İÇİNDEK İLER Sayfa SİMGE LİSTESİ ............................................. ..................................................................... ............................................... .............................................. ...........................iii ....iii
ŞEK İL LİSTESİ ............................................. ................................................................... ............................................. ............................................. .............................. ........iv iv ÖNSÖZ............................................................... ÖNSÖZ......................................... ............................................. ............................................. ............................................ ........................... ..... v ÖZET...................... ÖZET ............................................. ............................................. ............................................ ............................................. ............................................ ......................... ....vi vi ABSTRACT ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ ....................................vii ..............vii 1.
İŞ ........................................... GİR İŞ ................................................................. ............................................. ............................................. ............................... ......... 1
2.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER ÖZVEKTÖRLER ............................................. ................................................................... ............................. ....... 2
2.1 2.2 2.3 2.4
Tanım ........................................... ................................................................. ............................................. ............................................. ............................... ......... 2 Özde ğer Ve Özvektörün Hesaplanmas ı ........................................... ................................................................. .......................... 3 Köşegenleştirme Ve Benzer Matrisler................................................................ Matrisler..................................................................... ..... 5 Simetrik Matrislerin Köşegenleştirilmesi ........................................... ................................................................ .....................99
3.
EYLEMSİZLİK TANSÖRÜ ......................................... ............................................................... ........................................ ..................17 17
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
Eylemsizlik Ve Çarp ım Eylemsizlik Momentleri.................................................. Momentleri..................................................17 17 Bir Eksene Göre Eylemsizlik Momenti.......................................... Momenti................................................................. .......................19 19 Asal Eylemsizlik Eksenleri............................ Eksenleri................................................... .............................................. ................................. .......... 21 Eylemsizlik Momentlerinin Dönü şümü-Tansör Özelli ği .......... ............... .......... .......... .......... .......... ........ ... 23 Rijit Cismin Sabit Nokta Etraf ında Dönme Hareketi ............................................ ............................................ 25 Doğru Eksenli Çubuklar ın Eğilmesi..................... ilmesi ............................................ .............................................. .......................... ... 28
4.
GER İLME TANSÖRÜ....................................... TANSÖRÜ............................................................ ........................................... .............................. ........ 33
4.1 4.2 4.3
İç Kuvvet Ve Gerilme............................................................... Gerilme...................................................................................... ............................. ...... 33 Bir Noktada n Normalli Yüzey Üzerindeki Normal Gerilme................................ Gerilme................................ 35 Asal Gerilmeler, Gerilme Bileşenlerinin Dönü şümü Ve Tansör Özelli ği.............38
5.
ŞEK İL DEĞİŞTİRME TANSÖRÜ.................... TANSÖRÜ ......................................... ........................................... ............................. ....... 41
5.1 5.2 5.3 5.4
Şekil Değiştirmenin Tanımı.......................................... ................................................................. ......................................... ..................41 41 Şekil Değiştirmelerin Yer Değiştirmeler Cinsinden İfadesi..................................45 Herhangi Bir Doğrultudaki Birim Boy De ğişimi ............................................ .................................................. ...... 48 Asal Şekil Değiştirmeler, Şekil Değiştirme Bileşenlerinin Dönü şümü Ve Tansör Özelliği ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................. .......................... ... 51
6.
SONUÇLAR............................................... SONUÇLAR......................... ............................................. ............................................. .................................... .............. 53
KAYNAKLAR.......................................................... KAYNAKLAR.................................... ............................................ ............................................. ......................................... ..................54 54 ÖZGEÇMİŞ ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ ..................................... ............... 55 ii
SİMGE LİSTESİ I
Eylemsizlik Momenti
ρ
Yoğunluk
J
Jakobi Matrisi
M
Moment
ω
Açısal Hız
P
Gerilme Vektörü
H
Açısal Momentum
σ
Normal Gerilme
ε
Şekil Değiştirme Tansörü
iii
ŞEK İL LİSTESİ Şekil 2. 1 Matris ve Özvektör İlişkisi...................... kisi ............................................ ............................................ .......................................... .................... 2 Şekil 2. 2 Matris ve Özvektörün Geometrik Yorumu .............................................. ............................................................. ............... 3 Şekil 3. 1 Kütle Eylemsizlik Momentleri .............................................. ..................................................................... ................................ ......... 17 Şekil 3. 2 Alan Eylemsizlik Momentleri ............................................. .................................................................... .................................. ........... 19 Şekil 3. 3 Keyfi Bir Eksene Göre Eylemsizlik Momenti ............................................. ...................................................... ......... 19 Şekil 3. 4 Sabit Bir Nokta Etraf ında Dönme Dönme ............................................ ................................................................... ............................. ...... 26 Şekil 3. 5 Eğik Eğilme..................... ilme ............................................ .............................................. ............................................... ........................................ ................ 30 Şekil 4. 1 Gerilme Vektörü.............................. Vektörü..................................................... ............................................... ............................................... .......................33 33 Şekil 4. 2 Üç Eksenli Gerilme Hali .............................................. ...................................................................... ......................................... ................. 34 Şekil 4. 3 Dik Üç Kesit....................... Kesit ............................................. ............................................ ............................................. ....................................... ................ 36 Şekil 5. 1 Uzunluk De ğişimi ............................................. ................................................................... ............................................ .............................. ........ 41 Şekil 5. 2 Açı Değişimi .......................................... ................................................................ ............................................ ......................................... ................... 42 Şekil 5. 3 Şekil Değiştirme Durumu............................................ Durumu.................................................................. .......................................... .................... 44 Şekil 5. 4 Şekil Değiştirmelerin Yer Değiştirmeler Cinsinden İfadesi.................................. fadesi..................................45 45
iv
ÖNSÖZ
Bu çalışmayı hazırlamamda bana yard ımcı olan Sayın Prof. Dr. Ayşe Soyuçok’a te şekkür ederim. Bazı bölümlerin hazırlanmasında yardımcı olan ve baz ı şekillerin AutoCAD te çizimini yapan değerli arkadaşım inşaat mühendisi Mesut Şimşek’e ve yard ımlar ından dolayı Ar ş. Gör. Ramazan Tekercio ğlu’na teşekkür ederim Son olarak eğitimimde hiçbir fedakârl ıktan kaçınmayan ve bana her zaman destek olan aileme sonsuz te şekkürlerimi sunar ım. Rahmetli babamın aziz hat ırasına…
Aralık 2006
Hasan Hüseyin Yurtcu
v
ÖZET
Özdeğer ve özvektör problemleri birçok mühendislik alan ında kar şımıza çıkar. Bu tezde, özde ğer ve özvektörleri uygulamada önemli olan baz ı matrisler ele alınmıştır. Bunlar, kütle ve alan eylemsizlik, gerilme ve şekil değiştirme tansörlerinin kartezyen koordinatlardaki bileşenlerinden oluşan matrislerdir. Çalışmada ele al ınan matrisler ve ilgili özde ğer ve özvektör problemlerinin uygulamada nas ıl kar şımıza çıktığı, bu özdeğer ve özvektörlerin fiziksel anlamlar ının ne olduğu ve bunlar ın kullanımının getireceği kolaylıklardan baz ılar ı gösterilmeye çal ışılmıştır. Ayr ıca, bu matrislerin, dönü şüm bağıntılar ı elde edilmiş ve kartezyen koordinatlarda tansör tanımına uyduğu gösterilmiştir.
Anahtar kelimeler: Simetrik matris, özdeğer, özvektör, kuadratik form, eylemsizlik momenti, eğilme, gerilme, şekil değiştirme
vi
ABSTRACT
Eigenvalue and eigenvector problems arise in many engineering applications. In this thesis, we consider some matrices which are important ones in applications. The elements of these matrices consist of cartesian components of the mass and area inertia tensors, stress tensor and strain tensor. We give the physical meanings and some facilities of eigenvalues and eigenvectors of these matrices. Moreover we obtained the transformation equations of the mentioned matrices and we showed that they are actually the tensor transformation relations.
Key words: Symmetric matrixes, eigenvalue, eigenvector, quadratic form, moment of inertia, flexure, stress, deformation.
vii
1
1.
GİR İŞ
Son yıllarda matris yöntemleri üzerinde yap ılan çalışmalar ın fizik, mekanik, yöneylem ve ekonomi gibi uygulamal ı bilimlerde verimli bir ortam sağlaması, matrislerin özdeğer ve özvektörleri konusunun önemini art ırmıştır. Uygulamada kullanılan matrislerin simetrik matris olarak seçilmesi ile simetrik matrislerin özelliklerinden dolay ı uygulamalar daha da kullanışlı hale gelmiştir. Özdeğer ve özvektör ifadelerinin İngilizce kar şılıklar ı eigenvalue ve eigenvector dür. Eigen terimini ilk olarak David Hilbert ( 1862-1943 ) kullanm ıştır. Hilbert eigenfunktion ve eigenwert ifadelerini ilk olarak integral denklemlerle ilgili bildirilerinde kullanm ıştır. Hilbert
in çık ış noktası homojen olmayan integral denklemlerin, bir λ parametresiyle matrissel kar şılığının ( I − λ A) x = y olması idi. Hilbert bu eşitliğin sıf ırdan farklı homojen çözümü için λ değerlerine eigenwerte adını vermiştir ve λ değerleri A matrisinin karakteristik köklerine kar şı gelmektedir. Eigenvektor kavramı ise ilk olarak Courant ve Hilbert taraf ından sonlu boyut ifadesi aç ıklanırken kullanılmıştır. John Von Neuman ( 1903-1957 ) bir eserinde f ≠ 0 şartı altında R f = λ f ifadesindeki λ yı eigenwerte, f yi ise eigenfunktion olarak adland ırmıştır. Bu yaygın bir kullanım haline
gelmiştir. 1946 da H.&B. Jeffreys in “ Methods of Mathematical Physics ” adl ı eserinde özdeğer kavramı karakteristik değer ve gizli kök kavramlar ıyla eş anlamlı olarak ifade edilmiştir. Bu tez çal ışması, giriş ve sonuçla birlikte alt ı bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde matrislerin özdeğer ve özvektörleri hakk ında bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde kütle ve alan eylemsizlik tansörleri, dördüncü bölümde gerilme tansörü, be şinci bölümde de şekil değiştirme tansörü ele al ınmıştır. Son olarak alt ıncı bölümde ise sonuçlar özetlenmi ştir..
