JU “ GIMNAZIJA OBALA “ ; Sarajevo
MATURSKI RAD IZ MATEMATIKE TEMA: Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Mentor:Hrbat Maja, prof matematike
Sarajevo, mart 2010
Učenik:Dević Sanela IV-3
SADRŽAJ Uvod.....................................................................................................................................3 Trigonometrijski oblik kompleksnog kompleksn og broja……………………………………………..3-7 broja……………………………………………..3-7 Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……………….7-9 Stepenovanje i korjenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku……...9-15 Primjena i primjeri iz svakodnevnog života………………………………………….16-17 Kratka historija nastanka kompleksnih brojeva……………………………18-25 Literatura……………………………………………………… Literatura…………………………… ……………………………………………………30 …………………………30
2
UVOD Tema ovog maturskog rada je trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Kao prvo, postavlja se pitanje zasto se uopšte uvodi trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Podsjetimo se da smo u svakom novom skupu brojeva mogli uvesti neku novu operaciju. Tako smo u skupu
mogli oduzimati (tj. dobili smo inverzne elemente u
odnosu na sabiranje), u skupu
smo mogli dijeliti (tj. dobili smo inverzne elemente u
odnosu na množenje), a u skupu R smo mogli računati potencije pozitivnih brojeva i kada je eksponent racionalan broj, tj. mogli smo vaditi korijene iz pozitivnih brojeva). U skupu C je pak moguće vaditi korijene iz svih komplesnih brojeva. Također, u skupu je za n ∈ N i a ∈ R jednačinaa x n = a imala najviše dva rješenja (ovisno o predznaku broja a i parnosti broja n), no u skupu C ona će uvijek imati tačnono n rješenja. Da bismo na jednostavan način vadili korijene iz kompleksnih brojeva uvodi se novi način zapisivanja kompleksnoih brojeva tj. trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Zaključak se odosi na primjenu kompleksnih brojeva u fizici, prije svega, ali i u svakodnevnom životu.
3
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Poznato je da kompleksnom broju z = x + yi
(1)
možemo pridružiti (obostrano jednoznačno) tačku M (x,y) koordinatne ravni. Označimo sa ρ udaljenost tačke M (x,y) od koordinatnog početka, a sa između pozitivnog dijela x-ose i vektora
OM
orijentisani ugao
(radijus-vektor položaja tačke M (x,y).
Sa slike nalazimo:
4
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin
ϕ
(2) ρ =
x 2 + y 2
tg ϕ =
y x
(3)
Iz (1) i (2) dobivamo: z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
(4) Izraz (4) zovemo trigonometrijski oblik kompleksnog broja z. ρ - modul kompleksnog broja z
- argument kompleksnog broja z.
Neka je M (x,y) tačka koja predstavlja kompleksan broj
Definicija (argumenta): z = x + yi ( z ≠ 0) . OM
Svaki mjerni broj
orijentisanog ugla koji čini radijus vector
sa pozitivnim dijelom x-ose zove se argument broja z i označava se sa Arg z.
Argument broja z koji zadovoljava uvjet
0 ≤ ϕ ≤ 2π
zove se glavna vrijednost argumenta
broja z i označava se arg z. Uglu (x,
OM
) odgovara tačno jedan mjerni broj
dok se svi ostali mjerni brojevi
ugla (x,
OM
ϕ 0
koji se nalazi u intervalu [0,2π ] ,
) dobiju po formuli
ϕ = ϕ 0 + 2k π (k ∈ z ) .
Iz navedenog zaključujemo broj do sabirka 2 k π
(k ∈z ) ,
= Arg z je određen kompleksnim brojem z ≠ 0 samo
dok je broj arg z potpuno određen brojem z
( z ≠ 0)
i važi:
Argz = arg z + 2k π
tj.
Argz
ima beskonačno mnogo vrijednosti.
Pokažimo sada kako određujemo ρ i
iz zadanog broja z = x + yi .
Ako je z = 0 = 0(cos ϕ + i sin ϕ ) iz (3) slijedi ρ =0 pa je (4) zadovoljeno za svaki realan broj
. Za određivanje glavne vrijednosti argumenta imamo:
5
Ako je x = 0 i y >0 (y<0) onda je Ako je x ≠ 0 onda
arg z =
π
2
,
arg z =
3π ; 2
=argz određujemo rješavanjem jednačine
tg ϕ =
y x
(x=Rez, y=Imz)
uz uvjet da je: ϕ ∈ (0, ϕ ∈ (
π
2
ϕ ∈ (π , ϕ ∈ (
π ), 2
, π ) ,
ako je x<0 i y>0 (tačka M (x,y) je u drugom kvadrantu),
3π ), 2
3π 2
ako je x>0 i y>0 (tačka M (x,y) je u prvom kvadrantu),
ako je x<0 i y<0 (tačka M (x,y) je u trećem kvadrantu),
,2π ) ,
ako je x>0 i y<0 (tačka M (x,y) je u četvrtom kvadrantu).
