Desarrollo del método de los desplazamientos
45
4.2. Eje Ej emp mpll o de apli apli cación. cación. Continuando con el pórtico descrito en el apartado (3.8), se van a calcular las cargas y, posteriormente, seguir con el cálculo matricial, obteniendo los desplazamientos y las solicitaciones de las barras.
I P P E 4 5 0 0
45 0 I P E 45
3
2
4 H E B 1 8 0
0 8 1 B E H
6.25 m 5m
5
1 25 m
Figura 25: Geometría del pórtico ejemplo.
La estructura estará ubicada en Ciudad Real, capital manchega situada en la meseta sur a 640 m de altitud. El material de cubierta que se emplea es chapa 2
galvanizada, con un peso de 10 kg/m , y como correas, perfiles Z conformados en frío, de canto 180 mm y 2 mm de espesor, separadas cada 2 m. Como se avanzó en el epígrafe (3.8), el predimensionamiento se ha realizado con l os pe per f i l es si si guient guient es: Tabla 3. Perfiles del pórtico ejemplo. Perf Perf i l
Pes Peso (kp/m (k p/m))
Pil ar
HEB 280
103.0
Dintel Dintel
I PE 450
77.6
4.2.1. Obtención de las cargas.
•
Peso propio 2
Corr or r eas
2.479 2. 479 kg/m
Cub ubii er t a
10 kg/m
2
2
12.479 kg/m
12.479 · 5 = 62.395 kg kg/m
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
46
Dintel
77.6 kg/m 139.995 kg/m
Con una carácter conservador, y para manejar cargas aplicadas directamente sobre los nudos, se suponen aplicadas en los nudos 2 y 4 unas cargas puntuales de 515 kg, que representan el peso de cada soporte (103 · 5 kg).
•
Viento
Ciudad Real se encuentra en la zona eólica X. Si se considera que desde el punto de vista de la exposición de la estructura al viento, la exposición es normal, si se determina que la estructura dispondrá de un porcentaje de huecos inferi or al 33% y recordando las características geométricas del pórtico (altura de pilares 5 m, altura de clave 6.25 m y ángulo de inclinación de cubierta α = arc tg0.10 = 5.71º ), en la NTE ECV-76 se obtienen los valores de presión (o succión) del viento en las distintas partes de la estructura. Así:
0
H1 6 -13
m H 6.25 -13.09
H2 14 -16
5.71
-5.58
-5.616
-6.86
10
0 -13
0 -13.094
0 -16
0
H1 6 -51
m H 6.25 -51.38
H2 14 -63
5.71
-43.58
-43.898
-53.86
10
-38 -51
-38.28125 -51.375
-47 -63
HIPOTESIS A
α1 α α2 n
HIPOTESIS B
α1 α α2 n
Figura 26: Carga de viento sobre cubiertas en el pórtico ejemplo.
Como se muestra en la figura 26, es necesario interpolar entre los valores que aparecen en la Norma. De este modo, las cargas de viento perpendiculares a las dos vertientes de la cubierta, son: Tabla 4. Carga de viento sobre cubiertas.
Desarrollo del método de los desplazamientos
2
47
2
m (kg/m )
n (kg/m )
Hipótesis A
-5.616
-13.094
Hipótesis B
-43.898
-51.375
El signo ( −) indica que las cargas son de succión. Estos valores, al tener en cuenta la separación de 5 m entre pórticos, se transforman en: Tabla 5. Carga uniforme de viento sobre cubierta. m (kg/m)
n (kg/m)
Hipótesis A
-28.08
-65.47
Hipótesis B
-219.49
-256.875
De igual modo, la Norma nos proporciona los valores de presión y succión del viento a barlovento y sotavento de la edificación. También será necesario realizar la interpolación que se muestra en la figura 27.
q
H1 3 60
H 5.00 64.667
barlovento sotavento
43.111 21.556
H2 6 67 kp/m2 kp/m2
Figura 27: Carga total de viento sobre edificios.
