INGENIERIA CIVIL Y GERENCIA DE CONSTRUCCIONES
HORMIGÓN ARMADO DISEÑO DE UN PÓRTICO GRUPO 7 Paola Durán Araujo Nancy López
QUINTO CICLO “B” ING. CIVIL
10/01/2012
DISEÑO DE UN PÓRTICO
El problema a resolver se trata de un Pórtico de tres claros, con los extremos empotrados y las columnas centrales simplemente apoyadas como se puede apreciar en el grafico que se muestra a continuación:
DATOS: Pórtico de 3 claros L1, L2, L3: L1= 10m L2= 8m L3= 9m
Las secciones de la viga: en los apoyos 40 por 110 cm y en el centro de los claros 40 por 80 cm tiene una losa de entrepiso de 5 cm fundida monolíticamente con las vigas. Las cargas son las siguientes: • •
Carga Muerta: 4000 kg/m Carga Viva: 10000 kg/m
• •
Carga por Nieve: kg/m Carga Sísmica: + - 50000 kg
Nuestro Grupo cuenta con un f´c de 400kg/cm². 1. Calcular los momentos de diseño máximos en los apoyos y en los centros de las vigas, según el reglamento NEC – 11 2. Diseñar a flexión en los apoyos como vigas rectangulares y en los
centros como T, si la cuantía de acero es superior al 0.5 de la cuantía balanceada diseñe con doble armadura. Si resulta insuficiente la sección aun con doble armadura, si resulta lo contrario, o sea, que no requiera doble armadura baje la sección de 5 en 5 cm, hasta que la sección requiera doble armadura. Corte el acero donde no necesite pero tiene q garantizar que en ninguna sección rebasara los limites superiores de cuantía mayor a 0.5 de la balanceada ni tampoco menor al mínimo de acuerdo a la norma. 3. Diseñe los estribos a cortante en las diferentes secciones críticas.
4. Diseñar las columnas considerando el pandeo y el valor de K de acuerdo a los apoyos. Secciones de las columnas: Exteriores 60x60cm Interiores 70x70cm • •
Altura entre ejes = 6.5m Cuantía entre 1 y 8% 1. Dibuje con los respectivos detalles el plano estructural incluyendo la planilla de hierros. El plano será en dimensión de hoja A1 cumpliendo las normas de dibujo técnico y lo indicado en el sílabo. Se presentaran los cálculos conjuntamente con los planos.
DESARROLLO DEL DISEÑO DEL PÓRTICO 1. CALCULO DE MOMENTOS FLECTORES DE DISEÑO •
Distribución de Cargas Utilizadas
•
Calculo de las reacciones
• •
Diagramas de cortante y momentos Ecuaciones de seguridad del reglamento NEC – 1
1. DISEÑO DE VIGAS A FLEXION •
Vigas “T”
1. DISEÑO DE ESTRIBOS A CORTANTE •
P
1. DISEÑO DE COLUMNAS • • • •
Cargas Críticas (Distribuidas). Columna exterior. Combinación critica de cargas. Columna interior.