Na osnovu izloženog o glavnom argumentu kompleksnog broja z treba naglasiti da jednačina tg ϕ =
y x
(5) nije ekvivalentna sistemu cos
ϕ =
x
, ρ
sin ϕ =
y , ρ
(6) Istina, svako rješenje sistema (6) jeste i rješenje od (5), međutim tg (π +ϕ ) = tg ϕ , cos( ϕ +π ) = −cos ϕ
pokazuje da su
i
ϕ + π
rješenja od (5) ali da jedan od tih
brojeva nije rješenje od (6). Imajući sve ovo u vidu, aposebno ova ograničenja za arg z , onda formule
ρ =
x 2 + y 2
i
tg ϕ =
y x
koristimo za transformaciju kompleksnog broja
z , iz oblika z = x + yi u trigonometrijeski oblik z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) . Primjer1:
Predstaviti u trigonometrijskom obliku broj: z = 1 + sin
π
7
+ i cos
π
7
6
z
=
(1 + sin
π
7
)2
π
+ (cos
7
=
)2
2(1 + sin
π
7
)
= 2 cos
5π , 28
jer je općenito 1 + sin α = sin π
+
4
π
i
2
Dalje je
π
π
−
2
π
4
Im z Re z
cos
π
7
+ cos
π
α π α ) cos( − ) 2 4 2
π
2
π
cos
7
1 + sin
= 2 cos
7
π
=
Odakle zbog 0 < ϕ < 1 + sin
4
+
komplementni) odakle za α =
2
tg ϕ =
π
+ sin α = 2 sin(
2
=
π
π
sin
7
slijedi ϕ =
2
+ cos
π
+ sin
π
5π 28
7
π
= 2 cos 2 ( − 4
π
7
α ) 2
dobivamo 1 + sin
= ctg
9π 28
= tg
(jer su lukovi π
7
= 2 cos 2
5π . 28
5π 28
7
. Znači
5π 5π 5π + i sin ) . (cos 28 28 28
z = −1 − i z
tg ϕ =
=
x 2
Im z Re z
+
=
y2
=
(−1) 2
( 1) 2
+ −
=
2
−1 5π , pa je ϕ = arg z = , jer se tačka (-1,-1) nalazi u trećem kvadrantu. −1 4
Prema tome imamo
−1 − i =
2 (cos
5π + i sin 5π ). 4 4
Teorema: Dva z 1
kompleksna
broja
z 1
i
z 2
zadana
u
trigonometrijskom
obliku
= ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) , z 2 = ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) jednaka su onda i samo onda kada
je ρ 1
= ρ 2 ,
ϕ 1
= ϕ 2 + 2k π ,
( k ∈Z ) .
Dokaz: Ako je z 1 = z 2 imamo ρ 1 cos ϕ 1
= ρ 2 cos ϕ 2 ,
ρ 1 sin ϕ 1
= ρ 2 sin ϕ 2
(7) pa je odavde z 1 = ρ 1 ( ρ 2 cos ϕ 2 ) 2 + ( ρ 2 sin ϕ 2 ) 2 = ρ 2 = z 2
(8). 7
Iz (7) i (8) imamo
cos ϕ 1 = cos ϕ 2 , sin ϕ 1 = sin ϕ 2
što daje
ϕ 1
= ϕ 2 + 2k π ,
( k ∈Z ) ,
i
obrnuto, ako je ρ 1 = ρ 2 , ϕ 1 = ϕ 2 + 2k π , tada je očigledno z 1 = z 2 .
Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku Trigonometrijski oblik kompleksnog broja pogodan je za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva. Ako su z 1
= ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) , z 2 = ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )
dva zadana kompleksna broja onda je: z 1 ⋅ z 2
= ρ 1 ρ 2 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) =
= ρ 1 ρ 2 [ (cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 − sin ϕ 2 ) + (sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 )] =
= ρ 1 ρ 2 [ cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )] , (2) Iz formule (2) slijedi: z 1 ⋅ z 2 = z 1 ⋅ z 2
,
Arg ( z 1 ⋅ z 2 )
= Argz 1 + Argz 2 + 2k π ,
( k ∈Z )
Dakle, kompleksni brojevi zadani u trigonometrijskom obliku množe se tako da im se moduli pomnože a argumenti saberu. Primjer2:
Naći proizvod kompleksnih brojeva: z 1
= 2(cos
z 1 ⋅ z 2
2π 2π + i sin ) , 3 3
= cos(
2π 3
−
π
6
π π z z 2 = 4 cos( − ) + i sin( − ) 6 6
) + i sin(
2π 3
−
π
6
) =
π − π 4π − π = 8 cos( 4 ) + i sin( ) = + 6
= 8(cos π + i sin π ) = 8(0 + i) = 8i . 2
2
8
Za količnik z 2
=
z 1
=
ρ 2
z 2
( z 1
z 1
ρ 2 (cos ϕ 2
+
ρ 1 (cos ϕ 1
+i
≠ 0) vrijedi:
i sin ϕ 2 )
=
sin ϕ 1 )
+ i sin ϕ 2 )(cos ϕ 1 − sin ϕ 1 ) = ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 1 − sin ϕ 1 )
ρ 2 (cos ϕ 2
[ cos(ϕ 2 − ϕ 1 ) + i sin(ϕ 2 − ϕ 1 )] ρ 2 = [ cos( ϕ 2 − ϕ 1 ) + i sin( ϕ 2 − ϕ 1 )] . 2 2 ρ 1 ρ 1 (cos ϕ 1 + sin ϕ 1 )
Imamo dakle na osnovu teoreme o jednakosti kompleksnih brojeva: z 2 z 2 z 2 = , Argz ( ) z 1 z 1 z 1
= Argz 2 − Argz 1 + 2k π , (k ∈ Z ),
Pa je modul količnika jednak količniku modula djeljenika i djeljitelja, dok je argument količnika jednak razlici argumenta djeljenika i argumenta djeljitelja. Primjer3:
Naći količnik kompleksnih brojeva: z 1 z 1 z 2
= 4(cos π + i sin π ) i 6
=
6
z 2
=
1 2π 2π + i sin ) (cos 2 3 3
4 2π 2π π π cos( − ) + i sin( − ) 1 6 3 6 3 2
−4 −4 = 8cos π π + i sin π π = 6 6
= 8cos( − π ) + i sin( − π ) = 8(cos π − i sin π ) = −8i. 2 2 2 2
Napomena: Formula za množenje kompleksnih brojeva zadana u trigonometrijskom obliku lahko se proširuje matematičkom indukcijom na slučaj proizvoda n kompleksnih brojeva . Prema tome, n kompleksnih brojeva oblika k
=
(1, 2,..., n)
z k = ρ k (cos ϕ k + i sin ϕ k )
množe se na sljedeći način:
z 1 ⋅ z 2 ⋅ ... ⋅ z n
= ρ 1 ⋅ ρ 2 ⋅ ... ⋅ ρ n [ cos(ϕ 1 + ϕ 2 + ... + ϕ n ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 + ... + ϕ n )]
.
Stepenovanje i korjenovanje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku 9
Ako u jednakosti
= ρ 1 ρ 2 [ cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )]
z 1 ⋅z 2
stavimo z 1 = z 2 = z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) dobit ćemo z 2
= [ ρ (cos ϕ + i sin ϕ )] 2 = ρ 2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ ).
Slično imamo i za: z 1 ⋅ z 2 ⋅ z 3
= ρ 1 ⋅ ρ 2 ⋅ ρ 3 [ cos(ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 )] ,
Neka je z 1 = z 2 = z 3 = z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) tada je
= [ ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ]3 = ρ 3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ ).
z 3
Uopće, ako u jednakosti z 1 ⋅ z 2 ⋅ ... ⋅ z n
stavimo z n
z 1
= ρ 1 ⋅ ρ 2 ⋅ ... ⋅ ρ n [ cos(ϕ 1 + ϕ 2 + ... + ϕ n ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 + ... + ϕ n )]
= z 2 = ... = z n = z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) dobit ćemo
= [ ρ (cos ϕ + i sin ϕ )] n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ )
(1).
Na osnovu teoreme o jednakosti kompleksnih brojeva iz formule (1) slijedi: z n
z
n
=
,
Argz n
= n ⋅ Argz + 2k π , ( k ∈ N ) .
Dakle, kompleksan broj se stepenuje prirodnim brojem n tako što se njegov modul stepenuje sa n, a argumene pomnoži sa n. Jednostavnost formule (1) pokazuje da stepenovanje još više nego množenje i djeljenje kompleksnih brojeva, opravdava cjelishodnost uvođenja trigonometrijskog oblika kompleksnog broja. Formulu (1) otkrio je francuski matematičar Moivre (1) (Moavr), pa se ona po njemu i naziva Moivreova formula. Specijalno za
z
ρ
=
1
=
iz (1) dobivamo
(cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ .
Primjer4:
10
Primjenom Moivreove formule izračunati: π π a) cos( ) + i sin( ) 4 4
7
b)
π π cos( − 6 ) −i sin( 6 )
−2
7 π π π π 7π 7π π π i i i + = − + − = − = cos sin cos( ) sin( ) cos sin + cos( ) sin( ) i = 4 4 4 4 4 4 4 4
a)
=
(1)
2 2
−
i 2 2
=
2 2
(1 − i ),
Abram de Moavr emigrira iz Francuske u Englesku 1685. po ukidanju ukaza iz Nanta i izgnanstvom Hugenota. Živeo je
siromašno, te je kao stalni gost “ Slaughter's Coffee House, St. Martin's Lane at Cranbourn Street “ zarađivao je novac igrajući šah. Poznat po “Moavrovoj formuli“, koja povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju i po radu na “normalnoj distribuciji“ i “teoriji slučaja“, godine 1697. izabran je kao član Naučne akademije ( Royal Society) u Londonu. Godine 1718, De Moavr je napisao knjigu o teoriji verovatnoće nazvanoj “Doktrina sreće“ (The Doctrine of Chances).
Korjenovanje kompleksnog broja Neka je
n ∈ N
z = ω n
z
( n ≥ 2),
z dati kompleksni broj; n-tim korijenom kompleksnog broja z nazivamo takav kompleksan broj čiji je n-ti stepen jednak broju z.
Definicija:
Znači, n
=
Za n-ti korijen kompleksnog broja vrijedi: Teorema:
Za svaki kompleksan broj n
ω
z ≠ 0
postoji n različitih vrijednosti
n
z ,
tj. jednačina
= z , gdje je z bilo koji zadan kompleksan broj različit od nule, ima tačno n različitih
rješenja. Dokaz:
Neka je dat kompleksan broj z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) , ( z ≠ 0) i neka je n
z = ω , ω = r (cos θ + i sin θ )
gdje je ω broj koji treba odrediti. Na osnovu definicije je
n
ω
= z tj
r n (cos nθ + i sin nθ ) = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )
11
Odakle na osnovu jednakosti kompleksnih brojeva zaključujemo nθ = ϕ + 2k π , (k ∈ Z ) ,
r n = ρ ,
gdje je
( n ρ )
ϕ + 2 k π n
θ =
r = n ρ ,
tj.
( k ∈Z )
aritmetička vrijednost korjena.
Dakle, sada imamo ω = n z = n ρ (cos
ϕ + 2 k π n
+ i sin
ϕ + 2 k π n
)
( k = 0,±1,±2,±3,...)
(1)
U formuli (1) broj k može imati bilo koju cijelu vrijednost. Međutim, pokazat ćemo da postoji tačno n različitih vrijednosti
n-tog korjena broja z i da se one dobiju ako je
ω k
k ∈{0,1, 2,..., n −1}
Dakle, tvrdimo da su sve vrijednosti Pretpostavimo k 1 , k 2
suprotno
tj.
da
+ 2k 1π n
k 1
tj.
− k 2 n
=
ϕ
+ 2k 2π n
+ 2 sπ
k 1
−
k 2
<
n
dva
različita
indeksa
= ω k a ovo bi značilo da je 2
( s ∈Z )
i s cijeli broj.
Pokažimo još da za svaki cijeli broj
Broj
ω k 1
bar
= s
što je nemoguće jer je
ω k 3
postoje
∈{ 0,1, 2,..., ( n − 1)} formula za koje je ϕ
k=0,1,2,…,(n-1) među sobom različite.
ω k
k 3
takav da
k 3 ∉{0,1,2,..., n −1}
vrijedi
∈{ω 0 , ω 1 , ω 2 ,..., ω n−1 }. k 3
možemo predstaviti u obliku
( k 1 ∈ { 0,1,2...., ( n − 1)} ) ϕ
k 3 = qn + k 1
(q ∈ Z)
odakle je
+ 2k 3π n
=
ϕ
+ 2k π n
+ 2qπ
Što znači da je ω k 3 ∈{ω 0 , ω 1 , ω 2 ....., ω n−1 }
12
Prema tome n z ima tačno n različitih vrijednosti
wk
koje odgovaraju vrijednostima
k = 0,1,2…..,n-1; ω k
ϕ + 2 k π ϕ + 2 k π = n p cos + i sin n n
(2)
i to su: ω 0 ω 1
ω 2
ϕ ϕ = n p cos + i sin n n ϕ + 2π ϕ + 2π = n p cos + i sin n n ϕ + 4π ϕ + 4π = n p cos + i sin n n
ω n −1
ϕ + 2( n + 1) π ϕ + 2( n + 1)π = n p cos + i sin n n
Ovim je teorema dokazana.
Vrijednost ω 0
ϕ ϕ = n p cos + i sin n n
(2)
Zove se glavna vrijednost n-tog korjena broja Z Iz izraza (2) za
neposredno zaključujemo da Morvreova formula vrijedi i za
ω 0
razlomljene eksponente tj. da je 1
Z
n
1
1 1 = P cos ϕ + i sin ϕ ako je z = n n N
Iz izraza (2) za vrijednost
ω k
( cos ϕ + i sin ϕ )
mozemo primjetiti da su moduli svih vrijednosti
ω k
jednaki to znači tačke koje odgovaraju tim brojevima nalaze se na kružnici poluprečnika n
p
ugao
i centrom u tački O; pri tome poluprečnici ma kojih dviju uzastopnih tačaka grade 2π
n
.
