo que o pomo R é tal que (A) (12, - 4, 8)
TR = - ti - 2 ti,
(B) (2, - 5, 9)
Cálculo vetorial no espaço
Ficha de teste 13
(D
a Fixado um referencial orlonorn1ado do espaço, determine, se existir,
10
quais são as coordenadas do ponto R'I
(e) (6, -
1 , 1)
(o) (4, - 6, 5)
EJ Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, uma rela r 1>aralela ao eixo Oy . Qual das seguintes condições pode definir a rela r ·1 (A) (x, y, z)=(2, O, 4)+ ). (1, O, 1) , ). E IR
(B) y = 2/\ z =2 (e) (x, y, z)=(3 , 3, 3)+ ). (1, O, O), ). E IR
e
10
que os vetores
e
ti (2,
k + ·\13,
1) e ti ( k,
3,
O valor real de
k tal
~) sejam colineares.
li Na figura está representada uma 1>irâmide quadrangular regular [AJJC:DE]. Sabe-se, fixado um referencial ortonormado do espaço, que: • P é o centro da base da pirâmide e tem coordenadas (- 2, 1, - 1);
• o ponto A tem coordenadas (- 2, - 2, 2) ; • o vetor
FE
tem coordenadas (- 1 , 2, 2). ()
(o) x=2/\ z =3
EI Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, a esfera definida por:
10
7.1.
Determine as coordenadas do 1>on10 li .
7.2.
Escreva um sistema de equações paramétricas que defina a reta que passa pelo 1>on10 A e é paralela à reta EP.
(x - 1)' +(y- 2)' +(z- 3)' ( 44
y
e
Sabe-se que o segmento de rela [All] é um diâmetro dessa esfera e que IJ(4, 1, 2) . Quais são as coordenadas do ponto A ·1 (A) (1, 2, 3)
(B)(- 2, 3, 4)
(C) (10, - 1 , O)
7.3.
Calcule o volume da 1>irâmide [AIJC:Dli] .
7.4.
Escreva a inequação redulida da esfera de centro no 1>onlo
(o) (- 3, 2, - 4)
a Considere, fixado um referencial ortonormado do espaço, a reta s definida por:
10
e: e raio õ'!.
(x, y, z)=(2, 3, 4)+ ,l. (O, O, 1) , ).EIR
Qual das condições seguimes define uma reta estritamente 1>aralela à rela s ·1
(A) x=2/\y=3
E1 Considere, fixado um referencial ortonormado do es1>aço, as retas r e s definidas por:
(B) x=2/\ z =4
(e) x =- 1 Ay= - 2
"'
(11 +20
X= 1 + 2À
(D) x= - 3/\ z= - 4
r:
llJ Considere, fixado um referencial 01tonormado do espaço, a superfície esférica definida por:
10
y=3 + 2Â, ).E F! z =3À
s : (x , y , z) = (3, 5, k)+ t(- 4 , - 4, - 6) , tEIR/\kEIR
8.1.
Determine as coordenadas do 1>on10 da rela r que tem a ordenada nula.
8.2 .
Determine, caso exista, o valor real de k para o qual as retas r e s são coincidemes.
x' + I + i'+ 2x - 6z- 3 =O Sejam A e e: os pomos tais que: • A é o ponto de menor abcissa onde a supe rfície esférica interseta o eixo Ox;
.l IJ
• C: é o centro da superfície esférica.
Quais são as coordenadas do vetor (A){2, O, 3)
84
q
A<:--t
(B)(4 , O, - 3)
(C) (O, O, 3)
(D) (- 2, O, 1)
Sejam A e IJ os 1>ontos de interseção do plano a com eixos Ox e Oy respetivamente. Delermineumaequaçãovetorial darela AIJ sendo a : 3x - 6y + 5z = 12.
85
ua Cencrahdades sobre funçoes
--
C:onOr Jlx) = - .!.,. + 2a, onde " ~ urna corNante real. 3 Sabe seque Jl- 6)= - 4.
P.llaticar 29 C:on;idereostoniulllo' l =( · 2 , - 1. 3} e tJ~ { 1, 1.1.
~
\7 , \ iõ}.
C:on;idcre a; propo,içõe,
J
11: O 1>arordcnado (3 ,
1 1X'nence a ,\ x B . q: O par ordenado ( 1 , 1) penence a A " IJ e a /J' . ldclllifiquco•alorlógicodapro1><>,ição (- p
==>
4.1.
Detennine o •alor de a.
4.2.
l\lostre que a função fé injeti•a.
f
q) A (pvq <=>-q).
IJI <:Onsldere os conjuntos A={- .!.2 • .!.2 , :!, z.}e B= {- 3 , - 1 , O, I} ea' fur)Ç~ f e R definidas 1><>r: 2 2 1.2.
Rcpre-.cllle cm c.icn.,.;o: •) /J
1.3.
g :,\ - I J
,\
Indique um clcmemo de ,\>
C:on;idcre a Funç.10 ;cguiruc:
f: {
2\/3, \/3, \/3, 3\/3 , 5\/3} -
l11diquc o dornf11lo de f.
2.2.
1Jcterrni11c o comrndomfnlo de f.
Defina a Função f por um gráfico.
5.2.
Indique o contradomínio da função R.
5.3.
Mostre que fé sobrejetiva e que ll é não ;obrejctiva.
B
X -.._;'
2.1.
5.1.
\/2x
<:onsidere as funções reais de variável real f. H e h e a; propo,içóc. 'egulme" 2.3.
Reprc>emc 1>orumgráflco g l, , sendo
J:
e~{ \':i, v':i, 3v':i}.
IR -
IR
X-.._;' - A
p: Afunção fé bijetha.
C:aracterJLC cad.1 urna da' funçc~' real' de' arl;Í\el real. 3.1.
a (A)= .2._ 1 - 2.\
3.2.
b~r) =-x2A - x'
3.3.
c(x)= !.!...!.. 2 +.\"'
3.4.
d (x)=
3.5.
1 e(x)= - -
3.7.
g(x) = , - 5
'\~ G 2A
86
i(x) = vv.;:+3
r:
A funç.10 h é sobrejeti\a.
6.1.
ldentifiqueo•alorlógjcodaspropo;içóe> 11. q e r .
6.2.
A professora de Matemática de uma tunna do 10. ano col()C()u ªº'-cu' aluno' o seguinte problema:
3x
x' ~ 2A - 3
\'X
3.6.
Jlx)= -
3.8.
ll(x)=\19-?
IJ>alldOas flTOposiçi>es p, q I' r I' JJdO 1111:110!.tllllll I ..; crllillllllllltfllJi O/l<:rrl(tJl!S fóg/cas estudadas (ro11jw1çilo, disj1111çiío. implimçiío e <>111imli'llcit1) '"'·ni .. 1111111 /NO/XJ.
~
j l •
3.9.
q: A fwu;.io H é rnjcti\à.
13.10. j(x)=-
~
.
O c:arlos e a Margarida, dois do; alunos de>til 1urma, deramª' 'egulrue.. resposrns: Resposta do Carlos: (p ==> q /\ r) <=:> (p V q) Resposta da Margarida: (q V r /\ p) ==> (p <=:> r) Ape nas um deles respondeu corretamenle ao problema. Identifique o.
~-------------w__
_
F_ _u_n_ç_6n___________________________ __
º_•nerahdadessobrefunçoes
--
Considere as funções f , .~e Ir tais que:
Ficha para praticar 30
f: fl C:on;idere a funçJo f : fl 1.1.
fl deílnida por Jtxl ~ 6.\ • :i .
Ju>tiílque que J (\ bljell\3 e a1>re-.ente um.1 e•pressão para
f
'(x) , x E fl.
~ J
fl 1
.\ ...._,,. 2 \
2.\
Mostre que as funções f e /1 são injeti\ a; e ju;1ifiquc que a íunçào R é nilo lnjeli\a.
5.2.
1ndique o valor lógico da propo!>ição: q: Não é' erdade que a função 11 nao admita hl\eNl.
Calcule:
b) (lr og)(- 2)
Caracwrl;c
5.3.
e:aracteri1.e a função in\el'Sa de: o) J
ª' íunçÕ<' \ :
b) ,,
b) (/rog)(x)
a) (Jlolr)(.i)
5.4.
c:alcule:
a) (fog)(- 2) 2.3.
- 3.~
Mo;1rCque1>Jra1odoo .tE fl. (/ '•f )(xl -.t e (/•f ')(xl =x .
•) (.Rolr)( 2 ) 2.2.
li: fl -
A
5.1.
Con;idere a; furiçôcHCa1' de 'arld\el real R e Ir definidas em Fl por g(x)= .U - 2 e /r (x)= - 3x + 5 . 2.1.
g: fl .\ ...._,,.
f 1.2.
Fl
b) (/o /r) (vlii)
e) (/ ' . Ir
'l{ \12)
Indique, )u" lílco11d11, o valor lógico da 1>ro11osição: As funções g e Ir não são pennuU\\ICi>. Determine, para cada caso, uma expre;são analítica JMl'O a íunçüo f, sabendo (1ue:
Na figura e>t~ rcpre,cmodo, num referencial o n o no nnado, pane do grafico de uma função f dcfinidil em IR . e>bocc o KrMico d.1 funçfiO f ' , funçno lnversa de f. y
6.1.
11(x)=!'« - 2 e (/opJ(x)= - 15.r+7
6.2.
11(x) =4.\ - 1 e (/o,~(x) =Bx + :i
6.3.
11(x)= 3 - x e (fopJ(x) = - 18 + 12x - 2x'
EI Considere as funções f e R tais que: C:on;idere a; íuriçôc' real' de' aro;hel real f e R debfinidasem fl por Jlxi= 4.t e g(x) =- ~ . 3 4.1. Mo>IJ'C que J e R 'Mio 1:iennui.hels.
4.2.
11: fl\{3} -
:o
fl 1
.\ ...._,,. .-::3
Calcule:
7.1.
MoslJ'e que a função fé injelha e caracterite a função
7.2.
c:aracteri1.e a função R•f.
J ', ím CNI de J
e) (gof ')(24)
j 4.3.
Calcule o v.ilor exato de ___J;_'_(R_)_ _~ e apresente o valor pedido com denomi nador racional.
88
.11h0i)+ !R•Jl(- ~
l •
~
Considere a função f, real de variá\ el real, definida e m fl 1>or Jlx)= 1.1 • a, o nde a E IR.
Sahendoque ifof)(a)= 19a - 4, determine o valor real de a .
89
W Generalidades sobre funcoes
Funções
Ficha de teste 14
-
li Considere os conjuntos A={xEIR: 1
.Y 3
4
Qual é o valor de f(2)'1
y
4 X
1
·····1 ..... .
3
:::::::i
10
f{x) f (4X) =Te .1(32)=400
(o)
(e)
y
EI Relativamenle a uma runção f real de variável real definida em IR, sabe-se que:
10
Qual das seguintes 01>ções corresponde à representação gráíica de A x IJ ·1
(A)
Ficha de teste 14
4 X
X
(A) 100
(e) ;;o
(B) 75
(o) 25
IJ Considere as funções J e g reais de variável real definidas por: X
3
El Considere as funções f e li definidas por f (x)=.!.X e 11(x)= 1 - x, em IR\ {O} e em Fl,
"'
(11 +20
j(x)=Vx e g(x)=.o:' - 3x - 4 6.1.
Determine o domínio da função f og.
6.2.
Caracterize a runção
10
res1>etivamente e a função h definida 1>or /1 (x)=(g•f•11•f)(x) .
ll•f.
A runção /1 pode ser definida por:
(A) p,of
(e) f • P.
(c) f
(o) 11
EJ Considereafunçãofdefinidaem IR por j{x)=2 - ~x e seja f função~
10
(1 21)
7.1.
Mostre que a função h é bijetiva.
7.2.
Caracterize a runção /1 ' , inversa da runção /1 .
J
Qual das seguintes 01>ções poderá corres1>onder à representação gráfica da função
(A)
.,
li Considere a runção definida em IR por l1 (x)=x' - 4 . ' a função inversa da
f
'·1
(B) y
I J considereaseguinLeíunçãofonde A={- 3, - 2, - 1,
f:A -
(e)
(o)
X
IJ
8.1.
ldelllifique o valor lógico da proposição: Afimção f admite inversa.
8.2.
Defina a runção
f
por um gráíico.
IJ Considere as funções f, g e /1 definidas em IR por: j(x)= 1- x
Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira'!
3G
(1 11)
X '-" X + 1
y
a
o, q e /J={- 2, - 1, o, 1, 2}.
11(x)=i' - x+2
l1 (x)=2x+3
Sabe-seque (ll o(gof))(a)=47, onde aEIR.Determineovalor de a. 10
(A) ·1bda a runção real de variável real injeLiva é Lambém sobrejeLiva. (B) 'lbda a runção real de variável real sobrejetiva é també m injetiva.
(e) ·1bda a runção real de variável real bijeLiva é Lambém sobrejeLiva. (o) 'lbda a runção real de variável real injeLiva é Lambém bijetiva.
90
. i
II!J HelaLivamellle a um conju nto A sabe-se que (( 1, 2), (4 , 2)} C A' e que o cardinal de A' é igual a 9. Represenle em extensão o conjunto A' .
..,""'..... 91
W Transformacoes do gráfico de uma funçao
Na figura está represemada, num 1>lano munido de um rcícrcnclal ortonormado, a função/.
Ficha para praticar 31 1•.iracada uma da;, fullçól"> real' de \arl•h el real, ª'erlgue se é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 1.1.
/ (xl=- :;.,
1.2.
/ (xl = - 6x'
~ J
Esboce o gráfico cartesiano de cada uma dai. funçõe;, e indique o r"'pefüo domínio e contradomínio. 5.1.
a ü1 =flx + 1)
5.2.
b(..11 - Jlx- 2)
5.4.