1. MOMENTOS FLECTORES DE DISEÑO El cálculo de los Momentos Flectores de Diseño se los realizo por medio de Análisis Matricial, con la ayuda de la calculadora (HP 50g), se utilizo el programa LARSH, en el cual se ingresaron los datos previamente analizados. Obteniendo los valores de los Momentos Máximos, los cuales según la distribución de cargas utilizadas para el cálculo, ya sean estas Carga Viva, Carga Muerta o Sísmica, la cual se mostrara a continuación. Y se procedió a aplicar el código NEC – 11, para obtener los momentos flectores de diseño. 1.1DISTRIBUCION DE CARGA UTILIZADAS: •
CARGA VIVA Y DE NIEVE
CARGA MUERTA
CARGA SISMICA
TABLA DE MOMENTOS MAXIMOS A UTILIZAR (KN-m): VIGA 1
VIGA 2
VIGA 3
MD
157.7 5
266.8 204.3 1 9
175. 92
227. 97
127. 59
ML
444.1 2
741.3 567.2 9 7
533. 59
617. 03
369. 76
ME
408.8 7
249.7 133.1 5 9
128. 85
255. 82
424. 18
MS
266.4 7
444.8 340.3 2 6
320. 15
370. 22
821. 86
MD
218.1 5
71.3 6
175.3 1
ML
598.4 4
382. 06
498.5 4
ME
408.8 7
MS
249.7 133.1 5 9 359.0 6
128. 85
255. 82
229. 23
424. 18 299.1 2
1.1 ECUACIONES DE SEGURIDAD DEL REGLAMENTO NEC – 11 •
U = 1.2 D + 1.6 L + 0.5
S
•
U = 1.2 D + 1.6 S + L U = 1.2 D + L + 0.5 S U = 1.2 D + E + L + 0.2
S U = 1.2 (157.75) + 1.6 (444.12) + 0.5 (266.47) = 1033.127 U = 1.2 (157.75) + 1.6 (2.66.47) + (444.12) = 766.655 U = 1.2 (157.75) + (444.12) + 0.5 (266.47) = 766.655 U = 1.2 (157.75) + (408.87) + (444.12) + 0.2 (266.47) = 1095.58 VIGA 1 Mu
986.0 3
Mu
VIGA 2 1595. 96
VIGA 3
1221. 4
1131 .24
1313 .05
403.0 1291. 274.3 2 24 7
145.7 751. 5 01
141. 41
284. 35
As
23.75
29.53
27.2 5
31.8 6
As
10.12 55.60 6.40
3.29
6.64
39.17
3.39
30.2 3
892. 28 1068. 75
448. 6
21.3 0 44.68
10.5 4
1.1CALCULO DE LA REACCIONES: Para el cálculo de las reacciones aplicamos Análisis Matricial por medio de un programa de la calculadora Texas Instruments, “ Smartbar”, para obtener la solución del pórtico, llevando a cabo el siguiente procedimiento
1. Obtención de las matrices de rigidez para cada elemento: 2. Matriz de rigidez para un elemento vertical: h: Altura del elemento. E: Modulo de elasticidad de los elementos I: Inercia 12EI/h^3
0
-6EI/h^2
-12EI/h^3
0
-6EI/h^2
0
AE/h
0
0
-AE/h
0
-6EI/h^2
0
4EI/h
6EI/h^2
0
2EI/h
-12EI/h^3
0
6EI/h^2
12EI/h^3
0
6EI/h^2
0
-AE/h
0
0
AE/h
0
-6EI/h^2
0
2EI/h
6EI/h^2
0
4EI/h
3. Matriz de rigidez de un elemento horizontal : A: Área de la sección del Elemento E: Modulo de elasticidad L: Longitud del elemento. AE/L
0
0
AE/L
0
0
0
12EI/L^3
6EI/L^2
0
-12EI/L^3
6EI/L^2
0
6EI/L^2
4EI/L
0
6EI/L^2
2EI/L
-AE/L
0
0
-AE/L
0
0
0
-12EI/L^3
-6EI/L^2
0
12EI/L^3
-6EI/L^2
0
6EI/L^2
2EI/L
0
-6EI/L^2
4EI/L
1.1DIAGRAMAS: DIAGRAMAS DE CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTOS
1.2ECUACIONES DE SEGURIDAD DEL REGLAMENTO NEC – 11 Se reviso el código NEC – 11 en el cual se establece algunas combinaciones de cargas para determinar los estados críticos. Las combinaciones que utilizamos en nuestro caso son: U = 1.2 D + E + L + 0.2 S U = 0.9 D + E El sismo (E) debe ser analizado considerando que pude actuar en cualquier dirección, por lo los diagramas de esfuerzos y reacciones son reversibles, pero deben ser consistentes. 1. DISEÑO DE VIGAS A FLEXION 2.1 VIGA T Se realizaron los cálculos de la VIGA T, basándonos en el método que se encuentra expresado en el libro de Marcelo Romo Proaño “Temas de Hormigón Armado”, los cálculos están detallados en las hojas anexadas a continuación. Nos cumplieron como vigas T la viga 1 y la viga 3, en el caso de la viga 2 se tuvo que modificar la sección cambiando d desde 75cm hasta 45cm, de esta manera se obtuvieron las tres vigas como T. Realizando los cálculos de resistencia al momento que tendrán las alas y el alma para soportar el momento previamente obtenido. Una vez que tenemos la cuantía de acero necesaria, se calculo el número de varillas y el tipo de estas que se utilizaran para cada una de las vigas T.