13
Prema tome, korijeni n
ω k
su tjemena pravilnog n-tougla upisanog u krug poluprečnika
p
Na osnovu toga zaključujemo da svaka binarna j-na z n
=a
( n-prirodan broj, a ≠ 0 dati kompleksan broj) ima n korjena; z
0
, z 1, z 2, .... z n
Tačke koje ovim korjenima odgovaraju leže na krugu poluprečnika
n
la
1
−
sa centrom u
koordinantnom početku. Primjer4:
Naći sve vrijednosti 6 − 64
Napišimo z=-64 u trigonometrijskom obliku -64=64 ( cos π + i sin π ) Prema formuli (2) imamo ω k
=6
64 cos
π
+ 2k π 6
+ i sin
π
+ 2k π 6
(k=0,1,2,3,4,5) Slijedi: ω 0
π π = 2 cos + i sin = 6 2
ω 1
π π = 2 cos + i sin = 2i 2 2
ω 2
5π 5π = 2 cos + i sin = − 6 6
3 +i
3 +i
14
Tacke
ω 3
7π 7π = 2 cos + i sin = − 6 6
ω 4
9π 9π = 2 cos + i sin = −2i 6 6
ω 5
11π 11π = 2 + i sin cos = 6 6
ω 0 , ω 1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 iω 5
3 −i
3 −i
su tjemena pravilnog šestougla u kružnici poluprečnika 2 s
centrom u koordinatnom početku.
15
Primjene i primjeri iz realnog života Kompleksni brojevi su sastavni dio kvantne fizike. Najčešća primjena kompleksnih brojeva je kod elektromagnetizma i naizmjenične struje. Kompleksnim brojevima mjeri se: •
Jačina elektromagnetnog polja
Taj broj će biti čisto realan ako je polje električno i nema magnetnih komponenti, a čisto imaginaran ako je polje magnetno i nema električnih komponenti. •
Induktivitet vodiča koji se kreće kroz elektromagnetno polje
•
Stanje komponenti električne struje
Broj je čisto realan ako postoji napon duž vodiča, ali nema toka kroz vodič i čisto imaginaran ako postoji tok kroz vodič, ali nema napona duž vodiča. •
Einsteinov-a teorija relativnosti
Odgovor na pitanje: Da li je moguće putovati brzinom većom od brzine svjetlosti ? , nije jednostavan niti je odgovor još uvijek poznat. Einsteinova teorija relativnosti i njegova formula dilatacije vremena
'
t
= t 1 −
v2 c
2
govori o usporavanju protoka vremena što je brzina bliža brzini svjetlosti. Ako je brzina mala vrijeme će teći normalno, vrijednost ispod korijena je pozitivan broj. Ako je brzina bliža brzini svjetlosti protok vremena se sve više usporava. Ako je brzina jako blizu svjetlosnoj brzini (98%) tada će putnik koji putuje 1 godinu kada se vrati na Zemlju zaključiti da je tamo prošlo 4 godine. 16
Kod same brzine svjetosti vrijeme se beskonačno uspori! Područje u kojem je brzina manja od brzine svjetosti možemo nazvati područjem realnog vremena. Ako brzina v je veća od svjetlosne brzine c tada je ispod drugog korjena negativan broj i izraz postaje imaginaran. Sada se nalazimo u području imaginarnog, a ne realnog vremena. Kako se v ubrzava to se i dalje u imaginarnom području ubrzava i vrijeme, te bi npr. putnik koji putuje pri 200% svjetlosne brzine jednu godinu, pri povratku na Zemlju ustanovio da je prošlo samo 7 mjeseci. No ovo su samo nagađanja koja nemaju realnog fizikalnog znacđčenja. Niko ne zna da li je to moguće i što bi se pri tome događalo!
17
Kratka historija nastanka kompleksnih brojeva Kompleksni brojevi nisu nastali iz potrebe, kao što je uobičajeno mišljenje, rješavanja kvadratnih jednačina , npr.
x 2
+ 1 = 0 , već iz potrebe rješavanja kubnih jednačina.