1/Ü)=--Jlx)
5.6.
g(x):./(- A)
5.8.
i(x)=- l +j(- .<)
f
1.3.
8 /(.<\=- -
1.4.
X
1.5.
u.
f Ü)=- x'+ A
/ (x)= 7'.'
f (.•l = A'-x 5.5.
e(x) = - ./(.t - 2 )
Hel.itivamcnlc a uma íunç<1n / , 1eal de' arlável 1eal, sabe se que:
• é ím1Mr e bijcth a; • .f(- 2)= 3,./( 1)=- 2 e ./(3)=Sendo a runção
f a MIO ""Cl'!.O, calcule: 1
2.1.
j(I )+f( 3)
2.2.
f
' (- 4)-/ '(4)
2.3.
f '(/ 1 (3))
2.4.
f
1
((/
1
o
f
')(4))
Considere a função 11: IR -
IR definida por lr(x) =- _ !,. . <1
6.1.
fustiíique que a função h é não injetiva.
6.2.
Mostre que a função Ir é par.
6.3.
Considere a função 8' IR -
Relati\amcmc a um.1 funçáo g , real de \arlá,el real, sabe se que é ímpar. bijetiva e que 8(- a)=- b . Sendo g ' ª""cr;,adc li • mo\lreque (808 ')( /JJ= 8(- a).
IR definida por g(.t \=- 11 (." + " , onde
11 E
IR .
Determine os' alores reais de a para os qual;,: •) a função 8 não tem 1.eros;
b) a fw1ção 8 tem e>.atamenle um .tero; Considere a funçjo / , definida em ~, 1lllr
Jlx) - - 2x' + L
e) a função 8 tem dois .teros distintos.
Delennine a e»J>rc,;,jo analf11Ca de cada uma das funções. 4.1.
g (xl=}1.t + l l
4.2.
/1 (x) =f(-x)~ 2
Consldereafunção /:A -
4.3.
j (.<)=- 2.llx 3)•1
4.4.
m (x)= - f(Jx)- 4
IR , sendo A ={- 3, - 2 , O, 1, 1}.
Ográficodafunção/é G1 = l(- 3, - 4). (- 2, - 2), (O, 1), (1, G). (1, A)} . Considere as runções g e /1 tais que g(x) =- j(.<·) /\ V, =- V1 e /1 (.1·) =-f(· x) /\ IJ, =o,. De1ermine o gráfico das funções 8 e 11.
92
93
~~-~ --------------------------------------------w__~_~•~~~g~•~~~ C:on
Ficha para praticar 32 f
3.1.
a (xl -flx+ 1)
3.2.
lhl•fl.\l 3
J
3.3.
c(x)=fl- x)+ 1
3.4 .
tl(xl•}12.\)
3.5.
e(x)=~i)
u.
R(X •
Con;,idcre a funçào R de dom!nlo l 2 , 1 , O, 1 , 2} definida por g(x1• }13x). Relacione o gráfico de R com a 1ra11'formação ~ e com o gráfico cartesiano de f .
3.7.
lt{x)=Jl:U)- 2
3.8.
i(x)•- 2Jl.\ )+ 1
h-.crc•a o gráfico da funçào /1 ..allendo que o gráfico canesiano de lt é a imagem de f 1>ela tran;formaçào V tal que ao 1><>1110 /'(x , y) do plano associa o ponto,,. (3.\ , y) e obtenha wna e•1>rc;>ào analhica 1>ara a funçào lt .
Consldereumafunção/dedomlnio fl econtradomlnio [ 6 , 1) .
Seja G, •l( 6, 2), ( 3, 1.1.
Heprc>entc IJOlllo
1.2.
1.3.
Explique como pode obter o gráfico de cada wna da; funçõe> a panirdo gr:lílco da funç
l), (O, 1) , (3 , 2). (6 , - 1)} ogr:lficodeumafunção/.
ª' hnagcn' do-. po1110\ do gráfico cartesiano de f pela transformaç-.io ~ que ao
1•t, , yl do plano a\..ocla o 1><>nto /''(~ x , y).
f
Na figura e>t:l 1·cp1c,c111ada, num refe1encinl ononormado, pa rte do gráfico da função f que intcri.cia o
eixo Ox no; ponto> de abcl;.sa O gráfico de fé, c m ) oo, paralela oo eixo 0.1. 2.1.
~
4 e 2 e o eixo Oy no 1>onto de ordenada 2 .
!fl.\
indique o comradom!nio das funções definida; 1>ela; cxprc>.,.-,L'\:
4.3.
j(x)-aflx)
4.2.
/1(.1); - j(.1) 1o
4.4.
111(x)•fl2.•)- 6
1]. L11na ;.emlrreta de declive positivo e em (3, +oo[ uma semirreta Na figura está reprnsemado, num referencial ortonorm•tdo, o gráfico da funç;io f de dom!nio [ 6, !i).
ª'
Con;,idc1c, nl11dn, f1111çí1cs 8 e /1 deílnidas 1>or R(.•) • fl2.l) e lt(x) • :if(x) .
)'
a) indique o co111mdomlnio das funçcies 8 e lt.
Considere as funções 8, 11 e j tais que: s(x) ~ fl..\ + 2)
y
j (x)• - flx) + 1
5.1.
lndiqueodornlniodasfunções fl , /1 ej .
5.2.
indique o comradomlnio das funções g. /1 e j.
e) Quant.1;, ;.oiuçõe'i tem a equação /t(x) = - 3 ·1
2.2.
Con;,iderc a funç.Jo j definida 1><>r j (x)- Jlx + a)- b, onde a , IJE fl.
a) bbocc o gráfico da funçao j para a- 1 e b= - 2 e indique o seu donúnio e contradomhlio.
5.3.
-~
Calcule:
·>8 - 8).. 11(- 8 )+j (- 2)
b) Indique°' 'alort.., real' de a e de /J 1>ara os quais a função}:
.................
b) g (0) .. 1t(12 jl - 1))
b1) não Mn 1.ero';
Considere a função f cujo gráfico é o segmento de reta (,lfJ). '>t'ndo , \ (- 3 , 2) e /1(5 , 6 ) .
b2) tc1n uma Infinidade de 1eros; b3) iemco111radomínlo
J.
6.1. 6.2.
2.3.
llc1Jl'c;,cntc o 11r:lfico cone,lano das funções:
a) 111(.\)•A x)
94
1ndique o domínio e o contradomlnio da função/.
oo, o) . 1isl>0ce o gráfico de cada uma da; funçõe>. •) s(xl - - flx - 1)
b) /1(x); fl.2.\)
4
b) 11(.1)- - j(x)
95
W
Funções
Ficha de teste 15
(D
li Considere duas funções reais de variável real f e g, ambas de domínio IR .
10
Sabe-se que: • fé uma função pare g é uma função ímpar;
• ft3)= - I e g(- 4)=2.
Transformaçoes do gráfico de uma funçao
Ficha de teste 15
a
~
= j
O gráfico de uma função afim interseta o eixo Ox no polllo de abcissa 4 e o eixo Oy no ponto de ordenada 5 .
6.1.
!'"
b) os1.erosdafunção g definida por g(x)= - ftx+2).
Qual das seguintes afirmações é ''erdadeira'I
(A) ft- 3)+ g(- 4)= 1
(e) f(3) .;:;- .!.
(B) ft3) + g(4) = 3
g(4)
(o) s<4l = - 2
2
10
(e) (-3 , 3)
(o) (- 3, 1)
EI Na figura está represelllado, num plano m unido de um
CD
e
li Na figura está representada, num referencial ortonormado, parle do gráfico da função f de domínio ( - 4 , + oo[ .
(A) g(x) = ftx+ 3)
(B) h(x)=ftx+4)+3
f
g(x)=f(x+a), a E IR, h (x)=f(-x) e j(x)= - f(x)
•
Qual das seguintes funções não tem 1.eros'I
y
Considere as funções g, li e j definidas por:
10
y
referencial cartesiano, o gráfico de urna função f de domínio (- 4, 4) ecolllradomínio (- 3, 3).
Esboce o gráfico da função j definida por j(x)= 2ft- x) - 1 a partir do gráfico de f. Explique sucessivamente todas as transformações que tiver de efetuar.
Qual é o contradomínio da função g definida por g(x) = - ftx) + 1 ·1
(B)(- 1, 5)
6.2.
ft- 3)
EJI Considere uma função f de domínio IR e colllradornínio (- 4, 2). (A) (- 2, 4)
Determine: a) a forma canónica de f;
7.1.
Indique os 1.eros da função /1 •
7.2.
Indique o contradomínio da função j.
7.3.
Determine os valores reais de
a de modo que a soma dos lems da função g seja
uu1 nl1111ero não negalivo.
(e) j(x)=ftx - 3)+4
li Na figura está representado, num referencial ortonormado, o gráfico da função g de
(o) m(x)=f(x - 3) - 3
IJ Considere a função f: A
domínio)- 1 , 3). -+
IR sendo A= {- 8, - 4, 2, 6} definida por:
Sabe-se que o colllradornínio da função g é (- 1, 1) e que 1 e 3 são os únicos zeros da função g.
10
c;1=l(-8 , - 6), (-4, s), (2, - 6). (6 , 10)1 Considere a função g definida em 0 1 = {2x : x E A} por g(x) =
8.1.
~~).
(e)(- 2, 8)
(c) (- 16, - 6)
(o) (3, 5)
EI Considere uma função f, real de variável real, de domínio F! .
b) A função j tem zeros'! Justifique. 10
8.2.
Sabe-se que:
• f ' é a inversa da função f;
• fé uma função ímpar;
• f(- 5)= 1
Qualéo val orde
(A) 5
96
Considere a translação L, sendo t ransforma o ponto l '(x,
• fé uma função bijetiva;
f
]- .!., ~J 2 2
a) Indique o contradomínio da função j.
Qual dos seguintes pontos pertence ao gráfico cartesiano da função g ·1
(A){- 4, - 6)
Considere a função j definida em por j(x)=4g(2x).
Y
'ii{-
•y) no ponto
1 , 1), e a transformação
P'(x. ~y).
Considere, também, a função f que tem como gráfico cartesiano a imagem do gráfico de g pela composta '/~ o~. Indique: a) o domínio da função f;
'(- 1)'1
b) o contradomínio da função f;
(B) .!_ 5
(e) - 5
1
e) urna expressão analítica da função f.
(o) -5
M~IA
ioc:r.cn
97
e,a Monotonia e extremos de uma funçao
Nas figurns estão representadas graficamente duas funções f e g.
y
y
Na figura está representado, num referencial ortonormado, o gráfico da função f.
'
y X
Indique, justificando, o valor lógico das seguintes proposições. 3.1 .
Se a função fé decrescente, em sentido lato, em (a,
b], então g(d) é o mínimo absoluto.
1.1.
Indique o domínio e o comradomínio da função f.
3.2.
j(a) é máximo absoluto se e somente se g(c) não é mínimo absoluto.
1.2.
Indique o(s)1,ero(s) da função f.
3.3.
A função g é decrescente em (e,
1.3.
Indique o imervalo de maior amplitude onde a função fé:
3.4.
A função g não tem mínimo absoluto a menos que f tenha mínimo absoluto.
d].
a) crescenle, e1n senlido lalo; b) decrescente, em semido lato.
1.4.
Construa uma tabela de variação da função f.
Esboce o gráfico de uma função f que obedeça às seguintes características.
, D=(- 6, 4( , seja crescente em sentido estrito, apenas, no imervalo ( - 6 , - 3) ; • tenha máximo absoluto em x= - 3 e mínimo absoluto em x=2.
1.5.
1.6.
Estude a monotonia da função f.
Considere a função g definida por g(x)=f(x+ 2) - 3. a) Indique o domínio e o contrndomínio da função g.
Na figura está represemada, num referencial cartesiano, parte do gráfico de uma função f de domínio IR decrescente em ( 1, + oo[ .
5.1 .
.Y
Admita que a função fé par. a) Complete o gráfico da função f.
b) Indique o(s) lem(s) da função g.
b) Construa uma tabela de variação da função f.
e) E.~tude a monotonia da função g.
e) E.~tude a função f quanto à monotonia e existência de extremos relativos. 5.2.
Considere a função f definida em IR por j{x)= 5 - 2x.
2.1.
Prove que a função fé decrescente.
Admita que a função fé ímpar. a) Complete o gráfico da função f. b) Construa uma tabela de variação para a função
f.
e) E.~tude a função f quanto à monotonia e existência de extremos relativos. 2.2.
98
Considere a função g como sendo a restrição da função f ao intervalo (- 2, 3) e indique o seu contrndomínio.
Mostre que a função afim f definida por j(x)= ax+ b é decrescente se e someme se o valor real a for negativo.
99
e,a Monotonia e extremos de uma funcao
Considere a função f definida em IR por
F.iclia para praticar 34
j\x) = _ :'.,. 3
3.1 .
Mostre que a função fé crescente em IR e decrescente em IR
3.2.
Indique, justificando, o sentido da concavidade do gráfico da função
3.3.
Indique uma transformação a efetuar ao gráfico da função concavidade se altere, obtendo assim uma nova função.
Na figura está representado, num referencial cartesiano, o gráfico de uma função f.
y
f
f.
para que o semido da sua
Considere a família de funções afim, definidas em IR, 1>or j(x}=(2 - a') x - 3, onde
1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
Indique o domínio e o comradomínio da função Construa uma tabela de variação da função
4.1 .
f.
a
para os quais:
a) a função fé crescente em IR;
f.
b) o gráfico da função fé urna reta parnlela ao eixo Ox;
Estude a função f quanto à monotonia e à exi stência de extremos relativos. Indique um intervalo
Determine os valores reais de
a E IR.
e) a função f tenha lem para x= 6.