2.2 VIGA RECTANGULAR/DOBLEMENTE REFORZADA Para realizar el cálculo de las vidas doblemente reforzada, nos basamos en dos formas una de ellas aplicando primeramente las formulas de la viga rectangular con lo cual comprobamos por medio del ϕ que sea mayor a 0.5ϕ b para proceder a utilizar las formulas de la doble armadura, obteniendo así los resultados para As y
As´. La otra forma que usamos para obtener el acero fue realizando todo el cálculo con las formulas de Viga Rectangular, tomando en cuenta dos veces al reemplazar en la fórmula de Mu, para obtener los valores de As y As´, usamos para el As el momento mayor del pie, y para As´ el momento mayor del sismo ubicado en la parte de la cabeza. A continuación se presentan las tablas de los resultados que realizamos en EXCEL y como anexo se encuentra el cálculo detallado de las dos formas antes mencionadas.
SECCI ÓN
b(c m)
h(c m)
d(c m)
fc(kg/cm fy(kg/cm 2) 2)
1
40
65
60
400
4200
3
40
80
75
400
4
40
70
65
6
40
70
7
40
9
40
Mut(kg.c m)
As
Mrev(kg/c m)
A's
10054745 45.1 ,12 7
4384999, 94
18.2 6
4200
16274323 58.8 ,31
2797805, 76
9.05
400
4200
12454860 52.0 ,08 9
1486241, 90
5.52
65
400
4200
11535480 47.6 ,53 5
1441986, 05
5.35
75
70
400
4200
13389433 51.3 ,46 8
2899573, 82
10.0 9
60
55
400
4200
9098757, 62
4574463, 92
21.0 5
45.1 2
2. DISEÑO DE ESTRIBOS A CORTANTE Utilizamos las ecuaciones del reglamento NEC-11: Cargas y Materiales: 1. 2. 3. 4. 5.
U = 1.2 D + 1.6 L + 0.5 S U = 1.2 D + 1.6 S + L U = 1.2 D + L + 0.5 S U = 1.2 D + E + L + 0.2 S U = 1.2 D - E + L + 0.2 S
Los cálculos detallados de las tablas de ESTRIBOS y SEPERACION DE ESTRIBOS que están a continuación, se encuentran anexos en el final de este trabajo. TABLA DE CALCULOS PARA ESTRIBOS (KN) SECCION
PD
PL
PS
PE
U1
U2
U3
U4
U5
1
-
-
-
70.4
-958.72
-
-
-
-
171.6 4
452.2 5
271.3 5
4
2
983.14
714.5 0
577.8 4
704.6 4
0
0
0
0
0
3
195.1 6
503.0 4
301.8 2
70.4 4
1070.97
1098.1 3
799.3 3
781.2 3
654.4 4
4
147.0 6
408.2 2
244.9 3
35.9
-856.88
878.92
636.4 4
538.0 0
602.6 2
0
0
0
0
0
5 6
139.3 1
399.7 2
239.8 3
35.9
833.98
855.56
618.1 3
585.6 8
521.0 6
7
173.4 3
455.9 1
273.5 5
81.4 4
-966.91
991.54
720.7 2
573.5 7
720.1 6
0
0
0
0
0
871.85
894.12
649.1 0
655.5 7
508.9 8
8 9
154.1 4
412.5
247.5
81.4 4
SECCIO N
Pu (KN)
-50% Pu
P
Pu(Kg)
1
-983.72
491.86
430.02
100311.90
3
1098.13
-549.065
274.37
111978.51
4
-878.92
439.46
145.75
89625.23
6
855.56
-427.78
141.41
87243.16
7
-991.54
495.77
284.35
101109.32
894.12
-447.06
448.6
91175.20
2
5
8 9
TABLA DE CALCULOS DE LA SEPARACION DE LOS ESTRIBOS
SECCIO N
b(cm )
h(cm )
d(cm )
f´c
fy
Av(cm² )
Pu(kg)
Vu
Vc
S(cm )
1
40
65
60
400
4200
1.58
100311 .90
41.8 0
10.6 0
5.32
3
40
80
60
400
4200
1.58
111978 .51
46.6 6
10.6 0
4.60
4
40
70
60
400
4200
1.58
89625. 23
37.3 4
10.6 0
6.20