Al igual que se ha operado con las cargas de viento que actúan sobre la cubierta, al tener en cuenta la separación de 5 m entre pórticos, estos valores se transforman en: Tabla 6. Carga lateral de viento. q (kg/m)
•
Nieve
Barlovento
215.555
Sotavento
107.780
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
48
Para poblaciones que se encuentran entre 601 y 800 m de altitud sobre el nivel del 2
mar, la sobrecarga de nieve en proyección horizontal según la NBE AE-88 es de 80 kg/m , valor que se puede reducir multiplicando por el coseno del ángulo que forma la cubierta al tener una inclinación inferior a 60º. Además, multiplicando por la separación entre pórticos se obtiene el valor de la sobrecarga de nieve q = 80 ⋅ cos 5.71 ⋅ 5 = 398.015kg/m Teniendo en cuenta que las cargas de viento sobre cubierta son cargas de succión (esto sucede siempre que la pendiente sea inferior al 17.64% en la zona eóli ca X y para l a altura de cumbrera del pórtico ejemplo), la combinación de acciones más desfavorable corresponde a la situación de peso propio más nieve, que será la hipótesis de carga que se desarrolla a continuación, y que se representa en la figura 28, ya con las cargas en unidades de kg y cm. 5.38 kg/cm
515 kg
515 kg 3
2
4 6.25 m 5m 5
1 25 m
Figura 28: Combinación de acciones más desfavorable en el pórtico ejemplo.
4.2.2. Desplazamiento de los nudos. a) Estado de carga 1
Desarrollo del método de los desplazamientos
49
5.38 kg/cm
3 2
4 6.25 m 5m 5
1 25 m
Figura 29: Cargas aplicadas sobre las barras en el pórtico ejemplo.
En la figura 29 se representa el estado de carga 1, en el que no aparecen las cargas que están directamente aplicadas sobre los nudos. En este estado de carga consideramos las barras empotradas en sus extremos.
•
Barra 2-3
En la figura 30 se muestra la descomposición de la carga vertical (peso propio + nieve) según los ejes locales de la barra. Sus valores son:
= q⋅ cos2 α = 5.38 ⋅ cos2 5.71 = 5.327kg/cm qx = q ⋅ cosα ⋅ senα = 5.38 ⋅ cos 5.71 ⋅ sen 5.71 = 0.533 kg/cm qy
q
cos α q cos α
Y L
α q y e 3 2
N e 2 3
N
2
e 2 3
e 2 3
x q
M
e 3 2
3
T
Figura 30: Descomposición de cargas.
Las reacciones de empotramiento son
e y 3 2
M
X L
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
50
qx ⋅L 0.533⋅ 1256.234 = = 334.786 kg 2 2 q ⋅L ⋅ e = y = 5.327 1256.234 = 3345.979 kg T23 2 2 2 qy ⋅L 5.327⋅ 1256.2342 e = = 700555.485kg⋅ cm M23 = 12 12 Ne23
=
qx ⋅L 0.533 ⋅ 1256.234 = = 334.786 kg 2 2 q ⋅L ⋅ e = y = 5.327 1256.234 = 3345.979 kg T32 2 2 2 qy ⋅L 5.327 ⋅ 1256.2342 e = = −700555.485kg⋅ cm M32 = − 12 12 Ne32
=
Por consiguiente, las reacciones de empotramiento en coordenadas locales son:
334.786 {R23e }L = 3345.979 700555.485 L •
334.786 y {Re32 }L = 3345.979 − 700555.485 L
Barra 3-4
Las cargas descompuestas según los ejes locales valen:
= q ⋅ cos2 α = 5.38 ⋅ cos2 354.29 = 5.327kg/cm qx = q⋅ cosα ⋅ senα = 5.38 ⋅ cos 354.29⋅ sen 354.29 = −0.533kg/cm qy
Las reacciones de empotramiento son qx ⋅L − 0.533⋅ 1256.234 = = −334.786 kg 2 2 q ⋅L ⋅ e = y = 5.327 1256.234 = 3345.979 kg T34 2 2 qy ⋅L2 5.327⋅ 1256.2342 e = = 700555.485 kg⋅ cm M34 = 12 12
e N34
=
qx ⋅L − 0.533⋅ 1256.234 = = −334.786 kg 2 2 q ⋅L e = y = 5.327⋅ 1256.234 = 3345.979kg T43 2 2
e N43
=
Desarrollo del método de los desplazamientos
e 43
M
=−
qy ⋅ L2
5.327⋅ 1256.2342 =− 12 12
= −700555.485kg⋅ cm
Por tanto, las reacciones de empotramiento en coordenadas locales son:
− 334.786 {Re34 }L = 3345.979 700555.485 L
− 334.786 y {Re43 }L = 3345.979 − 700555.485 L
51
52
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
b) Estado de carga 2 Premultiplicando los anteriores vectores de reacciones de empotramiento por sus corr espondientes matrices de rotación [R] se obtienen los vectores de reacciones de empotr amiento en coordenadas globales.