[a, ú] C o1 em que:
a) a função f seja positiva e decresceme; 4.2.
1.5.
Admita que a= 2.
b) a função f seja positiva e crescente;
a) E.~boceográficoda função g definida por g(x)=f(- x}.
e) 3x,. x,E[a, ú]: x,>'x, /\f(x,}=f(x,}
b) Indique o zero da função /1 definida por h(x} =
~~).
Considere a função g definida por g(x}= - f(- x}+ 1 . a) Indique o domínio e o contrndomínio da função g. Considere urna função j definida em IR tal que a sua tabela de variação e o seu quadro de sinais são: b) E.~tude a função g quanto à monotonia e existência de extremos.
"
Sugcscào: raça um esboço do gráfico d:i função g .
j(x)
Na figura está representado, num referencial cartesiano, o gráfico da função g.
2.1.
Estude a função g quanto à existência de extremos relativos.
2.2.
Considere a função /1 definida por il(x} = -
j\x + 1}.
" j(x)
y
-oo
/ -oo
2
"'
-3
o
o
- 1
-2
+
o
t
/
4
+oo
"' -oo
-ol +
o
Esboce o gráfico de uma função j que seja compatível com as informações contidas nas tabelas.
a) Indique o domínio e o contrndomínio da função li. b) Faça um esboço do gráfico da função h. e) E.~tude a função h quanto à monotonia.
100
Considere a função f definida em IR por .f\xJ=(k' - 3 - 2Vi)i', onde kE IR. X
Mostre que o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo para kE )- 1 -
\/2,
1 + \/2(.
101
e,J Monotonia e extremos de uma funcao
Funções
Ficha de teste 16
-
li Considere a função f, definida em IR, por j{x) = ( 12- 11\/3) x + 5 , com /1 E IR.
10
A runção fé estritamente decrescente em IR se e somente se:
12
(B) p> - -
(A) 11<4\/3
(e) p>4V3
(o) 11<-
\/3
(D
e
não tem máximo absoluto;
(a, /J( .
5.1. 5.2.
e
(o) y
.Y
quando
EI Considere a função g, definida em F!, por g(x) = 2X' + 2kx', onde k E IR.
102
(e) m(x)= - g(- x)+ 1
(o) 11(x)= - g(- x) - 1
o gráfico de fé urna semirreta.
6.2.
Construa urna tabela de variação da função f e indique os intel'valos de n1011olonia.
li
(10 • 1\ + 10
+2(1> 211)
y
Indique os extremos relativos da íunção f. Resolva as condições: 1
b)f(x) < 1
A função f tem três leros. Indique dois deles e determine o outro.
10
11 Considere a runção f definida, em F!, pela expressão j{x) =ai', a E IR \ {O} e os pontos
(o) k< - 1
A(- 2, - 8), IJ(- 1, - 2) e C{4, - 32) pertencentesaográficodef.
IO
(11 · 3~
Indique o sent ido da concavidade do gráfico de f percorrendo as seguintes etapas: , determine os decl ives das rel as AB e IJC;
10
• compare os decl ives das rel as AB e /JC;
J
(e) j(x) = - g(x) + 1
1],
Indique o domínio e o contradomínio da função f.
7.1.
(A) j{x)=g(- x)- 1
b) e a menos que q
6.1.
6.4.
O gráfico da runção g tem a concavidade voltada para baixo quando:
Qual das seguintes funções tem corno contradomínio o intervalo de números reais )- oo, o( e é decrescente em F! ·1
r
Sabe-se que, em )- oo,
6.5.
Na figura está representada, num referencial cartesiano, pa1·te do gráfico de uma certa função g, crescente em F! e de contradomínio 1 , + oo[.
r e e.
Identifique o val or lógico das proposições:
a) f(x)= -
a
X
cl
X
X
(e) k> 1
e
!
X
(B) k< 1
b
IJ Na figura está representado, em referencial ortonormado, o gráfico da função J.
6.3.
(A) k> - 1
li
!
IJ -----X
(e)
Identifique o val or lógico das proposições p, q,
a) p .Y
o
A runção f tem exatamente dois máximos relativos.
(B) y
:::-::::,~ r
···-··-··- ..... :::: 7-:·:; 4._____ 7 . .. ....... ,_.... ... l : :
r: A função f tem um mínimo relativo para x= e.
e:
"'
(11 +20
y
q: ft/J) é o máximo absoluto da runção f.
Em qual das figuras seguintes poderá estar representado, num referencial caJ'lesiano, o gráfico da função f '!
(A)
domínio (a, d) .
11: A função f tem um mínimo relati' 'º para x= a.
10
-
EI Na figura está representado, num rererencial cartesiano, o gráfico de uma runção f de Considere as proposições:
\/3
, }{a) é mínimo absoluto; • fé crescente em
~
= j í"
-12
IJ De uma função f, de domínio (a, /J). sabe-se que: ,f
Ficha de teste 16
, indique o sent ido de concavidade do gráfico de 7.2.
f.
J.
Considere a função g como sendo a restrição da função f ao interval o )- 2, 4 a) Estude a função g quanto à monotonia. b) Indique o contradomínio da runção g. e) Indique os extremos relativos da função g.
103
~~-~ ------------------------------------------~W ~*q~~~~~~m~• Represeme sob a íorma de intervalos ou uniao de ime" alo' o conjumo 'oluçfio de cada uma das condições em R .
Ficha para praticar 35
ª'
Deternunc coordcnjda' do 'énlce e Indique uma equação do eixo de simetria da> parábola> que definem o gráfico de tJda uma da.' funçõe-.. 1.1.
fl,.tl; 3x
1.3.
... /1 (.\ );-2- 1
1.5.
12.l
1.2.
1.4.
m(x);x•-lx -2
1.6.
3
g(x1=4x' - 8.t•4
.' r !
f
/l,.t) ..
-5(.... ~r
2.2.
2.,., 1 ;;.o
2
6.4.
- 1.1'
6.5.
2 (.l - l)'- 2<0
6.6.
- .!.,.•+ .!._. - .!.>O 3 2 1
6.7.
2.f-9.\(5
6.8.
--+ h(8 2
6.9.
x(I +4.l')
6.10. .\·-!i.\1 + 1>0
x'• 2<0
6.3.
u .. :u;;. -
j(x)=-.f•x-~ 9
11(xl =2?+s..·2
Determine o contradomhtin eº' lmer,alos de monotonia de cada uma das funções. 2.1.
6.2.
6.1.
g(x) = -
Considere a função lt definida.em IR, por lt(x),.m.1' +(2m
.!.2 + (x-3)'
+h
l >O
...
1) •(111 • I).
Determine os valores reais de m para o; quai> 'tf x E IR, /1 (.l) >O. Apreseme os' aiores pedidos na íorma de intervalo de nt'11ncro' 1cai;.
2.3.
lt(x); ·.-'+ 3.1
2.4.
4 1 J"(x) =x, +-x-3 2
Uctcnninc º'valore' 1·cal' 111 para os qunis a [unção quadrática J, definida em R, 1>or
<:onsldere a [unção f definida por /l,.t) =
Jl.x)"' nu.' +(2111 1) .l + 111 2 tenha npenns um único :i.ero.
8.1.
{x- 2
-~r+ 2)'+ 1 >C x(O
1
se .\> 0
f (- 4) Calcule o valor exato de - -. e a1>rl!l>entc o •alor 1icdido com denominador racional.
J(Vi) Determine, ca>a cxl\ta, o(shalor(e,) real(ls) de k para o qual a função f, definida em R. por: 4.1. 4.2.
/l,.t)"' 2.l
J1.t);-3.t'+2(k
l )H k
8.2.
Determine, analiticamente, os 1..ero; da função f.
8.3.
Estude a função f quanto à monotonia e eilitêncoa de e.irem°' relaii'º'
8.4.
Considere a função R definida 1>0r g (.\ )=JI.- x). Indique 0> 1.cro' da funçjo R.
1 tenhacommdomlnlo }-oo, 2};
C:on>idere a funçjo /, ddinlda em IR, 1>0r /l,.t) ~ 2 _. + 1 • 6 . 5.1.
Defina. analillcameme, a função f ..em utih1.ar módulos.
5.2.
Ucterm111c
5.3.
Considere uma função f de donúnio R e de contradomlnio [ 6, 2).
lll!l>oh a a> condiçóc\:
a) fl.x)"'
104
º"e'°' de f. 1
Indique o contradom(nio das funções definida> 1>ela> >t'j!Uillll"> cxprc"ric,.
t
9.1.
g(x) ~l/l>l[
•
9.2.
il(x)~ -[/(x)+2
b) Jl.x)(2
1
e) Jl,.t) > 1
i 105
~ ~~q~~~~-~~
_
_F_u_n_ç_õ_e_s_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
l'aracada,alorreal a, diferentedelero,ede k, .icxprc;,,âo Jt•)= <1(A + 2)' quadr:ltica.
Ficha para praticar 36 C:on;idere a fL111çJO. definida em Fl, 1>ela e\pres'>âo j(x) = - .\" • li.\ - 7. 1.1.
1.2.
Ol>termlnc a;, cuordc11.1da' do' 1>0n1oo; do gr:lfico da função f cujas ordenadas ;ão 16 'eLl.,, >upcriorc; à; àbch.\ J'-
Considere a= - 1 e k= - 4 edetermineocontradomín1odcf.
4.2.
Considere a= 2 e k = 3 e indique o; inte" alo; de monotonia de/.
define urna função
.
r f
Con;,idcrc a funç:t0 li definida 1>0r 11(.t) = f{.t + 1).
a) Octcrminc ª' coordenadas do \énlce da 1>arál>0la que define graficamente a funç-.iO R. b) Octcrminc
Na figura está representada. num referencial can1"1>i.u10, parlc da reia r definida pela equação )'= - 2.1 + 8 .
º' 1.ero. da função R.
l:ll como a figura sugere
e e o são os ponto> de cuonlenada'
( 1, O) e (O, 8).
e) btudc a funçao li qua1110 à monotonia e à exis1ência de extremos relati•o>. 1.3.
4.1.
Ã.
Sal>e se que: • o 1>01110
C:on;ldcrea função /1definida1l0r /1(.t)=f( >) 2. a) Octcnnlnc ª'coordenadas do vér1lce da par:ll>0la que define graficamente a função lt.
A
1>enence ao eixo 0.1 ;
• o 1>01110 B pertence ao eixo CJy; • o 1>01110 t• desloca-se ao longo do segmento de reta (<.'f)), nunca coincidindo com o ponto e nem com o pomo D. Acadu ''º'''"ºdo 1101110 I' corresponde um retângulo [OA/18) cm que u111<1 da' dlogorinl• é o segmento [ 01');
b) Indique o contrndomínlo do funçno lt. e) H.-tudc a funçno lt q110111011 mono1onlae11 existência de extremos relati\•os.
X
, o 1>onto t• tem abcissa x e xE )o, 4(. Hepre;eme >Ob a forma de lmcrvalo,ou 11111:!0 de llllel'\alos o conjunto-solução de cada uma d.i; condiçõc; cm IR . 2.1.
1 - 4.tl< 3
2.2.
2.1 - 6 > 2
2.4.
A;r- 3x•l (5
2.5.
.t'- 4.t + 5 > 1
2.6.
x'- x - 4 >2
3.1.
Oefina. analiticanwn1e, a funçào R wm u1ill1.ar módulos.
3.2.
C:on;idcrc
ª' prn110,lçl>e' em sem Ido lmo, em Fl
q: g(.t)(O <::::> .tE ]-oo,
ldcmlfiquc o' alor lógico do prn11oslçJo: q a menos que 11.
106
5.2.
Determine as dimensões do retângulo de :lrca 1mWma.
S.3.
Oeterrnine os' alores reais de x para o; quai> a áre.i do ret~ngulo é Inferior a 6 . Aprese me a sua resposta utiliLando a 110t<1ç-.io de ullel'\alo, de numero' rt'at ...
.1,
por A (x) - - 2.t" +li.\.
Duas colegas de turma, a Diana e a Carolina, 1>en;,.ir.un cada uma num número real.
Con;idert' a funç.io R, definida, em Fl, 1>ela e•pre.são 11!x)= 2 • XI + x - 1 .
~ cre..ceme,
Mostre que a área do retângulo [C>Al'IJ] é d.1da, e1n função de
l4x+ 11;..5
2.3.
11: A função li
5.1.
Sejam x e y , respeti\'amente, os número; em que a Oiana e a Carolina pensaram.
- ~]
t
1 •
i
Sal>e-se que a soma do dobro do número que a Oiana 1>cn,ou com o número que a Carolina pensou é igual a 8 . De1ermine os números em que cada uma pen;ou admitindo ainda que o produto deles é o máximo po;;,ível.
107
W
Funções
Ficha de teste 17
li Considere a função quadrática, definida em IR, pela expressão f(x)=X' - 5x + 6. (A) (3, 2)
(B)
(i, -~)
EJ Considere a função f: )- 4, 3) -
(C) (~,
10
As coordenadas do ponto do gráfico de f de menor ordenada são:
1)
10
Qual dos seguintes conjuntos corresponde ao colllradomfnio da função f ·1
(A) (15, 36(
(e)(- 12, 36(
(c) [ 15,36)
Ficha de teste 17
10
7.2.
A n IJ
6.2.
A UIJ
Averigue se a função f tem 1.eros.
Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos. SugcsU\o: C:omccc por fazer um esboço do gráfico da função f
.Y
Qual das funções seguintes poderá definir a função represelllada'I
(l~ + U)
. . a funçao_f defirnda . por: f(x)= {- zi' - 4.~+6 se x;;;o li Considere x+5 se x>O 7.1.
de domínio IR.
lG
Represenle e1n extensão:
(D) (- 12,36)
EJ Na figura está represelllada, num referencial orlonormado, parle do gráfico de uma função
-
IJ Considereosconjuntos: A={xEIN: lx-21(4} e IJ={xEIN : x - 71< 2} 6.1.
(o) (2, 3)
IR definida pela expressão f(x)=3i' - 12.
Funçao quadrática. Funçao módulo
.
(A) J(x)= - x - al+a (B) g(x)=lx - a - a
IJ Na figura estão representados um triângulo isósceles [AJJC:] e um retângulo [DGFli).
(e) h(x)=lx-a +a (o) j(x)= - x - al- a
/
, a base [A/J) do triângulo [A/Jc:) mede 6 unidades;
a
10
Considereasfunçõesfe g, definidas em IR, por f(x)=x e g(xJ=l.t' - JI.
(e) 1
• a altura do triângulo [A/Jc:), relativa à base [AIJ). mede 4 unidades;
, os vértices li e r: do retângulo pertencem, respetivamente, a [AC:) e [IJC:).
A sorna das abcissas desses dois polllos é igual a :
v5
r.
• o lado [oc;) do retângulo está contido em [AIJ);
Os gráficos de f e g têm dois pontos em comum.
(A) -
~
(1 li)
Sabe-se que:
(e) -
1
(o)
v5
Seja x a distância do polllo A ao ponto D (x E )o, 3().
8.1.
EI Considere a função f definida por:
Mostre que a área do retângulo (oc;r:li) , em função de x, é dada por
A(x)=Bx - ~i'.
10
3
f(x)=
As imagens dos objetos O,
f(
108
~e
x+\V:i
se
'V'4
se x=.!.
x-
se x;;.1
l
. 1 +·'efci
x;;;o 2
8.2.
Determine o valor de x para o qual a área do retângulo é máxima e calcule essa área.
8.3.
Determine o conjulllo de valores de x para os quais a á rea do retângulo [oc;FJ;) é .1gua1ou .111 ~er1or . a 9..
1 ordenadas por ordem decrescellle é:
(A) f{O) > 1) >f(~)
(B) f(O)>!(~)> f(l)
(C) f{l)>f{O)>f(~)
(D)
!(~)>f( I)>f(O)
2
Apresente a sua resposta uliliwndo a notação de illlervalos de números reais.
109
W
Represente sob a forma de imervalos ou reunião de intcrv.tlos o conjunto bflluç.10 das seguintes condições.
Ficha para praticar 37 C:on;idere a íunçJo / , real de 'arl.i,el real, definida por / (x) .. 6 - 2\ ~. 1.1.
Dl>tcrmlnc o domínio e o contradomínio da função/.
1.2.
Mo;trC que a íunç;.o fé lnjetl\ a.
1.3.
Funçao raiz quadrada. Funçao raiz cúbica. Operaçoes com runçóes
5.1.
.r~ f
5Jbcndo que fé bijcli,a, carac1ert1e a função f
considere a. funções f e g definidru. por j{x); \
, imersa da função/.
C:on;idere a função ic. real de 'arl:h el real, deílnida por g(1) " \'' 1 - • + 2 . 2.1.
Determine o domínio e o contradomínio da função g.
2.2.
l'aça um c>lloço do gránco da íu nç~o R e estude a quamo: a) ao ;cmhlo da cnnca' Idade do seu gr;lOco;
5.2.
\ x' - 3.\<2
\ 2.\ + 5(.\
2X:J e g(.t )" 5
6.1.
Detemtine o donúnio de cada uma da. íunçõe; f e g .
6.2.
Oelennine o domínio da função li"f - g e os 'l'U>t.4!ro>.
6.3.
Determineovalorde (fg)(4).
\
1
b l.
C:onsidereasfunçõesfe g definidas por}(>)" ~ e g(.I); ~ G. Determine o domínio da função [. R
b) à 111onmonln;
e) 2.3.
11 exiM~ncla de ex11·cmos
rnlni lvos.
No figura está representada, num referencial ortonormodo, 11or1e do gráfico da função f definida por f{x)" yr.;:;: e do função g defi nida por g(x)= 1- .t.
Carncicrltc o funçüo R ' , ilwe1..a da funçJo g.
Sabe seque: , o grMico de f imersela o ei>.o O.\ no r>onto A ;
Re;oha a;;cguimc, cqu.tçóc,. 3.2.
\~=4
1,t ; li
3.,,
1 = 2.l - \ :c' +5.\ + 1
2 - .t 2\ ;--j = O
3.6.
\ 1 - \x' - x'=x - I
3.1.
\~ ; 3
3.3.
\'~
3.5.
• o gr:Uico de g interseta o eixo Ox no ponto U; • o pomo e: é o ponto de interseção dos gráficos de fede li· Determine a área do triângulo [ABC:] .
llesoh a a equação ~ '.; + 2\ '.; = 1 . Suges1lo: \ub,ti1ua na equa~o ~ ; por .t' e rew l\-a a equJ\do J o 2.• grJu otn1J.t
Coni.idere a; funçôe> f e R dcílnlda.' 1l0r }(.t)=2.l' - !i• + 3 e g(x) =\ x - 1 . , ,1.
, .2.
Carae1cri1.e
Con;ldcrc
ª' funçó<:' f ·R e Ruf .
ª' 1irn1l0,lçôe':
11: /\;, funçóc' f e R ,;.o pc1mu1ávcl~.
q: O contradomínio da função f csul comido no comradomfnio da função R.
Indique, ju,llficnndo, o' nlor lógico da pro1loslção: 11 quando q
110
t
Considere a função f: [ 1, + oo[ - [2, + oo[ definida pela cxpre";ui / (")" 3 - 2.l + .'. 10.1. Sabendo que fé bijetiva, caracteri1.e a função f , ln•ct\a da funçao f .
1 •
i
10.2. Resolva a equação
f
' (x)= 10, ;em utili1.ar a exprc».10 analhlco da função f.
111
•
Funç6es
W
Funçao raiz quadrada. Funçáo '""cúbica. 01H'raço.s com funçots
---~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
J\ professora de Matemática de uma turma do 1o.• ano colocou
Ficha para praticar 38 C:on;idere a> funçôe'> f, li e li deOnlda' 1>0r: lr(x) = \. 5+4X
j(.\ = \'i;J
.r~
Dl1ermi1w o domínio da' fun«H"> /, 11 e Ir.
1.2.
Determine f
1.3.
lle;oha a l'quaçáo ll(A)= 7.
1.4.
O gráfico carw,lano da íunçào Ir lncersern a hissetri.< dos quadrantes ímpares num ponto, quando repre'>l'mad
li. ~l; -i'\Ç -f=O Aseq~<> <;llô cqc
O Amónio e o José são dois alw1os dessa tumia. A> ;ua; rl'>IXl>ta> foram
(5).
{.!..,
António: Som, as equações são equil alente>. Amba; tem como conjunto ..oluçào 1}. 16 José: l\ão <ão equi•alentes, pois têm conjuntos ;olução doformt<'" Apenas um deles res1>0ndeu corretamente ao 1».erdcio. Identifica o.
l\a figura e>tá represemado um triângulo retângulo [A/JC]. Sabe '><'que C/J = 1 e ,l/J =A • Seja /' a função que tradu. e Indique o •cu domínio.
5.1.
5.2.
H
/
X
Mostre que a área do triângulo retângulo [A/JC.J é dad•l, cm funçflo
C:aroc1e1-llc cada um•1 da> íu11çi1r.s. 2.1.
1s d J. 15 cq u.1 ;ôcg fiei:ju1r1 te5.
1. ~~,;-2\';-f=O
f
1.1.
1
Considerem
ª°''e"' aluno' o ..egulme exerclcio.
de x , porA(x)=
/ up., ;cndo j(x) = v:;-T e ll(A)=x' - 3
x\11-7 2
(xE]o. 1().
Decermine os valores reais de .t para os qual; a clre•l do Lrl~n11ulo 1e16ngulo (A/JC:) é Igual a
5.3.
~ unidades quadradas. 2.2.
~. ;cndo 11(.1) = vi? e}(.\)= 2 \/~
J
Na figura esc:\ represemada, num plano munido de um referendai orconorrnado, urna elipse e um retângulo (/\LJCO). 2.3.
• {-.\ ..e .t< - 1 1- / , ;cndo /(xl= ~. e /(x) ~ 1H ... ..e .\;>- 1
Sabe se, ainda, que: • A. B, e: e D são pontos da elipse • a elipse pode ser deOnida pela equaç.io ;; +
ti
Seja 2.4.
111 + 11, !>Cndo 111(.\ )= .\ -2 e 11(x)= {
I 2.\ - 1
se A>O <;e
A
{s = 1
a abcissa do pomo A(xE )o. 5(1.
Mo\tre que a área do retângulo (AflCO) é dada. em ÍUllÇÍIO de x, 16 - . 1>0r ~x\. 2.'i - r.
A(O
J
Considere a função/, real de \ariá• el real, definida cm ~ 1>0r j(x) = ..' - h - 1 .
Con;idere a; funçóc'> f e 11 definida' 1>0r /(,\) = \. ttJ - 1 e 11(x)= \.A - 1 .
112
3.1.
Determine o domínio da' funç<1es f e li·
3.2.
C:on;idere íunçõe' /1 e j tal\ que /1 =f-11 e j =f +li· ldcmifiquc o' nlor lc\glco da 1uo1)oslçilo:
7.1.
.
3+/(10)
e.ale ui e o valor exato de - - - e a1>re>eme o •alor pedido com de11ominado1 racional.
1(v2J
ª'
t
7.2.
Decermine os extremos relativos da f unçao p. definida por 11(.1) = 1/(.1); .
li funçiln li não tem 1eros a menos que a função j tenha .
i
7.3.
llesolvaaequação \/fW;- j(x)+6.
f •
Mt\IA IU( 1 -CJrK
113
W
Funções
Ficha de teste 18
li Considere as funções f e li definidas, respetivamente, por j(x)=~ e m (1, +oo( e Qual das seguillles opções corresponde ao conjunto dos zeros da função h =f +li 'I
(e){o, 1}
10
11(x)=v?"=i' em J- oo, - l)U(I, +oo( .
(e){- q
Ficha de teste 18
IJ Considere a função f definidapor:flx)={~~ v - 1- x - 2
(D) {O}
EJ lJm reservatório cheio de água começa a ser esvaliado às 7 horas de um certo dia.
(o)
(e) 15 horas
EI Na figura está represelllada, num referencial
Averigue se a função f tem zeros.
6.2.
Mostre que
.r{- 8 - 4\/3)= '\/3.
li Considere as funções reais de variável real f e li,
17 horas
y
10
7.1.
Seja /1 =f •ll. Determine o domínio da função /1.
7.2.
Seja j a função de dominio F! definida por j(x)= - 11(x+ 1). a) Estude a função j quanto à monotonia e existência de extremos relativos.
ortonormado, parte do gráfico de uma função polinomial f de domínio IR . Sabe-se que a função f tem apenas dois zeros: - 4 e 2 .
li (11 +31)
y
sendo f definida por j(x)=Vx e 11, de domínio IR, represelllada no referencial cartesiano da figura.
O reservatório fica valia às:
(B) 11 horas
6.1.
1 se x;> se x< - 1
10
Admita que a altura da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada por h(t)= 2 - ~ .
(A) 8 horas
ru
Funçao raiz quadrada. Funçao raiz cúbica. Operaçoes com funçoes
Seja li a função definida por 11(x) = ~.
b) Hesolva a condição j(x) >O.
Qual dos seguintes conjuntos 1>oderá ser o domínio da função li ·1
(A) F!\l-4 , 2}
(B) (- 4, + oo(
(e) )- 4 , 2(
(D) )-oo,4)
a
J
IJ Considere a função /1 definida em [- 2, 2) por h(x) = \l'4=""?.
Determine do domínio da função
8.2.
Resolva a condição flx) <11(x).
J ii.
D Na figura está representada, num referencial 10
funções afins, f e li.
y
ortonormado, parle do gráfico da função f definida por j(x) = - VX:Z e que illlerseta o eixo Ox no ponto JJ .
(A) F! \ l- 4, I} (B) F! \ p}
.,
y
O ponto A pertence ao gráfico da função f e C: é um ponto do eixo Ox tal que Af:= AJJ e de abcissa superior à abcissa de A .
l
domínio da função j = ·1 li
(c) F!\l-4)
8.1.
(e) f(- x)= f(x)
B Na figura está represelllada, num referencial ortonormado, parle do gráfico de duas Qual dos seguintes conjuntos poderá ser o
30
(10 + 2~
l1 (x)='~+ 1.
10
Qual das seguillles igualdades é ''erdadeira'I
(A) f(x - 2) = f(x) - f(2) (B) f(2x) = 2f(x)
Considereasfunçõesf, 11 e /1 definidas por j(x)=v;+J, 11(x)=2+v;:-;ã e
(Z zt)
X
J
Seja x a abcissa do ponto A • X
·'
9.1.
Mostre que a área do triângulo [AJJC.], em função de x, pode ser dada por (x-2f .
9.2.
Determine para que valor de x a área do triângulo [ABC:] é igual a 64.
(o) F!
114
115
m
W
Estatística
Somatórios. Méodia. DesVlo-padrao. Pen:entis
IJma t111·rna de uma certa escola tem raparigas e rapazes com 14, 15 e 16 anos que se distribuem, por idade e género, corno se apresenta na tabel a. No íinal do 1.• período, a Rita veio transferida de outra escola e foi colocada nesta turma.