6
40
70
60
400
4200
1.58
87243. 16
36.3 5
10.6 0
6.44
7
40
75
60
400
4200
1.58
101109 .32
42.1 3
10.6 0
5.26
9
40
60
60
400
4200
1.58
91175. 20
37.9 9
10.6 0
6.06
Los valores presentados en las Tablas fueron calculados mediante un programa que se realizo en EXCEL. 1. DISEÑO DE COLUMNAS Para diseñar las columnas debemos tomar en cuenta el pandeo y el valor de K de acuerdo al os apoyos. 1.1Columna exterior: COLUMNA 1 Combinación critica de cargas: Para determinar las combinaciones críticas de carga se debe estudiar las solicitaciones tanto en la cabeza como en pie de la columna. Combinación critica en Pie de la columna: U =0.9 (1.2 D + E + L + 0.2 S) 0.9 (1.2*(2141412) + 4384999 + 5955164 + 0.2*(1284847)) = 11850144.12 kg.m Mu =
0.9 (1.2*(18701.66) + 7182.91 + 49123.99 + 0.2*(29474.39)) = 76179.38 kg Pu =
4.4 Combinación critica en la cabeza de la columna: U =0.9 (1.2 D + E + L + 0.2 S) 0.9 (1.2*(19545.7) + 41695.4 + 48791.4 + 0.2*(29313.8)) = 107824 kg.m Mu =
0.9 (1.2*(4814.1) + 18210.2 + 12034.7 + 0.2*(7220.64)) = 33721.1 kg Pu =
Es evidente que la combinación crítica de cargas en la cabeza de la columna es dominante sobre la combinación critica de cargas en el pie de columna, y dado que el armado de columna normalmente se mantiene constante en cada tramo entre pie y cabeza de columna, la combinación de diseño que se emplea en este caso es la correspondiente a la cabeza de la columna. a) Diseño de las columnas ignorando el efecto de Esbeltez: f’c = 400 kg/cm2 Fy = 4200 kg/cm2 Mu = 107824 kg.m = 10782400 kg.cm Pu =33721.1 kg Se escoge una distribución tentativa de la armadura longitudinal:
Se calcula el factor de tamaño del núcleo del hormigón: g = 48/60 = 0.8 Se calcula las coordenadas adimensionales: x=Muf'c*b*t2 x= 10782400400*60*60^2 x=0.1247 y=Puf'c*b*t y= 33721.1400*60*60 y=0.0234
1. Diagrama de interacción:
Falta desde aquí GRAFICO
Interpolando en el diagrama de interacción se obtiene: ρt = La sección transversal de acero es: As = ρt*b*t As=
n varillas de tanto y n varillas de tanto que proporcionan una sección transversal de acero de tanto Se requiere
GRAFICO a) Diseño de la columna incluyendo el efecto de Esbeltez: Se calcula el modulo de elasticidad del hormigón no fisurado: Ec= 15000√(f’c) = 311047 kg/cm2 Se calcula el valor del producto E . I para las columnas la siguiente expresión: Ecol*Icol=Ec*Ig2.51+ βd Ig = (60)*(60)3/12 Ig = 1.08 E 6 cm 4 βd = 1.4MD/(1.4 MD + 1.7 ML) βd = 1.4(19545.7)/(1.4*19545.7 + 1.7*48791.4) βd = 0.7669 Ecol*Icol=311047*1.08 E 62.51+ 0.7669 Ecol*Icol=7.605 E 10 kg.cm2
Se calcula el valor del producto E .I para las vigas que aproximadamente es la mitad de la expresión válida para columnas (se divide E.I para 5 en lugar de 2.5) debido a un nivel de mayor de agrietamiento: Evig*Ivig=Ec*Ig51+ βd Ig = 1.7067 E6 cm4 βd = 1.4MD/(1.4 MD + 1.7 ML) βd = 1.4*22245.2/(1.4*22245.2 + 1.7*55610.4) βd = 0.2478 Evig*Ivig=311047*1.70667 E651+0.2478 Evig*Ivig=8.51 E10 kg.cm2