2
2.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER
2.1
Tanım
A , n × n lik bir matris ve X sıf ır vektör olmamak üzere; AX çarp ımı X vektörünün bir kat ı, yani, (2.1)
AX= λ X
ise, λ ya A nın özde ğ eri ve X e A nın λ ya kar şı gelen özvektörü denir. AX ile X vektörü arasında genellikle geometrik bir ili şki yoktur (Şekil 2.1a). Baz ı
durumlarda, sıf ır olmayan öyle X vektörleri bulunabilir ki, X ile AX çarpımı birbirlerinin bir katı olurlar (Şekil 2.1b). Bu durumda X vektörüne A matrisinin özvektörü denir.
Şekil 2. 1 Matris ve Özvektör İlişkisi
⎡1 ⎤ ⎡3 0 ⎤ Örneğin X = ⎢ ⎥ vektörü A= ⎢ ⎥ matrisinin özvektörüdür. Burada X vektörüne kar şılık gelen ⎣ 2⎦ ⎣ 8 −1 ⎦ özdeğer 3 tür. Yani,
3
AX =
⎡ 3 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎢ 8 − 1 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
=
⎡3 ⎤ ⎢6 ⎥ ⎣ ⎦
= 3X
dir. Geometrik yorum, λ nın değerlerine bağlı olarak Şekil 2.2 de verilmektedir.
Şekil 2. 2 Matris ve Özvektörün Geometrik Yorumu
2.2
Özdeğer Ve Özvektörün Hesaplanması
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 A= ⎢ ⎢ ⎢ an1 ⎢⎣
a12 a1n a22 … a2 n
an 2 ann
matris olmak üzere,
= λ X λ X − AX = 0
AX
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
nxn tipinde bir matris olsun. O zaman, (2.1) denklemi I n birim
4 (λ I n − A) X = 0
(2.2)
şeklinde yazılabilir. (2.2) ifadesi ( A − λ I n ) X = 0 şeklinde de yaz ılabilir ve (λ I n − A) ifadesi için verilecek tan ımlar ( A − λ I n ) ifadesi için de do ğrudur. (λ I n − A) ifadesi matris formda,
⎡λ − a11 ⎢ −a 21 ⎢ λ I n − A = ⎢ ⎢ ⎢ − an1 ⎢⎣
− a12 λ − a22
− −
− an 2
a1n a2 n
λ − a nn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
şeklinde gösterilebilir. Bu matrisinin determinant ına A matrisinin karakteristik polinomu denir. (2.2) ifadesinin X ≠ 0 çözümü için, p (λ ) = det(λ I n
− A) = 0
olmalıdır. Buna A matrisinin karakteristik denklemi denir. Bu denklemin kökleri A matrisinin özde ğ erlerini verir. Bu özde ğerler (2.2) ifadesinde yerine yaz ılırsa bu özde ğerlere kar şı gelen özvektörler elde edilir.
det(λ I n − A)
ifadesini hesapladığımızda n. inci dereceden bir polinom elde ederiz. A
matrisinin karakteristik polinomunda λ n , (λ − a11 )(λ − a22 ) (λ − ann ) çarpımından elde edilir ve böylece λ n ifadesinin katsayısı 1 olur. O zaman, det(λ I n − A) = p (λ ) = λ n + a1λ n−1 + a2λ n −2 + … + an−1λ + an ifadesini yazabiliriz. λ =0 alırsak, det (λ I n − A) = det( − A) = an olur. Yani, an = (−1) n det A olur.
5
2.3
Köşegenleştirme Ve Benzer Matrisler
Tanı m 2.1 P tekil olmayan bir matris olmak üzere, B= P −1 AP eşitliği ile birbirleri arasında ilişki kurulabilen A ve B matrislerine benzer matrisler denir.
Teorem 2.1 Benzer matrisler aynı özdeğerlere sahiptir.
İSPAT: A ve B benzer matrisler olsun. O halde P tekil olmayan bir matris ( P P −1 = I n ) olmak üzere B= P −1 AP yazılabilir. A ve B matrislerinin karakteristik polinomlar ı olan p A (λ ) ve p B (λ ) nın
aynı olduğu gösterilsin. p B (λ ) = det(λ I n − B ) = det(λ I n − P −1 AP )
= det( P −1λ I n P − P −1 AP ) = det( P −1 (λ I n − A)P ) = det( P −1 ) det(λ I n − A) det( P ) = det( P −1 ) det( P ) det(λ I n − A) = det(λ I n − A) = p A (λ ) dır. p A (λ ) = pB (λ ) olduğundan, A ve B aynı özdeğerlere sahiptir.
Teorem 2.2 n × n tipindeki bir A matrisinin bir D kö şegen matrisi ile benzer olmas ı için gerek ve yeter
6
şart, A matrisinin özvektörlerinin R n de bir baz oluşturmasıdır. Ayr ıca, D matrisinin esas köşegeni üzerindeki elemanlar ı A matrisinin özdeğerleridir.
Not: Eğer bir A matrisi, bir köşegen matrisi ile benzer ise A ya kö şegenle ştirilebilir matris denir.
İSPAT: Eğer n × n tipindeki bir A matrisi bir D kö şegen matrisine benzer ise tekil olmayan (tersi bulunan) bir P matrisi için P −1 AP = D dir. Şimdi P matrisinin nasıl bir yapıda olduğunu araştıralım. P = PD dir.
⎡λ 1 0 0 ⎤ ⎢ 0 λ … 0 ⎥ 2 ⎢ ⎥ D = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 λ n ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦
ve P nin j. sütunu ( j = 1, 2, . . ., n ) X j olsun. AP nin j. sütununun AX j ve PD nin j. sütununun λ j X j olduğuna dikkat edelim. Böylece, AX j
= λ j X j
dir. Bunun anlamı, A n ın bir özdeğerinin λ j ve buna kar şılık gelen özvektörün X j olmasıdır. Tersine, n × n tipindeki bir A matrisinin özde ğerleri λ1 , λ2 ,… λ n ve bunlara kar şılık gelen özvektörler X 1 , X 2 ,… X n olmak üzere X 1 , X 2 ,… X n , R n de lineer ba ğımsız vektörler ise P yi, j. sütunu X j olacak şekilde seçebiliriz. Rank P = n , dolayısıyla P tekil değildir. Buna göre AP nin j. sütunu AX j şeklindedir. AX j = λ j X j olduğundan AP nin j.sütunu
λ X j olur. Öte
yandan PD nin j. sütununda λ j X j olduğu kolayca görülebilir. O halde , AP = PD veya P −1 AP = D olur. Bunun anlam ı ise, A matrisinin kö şegenleştirilebilir olmasıdır.
Sonuç olarak n × n tipindeki bir A matrisinin n tane özvektörü X 1 , X 2 ,… X n ve bu
7 özvektörler R n de lineer ba ğımsız ise, j. sütunu X j olan bir P matrisi yard ımıyla A matrisi köşegenleştirilebilir. Yani P matrisi yardımıyla P −1 AP = D olacak şekilde bir D matrisi elde edilebilir. Burada köşegen matrisin esas kö şegeni üzerindeki elemanlar A matrisinin özde ğerleri olur. Bunlara kar şılık gelen vektörler ise A matrisinin özvektörleridir. P nin sütunlar ının sırası, D matrisinin esas kö şegeni üzerindeki elemanlar ının sırasını belirler.
Teorem 2.3 Eğer n × n tipindeki bir A matrisinin karakteristik polinomunun kökleri reel ve hepsi birbirinden farklı ise A matrisi kö şegenleştirilebilir bir matristir.
İSPAT:
{λ1 , λ2 ,… λ n } , A matrisinin farkl özdeğerlerinin cümlesi olsun. Bu de ğerlere kar ş l k gelen ı
ı ı
özvektörlerin cümlesi de S = { X 1 , X 2 … X n } olsun. S nin R n için bir baz oldu ğu ispat etmek isteniyor. Bunun için S nin lineer ba ğımsız olduğunu göstermek yeterlidir. S nin lineer ba ğımlı olduğunu varsay ılsın. Bu durumda bir X j vektörü, S deki vektörlerin birleşimi olarak yazılabilir. S1 = { X 1 , X 2 … X j − 1 } cümlesinin lineer ba ğımsız olduğu kabul edilsin. Aksi halde S 1 cümlesinin vektörlerinden biri di ğerlerinin lineer birleşimi olarak yazılabilir. S 1 lineer bağımsızdır dolayısıyla X j , X j
= a1X 1 + a2 X 2 + … + a j −1 X j −1
(2.3a)
şeklinde yazılabilir. Buradan, AX j
= A(a1X 1 + a2 X 2 + … + a j −1 X j −1 ) = a1 AX 1 + a2 AX 2 + … + a j −1 AX j −1
ifadesi elde edilebilir. Buradan, AX j = λ j X j olduğundan,
(2.3b)
8 λ j X j = a1λ1 X 1 + a2 λ2 X 2 + … + a j −1λ j −1 X j −1
(2.3c)
elde edilir. (2.3a) denkleminin λ j ile çarpılmasıyla λ j X j = λ j a1X 1 + λ j a2 X 2 + … + λ ja j −1 X j −1
(2.3d)
olur. (2.3c) den (2.3d) nin ç ıkar ılmasıyla, 0 = a1 (λ1 − λ j ) X 1 + a2 (λ2 − λ j ) X 2 + … + a j −1 (λ j −1 − λ j ) X j −1 bulunur. S 1 lineer bağımsız olduğundan, a1 (λ1 − λ j ) = 0,
a2 (λ2 − λ j ) = 0
,… ,
a j −1 (λ j −1 − λ j ) = 0
olur. λ lar farklı olduğundan , (λ1 − λ j ) ≠ 0, (λ2 − λ j ) ≠ 0 ,… , (λ j −1 − λ j ) ≠ 0 olur.Buradan, a1
= a2 = … = a j −1 = 0
bulunur. Yani X j = 0 olmalıdır. X j bir özvektör oldu ğundan bu imkâns ızdır. O halde S lineer bağımsızdır ve dolayısıyla A köşegenleştirilebilirdir.
NOT: Teorem 2.3 ün ispat ından, şu önemli sonuç elde edilir: A, n × n tipinde bir matris ve λ1 , λ2 ,… λ k A n ın k tane farklı özdeğeri ve bunlara kar şılık gelen özvektörler de X 1 , X 2 … X k
ise X 1 , X 2 … X k lineer bağımsızdır. A nın karakteristik polinomu n tane çarpan olarak yaz ılabilir. Bunlar ın her biri λ − λ 0 formundadır ve λ 0 karakteristik polinomun bir reel köküdür. Yani karakteristik polinom, (λ − λ1 )k1 (λ − λ2 ) k2
… (λ − λr ) r k
şeklinde yaz ılabilir. Burada λ1 , λ2 ,… λ r A nın farklı özdeğerleri ve k1 , k2 … k r toplamlar ı n olan tamsayılardır. Bu k i tamsayısına λ i nin katl ıl ı ğ ı denir. Buradan, "A n ın karakteristik polinomunun köklerinin hepsi reel ve her bir k katlı λ özdeğeri için k tane lineer ba ğımsız özvektör bulunabilirse A matrisi kö şegenle ştirilebilir bir matristir" sonucu ortaya ç ıkar.