F23ex 0.99503719 − 0.099503719 {R23e }G = F23ey = 0.099503719 0.99503719 Me 0 0 23 G F32ex 0.99503719 − 0.099503719 {Re32 }G = F32ey = 0.099503719 0.99503719 Me 0 0 32 G F34ex 0.99503719 {Re34 }G = F34ey = − 0.099503719 Me 0 34 G F43ex 0.99503719 {Re43 }G = F43ey = − 0.099503719 Me 0 43 G
0
0 334.786 0 ⋅ 3345.979 = 3362.697 1 700555.485 700555.485G
0
0 334.786 0 ⋅ 3345.979 = 3362.697 1 − 700555.485 − 700555.485G 0 − 334.786 0 ⋅ 3345.979 = 3362.697 1 700555.485 700555.485G
0.099503719 0 0.99503719 0
0 − 334.786 0 ⋅ 3345.979 = 3362.697 1 − 700555.485 − 700555.485G
0.099503719 0 0.99503719 0
Las cargas directamente aplicadas sobre los nudos 2 y 4, correspondientes al peso propio del pilar, en coordenadas locales, son:
− 515 {P2d}L = 0 0 L
515 y {P4d}L = 0 0 L
En coordenadas globales, los vectores son
0 − 1 {P2d}G = 1 0 0 0
− 515 0 0 ⋅ 0 = − 515 1 0 0 G 0
Desarrollo del método de los desplazamientos
0 {P4d}G = − 1 0
53
1 0 515 0 0
0 ⋅ 1
0 0
0 = − 515 0 G
En este estado de carga, las cargas que actúan sobre los nudos libres {P a}G son la suma de las cargas directamente aplicadas en los nudos {P ad}G y de las acciones de e
empotramiento {A }G, es decir:
{Pa }G = {Pad}G + {A e}G o lo que es lo mismo
{Pa}G = {Pad }G − {Re}G
Concretando, 0 0 0 {P2 }G = − 515 − 3362.697 = − 3877.697 0 700555.485 − 700555.485 G 0 0 0 0 {P3 }G = 0 − 3362.697 − 3362.697 = − 6725.394 0 − 700555.485 700555.485 0 G 0 0 0 {P4 }G = − 515 − 3362.697 = − 3877.697 0 − 700555.485 700555.485 G Para este estado de carga, la ecuación matricial del pórtico es:
{Pa}G = [K] ⋅ {d1 }G 0 δ x2 − 3877.697 δ y2 − 700555.485 θ2 δ 0 x3 − 6725.394 = [K] ⋅ δ y3 θ 0 3 0 δ x4 − 3877.697 δ y4 700555.485 G θ4 G
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
54
siendo [K] la matr iz de rigidez del pórtico calculada en el apart ado (3.8.6). De esta ecuación matricial se deducen los desplazamientos de los nudos en el estado de carga real, que son:
δ x2 − 0.8217cm δ − 0.0132cm y2 θ2 − 0.0041rad δ 0.0000 cm x3 δ y3 = − 8.6845cm θ 0.0000rad 3 δ x4 0.8217 cm δ − 0.0132cm y4 θ 4 G 0.0041rad G 4.2.3. Solicitaciones de extremo. Las solicitaciones de extremo en el estado de carga real vienen dadas por la expresión [ 23] :
{S}L = {Re }L + [C] ⋅ {d}G
•
Barra 1-2
Calculamos en pri mer lugar las matrices de conversión [Cij ] , que vienen definidas T por [Cij ] = [Kij ] ⋅ [R] :
550200 [C11 ]L = 0 0
0 3884.83 971208
0 971208 ⋅ − 1 323736000 0
0 − 550200 [C12 ]L = 0 − 3884.83 0 − 971208
0
1 0 0 0
0 971208 ⋅ − 1 161868000 0 0
0 0 = − 3884.83 1 − 971208
0
0 0
− 550200 0 0 = 3884.83 0 1 0 971208
1 0 0
550200
971208 323736000 0
971208 161868000 0
Desarrollo del método de los desplazamientos
0 0 − 550200 0 [C21 ]L = 0 − 3884.83 − 971208 ⋅ − 1 0 971208 161868000 0 0 0 550200 0 [C22 ]L = 0 3884.83 − 971208 ⋅ − 1 0 − 971208 323736000 0
55
0 − 550200 0 0 = 3884.83 0 − 971208 1 0 161868000 − 971208
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 = − 3884.83 1 971208
550200 0 0
− 971208 323736000 0