Se determina el nivel de arriostramiento en los extremos superior e inferior de la columna, mediante la siguiente expresión: Ψ=∑( Ecol*IcolLcol )∑( Evig*IvigLvig ) En el extremo superior de la columna se tiene: Ψ=7.605 E 10 650 8.51 E101000 Ψsup = 1.375 En el caso del extremo inferior, se considera un semiempotramiento, lo que significa que: Ψinf = 1.00 Un empotramiento total significaría que significaría que Ψinf = 0
Ψinf =
∞
y un apoyo articulado
Con los dos valores calculados (Ψinf = 1.00 ; Ψsup = 1.375 ) se accede al nomograma para columnas con deslizamientos transversales y se obtiene: K= 1.37
La carga crítica de pandeo se calcula con la ecuación de Euler: Pcr=π2*Ecol*Icol(K*Lcol)2 Pcr=π2*7.605 E 10(1.37*650)2 Pcr = 301288 kg La carga axial última es: Pu = 37467.9 kg El momento flector ultimo por cargas que no producen desplazamientos transversales es: M1 ns = 0.9 (1.2 D + L + 0.2 S) M1 ns = 0.9 (1.2*(9819.9) + 24546.7 + 0.2*(14727.8)) = 35348.5 kg.cm
El momento flector último por cargas que producen desplazamientos trasversales es: M1 ns = 0.9 (E) M1 ns = 0.9 (74514) = 67062.6 kg.cm Se calcula el factor de amplificación del momento flector que no produce desplazamiento transversal: Cm=1 δ=Cm1- Pu0.9*Pcr δ=11- 37467.9 0.9*301288
= 1.16
Se calcula el momento flector de diseño, mayorado: MC =
*M2
= 1.16*35348.5 = 41004.3 kg.cm
Se calcula el factor de amplificación del momento flector que si produce desplazamientos trasversales: δs= 11-Q Q= ∑(Pu*Δo)Vu*Lc Donde: Pu = 37467.9 kg Δo = 0.9 (
DESPLAMIENTO ………
Vu = 0.9 (50000) = 45000 Lc = 650-55 = 595 cm
FALTA
1. Columna interior:
Columna 2 Combinación critica de cargas: Para determinar las combinaciones críticas de carga se debe estudiar las solicitaciones tanto en la cabeza como en pie de la columna.
Combinación critica en Pie de la columna: U =0.9 (1.2 D + E + L + 0.2 S) Mu= 0.9 (1.2*(0) + 0 + 0 + 0.2*(0)) = 0 kg.m Pu= 0.9 (1.2*(1253.24) + 6590.45 + 3132.58 + 0.2*(1879.34)) = 7623.19 kg
Combinación critica en la cabeza de la columna: U =0.9 (1.2 D + E + L + 0.2 S) Mu = 0.9 (1.2*(7639.1) + 40166.2 + 19107.1 + 0.2*(11449.2)) = 63657.1 kg.m Pu = 0.9 (1.2*(1253.24) + 6590.45 + 3132.58 + 0.2*(1879.34)) = 7623.19 kg
Es evidente que la combinación crítica de cargas en la cabeza de la columna es dominante sobre la combinación critica de cargas en el pie de columna, y dado que el armado de columna normalmente se mantiene constante en cada tramo entre pie y cabeza de columna, la combinación de diseño que se emplea en este caso es la correspondiente a la cabeza de la columna.