Sljedeće činjenice prikazuju razvoj kompleksnih brojeva kroz historiju i daju podršku navedenoj tvrdnji: 1. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780-850), arapski matematičar, rođen u Khwarizm (sada Khiva, Uzbekistan) u svom djelu Kitab al-jabr w’al Muqabalah navodi rješenja različitih tipova kvadratnih jednačina. Njegova rješenja kvadratnih jednačina odnose se samo na pozitivna rješenja. U svom djelu on daje dokaze koji su geometrijski utemeljeni i čini se da imaju izvore u grčkoj i hinduskoj matematici. 2. Omar Khayyam (oko 1050-1122), perzijski matematičar, astronom i autor najpoznatijih poema, rođen u Neyshabur (Nishapur, sada Iran) u 12. vijeku daje geometrijska rješenja nekih kubnih jednačina koristeći konusne presjeke. 3. Latinski prevod Gerarda da Cremona (1114-1187) Al-Khwarizmi–evog djela, kao i rad Leonardo da Pisa (1170-1250 ), poznatijeg kao Leonardo Fibonacci, omogućili su i italijanskim matematičarima da se upoznaju sa metodama algebre koje su uveliko bile poznate arapskim matematičarima. Oko 1225, Fibonacci je gostovao na dvoru, za vrijeme boravka cara Frederick-a II na Siciliji. Lokalni matematičari postavili su probleme, koje je Leonardo trebao da riješi . Jedan od problema je bio iz knjige Omar-a Khayyam-a : problem rješenja kubne jednačine
18
x 3
+ 2 x 2 + 10 x = 20 .
Leonardo Fibonacci, dokazao je da ova jednačina nema rješenja kako u skupu cijelih, tako ni u skupu racionalnih brojeva. On je našao pibližnu aproksimaciju rješenja s tacnošcu na devet decimala, koristeci arapske metode sukcesivnih aproksimacija.
4. Svođenje opće kubne jednačine oblika x
3
+ ax 2 + bx + c = 0
na kubnu jednačinu bez kvadratnog člana x 3 + px + q = 0
linearnom supstitucijom (1) x '
= x +
1 a 3
prvi put se pojavljuje u dva anonimna rukopisima blizu Firence krajem 14-tog vijeka. U slučaju kada su dopušteni samo pozitivni koeficijenti i pozitivne vrijednosti x , tada su moguća samo tri slučaja kubne jednačine x (1)
x 3 + px = q
(2)
x 3 = px + q
(3)
x 3 + q = px
3
+ px + q = 0
:
Scipione del Ferro (1465-1526) profesor Univerziteta u Bolonji, prvi je otkrio formulu za rješenja jednačine oblika (1) oko 1515 godine, ali svoje rezultate je čuvao u tajnosti . Na samrti, del Ferro povjerava dobivene rezultate svom zetu Hanibalu Naveu i svom učeniku Antoniu Maria Fioreu. Antonio Maria Fiore, osrednji matematičar, u poznavanju tajne metode rješavanja kubne jednačine vidio je šansu da dođe do slave i novca. Želeći da postane poznat izazvao je italijanskog matematičara Niccolò Fontana (1500-1557) poznatijeg kao Tartaglia na matematički dvoboj 1535 godine. Svaki od njih trebao je zadati drugom po 30 zadataka s rokom rješavanja do 50 dana. Kako se Fiore hvalio da zna tajnu rješavanja kubne jednačine oblika (1) Tartaglia je očekivao da ce mu dati jednačine tog tipa. Noć uoči
19
natjecanja Tartaglia smišlja metodu njihova rješavanja. Kad je došao dan dvoboja, njegovo očekivanje pokazalo se tačnim : Fior mu je dao zadatke isključivo tipa (1) , no Tartaglia ih je uspio riješiti za dva sata. Nasuprot tome, Tartaglia je Fioru zadao razne zadatke, koje Fior nije uspio riješiti. (2)
početnu promjenljivu x zamijenimo sa x ′ koji je jednak x umanjenom za trećinu koeficijenta uz
kvadratni član
Za Tartaglinu pobjedu saznao je milanski liječnik, matematičar i kockar Gerolamo Cardano (1501-1576), jedan od najneobičnijih ličnosti historije matematike. Cardano, saznavši za nove događaje vezane uz rješavanje, tada iznimno popularnog problema kubne jednačine, poziva Tartagliu da ga posjeti u Milanu. Po dolasku u Milano Tartaglia Cardanu otkriva metodu rješavanja kubne jednačine u stihu, ali samo uz uvjet da se Cardano zakune da je neće objaviti sve dok je on, Tartaglia, sam ne objavi. Kad su kub i stvari skupa Jednaki nekom diskretnom broju Nađi druga dva broja Koji se za taj razlikuju Tad ćeš to zadržati kao naviku Da im je proizvod uvijek jednak Tačno kubu trećine od stvari Ostatak tad kao opće pravilo Od njihovih oduzetih kubnih korijena Bit će jednak tvojoj osnovnoj stvari . Saznavši o formuli, Cardano je bio u mogućnosti rekonstruirati metodu rješavanja kubne jednačine. Dakle, treba riješiti sistem jednačina u−v = q 27 uv = p 3
Rješenje x polazne jednačine dobije se kao razlika kubnih korijena iz u i v. Polazeći od Tartaglinog rješenja, Cardano zajedno sa svojim studentom Lodovicom Ferrarijem (1522-1565) razvio je metodu rješavanja primjenjivu na sva tri tipa kubnih jednačina.