− 550200 550200 0 0 0 0 0 0 − 0.8217 {S12}L = 0 + − 3884.83 0 971208 ⋅ 0 + 3884.83 0 971208 ⋅ − 0.0132 0 − 971208 0 323736000 0 971208 0 161868000 − 0.0041 − 550200 0 550200 0 0 0 0 0 − 0.8217 0 − 971208 ⋅ 0 + − 3884.83 0 − 971208 ⋅ − 0.0132 {S21}L = 0 + 3884.83 0 − 971208 0 161868000 0 323736000 0 971208 − 0.0041 En resumen, las soli citaciones de extremo en la barra 1-2, en kg y kg· cm, son:
N12 7240 {S12 }L = T12 = − 7168 M12 − 1460594 L N21 − 7240 {S21 }L = T21 = 7168 M21 − 2123201 L
•
Barra 2-3
0.99503719 [R]T = − 0.099503719 0
0.099503719 0
0.99503719 0 0
1
0 0 0 165160.25 164340.59 16434.06 T 0 428.88 269385.51 ⋅ [R] = − 42.67 426.75 269385.51 [C22 ] = − 26804.84 268048.60 225607568.2 269385.51 225607568.2 0
56
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
0 0 0 − 165160.25 − 164340.59 − 16434.06 T [C23 ] = − 428.88 269385.51 ⋅ [R] = 42.67 − 426.75 269385.51 0 26804.84 − 268048.60 112803784.1 − 269385.51 112803784.1 0 0 0 0 − 165160.25 − 164340.59 − 16434.06 T 0 [C32 ] = − 428.88 − 269385.51 ⋅ [R] = 42.67 − 426.75 − 269385.51 − 26804.84 268048.60 112803784.1 0 269385.51 112803784.1
0 0 165160.25 − 269385.51 ⋅ [R]T [C33 ] = 0 428.88 − 269385.51 225607568.2 0
0 164340.59 16434.06 = − 42.67 − 269385.51 426.75 26804.84 − 268048.60 225607568.2
0 334.786 164340.59 16434.06 − 0.8217 426.75 269385.51 ⋅ − 0.0132 + {S23}L = 3345.979 + − 42.67 700555.485 − 26804.84 268048.60 225607568.2 − 0.0041 0 − 164340.59 − 16434.06 0 + 42.67 − 426.75 269385.51 ⋅ − 8.6845 26804.84 − 268048.60 112803784.1 0 0 334.786 − 164340.59 − 16434.06 − 0.8217 − 426.75 − 269385.51 ⋅ − 0.0132 + {S32}L = 3345.979 + 42.67 − 700555.485 − 26804.84 268048.60 112803784.1 − 0.0041 0 164340.59 16434.06 0 + − 42.67 − 269385.51 ⋅ − 8.6845 426.75 26804.84 − 268048.60 225607568.2 0 En resumen, las solicitaciones de extremo en la barra 2-3 son:
N23 7801 {S23 }L = T23 = 5978 M23 2123201 L N32 {S32}L = T32 M 32 L
− 7132 = 713 1183936
Desarrollo del método de los desplazamientos
•
57
Barra 3-4
0.99503719 − 0.099503719 0 [R] = 0.099503719 0.99503719 0 0 0 1 T
0 0 165160.25 T [C33 ] = 0 428.88 269385.51 ⋅ [R] 269385.51 225607568.2 0
0 164340.59 − 16434.06 = 42.67 426.75 269385.51 26804.84 268048.60 225607568.2
0 0 0 − 165160.25 − 164340.59 16434.06 T [C34 ] = − 428.88 269385.51 ⋅ [R] = − 42.67 − 426.75 269385.51 0 − 26804.84 − 268048.60 112803784.1 − 269385.51 112803784.1 0 0 0 − 165160.25 − 428.88 − 269385.51 ⋅ [R]T [C43 ] = 0 0 269385.51 112803784.1
0 − 164340.59 16434.06 = − 42.67 − 426.75 − 269385.51 26804.84 268048.60 112803784.1
0 0 165160.25 − 269385.51 ⋅ [R]T [C44 ] = 0 428.88 − 269385.51 225607568.2 0
0 164340.59 − 16434.06 = 42.67 − 269385.51 426.75 − 26804.84 − 268048.60 225607568.2
0 − 334.786 164340.59 − 16434.06 0 {S34}L = 3345.979 + 42.67 426.75 269385.51 ⋅ − 8.6845 + 700555.485 26804.84 268048.60 225607568.2 0 0 − 164340.59 16434.06 0.8217 + − 42.67 − 426.75 269385.51 ⋅ − 0.0132 − 26804.84 − 268048.60 112803784.1 0.0041 0 − 334.786 − 164340.59 16434.06 0 − 426.75 − 269385.51 ⋅ − 8.6845 + {S43}L = 3345.979 + − 42.67 − 700555.485 26804.84 268048.60 112803784.1 0 0 164340.59 − 16434.06 0.8217 + 42.67 − 269385.51 ⋅ − 0.0132 426.75 − 26804.84 − 268048.60 225607568.2 0.0041 En resumen, las solicitaciones de extremo en la barra 3-4 son:
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
58
N34 {S34 }L = T34 M34 L
7132 = 713 − 1183936
N43 − 7801 {S43 }L = T43 = 5978 M − 2123201 43 L
•
Barra 4-5
− 550200 0 0 550200 0 0 − 1 0 0 [C44 ]L = 0 3884.83 971208 ⋅ 1 0 0 = 3884.83 0 971208 0 971208 323736000 0 323736000 0 0 1 971208 0 0 550200 0 − 550200 0 − 1 0 0 [C45 ]L = 0 971208 − 3884.83 971208 ⋅ 1 0 0 = − 3884.83 0 0 − 971208 161868000 0 0 1 − 971208 0 161868000 0 0 550200 0 − 550200 0 − 1 0 0 [C54 ]L = 0 − 3884.83 − 971208 ⋅ 1 0 0 = − 3884.83 0 − 971208 0 971208 161868000 0 161868000 0 0 1 971208 0 0 0 − 550200 550200 0 − 1 0 0 [C55 ]L = 0 − 971208 3884.83 − 971208 ⋅ 1 0 0 = 3884.83 0 0 − 971208 323736000 0 323736000 0 0 1 − 971208
− 550200 0 550200 0 0 0 0.8217 0 0 {S45}L = 0 + 3884.83 0 971208 ⋅ − 0.0132 + − 3884.83 0 971208 ⋅ 0 0 971208 0 323736000 0.0041 − 971208 0 161868000 0 − 550200 550200 0 0 0 0 0.8217 0 0 − 971208 ⋅ − 0.0132 + − 3884.83 − 971208 ⋅ 0 {S54 }L = 0 + − 3884.83 0 0 0 971208 0 161868000 0 323736000 0.0041 − 971208 0 En resumen, las solicitaciones de extremo en la barra 4-5 son:
N45 {S45 }L = T45 M 45 L
7240 = 7168 223201
Desarrollo del método de los desplazamientos
N54 {S54 }L = T54 M 54 L
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− 7240 = − 7168 1460594
En las figuras 31, 32 y 33 se representan los diagramas de esfuerzos axiles, esfuerzos cortantes y momentos flectores de todas las barras del pórtico.
Figura 31. Diagrama de axiles.
Figura 32. Diagrama de esfuerzos cortantes.
Figura 33. Diagrama de momentos fl ectores
Cálculo matricial de pórticos biempotrados a dos aguas
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4.2.4. Reacciones externas. Para calcular l as reacciones externas, recurrimos a la expresión [ 21] , mediante la cual obtenemos el vector de reacciones en función de los desplazamientos de los nudos libres. Así:
{R}G = [K I ] ⋅ {d1 }G donde [ KI ] viene definido por [22]:
[K12 ]G [0] [0] 0 0 K [ ] [ ] [ ] 54 G
[KI ] = Numéricamente,
− 971208 0 − 3884.83 − 550200 0 0 971208 0 161868000 [KI ] = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
− 3885
0
0 0 0
0
− 550200
0 0 0 971208
0
0 0 − 971208 0 161868000 0
Por tanto,
− 0.8217 − 0.0132 0 0 0 − 971208 0 0 0 0 Rx1 − 3884.83 − 0.0041 R 0 550200 0 0 0 0 0 0 0 − 0 y1 M1 971208 0 161868000 0 0 0 0 0 0 ⋅ − 8.6845 R = 0 0 0 0 0 0 3885 0 971208 − − x5 0 Ry5 0 0 0 000 0 0 − 550200 0 . 8217 M5 0 0 0 0 0 0 971208 0 161868000 − 0.0132 0.0041 Operando obtenemos el valor de las reacciones externas:
Desarrollo del método de los desplazamientos
7167.59 kg Rx1 R 7239.94 kg y1 M1 - 1460594.18 kg ⋅ cm R = - 7167.59 kg x5 Ry5 7239.94 kg M5 1460594.18 kg ⋅ cm
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