a) Diseño de las columnas ignorando el efecto de Esbeltez: f’c = 430 kg/cm2 Fy = 4200 kg/cm2 Mu = 63657.1 kg.m = 6365710 kg.cm Pu =7623.19 kg
Se escoge una distribución tentativa de la armadura longitudinal:
Se calcula el factor de tamaño del núcleo del hormigón: g = 58/70 = 0.8286 Se calcula las coordenadas adimensionales: x=Muf'c*b*t2 x= 6365710430*70*70^2 x=0.04316 y=Puf'c*b*t x= 7623.19 430*70*70 y=0.00362 Interpolando en el diagrama de interacción se obtiene: ρt = La sección transversal de acero es:
As = ρt*b*t As=
n varillas de tanto y n varillas de tanto que proporcionan una sección transversal de acero de tanto Se requiere
GRAFICO b) Diseño de la columna incluyendo el efecto de Esbeltez: Se calcula el modulo de elasticidad del hormigón no fisurado: Ec= 15000√(f’c) = 311047 kg/cm2 Se calcula el valor del producto E . I para las columnas la siguiente expresión: Ecol*Icol=Ec*Ig2.51+ βd Ig = (70)*(70)3/12 Ig = 2.0 E 6 cm 4 βd = 1.4MD/(1.4 MD + 1.7 ML) βd = 1.4(7639.1)/(1.4*7639.1 + 1.7*19107.1) βd = 0.2477 Ecol*Icol=311047*2.0 E 62.51+ 0.2477 Ecol*Icol=1.99437 E 11 kg.cm2 Se calcula el valor del producto E .I para las vigas que aproximadamente es la mitad de la expresión válida para columnas (se divide E.I para 5 en lugar de 2.5) debido a un nivel de mayor de agrietamiento: Evig*Ivig=Ec*Ig51+ βd Ig = 1.7067 E6 cm4 βd = 1.4MD/(1.4 MD + 1.7 ML)
βd = 1.4*22245.2/(1.4*22245.2 + 1.7*55610.4) βd = 0.2478 Evig*Ivig=311047*1.70667 E6/51+0.2478 Evig*Ivig=8.51 E10 kg.cm2
Se determina el nivel de arriostramiento en los extremos superior e inferior de la columna, mediante la siguiente expresión: Ψ=∑( Ecol*IcolLcol )∑( Evig*IvigLvig ) En el extremo superior de la columna se tiene: Ψ=1.99437 E 11 650 8.51 E101000+8.51 E10800 Ψsup = 1.6 En el caso del extremo inferior, se considera un semiempotramiento, lo que significa que: Ψinf = 1.00 Un empotramiento total significaría que significaría que Ψinf = 0
Ψinf =
∞
y un apoyo articulado
Con los dos valores calculados (Ψinf = 1.00 ; Ψsup = 1.375 ) se accede al nomograma para columnas con deslizamientos transversales y se obtiene: K= 1.4
La carga crítica de pandeo se calcula con la ecuación de Euler: Pcr=π2*Ecol*Icol(K*Lcol)2 Pcr=π2*1.99437 E 11 (1.4*650)2 Pcr = 2.37696 E6 kg La carga axial última es: Pu = 7623.19 kg El momento flector último por cargas que no producen desplazamientos transversales es: M1 ns = 0.9 (1.2 D + L + 0.2 S)
M1 ns = 0.9 (1.2*(9819.9) + 24546.7 + 0.2*(14727.8)) = 35348.5 kg.cm El momento flector último por cargas que producen desplazamientos trasversales es: M1 ns = 0.9 (E) M1 ns = 0.9 (74514) = 67062.6 kg.cm Se calcula el factor de amplificación del momento flector que no produce desplazamiento transversal: Cm=1 δ=Cm1- Pu0.9*Pcr δ=11- 37467.9 0.9*301288
= 1.16
Se calcula el momento flector de diseño, mayorado: MC =
*M2
= 1.16*35348.5 = 41004.3 kg.cm
Se calcula el factor de amplificación del momento flector que si produce desplazamientos trasversales: δs= 11-Q Q= ∑(Pu*Δo)Vu*Lc Donde:
Pu = 37467.9 kg Δo = 0.9 (
DESPLAMIENTO ………
Vu = 0.9 (50000) = 45000 kg Lc = 650-55 = 595 cm