<
Na tabela seguinte estão registadas as classil1cações dos alunos de u1na turn1a do 10.º a110 11a disciplina ~ de Matemática. O n(unero de alunos que tiveram classificação de 1O valores e os que tiveram classificação de 12 val ores está representado pela letra a. Clas.slncação (cm valores) ~úmero
1.1.
1.2.
de alunos
9
10
12
2
a
a
~ 15 5
f
3
Sabe-se que a média das idades dos alunos não se alterou com a entrada da Rita e que a idade dos outros alunos não se alternu durante o primeiro período.
18
14anos
15anos
16anos
ltaparlgas
5
3
3
Rapazes
2
8
4
Determine a idade da Rita.
2
Determine a média das classificações dos alunos que tiveram classificação superior a 12 valores.
Considere o conjunto A=
{x E Z: xE [- '\f:i, 2[} e determine a média dos elementos de A.
Admita que a mediana das classificações dos alunos da turma é 13 val ores. Qual é o valor de a'! O casal Silva tem três filhos: duas raparigas e um rapat.
No início do ano letivo, a t urma do António t inha 30 alunos.
Em relação aos filhos do casal Silva, sabe-se que:
A tabela seguinte apresenta a distribuição das idades desses alunos.
• as duas raparigas são gémeas;
• o rapaz ten1 12 anos; ldodc
14
15
16
17
Número de alunos
16
5
2
7
• o val or exato da média das idades dos três filhos é 14 anos. Determine a idade das filhas do casal.
2.1.
Determine a mediana das idades dos alunos da turma do António no início do ano letivo.
2.2.
No final do primeiro 1>erfodo, entraram, na turma do António, dois alunos com diferença de idade de dois anos.
Registou-se a altura, em centímetros, de det jogadores de uma equipa de voleibol masculino e obteve-seaseguinteamostrn: ~=(2 1 2, 208, 199, 205, 184, 199 , 203, 203, 187 , 192)
Sabe-se que a idade dos outros alunos não se al terou durante o primeirn período. Qual era a idade de cada um dos dois novos alunos, quando entraram na turma, sabendo que a média das idades dos alunos da t urma não se alterou.
No ensino proíissional, o nú1nero de horas se1nanais na disciplina de Matemática varia de acordo com os cursos e com os anos de escolaridade.
ê
..
E
Com base nesse registo, elaborou-se o gráfico ao lado.
Y.
3.2.
Explicite .~.
7.3.
Calcule o valor da média desta amostra.
e
Calcule o valor numérico de cada um dos somatórios. IO
8.1 .
E
•:>
8.3. 1,5 2 2,5 ;J Nún1eru de hora.s se1nanais
Indique o val or lógico da prnposição.
CJ número médio de floras semanais na disci11li11a de Matemática das t11rmas dos c11rsos do
ensino profissional deste agrupamemo é 11m 111imero real não illleiro.
116
7.2.
..tf11
15
"'..e
Indique a moda do número de horas semanais na disciplina de Matemática das turmas dos cursos do ensino prnfissional deste agrupamento.
Indique
:!)
Num agrupamento de escolas, registou-se o número de horas semanais na disciplina de Matemática de cada t urma do ensino profissional.
3.1.
-'(*''.
7.1.
..'
.
l
•~ ;;
~ ,_, '\/2 i '
\ '
t'"':",) 6
8.2.
'
~ (2i - I)' 1-;1
8.4.
' \'
('\f:i- 1)' '- '
Para cada urna das expressões escreva uma expressão equivalente utilitando o sinal de somatório.
9.1.
- 3'+ 3'- 36 + 3'- 3'
9.2.
(d'-11) +(a' - 11') +(a' - b')
9.3.
(a' - ll) +{ú' - a') +(a' - li)
9.4.
25+36+49 + Ci4
117
m
W
Estatística
A amostra ;!= (11 O, 150 , 180, 200, 150) refere-se aos pesos em gramas, de cinco laranjas.
~ riaticar 40 Hesolva as equações.
" ~ 2=14 ,_'
1.1.
2.t'
1.2.
Para uma cena amostra ~ = (x, ,
x, , ...,
x.), os desvios em relação à média, d, = x,-
2.1.
Determine o val or de d,.
2.2.
Calcule a sorna dos quadrados dos desvios, SS, .
2.3.
Sabendo que
calcule o val or da média
7.1.
Explicite :~.
7.2.
Calcule o percemil 30 e o 1>ercentil 80 e imerprete cada um destes valores no comexto da situação.
li' - 5x = ~' 2' ,_' x 1>ara
i=2, 3, ... , 6 são: dl:- 3, d 1 :::: 2, d4 = - 5, d;= 1 e ~= - 2.
x, = - 10 ,
Somatórios. Méodia. DesVlo-padrao. Pen:entis
Considere o histograma represemado na figura.
y
Identifique o valor lógico da proposição p.
8 7 6 5
x e explicite a amostra :! .
.......... ..........
4
;J 2
Hegistou -se a altura, em metros, de seis raparigas e obteve-se a seguinte amostra:
o
2
4
6
8
IO
X
;!=(1,71: 1,67; 1,62; 1,72: 1,65; 1,59) Seja
y
3.1.
a amostra das alturas das seis raparigas, convertidas para centímetros. Calcul e
ss, e SS1 • Os dados das seguimes tabelas referem -se às poupanças diárias, em euros, efetuadas durame oito dias
consecuLivos por dois a1n igos, o Diogo e a Catarina. 3.2.
Verifique que SS, =O,OOOISS1 • Poupança..~ d:i Catarina
Pou1>anças do Diogo (em euros) 2.2
Considere as amostras:
;!=(3 , 1, 2, 4, 6, 2, 3) e .!'=(x,+ 2, x,+ 2, .. ., x,+2)
.Y=x+2
4.2.
3, 6, 2) e
t=(~x.. ~x,, .. ., ~x,)
1,7
2,0
1,5
1,7
2, 1
1,9
1,6
2.2
2.2
1,6
1,9
Calcule a média diária, em euros, das poupanças de cada um dos dois amigos, o Diogo e a Catarina, nestes oito dias.
9.2.
Determine o desvio-padrão relativo às poupanças diárias, em euros, de cada um dos amigos, o Diogo e a Catarina, e comente os valores obtidos.
1,5
Apresente os val ores do desvio-padrão, para ambos os casos, arredondados às
Mostre que:
x=y x 2t'
5.1.
1,6
SS,= SS1
Considere as amostras:
~=(1 , o,
0,9
9.1.
Mostre que:
4.1.
3,6
(cm euros)
5.2.
centésin1as.
ss,=v'iss,
Uma cena balança tem um desvio positivo sistemático de 10 g(o f)eso indicado é 10 g superior ao peso real).
Pesaram-se nessa bal ança quatro melões, um de cada ve1. e registou-se o seu f)eso em gramas. Obte,•e-se a amostra :! = (34f,(), 4600, 2980, 5130). Seja
t
a amostra dos verdadeiros f)esos de cada um dos qu atro melões.
Calcule
118
.<;.\
e
ss, e conclua que .'is,=.o;s,..
l
.
l
•~
Escreva, utilitando o símbolo de somatório.
1 1 1 10.1. .!..+--- + - -- . + ... + - -.
11'
(11 + t)' (11 + 2t
(2,,Y
;;
119
•
W
Estatística
Ficha de teste 19
li Fez-se um estudo acerca do número de telemóveis que cada runcionário de uma certa e mpresa possui. Os resultados foram registados na tabela seguinte. Número de telemóveis frcqu~ncla
relativa
O 0, I
0,56
Ficha de teste 19
-
2
3
4
5
a
0,02
a
1-1
IJ Hegistararn-se dados relativos à altura (em cm) de 20 crianças do género ferninino co1n, no 1náxüno, 12 meses de idade.
Qual é o valor médio do número de telemóveis por funcionário desta empresa'!
(e) o,os
(B) O, 16
(o) 2,22
IJI De uma certa população recolheu-se a a mostra A de unidades estatísticas e registaram-se
,,,
,• •
Apresente a sua resposta utilitando a notação de in tervalos de números reais.
(a designa um número real positivo)
(A) 1,58
-
E1 Hesolva, em IR, a inequação~' (-2i+x)<~' ((- xf - 2).
10
0,14
u
Somatórios. Méodia. DesVlo- padrao. Pen:entis
10
os valores da variável x de interesse. Obteve-se como média da correspondente amostra x o valor x= 10 e como desvio-padrão s, =2,5. -
54,3
45,2
62,4
70,2
(1\ • 1\ +ZO
56, 1
• 11)
40,0
56,3
74,2
6612
50,3
74,6
72, 1
64,5
49,0
66.0
60,4
55,2
59,1
60,4
6.1.
Agrupe os dados em classes de a mpli tude 6.
6.2.
Construa um histograma e determine os percentis de ordem 10 e 85.
6.3.
Identifique a que percentil pel'lence o dado 64,5 cm.
6.4.
A percentagem de crianças com altura iníerior ou igual a h centímetros é, pelo menos, 30% e a percentagem de crianças com altura superior a /1 centímetros é, no máximo 70%. Determine h.
Admita que todos os valores de variável x são aumentados 20%.
61
68,6
Neste caso: (A) a média passará a ser igual a 12 e o desvio-padrão passará a ser igual a 3;
11 No histograma da ílgura estão representados dados
(B) a média 1>ermanecerá igual a 1O e o desvio-padrão passará a ser igual a 3;
(e) a média passará a ser igual a 12 e o desvio-padrão permanecerá igual a 2,5; (D) a média 1>ermanecerá igual a 1Oe o desvio-padrão pe rmanecerá igual a 2,5.
EI Considere o conjunto de dados:
Uuraçâo do percurso casa-escola
relativos à duração, e m minutos, do percurso casa-escola realitado num dado dia por uma amostra aleatória de 32 alunos de urna escola secundária.
:g 12 ~ §10
7.1.
~ ~
10
Determine o percentil 60 arredondado às décimas e interprete o resultado obtido.
~H
~
E
4
:;, 2
302426a/J23
7.2. (a e /J designam números reais positivos)
Determine, dos 30% de percursos com maior duração, aquele que tem menor duração.
15
:iu
45
i;u
75
'le1npo (1n in)
Sabe-se que a média deste conjunto de dados é 27 e a moda é 30 . Em qual das opções seguintes podem estar representados os valores reais de a e /J 'I
(A) a=30 e IJ=30
a
(e) a=29 e ú=27 (o) a=30 e ú=29
(B) a = 40 e ú=20
1
As classificações obtidas por 12 alunos de uma certa turma do 10.º ano num teste de Matemática, encorllram-se registadas a seguir.
(1)·
1- -
2 li Sejam A=~,_,(.!.) 2 e lJ = .!_2X-1-.!.-. Mostre que A e IJ representam o mesmo número.
10
11
2 15
14
10
o
16
9
12
14
13
10
12
11
Seja1n Pn , Jl';A1 e Pr:., respeLivarnente, os percenlis de Ol'de1n 25, de ordern 50 e de ordem 75. lJual das seguintes aílrmações é verdadeira'!
120
.•
(A)
!',, - l'v = 6
(B) I'.., - !',, = 4
l
(e)
1•,,, - 1'.., = 4
(D) I',, - 1',.= !'.,., - P,,
,
Q Sabe-se que ~,_, (i + 2)'
11(11+ 1)(211 + 13) -------+411. 6
·"
lltili1..ando este resulLado, mostre que ~ (3/ + 12j + 5) = 34 095 . 1- '
;;
121
S
Soluções
Solucoes
Fidi~ par• pratte1r 1
1.1.
1.2. 2.
3..1. i.>. 3.5.. 4. 5.1.
u
..
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Z.11. l. 4. Ytitl.klrir.:i• 4.1 •. 4.)., 4.4. 4.7.. 4.t. 14.10. Í ..aJ..~ 4.2. 4.1., 4,.. 1' 4. t, 5. YrhLidt"ir.1' 1.3. fdlt...H 1. 1.. 1,2., 1,)., 1.4., 1.5, f' 1.6. 6. /1~l.1l...1f'11 ~\l'l\Lldl•h,1 1, ·tt:::) /1, \•·1d111IN11l
FKh.l para praticar 5 1.1. 1.2. 1.1. 1.1. 11•
YrllL1dt"lr.1' 1.2.. fal....i• 1. 1.. 1.). 1· 1.4. \'elll.1dt·lr.1' 3.1. r ) .... flll'\o1• 3.2., ),).., 3.4. 11 3.I. 4. \.oloii111l1)1L<1\.t'ltl.1J.•Jr,1• IJ,1, l' t; U1', h.~ ft l11t1•d111lllll.,;O 5.2:. 1 ··felr,1.~' fet1iapdmnl111J11' 6. ,\ 1l11•1111111,,111f\••«l1111ldrn 7.1. l\.;111f P"'IJWl lll1.lk.11 o\,1lnr ll'l,pt111.l.11ll• 11l1l'll~11111 7.2:. ,\ 11rnr1e~1~.1ndaJia'" •• pmr ...1, .10 · 11 11.10 '"l\11\ .1l1·n1t·11 1.1. " ~ q t.2:. _ ,, => " ..,. ,, ~ p 1.4. 41 ~ ... ,, t.I. -" => ,, .... ,, ~ ..... ,, 1.7. _,, =:) _ , ,
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3.2.
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7.2.
Ficho poro proticor 17 1.1. 1.2.
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do teste 7
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o -s. q
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, d)
1
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125
Soluçoes
Soluç:oes
3.2.
F1t ha para praticar 30
u.
1. 1.
r'Ws~
2.2.
a) R•lt; H
2.3.
Verdadeir.t
4.2. 4.3. 4.5. 5.1.
3.
5.2.
Ficha para pratkar 28 1.z.
r
u.
1
1.1. 1.5.
rH
2.1.