20
Ferrari dalje izvodi i metodu za rješavanje jednačine četvrtog stepena. Kad Cardano sazna da je formulu tridesetak godina prije otkrio del Ferro, a ne Tartaglia odluči da je objavi u svom najpoznatijem djelu Ars Magna (1545.). Cardano daje detaljni opis metode za rješavanje jednačina trećeg i četvrtog stepena i pri tom spominje del Ferro-a i Tartagliu kao autore. Prilikom rješavanja jednačine oblika (2) Cardano uočava problem, koji nije bio prisutan pri rješavanju jednačine oblika (1). Problem : mogućnost da se kvadratni korijen negativnog broja pojavi u numeričkom izrazu date formule. Uvodenjem supstitucije
x = u + v
u jednačinu
x 3 + px = q
dobivamo
x 3 − px = u 3 + v 3 + 3uv (u + v) − p (u + v) = q
Uvrštavajući u prethodnu jednačinu
3uv
=
p
dobivamo
v3 + u 3 = q 3
3
u v
3
p = 3
To jest, suma i proizvod od dva kuba su poznati. Prethodne jednačine izračunavamo pomoću jednačina drugog stepena i dobivamo x
=u +v = 3
1 1 q +w +3 q +w 2 2
2
3
1 1 w = q − p 2 2 3
I ako su korijeni negativnih brojeva, bili poznati i ranije, još starogrčkim matematičarima, Cardano u svom djelu Ars Magna izbjegava raspravu o ovom slučaju . Npr. treba riješiti klasičan primjer kubne jednačine
x 3
= 15 x + 4 .
Nakon primjene formule, imamo x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121
U ovom slučaju, Cardan tvrdi da opća formula nije primjenjiva (jer imamo kvadratni korijen iz -121). Medutim , B. L. van der Waerden(6), tvrdi
21
" Cardano je u algebru prvi uveo kompleksne brojeve oblika
a+
b
−
, ali je imao
nedoumice u vezi s njima. " Kompleksni brojevi nisu nastali iz ovog primjera , ali su neraskidivo povezani sa rješenjima kubne jednačine. 5. Rafael Bombelli (1526-1572) italijanski matematičar, u svom djelu l'Algebra (1572 i 1579), polazeći od kubne jednačine
x
3
= 15 x + 4 , nakon primjene Cardano-ove formule,
dobija x 3 = 3 2 + −121 + 3 2 − −121
Bombelli uočava da kubna jednačina
3
x
= 15 x + 4 ima rješenje
x
= 4 , a zatim
pokušava da izraze dobijene pomoću Cardano-ove formule predstavi kao drugi prikaz za x
=4.
Da bi to postigao stavlja 2+
3
i gdje su a i
b
3
2−
−121 = a + b −1
−121 = a − b −1
realni brojevi.Također, uvodi notaciju
1
−
i naziva je“ pi´u di meno ” –
više nego manje. U osnovi on posmatra brojeve oblika tj. brojeve oblika
a+
a
+
b
−
b
1
−
i primjenjuje uobičajena pravila algebarskog računa u radu s njima. 6. René Descartes (1596-1650) francuski matematičar i filozof čiji čuveni orginalni rad, La Géométrie, uključuje primjenu algebre u geometriji. U svom djelu dao je geometrijsko značenje za četiri elementarne računske operacije i vađenje kvadratnog korijena. Zatim je , konstatovao da euklidska geometrija je zasnovana na aritmetičkoj strukturi, tj. na strukturi realnih brojeva. Albert Girard 1620 godine sugerisao je da jednačina može imati onoliko rješenja koliki je njen stepen. René Descartes u La Géométrie postavlja sljedeći princip : “ Ako je n stepen polinoma P(x) , onda jednačina P(x)=0 ima tačno n rješenja “
22
7. John Wallis (1616-1703) norveško-danski istraživač i matematičar , u svojoj Algebri bilježi da negativni brojevi, tako dugo posmatrani s podozrenje, imaju savršeno dobro fizičko objašnjenje. Objašnjenje je bazirano na pravoj na kojoj je označena tačka nula, pozitivni brojevi su brojevi na pravoj s desne strane tačke nula, a negativni brojevi su brojevi na pravoj s lijeve strane tačke nula. Također, on je napravio napredak dajući geometrijsku interpretaciju za
1
−
.