9
Simetrik Matrislerin Köşegenleştirilmesi
2.4
Simetrik matrisler AT = A şartını sağlarlar. Simetrik matrisler, genel matrislere göre daha kullanışlıdırlar ve birçok uygulamada yer al ırlar. Bu bölümde simetrik matrislerin özellikleri incelenecektir. Teorem 2.3 ten
n
tane farklı özdeğeri olan bir n × n tipindeki A matrisinin
köşegenleştirilebilir olduğu biliniyor. Aksi halde A matrisi kö şegenleştirilemeyebilir. Simetrik matrisler ise her durumda kö şegenleştirilebilir. Yani A matrisi bir simetrik matris ise P −1 AP = D olacak şekilde tekil olmayan bir P matrisi vard ır. Burada D bir köşegen matrisdir.
Teorem 2.4 Bir reel simetrik matrisin karakteristik polinomunun bütün kökleri reeldir
İSPAT: A matrisinin karakteristik polinomunun herhangi bir kökü λ olsun. λ nın bir reel say ı olduğunu yani λ nın kompleks e şleniği λ olmak üzere λ = λ olduğu gösterilecektir. AX
= λ X ifadesinin iki yan ı soldan X T ile çarpılsın,
X T A X
= X T λ X = λ X T X
(2.4)
olur. Her iki taraf ın eşlenik transpozesi al ınırsa, X T AT X
= λ X T X
veya X T A X
= λ X T X
( A reel ve A = AT oldu ğ undan)
10 ( 2.4 ) ifadesi de kullan ılarak, λ X T X
= λ X T X
elde edilir. Dolayısıyla, (λ − λ ) ( X T X ) = 0 bulunur. X ≠ 0 olduğundan, X T X ≠ 0 dır. Böylece λ − λ = 0 veya λ = λ olur.
SONUÇ 2.1 A bir simetrik matris ve A n ın bütün özde ğerleri farklı ise A kö şegenle ştirilebilir bir matristir.
İSPAT: A simetrik bir matris olduğundan, karakteristik polinomunun bütün kökleri reeldir. Özdeğerler farklı olduğundan Teorem 2.3 ten A n ın köşegenle ştirilebilir olduğu anlaşılır.
Teorem 2.5 A bir simetrik matris ise, A n ın farklı özdeğerlerine kar şılık gelen özvektörleri birbirine diktir.
İSPAT: A nın λ 1 ve λ 2 farklı özdeğerlerine kar şılık gelen özvektörleri X 1 ve X 2 olsun. AX 1
= λ1 X 1
AX 2
= λ2 X 2
dir. Yukar ıdaki ilk denklem X T 2 , ikincisi X 1T ile soldan çarp ılırsa,
11 X T2 A X 1
= λ1 X
X 1
(2.5a)
X 1T A X 2
= λ2 X 1T X 2
(2.5b)
T
2
olur. (2.5b) nin her iki taraf ının transpozesi al ınarak A n ın simetrik matris oldu ğu göz önüne alınırsa, X T2 A X 1
= λ2 X
T
(2.6)
2 X 1
Bulunur. (2.6) ifadesi (2.5a) ifadesinden ç ıkar ılırsa, 0 = (λ1 − λ 2 ) X T 2 X 1 olur. λ1 ≠ λ 2 olduğundan X
T
2
X 1
= 0 elde edilir.
A köşegenleştirebilen bir matris ise P tekil olmayan bir matris olmak üzere P −1 A P köşegen matristir. Ayr ıca P nin sütunlar ı A matrisinin özvektörleridir. A simetrik ve özde ğerleri farklı bir matris olmak üzere A matrisinin özvektörlerinin dik cümlesi S ise A matrisinin bir özvektörünü, s ıf ırdan farklı bir sayı ile çarptığımızda yine A matrisinin bir özvektörü olacağından S cümlesini normalize edebiliriz. Bu ortanormal cümle, A matrisinin özvektörlerinden elde edilen cümle olarak T = { X 1 , X 2 ,… , X n } şeklinde yazılabilir. P nin j. sütunu X j özvektörü olsun. Bu durumda P nin ne tür bir matris oldu ğunu anlamak mümkündür. P yi P = [ X 1 , X 2 ,… , X n ] şeklinde satır matrisi olarak yazabiliriz. Buradan
⎡ X 1T ⎤ ⎢ T ⎥ ⎢ X 2 ⎥ olur. Burada T P = ⎢ ⎥ ⎢ T ⎥ ⎢⎣ X n ⎥⎦
X iT , n × 1 tipindeki X i
matrisinin ( vektör ) transpozesidir.
Buradan PT P matrisinin ( i,j ) bileşeninin X iT X j olduğu görülür. i=j için X iT X j = 1 ve i ≠ j için X iT X j
= 0 olduğundan PT P = I n . Yani PT = P −1 olur.
12
Tanı m 2.2 A bir reel kare matris olmak üzere e ğer A−1 = AT ise A ya ortogonaldir denir. Buradan, AT A = I n ise A nın ortogonal olduğu söylenebilir.
Teorem 2.6 n × n tipindeki bir A matrisinin ortogonal olmas ı için gerek ve yeter şart A nın sütun
vektörlerinin bir ortonormal baz olu şturmasıdır.
Teorem 2.7 A, n × n tipinde bir simetrik matris ise P −1 AP = P T AP = D köşegen matrisi olacak şekilde bir P ortogonal matrisi vard ır. A nın özdeğerleri D nin esas kö şegeni üzerindeki elemanlard ır.
⎡ ⎢ ÖRNEK 2.1 A = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 2 0 0
2 1 0 0
0 0 1 2
olsun. A n ın karakteristik polinomunun p (λ ) = (λ + 1)2 (λ − 3)2
olduğu bulunur. Buradan, λ 1
= −1 ,
λ 2
= −1 , λ 3 = 3 ve
λ 4
=3
0 0 2 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
13 bulunur. Şimdi özvektörleri ve P ortogonal matrisini hesaplayal ımn. Katlılığı (2) olan -1 özdeğerine kar şılık gelen özvektörler (−1 I 4 − A) X = 0 homojen sisteminin çözümleridir.
⎡ -2 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
-2 2 0 0
0 0 -2 -2
0 0 -2 -2
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢0 ⎥ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦
r ve s reel sayılar olmak üzere, bütün vektörlerin cümlesi,
⎡ r ⎤ ⎢ −r ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ s ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ − s ⎦
⎡ 1⎤ ⎢ −1 ⎥ r⎢ ⎥+ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0⎦
⎡ 0⎤ ⎢ 0⎥ s⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦
şeklindedir. Böylece -1 de ğerine kar şı gelen özvektörler,
⎡ 1⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ −1 ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ve ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0⎦ ⎣ −1⎦
olarak seçilebilir. Bu iki vektörün dik oldu ğu açıktır. Ortonormal baz arad ığımızdan, λ 1 ve λ 2 ye kar şılık gelen özvektörler s ırasıyla,
14
⎡ 1 ⎤ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ -1 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎥ X 1 = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎣ ⎦
ve
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ X 2 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
0 ⎤ 0 ⎥⎥ 1 2 -1 2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
şeklinde alınabilir. Katlılığı iki olan 3 özde ğerine kar şılık gelen özvektörler (3 I 4 − A) X = 0 homojen sisteminin çözümleridir.
⎡ 2 ⎢ -2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
-2 2 0 0
0 0 2 -2
0 0 -2 1
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢0 ⎥ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎣0 ⎦
r ve s reel say ılar olmak üzere, bütün vektörlerin cümlesi,
⎡ r ⎤ ⎢ r ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ s ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ s ⎦
⎡ ⎢ r⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1⎤ 1 ⎥⎥ + 0⎥ ⎥ 0⎦
⎡ ⎢ s⎢ ⎢ ⎢ ⎣
0⎤ 0⎥⎥ 1⎥ ⎥ 1⎦
şeklindedir. Böylece 3 özde ğerine kar şılık gelen özvektörler,
⎡ 1⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ 1⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ve ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0⎦ ⎣ 1⎦
15
olarak seçilebilir. Bu iki dik vektörün normalize edilmesiyle λ 3 ve λ 4 e kar şılık gelen özvektörler sırasıyla,
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ X 3 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 ⎤ 2 ⎥⎥ 1⎥ 2⎥
⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦
ve
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ X 4 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
0 ⎤ 0 ⎥⎥ 1 2 1 2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
bulunur. Farkl ı özdeğerlere kar şılık gelen özvektörler diktir ve böylece, { X 1 , X 2 , X 3 , X 4 } R 4 için bir ortonormal bazd ır. P matrisi, j. sütunu X j ( j = 1, 2,3, 4) olan matristir. Yani,
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ P = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
1 2
0
-1 2
0
⎤
1 2
0 ⎥
1 2
0
0
1 2
0
1 2
0
-1 2
0
1 2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
olur. A , n × n tipinde bir simetrik matris ise P −1 AP bir köşegen matris olacak şekilde bir P ortogonal matrisinin nasıl bulunabileceği biliniyor. Tersine, P −1 AP = D bir köşegen matrisi
16 olacak şekilde bulunabilecek P ortogonal matrisi için bir A matrisi göz önüne al ınsın. A ne tür bir matristir? P −1 AP = D olduğundan A = PDP −1 dir. Aynı zamanda P ortogonal oldu ğundan P −1
= P T dir. Böylece,
AT
= ( PDPT )T = (P T )T D T P T = PDP T = A
olur, yani A matrisi simetrik bir matristir. Birçok uygulamada, sadece verilen bir A matrisine benzer olan D kö şegen matrisini bulmaya ihtiyaç duyulur. Yani P −1 AP = D olacak şekilde özvektörlerin normalize edilmesiyle olu şan P matrisini açıkça bilme zorunluluğu yoktur. D matrisi A matrisinin özdeğerlerinin köşegen matris formunda yaz ılmasıyla elde edilebilir. Özdeğer problemleri birçok mühendislik ve matematik uygulamalar ında yer al ır. Bunlar, aerodinamik, esneklik, nükleer fizik, mekanik, kimya mühendisli ği, biyoloji, diferansiyel denklemler ve bunun gibi alanlard ır. Uygulama problemlerindeki birçok kö şegenleştirilebilir matris simetriktir. Ya da karakteristik polinomunun bütün kökleri reeldir. İlerleyen bölümlerde özellikle mekanik alanındaki uygulamalar incelenecektir.