(ti, -1, -:t)
2.2.
D
i,..lF
1.8.
2.3.
(IO, -20. -21
1
1
•
-(
4.
4.1. 4.2.
A!I coordenadas dednls IKlOtO!I e dednls \.l!lnre!I djretorf!'.' !lan. re!I· 11ed\'amente: (-1,0,ile(- 1, 1. 1.l. (O, 1,o)e(0,-1.0) (ti, -2, :l)e(ti, -2. 11: (0, o. l )e(o, o, -ll
4.3.
( 1.
5.1. 5.3. 5.4.
:s.D U.\', 5.2. H(-5, O, 0). \'erdadelra 1x+t;J•+ 12.:-l.9=0 a) fx-3f+lv-sf+(;-3f(: 111
6.2. 6.3.
(.L '"
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págs.84185 L (A)
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6.
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7.2.
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7.3•
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7.4.
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8.1.
(- 1.. 0. -!}
8.2.
J;s;J
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7.1.
llropmJçao fals.1
1.2.
a) 8x.l•(l-1.
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1.2.
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7.2.
pág.. 90191 (e)
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5.7.
1. 1.
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2.2. 2.3.
1.
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D,• J- 2, 2]
b)
D',·[~. ~
Oei;cenceem (- 1, 1), coru.1an1eem ( 1. 1] edecrei;ceme em
, ~· ·::'tD.
3.1.
Traru.laç.10 de \'elor Reílexaodeel.xn O.• .se· guJda da 1mn11laçoo de \'elor ((I, 1)
l
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!.· ~, -~ b)lfo> l-z l=~I
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1
pógs.1021103
Ficha do teste 16
(B) 1. (e) ' W 3. (D) 5.1. p e r i;.10\.-erdlldelr;as; q e t .s.10 fals.111 5.2. a) \'f!rdadeim b)Fali;a 6. 1. 0,s}-co, l(e.q .. [-l,+co[ 6.2. Oecresce111eem ]-oo, l ) eem [2. 1[ eé~enceem [ 1. 2) 6.3. /( 1) .. - l é mínlJno abi;oluto (1.imbém é mínimo relalht>\ /(21 .. 1 'm.á:ómo relath..u 6.4. a)x• l b)xE)-1. l[v)i . 1[
"
7. 1. C.011C.1\i(l.1de \'nil;ada para hab;n. a)Afunç.10RéCre11Cen1eem)-2,o]eéde~n1eem[o . 1 ) .
b) O:.=[-:u. ol
pógs.1041105
Ficha para proltic.ar 35
1t l 1
l'. I ~ti
c) 0 Decre"""1eemJ..~.-iJeem
1.4. 2.1.
i 1) ; X=i1 r7':;
1· 5· (' f;'
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Il i ) . 7 -:w; "'"li
1. 3. (O, - 1): xsU • ") . 5 1·6. ( - j,-ji: X•-j
Q' .. )-oo, o):_féCll?'õC'enleem -oo, _ ,!.e
decreiicen1e em 2.2.
1.2. ( 1, O): X• l
[-7,
+o{ .
.i
U.=[-~.---o.{: gécrei;cemeem [;i, +oo( e decreiicen1eem )-oo, :t).
2.3.
IÕ -oo,
ti :t j' , lt é~e111eem -co, Í e
(1,+oo[ecre11Cen1eem(- 1, 1]. mb:lmorel.imt>
•
=r
• /(- 1)=2 e /(1)=2 éonub:imoabsohnodef (é 1.1mbémm.i· xlJno relatht>l: /10):(1 é mínimo rela1kn de _f
a)
eédecreM:enteem [-:s. 1) eem [:s. 5)
c) R(l)s-:u émínlmoab!IOlutode g(i.arnbém,núnlmorelamt>): R\U)so é m.ãidmoahsoluto de g (t.1mbém é mb:lmorelati\t>).
e) • Crei;cen1eem )-oo, - 1) eem [O. 1) eédec1l?i;ce111eem [-l, u] eem [ 1.... 00[ . 5.2.
.1:
) J.. \·2,- \ l"( qb1\ a .. -\.2va - .. \ -l e) n s -'" -Va= \li1 1
1.1. ll. li.): X•2
lhl-7 1-; 1 ~ 1~ 17
Traru.laç.aode\'elor
...,:,
,
:
·····-·
a nE
7.2.
b)
a) o; s)-oo, :t]: ~-}-oo, 11) b) - 2 e 1: - 1 e l. , resi>edv;unente e) Uma lnfinl.;L1de de !IOloçl'les. a) D,.•A; 4=)-oo, 5) b1! nEAl\fJE):L +oo( bZ) aEH/\'1=- 1 b3 nEAl\fJ=:t
:
-.
u.
Verdadelras.; 3.2. e 3.4., íal!las.. l.1. e 3.l.
11w ..1(~x)
' 1
4.2.
Zemi;de _f: -2
b) TodMosnumeroi;reai"lolJ11en'lllo (- 1. 2)
mm.ai de coeflcien1e ! .
;
1.2.
.
1
4.1.
págs. 98 1 9
em [2. b(.
(o. -:t)
126
a)
1.5.
l.
.i
Concavidade \t>lmd.a p.1ra b;dxo Por exemplo, um.i reflex.;10 de e11t0 Ox. A nn\'.1 funç.ao obtida. a funç.10 g, 'definida por R
b) \lm
e) Creiicen1eem (-b. -1), cons1.an1eem [- 1. 2) edecrei;cen1e
pág.. 94195
3.3.
11 é\'eri:L1delra.
1-~.-1]
a)[- 1. 1)
0.:•[-1.!l)
(- l. O)
éfal ~e
7.3. 8.1 . 8.2.
1h1=! 17 1.: 1 1.: 1 ~ 1,,"d 1
1/. (O, - l l. (I, -til. {1, -KI)
3.2.
11 é\.l!t'dadeir;a, q
:
(-l., 1)
(1, •[ 1.6. a) D,=[-H. li(. IJ',•[-5, o)
1.2. Oi;:r.iflcode R éaim111gemgeométric.ade _f pel.a traniifonn.içoo ~ , ou seja. pel.a ro111raçoo hort ·
• •••2
2. 1.
5.2.
7.2.
-.
......
·"
e) aE]u, +oo(
Fit ha para praticar 32
x..._,~
4.1.
-:l e 1
1.1. D,•(-1. o[ e q.[-l. .i) 1.3. a)[- 1, •) b)( 1,o[
5.8.
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c) [ i' i'
l-5.-~i)eem[l.:i)
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Fk hl pJra praticar 33
r.=U-1. 81. (- 1. bl. (o. ll. <2. -2). ta. - 1)}
r [o.·~[- · ",;
3.9.
(C)
(C) " b) '
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[~. ~
b) v = t r . c)Cn!'
págs. 96197 5. (A)
pág.. 92193
5.3. 5.4. 5.1. 5.2. 5.5. l uonilnlo 1 .i,il lo.ai 1 1,;l I l,t>I 0.8
~ix
3.7.
7. 1.
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1 6.
3,
a) _f(.\'l .. -~x+5
6. 1. 6.2.
1.3. C..•({- 18, 2).(-ti. - l),(O, 1),(11, 2), {18, - ot
,\ .._,. i:7
6.1.
Fk hado tosto 15 1. (A) ' (B)
b)
•) 0,.)-1. ti). O:.•[-:i. 5) b) • Oecre!lcenteem }- 1., -1) eem [o, 2) e' crescence em (-1. o) eem (2. t11. • g(- l) .. - 1 'mJnimo relatl\'tll g(O)=-U é m.u:Uno relalnt>; Rll)s - 3 é mínimo ahsoluto(tamlll!m' minimo relathro)e g(t;)a5 ém.u:lmo al'l!lolu10(1amhém é máximo relalht>) 2.1. /(-l.1=2 émíni.J1·11Ht!latht>: _f('l) .. .i ém.ãxunore-la1kn; /(l)s- l 'núnimoab110lu1o(mínhnorelamt>) e /(ti)s 1 '~i:c:imorel ath·""O. 2.2. al O.•J..5. 5) e IJ\•l-5. 1)
1 x.._,. ;:'i
5.
X.._,. 1 -lX
3.5.
1.5.
•l
IJ,•(-.i. 5). q.[i.
• f:rescenteem (-ti, -i] eem (u, 1) ede~enteem [-2, u] eem(l.2(. • /(-ti)=- 1 'mínhnoab110lutn(,1aml1'!mmínlmorelamt>>. /(-21• 1 é má.idmo a!Y.oluto(é t.imhém máximo relathro)e /(o) .. 1 é mínimo relati\t> Porexem11lo;
•)[-i, - l )
b) -5
R•Í' Ju. •~[1v'i}- · H
_
5
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c.1 . . u-:s.-21.(-2.-n.<- 1. 01.(o.1>.(1.11} fJ•ftVns- 1 "=H1.1},(1.2t.( 1. 11.(:.:: . 1t.(1, i 1.(:.::, 11. (t, 1). ( 1, 21. ( 1, 11}
1
3.3.
1.4.
1
6.3.
ftx)•:tx+t
-1.
•H
fJ.s(- 1. ~; f~ ..[-1, ~, q•(-;. 5J
:i\.·i
8.2. 9. 10.
7.
.((-v'i.-\íii.fv'i. \Hl.f:.v'i . .<,íi))
H\1~1·A ,
.i-
Proposiç.10 verdadeira
6.3.
u . (-i .l- 1.v7.v71: •• 2.1. o,.{-iv'i.-v'i. v:i. :iv'i, sv'i) 4'•(-i'\ti,-'\ti, \il, .<\,il.s'\tif
c)
ti
8. 1.
t on1n1
:il
(- 1. -1), (- l, :!), (:!.-li.(:!, - 1), (:J, :11)
G,
~
A!I funçôe!I em 1. 1., 1.3., 1.4. e 1.6. Mnhnp.irH.. a fUllÇOOem 1.2. é ll.1r e a funçao em 1.5. nem é 11ar nem é fmp.11. 2. 1. 2 2.2. t; 2.3. l 2.4. - 1 L1 . RWs-:u-1'-:li:- 1 4.2. l1(x)=-2x'-x+2 L3. J(.\)s- L\"'+21:\x- 11 4.4. m(x) .. 18.r'-:li:- 1
-li. {- 1. -1),
2.2.
\·Í
1.
págs.86187
2.3.
\!~
1.3.
e) f!xl•;t.t• I)+ 1
b) l a{(-l,-ll,{- l, -1).(-l,.il.(- 1, -li,
3.1.
••
(J . .
b) 11· 1 • A- · H
5.3. 6. 1. 6.2.
Fit ha para praticar 31
(X, _y, ;)s(U, -2. O)•Ã"(- 1, -2, O). A.EH
lv7. -1). (v7.
P'.l)s-:li:+ 1 6.2. {º': H• • Aº
F(-:i, :t, 1)
Ficha para praticar 29 1.1.
6. 1. 7. 1.
5.2.
4.3.
1.2.
" ' IJ(a(H, IH) q.[- 10 .:u) 4.4. ll.•[-1z.-1) o .... (-8. :J), D_s(-11., IO): D,=(-ti, 5)
5. 1.
5·\.·1 _ l_I _
pógs.1001101
Ficha para proltic.ar 34 1.1. IJ,•[-•. 2[. IJ;=[-1, 1)
fJ.•[-H, l)
4." 4.3.
x.._,.-r•a b)
•) .
1 8.
a) -1 b) . e) _,
X-.,J,\-3\!X- 1
R
9.
00
4.2.
Proposiç.10 íals.1 a) fº 1 .H • A x.._,,ti-:b
5.4.
1 6. 17.
•A
X..._. - 12..t"+ l l
~ _,y
6.2. R.f: (O, +oo(
ol. tEA
1.
1
5.3.
b) '"
b) 11.g: fl
•A .l .._,, -12x+ 18
,!.
C"..oncraçao horlzon1al de roeficlence fJll.ataç.10 horiwntal de coeflden1e 2 fJll.ataç.10\'ertlcal decoefldeme 1 1 C"..oncraçao horlzon1al de roeficlence - !le1~ulda da tr.1mfaç.10 de \'t!lodo. -i> :s fJll.ataç.10 \'ettkal decoefldeme 2, !leglJlda da tl?Oex.10 de el.xn lh: ed.atr.u"-laç.1ode\'etor(O. 11
1 4. 15,
Fit ha de tosto 14 1. (C) 2. (B) 3. (A) 5. (D) 6.1. D.,=J-~.-l)U[ I ,+~[
b) 1:r.1.r.
Ficha de teste 13 ~
5.2.
•
l-.·(' -.5 - . -l:l) -
:iv'.i)
•1
i..18
3.
11
-
1.3. 1.7.
págs.82183 1.4. ü
~gs.88t89 ~ 2.1. a) 12
decreiicenle em [;, ...
oc{. 127
•otÍ.• 1 f(1('1111•11h•••o -!, •_f l •
.!.!. IH
2-'. q.
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5.1.
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5.3.
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6.1.
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Porto
Editora
O Lógica e teoria dos conjuntos
Teste de avaliação 1
Apresentação
D Considere as proposições:
Caro aluno
""'10"
1>: A Terra é um planeta.
O 10. 0 ano é o início de um novo ciclo na vida de um
q: A Terra gira em tomo do Sol.
estudante e tambêm decisivo para o seu sucesso escolar
Das proposições seguintes, indique a que é a tradução simbólica de:
em todo o [ nsino Secundário . Como disciplina estruturante, a aprendizagem da
Não é verdade que a Terra é um 11/a11e1a ou que 11ão gira em tomo do Sol.