1673 John Wallis konstruisao je geometrijske slike kompleksnih brojeva koje su slične onima koje danas koristimo. On je bio zainteresiran za rješavanje kvadratne jednačine oblika
+ 2bx + c 2 = 0 Koristeći formulu, za rješenja kvadratne jednačine, dobit ćemo korijene jednačine x
x 2
2
+ 2bx + c 2 = 0 koji su realni akko je
x = −b − b 2 − c 2 , x = −b + b 2 − c 2
b
≥ c . Wallis je zamislio da
su ovi korijeni jednačine pomaci u lijevo i desno od tacke ( −b,0 ) za vrijednost što je dužina stranice pravouglog trougla prikazanog na sl.1.1.
b2 −c2
Tačke P1 i P2, predstavljaju korijene jednačine
x 2
+ 2bx + c 2 = 0 , što je
očigledno ako je
b
2
− c2 ≥ 0
Ali postavlja se pitanje kako bi prikazali tačke P1 i P2, kada predstavljaju negativne korijene
jednačine
x 2 + 2bx + c 2 = 0,
b
2
tj.
ako
je
− c2 < 0 ?
Wallis
je
razmišljao
da
,
s
negativnim korijenima, b će biti manje od c, tako da je dužina b na sl.1.1 više ne bi mogla doći sve do x ose. Umjesto toga, ona će prestati negdje iznad nje, kao što prikazuje sl. 1.2.
23
Wallis je tvrdio da tacke P1 i P2, trebaju predstavljati geometrijske lokacije rješenja x = −b − b 2 − c 2 x = −b + b 2 − c 2
b
2
kada
i je
− c 2 < 0 . Kako je b kraća od c, to
više nije mogla biti hipotenuza u pravouglom trouglu kao što je bila ranije. Stranica dužine c sada ima tu ulogu. Wallis-ova metoda imala je neželjene posljedice da je
− −1 = −1
( u slučaju kada
b →0)
Ipak, ovo tumačenje je pomoglo da se o kompleksnim brojevima razmišlja kao o tačkama u ravni. 8. Jean-Robert Argand (1768-1822) bio je pariški knjigovođa. Argand 1806 godine izradio je mali letak koji na naslovnoj stranici nije sadržavao njegovo ime već samo naslov eseja " Essay on the Geometrical Interpretation of Imaginary Quantities ". Jedan primjerak tog eseja završava u rukama poznatog matematičara A. Legendre (1752-1833). U pismu svom prijatelju Francois Francais, profesoru matematike Legendre opisuje Argand-ov rad. Nakon Francaisove smrti, njegove radove naslijedio je njegov brat Jaques, profesor vojne umjetnosti i matematike . On pronalazi Legendre-ovo pismo i 1813 godine u časopisu u Annales de Mathémathiques Jaques objavljuje članak o osnovama kompleksnih brojeva. U posljednjoj tački članka, Jaques priznaje da je rad djelo nepoznatog autora i podstiće ga da se javi. Argand saznaje o svom radu i šalje svoj odgovor u sljedećem broju časopisa. 24
J. R. Argand (1806, 1814) uveo je termin " modul " za apsolutnu vrijednost kompleksnog broja. Argand-ovim dijagramom ili kompleksnom ravni naziva se bilo koja ravan sa parom međusobno ortogonalnih pravih, koje koristimo za vizualizaciju kompleksnih brojeva u ravni tako što kompleksni koordinate
( x, y )
z = x + yi
identifikujemo sa tačkom u ravni čije su
. Argand je poznat i po geometrijskom prikazu kompleksnog broja
gdje i predstavlja rotaciju za 90° 9. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Postoje indicije da je čuveni matematičar Gauss znao za geometrijski interpretaciju kompleksnog broja od 1796. godine, ali da je nije objavio do 1831.godine, kada je predstavio svoje ideje Royal Society u Göttingen-u. U svojoj doktorskoj tezi 1797 objavio je prvi korektan dokaz fundamentalnog teorema algebra, ali je još uvijek tvrdio " istinska metafizika kvadratnog korijena od -1 je iskjučiva ". 1831 Gauss nadvladava neke od svojih sumnji vezanih za kompleksne brojeve i objavljuje rad geometrijske reprezentacije kompleksnih brojeva kao tačaka u ravni. Gauss uvodi izraz kompleksni broj. U pismu Bessel-u 1811, Gauss pominje teorem koji ce kasnije biti poznat kao Cauchy-ev teorem. 10. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) zasnovao je teoriju kompleksnih funkcije 1814 u svom naučnom radu dostavljenom francuskoj Académie des Sciences. Pojam analitičke funkcije nije se još spominjao , ali koncept jeste. Cauchy 1847.godine izgrađuje skup kompleksnih brojeva kao
R[ x] /( x 2
+1).
LITERATURA:
25
1. Džubur Nataša, Matematika sa zbirkom zadataka, za IV razred srednje škole, IP “SVJETLOST” , Sarajevo 2006 2. Huskić Adem, Matematika za drugi razred gimnazije i drugih srednjih škola, IP “SVJETLOST” , Sarajevo 2006 3. Karamata Jovan, Kompleksan broj sa primjenom na elementarnu geometriju, Izdavačko preduzeće narodne Republike Srbije, Beograd 1950
Internet http:www.e-math.com http:www.matematiranje.com
26