17
3.
EYLEMSİZLİK TANSÖRÜ
Bundan sonraki bölümlerde mühendislik mekani ğinde kar şımıza çıkan baz ı matrisler ele alınacakt ır. Bu matrislerin özde ğer ve özvektörlerinin önemli anlamlar ı ve işlevleri vardır. Ayr ıca, bu matrisler tansör dönü şüm özelliği göstermektedirler. Dolay ısıyla bu matrislerden genellikle tansör diye söz edilir. Bu bölümde eylemsizlik tansörü ele al ınacakt ır.
3.1
Eylemsizlik Ve Çarpım Eylemsizlik Momentleri
Eylemsizlik momentleri bir cismin, ya da bir düzlemsel yüzeyin, belirli bir yönelim ve başlangıç noktasına sahip, verilen bir koordinat sistemine göre kütle ya da alan da ğılımını özel bir şekilde belirler.
Şekil 3. 1 Kütle Eylemsizlik Momentleri
18
Şekil 3.1 de gösterilen rijit cismi ele alal ım. Cismin dönme hareketi incelenirken kar şılaşılan, cismin hacmi üzerinden al ınan,
I xx
= ∫ rx2 dm = ∫ ( y 2 + z 2 ) ρ dv m
I yy
V
= ∫ ry2 dm = ∫ ( x 2 + z 2 ) ρ dv m
I zz
(3.1)
V
= ∫ rz 2 dm = ∫ ( x 2 + y 2 ) ρ dv m
V
integrallerine eksenlere göre ( s ırasıyla x,y,z) kütle eylemsizlik momentleri,
I xy
= I yx = − ∫ xy ρ dv V
I yz
= I zy = − ∫ yz ρ dv
(3.2)
V
I xz
= I zx = − ∫ xz ρ dv V
integrallerine de kütle çarpım eylemsizlik momentleri adı verilir. Burada ρ yoğunluktur. Dik düzlemlerden biri veya her ikisi kütlenin simetri eksenleri ise bu düzlemlere göre çarp ım eylemsizlik momentleri s ıf ır olur. Benzer şekilde, örneğin çubuklar ın eğilmesi ve düzlemsel yüzeylere gelen ak ışkan kuvvetlerinin incelenmesinde kar şılaşılan,
I xx
= ∫ y 2 dA , A
I yy
= ∫ x 2 dA , A
I xy
= − ∫ xy dA
(3.3)
A
alan integrallerinin, ilk ikisi alan eylemsizlik momentleri, sonuncusu da alan çarpım eylemsizlik momenti olarak adland ır ılır. Şekil 3.2.
19 y
dA y x
x
Şekil 3. 2 Alan Eylemsizlik Momentleri
Alan, bir eksene göre simetrikse çarp ım eylemsizlik momenti s ıf ırdır.
3.2
Bir Eksene Göre Eylemsizlik Momenti
Şekil 3.3 teki cismi göz önüne alal ım. Cismin, O noktas ından geçen ve n birim vektörü doğrultusundaki bir eksene göre eylemsizlik momenti,
Şekil 3. 3 Keyfi Bir Eksene Göre Eylemsizlik Momenti
20 I ( n )
= ∫ d 2 dm = ∫ ρ d 2dv m
(3.4)
V
olarak tanımlanır. Cismin herhangi bir noktas ının O noktasına göre yer vektörü r ise, görülebileceği gibi, d2
= r×n
2
yazılabilir. Bu eşitlikte, r
= xi + yj + zk ,
n = n x i + n y j + nz k
(3.5)
olduğu göz önünde tutulursa (3.4) , I ( n )
= ∫ ⎡⎣( ynz − zn y ) 2 + ( znz − xnz )2 + ( xn y − yn x )2 ⎤⎦ ρ dv V
olur. Parantezler aç ılır ve koordinatlardan ba ğımsız olan n x , n y ve nz nin çarpımlar ı integrallerin dışına çıkar ılırsa,
I ( n )
= I xx nx 2 + I yy n y2 + I zzn z2 + 2I xyn xn y + 2I yzn yn z + 2I xzn xn z
(3.6)
ifadesi elde edilir. Bu ifade bir kuadratik formdur. Buradan, bir düzlemsel alan ın koordinat merkezinden geçen ve n birim vektörü doğrultusundaki eksene göre eylemsizlik momentinin,
I ( n )
= I xx nx 2 + I yyn y2 + I xyn xn y
olacağı söylenebilir.
(3.7)
21
3.3
Asal Eylemsizlik Eksenleri
Cismin eylemsizlik momentinin ekstremum de ğerler aldığı eksenlere asal eksenler , bu eksenlere göre eylemsizlik momentlerine de asal eylemsizlik momentleri denir. Ayr ıca, bu eksenlere göre çarp ım eylemsizlik momentleri de s ıf ırdır. Oxyz sisteminin O noktas ından geçen n ( n x , n y , n z ) birim vektörü do ğrultusundaki eksene göre eylemsizlik momentini veren I ( n )
= I ( n ) (nx , n y , n z ) fonksiyonunun ( Bkz.(3.6) ) ekstrem (uç) de ğerler aldığı doğrultular ve
bu ekstrem değerler bulunmak istenirse, n x , n y , n z bileşenlerinin bağımsız olmadığı, yani, n x 2 + n y 2 + n z 2
= 1 olduğu hatırlanmalıdır. Bu durumda Lagrange çarpan ı yöntemi kullanılarak
çözüme var ılabilir. Buna göre, I Lagrange çarp ımı olmak üzere,
Gn
= I ( n ) (nx , n y , n z ) − I (n x2 + n y 2 + n z2 − 1) = I xx nx 2 + I yy n y 2 + I zzn z2 + 2I xyn xn y + 2I yzn yn z + 2I xzn xn z − I (n x2 + n y2 + n z 2 − 1)
denirse, ekstremum ko şullar ı,
∂Gn ∂I n = − 2 In x = 0 ∂n x ∂nx ∂Gn ∂I n = − 2 In y = 0 ∂n y ∂n y ∂Gn ∂I n = − 2 In z = 0 ∂n z ∂nz
(3.8)
olur. Buradan,
( I xx − I ) nx + I xy n y I xy nx I xz nx
+ ( I yy − I ) n y + I yz n y
+ I xz n z =0 + I yz n z =0 + ( I zz − I ) n z = 0
(3.9)
22 elde edilir. Bu, n x , n y , n z cinsinden homojen bir denklem sistemidir. Bu denklem sistemi matris formda yazılırsa,
⎡( I xx − I ) ⎢ ⎢ I xy ⎢ I ⎣ xz
⎤ ⎡ nx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ I yz ( I yy − I ) ⎥ ⎢ n y ⎥ = ⎢0 ⎥ I yz ( I zz − I ) ⎥⎦ ⎢⎣ n z ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ I xy
I xz
(3.10)
olur. Bu ifadenin ( A − λ I n ) X = 0 denklemi formatında olduğu görülür. Dolayısıyla, I ( n ) eylemsizlik momentinin ekstremum de ğer aldığı doğrultular yani asal eksenler, (3.6) kuadratik formunun katsay ılar matrisi olan, simetrik
⎡ I xx ⎢ I = ⎢ I xy ⎢ I ⎣ xz
I xy
I xz ⎤
I yy
I yz ⎥
I yz
I zz ⎦
⎥
(3.11)
⎥
matrisinin I1 , I 2 , I 3 özdeğerlerine kar şı gelen n (1) , n (2) , n (3) özvektörleridir. Teorem 2.5 e göre n(1) , n (2) , n (3) özvektörleri kar şılıklı olarak birbirlerine diktir. (3.9) denklemlerinin birincisini n x , ikincisini n y ve üçüncüsünü n z ile çarpı p taraf tarafa toplarsak I
= I n buluruz
Buna göre I matrisinin özde ğerleri olan I1 , I 2 ve I 3 ,sırasıyla, doğrultular ı n(1) , n (2) , n (3) vektörleri ile belirli x1 y1 z 1 eksenlerine göre asal eylemsizlik momentlerinden ibarettir. Bu üç asal eylemsizlik momentinin biri cismin eylemsizlik momentinin maksimumu, bir di ğeri minimumudur.