Matemâtica permite-lhe adquirir competências e desenvolver capacidades transpostas para outras atividades
(A) - pv -q
(B)
- (pv - q)
--11 ·-
(C) -(p/\ -q)
Pígiim 1l•ll
escolares e mais tarde para a sua vida profissional.
D Considere a proposição:
O Máximo do Aluno: Rumo ao Exame! ê constituido por seis testes de avaliação que lhe podem ser úteis no 1O.º ano
10
lJma condição suficiente para ser um bom matemático é saber lógica.
como ainda quando estiver a preparar o seu [ xame Final
A negação desta proposição é:
Nacional do 12.º ano de escolaridade.
(A) Não sabe lógica e não é um bom matemático.
[ m todas as questões dos testes de avaliação encontram-se remissões para o manual Máximo, Matemática A, 10. 0 ano. ao qual pode recorrer para rever conhecimentos
(B) Não sabe lógica e é um bom matemático. (C) Sabe lógica e não é um bom matemático.
e consolidar
e esclarecer todas as suas dúvidas.
Com estes recursos estamos convictos de que atingirá o seu Máximo !
(D) Sabe lógica e é um bom matemático.
EJ Considere o conjumo A= {- 1, O, 1}. Apenas uma das proposições seguintes é falsa. Identi fique-a.
Índice •
•
Domín io 1 l691ci1 e lconJ dos conjuntos .................................................................... ............ 3 Domin io 2 Átgcbro ........................................................................................................................... 5 Domin io3 Gcomctn.J anJlit1c.:> no pl.:>no .................................................................................. 7
Domin io 4 Gcomctn.:> anJlit1c.:> no espaço ............................................................................... 9
a
(A) 3xEA: (- 1)' " = 1
(B) V'xEA, -(x';;; o)
(C) V'xE A, lxl <;; 1
(O) 3xE A: V".C = - 1
Dos quatro conjuntos seguintes, apenas um representa o conjulllo vazio. ldemiíique·o.
(A) A ={xEIR: x'<;; O}
(B) IJ ={xEIR: - x'
(C) C:={xE IR: x' =O}
(O) A= {xEIR: - x' >O}
EI Helativamente a duas proposições a e ú sabe·se que -
a => ú é uma proposição falsa.
Qual das proposições seguintes também é falsa'!
(A) a
Ç::::}
ú
(B) -(a V /J)
(C) - ú => (a/\ - ú)
Domín ios Funçócs .......................................................................................................................... 11
IJ Seja A o conjunto dos quadriláteros convexos.
•
Domin io6 Estotist1co ...................................................................................................................... 13
• I' = {X E A : • L ={XEA: • li= {X E A : • Q= { XEA:
...
l ·-"
~
....... li I> •
Considere os conjuntos: •
(O) /J =>a
X tem os lados paralelos dois a dois}
X tem os quatro lados iguais}
X tem os quatro ângulos retos} X temos dois lados paraleloseosdoisângulos retos } C:aracterile cada um dos conjuntos. 6.1 . Ln P
6.2. 11n P
6.4. tnQ
6.5. PUQ
6.3. tn 11
Soluções .......................................................................................................................... 16
2
3
li Lógica • t.oria dos conjuntos
-
Teste de avaliação 1
li Considere as proposições: p: Eslá quenle.
li
{10 111
q: Eslá sol.
Traduw para linguagem naLural cada uma das proposições.
a
~
< <
D Considere as seguintes proposições p e q: ,,, \YV125:~
§
f
""'10"
q: __ 7_= - 1+3\/2
2 2+3\/2 Das quatro proposições que se seguem apenas uma é falsa. ldenlifique-a.
7
7.1. (p /\ -q) ~ /J
7.2. (pv -q)
Teste de avaliação 2
'
(A) p ~ q
(B) pVq
(C) -p/\q
(O) -p
~
-q
(q/\ -p)
IJ Considere o conjulllo A definido por A = {x E tJ: x" - 4x =O}. Sem recorrer a uma Labela de verdade moslre cada uma das equivalências.
(Jual das seguinles proposições é verdadeira'!
8.1. (p ~ q)/\(p ~ r) ~ [p ~ (q /\ r)]
(A) 3x E A : x é raiz do polinómio x + 2
x é raiz do polinómio x - 2 (C) 3x E A : x é raiz do polinómio x' + 4 (B) 3x E A :
(D) 3x E A : x é raiz do polinómio x' + 2x
EI Considere que 4' = 3 . Qual é o valor de si ·1 8.2. p ~{qv r) ~ [(p/\ -q) ~ r]
(A) ~ g
(8) 4
(C) "\'13
(O) vJ 2
considereospolinómios A(x)=(x - 1)', /J(x)=-3x'+2x+ l e C:(x)=x'- 2x+I . O polinómio l'(x)= l3A(x)+ IJ(x)J' - 2C:(x) é igual a:
D Considere os conjuntos de números reais: A={xEFl: - 2x
31
IJ={xEIR:
••
C:={xEIR: 9+3x)O}
JJn e:
(B) - 2x'+Bx' - 3fix+ 18
(C) - 2x·'+4x' - Jfix+8
(D) - 2x"+ l fix' - 28x+ 14
EI Considere a inequação (x- I J >x(x' + 9) -
10. (Jual dos seguintes conju ntos é o conjunlo-solução da inequação dada'!
Defina, sob a forma de illlervalo ou de união de inlervalos disjun los, os conjulllos considerados como subconjun los de IR. 9.1.
(A) - 2x.. + 12x'-24x+ 12
9.2. A\ e;
(A) J- oo, - l[U]3, +oo[
(B) ]-3, 1(
(C) J- oo, - 3[U] l , +oo[
(O) ]- 1 , 3(
IJ Considere o polinómio l'(x) = (x + 5)'" +(x + 6Í - 1, onde 11 E IN . 9.3. f:
6.1. l'roveque P(-6)+ P(- 5)=0.
9.4. c:\(Anll)
·-
....... ·-,,
,..... 1311117 [
•
n~ · •
,..511.S1
m
Ao conjulllo formado por todos os subconjUlllOS de um conjunlo A chamamos conjunto das partes de A e designámo-lo por l'(A) . Assim, l'(A) ={X : XÇ A).
M
111...,.. 11
li
6.2. Admita que 11 = 1 e considere o polinómio ·1{x) = - 2x' - l 5x + 39. Hesolva, em IR, a inequação P(x) < 'l{x).
Exem11lo:Sendo A={I, 2). tem-seque P(A)={0 , {1}. {2} , { 1, 2}}. Considere IJ= { I, 2, 3, 4} e C:={I, 2, 3} edelerrnine 1'(/J) \ l'(A).
4
5
D Geometria analítica no plano
D Álgebra
Teste de avaliação 2
li Considere o polinómio A(x) = 2x' -
l 3x' + 22x - 8 e o paralelepípedo retângulo cujas dimensões são as raízes do polinómio A(x).
li
Determine as dimensões do paralelepípedo.
Teste de avaliação 3 < <
D Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência definida pela
§
equação x' - 2x+y'+6y+8=0.
f
Sejam as proposições:
7
1>: A circunferência tem cemro no pomo de coordenadas ( 1, - 3).
'
·--IJ
Pilplll1Zf•ll5
D Na ílgura está representado o trapézio isóscel es [ABCD) de altura /1 • Sabe-se que para a E )o, 2( , temos
iiii = 4,
o
OC= 2a
41
e
L'.[ :i, '' ~
eh=4 - a'que . a área do trapézi o [AIJC:D) é dada em 8.1. Prove função de a pelo 1>olinómio 7'(a)=8+4a - 2a' - ff', onde a E )o, 2( .
A
q: A circunferência tem raio igual a quatro unidades. Qual das proposições seguintes é falsa·r
(A) -p/\q
(B) - 11 ~
q
(C) p
~
-q
(O) /JVq
....... ·-"
"~15'11'1
li Considere, fixado un'I plano 1nunido de urn referencial carlesiano, os vetores:
10
ü (vf.+ 3, 4) e Ü(-2, k), kEIR (Jual é o valor real de k para o qual os vetores Ü e
(A) - 8\/5 + 6
H
(B)
\/?, +
3
v são colineares'I
(C) 2\/5 - 6
8
(0) - ª -
·vf.+3
EI Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a rela r definida por:
·-
[.......... ......." ~.
10
2x+À= - 3 ).EIR { 2y+4=À •
8.2. Resolva a condição ·Jia);> 9 e in terprete a(s) solução(ões) obtida(s) no contexto do problema.
Qual das seguintes opções conesponde à equação redulida da reta r'f 1 7
~.::mi
IJ Considere os polinómios R(x)=x' - 3x' + 2 e S(x)=3x - 2.
"""" 10
l~-11J li 11!1•H+a
(A) y= - x - 2
~) y= - x - -
1
7
2
(C) y= - x+2
(O) y= - x+-
·-
...._m.m
2
........."
B Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a elipse definida pela equação:
10
1 44.~· + 225y' = 32 400
9.1. Resolva.em IR, aequação R{x)= O.
.Y
Sabe-se que: • os pontos A e IJ são os focos da elipse; • os pontos M, N, P e Q pertencem à elipse; 9.2. Fatorize o polinómio R(x) e resolva a inequação R(x) (O.
• os lados do retângulo [MNPQ] são paralelos aos eixos coordenados.
X
A área do retângulo [MNPQ) é igual a:
(A) 19,2
(B) 172,8
(C) 86,4
(O) 345,6
~
·-
...... 11lol61
9.3. Dele1m ine o val or exato da expressão
4
R('\12) + s('V'4)
Apresente o valor pedido com denominador racional.
•
IJ Considere, fixado un'I plano n1unido de un1 referencial cartesiano, os vetores v' (3,
- 4) e ainda um vetor 1v tal que
.
(Jual é a norma do vetor w '!
(A)
6
22 16
(B)
W 2
.!. iÍ = 21v + .!. ií . 2
Ü(- 2, - 6) e
... . . . 11
11
4
(C)
\/i7 4
(O)
22 4 7
a Geometria analitica no espaço
D Geometria anal~ica no plano
-
Teste de avaliação 3
IJ Num plano munido de um referencial cartesiano, sabe-se que os pomos 1'(-3, 10), Q(l 1, 8) e 11(5, k), k E IR, são vértices de um triângulo relângulo em li.
li
0+n+1~
6.1. Dele1m ine os possíveis valores de k.
Teste de avaliação 4 < <
D Considere, fixado um referencial cal'lesiano do espaço, os pontos:
§
""'10"
A(a - 2, a, a) e IJ(2-2a, a, 3), com a< - 3 e aEIR
f
Em qual das opções seguinles podem estar represenladas as coordenadas do ponto médio do segmemo de reta [AB] ·1
7
'
(A) (3 . 6, ~)
(a) (3,
- 6,
~)
(c) (3, - 6,
- ~)
co> (-3, - 6, ~)
--a·"'""''""
6.2. Dele1m ine a equação redulida da circunferência de diâmelro [l'Q).
IJ Considere, fixado um referencial cal'lesiano do espaço, a superfície esférica S de equação:
10
x'+ y'+z'-2v'ix+My+2·V2z+20 = 0 Para que valores reais de a o plano de equação y =a tem interseção não vazia com a superfície esférica S.
6.3. Verifique se o ponlo li penence à medialriz do segmenlo de reta [PQ).
]- oo, - 4Vz( U]- 2v'2, +oo( (C) (- 4v'2, - 2v'2)
)-2Vz, +oo( (O) )-oo, - 4\/21
(A)
·-..
l"P-lih1'1
li Num planomunidode um referencial cartesiano, sabe-seque os ponlos A(3, - 6) e IJ(6, - 2) sãovénicesconseculivos do quadrado [AJJ<.D] e que o ponlo
E(~, -~)é o centro doquadrndo.
I
f11Dm"patlt11
(B)
D Considere, fixado um referencial cal'lesiano do espaço, os pontos:
10
P(-2, 1, 4), Q(IJ, 2, 3 - 1/) e 11(1, b, 2), l1Efl
ll:i+l~
Oponlo Wtalque W=R+ l'Q pertence ao eixo Ox quandoeapenasquando:
7.1. Dele1m ine as coordenadas dos ponlos C: e D.
(A) b=- 1
(B) /J= - 1VIJ= 1
(C) b= 1
(O) IJ= - 3
·-
"'""',,. li
a
[
Considere, rixado um referencial cartesiano do espaço, o segmento de rela (AIJ) definido por:
7.2. Dele1m ine a inequação reduzida do círculo inscrilo no quadrado (AIJC.'/J).
Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, o ponto
1/(3\/5,
- 6) e a reta r definida por (x, y)=(-
11(- ~' 2),
10
(x, y, z)=(-2 , 1, 4)+1(- 4, 5, 2), 1E (- 1, 3)
·-
1P-1n.nil
a
.---a
M
o vetor
1111"plllt 11
11
11!i •tt+•
Quais são as coordenadas do ponlo médio do segmemo de rela [A/J) ·1
(A) (- 12, 12 , 12)
(B) (-6, 6, 6)
(C) (12, - 12, - 12)
(0) (6,-6, 6)
1, 4)+1(2, a); t, a E IR.
Considere, lambém, a rela t que passa pelo pomo A e le m a direção do velor ti.
Q Considere, fixado um referencial cal'lesiano do espaço, as retas r e s definidas por:
8.1. Escreva a equação reduzida da reta 1.
x=4 r: x= - 11\z= .!_ 2
8.2. Dele1m ine o valor real a de modo que as retas r e t sejam paralelas.
s: y= - 2À,ÀEIR
z=À
Considere, também, as proposições: 11: A rela r é paralela ao eixo Oy.
q: A reta s tem a direção do velor ti(4, - 2, 1). 8.3. Dele1m ine as coordenadas do velor colinear a ti, de senlido conlrário e de norma
8
\/3.