23
3.4
Eylemsizlik Momentlerinin Dönüşümü-Tansör Özelliği
Eylemsizlik momentleri kartezyen koordinatlarda tan ımlanmıştır. Dolayısıyla bu kesimde Oxyz ve O x y z gibi iki kartezyen koordinat sisteminin eksenlerine göre al ınan eylemsizlik
ve çarpım eylemsizlik momentlerinin yer ald ığı I ve I matrislerinin dönüşüm bağıntısını elde edeceğiz. Bu amaçla, cismin n birim vektörü ile verilen eksene göre eylemsizlik momentinin Oxyz sistemindeki ifadesini veren (3.6) kuadratik formunu ele alal ım. Bu form matrislerle,
I ( n )
= ⎡⎣nx
ny
⎡ I xx ⎢ n z ⎤⎦ ⎢ I xy ⎢ I ⎣ xz
I xy
I xz ⎤ ⎡ nx ⎤
I yy
I yz ⎥ ⎢n y ⎥
I yz
⎥⎢ ⎥ ⎥
I zz ⎦ ⎢⎣ n z ⎥⎦
(3.12)
= nT I n
şeklinde yaz ılabilir. Bir P noktasının konum vektörünün Oxyz kartezyen sistemindeki bileşenleri ile bir O x y z deki bileşenlerini birbirine bağlayan dönüşümün J Jacobi matrisinin doğrultu kosinüslerinden olu şup, ortogonal oldu ğu ( J −1 = J T ) kolayca görülebilir. Bu dönüşüm sütun vektörlerle,
X
= J X
şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde, n birim vektörünün Oxyz deki bileşenleri ( n x , n y , n z ) ile O x y z deki ( n x , n y , n z )
bileşenlerini bağlayan bağıntılar sütun vektörler ve J nin
ortogonalliği kullanılarak, n=Jn
, n = J T n
dir. (3.12) ve (3.13) den
(3.13)
24 I ( n )
= nT
J I J T n
(3.14)
olur. Diğer taraftan I ( n ) in O x y z koordinat sistemindeki ifadesi,
I ( n )
I ( n )
= I xx nx 2 + I yy n y2 + I zzn z2 + 2I xyn xn y + 2I yzn yn z + 2I xzn xn z
= ⎡⎣ nx
= n T I
⎡ I xx ⎢ n z ⎤⎦ ⎢ I xy ⎢ ⎢⎣ I xz
ny
I xy I yy I yz
I xz ⎤ ⎡ n ⎤ x
⎥⎢ ⎥ ⎥ I zz ⎥⎦ ⎢⎣ n z ⎥⎦
(3.15)
I yz ⎥ ⎢n y ⎥
n
şeklindedir. (3.14) ve (3.15) kar şılaştır ılacak olursa,
I
= J I J T
(3.16)
elde edilir. Bu ise ikinci basamaktan kartezyen tansörler için dönü şüm bağıntısıdır. Bu nedenle I ya eylemsizlik tansörü denilmektedir. Buradan, bir kuadratik formun katsay ılar matrisinin kartezyen tansör dönü şüm kuralına uyduğu sonucu ç ıkar ılabilir. ( O x y z ) tak ımının ( O x1 y1 z1 ) asal eksen tak ımı olarak alınması halinde, P, ikinci bölümde sözü edilen, yani, I nın özvektörlerini sütun kabul eden ortogonal matris olmak üzere, J
= P T olacakt r. Bu durumda I = PT I P olur (3.16). Bu matrisin I n n özdeğerlerinin yer ı
ı
aldığı köşegen matris oldu ğu ikinci bölümde aç ıklanmıştı. Dolayısıyla (3.6) kuadratik formuyla verilen I ( n ) , asal eksen tak ımında, (n1 ,n2 , n3 ) n vektörünün bu tak ımdaki bileşenleri olmak üzere,
25 I ( n )
= I1 n12 + I 2 n22 + I 3 n32
(3.17)
olacaktır. Dolayısıyla, asal eksenlere göre eylemsizlik momentlerinin ( ekstrem de ğerler ) eylemsizlik tansörünün özde ğerleri olan I1 , I 2 , I 3 olduğu buradan da görülmektedir. Ayr ıca buradan bu eksenlere göre çarp ım eylemsizlik momentlerinin s ıf ır olduğu söylenebilir. Bir noktadan geçen asal eylemsizlik tak ımının pratik açıdan en önemli özeli ği o noktada asal eksenlere göre çarp ım eylemsizlik momentlerinin s ıf ır olmasıdır. (3.6) ve (3.7) kuadratik formlar ı kar şılaştır ılacak olursa, kesim 3.3 ve bu kesimde kütle eylemsizlik momentleri ile ilgili olarak elde edilen sonuçlar ın, iki boyutta, alan eylemsizlik momentleri için de geçerli olaca ğı söylenebilir.
3.5
Rijit Cismin Sabit Nokta Etraf ında Dönme Hareketi
Kütle eylemsizlik momentleri ile rijit cismin bir nokta etraf ındaki dönme hareketinin denklemleri elde edilirken kar şılaşıldığı belirtilmişti. Burada k ısaca, bu denklemlerin elde edilişi verilecek ve asal eksenlerin yarar ı vurgulanacaktır. Rijit cismin bir nokta etraf ındaki dönme hareketinin denklemleri M ve H, s ırasıyla, bu noktaya göre, kuvvetlerin toplam momenti ve cismin aç ısal momentumu olmak üzere,
M =
d H
(3.18)
d t
denklemlerinden elde edilir. Cismin toplam aç ısal momentumu tan ım gereği,
H
= ∫ r × v dm = ∫ (r × v ) ρ dv m
V
(3.19)
26 dir, (Şekil 3.4).
Şekil 3. 4 Sabit Bir Nokta Etraf ında Dönme
Cismin anlık açısal hız vektörü ω ise dm kütlesinin anl ık hızının,
v = ω × r
(3.20)
olacağı kolayca görülebilir. (3.20), r, ω ve H vektörlerinin Oxyz dik koordinat sisteminde, r
= xi + yj + zk ,
ω
= ω x i + ω y j + ω z k ,
H
= H xi + H y j + H z k şeklindeki bileşenlerle ifadeleri
kullanılırsa, (3.19) dan
H xi + H y j + H z k
⎡ ⎤ = ⎢ω x ∫ ( y 2 + z 2 ) dm − ω y ∫ xy dm − ω z ∫ xz dm ⎥ i m m ⎣ m ⎦ ⎡ ⎤ + ⎢ −ω x ∫ xy dm + ω y ∫ ( x 2 + z 2 ) dm − ω z ∫ yz dm ⎥ j ⎣ m m m ⎦ ⎡ ⎤ + ⎢ −ω x ∫ zx dm − ω y ∫ yz dm + ω z ∫ ( x 2 + y 2 ) dm ⎥ k ⎣ m m m ⎦
(3.21)
27 bulunur. İntegral ifadelerinin eylemsizlik ve çarp ım eylemsizlik momentlerini gösterdi ği göz önünde bulundurulursa,
= I xxω x + I xyω y + I xzω z H y = I yxω x + I yyω y + I yzω z H z = I zxω x + I zyω y + I zzω z H x
(3.22)
elde edilir. Bu denklemler asal eylemsizlik eksenleri seçildi ğinde daha da basitle şir. Bu eksenler kullanıldığında, I x
çarpım
= I xx , I y = I yy
H x
= I xω x ,
ve
Hy
Iz
= I yω y ,
eylemsizlik
momentleri
I xy
= I yz = I zx = 0
olur.
= I zz ile gösterilirse, açısal momentumun üç bile şeni, Hz
= I zω z
olur. Ayr ıca cisim asal eylemsizlik eksenlerinden biri boyunca yönelmi ş ω açısal hızıyla dönecek olursa, cismin, bu eksene göre eylemsizlik momenti I olmak üzere, aç ısal momentumun H = I ω olacağı açıktır. Yani cismin aç ısal momentumu bu eksen doğrultusundadır. Ayr ıca, bir A vektörünün sabit (X,Y,Z) ve ω açısal hızı ile hareketli (x,y,z) koordinat sistemlerine göre de ğişim hızlar ı arasında,
⎛ dA ⎞ ⎜ dt ⎟ ⎝ ⎠ XYZ
= ⎛⎜ ⎝
dA ⎞
⎟ + ω × A
dt ⎠ xyz
(3.23)
bağıntısı olduğu bilinmektedir Bu durumda (3.18)
= ( H ) xyz + ω × H
(3.24)
şekline gelir. xyz eksenleri cisim içinde sabit olacak ve cisimle birlikte hareket edecek şekilde
28 seçilebilir. Bu durumda cismin, bu eksenlere göre eylemsizlik ve çarp ım eylemsizlik momentleri hareket süresince sabit olaca ğından, bu vektörel denklem aç ısal momentum bileşenleri için (3.22) eşitlikleri kullanılarak,
M x
= I xxω x − ( I yy − I zz )ω yω z + I xy (ω y − ω zω x ) + I yz (ω y 2 − ω z 2 )+I xz (ω z − ω xω y )
M y
= I yyω y − ( I zz − I xx )ω zω x + I yz (ω z − ω xω y ) + I zx (ω z − ω x )+I xy (ω x + ω yω z ) 2
M y
2
(3.25)
= I zzω z − ( I xx − I yy )ω xω y + I zx (ω x − ω yω z ) + I xy (ω x 2 − ω y 2 )+I yz (ω y + ω zω x )
şeklinde üç skaler denklem haline getirilebilir. Cisimle birlikte hareket eden x.y ve z eksenleri asal eylemsizlik eksenleri olarak seçilirse, çarp ım eylemsizlik momentleri s ıf ır ve I xx
= I x vs.
olur ve denklem (3.25),
= I xω x − ( I y − I z )ω yω z M y = I yω y − ( I z − I x )ω zω x M z = I zω z − ( I x − I y )ω xω y M x
(3.26)
şekline dönüşür. (3.26) denklem tak ımı Euler hareket denklemleri olarak bilinir. Burada asal eylemsizlik eksenleri kullan ıldığında (3.25) denklemlerinin ne kadar kullan ılabilir hale geldi ği görülmektedir.
3.6
Doğru Eksenli Çubukların Eğilmesi
Alan eylemsizlik momentleri ile çubuklar ın eğilmesinin incelenmesinde kar şılaşıldığı
29 belirtilmişti. Bu k ısımda doğrusal çubuklar ın basit e ğilme gerilmelerinin hesabı k ısaca verilecek ve alan eylemsizlik tansörünün özde ğer ve özvektörlerinin i şlevi vurgulanacakt ır. Basit mukavemet hallerinden biri, kesitte yaln ız eğilme momentinin bulundu ğu basit eğilme halidir. Eğilme momenti genellikle kesme kuvvetiyle birlikte bulunmas ına rağmen, bazı özel yükleme hallerinde tek ba şına da bulunabilir. Bu k ısımda, basit eğilme denilen bu durumda gerilmelerin hesab ı incelenecektir. Önce baz ı tanımlar verilecektir. Eğilmeden önce do ğru olan ve z ekseni ile çak ışan çubuk ekseninin, e ğilmeden sonra ald ığı eğri şekle elastik e ğ ri, çubuğa tesir eden kuvvetlerin içinde bulundu ğu düzleme kuvvetler düzlemi denir. Kuvvetlerin içinde bulundu ğu düzlemle elastik e ğriyi içinde bulunduran
düzlem çak ışıyorsa düz e ğ ilmeden, aksi halde e ğ ik e ğ ilmeden söz edilir. E ğilme halinde boy değişimine uğramayan çubuk liflerini içinde bulunduran düzleme tarafsı z düzlem, bu düzlemle çubuk en kesitinin ara kesitine tarafsı z eksen denir. Ayr ıca, basit e ğilme halinde gerilme da ğılışını tespit edebilmek için a şağıdaki kabuller yapılır: Eğilmeden önce çubuk eksenine dik olan düzlemler, e ğilmeden sonra da elastik e ğriye dik ve düzlem kal ırlar (Bernoulli-Navier Hipotezi). Malzeme lineer elastiktir. Yani gerilme ile şekil değiştirme ilişkileri doğrusaldır, σ = E ε dir (Hooke cismi).(Not: Gerilme ve şekil değiştirme tanımlar ı 4. ve 5. bölümlerde verilmi ştir.)
Şekil 3.5 te simetrik olmayan herhangi bir çubuk kesiti görülmektedir. Bu çubuk, herhangi bir ekseni do ğrultusunda tesir eden M e ğilme momentinin etkisi alt ında olsun,
30
kuvvetler düzlemi
ξ α
M M x
η
α dA σz
z
y Şekil 3. 5 Eğik Eğilme
Yukar ıda sözü edilen kabullere dayanarak kesit üzerinde al ınacak bir dA alan elemanındaki normal gerilme,
σ z = f ( x , y ) = c1 x + c 2 y
(3.27)
şeklinde ifade edilebilir. Burada, c1 ve c2 tayin edilmesi gereken sabitlerdir. Kesite etkiyen bileşke normal kuvvet N için,
N
= ∫ σ z dA A
Moment bileşenleri
x
= ∫ y σ z dA A
x
My
ve M y için,
= − ∫ x σ z dA A
31 eşdeğerlik denklemleri sağlanmalıdır. Bunlara göre,
∫
∫
∫
∫
N = σ z dA = (c1 x + c 2 y )dA = c1 xdA + c 2 ydA A
M x
A
A
= ∫ yσ z dA = ∫ (c1 x + c2 y ) y dA = c1 ∫ x y dA + c2 ∫ y 2 dA
(3.29)
= − ∫ xσ z dA = − ∫ (c1 x + c2 y ) x dA = − c1 ∫ x 2 dA − c2 ∫ x y dA
(3.30)
A
M y
A
(3.28)
A
A
A
A
A
A
A
yazılabilir. Basit eğilme halinde N = 0 olacaktır. Bunun için (3.28) ifadesindeki integrallerin sıf ır olması gerekir. xy eksen tak ımı ağırlık merkezinden geçti ğinden, bu şart kendiliğinden sağlanır ( Herhangi bir kesitin ağırlık merkezine göre statik momentleri s ıf ırdır ). Bölüm (3.1) de verilen eylemsizlik momentleri tan ımlar ı gereğince (3.29) ve (3.30) ifadeleri,
x
= − c1 I xy + c2 I x
y
= −c1 I y + c2 I xy
şeklini alırlar. Bu iki denklemden c1 ve c2 elde edilip, bu de ğerler (3.27) de yerle ştirilirse,
σ z =
M x I y − M y I xy − M x I xy − M y I x + x 2 2 I x I y − I xy I x I y − I xy
y
(3.31)
gerilme formülü elde edilir. Böylece en genel e ğilme halinde normal gerilme ifadesi çıkartılmış olur. Özel olarak x y eksen tak ımının, kesitin asal eylemsizlik tak ımı olması halinde I xy=0 olacağından, normal gerilme için,
32 σ z =
M x I x
y −
M y I y
x
(3.32)
bulunur. M vektörünün asal eksenlerden biri, örne ğin x doğrultusunda ( y ekseni kuvvetler düzlemi içinde ) olmas ı halinde,
σ z =
M x I x
y
olur. Bu durumda, gerilmeler y nin fonksiyonu oldu ğundan, eğilme düz eğilme olur. Tarafsız eksen x eksenidir. Sonuç olarak, kuvvetler düzlemi kesitin asal eksenlerinden birini içerirse, eğilme diğer eksen etraf ında düz e ğilme olur.
33
4.
GER İLME TANSÖRÜ
Bu kesimde şekil değiştiren cisimler mekani ğinde önemli yeri olan gerilme tansörü ele alınacak ve bu tansörün özde ğer ve özvektörlerinin fiziksel kar şılıklar ı belirtilecektir.
4.1
İç Kuvvet Ve Gerilme
Bir cismin, zihnen dü şünülen çeşitli parçalar ı arasındaki etki ve tepkiye iç kuvvet denir. Ayırma yüzeyinin seçilen taraf ına göre, iç kuvvet belirli bir yön kazan ır. Seçilen taraflarda değişiklik yapılırsa iç kuvvet de yönünü de ğiştirir.
İç kuvvetlerin esas özelliklerinden biri de, kesit yüzeyi boyunca sürekli bir tarzda da ğ ıl ı olmalar ıdır. Yüzeye da ğılı iç kuvvetin herhangi bir noktada da ğılma şiddetini belirtmek için, o civarda birim alana isabet eden de ğerinin verilmiş olması gerekmektedir, bu şiddete gerilme denir.
F1
F2 I
F3
F4
B ΔA
ΔF
n
ayırma (Kesit) yüzeyi
Şekil 4. 1 Gerilme Vektörü
Şekil 4.1 de gösterilen kesitin B noktas ı civar ında alınan ΔΑ ile gösterilen alan eleman ına
isabet eden iç kuvvet tutar ı Δ F ile gösterilirse, bu civarda gerilme vektörü,
34
⎛ Δ F ⎞ p = lim ⎜ ⎟ Δ A→0 Δ A ⎝ ⎠
(4.1)
şeklinde tan ımlanır. Gerilme vektörü genel olarak ay ırma yüzeyinin normalinden farkl ı doğrultudadır.
Gerilme vektörünün ay ırma yüzeyinin normali do ğrultusundaki izdü şümüne normal gerilme, ayırma yüzeyi üzerindeki bir do ğrultudaki izdüşümüne o do ğrultudaki kayma gerilmesi adı verilir. Nokta civar ında göz önüne al ınan bir küpün bir yüzünden di ğer yüzüne gerilmelerin değişmesi ve içeride hacim kuvvetlerinin (atalet) bulunmas ı ihtimalleri mevcuttur. Önce a, b, c boyutunda bir eleman dü şünülüp sonra limite gidildi ğinde, bu terimlerin yüksek mertebeden küçük olduğu, dolayısıyla ihmal edilebileceği görülür.
Şekil 4. 2 Üç Eksenli Gerilme Hali
35
Şekil 4.2 de normalleri x,y,z do ğrultular ında olan yüzeylerdeki gerilmeler, seçilen eksen sistemindeki bileşenleri ile gösterilmiştir. Kar şı yüzlerdeki gerilme bile şenleri ters yönlerde olacaktır. Kayma gerilmelerindeki birinci indis gerilmelerin bulundu ğu yüzün normalinin do ğrultusunu, ikincisi ise gerilmenin do ğrultusunu belirtir. Moment denge denklemlerinden,
τ xy
= τ yx ,
τ xz = τ zx
, τ yz = τ zy
(4.2)
olduğu kolayca gösterilebilir.
4.2
Bir Noktada n Normalli Yüzey Üzerindeki Normal Gerilme
Gerilmenin tanımında bir ΔA kesit alan ı elemanının seçilmesi öngörülmü ştü. Buna göre bir noktadan geçen, çe şitli doğrultulu yüzey elemanlar ı düşünülebileceğinden, aynı nokta için her defasında başka bir gerilme bulunacakt ır. K ısaca söylemek gerekirse n değiştikçe p gerilme vektörü ona ba ğlı olarak değişecek demektir. Söz konusu nokta civar ında, kenarlar ı sonsuz küçük bir dört yüzlünün dengesi dü şünülerek bu iki vektör aras ındaki vektör fonksiyonu belirlenebilir. Bu amaçla sözü edilen nokta civar ında alınan Şekil 4.3 teki dörtyüzlüyü göz önüne alal ım.
36
x
xy
n
yx y
O yz
xz zx
zy
z
Şekil 4. 3 Dik Üç Kesit
n birim vektörünün bile şenleri sırasıyla (nx, ny, nz) ve bu yüzeydeki gerilme vektörünün
bileşenleri de p x, p y , p z olsun. Şekildeki cismin dengesinden, (x) ekseni do ğrultusunda yazılacak izdü şüm denklemi, Δ
p x . abc
Δ
Δ
Δ
= σ x . obc + τ yx . oac + τ zx . oab
şeklindedir. Halbuki çe şitli yüzlerin alanlar ı arasında, Δ
Δ
obc = n x . abc
Δ
Δ
Δ
Δ
, oac = n y . abc , oab = n z . abc
bağıntılar ı mevcut olduğundan, denge denklemi,
p x
= n x .σ x + n y .τ yx + n z .τ zx
haline gelir. Benzer şekilde diğer eksenler boyunca izdü şüm denge denklemlerinden de,
(4.3)
37
= n x .τ xy + n y .σ y + n z .τ zy
(4.4)
p z = n x .τ xz + n y .τ yz + n z .σ z
(4.5)
p y
elde edilir. (4.3), (4.4) ve (4.5) denklemleri, p( p x , p y , p z ) gerilme vektörü ile n( n x ,n y ,n z ) normal vektörü aras ındaki lineer vektör fonksiyonunu tarif eden ifadelerdir. Bu vektör fonksiyonunun,
⎡σ x ⎢ ⎢τ yx ⎢⎣τ zx
τ xy
τ xz ⎤
σy
τ yz ⎥
τ zy
⎥
(4.6)
σ z ⎥⎦
ile verilen katsayılar matrisine gerilme tansörü adı verilir. Matris formda (4.3) ,(4.4), (4.5) ba ğıntılar ı,
p = n σ T
(4.7)
şeklindedir. (4.2) simetri ba ğıntılar ı göz önünde bulundurulursa, gerilme tansörünün simetrik olduğu görülür. Dolayısıyla gerilme vektörü için (4.7) ifadesi,
p = σ n
(4.8)
olarak yaz ılabilir. abc kesitindeki normal gerilme,
σ ( n )
= p.n = nx . p x + n y . p y + n z . p z
38 eder ki (4.3), (4.4) ve (4.5) denklemleri yard ımıyla σ ( n ) için,
σ (n)
= nx2 .σ x + n 2y .σ y + n 2z .σ z + 2.n x.n yτ xy + 2.n xn zτ xz + 2n yn zτ yz
(4.9)
yada matris formda,
σ (n)
= nT σ n
(4.10)
bulunur.
4.3
Asal Gerilmeler, Gerilme Bileşenlerinin Dönüşümü Ve Tansör Özelliği
Bir cismin bir noktas ından geçen ve birim normali n ( n x , n y , n z ) olan yüzeydeki normal gerilme (4.9) kuadratik formu ile verilmi ştir. Bu ifade I ( n ) eylemsizlik momenti için verilen (3.6) ifadesinin benzeridir. Dolay ısıyla (3.6) ifadesi kullan ılarak, 3.3 ve 3.4 kesimlerinde elde edilen sonuçlar gerilmeler için de kullan ılabilir. Örneğin, normal gerilmelerin en büyük ve en küçük de ğerlerinin bulunması istenirse, n x 2 + n y 2 + n z 2
σ (n)
= 1 koşulu altında (4.9) da verilen,
= nx2 .σ x + n 2y .σ y + n 2z .σ z + 2.n x.n yτ xy + 2.n xn zτ xz + 2n yn zτ yz
kuadratik formunun ekstremumu aranacakt ır. 3. bölümde elde edilen sonuçlara göre, σ ( n) nin
39 ekstremum olduğu değerler (4.9) kuadratik formunun katsay ılar matrisi olan,
σ
⎡σ x ⎢ = ⎢τ xy ⎢⎣τ xz
τ xy
τ xz ⎤
σy
τ yz ⎥
τ yz
⎥
σ z ⎥⎦
simetrik matrisinin σ 1 , σ 2 , σ 3 özdeğerleridir. Sırasıyla bu özdeğerlere kar şı gelen n(1) , n(2) , n (3) özvektörleri de bu gerilmelerin do ğrultular ını vermektedir. Bu ekstremum de ğerlere asal gerilmeler denmektedir. Bu de ğerlerden biri en büyük, di ğeri en küçük normal gerilmedir.