(Jual das seguinles proposições é falsa'! (A) pl\-q
(B) pVq
(C) -q ==> -p
(O) -p
~
q
9
a
lil Funções
Geometria analitica no espaço
-
Teste de avaliação 4
a
V
Fixado um referencial ortonormado do es1>aço foi representada uma pirâmide quadrangul ar regul ar de ' 'értice V(I , 2, 8) e base [ABCD]. Um plano paralelo à base interseta a pirâmide definindo o quadrado [ffC ;11]. Sabe-seque VE(l ,
- 1, - 2). vc:(- 1, 1, - 2)
e Eft(o, 2,
6.1. Dete1m ine as coordenadas dos vértices F e [EFC;tl] e do vetor
vii.
e;
Teste de avaliação 5 < <
41
cm+n ~ 111
• (2, 4) e (6 , 1) são elementos de A x /J.
f
• An/J={l ,2}
7
G
o).
D Helativamenle a dois conjunto A e /J sabe-se que:
§
""'10"
Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira'!
'
(A) A x /J tem exatamente oi to elememos.
do quadrado
(B) A x /J tem mais de oito elementos. (C) A x /J tem menos de oito elememos. (D) A x /J não pode ter nove elementos.
6.2. Sabendo que a área da base da pirâmide é igual a f>4 unidades quadradas, determ ine:
A
8
a) as coordenadas do ve101· V/J e do ponto D; b) uma equação vetorial da rela DV .
.·--n
El Seja fuma função de domínio f1 tal que - 1 é um zero de f e g a função definida por:
r......!"" ]
li Fixado um referencial ortonormado do espaço considere os pontos
....
G
H
--~-
1:i 2, - 3 , 1+ ·\13) e 1-( 2, 3, 1 + v'3) que são ''értices do cubo
11~
10
g(x)=f(x+2)+3, V'xEIR (Jual dos seguintes pontos pertence garamidamenl e ao gráílco da função g'!
•I
(A) (- 2, 3) (C) (-3,6)
ll+ l~ +IO+~I
(B) (-3,3) (D) (-2,2)
[A/JCOEfGl I) da ílgura ao lado. Sabe-se que: /)
• as faces do cubo são paral elas aos planos coordenados; • a cola de A é inferior à cota de li e a abcissa de li é inferior à abcissa de li.
r.
EJ (Jual das seguintes funções é decrescente'! (A) f: (- 3, 2) -
A
(C) g: (- 2, 4) -
;1c;.
b)
a esfera tangente a todas as faces do cubo.
7.4. Identifique analit icamente o conjunto dos pomos do espaço equidistantes de é, f' e
e;.
a
Sejam
Considere, num referencial ortonormadodo espaço, a reta
r definida por:
!;;:~4 +~'À 3z - 6= -
(C)
8.2. Os pomos A e /J são as extremidades de um diâmetro de uma esfera de cemro
r de cola 1 e /J é o pomo da reta r de abcissa f>.
a) Determine as coordenadas do ponto
e:.
b) Escreva a inequação reduzida dessa esfera.
10
(D) j: (- 3, 1)-IR
a
x'-"x'
e ú dois números reais quaisquer.
10
la+ úl;>lal+lúl la+ úl
(B) la+ l1l=lal+lúJ (O)
JaJ-lúl;>la+ 111
Ef1
2
8.1. Dele1m ine as coordenadas do pomo P, in terseção da rela r com o plano yOz.
A é o ponto da rela
fi
Qual das seguintes afirmações é verdadeira'!
(A)
a
x'-"x'- 6x+ 10
x~X:'- 4x+5
7.3. Deílna analit icamente:
a) o segmento de rela [111'];
(B) /1: (- 2, 1)-IR
IR
x '-"x'-2x
7.1. Dele1m ine as coordenadas dos restantes vértices do cubo. 7.2. Dele1m ine um sistema de equações paramétricas da reta
10
e:, onde
Q Considere a função f definida em [ 1 , + oo[ por j(x) = ·~.
10
Na figura abaixo está representada, num referencial ortonormado, parte do gráfico da função g de domínio IR. .Y A função g tem apenas dois extremos relativos. (Jual dos seguintes conjuntos corresponde ao domínio da função h = f o g '!
(A) )4, +oo(
(B)l - 2) U ( 4 , +oo(
(C) (4, + oo(
(D)(-2 , l)U(4, +oo(
X
11
a Estatística
1J Funç6n
Teste de avaliação 5
IJ Na figura está representado um retângulo (AIJC.D) e um ponto P pertenceme ao lado (AIJ). Sabe-se que:
:.1 _ s_ d ...--1 , 41
lh.1»
12
• Ãii= 12 e ÃÕ=4 • a distância do pomo P ao ponto IJ é igual a x;
A
p
X
Teste de avaliação 6 < <
IJ Considere as proposições p e q tais que:
§
1>: Todos os números primos são ímpares ou iguais a 2.
f
q: 3xEIR: - x
7
Qual das seguintes pro1>osições é falsa·!
'
H
• o ponto P desloca-se ao longo do segmemo de reta (AJJ). nunca coincidindo com o pomo A; • d é a distância do ponto P ao pomo O.
(A) -p=>q
(B) -q
~
-,,
(C) p/\q
(O) IJV q => -q
IJ Considere o polinómio P(x)= - x' - ax' - 2/Jx - 2, onde a e ú são números reais não nulos.
Seja f a função de domínio (O, 12( definida por f(x)=Vx2 - 24x+ 160.
·-
""""' 11 • ll [ .- ...... 11 1
Sabe-se que o polinómio l'(x) é divisível 1>or x +a e por x - ú.
6.1. Mostre que d = f(x).
O valor de a - ú é igual a: (A)
6.2. Dete1m ine o valor real de x para o qual d = 5.
6.3. Determine a área do trapézio (P/JC.D) quando o pomo Pé equidistamedo ponto IJ e de O.
·--n
, . . . ...hl51
li Considere as funções g e f, definidas em Fl, por: () gx=x+2
""'•"
e J(
l - 2x
7.1. Resolva analiticamente, em )- oo , - 1(, a condição
~
(O) - 2
EJ Num plano munido de um referencial ortonormado tem-se que 11(1, 2) é o cemro de um quadrado, IJ(4 , 6) é um dos seus vértices e (IJC:) é uma diagonal desse quadrndo.
,.
(Juais são as coordenadas do ponto C: ·1 (B)(- 2, - 2)
(A) ( IO, 14)
se x;;. - 1
f(x)
a
Apresente a sua resposta utili1,ando a notação de intervalos de números reais. 7.2. Caracteri1,e a função fog.
7.3. Considere a função j como sendo a restrição
(C) - .:!_ 2
(B) .:!_ 2
2
41
..)--{-2x'-5x+ I se x< - 1
A
~
Caracteri1,e a função j ', inversa da função j.
IJ Considere a função f definida e m Fl por f(x) = -(x - 3)' + 4 •
........
·-
~.
........ 11
Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere os pomos A(1 , - 1 , 3) e IJ(O, - 1 , 4). (Jual das seguintes opções corresponde a um sistema de equações paramétricas da reta AJJ ·1 x= - À (B) y= - 1 , ;. Efl z=4 +À
x=À (C) y= - 1 , ;. E IR
z=4+À
1
x= l - À (O) y= - 1 ,.l.EIR z=3-.I.
3>
110+11+ 1~
8.1. Estude a função f quanto à monotonia e à existência de extremos relativos.
EI Helativamente a uma variável x, sabe-se que: • ~=(x1 ,
8.2. Dete1m ine os zeros da função g tal que g(x)=f(2x). 8.3. Indique o comradomínio da função /1 tal que /1(x)=-
(0){- 5 , - 6)
[ x= l +À (A) y= - 1 , .l.Efl z=3+.I.
Ji ,. ,~1 .
(C) (1, 2)
Xi, X.1,
,\'.J
' • ,_, ~x1 :. l6
• d,= - 3, d .. = - 1 e d,=3
(Jual das afirmações seguintes é verdadeira·!
~x+ })+ 2.
(A) -!=(O, 5, 3, 8)
(B) -!=(I, 5, 4 , 6)
(C) -!=(1, 5, 3, 7)
(O) :=(2 , 4, 3, 7)
~.:;rzr ]
IJ Considereas funçõesfe g, definidas em Fl, por f(x)=lx+21 - B e g(x)=x -12.~ - 21. 9.1. Resolva analiticamente a condição f(x);;; g(4). Apresente a sua resposta utili1,ando a notação de intervalos de números reais. 9.2. Dete1m ine os zeros da função /1 =J- 8.
12
l ...;,;-n 2>
{10 1~
IJ Considere a amostra x=(x,, x,, ... , x.,) onde não há elementos iguais e seja: ..\{ 1i:::: 1nin{x1, ,\'i, ... , x,,} e ..\(111 = n1ax{x1,
.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira·! (A) ~
·-·
"
X1 (
~ .lj,
,_,
(B) x=-1{,,
. .
·"i · ... , x,,}
(C) ~ x,(~ -11., ,_,
(O) x=.~
••
1-1
13
a
a Estatística
Estatística
-
Teste de avaliação 6
11 Dadoun1 núrnemreal a , considereasa1nostras ~ =(x, , x,, ..., x") e )!= (a~\', , ax, , .. ., tU',.) .
1
Qual das afi l'mações seguillles é verdadeira'!
(A)
ss,=ass,
(B) ss,=a'ss,
(C)
ss, =a'ss,
(D)
·--n
ss,=ass1
Teste de avaliação 6 < <
§
f
m
Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere O l>Onlo ii(3, - 5, 3) vértice do cubo [AJJC:DEFC;ll] representado na ílgura.
Sabe-se que: • a face [AJJC:D] está colllida no plano xCJy;
,..... 112'1111 1;
~
IJ Considel'e uma amostra ~ l'efel'enle aos pesos de parafusos, em gramas. Sabe-se que o percentil 80 des.<;a amostra é igual a 7,4 gramas, o que no contexto significa que:
.
• a aresta [DC) está contida no eixo CJy. Identifique o valor lógico das proposições.
11.1. Se o ponto médio do segmelllo (E//)
(B) Pelo menos 80% dos paraíusos têm pesos inferiores ou iguais a 7,4 gramas e que 20% dos
·....... ·-
.~Jhlil
(C) Pelo menos 80% dos pararusos têm pesos infel'iores ou iguais a 7,4 gramas e que, no máximo, 20% dos parafusos têm pesos superiores ou iguais a 7,4 gramas.
m
. . ..... D
Mostre que \VV48 - 24\A + V 16 + 8\A=2.
(O) 80% dos paraíusos têm fJesos iníeriores ou iguais a 7,4 gramas e que 20% dos 1>araíusos têm pesos superiores ou iguais a 7,4 gramas.
11
""""' lh"
m
Considere num plano munido de um l'efel'encial cal'lesiano um ponto A e a circuníerência de centro A deíi nida pela equação (x - 3f + (y - 2)' = 10.
D Considere a equação 2:" 4 = 2a - 4 , onde a designa um número real. l·l
Va '!
(A) 2VB
A
11.2. O 1>lano ADI/ pode ser deílnido pela equação y - 5 =O a menos que o segmento de reta [ EF] seja deílnido pela condição y = 31\ z = 31\ O;;; x ;;; 3 .
parafusos têm /)esos superiores ou iguais a 7,4 gramas.
Qual é o valor de
tem coordenadas
(~. - 5 , 3),elllãoareta E// podeserdeílnidapelacondição y= - 31\ z =3.
(A) 80% dos parafusos têm /)esos infel'iores ou iguais a 7,4 gramas e que, no máximo, 20% dos parafusos têm pesos superiores ou iguais a 7,4 gramas.
,,
•"'••
Sabe-se que:
(B) 4\Í6
(C) 2vii
• E e F são os pontos de interseção da circunferência co1n o eixo ()X;
(O) 4vii
í~.:;llSI
IIlJ Na ílgura está representado um retângulo [ AJJC:D].
D·~---~C
l--n
• D é o ponto de interseção da circunferência com o eixo CJy, com ordenada superior à do ponto A ;
• [oc;] é um diâmetro da circunferência.
Sabe-se que:
• Ã7i = 2 e iiê:=4
13.1. Mostre que D(O, 3) e ii(3 + VB,
o).
• um ponto F desloca-se sobl'e o lado [ JJC] , nunca coincidindo com o ponto IJ;
13.2. Mostre que a equação l'eduzida da reta Dli é y =(v'6 - 3) x + 3.
• um ponto E desloca-se sobl'e o lado [AO], acompanhando o movimento do ponto F, de tal forma que [iiF] 1>ermanece sempre paralelo a [AB]. Considere a função f que, ao comprimento corresponder a área y do retângulo [AIJF/i].
x
do segmento
13.3. Deílna, por meio de uma condição, a região sombreada.
[JJf], fat
A
Em qual das ílguras seguintes poderá estar repl'eselllado o gráílco da Função f'!
(A)
Y
(B)
Y
(C)
.Y
(O)
Y
H
m
•
Na Figura estão representados, num plano munido de um reíerencial ortonormado, a rel a r de equação y = - 3x + 6 e um ponto P.
Q ..
O ponto P desloca-se ao longo da reta r. Seja d a distância do ponto /l à origem do l'efel'encial.
14.1. Mostre que d=YIOt' - 361 + 36, sendo ta abcissa do polllo I'. X
14.2. Delel'mine as cool'denadas do ponto /l 1>ara d= 26.
14
15
S
Soluções
tiO .1 )111\1\J\
Teste de avaUac;ão 4
Tnt• de avaliação 1 1. {A)
2. (C)
3. (B)
(O)
4.
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1>19.J
1. (C)
2. (C)
3.
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6. 1./(2,.l, lo) ; Ci(O, 3,
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