Yine O noktasında bir Ox y z dik koordinat sisteminde Şekil 4.3 tekine benzer olarak al ınan bir dörtyüzlünün dik yüzeylerine etkiyen gerilme bile şenlerinden olu şan,
σ
⎡σ x = ⎢⎢τ xy ⎢⎣τ xz
τ xy
τ xz ⎤
σy
τ yz ⎥
τ yz
⎥
σ z ⎥⎦
matrisi ile σ matrisi arasındaki dönü şüm bağıntısı, koordinat dönü şümünün Jacobi matrisi J olmak üzere,
σ
= J σ J T
dir. Buradan, σ nın en azından kartezyen koordinatlarda tansör özelli ği gösterdiği sonucu çıkar. Gerilme bile şenlerinin genel koordinatlarda da tansör özelli ğine sahip oldu ğu gösterilebilir. Ayr ıca gerilme tansörünün özvektör do ğrultular ının belirlediği eksen sisteminde, n(n1 ,n 2 , n3 ) olmak üzere,
40 σ (n)
= σ 1 n12 + σ 2 n22 + σ 3 n 32
dir. Yani normali özvektörler do ğrultusunda olan düzlemlerde (asal gerilme düzlemleri) kayma gerilmeleri s ıf ırdır.
41
5.
ŞEK İL DEĞİŞTİRME TANSÖRÜ
Bu bölümde şekil değiştiren cisimlerin incelenmesinde önemli bir büyüklük olan şekil değiştirme tansörü ele al ınacakt ır.
5.1
Şekil Değiştirmenin Tanımı
Şekil değiştiren cisimler mekani ğinde önemli bir kavram olan şekil değiştirme, diğer önemli bir kavram olan gerilmeden soyutlanabilir ve ondan ba ğımsız olarak tan ımlanı p incelenebilir. Bir cismin şekil değiştirmesinin biri uzunluk de ğ i şimi diğeri açı de ğ i şimi olan iki ana eleman ı vardır. Bu incelemede de ğişimlerin ana büyüklükler yan ında çok küçük, matematik deyimi ile sonsuz küçük olduklar ı, kabul edilecektir. Böylece, bu de ğişimler sonlu büyüklüklerin yan ında ihmal edilebilecekleri gibi de ğişimlerin kareleri ve daha yukar ı mertebe değerleri de kendileri yanında ihmal edilecekler demektir.
Uzunluk değişimi: Ana elemanlardan uzunluk veya boy de ğişiminin tanımlanması için başlangıçta bir x doğrultusu üzerinde bulunan A ve B noktalar ı göz önüne al ınsın, Şekil 5.1 AB doğru parçası şekil değiştirmeden sonra A′ B ′ durumuna gelmiş olsun.
B'
A' A
C
B
Şekil 5. 1 Uzunluk De ğişimi Şimdi,
42
ε xo
=
′ ′ − AB A B AB
oranı düşünülsün. Bu oran x do ğrultusundaki AB doğru parçasının içerisindeki birim boylarda meydana gelen ortalama boy de ğişimini tanımlar. Eğer yalnız A noktasında ve x doğrultusundaki boy de ğişimi tanımlanmak isteniyorsa B noktas ı A ya yakla ştır ılarak limite geçilmelidir. Böylece A da x doğrultusundaki birim boy de ğişimi,
ε x
= lim
AB→0
A′ B ′ − AB
(5.1)
AB
şeklinde tanımlanabilir. Herhangi bir noktada ve herhangi bir do ğrultudaki boy de ğişimini tanımlayan böyle de ğerlere uzama oranı veya birim boy de ğ i şimi adlar ı verilir.
Açı değişimi: Şekil değiştiren cisimler mekani ğinde ve mukavemette dik açıdaki de ğ i şim, açı değişimi birimi olarak kullanılır. Bu değişimi tanımlamak için bir A noktas ından geçen birbirine dik x ve y do ğrultular ı ile tanımlanan bir dik aç ı düşünülsün, Şekil 5.2.
t
y
C' α
B'
C
A' β
A
B
n
x
Şekil 5. 2 Açı Değişimi
Başlangıçta x ve y do ğrultular ı üzerinde ve A ya yak ın bir konumda bulunan B ve C noktalar ı ile A noktası, şekil değiştirme sonucunda B ′, C ′ ve A′ konumlar ına gelirler. Böylece Şekil 5.2
43 den de görülece ği üzere, başlangıçta 90o olan xAy açısında γ = α + β kadarlık bir değişim meydana gelir. Bu de ğer, şekil değiştirmenin birinci mertebeden sonsuz küçük bir de ğer olduğu hakk ında daha önce yap ılan varsay ıma göre, çok küçüktür ve bunun radyan cinsinden değeri A daki x ve y do ğrultular ı ile tanımlanan dik açıdaki ortalama de ğişimi tanımlar. B ve C noktalar ı A ya yakla ştır ılarak limite geçildi ğinde, A noktas ındaki xAy dik açısındaki değişim,
γ xy
= lim ( α + β ) B → A C→A
olarak tanımlanır Böylece π/2 radyanlık aç ıdaki değişimi yine radyan cinsinden tan ımlayan γxy ye A daki x, y doğrultular ına ait açı de ğ i şim oranı ya da kayma açı sı adı verilir. Bu şekilde tanımlanan şekil değiştirme elemanlar ı katı cismin belirli bir noktas ında, bu noktadan geçen her do ğrultu ve tepesi bu noktada bulunan her dik aç ı için birbirlerinden farklıdırlar. Bir noktadaki şekil değiştirmenin bilinmesi, somut olarak, bu noktadaki sonsuz küçük bir hacim eleman ının şekil değiştirmeden sonraki yeni biçiminin bilinmesi anlam ında tarif edilebilir. Bu hacim eleman ı, kenarlar ı dx, dy, dz olan bir dikdörtgenler prizmas ı olarak alınırsa, Şekil 5.3a, bu sonsuz küçük prizman ın şekil değiştirmiş halinin, Şekil 5.3b, bilinebilmesi için her kenar ının yeni boyunun ve A köşesindeki her üç aç ının yeni değerinin bilinmesi, yani, x, y, z doğrultular ındaki ε x , ε y , ε z boy uzama oranlar ı ile xAy, xAz, yAz dik açılar ındaki γyx, γxz, γyz açı değişimi oranlar ının bilinmesi gerekir. Böylece A daki şekil değiştirme halinin bilinmesi için gerekli alt ı eleman,
γ xy
2
= ε xy v.b.
tanımlar ı ile simetrik bir matrisin elemanlar ı olarak,
ε
⎡ ε x ⎢ = ⎢ε xy ⎢⎣ε xz
ε xy
ε xz ⎤
εy
ε yz ⎥
ε yz
⎥
ε z ⎥⎦
(5.2)
44
şeklinde gösterilebilir. Bu matris tansör dönü şüm kuralına da uyduğundan, bu matris şekil de ğ i ştirme tansörü olarak adland ır ılır.
z
z z'
z
A
dz
y dx
x
y
dz(1+ z )
A
y' y
dx(1+ x)
dy
x x'
x
dy(1+ y )
Şekil 5. 3 Şekil Değiştirme Durumu
Özel durum olarak, cismin şekil değiştirmesi esnasında noktalar ın yer değiştirme vektörleri daima belirli bir düzleme paralel kal ıyorsa, böylesi şekil değiştirme haline düzlem şekil değiştirme hali adı verilir. Düzlem şekil değiştirme halinde (5.2) ifadesi,
ε
⎡ ε x = ⎢⎢ε xy ⎢⎣ 0
ε xy ε y
0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥⎦
şeklinde yazılabilir.
veya
⎡ ε x ε = ⎢ ⎣ε xy
ε xy ⎤
⎥
ε y ⎦
45
5.2
Şekil Değiştirmelerin Yer Değiştirmeler Cinsinden İfadesi
Burada geometrik gösterimlerde kolayl ık sağlayaca ğı için, ifadeler, düzlem şekil değiştirme durumu için elde edilecektir. Cismin A noktas ında alınan ve boyutlar ı Δ x, Δ y olan bir ABCD dikdörtgeni, şekil değiştirdikten sonra A ' B 'C ' D ' şekline dönüşecektir, Şekil 5.4. AA ' yer değiştirmesinin x, y eksenleri doğrultular ındaki bileşenleri u ve v olsun,
Şekil 5. 4 Şekil Değiştirmelerin Yer Değiştirmeler Cinsinden İfadesi
A noktasından Δ x mesafedeki B noktas ının u B yer değiştirme bileşeni,
u B
=u+
∂u Δx ∂
olur. Şu halde x doğrultusundaki εx birim uzaması,
46
2
ε x
=
A ' B '− AB AB
olarak bulunur.
2
∂u ∂v Δ x ⎛⎜1 + ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ − Δx 2 2 ∂ x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ∂u ⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ⎝ = = ⎜1 + ⎟ + ⎜ ⎟ − 1 Δx ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠
∂u ∂ x
ve
∂v değerleri sonsuz küçük olduklar ından, yüksek mertebeden ∂ x
terimler terk edilmek şartıyla,
ε x
∂u ∂ x
=
(5.3)
şeklinde elde edilir. Benzer şekilde εy için,
2
A ' C '− AC
ε y
=
ε y
=
AC
2
⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂u ⎞ Δ y ⎜1 + ⎟ + ⎜ ⎟ − Δy 2 2 ∂ y ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂u ⎞ ⎝ = = ⎜1 + ⎟ + ⎜ ⎟ − 1 Δy ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂y ⎠
∂v ∂ y
(5.4)
elde edilir. BAC dik aç ısında meydana gelen aç ı değişimi γxy ise,
∧
∧
2ε xy = γ xy = BAC − B ' A ' C ' = α1 + α 2
olacaktır.
(5.5)
47 Diğer taraftan B noktas ının v B yer değiştirme bileşeni
v B
=v+
∂v Δx ∂
olur. Buna göre α1 açısı ,
∂v ∂v Δ x − v ∂ x = ∂ x α 1 ≈ tg α 1 = ∂u ∂u u + Δ x + Δ x − u 1 + ∂ x ∂ x v+
şeklinde elde edilir.
α 1
=
∂u << 1 olup ihmal edilebilir. Bu durumda, ∂ x
∂v ∂ x
(5.6)
olur. Aynı şekilde,
α 2
=
∂u ∂ y
(5.7)
olarak elde edilir. Böylece ε xy , (5.5), (5.6) ve (5.7) den,
ε xy
=
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ = ⎜ + ⎟ 2 2 ⎝ ∂ ∂ y ⎠
γ xy
(5.8)
48
şeklinde bulunmu ş olur.
5.3
Herhangi Bir Doğrultudaki Birim Boy De ğişimi
Cismin bir noktasındaki uzama oranlar ının bu noktadan geçen her do ğrultuda farklı olduğu belirtilmişti Burada n birim vektörü ile belirli bir do ğrultudaki ε ( n ) uzama oranının
n ( n x ,n y , n z ) ile ilişkisi şekil 5.4 teki AD vektörünün de ğişimi incelenerek elde edilecektir.
Yine şekil değişimlerinin küçük olduğu varsayılacak ve koordinatlar ın artımı yerine diferansiyeli kullanılacaktır.
Şekil 5.4 te D noktas ının yer değiştirme vektörü DD ' nün bileşenleri,
∂u ∂u dx + dy ∂ ∂ y ∂v ∂v v D = v + dv = v + dx + dy ∂ x ∂y
u D
= u + du = u +
(5.9)
şeklinde yazılabilir. Şekilden, A ' D ' − A D = D D ' − A A ' olduğu görülmektedir. Bu e şitliğin sol taraf ı
D = d r diferansiyel vektöründeki de ğişimi göstermektedir. Bu vektörü matris
formda
⎡ ∂u ∂u ⎤ ⎡ du ⎤ ⎢⎢ ∂ x ∂y ⎥⎥ ⎡ dx ⎤ ⎢ dv ⎥ = ⎢ ∂v ∂v ⎥ ⎢ dy ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ∂ x ∂y ⎥ ⎣ ⎦
şeklinde yazabiliriz. Bu e şitlik, kare matris simetrik ve ters simetrik k ısımlara ayr ılarak,
(5.10)
49
⎡ ∂u ⎢ ∂ x ⎡ du ⎤ ⎢ = ⎢ dv ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎜ ∂ y + ∂x ⎟ 2 ⎠ ⎣⎢ ⎝
⎡ 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎤ + ⎟⎥ ⎢ ⎜ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎥ ⎡ dx ⎤ ⎢ ∂v ∂y
0
⎥ ⎢⎣ dy ⎥⎦ + ⎢ 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎥ ⎢− ⎜ − ⎟ ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠
1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎤ − ⎥ 2 ⎜⎝ ∂y ∂x ⎟⎠ ⎥ ⎡ dx ⎤ 0
⎥ ⎢⎣ dy ⎥⎦ (5.11) ⎥ ⎦⎥
şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğin sağındaki birinci terimdeki kare matris ε şekil değiştirme tansörüdür. ( Bkz.(5.4)(5.8)(5.9) ) Ters simetrik olan ikinci terimdeki kare matris Ω ile gösterilirse, (5.11) ifadesi matrislerle,
d ( dr ) = ε dr + Ω dr
(5.12)
olarak yaz ılabilir. Diğer taraftan ds, dr vektörünün boyunu göstermek üzere,
d ( ds 2 ) = d (d r ) 2
dir. Buradan,
ds d ( ds ) = dr. d ( d r )
(5.13)
olur. Bu da, (5.12) kullan ılarak, matrislerle,
ds d ( ds ) = d r ε d r + d r T
T
Ωd r
(5.14)
şeklinde yazılabilir. Ω matrisi ters simetrik olduğundan, eşitliğin sağındaki ikinci terim sıf ır olur. Dolayısıyla,
50 ds d ( ds ) = d r T ε d r
olur. Her iki taraf ds 2 ye bölünüp,
d ( ds ) ds
dr ds
= n olduğu göz önüne al ınırsa,
= nT ε n
(5.15)
olur. (5.15) in sol taraf ı n birim vektörü do ğrultusundaki birim boyun de ğişimini göstermektedir. Bu terim ε ( n) ile gösterilecek olursa,
ε (n )
= nT ε n
yani,
ε ( n )
= ε xx nx 2 + ε yy n y 2 + 2ε xyn xn y
bulur. Benzer şekilde, üç boyutlu şekil değiştirme durumunda , ε ( n ) nin,
ε ( n )
= ε xx nx 2 + ε yy n y 2 + ε zzn z2 + 2ε xyn xn y + 2ε yzn yn z + 2ε xzn x n z
(5.16)
olacağı açıktır. (5.16) ifadesi, katsay ılar matrisi şekil de ğ i ştirme tansörü olan bir kuadratik formdur.
51
5.4
Asal Şekil Değiştirmeler, Şekil Değiştirme Bileşenlerinin Dönüşümü Ve Tansör Özelliği
Cismin bir noktasındaki uzama oranlar ının bu noktadan geçen do ğrultuya bağlılığı k ısım 5.3 te incelenmi ş ve n ( n x , n y , n z ) birim normali ile belirlenen do ğrultudaki uzama oran ı ε ( n ) (5.16) kuadratik formu ile verilmi ştir. Bu ifade (3.6) da ve (4.9) da verilen kuadratik formlar ın benzeridir. (3.6) ifadesi kullan ılarak 3.3 ve 3.4 kesimlerinde ç ıkar ılan sonuçlar burada da geçerlidir. Örneğin, uzama oran ının en büyük ve en küçük de ğerleri bulunmak istenirse n x 2 + n y 2 + n z 2
ε ( n )
= 1 koşulu altında
= ε xx nx 2 + ε yy n y 2 + ε zzn z2 + 2ε xyn xn y + 2ε yzn yn z + 2ε xzn x n z
Kuadratik formunun ekstremumu aranacakt ır. Bu kuadratik formun katsay ılar matrisi olan
⎡ ε x ⎢ ε = ⎢ε xy ⎢⎣ε xz
ε xy
ε xz ⎤
εy
ε yz ⎥
ε yz
⎥
(5.17)
ε z ⎥⎦
matrisinin ε1 , ε 2 , ε 3 özdeğerleri ε ( n ) nin ekstremum de ğerleridir. Bu ekstremum de ğerlere asal şekil de ğ i ştirmeler denmektedir. ε matrisinin ε1 , ε 2 , ε 3 özde ğerlerine, sırasıyla, kar şı gelen ve
birbirlerine dik olan n (1) , n (2) , n (3) özvektörleri asal şekil değiştirmelerin doğrultular ını (asal eksenleri) belirtmektedir. Bu eksenlerde n(n1 ,n 2 , n3 ) olmak üzere,
ε ( n )
= ε1 n12 + ε 2 n2 2 + ε 3 n3 2
52 dir. Yani bu eksen sisteminde kayma şekil değiştirmeleri sıf ırdır. Ayr ıca bir O x y z koordinat sisteminde tanımlanan şekil değiştirme elemanlar ından oluşan,
ε
⎡ ε x ⎢ = ⎢ε xy ⎢⎣ε xz
ε xy
ε xz ⎤
εy
ε yz ⎥
ε yz
⎥
ε z ⎥⎦
matrisi ile, Oxyz de (5.17) ile tan ımlı ε matrisi arasındaki dönü şüm bağıntısı, koordinat dönüşümünün Jacobi matrisi J olmak üzere,
ε = J ε J
T
dir. Buna göre şekil değiştirme elemanlar ı ya da şekil değiştirme bileşenleri kartezyen koordinatlarda, tansör dönü şüm kuralına uyar. Şekil değiştirme bileşenlerinin de gerilme bileşenleri gibi genel koordinatlarda tansör özelli ğine sahip oldu ğu söylenebilir.
53
6.
SONUÇLAR
Bu çalışmada matris özde ğer ve özvektörlerin mekanikteki baz ı uygulamalar ı incelenmiştir. Uygulamalarda kullan ılan matrisler simetrik matrislerdir. Çal ışmada ele al ınan matrislerle ilgili özdeğer ve özvektör problemlerinin uygulamada nas ıl kar şımıza çıktığı, bu özde ğer ve özvektörlerin fiziksel olarak anlamlar ının ne olduğu ve bunlar ın kullanımının getireceği kolaylıklardan bazılar ı gösterilmeye çal ışılmıştır.
54
KAYNAKLAR
Anton H. ,Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Newyork Anton H.,Rorres C.,Elementary Linear Algebra-Applications Version, John Wiley & Sons, Newyork Bakioğlu M.,Kadıoğlu N.,Engin H., Mukavemet Problemleri-Cilt1,Beta Yay ınlar ı Hibbeler R.C.,(2004) Mühendislik Mekani ği/Dinamik, Çevirenler:Soyuçok A., Soyuçok Ö.,Literatür Yayınlar ı Hibbeler R.C., (2005), Mühendislik Mekani ği/Statik, Çevirenler:Soyuçok A., Soyuçok Ö.,Literatür Yayınlar ı Hill D.R., (2002) ,Uygulamalı Lineer Cebir ,Çeviri Editörü Ak ın Ö., Palme Yay ıncılık
İnan M, (1973), Cisimlerin Mukavemeti, Ofset Matbac ılık Johnson, Art., (1994), History of Mathematical Terms, Classic Math: History Topics for the Classroom,. Dale Seymour Publications,. Kocatürk T.,(2000) , Mukavemet Ders Notlar ı Köklüce B., (2005), Kuadratik Say ı Cisimlerinde Çarpanlara Ay ırma, İdeal Sınıf Grubu, ve L Fonksiyonlar ı, YTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Omurtag H.,M., (2005), Mukavemet, Birsen Yay ınevi Özbek T., Mukavemet, Birsen Yay ınevi R ızaoğlu E.,Sünel N. ,(2002), Klasik Mekanik , Tokat Soyuçok Z., Soyuçok A. (2003), Tansör Analizi ve Uygulamalar ı, YTÜ Basım-Yayın
Şuhubi E.S.,(1981) , Rijit Cisimler Dinami ği , Fatih Yayınevi Matbaas ı ,İstanbul http://members.aol.com/jeff570/
